Ecuaciones de- Maney

IVAN E. ZEVALLOS M. Ingeniero Civil Lic.# 1402 Fono: 2564029 Portoviejo Manabí Ecuador

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MANEY PARA CALCULAR LOS MOMENTOS EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS (APLICACIÓN A VIGAS CONTINUAS Y PÓRTICOS DE UN PISO CON LOS EXTREMOS DE SUS COLUMNAS EMPOTRADOS) Este es un método de deformaciones, por lo que las incógnitas son deformaciones. Las deformaciones pueden ser angulares o lineales. Las deformaciones angulares serán los giros que se generan en cada nudo mientras que las lineales serán los desplazamientos horizontales o verticales de cada nudo. A las incógnitas se les conoce con el nombre de grados de libertad. Las ecuaciones de MANEY son: M = MF + k M’ = MF’ + a

+ a + k’

+ b + b’

Donde:  M = Momento final en el extremo izquierdo de la barra  M’ = Momento final en el extremo derecho de la barra  = Giro en el extremo izquierdo de la barra  ’ = Giro en el extremo derecho de la barra  = Desplazamiento relativo entre los extremos de los apoyos de la barra, perpendicular al eje de la misma  MF = Momento de empotramiento perfecto en el extremo izquierdo de la barra  MF’ = Momento de empotramiento perfecto en el extremo derecho de la barra  k = Rigidez izquierda a flexión  k’ = Rigidez derecha a flexión  a = Rigidez recíproca a flexión  b = Rigidez a la flexión desplazamiento en el extremo izquierdo de la barra  b’ = Rigidez a la flexión desplazamiento en el extremo derecho de la barra El concepto de Momentos de Empotramiento Perfecto ( MF y MF’) será estudiado a detalle en los contenidos de la asignatura Estructuras II. Existen tablas a partir de las cuales podemos determinar estos valores, dependiendo de la carga a la que está sometido el tramo de la viga continua en consideración. Por facilidad, consideraremos cada tramo de viga como doblemente empotrado. Recordar que los volados constituyen elementos isostáticos, es decir que su análisis lo realizamos directamente por estática (momentos en los volados). El concepto de Coeficientes Elásticos (k, k’, a, b, b’), será estudiado a detalle en los contenidos de la asignatura Estructuras II. Para vigas prismáticas, la rigidez a la flexión o al giro será: k = k’ = 4EI/L; la rigidez recíproca a la flexión será: a = 2EI/L = k/2; la rigidez a la flexión desplazamiento será: b = b’ = 6EI/L2 = (k+a)/L Vigas Continuas: Son vigas estáticamente indeterminadas o hiperestáticas. Uno de los problemas más comunes que se presentan es el de estructuras de varios tramos a las que se las designa como vigas continuas. Estas son estructuras abiertas es decir lineales cuyo comportamiento es típico.

IVAN E. ZEVALLOS M. Ingeniero Civil Lic.# 1402 Fono: 2564029 Portoviejo Manabí Ecuador

Pórticos hiperestáticos de un nivel: Se conforma por la viga continua y por las columnas arriba y abajo de la misma las que actúan como apoyos, columnas a las cuales empotramos en sus extremos alejados. En el caso de las vigas continuas o de pórticos de un piso con sus columnas empotradas en sus extremos, los desplazamientos lineales (horizontales y verticales) no los tenemos por la condición de los apoyos, por lo que = 0, por lo tanto, las ecuaciones de Maney quedarán como: M = MF + k M’ = MF’ + a

+ a + k’

Para el caso de cualquier estado de cargas: Observamos que al no existir deformaciones lineales, solamente existen deformaciones angulares o giros en cada nudo. La utilización de las ecuaciones de Maney permite trabajar con rigideces relativas, lo que facilita considerablemente los cálculos: 

Para el caso de vigas continuas prismáticas ( E I = cte.): la rigidez absoluta a la flexión es k = k’ = 4EI/L y la rigidez relativa a la flexión será ̅ 1/L ; la rigidez recíproca a la flexión ̅ por tanto es a = /2;

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Para el caso de pórticos de barras prismáticas (E = cte.): ̅ = I/L, donde I = momento de inercia de la sección transversal de la barra, respecto de su centro de gravedad

Con el conocimiento de que el sumatorio de momentos en cada nudo es igual a cero, establecemos el sistema de ecuaciones, una por cada nudo siempre y cuando en ese nudo exista una incógnita o giro por calcular, obteniendo un sistema de tantas ecuaciones cuantas incógnitas tengamos. El sistema de ecuaciones puede ser resuelto por cualquier método conocido, a saber:  Por igualación  Por sustitución  Por suma y resta  Por determinantes  Por Gauss  Por matrices mediante inversión y multiplicación matricial en Excel  Mediante la utilización de una calculadora que resuelva sistemas de ecuaciones La manera más rápida se logra con la utilización de una calculadora científica o mediante la aplicación matricial en una hoja de Excel, mientras que los restantes métodos manuales, resultan extremadamente largos y tediosos cuando el número de incógnitas comienza a aumentar.

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Al no disponer siempre de una calculadora programable o de una hoja de Excel, propongo un algoritmo del método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones pero dispuesto de una manera sistemática para la resolución de las vigas continuas y de pórticos de un piso con los extremos de las columnas empotradas, estructuras en las cuales se generan matrices de rigidez tridiagonales. Esta forma manual de procedimiento de resolución de sistemas de ecuaciones para este tipo de estructuras recibe el nombre de “Cadena Abierta” cuyo autor es el Ing. Alejandro Segovia (+). Procedimiento: 

1) Cálculo de las rigideces en los extremos de cada tramo de barra. Los volados no generan rigideces.

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2) Cálculo de la sumatoria de rigideces en cada nudo de la estructura.

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3) Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto en los extremos de cada tramo de barra y momentos en los volados (de existir).

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4) Sumatorio de momentos de empotramiento perfecto y momentos en volados, en cada nudo

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5) Planteamiento del sistema de ecuaciones y resolución del mismo con el que encontramos los valores de las incógnitas (giros en cada nudo). Esto lo puede lograr mediante una calculadora que resuelva sistemas de ecuaciones, mediante una hoja de Excel o manualmente mediante la aplicación de la Cadena Abierta (para calcular los giros en cada nudo).

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6) Aplicación de las Ecuaciones de Maney para calcular los momentos finales en los extremos de cada barra.

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7) Cálculo del corte isostático.

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8) Cálculo del corte hiperestático.

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9) Cálculo del corte total.

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10) Cálculo de las reacciones en cada apoyo.

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11) Elaboración del diagrama de corte.

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12) Elaboración del diagrama de momentos.