Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales - Henry Lamos

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Lamos Diaz Henry (H.Lamos) UIS, E-mail address: [email protected] URL: http://www.lamos.uis Dedicado a la memoria de mis hijos y Yaneth.

2000 Mathematics Subject Classi…cation. Primary 05C38, 15A15; Secondary 05A15, 15A18

El autor expresa su agradecimiento a la UIS. Resumen. Replace this text with your own abstract.

Índice general

Capítulo 1. Introducción

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Capítulo 2. Modelación matemática 1. Modelos

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Capítulo 3. Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales 1. Introducción 2. Problema de busquedade valores y vectores propios 3. Método de Fourier 4. Ecuaciones diferenciales parabólicas 5. Ecuaciones de tipo eliptíco Capítulo 4. Solución de problemas por diferencias …nitas 1. Introducción

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41 41 65 77 98 108 117 117

iv

ÍNDICE GENERAL

Operadores en diferencias137 2. Capítulo 5. Transformada de Laplace

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ÍNDICE GENERAL

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Elementos …nitos151 Capítulo 7. Teoría de los Problemas Inversos y Mal Puestos

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Capítulo A. El primer Anexo

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CHAPTER

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Introducción

En el proceso de la modelación matemática, lo que se hace normalmente es construir una descripción de un fenómeno de la vida real en términos matemáticos, es decir crear un segundo mundo en que se considera la situación. El proceso de construcción de un modelo matemático requiere habilidad, imaginación y evaluación objetiva. En la formulación del problema se requiere una comprensión del área del problema, lo mismo que de las matemáticas correspondientes. A través de la sección se recalca la necesidad de que el Investigador en el proceso de la modelación matemática tenga en cuenta las siguientes cuestiones. El conjunto de hipótesis (“razonables”) que usará en la descripción de su realidad. La construcción correcta de las dimensiones físicas de las variables La consistencia del modelo en el sentido de que las ecuaciones no se contradigan entre sí La obtención de soluciones de las ecuaciones pertinentes La di…cultad en la obtención de las soluciones La evaluación de las soluciones del MM como una respuesta al problema en estudio. Se debe en cada etapa de validación del modelo irlo re…nando, lo cual constituye una prueba de que el modelo se puede utilizar para predecir resultados. Es de anotar nuevamente que un modelo no es la descripción total de una realidad, sino sólo una representación (idealización) de ella. Modelos más re…nados pueden proporcionar una mejor comprensión de los procesos de la naturaleza, pero podria traer como consecuencia una di…cultad mayor para su solución bien sea análitica o numérica. El primer capítulo trata sobre Modelos Matemáticos en Ingeniería (MMI). Se construyen varios modelos para describir situaciones del mundo ingenieril. En la 1

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1. INTRODUCCIÓN

mayoría de los modelos que se construyen se usan un enfoque …síco-matemático que nos conducen a Ecuaciones Diferenciales de parámetros concentrados (EDOEcuaciones Diferenciales Ordinarias) y de parámetros distribuidos (EDP- Ecuaciones Diferenciales Parciales). En el segundo capítulo capítulo se analizan una serie de Problemas Inversos; como, el Problema de Identi…cación de coe…cientes, el problema de encontrar una fuente. Se estudian los métodos de regularización para PMP y se resuelven varios problemas mediante el método de Tikhonov en forma númerica.

CHAPTER

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Modelación matemática

Objetivo del capítulo. El proposito de esta sección es un acercamiento al uso de Modelos Matemáticos (MM) en la ingeniería. La modelización matemática es util para el Ingeniero ya que le permite conocer, entender e interpretar EL MUNDO FÍSICO en el proceso de toma de decisiones. PROBLEMAS. Los problemas del mundo usualmente se resuelven, aun si la “solución”consiste en ignorar el problema y esperar a que desaparezca tal como apareció (“No problem is so big or so complicated that it can’t never be run away from” - Charlie Brown. ) algunas veces se pueden resolver los problemas óptimamente; sin embargo, limitaciones de tiempo, talento, conocimiento, o recursos nos inclinan a encontrar soluciones que no son las mejores pero sí un poco superiores a las de la actualidad. El primer paso en la solución de un problema es de…nir el sistema que se intenta modelar. En mecánica básica, se lleva a cabo un uso extensivo del diagrama de cuerpo libre; en termodinámica se consideran sistemas cerrados o abiertos, en mecánica de ‡uidos sistemas y volumen de control. ¿PERO QUE ES UN SISTEMAS? Concepto de sistema. Por sistema real lo entenderemos como una fuente de datos de comportamiento de alguna parte del mundo real por la que mostramos interés. Esa parte de la realidad estará formada por un conjunto de elementos o componentes o entidades que interaccionan para alcanzar un objetivo común. Los sistemas pueden ser naturales o arti…ciales, actuales o plani…cados para un futuro. Por ejemplo, una Universidad puede considerarse como un sistema arti…cial que realmente existe, con profesores, secretarias, estudiantes, empleados administrativos, aulas, computadores, impresoras,... como componentes. Los elementos poseen ciertas características o atributos, parámetros y variables, que toman valores numéricos o lógicos y, al conjunto, se denominan variables descriptivas del sistema. En nuestro ejemplo, los atributos pueden ser el número de profesores, los tipos de secretarias. Se dan una serie de relaciones o actividades entre los elementos y, en consecuencia, los elementos interaccionan produciendo cambios en el sistema. Por ejemplo, en la Universidad se tienen estudiantes que necesitan un servicio (se 3

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les debe enseñar algo) que son manejados por los profesores, por las secretarias, etc. Si no hubiera profesores, no habría atención a los estudiantes. Consideramos relaciones internas y externas al sistema. Las primeras conectan los elementos dentro del sistema; las segundas conectan los elementos con el mundo exterior. Por ejemplo, una relación interna es la interacción entre estudiantes y computadores, o entre secretarias y decano. Una relación externa es la llegada de personas (clientes) a la Universidad para solicitar asesorias. Las interrelaciones entre entidades y entre entidades y el sistema, se expresan a través de parámetros y de variables. Cualquier proceso que cambie los atributos de una entidad se denomina actividad, como, por ejemplo, la llegada o salida de usuarios de la Universidad. DESCRIPCIÓN DE UN SISTEMA. Al hablar del sistema es “conveniente “ tener en cuenta los puntos siguientes: a. Fijar los objetivos. b. Encontrar medidas de funcionamiento, desempeño o efectividad del sistema. c. Observar cuáles son los recursos o entradas del sistema. d. Determinar cuál es el medio ambiente para localizar restricciones, pues al sistema le es difícil modi…car su entorno. e. Las componentes del sistema y las actividades, el “desempeño” y las metas que ellos efectúan. f. La “administración del sistema”: es importante identi…car la marcha y la comprobación de su buen funcionamiento. Objetivos. Existen gran variedad de objetivos en un problema; sin embargo, vale la pena recalcar que es más importante escoger los objetivos apropiados que el sistema apropiado. En algunos casos, los objetivos no se pueden expresar numéricamente y en otros casos se pueden tener varios objetivos que entran en con‡icto. Entre algunos tipos de objetivos se tienen: Monetarios, Mercadeo, Costo, Calidad, etc. Al escoger los objetivos es conveniente tener claro los siguientes factores: Identi…car medios y …nes ‘Mirar los términos de “negociación” entre las “variables” (Calidad vs. Costo) Que sean preferiblemente cuantí…cables, Que sean factibles física, económica y socialmente El riesgo e incertidumbre que se tiene. Se deben corregir con‡ictos entre objetivos Aislar juicios de valor. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS. Podemos clasi…car los sistemas de muchas formas. Por ejemplo, un sistema puede ser cerrado o abierto. Un sistema cerrado no se relaciona con el medio que le rodea; uno abierto recibe de su medio entradas que lo in‡uyen. Si el sistema tiene la capacidad de reaccionar a cambios en su propio estado, entonces el sistema tiene retroalimentación. Además, los sistemas pueden ser naturales (una colonia de abejas) o arti…ciales (un automóvil); dinámicos (información enviada a través de una serie de canales) o estáticos (una lámpara); estables (regresan al equilibrio después de una perturbación) o inestables; estocásticos (incluyen elementos aleatorios) o determinísticos; adaptativos (responden a cambios en el medio) o no adaptativos; lineales (todas las relaciones son lineales) o no lineales. También, pueden tener variables independientes (no manipulables) o dependientes; no controlables (radiación) o controlables; continuas, discretas o mixtas.

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Estados de un sistema. Con el estudio de los sistemas se pretende aprender, diseñar, cambiar, conservar y, si es posible, controlar su comportamiento. Algunas de las variables que intervienen y describen el comportamiento de un sistema se denominan no observables, ya que no son accesibles para su posible observación y medición. Por el contrario, las variables que pueden medirse se denominan observables y podrán ser de entrada o de salida. Por ejemplo, la destreza, la perspicacia y el número medio de líneas que escribe por minuto una secretaria son tres variables, las dos primeras no son observables ni medibles directamente pero la tercera sí. Hemos mencionado, que las componentes de un sistema están determinadas por un conjunto de variables descriptivas. Las reglas que especi…can la interacción entre las componentes determinan la forma en que estas variables descriptivas cambian a lo largo del tiempo. Para que un ordenador sea capaz de simular un modelo debe “conocer”estas reglas de interacción. También puede ser que tenga que guardar los valores pasados de las variables descriptivas para poder calcular los valores futuros, ya que las reglas de interacción son función de tales valores. Pero no tienen por qué almacenarse todos los valores pasados de todas las variables descriptivas, pues en muchos modelos resulta posible considerar un subconjunto reducido de variables descriptivas cuyos valores actuales permitan calcular los valores futuros de todas las variables descriptivas. Tal subconjunto mínimo de variables que describen las entidades, los atributos y las actividades de un sistema en un instante particular del tiempo, y que permiten predecir su comportamiento futuro, se denomina de variables de estado. Los valores de las variables de estado en un instante de tiempo t proporcionan el estado del sistema en ese instante. Las variables de estado relacionan el futuro del sistema con el pasado a través del presente. El estado del sistema puede cambiar como resultado de actividades internas o endógenas, o bien actividades externas o exógenas; por ejemplo el cambio en la tasa del dolar sería una actividad endógena para alguna empresa importadora de materias primas. Los atributos de los elementos del sistema de…nen su estado. Si el comportamiento de los elementos puede predecirse con seguridad, estamos ante un sistema determinístico. Si no es posible una predicción exacta, entonces nos enfrentamos con un sistema estocástico. Las probabilidades de transición de un sistema de un estado a otro como respuesta a ciertas actividades caracteriza la naturaleza determinista o aleatoria del sistema. Si la probabilidad de que un sistema que está en un estado S1 pase a un estado S2 es igual a uno (1.0), entonces tenemos un sistema determinístico. Por ejemplo, al enfriar agua a bajas temperaturas se obtiene hielo, o del petróleo se obtiene calor y gas. En los sistemas estocásticos, la probabilidad de que el sistema cambie de un estado S1 a un estado S2 ,S3 ,..es menor que uno. Por ejemplo, que el precio del café (en libras) sea 0.8 centavos de dolares para el siguiente mes, o que las ventas de un nuevo producto sea mayor a 20 mil unidades al mes. Las propiedades estáticas y dinámicas describen también el estado del sistema. Un sistema se encuentra en equilibrio, o es estacionario si la probabilidad de encontrarse en alguno de los estados no cambia con el tiempo: el sistema puede moverse de un estado a otro pero las probabilidades de su movimiento entre los estados permanecen …jas. En el caso de un sistema evolutivo o dinámico, las probabilidades cambian con el tiempo. En términos matemáticos, la caracterización de los sistemas

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estáticos se hace generalmente con ecuaciones algebraicas y la de los dinámicos con ecuaciones diferenciales o en diferencias. 1.

Modelos

La modelación es el proceso de reconstrucción de un proceso natural de su “medio”a una forma llamada modelo, el cual puede analizarse por medio de técnicas comprensibles y con…ables. El término modelo puede tener diferentes signi…cados para distintas personas y la representación de un modelo puede ser distinta. Una clasi…cación, de las muchas existentes, considera esencialmente tres clases de modelos. Clasi…caciones de los modelos: 1. Modelos Físicos. 2. Modelos Mentales. 3. Modelos Simbólicos El decisor debe identi…car cuál es el tipo de modelo que mejor se adecua al problema de decisión. Modelos físicos: El modelo que adopta la apariencia física del objeto que debe representar se llama modelo físico. Este tipo de modelo se usa para mostrar o probar el diseño de elementos, desde nuevas construcciones hasta nuevos productos. En la industria de la aviación, se construyen modelos a escala de las nuevas aeronaves que se prueban en túneles de viento para registrar la aerodinámica del diseño. El fabricante de repuestos automotrices puede tener un modelo a escala tridimensional del piso de la planta, completo con máquinas y equipos en miniatura, para poder analizar un nuevo diseño de la distribución. Las máquinas en el modelo pueden reubicarse y estudiarse nuevas distribuciones con el objeto de mejorar el ‡ujo de materiales. Los modelos físicos ofrecen la ventaja de que pueden usarse para experimentar. En el ejemplo de la aeronave, los ensayos con un diseño diferente quizás impliquen construir un modelo completamente nuevo. Además de la ventaja de la experimentación, los modelos físicos lúcidamente describen el problema o sistema que se está estudiando; resultan útiles para generar alternativas innovadoras de diseño con el objeto de resolver el problema de decisión. No obstante, sólo una clase de problemas relativamente pequeña puede resolverse con modelos físicos. Algunos ejemplos de problemas que no pueden analizarse con modelos físicos son la selección de carteras, la selección de medios y la plani…cación de producción, la ubicación de un negocio, la introducción de un nuevo producto. Básicamente, los modelos físicos son útiles sólo para los problemas de diseño, e incluso en algunos de estos casos se puede hacer un análisis más e…ciente y completo con “Modelos Matemáticos” que puedan correrse en computadora. Además, estos modelos físicos no contienen relaciones explícitas entre las alternativas de decisión y las variables y objetivos dependientes, debiendo usarse métodos de prueba y error para resolver el problema. Si bien esto, de por sí, no es una terrible desventaja, el proceso de prueba y error, sumado a la necesidad de reconstruir el modelo con cada cambio de diseño, puede demandar mucho tiempo y muchos gastos, en algunos casos. Modelos Mentales/verbales : El modelo verbal es la traducción del modelo mental. Así, el modelo mental/verbal expresa todas las relaciones funcionales entre las variables de un proceso. Sin embargo, los modelos mentales/verbales tienen

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una serie de de…ciencias. El decisor no puede experimentar con ellos, tampoco indican especí…camente cómo cambian los resultados o las medidas de su e…cacia según la alternativa de decisión de que se trate. Otra desventaja es que no es fácil mostrar cómo cambian las relaciones según la alternativa de decisión. No obstante, los modelos mentales/verbales juegan un papel importante en el proceso de decisión. Pueden usarse para verbalizar estrategias de decisión logradas con modelos más so…sticados. Modelos Simbólicos. Son aquellos que incluyen operaciones lógicas o matemáticas que pueden utilizarse para formular una solución de un problema. Se subdividen en Modelos Matemáticos y no matemáticos. A su vez, estos últimos pueden ser: lingüísticos (descripción verbal), grá…cos y esquemáticos, por ejemplo un grá…co o un diagrama de ‡ujo. Modelos grá…cos. Los modelos grá…cos representan un paso útil en el proceso de simbolización de un modelo verbal. Algunos modelos grá…cos son los diagramas de ‡ujo lógico. El diagrama de ‡ujo lógico es una representación visual de un proceso u operación lógica. Los cuadros del diagrama están conectados en un patrón de ‡ujo de secuencia y están relacionados entre sí mediante dos operaciones fundamentales. Una de éstas es la rami…cación. La rami…cación tiene lugar cuando se hace una pregunta en cierto paso del proceso y sus posibles respuestas se expresan como rami…caciones alternativas que se alejan del cuadro. La otra operación es el enlace. Este enlace tiene lugar si ciertas respuestas regresan el ‡ujo a una etapa anterior. Por ejemplo, para describir los esfuerzos de una empresa para determinar cúales competidores reducirán sus precios, podemos utilizar un diagrama de ‡ujo. La compañía primero considera al competidor i y se pregunta si es probable que baje su precio. Si la respuesta es si, este resultado se tabula y luego la compañía se pregunta si hay algún otro competidor al cual tomar en cuenta. Si la respuesta es no, la …rma pasa directamente a la siguiente pregunta. Si hay más competidores, el ‡ujo lógico regresa al primer cuadro (es decir, se traza el lazo hacia atrás) ; de lo contrario, el ‡ujo termina. Los diagramas de ‡ujo lógico se usan frecuentemente debido a la calidad con que ilustran un proceso lógico. En las …guras se muestran algunos diagramas en particular se muestra un diagrama de análisis causal, que se usa para retratar las direcciones de in‡uencia de diversas variables sobre las otras. Este diagrama muestra que el precio tiene in‡uencia directa (negativa) sobre la demanda y una in‡uencia indirecta también a través de sus efectos positivos, sobre los gastos en anuncios y calidad percibida. Un precio elevado conduce a una calidad percibida elevada y lleva a la compañia a gastar más en publicidad. Ambas cosas, a su vez, ejercen un efecto positivo en la demanda. El valor de los diagramas de causalidad es expresar las relaciones complejas que el Ingeniero de Mercados debe tomar en cuenta y por lo tanto lo hace ver que existen relaciones más complejas que no pueden ser expresadas a través de una ecuación entre variables. Modelos de decisión. Los modelos de decisión tienen como …nalidad evaluar resultados alternativos asociados con diferentes decisiones y encontrar la “mejor” decisión. Los modelos de decisión se subclasi…can en modelos de optimización y heurísticos. Un modelo de optimización es aquél para el que existen programas de computación para encontrar la mejor solución al problema propuesto. El modelo heurístico es aquél para el que no existen rutinas de computación pero que ofrece otras ventajas. El modelo heurístico puede ser un planteamiento mucho más ‡exible

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Dólares en anuncios

Precio

+

+ +

Calidad percibida

Demanda

+

Diagrama de análisis causal

Figura 1. Figura 1

Calidad percibida

II

Precio

Demanda I

Diagrama de relación funcional

Figura 2. Figura 2

y complejo. Para usar este modelo, el Ingeniero aplica la heurística, que se de…ne como reglas de dedo que tienden a acortar el tiempo requerido para encontrar una solución razonablemente buena. Por ejemplo, en un modelo para determinar buenas ubicaciones de bodegas, el heurístico podría ser: “Considerar ubicaciones únicamente en grandes ciudades”. Esto quizás excluye una ubicación perfectamente buena en una ciudad pequeña pero los ahorros al tener que veri…car mucho menos ciudades se espera que compensen esta omisión. Uno de los modelos de decisión que tienen particular pertinencia en algunos campos de la Ingeniería es el modelo de decisión conocido como programación matemática. La programación matemática exige expresar los objetivos de un encargado de decisiones, en forma de cierta función matemática cuyo valor debe optimizarse. También se introducen varias restricciones en la forma de ecuación y/o desigualdades. Una clase de modelos en especial importante es el modelo de programación lineal, en el que las funciones matemáticas que aparecen tanto en la función objetivo como en las restricciones, son funciones lineales. ¿QUE ES UN MODELO UN MODELO MATEMATICO?

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El objetivo de muchos experimentos, que se realizan en diferentes ramas de la ciencia y de la técnica, consiste en el estudio de las propiedades de los objetos o procesos que son del interés para el Ingeniero o Investigador, para lograr este propósito el Ingeniero formula el problema en términos matemáticos; esto es, construye una descripción del fenómeno de la vida real en términos matemáticos, crea un segundo mundo en que considera la situación. Un Modelo Matemático es una herramienta abstracta para representar aproximadamente un proceso real que usa una descripción matemática de los factores esenciales del proceso y sus interrelaciones. Los investiagadores usan los modelos como dispositivos para la predeción o explicación del comportamiento del fenómeno, experimento o sistema. La elección de un modelo determinado depende del propósito del estudio. Así, en un caso general, el primer paso en la formulación matemática de un problema es el diseño de la estructura del modelo, esto es, la descripción cualitativa del proceso usando ciertos operadores o ecuaciones. Este procedimiento se llama IDENTIFICACION ESTRUCTURAL. En forma general diremos que un MM puede ser de…nido como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales del fenómeno o procesos físico en términos matemáticos, esto es; V ar:dep = f (var:ind; param; f unc:de f uerzas) donde la variable dependiente es una característica que generalmente re‡eja el comportamiento o estado del sistema, las variables independientes son generalmente dimensiones tales como el tiempo, espacio, precio, cantidades de un producto a traves de las cuales el comportamiento será determinado, los parámetros son re‡ejos de las propiedades o la composición del sistema, y las funciones de fuerzas las cuales son in‡uencias externas que actuan sobre el sistema. La determinación de los valores adecuados que deben asignarse a los parámetros del modelo (un valor por parámetro) es crítica y a la vez un reto dentro del proceso de construcción del modelo. Así, el valor asignado a un parámetro muchas veces es, por necesidad, sólo una estimación. Debido a la incertidumbre sobre el valor real del parámetro, es importante analizar la forma en que cambiaría (si lo hace) la solución derivada del problema cuando el valor asignado al parámetro cambia por otros valores posibles. Este proceso se conoce como análisis de sensibilidad. Aun cuando se hable de el modelo matemático de un problema en la Ingeniería, los problemas reales por lo general no tienen un solo modelo “correcto”. 1.1. Metodología de la modelación matemática. La metodología de la modelación se re…ere a un conjunto de procedimientos sistemáticos basados en conocimientos acumulados cuyo objetivo es abordar y resolver problemas. En áreas de las ciencias e Ingeniería existe una metodología bien desarrollada que a alcanzado cierta madurez. La modelación es el proceso por el cual se establecen relaciones entre las entidades importantes de un sistema que se expresa en términos de metas, criterios de ejecución y restricciones que en conjunto constituyen el modelo. Cada modelador tiene un modelo básico, que constituye la visión o imagen particular que tiene sobre el sistema y a partir de la cual se construirá un modelo simpli…cado. Mediante la experimentación con este modelo simpli…cado, se espera aumentar la comprensión del modelo básico así como del sistema real caracterizado por él.

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Un primer paso en la modelación es establecer el problema de forma clara, lógica y no ambigua, delimitando sus fronteras. Ya que es casi imposible comprender y aislar todas las interrelaciones entre los elementos del sistema, se incluye sólo un subconjunto de variables e interrelaciones del sistema original. La habilidad para seleccionar el subconjunto más pequeño de variables que describan en forma adecuada el sistema real es una cualidad notable de un modelador, en el que también desempeñarán un papel importante su experiencia, intuición, imaginación. Así, un rasgo importante para construir un buen modelo será la simplicidad. Con frecuencia, no existirá correspondencia biunívoca entre las variables del sistema y del modelo, y muchos detalles se resumirán dependiendo del nivel de abstracción del mismo. Los modelos con menor número de variables y datos son más fáciles de construir, de desarrollar, de modi…car y de comprender, así como más fácilmente tratables, y es muy probable que puedan utilizarse en situaciones prácticas para las que se han diseñado. Resumiendo podemos a…rmar que en el proceso de construcción de un modelo matemático requiere habilidad, imaginación y evaluación objetiva. En la formulación del problema se requiere una comprensión del área del problema, lo mismo que de las matemáticas correspondientes; así que una posible metodología en la construcción de un MM podriamos decir que es la siguiente. B Formulación del problema. B Planteamientos de las hipótesis a usar B Formulación matemática; relacionar las diferentes variables mediante leyes empíricas o naturales B Solución o Estimación del modelo B Interpretación de los resultados B Veri…cación de las soluciones como respuesta al problema en estudio. Es de anotar que en cada etapa de validación del modelo lo podemos ir re…nando ya que modelos más re…nados pueden proporcionar una mejor comprensión de los procesos de la naturaleza, sin embargo el re…namiento puede traer como consecuencia una mayor di…cultad para la solución bien sea análitica o numérica. El …gura 1 se ilustra el uso de modelos para explicar los resultados de una situación observable. Para extensas partes del ambiente natural (el punto 1 de la …gura) se da una expresión matemática mediante un modelo general en el cual todos los resultados quedan descritos por algunos principios básicos. El punto 2 de la …gura expresa la traducción del mundo real al mundo matemático por medio de operadores o ecuaciones. Luego se resuelve el problema matemático (a menudo con una simulación en la computadora) (punto 3) y el resultado se interpreta en el entorno natural del problema (punto 4). El proceso de modelación es de naturaleza evolutiva, ya que pasa de unas especulaciones iniciales a hipótesis, a modelos generales y, …nalmente, a un modelo especi…co simpli…cado. EJEMPLOS DE MM. MANZANAS Y NARANJAS. Newton y la Ley de la Gravitación Universal G M m F = d2

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Modelo

Solución. Uso de

Matemático (2)

técnicas analíticas, numéricas, cualitativas (3)

Problema del

Comprobació

“mundo real”(1)

n (4)

Figura 3. Figura 3

esto es, el tirón gravitatorio de la Tierra se debilita cuanto más lejos se esta de la Tierra. 2. E = me2 son ejemplos familiares. 3. En forma parecida, un modelo matemático para un problema industrial consiste en un conjunto de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema. Así, si deben tomarse n decisiones cuanti…cables relacionadas entre sí, se representan como variables de decisión (digamos, x1 ; x2 ; :::xn ) para las que se deben determinar los valores respectivos. La medida de desempeño adecuada , que corresponde a la variable dependiente (por ejemplo, la ganancia) se expresa entonces como una función matemática de estas variables de decisión (por ejemplo, G = 2x1 + 3x2 + ::;200xn . También se expresan en términos matemáticos todas las limitaciones que se puedan imponer sobre los valores de las variables de decisión, casi siempre en forma de ecuaciones o desigualdades (hi (x1 ; x2 ; :::xn ) 100). Las constantes (los coe…cientes o el lado derecho de las ecuaciones) en las restricciones y en la función objetivo es lo que nosotros llamamos parámetros del modelo. EL PROBLEMA puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la función G, sujeta a las restricciones dadas (El modelo matemático correspondiente a este problema es la función G junto con las restricciones). Un modelo de este tipo, y algunas variaciones menores sobre él, tipi…can los modelos analizados en la programación matemática.

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5. Un Modelo de proceso de Markov. Este modelo muestra la probabilidad de pasar del estado actual a cualquier estado futuro. Por ejemplo, consideremos un bu¤er ubicado en un nodo de una red de comunicación de datos por donde ‡uyen paquetes -secuencia de bits organizados en campos bien de…nidos-. Para simpli…car supongamos que cada segundo (o milisegundo) puede llegar, salir o no un paquete al nodo. Sea X(n) el número de paquetes en el bu¤er en el instante n = 0; 1; 2; ::::: . X(n) puede tomar valores enteros desde 0 hasta la capacidad máxima del bu¤er, N número máximo de paquetes que caben en el bu¤er. Cuando se alcanza este valor se satura el bu¤er y no se admiten más paquetes. Es claro que X(n) es una variable aleatoria, pues no es posible predecir con absoluta certeza el valor que tomará en un instante de tiempo determinado, dado que no tenemos control sobre las posibles rutas seguidas por los paquetes, ni sobre la fuente de los mismos. Sea (X(0); X(1); :::X(n); ::) además, asumamos que los paquetes llegan o salen uno a uno, vale decir, en un instante de tiempo ocurre uno y solo de los siguientes casos: o sale un paquete, o entra un paquete o no entran ni salen paquetes del nodo, la probabilidad de transición entre los estados que di…eran en más de una unidad es cero,pues equivaldría a la llegada o salida de más de un paquete. Con esta condición se reduce la complejidad del problema. La probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado j en el instante de tiempo (n + 1) dado que en el instante n se encuentra en el estado i, está dada por,

P (X(n + 1) = j)jX(n) = i) =

pij ;

j = i; i + 1; i 0 en otro caso

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Las probabilidades se representan por la matriz de transición P . Los elementos de la matriz de transición son las probabilidades de transición entre los diferentes estados i y j. Asi, las …las representan los estado actuales y las columnas el estado siguiente 0 1 2 3 : : N 0 poo po1 0 0 0 0 0 1 p1o p11 p12 0 0 2 0 p21 p22 p23 0 3 : : : N 0 0 0 0 0 0 pN N Al nodo puede llegar un paquete, salir un paquete o no entrar ni salir paquetes. Xt , representa el estado del nodo: es decir, el número de paquetes en el nodo. De…nición: La secuencia de variables aleatorias X(1); X(2).. forma una cadena de Markov de tiempo discreto si para todo n (n = 1; 2; ; :) y todos los posibles valores de las variables aleatorias tenemos que (1.1) P (X(n) = j)jX(1) = i1 ; X(2) = i2 ; ::X(n 1) = in 1 ) = P (X(n) = jjX(n 1) = in 1 ) La expresión nos dice que la probabilidad de transición hacia el estado X(n) = j, depende únicamente del estado inmediatamente anterior X(n 1) = in 1 y no de los estados previos.

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6. Un modelo descriptivo con pertinencia a muchas situaciones de Ingeniería, es el modelo de colas. Los modelos de colas se diseñan para representar situaciones de turno de espera y responden a dos preguntas especí…cas: ¿Qué cantidad de tiempo debe esperar un cliente en un sistema particular? ¿Cómo cambiará este tiempo de espera como resultado de determinadas alteraciones en las instalaciones? Estas preguntas pueden ser de particular importancia en sistemas de serivicios (bien sea un banco, un hipermercado, estaciones de gasolina, una red de comunicaciones). Donde quiera que los clientes tengan que esperar, existe el peligro de que el tiempo de espera se torne excesivo, lo que se traduce en pérdida de algunos clientes a favor de los competidores. La teoría de colas se constituye en la principal herramienta para el análisis de las redes de telecomunicaciones. El estudio del desempeño de las redes de comunicación de datos implica el conocimiento del comporatmiento de las redes ante situaciones de orden aleatorio, tales como el aumento inesperado del trá…co de paquetes. En general, una cola se forma en todo sistema que preste un servicio y en donde la demanda por el servicio supere la prestación del mismo en determinados intervalos de tiempo.La característica más importante del arribo de elementos al sistema es la distribución de probabilidad con que lo hacen. Esta distribución tiene un parámetro muy importante, la tasa de arribos. Por ejemplo, en redes de comunicación de datos es común utilizar el bit/seg o bps como unidad para medir la tasa de entrada de elementos al sistema, también se usa pauqtes/seg, llamadas/seg, transacciones/dia

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1.2. Ecuaciones Diferenciales. INTRODUCCION Con frecuencia para la descripción de un sistema se construyen MM (Modelos Matemáticos) a través de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (parámetros concentrados) o bien a través de EDDP (Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales de parámetros distribuidos). Las EDDPs aparecen en diversos problemas físicos y geométricos, cuando las funciones que intervienen dependen de dos o más variables independientes. Estas variables pueden ser el tiempo y una o más coordenadas en el espacio. En este capítulo se presentan algunas de las ecuaciones diferenciales parciales más importantes en las aplicaciones de la ingeniería centrándose el estudio para las EDDP lineales de segundo orden. En la construcción de modelos matemáticos que conducen a Ecuaciones Diferenciales se parte de algún principio “físico”conocido (leyes básicas que gobiernan la realidad) o hipótesis razonable sobre el sistema (si x denota una magnitud de interés en el instante t, entonces la tasa de cambio puede calcularse como el caudal de entrada menos el de salida, “ley de equilibrio”) razonando luego “lógicamente”se obtienen ecuaciones donde aparecen las magnitudes de interés como sus derivadas. Esta técnica se basa en un análisis “físico-matemático” combinado. LEYES DE CONSERVACION Y RELACIONES AUXILIARES. Algunas de las leyes de conservación que se usan en la construcción de modelos son las leyes de conservación de masa, energía y momentum. El uso de estas leyes es amplia y se usan tanto en sistemas de Ingeniería química, como en mecánica de ‡uidos, en procesos nucleares, y en muchas otras áreas de la ciencias (Ingeniería Civil, Ingeniería de petróleos). La aplicación de estas leyes selecionadas para un proceso en particular lleva a ecuaciones que son balance de términos. Por ejemplo, la ecuación de balance de calor a partir de la ley de conservación de la energía; la ecuación de balance de masas de una especie. El balance de momentum: la razón de cambio del momentum es equivalente a las fuerzas que actuan sobre el objeto. Conservación de Balance Términos alternativos Masa Balance de masas Ecuación de continuidad Energía Balance de energía Primera ley de termodinámica Balance de calor (formas de energía térmicas) Momentum Balance de Momentum Balance de fuerzas Ley de Newton Ecuación de Navier-Stokes La primera ley de la termodinámica es una manera de enunciar el principio de conservación de la energía: En un intervalo de tiempo t la variación de energía interna dentro de un sistema es igual al calor tarnsferido hacia el interior del sistema mas el calor generado dentro del sistema. Por ejemplo, en un sistema cerrado que consiste de una masa solida …ja tien volumen V cm3 y el sólido tiene una densida kg=m3 : Se trans…ere calor al sistema a una velocidad Q [jolule=seg] ; dentro del sólido puede generarse calor, por ejemplo fusión nuclear o por una corriente eléctrica, a la velocidad Qv : Asumamos que los sólidos son incompresibles, de modo que no hay trabajo realizado por el sistema o sobre él. Por lo tanto, según nuestra ley tenemos U = Q t + Qv t Después de establecerse los balances básicos se necesita ahora expresar las cantidades primarias en término de variables de estado (variables secundarias)

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y parámetros.Por ejemplo, un término de energía que aparece originalmente como una entalpía H usualmente se convierte en temperatura T y se especi…ca su calor especí…co c: ALGUNAS RELACIONES AUXILIARES IMPORTANTES Tasas de tarnsporte Transporte de masa Molecular dCA NA = DA dz Ley de Fick

Interface convectiva NA = kC A(C

C)

Transporte de Energía dT q = kA dz Ley de Fourier

q = hA T

Transporte de Momentum K dp v2 dv v= = w =f dz dz 2 Ley de viscocidad de Newton Ley de Darcy Tensión de Shear Una consideración matemática impórtante en la construcción de MM es la de…nición de variables dependientes e independientes asociadas con las ecuaciones de balance. Las variables dependientes como se discutio arriba se re…eren como variables de estado y logicamente tiene formas muy variadas dependiendo del proceso que se pretende modelar. Las variables independientes usuales son el tiempo, y las variables espaciales x; y; z o bien se usan coordenas polares, cilindricas o esfericas. UN MODELO SIMPLE. El proceso de desintegración de un material radioactivo se describe a través de la relación auxiliar: la velocidad de la desintegración de una sustancia es proporcional a la cantidad de la sustancia radioactiva que se tenga en el instante dado. El coe…ciente de proporcionalidad , el cual es característico para cada sustancia, es constante y se denomina coe…ciente de desintegración. El modelo matematico para este problema es un problema de Cauchy dado por: (1.2) (1.3)

dm = m(t) dt m(to ) = M

Si las constantes y M son conocidas, entonces, al resolver el problema de Cauchy sabemos como va cambiando la cantidad de material a través del tiempo. Un problema de interés en la ciencia consiste en determinar el coe…ciente y la cantidad inicial de sustancia M si se sabe que a través de la experimentación se puede de…nir la cantidad de sustancia m(t) para t 2 [t1 ; t2 ]. De esta manera se debe determinar el coe…ciente y M si se conoce la función m(t) para t 2 [t1 ; t2 ]. MODELO DE VENTAS. Se desea determinar la relación funcional entre el número de individuos en una población bajo la in‡uencia de determinado comercial publicitario en el instante t; esto es, N (t) con el objetivo de predecir futuros valores de N por razones económicas u otras. Para cumplir con este proposito modelemos la tasa de cambio de N respecto a la variable t: Se pronostica que habrá un límite de K individuos que verán el anuncio. HIPOTESIS A USAR: ¿Cómo podemos determinar la relación funcional entre N y t? Una suposición simple es pensar que la tasa con que crece o decrece la cantidad de individuos bajo la in‡uencia del comercial sólo depende del número

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2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

presente de personas que ven el comercial y no de mecanismos dependientes del 0 0 tiempo, esto es N (t) = f (N ), donde N (t) denota la derivada de N (t) respecto al tiempo. Ahora es necesario modelar la forma de la función f (N ). Como la cantidad de personas que verán el comercial es K entonces de la ecuación diferencial tenemos que f (K) = 0; si se toma f (0) = r ; se pueden tener varias funciones que satisfacen estas condiciones. La hipótesis más sencilla es que la función f (N ) sea lineal; esto es f (N ) = c1 + c2 N . O bien se asumiría que la función f (N ) es un polinomio de grado 2 o superior. ¿Cuál es el polinomio más adecuado? Generalmente se empieza con un modelo más bien sencillo (tomamos a f (N ) como una función lineal), si el modelo no resulta satisfactorio para los …nes de predicción, se puede entonces tomar la función como un polinomio de mayor grado, como por ejemplo, una función cuadrática, para obtener en este caso la siguiente ecuación diferencial dN dt

r N (t) K 1 = rN (t) 1 N (t) ; N (0) = No K

= N (t) r

Al resolver la ED (Ecuación Diferencial) obtenemos el comportamiento del sistema dinámico que estamos modelando, esto es la dependencia de N con respecto al tiempo t. Y al variar los parámetros r; K; No podemos observar la dependencia de N (t): La solución del problema está dada por la fórmula (1.4)

N (t) =

N(t)

rNo r=KNo + (r r=KNo )e

rt

;

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo

Está fórmula indica el comportamiento del sistema dinámico que se está modelando, esto es, que la dependencia de N con respecto al tiempo; al variar los parámetros r; K; N o permite observar la dependencia de N (t) respecto a los parámetros. A continuación el Modelador puede preguntarse si esta formulación “es satisfactoria para la descripción del mundo real”; si este es el caso puede usar su Modelo bien sea para …nes predictivos o para la toma de decisiones. UN MODELO DE CONSERVACION DE MOMENTUM.

1. M ODELOS

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Supongamos que un objeto se deja caer desde un helicoptero ‡otante a gran altura del suelo, es necesario predecir la altura y velocidad del objeto en cualquier instante futuro. Observemos que la altura h(t); y la velocidad v(t) pueden identi…carse como las variables dependientes (variables que el modelo quiere explicar). Supóngamos que el cuerpo se mueve solo verticalmente. Así que para cambiar la posición el cuerpo hay fuerzas que actuan sobre el: Fuerzas de Propulsión- tienden a mover el cuerpo en alguna dirección. Fuerzas resistentes- tienden a retrasar el movimiento. Fresit = f1 (arrastre,‡otamiento) donde la Fuerza de Arrastre- cuando el cuerpo cae a través de la atmosfera. Fuerza de Flotamiento- sujeta al cuerpo y tiende a mantenerlo. Por lo tanto el M M puede ser expresado símbolicamente así: posic = f2 (fuerza de propuls,fuerz. resist) La fuerza de propulsión que actua sobre un cuerpo que cae desde una posición de reposo se debe a la gravedad. La fuerza gravitacional depende de la masa del objeto y su distancia a la super…cie de la tierra. f propul

= Fp = atraccion gravitacional = f (masa; altura)

Si a la fuerza hacia abjo se le asigna un signo positivo, se puede usar la segunda ley de Newton debidad a la gravedad como Fp = mg (aquí hay que anotar que la gravedad varia con la distancia a la tierra). Con respecto a las fuerzas de arrastre y de ‡otameinto tenemos arrastre = Fa = f (vel; densid aire; area sec cional; ::) f lotamiento = Fb = f (densi aire,densid.objeto) Si hacemos la hipótesis de que el arrastre es igual a una constante por la velocidad del objeto, esto es (1.5)

Fa =

cv

donde c es una constante de proporcionalidad llamada coe…ciente de resistencia o arrastre (kg/seg). El parámetro c toma en cuenta las propiedades del objeto descendente, como la forma o aspereza de sus super…cie, que afectan la resistencia del aire. La relación (8) no siempre es adecuada, en algunos casos puede ser una relación no lineal). Ahora como queremos es determinar la velocidad …nal de la caida libre del objeto, el modelo se puede construir usando la expresión de aceleración como la dv ; por lo tanto una primera razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo dt aproximación a nuestra realidad sería

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2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

dv = F = mg cv dt MOVIMIENTO VIBRATORIO DE SISTEMAS MECANICOS. Supónagase que tenemos un resorte ordinario de peso despreciable suspendido verticalmente de un soporte …jo.Colguemos un peso W al resorte. Cuando el peso esta en reposo describiremos su posición como la posición de equilibrio. Halemos el peso hacia abajo una cierta distancia y luego soltemoslo, el peso empezará a oscilar alrededor de la posición de equilibrio. Determinar el movimiento del peso. Nuevamente para construir nuestro MM consideremos las fuerzas que actuan sobre el objeto: Fuerza restauradora. Es la fuerza que tiende a regresar o restaurar el peso desplazado a su posición de equlibrio. La ley que gobierna esta fuerza es la ley de Hooke. Ley de Hooke La fuerza ejercida por un resorte, tendiente a restaurar el peso W a la posición de equilibrio, es proporcional a la distancia de W a la posición de equilibrio. Fuerza amortiguadora- Es una fuerza de fricción que actua para decrecer las amplitudes de las oscilaciones. Podemos nuevamente considerar que para velocidades pequeñas, la magnitud de la fuerza amortiguadora es paroximadamente proporcional a la velocidad instantanea del peso en el resosrte. Fuerzas externas. Una tal fuerza puede aparecer de varias maneras:por ejemplo, procedente de vibraciones de la pared al que se halla sujeto el resorte, o sobre el efecto sobre ésta de un campo magnetico externo (si el resorte es de hierro), o cuando al peso se le da un pequeño empuje cda vez que alcanza la posición más baja. Asumamos la dirección positiva hacia abajo como se muestra en la …gura (1), de modo que x (que es la posición de W medidad desde la posición de equlibrio) es positivo cuando W está por debajo de la posición de equilibrio y negativo cuando W esté por encima de esta posición. Modelización del proceso. Según la segunda ley de Newton tenemos: m

W d2 x : = Fres + Fresist + Fext g dt2 Por lo tanto (1.6)

W d2 x : = g dt2

kx

dx + f (t) dt

donde k; son constantes positivas; Fres = kx, observe que si el cuerpo esta hacia abajo la fuerza esta dirigida hacia arriba y si el peso esta arriba la fuerza esta dirigida hacia abajo: El mismo razonamiento hacemos con la fuerza de fricción, la cual consideramos que es proporcional a la velocidad instantanea del peso en el resorte. OBSERVACION. Vonsideremos el MM d2 x = k=mx dt2 0 x(0) = 0; x (0) = 0

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cuya p solución es igual a x(t) = c1 cos ! o t + c2 p sin ! o t = A cos(! o t + ); donde A = c21 + c22 ; c1 = A cos ; c2 = A sin ; ! o = k=m: Si recordamos de la física elemental que el trabajo realizado por uan fuerza constantyes a lo largo de un recorrido es igual al producto de dicha fuerza por el espacio recorrido, e imaginamos, volviendo a la …gura _____, que llevamos m desde la posición de equilibrio, dada por x = 0; hasta una posición z, habremos realizado un trabajo contra la fuerza de testitucuón kx, con x recorriendo entre 0 y z; que estará dado por Zz z2 U (z) = ( kx)dx = k : 2 0

Esta maginitu U (z) recibe el nombre de energía potencial en el punto z de la partícula de masa m sometida al campo de fuerzas “estacionario” (no dependiente de t): Supongamos ahora que una partícula de masa m está en movimiento a lo largo de un eje Ox: La fureza que actúa sobre la partícula en el instante t; según la segunda ley de Newton, dv F =m ; dt el trabajo realizado por dicha fuerza desde la posición x1 = x(t1 ) hasta la posición x2 = x(t2 ) será de nuevo, Zx2 Zx2 0 1 1 2 2 F dx = m v dv = m [v(t2 )] m [v(t1 )] ; 2 2 x1

x1

2

osea igual a la variación de la magnitud 12 m [v(t)] llamada energía cinética de la partícula en el instante t: La energía total es 1 2 E = m [v(t)] + U (x) 2 La energía potencial depende de la posición y la cinética de la velocidad. En el caso presente de un movimeinto armónico regido por el modelo ( ) se cumple la “ley de la conservación de la energía”, a saber, que la energía total permence constante a lo largo de cualquier movimiento. dE dt

= m [v]

dv dx + kx = 0; dt dt

1 2 kA 2 PROBLEMA SIMPLE QUE SE REDUCE A UNA ECUACION DE TIPO HIPERBÓLICO: ECUACION DE ONDA. E

=

Una ecuación diferencial parcial que se presenta frecuentemente en matemáticas aplicadas, es la ecuación de onda. Por ejemplo el estudio de ondas acústicas, ondas en el agua y las ondas electromagnéticas, están todas basadas en la ecuación de onda. Consideremos una cuerda elástica (la cuerda de un violín, un alambre , una línea de potencia eléctrica), extendida …rmemente entre soportes …jos, al mismo

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2.

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nivel. ( Ver …gura 1 ). Denotemos como L la longitud de la cuerda. El eje X está localizado a lo largo de la cuerda , y los extremos están localizados en X = 0 y X = L. Si la cuerda es puesta en movimiento en un tiempo inicial t = t0 (pulsándola por ejemplo), vibrará libremente; el problema consistirá en la determinación de la forma de la cuerda en cualquier momento, y en la determinación de la ley del movimiento en cada punto de la cuerda en función del tiempo. Consideremos el problema más sencillo; supongamos que los desplazamientos de la cuerda se hallan en el mismo plano XU , y que el vector desplazamiento U es perpendicular en cualquier momento al eje X; entonces el proceso oscilatorio se puede describir mediante una función U (X; t) que caracteriza el desplazamiento vertical de la cuerda. La expresión matemática del concepto de ‡exibilidad reside en que las tensiones que surgen en la cuerda están dirigidas por la tangente a su per…l instantáneo, o bien no existen fuerzas que se opongan a doblarla (Figura 2).

1. M ODELOS

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tomemos un pequeño elemento de la cuerda de longitud X, entre los puntos X1 y X2 ( Figura 3). Despreciamos el cuadrado de Ux con respecto a la unidad, esto es solo consideraremos desplazamientos u(x; t) pequeños. Como la cuerda no se resiste a la ‡exión, Z X2 p 0 (1 + Ux2 )dx = (X2 X1 ) = S S = X1

Por lo tanto, demostramos que en el proceso oscilatorio no hay alargamiento de los segmentos de cuerda.

La tensión es una función de (X; t). Del razonamiento anterior y de la ley de Hooke1 vemos que la magnitud de la tensión T en cada punto no varía con el tiempo (PORQUE?), es más T (x) = T0 =, donde To es una constante. O sea que tampoco depende de X; demostremos esta última a…rmación. Veamos : Sea Tx , Tu proyecciones de T sobre X y U respectivamente (Figura 4).

22

2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

T (X; t1 )

=

T (X; t2 )

=

@U (X; t1 ) @X @U k (X; t2 ) @X

k

T(X) Tx = T (X) cos = p = T (X) (1 + U2X

(1.7)

Tu (X) + T (X) sin = T (X) tan = T (X)UX ;

Recordemos que T = kq; q es el alargamiento por unidad de longitud y k es el modulo de Young, que es constante. La última igualdad en ecuación ( ) se da ya que es muy pequeño. Sobre el segmento [X1 ; X2 ] actúan fuerzas de tensión, fuerzas externas y fuerzas de inercia. X

F =0

f uerzas proyectadas sobre X

ya que se consideran solo las oscilaciones transversales. Ahora bien, las fuerzas externas y las de inercia están dirigidas, por hipótesis, a lo largo del eje U ; entonces sobre el eje X tenemos que Tx (X2 ) Tx (X1 ) = 0, o sea Tx (X2 ) = Tx (X1 ), asi que T (X) = To . Ahora deduzcamos la ecuación diferencial que rige el fenónemo físico. Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de cuerda, tenemos que la componente de la cantidad de movimiento del segmento [X1 ; X2 ] sobre el eje U es igual a : Z X2 Ut (s; t) (s)ds X1

donde es la densidad lineal de la cuerda. Entonces, Z X2 Z t2 [Ut (s; t2 ) Ut (s; t1 )] (s)ds = T0 [UX (X2 ; ) X1

t1 Z X2

(1.8)

X1

Z

UX (X1 ; )]d +

t2

F (s; )dsd

t1

La expresión (19) es la variación de la cantidad de movimiento en el intervalo de tiempo t = t2 t1 , igual al impulso de las fuerzas que actúan formadas por la tensión T0 UX (X2 ; t) T0 UX (X1 ; t), y por la fuerza externa distribuida continuamente con densidad F (X; t) calculada en la unidad de longitud. Es de anotar que la ecuación (19) es la ecuación integral de onda, la cual se utiliza frecuentemente cuando es necesario considerar soluciones generalizadas. Para pasar de la ecuación (1) a la ecuación diferencial, supongamos que U (X; t) 2 C 2 , y apliquemos dos veces el teorema del valor medio para obtener: Utt (s ; t ) (s ) t X = fT0 [UXX (s ; t )] + F (s`; t`)g t X donde : s , s`, s

pertenecen al intervalo (X1 ; X2 ) y los puntos t , t`, t

2 (t1 ; t2 ).

1. M ODELOS

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Simpli…cando y pasando al límite cuando X2 ! X1 , t2 ! t1 , obtenemos la ecuación diferencial de las oscilaciones transversales de la cuerda: (1.9)

T0 UXX = (X)Utt

Si la densidad es constante,

F (X; t)

= C , entonces (20) se convierte en: Utt = a2 UXX + F (X; t)

(1.10) donde a=

p 1 (T0 = ) y F (X; t) = F (x; t)

Es posible identi…car a como la velocidad con la cual se mueve a lo largo de la cuerda, una pequeña perturbación (onda). La velocidad de onda, a , varía directamente con la tensión de la cuerda e inversamente con la densidad del material de la cuerda. CONDICIONES DE FRONTERA Y CONDICIONES INICIALES PARA LA ECUACION DE ONDA Al describir matemáticamente un fenómeno físico, ante todo hay que plantear (colocar) el problema, es decir , enunciar las condiciones su…cientes para la determinación unívoca del proceso. Las ecuaciones en derivadas parciales, en general dan un conjunto in…nito de soluciones, por eso, en el caso en que el problema físico se reduce a una ecuación diferencial en derivadas parciales, para la caracterización unívoca del proceso es necesario agregar a la ecuación ciertas condiciones complementarías denominadas condiciones de frontera (contorno) y condiciones iniciales. Considerando el problema sobre oscilaciones transversales de la cuerda con extremos …jos, la función U (X; t) nos da la desviación de la cuerda del eje X en el momento t. Si los extremos de la cuerda están …jos entonces en cualquier momento t el valor U (0; t) = 0 y U (l; t) = 0 , nos dan las condiciones de frontera. Además el proceso de las oscilaciones de la cuerda dependen de su forma inicial y de la distribución de las velocidades, es decir, hay que dar las condiciones iniciales : @U (X; t0 ) = g(X) @t Puede existir otros tipos de condiciones de frontera tales como: U (X; t0 ) = h(x);

U (0; t) = g1 (t);

U (l; t) = g2 (t)

que nos indican el movimiento de los extremos de la cuerda según una ley dada. Si consideramos el problema sobre las oscilaciones longitudinales de un resorte, uno de cuyos extremos está …jo y el otro libre; la ley del movimiento del extremo libre no está dada y a menudo es la función incógnita. En el punto X = 0 ; U (0; t) = 0 ; (l;t) y en el extremo libre X = l; la tensión del resorte T (l; t) = K @U@X es igual a cero ( no hay fuerzas externas); de modo que el enunciado matemático de la condición de un extremo libre tiene la forma :

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2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

@U(l; t) = 0; @X si hay fuerza g1 (t) entonces g1 (t) @U(l; t) = = g1 (t) @X k Es también típica la condición @U (l; t) = @X

hU (l; t)

que aparece cuando existe enlace elástico en alguno de los extremos. Las derivadas con respecto a t pueden …gurar también en las condiciones de frontera, por ejemplo KUx (l; t) = Ut (l; t) , que signi…ca que el extremo del resorte experimenta la resistencia del medio proporcional a la velocidad de su movimiento. 1.2.1. Problemas de discusión. Un tubo semiacotado (x > 0) lleno de un gas ideal tiene en el extremo (x = 0) un pistón de masa m que se mueve libremente. En el instante t = 0 por medio de un golpe se le imprime al pistón una velocidad inicial de vo : Las desviaciones iniciales y la velocidad inicial de las partñiculas del gas son iguales a cero. plantear un MM con el cual se pueda determinar la propagación de la onda en el gas. ECUACION DE CALOR, ECUACION DE DIFUSION DE UNA SUSTANCIA A nivel microscópico los mecanismos físicos de la conducción son complicados; abarcan fenómenos tan variados como colisiones molecualres en los gases, las vaibraciones de la red de los cristales y el ‡ujo de electrones libres en los metales.Sin embargo, el Ingeniero evita, en la medida de lo posible, la consideración a nivel microscópico y pre…ere valerse de leyes fenomenológicas a nivel macroscópico. La ecuación de conducción de calor es una ED que modela tanto el ‡ujo de calor como una variedad de fenómenos …sícos, químicos y biológicos relacionados con los procesos de difusión. LEY BASICA. La primera ley de la termodinámica es una manera de enunciar el principio de conservación de la energía. Consideremos un sistema cerrado consistente de una masa solida …ja. El sistema tiene un volumen V y el solido una densidad . Las vibraciones moleculares del cuerpo generan energía que percibimos como calor, por tanto, calor es energía que se trans…ere de un lugar a otro. Flujo de calor es la transferencia de energía que se lleva a cabo como consecuencia de las diferencias de temperatura. OBSERVACION. La cantidad de calor que se comunica a un cuerpo se puede expresar en varias unidades: btu, erg, joule o caloría. La caloría (cal) es la más usada, se de…ne como la cantidad de calor que se necesita para elevar la temperatura de un gramo de agua en 1 C, desde 14.5 a 15.5 C. Una caloría es igual a 4.186 J. Supongamos que se trans…ere calor al sistema a una velocidad Q_ y dentro del sólido puede generarse calor, por fusión nuclear, o por una corriente eléctrica a la velocidad Q_ v .

1. M ODELOS

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OBSERVACION. Podemos suponer que los solidos son incomprensibles de modo que no hay trabajo realizado por el sistema o sobre él. PRINCIPIO BASICO. El principio de conservación de energía exige que en el intervalo de tiempo t Variación de energía interna dentro del sistema = calor transferido hacia el inetrior del sistema + calor generado dentro del sistema U = Q_ t + Q_ v t U = Q_ + Q_ v t Si se entrega calor en la misma cantidad a masa iguales de distintas sustancias, los aumentos de temperatura son diferentes. Por ejemplo si se entrega una caloría a un gramo de plata, la elevación de temperatura será mayor (10 C) que en el caso de un gramo de agua. Se dice que las sustancias tienen diferentes calores especí…cos. Para un sólido incomprensible du = Cv dT; donde u es la energía interna especí…ca, cv es la capacidad calorí…ca, (la capacidad calorí…ca Cv de cualquier sustancia se de…ne como la cantidad de energía calórica que se requiere para elevar la temperatura de la sustancia en un grado Celsius), T es la temperatura. La capacidad calorí…ca de un cuerpo es proporcional a su masa. Por esto es conveniente de…nir la capacidad calorí…ca por unidad de masa, c, llamada calor especí…co, Cv m Las unidades de medida son de C v (J/ C) y c (J/kg C). Combinando estas dos expresiones se puede expresar la energía calórica transferida entre un cuerpo de masa m y los alrededores para un cambio de temperatura como: U = mc T: OBSERVACION. Algunos conceptos útiles que se manejan en teoría caloríca son: Calor latente. Una sustancia experimenta un cambio en su temperatura

(1.11)

c=

cuando se trans…ere calor entre la sustancia y los alrededores. Pero existen situaciones donde el ‡ujo de calor no tiene como resultado un cambio en la temperatura. Esto ocurre siempre que las características físicas de la sustancia cambien de una

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2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

forma a otra, lo que se conoce como cambio de fase. Algunos cambios de fase comunes son sólido a líquido (fusión), líquido a gas (ebullición). Todos estos cambios de fase implican un cambio en la energía interna. La energía requerida se conoce como calor de transformación. Cuando un sistema sufre un cambio de fase, debe haber una transferencia de calor. Si L es el calor latente de cambio de fase, necesario para que una unidad de masa cambie de fase, entonces el calor absorbido durante el cambio de estado es: Q = mL; la magnitud L depende de la naturaleza del cambio de fase, así como de las propiedades de la sustancia. El calor de fusión Lf se usa cuando el cambio de fase es de sólido a líquido, y el calor de vaporización Lv es el calor latente correspondiente al cambio de fase de líquido a gas. En cada caso para los cambios de fase en sentido opuesto se tiene calor de solidi…cación y calor de condensación; L se mide en J/kg. Transferencia de calor. Es importante saber con que rapidez se trans…ere el calor entre el sistema y sus alrededores y conocer los mecanismos de transferencia de calor. Radiación. Todos los cuerpos irradian energía continuamente en la forma de ondas electromagnéticas y la rapidez con la cual un cuerpo emite energía radiante esta dada por la ley de Stefan. Convección. Es un proceso de transferencia de calor en el cual la sustancia calentada se mueve de un lugar a otro. Por ejemplo si una capa de aire o agua se calienta su densidad disminuye, se expande y se eleva, esta masa caliente trans…ere calor al medio circundante por convección. Puede ser natural o forzada (por ejemplo aire caliente movido por un ventilador). Conducción. La ley fenomenológica que rige la conducción de calor fue prpuesta por J. B. Fourier (1822). En este proceso la transferencia de calor se produce a escala atómica como un intercambio de energía cinética entre las moléculas, donde las partículas menos energéticas ganan energía al chocar con las más energéticas. La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor. Se ha demostrado empíricamente que si tenemos dos placas de la misma área A cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes temperaturas T1 y T2 , con T2 > T1 y separadas por una pequeña distancia h, se encuentra que el calor Q transferido en un tiempo t ‡uye del extremo caliente al frío. La rapidez de transferencia de calor Q= t esta dada por Q (AjT2 T1 j)=h t Si se llama H al calor transferido por unidad de tiempo (W) y se usa para repreQ sentar , si se toma cambios in…nitesimales, obtenemos la que se conoce como t la ley de conducción de calor @Q @T = kA @t @x k es el coe…ciente de conductividad térmica del material, magnitud que representa la capacidad con la cual la sustancia conduce calor y produce la consiguiente variación @T de temperatura; es el gradiente de temperatura. El signo menos indica que la @x conducción de calor es en la dirección decreciente de temperatura. Un problema de Ingeniería. Se tiene un alambre homogeneo de longitud l, 0 s l, el lado izquierdo (s = 0) esta aislado térmicamente, en el lado derecho (1.12)

H=

1. M ODELOS

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(s = l) ocurre un intercambio de calor con el medio externo y hay una fuente calori…ca; conocemos la distribución de temperatura en el momento inicial t = 0. El problema de Ingeniería consiste en controlar la temperatura del medio externo y la densidad de la fuente de calor, de tal forma que en el momento T > 0 la distribución de temperatura se haga lo más proximo a una temperatura deseada. Intentemos construir un MM que nos permita resolver este problema. Consideremos el alambre de sección transversal uniforme, orientada de tal manera que el eje x contenga el eje del alambre (ver …gura); designemos los extremos por x = 0 , x = L. Supondremos que los lados del alambre están perfectamente aislados de tal manera que no pasa calor a través de ellos, y que la distribución de temperatura T depende únicamente de la posición sobre el eje x y del tiempo t , y no de las coordenadas laterales y; z; esto es T (x; t) es función sólo de las variables x; t. En otras palabras suponemos que la temperatura permanece constante sobre cualquier sección transversal de la barra; esta hipótesis es generalmente satisfactoria cuando las dimensiones laterales del alambre son pequeñas comparadas con su longitud. Hallemos la ecuación que debe satisfacer la función T (x; t): Considérese un elemento de la barra entre las secciones transversales x = x0 ; x = x0 + x: La cantidad de calor de izquierda a derecha a través de la sección transversal x = x0 , es Q(x0 ; t) = kATx (x0 ; t); de la misma manera la cantidad de calor de izquierda a derecha a través de la sección transversal x = x0 + x está dada por Q(x0 +

x; t) =

y la cantidad de calor en (x0 ; x0 + Q = kA[Tx (x0 +

kATx (x0 +

x; t);

x) es x; t)

Tx (x0 ; t)]

La cantidad de calor que se acumula en un cuerpo es Q = cm T = c V

T

donde c es el calor especí…co(cantidad de calor(en calorias) necesario para elevar 1 grado la temperatura de 1 gramo de material), m la masa del cuerpo, su densidad y V el volumen (area, longitud). Si la variación de temperatura tiene una magnitud diferente en distintas partes de la barra, entonces Z x0 + x Q= cpA T dx x0

Como en el alambre hay una fuente (surge o se absorvee calor); la emisión de calor la podemos caracterizar por la densidad de las fuentes térmicas F (x; t) en el punto x en el momento t. Como resultado de la acción de estas fuentes en el intervalo (x0 ; x0 + x) durante un intervalo de tiempo (t; t + t) ; se emitirá una

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2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

cantidad de calor dQ = AF (x; t)dxdt , o en forma integral Z t2 Z x2 F (x; t)dxdt Q=A x1

t1

Según la ecuación del balance de calor en (x1 = x0 ; x2 = x0 + x) durante (t1 ; t2 ) obtenemos: Z t2 Z x2 Z t2 F (x; t)dxdt [kTx (x0 + x; t) kTx (x0 ; t)]dt + t1 x2

=

Z

x1

c [T (x; t2 )

t1

T (x; t1 )]dx

x1

que es la ecuación del calor en forma integral. Para obtener la ecuación de la conducción del calor en forma diferencial, supongamos que T (x; t) posee derivadas continuas Txx ; Tt ; aplicando el teorema del valor medio tenemos @ @T @T (1.13) (k ) + F (x; t) = c @x @x @t Como nuestro alambre es homogénea entonces k; c; p se pueden considerar constantes y la ecuación se escribe comunmente ut = a2 uxx + f (x; t)

(1.14)

donde a2 = k=cp.( p se conoce como la difusividad del material) OBSERVACION. La densidad de las fuentes de calor pueden depender de la temperatura. En el caso de un intercambio térmico con el medio, que se somete a la ley de Newton, la cantidad de calor que pierde (osea la super…cie de la barra no esta aislada) la barra es igual a. F0 = h(T

)

donde (x; t) es la temperatura del medio, y h es el coe…ciente de intercambio térmico, De esta manera, la densidad de las fuentes calorí…cas en el punto x en el momento t es igual a F = F1 (x; t)

F0 (x; t)

donde F es la densidad de las otras fuentes de calor. Entonces obtenemos Tt = a2 Txx

(1.15) donde

T + f (x; t)

= h=cp , f (x; t) =

(x; t) + F1 (x; t)=cp

Planteamiento de las Condiciones Iniciales y de Frontera (Contorno) Para obtener una solución única de la ecuación de conducción de calor, es necesario agregar condiciones iniciales y de frontera. La condición inicial consiste en dar los valores de la función T (x; t) en el momento inicial t0 . Respecto a las condiciones de frontera, estudiaremos tres tipos:

1. M ODELOS

29

1. En el extremo del alamabre x = 0 se da la temperatura T (0; t) = g1 (t), donde g1 (t) es una función dada en cierto segmento (0; to ), siendo to el intervalo de tiempo durante el cual se estudia el proceso. 2. En el extremo x = L se da el valor de la derivada @T (L; t) = g2 (t) @x A esta condición llegamos si se da el ‡ujo térmico Q(L; t) que pasa por la sección del extremo de la barra @T (L; t) Q(L; t) = k @x @T o (L; t) = 1=kQ(L; t) = g2 (t) @x 3. En el extremo x = L (x = 0) está dada una relación lineal entre la derivada y la función @T (L; t) = [T (L; t) (t)] @x Esta condición de frontera corresponde a un intercambio térmico de acuerdo con la ley de Newton en la super…cie del cuerpo con el medio ambiente, cuya temperatura ( es conocida). Utilizando las dos expresiones del ‡ujo térmico que sale por el corte x = L(x = 0) @T Q = h(T ) ; Q= k @x obtenemos @T h(T )= k ; @x de esta forma obtenemos @T (L; t) = [T (L; t) (t)] @x donde = h=k es el coe…ciente de intercambio térmico. Para x = 0, la condición será @T (0; t) = [T (L; t) (t)] @x Análogamente existen otros tipos de condiciones de frontera, por ejemplo, @T @T =k h(T U0 ); @t @x donde c1 es la capacidad calorí…ca, U0 la temperatura del medio exterior. c1

Si el medio no es homogéneo, y los coe…cientes de la ecuación son funciones discontinuas en el intervalo (0; L) en el cual se busca la solución del problema, se particiona por los puntos de discontinuidad de los coe…cientes, de tal manera que en cada subintervalo la función T satisfaga la ecuación de conducción calor, y en las fronteras las condiciones de conjugación. En el caso más simple, estas condiciones consisten en la continuidad de la temperatura y del ‡ujo térmico:

k(x0

T (x0 @T 0) (x0 @x

0; t)

= T (x0 + 0; t) @T 0; t) = k(x0 + 0) (x0 + 0; t): @x

30

2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

La formulación matemática de nuestro problema quedaría entonces de la siguiente forma: Z l jT (x; to ; u) y(x)j2 dx J(T ) = 0

Tt (x; t) = a2 Tss (x; t) + f (x; t) Q = f0 < x < l; 0 < t Ts (0; t) = 0 0 < t to Ts (l; t) = [ (t) T (l; t)] 0 x l T (x; 0) = (x) 0 x l

to g

Se supone que u = ( (t); f (s; t)) es el control, el cual pertenece a cierto conjunto U . Como por ejemplo, las funciones (t); f (x; t) son integrables al cuadrado en [0; to ] y Q respectivamente. ECUACION DE LA DIFUSION Si el medio está lleno de gas de modo no uniforme, tiene lugar la difusión de éste, de los lugares de mayor concentración a los de menor concentración. Este mismo fenómeno tiene lugar en las soluciones, si la concentración de la sustancia diluida en el volumen no es constante. El proceso de difusión en un tubo vacío, o en un tubo lleno de un medio poroso , suponiendo que en todo momento de tiempo la concentración del gas ( de la solución) es igual en cada sección, se describe por la ecuación @ @U @U (D )=c (1.16) @x @x @t donde D es el coe…ciente de difusión , y c(x) el coe…ciente de porosidad; U (x; t) es la concentración en el corte x en el momento t. PROPAGACIÒN DE CALOR EN EL ESPACIO Consideremos un cuerpo formado por cierto material que ocupa un dominio acotado en tres dimensiones D, con frontera , tal como se ilustra en la …gura 1. Entendemos el calor como una forma de energía asociada a la agitación térmica de las moleculas del material. Nuestro objetivo es describir matemáticamente el proceso por el que el cual se distribuye espacialmente en D y evoluciona a lo largo del tiempo. Concretamente, a partir de leyes fìsicas, vamos a obtener una ecuación en derivadas parciales. Para ello, durante un intervalo arbitrario de tiempo [t1 ; t2 ], estudiaremos un elemento arbitrario en D con volumen V y super…cie exterior S y cuyos puntos se representan por las coordenadas (x; y; z). En este elemento suponemos que el calor es protagonista de tres procesos: producción, almacenamiento y transporte. …gura 1 Estos procesos están ligados entre sí por el siguiente principio de conservación:

(1.17)

donde

QP = QA + QT

1. M ODELOS

31

QP = Calor producido en V en [t1 ; t2 ] QA = Calor almacenado en V en [t1 ; t2 ] QT = Calor transportado a tráves de S en [t1 ; t2 ] Representando matemáticamente cada uno de estos procesos, la ecuación (1) nos llevará a una ecuación en derivadas parciales, como veremos a continuación. Producción de calor: Suponemos la existencia de una función f (x; y; z; t) que representa el calor neto producido por unidad de volumen y unidad de tiempo. Sì f > 0 se tiene un aumento de calorR (producción propiamente dicha); f < 0 signi…ca disipaciòn de calor. La integral v f (x; y; z; t)dxdydz describe el calor producido Rt2 por unidad de tiempo en el instante t en el volumen V mientras que f (x; y; z; t)dt t1

da cuenta del calor producido en un punto (x; y; z) por unidad de volumen en el intervalo [t1 ; t2 ]. Consecuentemente, el calor total producido en el volumen V en [t1 ; t2 ] viene dado por:

QP =

Zt2 Z

t1

f (x; y; z; t)dxdydzdt

v

Almacenamiento de calor: Sea e(x; y; z; t) una función que representa la densidad de calor instantánea en cada punto, es decir la cantidad de calor por unidad de volumen. La capacidad de almacenamiento está ligada a la posibilidad de variar esta densidad a lo largo del tiempo, de manera que el calor almacenado en V en el intervalo [t1 ; t2 ] se expresa en la forma:

QA = =

Z

[e(x; y; z; t2 )

v Zt2 Z

t1

v

e(x; y; z; t1 )] dxdydz =

@e (x; y; z; t)dxdydzdt @t

Transporte de calor: El transporte supone un ‡ujo en alguna dirección. Para cuanti…carlo se introduce el vector de ‡ujo que es el campo vectorial cuyas componentes en la base cartesiana fi; j; kg son (x; y; z; t) = 1 (x; y; z; t)i + 2 (x; y; z; t)j + 3 (x; y; z; t)k p 2 + 2 + 2 representa la cantidad de calor que se transSu modulo j j = 3 1 2 porta por unidad de área y de tiempo. Para expresar la cantidad de calor que atraviesa la super…cie S, consideremos en cualquiera de sus puntos (x; y; z), una base de vectores unitarios formada por el vector n en la dirección normal y los vectores t1 ; t2 en el plano tangente a S, tal como se ilustra en la …gura 2. Por convenio suele darse sentido positivo a n hacia el exterior de la super…cie. Con ello el ‡ujo en cualquier punto de S puede descomponerse en la forma: = n+

1 t1

+

2 t2

32

2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

Dado que 1 t1 + 2 t2 es un vector sobre el plano tangente, la componente =< ; n > en la dirección normal representa la cantidad de calor por unidad de área y de tiempo que sale por cada punto a traves de la super…cie S. Por tanto la cantidad de calor que atraviesa la super…cie S en [t1 ; t2 ] es QT =

Rt2 R

t1

s

<

; n > dsdt =

Rt2 R

t1

s

div dxdydzdt (Donde se ha utilizado el

teorema de la divergencia.). Con ello la ecuación de conservación puede escribirse en la forma Zt2 Z

t1

s

f

@e @t

div

dxdydzdt = 0

Aquí V representa un volumen arbitrario en (Gamma) y [t1 ; t2 ] es un segmento arbitrario. Por tanto, en virtud de la continuidad del integrando, tenemos que f @e div = 0 en todos los puntos de y en cualquier instante t > t0 , siendo @t t0 un instante inicial dado. Por tanto podemos escribir

@e (x; y; z; t) + div (x; y; z; t) = f (x; y; z; t); 8(x; y; z) 2 ; 8t > 0 @t Esta expresión es una ecuación en derivadas parciales, pero en ella aparecen dos funciones desconocidas e y . Para que la ecuación tenga utilidad practica es necesaario reducir las dos incógnitas a una sola. Esto requiere profundizar mas en la modelación de los procesos de almacenamiento y de transporte. En ello juega papel esencial la temperatura. Calor almacenado y temperatura: Estudios experimentales han llevado a aceptar que la cantidad de calor almacenada depende del tipo de material, de la distribuciòn de su masa y se ajusta con su…ciente precisión a la siguiente expresión: (1.18)

e(x; y; z; t) = (x; y; z; t)c(x; y; z; t)u(x; y; z; t)

donde > 0 es la densidad (masa por unidad de volumen), c > 0 es el calor especi…co, qu re‡eja la capacidad del material para acumular calor, y u es la temperatura. Consideremos que y c no dependen de t, lo que supone que las propiedades del material no se alteran con el proceso a lo largo del tiempo. En tal caso, el almacenamiento de calor es directamente proporcional a la variación de la temperatura, es decir @e @u (x; y; z; t) = (x; y; z; )c(x; y; z) (x; y; z; t) (1.19) @t @t Transporte de calor(conducciòn) y temperatura: Como se ha mencionado anteriormente, el calor esta asociado a la energía del movimiento molecular. Con esta óptica, el transporte del calor puede verse como una transferencia de energía entre moléculas. Existen dos mecanismos fundamentales para esta transferencia: conducción, en que el calor se trans…ere por el contacto entre moléculas vecinas y

1. M ODELOS

33

por convecciòn, en que el calor se transporta por el movimiento de las mol´rculas desde una región a otra. Aquí vamos a considerar el transporte por conducción. Este proceso está descrito por la ley de Fourier, que relaciona el vector de ‡ujo con la temperatura en la forma (x; y; z; t) =

K(x; y; z)ru(x; y; z; t)

donde K es la matriz de conductividad térmica, simétrica y con coe…cientes kij (x; y; z) > 0, y ru = (ux ; uy ; uz )T es el vector gradiente de temperatura. Màs explìcitamente podemos escribir

=

Kru =

0

1 k11 ux + k12 uy + k13 uz @ k12 ux + k22 uy + k23 uz A k13 ux + k23 uy + k33 uz

Los coe…cientes kij dan cuenta de la facilidad del material para conducir el caloe en las tres dimensiones del espacio proporcionalmente a las variaciones de temperatura ux ; uy ; uz . El signo negativo indica que el sentido del transporte siempre viene dado por un ‡ujo hacia puntos de menor temperatura. Las expresiones () y () son dos ecuaciones constitutivas que nos han permitido expresar dos parámetros caracteristicos del material, como son el calor especi…có c, la densidad y la conductividad téèrmica K. De esta forma la ecuación ( ) queda con la temperatura como única función incógnita en la forma (1.20)

(x; y; z)c(x; y; z)ut (x; y; z; t)

div [K(x; y; z)ru(x; y; z; t)] = f (x; y; z; t)

Esta es la llamada ecuación del calor. Introduciendo ciertas hipótesis, pueden obtenerse formas simpli…cadas de la ecuación anterior ( ). Por ejemplo, si el material es homogéneo, sus parámetros ; c; k son iguales en todo el dominio y la ecuación ( ) se reduce a la siguiente forma con coe…cientes constantes: (1.21)

cut

[k11 uxx + k22 uyy + k33 uzz + 2k12 uxy + 2k13 uxz + 2k23 uyz ] = f

Suponiendo que la matriz de conductividad térmica sea diagonal, la ecuación ( ) queda en la forma (1.22)

cut

[(k11 )x ux + (k22 )y uy + (k33 )z uz ]

[k11 uxx + k22 uyy + k33 uzz ] = f

El carácter general diagonal corresponde a suponer que la conductividad tiene los ejes x; y; z como direcciones privilegiadas, en el sentido de que el ‡ujo en la dirección x depende únicamente de la variación de la temperatura en esta direcciòn (ux) y lo mismo ocurre en las otras dos direcciones. Si el material es isótropo, la conductividad es la misma en las tres direcciones y se caracteriza por una función escalar k. Asì K(x; y; z) = k(x; y; z)I donde I es la matriz identidad, y la ecuación toma la forma cut

[kx ux + ky uy + kz uz ]

k [uxx + uyy + uzz ] = f

34

2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

Si el material es isótropo y homogeneo, esta ecuación se reduce a la forma más sencilla con coe…cientes constantes (1.23)

cut

kr2 u = f (x; y; z; t)

Condiciones iniciales y condiciones de contorno(frontera). La ecuación ( ) nos da una herramienta par describir la evolución de la temperatura en el interior de un cierto dominio durante un intervalo de tiempo. Al resolver la ecuación se obtienen in…nitas soluciones, lo cual es inaceptable si se pretende disponer de un modelo que describa una situaciòn práctica sin ambiguedades. La ecuación diferencial ha sido obtenida a partir de una representaciòn matamática de los procesos de producciòn, almacenamiento y conducción del calor. Estos procesos son internos en el sistema objeto de estudio , no dependiendo de su interacción con el medio exterior. Además no tienen memoria, en el sentido de que no dependen de la historia temporal que haya tenido el sistema antes del intervalo en el que queramos estudiar su evolución. Si se quiere determinar completamente la distribuciòn de la temperatura en a partir de un cierto instante inicial, es necesario incorporar a la ecuaciòn diferencial ( ) dos tipos de condiciones: condiciones iniciales, que imponen un estado conocido del sistema en un instante inicial t0 , y condiciones de contorno, que …jan ciertas condiciones en la frontera del dominio. Condiciones iniciales. La presencia de una derivad temporal de primer orden en la ecuaciòn ( ) hace necesario especi…car la distribución inicial de la temperatura, es decir (1.24)

u(x; y; z; t0 ) = g(x; y; z);

(x; y; z) 2

donde g es una funciòn dada. Condiciones de contorno. Existen distintas situaciones fìsicas que pueden traducirse en condiciones en la frontera del dominio. Vamos a ver tres casos de los que se presentan habitualmente. Temperatura prescrita: La situaciòn más sencilla consiste en mantener la temperatura de los puntos de la frontera en unos valores dados, lo que puede expresarse en la forma u(x; y; z; t0 ) = h(x; y; z; t); (x; y; z) 2 ; t > t0 como caso especial puede considerarse una temperatura constante. En particualar puede ser h = 0, en cuyo caso se dice que la condiciòn es homogénea. Flujo de calor prescrito: El ‡ujo de calor a tráves de un punto de la frontera en la dirección normal n es, según la ley de Fourier (1.25)

< ; n >=

< Kru; n) =

< ru; Kn >=

@u @nk

@u donde @n es la derivada direccional en la dirección de…nida por el vector nk = k Kn. Podemos considerar la existencia de un mecanismo capaz de regular este ‡ujo en los puntos de la frontera y mantenerlo en unos valores deseados. Esto puede expresarse en la forma @u (1.26) (x; y; z; t) = h0 (x; y; z; t); (x; y; z) 2 ; t > t0 @n donde h0 es una función dada.

1. M ODELOS

35

Si se considera el caso de una material isótropo con matriz de conductividad diagonal K = kl, la expresión del ‡ujo ( ) se modi…ca en la forma (1.27)

< ; n >=

k < ru; n) =

k

@u @n

Considerando h = h0 =k la condición () queda ahora en la forma

(1.28)

@u (x; y; z; t) = h(x; y; z; t); @n

(x; y; z) 2 ; t > t0

En particular los casos h0 = 0 y h = 0 signi…can que no hay ‡ujo a través del contorno, por lo que el dominio está aislado térmicamente (condición de contorno homogénea). Ejercicio. Investigar para el caso en que existe un intercambio de calor con el medio ambiente. MODELOS MATEMÁTICOS PARA LOS PROCESOS DE SORCIÓN DINÁMICA DE UNA SOLA COMPONENTE. Demos la descripción del modelo matemático de sorción dinámica de una sola componente. Supongamos que a través de una columna cilíndrica de sección transversal constante (el eje del cual lo tomamos como el eje de coordenada x), llena uniformemente de granos de un sorbente (con coe…ciente de porosidad igual a 2 (0; 1)), se hace pasar un gas con velocidad constante igual bajo temperatura constante. La concentración del gas en la entrada de la columna es igual a (t). Representemos por u(x; t) la concentración del gas en el ‡ujo, calculado en un volumen unitario del espacio libre, por a(x; t) la concentración del gas absorbido, calculado sobre el volumen unitario de la columna. Consideremos un elemento arbitrario de la columna acotado por las secciones transversales x = x1 y x = x2 . El ‡ujo de la sustancia a través de estas secciones se determina de acuerdo a la difusión conveccional y longitudinal (dispersión). La cantidad de sustancia que pasa a través de las secciones tranversales de la columna en el tiempo t = t2 t1 se da por la siguiente expresión Z t2 (1.29) ( u + j)jx=xi Sdt i = 1; 2; t1

donde j = j(x; t) es el ‡ujo difusional longitudinal, S es la super…cie de la sección de la columna. En este mismo intervalo de tiempo t la variación de la cantidad de sustancia en el volumen es igual Z x2 Z x2 (1.30) ( u + a)jt=t2 Sdx ( u + a)jt=t1 Sdx x1

x1

36

2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

De (39) y (40) se desprende la ecuación del balance de masas en forma integral Z t2 Z t2 Z x2 [( u + j)jx=x1 ( u + j)jx=x2 ]Sdt = [( u + a)jt=t2 t1 t1 x1 Z x2 (1.31) ( u + a)jt=t1 ]Sdx x1

Si las funciones que aparecen en (41) y sus correspondientes derivadas están de…nidas y son continuas sobre el conjunto (x1 ; x2 ) (t1 ; t2 ) entonces dividiendo ambas partes por S t x y luego tendiendo x y t hacia cero, obtenemos la ecuación de balance en forma diferencial (1.32)

( u)x + jx + ( u + a)t = 0

Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad del ‡ujo el cual en este tiene la forma x = 0, obtenemos en forma de…nitiva (1.33)

ux + ut + at = jx

Tanto la velocidad de sorción de la sustancia at por el sorbente como el ‡ujo longitudinal de difusión externa j que aparecen en la ecuación deben ser dados en forma independiente (fenomenológicamente) a partir de razonamientos suplementarios. El caracter de variación de at se determina de la ecuación de la cinética. Si la velocidad de variación de la concentración en el sorbente se determina por las condiciones de transmisión de la masa hacia la super…cie del sorbente entonces se dice que hay difusión externa de la sorción. En este caso se supone que la nivelación de la concentración a través del grano ocurre de manera instántanea. Nosotros consideraremos la ecuación de cinética at = (u

u ); (44)

donde > 0 es el coe…ciente cinético, u es la concentración en el ‡ujo sobre la super…cie del grano, la cual se encuentra en equilibrio con la concentración de la sustancia absorbida, esto es (1.34)

a = '(u )

La relación (45) se denomina la ecuación de la isoterma de sorción. En adelante consideraremos que existe ' 1 = F . Igualmente con (44) consideremos también la ecuación de la cinética (1.35) (1.36)

at a

= (a = '(u)

a);

la cual condicionalmente se puede llamar difusión interna ya que en la ecuación (46) …guran solo las concentraciones en el grano del sorbente. Aqui a es la concentración super…cial en el sorbente, la cual se encuentra en equilibrio con la concentración de la sustancia en el ‡ujo. Lo que se re…ere al ‡ujo difusional longitudinal para su descripción frecuentemente se emplea una aproximación basado en la ley de Fick. (1.37)

j(x; t) =

Dux ;

D > 0:

1. M ODELOS

37

El signo menos indica que la difusión tiene lugar en la dirección de concentración decreciente. El factor de proporcionalidad D se llama coe…ciente de difusión , que no es estrictamente una constante porque puede depender de la concentración. Cuando se considera que la velocidad es lo su…cientemente grande y el proceso de difusión longitudinal no juega un papel importante en la transmisión de masa, en este caso se hace j 0. Si no se toma en cuenta ninguno de los factores cinéticos, esto es a = '(u), entonces se obtiene un sistema de ecuaciones, el cual corresponde a la sorción dinámica en equilibrio. (1.38)

ux + ut + at = 0; a = '(u):

CORRIENTE POTENCIAL DE UN LIQUIDO, POTENCIAL DE UNA CORRIENTE ESTACIONARIA Y DE UN CAMPO ELECTROSTATICO 1. Modelo de Laplace. La ecuación de Laplace se presenta en relación con fuerzas gravitacionales. En los cursos de cálculo de varias variables se discute el problema de la atración de dos cuerpos: Si una partícula A de masa M está en un punto (x1 ; y1 ; z1 ) y otra partícula B de masa m se encuentra en un punto (x; y; z); entonces A atrae B y la fuerza gravitacional es el gradiente de la función escalar u(x; y; z)

=

r

=

c ; r p

c = GmM; (x

x1 )2 + (y

y1 )2 + (z

z1 )2

esta función de x; y; z se llama potencial del campo gravitacional y satisface la ecuación de Laplace, esto es la función u(r) = 1r satisface u = 0 , en todas partes excepto del punto r = 0 donde se vuelve in…nita. Si consideramos a como la densidad de masa distribuida en toda una región R del espacio, entonces el potencial u en un punto (x; y; z) no ocupado por la masa se puede escribir como ZZZ 0 f u(x; y; z) = k dxdy dz r Salvo el factor de proporcionalidad, ésta coincide con el campo de una carga puntual e, ubicada en el origen de coordenadas. El potencial de este campo es u = re : 2. Supongamos que dentro de cierto volumen T , de frontera S , tiene lugar la corriente estacionaria de un líquido incompresible, que se caracteriza por la velocidad V (x; y; z). Si la corriente del líquido es irrotacional, la velocidad V es un vector potencial, es decir, V = r u siendo u una función escalar llamada potencial de la velocidad. Si no hay fuentes, divV = 0 ;por lo tanto div(ru) = 0. Es decir, el potencial de la velocidad satisface la ecuación de Laplace. Las ecuaciones de maxwell un medio homogèneo conductor està dada por: @H r:E = " , r E = @t r:H = 0, r H = J + " @E @t Demuestre que J y deben satisfacer la ley de conservaciòn r:J + @@t = 0. En un medio conductor se considera con frecuencia que la corriente J y el campo eléctrico estan relacionados, por lo tanto la ley OHM J = G:E, en donde G es la conductividad eléctrica, y se considera constante. Muestre que un medio

38

2.

M ODELACIÓN M ATEM ÁTICA

sin carga = 0 las tres componentes de E y H satisfacen la ecuaciòn de onda amortiguada c2 r2 = tt + G" t , donde c = ( ")2 Ejemplo: Una forma vectorial dependiente del tiempo de las ecuaciones de Maxwell para el vector de campo eléctrico E("; t) y el vector de campo magnético H(r; t), en un medio homogéneo no conductor (J = 0) libre de fuentes ( = 0) es @H a) r E = @t @H b) r H = " @t c) r:E = r:H = 0 En donde la permeabilidad magnètica y la permitividad eléctrica " se consideran constantes. Mostremos que las tres componentes cartesianas de E y de H satisfacen ecuaciones de onda; Tomemos el rotacional de la ecuación (a) H) = r (r E) = r:( r:E) = r2 E en donde r2 es un vector cuyas componentes cartesianas son el Laplaciano de las componentes correspondientes de E, es decir r2 E = (r2 E1 ; r2 E2 ; r2 E3 ); en donde E = (E1 ; E2 ; E3 ) ahora, por las ecuaciones (b) y (c), anteriores, puede escribirse así; @ @t (r

2

1

E c2 r2 E = @@+2 , en donde c = ( ") 2 La misma ecuación vectorial puede obtenerse para H tomando primero el rotacional de la ecuación (b), estas ecuaciones con ecuaciones de onda con la interesante propiedad de que la rapidez de onda c es igual para ambas ecuaciones E y H. PROBLEMAS BIEN PUESTOS Y MAL PUESTOS. El concepto de Planteamiento Correcto de problemas matemáticos fue formulado por Hadamar para el analísis de diferentes problemas de la …síca matemática. La solución de cualquier problema consiste en la de…nición del elemento z (solución del problema) dado ciertos datos de entrada, y se puede describir asi:

(1.39)

Az = u

donde A es un operador que actua de los espacios Z y U ( espacios lineales normados). El problema ( ) se dice que esta BIEN PUESTO (Planteado Correctamente, bien propuesto, bien colocado) en la pareja de espacios Z y U si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Para cada u 2 U la solución del problema existe. 2. Para cada u 2 U la solución del problema es única. 3. La solución del problema depende continuamente de los datos de entrada (condición de estabilidad). Los problemas que no satisfacen estas condiciones se denominan Problemas Mal Puestos (Problemas Colocados No-Correctamente, Problemas Mal Planteados). UN TIP. Por lo tanto el problema dado por la ecuación ( ) es bien puesto siempre y cuando en U este de…nido el operador A 1 , el inverso de A, y sea continuo en U .

1. M ODELOS

39

EJEMPLO. Consideremos el siguiente ejemplo que describe la difusión de un ‡uido a través de una columna lo su…cientemente delgada de longitud 1. (1.40) (1.41)

0

0

a(x)u (x) 0

a(0)u (0)

= f (x); = bo ;

0 0 por ser S un espacio prehilbertiano 1 luego kxk = (hx; xi) 2 > 0 por de…nición se toma el valor positivo de la raíz. 1 1 Si x = 0; se tiene kxk = (hx; xi) 2 = (h0; 0i) 2 = 0: Por la tanto de lo anterior se tiene que kxk 0 para todo x 2 S: (N2 ) De esta parte de la demostración falta demostrar que si kxk = 0; entonces x = 0: 1 Si tenemos que kxk = 0; por de…nición se tiene (hx; xi) 2 = 0: hx; xi = 0; luego x = 0 por ser S un espacio prehilbertiano. (N3 ) Sea cualquier escalar, entonces 1

1

1

k xk = (h x; xi) 2 = 2 hx; xi 2 = j j (hx; xi) 2 = j j kxk : (N4 ) Para demostrar la desigualdad del triángulo (N4 ) es necesario recurrir a la desigualdad de Schwarz (jhx; yij kxk kyk). Claramente Re hx; yi jhx; yij y de la desigualdad de Schwarz se tiene jhx; yij kxk kyk luego de lo anterior se tiene que Re hx; yi kxk kyk : 2 kx + yk = hx + y; x + yi 2 2 = kxk + hx; yi + hy; xi + kyk 2 2 = kxk + 2 Re hx; yi + kyk 2 2 kxk + 2 kxk kyk + kyk = (kxk + kyk)2 :

1. INTRODUCCIÓN

43

2

y por lo tanto kx + yk (kxk + kyk)2 de lo que se tiene kx + yk kxk + kyk terminando la demostración del teorema. La estructura del espacio de prehilbertiano, aunque rica , no permite tratar ciertos problemas de análisis en los cuales hay que recurrir a sucesiones. Para ello veremos a continuación otros conceptos que permiten enriquecer la estructura de espacios prehilbertianos. Sea X un espacio normado. Una sucesión fxn g de elementos de X se llama una sucesión de Cauchy, si para todo " > 0; existe un entero positivo N tal que kxm xn k < " para todo m; n N: Por otra parte, un subconjunto S de X se dice que es completo, si para toda sucesión de Cauchy fxn g de elementos xn 2 S; existe un elemento x 2 S tal que l m kxn xk = 0: En otras palabras, S es completo si toda suceción de Cauchy en S converge a un elemento perteneciente a S: Un espacio normado completo se llama espacio de Banach. Teniendo en cuenta que un espacio prehilbertiano es un espacio normado es natural dar la siguiente de…nición. Definición 2. El espacio prehilbertiano completo X se llama espacio de Hilbert. En otras palabras que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert signi…ca, que como espacio normado es un espacio de Banach. Ejemplo. En el espacio euclidiano E n = hRn ; i toda sucesión de Cauchy es convergente, lo que implica que E n es un espacio de Hilbert. En un espacio normado todo subespacio de dimensión …nita es completo. “Todo espacio normado (prehilbertiano) de dimensión …nita es un espacio de Banach (de Hilbert)”. 1.2.

Clasi…cación de la EDP.

Definición 3. Se llama ecuación en derivadas parciales con n variables independientes x = (x1 , x2 , x3 , ...., xn ), a una relación entre la función incógnita u(x1 ; x2 ; x3 ; ::::; xn ) y a sus derivadas parciales. O sea (1.1)

F (x1 ; x2 ; x3 ; ::::; xn ;

@u @ku @u )=0 ; ::::; ; ::: k 1 @x1 @xn @x1 :::::@xn kn

donde k1 + k2 + :::: + kn = k. El orden superior de la derivada parcial de la relación (1) se llama orden de la ecuación diferencial en derivadas parciales. Por ejemplo : F (x; y; u;

@u @u ; ) = 0 tiene orden uno @x @y

@2u @2u + 2 + f (x; y) = 0 tiene orden dos @x2 @y Las ecuaciones de segundo orden aparecen con frecuencia en los fenómenos físicos, es por esto que las estudiaremos con más detenimiento. Una ecuación de segundo orden con dos variables independientes es una relación de la forma :

44

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

@u @u @ 2 u @ 2 u @ 2 u ; , ; ; )=0 @x @y @x2 @y2 @x@y donde x; y son variables independientes. F (x; y; u;

La ecuación diferencial (1) se llama lineal con respecto a las derivadas de mayor orden, si ésta tiene la forma :

(1.2)

n X

i;j=1

aij (x)

@u @u @2u + F (X; U; ; :::; )=0 @xi @xj @x1 @xn

donde x = (x1 ; x2 ; x3 ; ::::; xn ) y se llama lineal si se puede escribir como :

(1.3)

n

n X

X @u @2u ai (x) aij (x) + + b(x)u = f (x) @x @x @x i j i i=1 i;j=1

PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Se llama ecuación en derivadas parciales con n variables independientes x = (x1 , x2 , x3 , ...., xn ), a una relación entre la función incógnita u(x1 ; x2 ; x3 ; ::::; xn ) y a sus derivadas parciales. O sea (1.4)

F (x1 ; x2 ; x3 ; ::::; xn ;

@u @u @ku )=0 ; ::::; ; ::: @x1 @xn @x1 k1 :::::@xn kn

donde k1 + k2 + :::: + kn = k. El orden superior de la derivada parcial de la relación (1) se llama orden de la ecuación diferencial en derivadas parciales. Por ejemplo : (1.5)

F (x; y; u;

@u @u ; )=0 @x @y

Investiguemos un poco sobre la solución de la EDP de primer orden (2). Supóngase que la función F (x; y; p1 ; p2 ) es diferenciable respecto a las variables p1 ; p2 en cierto conjunto G del espacio de variables x; y; u; p1 ; p2 y en este conjunto 2 X i=1

@F @pi

6= 0

La ecuación diferencial n X @u = b(x1 ; x2 ; :::; xn ; u) (1.6) ai (x1 ; x2 ; :::; xn ; u) @x i i=1 se denomina cuasi-lineal. Si en la EDP (3) los coe…cientes no dependen de u, entonces la ecuación se llama poli-lineal. La ecuación (3) puede ser escrita como (1.7)

(a; ru) = b;

1. INTRODUCCIÓN

45

donde ru es el gradiente de u; y (:; :) denota el producto escalar entre los vectores a = (a1 (x1 ; x2 ; :::; xn ; u); :::; an (x1 ; x2 ; :::; xn ; u)) y ru: Reescribiendo (3) a ; ru jaj

(1.8)

=

b ; jaj

la expresión es la derivada direccional de la función u respecto al vector a. Por lo tanto, la solución de la EDP será una función u cuya derivada en la dirección del b . vector a(x; u) en cada punto x es igual jaj 1.3.

Concepto de Características de una EDP. Consideremos la EDP

cuaislineal (1.9)

n X

ai (x1 ; x2 ; :::; xn ; u)

i=1

@u = b(x1 ; x2 ; :::; xn ; u) @xi

y sean las funciones ai (x; u), i = 1; 2; ::n, b(x; u) pertenecientes a la clase C 1 en cierta región abierta G del espacio de variables x; u y n X i=1

a2 (x; u) 6= 0

Supóngase que la solución u(x) esta de…nida en cierta región D del espacio de variables x; sea x = x( ) una curva que se encuentra en D: Entonces, considerando la solución sobre esta curva, obtenemos la función U ( ) = u(x( )): Elijamos la dx curva x = x( ) de tal manera que su vector tangente en cada punto sea igual d a a(x;U ( )); por consiguiente debe cumplirse las ecuaciones dxi = ai (x;U ( )); i = 1; 2; ::n d diferenciando la función U ( ) tenemos dU d n X @u (x( ):ai (x1 ( ); x2 ( ); :::; xn ( ); U ( )) @x i i=1

=

n X @u dxi (x( ): = @x d i i=1

= b((x( ); U ( ));

la última igualdad tiene lugar debido aq ue u(x) es solución de (3). Por consiguiente, la curva buscada x = x( ) en espacio x debe ser tal que las ecuaciones x = x( ); u = U ( ) de…nan una trayectoria del sistema de EDO dxi = ai (x; u); i = 1; 2; ::n d du (1.10) = b(x; u) d El sistema (6) recibe el nombre de sistema de características de la ED (3) y su trayectoria en el espacio de variables x;u ecuaciones de las características de la ED (3).

46

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Ejemplo. Para la ecuación lineal @u @u + =0 @x1 @x2 el sistema de características tiene dx1 d du d Por lo tanto, las características en x1 x2

la forma =

1;

=

0

dx2 = 1; d

este caso son lineas = =

+ c1 ; + c2 ; u = c

Consideremos ahora la ecuación cuasilineal @u @u +u =0 @x1 @x2 el sistema de características tiene la forma dx2 dx1 = 1; = u; d d du = 0 d Integrando tenemos x1 x2

= + c1 ; = c + c2 ; u = c:

Las características forman una familia de líneas paralelas a los planos x1 ; x2 : El problema de Cauchy pra una EDP de primer orden consiste: consideremos la ED n X @u ai (x1 ; x2 ; :::; xn ; u) (1.11) = b(x1 ; x2 ; :::; xn ; u) @xi i=1

Sea S: x =

( 1;

2 ; :: n 1 )

una super…cie regular de dimensión n

1 de clase @ (k = C ; ( una super…cie se denomina regular de clase C si, las funciones @ k 1; 2; ::n 1) son continuas y para cada valores …jos ( 1 ; 2 ; :: n 1 ) los vectores @ (k = 1; 2; ::n 1) son linealmente independientes) sin interesecciones consigo @ k misma en el espacio de varaibles x1 ; x2 ; ::xn : Sobre la super…cie S se de…ne la función uo ( 1 ; 2 ; :: n 1 ): Entonces de debe determinar (hallar) una función u(x) que satisfaga la ED (7) y que satisfaga la condición inicial 1

(1.12)

1

u( ( 1 ;

2 ; :: n 1 ))

= uo ( 1 ;

2 ; :: n 1 )

Consideremos el sigueinte ejemplo. Ejemplo. Resolver el problema de Cuachy x (1.13)

@u u @u + = u; (y > 0) @x 2y @y u(x; y) = y; S : x + y = 1

(ec.10)

1. INTRODUCCIÓN

47

Eligiendo 1 = s; escribimos la línea S de la forma x = s 1; y = s; y las ecuaciones x = s 1; y = s; u = s (condición inicial) determinan una curva en espacio x; y; u: Por lo tanto, el problema de Cuachy consiste en buscar una super…cie integral u = u(x; y) de la ecuación (10) que pase a través de la curva incial dada (1.14)

x=s

1; y = s; u = s

: Ahora puede demostrarse que cualquier característica de la ecuación (3) que pase a través de cualquier punto de S se encuentra en la super…cie integral buscada u = u(x; y):Así que pasaremos a través de cada punto de la super…cie S las características de la ecuación (10). Tomaremos el parámetro en las características de tal manera que para = 0 pase por los puntos de la super…cie S: Para nuestro ejemplo tenemosel sistema de características tiene la forma dx d du d

=

dy u = ; d 2y

x;

= u

resolviendo, tenemos (1.15)

x = c1 e

; y=

p

ce + c2 ; u = ce

La super…cie integral que da la solución del problema de Cauchy (10)-(11) esta formado por trozos de características que pasan para = 0 por la curva inicial (12). Haciendo en (13) = 0 y empleando (12) obtenemos las sigueintes relaciones p c1 = 1 s; c + c2 = s; c = s de aquí c2 = s2 s: Reemplzando en (13) los valores de c1 ; c2 obtenemos las solución del problema de Cauchy dada en la sigueinte forma parametrica p (1.16) x = (1 s)e ; y = se + s2 s; u = se Despejando los parámetros s; (1.17)

de (14) tenemos u=

y2 1

x

Es facil ver por simple reemplazo que la función (16) satisface el problema de Cauchy (10)-(11). 1.4.

Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. En el do-

minio n-dimensional D examinemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden en derivadas parciales,

(1.18)

n X

i;j=1

n

aij (x)

X @2u @u + ai (x) + b(x)u = f (x) @xi @xj i=1 @xi

donde los coe…cientes aij (x); i; j = 1; 2; :::; n son funciones de valores reales; la matriz A(x) = kaij (x)k; i; j = 1; 2; :::; n se considera simétrica, ya que es una matriz asociada a una forma cuadrática, y sus valores propios son reales con correspondientes vectores propios mutuamente ortogonales;

48

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Sea xo un punto que pertenece al dominio de de…nición de la ecuación (4). Evaluemos la matriz A en el punto xo . Asociemos a la ecuación (4) la siguiente forma cuadrática, Q(y1 ; y2 ; :::yn ) =

n X

ai;j yi yj

i;j=1

asi que A = A(xo ) es simetrica y sus valores propios son reales con correspondientes vectores propios mutuamente ortogonales (en caso contrario usamos el proceso de Gramm-Schmidt). Esta forma cuadrática Q se puede llevar a la forma canónica a través de una transformación lineal no singular. De este modo, los coe…cientes de la parte principal de la ecuación varían en forma análoga a los coe…cientes de una forma cuadrática bajo una transformación lineal. Designemos con n+ = n+ (x0 ) el número de valores propios ( (x0 )) positivos en un punto arbitrario x0 2 D; n = n (x0 ) el número de valores propios negativos en x0 y n0 = n0 (x0 ) el número de valores propios nulos en x0 . La ecuación (4) se denomina ecuación de tipo elíptico en x0 si n+ = n ó n = n. Una ecuación se llama elíptica en el conjunto D, si es elíptica en todo punto de D. La ecuación de Poisson : ux1 x1 + ux2 x2 = f (x1 ; x2 ); @2u ; es un ejemplo de este tipo de ecuaciones. Denotaremos @x21 de ahora en adelante la suma ux1 x1 + ux2 x2 como u: La ecuación (4) se denomina hiperbólica en Xx 2 D, si n+ = n 1, n = 1 ó n = n 1, n+ = 1; y es hiperbólica en D, si lo es en todo punto de D. Por ejemplo : donde ux1 x1 denota

@2u @2u + @x21 @x22

@2u = f (x1 ; x2 ; x3 ) @x23

La ecuación (4) se denomina parabólica en el punto x0 2 D, si n0 > 0; y es parabólica en D, si lo es en todo punto de D. Por ejemplo, @2u @2u + @x21 @x22

@u = f (x1 ; x2 ; x3 ) @x3

No necesariamente la ecuación es del mismo tipo en todos los puntos del dominio. Veamos ahora la forma de llevar una EDP a una forma mas simple, llamada forma canónica. Sea x = (x01 ; x02 ; :::; x0n ) un punto de D. Designemos mediante w = w(x) (wi = wi (x1 ; x2 ; ::::; xn ), i = 1; 2; ::::; n) una transformación que aplica cierta vecindad U (x0 ) en la vecindad V (w0 ), donde w0 = w(x0 ) y mediante x = x 1 (w) la @wi k es una matriz inverttransformación inversa. La matriz Jacobiana J(x) = k @xi ible, esto es jJ(x)j = 6 0. Designemos la función u(x 1 (w)) por u(w). De la regla de la cadena, uxi =

n X

k=1

uwk wkxi =

n X @u @wk @wk @xi

k=1

1. INTRODUCCIÓN

uxi xj =

n X

k;s=1

49

n

@ 2 u @wk @ws X @u @ 2 wk + @wk @ws @xi @xj @wk @xi @xj k=1

Después del cambio de variable la ecuación (4) toma la forma : n X

(1.19)

a ~ks [x

1

(w)]uwk ws = F (x

1

k;s=1

(w); u; r(u))

donde a ~ks =

n X

aij (x)

i;j=1

@wk @ws ; @xi @xj

y F es una función que no depende de las segundas derivadas de u. Consideremos la forma cuadrática n X aoij yi yj i;j=1

cuyos coe…cientes son iguales a los coe…cientes aij (xo ) = aoij : Haciendo sobre las varaibles y la tarsnformación lineal n X yi = aik zk i;k=1

se obtiene una nueva forma cuadrática n X

k;l=1

Pn

a ~okl

a ~okl zk zl

o i;j=1 aij yik yjl .

donde es igual a por tanto, los coe…cientes de la parte principal de la ecuación varían en forma análoga a los coe…cientes de una forma cuadrática bajo una transformación lineal. Así, las matrices A~ y A están ligadas por A~ = CAC , ambas matrices tendrán igual número de valores propios positivos, negativos y nulos [GROSMANN]. Esto signi…ca que en todo punto y 2 V , la ecuación (5) tendrá el mismo tipo de la ecuación (4). De esta forma la clasi…cación de las ecuaciones de segundo orden es invariable respecto a las transformaciones suaves biunívocas no singulares (la matriz inversa existe) de las variables independientes. Esta circunstancia la aprovechamos para simpli…car la ecuación (4 ). Ejemplo 1. Llevar a la forma canónica la siguiente ecuación : uxx + 2uxy + 2uyy + 4uyz + 5uzz = 0 A esta ecuación le corresponde la forma cuadrática Q = y12 + 2y1 y2 + 2y22 + 4y2 y3 + 5y32 Si tomamos la tranformación lineal w1 = y1 + y2 ; y1 = w1 y2 = w2

2w3

w2 = y2 + 2y3 ;

w3 = y 3

y2 = w1 + w2 + 2w3

w2 = y2 + 2w3 )

50

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

obtenemos la siguiente forma cuadrática en su forma canónica Q = w12 + w22 + w32 . Por lo tanto la transformación lineal no singular con matriz 2 3 1 1 2 4 0 1 2 5 0 0 1

lleva a la forma Q a su forma canónica Q = w12 + w22 + w32 . La matriz no singular que lleva a la ecuación diferencial a su forma canónica, es la matriz C 1 , 2 3 1 1 0 4 0 1 2 5 0 0 1 y la correspondiente transformación = x + y; = y + 2z; =z Empleando esta transformación y representando u(x; y; z) = v( ; ; ), encontramos uxx uyy uxy uyz

= v + v + 4v = v + v + 4v = v 4v + 2v = 2v + v

2v + 4v 4v ; 4v ; uzz = v + 4v 2v + 4v ;

Reemplazando las anteriores representaciones para las derivadas en la ecuación original, obtenemos v + v + v = 0: De esta manera, si la ecuación diferencial orriginal pertenece a cierto tipo en un punto xo , la ecuación la podemos, en este punto, reducir a la forma canónica correspondiente. Es de anotar que para n 3 la ecuación (4) solo se puede reducir a la forma canónica en una vecindad del punto xo . Si los coe…cientes de la ecuación (4) son constantes, al reducir la ecuación a su forma canónica en un punto xo , obtenemos una ecuación reducida a la forma canónica en toda la región de de…nición de la ecuación. Definición 4. Supóngase que la función y(x), x = (x1 ; x2 ; :::xn ) (n clase C 1 es tal que la super…cie y(x) = 0, el gradiente ry(x) 6= 0 y n X @y @y =0 (1.20) ai;j @x i @xj i;j=1

2) es de

A la super…cie y(x) se le llama super…cie característica de a ecuación (5), y la ecuación (7) se llama ecuación característica. Supongamos, que cada super…cie de la familia y(x) c = 0, a < c < b, es una característica de la ecuación (5). Ya que sobre cada característica el ry(x) 6= 0 entonces esta familia llena cierta región G (lo su…cientemente pequeña) a través de cada punto pasa una solo y solo una característica. Supóngase que y 2 C 2 (G), entonces si hacemos w1 (x) = y(x), entonces el coe…ciente a ~1;1 = 0 en la región G. Ahora si nosotros conocieramos k(k n) características (familias de características)

1. INTRODUCCIÓN

y1 (x) = c1 , y2 (x) = c2 ,...,yk (x) = ck tales que rang(

51

@yj (x) ) = k, x 2 G, entonces @xi

en la región G tendriamos a ~1;1 , a ~2;2 ,.... a ~k;k = 0. Es de anotar que para el caso n = 2 podemos determinar las características de tal manera que se puede determinar el tipo en toda uan región: Escribamos la ecuación (4) de la siguiente manera : @2u @2u @2u + 2B(x; y) + C(x; y) 2 + F1 (x; y; u; ux ; uy ) = 0 2 @x @x@y @y Introduzcamos la suguiente transformación : (1.21)

A(x; y)

= '(x; y) = (x; y) Lo anterior lo podemos escribir en términos de la transformación T de la forma T (x; y) = ( ; );

T (x; y) = ('(x; y); (x; y)) J( ; ) supónagse que T admite inversa , esto es 6= 0. J((x; y) Es natural plantearse la pregunta ¿Cómo escoger , , de modo que la ecuación en estas variables tenga una forma más sencilla? El primer paso consiste en transformar las derivadas a las nuevas variables ; . Al encontrar las derivadas ux ; uy ; uxx ; :: en función de u , u , u , u , u y sustituir en la ecuación (8), tenemos : 2 2 @2u ~ @ u + C~ @ u + F~ ( ; ; @u ; @u ; u) = 0 A~ 2 + 2B @ @ @ 2 @ @ @

donde: 2

(1.22)

~ ; ) A( ~ ; ) B( ~ ; ) C(

2

@ @ @ @ +C + 2B @x @x @y @y @ @ @ @ @ @ @ @ +B + +C = A @x @x @x @y @y @x @y @y = A

= A

@ @x

2

+ 2B

@ @ +C @x @y

@ @y

2

Ahora es facil ver que se cumple la siguiente igualdad ~2 B

A~C~ = (B 2

AC)

@ @ @x @y

@ @ @y @x

2

De aquí vemos que la transformación T no cambia el tipo de ecuación. Escojamos las variables , de modo que se cumpla una y solo una de las condiciones siguientes : 1: 2: 3:

A~ = 0; A~ = 0; ~ A~ = C;

C~ = 0 ~=0 B ~=0 B

52

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Consideremos la ecuación AZx2 + 2BZx Zy + CZy2 = 0

(1.23)

Observe que esta ecuación es idéntica a las ecuaciones (7). Sea Z = '(x; y), alguna solución particular de (9). Si hacemos = '(x; y), entonces A~ = 0. De esta manera el problema citado sobre la elección de las nuevas variables independientes está ligado con la solución de (9). Podemos demostrar que si: 1. Si Z = '(x; y) es una solución particular de la ecuación (9), la relación '(x; y) = C es una integral general de la ecuación diferencial ordinaria. A(dy)2

(1.24)

2Bdxdy + C(dx)2 = 0

2. Si '(x; y) = C es una integral general de la ecuación (10), la función Z = '(x; y) satisface la ecuación (9). La ecuación (10) se llama ecuación característica para la ecuación (8). Las integrales de (10) se denominan integrales características. La ecuación (10) se divide en dos ecuaciones : p B + (B2 AC) dy = dx p A (B2 AC) B dy (1.25) = dx A El signo de la expresión subradical determina el tipo de la ecuación (8). Si en el punto (x0 ; y0 ) : B2 B2 B2

AC AC AC

> 0 La ecuación es de tipo hiperbólico < 0 La ecuación es de tipo elíptico = 0 La ecuación es de tipo parabólico

En adelante consideraremos regiones tales que en todos sus puntos la ecuación tenga el mismo tipo. Para la ecuación de tipo hiperbólico B 2 AC > 0, (10) tiene dos soluciones reales y diferentes : '(x; y) = C y (x; y) = C, determinan familias reales de características. Haciendo = '(x; y) , = (x; y) , reducimos la ecuación (8), después de dividir entre el coe…ciente de u , a la forma : u = ( ; ; u; u ; u ) esta es la llamada forma canónica de las ecuaciones de tipo hiperbólico. A menudo se utiliza la segunda forma canónica; si hacemos : = + = + = = 2 2 La ecuación diferencial se transforma en u u = 1. Para las ecuaciones de tipo elíptico B 2 AC < 0; la solución de (11) es una función compleja. Sea '(x; y) = '1 (x; y)+i'2 (x; y) una solución particular de (9). Tomemos

1. INTRODUCCIÓN

la siguiente transformación J('1 ; '2 ) 6= 0. J(x; y) Así que,

= '1 (x; y),

53

= '2 (x; y), no es difícil demostrar que

@' 2 @' @' @' ] + 2B + C[ ]2 = 0 @x @x @y @y @ 2 @ @ 2 A[ ] + 2B x y + C[ ]2 = A[ ]2 + 2B x y + C y @x @y @x reemplazando ' en esta ecuación e igualando la parte real e imaginaria a cero, obtenemos A[

0=A

x y

+ B(

x y

+

y x)

+C

y y

(recordemos que U + iV = 0 si solo si U = 0,V = 0). ~ B ~ = 0. Luego A~ = C, La ecuación (8) toma la forma @2u @2u + 2 = F3 : @ @ 2 La ecuación de tipo parabólico B 2 AC = 0 , tiene solo una solución '(x; y) = C, así si hacemos = '(x; y), y tomamos a = (x; y) p siendo una pfunción2independiente de '. Porplo p tanto podemos escribir que A~ = ( A + C x y ) = 0 , puesto que B = A C, de aquí podemos ver que : p p ~=( A x+ C B entonces (8) toma la forma u = . Ejemplo 3

p

y )(

A

x

+

p

C

y)

=0

uxx 2 sin x uxy cos2 x uyy cos x uy = 0 De la ecuación determinamos A = 1, B = sin x, C = (cosx)2 , por lo tanto B 2 AC = sin2 x + cos2 x = 1 > 0. Así que nuestra ecuación es de tipo hiperbólico. Encontremos el cambio de variable. Resolviendo la ecuación diferencial (11) encontramos : dy dx dy dx

= =

sin x + 1 = 1 + sin x 1 1 + sin x

Por lo tanto x+y

cos x = C1

x + y + cos x = C2

Haciendo, =x+y

cos x

=x

y + cos x:

54

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Luego uxx

2 sin x uxy

cos2 x uyy

cos x uy = 0 se transforma en 2

@ u =0 @ @ Si, = + = la ecuación diferencial anterior se convierte en : @2u @2u = 0: 2 @ @ 2 Ejercicio Llevar a la forma canónica la ecuación :

;

2 @2u 2@ u y =0 @x2 @y2 Tenemos A = x2 , B = 0 , C = y 2 , B 2 AC = x2 y 2 > 0; la ecuación es de tipo hiperbólico, con ecuación característica x2 dy 2 y 2 dx2 = 0 la cual se divide en dos ecuaciones diferenciales xdy + ydx = 0 , y, xdy ydx = 0, con soluciones :

x2

Lny + Lnx = LnC ó xy = C ,

y x

y Lny

Lnx = LnC

= C Introduzcamos nuevas variables @2u @x2

@2u @y2

= xy ,

=

y Reemplazando, x

@2u 2 @2u y2 2 ( 2) 2y @ @ x @ 2 2 @ uy @u y + 2 4 +2 @ x @ x3 @2u @2u 1 @2u = x2 2 + 2 + 2 2 @ @ x @ @ =

Obtenemos : @ 2 u y2 @2u @ 2 u y2 @u y x2 ( 2 y 2 2 + +2 ) 2 2 4 @ @ x @ x @ x3 @ Simpli…cando, 4

y 2 (x2

@2u 2 y @u y +2 @ @ x @ @2u 1 @u 1 @ @ 2 @ xy 2 1 @u @ u @ @ 2 @

@2u 1 @2u @2u + 2 + )=0 @ @ x2 @ 2 @ 2

=

0

=

0

=

0

Ejercicio Llevar a la forma canónica la ecuación : @2u sin2 x @2x

2y sin x

A = (sin x)2 ;

B=

@2u @2u + y2 2 = 0 @x@y @y y sin x;

C = y2 ;

1. INTRODUCCIÓN

55

Asi que B 2 AC = 0. La ecuación es de tipo parabólico, con ecuación característica (sin 2x)2 (dy)2 + 2y sin xdxdy + y 2 (dx)2 = 0 ó (sin xdy + ydx)2 = 0 cuya solución es :

x Lny + Ln(tan ) = LnC 2

ó

y tan Sea

= y tan(x=2),

x =C 2

= y (función arbitraria tal que

J( ; ) 6= 0 ) J(X; Y )

Al evaluar, @2u @2u ; ; @x2 @x@y y reemplazar en la ecuación se obtiene : y Ahora : sin x =

@2u @y2

@2u @u = sin x @ 2 @

2 tan(x=2) ; 1 + tan2 (x=2) sin x =

tan(x=2) = 2 +

2

2

y y

@u @2u = @ 2 @

2 n +

2

2

Ejercicio Llevar a la forma canónica la ecuación : @2u @2u @2u + 2 2 =0 @x2 @x@y @y2 B 2 AC = 1 < 0 o sea la ecuación es de tipo elíptico, con ecuación característica y 02 + 2y 0 + 2 = 0. Resolviendo, (y 0 )2 + 2y 0 + 2 = 0 obtenemos, y + x + ix = C1 ; Si

=y+x ,

y+x

ix = C2

= x, evaluamos @2u ; @x2

@2u ; @x@y

@2u @y2

y la llevamos a la ecuación, @2u @2u @2u + 2 + @ @ @ 2 @ 2

2

@2u @ 2

2

@2u @2u +2 2 =0 @ @ @

56

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

de donde: @2u @2u + 2 =0 @ @ 2 1.5.

(1.26)

Problema de Cauchy. Sea

n n X X @2u @2u @2u = a + + (x; t; u; rx u; ut ) ai;o ij 2 @t @xi @xj i=1 @xi @t i;j=1

Sea S = [t = (x)] una super…cie suave a trozos y sean las funciones uo , y u1 dadas sobre S (datos de Cauchy). El problema de Cauchy consiste en encontrar la solución de ( ) para t > (x) y @u = u1 @n Una pregunta que surge es: existe algín problema si la función (x) es una de las características de ( ). Supongamos que 2 C 2 y en ningun punto es tangencial con las características de ( ), esto es (1.27)

uS = uo

a ~o;o

1

n X

n

ai;j

i;j

X @ @ @ + 6= 0 ani;o @xi @xj @x i i=0

Transformemos el problema ( )-( ) y demos las condiciones en el plano = 0. Para esto tomemos el cambio de variable = t (x), entonces u ~(x; ) = u(x; + (x)). En una vecindad de la super…cie S la ecuación ( ) toma la forma n n 1 X @2u ~ @2u ~ 1 X @2u = a + ai;o + ~ (x; t; u; rx u; ut ) ij 2 @ ao;o i;j=1 @xi @xj ao;o i=1 @xi @t

La super…cie S se transforma bajo esta operación en el plano de frontera para = 0 son u ~j @~ u j @

=0 =0

= 0, y las condiciones

= ujS = uo (x) @u = jS @t

@u sobre S. @t Bien uo (x) = u(x; (x)), derivando esta expresión respecto a xi , obtenemos :

así que nos queda por determinar

@uo @u @u @ = + @xi @xi @t @xi Derivando la función u(x; t) respecto a la normal n = ( 1 ; 1 r ) donde = p 1 + jr j2 , si tenemos presente también la segunda condición inicial del problema original, obtenemos otra relación mas sobre S.

1. INTRODUCCIÓN

(1.28)

u1

(1.29)

@u jS @n

=

@u 1 @t

57

n 1 X @u @ @xi @xi i=1

= u1

@u i = 1; 2; ::n, @u El sistema de ecuaciones algebraicas ( ),( ) respecto a @x @t tiene i solución en cada punto de la super…cie S; ya que su determinante es diferente de cero, ( 1)n 6= 0.

EJERCICIOS Llevar a la forma canónica las siguientes ecuaciones , de tal forma que se conserve el tipo de ecuación. 1. uxx + 2uxy + 5uyy 32uU = 0 2. (1 + x2 )2 uxx + uyy + 2x(1 + x2 )ux = 0 3. y 2 uxx + 2xyuxy + x2 uyy = 0 4. (1 + x2 )uxx + (1 + y 2 )uyy + xux + uy 2u = 0 5. uxx 2 sin xuxy (cos x)2 uyy cosxuy = 0 6. uxx + xyuyy = 0 7. uxx + 2uxy + 2uyy + 4uyz + 5uzz = 0 8. uxx 4uxy + 2uxz + 4uyy + uzz + 3ux = 0 9. uxx + 2uxy 3uyy + 2ux + 6uy = 0 2 2 10. y @@ 2 xy + @@yy2 = 0 Consideremos ahora el caso de un sistema de ecuaciones diferenciales cuasilineales de primer orden. Sea @u @u +A =b @t @x donde u(x; t) = fu1 (x; t); :::; un (x; t)g es cierta función vectorial formada por n funciones incognitas, A = fai;j (x; t; u)g; i; j = 1; 2; :::; n es una matriz de orden n y b = fb1 (x; t; u); :::; bn (x; t; u)g la función del lado derecho. La cuasilinealidad tiene lugar debido a que tanto la matriz A como el vector b dependen de la solución u. El sistema de ecuaciones (16) se llama hiperbólico en cierta región del espacio x; t; u si en toda la región los valores propios 1 ; :::; n son reales y diferentes. Supóngase que el sistema es hiperbólico. Multipliquemos el sistema anterior por el vector propio l(k) correspondiente al valor propio k , asi que tenemos : (1.30)

@u @u + l(k) A = l(k) b @t @x @u (1.31) l(k) ( + k @u@u) = l(k) b = fk k = 1; 2; : : : ; n @t La expresión que se encuentra entre el paréntesis de ( ) es la derivada a través de la linea que se da por la ecuación l(k)

dx = dt

k

k = 1; 2; :::; n

58

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Expresemos esta situación con la ayuda de la siguiente representación @ d + k @@x) = ( )k @t dt Las lineas de…nidas por las ecuaciones ( ) se denominan características. La ecuaciones que se obtienen despues de transformar el sistema original se puede escribir de la forma : (

du )k = fk ; k = 1; 2; :::; n: dt Esta última relación se conoce como la forma canónica del sistema de ecuaciones. Su particularidad consiste en que la derivación en cada una de las ecuaciones se lleva a cabo solo a través de una característica. l(k) (

1.6. Problema de Cauchy para la ecuación de D’alambert. Apliquemos el método de D’alambert al problema (1.32)

@2u @t2

(1.33)

u(x; 0)

Si '(x) y

= a2

@2u ; @x2

1 0 como función de x se obtiene de la grá…ca de la función f (x)(g(x)) con la ayuda de una traslación paralela a la derecha (izquierda) a través del eje Ox en at. Así que la forma de la grá…ca de la función f (x at) como función de x para diferentes t …jos, es una misma. Estas funciones en física se llaman ONDAS VIAJERAS. Por lo tanto el desarrollo de D’alambert es simplemente la suma ( en física se dice que es la superposición, la interferencia) de dos ondas viajeras. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales obtenemos (1.36) (1.37)

f (x) + g(x) = '(x) f (x)( a) + g 0 (x)a = x2< 0

Integrando la ecuación ( ) (1.38)

1 f (x) + g(x) = a

Z

x

(s)ds +

0

c a

Sumando esta ecuación con ( ) y dividendo por dos obtenemos Z x 1 c 1 (s)ds + (1.39) g(x) = '(x) + 2 2a 0 2a y de la misma manera restando ( ) de ( ) obtenemos: Z x 1 1 f (x) = '(x) (s)ds 2 2a 0 Z 0 1 1 '(x) + (s)ds 2 2a x

c 2a c 2a

Reeemplazando estas expresiones en ( ) obtenemos la fórmula de D’alambert Z '(x + at) '(x at) 1 x+at (1.40) u(x; t) = + (s)ds 2 2 x at

60

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

1.7. Características. Para la solución de los dos problemas anteriores las líneas x+at = const juegan un papel importante. Estas ecuaciones como se discutio arriba reciben el nombre de características de la ecuación ( ). Las características x + at = const para la ecuación de D’alambert (es una familia de rectas). Llamaremos la recta x at = const característica que viaja a la derecha (con velocidad a). Estas son líneas de nivel de la onda f (x at). Entre mayor sea la velocidad a menor será el ángulo de la pendiente de la característica que se forma con el eje Ox. Análogamente, las rectas x + at = const se llaman características viajeras a la izquierda. Ellas son líneas de nivel para la onda g(x + at). Abaajo se muestra una familia de características cuando a = 2 t = x2

t

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1 -2

Características x + at = const Entre mayor es la velocidad de onda a, menor es el angulo de la pendiente de la característica con el eje ox (escalando los dos ejes Ox y Ot) teenmos

tan

=

1 a

Veamos un ejemplo: tomemos como parámetros de entrada a = 1, (x) = 0.

'(x) =

x 2

si 0 x si 1

x to )) = f ( o t1 + h ; xi) = u(x; t1 ): o (t1 j j2 Por tanto, ( ) es una onda que viaja a tarvés del vector dirección velocidad = f ( o t+ < ; x > +

v=

o

j j

con

2.

PROBLEM A DE BUSQUEDADE VALORES Y VECTORES PROPIOS

Representemos el vector unitario en la dirección o

= vj j; =

65

a tarvés de w =

: Entonces, j j wj j y pot lo tanto, la ecuación ( ) s epuede escribir de la forma

u(x; t) = f (vj jt

hw; xi j j) = f (vt

hw; xi j j) = g(vt

hw; xi)

donde — — — — — — — — — — — — — ————————————– ———————2.

Problema de busquedade valores y vectores propios

2.0.1. Teoría de STURM-LIOUVILLE. De…nición :Sea p 2 C 0 ([0; 1]) , q 2 C([0;1]) , p(x) > 0 , q(x) 0 , se llama problema regular de Sturm-Liouville al problema de la obtención de valores propios de tal manera que haya soluciones no triviales u(x) del operador diferencial L, donde L áctua sobre la función por la siguiente regla: Lu =

(pu0 )0 + qu:

con condiciones de frontera: (2.1) (2.2)

h1 u(0) h2 u0 (0) = 0; H1 u(1) + H2 u0 (1) = 0;

h1 + h2 > 0 H1 + H 2 > 0

La región de de…nición D(L) del operador L consta de funciones u(x) de la clase 00 C 2 (0; 1) \ C 1 ([0; 1]); u (x) integrable al cuadrado (puede ser incluso en el sentido de Lesbegue); ademas satisfacen las condiciones (2) El problema de encontrar valores ( valores propios del opeardor L), para los cuales la ecuación (2.3)

Lu = u

tiene solución no trivial en la región de de…nción D(L) (las soluciones se llaman funciones propias correspondientes a los valores propios) se llama Problema de Sturm- Liouville. En algunos casos las condciones de frontera tienen la forma: 1 u(0)

+ 3 u(0) +

2u

0

(0) + 0 4 u (0) +

1 u(1)

+ 3 u(1) +

2u

0

(1) = 0 4 u (1) = 0 0

Si 1 = 2 = 3 = 4 = 0 entonces tenemos el caso anteriormente descrito y se dice que las condiciones en la frontera son separadas. si 1 = 2 = 3 = 3 = 0 , 1 = 1 , 1 = 1 , 4 = 1 , 4 = 1 tenemos condiciones de frontera periódicas u(0) = u(1); u0 (0) = u0 (1). EJERCICIO. Para que = 0 sea un valor propio del operador L es necesario y su…ciente que q(x) = 0, H1 = h1 = 0 ; y para este valor propio le corresponde una función propia constante. En estos momentos hagamos una pequeña disgregación en nuestra exposición para recordar ciertos conceptos básicos para el desarrollo del presente tema.

66

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

2.0.2. Tipos de convergencia. Concepto de sucesión funcional y de serie funcional. Dado un conjunto …jo de puntos fxg y para todo número n de una serie natural de números 1,2,...,n,... se pone en correspondencia, de acuerdo con una ley determinada, cierta función fn (x) de…nida sobre el conjunto fxg, entonces el conjunto de funciones enumeradas f1 (x), f2 (x), ...,fn (x),::: se denomina sucesión funcional. Se llama serie funcional a la suma formalmente escrita, (2.4)

1 X

fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + ::: + fn (x) + :::

n=1

de un número in…nitos de términos de la sucesión funcional ffn (x)g. Supongamos que una sucesión funcional (o una serie) esta de…nida sobre el conjunto fxg. Fijemos un punto arbitrario xo , perteneciente al conjunto fxg, y examinemos todos los términos de la sucesión (o serie) en el punto xo . Obtendremos en este caso una sucesión númerica (o una serie númerica). Si la citada sucesión númerica ( o la serie) converge, suele decirse que la sucesión funcional (o serie) converge en el punto xo . El conjunto de todos los puntos xo , donde converge la sucesión funcional dada (o serie) se denomina dominio de convergencia de la sucesión funcional. En diversos casos concretos el dominio de convergencia puede o bien coincidir con el domino de de…nición fxg, o bien constituir una parte del dominio de de…nición, o bien ser, en general, un conjunto vacío. Supongamos que una sucesión funcional ffn (x)g tiene dominio de convergencia fxg. Una totalidad de los límites, tomados para todos los valores de x del conjunto fxg forma una función bien de…nida f (x) que también esta de…nida sobre el conjunto fxg. Esta función se denomina función límite de la sucesión ffn (x)g. De…nición . Se dice que la sucesión funcional f1 (x); f2 (x); :::; fn (x); ::: converge uniformemente hacia f (x) sobre el conjunto fxg, si para todo > 0, existe N ( ) tal que con n N ( ) para todo x del conjunto fxg se cumple (2.5)

jfn (x)

f (x)j <

En esta de…nición resulta importante el hecho de que el número N depende sólo de y no depende de x. De este modo, para cualquier > 0 existe un número universal N ( ), a partir del cual la desigualdad ( ) queda válida simultáneamente para todos los x del conjunto fxg. De…nición. Una serie funcional se llama uniformemente convergente sobre el n P conjunto fxg hacia su suma S(x), si la sucesión fSn (x) = fi (x)g de sus sumas i=1

parciales converge uniformemente sobre el conjunto fxg hacia la función límite S(x). Convergencia en media cuadrática De…nición.Sea la sucesión funcional f1 (x);

f2 (x); :::; fn (x); :::

de…nidas en el intervalo (a; b). Se dice que la serie funcional en el sentido de media cuadrática hacia la función f (x) si Z b N X lm jf (x) fn (x)j2 dx = 0 N !1

a

n=1

P1

n=1

fn (x) converge

2.

PROBLEM A DE BUSQUEDADE VALORES Y VECTORES PROPIOS

67

Es de anotar que si una sucesión ffn (x)g converge hacia la función f (x) de manera uniforme en el segmento [a; b], entonces ffn (x)gtambien convergerá en media sobre el segmento [a; b]. Proposición. Si una sucesión ffn (x)g converge en media hacia la función f (x) en el segmento [a; b], dicha sucesión puede integrarse término a término sobre [a; b], es decir, el límite Z b fn (x)dx lm n!1

existe y es igual a la integral

Rb a

a

f (x)dx.

2.0.3. Propiedades del operador diferencial L . 1. Se dice que R 1 el operador L es un operador positivo si se cumple la fórmula < Lu; u >= 0 Lu:udx 0; para toda función u 2 D(L) llamado región de de…nición del operador L;, la derivada de la función u es integrable al cuadrado y u satisface las condiciones de frontera ( ), ( ). De la fórmula de integración por partes tenemos: < Lu; u >=

Z

1

[p(x)ju0 (x)j2 + qju(x)j2 ]dx +

0

h1 H1 p(0)ju(0)j2 + ju(1)j2 h2 H2

Observando que la parte de la derecha de ( ) es positiva concluimos que < Lu; u > 0 , por tal razón L es un operador positivo. 2.L es simétrico; recordemos que un operador se llama simétrico si: hu; L [v]i hv; L [u]i = 0; para todo u; v que pertenecen a cierto conjunto llamado región de de…nición del opeardor L: Inicialmente veamos que la siguiente fórmula es válida: uL [v] vL [u] = d (pW [u; v]) ; donde W [u; v] = uv vu es el wronskiano de u y v: dx Veamos uL [v] vL [u] = u [(pv ) + qv] v [(pu) + qu] = u (pv ) + quv v (pu) quv = u (pv ) + u (pv ) v (pu) v (pu) = [u (pu)] [v (pu)] = [p (uv vu) ] d = dx [pW [u; v]] d Por lo tanto, al integrar la identidad uL [v] vL [u] = dx [pW [u; v]] obtenemos la siguiente ecuación llamada fórmula de Green. Sean u y v funciones con segundas derivadas continuas en el intervalo [a; b] :Entonces, Rb

(uL [v]

a

vL [u]) (x) dx = (pW [u; v]) (x) jba

si ademas u y v satisfacen las condiciones de frontera, por ejemplo u(a) = u(b) = v(a) = v(b) = 0, la fórmual de Green se simpli…ca a Rb

(uL [v]

vL [u]) (x) dx = 0 ; por consiguiente el operador L es simétrico.

a

3. Existe un número in…nito contable de valores propios reales positivos (L es simétrico positivo) con funciones propias correspondientes wn (x) .

68

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

4. Las funciones propias normalizadas wn (x) forman un conjunto ortonormal, o sea Z

1

wn (x)wm (x)dx = 0;

0

wm

si n 6= m

A continuación probamos esta propiedad para el caso w(0) = w(1) = 0. Sean n , m dos valores propios con funciones propias correspondientes wn , tales que (pwn0 )0 + qwn 0 0 (pwm ) + qwm

n wn

= =

m wm

0; 0;

wn (0) = wn (1) = 0 wm (0) = wm (1) = 0

multipliquemos la primera ecuación interiormente (respecto al producto interior) por wm y la segunda por wn ; tomando luego la diferencia obtenemos (

n

m)

< wn ; wm >=

Z

1

[un (pu0m )0

um (pu0n )0 ]dx

0

Integrando dos veces por partes la expresión de la derecha se puede ver que esta expresión se hace igual a cero. De esta forma ( n m ) < wn ; wm >= 0, y si n 6= m , entonces < wn ; wm >= 0. 5. Si f está de…nida sobre [0,1] y es cuadrática integrable, entonces f (x) tiene un desarrollo en serie de Fourier en términos de las funciones propias wn , de la forma

(2.6)

f (x) =

1 X

an wn (x)

n=1

donde

(2.7)

an =

1 kwn k2

Z

1

wn (x)f (x)dx ; n = 1; 2; :::

0

La serie ( ) converge en el sentido de la media cuadrática, es decir Z 1 N X lm jf (x) an wn j2 dx = 0 N !1

0

n=1

P Si las funciones f y f son cuadráticas integrables, la serie an wn converge uniformemente y absolutamente a f (x) en cualquier intervalo de continuidad de f . Si f tiene una discontinuidad de salto en x = x0 , entonces en x = x0 la serie de Fourier de f converge a 1=2[f (x0 ) + f (x0+ )] 0

EJEMPLOS 1. Encontrar los valores propios y sus correspondientes funciones propias del operador L que actúa sobre u por la regla Lu = u", sujeta a las condiciones de contorno u(0) = 0, u(1) = 0. El dominio del operador L es D(L) = fu : u00 (x) 2 C[0; 1]; u(0) = 0; u(1) = 0g.

2.

PROBLEM A DE BUSQUEDADE VALORES Y VECTORES PROPIOS

69

Solución: Tenemos : u" = u = 0

u(0) = u(1) = 0

Resolviendo la ecuación diferencial para los casos: < 0 , obtenemos el siguiente conjunto de soluciones respectivamente, (2.8) (2.9) (2.10)

p

= 0,

p

x ; 0 u(x) = c1 sin( x) + c2 cos( x); u = C1 x + C2 ; =0

u

= c1 e

x

> 0;

+ c2 e

p

p

para < 0,tenemos u(0) = c1 + c2 = 0; u(1) = c1 e + c2 e = 0. Este sistema tendrá soluciones no triviales si y sólo si el determinante del sistema p p e = 0, el cual se cumple solo si = 0, pero es igual a cero, esto es e estamos considerando que < 0; luego c1 = c2 = 0 y u(x) = 0. De la misma forma se puede concluir que si = 0 , u(x) = 0. Consideremos ahora el caso cuando > 0; de p las condiciones de frontera: u(0) = c2 = 0, y para x = 1 tenemos u(1) = c sin( ) = 0, y como buscamos soluciones 1 p no triviales, c1 6= 0, y sin( ) = 0, para = (n )2 , n = 1; 2; 3... De esta forma n = (n )2 nos da el conjunto de valores propios. Reemplazando en ( ) para > 0 , obtenemos las funciones propias un (x) = cn sin(n x), haciendo cn = 1, el conjunto fun (x) = sin(n x)g satisface la ecuación diferencial y las condiciones de frontera; además las funciones son ortogonales entre sí, o sea Z

1

sin(n x) sin(m x)dx = 0

0

2. Resolver

si m 6= n:

Lu = u u" u=0 0 u(0) = 0; u(1) + u (1) = 0 Con las condiciones de fronteras dadas u(x) = 0 para 0. Para > 0 , u(0) = c2 = 0 y para el otro extremo x = 1 tenemos p p = ; u(1) + u0 (1) = tan esta es una ecuación p trascendental p con un número in…nito de soluciones (hacer una grá…ca de y = tan yg= ). p Denotando = n , sus funciones propias son un = sin( n x). 3. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función x 0 x 1=2 f (x) = x 1 1=2 x 1 En términos del conjunto de funciones propias del ejemplo (1). Solución : Dado que n = (n )2 ; un = sin(n x);

(2.11)

f (x) =

1 X

n=1

an sin(n x)

70

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

donde an

= =

1 jj sin(n x)jj2

Z

1

f (x) sin(n x)dx

0

Z 1 Z 1=2 1 (x x sin(n x)dx + [ jj sin(n x)jj2 0 1=2

1) sin(n x)dx]

Sea la ED A2 (x)y " + A1 (x)y`+ A0 (x)y + (x)y(x) = 0 si hacemos = R A1 (x) 1 exp( dx) ) p = A2 ; q = A0; r = entonces podemos esA2 A2 (x) cribir la ED en la forma; (py 0 )0 + qy + ry = 0: Observe que se necesita que los coe…cientes sean continuos y A2 (x) no sea igual a cero. Ahora el proposito es encontrar un desarrollo en términos de funciones propias para una solución del problema regular no homogéneo de Sturm-Liouville con valores en la frontera (2.12) (2.13)

L [y] + ry = f a1 y(a) + a2 y 0 (a) = 0; b1 y(b) + b2 y 0 (b) = 0; es un real …jo y L [y] := (py 0 )0 + qy.

Sean f n gn=1 valores propios con funciones propias correspondientes f n gn=1 para el problema homogéneo de valores propiso asociado a ()-(), con en vez del parámetro ; es decir, L [yn ] + n ryn = 0, donde yn satisface las condiciones de frontera 1 P Sea (x) = cn yn (x); yn (x) es un sistema ortogonal con respecto a la función n=1

de ponderación r que queremos determinar con coe…cientes cn de modo que la soluciòn de ( )-( ) L( ) + r =

1 P

(

sea

n)cn yn , si expresamos f como el producto r(f =r) en

n=1

un desarrollo mediante funciones propias Rb Rb f yn dx (f lr)yn rdx P a a = b f =r = rn yn ; rn = Rb R yn2 rdx yn2 rdx

a a P entonces el lado derecho de ( ) se convierte en r rn yn . Al igualar los lados izquierdo y derecho de ( ) P P P r ( rn yn como r > 0, tenemos [( rn ] yn = 0: n )cn yn = r n )cn La suma de este desarrollo es igual a cero si y solo si todos los coe…cientes se anulan

(2.14) por lo tanto cn =

[( rn n

si

6=

n )cn n

rn ] = 0

8n así que

=

1 P

n=1

rn

yn : Nos referimos n

a como la única solución, pues si 6= n ; para cada n = 1; 2; :: la ecuación homogénea correspondiente sólo tiene la solución trivial y por lo tanto el problema no homogéneo con valores en la frontera tiene una única solución.

2.

PROBLEM A DE BUSQUEDADE VALORES Y VECTORES PROPIOS

71

EJEMPLO. Determinar un desarrollo en términos de funciones propias para la solución del problema regulra de Sturm-Liouville con valores en la frontera 00

y + 3y = 5 sin 3x + 2 sin 8x; y(0) = 0; y( ) = 0: El problema 00

L [y] = y = y; y(0) = 0; y( ) = 0 tiene valores propios n = n2 ; con funciones propias yn = sin nx; n = 1; 2; :: En P este caso r = 1; de modo que f =r = rn yn = 5 sin(3x) + 2 sin 8x; por lo tanto, 1 X 5 2 rn yn = sin 3x sin 8x = 6 61 n n=1

Si = n para algún N ¿Cúal sería la solución en este caso? Entonces de ( ) = 0: Teniendo dos posibilidades: N 1. Si N 6= 0 tenemos una contradicción y entonces la ecuación no homogénea no tiene una solución que pueda expresarse mediante un desarrollo con funciones propias. Si N = 0; entonces no hay restricciones sobre cN : Así, se obtiene una familia de un parámetro de soluciones del problema no homogéneo (cN parámetro)

72

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

EJERCICIO 1. Calcular los valores propios y las funciones propias para los siguientes problemas de Sturm-Lioville : a. 3x2 y " + 4xy` + 6y + y = 0, x > 0 b. y" y = 0 , y(0) = y(2 ) , y 0 (0) = y 0 (2 ) c. y" y = 0 , y 0 (0) = y(1) = 0 ( d. y 4) y = 0 , y(0) = y(1) = y 0 (0) = y 0 (1) = 0 2 dy 1 d e. x dx (x dx ) + y xk2 y = 0 y(0) acotada, y(1) = 0 m2 u=0 f. sin1 dd (sin du d )+ sin2 y(0) = y( ) acotadas. g. Resolver e) cuando m = 0. 2. Obténgase los desarrollos en serie de Fourier para la función f (x) = x(1 x2 ) , 0 x 1 ; relativos a los siguientes conjuntos de funciones propias : a. Las funciones propias del (desarrollo) problema y" y = 0 ; y 0 (0) = y 0 (1) = 0. b. y" y = 0 ; y(0) = y(1); y 0 (0) = y 0 (1) d dx

h

i p(x) dx dy + q(x)y + r(x)y = 0

a 0 en [a; b], nos referimos a este sistema como un problema regular de Sturm-Liouville. La ecuación es singular cuando las hipótesis sobre p; p0 ; q y r solo son validas en el intervalo abierto (a; b) y no en el intervalo cerrado; si p se anula en a o en b y si p(x); q(x) o r(x) no están acotadas cuando x tiende a a o a b; o cuando el intervalo (a; b) no está acotado d dx

h

i x dx dy + xy = 0

0 0, p p X(x) = D1 cos( x) + D2 sin( x)

De las condiciones de frontera tenemos

p X(l) = D2 sin( l) = 0 p p Como buscamos soluciones no triviales, tenemos que sin( l) = 0, para l =n (n )2 (n )2 , n = 0; 1; ::: asi que = ; por tanto n = , n = 1; 2; ::: l2 l2 A estos valores propios, corresponden las funciones propias: X(0) = D1 = 0;

n x l 1. A estos mismos valores, corresponde

Xn (x) = Dn sin donde Dn es una constante arbitraria, Dn la solución de (8)

n n at) + Bn sin( at) l l donde An , Bn son constantes arbitrarias. Entonces, n n n un (x; t) = Xn (t)Tn (t) = [An cos( at) + Bn sin( at)] sin( x) l l l son soluciones particulares de la ecuación (1). Debido a la linealidad y homogeneidad de la ecuación (1) la suma de las soluciones particulares. Tn (t) = An cos(

(3.18)

u(x; t) =

1 X

n=1

un (x; t)

3. M ÉTODO DE FOURIER

81

También satisface la ecuación y las condiciones de frontera. Las condiciones iniciales permiten obtener An y Bn ; si exigimos que (10) satisfaga: X X n (3.19) u(x; 0) = g(x) = un (x; 0) = 1An sin( x) l n=1 X @un X (3.20) ut (x; 0) = h(x) = = naBn sin(( n=l)x) @t

teniendo en cuenta que una función arbitraria, continua y derivable f (x), de…nida en (0; 1) se desarrolla en una serie de Fourier Z X n n 2 1 f (s) sin( s)ds; f (x) = bn sin( x) bn = l l 0 l entonces

g(x)

(3.21) (3.22)

h(x)

= =

X

X

an sin(( n=l)x) an = 2=l bn sin( n=l)x bn = 2=l

Z

Z

1

g(z) sin( n=l)zdz

0

1

h(z) sin( n=l)zdz

0

Las comparaciones de estas series con las fórmulas (11) muestran que para que se 1 bn , con lo cual cumplan las condiciones iniciales hay que hacer An = an , Bn = na se determina totalmente la función (10). De las condiciones de contorno e iniciales se ve que la función u(x; t) es continua; por lop tanto es necesario demostrar que la serie compuesta por funciones continuas un (x; t) converge uniformemente, o, que es mayorada por una serie numérica convergente. En este caso tenemos jun (x; t)j X jun j

jAn j + jBn j X (jAn j + jBn j) P es decir un (x; t). Probar la convergencia P la serie de la derecha mayora la serie de jAn j + jBn j es entonces necesario, no solo para el caso anterior, sino para P @un P la serie ; así que demostraremos que la mayorante (a =l) n(jAn j + jBn j) @t converge. Finalmente, para probar que u(x; t) satisface la ecuación diferencial es necesario derivar dos veces término a término respecto a t y a x, y esto con lleva el análisis de la convergencia de las series:

que están mayoradas por X @ 2 un @x2

=

P

1 X @ 2 un ; @t2 n=1

1 X @ 2 un ; @x2 n=1

n2 (jAn j + jBn j), ya que

X ( =l)2 n2 (An cos(n at=l) + Bn sin(n at=l)) sin(n x=l) X n2 (jAn j + jBn j)

Observación. Sea f (x) una función continua y suave a tramos con periodo 2 . La derivada f 0 (x)existe casi en todas partes salvo en los puntos angulares de la grá…ca

82

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

de f (x) y es una función acotada. Así que la serie de Fourier de f (x) es: 1 X f (x) = [an cos(nx) + bn sin(nx)]; donde n=1

an

=

1

Z

f (x) cos(nx)dx;

bn =

1

Por lo tanto integrando por partes obtenemos: Z 1 1 an = f (x) cos(nx)dx = [f (x) sin(nx)] n Z 1 1 f (x) sin(nx)dx = bn = [f (x) cos(nx)]x= n

Z

f (x) sin(nx)dx;

1 n

Z

1 n

f 0 (x) sin(nx)dx Z

f 0 (x) cos(nx)dx;

Los primeros miembros d ela dercha son iguales a cero. Por lo tanto si representamos por a0n y b0n los coe…cientes de Fourier de la función f 0 (x), entonces encontramos b0n a0n ; bn = ; n = 1; 2::: n n Ya que la función f 0 (x) es acotada y por lo tanto es integrable al cuadrado entonces la serie: 1 X 02 (a02 (3.24) n + bn ) (3.23)

an =

n=1

converge. Consideremos las siguientes relaciones: 1 2 2ja0n j 1 (ja0n j ) = a02 + 2 0; n n n n 1 2 2jb0n j 1 (jb0n j ) = b02 + 2 0; n n n n de aquí 1 02 1 ja0n j jb0n j + (a + b02 n)+ 2 n n 2 n n P ja0 j jb0 j por lo tanto la serie ( n + n ) converge. Pero entonces de (15) se desprende n n que para cualquier función suave a trozos la serie 1 X (3.25) (jan j + jbn j) n=1

converge. Por lo tanto tiene lugar el siguiente teorema.

Teorema. Si una función F (x), periódica con período 2l, posee k derivdas continuas, y la derivada (k + 1) es continua a trozos (tramos), la serie numérica 1 X (3.26) nk (jan j + jbn j) n=1

converge.

Como la función g(x) se desarrolla en una serie en sin( nl x) dada solo en (0; l), es necesario que g(0) = 0, puesto que al extender en forma impar a g(x) se obtendría una discontinuidad en el punto x = 0; analógamente, en el punto x = l, debe ser g(l) = 0: La continuidad de la primera derivada para x = 0; x = l se obtiene

3. M ÉTODO DE FOURIER

83

automaticamente (porque?). En general para la continuidad de las derivadas pares de la función extendida hay que exigir que g (k) (0) = g (k) (l) = 0;

k = 0; 2; 4; ::

De esta manera para la convergencia de las series X X nk (jAn j) = nk (jan j); X X nk (jBn j) = nk (jbn j);

(k = 0; 1; 2) (k = 0; 1)

es su…ciente que las funciones g(x); h(x) satisfagan las siguientes condiciones: TEOREMA Si g(x) es una función dos veces derivable, con derivadas continuas en el segmento [0; l], y además tiene tercera derivada continua a trozos, y satisface las condiciones g(0) = g(l) = g"(0) = g"(l) = 0 y h(x) derivable y continua, h"(x) continua a trozos, k(0) = h(l) = 0: Entonces u(x; t) =

1 X

[An cos(

n=1

n n n at) + Bn sin( at)] sin( x) l l l

tiene derivadas continuas hasta segundo orden y satisface el problema (1)-(3). 3.1.1. EJEMPLOS. 1. Una cuerda homogénea sujeta en los extremos x = 0 y x = L, tiene inicialmente la forma de una parábola u = 4h=L2 (L x)x . Determinar el desplazamiento de los puntos de la cuerda con respecto al eje x, suponiendo que no hay velocidades iniciales. Solución: Matemáticamente el problema consiste en resolver: @2u @2u = a2 2 2 @t @x u(0; t) = u(L; t) = 0 u(x; 0) = 4h=L2 x(L ut (x; 0) = 0

x)

Encontramos los coe…cientes de Fourier para la función (4h=L2 )x(L Ak = 2=L

Z

L

(4h=L2 )x(L

x) sin( kx=L)dx; Bk = 0

0

Integrando por partes la integral para Ak , tenemos, Ak Ak

= =

(16h=k 3 (16h=k

3 3

3

) cos(k x=L)jL 0 =

)[1

(16h=k 3

3

)(cos k

1)

k

( 1) ]

Llevando Ak y Bk a la expresión de u(x; t) en series de Fourier: u(x; t)

=

X

Ak cos(k at=L) sin(k x=L)

k=1

=

X

(16h=k 3

3

)[1

( 1)k ] cos(k at=L) sin(k x=L)

k=1

si k = 2n , 1

( 1)k = 0 ; y si k = 2n + 1 , 1

( 1)k = 2

x):

84

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

u(x; t)

=

X

Ak cos(k at=L) sin(k x=L)

k=1

=

X

(16h=k 3

3

( 1)k ] cos(k at=L) sin(k x=L)

)[1

n=1

( 1)k = 0 ; y si k = 2n + 1 , 1

Si k = 2n , 1 u(x; t) = 32h=

3

X

( 1)k = 2

(1=(2n + 1)3 ) cos((2n + 1) at=L) sin((2n + 1) x=L)

n=1

EJEMPLO. Integrar la ecuación de las oscilaciones longitudinales pequeñas de una varilla cilíndrica cuando uno de los extremos está …jo y el otro libre. Solución: El problema se reduce a resolver la ecuación 2 @2u 2@ u = a @t2 @x2

@u @u (L; t) = 0; t > 0; u(x; 0) = f (x); (x; 0) = F (x) con las condiciones u(0; t) = 0, @x @t , siendo u el desplazamiento de la sección de abcisa x; y L la longitud de la barra. Resolviendo por el método de separación de variables u(x; t) = X(x)T (t) obtenemos el problema de Sturm-Liouville X" + X = 0 X(0) = X 0 (L) = 0: Con solución X(x)

= C1 cos

p (

)x + C2 sin

p

(

)x

p X(0) = C1 = 0 X (L) = C2 (( )L = 0 ==> cos( ( )L) = 0 p 2 para ( )L = (2n + 1) =2, n = (((2n + 1)=2) =L) . Para T (t) tenemos: 0

T "n + (((2n + 1)=2L) =L)2 a2 Tn = 0

con solución

Tn (t) = an cos((2n + 1) at=2L) + bn sin(((2n + 1)=2L) at) Por lo tanto la solución u(x; t) es: X u(x; t) = [an cos(((2n+1)=2L) at)+bn sin(((2n+1)=2L) at)] sin(((2n+1)=2L) at) n=0

Para satisfacer las condiciones iniciales se toma: Z L an = 2=L f (x) sin(((2n + 1)=2L) x)dx 0

bn

=

4=((2n + 1)a )

Z

L

F (x) sin(((2n + 1)=2L) x)dx

0

EJEMPLO. Una cuerda homogénea de longitud L, sujeta en sus extremos x = 0, x = L vibra bajo la acción de una fuerza exterior armónica F (x; t) = f (x) sin wt calculada por unidad de longitud. Hallar la desviación u(x; t) de la cuerda para condiciones iniciales arbitrarias. Solución:

3. M ÉTODO DE FOURIER

85

El problema se reduce a resolver la ecuación 2 @2u 2@ u = a + f (x) sin wt @t2 @x2 u(0; t) = 0; u(L; t) = 0 @u u(x; 0) = (x; 0) = 0 (x); @t

(3.27) (3.28) (3.29)

1 (x)

Buscamos la solución del problema en forma de desarrollo en serie de Fourier con respecto a Xn , funciones propias del problema de Sturm-Liouville asociado a la 2 @2u 2@ u = a , por lo tanto: ecaución homogénea @t2 @x2 X u(x; t) = un (t) sin(n x=L) n=1

donde sin(n x=L) son las funciones propias del problema de Sturm-Liouville X" + X = 0; X(0) = X(L) = 0. Para determinar un (t), expresamos la función f (x; t) = f (x) sin wt en una serie de Fourier en sin(n x=L); así: X f (x; t) = fn (t) sin(n x=L); Z L donde fn (t) = 2=L f (x) sin wt sin(n x=L)dx; 0

lo mismo hacemos con las condiciones iniciales X 0 (x) = 0n sin(n x=L); Z L = 2=L 0n 0 (x) sin(n x=L)dx; X 0 1 (x) = 1 (n) sin(n x=L); Z L = 2=L 1n 1 (x) sin(n x=L)dx 0

P

Reemplazamos u(x; t) = un (t) sin(n x=L) en la ecuación diferencial (1), y f (x; t) por su serie correspondiente, obtenemos 1 X

sin(n x=L)[un "(t) + (n a=L)2 un

fn (t)] = 0

n=1

de donde, u"n (t) + (n a=L)2 un

fn (t) = 0

para todo n = 1; 2; :: Aplicando las condiciones iniciales X X u(x; 0) = un (0) sin(n x=L) = 0n sin(n x=L) = X X 0 ut (x; 0) = un (0) sin(n x=L) = 1n sin(n x=L) = Luego un (0) =

0n ;

u0n (0) =

1n :

0 (x); 1 (x)

86

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Resolviendo la ecuación diferencial u"n +( na=L)2 un ciones anteriores, tenemos: un (t)

=

cos((n =L)at) + L( 1n =n Z s sin[(n =L)a(t +L=(n a) 0 P Si llevamos un (t) a la solución u(x; t) = un sin(n Z s X u(x; t) = 1=(n a) sin(n =L)a(t s) sin(n 0n

0

(L=n a)

1n

sin(n =L)at] sin(n x=L)

fn (t) = 0 con las condi-

a) sin((n =L)at) + s)]fn (s)ds x=L);obtenemos: X x=L)fn (s)ds + [

0n

cos(n =l)at +

OBSERVACION. Consideremos la ecuación lineal no homogénea con coe…cientes constantes: u(n) + P1 u(n

Lu u

(i)

=

0;

1)

+ ::: + Pn

i = 0; 1; :::; n

cuya solución se da en la forma: u(t) =

Z

1u

0

+ Pn u = f (t)

1

t

V (t

s)f (s)ds

0

donde V (t) es la solución de la ecuación homogénea LV = 0 con condiciones iniciales V (i) (0) = 0; para i = 0; 1; :::; n 2 y V (n 1) (0) = 1: Z t 0 u (t) = V (1) (t s)f (s)ds + V (0)f (t); V (0) = 0 0 Z t u"(t) = V (2) (t s)f (s)ds + V 0 (0)f (t); V 0 (0) = 0 0 :::::::::::: Z t u(n 1) (t) = V (n 1) (t s)f (s)ds + V (n 2) (0)f (t); V (n 2) (0) = 0 0 Z t (n) u (t) = V (n) (t s)f (s)ds + V (n 1) (0)f (t); V (n 1) (0) = 1 0

Sustituyendo estas derivadas en la ecuación Lu = u(n) +P1 u(n se tiene Z

1)

+:::+Pn un = f (t);

t

Lu =

L[V (t

s)]f (s)ds + f (t) = f (t):

0

Para hallar la solución particular de u"n + (n a=L)2 un fn (t) = 0 resolvemos la ecuación homogénea V "n + (n a=L)2 Vn = 0 con condiciones iniciales Vn (0) = 0; V "n (0) = 1 : Vn = C1 sin(n a=L)t + C2 sin(n a=L)t Vn (0) = C2 = 0 Vn0 (0) = (n a=L)C1 = 1 =) C1 = L=(n a) Vn (t) = L=(n a) sin(n a=L)t (p)

y encontramos la solución particular un (t); Z t (p) un (t) = L=(n a) sin(n a=L)(t 0

s)f (s)ds

3. M ÉTODO DE FOURIER

87

EJEMPLO. Resolver @2u @2u = + f (x; t); @t2 @x2 u(0; t) = g1 (t); u(L; t) = g2 (t); @2u (x; 0) = 1 (x): u(x; 0) = 0 (x); @x2 Solución: Buscamos la solución en la forma: u(x; t) = V (x; t) + W (x; t) donde W (x; t) es una función auxiliar que satisface las condiciones de contorno, y la podemos hallar de la forma W (x; t) = ( 1 x + 1 )g1 (t) + ( 2 x + 2 )g2 (t); donde 1 ; 2 ; 1 ; 2 se escogen de tal manera que W satisfaga las condiciones de frontera, y V (x; t) es la función buscada que satisface: @2V @2V @2W @2W = + f (x; t) + @t2 @x2 @t2 @x2 V (0; t) = 0 = V (L; t); V (x; 0) = 0 (x) W (x; 0) @V @W (x; 0) = (x; 0); 1 (x) @t @t que se resuelve según lo visto en el ejemplo 3. EJEMPLO. Estudiar las oscilaciones transversales forzadas de una cuerda sujeta en el extremo x = 0; y sometida en el otro extremo, x = L; a la acción de una fuerza perturbadora armónica que provoca un desplazamiento igual a A sin wt; donde A es contante. Solución: El problema se reduce a integrar la ecuación: @2u @t2 u(x; 0)

@2u ; u(0; t) = 0; @x2 @u 0; (x; 0) = 0 @t

= a2 =

u(1; t) = A sin wt

Sea u = V + W; donde: W (x; t) = ( 1 x + 1 )g1 (t) + ( 2 x + 2 )g2 (t); W (0; t) = 1 g1 (t) + 2 g2 (t) = 0 2 A sin wt = 0 =) 2 = 0; ya que g1 (t) = 0 W (1; t) = 2 A sin wt = A sin wt =) 2 = 1; luego W (x; t) = xA sin wt

88

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

@W = Awx cos wt @t @2W = Aw2 x sin wt @t2 @W @2W =0 = Aw cos wt; @x @x2 @W W (x; 0) = 0; (x; 0) = Awx @x La función V (x; t) satisface 2 @2V 2@ V = a + Aw2 x sin wt @t2 @x2 @V V (0; t) = 0 = V (1; t); V (x; 0) = 0; = Awx @x Buscamos la solución de la forma:

V (x; t) =

1 X

Vn (t)Xn

n=1

donde Xn son las funciones propias del problema de Sturm-Liouville X" + X = 0; X(0) = X(1) = 0; en el cual las funciones propias son sin n x y los valores propios (n )2 :Esto es, n = X V (x; t) = Vn (t) sin n x n=1

Del ejemplo 3,

V "n + (n a)2 Vn = fn (t);

Vn (0) = 0;

donde fn (t) 2Aw2 sin wt

Z

=

2

Z

Vn0 (0) =

1n

1

Aw2 x sin wt sin n xdx

0

1

2Aw2 sin wt cos n

x sin n xdx =

0

=

2

Z

1 (n)

1

Awx sin n xdx =

2Aw cos n

0

La solución particular Vn (t) (del ejemplo 3) tiene la forma: Vnp (t) = (1=n a)

Z

1

sin n a(t

s)][ 2Aw2 cos n sin nws]ds

0

y la solución de la homogénea: VnH (t) = ( 2Aw cos n )=(n a) sin n at Reemplazando en la solución V (x; t); encontramos que X u(x; t) = Ax sin wt + (Vnp (t) + VnH (t)) sin n x n=1

3. M ÉTODO DE FOURIER

89

Oscilaciones Eléctricas en los Cables. Ecuaciones Telegrá…cas. (3.30) (3.31)

ix + cvt + Gv = 0; vx + Lit + Ri = 0

Derivemos la primera ecuación respecto a x y a la segunda respecto a t; tenemos ixx + cvtx + Gvx = 0 vxt + Litt + Rit = 0 así que : ixx + Gvx clitt cRit = 0 y sustituyendo en la segunda ecuación vx ixx = clitt + (cR + Gl)it + GRi Si se pueden despreciar las pérdidas a través de la aislación y si la resistencia es muy pequeña (G = R 0), obtenemos q 1 itt = a2 ixx a = Lc EJERCICIOS 1. Resolver la ecuación diferencial @2u @2u = a2 2 ; 2 @t @x para las siguientes condiciones: a.

u(0; t) = u(L; t) = 0; b.

@u (L; t) = 0; @x

u(0; t) = 0;

@u = sin(2 =Lx) @t

u(x; 0) = 0;

u(x; 0) = sin 5 =2Lx;

@u (x; 0) = cos =2Lx @t

c. u(0; t) = 0;

ux (L; t) + hu(L; t) = 0; u(x; 0) = @u (x; 0) = 1 (x); h>0 @t

d. ux (0; t)

hu(0; t) = ;

u(x; 0) = 0;

ux (L; t) + hu(L; t) =

;

ut (x; 0) = 0

2. Resolver 2 @2u 2@ u = a + Ae @t2 @x2

u(L; t) = 0; 3. Resolver

@2u @2u = ; 2 @t @x2

t

cos =2x;

u(x; 0) = 0 ;

ux (0; t) = 0: ut (x; 0) = 0:

u(0; t) = t2 ; u(1; t) = t3

u(x; 0) = sin x;

@u (x; 0) = 0: @t

0 (x);

90

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

4. Resolver @2u @t2

@2u @u +2 @x2 @t

=

ux (0; t)

=

u(x; 0)

4x + 8et cos x;

2t; u( ; t) = t 2 @u = cos x; (x; 0) = 2x: @t

3.2. Membrana rectangular. Como otro problema importante del campo de las vibraciones, se considera el movimiento de una membrana homogénea de masa m por unidad de área, elástica y ‡exible, como el parche de un tambor rectangular o circular, esto es, tan delgada que no ofrece resistencia alguna a la ‡exión. En primer lugar, supongamos que las vibraciones son tan pequeñas que cada punto se mueve sólo en la dirección z; con desplazamiento dado en el instante t por una función u(x; y; t): Consideremos un pequeño fragmento de la membrana ( Fig. — ) limitado por planos verticales que pasan por los siguientes puntos del plano xy : (x; y); (x + x; y); (x; y + y); (x + x; y + y):La masa del fragmento es igual a m x y; y por la segunda ley de Newton vemos que @2u @t2 es la fuerza que actua sobre el fragmento en la dirección z: Cuando la membrana esta en la posición de equilibrio, la tensión constante T tiene el siguiente signi…cado físico: A lo largo de cualquier segmento de longitud s; el material a un lado ejerce una fuerza, normal al segmento y d emagnitud T s, sobre el material del otro lado. En este caso las fuerzas sobre aristas opuestas de nuestro pequeño fragmento son paralelas al plano xy y se cancelan entre sí. Cuando la membrana esta curvada, como en la posición instantánea del movimiento que muestra la Figura — , suponemos que la deformación es tan pequeña que la tensión es todavía T pero ahora actua paralelamente al plano tangente, por lo que presenta una componente vertical apreciable. Es la curvatura del trozo de la membrana la que produce magnitudes diferentes para esas componentes verticales sobre aristas opuestas, y es a la vez responsable de las fuerzas de recuperación que darán lugar al moviemiento. Analizamos estas fuerzas suponiendo que el fragmento de membrana denotado ABCD está sólo ligeramente curvado. Esto hace posible sustituir los senos de ciertos ángulos pequeños por sus tangentes en lo que sigue. A lo largo d elas aristas DC y AB; las fuerzas son perpendiculares al eje x y casi paralelas al eje y; con pequeñas componetes en el eje z aproximadamente igual a (3.32)

F =m x y

T x(

@u )jy+ @y

y

y -T x(

@u )jy ; @y

de modo que su suma viene a ser T x(

@u )jy+ @y

y

T x(

@u )jy @y

Haciendo lo mismo para las aristas BC y AD, hallamos que la fuerza total en la dirección de u (z), despreciando las fuerzas externas es aproximadamente F = T x(

@u )jy+ @y

y

T x(

@u @u )jy + T y( )jx+ @y @y

x

T y(

@u )jx @y

3. M ÉTODO DE FOURIER

91

aplicando el teorema de valor medio y tomando los límites cuando tenemos @2u @2u @2u = a2 ( 2 + 2 ) (3.33) 2 @t @x @y

x ! 0; y ! 0,

donde a2 = T =m que es la ecuación de ondas bidimensionales, además se cumple las condiciones: u = 0 en la frontera @u (x; y; 0) = g(x; y); @t Si la membrana tiene la forma rectangular, la condición u = 0 en la frontera se escribe de la forma

(3.34)

(3.35)

u(x; y; 0) = f (x; y);

u(0; y; t) = 0;

u(a; y; t) = 0;

u(x; 0; t) = 0;

u(x; b; t) = 0

Aplicando el método de Fourier buscamos la solución de la forma (3.36)

u(x; y; t) = F (x; y)T (t)

Sustituyendo (5) en la ecuación de onda (2), se tiene: F T " = a2 (

@2F @2F + )T @x2 @y 2

Dividiendo por F T , T" 1 @2F @2F = ( + ) a2 T F @x2 @y 2 Dado que el miembro izquierdo de la igualdad anterior solo depende de t, mientras que el derecho depende de x; y, las expresiones en ambos miembros deben ser iguales a una constante, y se puede ver de la misma forma que para el caso unidimensional 2 donde la constante es negativa. Denotemos esta constante como . Entonces: (3.37)

T " + a2

(3.38)

@2F @2F + + 2 @x @y 2

(3.39)

F (0; y) = 0;

F (a; y) = 0;

2

T =0

2

F =0

F (x; 0) = 0;

F (x; b) = 0:

Esto es, tenemos un problema de búsqueda de valores propios del operador L que actúa sobre la función u por la regla: @2u @2u + 2) = u @x2 @y Por el método de Fourier, F (x; y) = X(x)Y (y), y al sustituirla en (7) se obtiene: Lu = (

X"Y = dividiendo ambos miembros por X X"=X y X"=X X" +

2

X

= = =

(XY " +

;

XY );

Y

1=Y (Y " + 2

2

2

Y );

1=Y (Y " +

2

Y)=

2

0 Y " + ! 2 Y = 0 donde ! 2 =

2

2

92

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

junto con las condiciones X(0) Y (y) = 0; X(a) Y (y) = 0; X(x) Y (0) = 0; X(x) Y (b) = 0; de donde se desprende que X(0) = 0; X(a) = 0; Y (0) = 0; Y (b) = 0. Resolviendo estos problemas, obtenemos: X(x) = A cos( x) + B sin( x) Y (y) = C cos(py) + D sin(py) y de las condiciones de contorno =

m ; a

!=

n b

luego Xn (x) = sin(m x=a);

Yn (y) = sin(n y=b)

y Fnm (x; y) = sin(m x=a) sin(n y=b);

son las funciones propias del operador L, cuyos valores propios son p (m2 =a2 + n2 =b2 ) n; m = 1; 2; ::: nm = La solución correspondiente a la ecuación T " + a2 Tnm (t) = Anm cos( y u(x; y; t)

=

XX

nm at)

2

T = 0 será

+ Bnm sin(

nm at)

unm (x; y; t) =

m=1 n=1

=

XX

[Anm cos(

nm at)

+ Bnm sin(

nm at)] sin(m

x=a) sin(n t=b)

m=1 n=1

Para satisfacer las condiciones iniciales utilizamos el teorema de Steklov y expresamos las funciones f (x; y) y g(x; y) en una serie con respecto a las funciones propias del operador L, o sea 1 X f (x; y) = amn Fmn (x; y) m;n=1

donde

amn g(x; y)

= =

1=kFmn k2 1 X

Luego:

=

a

0

Z

b

f (x; y) sin(m x=a) sin(n y=b)dxdy

0

bmn Fmn ;

m;n=1

bmn

Z

1=kFmn k2

Z

a

0

Amn Bmn

Z

b

g(x; y) sin(m x=a) sin(n y=b)dxdy

0

= amn = (1= mn )bmn

Hemos obtenido así la solución del problema ( )-( ). EJEMPLO Una membrana homogénea cuadrada, que tiene en el instante inicial t = 0 la forma xy(1 x)(1 y); comienza a vibrar sin velocidad inicial. Investigar las vibraciones libres de la membrana, si está sujeta por los bordes.

3. M ÉTODO DE FOURIER

Solución: Tenemos que u(x; y; t) = Anm

XX =

4

(Anm cos nmat + Bnm sin

Z

1

Z

1

Bnm

=

4=

xy(1

y(1

0 n;

Z

u(x; y; t)

=

x)(1

y) sin n ydy

1

x sin n y

Z

y) sin m x sin n ydxdy = Z

1

x(1

x) sin m xdx

0

1

0 sin n x sin m ydxdy = 0

0

0

luego

nm at) sin m

1

0

0

4

Z

93

64= cos

6

X X sin(2m + 1) x sin(2n + 1) y (2n + 1)3 (2m + 1)3 m n

p ((2n + 1)2 + (2m + 1)2 )a t(2m + 1)3

3.3. Membrana circular. El problema consiste ahora en hallar las vibraciones transversales de una membrana homogénea redonda de radio R, sujeta por los bordes, si en momento inicial tiene la forma de super…cie de revolución f (x; y) y las velocidades iniciales son g(x; y) (3.40)

(3.41)

@2u = a2 u @t2 u@D = 0 u(x; y; 0) = f (x; y);

ut (x; y; 0) = g(x; y)

Observemos que ahora las condiciones de frontera no se separan ya que no se dan sobre líneas paralelas a los ejes; si logramos transformar la región de tal forma que las condiciones de frontera se dieran sobre líneas paralelas a los correspondientes ejes, podemos usar los resultados de arriba. Cambiemos a un sistema de coordenadas polares (r; ) de…nido por x = r cos , y y = r sin , por lo tanto la región se transforma en un rectángulo [0; R] [0; 2 ]. El problema queda entonces enunciado de la siguiente manera: (3.42) (3.43)

@2u @ @u @2u = a2 (1=r (r ) + 1=r2 2 ); 2 @t @r @r @ u(R; ; t) = 0; u(r; ; 0) = f (r; ); ut (r; ; ) = g(r; );

ya que la membrana está …ja a lo largo de la frontera u(0; ; t) es acotada, además (3.44)

u(r; ; t) = u(r; + 2 ; t)

Buscamos la solución por el método de Fourier, o (separación de variables (3.45)

u(r; ; t) = V (r; )T (t)

sustituyendo (4) en (1) y dividiendo por V (r; )T (t), e igualando a

, se tiene

94

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

T "=a2 T = 1=V [1=r

@ @V @2V (r ) + 1=r2 2 ] = @r @r @

de donde T " + a2 T = 0 @ @V @2V 1=r (r V ) + 1=r2 2 = @r @r @ junto con las condiciones de frontera que se obtienen al reemplazar (4 ) en (2). Planteamos el problema de la búsqueda de valores propios del operador L, para el cual Lu = 1=r (3.46) (3.47)

LV = V (R; ) =

@ @u @2u (r ) + 1=r2 2 @r @r @

V ; V (0; ) acotado 0; V (r; ) = V (r; + 2 )

buscamos a la solución V (r; ) = X(r)Y ( ); sustituyendo (5), luego de dividir por X(r):Y ( ); tenemos: 1 d dX [r (r )] + Y "=Y + r2 X dr dr d dX 1=Xr (r ) + r2 dr dr

=

0

=

Y "=Y =

de donde (3.48)

Y"+ Y

=

0

=r2 )X

=

0

d dX 1=r (r (3.49) )+( dr dr con condiciones de contorno Y ( ) = Y ( + 2 );

X(0) acotada;

X(R) = 0

Para obtener soluciones no triviales periódicas para Y , solución tendrá la forma

debe ser igual a n2 y la

Yn ( ) = D1n cos n + Dn2 sin n Para resolver el problema 1=r

d dX (r )+( n2 =r2 )X = 0; dr dr X(0) acotada; X(R) = 0;

introduzcamos el siguiente cambio de variable : p p z= r; X(r) = X(z= ) = Y (z); obteniendo la ecuación d2 w dw + 1=z + (1 dz 2 dz

n2 =z 2 )w = 0

3. M ÉTODO DE FOURIER

w(z0 ) = 0;

z0 =

p

R;

95

w(0) acotada:

La solución de esta ecuación es: w(z) = d1 Jn (z) + d2 Nn (z) donde Jn (z) son funciones de Bessel y Nn (z) funciones de Neumann de orden n. De la condición de acotamiento se desprende que condición p p d2 = 0, y la primera (n) (n) nos da Jn ( R) = 0. Denotando como n = R , ó , n;m = ( m =R)2 cuya (n) función propia Xnm = Jn ( m =R). Se debe recordar que entre las propiedades de las funciones de Bessel están: - Las funciones propias correspondientes a valores propios diferentes, son ortogonales con función peso r: Z

R

rXnm1 Xnm2 dr = 0;

m1

0

6=

m2

- La norma de una función de Bessel, kJn0 (

(n) 2 m r=R)k

es : Z

R

rJn2 (

= R2 =2[Jn0

(n) m r=R)dr

(n) 2 m ] :

0

Además, cualquier función dos veces derivable, continua junto con sus derivadas en (0; R) , satisface las condiciones f (0) acotada y f (R) = 0 ; se puede expresar en una serie convergente (absolutamente y uniformemente) con respecto al conjunto (n) de funciones Jn ( m r=R) , o sea

f (r)

1 X

=

fm Jn ((

m=1

fm

=

2

1=kJn k

Z

(n) m r=R))

R

rf (r)Jn ((

(n) m r=R))dr

0

Volviendo a nuestro problema original tenemos: n;m

= ((

(n) 2 m =R))

y sus correspondientes funciones propias (1) Vn;m

= Jn ((

(n) m =R)r) cos n

(2) Vn;m

= Jn ((

(n) m =R)r) sin n

Tomando la combinación lineal de V (1) y V (2) , Vn;m = Jn ((

(n) m =R)r)[Anm

cos n + Bnm sin n ]

96

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Para evaluar la norma de Vn;m podemos hacer lo siguiente: Z Z (1) 1 Vn1;m1 Vn2;m2 drd = D

D

Z

Z

R

Z

Jn1 ((

(n1) m1 =R)r) cos n1

R

rJn1 ((

( m2 n2)=R)r) sin n2

Jn2 ((

0

0

=

2

(n1 (n2) m1 =R)r)Jn2 (( m2 =R)r)dr

0

Z

2

cos n1 sin n1 d

0

2 De la misma manera obtenemos la norma para Vn;m . De la teoría general se deduce que Çualquier función F (r; ) con derivadas primera y segunda continuas, que satisfaga las condiciones de frontera del problema se puede desarrollar en la serie:

F (r; ) =

XX

(1) (2) (An;m Vn;m + Bn;m Vn;m )

n=0 m=0

que converge uniforme y absolutamente; y cuyos coe…cientes son: 2

An;m = 1=kVn;m k

Bn;m = 1=kVn;m k2

Z

2

0

Z

0

Z

R

F (r; )Jn (

(n) m =Rr) cos n

rdrd

F (r; )Jn (

(n) m =Rr) sin n

rdrd

0

2

Z

R

0

Volviendo al problema inicial de las oscilaciones transversales de una membrana circular con desviación y velocidad inicial dada, su solución se puede escribir de la forma: u(r; ; t)

=

XX

(1) (n) Vn;m (An;m cos (n) m at=R + Bn;m sin m at=R XX (n) + V (2)n;m (Cn;m cos (n) m at=R + Dn;m sin m at=Rt)

los coe…cientes An;m , Bn;m , Cn;m , Dn;m se determinan de las condiciones iniciales. EJEMPLO. Hallar las vibraciones propias de una membrana homogénea circular de radio R, sujeta por los bordes; si en el momento inicial tiene la forma de un paraboloide de revolución y la velocidad inicial es igual a cero. Solución: Debemos resolver la ecuación 2 @2u @u 2@ u = 1=a + 1=r @r2 @r @t2 u(0; t) es de magnitud …nita,

u(R; t) = 0; donde

u(r; 0) == A(1

A es una constante @u (r; 0) = 0 @t

r2 ); R2

rdrd

3. M ÉTODO DE FOURIER

97

Se observa que en la ecuación diferencial no aparece la segunda derivada con respecto a , esto se debe a que la función u no depende de ; de acuerdo a las condiciones iniciales. en este caso tenemos n = 0, y la solución u(r; t)

X

=

m=0

u(r; t)

X

=

(1)

V0;m fA0;m cos[at J0 (

(0) m r=R)(A0;m

(0) m =R]

+ Bo;m sin[at

cos a

(0) M t=R

(0) m =R]g

+ B0;m sin a

(0) m t=R)

m=0

con las condiciones iniciales: X

r2 =R2 ) =

u(r; 0) = A(1

am J0 (

(0) m r=R)

m=0

con: am = 1=kJ0 (

(0) 2 m r=R)k

Z

R

r2 =R2 )J0 (

A(1

(0) m r=R)rdr

0

kJ0 k2 = R2 =2[J00 (

(0) 2 m )]

= R2 =2J12 (

(0) m )

Calculando las integrales A

Z

R

rJ0 (

(0) m r=R)dr

+ 1=R2

0

2

r 3 J0 (

(0) m r=R)dr

0

y teniendo en cuenta que Z

Z

x

x3 J0 (x)dx = 2x2 J0 (x) + (x3 + 4x)J1 (x)

0

obtenemos

u(r; t) = 8A

1 X

(J0 (

(0) 3 (0) (0) m =Rr)=( m J1 ( m )) cos a m t=R

m=1

EJEMPLO. Hallar las oscilaciones de una membrana circular con el borde …jo en un medio sin resistencia causadas por la presión constante uniforme. Demostraciòn de las propiedades de ortogonalidad. Sea y = Jp (x) solución (3.50)

y" +

1 0 y + (1 x

p2 )y = 0 x2

Sean a y b son constantes positivas distintas, las funciones u(x) = Jp ( x) y v(x) = Jp (bx) satisfacen (3.51)

u" +

1 0 u + (a2 x

p2 )u = 0 x2

(3.52)

v" +

1 0 v + (b2 x

p2 )v = 0 x2

98

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Ahora multipliquemos estas ecuaciones respectivamente por v y u, restamos los resultados y obtenemos d 0 (u v dx

(3.53)

0

v u) +

1 0 (u v x

0

v u) = (b2

a2 )uv

multiplicando () por x tenemos 0 d (x(u v dx Integrando desde 0 a 1resulta

(b

2

2

a )

Z1 0

0

v u)) = (b2

a2 )uvx

h 0 xuvdx = x u v

vu

0

i

j10

observemos que u(1) = Jp (a) y v(1) = Jp (b) si a y b son ceros distintos positivos de Jp (x), tenemos Z1

xJp (

m x)Jp ( n x)dx

=0

0

Z1

xJp2 (

n x)dx

=

1 2 J ( 2 p+1

n)

0

Ejercicios. Encontrar la solución del problema mixto @2u @t2

donde

k

@ 2 u 1 @u + f (t)Jo ( k x); + @x2 x @x @u u(1; t) = 0; u(x; 0) = 0; (x; 0) = 0: @t son las raíces positivas de la ecuación Jo ( ) = 0; 0 < x < 1; si =

1: f (t) = t2 + 1; 2: f (t) = sin t + cos t 4.

Ecuaciones diferenciales parabólicas

4.1. Principio del Valor Máximo. Si una función u(x; t), determinada y continua en la región cerrada 0 t T y 0 x 1, satisface la ecuación de el calor ut = a2 uxx , en los puntos de la región , los valores máximo y mínimo de la función u(x; t) se alcanza o bien en el momento inicial, o bien en los puntos de frontera x = 0 ´0 x = 1. Veamos primero la demostración de el teorema para el valor máximo. La demostración se lleva a cabo por el método de reducción al absurdo. Denotemos por M el valor máximo de u(x; t) para t = 0 (0 x 1), o para x = 0, o bien para x = 1 (0 t T ) y supongamos que en cierto punto (x0 ; t0 ) la función u(x; t) alcanza su valor máximo, igual a u(x0 ; t0 ) = M + . Comparemos los signos de ambos miembros de la ecuación ut = a2 uxx en el punto (x0 ; t0 ). Como en este punto la función alcanza su valor máximo, necesariamente debe ser ux (x0 ; t0 ) = 0 y uxx (x0 ; t0 ) 0. Continuando, como u(x0 ; t) alcanza su valor máximo para t = t0 ,

4. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS

99

entonces ut (x0 ; t0 ) 0. Comparando los signos de ambos miembros de la ecuación ut = a2 uxx se observa que estos son diferentes. Sin embargo, este razonamiento aun no demuestra el teorema, puesto que ambos miembros pueden ser iguales a cero, lo cual no implica ninguna contradicción. Para efectuar la demostración completa hallemos un punto (x1 ; t1 ) en el cual uxx 0 y ut > 0. Para esto tomemos la función auxiliar. v(x; t) = u(x; t) + k(to t); donde k es cierto número constante. Es evidente que: v(x0 ; t0 ) = u(x0 ; t0 ) = M + K(t0

t)

kT:

Tomemos k > 0 de forma tal que kT sea menor que =2, es decir k < =2T ; entonces el valor máximo de v(x; t) para t = 0, o bien para x = 0, x = 1 no superara a M + =2, es decir, v(x; t)

M + =2 o

x = 0;

o x = 1:

Puesto que u(x; t) no supera a M y k(t0 t) no supera a =2. En virtud de la continuidad de la función v(x; t), esta debe alcanzar su máximo valor en cierto punto (x1 ; t1 ). Es evidente que v(x1 ; t1 ) v(x0 ; t0 ) = M + . Por esto, t1 > 0, 0 < x1 < 1, puesto que para t = 0 ó x = 0, x = 1 se tiene v(x; t) M + =2. En el punto (x1 ; t1 ) se cumple vxx (x1 ; t1 ) 0 y vt (x1 ; t1 ) 0. Teniendo encuenta v(x; t) = u(x; t) + k(t0 t), se halla: uxx (x1 ; t1 ) = vxx (x1 ; t1 ) 0 ut (x1 ; t1 ) = vt (x1 ; t1 ) + k k > 0: De aquí se deduce que: ut (x1 ; t1 )

a2 uxx (x1 ; t1 ) 2

k > 0;

es decir no se satisface la ecuación ut = a uxx , en el punto interior. Con esto queda demostrado que la solución u(x; t) de la ecuación de la conducción de el calor, dentro de la región, no pueden tomar valores que superen al valor máximo de u(x; t) en la frontera. Analogamente se puede demostrar tambien la segunda parte de el teorema, sobre el mínimo, aunque esto no tiene sentido demostrase por separado, puesto que la función u1 = u tiene su valor máximo donde u tiene el mínimo.

100

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

4.2. Problema de valor inicial-forntera. Hallar la solución continua en la región 0 x L , 0 t T , de la ecuación homogénea @u @2u = k(t) 2 ; @t @x que satisfaga la condición inicial

(4.1)

(4.2)

0 < x < L;

u(x; 0) = (x);

0

x

0 0 para t 2 [0; T ] ; la función (x) es una función continua en 0 x L con derivada continua a trozos y (L) = (0) = 0 : Buscando la solución de la forma u(x; t) = w(x)T (t) Obtenemos w" + w = 0 w(0) = 0;

(4.4) (4.5)

w(L) = 0

T " + k(t)T = 0

Resolviendo el problema de Sturm-Liouville, tenemos que n

A estos valores

= (n =L)2 ;

n

n = 1; 2; ::: wn = sin(n x=L)

le corresponde las soluciones de (5) 8 9 Zt < = Tn (t) = cn exp (n =L)2 k(s)ds : ; 0

donde cn son coe…cientes por ahora indeterminados. Escribiendo formalmente la serie 8 9 Zt < = X (4.6) u(x; t) = cn exp (n =L)2 k(s)ds sin(n x=L); : ; 0

observamos que u(x; t) satisface todas las condiciones de frontera puesto que las satisfacen todos los términos de la serie. Al pedir que se cumplan las condiciones iniciales, se obtiene X (4.7) (x) = u(x; 0) = cn sin(n x=L)

esto es los cn son los coe…cientes de Fourier de la función (x) al desarrollarla en serie de senos en el intervalo (0; L): Z L cn = n = 2=L (x) sin(n x=L)dx; 0

luego (4.8)

u(x; t) =

1 X

n=1

2=L

Z

0

L

( ) sin(n

=L)d exp

8 < :

(n =L)2

Zt 0

k(s)ds

9 = ;

sin(n x=L)

4. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS

101

Demostremos que la serie (9) satisface todas las condiciones del problema (1)-(3): Como la ecuación (1) es lineal, en virtud del principio de superposición, la serie formada por soluciones particulares, también será solución, si ésta converge y se le puede derivar término a término dos veces con respecto a x, y una vez con respecto a t. Si tomamos t t0 > 0 (t0 es un número auxiliar cualquiera), demostraremos que las series de las derivadas X @un

@t convergen uniformemente. En efecto @un j = j j @t j

X @ 2 un

;

@x2

cn (n =L)2 k(t) exp 8 <

8 < :

(n =L)2

Zt

k(s)ds

0

@un j < jcn jj(n =L)2 exp (n =L)2 : @t

Zt

k(s)ds

0

Recordando que

cn = 2=L

Z

9 = ;

j

9 = ;

sin(n x=L)j

L

(x) sin(n x=L)dx;

0

de aquí vemos que jcn j < 2M , donde M es una constante mayor que cero; asi que @ 2 un j < 2M ( =L)2 n2 expf (n =L)2 a2 tg para t @x2 P1 Investiguemos la convergencia de la serie mayorante n=1 n , donde

j

@un j < 2M ( =L)2 n2 e (n =L)2 a2 t0 ; @t

n

j

= n2 expf (n =L)2 a2 t0 g

En virtud del criterio del cociente, esta serie es convergente ya que lm j

n!1

n+1 = n j

= =

( =2)2 a2(2n+1) t0

l m ((n + 1)2 =n2 )(e

n!1

l m (1 + 1=n)2 e

( =L)2 a2(2n+1) t0

n!1

De aquí se desprende la posibilidad de derivar la serie (9) término a término; y dado que t0 es arbitrario, podemos tomar esta condición para t > 0. Ejemplo. Se tiene una varilla delgada de longitud L, compuesta de dos trozos heterogéneos. El extremo x = 0 se mantiene a una temperatura de cero grados, lo mismo que el extremo x = L. La temperatura inicial dentro de la barra es f (x). Determinar la temperatura para t > 0. Solución: El modelo matemático asociado a este problema es: @u @t 2 @u a2 @t a21

= =

@2u ; @x2 @2u ; @x2

00

u(x; 0) = 0

4. Una solución de cierta sustancia se encuentra contenida entre los planos x = 0 y x = h , siendo la concentración inicial de la sustancia, constante (c0 ). En un momento dado la sustancia disuelta empieza a difundirse hacia un disolvente situado entre los planos x = h y x = L. Determinar el proceso de compensación de la concentración sabiendo que los planos x = 0 y x = L son impermeables para la sustancia. 5. Una barra de longitud L está formada de dos trozos heterogéneos de igual sección transversal, que se unen en el punto x = x0 y poseen las características a1 ,k1 y a2 ,k2 respectivamente. Hallar la temperatura permanente en esta barra (ondas térmicas), si un extremo de ella (x = 0) se mantiene a cero grados, y la temperatura del segundo varía sinusoidalmente con el tiempo. 6. Hallar la temperatura u(x; t) de una barra cuya temperatura inicial es igual a cero, si las condiciones de frontera tienen la forma u(0; t) = Ae t , u(L; t) = B, siendo A y B constantes, y > 0. Resolver: 7. @u @2u = a2 2 u; @t @x u(0; t) = u(L; t) = 0 u(x; 0) = (x) 8. @u @t

= a2

u(0; t)

=

u(x; 0)

=

@2u @x2

u;

@u (0; t) = 0 @x sin( x=L) 0;

104

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

9. @2u ; @x2 @x u(0; t) = 0; (L; t) = q; @u u(x; 0) = Ax: @u @t

= a2

10. Mostrar que la ecuación diferencial Vt = a2 Vxx + bVx + v se reduce a la forma ut = a2 uxx si se realiza el cambio 2 = u = e x+ t :u con = 2a2 4a2 4.3.

Propagación de calor en la recta in…nita. Además de los proble-

mas citados anteriormente, a menudo se encuentran los casos límite. Consideremos el proceso de calor en una barra muy larga. Durante un pequeño intervalo de tiempo, la in‡uencia del régimen térmico dado en la frontera in‡uye muy débilmente en la parte central de la barra, y la temperatura en este intervalo se determina fundamentalmente solo por la distribución inicial de la temperatura. En este caso, el cálculo exacto de la longitud de la barra no tiene signi…cación puesto que la variación de la longitud no in‡uirá fundamentalmente en la temperatura del intervalo que nos interesa; en problemas de este tipo comúnmente se considera que la barra posee longitud in…nita. De este modo, se plantea el problema en condiciones iniciales (Problema de Cauchy) sobre la distribución de la temperatura en la recta in…nita: "Hallar la solución de la ecuación del calor en la región 1 < x < 1 y t t0 , que satisfaga u(x; t0 ) = (x), donde (x) es una función dada." El problema a resolver será: @u @2u = a2 2 ; @t @x u(x; 0) = (x)

(4.16) (4.17)

1 0

El in…mo de los números a para el cual tiene lugar (2), esto es la magnitud nf a = ao se denomina exponente de crecimiento de la función f (t). Anotemos que para a = ao la desigualdad (2) puede ser que no tenga lugar, como por ejemplo, en el caso de que f (t) sea un polinomio (ao = 0). Ejemplos. Las funciones f (t) = t,f (t) = e t,f (t) = 2t cos t son de orden 2 exponecial a = 1, para t > 0. La función f (t) = et no es de orden exponencial. La integral (1) es una integral impropia, su región de convergencia es el conjunto de todos los complejos para los cuales la integral tenga sentido. En síntesis para poder R 1 phablar de la tranformada de Laplace de una función f (t) se necesita que e tf (t)dt converja; para ello enunciamos el siguiente teorema. 0

TEOREMA 1.

Sea a0 el orden exponencial de crecimiento de f (t). Entonces la transformada de Laplace (1) converge para todos los valores p tales que a0 , y además para los p que satisfacen la condición a0 la convergencia es uniforme. Demostración. Sea p = x + iy , x > a0 . Elegimos > 0 de tal forma que x > a0 + . Entonces,

Z

1

e

xt

0

(0.3)

(e( x+a0 + )t) 1 j M x + a0 + 0

j

F (p) j=j

j

f (t) j dt

=

M a0

(x

Z

1

e

pt

0

Z

1

e

f (t)dt j: xt

M e(a0 + )t dt =

0

)

de esta desigualdad concluimos que x > a0 la función F (p) es mayorada por una integral que converge absolutamente. Si además x x0 > a0 , entonces

5. TRANSFORM ADA DE LAPLACE

Z

1

145

M M1 < (x0 a0 ) (x0 a0 ) 0 y esto signi…ca que la transformada de Laplace converge uniformemente. Comentario. De la relación (3) se desprende que si 3. 3. Evaluar L[H(t)], donde H(t) es la función de Heaviside. Facilmente se comprueba que F (p) = p1 .

146

5. TRANSFORM ADA DE LAPLACE

4. Evaluar L[f (t)], donde f (t) = [t] es la función parte entera de t. 5.Evaluar L[f (t)], donde f (t) = t [t]. 6. Sea un número positivo y consideremos la función f (t) de…nida por 1

f (t) =

; si 0 t 0 si x > 0

R1 R anotemos que 0 f (t)dt = 0 1 dt = 1. La transformada de Lapace de f (t) es p F (p) = 1 pe . Además l m !0 L[f (t)] = 1. Estrictamente hablando, l m f (t) !0

no existe como función, de modo que L[l m damos la rigurosidad podemos decir que

!0

f (t)] no esta de…nido, pero si olvi-

(t) = l m f (t) !0

es una especie de "función generalizada"que es in…nita en t = 0 y nula en t > 0 y tiene las propiedades Z 1 (t)dt = 1 L[ (t)] = 1 0

llamada función delta de Dirac o función impulso. Propiedades de la Imagen. 1. Linealidad. Supóngase L[fk (t)] = Fk (p), ak ,k = 1; 2; ::N . Entonces la imagen de la combinación lineal N X

ck fk (t);

ak

constanes;

k=1

es una combinación lineal de las imagenes, esto es L[

N X

ck fk (t)] =

k=1

N X

ck Fk (p);

k=1

max

1 x n

2. Teorema de escalamiento. Supónagse que L[f (t)] = F (p) para ao . Entonces para cualquier constante c > 0 es valída la relación L[f (ct)] =

1 p F ( ) para c:ao c c

3. Teorema del retardo. Supóngase que L[f (t)] = F (p) para ao y f (t) =

f (t

); si t 0 si t <

R1 R 1 pt e f (t Entonces L[f (t)] = e p F (p). Veamos L[f (t)] = 0 e pt f (t)dt = R1 p )dt = 0 e e pu f (u)du. 4. Teorema. Supóngase que la función f (t) y sus derivadas f (k) (t), k = 1; 2; : : : ; n, son las originales, además L[f (t)] = F (p) para a0 . Entonces es válida la fórmula L[f 0 (t)] = pF (p) f (0) y en general L[f (k) (t)] = pk [F (p)

f (0) p

f 0 (0) p2

:::

f (k

1)

pk

(0)

]

5. TRANSFORM ADA DE LAPLACE

147

Demostración: Verdaderamente despues de derivar por partes llegamos a la igualdad Z 1 e pt f 0 (t)dt L[f 0 (t)] = 0 Z 1 pt 1 = e f (t)j0 + p e pt f (t)dt = pF (p) f (0) 0

Ahora para k = 2: L[f "(t)] = L[((f 0 (t))0 ] = p[pF (p)

f 0 (0)

f (0)]

Y así sucesivamente para k = 3; 4; : : : ; n.

DERIVADA DE LA IMAGEN (de la Transformada) Si F (p) = L[f (t)] para a0 , entonces F 0 (p) = L[ tf (t)] y F n (p) = L[( t)n f (t)];

(0.4)

n = 2; 3; : : :

Demostración: Derivando F (p) con respecto a p y observando que la multiplicación de f (t) por tk para cualquier k = 1; 2; :: no eleva el orden de crecimiento de la función f (t) obtenemos la siguiente igualdad, Z 1 F 0 (p) = e pt ( t)f (t)dt 0

Empleando esta relación y por inducción podemos obtener la fórmula para F ( n)(p).

0.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE. En los parrafos anteriores nosotros nos dedicamos a la busqueda de la imagen a través de del oiginal bien por la de…nición o bien aplicando las propiedades de la transformada de Laplace. Sin embargo en la solución de muchos problemas practicos se llega a un problema de determinar el original a través de la imagen. La solución parcial de este problema se da por el teorema siguiente. Teorema de Mellin. Sea F (p) una función analítica en a0 , F (p) es la imagen de una función sueve a trozos en el segmento [0; 1), f (t) con orden de crecimiento exponecial ao . Entonces es válida la fórmula f (t) =

1 2i

Z

x+i1

ept F (p)dp; x > a0

x i1

Demostración: Sea x > a0 . Consideremos la función auxiliar '(t) = e xt f (t). Como f (t) es suave a trozos, entonces '(t) también será suave a trozos en cada sgmento [0; 1). Además '(t) es absolutamente integrable ya que, Z

0

1

j '(t) j dt =

Z

1

e

xt

0

=M

j f (t) j dt

Z

0

1

e

(x a0

M

Z

0

)t

dt

1

e

xt (a0 + )t)

e

dt =

148

5. TRANSFORM ADA DE LAPLACE

Tomemos tan pequeño como sea necesario para que se cumpla x a0 > 0.Entonces la integral de la derecha converge en [0; 1). Representemos función '(t) con la ayuda de la integral de Fourier, observando que 1 [f (t + 0) + f (t 2

f (t) =

'(t)

= =

Z

1 1

Z

1 2

Z

1

1

'(u)ei2v(t

1

Z

1

0)] ;

1

u)

dudv

'(u)eiw(t

u)

dudw

0

Colocando en esta expresión en lugar de '(t), la expresión e Z 1 Z 1 1 eiwt dw f (u)e 2 1 0 que puede ser escrita de la forma Z 1 Z 1 1 et(x+wi) dw f (u)e f (t) = 2 1 0 e

xt

f (t) =

xu

e

xt

iwu

u(x+iw)

f (t), obtenemos

du

du

Haciendo p = x + iw, dp = idw, se tiene: 1 f (t) = 2i esto es

Z

x+i1 pt

e dp

x i1

1 f (t) = 2i

Z

1

f (u)e

pu

du

0

Z

x+i1

ept F (p)dp

x i1

0.3. SOLUCION DE ALGUNOS PROBLEMAS DE LA FISICA MATEMATICA POR MEDIO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Empleando el método operacional encontremos la solución del problema siguiente. Encontrar la distribución de temperatura u(x; t) en un alambre semiin…nito (0 x 1) si en su extremo izquierdo la temperatura es igual a q(t) y la temperatura inicial es igual a cero, en otras palabras encontrar la solución de la ecuación (0.5) (0.6)

@2u @u = a2 2 ; x 0; t @t @x u(x; 0) = 0 y u(0; t) = q(t)

0

Supongamos que la función desconocida u(x; t) y sus derivads son R 1 las originales (respecto a la variable t y denotemos como u(x; p) = L[u(x; t)] = 0 u(x; t)e pt dt. Entonces son válidas las relaciones: @u(x; t) @ 2 u(x; t) @ 2 u(x; p) L[ ] = pu(x; p); L[ ]= 2 @t @x @x2 y la ecuación (1) con las condiciones (2) le corresponden la ecuación operacional (0.7)

pu(x; p)

(0.8)

u(0; p)

d2 u(x; p) dx2 = Q(p) = L[q(t)] = a2

5. TRANSFORM ADA DE LAPLACE

149

Considerando en la ecuación (3) a p como parámetro, encontramos la solución de la ecuación respecto a la variable x. Ya que la ecuación auxiliar a2 k 2 p = 0 tiene p raíces k1;2 = p=a, entonces (0.9)

p

p a x

u(x; p) = C1 e

p

p a x

+ C2 e

es la solución general de la ecuación (3). La función u(x; p) debe ser acotada cuando x ! 1, por lo tanto C1 = 0. De la condición (4) encontramos la constante C2 : u(0; p) = Q(p) = C2

Así que la solución de (3) que satisface a (4) es la función u(x; p) = Q(p)e Se puede demostrar que 1 p u(x; t) = a 2

EJERCICIOS

Z

0

t

p

p a x

q(t

) 3=2

e

x2 4a2

d

Encontrar la solución de: 1 @2u @2u = 2 2 2 @x a @t u(x; 0)

= A cos

n x L

@u(x; 0) = 0 @t @u(0; t) @u(L; t) = =0 @x @x @2u 1 @2u 2. Resolver = 2 2 junto con las condiciones @x2 a @t u(x; 0) = 0 ; u(0; t) = u(L; t) = 0; @u(x; 0) n x = B sin : @t L

CHAPTER

151

6

1. M ÉTODOS VARIACIONALES

(u; v) =

Z

153

u(x)v(x)d

Se le llama producto escalar de las funciones u y v. DEFINICION: Sea X = C( ) conjunto de funciones continuas y reales en el dominio . Sea A un operador (transformación) lineal de…nido en C( ) y cuyos valores son igualmente funciones continuas de…nidas en el dominio . Una transformación lineal cualquiera se llama simétrica si para dos funciones admisibles cualesquiera u y v se cumple la expresión Z

Au(x)v(x)d

=

Z

u(x)Av(x)d

Si además para cada función admisible u se cumple la desigualdad (Au; u) 0 y (Au; u) = 0 implica u = 0, el operador A se denomina positivo. Un ejemplo sencillo se describe a continuación. Sea 0 ; q 2 C 1 ( ); q(x) 0 ; son funciones dadas; n es la normal exterior a la frontera de la región. PROBLEMA VARIACIONAL. Sea dado el funcional I = I(Y (x)) del cual se supone que está de…nido en un conjunto X = fY (x)g de funciones admisibles. Al problema en que se exige investigar el máximo o el mínimo de un funcional, se denomina problema variacional. Es decir, se busca una función Y (x) de forma que para todas las funciones admisibles u(x) se cumpla la desigualdad I(Y ) I(u). En el caso de un mínimo . I(Y ) I(u). En el caso de un máximo. Sea dado el dominio con la frontera @ una ecuación diferencial lineal (ordinaria, o en derivadas parciales), siendo los coe…cientes funciones continuas Au = f donde f es una función continua conocida. La función u pertenece a la clase X y satisface en la frontera @ las condiciones de contorno R(u) = 0 donde R es un operador diferencial lineal de orden inferior al de A: (1.1) (1.2)

Au = f R(u) = 0

La idea fundamental del método variacional empleado en nuestro caso, consiste en que el problema (1)-(2) se sustituye por un problema equivalente al de la determinación de un extremo (normalmente un mínimo) para una funcional determinada. Teorema 2. Sea A un operador lineal, de…nido positivo y autoconjugado con región de de…nición D(A), que es un conjunto totalmente denso en cierto espacio de “HILBERT ” H con producto interno y con región de valores R(A) que pertenece H; el elemento u 2 D(A) y f cierto elemento de H. Entonces tiene

1. M ÉTODOS VARIACIONALES

155

Luego reemplazando la ecuación de Euler, @2u @2u + 2 =0 @x2 @y

De acá podemos observar que un problema de la física matemática lo podemos tratar ya sea como un problema diferencial (ecuación de Euler), o como un problema de cálculo variacional. En otras palabras, si se tiene una ecuación diferencial Lu = f , donde L es un operador lineal, simétrico y de…nido positivo, entonces, su correspondiente problema variacional será Ju = m n J(u) u

donde J(u) = (Lu; u) y (Lu; u) =

Z Z

2(f; u) Lu:udxdy;

D

Y la ecuación de Euler:

@2u @2u + 2 = f (x; y) @x2 @y

1.1. METODO DE RIETZ. Uno de los métodos de solución más conocidos para las ecuaciones en derivadas parciales es el método de Rietz. Sea W el espacio en que se busca el mínimo de la función J(u). Construyamos una sucesión de subespacios de dimensión …nita Vn 2 W , y en vez de buscar el mínimo en W lo (n) buscamos en Vn . Sea n la dimensión de Vn y 'i (x),i = 0; 1; 2; :::; n 1 una base de este subespacio, es decir si un 2 Vn , (1.6)

un =

n X1

(n)

ai 'i (x)

i=0

Si un reemplaza a u en J(u), tenemos una función de n variables a0 ; a1 ; :::; an 1 ; y dado que deseamos obtener el mínimo de esta función, los números ai deben satisfacer el sistema de ecuaciones @J = 0 i = 0; 1; 2; :::; n 1 @ai 0

0

0

Al resolver el sistema, obtenemos unos valores a0 ; a1 ; ::; an 1 que aportan el mínimo absoluto para la función J(un ). Sustituyendo estos valores en (2) obtenemos la solución aproximada pedida, un =

n X1 i=0

0

(n)

ai 'i (x)

1. M ÉTODOS VARIACIONALES

157

en los puntos P12 ; P23 ; P31 puntos medios de los segmentos P1 P2 ; P2 P3 ; P1 P3 . h Si enumeramos todos los vértices de los triángulos como fPk gN k=1 y por Dh;k la unión de todos los triángulos con vértice común Pk , entonces el espacio base será el sistema h de funcionesfWk (x)gN k=1 que se de…nen por la condición Wk (Pj ) = kj ;donde kj es el símbolo de Kronecker; las funciones Wk (x) en cada uno de los triangulos es una función lineal. Veamos un ejemplo, cuandoD es un cuadrado de longitud 1

N2

1 N +1 .

El sistema de funciones bases Wk (x)k=1 ; N 2 = Nh represenPN N tando para este caso por Wk;l (x)k;l=1 , y uh (x) = un = k;l=1 k;l Wk;l (x), ahora Sea h =

reemplazando en la funcional (3) y haciendo

obtenemos: J(un ) =

Z

[

2 X

D i;j=1

N X Aij ( k;l

@Wk;l 2 ) kl @Xi

k;l

2

=

N (k 1)+l ,

N X

kl Wkl (x)f ]dD

k;l

k; l = 1; :::; N ,

1. M ÉTODOS VARIACIONALES

159

W2 = W (x2 ; y2 ) =

1

+

2 x2

+

3 y2

W3 = W (x3 ; y3 ) =

1

+

2 x3

+

3 y3

En cada uno de los puntos hacemos Wi = 1, i = 1; 2; 3, y el resto cero; por ejemplo W1 = 1, W2 = W3 = 0. Si 4 = 1=2(x2 y3

x3 y2 + x3 y1

x1 y3 + x1 y2

x2 y1 ), la solución será:

1

=

(a1 W1 + a2 W2 + a3 W3 )=2 4

2

=

(b1 W1 + b2 W2 + b3 W3 )=2 4

3

=

(c1 W1 + c2 W2 + c3 W3 )=24

Con a1 = x2 y3

x3 y2 , b1 = y2

y3 , c1 = x3

x2

a2 = x3 y1

x1 y3 , b2 = y3

y1 , c2 = x1

x3

a3 = x1 y2

x2 y1 , b3 = y2

y1 , c3 = x2

x1

Si fi (x; y) = (ai + bi x + ci y)=24 , i = 1; 2; 3. Es una función de interpolación, y es igual a 1 en el i-ésimo nodo y cero en el resto de los nodos, ' = a01 f1 (x; y) + a02 f2 (x; y) + a03 f3 (x; y). Sea

=

PN

n=1

n, n

N = número de triángulos, y Z Z 2 = 1=2 (4u) dA + f (x; y)udA An

An

donde An es el n-ésimo triángulo;

n

Z

(

(@An )n

es evaluado utilizando ';

Entonces: 3

@' X 0 @fi = ai = (a01 b1 + a02 b2 + a03 b3 )=24 @x @x i=1

@u )uds @n @ n @a0i

=0

1. M ÉTODOS VARIACIONALES

161

C00 + C10 (0) + C01 (0) = 0

C00 + C10 ( 1) + C01 (2) = 0

de donde C00 = 0, C10 = 23 , C01 =

1 3

De manera similar construimos

W21

y W11 (x; y) =

2 3 x1

+ 31 x2 .

que asume el valor 1 en el punto (1; 1) ,

(0; 0) y (1; 0), para obtener W21 (x; y) = y.

cero en

Luego lo se realiza de forma similar para los demás puntos.

EJERCICIOS @2u @x2

1. Llevando el problema de Dirichlet (x; y) 2 D, u(x; y) = 0 J(u) =

R

D

Donde D:

(u2x

en la frontera D,

u2y

+

+

@2u @y2

(x

1)(y

2

2u)dxdy,

1 < x < 1 ,

2. Resolver (x; y) 2 D7 ;

2

1,

al problema de minimizar la funcional

1 < y < 1; encontrar la solución aproximada

si tomamos como funciones de base u1 (x; y) = (x2 2

=

1)(y 2

1), u2 (x; y) =

2

1)(x + y ). @2u @x2

+

@2u @y2

= 0

en D, u(x; y) = 4

para (x; y) 2 D6 y

1. M ÉTODOS VARIACIONALES

163

CHAPTER

7

Teoría de los Problemas Inversos y Mal Puestos

El objetivo de muchos experimentos, que se realizan en diferentes ramas de las ciencias y de la técnica, consisten en el estudio de las propiedades de los objetos o procesos, que son de interes del investigador. Por lo general es frecuente que en muchas situaciones no se pueda alcanzar las características del objeto a través de la observación directa, o bien en el caso donde se pueda se necesita una gran cantidad de recursos para encontrarlas. De esta manera, nos enfrentamos a problemas, en los cuales se debe de…nir las causas, si se conocen los efectos; esto es, las observaciones; esto es frecuente en la obtención de resultados en experimentos. Estos problemas es natural llamarlos “Inversos”. La solución de los problemas Inversos se llevan a cabo a través de cierto Modelo Matemático del objeto observado o proceso y consiste en la de…nición de parámetros del modelo matemático a partir de la información experimental.

Tipos de problemas inversos: . Problemas inversos que consisten en determinar la parte derecha de la ecuación, . Identi…cación de coe…cientes de la ecuación diferencial, . o ambos Daremos a continuación ciertos ejemplos de problemas Inversos. 165

166

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

1. EJEMPLO. La rapidez con que una comunidad de M personas adotan una una innovación técnologica en el momento t está dada por dx = (2x(t) dt m(to ) = M

(0.12) (0.13) Si las constantes

M)

y M son conocidas, entonces, al resolver el problema de

Cauchy sabemos como va cambiando la cantidad de individuos que al tiempo t han adaptado la innovavción técnologica. El problema Inverso consiste en determinar el coe…ciente

y el número de individuos de la población si se conocemos que a

través del tiempo puede de…nir la magnitud x(t) para t 2 [t1 ; t2 ]. De esta manera se debe determinar el coe…ciente

y M si se conoce la función x(t) para t 2 [t1 ; t2 ].

2. EJEMPLO. Claramente los precios cambian con el precio como un resultado de la in‡ación. Asumiremos que el factor in‡acionario esta dado como una función del tiempo por F (t): También asumiremos que aparte de la in‡ación la tasa de cambio en el precio es uan función de la oferta h(S); nuestro MM

(0.14)

dp dt dS dt

= F (t)

h(S)

= g(p)

ds es la tasa de cambio de la oferta en función del precio. dt Si tomamos las funciones h(S) = k1 (S So ); g(p) = k2 (p po ); donde (So ; po )

donde

puntos de equlibrio, podemos escribir ( ) asi:

d2 p + ap = G(t); dt2 p(0) = p1 ; p0 (0) = p2 PROBLEMA INVERSO. Supóngase ahora que la función G(t) es desconocidad, pero la función p(t) se conoce en un determinado intervalo de tiempo [t1 ; t2 ]: 2. La acción (operación) de muchos instrumentos, que registran un campo …síco, se pueden describir de la siguiente manera. En la entrada del instrumento se recibe una señal z(t) , en la salida se registra una función u(t). Un modelo simple lineal

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

167

para esta acción del instrumento se de…ne por la formula: Z t K(x; )z( )d = u(t) 0

donde K(x; t) es una función conocida. De esta manera, el problema Inverso, consiste en la de…nición de la señal de entrada z(t) cuando se ha registrado la función de salida u(t), este problema representa el problema de la solución de la ecuación integral. 3. El problema de contorno para la ecuación de difusión en un tubo vacío, o en un tubo lleno de un medio , suponiendo que en todo momento de tiempo la concentración del gas (d ela solución) es igual en cada sección. Entonces, el proceso de difusión puede ser descrito mediante la EDP (0.15) (0.16) (0.17) (0.18)

u(0; t) u(l; t) +

cut

=

1 ux (0; t)

=

1 (t)

2 ux (l; t)

=

2 (t)

u(x; 0)

(k(x)ux )x

qu + f

= '(x)

es uno de los modelos matemáticos que describe una gran cantidad de fenomenos …sícos. Los coe…cientes que aparecen en la ecuación son conocidos y como es sabido son las caracteríticas del proceso. Cuando estos coe…cientes son dados, al resolver el problema directo se encuentra la función u(x; t). Sin embargo en muchos problemas reales algunas de estas características del medio no son conocidas, pero de la experimentación se puede encontrar información acerca de la concentración bien sea en un intervalo de tiempo medido en un punto x . Por ejemplo, todos los coe…cientes y las funciones , que de…nen la solución se conocen salvo el coe…ciente de difusión k = k(x). Experimentalmente se de…ne la función g(t) = u(xo ; t), que es la concentración en cierto punto interior del medio. De esta manera aparece el siguiente problema Inverso: determinar el coe…ciente de difusión k(x), si se da la función suplementaria g(t). Es claro que se pueden de…nir otros problemas Inversos. Todos los tres problemas que se discutieron anteriormente pueden ser formulados de manera abstrata. Representemos como z(t) la característica desconocida del modelo matemático, y a través de A el operador que hace corresponder a z con la magnitud u, que se observa como resultado del experimento. De esta manera el problema inverso consiste en la solución de la ecuación Az = u, donde se conoce

168

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

tanto el operador A como u y se debe encontrar a z. Para nuestro primer ejemplo, z representa la pareja de valores

y M , el operador se de…ne por el problema de

Cauchy y u = m(t); lo mismo se puede hacer con los otros problemas descritos arriba. Una particularidad importante de los problema inversos consiste que la información obtenida a partir de los experimentos es conocida de manera aproximada. De esta manera los métodos de solución de los problemas Inversos deben tener la condición de ser Estables con respecto a los pequeños cambios que se puedan dar en los datos de entrada. Conceptos sobre el Planteamiento Correcto y No-Correcto de los Problemas. El concepto de Planteamiento Correcto de problemas matemáticos fue formulado por Hadamar para el analísis de diferentes problemas de la …síca matemática. La solución de cualquier problema consiste en la de…nición del elemento z (solución del problema) dado ciertos datos de entrada, y se puede describir asi: (0.19)

z = R(u)

Siempre se supone que los datos de entrada son elementos de cierto espacio metrico U , y la solución z se busca en el espacio metrico Z, esto es z 2 Z. El problema ( ) se dice que esta Planteado Correctamente (propuesto, bien colocado, bien puesto) en la pareja de espacios Z y U si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Para cada u 2 U la solución del problema existe. 2. Para cada u 2 U la solución del problema es única. 3. La solución del problema continuamente depende de los datos de entrada (condición de estabilidad). Los problemas que no satisfacen estas condiciones se denominan Problemas Colocados No-Correctamente (Problemas Mal Puestos) (Problemas Mal Planteados). Veamos algunos ejemplos: EJEMPLO. Consideremos el siguiente modelo (0.20) (0.21)

0

0

a(x)u (x) 0

a(0)u (0)

= f (x); = bo ;

0 . Asi como el operador A es continuo en M , y (zm ; z) ! 0 y (Azm ; uo ) ! 0 para m ! 1, entonces (Az; uo ) = 0. Consecuentemente Az = Azo = uo , por lo tanto z = zo (la aplicación es biunivoca), además de (14) tenemos que (z; zo )

.

De esta manera, la a…rmación original no es correcta y el teorema queda demostrado. La idea de contraer la clase de soluciones posibles del problema inverso hasta cierto conjunto, sobre el cual la soluciónes estable, se basa en el concepto de correctitud según Tíjonov, introducido por M.M. Lavrentev o conocido también como correctitud condicional del problema. El problema de la solución de la ecuación ( ) se llama bien planteado o correctamente planteado según Tíjonov, si se cumplen las siguientes condiciones:

Apriori se conoce que la solución de la ecuación existe y además pertenece a cierto conjunto M , que pertenece al espacio Z.

La solución de la ecuación es única sobre el conjunto M:

176

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

Existe una dependencia continua de la solución de la ecuación (1) de la parte derecha u, cuando la variación de u no hace que salga la solución de los límites del conjunto M: El conjunto M que satisface estas condiciones se llama conjunto de correctitud. Cabe anotar que para la mayoría de los problemas inversos es característico que esta información sea desconocida (que la solución pertenezca a cierto conjunto M sobre el cual la solución del problema sea estable). Sea Z y U ciertos espacios normados. En el caso cuando el problema de la de la ecuacón Az = u esta bien puesto condicionalmente y el conjunto M es compacto en Z , es posible construir una cota para la estabilidad de la solución del problema inverso [4]. Esta posibilidad se basa en el siguiente teorema. Teorema 3. Sea A un operador que aplica el compacto M y biunivoacamente sobre el conjunto N = AM

Z continuamente

U . Entonces existe una función

!( ) continua en cero, !(0) = 0, tal que para todos los z1 ; z2 2 M se cumple la acotación (0.27)

kz1

z2 k

!(kAz1

Az2 k)

Demostración. Supongamos que la función !( ) que satisface la condición decrita arriba no existe. Entonces para cualquier número natural n se puede encontrar los elemetos zn1 ; zn2 2 M , y la sucesión

n

! 0 cuando n ! 1 y el número > 0, tales

que kAzn1

(0.28)

kzn1

Azn2 k

zn2 k

n;

:

Ya que las sucesiones zn1 y zn2 pertenecen al compacto M , entonces de ellos se 1 2 puede extraer las sucesiones zm y zm , convergentes hacia cierto elementos z 1 y

z 2 respectivamente los cuales pertenecen a M . Entonces del acotamiento (16) se desprende, que kAz 1

Az 2 k = 0 y dado que A es biyectivo sobre M tenemos

z 1 = z 2 . Pero de la desigualdad (17) se desprende, que kz 1

z2k >

. Esto es una

contradición, de esta manera el teorema queda demotrado. El acotamiento de tipo ( ), obtenido bajo el supuesto que la solución pertenece a cierto conjunto M , se denomina acotamiento condicional de estabilidad.

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

177

La forma anterior de solución de problemas mal puestos se baso en el empleo de información apriori sobre la pertenecia de la solución a cierto conjunto M . Si embargo, para muchos problemas inversos es característico que esta información se desconozca (que la solución pertenezca a cierto conjunto M sobre el cual la solución del problema sea estable). Para la construción de soluciones aproximadas de problemas mal puestos en esta situación se emplea fundamentalmente el concepto de regularización del operador [79,81]. Veamos el problema de la solución de la ecuación Az = u, donde A es un operador, que aplica Z en U (Z y U espacios normados). Supondremos, que el operador A y los espacios Z y U son tales que el problema es mal puesto. Supongamos que para la parte derecha u existe solución única z, esto es, Az = u. Sin embargo, el elemento u no es conocido, y en lugar de el se da u y la magnitud del error , tales que, ku

uk

. Se debe construir la solución

aproximada de la ecuación, z la cual debe converger hacia la solución exacta z cuando la magnitud del error tiende hacia cero. Ya que el problema es mal puesto, entonces para la construcción de la solución aproximada no se puede emplear el operador inverso, esto es tomar en calidad de z el elemento A

1

u , debido a que

el operador inverso puede no estar de…nido sobre u y no ser continuo sobre U . Para determinar la solución aproximada es natural pensar que se debe emplear toda la información, esto es, u y la magnitud del error . DEFINICION. El operador R(u; ), que actua del espacio U al espacio Z, se llama operador de regularización de la ecuación Az = u (con respecto al elemento u) si el tiene las siguientes propiedades: 1. Existe un número todos los

2 [0;

1 ],

1

> 0, tal que, el operador R(u; ) esta de…nido para

y satisface la condición ku

2. para cualquier > 0 existe un número ku se cumple la desigualdad kz

zk

uk

o(

uk ;u )

; 1,

tal que de la desigualdad

o

, donde z = R(u ; ).

En esta de…nición se permite que el operador R(u; ) tome varios valores. Por z se representa un elemento cualquiera del conjunto de valores R(u; ). En la teoría de los métodos aproximados es tipica la situación cuando un método concreto de aproximación depende de cierto parámetro. Este puede ser el paso de la

178

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

red, el número de iteraciones, etc. En base a esto es frecuente emplear el siguiente esquema de construcción del operador de regularización. Se da cierta familia de operadores R(u; ), que actuan de Z en U y dependen de cierto parámetro Despues el parámetro

se selecciona dependendiendo de

tal manera que R(u ; ( ; u )) ! z, para

.

y u : ( = ( ; u )) de

! 0.

Detengamos en el enlace entre el problema de solución del problema inverso con la interpretación de la observación y del modelo matemático. Como ya se recalco anteriormente, los problemas inversos se resuelven tomando en consideración cierto modelo matemático el cual describe el objeto o el proceso. Aunque para la investigación de un proceso concreto es frecuente que la forma del modelo no se conozca asi que se toma cierto modelo y más tarde se re…na en el proceso de solución del problema inverso. Esto se debe a que un mismo proceso puede ser descrito por diferentes modelos matemáticos, uno mas simple que no toma en consideración ciertos factores o unos más so…sticado que toma en cuenta estos factores. Es necesario decir que al tomar un modelo se de…ne una clase a la cual pertenece la magnitud, que esta sujeta a la solución del problema inverso. Para un modelo simple esta puede ser una constante o varias o bien una función que depende de una variable o de varias. Con el aumento de la cantidad de información experimental y el mejoramiento de su calidad (aumento de la exactitud de las observaciones), como regla , para la interpretación del experimento es necesario tomar un modelo matemático más completo (total) y resolver el problema inverso bajo este modelo. Método de selección de la solución de problemas mal puestos. Sea la ecuación de primera clase Az = u

z 2 F;

u2U

para z es conocido de antemano cierta clase M , soluciones posibles de (1), M

F.

En calidad de solución aproximada se toma zo 2 M la cual minimiza el defecto kAz

uk, esto es kAzo

uk = nf kAz z2M

ukU

Supongamos que se conoce uexact y se debe determinar zexact . Usualmente en calidad de M se toma el conjunto de elementos z que dependen de un número …nito de parámetros que varian dentro de ciertos límites acotados, de tal manera que M sea acotado y cerrado en el espacio de dimensión …nita.

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

179

Supongamos ahora que uexact se conoce de manera aproximada, esto es se da u tal que kuexact

u k

además u 2 AM . Sea f

, donde ng

es la cota superior del error de medición,

una sucesión de números tales que

n

! 0 cuando

n ! 1. Entonces por el método de selcción para cada n encontramos zn , tal que kAzn

u k

n

Los elementos zn son elementos cercanos a zexact , esto es asi ya que AM es compacto, por lo tanto A kAzn

1

es continuo sobre AM , de tal manera que

uexact k

kAzn

u k + ku 1

por lo tanto de la continuidad de A además (

n)

! 0 cuando

n

uexact k

n

+ =

se desprende que kzn

n

zexact k

(

n );

! 0.

EJEMPLO. Consideremos el siguiente modelo 0

0

(0.29)

a(x)u (x) 0

(0.30)

a(0)u (0)

= f (x); = bo ;

0 0 para x 2 [0; 1].

Ya que

1 (x)

y

2 (x)

se cumple la igualdad

son soluciones de la ecuación (5), entonces para Z

1

e

1(

)

d =

0

Z

1

e

2(

)

d :

0

Hagamos el cambio de variable t = i ( ), t0 = i (0); t1 = i (1) = 0: Z 0 Z 0 t e e t 2 (t)dt; 2 [ 1 ; 2 ]; 1 (t)dt = 1 (0)

2 (0)

i (t)

donde

1 i

(t) es la función inversa de

1

=

i( i i(

).

1

(t)

;

2[

1;

2]

190

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

Mostremos que de la igualdad (7) se desprende que

1 (0)

=

2 (0).

La función ezt donde z es un número complejo es una función analítica en todo el plano complejo para cualquier valor del parámetro real t.

Las funciones

1 (t)

y

2 (t)

son continuas en los segmentos [

1 (0); 0]

y[

2 (0); 0],

correspondien- temente. Por lo tanto, empleando el teorema sobre la analiticidad sobre la integral de una función compleja obtenemos que las funciones que aparecen al tomar la integral son funciones analíticas del parámetro

. Entonces del teo-

rema sobre la unicidad para funciones analíticas se desprende que la igualdad (7) se cumple para cualquier valor complejo , en particular para cualquier valor real .

Supongamos que 1 tenemos

1 (0)

Z

6=

2 (0).

2 (0)

t

e

Sea para

1 (t)dt

=

1 (0)

Z

1 (0)

<

2 (0);

entonces, para

1

0

e t[

2 (t)

1 (t)]dt:

2 (0)

Introduciremos las siguientes representaciones: m = M De la positividad de cualquier

1 (t)

mn

1 (0)

=

t

max

2 (0)

2 (0)

t 0

j

1h

1j

2 1 j:

2

se desprende que m > 0. De (8) obtenemos que para

real se cumple la desigualdad Z Z 2 (0) M t e dt m 1 (0)

ó

j

0

e t dt; 2 (0)

i Mh 1 e 2 (0) : m Es claro que esta desigualdad no se cumple para valores negativos, ya que el valor e

2 (0)

e

1 (0)

absoluto sería muy grande; tomando (7) obtenemos que

(t) =

1 (t)

2 (t).

Z

i

1 (0)

=

2 (0)

= , entonces de la desigualdad

0

e

t

dt;

1

El sistema de funciones e

1; t

( 1

1) es completo

en el espacio l2 [ ; 0]; entonces de (9) se desprende que '(t) = u, y por lo tanto '1 (t) = '2 (t) 8t 2 [ ; 0]. Las funciones 'i (t) son las derivadas de las funciones

1 i

(t); por lo tanto,

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS 1 1

(t)

0

=

1

1 0

(t) 8t 2 [ ; 0],

1 8t 2 [ ; 0], y por lo tanto

1

1

1 1

1

(t) = 1

( )=

2

Teniendo en cuenta (6) obtenemos que

2

1

(t) = 1; entonces

1

(t) =

191 1 2

(t) =

( ) 8 2 [0; 1].

1 (x)

=

2 (x)

Veamos de nuevo la ecuación (5): Z 1 R1 ( )d d = '( ); e

8x 2 [0; 1].

2[

0

1;

2 ];

consideremos el operador lineal A =

Z

1

R1

e

0

entonces el problema de determinar

( )d

d ;

(x) lo podemos considerar como la solución

de la ecuación A = : Mostremos que este problema es mal puesto. Sea

= 2;

1

2

= 2+cos nx, x 2 [0; 1];

entonces k

1

2 kC[0;1]

=

k

1

2 kl2 [0;1]

=

1; 1 p ; 2

por otro lado, ( )

( )

=

Z

1

R1

e

0

=

Z

1(

)d

d

1

e

2 (1

)

d

0

Z

Z

1

e

0

R1

n(

1

e

2 (1

)+

)d

sin n n

d d ;

0

y por lo tanto k

1(

)

n(

)

kC[

1; 2]

! 0; n ! 1:

Regularización de Tíjonov

El problema inverso consiste en encontrar u resolviendo la ecuación (0.14)

Au = f

192

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

con datos de entrada A y f obtenidos experimentalmente. Para este caso, en calidad de f se toma frecuentemente los valores de las variables de estado del proceso en ciertos puntos de la región

. Esos puntos pueden ser …jos o cambiar su posición

con el tiempo. El enfoque variacional para la solución del problema (1) consiste en minimizar la funcional del residuo (0.15)

J(u) =

kAu

2

2

f kF

sobre el conjunto Y [ U el cual contiene la solución exacta , donde k kF es la norma en el espacio F . Como se discutio anteriormente este método no puede ser aplicado directamente para la solución de problemas de identi…cación paramétrica debido a que el problema () es usualmente inestable (el operador inverso A

1

resulta ser no acotado).

Es frecuente que en lugar de los datos de entrada A y f especi…cados de manera exacta, en la practica sólo sean conocidos de manera aproximada. Denotemoslos como Ah y f . Teniendo en cuenta las observaciones anteriores, el problema de identi…cación queda reducido a determinar cierta solución aproximada uh de la solución buscada a través del conjunto Ah y f que garantice la mejor aproximación (en cierto sentido) a la solución exacta del problema () cuando los errores de aproximación del operador A y f tiendan hacia cero. PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA DE OPTIMIZACION PARA EL CASO DE ESPACIOS FUNCIONALES Sea U un conjunto dado, donde se de…ne una función J(u) en U: Se quiere encontrar el in…mo de J(u) con u 2 U: Para estas situaciones existen dos tipos de problemas: (a) Se busca la magnitud J = nf J(u), sin interesarnos si se alcanza en cierto punto de U o bien si este punto no pertenece a U: Este problema se llama de tipo I. (b) En los problemas llamados tipo II se busca no solo J si no tambien el punto u ; esto es en U = fu : u 2 U; J(u) = J g : Es claro que en el problema I es natural suponer que J > II ademas U 6= :

1, y en el problema

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

193

Obtener una solución exacta de estos problemas es posible en contados casos. Así que demos otra de…nición de estos dos tipos de problemas. Problema I. Para una exactitud dada " > 0, se debe encontrar el número J" tal que jJ"

J j

":

En la practica en calidad de J" se toma como el valor de la función J(u) en cierto punto u" 2 U; osea J(u" ) = J" : Problema II. Para las exactitudes dadas " > 0;

> 0 encontrar el punto

u"; 2 U tal que jJ(u"; ) donde

J j

"; (u"; ; U ) def

es una métrica de…nida por (u; U ) =

nf (u; v):

v2U

OBSERVACION. Para la solución aproximada del problema (I), es su…ciente con la ayuda de algún método de minimización construir una sucesión minimizante fuk g tal que uk 2 U; k = 1; 2; 3; ::: y l m J(uk ) = J y en calidad de la magnitud k!1

desconocida J" tomar el valor de la función J(uk ) de tal forma que se satisfaga la desigualdad del problema I para cierto valor k lo su…cientemente grande. Se puede intentar emplear la sucesión fuk g de la observación anterior para la solución del problema II y como se hace en la practica intentar tomar en calidad del punto desconocido a u"; de tal manera que se satisfagan las desigualdades del problema II con cierto valor de k lo su…cientemente grande. Sin embargo, aqui de inmediato surge la pregunta si este punto uk será cercano al conjunto U . El problema J(u) ! nf; u 2 U se llama bien puesto en la métrica

si se

cumple (a) J = nf J(u) >

1 y el conjunto U = fu : u 2 U; J(u) = J g no es vacío.

(b) Cualquier sucesión minimizante fuk g de este problema converge hacia el conjunto U : Si alguna de estas condiciones (a) o (b) de la de…nición no se cumple el problema J(u) ! nf; u 2 U se llama mal puesto en el sentido amplio.

194

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

DEFINICION. El problema J(u) ! nf; u 2 U se llama mal puesto en la métrica

si se cumple

(a) J <

1, U = :

(b) Existe una sucesión minimizante fuk g que no converge hacia el conjunto U en la métrica : EJEMPLO. Sea J(u) = u2 (1 + u4 ) U = fx 2 R :

1

para u

0, J(u) = 0 para u < 0: Sea

1

1 < x < 1g = E : Es claro que J = 0, U = fu : u

0g : La

sucesión uk = k, k = 1; 2; 3; ::: es una sucesión minimizante ya que k2 =0 k!0 k!0 (1 + k 4 ) pera esta sucesión no converge hacia U en la métrica de E 1 ; ademas (uk ; U ) = lim J(uk ) = lim

k ! 1; y por lo tanto este ejemplo es un problema mal puesto. EJEMPLO. Supóngase que se desea minimizar la función J(u) =

Z

1

x2 (t)dt

0

dx = u(t); x(0) = 0 con 0 t 1: Busquemos la solución en el conjunto dt de funciones “integrables” que satisfacen la desigualdad ju(t)j 1: Z 1 El in…mo de J(u) = x2 (t)dt es igual a cero, esto es J = 0 y este valor se

sujeto a

0

alcanza en las funciones u (t) iguales a cero casi en todo 0 sucesión uk (t) = sin(2k t); 0

t

t

1; Si miramos la

1; k = 1; 2; 3; ::: es una sucesión minimizante

para este problema. Sin embargo fuk (t)g no converge hacia u (t) = 0 en la norma L2 [0; 1] y por lo tanto tenemos un problema mal puesto. EJEMPLO. Consideremos el problema de minimizar la función J(u) =

Z

1

u2 (t)dt

0

en el conjunto U = C[0; 1]: aqui J = 0 y U consiste de un único punto u = 0: Z 1 Tomemos cualquier sucesión minimizante fuk (t)g 2 C[0; 1]; l m u2k (t)dt = 0. k!1 0 Z 1 2 Ahora kuk u kL2 = u2k (t)dt ! 0 cuando k ! 1: Esto signi…ca, que cualquier 0

sucesión minimizante convergerá hacia el punto optimo en la norma de L2 [0; 1].

ALGORITMO DE REGULARIZACION. Sea cierta familia de operadores R(u; ), que actuán de Z en U y dependen de cierto parámetro spúes el parámetro

se selecciona dependiendo de

R(u ; (u ; )) ! z; cuando

! 0:

y u (

=

: De-

(u ; )) que

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

195

En los métodos de regularización de problemas extremale mal puestos el concepto de función de estabilizador juega un papel importante. La función en cierto conjunto U

(u) de…nida

U se llama estabilizador del problema

(2)

J(u) ! nf; u 2 U En la métrica (1)

(u)

0 para todo u 2 U ;

(2) El conjunto const

si:

c

= fu : u 2 U ;

(u)

cg es compacto para cualquier c =

0, en otras palabras; de cualquier sucesión fuk g 2

una sucesión funk g que converge hacia cierto punto v 2

c

se puede seleccionar

c;

(3) El conjunto de puntos U = U \ U es diferente de vacio, donde U = fu : u 2 U; J(u) = J g ; con J = nf J(u): EJEMPLO. Sea E m el espacio euclidiano de dimensión m. Se debe minimizar E m es un conjunto cerrado. Supongamos

la función J(u); u 2 U . El conjunto U

que el conjunto U es no vacio. En calidad de estabilizador de este problema se toma la función (no es la única) 2

(u) = juj =

m P

i=1

2

jui j :

Esta función es no negativa en E m . Asumamos U = U con el conjunto fu : u 2 U ;

(u)

E m para cualquier c

c

=

cg cerrado y acotado, entonces es compacto en la métrica de 0. Además U = U \ U = U 6= :

Una de las herramientas efectivas para la solución de problemas mal puestos es el método de regularización de Tijonov. Para emplear este método es necesario elegir cierto estibilizador para el problema que se esta considerando. Supóngase que

(u) es uno de estos estibilizadores y esta de…nido en el conjunto U

elige una sucesión positiva f

kg

U; se

que converge hacia cero y para cada k = 1; 2; 3; :::

en el conjunto U donde se de…ne la función Tk (u) = J(u) +

k

(u); u 2 U

que se conoce como la función de Tijonov. Si consideremos ahora los ejemplos dados anteriormente para los cuales de…nimos la función de Tijonov, obtenemos un problema bien puesto.

196

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

Sea J(u) = u2 (1 + u4 ) fx 2 R :

1

para u

0, J(u) = 0 para u < 0:

1 < x < 1g = E 1 : Es claro que J = 0, U = fu : u

Sea U =

0g : La sucesión

uk = k, k = 1; 2; 3; ::: es una sucesión minimizante ya que k2 =0 k!0 (1 + k 4 )

lim J(uk ) = lim

k!0

pera esta sucesión no converge hacia U en la métrica de E 1 ; ademas (uk ; U ) = k ! 1; y por lo tanto este ejemplo es un problema mal puesto. Pero si planteamos la función Tk (u) = u2 (1 + u4 )

y tomamos en calidad de

1

+

k

(u)

(u) = u2 ; el problema se convierte en un problema

bien puesto. EJEMPLO. Supóngase que se desea minimizar la funcional J(u) =

Z

1

x2 (t)dt

0

dx = u(t); x(0) = 0 con 0 t 1: Busquemos la solución en el conjunto dt de funciones “integrables” que satisfacen la desigualdad ju(t)j 1: Z 1 El in…mo de J(u) = x2 (t)dt es igual a cero, esto es J = 0 y este valor se

sujeto a

0

alcanza en las funciones u (t) iguales a cero casi en todo 0

t

1 (esto signi…ca,

que Usted puede variar la función nula en un conjunto …nito de puntos del intervalo en cuestión). Si miramos la sucesión uk (t) = sin(2k t); 0

t

1; k = 1; 2; 3; ::: es

una sucesión minimizante para este problema. Sin embargo fuk (t)g no converge hacia u (t) = 0 en la norma L2 [0; 1] y por lo tanto tenemos un problema mal puesto. Pero si cambiamos el problema por

(0.16)

Tk (u) = J(u) +

k

Z

1

u2 (t)dt

0

este problema será ahora un problema bien puesto. TIP. Es posible escoger normas más fuertes en términos del funcional de Tíjonov. En lugar de ( ) se puede minimizar el funcional Z 1 2 0 dt (0.17) Tk (u) = J(u) + k u2 (t) + u (t) 0

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

197

EJEMPLO. Ahora, la derivada de la función M [z1 ; z2 ; :zn ] está dada como hx hs

n X m X

z2

aik ai1 zk + hs z1

hs

k=1 i=1

hx hs

n X m X

zj

aik aij zk + hs zj

1

k=1 i=1

hx hs

n X m X

Pn

1

zn

hs

k=1 i=1

Representemos por hx

2zj + zj+1 hs zn

aik ain zk + hs zn

z1

= = =

m X i=1 m X i=1 m X

ai1 ui hx hs aij ui hx hs

j = 2; 3; : : : ; n

ain ui hx hs

i=1

Pm

aik aij = bjk , las componentes de la matriz B, y Pm las componentes fj del vector f como i=1 aij ui hx = fj . Por lo tanto se reduce k=1

al problema de resolver el 0 1 + 1=h2s B 1=h2s B C=B . @ .. 0

i=1

sistema de ecuaciones B z = Bz + Cz = f , donde 1 0 ::: 0 0 1=h2s C 1 + 1=h2s 1=h2s ::: 0 0 C C: .. .. .. .. A . . . . 2 2 0 0 ::: 1=hs 1 + 1=hs

Iteración de Landweber. Landweber, Friedman y Bialy sugirieron reescribir la ecuación Kx = y en la forma x = (I

aK K) x + aK y

para algún a > 0: Construyendo un método iterativo para esta ecuación tenemos x0 =: 0 y xm = (I

(0.18)

aK K) xm

1

+ aK y

para m = 1; 2; : : : Este esquema de iteración puede ser interpretado como un algoritmo descendente aplicado a la funcional cuadrática x ! kKx

2

yk .

Un ejemplo Numérico

En esta sección, utilizaremos el método de regularización de Tíjonov para resolver la siguiente ecuación integral de primer orden: Z 1 (1 + ts) exp (ts) x (s) ds = exp (t) , 0

t

1

0

con la solución única x (t) = 1. El operador K : L2 (0; 1) ! L2 (0; 1) es dado como Z 1 (Kx) (t) = (1 + ts) exp (ts) x (s) ds; 0

1

198

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

y es auto–adjunto; es decir, K = K. Observamos que x no pertenece al rango de K. Para la evaluación numérica de Kx, usamos la regla de Simpson, con ti =

i n,

i = 0; : : : ; n. Reemplazando (Kx) (ti ) por n X

wj (1 + ti tj ) exp (ti tj ) x (tj ) donde wj =

j=0

se obtiene el sistema de ecuaciones: y (t0 )

8 < :

4 3n , 2 3n ;

1 3n ,

j = 0 o n; j = 1; 3; : : : ; n j = 2; 4; : : : ; n

1; 2,

= w0 (1 + t0 t0 ) exp (t0 t0 ) x (t0 ) + w1 (1 + t0 t1 ) exp (t0 t1 ) x (t1 ) +

+

+wn (1 + t0 tn ) exp (t0 tn ) x (tn ) y (t1 )

= w0 (1 + t1 t0 ) exp (t1 t0 ) x (t0 ) + w1 (1 + t1 t1 ) exp (t1 t1 ) x (t1 ) +

+

+wn (1 + t1 tn ) exp (t1 tn ) x (tn ) y (t2 )

= w0 (1 + t2 t0 ) exp (t2 t0 ) x (t0 ) + w1 (1 + t2 t1 ) exp (t2 t1 ) x (t1 ) +

+

+wn (1 + t2 tn ) exp (t2 tn ) x (tn ) .. . y (tn )

= w0 (1 + tn t0 ) exp (tn t0 ) x (t0 ) + w1 (1 + tn t1 ) exp (tn t1 ) x (t1 ) + +wn (1 + tn tn ) exp (tn tn ) x (tn ) .

El cual se puede escribir de la forma: Ax = y, en donde 2

6 6 6 A=6 6 6 4

: : : : : :

w0 (1 + t0 t0 ) exp (t0 t0 ) w0 (1 + t1 t0 ) exp (t1 t0 ) : : : w0 (1 + tn t0 ) exp (tn t0 ) 2

6 6 6 x=6 6 6 4

x (t0 ) x (t1 ) : : : x (tn )

wn (1 + t0 tn ) exp (t0 tn ) w0 (1 + t1 tn ) exp (t1 tn ) : : : w0 (1 + tn tn ) exp (tn tn ) 3

7 7 7 7; 7 7 5

3

7 7 7 7; 7 7 5

+

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

2

6 6 6 y=6 6 6 4

199

3

y (t0 ) y (t1 ) : : : y (tn )

7 7 7 7: 7 7 5

Observamos que la correspondiente matriz A no es simétrica. Esto conduce a la ecuación discretizada de Tíjonov

x

;

+ A2 x

;

= Ay . Aquí, y = yi

2 Rn+1

es una perturbación (uniformemente distribuido al vector escogido al azar) del lado derecho discreto yi = exp y

i n

tal que v u n u 1 X y 2 =: t yi n + 1 i=0

yi

2

.

Los resultados promedio de 10 iteraciones están dados en los siguientes cuadros, donde hemos listado las normas discretas 1 ;

x (t) = 1 y la aproximación de Tíjonov x 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n=8 2;4 10 7;2 10 2;6 10 1;3 10 2;6 10 9;3 10 3;5 10 1;3 10 1;6 10 3;9 10

x

; 2

de los errores entre la solución

. 1 2 2 2 3 4 4 3 3 3

n = 16 2;3 10 6;8 10 2;4 10 1;2 10 2;3 10 8;7 10 4;4 10 3;2 10 9;3 10 2;1 10

1 2 2 2 3 4 4 5 5 4

Cuadro 2: Regularización de Tíjonov para

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

= 0;0001 0;2317 0;0681 0;0239 0;0120 0;0040 0;0047 0;0041 0;0448 0;1116 0;1474

= 0;001 0;2317 0;0676 0;0236 0;0183 0;0090 0;0255 0;2546 0;5609 0;9989 7;6250

= 0;01 = 0;1 0;2310 0;2175 0;0762 0;1276 0;0276 0;1325 0;1320 1;0056 0;1481 0;8793 0;3569 5;0764 2;1313 11;5955 2;4124 20;7159

Cuadro 3: Regularización de Tíjonov para

En el cuadro 2, hemos seleccionado

=0:

>0:

= 0, es decir, sólo el error de discretización

por la regla de Simpson es responsable del incremento del error para el pequeño

200

7. TEORíA DE LOS PROBLEM AS INVERSOS Y M AL PUESTOS

. Esta diferencia entre parámetros de discretización n = 8 y n = 16 son notables para

10

8

. En el cuadro 3, siempre tomamos n = 16 y observamos primero

que el error decrece con

a un valor óptimo y luego incrementa nuevamente. Esto

es predecido por la teoría, en particular por las estimaciones ( ) y ( ). En el siguiente cuadro, organizamos los resultados correspondientes a los pasos para el método de Landweber con parámetro a = 0;5 y nuevamente n = 16. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 200 300 400 500

= 0;0001 0;8440 0;6268 0;5630 0;4334 0;4161 0;3419 0;3421 0;3004 0;3037 0;2794 0;0505 0;0281 0;0276 0;0275 0;0273

= 0;001 0;8439 0;6268 0;5628 0;4334 0;4159 0;3418 0;3419 0;3002 0;3035 0;2792 0;0495 0;0276 0;0275 0;0269 0;0266

= 0;01 0;8430 0;6268 0;5619 0;4332 0;4147 0;3411 0;3404 0;2990 0;3017 0;2775 0;0438 0;0314 0;0339 0;0353 0;0365

= 0;1 0;8315 0;6259 0;5478 0;4271 0;3957 0;3269 0;3153 0;2761 0;2704 0;2467 0;1234 0;1805 0;1876 0;1893 0;1913

Cuadro 4. Iteración de Landweb er.

Observamos que el error decae rápidamente en los primeros pasos y luego baja lentamente. Al comparar el método de Tíjonov y Landweber, notamos que el error correspondiente a la iteración número m debe ser comparada con el error correspondiente a

=

1 2m

(ver las estimaciones en las pruebas de los teoremas ( ) y (

).

Teniendo en cuenta esto, observamos que ambos métodos son comparables donde la precisión es concerniente. Notamos, sin embargo, que el tiempo de computación del método de Landweber es considerablemente mayor que en el método de Tíjonov, en particular si el error

es pequeño. Por otro lado, el método de Landweber es

estable con respecto a perturbaciones del lado derecho y da muy buenos resultados aún para errores

muy grandes.

Bibliografía

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201

APÉNDICE

El primer Anexo

%Programa de Ecuaciones Diferenciales Parciales %Borrado variables y de la pantalla de salida clear clc %Variables de entrada del usuario n=input(’Introduzca el valor de Nnn N=’); m=input(’Introduzca el valor de Mnn M=’); tao=input(’Introduzca el valor de Taonn Tao=’); h=input(’Introduzca el valor de hnn h=’); a_cuad=input(’Introduzca el valor de a^2nn a^2=’); g=input(’Introduzca el valor de g(x)nn g(x)=’); beta=input(’Introduzca el valor de beta(x)nn beta(x)=’); f=input(’Introduzca el valor de f(x,t)nn f(x,t)=’); %Matriz A que se llena con los valores de h, tao y la variable a^2 w=zeros(n+1,m+1); j=1; for i=1:n+1 if(i==1) w(i,j)=2*(1-(a_cuad*tao^2)/h^2); 203

A

204

A. EL PRIM ER ANEXO

w(i,j+1)=(a_cuad*tao^2)/h^2; j=j+1; else if(i==n+1) w(i,j-1)=(a_cuad*tao^2)/h^2; w(i,j)=2*(1-(a_cuad*tao^2)/h^2); j=j+1; else w(i,j-1)=(a_cuad*tao^2)/h^2; w(i,j)=2*(1-(a_cuad*tao^2)/h^2); w(i,j+1)=(a_cuad*tao^2)/h^2; j=j+1; end end end %Matriz w que se llena con los valores de las funciones g(x), beta(x) y f(x) %Se trabajo la variable w como una matriz de n*m y con la cual se dispuso a ingresar las condiciones de contorno %Funcion g(x) y beta(x) con posibles valores de x W=zeros(n+1,m+1); syms x; for i=1:n+1 x=i; G(i)=eval(g); BETA(i)=eval(beta); end for i=1:n+1 for j=1:m+1 W(i,1)=G(i); W(i,2)=2*BETA(i)+G(i); W(1,j)=0; W(n+1,j)=0;

A. EL PRIM ER ANEXO

end end %Funcion f(x,t) con posibles valores de x y t syms x t; for i=1:n+1 for j=1:m+1 x=i; t=j; F(i,j)=eval(f); end end %vector F for j=1:m+1 for i=1:n+1 B(j,i)=((a_cuad*tao^2)/h^2)*W(i,2)-W(i,1)+tao^2*F(i,j); end end WRES=w/B(1,:); B=B’; W…nal=w*WRES+B(:,1); %W…nal es la variables W^(j+1)=AW^j+F^j %Esta matriz indica que cada …la corresponde al valor de j for i=1:n W…nal(:,i+1)=w*W…nal(:,i)+B(:,i); end W…nal %Gra…ca de la funcion W respecto a x y t x=[1:n+1]; t=[1:m+1]; …gure(1); plot(x,W…nal,’-’) xlabel(’eje x’);

205

206

A. EL PRIM ER ANEXO

ylabel(’eje w’); grid; legend(’Valores de W...’); title(’Gra…ca de W(x)’); …gure(2); plot(t,W…nal,’-’) xlabel(’eje t’); ylabel(’eje w’); grid; legend(’Valores de W...’); title(’Gra…ca de W(t)’);

______________________ . Consideremos un cuerpo formado por cierto material que ocupa un dominio acotado en tres dimensiones, cuyo interior es Gamma y cuya frontera es Tao, tal como se ilustra en la …gura 1. Entendemos el calor como una forma de energìa asociada a la agitaciòn tèrmica de las moleculas del material. Nuestro objetivo es describir matemàticamente el proceso por el que el calir se distribuye espacialmente en Gamma y evoluciona a lo largo del tiempo. Concretamente, a partir de leyes fìsicas, vamos a obtener una ecuaciòn en derivadas parciales. Para ello, durante un intervalo arbitrario de tiempo [t1 ; t2 ], estudiaremos un elemento arbitrario en Gamma con volumen V y super…cie exterior S y cuyos puntos se representan por las coordenadas (x; y; z). En este elemento suponemos que el calor es protagonista de tres procesos: producciòn, almacenamiento y transporte. …gura 1 Estos procesos estàn ligados entre sì por el siguiente principio de conservaciòn: QP = QA + QT donde

(1)

A. EL PRIM ER ANEXO

207

QP = Calor producido en V en [t1 ; t2 ] QA = Calor almacenado en V en [t1 ; t2 ] QT = Calor transportado a travès de S en [t1 ; t2 ] Representando matemàticamente cada uno de estos procesos, la ecuaciòn (1) nos llevarà a una ecuaciòn en derivadas parciales, como veremos a continuaciòn. Producciòn de calor: Suponemos la existencia de una funciòn f (x; y; z; t) que representa el calor neto producido por unidad de volumen y unidad de tiempo. Sì f > 0 se tiene un aumento de calor (producciòn propiamente dicha); f < 0 signi…ca R disipaciòn de calor. La integral v f (x; y; z; t)dxdydz describe el calor producido Rt2 por unidad de tiempo en el instante t en el volumen V mientras que f (x; y; z; t)dt t1

da cuenta del calor producido en un punto (x; y; z) por unidad de volumen en el intervalo [t1 ; t2 ]. Consecuentemente, el calor total producido en el volumen V en [t1 ; t2 ] viene dado por: QP =

Rt2 R

t1

v

f (x; y; z; t)dxdydzdt

(2)

Almacenamiento de calor: Sea e(x; y; z; t) una funciòn que representa la densidad de calor instantànea en cada punto, es decir la cantidad de calor por unidad de volumen. La capacidad de almacenamiento està ligada a la posibilidad de variar esta densidad a lo largo del tiempo, de manera que el calor almacenado en V en el intervalo [t1 ; t2 ] se expresa en la forma: QA =

R

[e(x; y; z; t2 ) v

e(x; y; z; t1 )] dxdydz =

Rt2 R

t1

@e (x; y; z; t)dxdydzdt v @t

(3)

Transporte de calor: El transporte supone un ‡ujo en alguna direcciòn. Para cuanti…carlo se introduce el denominado vector de ‡ujo

que es el campo vectorial

cuyas componentes en la base cartesiana fi; j; kg son (x; y; z; t) = Su modulo j j =

1 (x; y; z; t)i +

p

2 1

+

2 2

+

2 (x; y; z; t)j 2 3

+

3 (x; y; z; t)k

(4)

representa la cantidad de calor que se trans-

porta por unidad de àrea y de tiempo. Para expresar la cantidad de calor que atraviesa la super…cie S, consideremos en cualquiera de sus puntos (x; y; z), una base de vectores unitarios formada por el vector n en la direcciòn normal y los vectores t1 ; t2 en el plano tangente a S, tal como se ilustra en la …gura 2. Por convenio

208

A. EL PRIM ER ANEXO

suele darse sentido positivo a n hacia el esterior de la super…cie. Con ello el ‡ujo en cualquier punto de S puede descomponerse en la forma:

= n+ Dado que =<

1 t1

+

2 t2

1 t1

+

2 t2 :

es un vector sobre el plano tangente, la componente

; n > en la direcciòn normal representa la cantidad de calor por unidad de

àrea y de tiempo que sale por cada punto a tràves de la super…cie S. Por tanto la cantidad de calor que atraviesa la super…cie S en [t1 ; t2 ] es QT =

Rt2 R

t1

s

< ; n > dsdt =

Rt2 R

t1

s

div dxdydzdt

(5)

Donde se ha utilizado el teorema de la divergencia. …gura 2 Con ello la ecuaciòn de conservaciòn (1) puede escribirse en la forma Rt2 R

t1

s

f

@e @t

div

dxdydzdt = 0

Aquì V representa un volumen arbitrario en

(Gamma) y [t1 ; t2 ] es asimismo

arbitrario. Por tanto, en virtud del teorema de la anulaciòn, el integrando ha de ser nulo (suponiendo que es continuo) en todos los puntos de

y en cualquier instante

t > t0 , siendo t0 un instante inicial dado. Por tanto podemos escribir @e @t (x; y; z; t)+div

(x; y; z; t) = f (x; y; z; t); 8(x; y; z) 2 ; 8t > 0

(6)

siendo t0 cierto instante inicial. Esta expresiòn es una ecuaciòn en derivadas parciales, pero en ella aparecen dos funciones desconocidas e y

. Para que la ecuaciòn tenga utilidad practica es

necesaario reducir las dos incògnitas a una sola. Esto requiere profundizar mas en la modelaciòn de los procesos de almacenamiento y de transporte. En ello juega papel esencial la temperatura.

A. EL PRIM ER ANEXO

209

Calor almacenado y temperatura: Estudios experimentales han llevado a aceptar que la cantidad de calor almacenada depende del tipo de material, de la distribuciòn de su masa y se ajusta con su…ciente bondad a la siguiente expresiòn: e(x; y; z; t) = (x; y; z; t)c(x; y; z; t)u(x; y; z; t) donde

(7)

> 0 es la densidad (masa por unidad de volumen), c > 0 es el calor

especi…co, qu re‡eja la capacidad del material para acumular calor, y u es la temperatura. Consideremos que

y c no dependen de t, lo que supone que las propiedades

del material no se alteran con el proceso a lo largo del tiempo. En tal caso, el almacenamiento de calor es directamente proporcional a la variaciòn de la temperatura, es decir @e @t (x; y; z; t)

= (x; y; z; )c(x; y; z) @u @t (x; y; z; t)

(8)

Transporte de calor(conducciòn) y temperatura: Como se ha mencionado anteriormente, el calor està asociado a la energìa del movimiento molecular. Con esta òptica, el transporte del calor puede verse como una transferencia de energìa entre molèculas. Existen dos mecanismos fundamentales para esta transferencia: conducciòn, en que el calor se trans…ere por el contacto entre molèculas vecinas y por convecciòn, en que el calor se transprota por el movimiento de las molèculas desde una regiòn a otra. Aquì vamos a considerar el transporte por conducciòn. Este proceso està descrito por la ley de Fourier, que relaciona el vector de ‡ujo con la temperatura en la forma (x; y; z; t) =

K(x; y; z)ru(x; y; z; t)

(9)

donde K es la matriz de conductividad tèrmica, simètrica y con coe…cientes kij (x; y; z) > 0, y ru = (ux ; uy ; uz )T es el vector gradiente de temperatura. Màs explìcitamente podemos escribir

=

Kru =

0

1 k11 ux + k12 uy + k13 uz @ k12 ux + k22 uy + k23 uz A k13 ux + k23 uy + k33 uz

(10)

210

A. EL PRIM ER ANEXO

Los coe…cientes kij dan cuenta de la facilidad del material para conducir el caloe en las tres dimensiones del espacio proporcionalmente a las variaciones de temperatura ux ; uy ; uz . El signo negativo indica que el sentido del transporte siempre viene dado por un ‡ujo hacia puntos de menor temperatura. Las expresiones (8) y (9) son dos ecuaciones constitutivas que nos han permitido expresar dos paràmetros caracteristicos del material, como son el calor especi…cò c, la densidad

y la conductividad tèrmica K. De esta forma la ecuaciòn (6) queda

con la temperatura como ùnica funciòn incognita en la forma (x; y; z)c(x; y; z)ut (x; y; z; t) div [K(x; y; z)ru(x; y; z; t)] = f (x; y; z; t)

(11)

Esta es la llamada ecuaciòn del calor. Aplicando el operador divergencia al vector (10) la ecuaciòn (11) puede explicarse en la forma f = cut

[(k11 )x + (k12 )y + (k13 )z ] ux

[(k12 )x + (k22 )y + (k23 )z ] uy

[(k13 )x + (k23 )y + (k33 )z ] uz

[k11 uxx + k22 uyy + k33 uzz + 2k12 uxy + 2k13 uxz + 2k23 uyz ]

(12)

donde hemos supuesto que u tiene derivadas segundas continuas para igualar las derivadas cruzadas en virtud del Teorema de Schwartz. Claramente, tenemos una ecuaciòn diferencial en derivadas parciales lineal, de segundo orden y con sus coe…cientes ; c; kij y sus derivadas, que en general dependen de cada punto (x; y; z). Introduciendo ciertas hipòtesis, pueden obtenerse formas simpli…cadas de la ecuaciòn (12). Por ejemplo, si el material es homogèneo, sus paràmetros ; c; k son iguales en todo el dominio y la ecuaciòn (12) se reduce a la siguiente forma con coefeicientes constantes: cut [k11 uxx + k22 uyy + k33 uzz + 2k12 uxy + 2k13 uxz + 2k23 uyz ] = f

(13)

Suponiendo que la matriz de conductividad tèrmica sea diagonal, la ecuaciòn (12) queda en la forma cut [(k11 )x ux + (k22 )y uy + (k33 )z uz ] [k11 uxx + k22 uyy + k33 uzz ] = f

(14)

A. EL PRIM ER ANEXO

211

El caràcter general diagonal corresponde a suponer que la conductividad tiene los ejes x; y; z como direcciones privilegiadas, en el sentido de que el ‡ujo en la direcciòn x depende ùnicamente de la variaciòn de la temperatura en esta direcciòn (ux) y lo mismo ocurre en las otras dos direcciones. Si el material es isòtropo, la conductividad es la misma en las tres direcciones y se caracteriza por una funciòn escalar k. Asì K(x; y; z) = k(x; y; z)I donde I es la matriz identidad, y la ecuaciòn toma la forma cut [kx ux + ky uy + kz uz ] k [uxx + uyy + uzz ] = f

(15)

Si el material es isòtropo y homogeneo, esta ecuaciòn se reduce a la forma màs sencilla con coe…cientes constantes cut kr2 u = f (x; y; z; t)

(16)

Condiciones iniciales y condiciones de contorno(frontera) La ecuaciòn (11) nos da una herramienta par describir laevoluciòn de la temperatura en el interior

de un cierto dominio durante un intervalo de tiempo. Si

resolvieramos la ecuaciòn(se deja para màs adelante), obtendrìamos in…nitas soluciones, lo cual es inaceptable se se pretende disponer de un modelo que describa una situaciòn practica sin ambiguedades. LA ecuaciòn diferencial ha sido obtenida a partir de una representaciòn matamàtica de los procesos de producciòn, almacenamiento y conducciòn del calor. Estos procesos son internos en el sistema objeto de estudio , no dependiendo de su interacciòn con el medio exterior. Ademàs no tienen memoria, en el sentido de que no dependen de la historia temporal que haya tenido el sistema antes del intervalo en el que queramos estudiar su evoluciòn. Si se quiere determinar completamente la distribuciòn de la temperatura en

a partir

de un cierto instante inicial, es necesario incorporar a la ecuaciòn diferencial (11) dos tipos de condiciones: condiciones iniciales, que imponen un estado conocido del sistema en un instante inicial t0 , y condiciones de contorno, que …jan ciertas condiciones en la frontera Condiciones iniciales

del dominio.

212

A. EL PRIM ER ANEXO

La presencia de una derivad temporal de primer orden en la ecuaciòn (11) hace necesario especi…car la distribuciòn inicial de la temperatura, es decir u(x; y; z; t0 ) = g(x; y; z);

(x; y; z) 2

(17)

donde g es una funciòn dada. Condiciones de contorno Existen distintas situaciones fìsicas que pueden traducirse en condiciones en la frontera del dominio. Vamos a ver tres casos de los que se presentan habitualmente. Temperatura prescrita: La situaciòn màs sencilla consiste en mantener la temperatura de los puntos de la frontera en unos valores dados, lo que puede expresarse en la forma (x; y; z) 2 ; t > t0

u(x; y; z; t0 ) = h(x; y; z; t);

(18)

como caso especial puede considerarse una temperatura constante. En particualar puede ser h = 0, en cuyo caso se dice que la condiciòn es homogènea. Flujo de calor prescrito:El ‡ujo de calor a tràves de un punto de la frontera en la direcciòn normal n es, segùn la ley de Fourier (9) < ; n >= donde

@u @nk

< Kru; n) =

< ru; Kn >=

@u @nk

(19)

es la derivada direccional en la direcciòn de…nida por el vector

nk = Kn. Podemos considerar la existencia de un mecanismo capaz de regular este ‡ujo en los puntos de la frontera y mantenerlo en unos valores deseados. Esto puede expresarse en la forma @u @n (x; y; z; t)

(x; y; z) 2 ; t > t0

= h0 (x; y; z; t);

(20)

donde h0 es una funciòn dada. Si se considera el caso de una material isòtropo con matriz de conductividad diagonal K = kl, la expresiòn del ‡ujo (19) se modi…ca en la forma < ; n >=

k < ru; n) =

@u k @n

(21)

Considerando h = h0 =k la condiciòn (20) queda ahora en la forma @u @n (x; y; z; t)

= h(x; y; z; t);

(x; y; z) 2 ; t > t0

(22)

A. EL PRIM ER ANEXO

213

En particular los casos h0 = 0 y h = 0 signi…can que no hay ‡ujo a travès del contorno, por lo que el dominio està aislado tèrmicamente (condiciòn de contorno homogènea). Intercambio de calor con el medio

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