Ecuaciones Diferenciales Aplicadas A La Temperatura

 

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA TEMPERATURA

La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo , es proporciona! a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante en el tiempo . Consideremos a  la temperatura del cuerpo en el tiempo  y a m la temperatura del medio circundante y a  temperatura inicial del cuerpo (  = 0).





 







LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

 Aumento de Temperatura Temperatura Como la variación de lla a temperatura puede puede ser que aumente aumente o disminuya. Luego de acuerdo a la Ley de enfriamiento de Newton se expresa mediante la ecuación:  Aumento de Temperatura: Temperatura:

 =     Disminución Disminució n de Temperatura T emperatura::

 =      Dónde: K es el factor de proporcionalidad.

 

Si:

 = 

+ =  → →  =; =; =     →  +

Que es una ecuación diferencial lineal de primer orden y su solución es:

.  + ]    = − [∫ .  = − [1  + +]]   = − + −   +  −   =  De donde:

=+−  

 Además se debe cumplir que para: para: Luego:

 = 0 , =  

=+ −  

EJEMPLOS: 1) Según la ley de Newton de enfriamiento, enfriamient o, la velocidad a la que se enfría una sustancia a aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 30° y la sustancia se enfría de 100° a 70° en 15 minutos. ¿Cuándo será 40° la temperatura de la sustancia? SOLUCION

 =          =         =       

=30°  = 100° →  = 0   = 70° →  = 15   = 40° →  = ?

Según la fórmula de disminución de Temperatura:

 =  30°   30°  =  30°

 =     

 

I.

Para:

 = 100° →  = 0    = 70° →  = 15  

      ∫ 30° =∫  1 1 ∫ 7030   ∫ 10030    = ∫   



∫ 401   ∫ 701    = 115     40 40   70 70 = 15   ((40 70)= 15    0.56=15 =0.037  II.

Luego para

 = 100 →  = 0 ; = 40° →  = ? 



  ∫ 30° =∫     1 1 ∫   ∫   =  ∫   10 70  10 10   70 70 =   Reemplazando el valor de ""   ((10 37  70) = 0.037 1.95= 0.037       = 52   1.95     = 0. ⇒ 037

 

2) A la 1 p.m. un termómetro que marca 70°, es trasladado al exterior donde donde el aire tiene una temperatura de - 10° a las 1.02 p.m. la temperatura es de 26°. ¿Cuál es la lectura del termómetro a las 1.04 p.m.? SOLUCION

Se sabe que:

 =         =        = 1 10°0°  Según la fórmula de disminución de Temperatura:

 =      Si:

 = 

+ =  →  =; =; =     →  +

Que es una ecuación diferencial lineal de primer orden y su solución es:

 = − [∫ . .  + ]   +]]   = − [1  +  = − + −   +  −   =  De donde:

=+−  

 = 0 , =   →   1 1..   Luego: =+  − →    A la 1:02p.m se tiene tiene  = 2 , = 26° Reemplazando en    26=10+70 10 10  26=10+80   36=80   Además se debe cumplir que para: para:

9=20 

 

9 =   20  ((209 )=.   (209 )   ((209 ) = 2  →  = 12 (     Luego :10+80     =10+80209    Reemplazando t=4

 9  =10+8020   =10+16.2  =6.2°