Ecuaciones Diferenciales Aplicado a Vigas

PROYECTO FINAL ECUACIONES DIFERENCIALES DEFLEXION DE VIGAS

Índice

I.

.......................................................... ............................................. ......................... ... 4 DEFLEXI EXION DE DE UN UNA VIGA...................................... ......................................................... ....................................... .............................................................. .......................................... 4 Viga...................................... ......................................................... ........................................ ....................................... ............................ ......... 4 Eje de simetria ..................................... ......................................................... ....................................... ........................................ ............................. ......... 4 Curva elástica...................................... ........................................................... ........................................... ....................... ........... 4 Ecuación de la elástica .......................................

Modelación con ecuaciones diferenciales de orden superior ..............................................6 Ecuaciones diferenciales lineales: Problemas de valores en la – Viga empotrada. ................6 Desviación de una viga ...................................... .......................................................... ....................................................... ................................... 6 Curvatura de una columna vertical esbelta ......................................................................8

II. APLICA APLICACIÓ CIÓN N DE ECUACIO ECUACIONES NES DIFER DIFERENC ENCIAL IALES ES EN DEFLEX DEFLEXIÓN IÓN.............................9 III.

CONCLUISON........................................ ............................................................ .......................................................... ...................................... . 10

IV.

........................................................... ........................................ ........................................... ....................... 11 APÉNDICES.......................................

......................................................... ....................................... .................................... ................ 11 Ejemplo viga empotrada ......................................

Ejemplo: De Problema elacionado Con Valores Propios. ..............................................13 .......................................................... ........................................ ........................................... ....................... 15 V. BIBLIOGRAFÍA......................................

2

Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCIÓN El presente trabajo de investigación es producto de la in!uietud !ue nació al tratar de encontrar  aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales aplicadas a Vigas u otros conceptos en la "ngenier#a. En este trabajo se verifica cómo las Ecuaciones Diferenciales pueden ser $tiles en las soluciones de variados tipos de problemas de la situación del mundo real% en particular a lo relacionado con ingenier#a civil% mediante establecer la formulación matemática de problemas & reali'ación del modelo matemático. .   El presente trabajo está distribuido en dos cap#tulos principales% en el primer cap#tulo se presenta el estudio de las vigas% & las ecuaciones diferenciales% & en el $ltimo cap#tulo se describe la reali'ación del e(perimento para mostrar un ejemplo gráfico.

3

Ecuaciones Diferenciales

I. DEFLEXION DE UNA VIGA Viga. En ingenier#a & ar!uitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal !ue trabaja principalmente a fle(ión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones & suele ser )ori'ontal. El esfuer'o de fle(ión provoca tensiones de tracción & compresión% produci*ndose las má(imas en el cordón inferior & en el cordón superior respectivamente% las cuales se calculan relacionando el momento flector & el segundo momento de inercia. En las 'onas cercanas a los apo&os se producen esfuer'os cortantes. +ambi*n pueden producirse tensiones por torsión% sobre todo en las vigas !ue forman el per#metro e(terior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.

E!e de "i#e$%ia ,n eje de simetr#a es una l#nea imaginaria !ue al dividir una forma cual!uiera% lo )ace en dos partes cu&os puntos opuestos son e!uidistantes entre s#% es decir% !uedan sim*tricos

C&%'a e()"$ica -a curva elástica o elástica es la deformada por fle(ión del eje longitudinal de una viga recta% la cual se debe a momentos% fuer'as & cargas distribuidas aplicadas sobre la viga.

Ec&aci*n de (a e()"$ica -a ecuación de la elástica es la ecuación diferencial !ue% para una viga de eje recto% permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de despla'amientos !ue sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pe!ueas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:

d 2 v( x ) dx

2

=

 M z  ( x) EI z   

...(1)

4

Ecuaciones Diferenciales

Donde

v( x)

: representa la flec)a% o despla'amiento vertical% respecto de la posición sin cargas.

 x

: -a ordenada sobre la viga.

 M z  ( x)

: El momento flector sobre la ordenada .

 I  z 

: El segundo momento de inercia de la sección transversal.

 E 

: El módulo de elasticidad del material.

-a ecuación /01 constitu&e sólo una apro(imación% en la !ue se )a supuesto !ue las deformaciones son mu& pe!ueas con respecto a las dimensiones de la viga &% por tanto% se )a apro(imado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flec)a. Para deformaciones ma&ores se obtiene la ecuación más e(acta /021:

2

d v( x) dx

2

=

 M z ( x)  EI z 

1 + 

3

dv( x)  2 dx

...(1')

÷  

-a ecuación de la elástica /01 puede ser reescrita en función de la carga distribuida q/ x 1 sobre la viga:

 d 2v ( x)   EI Z  dx 2 ÷ = q( x) dx 2    d2

...(2)

Esta $ltima ecuación es interesante por!ue su generali'ación a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de -agrange para placas delgadas:

 ∂ 2 w( x, y) ∂2 w( x, y)  ∂ 2 ∂2  + 2  EI pl   + = q( x, y)  ÷ 2 2 2 ∂ x ∂y  ∂y    ∂x Donde

 D = EI  pl 

: es la %igide+ de una placa delgada en fle(ión.

5

Ecuaciones Diferenciales

,-de(aci*n c-n ec&aci-ne" die%encia(e" de -%den "&/e%i-%  Ec&aci-ne" die%encia(e" (inea(e"0 P%-1(e#a" de 'a(-%e" en (a 2 Viga e#/-$%ada. Con frecuencia% la descripción matemática de un sistema f#sico re!uiere la solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones en la frontera3 es decir condiciones especificadas para la función desconocida o una de sus derivadas% e incluso para una combinación de la función desconocida & una de sus derivadas% en dos o más puntos distintos. Desviación de una viga.4 Muc)as estructuras se constru&en a base de vigas !ue se desv#an o distorsionan por su propio peso o por la influencia de alguna fuer'a e(terna. Pues a)ora estudiaremos esta desviación: Consideremos dic)a desviación por  y ( x) la misma !ue está determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden.  5sumiendo !ue una viga de longitud  L  es )omog*nea & tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna% inclu&endo su propio peso% la curva !ue une los centroides de sus secciones transversales es una recta !ue se llama e!e de "i#e$%3a /6ig. 701.

6igura 08

9i a la viga se le aplica una carga en un plano vertical !ue contenga !ue contenga al eje de simetr#a% sufre una distorsión & la curva !ue une los centroides de las secciones transversales se llama c&%'a de de"'iaci*n4 c&%'a e()"$ica4 o simplemente e()"$ica. -a elástica apro(ima la forma de la viga. 9upongamos !ue el eje  x  coincide con el eje de simetr#a & !ue (a de"'iaci*n

 y ( x) % medida desde el eje% es positiva si es )acia abajo. En teor#a de la elasticidad se demuestra !ue el momento fle(ionante  M ( x) en un punto  x   a lo largo de la viga% se ( ) relaciona con la carga por unidad de longitud w x  mediante la siguiente ecuación: /o (ec5a1

6

Ecuaciones Diferenciales 2

d M  dx 2

= w( x )

(γ  1 )

 5demás el momento fle(ionante  M ( x)  es proporcional a la curva%

κ   %

de la elástica:

 M ( x) = EI κ  Donde  E e I   son constantes%  E   es el módulo de oung de elasticidad del material de la viga e  I  es el momento de inercia de la sección transversal de *sta /respecto de un eje llamado eje neutro1. El producto  EZ   se denomina %igide+ a (a (e6i*n de la viga. De acuerdo al cálculo diferencial% la curvatura es:

 y ''

κ  =

1 + ( y ')  2

Cuando la desviación

3

2

(γ  2 )

 y ( x)  es pe!uea es pe!uea% la pendiente  y ' ≈ 0 % de modo !ue:

1 + ( y ') 2

3

2

≈1

9i κ  =  y '' % entonces el momento fle(ionante se transforma en  M -a segunda derivada de esta ecuación es:

d 2M dx 2

=  EI

d2 dx 2

empla'ando resultado de ecuación diferencial:

 EI

d4y dx 4

y '' = EI 

(γ  1 )

= w( x )

en

= EIy '' .

d4y

(γ  3 )

(γ  3 )

dx 4

& vemos !ue la desviación  y ( x)  satisface la siguiente

(γ  4 )

-as condiciones en la frontera asociados a esta ecuación dependen de la forma en !ue están sostenidos los e(tremos de la viga. ,na viga en voladi'o /en cantiliver1 está e#/-$%ada en un e(tremo & libre en el otro. El ala de un avión% un bra'o e(tendido% las astas de banderas% los rascacielos son ejemplos comunes de vigas en voladi'o & los momentos pueden trabajar como vigas en voladi'o% &a !ue están empotrados en su base & sufren la fuer'a del viento% !ue los tiende a fle(ionar. Para una viga en voladi'o% la desviación  y ( x ) debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el e(tremo empotrado en  x = 0 :

a1  y (0) = 0 % por!ue no )a& desviación en ese lugar%  y b1  y  '(0) = 0 % por!ue la curva de desviación es tangente al eje  x /es decir% la pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto1. Cuando  x = L  las condiciones del e(tremo libre son: a1  y ''( L) = 0 % por!ue el momento fle(ionante es cero

7

Ecuaciones Diferenciales

b1  y '''( L)

= 0  % por!ue la fuer'a cortante es cero.

-a función:

 F ( x ) =

dM dx

= EI 

d3y (γ  5 )

dx 3

9e llama fuer'a cortante. 9i un e(tremo de una viga está "i#/(e#en$e a/-7ad-/ a esto tambi*n se le llama embisagrado% articulado o empernado1% se debe cumplir !ue  y (0) = 0 &

 y ''(0) = 0  en ese e(tremo.

 5 continuación se muestra una tabla de las condiciones en la frontera asociadas con la ecuación

(γ  4 )

:

E6$%e#-" de La 'iga

C-ndici-ne" en La %-n$e%a

Empotrado

 y (0) = 0 %  y '(0) = 0

-ibre

 y ''(0) = 0 %  y '''(0) = 0

9implemente apo&ado

 y (0) = 0 %  y ''(0) = 0

C&%'a$&%a de &na c-(&#na 'e%$ica( e"1e($a En el siglo  XVIII  -eon)ard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema de valores propios al anali'ar cómo se curva una columna elástica esbelta sometida a una fuer'a a(ial de compresión. E(aminando una columna vertical larga & esbelta de sección

 y ( x) la curvatura de la transversal uniforme & longitud  L . 9ea columna al aplicarle una fuer'a vertical de compresión% o carga%  P  % en su e(tremo superior ver 6igura 0;. 5l comparar los momentos fle(ionantes en cual!uier punto de la columna se obtiene:

 EI

d2 y dx 2

= − Py

 EI es decir

d2y dx 2

+ Py = 0

Donde  E   es el módulo de elasticidad de oung e  I   es el momento de inercia de una sección transversal con respecto a una recta vertical por el centroide.

8

Ecuaciones Diferenciales

II.

APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DEFLEXIÓN W1

Datos: W  1 =5 Kg

55cm

20cm

W2

35cm

W  2 =2.5 Kg −3

q ( x )=(1.318 x 10  Kg )/ cm  5plicando condiciones de e!uilibrio

110cm

∑ Ma=0 +¿ X Ra 110 Rb

 Rb=

 Rb=

−55 W  1 −75 W  2 = 0

( 55 ) ( 5 )+ (7.5 ) ( 2.5 ) 110 462.5 110

 Rb= 4.2 Kg

∑ Fy =0  Ra+ Rb −W  1 −W  2 = 0  Ra+ 3.3 Kg −5 Kg −2.5 Kg=0

 Ra=5 Kg +2.5 Kg −3.3 Kg  Ra=3.3 Kg

Momento flector en (:

Rb

9

Ecuaciones Diferenciales −3

m ( x )=− Ra ( x ) + W  1 ( x −55 ) + W  2 ( x − 75 )+( 1.318 x 10  Kg)/ cm( ( x )

( ))  x

9ustitu&endo datos −4

m ( x )=−3.3 ( x )+ 5 ( x −55 )+ 2.5 ( x −75 )+ 6.54 x 10  x

2

 5plicando -a Place 1

 L { y ' ' }= L { m ( x ) }  EI  Condiciones in#ciales 0

=¿ 0  y ¿

0

=¿ 0  y ' ¿

2

s Y ( s )− s y 0− y ' 0=

s

−3 1.318  x 10

2

s Y  ( s )=

3

s

−3 1.318 x 10

Y  ( s )=

−33.3

s

5

+

+

2

4.2

s

4

s

4.2

s

5

+ −

2

−

−

275

2

s

+

2.5

s

2

−

187.5

s

 L

3

462.5

s

462.5

{

−3 −1 1.318 x 10

{ y ( s ) }= L

4!

−5

 y ( x )= 5.49 x 10  x

4

3

s

( ) ( ) 4! 4+ 1

s

4

+

 4.2 3!

+ 0.7 x −231.25 x

4! 3+ 1

s

−

462.5

2

Momento de inercia en la fricción de un rectángulo

 I =  I =

bh

3

12

(

3

)

1 2.2 12

=

10.648 12

9ustituir valores −3  kg

 E=108 x 10

m

2

4

s

 5plicando -a Place "nversa −1

2!

+6.59 x 10− (  )

2!

( )} 2! 2+ 1

s

2

10

Ecuaciones Diferenciales

 y (55 )=

1

(

10.648 12

)(

−3  kg 108 x 10 2

m

)

−5  5.49 x 10 55

4

4

2

( ) + 0.7 ( 55) −231.25 ( 55 )

 y (55 )=−6.08132 cm

III.

CONCLUISON  5l eali'ar este pro&ecto se concienti'o mas sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en casos de la vida cotidiana% & mediante e(perimentación se reprodujo un caso !ue se podr#a presentar a lo largo del transcurso de nuestros estudios &a !ue es algo mu& similar a resistencia de materiales.

IV.

APÉNDICES

11

Ecuaciones Diferenciales

E!e#/(- 'iga e#/-$%ada ,na viga de longitud  L  está empotrada en ambos e(tremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante%

w0

% uniformemente distribuida en su longitud3 esto es

w( x) = w0 0 < x < L % .

S-(&ci*n 9eg$n lo !ue acabamos de plantear3 la desviación  y ( x ) satisface a

 EI

d4y dx

4

= w0

(γ  6 )

Dado !ue la viga está empotrada en su e(tremo i'!uierdo /  x = 0 1 & en su e(tremo derec)o ( x = L) % no )a& desviación vertical & la elástica es )ori'ontal e esos puntos. De esta manera las condiciones en la frontera son:

 y (0) = 0,

y '(0) = 0,

Podemos resolver determinando

 yc

y ( L ) = 0,

y '( L ) = 0

teniendo en cuenta !ue m = 0  es una ra#' de multiplicidad

4  y cuatro de la ecuación au(iliar m = 0 % luego determinamos una solución particular  p   por el m*todo de coeficientes indeterminados. +ambi*n podemos resolver integrando cuatro la ecuación:

d4y dx 4

=

w0 (γ  7 )

EI  

9e obtiene como solución general:

 y ( x ) = c1 + c2 x + c3x 2 + c 4x 3 +

w0 24 EI 

x4

(γ  8 )

,sando el softpara !u* valores de  P   se curva la columna?. En t*rmino matemáticos: >para !u* valores de  P   el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales?

λ  = @aciendo la sustitución

 P   EI   se obtiene:

 y ''+ λ y = 0,

y (0) = 0,

y ( L) = 0

Es id*ntica al problema de soluciones no triviales de un problema de valor en la frontera% en el caso """ de este problema se observa !ue las curvas de desviación son:

 nπ x  ÷   L   % !ue corresponden a los valores propios

 yn ( x ) = c2 Sen 

λ n

=

 P n  EI

=

n 2π 2 L2

n = 1, 2, 3,...

,

Esto !uiere decir f#sicamente% !ue la columna se desv#a sólo cuando la fuer'a de compresión

 Pn

=

n 2π 2 EI  2

,

n = 1, 2, 3,...

 L tiene uno de los valores Estas fuer'as se llaman ca%ga" c%3$ica". -a curva de defle(ión !ue corresponde a la m#nima  P 1 =

π 2 EI  2

 L   se denomina ca%ga de E&(e%  & es carga cr#tica% función se conoce como /%i#e% #-d- de de"'iaci*n .

 π x  ÷   L   3 esta

 y1 ( x) = c2Sen 

En la siguiente figura vemos las curvas de desviación del presente ejemplo% !ue corresponden para n = 1, n = 2 y n = 3 . 9i la columna original tiene alg$n tipo de restricción f#sica o gu#a en

 x =

 L 2 % la carga cr#tica m#nima será

 P 2

=

4π 2 EI   L2

% & la curva de defle(ión será la de la  L 2 L  x =  x = 3   & en 3 % la columna no se desviará figura 811. 9i ponen gu#as a las columnas en

14

Ecuaciones Diferenciales

 P 3 =

2

9π  EI  2

 L sino )asta aplicarle la carga cr#tica & la curva de desviación será la !ue se ilustra en la figura 8c9. >Dónde se deber#an poner gu#as en la columna para !ue la carga de Euler sea

 P 4

?

15

Ecuaciones Diferenciales

V.

BIBLIOGRAFÍA

6it'geralds% . A. /0BB1. Mecánica de Materiales.  Me(ico: 5lfa & mega% 9.5 de C.V. @ibbeler% . C. /0BB1.  Analisis Estructural. Me(ico: Ed. Prentice4@ill @ispanoamericana 9.5 de C.V. ill% D. F. /G77B1. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.  M*(ico% D.6.: Cengage -earning Editores% 9.5. de C.V.