Ecuaciones Diferenciales Fase 1

ECUACIONES DIFERENCIALES FASE UNO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCIÓN

En esta actividad empezaremos a enfocarnos en los conceptos de las ecuaciones diferenciales de primer orden, los ejercicios que desarrollaremos nos ayudarán entender su clasificación según su tipo, su orden y la linealidad. Esto con el fin de seguir avanzando en la formación profesional. Además de poder afianzar conocimientos de los modelos matemáticos de ecuaciones y soluciones, nos permite manejar la forma de adquirir este conocimiento a través del aprendizaje autónomo. Estos temas que empezamos a estudiar, pertenecen a la unidad uno del curso, donde se explican las distintas propiedades que las ED poseen, además en los diferentes ejercicios que realizaremos podemos entender los pasos para el desarrollo de las mismas, realizando un detallado análisis para una mayor comprensión del tema.

Objetivo general.

Evidenciar mediante el desarrollo de la guía fase 1 los conocimientos adquiridos sobre la temática de ecuaciones diferenciales de primer orden. Objetivos específicos.

   

Aplicar los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de primer orden Resolver problemas de aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden Participar de formar dinámica en el foro colaborativo Reconocer y analizar conceptos, estructuras y métodos de solución de las

ecuaciones diferenciales de primer orden  Adquirir la competencia necesaria para entender el concepto de las ED  Desarrollar habilidades en los procedimientos para desarrollar los ejercicios propuestos  Conocer las herramientas que nos permitan comprender y utilizar las técnicas para resolver las ecuaciones diferenciales.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Primera actividad Individual: A continuación, se presentan un contexto generalizando de la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: OMAR ELIECER CANTOR/MAURICIO GONZALEZ ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta. 1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad.

De acuerdo a la ecuación diferencial: una solución: A. B.

−x

y=−xe −x y=xe

d 2 y dy − − y −e x =−xe x dx 2 dx , cuál de las siguientes funciones es

C. D.

x

y=xe x y=−e PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera: 1. Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). 2. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. 3. Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a 0, a1,…, an dependen solo de la variable x. 2. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a.

A. B. C.

d2 y dy 3 −2 +3 y=0 dx dx 2

( )

x3 3

2 d3 y dy 2d y −7 x +6 x −7 y =0 3 2 dx dx dx 2

d y 2d y dy +x + y =sen(x + y ) 3 2 dx dx dx

δ 3 y δ 2 y δy + 2 − =e x +1 3 δx δx δx

D.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2

RAZÓN O EXPLICACIÓN

3

Es de orden 2 pues es el mayor exponente en la derivada

B . x3

2 d3 y dy 2 d y −7 x + 6 x −7 y=0 3 2 dx dx dx

Es ordinaria pues es con relación a una derivada

an ( x )

d y d y dy + an−1 ( x ) n−1 +… a1 ( x ) +a 0 ( x ) y=f ( x) n dx dx dx

d y dy −2 +3 y=0 2 dx dx

A.

( )

n

C.

3

D.

n−1

d3 y 2 d 2 y dy +x + y =sen ( x+ y ) 3 2 dx dx dx

2

δ y δ y δy + 2 − =e x +1 3 δ x δ x δx

Es lineal pues esta en funcionde x

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: OMAR ELIECER CANTOR ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES dy =g ( x ) h( y ) , se pueden resolver a través de la técnica dx llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: 1 ∫ h( y ) dy =∫ g ( x ) dx Las ecuaciones diferenciales de la forma:

3. De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial

( x 2−2 ) dy − xy=0 se dx

puede indicar como A.

y=C √ x 2 +2

B.

y=C √ x 2 −2

C.

y=ln √2 x−2+ln C

D.

y=lnC √ x 2 −2 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

( x 2−2 ) dy − xy=0 dx

dy xy = 2 dx x −2 dy x = 2 ∗y dx x −2 dy=

x ∗y∗dx x −2 2

dy x = 2 ∗dx y x −2

∫

dy x = dx y ∫ x 2−2

ln | y|+ c1=

| y|=¿

| y|=¿

ln|x 2−2| + c2 2

ln|x 2−2| + c2−c 1 2 ln ¿ ln|x 2−2| + c3 2 ln ¿

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ln|x 2−2| | y|=¿ +c 2 ln¿ e

ln| y|

ln|x −2| +c 2

e

ln| y|

ln|x −2| 2

2

=e

2

=e

∗e c

y=√ x 2−2∗c

A.

y=C √ x 2 +2

B.

y=C √ x 2 −2

C.

y=ln √2 x−2+ln C

D.

y=lnC √ x 2 −2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: MAURICIO GONZALEZ ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:

∂M ∂ N = 4. Cuando en una ecuación diferencial de la forma M ( x , y)dx +N ( x , y )dy =0 , sucede que: ∂ y ∂ x , se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado integrante, el cual se calcula si está en función de

y

μ( x, y ) , llamado factor μ( y )=e

a través de la fórmula:

Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial por:

2

3

∫

N x− M y M

dy

.

(2x y )dx+(4 x −1)dy=0 , viene dado

μ( y)=

2 y −5

μ( y )=

1 y3

A.

B.

−5

C.

μ( y)= y

D.

μ( y)= y

5

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2

3

RAZÓN O EXPLICACIÓN Derivamos la función para identificar si es exacta o no

(2 x y )dx+(4 x −1)dy=0

-1dy =0

2

4 xy dx 12

∂ ∂ P(Y ) =p ( Y ) entonces ∪ ( y )=E∫ dx dx dy −¿ m

P(x)

∂ ∂ dx dy = −¿ m ∫ 4x dx

u ( y )=e

122−4 xy 8 X 2 y 4 = = = x 2 x2 2 x2

−¿ e−ln ( y )=eln ( y )−1=

1 3 y

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: GABRIEL MALDONADO ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: Responda las preguntas 5 y 6 con base a la siguiente información

Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como dy =f ( x , y) , o es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma: dx M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0 , que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden y dy =f ( u ) , donde expresar como una función que sólo depende del cociente , o de la forma x dx u=

y x

, por lo tanto

dy y =f . dx x

()

5. Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea:

y 3 + x3

dy dy =x y 2 , dx dx

corresponde a: 2

y 2 2x

A.

y=c e

B.

e y =cx

x 2

C.

y 2

y=lnx+ e +c 2

D.

y 2 x

y=e +c

6. Al resolver la ecuación diferencial

A.

y=xsen(ln |x|+c )

B.

y=e y +c

C.

y=tan ⁡( xlnx +e x + c) y=xtan(ln |x|+ c)

D.

(

y+x+

)

x

y

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

(

y2 dx−xdy =0 , la solución general viene dada como: x

y+x+

y2 dx−xdy =0 x

)

RAZÓN O EXPLICACIÓN Se revisa si la ecuación diferencial es de variables separables

2

y (x) dy ( x ) + y ( x )−x + x=0 x dx

dy (x) dv ( x ) =v ( x ) + x dx dx

(

x−x x

(

x −x

Como vemos no se puede utilizar directamente la separación de variales, entonces utilizamos la solución homogénea. Por lo tanto la ecuación se transforma

Se deja

y ( x ) =xv (x) , porque

dv ( x ) + v ( x ) + xv ( x )2+ xv (x)=0 dx

)

dv ( x ) + v ( x )2 +1 =0 dx

)

dv (x) v ( x )2 +1 = dx x

dv ( x ) dx 1 = 2 v ( x ) +1 x

Simplificamos;

Resolvemos

dv (x) dx

Se dividen ambos por

2

v ( x ) +1

Se integran ambas partes con respecto a x

dv (x ) ∫ ( dx)2 dx=∫ 1x dx v x +1

¿ x∨¿+ C tan (v ( x ) )=ln ¿

Se evalúan las integrales.

¿ x∨¿+C ln ¿ v ( x )=tan ⁡¿

Resolvemos v(x):

−1

Donde C es una constante

¿ x∨¿+ C ln ¿ y=x tan ⁡¿

Solución general

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: GABRIEL MALDONADO JAIMES 7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se expresan de la forma M ( x )dx+N ( y )dy=0 , en donde todos los términos en x se pueden asociar con dx y todos los términos en y con dy, cuyo despeje se puede expresar como:

∫ M ( x ) dx=−∫ N ( y ) dy+C Tomando

como

referencia

la

información,

el

problema

de

valor

inicial

x dy (¿¿ 2+16) + xy=0, con y ( 0 )=1, tiene como solución general y solución particular, respectivamente dx ¿ a:

1.

y=

C √ x +16

2.

y=

C x +16

3.

y=

4 √ x +16

4.

2

2

2

4 x +16 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA y=

2

RAZÓN O EXPLICACIÓN Ecuación inicial

x (¿¿ 2+16)

dy + xy=0 , y ( 0 )=1 dx ¿

dy −x = dx , x ∈ R dx x 2 +16

Para resolver la ecuación por la variable separable se lleva a la forma

dy −x = 2 dx dx x +16

Resolvemos

dy dx −x = 2 dx y x +16

Se dividen ambos por y

∫

dy dx x dx=∫ 2 dx y x +16

dy dx

Se integran ambas partes con respecto a x

y=

y=

ec √ x2 +16

Se evalúan las integrales

C √ x +16

Simplificamos la constante y nos da la solución general

Donde C es una constante arbitraria

2

y ( x)=

c 2 √ x + 16

Donde c=ec . Ajustando la constante a la condición inicial se tiene finalmente que c=4 , dando como solución particular del valor inicial propuesto:

c =1 4

Sustituyendo

c=4

y ( x)=

4 √ x + 16

y ( 0 )=1

Sustituimos c

2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: CRISTIAN DANILO TORRES 8. Una ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0, es exacta cuando: ∂ M δN = es decir, sus derivadas parciales son iguales. De las siguientes ecuaciones ∂ Y δx diferenciales, cuáles de ellas “NO” son exactas: PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

1.

( 2 y 2 x .dx −1 ) + ( 4 xy +1 ) dy=0

MAL PLANTEADA NO ESTA DE LA FORMA

2.

( xy 2 + y ) dx+ ( x 2 y−x ) dy=0

PLANTEADA DE LA FORMA

( xy 2 dx+ ydx ) + ( x2 ydy−xdy ) =0 xy 2 dx +∫ ydx +¿ ∫ x 2 ydy −∫ xdy=0

∫¿

INEXACTA POR LOS SIGNOS

x2 y2 x2 y 2 + xy + −xy=0 2 2 3.

( 4 y 2 x 3 +2 y ) dx +( 2 x 4 y +2 x ) dy =0

PLANTEADA DE LA FORMA

( 4 y 2 x 3 dx+2 ydx ) +( 2 x 4 ydy +2 xdy ) =0

∫ 4 y 2 x 3 dx+∫ 2 ydx +∫ 2 x 4 ydy+∫ 2 xdy=0 4 y2 x 4 2 x4 y2 +2 yx + +2 xy=0 4 2 x 4 + y 2 +2 xy +x 4 + y 2+2 xy=0 4.

( 3 x 2 y 2 + y ) dx + ( 2 x 3 y + x ) dy=0

EXACTA PLANTEADA DE LA FORMA

( 3 x 2 y 2 dx+ ydx )+ ( 2 x 3 ydy + xdy )=0 3 x2 y 2 dx+∫ ydx +¿ ∫ 2 x 3 ydy +∫ xdy=0

∫¿ 3 x 2 y2 2 x3 y2 + xy + + xy=0 3 2 3

2

3

2

x y + xy + x y + xy=0

EXACTA SOLUCION 1 Y 2(A )

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: GABRIEL MALDONADO JAIMES ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:

9. Una ecuación diferencial de la forma

M ( x, y)dx+N ( x, y )dy=0

que no es exacta, es decir,

∂M ∂ N ≠ ∂ y ∂ x , se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado

μ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: ∫ μ( y )=e

N x− M y M

dy

.

El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial por:

μ( y )= A. B. C. D.

2

3 xydx−3 x dy=0 , viene dado

1 y3

μ( y)= y

3

y=cx

y=c √ x PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

2

3 xydx−3 x dy=0

3 xy ( x )−3 x 2

dy ( x ) =0 dx

dy ( x ) y ( x ) = dx x

Dividimos

dy ( x ) dx 1 = y (x) x

Integramos con respecto a

∫

Evaluamos las integrales

dy ( x ) dx 1 dx=∫ dx x y (x)

log ( y ( x )) =log ( x ) +c 1 constante arbitraria

y (x )

donde c 1 es una

Resolvemos

y (x )

x

y ( x ) =e c1 x

Simplificamos c . y ( x )=c x

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une.

Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: CRISTIAN DANILO TORRES ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:

( x+3 ) 10. Cuando se plantea la ecuación diferencial particular generada para

y(4 )=2

es

la ecuación diferencial viene dada por

y=2( x +3 ) y=C ( x+3)3

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

( x+3 )

dy =3 y dx

, es posible asegurar que la solución

,PORQUE al resolverla la solución general de

RAZÓN O EXPLICACIÓN Se soluciona por separación de variables

dy dx = 3 y (x +3) dy

3

dy =3 y dx

Para el lado de y se saca la constante de la integral

dx

∫ 3 y =∫ ( x+3) 1 dy dx =∫ ∫ 3 y ( x+3)

+c

La integral de

y¿ dy =ln ⁡¿ y

1 dx ln ( y )=∫ 3 (x +3)

Reemplazamos

1 dp ln ( y )=∫ 3 dx

Volvemos a reemplazar

( x+ 3 )= p Y dx=dp p=( x +3 )

( y )=¿ ( p ) + c 1 ln ¿ 3 ( y )=¿ ln ( x +3 ) +c 1 ln ¿ 3

El 3 pasa a multiplicar

ln ( y )=3 ln ( x +3 ) +c

Para despejar ln=logaritmo natural se aplica eveler=e

e ln ⁡( y)= y

Por propiedad de los exponentes

axb

a

e =e . e

e

ln ⁡( y)

=e

e ln ⁡( y)=e 3 ln ( x+3) +c b

3 ln ( x+3)

c

.e

Esto es una constante c

x +3 ¿3 a . lnx=ln x 9 3. ln ( x +3 )=ln ⁡¿

Esta es la solución general de la ecuación

3

x+ 3 ¿ y=c . ¿ x+ 3 ¿3 y=c . ¿

Remplazamos el valor de c en la solución general

4 +3 ¿3 2=c . ¿ 2 2 =c= 3 343 7 x +3 ¿3 y=

2 ( x +3 ) ≠ y=2 ¿ 343

Respuesta D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:

La ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t

Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 8< ¿ min Q 1 =¿

RAZÓN O EXPLICACIÓN Los valores dados son:

10< ¿ min Q2 =¿ V =500 L

C1 =

5g L

dx 10 + x ( t )=8∗5 dt 500+ ( 8−10 ) t

Al sustituir los valores, tenemos esta ecuación

10 x (t) dt(t ) + =40 500−2 t dt

Se resuelve como una ecuación lineal

Al simplificar la ecuación que de esa forma

dx(t) 5 x (t ) − =40 dt t−205 −5 dt ∫ t−250

μ ( t ) =e

=

Al dejar la expresión

1 5 ( t−250 )

dt(t ) dt 5 xt 40 − = 5 6 (t−250 ) ( t−250 ) ( t −250 )5

Se multiplican ambos lados por

μ (t)

Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Segunda Actividad EJERCICIO Y SOLUCIÓN

OBSERVACIONES, ANEXOS,

PLANTEADA

MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN

PLANTEADA En una cafetería se sirve una bebida El ejercicio nos habla de una temperatura ambiente caliente que se encuentra inicialmente a constante con esto deducimos que T m=20, también una temperatura de 90°C, y se enfría hasta nos dice que la cafetería sirve una bebida caliente, 75°C mientras se expone a la temperatura

ambiente durante 4 minutos. Si la entonces quiere decir que cuando la sirvieron era temperatura ambiente está en 20°C, t =0 , o sea al tiempo 0, y la temperatura inicial es determinar en qué momento la bebida de 90°C, entonces tendremos: estará a una temperatura de consumo de dT =−k ( T −20 ) T =90 55°C. dt Según la Ley de enfriamiento de Newton, Separando variables se tiene: la ecuación viene dada como: dT dT =−kdt =−k ( T −T a ) T −20 dt Separando variables se tiene: dT =−kdt (T −T a) Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación: dT ∫ (T −T ) =∫ kdt a ln ( T −T a )=−kt +c , según propiedades de los logaritmos: ln T −T ) e ( =e−kt +c a

Entonces, T =ce−t , por lo tanto: −kt T ( t )=ce +T a Como T a=20 ° C

T ( t )=ce−kt +70

Para t=0 la bebida tiene T =90 ° C , entonces: −k(0)

T ( 0 )=ce

+20=90 , por lo tanto, c=90−70=20

Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será: T ( t )=70 e−kt +20 Para t=4 la bebida tiene T =75 ° C , luego:

Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación: dT ∫ T −20 =∫ kdt Tenemos un logaritmo natural ln |T −20|=−kt+ c según propiedades de los logaritmos: e ln|T−20|=e kt +c usando propiedades de los logaritmos y la ley de exponentes, e ln ⁡( x)=xy ( x )m ( x )n=x m +n entonces, kt c T −20=ce e C Podemos considerar que e =C 1 , entonces, kt

T ( t )=e c1 +20 Aplicamos la condición inicial T =90 90=e k(0) c 1+ 20 90=c 1+20 c 1=70 Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será: T ( t )=70 e kt + 20

Para t =4 entonces la bebida tiene entonces T (4)=75 luego: T ( 4 )=70 e4 k + 20=75 75−20 e k 4= 70 k4

−k (4)

T ( 4 )=70 e

+20=75

e = Aplicando logaritmos:

70 55

T =75 ° C ,

e−k(4 )=

75−20 70 e k(4 )=

70 55

Aplicando logaritmos: e 70 ) 55 ln ⁡( ¿¿ k ( 4))=ln ⁡¿ ¿ 55 ln ⁡( ) 70 k= =−0,0602 4 Como en t=t 1 min T =55 ° C

e 70 ) 55 ln ⁡( ¿ ¿ 4 k )=ln ⁡¿ ¿ Usando propiedades de los logaritmos ln ( a x )=xln ( a ) , entonces:

70 55 ) 4 kln(e)=ln ⁡¿

la bebida está en

T ( t 1 )=70 e−0,0602t + 20=55 1

Por lo tanto,

Sabemos que ln ( e )=1 entonces, 1 55 k = ln =−0,06029 4 70 La ecuación nos queda, T ( t )=70 e−0,06029t +20 Usando esta ecuación podemos hallar lo solicitado que es la temperatura de consumo (55°), entonces hacemos que T (t)=55

( )

−0,06029t

55−20 e = y simplificando 70 encontramos que: 70 ln ⁡( ) 35 t1 = =10,696 min 0,0602

55=70 e

+20

−0,0602t1

El tiempo aproximado será de: t 1 =10,7 min

Por lo tanto, 55−20 −0,06029 t =e y simplificando 70 e 35 =ln ⁡( ¿¿−0,06029 t) 70 ln ¿ 35 ln =−0,06029t 70 −1 35 ln =t 0,06029 70 Entonces,

( )

( )

( )

t=11,5 min

El tiempo aproximado será de: t=11, 5 min

CONCLUSIONES



A través de la realización de los ejercicios planteados de la guía fase 1se



identifico los conceptos básicos de las ecuaciones de primer orden. Se aplicaron los conocimientos adquiridos expuestos en la temática vista en la



unidad 1. Se identificó las diferentes aplicaciones en la vida práctica de los diferentes



conceptos de las ecuaciones diferenciales. Al realizar los ejercicios propuestos pudimos diferenciar las ecuaciones lineales, ecuaciones de variables separables, ecuaciones diferenciales ordinarias, exactas y ecuaciones homogéneas.

ED

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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