Ecuaciones diferenciales de primer orden solucion directa

1

ECUACIONES DIFERENCIALES: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden directas.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DIRECTAS. Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden directa directa es a!uella en la a deri"ada ordinaria de primer orden esta dada en forma e#plicita en t$rminos de una funcin de la "aria%le independiente

 y ' = f ( x) dy

O %ien en la forma de deri"ada como

dx

=

 f ( x)

O %ien en la forma de diferenciales como dy

=

f ( x) dx

E&emplos.

+.

dy   = cos3 x ( )Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden( forma de deri"ada * dx d  y = cos3 xdx  )Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden( forma de diferencial. *

,.

 y '( x) = 3 x + 6 x 2 + 3ecos x

'.

+

8 cos 5 x  )Ecuacin diferencial ordinaria de primer

orden( forma de deri"ada *

 y '( x) = e x cos 5 x  )Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden( forma de deri"ada * cos5 x dy = e x  x dx )Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden( forma de diferen/ e +1

-. 

cial.*

SOLUCIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN DIRECTA .

Solución General.

'( x) La ecuacin diferencial ordinaria de primer orden  y  '(

dy dx

=

 f ( x) ( o %ien dy

=

=

f ( x) ( o %ien

f ( x) dx ( tiene una solucin 0eneral  y ( x) = f ( x, C 1 )

La cual se o%tiene inte0rando am%os miem%ros de la ecuacin diferencial. Dada  y '( x) = f ( x) Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO !"RTO

22 d# $ar%o d# 2&1'

+

Ecacon#s *+#r#ncal#s d# ,r$#r Ord#n (*r#c-as)

Inte0rando se tiene:  y ( x) Dada

dy dx

=

∫  f ( x)

+

C 1

=

∫  f ( x)

+

C 1

=

∫  f ( x)dx

 f ( x)

=

Inte0rando se tiene:  y ( x) Dada dy

=

f ( x) dx

Inte0rando se tiene:  y ( x)

+

C 1

Solución Particular  La solucin particular de la ecuacin diferencial ordinaria de primer orden di/ recta( se o%tiene a partir de la solucin 0eneral asi0nando "alores a la cons/ tante ar%itraria C 1 ( o %ien determinando los "alores de la constante a partir de las condiciones iniciales a !ue esta su&eta la ecuacin diferencial( las cua/ les son Si  x = x& ( entonces  y ( x& ) = y& E&emplos. Determinar la solucin 0eneral de las si0uientes ecuaciones diferenciales.

 y ' =  x − 6

1.

+.

dy = ( + 3 x)  dx dx = ln t + t  dt 

,. .

-.

dy

=

dx  y ' =

 x5 −

1 2

x 2 cos 5 x

+

x

Determinar la solucin particular de las si0uientes ecuaciones diferenciales dadas las condiciones iniciales a !ue esta su&eta la ecuacin diferencial 1.  y ' =  − . x 2 − 6 x 3 . Condiciones iniciales  y (1) = & 2. 3.

dy dx dr

= =

 x5 −

1 2

+

x . Condiciones inciales  y (&) = 5

x (2s#n t − e − t  ) dt  .  Condiciones iniciales r (&) = 

,

ECUACIONES DIFERENCIALES: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden directas.

'.

5.

6 x − 12

 y ' = ds dt 

 x

=

2

. Condiciones iniciales  y (1)

2&

=

1

1 cos t . Condiciones iniciales r (π  ) = & 2 2

Soluciones. 2enerales. Dada la ecuacin diferencial(  y ' =  x − 6 ( identific3ndola se nota 1/ !ue es ordinaria de primer orden directa( 4or lo !ue inte0rando se tiene La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

2/

Dada la ecuacin diferencial(

dy dx

=

 x

5

−

1

x

2

+

x ( se nota !ue es or/

dinaria de primer orden directa( operando al0e%raicamente se tiene

dy dx

=

 x5 − x − 2

+

x(

Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO !"RTO

22 d# $ar%o d# 2&1'

-

Ecacon#s *+#r#ncal#s d# ,r$#r Ord#n (*r#c-as)

por lo !ue inte0rando se tiene. La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica se muestra a continuacin.

3/



Dada la ecuacin diferencial( dy = ( + 3 x) dx ( se nota !ue es or/ dinaria de primer orden directa( por lo !ue inte0rando se tiene

dy = ( + 3 x)  dx Como la funcin por inte0rar es de la forma u n du ( entonces du = 3dx ( por lo cual la ecuacin se de%e arre0lar de forma tal

dy

=

1 3

( + 3 x)  3dx

La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

'/

Dada la ecuacin diferencial(  y ' = 2 cos 5 x (



ECUACIONES DIFERENCIALES: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden directas.

se nota !ue es ordinaria de primer orden directa( por lo !ue inte0rando se tiene La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

5/

 Dada la ecuacin diferencial(

dx dt 

=

ln t + t ( se nota !ue es ordina/

ria de primer orden directa( por lo !ue inte0rando se tiene

 x(t ) =

∫ (ln tdt

+

tdt ) + C 

Como el primer termino de la funcin por inte0rar es de la forma ( 5 como ( inte0rando se tiene

La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial

4articulares. 1/

Dada la ecuacin diferencial  y ' =  − . x

2

−

6 x 3 ( con las condicio/

nes iniciales  y (1) = & ( se nota !ue es un pro%lema de "alor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa(

Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO !"RTO

22 d# $ar%o d# 2&1'

6

Ecacon#s *+#r#ncal#s d# ,r$#r Ord#n (*r#c-as)

por lo !ue inte0rando para o%tener la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

4ara o%tener la solucin particular se sustitu5en las condiciones ini/ ciales en la solucin 0eneral 5 se tiene

 y (1) =  − 3 −

3 2

C 1

+

=

&

4or lo tanto

C 1

= −

 + 3+

3 2

= −

2 2

+

3 2

=

1 2

Sustitu5endo el "alor de la constante ar%itrara en la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

2/

Dada la ecuacin diferencial

dy dx

=

e x

−

5s#n x ( con las condicio/

nes iniciales  y (&) = 5 ( se nota !ue es un pro%lema de "alor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa(

7

ECUACIONES DIFERENCIALES: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden directas.

por lo !ue inte0rando para o%tener la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

4ara o%tener la solucin particular se sustitu5en las condiciones ini/ ciales en la solucin 0eneral 5 se tiene

 y (&) = 4or lo tanto C 1

=

1 

e& + 5cos & + C1

5− 5−

1 

= −

=

1 

+

5 + C 1

=

5

1 

Sustitu5endo el "alor de la constante ar%itrara en la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica se muestra a continuacin

3/

Dada la ecuacin diferencial dr

=

(2s#n t − e − t ) dt (  con las condi/

ciones iniciales r (&) =  ( se nota !ue es un pro%lema de "alor ini/ cial de una ecuacin diferencial ordinaria directa(

Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO !"RTO

22 d# $ar%o d# 2&1'

8

Ecacon#s *+#r#ncal#s d# ,r$#r Ord#n (*r#c-as)

por lo !ue inte0rando para o%tener la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

4ara o%tener la solucin particular se sustitu5en las condiciones ini/ ciales en la solucin 0eneral 5 se tiene

r (&) =

−

2cos & + e&

C1

+

= −

2 + 1 + C1

=

 

4or lo tanto: Sustitu5endo el "alor de la constante ar%itrara en la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica se muestra a continuacin

'/

Dada la ecuacin diferencial  y ' =

6 x − 12

 x

2

( con las condiciones ini/

ciales  y (1) = 2& ( se nota !ue es un pro%lema de "alor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa( arre0lando al0e%raica/ mente la ecuacin diferencial se tiene

 y ' =

6

 x

−

12 x

−2

9

ECUACIONES DIFERENCIALES: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden directas.

4or lo !ue inte0rando para o%tener la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial( en la fi0ura si0uiente se muestra la 0rafica de esta solucin 0eneral..

4ara o%tener la solucin particular se sustitu5en las condiciones ini/ ciales en la solucin 0eneral 5 se tiene

12

 y (1) = 6 ln1 + 4or lo tanto C 1

=

1

+

C 1

=

& + 12

=

2&

2& − 12 = 8

Sustitu5endo el "alor de la constante ar%itrara en la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica se da a continuacin(

5/

Dada la ecuacin diferencial

ds dt 

=

1

1 cos t ( con las condiciones 2 2

iniciales r (π  ) = & ( se nota !ue es un pro%lema de "alor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa(

Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO !"RTO

22 d# $ar%o d# 2&1'

Ecacon#s *+#r#ncal#s d# ,r$#r Ord#n (*r#c-as)

1

por lo !ue inte0rando para o%tener la solucin 0eneral se tiene

La cual es la solucin 0eneral de la ecuacin diferencial. Cu5a 0rafica es

4ara o%tener la solucin particular se sustitu5en las condiciones ini/ ciales en la solucin 0eneral 5 se tiene 4or lo tanto Sustitu5endo el "alor de la constante ar%itrara en la solucin 0eneral se tiene La cual es la solucin particular( cu5a 0rafica es