Ecuaciones Diferenciales Aplicadas A Los Fluidos

 

 AP  A PLIC LICACIÓ ACIÓN N DE ECUACIO ACION NES DI DIFE FER RENCI NCIALES “MESCLAS Y FLUIDOS” INTEGRANTES: José Luis Escalante Espejo  Ya  Y arlin inee Cés ésp ped edes es Art rtea eag ga

DOCENTE: Ing.Victor Miranda Hoyos

 AU  A ULA :C16 C16

 

Ecuaciones diferenciales mezclas y  y fluidos  Ap  A plica icacion ciones es a las mezclas

1. 2. 3. 4.

Introducción  Principios teóricos  Ejercicios  Bibliografía

Introducción Este trabajo Este  trabajo a sido concebido con el principal propósito de ayudar mediante ejemplos a la resolución resoluci ón de problemas sobre la aplicación de ((ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales)) a las mezclas y  flui fluido dos; s; pa para ra lo cual cual no noss ay ayud udar arem emos os de la lass ecuaciones dif difere erenci ncial ales es de 1er gra grado do aprendidas en la materia de Ecuaciones diferenciales.

Principios Teóricos Mezclas Definamos la concentración de una sustancia como: Concentración Concentra ción = Cantidad de sustancia/ Volumen  Volumen total  total Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homogénea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces: En un instante cualquiera una sustancia presente en la mezcla se definirá como:

Donde: Q (t) = cantidad de sustancia sustancia.. Qe = cantidad de sustancia de entrada.

 

Qs = cantidad de sustancia de salida.  Además sabemos sabemos que: Qe = V e*Ce. Qs = V s*Cs. Donde:  V e = Volumen entrante.  V s = Volumen de salida. Ce = Concentra Concentración ción de entrada. Cs = Concentración de salida. El volumen en un tiempo cualquiera será:  V (t)=V 0 + (V e - V s) t Donde:  V (t) = cantidad de sustancia. sustancia.  V e = cantidad de sustancia de entrada.  V s = cantidad de sustancia de salida. Entonces la concentración de la sustancia en el recipiente será: C (t) = Q (t) / V (t)

Derrama de fluidos Si tuviésemos un depósito conteniendo a un líquido que escapa por un orificio del depósito (no existe flujo de entrada); entonces: Puesto que la altura de carga varía con el tiempo, sabemos que

, es decir el flujo

no es estacionario. Esto significa que la ecuación de energía debe corregirse introduciendo un término de aceleración, que complica mucho la solución. En tanto la altura de la carga

 

no var varíe íe dem demasi asiado ado ráp rápido ido no se pr produ oducir cirá á un apr apreci eciab able le err error or el sup supone onerr el flu flujo jo estacionario estacionar io y, por consiguiente, despreciar el termino de carga de aceleración. Sean V(t) y h(t) el volumen de agua agua en  en el depósito y la altura del liquido por encima del orificio, en un instante t después de empezado el proceso proceso:: Por Torricelli sabemos que:

Pero la diferencial del volumen también se puede expresar de la siguiente manera: dV = A(h)*d(h) Entonces quedaría:

Tendríamos una relación entre la altura y el tiempo.

Ecuaciones de primer orden y primer grado Una ecuación diferencial de primer orden y de primer grado se puede escribir en la forma: 1) M(x,y)dx + N N(x,y)dy=0 (x,y)dy=0  

Ejemplo;  a) a)   donde

se puede escribir asi: ( y

se llama una ecuación diferencial exacta

Ejemplo: 

 

es su primitiva o solución general.

es una ecu ecuac ación ión dif difere erenci ncial al exa exact cta, a, su pr primi imitiv tiva a es

Una ecuación diferencial para la que se halla rápidamente un factor integrante tiene la

 

forma: 2)

Mediante el factor integrante

2)

se reduce a

=0

cuya primitiva es:

=c

La ecuación 2 es del tipo de la separación de variables 2`las variables están separadas. Si la ecuación 1 a admite dmite una solución una infinidad de factores integrantes

, donde c es una constant constantee arbitraria, existe tales que:

es exacta luego hay transformaciones de variables con las que 1 pasa el tipo de separación de var variab iables les.. sin emba embargo rgo,, no se pue puede de dar una reg regla la gen genera erall par para a hal halla larr un fac factor tor integrante o una transformación. Se tienen pues limitaciones para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, esto es, aquellos tipos para los que fallan las reglas para determinar un factor integrante o una transformació transformación n efectiva. Estas agrupaciones son un cierto modo, convencionales, pues una ecuación dada puede pertenecer a mas de un grupo.

Ejemplo.  La ecua ecuación ción

se puede cla clasific sificar ar en cual cualquier quiera a de los grup grupos os ya

que:

a) mediante el factor integrante de donde

las variables se separan así; o sea,

 

Ejercicios 1) Una fábrica de papel esta situada cerca de un río con fluido constante constante de 100 m3/seg.; el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen 109 m3. Suponga que en el instante t = 0, la fabrica de papel empieza a bombear contaminantes al río a razón de 1 m3 por se segu gund ndo; o; y qu quee la en entr trad ada a y sa sali lida da de dell la lago go son son co cons nsta tant ntes es e ig igua uale less ¿cua ¿cuall será será la concentración de contaminantes en el lago al cabo de un tiempo t?

Solución: Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces la velocidad  velocidad de  de entrada de sal al tanque en el instante t es:

También en el instante t, la cantidad de líquido en el tanque es de:

La concentración es de:

La velocidad de salida de la sal es de:

Luego nuestra ecuación diferencial es:

 

Para resolverla consideremos la ecuación Homogénea:

Que se puede escribir:

La solución de la homogénea es:

Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando en la no homogénea tenemos:

Por lo tanto:

Como x (0) = 0, tenemos c =10006, y entonces nuestra solución es:

 Así, la concentración concentración de sa sall en el insta instante nte t es de:

Tenemos que encontrar t tal que:

 

Entonces:

Por tanto: t = 1000 min.  

2)  Cie Ciert rto o producto producto   quí quími mico co se dis disuel uelve ve en el agu agua a a una velocid velocidad ad pro propor porci ciona onall al producto de la cantidad aun no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solución saturada y la concentración en la solución real. Si sabe que en 100 gr. de una solución saturada están disueltos 50 gr. de la sustancia. Si se agitan 30 gr. del producto químico con 100 gr. de agua en 2 horas se disuelven 10 gr. ¿Cuánto se disolverá en 6 horas?

Solución: Sea Q (t) = numero de gramos del producto químico no disuelto después de un instante t.

La concentración real será: Cr(t) =

; y la concentr concentración ación saturada: Cs(t) =

Por dato:

d Q (t (t)) / d t = kQ(C (Css – Cr Cr)) = kQ (

-

) = kQ(

)

Resolviendo resulta:

=>

=>

=>

Para t = 0 => Q = 30 en (1)

, en (1) :

….. (2)

…..(1)

 

Para t = 2 => Q = 30 -10 = 20 en (2)

En (2), queda:

Para t = 6 =>

=>

La cantidad disuelta en 6 horas es

, por lo tanto la disuelta será:

3) Un liquido transpar transparente ente transporta una droga droga dentro  dentro de un órgano de volumen V cm3 a una velocidad de "a" cm3/seg. y sale a una velocidad de "b" cm3/seg. Si la concentración de la droga con el liquido que entra es "c" gr. /cm3. a) Escriba la ecuación diferencial para la cantidad de droga en un instante cualquiera.  b) Resolver dicha dicha ecuación diferencial. diferencial.

Solución: a) Sea Q (t) la cantidad de droga en el órgano en un instante cualquiera.-

Luego: Pero  Y además

…… (1) …… (2) ……. (3)

Para un instante cualquiera la concentración es:

 

 Ahora

, en (3):

……. (4)

(2) y (4) en (1):

……. (5)

F.I. =

para todo

…… (6)

 

 b) (5) * (6): …… (7) Condición inicial: t = 0 =>

. En (7):

En (7):

4)  Un depósito tiene la forma de un cono truncado con 2,4 m de diámetro en la base superior y 1.2 m en la inferior. El fondo contiene un orificio cuyo coeficiente medio de descarga es de 0,60 m. ¿Cuál deberá ser el diámetro del orificio para vaciar el deposito en 6 minutos si la altura de carga inicial es de 3,0 m?

Solución: Sabemos que:

 

En el problema:

0.6 * (1/4) π* d2 * dt = Donde: d2 = diámetro del orificio. Puesto que t = 360 segundos; integrando en ambos lados se obtiene:

d2 = Operando tenemos: d = 0.0987

5) Un embudo, en cuya salida se tiene un ángulo de 60o y recta de 0.5   un área de la sección recta cm2, contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua agua fluye  fluye afuera. Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo, suponiendo que la altura inicial del nivel del agua es de 10 cm. Por Torricelli:

 A (h) = Entonces reemplazando tenemos:

Para t = 0 => h = 10

Luego: Reemplazando tenemos:

 

Para h = 0;

Bibliografía 

 Saal R. Cesar ;

Ecuaciones diferenciales.



 Ronald V. Giles (1991);  (1991); Mecánica  Mecánica de  de los fluidos e Hidráulica (1ra ed.); McGraw-

Hill/ Interamericana de México México,, S.A.