Ecuaciones de Grado Superior

 

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Las ecuaciones de grado superior superior son ecuaciones de ttercer, ercer, cuarto grado a más que sólo pueden resolverse en algunos casos con los conocimientos elementales. Supongamos que la ecuación está dada en la forma P(x) = 0. La resolución se basa en la descomposición del polinomio P(x) en factores. Esto lo haremos generalmente ulizando la regla de Runi. Hecho esto, basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes. Para que las ecuaciones de tercer grado (o grado superior) se puedan resolver a nivel elemental deben tener alguna raíz entera, que se encuentra entre los divisores del término independiente. Ejemplo: x3 + 2x2 – x−2=0 Si descomponemos el polinomio x 3 + 2x2 − x−2 en factores ulizando la regla de Runi nos queda: (x+1) (x−1) (x+2) = 0 Después igualamos cada factor a cero y despejamos la x. De ahí obtenemos todas las soluciones: x+1 = 0 → x = −1

x−1 = 0 → x = 1

x+2 = 0 → x = −2

Por lo tanto las soluciones son: x = {-1, 1, 2} CASOS ESPECIALES

Existen casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2: -

ECUACIONES BICUADRADAS: Se 4

llaman ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de la

2

forma ax  + bx  + c = 0 Es decir, las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que carecen de términos de grado impar. Las ecuaciones bicuadradas también se pueden escribir así: a(x2)2 + bx2 + c = 0 Una ecuación bicuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustuciones: X2 = z → x4 = z2 Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta: az2 + bz + c = 0 Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta úlma ecuación, las soluciones de la ecuación bicuadrada serán: x = ±√z1 → x1 = +√z1; x2 = -√z1

x = ±√z2 → x3 = +√z2; x4 = -√z2

 

Observa que si z1 y z2 son números posivos, una ecuación bicuadrada ene cuatro soluciones, que es el número máximo de soluciones posibles. Ejemplo: x4 − 13x2 + 36 = 0 Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado: z2 − 13z + 36= 0 z = 13 ± √169−144 / 2 = 13 ± √25 / 2 = 13 ± 5 / 2 = z 1=13 + 5 / 2 = 9; z2=13 − 5 / 2 = 4 x2 = 9 ⇒ x = √3 = ±3x2 = 4 ⇒ x = √4 = ±2 Las soluciones de la ecuación bicuadrada son: x = {3, −3, 2, −2} -

ECUACIONES TRICUADRADAS:  Se 6

llaman ecuaciones tricuadradas a las ecuaciones de

3

la forma ax +bx +c=0 con a > 0 Es decir, las ecuaciones tricuadradas son ecuaciones de sexto grado que carecen de términos de grado quinto, cuarto y segundo. a(x3)2 + bx3 + = 0 Una ecuación tricuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustuciones: X3 = z → x = 3√z Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta: az2 + bz + c = 0 Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta úlma ecuación, las soluciones de la ecuación tricuadrada serán: X3 = z → x = 3√z Ejemplo: 8x6 − 63x3 – 8 = 0 Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado: 8z2 − 63z – 8 = 0 z = 63 ± √3.696+256 / 16 = 63 ± √4.225 / 16 = 63 ± 65 / 16 = z 1=63 + 65 / 16 = 8; z2=63 – 65 / 16 = −18 x1 = 3√z1⇒ x1 = 3√8= 3x2 = 3√z2 ⇒ x2 = 3√−1/8 = −1/2 Las soluciones de la ecuación tricuadrada son: x = {3, −1/2}