Ecuaciones Diferenciales de Cauchy - Euler No Homogéneas PDF

 

ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY – CAUCHY  – EULER  EULER NO HOMOGÉNEAS  

Una ecuación de la forma ax2

+

 

 

+  = ( () ) 

Puede resolverse mediante Variación de Parámetros, una vez que hayamos determinado Yh  , y la ecuación esté en la forma y" + p(x)y' + Q(x)y = f(x) dividiendo la ecuación dada entre ax2. Ejemplo:

 – 3xy' x2y" y" –  3xy' + 3y = 2x4ex

Resolver

La sustitución de y = xm  lleva a la ecuación auxiliar m2  – 4m  – 4m + 3 =0 ; (m-1)(m-3) = 0 , de donde :

Y = c1x + c2x3  

La ecuación dada se escribe en la forma estándar



x

y" -   y' +   y = 2x2e  

Por Variación de Parámetros, la solución particular es de la forma yp = u1 y1 + u2 y2  Recordemos que: ′  =

W1 =

0  ())  (



   ′



 

;

;

W2 =

Siendo W el Wronskiano de y1 

Se identifica

′  =

y1 = x

;

 1

   3 

y

 

  ;

   0   ′  ()

; W =

      ′ ′

y2   .

y2 = x3 

Luego,

W =

donde:

= 2x3 

;

f(x) = 2x2 ex 

 

  W1  =

0 2   

W2  =

 1

   3 

0   2   

= -2x5ex 

= 2x3ex 

de donde:  ′  =   

= −

 5    

 =-

x2ex 

;

 ′  =   

=

     

  = ex 

Integrando, se obtiene:

U1 = - x2ex  + 2xex  - 2ex 

( Se obtuvo in integrando tegrando por partes dos veces )

U2  = ex  Por tanto,

yp  = ( - x2ex  + 2xex  - 2ex ) x +

ex  x3 

Yp  = 2x2ex  - 2xex  Finálmente, 

y=

c1x + c2x3  + 2x2ex  - 2xex 

con c1  y c2  constantes.