Ecuaciones Diferenciales Calculo de Desplazamientos

 

Cap´ Cap ´ıtulo 8

ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALE DIFERENCIALES S C´ alcul alc ulo o de des despl plaza azamie mient ntos os Dr. Fernando Flores ´ IN INTR TROD ODUC UCCI CION

8.1. 8. 1.

este se cap cap´ ´ıtulo seal sistem sistematizan atizan las ecuacion ecuaciones es que gobierna gobiernan n eldecomportamie comportamiento nto de vigas. En En general recurre denominado m´eetodo todo de equilibrio o m´eetodo todo los d desplazamientos, esplazamientos, que consiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en funci´oon n de los desplazamientos. Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas axiales, luego se estudia el problema de flexi´oon n y finalmente el de torsi´oon. n. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros de un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de como realizar dicha integraci´on. on. En una segunda parte se estudia la ecuaci´oon n diferencial (en derivadas parciales), que gobierna el alabeo de una secci´oon n cuando la pieza est´a sometida a torsi´oon n uniforme y sin restricci´ on on al alabeo. En este caso la integraci´oon n de las ecuaciones no es en general posible en forma exacta. Se muestran resultados obtenidos con t´eecnicas cnicas num´ eericas ricas para algunos ejemplos de geometr´ geometr´ıas sencillas.

8.2. 8. 2.1. 1.

8.2. VIGAS AS S SOME OMETID TIDAS AS A ESF ESFUER UERZOS ZOS AXIAL AXIALES ES Ecua Ec uaci ci´ on onVIG ´ diferencial

Recordemos la hip´ootesis tesis de Navier: ““todos todos los puntos de la secci´  on sometida a un esfuerzo axial axi al en su baric´eentro ntro mec´  anico se deforman una misma magnitud   εx .” Esta deformaci´on ε on  ε x  puede escribirse en funci´on on de los desplazamiento axiales u axiales  u  como εx  =

  du dx

 

(8.1)

Una expresi expresi´´oon n diferencial que relaciona una medida de deformaci´oon n (εx ) con componentes de desplazamiento (u (u) se denomina una relaci´  una relaci´  on (o ecuaci´  on) cinem cinem´  ´  atica . La expresi´oon n de la deformaci´on on esp es pec´ıfica ıfica ε  ε x (x  (x) (8.1) resulta de comparar (ver Figura 1) la longitud del elemento diferencial antes   du (ds = ds  = dx  dx)) y despu´es es que se despl desplace ace ds =  dx  dx +  + dx dx



x



∗

x+ dx

u+du

ds u

*

ds

x+u

du x+dx +dx+u+ +u+ dx dx

Figura Fig ura 1 Def Defor ormac maci´ i´ oon n de un elemento diferencial de barra   ds − ds   du (x) ε (x) =   = ds dx ∗

 

(8.2) 1

 

La tensi´oon n en cada punto de la secci´oon n se obtiene a partir de la ley de Hooke σx  = E  =  E εx

 

(8.3)

Una expresi´oon n que relaciona una medida de tensi´oon n (σx ) con una medida de deformaci´oon n (εx ) se denomina una relaci´  una  relaci´   (define el comportamiento mec´aanico nico del material material constitutivo ). on constitutiva  (define  constitutivo). Si la secci´oon n es hom homog´ og´eenea ne a sser´ er´a la misma tensi´oon n para todos los puntos de la secci´oon. n. Recordem Recordemos os que el esfuerzo axial  axial   N  se N  se define como la integral de las tensiones axiales sobre la secci´oon: n: N   =

σx   dA

 

(8.4)

A

=

 

Eε x   dA

 

(8.5)

A

si la secci´oon n es hom homog´ og´eenea ne a

N   =  σ x   A  = E  =  EA A εx

 

(8.6)

si la secci´oon n no es homog´eenea nea se define el valor EA = EA  =

 

E dA

 

(8.7)

A

N   =  EA  E A εx

 

(8.8)

Consideremos una barra de secci´oon n transversal transversal   A  (constante o de variaci´oon n suave, ver Figura 2) sometida a una carga distribuida  distribuida   p (x) en la direcci´oon n del eje de la barra. Se ha supuesto que la variaci´oon n de la secci´on on es suficientemente suave de tal forma que es aceptable la hip´ootesis tesis de Navier de que la deformaci´oon ε n  ε x  es uniforme en cada secci´oon. n. El elemento diferencial de barra (una rebanada) se define como el limitado por dos secciones separadas un diferencial  diferencial   dx. dx. El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externas actuando sobre el mismo dN  (x  ( x)   + p (x) = 0 (8.9) dx Reemplazando (8.6) y (8.2) en (8.9) resulta



 du d EA (x) dx   dx



+ p (x) = 0

(8.10)

Si el ´aarea rea de la secci´oon n es constante la ecuaci´oon n anterior se simplifica a: EA d2 u2   + p (x) = 0 dx

(8.11)

Que es una ecuaci´oon n diferenc diferencial: ial:

N

 

N+

dN dx

dx

p(x) dx Figuraa 2 Equi Figur Equilib librio rio de un un elemen elemento to dif diferencia erenciall de ba barra rra 2

X

 

ordinaria : es funci´oon n de una u unica ´ nica coordenada coordenada x  x,, de segundo grado: grado : el m´aaximo ximo orden de derivaci´oon n que aparece es 2, lineal :: no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas lineal  a coeficientes constantes : los coeficientes que multiplican a la inc´oognita gnita y sus derivadas no dependen de la coordenada  coordenada   x. Para resolver esta ecuaci´oon n debe conocerse, adem´as as de la carga externa   p (x), cuales son las condiciones de contorno o borde . La cantidad de condiciones de contorno que pueden y deben fijarse es 2 (en general una en cada extremo de la barra). Estas pueden ser de desplazamiento (imponer  u)  u ) o de fuerza (imponer  (imponer   N  o N  o equivalentemente  equivalentemente   ε). 8.2.2.

Problemas isost´ aticos aticos

Cuando el problema es isost´aatico, tico, esto es cuando es suficiente con las condiciones de equilibrio para determinar los esfuerzos, puede resultar m´aass sencillo primero obtener los esfuerzos N  esfuerzos  N   (x ( x), con estos las deformaciones  deformaciones   ε (x) usando la ley de Hooke y luego los desplazamientos   u  integrando la ecuaci´oon n cinem´aatica. tica. Es decir: 1. a partir de la ecuaci´oon n de equilibrio 8.9 donde   una  de las dos condiciones de contorno debe ser de fuerza, se obtiene  obtiene   N  (x  ( x)  x

N  (x  ( x) =

 

 p (x)   dx

0

2. Con los esfuerzos se obtienen las deforma deformaciones ciones usando la ley de Hooke 8.6   N   (x ( x) ε (x) = EA 3. Integ Integramos ramos la ecua ecuaci´ ci´ oon n cinem´aatica tica 8.2 utilizando la segunda condici´oon n de contorno que debe ser de desplazamientos  x

u (x) =

 

ε (x)   dx

0

8.2.3. 8.2 .3.

Combin Combinaci aci´ on on de soluciones ´

En buena parte de los problem problemas as de ingenie ingenierr´ıa resulta aceptable la hip´ ootesis tesis de linealidad utilizada en esta parte del curso. En tal caso es posible sumar las soluciones de una misma estructura con distintas cargas y/o diferentes condiciones de contorno para obtener una nueva soluci´on. Es decir que si dada una barra definida por su geometr geometr´´ıa (longi (longitud tud y secci´ oon) n) y material, se conocen dos soluci soluciones ones u  u 1 (x  (x) y  u 2 (x  (x) para estados de carga p carga  p 1 (  (x x) y  p 2 (  (x x) y condiciones de contorno cc contorno  cc 1   y cc2  respectivamente d2 u EA 2   + p1 (x  (x) = 0 dx d2 u EA 2   + p2 (x  (x) = 0 dx

+

 

cc1

 

== ==> > u1 (  (x x)

+

 

cc2

 

== ==> > u2 (  (x x)

entonces u (x) =  α u1 (x  (x) + β u2 (  (x x) es soluci´oon n de EA

d2 u

  + [[α α p1 (x  (x) + β p2 (x  (x)] = 0

+

[α cc1 + β cc2 ]

dx2 donde   α   y   β  son donde    son coeficientes arbitrarios. Es importante notar que 3

 

1. La estructu estructura ra aislad aisladaa debe ser la misma (misma geometr geometr´´ıa y material material)) 2. La “suma” de las condiciones de contorno contorno impli implica ca sumar todas las variab variables les de inte inter´ r´eess en dichos puntos. Si las condiciones de contorno en cada extremo son del mismo tipo la suma es directa. Sin embargo muchas veces las condiciones de contorno de las soluciones combinadas son de distinto tipo, por lo que la condici´oon n resultante en el contono es la   suma suma de la lass oon n 1 tiene una soluciones   en el contorno. Por ejemplo si en el extremo   x   =   L  la soluci´ condici´oon n de fuerza   N 1 (L  (L) =   P   P   y la soluci´oon n 2 tiene una condici´oon n de desplazamiento u (L) = u¯, la condici´oon n resultante debe interpretarse como   u (L) =   α u1 (  (L L) +  β u2 (  (L L) o N  (L  (L) =  α N 1 (L  (L) + β N 2 (L  (L). 8.2.4. 8.2. 4. Ejem Ejempl plos os 8.2.4. 8.2 .4.1. 1. Barra Barra fija en ambos ambos extremo extremoss y someti sometida da a peso propio propio

Veamos un primer ejemplo de la soluci´oon n de la ecuaci´oon n (8.11). Dada una columna cil´ cil´ındrica impedida de desplazarse desplazarse en ambos extremos y ba bajo jo la acci´oon n del peso propio (ver Figura 3), interesa determinar la distribuci´oon n de tensiones en la altura.

+

γΑ

ε σ

X u

−

N

Figura Fig ura 3 Col Column umnaa ba bajo jo llaa acci´ acci´ on on de peso propio El eje x eje  x ha  ha sido orientado de abajo a arriba y su origen est´a en el extremo inferior, la carga por unidad de longitud es  es   p (x) =   −γA  donde  donde   γ  γ    =   ρg ρg es  es el peso espec espec´´ıfico del material constitutivo. Notar que en este problema  problema   A  es constante luego la ecuaci´oon n diferencial resulta EA

d2 u

  =  Aγ 

dx2 y la integraci´oon n de la misma resulta sencillamente d2u   γ   = dx2 E   x du (x) γ    γ  x   γ    =   dx dx =  = x + C   = x + C   =  ε (x) dx E  0 E  0 E    γ  2   u (x) = x + C x + D 2E 

 



(8.12)

La determinaci´oon n de las constantes de integraci´oon n (C   y  D  D )  ) se logra imponiendo las condiciones de contorno, en nuestro caso si los extremos de la columna no pueden desplazarse resulta u(x=0)   =  D  D =  = 0   γ  2 u(x=L)   = L + C L + D  = 0 2E  4

 

de la primera  primera   D  = 0 , llevando a la segunda   C   = −

  γ  L  y estos valores a (8.12) se tiene 2E 

  γ  x (x − L) 2E    du   γ   L εx (x  (x) =  = x− dx E  2 u (x) =

   

N  (x  ( x) =  EAε  E Aεx (x  (x) =  γA  γ A x −

 L 2

Notar entonces, que el desplazamiento u desplazamiento  u (x) var´ıa ıa en for forma ma cua cuadr´ dr´aatica, tica, vale 0 en los extremos y es m´aaximo ximo a la mitad de la columna (siempre negativo). La deformaci´oon ε n  ε (x) var´ var´ıa lineal lin ealment mentee ((y y por lo tanto la tensi´ oon σ n σ o  o el esfuerzo intern internoo N   N ), ), es nulo a la mitad de la columna, m´aaximo ximo positivo (tracci´oon) n) een n el extremo superior y m´ıınimo nimo negat negativo ivo (compresi´oon) n) en la base. Las reacciones en los extremos se obtienen directamente como el valor de   N  en N  en tales puntos, notando que en el primer extremo   x  = 0 hay que cambiarle el signo porque la reacci´oon extremo n es el esfuerzo sobre la cara negativa L 2 L R0  = −N (x=0)   =  γA  γ A 2

RL  = N   =  N (x=L)   =  γA  γ A

El peso de la columna es entonces soportado por mitades en cada extremo. 8.2.4. 8.2 .4.2. 2.

Barra Barra fija en un extrem extremo, o, libre libre en el otro y sometid sometida a a peso propio propio

Consideremos el caso de que la columna s´oolo lo este apoyada en la base. La ecuaci´oon n diferencial no cambia, camb ia, s´ı cambi cambian an las condici condiciones ones de contor contorno. no. En este caso la condici condici´´oon n de contorno del borde superior es la que se modifica, ahora corresponde a un borde libre, y debe fijarse del esfuerzo (N  =   = 0 en este caso) o en forma equivalente la deformaci´oon  n   εx  (0). La soluci´oon n general de la ecuaci´oon n diferencial no se modifica (ec. 8.12), lo que hay que recalcular es el valor de las constantes de integraci´oon  n   C  C    y   D  de acuerdo a las nuevas condiciones de borde. Ahora tenemos u(x=0)   =  D  D =  = 0 du   γ  = L + C   = 0 dx (x=L) E  γ  de donde resulta  resulta   D  = 0, y   C   = − E L, con lo cual:   γ  x u (x) = x   − L E  2   du   γ    =  (  (x x − L) εx (x  (x) = dx E  N  (x  ( x) =  EAε  E Aε (x) =  γA  γ A (x − L)

 

Notar que el desplazamiento u desplazamiento u (x) vale 0 en la base y crece en forma cuadr´aatica tica hasta el extremo superior. El esfuerzo interno   N   N   var var´´ıa linealmente desde un valor m´aaximo ximo negativo (compresi´oon) n) en la base (de valor igual al peso de la columna), hasta un valor nulo en el extremo superior. Naturalmente todo el peso de la columna est´a ahora soportado por el apoyo. 8.2. 8. 2.4. 4.3. 3.

Colu Column mna a c´ onica onica bajo peso propio

Supongamos una columna c´onica onica apoyada en su base y libre en la punta, bajo la acci´oon n del peso propio. En este caso la ecuaci´oon n diferenc diferencial ial  no es a coeficientes constantes  y en general puede 5

 

γΑ

ε σ

X

 

u

−

N

Figura Fig ura 4 Col Column umnaa ba bajo jo llaa acci´ acci´ on on de peso propio demandar herramie demandar herramientas ntas matem´ aaticas ticas m´aass complejas. La ecuaci´oon n diferencial a utilizar ahora es la versi´oon n (8.10). El ´aarea rea de la secci´oon n es (donde (donde   ro  es el radio en la base) 2

2

A (x) =  π [r (x)] =  π  πrro La ecuaci´oon n a resolver es d

2

Eπrro 1 − Eπ

dx reordenando

integrando una vez

 x

2

du

 x 1− L

  2

− γπr γπ ro 1 −

dx

L

2

 x

2

=0

L

               

d  x Eπrro2 1 − Eπ dx L

2

du  x  = γ  =  γπr πr o2 1 − dx L

2

πr o2γL  x 3   x 2 du  = − 1− + C  Eπrro 1 − Eπ 3 L L dx En el extremo libre debe cumplirse que el primer miembro se anule (N  ( N  =   = 0), de donde  donde   C   = 0. Despejando la derivada du γL  x  = − 1− dx 3E  L e integrando 2

2

u (x) = − γL 3E 

        2

x  −   1 x L 2 L

+D

valuando en el borde inferior (u (ux=0  = 0) resulta  resulta   D  = 0, finalmente γL 2 x  1 x u  = −  − 3E  L 2 L

2

Sin embargo en este caso el problema es   is oon n puede obtenerse en forma iso ost st´ ´ ati tic co  y la soluci´ sencilla evaluando primero los esfuerzos, luego las tensiones, con ellas las deformaciones usando la ecuaci´oon n constitutiva y finalmente integrando los desplazamientos a partir de las deformaciones. Veamos a continuaci´on on los detalles. La condici´oon n de equilibrio global exige que en cada punto  punto   x  el esfuerzo  esfuerzo   N   (x ( x) equilibre el peso de la parte superior. Como la columna es c´oonica nica dicho peso vale (esto es equivalente a integrar  p (x) entre  entre   x  y el extremo libre) 1 N  (x  ( x) = −γV  γV    (x) = −γ  A (x) h (x) 3 6

 

donde   h (x) =   L − x  es la altura del cono por encima de la secci´oon. donde  n. La tensi´oon n y la deformaci´on on valen respectivamente   N  (x  ( x) 1   = −γ   (  (L L − x) A (x) 3   σ (x)   γ  ε (x) =   = −   (L − x) E  3E 

σ (x) =

luego la ecuaci´oon n cinem´aatica tica 8.2 permite escribir:   γ  du dx   = − 3E   (L − x)   γ   x 2 u  = − Lx − 3E  2







  γ   1 x + C   = − Lx 1 − 3E  2L



+ C 

la constante de integraci´oon  n   C  se   se obtiene usando la condici´oon  n   u(x=0)  = 0,que conduce a  a   C  =   = 0. El desplazamiento de la punta  punta   u(x=L)  resulta entonces   γ  2  1 γL 2 u (L) = − L 1 −  = − 3E  2 6E 

 

8.2.4. 8.2 .4.4. 4.

Column Columna a tronco tronco-c´ -c´ onica onica bajo peso propio

Supongamos una columna similar a la anterior pero truncada a una altura   H .

F

γΑ

γΑ =

H

+

x

Figura Fig ura 5 Col Column umnaa ttron roncoco-c´ c´ oonica nica bajo peso propio Dado que la ecuaci´oon n diferencial es lineal, podemos obtener la soluci´on on del problema como la suma de la soluci´oon n del ejemplo anterior mas la soluci´oon n del tronco de cono sometido a la fuerza F  igual F  igual al peso del cono por encima de la altura   H  2

 

  γ   H  F   =  γ  γA A (H ) (L − H ) =  (L  ( L − H ) πr o2 1 − 3 L Llamando u ¯  a esta segunda soluci´oon, n, esta surge de resolver N  (x  ( x) =  F    F   =  EA  E A despejando

  du¯  x   =  E  Eπr πr o2 1 − dx L

   

du¯   F  1  = dx Eπrro2 1 −   x Eπ L

2

¯ du dx

2

7

 

integrando u¯ (x) =

1   FL   + C  Eπrro2 1 −   Lx Eπ

 

la constan constante te   C  se   se obtiene con la condici´oon n u¯(x=0)  = 0 con lo cual  FL Eπrro2 Eπ

C   = −   FL u¯ (x) = Eπ Eπrro2

  1 1 −   Lx  − 1

            

reemplazando   F  por reemplazando F  por su valor, sumando la soluci´oon n del ejemplo anterior y reordenando γL 2 u (x) = − 3E 

x  1 x  − L 2 L

2

  H  + 1− L

3

1−

  1 1 −   Lx

Notar que esta soluci´oon n vale para el tronco de cono (x ( x ∈ [0 :  H   H ]) ]) Por otro lado si se quisiera obtener la soluci´oon n de la columna tronco-c´oonica nica bajo peso propio pero restringida en ambos extremos, puede obtenerse de la siguiente forma, apelando nuevamente a que la ecuaci´on on diferencial es lineal y que pueden combinarse linealmente soluciones: 1. de la so soluci luci´´oon n bajo peso propio con borde libre determinamos el desplazamiento del extremo superior 2

γL u(x=H )  = − 3E 



        

H    1  − L 2

H  L

2

3

  H  + 1− L

1−

  1 1 −   H  L

2. de la so soluc luci´ i´ oon n con borde bajo la acci´on on de una carga F  carga  F  =  = 1 obtenemos el desplazamiento del borde superior u ¯(x=H )   =



  L   1 1 − Eπrro2 Eπ 1 −   H  L

 



3. la restricci´oon n de que el borde superior no se desplace implica una reacci´on on   R   (una fuerza puntual aplicada en  en   x  = H   =  H )) tal que: u(x=H )  + Ru¯(x=H )  = 0 de donde puede obtenerse la reacci´oon n correspondi correspondiente ente R  = −

u(x=H ) u ¯(x=H )

y la soluci´oon n completa es la suma de la soluci´oon n con el borde libre m´aass la soluci´oon n debida a la reacci´oon  n   R: 2

γL u (x) = − 3E 

                       x  1 x  − L 2 L

γL 2 x   1 x =−  − 3E  L 2 L 8

2

2

  H  + 1− L

3

 L   R   γL + − E  πr o2 3

1−

  1 1 −   Lx

  H  1− L

+

3

1−

  RL   1 1 − Eπrro2 Eπ 1 −   Lx   1 1 −   Lx

 

Pa/L −

P + ε σ

a

N x

u

+

P(1-a/L) Figura Fig ura 6 Col Column umnaa con ccar arga ga p punt untual ual 8.2.4. 8.2 .4.5. 5.

Column Columna a fija en ambos ambos extremo extremoss con una carga punt puntual ual..

Veamos ahora como considerar el caso de un carga puntual aplicada a una altura a altura  a.. La columna est´a restringida de desplazarse en ambos extremos y su secci´oon n es constante. Para aplicar la ecuaci´oon n diferencial resulta necesario dividir el dominio en dos partes [0 :  L]  L ] = [0 :  a]  a ] + [a [ a  : L  :  L], ], la ecuaci´oon n difere diferencial ncial no tiene t´eermino rmino indep independiente endiente en todo el dominio d2 u EA 2   = 0 dx integrando en [0 : a :  a]] N   =  EA  E A

du   =  C 1 dx

0≤x