Ecuaciones Diferenciales de Primer Orde

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: BIDDER CALAPUJA SAMBRANO

Aplicaciones de las E.D.O. 1° orden-Ejercicios Alumnos: Caipo Ccoa Manuel Alberto Castro Vera Augusto Choquehuanca Apaza Alexander Malque García Cesar Quispe Huarca Marcos

Contenido 1° PARTE: CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. ................................................................................1 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto ...................................................................................................................................1 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto ..................................................................................................................................2 Estudiante: Choquehuanca Apaza Alexander ...........................................................................................................................3 Estudiante: Choquehuanca Apaza Alexander ...........................................................................................................................4 Estudiante: Malque García César ...........................................................................................................................................5 Estudiante: Malque García César ...........................................................................................................................................5 Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando .........................................................................................................................6 Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando .........................................................................................................................7 2° PARTE: LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEW TON........................................................................................................................10 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto .................................................................................................................................10 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto ..................................................................................................................................11 Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando ........................................................................................................................18 Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando ........................................................................................................................19 3° PARTE: LEY ES DE KIRCHHOFF ...........................................................................................................................................20 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto ................................................................................................................................20 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto .................................................................................................................................21 Estudiante: Malque García César .........................................................................................................................................22 Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando .......................................................................................................................23 Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando .......................................................................................................................25 4° PARTE: MEZCLAS..............................................................................................................................................................27 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto ................................................................................................................................27 K. Nagle 5°Ed. Pág. 99, Ej. 7 .................................................................................................................................................29 Estudiante: Malque García César .........................................................................................................................................29 Estudiante: Malque García César .........................................................................................................................................30 Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando ........................................................................................................................31 PROBLEMAS ADICIONALES ....................................................................................................................................................32 Estudiante: Augusto Castro Vera .........................................................................................................................................32 Estudiante: Augusto Castro Vera .........................................................................................................................................33 Estudiante: Augusto Castro Vera .........................................................................................................................................34 Estudiante: Augusto Castro Vera .........................................................................................................................................35

Estudiante: Augusto Castro Vera .........................................................................................................................................36 Estudiante: Augusto Castro Vera .........................................................................................................................................37 Estudiante: Augusto Castro Vera .........................................................................................................................................38 EJERCICIOS PROPUESTOS: ...................................................................................................................................................40

1° PARTE: CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA.

Ejercicio 1: Ecuaciones Diferenciales de Boyce di prima, pág. 185 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto Cierto animal enfermo contiene una infección causada por una bacteria que le causa una infección proporcional al número de bacterias que permanecen es un su cuerpo en un inicio, si en 3 horas la bacterias se multiplicaron la mitad de que se multiplicaron en 4 horas ¿En cuánto tiempo las bacterias se habrán quintuplicado? Sol. Sea

B  B (t )

la población de bacterias que permanecen en el animal en el

instante de tiempo t.

dB  kB, k  0........(1), B (0)  B0, B (3)  B1, B (4)  2 B1 dt calcular , B (t )  5 B0 Obtenemos por separación de variables que  B (t )  ce kt Hallando " c ", t  0  B0  ce kt  B0  c luego, B (t )  B0 e kt Hallando " k " si, B (3)  B1  B1  B0 e3 k ..............................(2) ademas, B (4)  2 B1  2 B1  B0 e 4 k ...............(3) dividiendo, (3) entre(2) e4k 2  3 k  k  ln(2)  B (t )  B0 e ln(2) t e calcular , B (t )  5 B0 , 5 B0  B0 e ln(2) t  5  2t  t=2.3219 El tiempo en el que las bacterias se quintuplicaran seria t=2.3219 horas.

1

Ejercicio 2: Ecuaciones Diferenciales de Boyce di prima, pág. 176 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto El polen en una planta disminuye a medida con la que pasa el tiempo siempre proporcional a la cantidad de polen que tenía la plata en el inicio ,si esta planta deja de recibir polen pero aun continua perdiéndolo por cuestiones meteorológicas, un biólogo analiza la planta y nota p que la planta posee una cantidad P de polen, y en el segundo análisis la planta pose 2 ,si este segundo análisis se realizó 20 horas después ¿Cuánto tiempo después de la última deposición de polen la planta habrá el 99.99% de la cantidad inicial? Sol. Sea

P  P(t)

la cantidad de polen que posee cierta planta en un determinado instante ”t”. P dP   kP, k  0; si, P(0)  P0, P( t)  P1, P(t 20)  1 dt 2 calcular , P(t)  1% P0 Obtenemos por separacion de variables

P ( )t  ce  kt

Hallando " c ", t  0  P0  ce  kt  P0  c  P( t)  B0 e kt Hallando " k " si , P (t )  P1  P1  P0 e  kt ..............................(2) P1 P  1  P0 e  k ( t  20) ...............(3) 2 2 dividiendo, (2) entre(3)

ademas, P (t  20) 

2

e  kt e  k ( t  20)

k 

1  ln( 2) t ln(2) 20 ,  P (t )  P0 e 20

calcular , P( t )  0.01P0  0.01P0  P0 e

 ln( 2) t

1 20



20 ln(0.01) 2 ln(2)

 t=132.87 h

Por lo tanto la planta llego a poseer el 1% del polen en un inicio pasado 132.87 horas.

Ejercicio 3: Estudiante: Choquehuanca Apaza Alexander Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera Penney Pág. 44, Ej. 50 La cantidad A(t) de contaminantes en la atmósfera en un cierto valle montañoso crece naturalmente y se triplica cada 7.5 años. (a) Si la cantidad inicial es 10 pu (unidades de contaminación, por sus siglas en inglés) obtenga una fórmula para A(t) (en pu) que proporcione la cantidad de contaminantes después de t años. (b) Cual será la cantidad (en pu) de contaminantes presente en la atmósfera del valle después de 5 años? (c) Si será peligroso estar en el valle cuando la cantidad de contaminantes alcance 100 pu, ¿cuándo ocurrirá esto? Sol.

(a) Sea A(t) La cantidad de contaminantes en la atmosfera en un tiempo "t" dA  kA, k  0 dt Si A(t )  Ce kt ,  a  Para un tiempo de 7.5 años, A(t )  10e kt  30  A( Despejando K ; e15 k /2  3  K 

15 )  10 e15 k /2 2

2 ln 3  ln(32/15 ) 15

Entonces después de t años, A(t )  10e kt  10eln(3

2/15

)t

 10  32t /15 pu

A(t )  10  32t /15 pu

 b  Después de 5 años, A(t )  10  32t /15  A(5)  10  32(10)/15   c  A(t )  100 A(t )  10  32t /15  100  10  32t /15 , entonces el tiempo : t 

20.8 pu

15  ln10     15.72 años. 2  ln 3 

Ejercicio 4: Estudiante: Choquehuanca Apaza Alexander Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera Penney Pág. 44, Ej. 51 Un accidente en una planta de potencia nuclear ha dejado una área contaminada con material radiactivo a su alrededor, la cual decrece de manera natural. La cantidad inicial de material radiactivo presente es de 15 su (unidades de seguridad, por sus siglas en inglés) y 5 meses más tarde es todavía de 10 su. (a) Escriba una fórmula para calcular la cantidad A(t) de material radiactivo (en su) que permanece después de t meses. (b) ¿Qué cantidad de material radiactivo permanecerá después de 8 meses? (c) ¿Cuánto tiempo en número total de meses o fracción de ellos pasará hasta que A=1 su, de tal manera que sea seguro para que la gente pueda regresar a esa área? Sol. sea A(t ) la cantidad de sustancia radioactiva en un instante "t". dA   kA, k  0, Si A(t )  Ce kt dt  a  después de t meses A(t )  15  e  kt ; A(5)  10  10  15  e 5t  A(t )  15  e

b c



3 ln( ) 2 t 5

3  15   2

 t /5

2  15   3

t /5

3  e kt 2

3 ln( ) 2 k  5

2  A(t )  15   3

t /5

2 después de 8 meses el material será  A(8)  15   3 2 para un A  1, A(t )  1  A(t )  15   3

t/5

t /5

2  1  15   3

t/5

2  15   3

8/5

 7.84 su

 1  ln   15  ;t  5    33.4 meses 2 ln   3

Ejercicio 5: K. Nagle, Pág. 100, Ej. 24 Estudiante: Malque García César Si en un principio se tienen 300 gramos de una sustancia radiactiva y después de 5 años se tienen 200 gramos, ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que solo queden 10 gramos? Sol. El decaimiento de una sustancia radiactiva puede modelarse generalmente con la ecuación dP diferencial:  kP , la cual puede resolverse por el método de separación de variables, para dt obtener P(t )  cekt ....(1), k  0

Ahora, sean las condiciones iniciales: P(0)  300 g y P(5)  200g , lo que el ejercicio pide encontrar podemos escribirlo como P ( x)  10 g ; ahora, para encontrar los valores de c y k en (1), usamos las condiciones iniciales: hallamos c: P(0)  300  ce0  c  300 , ahora hallamos k:

2 5  k  0, 081  P (t )  300e 0.081t , luego pasamos a 3 encontrar el tiempo x en el que habrán 10 g : P(5)  200  300e5 k  k  ln

1 0, 081  x  41,99 42 30 Rpta. Deberá transcurrir 42 años P( x)  10  300e 0,081x  x  ln

Ejercicio 6: K. Nagle, Pág. 100, Ej. 25 Estudiante: Malque García César Con frecuencia el fechado por C 14 se usa para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una cueva de Sudáfrica se halló un cráneo humano junto con los restos de una hoguera. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo sea igual a la edad de la hoguera. Se ha determinado que solo queda 2% de cantidad original de C 14 en los restos de madera de la hoguera. Estime la edad del cráneo, si l vida media del C14 es de aprox. 5600 años. Sol. Edad cráneo= Edad hoguera, calculamos la edad de la hoguera: 2 C C , P (5600)   P (t )  Ce kt 100 2 C P (5600)   Ce5600 k  k  ln 0, 5  k  0, 0001237 5600 2 2 P (x)  C  Ce 0,0001237 x  x  ln 0, 02  x  31625, 08 0, 0001237 100 P (0)  C , P (x) 

Rpta. La edad estimada para el cráneo es de 31625, 08 años.

Ejercicio 7: P. Blanchard Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando Una estudiante ha ahorrado 30000 para sus estudios universitarios. Cuando comienza a estudiar, invierte el dinero en una cuenta de ahorros que paga 6% de interés anual compuesto continuamente. Suponga que sus gastos universitarios son de 10000 por año y que ella dispone que este dinero sea deducido de su cuenta de ahorros en pagos pequeños. En otras palabras, suponemos que ella está pagando en forma continua. ¿Cuánto tiempo podrá permanecer en la universidad antes de que se le acabe el dinero? Sol.

Sea A(t ) la cantidad de dinero que posee con respecto del tiempo Sea

dA  k la tasa de cambio del dinero que posee dt

Resolviendo la ecuación diferencial se tiene A  30000(

53 t )  10000t 50

Igualando la función a “cero”. A  30000(

53 t 53 53 53 t )  10000t  0  30000( )t  10000t  3( ) t  t  ( ) t  50 50 50 50 3

t  3.7278

Por lo que el tiempo que podrá permanecer en la universidad antes que se le acabe el dinero es t=3.7278

Ejercicio 7: I. Carmona Jover Estudiante: Quispe Huarca Marcos Fernando Partiendo de dos sustancias A y B se desea obtener un compuesto C. La ley de conversión para estas sustancias es: la rapidez de transformación de la cantidad x del compuesto C es proporcional al producto de las cantidades no transformadas de las sustancias A y B. Tomando medidas unitarias suponemos que una unidad de A y una unidad de B producen una unidad de C. a. Demostrar qe la ley de conversión en t  0 viene dada por la ecuación diferencial: dx  K (a  x )(b  x) dt b. Si en t  0 hay m unidades de la sustancia A, n unidades de la B y ninguna del compuesto C, hallar la solución para x . c. Si a  4 kg, b  5 kg, x  1 kg, en t  50 min; hallar el valor de x cuando t  1 h, 40 minutos. Sol.

a. Sean m partes de A, n partes de B y 0 partes de C.  Existen

mx nx unidades de A y unidades de B. mn mn

Por lo tanto quedan aún sin combinar: ( a0 

mx nx ) unidades de A y (b 0  ) unidades de B. mn mn

a (m  n)  mx b0 (m  n)  nx dx mx nx dx  k (a0  )(b0  )   k( 0 )( ) dt mn mn dt mn mn dx kmn a0 m  a0 n  mx b0 m  b0 n  nx dx kmn n m  ( )( )  (a0 (1  )  x)(b 0 (  1)  x) dt (m  n) 2 m n dt (m  n) 2 m n

Tenemos que: K

n m kmn ; a  a0 (1  ) ; b  b 0 ( 1) 2 m n ( m  n)

Rpta:

dx  K (a  x)(b  x dt

b. 

dx  Kdt (a  x)(b  x)

CASO 1

a b

dx dx 1  Kdt     Kdt   Kt  C 2 2 (a  x) (a  x) (a  x)  Hallamos C en X (0)  0

C

1 a

Despejando x x

a 2 Kt aKt  1

CASO 2

ab

dx

 (a  x)(b  x)   Kdt Por fracciones parciales. 1 A B   ( a  x )(b  x ) ax bx 1  Ab  Ax  Ba  Bx; 1  (  A  B ) x  Ba  Ab ( A  B)  0 Ba  Ab  1 A(b  a )  1 1 1 ; B (b  a ) ( a  b) dx dx 1  (a  x)(b  a )  (b  x)(a  b)   Kdt  (b  a ) (ln(b  x)  ln(a  x))  Kt  C bx b ln( )  (b  a )( Kt  C )  ln( )  (b  a )C ax a ln(b / a ) C (b  a ) A

Hallamos C en Tenemos que : bx b bx b )  (b  a) Kt  ln( )  ln( )  ln( )  (b  a) Kt ax a ax a ( b  a ) Kt b  x b (b  a ) Kt ab(1  e )  e x ;b  a ( b  a ) Kt ax a a  be

ln(

c. Tenemos que a  4 kg, b  5 kg, x  1 kg, en t  50 min

20(1  e50 K ) 1  4  5e50 K  20  20e50 K  15e50 K  16 50 K 4  5e 16 16 ln(16 /15) e50 K   50 K  ln( )  K  15 15 50

Reemplazando en t  100 20(1  e2ln(16/15) ) 20(1  (16 /15) 2 ) x  x 4  5e2ln(16/15) 4  5(16 /15) 2 x  1.6315 Rpta: 1.6315 kg de C

2° PARTE: LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Ejercicio 8: Ecuaciones Diferenciales de Boyce di prima, pág. 189 Estudiante: Caipo Ccoa Manuel Alberto Una hormiga decide viajar por lo que llega a un desierto su temperatura corporal antes de empezar su viaje era de 60 grados Fahrenheit y luego de ingresar su temperatura iba amentando muy rápidamente si la hormiga pasado 8 horas alcanza una temperatura de 100 grados Fahrenheit, se sabe que la hormiga nunca llego a su destino ya que murió en el camino después de alcanzar los 120 grados Fahrenheit, si la hormiga salió un sábado al medio día ¿Cuándo murió?(supongamos que la temperatura del desierto es constante y es de 140 grados Fahrenheit) Sol. Sea

T  T(t) La temperatura corporal de la hormiga en cada instante.

dT dT 0  k (T  Ta ), k  0........(1) dt dt T (o)  T0 , T (8)  100, T (t )  120 Como T 20

Se aplica a un circuito LR en serie en el que la inductancia es de 20 henrios y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente 𝑖(𝑡) si 𝑖 (0) = 0. (D. Zill 6°Ed.pág 82) 𝟔𝟎 − 𝟔𝟎𝓮−𝟎.𝟏𝒕 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝟎 a)𝑰(𝒕) = [ 𝟔𝟎(𝓮𝟐 − 𝟏)𝒆−𝟎.𝟏𝒕 , 𝒕 > 𝟐𝟎 60 − 60ℯ −0.3𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 b)𝐼 (𝑡) = [ 60(ℯ 2 + 1)𝑒 −0.3𝑡 , 𝑡 > 20 60 + 60ℯ −0.1𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 c)𝐼 (𝑡) = [ 60(ℯ 2 − 1)𝑒 0.1𝑡 , 𝑡 > 20 60 − ℯ −0.1𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 d)𝐼 (𝑡) = [ 60(𝑒 − 1)𝑒 −0.1𝑡 , 𝑡 > 20 60 − 60ℯ 0.1𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 e)𝐼 (𝑡) = [ 60(ℯ 2 + 1)𝑒 −0.1𝑡 , 𝑡 > 20

3. El aire de una pequeña habitación de 12 por 8 por 8 pies tiene 3% de monóxido de carbono. A partir de 𝑡 = 0, se introduce aire fresco sin monóxido de carbono en la habitación, a razón de 100 pies cúbicos/minuto. Si el aire de la habitación sale por una ventila con la misma razón, ¿en qué momento tendrá el aire de la habitación 0.01% de monóxido de carbono?(k.Nagle 5°Ed. Pg. 99) a)43,8 min

b)34,5 min

c)55min

d)42,5min

e)34,3min

4. A la 1:00 p.m., un termómetro que marca 70°F es llevado al exterior donde la temperatura del aire mide - 10°F. A la 1:02 p.m., la lectura indica 26°F. A la 1:05 p.m., el termómetro es regresado al interior, donde el ambiente está a 70°F. ¿Qué temperatura marcará el termómetro a la 1:09 de la tarde?(Rainville-Bedient, pág. 66) a)48°F

b)56°F

c)70°F

d)55°F

e)49°F

5. Cuando pasa un rayo de luz vertical por un medio transparente, la razón con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies debajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad de rayo a 15 pies debajo de la superficie?(D. Zill 6°Ed. Pág. 81 Ej. 9) a)0,223 I b)0,00056 I

c)0,00567 I

d)0,000234 I

e)0,000981 I

6. En un tanque que tiene 1000 galones de agua se vierten por bombeo desperdicios industriales a un gasto de 1 gal/min, y la solución bien mezclada sale con la misma rapidez. a)Halle la concentración del desperdicio en el tanque en cualquier tiempo t , b) ¿Cuánto tiempo es necesario para que la concentración alcance el 20%?(Braun, Pág. 56 EJ. 7) a) c(t )  1  e0,001t , 223.14 min

b) c(t )  1  e0,002t , 223.14 min

c) c(t )  1  e0,001t , 223.14 min

d) c(t)  1  e0,002t , 223.14 min

e) c(t)  1  e0,002t , 250.14 min

D) ESTUDIANTE: QUISPE HUARCA, MARCOS FERNANDO 1.Una profesora universitaria contribuye con 1200 por año a su fondo de retiro haciendo muchos pequeños depósitos a lo largo del año. El fondo crece a razón de 8% anual compuesto continuamente. Después de 30 años se jubila y comienza a retirar de su fondo a razón de 3000 anuales. Si no hace ningún depósito después de retirarse, ¿cuánto tiempo le durará el dinero? a)5 años

b)3.145 años

c)4.025

d)1.25 años

e)2.71 años

2.Un tanque de 100 galones contiene inicialmente 100 galones de agua azucarada con una concentración de 0.25 libras de azúcar por galón. Suponga que se agrega azúcar al tanque a razón de p libras por minuto, que el agua azucarada se retira a razón de 1 galón por minuto y que se mantiene bien mezclada. ¿Qué valor de p debemos escoger para que, cuando queden en el tanque 5 galones de agua azucarada, la concentración sea de 0.5 libras de azúcar por galón? a)0.1

b)0.25

c)0.23

d)0.083

e)1.1

3.Un tanque de 400 galones contiene inicialmente 200 galones de agua que contienen 2 partes por 1000 millones en peso de dioxina, que es un carcinógeno extremadamente potente. Suponga que el agua que contiene 5 partes por 1000 millones de dioxina fluye hacia arriba del tanque a razón de 4 galones por minuto. El agua en el tanque se mantiene bien mezclada y se retiran 2 galones por minuto por el fondo del tanque. ¿Cuánta dioxina se encuentra en el tanque cuando está lleno? a)1

b)0.575

c)0.2100

d)3.145

e)2

Libro: Ecuaciones Diferenciales Dennis Zill 4.Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de New ton. Utilice los datos de la gráfica de la temperatura T (t ) en la figura para estimar las constantes Ta , T0 y k en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden:

a)75,175, k  0.18

k  0.001

dT  k (T  Ta ) , T (0)  T0 . dt

b)175,75, k  1.25

d)30,0, k  1

c)100,40,

e)200,100, k  2.71

Libro: Ecuaciones Diferenciales Isabel Carmona Jover 5.Hallar la corriente en un circuito RL que tiene un voltaje constante, R  40ohmios y L  8henrios. Para

t  0 , los valores de E e I son cero voltios y 10amperios , respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que I  5amperios a)0.14

b)0.16

c)0.20

d)3.14

e)5

Libro: Ecuaciones Diferenciales Isabel Carmona Jover 6.Un circuito que consta de un condensador y una resistencia. Si lleva una carga q  0.05culombios y el interruptor se cierra cuando t  0 , hallar la carga eléctrica después de 9 segundos si c  3*103 faradios y R  103 ohmios .

a)1

b)0.0025

c)0.25

d)2.5

e)0.125