Ecuaciones de Maxwell

Electrodinámica Óptica Física Lic. Juan Alberto Dasso 2012

Notas de clase para el curso de Física II – UTN - FRH

INDICE 1. ONDAS PROPAGANTES……………………………………………………………………………………….1 1.1 Introducción 1.2 Intensidad de la onda 1.3 Función general de la onda propagante 1.4. Ecuación diferencial de la onda 1.4.1 Onda que se propaga en una única dirección (Onda plana) 1.4.2 Onda que se propaga en varias direcciones (Onda tridimensional) 1.5 Onda plana armónica simple

2. ECUACIONES DE MAXWELL…………………………………………………………………………………..6 2.1 Operadores diferenciales 2.1.1 Operador gradiente 2.1.2 Operador laplaciano 2.1.3 Divergencia de un campo vectorial 2.1.4 Rotacional de un campo vectorial 2.1.5 Laplaciano de un campo vectorial 2.2 Ecuaciones de Maxwell 2. 2.1 Campos estáticos 2. 2.1.1 Teorema de Gauss 2. 2.1.2 Carácter conservativo del campo electrostático 2. 2.1.3 No existencia de monopolos magnéticos 2. 2.1.4 Teorema circuital de Ampere 2.2.2 Campos lentamente variables en el tiempo 2.2.2.1 Teorema de Gauss 2. 2.2.2 Ley de Faraday – Lenz (Campo electrodinámico no conservativo) 2. 2.2.3 No existencia de monopolos magnéticos 2. 2.2.4 Principio de conservación de la carga eléctrica. Ecuación de continuidad 2.2.5 Ley de Ampere – Maxwell. Corriente de desplazamiento 2.2.3 Resumen: Ecuaciones de Maxwell y ecuación de continuidad. 2.3 Ecuación de ondas electromagnéticas 2.4 Ejercicio

3. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS……………………………………………………………………………....14 3.1 Onda electromagnética plana armónica simple 3.2 Vector de Poynting

4. POLARIZACIÓN………………………………………………………………………………..……………..17 4.1 Componentes incoherentes 4.1.1 Onda no polarizada 4.1.2 Onda parcialmente polarizada 4.2 Componentes coherentes 4.2.1 Polarización lineal 4.2.2 Polarización elíptica con semiejes x-y. Polarización circular 4.2.3 Polarización elíptica con semiejes rotados en relación a los x-y 4.3 Análisis espacial

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Indice

5. INTERFERENCIA…………………………………………………………………………………………...…21 5.1 Ondas de igual frecuencia, amplitud y sentido de propagación. Coherencia. 5.2 Interferencia por diferencia de camino 5.3 Camino óptico

6. INTERFERÓMETROS………………………………………………………………………………………….26 6.1 Experiencia de Young: Sistema de doble ranura. 6.2 Lámina de caras paralelas 6.3 Cuñas 6.4 Anillos de Newton 6.5 Cálculo de la intensidad relativa en el experimento de Young.

7. DIFRACCIÓN…………………………………………………………………………………………………34 7.1 Difracción por una rendija 7.2 Experiencia de Young teniendo en cuenta la difracción

8. RED DE DIFRACCIÓN…………………………………………………………………………...…………….38 8.1 Sistema de N fuentes 8.1.1 Amplitud resultante 8.1.2 Máximos principales de la intensidad 8.1.3 Ceros de la intensidad relativa 8.1.5 Máximos secundarios 8.1.6 Ancho de los máximos principales 8.2 Sistema de N fuentes considerando la difracción 8.3 Red de difracción

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1. ONDAS PROPAGANTES

1.1 Introducción Considérese un medio material en equilibrio, como una cuerda tensa o el gas contenido en una habitación. La experiencia muestra que si se produce una perturbación en una región localizada del medio (como el desplazamiento de una parte de la cuerda respecto de su posición de equilibrio o el aumento de la presión en una parte del gas) y se deja evolucionar al sistema, la perturbación se propaga con cierta velocidad a lo largo del medio material. Decimos que se ha propagado una onda. Este tipo de ondas se denominan ondas mecánicas ya que describen la propagación de una perturbación dentro de un medio material. Cuando en el siglo XIX se estableció la existencia de las hoy llamadas ondas electromagnéticas, siendo las ondas lumínicas un caso particular, se pensó que debía existir un medio material que era el soporte para la propagación de estas ondas. Se denominó éter a este hipotético medio material. Los intentos teóricos que procuraban describir las propiedades del éter terminaban en fracasos y los resultados de experiencias que intentaban detectar su existencia terminaron por convencer a los científicos que este medio no tenía existencia real, que las ondas electromagnéticas se propagaban incluso en el vacío y, en particular, condujeron a Einstein a formular la teoría especial de la relatividad. En lo que sigue se entenderá por medio de propagación tanto medios materiales, en los que se pueden propagar ondas mecánicas y electromagnéticas, como el vacío en el que solamente se propagan estas últimas. La propagación del sonido en un medio gaseoso se puede describir estudiando la evolución temporal de la presión a lo largo del medio: p = p ( x, y, z , t ) . Es decir que alcanza con describir la evolución de una magnitud escalar. En cambio, la propagación de ondas electromagnéticas requiere describir magnitudes vecto-





riales como el campo eléctrico: E = E ( x, y, z , t ) .

Los puntos del medio de propagación que poseen en un instante de tiempo el mismo estado de perturbación definen superficies denominadas frentes de onda. Una lamparita eléctrica genera ondas cuyos frentes son aproximadamente esféricos (ondas esféricas), concéntricos con la fuente. Al propagarse, estos frentes aumentan su radio. Cuando se trabaja con porciones de frente curvos de tamaño mucho menor que el correspondiente radio de curvatura, se puede suponer que los frentes son aproximadamente planos (ondas planas). Se suele denominar rayo a cada una de las direcciones en que la onda se propaga. Las ondas esféricas se propagan en todas direcciones que pasan por la fuente. Es decir que los rayos salen en todas las direcciones radiales cortando perpendicularmente a los frentes de onda. En el caso de una onda plana la dirección de propagación es única: la perpendicular a los frentes planos que son todos paralelos entre sí. 1.2 Intensidad de la onda La propagación de una onda implica en general la transmisión de energía. La intensidad de la onda mide la potencia que se transmite por unidad de superficie a través de los frentes de onda:= I ( E ∆t ) S . En el Sistema Internacional la unidad correspondiente es: [ I ] = W m 2 . Consideremos medios de propagación sin disipación o atenuación, es decir que la onda se propaga sin perder su contenido energético. En el caso de ondas esféricas, la potencia que se transmite a lo largo de cualquier frente completo es igual a la potencia emitida por la fuente. Pero la intensidad de la onda disminuye al aumentar el radio del frente, es decir, al alejarse de la fuente, ya que la misma potencia está repartida en una mayor superficie. Si se tuvieran ondas perfectamente planas, los frentes se propagarían sin deformación, por lo que la potencia siempre se repartiría en una misma área. Así, la intensidad de la onda no cambiaría al alejarse se la fuente.

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Ondas propagantes

1.3 Función general de la onda propagante Consideremos una onda plana. Podemos elegir la dirección y sentido positivo del eje x del sistema de referencia de manera que coincidan con la dirección y sentido de propagación de la onda. Para describir esta onda plana alcanzará con una función ψ = ψ ( x, t ) . Para fijar ideas, podemos pensar que el medio es una cuerda muy larga que se mantiene tensada en posición horizontal, con un extremo en x = 0 y el otro extremo en x = ∞ . Desplazando rápidamente el extremo de la cuerda en x = 0 hacia arriba y hacia abajo, es posible lograr una perturbación de manera que la forma de la cuerda en cierto instante sea como la que se observa en la Figura 1 con línea continua. Esta perturbación inicial se puede describir por una función f = f ( x ) , que nos da el desplazamiento de cada punto de la cuerda en relación a su posición de equilibrio. La experiencia muestra que la perturbación se propagará a lo largo de la cuerda, de manera que para describir esta onda podemos emplear una función ψ = ψ ( x, t ) que nos muestre el desplazamiento de cada punto de la cuerda en cualquier instante de tiempo. En particular, deberá cumplirse la condición inicial: ψ ( x,= t 0= ) f ( x) . Supongamos que la cuerda se comporte como un medio de propagación sin atenuación ni dispersión. Ya mencionamos que la ausencia de atenuación o disipación significa la conservación del contenido energético de la onda. El concepto de dispersión se tratará con más rigor más adelante. Por ahora lo definimos dicien do que todas las ondas en el medio se propagarán con velocidades de igual módulo: v = vp > 0 . p En tales condiciones la perturbación solamente se traslada al propagarse, sin cambiar su forma, como se indica en la Figura 1. En el instante t la perturbación habrá avanzado una distancia v p t , de manera que la perturbación en un punto x de la cuerda será igual a la que había en el instante t = 0 en el punto x − v p t . Es decir que la función que describirá la propagación de la onda corresponde a la forma general:

ψ ( x= , t ) f ( x − vp t )

(1)

Si la onda se propaga en el sentido de las x negativas, la forma general de la función de onda es: Figura 1: Onda que se propaga sin atenuación ni dispersión.

ψ ( x= , t ) f ( x + vp t )

(2)

En ciertas condiciones se puede tener en el medio la propagación simultánea de ondas en ambos sentidos, de manera que la función de onda será de la forma:

ψ ( x, t ) = f ( x − v p t ) + g ( x + v p t )

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(3)

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Ondas propagantes

1.4. Ecuación diferencial de la onda

1.4.1 Onda que se propaga en una única dirección (Onda plana) Consideremos una onda plana que se propaga en la dirección y sentido positivo del eje x . Su función

de onda será de la forma: ψ ( x= ,t)

f ( x − vp t ) . Definiendo la variable auxiliar ξ= x − vp t , resultan las si-

guientes relaciones para las derivadas parciales:

∂ψ d f ∂ξ d f = ( x, t ) = ∂x dξ ∂ x dξ ∂ψ d f ∂ξ df = = −vp ∂t d ξ ∂t dξ De estas relaciones resulta que

1 ∂ 2ψ d 2 f = vp2 ∂t 2 dξ 2

,

,

∂ 2ψ d 2 f = ∂ x2 d ξ 2 2 ∂ 2ψ 2 d f = v p ∂t 2 dξ 2

ó, lo que es lo mismo:

∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ − = 0 (4) ∂ x 2 vp2 ∂t 2

La anterior es una ecuación diferencial en derivadas parciales que se conoce como ecuación diferencial de ondas. Cualquier magnitud física ψ que evolucione en el espacio y en el tiempo verificando la ecuación anterior corresponde a un fenómeno de tipo ondulatorio. De manera similar se puede verificar que funciones de las formas ψ ( x= ,t)

ψ ( x, t ) = f ( x − vp t ) + g ( x + vp t ) , verifican la ecuación diferencial de ondas.

f ( x + vp t ) y

1.4.2 Onda que se propaga en varias direcciones (Onda tridimensional)

Supongamos una onda que se propaga en varias direcciones y que se puede describir mediante un campo escalar ψ = ψ ( x, y, z , t ) . Por ejemplo, podemos pensar en una onda sonora propagándose en el aire de manera que la función ψ describe la variación de la presión en relación al valor de equilibrio. Se puede demostrar que la función de onda será solución de la ecuación diferencial:

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ + + − = 0 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 vp2 ∂t 2 donde la cantidad

∇ 2ψ ≡

(5a)

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + + ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2

se denomina laplaciano del campo escalar, de manera que la ecuación diferencial adopta la forma compacta:

1 ∂ 2ψ ∇ψ − 2 2 = 0 vp ∂t 2

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(5b)

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Ondas propagantes

1.5 Onda plana armónica simple La onda plana armónica simple, que se propaga en el sentido de las x positivas, está definida por la función de onda:

ψ= ( x, t ) A sen  k ( x − vpt ) + ϕ 

𝐴>0 𝑘>0

𝑣𝑃 > 0

es la amplitud es el número de onda angular es el módulo de la velocidad de propagación

ψ= ( x, t ) A sen ( k x − ω t + ϕ ) , donde

o

𝜔 = 𝑘 𝑣𝑃 −𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

es la frecuencia angular es la fase propia

𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝑘 𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑

es la fase

La función que describe la onda armónica simple también puede escribirse, entre otras posibilidades, en la forma: ψ (= x, t ) A cos [ k x − ω t + ϕ ] . En el Sistema Internacional (S.I), las unidades de algunas de las magnitudes mencionadas son: [𝜙] = [𝜑] = 1 = rad,

[𝜔] = 1⁄s = rad⁄s

[𝑘] = 1⁄m = rad/m

,

[𝜆] = m

,

[𝜈] = 1⁄s = Hz

El análisis temporal de una onda consiste en estudiar la evolución de la perturbación que provoca en un punto fijo del medio 𝑥 = 𝑥0 . En la Figura 1 se representa la evolución temporal de una onda armónica simple, en un punto fijo del medio.

Figura 2: Análisis temporal de una onda armónica simple.

Para las ondas armónicas simples, la perturbación en un punto dado varía en forma sinusoidal y, por lo tanto, periódica; es decir, existe un intervalo de tiempo mínimo T, denominado período, para el cual 𝜓(𝑥, 𝑡 + 𝑇) = 𝜓(𝑥, 𝑡) ∀ 𝑡. Es sencillo demostrar que 𝑇 = 2𝜋⁄𝜔 . La frecuencia de la onda armónica se define como 𝜈 = 1⁄𝑇, de donde resulta que 𝜔 = 2𝜋 𝜈. Obsérvese que, para la representación gráfica, se midió la perturbación tomando la amplitud como unidad y se midió el tiempo tomando como unidad al período.

El rango de abscisas entre dos máximos o dos mínimos consecutivos corresponde a un intervalo de tiempo igual a un período. El rango de abscisas entre dos ceros consecutivos corresponde a un intervalo de tiempo igual a medio período. UTN – FRH – Física II

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Ondas propagantes

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El análisis espacial de una onda consiste en estudiar cómo varía a lo largo del medio la perturbación que provoca, en un instante fijo de tiempo 𝑡 = 𝑡0 . En la Figura 3 se representa la variación a lo largo del medio de una onda armónica simple, para un dado instante de tiempo.

Figura 3: Análisis espacial de una onda armónica simple.

Para las ondas armónicas simples, la perturbación a lo largo del medio varía en forma sinusoidal y, entonces, periódica; es decir, existe un desplazamiento espacial mínimo λ, denominado longitud de onda, para el cual 𝜓(𝑥 + 𝜆, 𝑡) = 𝜓(𝑥, 𝑡) ∀ 𝑥. Es sencillo demostrar que 𝜆 = 2𝜋⁄𝑘 y que 𝑣𝑃 = 𝜔⁄𝑘 = 𝜆⁄𝑇. Obsérvese que, para la representación gráfica, se midió la perturbación tomando la amplitud como unidad y se midió la posición tomando como unidad a la longitud de onda.

El rango de abscisas entre dos máximos o dos mínimos consecutivos corresponde a un desplazamiento igual a la longitud de onda. El rango de abscisas entre dos ceros consecutivos corresponde a un desplazamiento igual a media longitud de onda.

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2. ECUACIONES DE MAXWELL Vamos a analizar, ahora, el caso en que las cargas, las corrientes y los campos eléctricos y magnéticos generados varían con el tiempo. Comenzaremos por recordar las definiciones de algunos operadores diferenciales importante.

2.1 Operadores diferenciales 2.1.1 Operador gradiente Se llama campo escalar a una función que a cada punto del espacio, o de una región del espacio, le asocia el valor de una magnitud escalar. Por ejemplo, la temperatura en cada punto de un cuerpo o el potencial electrostático en cierta región del espacio se describen mediante campos escalares. Formalmente, si ( x, y, z ) son las coordenadas cartesianas de los puntos de la región de interés y φ es la magnitud escalar considerada,

φ = φ ( x, y , z )

el campo escalar estará dado por una función:

Muchas veces interesa conocer en qué dirección el campo varía más rápidamente con la posición, y cuál es la intensidad de esa variación. Esta información se obtiene a través del operador gradiente, que en coordenadas cartesianas se expresa en la forma:

= ∇

∂  ∂  ∂  i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

El operador gradiente se aplica al campo en cuestión, obteniéndose el gradiente de ese campo:

∇= φ

∂φ  ∂φ  ∂φ  i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

2.1.2 Operador laplaciano

A partir del operador gradiente, se puede definir el operador laplaciano para un campo escalar, en la forma

∇ 2 = ∇ ⋅∇ donde el producto de los operadores sigue las reglas del producto escalar de vectores, es decir que

 ∂  ∂  ∂   ∂  ∂  ∂  ∇2 = ∇ ⋅∇ = i+ j+ k ⋅ i+ j+ k  ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂  ∂  ∂  ∂  ∂  ∂  ∂2 ∂2 ∂2 ∇= + +  +  +  =  ∂ x  ∂ x  ∂ y  ∂ y  ∂ z  ∂ z  ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2 2

de donde:

∇ 2φ=

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2

Como se mostró anteriormente, entre otras propiedades y aplicaciones, este operador está relacionado con la ecuación diferencial de las ondas.

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Ecuaciones de Maxwell 2.1.3 Divergencia de un campo vectorial

Se llama campo vectorial a una función que a cada punto del espacio, o de una región del espacio, le asocia el valor de una magnitud vectorial. Por ejemplo, las velocidades con las que pasa un fluido en movimiento por cada punto de una región, el campo eléctrico y el campo magnético en cierta región del espacio, se describen mediante campos vectoriales.



Formalmente, si ( x, y, z ) son las coordenadas cartesianas de los puntos de la región de interés y Α es la magnitud vectorial considerada, el campo vectorial estará dado por una función

  Α = Α ( x, y , z ) lo que implica definir tres funciones, una para cada coordenada del campo. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas:

     Α = Α ( x, y, z ) = Α X ( x, y, z ) i + ΑY ( x, y, z ) j + Α Z ( x, y, z ) k Como se discutirá después, la divergencia de un campo vectorial se relaciona con cierto tipo de fuentes que le dan origen. El flujo del campo sobre la superficie cerrada S (V ) , que limita un volumen V y con-

∫

tiene al punto p , está dado por la expresión:

  Α ⋅ d s , donde el diferencial de superficie se oriente según

S (V )

la normal exterior a S (V ) .

(



1



)

   ∫ Α ⋅ d s   V S (V )  

∇ ⋅ Α lim  La divergencia del campo en ese punto ∇ ⋅ Α se define como: = V →0

donde el volumen V tiende a cero de manera que contenga siempre al punto p .



El símbolo ∇ ⋅ Α empleado para la divergencia se debe a que, en coordenadas cartesianas, resulta:

  ∂  ∂  ∂    ∂Α X ∂ΑY ∂Α Z   ∇= ⋅Α  i+ j+ k  ⋅ Α X i + ΑY j + Α Z= k + + ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x

(

)

Se puede demostrar que se cumple la siguiente relación, conocida como Teorema de la divergencia o Teorema de Gauss:

∫

S (V )

  Α⋅ds=

 ∇ ⋅ ∫ Α dV

(1)

V

2.1.4 Rotacional de un campo vectorial El rotacional o rotor de un campo vectorial está relacionado, también, con cierto tipo de fuentes que  lo originan. Es común simbolizarlo en la forma ∇ ∧ Α , donde ∧ representa al producto vectorial. Esto es así porque, en coordenadas cartesianas resulta:

  ∂  ∂  ∂      ∇= ∧Α  i+ j+ k  ∧ Α X i + ΑY j + Α Z k ∂y ∂z   ∂x   ∂Α ∂Α    ∂Α ∂Α    ∂Α ∂Α X   ∇= ∧ Α  Z − Y i +  X − Z  j +  Y − k ∂z   ∂z ∂x  ∂y   ∂y  ∂x

(

Es decir que:

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)

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Ecuaciones de Maxwell

Se puede demostrar que se cumple la siguiente relación, conocida como Teorema del rotor o Teorema de Stokes:

∫

  Α ⋅ dl=

C(S )





∫ (∇ ∧ Α) ⋅ d s

(2)

S

En el miembro izquierdo de la igualdad aparece la circulación o integral de camino del campo a lo largo de una curva cerrada C ( S ) . Del lado derecho aparece el flujo del rotacional del campo a través de una superficie abierta S que tenga como borde a la curva C ( S ) . El sentido de la circulación debe estar relacionado con el sentido de la normal a la superficie según la regla de la mano derecha: Si se flexionan los dedos de la palma derecha en el sentido de la circulación, el pulgar extendido muestra el sentido de la normal.

2.1.5 Laplaciano de un campo vectorial Anteriormente se definió el laplaciano de un campo escalar. Para un campo vectorial, el laplaciano, empleando coordenadas cartesianas, se define en la forma:

    ∇ 2 Α =∇ 2 Α X i + ∇ 2 ΑY j + ∇ 2 Α Z k Se puede demostrar que es válida la siguiente identidad, que puede tomarse como definición del laplaciano de un campo vectorial, independientemente de las coordenadas que se empleen para describirlo:

   ∇2 Α = ∇ ∇ ⋅ Α − ∇ ∧ ∇ ∧ Α

(

)

(

)

2.2 Ecuaciones de Maxwell Analizaremos el caso de campos en el vacío, es decir, en ausencia de medios materiales. No resulta difícil la generalización al caso de la presencia de medios lineales, isótropos y homogéneos. 2. 2.1 Campos estáticos Consideraremos primero el caso de campos electrostáticos y magnetostáticos. 2. 2.1.1 Teorema de Gauss El teorema de Gauss de la electrostática, en su forma integral, establece: Por lo tanto, se puede escribir que:

1 V →0 V lim

  1 q E ⋅ d s =lim enc .  ∫ ε 0 V →0 V S (V )

∫

S (V )

  q enc . E ⋅ds =

ε0

El límite de la izquierda es la divergencia del campo, y el de la derecha es la densidad volumétrica de carga ρ , por lo que resulta:

 ρ ∇⋅E =

(3)

ε0

La ecuación diferencial anterior se conoce como forma diferencial del Teorema de Gauss.

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Ecuaciones de Maxwell 2. 2.1.2 Carácter conservativo del campo electrostático

De la Ley de Coulomb se deduce que la fuerza electrostática es conservativa, es decir, el trabajo que realiza sobre una carga puntual, en cualquier trayectoria cerrada, es nulo. Esto implica que la circulación del campo electrostático es nula para cualquier trayectoria cerrada:

  0 . Esta ecuación expresa, en for∫ E ⋅ dl = C

ma integral, el carácter conservativo del campo electrostático. Pero teniendo en cuenta el Teorema de Stokes (2), la ecuación anterior implica que para toda superficie abierta: 0=

 ∇ ∧ E =0

mente si el integrando es idénticamente nulo:

∫(

  ∇ ∧ E ⋅ d s , lo que es posible sola-

)

S

(4)

La ecuación anterior expresa en forma diferencial el carácter conservativo del campo electrostático.

2. 2.1.3 No existencia de monopolos magnéticos De la Ley de Biot y Savart se deduce que el flujo del campo magnetostático es nulo para cualquier superficie cerrada.

∫

  B⋅ds = 0

S (V )

De forma similar a lo realizado en el apartado 2. 2.1.1, o aplicando el Teorema de Gauss (1) , se deduce rápidamente que:

 ∇ ⋅ B =0

( 5)

La ecuación anterior implica que no puede existir “carga magnética” de una dada polaridad en forma aislada. Esto es equivalente a decir que las líneas de este campo no tienen puntos donde nacer o morir, siendo entonces líneas cerradas. 2. 2.1.4 Teorema circuital de Ampere En su forma integral, este teorema establece que para el campo magnetostático, la circulación sobre cualquier camino cerrado es igual a la intensidad de la corriente concatenada multiplicada por la permeabilidad del vacío:

  µ0 I con ∫ B ⋅ dl = C

La intensidad de la corriente concatenada se puede escribir en función de la densidad de corriente, de manera que el teorema anterior se puede expresar como:

  ⋅ dl µ0 ∫ B= C

∫

  J ⋅ds

S (C )

donde S es una superficie que tiene por borde a la curva C y el sentido de la circulación se vincula con el sentido de la normal a la superficie según la regla de la mano derecha. Comparando esta expresión con la correspondiente al teorema de Stokes ( 2 ) , resulta que:

  ∇ ∧ B = µ0 J

( 6)

Esta es la forma diferencial del teorema de Ampere para el campo magnetostático.

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Ecuaciones de Maxwell 2.2.2 Campos lentamente variables en el tiempo 2.2.2.1 Teorema de Gauss

La divergencia del campo eléctrico sigue siendo determinada por la distribución de carga, por lo que se mantendrá la validez de la ecuación

 ρ ∇⋅E = ,

(7)

ε0

pero, ahora, el campo y la densidad de carga, además de ser funciones de la posición, son funciones del tiempo. 2. 2.2.2 Ley de Faraday – Lenz (Campo electrodinámico no conservativo) Considérese una superficie abierta S , estacionaria, cuyo borde está dado por la curva C . La ley de Faraday – Lenz, en su forma integral, establece que la variación temporal del flujo magnético, cambiada de signo, es igual a fuerza electromotriz inducida: −

dφ = ε Ind . dt

La fuerza electromotriz inducida es, por definición, la circulación del campo eléctrico, por lo que la ley anterior se puede expresar en la forma: −

d   B⋅ds = dt ∫S





∫ E ⋅ dl . C

El sentido de la circulación y el de la normal se relacionan mediante la regla de la mano derecha. Como la superficie es estacionaria, se cumple que:

 d   ∂B  − ∫ B⋅ds = −∫ ⋅ds dt S ∂ t S

Teniendo en cuenta el teorema de Stokes ( 2 ) , resulta:

  ∫ E ⋅ dl = C

day – Lenz se puede escribir en la forma:

 ∂B  −∫ ⋅ds = ∂t S

  ∇ ∧ ∫ E ⋅ d s . Por lo tanto, la ley de FaraS

  ∇ ∧ ∫ E ⋅ds ⇒ S

  ∂ B    ∫S  ∇ ∧ E + ∂t  ⋅ d s = 0

Como la integral anterior debe ser nula para cualquier superficie, se debe cumplir que

  ∂ B ∇∧E+ =0 ∂t

(8)

La anterior es la expresión diferencial de la ley de Faraday – Lenz. Entre otras cosas, establece que el rotor del campo eléctrico no es nulo; por lo que, ahora, no es un campo conservativo.

2. 2.2.3 No existencia de monopolos magnéticos Aunque el campo magnético sea variable en el tiempo, la no existencia de monopolos magnéticos implica que

 ∇ ⋅ B =0

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( 5)

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Ecuaciones de Maxwell 2. 2.2.4 Principio de conservación de la carga eléctrica. Ecuación de continuidad

Las observaciones experimentales concuerdan con aceptar la idea de que la carga eléctrica neta no se crea ni destruye. Si la carga eléctrica neta en una región del espacio varía, es debido a un flujo de cargas desde o hacia esa región, es decir, es debido a una corriente eléctrica. Obsérvese que en los procesos de creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula, dado que una partícula y su antipartícula tienen cargas opuestas, la carga neta se conserva. Estos procesos no serán considerados en lo que sigue. Resulta útil expresar en forma de ecuación diferencial el principio de conservación de la carga eléctrica. La ecuación resultante se conoce como ecuación de continuidad. Considérese una región fija en el espacio

∫

de volumen V . La carga contenida será: q = ρ dV . V

Supongamos que de esa región salen cargas generando una corriente eléctrica. Podemos escribir que

= I

∫

  J ⋅ d s , donde se considera la normal exterior a la superficie cerrada. Como esa corriente mide la dis-

S (V )

minución en el tiempo de la carga contenida en la región, resulta:

I=−

dq dt

⇒

  d J ⋅ d s = − ∫ ρ dV  ∫ dt V S (V )

⇒

 ∂ρ ∇ ⋅ ∫V J dV = −V∫ ∂t dV

La última expresión, donde se tuvo en cuenta el teorema de la divergencia y que la región considerada está fija en el espacio, implica que: men, resulta que:

  ∂ ρ  ∫  ∇ ⋅ J + ∂t  dV = 0 . Como la integral debe ser nula para todo voluV  ∂ ρ ∇⋅ J + =0 (9) ∂t

La anterior es la ecuación de continuidad, y expresa el principio de conservación de la carga eléctrica.

2.2.5 Ley de Ampere – Maxwell. Corriente de desplazamiento

James Clerk Maxwell (1831-1879) observó que la ley de Ampere, válida para el caso estático, no podía ser válida para campos variables en el tiempo.

  ∇ ∧ B = µ0 J

Por ejemplo, si se considera la expresión resulta que:

( 6)

   ∇ ⋅ ∇ ∧ B = ∇ ⋅ µ0 J = µ0∇ ⋅ J ,

(

)

(

)

y, como se puede demostrar que la divergencia del rotor de cualquier  campo es siempre nula, se obtiene que debería ser siempre ∇ ⋅ J = 0 , lo que contradice a la ecuación de continuidad ( 9 ) .

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Figura 1: James Clerk Maxwell

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Ecuaciones de Maxwell A partir de esta ecuación y del teorema de Gauss (1) , se puede escribir que

 ∂ ρ  ∂  ε 0∇ ⋅ E = ∇⋅ J + 0 = ∇⋅ J + ∂t ∂t

(

)

   ∂E  ⇒ 0 = ∇ ⋅ J + ε0  ∂t  

Como mostró Maxwell, la contradicción anterior se puede evitar si se generaliza la ley de Ampere en la forma

    ∂E  ∇= ∧ B µ0  J + ε 0  ∂t  

(10 )

Como las consecuencias que se deducen de la expresión anterior concuerdan con los resultados experimentales, se acepta la validez de la misma, constituyendo la expresión diferencial de la Ley de Ampere–

 ∂E Maxwell. El término ε 0 se conoce como corriente de desplazamiento. ∂t 2.2.3 Resumen: Ecuaciones de Maxwell y ecuación de continuidad.

•

Ley de Gauss:

•

No existencia de monopolos magnéticos:

•

Ley de Faraday-Lenz:

•

Ley de Ampere-Maxwell:

•

Ecuación de continuidad (conservación de la carga) :

 ρ ∇⋅E =

ε

 0 ∇ ⋅ B =0   ∂ B ∇∧E+ =0 ∂t

    ∂E  ∇= ∧ B µ0  J + ε 0  ∂t    ∂ ρ ∇⋅ J + =0 ∂t

2.3 Ecuación de ondas electromagnéticas

Cuando se consideran campos estáticos, los fenómenos eléctricos y magnéticos pueden verse como distintos y separados. Sin embargo, una primera conexión la muestra el hecho de que el campo magnético aplica fuerzas sobre partículas cargadas en movimiento. En el caso de campos variables, una conexión importante entre los fenómenos eléctricos y magnéticos la muestra la ley de Faraday-Lenz: las variaciones temporales en el campo magnético originan campos eléctricos. La ley de Ampere-Maxwell completa la conexión al mostrar que los campos eléctricos variables en el tiempo dan origen a campos magnéticos. Un campo eléctrico (magnético) variable en el tiempo estará siempre acompañado por un campo magnético (eléctrico). La electricidad y el magnetismo son fenómenos íntimamente relacionados, de forma que se puede hablar de un campo electromagnético. Una de las consecuencias importantes de la modificación de la ley de Ampere propuesta por Maxwell, es la predicción de la existencia de ondas electromagnéticas. Es decir, las ecuaciones de Maxwell predicen que, en ciertas circunstancias, las componentes del campo eléctrico y las del campo magnético verifican la ecuación de ondas. Esta predicción fue verificada experimentalmente por F. Hertz, entre otros, hacia fines del siglo XIX, y condujo al desarrollo de importantes avances tecnológicos.

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13

Ecuaciones de Maxwell

También posibilitó comprender que la luz era solamente un caso particular de onda electromagnética, incorporando la óptica al electromagnetismo. En lo que sigue veremos cómo se obtiene la ecuación de ondas para el campo eléctrico. De la misma manera, el lector podrá obtenerla para el campo magnético. Considerando una región del espacio vacío donde no estén presentes las fuentes del campo

 = ρ 0,= J 0 , las ecuaciones de Maxwell se reducen a la forma

(

)

 ∇ ⋅ E =0 ,

 ∇ ⋅ B =0 ,

  ∂ B ∇∧E+ =0 , ∂t



(

  ∂E ∇ ∧ B = µ0 ε 0 ∂t



)



(

)

Calculando el laplaciano del campo eléctrico ∇ 2 E = ∇ ∇ ⋅ E − ∇ ∧ ∇ ∧ E , en virtud de las leyes

    ∂ B ∂ de Gauss y de Faraday-Lenz resulta ∇ 2 E = −∇ ∧  − ∇ ∧B . =  ∂t  ∂t

(

 Y aplicando la ley de Ampere-Maxwell, ∇ = E 2

Entonces:

  ∂2 E ∇ E − µ0 ε 0 2 = 0. ∂t

)

   ∂ ∂ ∂E  ∂2 E ∇ ∧ B=  µ0 ε 0 =  µ0 ε 0 2 . ∂t ∂t  ∂t  ∂t

(

)

2

La anterior es una ecuación de ondas, donde la velocidad de propagación es c =

1

µ0 ε 0

.

  1 ∂ 2 E La expresión ∇ E − 2 = 0 implica que la componente cartesiana Ex verifica la ecuación, c ∂t 2 2

∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex 1 ∂ 2 Ex 0, + + − = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z 2 c 2 ∂t 2 al igual que lo hacen las componentes E y y Ez .

2.4 Ejercicio





1. Considere una muestra de metal de conductividad σ , tal que J = σ E (Ley de Ohm), que inicial-



( )

mente tiene una densidad de carga en volumen ρ r , 0 . Usar la ecuación de continuidad y la Ley de



( )



( )

Gauss para demostrar que la densidad volumétrica se atenúa en la forma ρ r , t = ρ r , 0 e − t τ , siendo el tiempo de relajación τ = ε 0 σ . Calcular el tiempo de relajación del cobre.

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3. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 3.1 Onda electromagnética plana armónica simple

En el apunte sobre las Ecuaciones de Maxwell se demostró que los campos eléctrico y magnético en el vacío verifican las ecuaciones:

      ∂ B ∂E ∇ ⋅ E =0 ∇ ⋅ B =0 , ∇ ∧ E + . = 0 , ∇ ∧ B = µ0 ε 0 ∂t ∂t

También se demuestra que estas ecuaciones implican que el campo eléctrico verifica la ecuación de

 2  1 ∂ E ondas ∇ 2 E − 2 = 0 , siendo c = c ∂t 2

1

µ0 ε 0

la velocidad de propagación. Lo mismo ocurre con el campo

magnético. Mostraremos, ahora, que las ecuaciones anteriores admiten una solución del tipo onda plana armónica simple. Para esta onda, los frentes de onda son planos paralelos; es decir que la onda se propaga en una única dirección. Podemos definir un sistema de referencia para el cual el eje z coincida con la dirección y sentido de propagación de la onda. Los ejes x e y se definen de manera que el sistema sea una terna derecha, es decir que se cumplen las

y . relaciones: x ∧ y = z , y ∧ z = x , z ∧ x =

El vector campo eléctrico puede escribirse en la forma:

 E ( z , t ) = Ex ( z − ct ) x + E y ( z − ct ) y + Ez ( z − ct ) z

Figura 1: Los frentes de onda son paralelos al plano x-y.

Que la onda sea armónica simple significa que se caracteriza por una única frecuencia angular ω y un único número de onda angular k , que verifican la relación c = ω k . Entonces, las componentes del campo eléctrico se pueden escribir en la forma:

 E= ( z, t ) Ax sen ( k z − ω t ) x + A y sen ( k z − ω t + ϕ ) y + Az sen ( k z − ω t + θ ) z Pero como la divergencia de este campo debe ser nula, resulta que:

 ∂ E ∂ E y ∂ E ∂ Ez x + + z = = k A z cos ( k z − ω t + θ ) , 0 = ∇⋅E = ∂x ∂y ∂z ∂z de donde Az = 0 , lo que equivale a que Ez = 0 . Por lo tanto, para las ondas electromagnéticas que estamos



considerando, resulta: E= ( z, t ) Ax sen ( k z − ω t ) x + A y sen ( k z − ω t + ϕ ) y , por lo que el campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación. Se trata de una onda transversal. Teniendo en cuenta que las componentes del campo eléctrico no dependen de las coordenadas x e y , resulta que:

x  ∂ ∇∧E = ∂x Ex

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y ∂ ∂y Ey

z x ∂ = 0 ∂z Ex Ez

y 0 Ey

z ∂E ∂ ∂E = − y x + x y ∂z ∂z ∂z 0

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Ondas Electromagnéticas

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 ∇ ∧ E =− A y k cos ( k z − ω t + ϕ ) x + A x k cos ( k z − ω t ) y

  ∂B = −∇ ∧ E = k  A y cos ( k z − ω t + ϕ ) x − A x cos ( k z − ω t ) y    ∂t  k k B= −  A y sen ( k z − ω t + ϕ ) x − A x sen ( k z − ω t ) y  = − E y x + E x y  ω ω

(

)

El campo magnético es también perpendicular a la

 

dirección de propagación. Verificando que E  B = 0 , se prueba que los dos campos son perpendiculares entre sí. Pero también es fácil ver que:

 k k z  B= E y z ∧ y + E x z ∧ x = ∧E.

ω

(

)

ω



Definiendo el vector de propagación k = k z , re 1   sulta: = B k∧E.

ω

Esta relación se ilustra en la Figura 2. Como el vector propagación es perpendicular al campo eléctrico, de la relación anterior obtenemos que:

 k  1  B E E. = = c ω

Figura 2

3.2 Vector de Poynting

Anteriormente se comentó que las densidades de energía para los campos estáticos son:

1  2 uE = ε 0 E 2

,

uB =

1  2 B 2 µ0

Estas expresiones pueden considerarse válidas para los campos dependientes del tiempo. Entonces, la densidad de energía asociada a la onda electromagnética en el vacío es:

1  2 1  2 u = uE + uB = ε 0 E + B 2 2 µ0  1  Para la onda electromagnética plana armónica simple: B = E ⇒ c  2 1  2 1  2 1 1  2 1 = uB = B = E µ0= ε0 E = ε0 E uE 2 2 µ0 2 µ0 c 2 µ0 2 La energía está igualmente distribuida en el campo eléctrico y el magnético. Entonces, para la onda plana armónica simple, la densidad se energía se puede escribir como:

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Ondas Electromagnéticas

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 2 = u 2= uE ε 0 E Si consideramos un elemento diferencial de volumen, dV = dx dy dz , la cantidad de energía contenida es: = dU u= dV u dx dy dz

Si la onda se propaga en la dirección del eje z , esta cantidad de energía fluye en un intervalo de tiempo dt , tal que dz = c dt , a través de una porción del frente de onda de área ds = dx dy . Anteriormente definimos la intensidad ( I ) de una onda como la potencia que fluye por unidad de área del frente de onda. Entonces, para la onda plana armónica simple nos queda que:  2 dU ds u dx dy dz dx dy dz = = u = u= c ε0 c E dt dt dt

= I



Si definimos el vector S =

1   E ∧ B , denominado vector de Poynting, para la onda electromagnética

µ0

  1   armónica simple, como= S B k ∧ E , resulta= ω



(

 

)

1    E ∧ k ∧ E . Recordando que para tres vectores cua-

µ 0ω

  

(

(

)

  

) (

)

lesquiera se verifica la relación A ∧ B ∧= C B A C − C A  B , obtenemos:

 = S

 2  1  2  c  2  c  ε c E 2 z = E z = E z µ = ε E z 0 µ 0c µ 0c 2 µ0 0 0

Vemos, entonces, que la dirección, el sentido y el módulo (intensidad) del vector de Poynting son los correspondientes al flujo de energía ocasionados con la onda. Se puede demostrar que este resultado sigue siendo válido para cualquier onda electromagnética. John Henry Poynting (1852–1914) fue alumno de James Clerk Maxwell. Desarrolló la ley conservación de energía para los campos eléctricos y magnéti-

Figura 3: J. H. Poyting.

 cos (Teorema de Poynting), encontrando la expresión del vector flujo de energía S de la onda electromagné-

( )

tica en función de los campos. Observó también que la onda electromagnética posee cantidad de movimiento y, por lo tanto, ejerce presión al incidir sobre una superficie.

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4. POLARIZACIÓN Si bien nos interesan principalmente las ondas electromagnéticas, el concepto de polarización es aplicable a ondas transversales en general. Por eso denotaremos la onda en la forma:

 Ψ ( z , t ) = Ψ x ( z , t ) x + Ψ y ( z , t ) y Consideramos una onda armónica simple que se propaga según el eje z , por lo que:

Ψ x ( z ,= t ) Ax sen ( k z − ω t ) , Ψ y= ( z, t ) Ay sen ( k z − ω t + ϕ ) 

Si consideramos un plano z = cte , el vector Ψ tendrá, en un cierto instante, un módulo y una dirección (definida, por ejemplo, mediante el ángulo α que forma con el eje x ), como se muestra en la Figura 1.

Figura 1: La dirección de propagación es saliente al plano de la figura

El concepto de polarización se relaciona con la forma en  que varían el módulo y la dirección del vector Ψ , en el plano z = cte , a medida que la onda se propaga.

4.1 Componentes incoherentes Supongamos el caso en que las componentes Ψ x y Ψ y sean incoherentes, es decir, la diferencia de fase ϕ varía rápidamente y de manera aleatoria, tomando todos los valores posibles. 4.1.1 Onda no polarizada Si las amplitudes de ambas componentes son iguales, = A A= A y , la dirección y el módulo del vecx  tor Ψ varían de manera aleatoria, de manera que, si pensamos en una representación gráfica como la de la Figura 1, el extremo del vector barrerá en el tiempo el área cuadrada definida por las relaciones Ψ x ≤ A ,

Ψ y ≤ A . En estas condiciones se dice que la onda es no polarizada. La luz natural y la proveniente de lámparas incandescentes son no polarizadas.

4.1.2 Onda parcialmente polarizada



Si las amplitudes de las dos componentes son distintas, la dirección y el módulo del vector Ψ varían de manera aleatoria, de manera que el extremo del vector barrerá en el tiempo el área rectangular definida por las relaciones Ψ x ≤ Ax , Ψ y ≤ A y . En estas condiciones se dice que la onda está parcialmente polarizada. En la reflexión, la componente paralela al plano de incidencia se refleja de manera diferente que la componente perpendicular, por lo que la luz no polariza, al reflejarse, puede adquirir una polarización parcial.

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Polarización

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4.2 Componentes coherentes Consideramos, ahora, el caso en que la diferencia de fase entre las componentes Ψ x y Ψ y se man-

tiene constante: ϕ = cte . Decimos, entonces, que las dos componentes son ondas coherentes. En estas condi-



ciones, el módulo y la dirección de vector Ψ varían en el tiempo de manera que su extremo describe una trayectoria contenida en el área delimitada por las relaciones Ψ x ≤ Ax , Ψ y ≤ A y . La forma de las distintas trayectorias posibles determina los distintos tipos de polarización. Estas formas dependen fundamentalmente del valor de la diferencia de fase. La ecuación de la trayectoria se obtiene relacionando las componentes de la onda, eliminando el tiempo:

Ψ x ( z ,= t ) Ax sen ( k z − ω t ) ,

Ψ y= ( z, t ) Ay sen ( k z − ω t + ϕ )

= Ψ y Ay {sen ( k z − ω t ) cos (ϕ ) + cos ( k z − ω t ) sen (ϕ )} Ψy Ψx = cos (ϕ ) + cos ( k z − ω t ) sen (ϕ ) Ay Ax 2

 Ψ y Ψ x  − cos (ϕ )  = cos 2 ( k z − ω t ) sen 2 (ϕ ) = 1 − sen 2 ( k z − ω t )} sen 2 (ϕ ) {  Ax  Ay  2  Ψ y Ψ x    Ψ x   2 − cos (ϕ )  =  1 −    sen (ϕ )  Ay Ax    Ax   2

 Ψy   Ay

2

  Ψx  Ψ  Ψx Ψ y 2 cos (ϕ ) = sen 2 (ϕ ) −  x  sen 2 (ϕ )  +   cos (ϕ ) − 2 Ax Ay  Ax    Ax  2

 Ψy   Ay

2

2

  Ψx  Ψx Ψ y cos (ϕ ) = sen 2 (ϕ )  +   −2 Ax Ay   Ax  2

(1)

4.2.1 Polarización lineal

cos (ϕ ) 1,= sen (ϕ ) 0 y a partir de (1) Si ambas componentes están en fase: ϕ = 2 n π , n ∈  , = Ψ resulta:  y  A  y

2

2

  Ψx  Ψ Ψ y Ay Ψx Ψ y Ψ  = 0 ⇒  y− x = 0 ⇒ = = tg (α= ) cte > 0 .  +   −2   Ψ x Ax Ax Ay Ax    Ax   Ay 2

La trayectoria es una recta de pendiente positiva que pasa por el origen.

ϕ Si las dos componentes están en contrafase: =

( 2 n + 1) π ,

n ∈  , cos (ϕ ) = −1 , sen (ϕ ) = 0 y,

a partir de la ecuación (1) resulta:

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Polarización

 Ψy   Ay

2

19 2

Ψ   Ψx  Ψy A Ψ  Ψx Ψy = − y = tg (α ) = cte < 0 . = 0 ⇒ 0 ⇒  y+ x =  +   +2  A Ψx Ax Ax  Ax Ay   Ax   y 2

La trayectoria es una recta de pendiente negativa que pasa por el origen. En estas condiciones se dice que la onda está linealmente polarizada. Si Ax = 0 o A y = 0 , la polarización es lineal según uno de los ejes coordenados.

4.2.2 Polarización elíptica con semiejes x-y. Polarización circular Si las dos componentes están en cuadratura: = ϕ

Ψ y a partir de la ecuación (1) resulta:  y  A  y

2

( 2 n + 1) π

2 , n ∈  , cos (ϕ ) = 0 , sen 2 (ϕ ) = 1

  Ψx  1.  +   = A   x  2

Si Ax ≠ Ay , la trayectoria es una elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados x − y . En el caso particular en que Ax = Ay , la polarización es circular.

4.2.3 Polarización elíptica con semiejes rotados en relación a los x-y Para otro valor de la diferencia de fase, de la ecuación (1) resulta que la trayectoria es una elipse cuyos ejes no coinciden con los ejes coordenados. Lo anterior se cumple aun en el caso particular en que Ax = Ay .

4.3 Análisis espacial En la discusión anterior se realizó un análisis temporal de la onda. Fijado un plano z = cte , se estudió la trayectoria del vector perturbación en función del tiempo. Es posible, también, realizar un análisis espacial, que consiste en ver la curva (para componentes coherentes) que une los extremos de los vectores perturbación a la largo del medio de propagación, para un instante de tiempo. A continuación mostramos gráficamente los resultados. El lector puede desarrollar las correspondientes demostraciones analíticas, que poseen el mismo grado de dificultad matemática que para el análisis temporal realizado previamente.

Figura 2: Ondas linealmente polarizadas

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Polarización

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En la Figura 2 se observan ondas linealmente polarizas. A la izquierda de la figura la dirección de polarización es la del eje x. En el centro, la dirección de polarización es la del eje y. A la derecha de la figura la dirección de polarización está a 45° de las anteriores. En cada instante de tiempo los extremos de los vectores perturbación se encuentran sombre una sinusoide.

Figura 3: Polarizaciones circular y elíptica.

A la izquierda de la Figura 2 las dos componentes están en cuadratura y tienen la misma amplitud. La onda tiene polarización circular. La línea que une los vectores perturbación es una hélice circular. En el centro de la figura, las componentes están en cuadratura pero tienen distintas amplitudes. La onda posee polarización elíptica. La curva que une los extremos de los vectores perturbación es una hélice elíptica. Los ejes principales de la elipse coinciden con los ejes x e y. Las componente de la onda de la derecha de la Figura 2, no están en fase, ni en contrafase ni en cuadratura. La polarización es elíptica aun cuando las componentes tengan igual amplitud. La curva que une los extremos de los vectores perturbación es una hélice elíptica. Los ejes principales de la elipse están rotados en relación con los ejes x e y.

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5. INTERFERENCIA Consideraremos la propagación de ondas en medios lineales. Por lo tanto es aplicable el principio de superposición: si dos o más ondas se propagan simultáneamente, la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones producidas por cada onda individualmente. Con el nombre de interferencia se conocen un conjunto de fenómenos físicos que se pueden explicar como debidos a la superposición de un conjunto numerable de ondas. Más adelante, se tratará el tema de la difracción, que se relaciona con la superposición de un conjunto no numerable de ondas. Una magnitud importante al tratar la interferencia es la intensidad de la onda. Consideremos una porción de un frente de onda de área S . La propagación de la onda implica la transmisión de una cantidad de energía E , en un intervalo de tiempo ∆t , a través de la porción del frente. La intensidad de la onda ( I ) se define como la densidad superficial de potencia transmitida: I =

E ∆t . En el sistema internacional, la unidad S

de intensidad es [ I ] = W m 2 . Para ondas armónicas simples es posible demostrar que la intensidad es directamente proporcional al cuadrado de su amplitud: I ∝ A2 .

Consideraremos la superposición de ondas cuya perturbación se puede describir con una magnitud escalar, como la presión en el caso del sonido o una componente cartesiana del campo eléctrico como en el caso de las ondas electromagnéticas linealmente polarizadas.

5.1 Ondas de igual frecuencia, amplitud y sentido de propagación. Coherencia. Consideremos dos ondas armónicas simples, que se diferencian solamente en el valor de su fase inicial, propagándose simultáneamente por el mismo medio. La Figura 1 muestra las perturbaciones a lo largo del medio, en un instante de tiempo, que provocan cada onda por separado.

Figura 1: Análisis espacial de dos ondas armónicas que solamente se diferencian en la fase inicial.

Las funciones correspondientes a cada onda pueden escribirse en la forma:

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Interferencia

ψ 1 (= x, t ) A sen ( k x − ω t + ϕ1 )

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ψ 2 (= x, t ) A sen ( k x − ω t + ϕ2 )

La onda resultante será: ψ ( x= , t ) ψ 1 ( x, t ) +ψ 2 ( x= , t ) A sen ( k x − ω t + ϕ1 ) + A sen ( k x − ω t + ϕ 2 )

ψ= ( x, t ) A{sen ( k x − ω t + ϕ1 ) + sen ( k x − ω t + ϕ2 )} definiendo ϕ =

ϕ1 + ϕ 2 2

, ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 y usando una conocida identidad trigonométrica, resulta:

 ∆ϕ  = ψ ( x, t ) 2 A cos   sen ( k x − ω t + ϕ )  2 

Suponiendo que las ondas ψ 1 y ψ 2 son coherentes, es decir que la diferencia de fase entre ellas se mantiene constante, ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = cte , resulta que: •

La onda resultante es también armónica simple, con la misma longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación que las ondas constituyentes y una amplitud que depende de la diferencia de fase en la forma:

 ∆ϕ  AR = 2 A cos    2  •

0 ≤ AR ≤ 2 A

Si = ∆ϕ 2nπ= n 0,1, 2, , se dice que las ondas están en fase y que interfieren constructivamente. En este caso resulta AR = 2 A .

•

Si ∆ϕ =

( 2n + 1) π

n = 0,1, 2, , se dice que las ondas están en contrafase y que interfieren destruc-

tivamente. En este caso resulta AR = 0 . En términos de la intensidad de las ondas vemos que: •

Si las dos ondas que se superponen son coherentes, la intensidad resultante es constante y directamente proporcional al cuadrado de la amplitud resultante. Como

 ∆ϕ  AR2 = 4 A2 cos 2   , resulta que  2 

 ∆ϕ  I R = 4 I cos 2   . Por lo tanto 0 ≤ I R ≤ 4 I . Los casos extremos corresponden a las ondas en contra 2  fase o en fase.

•

Si las ondas son incoherentes, es decir, ∆ϕ varía rápidamente de manera aleatoria el tiempo, y tomando todos los valores posibles ( −π ≤ ∆ϕ ≤ π ) , la intensidad resultante es rápidamente variable con  ∆ϕ   , y como se verifica  2 

el tiempo y lo que importan son los promedios temporales: I R = 4 I cos 2  que

1  ∆ϕ  cos 2   = , en estas condiciones se obtiene que I R = 2 I . 2  2 

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Interferencia

23

5.2 Interferencia por diferencia de camino

Consideremos dos ondas armónicas simples que se propagan en el mismo medio. Una onda es emitida por una fuente ubicada en el origen de coordenadas, tal que la función que la describe es de la forma:

y1 (= x, t ) A sen ( k x − ω t + ϕ1 )

(5.2.1)

Si en el origen de coordenadas tuviéramos una segunda fuente que emite una onda idéntica a la anterior salvo la fase inicial, la función correspondiente sería: y2 (= x, t ) A sen ( k x − ω t + ϕ2 ) . Pero si a esta fuente la desplazamos a lo largo del eje x hasta una posición x0 > 0 , la función de la onda que genera será:

y2 (= x, t ) A sen ( k ( x − x0 ) − ω t += ϕ2 ) A sen ( k x − ω t + ϕ2 − k x0 )

(5.2.2)

Si superponemos las ondas (5.2.1) y (5.2.2) como se hizo en la sección anterior, en un punto x > x0 ,

 ∆φ   , siendo  2  ∆φ =ϕ 2 − k x0 − ϕ1 =∆ϕ − k x0

obtenemos que la amplitud resultante es de la forma: AR = 2 A cos 

la diferencia de fase total, que depende de la diferencia entre las fases propias de cada onda, pero también de la diferente ubicación de las fuentes que las generan.

Figura 2: Las dos ondas son idénticas y se propagan en el sentido de las x positivas. Una se genera en x=0 y la otra en la posición xo>0.

Esta última contribución al desfasaje de las ondas en el punto de observación conviene expresarla en términos de la distancia recorrida por cada onda desde su fuente hasta el punto de observación. En el ejemplo considerado en la Figura 2, la primera onda recorre una longitud de camino l1 = x , mientras que la segunda recorre l2= x − x0 . La diferencia de camino recorrido es, entonces, ∆l =l2 − l1 =− x0 . La diferencia de fase total en el punto de observación se puede escribir en la forma: ∆φ =∆ϕ + k ∆l .

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Interferencia

24

Si la diferencia de camino es un múltiplo entero de longitudes de onda, ∆l =m λ , ( m ∈  ) , la contribución al desfasaje es k= ∆l k m= λ m 2π , es decir, un múltiplo entero de 2π. En este caso, la diferencia de fase total depende solamente del desfasaje propio de las fuentes (diferencia entre las fases iniciales).

 

Si la diferencia de camino es igual un número semientero de longitudes de onda, ∆l=  m +

( m ∈  ) , la contribución al desfasaje es:

1 1   k ∆l= k  m +  λ=  m +  2π= 2 2  

1 λ , 2

( 2m + 1) π . Entonces, si las

ondas estaban originalmente en fase, llegarán en contrafase al punto de observación.

5.3 Camino óptico En el punto anterior tuvimos en cuenta el desfasaje que se produce en el punto de observación debido a la diferente distancia geométrica que cada onda recorre, dentro del mismo medio, desde su fuente hasta el punto de observación. Pero es muy común, como cuando se trabaja con ondas electromagnéticas en el rango óptico, que las dos ondas, o al menos una de ellas, se propague por distintos medios desde la fuente hasta el punto de observación. Veremos que iguales distancias geométricas pueden producir desfasajes diferentes, dependiendo de las propiedades del medio en que esa distancia es recorrida. Cuando una onda cambia de medio de propagación, como en el caso en que la luz pasa del aire a un vidrio, se deben cumplir ciertas condiciones de contorno en la superficie de separación de los medios. Para el caso de ondas electromagnéticas, las condiciones de contorno son las condiciones que deben cumplir los campos eléctricos y magnéticos en las superficies de separación. Como estas condiciones de contorno se deben cumplir en todo instante de tiempo, la frecuencia (ν ) de la onda, y por lo tanto la frecuencia angular (ω ) , se conserva al cambiar de medio. En el rango óptico los medios dieléctricos transparentes se caracterizan por su índice de refracción ( n ) , que es igual la relación entre la velocidad de propagación de la luz en el vacío ( c ) y la velocidad de

( )

propagación en el medio v p : n = c v p . Como la velocidad de propagación en un medio es menor o igual

(

)

que en el vacío v p ≤ c , resulta n ≥ 1 . La igualdad vale para el vacío y aproximadamente para el aire. Para una onda electromagnética que en el vacío

( n = 1)

tiene longitud de onda λ0 , resulta

k0 = 2π λ0 y ν = c λ0 . Al pasar a un medio de índice de refracción n > 1 , como varía la velocidad de propagación, debe cambiar la longitud de onda para que la frecuencia se mantenga la frecuencia: ν = v p λ . Por lo tanto, la longitud de onda en el medio será: λ = λ0 n . Consideremos ahora dos ondas que están originalmente en fase y que en el vacío tienen la misma longitud de onda λ0 . Supongamos que la primera recorre hasta el punto de observación una distancia l1 dentro de un medio de índice n1 mientras que, la segunda, recorre una distancia l2 dentro de un medio de índice n2 . La fase de la primera onda aumentó en la cantidad k1 l1 y la de la segunda aumentó en k2 l2 . Por lo tanto la diferencia de fase es:

∆φ= k2 l2 − k1 l= 1

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2π

λ2

l2 −

2π

λ1

l= 1

2π

λ0

n2l2 −

2π

λ0

n1l= 1

2π

λ0

( n2l2 − n1l1 =)

k0 ( n2l2 − n1l1 )

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Interferencia

25

Si llamamos camino óptico correspondiente a cada onda a los términos L1 = n1 l1 y L2 = n2 l2 , entonces la diferencia de fase es igual al número de onda en el vacío por la diferencia de camino óptico:

∆φ = k0 ∆L = k0 ( L2 − L1 ) Si una onda recorre varios medios desde la fuente hasta el punto de observación, el camino óptico se define como: L = ni li , donde li son las longitudes recorridas en cada medio y ni los correspondientes

∑ i

índices de refracción. Si las ondas se generan en las fuentes con una diferencia de fase inicial ∆ϕ , la diferencia de fase total al llegar al punto de observación es:

∆φ =∆ϕ + k0 ∆L

donde se supone que las dos ondas tienen la misma longitud de onda λ0 en el vacío.

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6. INTERFERÓMETROS

6.1 Experiencia de Young: Sistema de doble ranura. Consideramos una pantalla opaca donde se practican dos ranuras paralelas, muy largas y de ancho despreciable, separadas una distancia d , como muestra la Figura 1. Las ranuras se iluminan desde la izquierda con luz monocromática de longitud de onda  . Analizaremos el patrón de interferencia de campo lejano o de Fraunhofer. Esto consiste en suponer que las ranuras se iluminan con ondas planas y que se estudia la interferencia que producen los rayos que emergen de ellas paralelos entre sí. Esta interferencia se produce, entonces, en el infinito, es decir, muy lejos de las ranuras.

Si las ranuras se iluminan con ondas planas que inciden normalmente (los frentes de onda son paralelos al plano de las ranuras), un mismo frente de onda ilumina simultáneamente ambas ranuras y estas actuarán como fuentes con la misma fase inicial: 1  2    2  1  0 . Pero si las ranuras se iluminan con frentes de ondas planos que inciden formando un ángulo  0 , como los indicados en la Figura 2 mediante líneas punteadas, las ranuras, en un mismo instante, son iluminadas por frentes diferentes y actuarán como fuentes con un desfasaje inicial  , equivalente a una diferencia de camino óptico igual a l  d sen 0  , donde suponemos que las ondas se propagan en aire o vacío. Entonces:   k d sen 0  , siendo k  2  .

A partir de las ranuras, los rayos 1 y 2, mostrados en la Figura 1, sufrirán un desfasaje adicional equivalente a una diferencia de camino óptico igual a l  d sen   , es decir,   k d sen   . En el punto de interferencia, la diferencia de camino óptico total entre los rayos será:

L  d sen 0   d sen   que equivale a una diferencia de fase total:

  k d sen 0   k d sen    k d sen 0   sen   Por supuesto, no es práctico poner una pantalla “en el infinito” para observar el patrón de interferencia resultante. Una de las razones es que las ondas emitidas por las ranuras son cilíndricas y, por la tanto, su intensidad disminuye al aumentar el tamaño del frente de onda. Una forma práctica de observar esta interferencia consiste en ubicar una lente convergente, próxima a las ranuras, como se indica en la Figura 3. El patrón de interferencia podrá observarse en una pantalla ubicada en el plano focal de la lente, lugar donde convergen los rayos que llegan paralelos entre sí.

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27

Veremos, sin embargo, que poniendo una pantalla suficientemente lejos de las ranuras, como se indica en la Figura 4, el patrón de interferencia que se observa será aproximadamente igual al que producen los rayos que salen paralelos. La pantalla se ubica a una distancia D tal que D d . Para describir el patrón de interferencia definimos un eje y que permita ubicar los distintos puntos de la pantalla. El origen de este eje se elige enfrentado al punto medio entre las ranuras. Como ya se comentó, los rayos 1 y 2 podrán tener una diferencia de fase inicial   2  1 . Nos interesa calcular el desfasaje adicional que se produce desde las ranuras hasta el punto de observación. Las longitudes recorridas por los rayos 1 y 2 son:

l1  D 2   y  d 2 

l2  D 2   y  d 2 

2

2

Los rayos forman ángulos con la horizontal que serán tanto más próximos al ángulo  conforme la distancia D sea más grande. Se verifica que sen    y l0 , siendo l0  No es difícil ver que:

l1  l02  y d   d 2 

l1  l0 1  y d l02   d 2l0 

de donde:

2

D2  y 2 .

l2  l02  y d   d 2 

2

l2  l0 1  y d l02   d 2l0 

2

2

Como consideramos el caso l0  D

d , y si además estudiamos el patrón de interferencia en las cery , las expresiones para las longitudes l1 y l2 se pueden canías del punto y  0 , es decir cuando l0  D 1 12 1  x , cuando x 1 . Resulta: aproximar recordando el desarrollo en serie de Taylor: 1  x  2 l1

 1 y d 1  d 2  l0 1      2 2  2l0    2 l0 

l2

 1 y d 1  d 2  l0 1      2 2  2l0    2 l0 

yd  d sen   , que es lo que en definitiva queríamos demostrar. l0 y , lo que equivale a decir que  Mientras nos restrinjamos a puntos de la pantalla para los cuales, l0  D y es pequeño  1rad  vale que l0 D y, por lo tanto, sen   tg    . D Por lo tanto: l  l2  l1

Si las ranuras trabajan como fuentes con un desfasaje inicial  , la diferencia de fase en el punto de observación es 

  k d sen   . Este desfasaje se puede expresar en términos de una diferencia de

camino óptico equivalente: L   k

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 k  d sen   

   d sen   . 2

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28

La condición de interferencia constructiva   2m  , m , equivale a la condición L  m  . De la misma manera, para la interferencia destructiva,    2m  1  , m , es equivalente a

1   L   m      2m  1 . 2 2  Los puntos de la pantalla en los cuales se producirá interferencia constructiva (iluminación máxima) cumplen la condición

   d sen  m   m  2

     sen  m    m   2  d 

La ubicación de cada máximo de interferencia queda determinada por el índice entero m que fija el valor del desfasaje correspondiente a ese máximo, indicando a qué múltiplo de la longitud de onda corresponde. El valor del índice m suele denominarse orden de interferencia. Si nos restringimos a la zona 

1 rad , vale la aproximación sen m   tg m   ym D . Enton-

ces, las posiciones de los máximos de interferencia medidos sobre la pantalla son, aproximadamente:

    ymax  m    m   D 2  d 

m

,

Dentro de esta aproximación, resulta sencillo verificar que la distancia en la pantalla entre dos órdenes de interferencia consecutivos es:

ymax  m  1  ymax  m  

 d

D

En los puntos de la pantalla en que la diferencia de camino óptico sea un múltiplo impar de media longitud de onda, la interferencia es destructiva y la iluminación será mínima. Resulta sencillo verificar que

 

los mínimos se ubican en las posiciones angulares: sen  m    m 

1      , m . 2 2  d

En la aproximación de ángulos pequeños se obtiene:

1     ymin  m    m    D 2 2  d 

,

m

Dentro de esta aproximación, distancia en la pantalla entre dos mínimos consecutivos es la misma que entre dos máximos consecutivos:

ymax  m  1  ymax  m  

 d

D

6.2 Lámina de caras paralelas Recordaremos primero las leyes de reflexión y refracción. Si un rayo que se propaga en un medio de índice de refracción n , incide sobre la superficie de separación (dioptra) con otro medio de índice n , se genera un rayo reflejado y otro transmitido o refractado siendo válidas las propiedades que se enumeran a continuación:

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29



Definiendo la recta normal a la dioptra en el punto de incidencia, los tres rayos y la normal pertenecen a un mismo plano, llamado plano de incidencia.



Definiendo a partir de la recta normal el ángulo de incidencia i y el ángulo de reflexión  , como se indica en la Figura 5, resulta   i .



Definiendo a partir de la recta normal el ángulo de refracción r , como se indica en la Figura 5, resulta la llamada ley de Snell: n sen  i   n sen  r  .



Si n  n , la onda reflejada sufre un salto de fase igual a  , en relación a la onda incidente, que equivale a un camino óptico igual a  2 . 

Todas estas propiedades son consecuencia de las condiciones de contorno que deben verificar los campos eléctricos y magnéticos en las dioptras.

Consideremos una lámina de caras paralelas de espesor e , índice de refracción n  1 , totalmente rodeada de aire  n  1 , como se muestra en la Figura 6. Un rayo incide en el punto o y se refleja formando el rayo 1. Por otro lado se transmite a la lámina un rayo refractado que incide en el punto p donde, además de transmitirse fuera de la lámina (rayo no dibujado), se refleja hasta incidir en el punto q, donde genera al rayo 2. Se deja a cargo del lector verificar que los rayos 1 y 2 son paralelos. El proceso de reflexiones y refracciones continúa, de manera que los rayos 1 y 2 son solamente los primeros de un conjunto infinito de rayos reflejados que se forma. Sin embargo, las divisiones de cada rayo al reflejarse y transmitirse, hacen que el rayo 2 sea de menor intensidad que el rayo 1, el rayo 3 de menor intensidad que el 2, y así sucesivamente. Por lo tanto, en primera aproximación, la interferencia que se produce puede estudiarse en base a los dos primeros rayos. A partir de los puntos s y q ambos rayos recorren la misma distancia hasta el infinito. El camino óptico del rayo 1 desde o hasta s es: l1  d   2 , teniendo en cuenta el salto de fase en la reflexión a través de un camino óptico equivalente. El camino óptico del rayo 2 en el trayecto opq es: l 2  2 n h . Como se verifican las relaciones:

sen  i   n sen  r  ,

e  h cos  r  , D  2 h sen  r  ,

d  D sen  i  ,

Resulta:

h

e e   cos  r  1  sen 2  r 

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e  sen  i   1    n 

2

h

ne n  sen 2  i  2

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l2 

2 n2e

d  2 h sen  r  sen  i   2 h

n 2  sen 2  i 

d 2

30

sen 2  i  2e sen 2  i   n n 2  sen 2  i  n 2  sen 2  i  ne

Entonces:

l  l 2  l 1 

2 n2e n  sen  i  2

2

sen 2  i  n



2 e sen 2  i  n  sen  i  2

l  2 e

2



 2

n2  sen 2  i  

2 e  n 2  sen 2  i  

l 

,

n  sen  i  2

2



 2

 2

2 2 Para obtener interferencia constructiva debe ser: l  2 e n  sen  i  

 2

 m  , donde, en principio,

1   m   2 m . De la expresión anterior resulta que: e   . Como el espesor debe ser positivo, los 2 2 n  sen 2  i  valores de índice m quedan restringidos a m  0 . Vemos que dada una cierta longitud de onda, para que sea posible la interferencia constructiva por reflexión, la lámina debe tener un espesor mínimo: eMIN 



4 n  sen  i  2

2





4 n cos  r 

.

No es difícil demostrar que cuando hay interferencia constructiva por reflexión, hay interferencia destructiva por transmisión. Para incidencia normal i  0 , y resulta l  2 ne   2 . En este caso, si el espesor de la lámina tiende a cero, resulta l    2 , es decir, habrá interferencia destructiva por reflexión.

6.3 Cuñas Una cuña es una lámina de caras no paralelas, como muestra la Figura 7. Consideramos el caso en que  1 , y el sistema de referencia mostrado en la figura. Suponemos también que la cuña es de un material de índice n y que está rodeada de aire. Entonces, si se ilumina perpendicularmente a una cara, de manera que el ángulo de incidencia respecto de la otra sea  1 , podemos aplicar en primera aproximación el resultado obtenido para la lámina de caras paralelas cuando hay incidencia normal: l  2 ne   2 .

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31

Pero ahora hay que tener en cuenta que el espesor depende de la posición de incidencia, la que se puede especificar mediante la coordenada x : e  x  x  tg   .

e x  tg   sen    x l  2 ne  x    2 en radianes. Por lo tanto: Dado que 

1:

 e  x   x , donde el ángulo debe expresarse

l



2 n x   2

Las posiciones donde se observa interferencia constructiva serán, aproximadamente:

l  2 n xmax  m    2  m  xmax  m  

m    m  1 2  2 n



xmax  m  

 m  1 2  2 n

m  

Con el sistema de referencia elegido es x  0 ; los valores del índice m deberán ser m  0 .

6.4 Anillos de Newton Otro sistema que permite observar fenómenos de interferencia, y que fuera estudiado por Newton, consiste en una lente plano-convexa de radio de curvatura R , apoyada sobre una lámina de vidrio, como se muestra en la Figura 8. Suponemos que la lente y la lámina son del mismo tipo de vidrio de índice n  1 . En el espacio intermedio puede haber vacío o un fluido de índice n  n . Consideramos que el sistema se ilumina desde arriba con ondas planas monocromáticas cuyos frentes son perpendiculares al eje óptico de la lente (paralelos a la lámina). El espacio intermedio se comporta como una cuña cuyo espesor, e , depende de la distancia r entre en punto de incidencia y el eje de la lente. Como R 2   R  e   r 2 , resulta 2R e  e2  r 2 . En el caso 2

e r R , podemos realizar la 2R e  e  r 2 r 2 , de donde e  r  r 2 2R .

en

que

aproximación

2

Podemos usar, en primera aproximación, el resultado obtenido para láminas de caras paralelas, teniendo en cuenta que el salto de fase en la reflexión se produce, ahora en la cara inferior: l  2 ne  r    2 . La simetría se revolución hace que las franjas de interferencia tomen forma de anillos. Para la interferencia constructiva l  m   m   , de donde resulta que

2n

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r2   2  m . 2R

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32

 

Entonces, los radios de los anillos brillantes son: rmax  m    m 

1R , donde los valores del índice  2 n

deberán ser m  1 . Cada anillo se identifica con un valor de la diferencia de fase o, de manera equivalente, con un valor de la diferencia de camino óptico. Es decir, cada anillo está identificado con un valor del orden de interferencia m. Si la lente se eleva sobre la lámina una distancia

d , como indica la Figura 10, el nuevo espesor es: e  r  d  r 2 2R , de donde los anillos tendrán nuevos radios:

 1   rmax  m    m    d  2 R 2  2n   menores que los anteriores. El anillo brillante de menor radio observable corresponderá al primer valor entero de m para el cual el radicando es positivo. Los anillos que se correspondían con valores inferiores del índice m , habrán colapsado dentro la zona central.

6.5 Cálculo de la intensidad relativa en el experimento de Young. Terminamos este tema haciendo un estudio algo más detallado de la intensidad de la iluminación en el patrón de interferencia en la experiencia de Young. Nos referimos nuevamente a la Figura 4. Como las ondas emitidas por las ranura son cilíndricas, perderán intensidad y, por tanto, amplitud, al propagarse. Como las distancias recorridas por cada onda hasta la pantalla son, en general, distintas, en el punto de observación tendrán un desfasaje y una pequeña diferencia en sus amplitudes las que, además, dependen del punto de observación en la pantalla. En el caso en que la amplitud de cada onda al llegar a cualquier punto de la pantalla puede considerarse igual a A , la amplitud resultante en el punto de observación será:

AR  2 A cos   2 

La amplitud resultante al cuadrado es:

cuyo valor máximo es:

AR  4 A2 cos 2   2  2

AR

2 max

 4 A2

Ya se comentó que la intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud. Para independizarse de la amplitud de las ondas emitidas por las ranuras, se define la intensidad relativa en un punto de la pantalla observación como la intensidad en ese punto dividida la intensidad máxima. Resulta:

I R  I I max  A2 A2max  cos2   2

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Figura 11: Intensidad relativa. Observar que  2  d sen  

33

.

En esta aproximación, todas las franjas están igualmente iluminadas. El ancho de las franjas brillantes suele definirse usando el criterio de altura mitad, es decir, el ancho de las franjas brillantes está dado por el tamaño de los intervalos en que se cumple I R  1 2 . No es difícil verificar que resulta igual a la mitad de la distancia entre dos máximos consecutivos:  D 2d . Dos franjas brillantes consecutivas está separadas por una franja oscura o interfranja, cuyo ancho queda definido por la condición I R  1 2 , resultando que el ancho de las interfranjas es igual al ancho de las franjas:  D 2d .

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7. DIFRACCIÓN 7.1 Difracción por una rendija Hasta hora, al tratar la experiencia de Young no hemos tenido en cuenta el ancho de las ranuras. Estudiaremos primero el caso en que hay una única ranura de ancho a , como se muestra en la Figura 1, y luego veremos cómo influye el resultado en la experiencia de Young. Cuando se desprecia el ancho de la ranura, esta se supone como una fuente filamentaria que emite “un rayo” en cada dirección. Cuando se considera el ancho de la ranura, tenemos para cada dirección “un rayo” proveniente de cada punto a lo ancho de la ranura. Consideramos la difracción de campo lejano o de Fraunhofer. La ranura se ilumina mediante ondas planas monocromáticas que supondremos inciden normalmente, por lo que los puntos de la ranura se comportarán como fuentes de la misma intensidad y fase inicial, la que se considera nula. Analizaremos el patrón de difracción que produce la ranura en el infinito, donde en cada punto interfieren los infinitos rayos que desde la ranura salieron formando un mismo ángulo. Figura 1: Sistema de una ranura rectangular infinitamente larga.

El cálculo lo haremos pensando que ponemos una pantalla a una distancia D , suficientemente grande, de la ranura. En la Figura 1 se definieron dos ejes paralelos. El eje z sirve para ubicar los distintos puntos a lo ancho de la ranura. El eje y se emplea para ubicar los distintos puntos en la pantalla de observación. Los orígenes de ambos ejes están enfrentados a la altura del punto medio de la ranura. Consideremos una porción de la ranura ubicada en la posición z y de ancho dz . La onda que emerge de esta porción de tamaño diferencial provoca en la posición de la pantalla una perturbación:

A  dz = d Ψ  A  sen ( k= l ( z) − ω t ) sen ( k l ( z ) − ω t ) d z a  a  cuya amplitud se considera independiente de las posiciones z e y , pero directamente proporcional al ancho relativo de la porción: d z a . Haciendo un análisis similar al visto para la experiencia de Young, se demuestra

l ( z ) ≅ l 0 − z sen (θ )

que si D  z resulta: Por lo tanto:

dΨ =

A sen ( k l 0 − k z sen (θ ) − ω t ) d z a a

Integrando para todas las porciones de la ranura: = Ψ

2

∫

−a

A sen ( k l 0 − k z sen (θ ) − ω t ) d z a

2

A cos ( k l 0 − k z sen (θ ) − ω t ) Ψ= a k sen (θ )

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a

2

, −a

2

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Difracción por una rendija

Ψ=

35

A cos ( k l 0 − k a sen (θ ) 2 − ω t ) − cos ( k l 0 + k a sen (θ ) 2 − ω t ) a k sen (θ )

Ψ=

A cos ( γ − β ) − cos ( γ + β ) 2 β

donde se ha definido: β = k a sen (θ ) 2 y = γ k l 0 − ω t . Observar que β es igual a la diferencia de fase, en el infinito, entre dos rayos emitidos con un ángulo θ , uno proveniente del centro de la ranura y el otro de uno de los extremos. Usando conocidas identidades trigonométricas se verifica que: cos ( γ − β ) − cos ( γ + β ) = 2sen ( β ) sen ( γ ) Entonces: Ψ A =

sen ( β )

β

sen ( k l 0 − ω t ) , por lo que la amplitud resultante es: AR = A

sen ( β )

β

La función sen ( β ) β se representa gráficamente en la Figura 2. Se demuestra que tienen un máximo principal de valor unidad cuando β = 0 , ya que se cumple que: lim

sen ( β )

β →0

β

= 1 . La amplitud resultante máxima

es, entonces: Amax = A . Por lo tanto, la intensidad relativa en la pantalla es:

I A2  sen ( β )  IR = = =   . 2 I max Amax  β  2

En la Figura 3 se representan gráficamente la función

( sen ( β ) β )

2

. Al igual que la función

sen ( β ) β , sus raíces se localizan cuando sen ( β ) = 0 y β ≠ 0 , por lo que resulta: β = mπ , m ∈  , de donde:

k a sen (θ ) π a sen (θ ) = mπ ⇒ = mπ . λ 2

Por lo tanto, los ceros se dan en las posiciones angulares que verifican:

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a sen (θ ) = mλ , m ∈  .

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Difracción por una rendija

(

Los máximos secundarios de la función sen ( β ) β

)

2

se originan en

36 Máximos secundarios

β π

los máximos secundarios y en los mínimos de la función sen ( β ) β .

1,4303… 2,4590… 3,4707…

d  sen ( β )  =   0 ⇒ tan ( β ) = β . dβ  β 

Estos se verifican cuando:

Esta es una ecuación trascendente, que se debe resolver numéricamente, obteniéndose para los tres primeros máximos secundarios los valores indicados en la tabla. Según la óptica geométrica, donde la luz se puede asimilar a un flujo de partículas, la imagen de la ranura en la pantalla debería ser una franja iluminada del mismo ancho que la ranura. La naturaleza ondulatoria de la radiación genera en la pantalla una franja central de máxima intensidad, con una sucesión de franjas laterales de intensidad decreciente. Definiendo el ancho de la franja central, ∆yc , como la distancia entre los

λD

dos ceros aledaños, y aproximando sen (θ ) ≅ y D , es fácil ver que resulta ∆yc = 2

a

.

Es decir el ancho de la campana principal de difracción es inversamente proporcional al ancho de la ranura.

7.2 Experiencia de Young teniendo en cuenta la difracción Sin tener en cuenta el ancho de las ranuras, definiendo α = k d sen (θ ) 2 , que puede interpretarse como la mitad del desfasaje en el infinito entre dos rayos provenientes (de los centros) de las ranuras, la intenInt 2 sidad resultante en la pantalla está dada por el término de interferencia: I Rel = cos (α ) . Si tuviéramos solamente una ranura, definiendo β = k a sen (θ ) 2 , la intensidad resultante en la panDif talla estaría dada por el término de difracción: I Rel = ( sen ( β ) β ) . 2

Puede demostrarse (la demostración es sencilla pero la omitimos) que cuando se tienen las dos ranuras y se toma en cuenta su ancho, la intensidad resultante está dada por el término de interferencia, modulado por el término de difracción, es decir:

 sen ( β )  2 =  cos (α ) β   2

I Rel

Figura 5: Sistema de doble ranura.

En la Figura 6 se grafican por separado los términos de interferencia y difracción, en función del d 2= a 4λ . sen (θ ) , para el caso: a = 2 λ , =

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Difracción por una rendija

37

Figura 6: Términos de interferencia y difracción (punteado) graficados por separado.

La intensidad resultante en la pantalla está dada por el producto de las funciones anteriores, que se representa en la Figura 7, donde nuevamente se grafica el término de difracción, para mostrar que actúa como envolvente o función moduladora de la intensidad de las franjas.

Figura 7: La intensidad de las franjas en el sistema de dos ranuras está modulada por la difracción.

Los máximos de interferencia fácilmente observables son los que se ubican dentro de la campana principal de difracción. Los máximos que se ubiquen en la primera campana secundaria son de intensidad mucho menor. Obsérvese que para el caso representado es d a = 2 . Entonces, los máximos de interferencia correspondientes a los órdenes m = ±2 se ubicarían en las posiciones en las que caen los ceros de la campana principal de difracción; la intensidad resultante es nula y se dice que el orden está omitido. Es sencillo comprobar que resultarán omitidos, también, todos los órdenes que sean múltiplos del primero que resultare omitido.

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8. RED DE DIFRACCIÓN 8.1 Sistema de N fuentes Consideramos un sistema de fuentes rectilíneas filamentarias, alineadas y equiespaciadas entre sí una distancia d , que emiten ondas de la misma frecuencia, intensidad y fase inicial, la que podemos considerar nula. Un ejemplo de un sistema como el anterior es una pantalla opaca donde se practican un conjunto de ranuras y se ilumina mediante ondas planas que inciden perpendicularmente al plano de las ranuras. Queremos estudiar la interferencia que producen en el infinito los rayos que salen de las fuentes siguiendo caminos paralelos. 8.1.1 Amplitud resultante

El desfasaje al llegar al punto de observación entre dos rayos será sólo consecuencia de la diferencia de camino óptico entre ellos. Las diferencias de camino óptico con respecto al primer rayo son:

r1 − r1 = 0

r2 − r1 ≅ d sen (θ ) r3 − r1 ≅ 2 d sen (θ ) rn − r1 ≅ ( n − 1) d sen (θ ) Considerando que todas las ondas llegan al punto de observación con la misma amplitud A , la perturbación resultante en el punto de observación se puede escribir en la forma:

= Ψ

N

∑ A sen ( k r n =1

n

−ω t)

N

= Ψ A ∑ sen  k ( r1 + ( n − 1) d sen (θ ) ) − ω t  n =1

Figura 1: Sistema de N fuentes alineadas. Los rayos que salen paralelos interfieren en el infinito.

∆ϕ 2 = k d sen (θ ) 2 a la mitad de la diferencia de fase al llegar al punto de obSi llamamos α = servación entre los rayos provenientes de dos fuentes consecutivas, es posible demostrar que la expresión

Ψ A anterior resulta igual a: = La amplitud resultante resulta:

sen ( Nα ) sen ( k r1 − ω t ) sen (α )

AR = A

sen ( Nα ) sen (α )

sen ( N α ) = N , se demuestra que la amplitud resultante alcanza como máximo α →0 sen (α )

Teniendo en cuenta que lim el valor:

( AR )max = N A .

Este valor se da cuando todas las ondas interfieren en fase y, por lo tanto, la amplitud resultante es la suma de las amplitudes de cada onda.

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Por lo tanto, la intensidad relativa del patrón de interferencia resultante es:

 sen ( Nα )  I REL A= = ( A )  N sen  (α )   2 R

2

2 R max

(8.1)

8.1.2 Máximos principales de la intensidad

Teniendo en cuenta la expresión (8.1) de la intensidad relativa, se observa que existen máximos principales ( I rel = 1) cuando:

sen ( N α ) = N sen (α )

sen ( N α ) = 0 ⇒  ⇒ α= m π , m ∈  ⊕  sen (α ) = 0

sen (θ ) 2m π , con m ∈  . Es decir, los máximos principales se localizan Esto significa = que ∆ϕ k d = en las posiciones en que los rayos provenientes de dos fuentes consecutivas y, por lo tanto todos, llegan en fase al punto de observación. La condición anterior la podemos escribir en términos de la diferencia de camino óptico entre los rayos provenientes de dos fuentes consecutivas:

2π

λ

d sen (θ ) = 2m π

d

⇒

λ

sen (θ ) = m

d sen (θ ) = m λ , m ∈  .

⇒

(8.2)

Cabe destacar que la ubicación de estos máximos principales no depende del número N de fuentes o de ranuras.

8.1.3 Ceros de la intensidad relativa

Considerando nuevamente la expresión (7.1) de la intensidad relativa, es posible demostrar que los mínimos de la función están dados sólo por los puntos donde se localizan sus ceros o raíces. Entonces:

sen ( N α ) = 0 sen ( N α ) = ⇒ Nα = 0 ⇒  n π , con n ∈  , n ≠ 0 y n ≠ múltiplo de N . sen (α )  sen (α ) ≠ 0 Es decir, los mínimos de la intensidad relativa se localizan en las posiciones angulares que verifican:

n N

n N

α= π ⇒ k d sen (θ ) = 2π ⇒ d sen (θ )

λ

=

n , N

n≠0

y n ≠ múltiplo de N .

(8.3)

Entonces, si consideramos los máximos principales de orden m y m + 1 , que se ubican, según la d d expresión (8.2), en las posiciones: sen (θ m ) = m , sen (θ m+1 = ) m +1 , λ λ se encontrarán ceros en las posiciones intermedias

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d

λ

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1 2 N −1 , m + , , m + N N N

(8.4)

m N +1 m N + 2 m N + N −1 , , , N N N

(8.5)

sen (θ ) = m+

lo que también puede escribirse en la forma

d

λ

sen (θ ) =

donde queda en claro que se respeta la condición (8.3). Por lo tanto, entre dos máximos principales consecutivos existen N − 1 ceros que, además, son mínimos de la función. La cantidad de ceros y su ubicación dependen del número N de fuentes o ranuras.

8.1.5 Máximos secundarios Lo anterior implica que en alguna posición intermedia, que no calcularemos, entre dos ceros consecutivos, se localizará otro máximo, que resulta de intensidad menor a la correspondiente a los máximos principales, por lo que se denominará máximo secundario. Entre dos máximos principales, se encontrarán siempre N − 2 máximos secundarios. Como la posición de los ceros depende de N , lo mismo sucederá con la posición de los máximos secundarios. Es posible demostrar que la intensidad de los máximos secundarios se reduce al aumentar N . En las Figuras 2 y 3 se representa gráficamente la intensidad relativa para los casos N = 4 y N = 5 , sin tener en cuenta el tamaño propio de las fuentes o ranuras, es decir, sin considerar la difracción

Figura 2: Intensidad Relativa para un sistema de 4 fuentes sin considerar la difracción.

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Figura 3: Intensidad Relativa para un sistema de 5 fuentes sin considerar la difracción.

8.1.6 Ancho de los máximos principales Otra característica importante del sistema de fuentes es el ancho espacial de cada máximo principal. El semiancho se puede definir como la diferencia entre la posición del máximo y la del cero aledaño:

d

λ Entonces:

sen (θ1 ) = m

d

,

λ

sen (θ 2 = ) m+

1 λ sen (θ 2 ) − sen (θ1 ) = Nd

1 N

Si el patrón de interferencia se recoge en una pantalla ubicada a una distancia D de las fuentes, suficientemente grande, con las aproximaciones usuales discutidas para la experiencia de Young, podemos escri-

y2 y1 1 λ −= D D Nd

bir:

⇒ = ∆y

1 λD N d

Las relaciones anteriores muestran claramente que el ancho espacial de los máximos principales se reduce conforme aumenta el número de fuentes.

8.2 Sistema de N fuentes considerando la difracción Si las fuentes tienen un ancho a , el patrón de interferencia quedará modulado por la campana de difracción. Definiendo β = k a sen (θ ) 2 , la intensidad relativa resulta:

I rel

 sen ( β )  =   β 

2

 1 sen ( Nα )     N sen (α ) 

2

(8.6)

donde el primer factor es el término de difracción y el segundo es el término de interferencia.

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En la Figura 4 se representan los términos de interferencia y de difracción para el caso N = 5 , d = 10λ , a = 5λ ( d a = 2 ) .

Figura 4: Término de interferencia (difracción) en trazo continuo (punteado).

La intensidad relativa está dada por el producto de ambas funciones, que se representa gráficamente en la Figura 5, donde nuevamente se grafica el término de difracción, que actúa como modulante.

Figura 5: Intensidad relativa. La difracción modula la interferencia.

Vemos que en el caso considerado, en la posición del orden de interferencia m = ±2 , se ubica el cero de la campana principal de difracción. Por lo tanto, ese orden queda omitido en el patrón de interferenciadifracción resultante. Lo mismo ocurre con el orden de interferencia m = ±4 (¿y con cuáles otros?). Si bien el orden de interferencia m = ±3 no está omitido por ubicarse dentro de la primera campana secundaria de difracción, su intensidad queda muy disminuida en relación a la de los órdenes m = ±1 que son los que, en este caso, quedan dentro de la campana principal de difracción.

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8.3 Red de difracción

La red de difracción es una implementación práctica de un sistema de N fuentes en el caso en que N  1 . Un parámetro importante para caracterizar a una red es la distancia d entre fuentes consecutivas, que comúnmente se denominan líneas, ya que una forma de construir redes es practicando una serie de surcos paralelos en un lámina de vidrio. Se llama constante de la red a la inversa de la distancia entre líneas consecutivas, 1 d , cantidad que mide la número de líneas por unidad de longitud. Valores típicos para una red que trabaja con radiación en el rango óptico son 300, 600, 1200 líneas por milímetro. Como N  1 , la intensidad de los máximos secundarios es despreciable, de manera que para las redes solamente interesan los máximos principales. Estos se obtienen cuando todos los rayos llegan en fase al punto de observación, lo que sucede cuando los rayos provenientes de dos líneas consecutivas llegan en fase.

Figura 6: Red de difracción como un sistema de N>>1 fuentes.

Si la red es iluminada con incidencia normal, la diferencia de camino óptico (en el infinito) entre dos rayos consecutivos es d sen (θ ) . Por lo tanto los máximos principales se obtienen cuando esta diferencia es igual a un múltiplo de la longitud de onda:

d sen (θ ) = m λ

( m∈  )

(8.7)

Esta relación es la (8.2) que vimos anteriormente y se conoce como ecuación de la red para incidencia normal. Si la red se ilumina en forma oblicua, como se muestra en la Figura 6, la diferencia de camino óptico entre dos rayos consecutivos es d sen (θ ) + d sen (θ 0 ) = d sen (θ ) + sen (θ 0 )  . Por lo tanto, los máximos principales se obtienen cuando:

d sen (θ ) + sen (θ 0 )  = mλ

( m∈  )

(8.8)

La anterior es la ecuación de la red. Como el ángulo de observación debe cumplir la condición θ < π 2 , quedarán limitados los posibles valores de m , es decir, serán limitados los órdenes de interferencia observables. (Si el ancho de las líneas no fuera suficientemente pequeño, la difracción modularía la interferencia y podrían omitirse órdenes adicionales). Otra propiedad importante de la red de difracción es que el ancho espacial de los máximos principales es muy pequeño, lo que posibilita medir su ubicación con precisión elevada, haciendo que la red sea un instrumento importante para la espectroscopia.

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