Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ZACAPOAXTLA

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN EDUARDO SALAZAR HIDALGO

ECUACIONES DIFERENCIALES ANGEL VERGARA BETANCOURT

INGENIERIA MECATRÓNICA 4° “A” MIERCOLES 21 DE MAYO 2014

RESUMEN Esta actividad tiene como finalidad conocer así como plantear la teoría básica para la identificación y resolución de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden (ED2) para ello más adelante se muestra un mapa mental con la teoría básica. Es importante mencionar que solo nos enfocaremos a resolver ED2 de carácter ordinario pues, como se sabe también existen las ED2 parciales. Se iniciará con la descripción de las ED2 así como los diferentes métodos que existen para su resolución, las ED2 se dividen en homogéneas y no homogéneas por lo que hay métodos distintos para su resolución. Una vez conocida la teoría se resolverán los ejercicios propuestos en clase con los diferentes métodos que existen tales como: Reducción de Orden, Coeficientes Constantes, Coeficientes Indeterminados. Se elegirán algunos ejercicios y serán simulados en computadora con la ayuda del software MATLAB y de ser posible se obtendrá la solución de manera gráfica. Al finalizar esta actividad se pretende obtener el conocimiento necesario acerca de las ED2 para su resolución y aplicaciones en la vida diaria que es lo que realmente nos interesa, al respecto se presentará un ejemplo práctico donde se hace uso de las ED2.

OBJETIVO GENERAL Se espera obtener la habilidad para resolver ED2, de este modo se podrán aplicar en la vida diaria, más específicamente en la ingeniería, por ejemplo: un circuito RLC, un sistema masa-resorte-amortiguador, etc. Hay una gran infinidad de aplicaciones en donde el uso de Ecuaciones Diferenciales parece indispensable, esta gran herramienta es y será la solución a muchos de nuestros problemas.

OBJETIVOS PARTICULARES Para lograr lo anterior se deben cumplir las siguientes etapas: 1. Recabar la información necesaria, citando la bibliografía adecuada para conocer todo lo relacionado con ED2. 2. Resolver los ejercicios propuestos en clase. 3. Simular los ejercicios en el software MATLAB de ser posible obtener la solución de manera gráfica. 4. Presentar un ejemplo donde se aplique una ED2 así como su simulación en MATLAB, a partir de ello explicar el comportamiento de dicho evento analizando la gráfica obtenida.

MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR Al igual que todo proceso esta actividad necesita de herramientas físicas y virtuales para lograr nuestro objetivo, dichas herramientas se enumeran a continuación.

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Laptop. Scanner. Útiles Escolares (Libreta, Lapiceros, Lápices, Goma, Sacapuntas). Bibliografía (Libros, Internet). Software Especializado (MATLAB, Microsoft Power Point, Microsoft Word, Free Mind, Paint).

INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales poseen una importancia fundamental en las matemáticas para ingeniería porque muchas leyes y relaciones físicas se expresan matemáticamente utilizando este tipo de ecuaciones (Kreyszig, 2003). Una ecuación diferencial de segundo orden de la función y(x) es de la forma:

Si la función F(x) en el lado derecho de la ecuación es igual a cero, entonces ésta se llama ecuación homogénea; en el caso contrario se denomina no homogénea. Ecuación Homogénea Ecuación No Homogénea

A partir de la identificación del tipo de ecuación diferencial ya sea Homogénea o No Homogénea, se puede elegir el método adecuado para su resolución que a continuación se describen.

MODELO TEÓRICO O MATEMÁTICO En este apartado se explicaran los métodos conocidos hasta ahora para la resolución de ED2. 

REDUCCIÓN DE ORDEN.

Se sabe que la solución general de:

𝑦 ′′ + 𝑃(𝑥 )𝑦 ′ + 𝑄 (𝑥 )𝑦 = 0 Es:

𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2

Supongamos que 𝑦1 (𝑥) denota una solución conocida. Puesto que la solución 𝑦2 es linealmente independiente. Si definimos:

𝑦2 = 𝑢𝑦1 Obtenemos:

𝑦′2 = 𝑢𝑦′1 + 𝑦1 𝑢′ 𝑦′′2 = 𝑢𝑦′′1 + 2𝑦′1 𝑢′ + 𝑦1 𝑢′′ 𝑢[𝑦 ′′1 + 𝑃𝑦 ′1 + 𝑄𝑦1 ] + 𝑦1 𝑢′′ + (2𝑦 ′1 + 𝑃𝑦1 )𝑢′ = 0 𝑦1 𝑢′′ + (2𝑦 ′1 + 𝑃𝑦1 )𝑢′ = 0 Sustituyendo a

𝑤 = 𝑢′

𝑦1 𝑤 ′ + (2𝑦 ′1 + 𝑃𝑦1 )𝑤 = 0 𝑦1

𝑑𝑤 + (2𝑦 ′1 + 𝑃𝑦1 )𝑤 = 0 𝑑𝑥

𝑦 ′1 𝑑𝑤 +2 𝑑𝑥 = −𝑃𝑑𝑥 𝑤 𝑦1 𝑦 ′1 𝑑𝑤 ∫ + 2∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑃 𝑑𝑥 𝑤 𝑦1 ln|𝑤𝑦1 2 | = − ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑐 𝑤𝑦1 2 = 𝑐1 𝑒 − ∫ 𝑃𝑑𝑥 𝑒 − ∫ 𝑃𝑑𝑥 𝑢 = 𝑐1 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐2 𝑦1 2 Tomando 𝑐1

= 1, 𝑐2 = 0, se obtiene: 𝒆− ∫ 𝑷𝒅𝒙 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏 (𝒙) ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒚𝟏 (𝒙)



ECUACIONES HOMOGENEAS COEFICIENTE CONSTANTES

Sea:

𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 Una ecuación diferencial de segundo orden. Al reescribir se obtiene la ecuación auxiliar.

𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0 De esta forma se buscan las raíces aplicando la formula general.

−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑚1 = 2𝑎 −𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑚2 = 2𝑎 Al obtener las raíces a partir de las constantes de la Ecuación Diferencial propuesta, existen tres tipos de raíces las que se pueden obtener, para ello existe una solución general para cada situación en la que únicamente se sustituyen los valores obtenidos dependiendo del tipo de raíz. CASO 1: RAICES REALES DISTINTAS.

𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥 CASO 2: RAICES REALES IGUALES.

𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑥)𝑒 𝑚𝑥 CASO 3: RAICES IMAGINARIAS CONJUGADAS.

𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 

ECUACIONES NO HOMOGENEAS COEFICIENTE INDETERMINADOS

La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo:

𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑓(𝑥) La solución está dada en dos partes 𝑦1  

+ 𝑦2

La parte 1, y1 es la solución a la ecuación como si esta fuese homogénea, y es llamada la solución complementaria. La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular y se obtiene a partir del despeje de la solución propuesta.

METODOLOGÍA Para entender mejor el concepto de ED2 primero se realizó una investigación consultando fuentes confiables, a partir de ellas se elaboró un mapa mental y una síntesis en la que se explica de manera resumida la teoría preliminar de las ED2. Una vez terminada la etapa de investigación, se procedió a realizar los ejercicios propuestos en clase aplicando cada método que posibilita resolver ecuaciones diferenciales de este tipo, tales métodos fueron descritos anteriormente con detalle, conforme el nivel de dificultad iba aumentando a la hora de resolver ED2 también lo era a la hora de simular ejercicios en MATLAB, simular ejemplos nos permitió saber el comportamiento de cada sistema que lógicamente era diferente. Cabe mencionar que resolver ED2 no es suficiente, así que la aplicación a un problema físico resulta muy importante, para ello se estudió un sistema RLC (Resistor, Inductor, Capacitor) para ser presentado en clase, dicho sistema nos presenta el comportamiento de la carga respecto al tiempo, las conclusiones se obtuvieron a partir del análisis gráfico a la hora de simular nuestra ED2 en MATLAB.

PROCEDIMIENTO i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix)

Consulta de fuentes bibliográficas confiables tales como (Kreyszig, 2003), (Zill & Cullen, 2009). Elaboración del mapa mental y síntesis a partir de la teoría preliminar. Lectura del ensayo “EL CAOS” y del cuento “El ruido de un trueno”. Redacción de un ensayo sobre el contenido de los textos. Resolución de ejercicios propuestos en clase. Escaneo de los ejercicios resueltos. Simulación en MATLAB de algunos ejemplos. Elección de un ejemplo para explicar su comportamiento y análisis del grafico obtenido. Reunión de todos los elementos para la elaboración del reporte de la Actividad 2.

RESULTADOS Y DISCUSION DE RESULTADOS A continuación se presentan las actividades realizadas que retroalimentan nuestro conocimiento sobre las ED2.

MAPA MENTAL

ENSAYO DE LECTURAS COMPLEMENTARIAS

¿QUÉ IMPLICACIONES TIENE LA MATEMÁTICA PARA EXPLICAR FENÓMENOS FÍSICOS O NATURALES? Con el paso de los años así como de generaciones enteras, el mundo ha visto el rápido avance de la tecnología, que tuvo su gran auge en la revolución industrial de los siglos XVII-XVIII, quien se iba a imaginar que en tan corto tiempo la humanidad sería capaz de lograr dichos avances. Todo lo anterior, es decir, todos los grandes avances no serían posibles sin la aplicación de las matemáticas que es el común denominador de la ciencia. Las culturas pasadas nos indican su preocupación por conocer las cantidades, a partir de ahí surgieron las primeras nociones de los números, en cada civilización fueron concebidos de diferente forma pero siempre con el mismo fin, estas fueron las bases y cimientos de las matemáticas que con el paso de los años se fueron mejorando y perfeccionando a tal grado que en el siglo XVI Newton y Leibniz descubrieron simultáneamente el Cálculo Diferencial y posteriormente el Cálculo Integral partiendo de los descubrimientos previamente hechos por Descartes tales como el plano cartesiano. A partir del descubrimiento del Calculo Diferencial, se resolvieron varios problemas que se presentaban en varias ramas de la ciencia principalmente en la Mecánica, y es que las derivadas de funciones se definen como división de diferenciales por lo que nos permiten calcular el valor de nuestra función evaluada en cualquier punto. El Cálculo Diferencial no abrió las puertas para descubrir las Ecuaciones Diferenciales que se definen como: Una igualdad que contiene derivadas. Una ecuación diferencial nos permite conocer el comportamiento de un sistema, y lógicamente el universo entero que se encuentra en movimiento de eso se encargan las Ecuaciones Diferenciales de explicar fenómenos físicos que ocurren en nuestro universo cambiante, como dijera alguna vez Galileo: “El universo fue escrito con el lenguaje de las matemáticas”.

¿QUÉ PAPEL JUEGAN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARA EXPLICAR EL CAOS? El caos nos indica que el más pequeño cambio en el punto inicial puede cambiar drásticamente el resultado, así que pasando al ámbito de las matemáticas más específicamente en el de las Ecuaciones Diferenciales podemos decir que el resultado final o el comportamiento de cualquier sistema va a depender de las condiciones iniciales propuestas en un principio. El ejemplo más conocido que

podría describir el caos, es el de “el efecto mariposa” este nos da a entender que el movimiento de las alas de uno de estos insectos en alguna parte del mundo podría desencadenar una reacción en cadena que después de un tiempo determinado en alguna otra parte de la tierra podría modificar el clima. Como se mencionó anteriormente las Ecuaciones Diferenciales se encargan de estudiar los fenómenos físicos, así que por cada condición inicial propuesta en una ecuación diferencial tendremos un resultado diferente por lo que es determinante conocer y saber proponer nuestras condiciones iniciales a nuestros modelos de la manera más adecuada.

¿CUÁL ES TU PUNTO DE VISTA CON RESPECTO AL HECHO DE QUE EL MÍNIMO MOVIMIENTO PUEDE MODIFICAR RADICALMENTE LOS HECHOS DE UN FUTURO? Todos sabemos que una de las grandes obsesiones del ser humano es viajar a través del tiempo ya sea hacia el pasado o hacia el futuro, el viaje hacia el futuro es resultado de la morbosidad que se tiene de que es lo que nos espera, si los problemas del presente serán resueltos, avances tecnológicos, etc. Su contraparte: el viaje al pasado también es una utopía de nuestra raza que surge como necesidad de cambiar los errores cometidos a lo largo de la historia. Si se tuviera la oportunidad de viajar al pasado sería un tanto peligroso pues cualquier modificación en una determinada época provocaría una reacción en cadena que no se sabe con exactitud qué es lo que ocurriría existe esa incertidumbre de las consecuencias que conllevaría el viaje al pasado, todo esto da origen a diferentes paradojas del tiempo como por ejemplo: que es lo que sucedería si el sujeto que viaje a pasado conociera a su padre y este impidiera que conociera a la que en el presente es su madre, lógicamente el no habría nacido y por ende no habría viajado al pasado. Así que personalmente creo que cualquier decisión tomada en el presente por muy absurda que parezca repercutirá en el futuro de forma muy radical, ya sea a corto o largo plazo, resulta interesante saber que existe un número infinito de posibilidades que desafortunadamente solo conoceremos una y será para nosotros la adecuada y debemos ser conscientes a la hora de decidir pues hasta hoy no hay una máquina del tiempo que nos devuelva al pasado y volvamos a decidir y corregir nuestros errores si así lo deseamos.

SIMULACION EN MATLAB Este apartado se muestra la resolución de ED2 en el software de MATLAB.

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Homogéneas con coeficientes constantes

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Graficas de circuitos RLC.

PRESENTACIÓN DE CIRCUITO RLC APLICANDO UNA ED2.

EJERCICIOS RESUELTOS CON LOS MÉTODOS ADECUADOS.

CONCLUSIONES. Después de realizar todas las actividades propuestas, aprendí a resolver Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden, y algo más que eso y que es muy importante mencionar es que obtuve la habilidad para aplicar dichas ecuaciones en un circuito RLC, por tal motivo me siento satisfecho con lo adquirido en esta unidad. Se sabes que las matemáticas son muy importantes en la vida diaria más específicamente en la ingeniería por ello resulta importante practicar mucho y resolver muchos ejercicios para adquirir la habilidad que nos permita resolver y aplicar las matemáticas en el área que se desee. En este caso las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden son una gran herramienta para solucionar problemas que conlleven variaciones o cambios respecto al tiempo. En general se puede decir que dichas ecuaciones en un futuro no muy lejano nos serán muy útiles para resolver problemas cada vez más complejos y dependerá del conocimiento que se adquiera desde ahora lo que nos permita encontrar la solución.

BIBLIOGRAFÍA. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2009). Ecuaciones Diferenciales. Mexico: CENGAGE Learning. Kreyszig, E. (2003). Matematicas Avanzadas para Ingeniería. Ohio, EUA : Limusa Wiley. Penney, D. E., & Edwards, C. H. (2009). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Mexico: Pearson Prentice Hall. Di Prima, B. (2000). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Mexico: Limusa Willey.