Ecuaciones de Fresnel

Ecuaciones de Fresnel Práctica 4 Laboratorio de Óptica Facultad de Ciencias, UNAM Arturo Emmanuel Cruz Alvarez 415076777 Fecha de entrega: Jueves, 21 de abril, 2016 Resumen Esta práctica consistió en medir el ángulo de Brewster para la lucita, resultando 56±.5º. En comprobar experimentalmente la relación entre la reflejancia y transmitancia (R+T=1), de promediar todos los valores de sumandos, resulta .817, que se encuentra con un error de 18% de diferencia del valor buscado (1), concluyendo que una parte de la luz se dispersa en las impurezas de los medios que atraviesa. 1. Introducción Durante inicios del siglo XIX, Augustin Jean Fresnel estudió la naturaleza ondulatoria de la luz, aproximando de una manera sumamente buena la teoría ondulatoria al comportamiento experimental de la luz. En específico realizó un extenso estudio sobre el comportamiento lumínico entre medios de distintos índices de refracción. Las llamadas ecuaciones de Fresnel proveen de una detallada descripción de este fenómeno, tomando en cuenta que cuando una onda electromagnética incide de un medio con un índice de refracción n a un medio con un índice de refracción n’, una parte de la onda se refleja y otra se refracta, transmitiéndose a través del segundo medio. Primeramente se cumple la siguiente relación (Ley de Snell): 𝑛𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑛′𝑠𝑒𝑛𝜙 donde n y n’ son los índices de refracción de cada medio, 𝜃 es el ángulo de incidencia del medio de índice n y 𝜙 es el ángulo de la luz Ilustración 1. Se muestra cómo un haz incidente resulta en un haz reflejado y uno transmitido, donde épsilon es el ángulo de incidencia, épsilon biprima de reflexión y épsilon prima de refracción

refractada en el medio de índice n’ (Ilustración 1), y por ley de reflexión, el ángulo del reflejado también es de 𝜃. El ángulo de Brewster 𝜃! es el ángulo en el cual se encuentra una reflexión mínima o nula. Posteriormente también se cumple que la suma de la reflejancia y transmitancia es igual a uno en un sistema donde la luz no se dispersa o se pierdei: 𝑅+𝑇 =1

(0)

Tenemos, para polarización paralelaii: !!

𝑅 ! = !!!

(1)

!

𝑇! =

!!! !"#$

(2)

!!! !"!"

Donde el superíndice A indica componente paralela al plano de incidencia, subíndice r indica asociación a la onda reflejada, i indica asociación a la onda incidente y t indica asociación a la onda transmitida. R es reflejancia, T transmitancia e I es la intensidad De las ecuaciones anteriores se puede deducir: !!

! ! !"#

%$!!

𝑅 ! = !!! = !!! !"#$% = !!! !

!

(1.1)

!

y: 𝑇! =

!!! !"#$ !!! !"#$

=

!!! !"#$% !!! !"#

%$!!

= !!! !

(2.1)

(1.1) se cumple debido a que, por la ley de Ohm, la potencia activa P cumple: 𝑃 = 𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑉

(*)

donde I es la intensidad, V es el voltaje y theta es el ángulo con respecto a la normal. Como tanto el incidente como el reflejado están al mismo ángulo de la normal y la impedancia constante de los medios, se tiene que V es constante, entonces las igualdades correspondientes a (*) se cumplen.

(1.2) se cumple por lo anterior para el denominador, y para el numerador, como es con respecto a phi, la igualdad respectiva al segundo medio respeta (*) con phi en lugar de theta. Ahora, para polarización perpendicular al plano de incidencia, se tiene análogamente: !!

𝑅! = !!! !

𝑇! =

!!! !"#$ !!! !"#$

(3) (4)

Donde el superíndice E indica componente perpendicular de donde se deduce, de manera análoga al caso paralelo: !!

𝑅! = !!! !

(3.1)

y: !!

𝑇 ! = !!! !

(4.1)

2.Desarrollo (I) Para el primer experimento, consistente en medir el ángulo de Brewster, se apuntó un láser que incidiera a través de la parte plana de lucita tal que saliera perpendicular a la superficie curva, buscando el ángulo en el cual no se encontraba un haz reflejado. (II) Para montar el experimento (II) se apuntó un láser no polarizado de color verde en dirección a un semidisco de lucita (plexiglás) sobre un disco graduado a través de un polarizador lineal alineado de tal manera que polarizara el láser paralelamente al plano de incidencia. Tal que primero incidiera sobre la superficie plana y saliera perpendicular a la superficie curva, para cada cinco grados entre la normal y el canto de la superficie plana de la placa de plexiglás fue medida con un fotómetro la potencia de cada uno de los haces de luz. Primero del incidente (solamente medido una vez, asumiendo que se mantiene constante durante todo el experimento) después el reflejado y finalmente el transmitido (al salir de la placa). Después se realizó el mismo procedimiento con la diferencia que la incidencia ahora fue a través de la superficie curva de la placa, sin poder medir más allá del ángulo crítico, donde hay reflexión interna total y no hay haz transmitido.

(III) Finalmente se repite todo el paso (II) con la única diferencia que el polarizador se posiciona tal que polarice el láser ortogonalmente al plano de incidencia. 3. Análisis y resultados (I) El ángulo de Brewster resulta ser de 56±.5º (II) Polarización paralela Externa Interna Externa Interna E±15% I±11.3% Theta (º) Pi Pr Pt Pr Pt R T R T R+T R+T 0 480 --- --- --- 363 --- --- --- 0.7562 --- --- 5 --- 7.8 450 3.65 343 0.0162 0.9375 0.0076 0.7145 0.9537 0.7221 10 --- 8.52 443 4.75 355 0.0177 0.9229 0.0098 0.7395 0.9406 0.7494 15 --- 8.9 443 4.22 351 0.0185 0.9229 0.0087 0.7312 0.9414 0.7400 20 --- 8.5 430 3.41 330 0.0177 0.8958 0.0071 0.6875 0.9135 0.6946 25 --- 7.7 455 2.19 351 0.0160 0.9479 0.0045 0.7312 0.9639 0.7358 30 --- 6 417 0.89 355 0.0125 0.8687 0.0018 0.7395 0.8812 0.7414 35 --- 5.6 426 1.56 330 0.0116 0.8875 0.0032 0.6875 0.8991 0.6907 40 --- 3.33 422 9.7 259 0.0069 0.8791 0.0202 0.5395 0.8861 0.5597 45 --- 2.8 472 --- --- 0.0058 0.9833 --- --- 0.9891 --- 50 --- 1.2 405 --- --- 0.0025 0.8437 --- --- 0.8462 ---- 55 --- 0.32 422 --- --- 0.0006 0.8791 --- --- 0.8798 --- 60 --- 0.69 371 --- --- 0.0014 0.7729 --- --- 0.7743 --- 65 --- 6.46 388 --- --- 0.0134 0.8083 --- --- 0.8217 --- 70 --- 19.1 388 --- --- 0.0397 0.8083 --- --- 0.8481 --- 75 --- 48.7 351 --- --- 0.1014 0.7312 --- --- 0.8327 --- 80 --- 86.6 305 --- --- 0.1804 0.6354 --- --- 0.8158 --- 85 --- 206.1 213 --- --- 0.4293 0.4437 --- --- 0.8731 --- Promedio --- --- --- --- --- --- --- --- --- .8859 .7042 Tabla 1. Muestra los resultados obtenidos en el experimento (II), utilizando las ecuaciones (1.1) y (2.1), haciendo la suma para comprobar la relación (0) promediando, calculando el error mediante desviación estándar.

R y T con respecto al ángulo (incidencia externa) 1.2 1

I

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ángulo

Gráfico 1. Muestra, para polarización paralela, cómo cambian la Reflejancia y Transmitancia con respecto al ángulo, donde los cuadrados más claros representan la transmitancia y los más oscuros la reflejancia, se puede observar que jamás se supera el valor de 1 y se alcanza a ver que la reflejancia alcanza un mínimo cerca del ángulo de Brewster



R y T con respecto al ángulo (incidencia interna) 0.8 0.7 0.6 I

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

10

20

30

40

50

60

Ángulo Gráfico 2 Se muestran la reflejancia y la transmitancia con respecto al ángulo, donde la reflejancia es marcada por los cuadrados más oscuros y la transmitancia por los cuadrados más claros, el límite para estas medidas es el ángulo crítico (reflexión interna total)



(III) Polarización perpendicular Externa Interna Externa Interna E±20.3% I±25.1% Theta (º) Pi Pr Pt Pr Pt R T R T R+T R+T 0 501 --- 431 --- 397.4 --- 0.8602 --- 0.7932 --- --- 5 --- 13.3 427 7.2 402.7 0.0265 0.8522 0.0143 0.8037 0.8788 0.8181 10 --- 13.7 427 11.2 388.7 0.0273 0.8522 0.0223 0.7758 0.8796 0.7982 15 --- 14.1 419 13.7 415 0.0281 0.8363 0.0273 0.8283 0.8644 0.8556 20 --- 16.5 423 16.1 391 0.0329 0.8443 0.0321 0.7804 0.8772 0.8125

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

--- 20.5 427 17.7 387 0.0409 0.8522 0.0353 0.7724 0.8932 0.8077 --- 22.5 423 28.2 378 0.0449 0.8443 0.0562 0.7544 0.8892 0.8107 --- 24.6 419 46.7 350 0.0491 0.8363 0.0932 0.6986 0.8854 0.7918 --- 30.2 407 105.7 265.5 0.0602 0.8123 0.2109 0.5299 0.8726 0.7409 --- 32.2 395 --- --- 0.0642 0.7884 --- --- 0.8526 --- --- 41.9 385.5 --- --- 0.0836 0.7694 --- --- 0.853 --- --- 54.4 379.7 --- --- 0.1085 0.7578 --- --- 0.8664 --- --- 69.9 352.7 --- --- 0.1395 0.7039 --- --- 0.8435 --- --- 90.3 334.3 --- --- 0.1802 0.6672 --- --- 0.8475 --- --- 124.2 309.9 --- --- 0.2479 0.6185 --- --- 0.8664 --- --- 173.5 258.4 --- --- 0.3463 0.5157 --- --- 0.862 --- --- 242.1 203.3 --- --- 0.4832 0.4057 --- --- 0.889 --- --- 345 119 --- --- 0.6886 0.2375 --- --- 0.9261 --- --- --- --- --- --- --- --- --- .8733 .8044 Promedio --- Tabla 2. Muestra los resultados obtenidos en el experimento (III), utilizando las ecuaciones (3.1) y (4.1), haciendo la suma para comprobar la relación (0) promediando, calculando el error mediante desviación estándar.

R y T con respecto al ángulo de incidencia (externa) 0.9 0.8 0.7

I

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Ángulo Gráfico 3 Muestra la reflejancia y la transmitancia con respecto al ángulo de incidencia, para el haz polarizado ortogonal al plano de incidencia, donde los puntos más oscuros marcan la reflejancia y los más claros la transmitancia



R y T con respecto al ángulo de incidencia (interna) 0.9 0.8 0.7

I

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Ángulo Gráfico 4. Muestra la reflejancia y la transmitancia con incidencia interna y polarización ortogonal al plano de incidenci, donde la reflejancia es marcada por los puntos más oscuros y la transmitancia por los puntos más claros

Promediando todos los R+T (y los errores asociados) resulta .817 ±19%, lo cual muestra que en promedio, el valor esperado está dentro de la incertidumbre experimental. 4.Discusión El ángulo de Brewster se manifiesta en el gráfico 1, encontrando un mínimo para la reflejancia cerca de ese punto, lo cual comprueba la relación inicial lógica, si hay menor reflejancia, habrá una intensidad reflexión mínima. Posteriormente, para todos los casos, al sumar la reflejancia y transmitancia resulta un número menor a uno, esto tiene sentido ya que los medios utilizados tienen impurezas donde pueden haber “microrreflexiones” que dispersen el haz inicial y se pierda intensidad al final. Para las incidencias internas, es de notar en los gráficos asociados que al acercarse al ángulo crítico, i.e. el ángulo en el que ocurre reflexión interna total, la reflectancia crece y la transmitancia decrece, si se tuvieran medidas en el ángulo crítico se podría notar que alcanza la máxima reflejancia y mínima transmitancia en ese punto, ya que este fenómeno hace que toda la luz se refleje y no haya haz transmitido. Finalmente se puede notar en los gráficos asociados a polarización ortogonal al plano que hay cierta simetría inversa en la disminución de



transmitancia con respecto al aumento de reflejancia, donde no aparece una dependencia del ángulo de Brewster, por tanto se puede concluir que este ángulo solamente aparece en la componente de la onda paralela al plano de incidencia 5.Conclusiones Los resultados fueron cercanos a lo que se esperaba, las mediciones, sin embargo resultan ser sumamente complicadas, ya que se lidia con aparatos de resoluciones insuficientes para asegurar una exactitud mayor a la hora de realizarlas. Por ejemplo, el fotómetro oscila al medir la intensidad de los haces. También si nuestra placa de lucita fuera más homogénea habría menor pérdida de Intensidad por disipación. Referencias: i http://pendientedemigracion.ucm.es/info/aocg/python/optica/fresnel/index.html ii http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/phyopt/freseq.html