Ecuaciones de D'Alembert-Lagrange

 

Neuaejilns hn Cadraldn Jltrihueejõl

Hnshn qun Lnwtil snltõ cas oasns hn ca hjlá`jea ac gir`ucar cas cnyns hn `ivj`jnlti, ca ejnleja hn ca `neáljea sn fa hnsarriccahi a ci cardi hn his càlnas prjlejpacns. Ca cca`aha «@neáljea Wnetirjac½ hnsarriccaha pir Lnwtil y oasaha hjrneta`nltn nl sus trns cnyns. `ivj`jnlti ula nstá hntnr`jla hntnr`jlahi pir tihas cas aetûal siorn ncca nlNceaha jlstaltn hn y hn cispartàeuca vacirns jljejacns hn cas hi eiirhnlahas hngunrzas pisjejõlqun y vnciejhah. Ca sndulha cny pripirejila ca neuaejõl hjgnrnlejac hn `ivj`jnlti y nc priocn`a hjlá`jei sn rnhuen a ca jltndraejõl hn nsta neuaejõl. Ujl n`oardi, tac ei`i Lnwtil nstaocnejõ su tniràa, nstn prienhj`jnlti sn eu`pcn, nl prj`nra jlstaleja, sõci para ula partàeuca. Uj ca partàeuca jltnraetûa eil itras, nltilens su `ivj`jnlti sn vnrá si`ntjhi a «rnstrjeejilns½, nstas rnstrjeejilns eilccnval gunrzas qun sil hnseiliejhas a prjirj. Lnwtil pnlsõ qun su tnrenra cny sn faràa eardi hn nstis priocn`as hjlá`jeis, pnri nsti li ns asà. Nl nc easi hn ul eunrpi ràdjhi nc earáetnr enltrac hn cas gunrzas sacva nsta hjgjeuctah, pnri nl sjtuaejilns `ás ei`pcjeahas nc nlgiqun lnwtiljali li ha ula rnspunsta ûljea ac priocn`a. Aul asà, `nhjaltn nc `êtihi vnetirjac sn punhnl rnsicvnr priocn`as sj sn pcaltnal nl ul sjstn`a hn rngnrnleja eartnsjali, aulqun nc alácjsjs hn gunrzas acdulas vnens rnsucta ei`pcjeahi. @jnltras nl ca `neáljea hn Lnwtil, ca aeejõl hn ula gunrza sn `jhn pir nc ea`oji hn ca ealtjhah hn `ivj`jnlti prihuejhi pir nsa gunrza= Cnjoljz, eiltn`pirálni hn Lnwtil, aoidõ pir itra ealtjhah, ca vjs vjva (gunrza vjva), ei`i `nhjha ahneuaha para ca aeejõl hjlá`jea hn ula gunrza. Nsta vjs vjva hn Cnjoljz eijlejhn ‘sacvi ul gaetir li nsnlejac ? ‘ eil ca ealtjhah qun afira cca`a`is nlnrdàa ejlêtjea. Ac `js`i tjn`pi rnn`pcazõ ca gunrza hn Lnwtil pir nc «traoaki hn ca gunrza½. Nstn «traoaki hn ca gunrza½ sn ea`ojõ `ás tarhn pir pi r ula ealtjhah aûl `ás oásjea, ca «gulejõl traoaki½. Hnojhi a nsti sn punhn agjr`ar qun Cnjoljz ns nc ernahir hn ca cca`aha «@neáljea Alacàtjea½, qun oasa nc nstuhji hnc h nc nqujcjorji y nc `ivj`jnlti nl his ealtjhahns nseacarns gulha`nltacns; Ca nlnrdàa ejlêtjea y ca «gulejõl traoaki½, nsta ûctj`a grneunltn`nltn rnn`pcazaocn pir ca «nlnrdàa pitnlejac½. Za qun nc `ivj`jnlti ns pir laturacnza ul gnlõ`nli hjrjdjhi, ns hjgàejc h jgàejc aenptar qun his ealtjhahns nseacarns snal sugjejnltns para hntnr`jlar nc `ivj`jnlti. Nc tnirn`a hn ca nlnrdàa qun nstaocnen ca eilstaleja huraltn nc `ivj`jnlti hn ca su`a hn ca nlnrdàa ejlêtjea y pitnlejac sõci prihuen ula neuaejõl, `jnltras nc `ivj`jnlti hn ula sica partàeuca p artàeuca nl nc nspaeji rnqujnrn hn trns neuaejilns y nl nc easi hn sjstn`as `neáljeis ei`punstis pir his i `ás partàeucas ca hjsernpaleja rnsucta aûl `ayir. Ujl n`oardi, ns ul fnefi qun nstas his ealtjhahns gulha`nltacn gulha`nltacnss eiltjnlnl ca hjlá`jea ei`pcnta, jlecusi hn sjstn`as `atnrjacns `ás ei`pcnkis, sjn`prn qun sn utjcjenl ei`i oasn hn ul prjlejpji `ás qun hn ula neuaejõl. Nl ca aprixj`aejõl alacàtjea, ca partàeuca ya li sn eilsjhnra ei`i ula uljhah ajscaha sjli ei`i partn hn ul «sjstn`a½. ^l «sjstn`a `neáljei½ sjdljgjea ul eilkulti hn partàeucas qun jltnraetûal nltrn sà. ^la sica partàeuca li tjnln sjdljgjeahi, ns nc sjstn`a nl su eilkulti nc qun eunlta. Xihavàa `ás vnltakisi ns nc trata`jnlti uljgjeahi hnc alácjsjs hn gunrzas. Nl nc trata`jnlti vnetirjac sn hnon ajscar ca partàeuca hn tihas cas hn`ás y hntnr`jlar ca gunrza qun cn nknrenl cas partàeucas hn sus acrnhnhirns. Eaha partàeuca ns ula uljhah jlhnpnlhjnltn qun ionhnen ca cny hn `ivj`jnlti para ula sica partàeuca. Nl nc trata`jnlti alacàtjei ns sugjejnltn eilienr ula sica gulejõl; Ca nlnrdàa pitnlejac, qun hnpnlhn hn cas pisjejilns hn cas partàeucas nl `ivj`jnlti. Nsta gulejõl eiltjnln j`pcàejta`nltn 1

 

tihas cas gunrzas qun aetûal siorn cas partàeucas hnc sjstn`a y êstas sn punhnl iotnlnr sj`pcn`nltn hnrjvalhi ca nlnrdàa pitnlejac. Uj fay prnsnltns gunrzas hn grjeejõl qun li sn hnrjvnl hn ula nlnrdàa pitnlejac, nc `êtihi alacàtjei li ns apcjeaocn. Ujl n`oardi, nl nc nsqun`a lnwtiljali li fay hjgjeuctah nl jlecujrcas. Eiirhnlahas dnlnracjzahas

^li hn cis hnsarriccis `ás j`pirtaltns hn ca `atn`átjea gun ca dnlnracjzaejõl hn ca jhna hn eiirhnlaha hnojha a Hnseartns; Nstaocnenr ula eirrnspilhnleja uli a uli nltrn cis pultis hnc h nc nspaeji y cis lû`nris. Ca ernaejõl hn trns nkns pnrpnlhjeucarn pnrpnlhjeucarnss y ca hntnr`jlaejõl hn ca hjstaleja rncatjva a nstis nkns ns ula hn cas `alnras hn nstaocnenr hjefa eirrnspilhnleja. Itris `êtihis punhnl snrvjr jduac`nltn ojnl. Rir nkn`pci, cas eiirhnlahas nsgêrjeas  punhnl ti`ar nc cudar hn cas eiirhnlahas rnetalducarns . Nl 146? Cadraldn jltrihuki nc eilenpti hn eiirhnlahas dnlnracjzahas para sjstn`as hn partàeucas, j`pcjealhi ca cjonrtah hn nseidnr cas eiirhnlahas apripjahas para hnserjojr nc sjstn`a y ca jlvarjalza  hn cas neuaejilns hn `ivj`jnlti alacàtjeas eil rnspneti a euacqujnr tralsgir`aejõl hn eiirhnlahas. Nsti gaejcjtõ ca gir`ucaejõl y sicuejõl hn cas neuaejilns hjgnrnlejacns hn `ivj`jnlti y `istrõ ca supnrjirjhah hnc nlgiqun alacàtjei, ya qun nl nc trata`jnlti vnetirjac cis priocn`as qun sil gaetjocns hn rnsicvnrsn sil nsnlejac`nltn aquêccis qun sn punhnl pcaltnar nl ul sjstn`a hn rngnrnleja eartnsjali. Rrj`nri eilsjhnrn`is ul sjstn`a `neáljei hn  parteucas eucas cjorns, nl nc snltjhi hn qun li nstál rnstrjldjhas pir eilhjejilns ejln`átjeas. ejln`átjeas. Cis vnetirns hn pisjejõl hn nstas partàeucas

,,

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   (, , )  1, ? , … ,  ,,  , , 

 

earaetnrjzal ca pisjejõl hnc sjstn`a `neáljei. Nc priocn`a hnc `ivj`jnlti nstará rnsuncti sj sn iotjnlnl  ei`i gulejilns hnc tjn`pi . Ujl n`oardi, nc `js`i priocn`a sn rnsuncvn sj cas  sn nxprnsal nl têr`jlis hn itras ealtjhahns;  

I `ás ornvn`nltn

  , , … , ,     ⋬   , , … ,     (, , … , )  1, ? , … ,  

Nstn prienhj`jnlti jlhjrneti hn rnsicvnr nc priocn`a hnc `ivj`jnlti pripirejila dralhns vnltakas alacàtjeas y ns ul gaetir hnejsjvi nl ca sicuejõl hn priocn`as hjlá`jeis. @atn`átjea`nltn cca`a`is a nsti ula «tralsgir`aejõl hn eiirhnlahas½.

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 ,  ,   1, ? , . ,     , , … , 

Nsta tralsgir`aejõl hn eiirhnlahas ca pihn`is ngnetuar hn ca `alnra qun hnsnn`is, y asà ea`ojar nc priocn`a irjdjlac hn hntnr`jlar cas   ei`i gulejilns hnc  ei`i gulejilns hnc tjn`pi . tjn`pi , ac priocn`a lunvi hn hntnr`jlar cas Eil ca faojcjhah ahneuaha nl ca ncneejõl hn cas eiirhnlahas eirrnetas, pihn`is rnsicvnr nc priocn`a lunvi `ás gáejc`nltn qun nc irjdjlac. Ca gcnxjojcjhah hnc sjstn`a hn rngnrnleja faen pisjocn nseidnr eiirhnlahas qun snal partjeucar`nltn ahneuahas para nc priocn`a hahi. Rir nkn`pci, nl nc priocn`a pcalntarji, ns hnejr, ula partàeuca `ivjêlhisn acrnhnhir hn ul enltri





atraetjvi gjki, cas eiirhnlahas picarns sil `ás ahneuahas qun cas eiirhnlahas rnetalducarns. Eilsjhnrn`is afira qun nc sjstn`a `neáljei nstá suknti a rnstrjeejilns ejln`átjeas, nltilens cas eiirhnlahas lnensarjas para hnserjojr nc `ivj`jnlti sil `nlirns a . Nstas rnstrjeejiln rnstrjeejilnss sn nxprnsal `atn`átjea`nltn ei`i rncaejilns gulejilacns nltrn cas eiirhnlahas. Rir nkn`pci, nl nc easi hn ul eunrpi ràdjhi ns sugjejnltn eil har cas trns eiirhnlahas hnc enltri hn `asa y trns álducis qun hngjlnl ca pisjejõl hnc eunrpi rnspneti ac enltri hn `asa. Nstis snjs pará`ntris hntnr`jlal ei`pcnta`nltn ca pisjejõl hnc eunrpi ràdjhi. Uupilda`is qun nsta`is nl nc easi nl qun cis vnetirns hn pisjejõl  sn fal nserjti nl têr`jlis hn ul lû`nri `àlj`i hn eiirhnlahas jlhnpnlhjnltns  y hnc tjn`pi .

5

      (, )    1,?, … ,    1,?, … , 

 1

 

Nsti sn punhn vjsuacjzar ei`i nc `ivj`jnlti hn ula «partàeuca½ nl ul nspaeji hn  eiirhnlahas . Uj  li ns gulejõl nxpcàejta hnc tjn`pi, ac varjar nc tjn`pi ca «partàeuca½ sn `unvn nl nstn nspaeji nl ula supnrgjejn jl`õvjc= sj hnpnlhn hnc tjn`pi, nltilens ca supnrgjejn ta`ojêl sn `unvn. Nl nstn easi (`àlj`i lû`nri hn eiirhnlahas) sn hjen qun nc sjstn`a tjnln  drahis  drahis hn hn cjonrtah  cjonrtah , cas eiirhnlahas sil cca`ahas eiirhnlahas dnlnracjzahas y ac hi`jlji nl qun punhnl varjar nstas eiirhnlahas sn cn cca`a nspaeji hn hnspcaza`jnl hnspcaza`jnltis tis vjrtuacns. Cas rncaejilns hahas nl  sil cca`ahas ficilõ`jeas eualhi sn nxprnsal ei`i neuaejilns nltrn cas eiirhnlahas y li ficilõ`jeas eualhi nsti li suenhn (hnsjduachahns, neuaejilns hjgnrnlejacns li jltndraocns, …). Xa`ojêl suncnl cca`arsn ficilõ`jeas ac eilkulti hn rnstrjeejilns qun gir`al ul sjstn`a hn neuaejilns hjgnrnlejacns qun sn punhal jltndrar para har neua-

 





1

ejilns nltrn cas eiirhnlahas (eilhjejõl hn rihahura). Rrjlejpji hnc traoaki vjrtuac y prjlejpji hn H‚Acn`onrt  

^la aprixj`aejõl ac nlgiqun alacàtjei hn Cadraldn tjnln sus raàens nl nc Rrjlejpji hn cis traoa kis vjrtuacns. Nc eilenpti hn hnspcaza`jnlti y traoaki vjrtuac tac vnz ci jltrihuki Utnvjl= pistnrjir`nltn ci hnsarriccõ a`pcja`nltn Dacjcni, apcjeálhici a cis eunrpis sjtuahis nl pcalis jlecjlahis y nl fjhristátjea. _ionrvac jltnltõ rncaejilar ca rndca hn ei`pisjejõl hn gunrzas eil nc prjlejpji hnc traoaki vjrtuac. Ca nstátjea hn Hnseartns ns ula apcjeaejõl hjrneta hnc traoaki vjrtuac qun supusi a prjirj. Hnseartns hnsarriccõ ul litaocn eiliej`jnlti hnc earáetnr vjrtuac hnc hnspcaza`jnlti ac hjseutjr ca pacalea. Ca eiltrjouejõl hn Raseac a ca nstátjea gun ca apcjeaejõl hnc prjlejpji hn cis hnspcaza`jnltis vjrtuacns a ca fjhristátjea hn ul gcujhi jlei`prnsjocn jlei`prnsjocn== ahn`ás hnhuki hn ula `alnra laturac; Rara gcujhis nl nqujcjorji, ca prnsjõl sn tras`jtn uljgir`n`nltn nl tihas hjrneejilns. Ca apcjeaejõl uljvnrsac hnc prjlejpji hn cis hnspcaza`jnltis vjrtuacns a tihis cishnspcaza`jnltis easis hn nqujcjorji gun eilenojha nl 1414 Kifallnsns Onrliuccj; Uispnefõ ca ngjeaeja hn cis vjrtuacns, ah`jtjnlhi qunpir nc nqujcjorji ula gulejõl hn ca 5

 

eilgjduraejõl `i`nltálna `i`nltálna hnc sjstn`a, i sna ns oásjea`nltn ul nlulejahi hnc nqujcjorji nstátjei hn ul sjstn`a `neáljei. Ristnrjir`nltn gun pnrgneejilahi pir H‚Acn`onrt.  Hnspcaza`jnltis Hnspcaza`jnl tis vjrtuacns

Rara jltrihuejr jhnas, eilsjhnrn`is prj`nri ula partàeuca eilgjlaha a `ivnrsn nl ula supnrgjejn cjsa. Ca neuaejõl hn ca supnrgjejn ns

 ,, 2

? ? 5

 

,,  ̄ +  ̄ +  ̄2

Runsti qun cas eiirhnlahas  hn ca partàeuca hnonl satjsgaenr ca eilhjejõl ejln`átjea ca partàeuca li ns cjorn. Hnrjvalhi eil rnspneti ac tjn`pi ca rncaejõl altnrjir, sn iotjnln

,

 

Hn aquà qun ca vnciejhah hnon snr taldnltn a ca supnrgjejn nl euacqujnr pulti. Ca neuaejõl   ta`ojêl j`pcjea qun cis hnspcaza`jnltis   hnonl satjsgaenr ca sjdujnltn nxprnsjõl hjgnrnlejac fi`idêlna

5

,,

 +  +  ++  2      ,  ,     ?

8

 

Cis hnspcaza`jnltis  eil ei`pilnltns  qun ca partàeuca punhn rnacjzar nl nc jltnrvaci hn tjn`pi  cis cca`arn`is hnspcaza`jn hnspcaza`jnltis ltis pisjocns. Nc hnspcaza`jnlti rnac   qun ca partàeuca rnacjza ns uli hn ca titacjhah hn hnspcaza`jnltis pisjocns. Rara eilgjlar nc `ivj`jnlti hn ca partàeuca a ca supnrgjejn  hnon faonr, ahn`ás hn cas gunrzas apcjeahas, ula gunrza ahjejilac; Ca rnaeejõl hn ca supnrgjejn. Nsta gunrza, cca`aha  gunrza hn rnsrnstrjeejõl i hn cjdahura ns lir`ac a ca supnrgjejn nl euacqujnr pulti sj ca supnrgjejn ns pnrgneta`nltn cjsa. Li eilsjhnrarn`is gunrzas hn rnaeejõl hnojhas a ca grjeejõl pir hnscjza`jnlti. Uj  ns ca gunrza hn rnstrjeejõl, eilecuj`is nltilens qun sus ei`pilnltns pripirejilacns a  rnspnetjva`nltn,



⁈ ,⁈ ,⁈                            

pir ci talti,

 

_neirhalhi ca hngjljejõl hn traoaki

   √√ 8

>

 

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8 >

 

qun nstaocnen;

√++2

7

 

«nc traoaki rnacjzahi pir ca gunrza hn rnstrjeejõl nl euacqujnr hnspcaza`jnlti pisjocn ns enri½. Za qun nc `ivj`jnlti hnon satjsgaenr ula neuaejõl hn rnstrjeejõl, nc sjstn`a sn rnhuen hn trns drahis hn cjonrtah a his. Uj fay his neuaejilns hn rnstrjeejõl,

 ,, 2 , ,, 2

4

 

nc `ivj`jnlti nstá eilgjlahi a ca jltnrsneejõl hn cas his supnrgjejns hahas pir cas neuaejilns  y nc sjstn`a tnlhrá ul drahi hn cjonrtah. Ca sjtuaejõl ns ei`pcnta`nltn hjgnrnltn sj ca partàeuca p artàeuca nstá eilgjlaha a ula supnrgjejn qun nstá nl `ivj`jnlti. Nl nstn easi ca neuaejõl hn ca supnrgjejn vjnln haha pir

4

 

 ,,, 2  ̄ +  ̄ +  ̄ +  2 ̄,̄,̄,, ,,

6 :

Afira, cas ei`pilnltns hn ca vnciejhah hnonl satjsgaenr ca rncaejõl

 

qun ya li ns fi`idêlna nl cas vnciejhahns . Ahn`ás, cas hnrjvahas parejacns nl ca neuaejõl  sil gulejilns hn cas varjaocns nspaejacns  y hnc tjn`pi t . Hn `alnra alácida, cis hnspcaza`jnltis hnspcaza`jnltis  satjsgaenl

:

 

++   ++ ++ 2 2 ⁈ ,⁈ ,⁈ > ++∟  



12 11

Rir itra partn, ca rncaejõl nltrn cas ei`pilnltns hn ca gunrza hn rnstrjeejõl  y cas hnrjvahas parejacns  aûl eilsnrval ca gir`a . Nltilens

 

Rihn`is eilecujr; Eualhi ca rnstrjeejõl ns hnpnlhjnltn hnc tjn`pi, nc traoaki rnacjzahi pir ca gunrza hn rnstrjeejõl nl euacqujnr hnspcaza`jnlti pisjocn ya li ns enri. Nl nstn pulti jltrihuej`is itra ecasn hn hnspcaza`jnltis, a saonr, cis hnspcaza` hnspcaza`jnltis jnltis vjrtuacns  . Êstis li sil hnspcaza`jnltis vnrhahnris sjli ea`ojis jlgjljtnsj`acns jlgjljtnsj`acns y arojtra-

,,

>

 

Gjdura 1. Hnspcaza`jnltis rnac y vjrtuac

rjis hn cas eiirhnlahas dnlnracjzahas ei`patjocns eil nc sjstn`a hn rnstrjeejilns y ccnvahi a eaoi j`adjlarja y eiltn`pirálna eiltn`pirálna`nltn. `nltn. Rara `nkir nltnlhj`jnlt nltnlhj`jnltii eilsjhnrn`is ca gjdura 1. Nl ca prj`nra, ula partàeuca nstá iocjdaha a `ivnrsn pir ula supnrgjejn cjsa jl`õvjc. Nl nstn easi euacqujnr hnspcaza`jnlti pisjocn , ac jduac qun euacqujnr hnspcaza`jnlti vjrtuac , yaen nl nc pcali taldnltn a ca supnrgjejn nl nc pulti R . Ca rnaeejõl hn ca supnrgjejn nstá hjrjdjha sndûl ca lir`ac a ca supnrgjejn nl hjefi pulti R , pir ci qun sjn`prn sn vnrjgjea,





 

√2 y √2

Nl ea`oji, sj ca partàeuca nstá iocjdaha a `ivnrsn pir ula supnrgjejn cjsa pnri afira nl `ivj`jnlti, ca vnciejhah hn ca partàeuca y p pir ir talti nc hnspcaza`jnlti jlgjljtnsj`ac  ya li yaenl nl nc pcali taldnltn. Ujl n`oardi, nc hnspcaza`jnlti vjrtuac  (hnspcaza`jnlti pisjocn jlgjljtnsj`ac jlgjljtnsj `ac para ca supnrgjejn «jl`ivjcjzaha½ i «eildncaha½) sà yaen nl nc pcali taldnltn. Hnojhi a qun ca gunrza hn rnaeejõl hn cjdahura nl nc easi hn ula supnrgjejn cjsa nl `ivj`jnlti ta`ojêl nstá hjrjdjha sndûl ca lir`ac a ca supnrgjejn, tnln`is

√2 _ntirlalhi a ca neuaejõl

, sjl n`oardi

√≢2



   

 

. Ei`i nc tjn`pi li nstá jlvicuerahi, cis hnspcaza`jnltis vjr-

tuacns satjsgaenl

12  +  +  +  +  2 12  1? 7 ++2

1?

 

nl cudar hn  qun ns satjsgnefa pir cis hnspcaza`jnltis rnacns. Runsti qun cas ei`pilnltns hn ca gunrza hn rnstrjeejõl  sil pripirejilacns a cas hnrjvahas parejacns, hn ca neuaejõl  pihn`is usar ca alacidàa eil  y eilecuj`is

«nc traoaki rnacjzahi pir cas gunrzas hn rnstrjeejõl nl euacqujnr hnspcaza`jnlti vjrtuac ns enri½. 7

15

 

 

Rrjlejpji hnc traoaki vjrtuac

    2 1,?, … , 

Lunva`nltn eilsjhnrn`is eilsjhnrn`is ul sjstn`a hn  partàeucas, eaha ula hn cas euacns nstá suknta a ul eilkulti hn gunrzas eil rnsuctaltn . Rara ul sjstn`a nl nqujcjorji ca gunrza titac siorn eaha partàeuca sn aluca y ci `js`i pasa eil nc prihueti nseacar, ,

 √  2 1, ? , … ,   ∑ √  2   0

qun rnprnsnlta nc traoaki vjrtuac fnefi siorn ca partàeuca  nl   nl nc eirrnspilhjnltn hnspcaza`jnlti vjrtuac , hn aquà qun nc traoaki vjrtuac  siorn  siorn nc sjstn`a ei`pcnti sn aluca



18

 

Nc rnsuctahi altnrjir ns ei`pcnta`nltn trjvjac. Ujl n`oardi, sj nc sjstn`a nstá suknti a rnstrjeejilns, nsta aprixj`aejõl tjnln j`pcjeaejilns jltnrnsalt jltnrnsaltns. ns. Nl nstn easi hjstjldujrn`is nltrn gunrzas apcjeahas i j`prnsas  y gunrzas hn rnstrjeejõl , tac qun



sustjtuynlhi

    +     1,?, … ,   1> 18   ∑ √  + ∑  √  2     0 0  nl

 

 1> 17

 

Ujl n`oardi, nc traoaki ngnetuahi pir cas gunrzas hn rnstrjeejõl nl hnspcaza`jnltis vjrtuacns ei`patjocns eil cas rnstrjeejilns hnc sjstn`a ns enri,

 ∑0  √  2

14

 ∑0  √  2

16

 

Cis hnspcaza`jnltis vjrtuacns qun eu`pcnl ca neuaejõl altnrjir sil cca`ahis rnvnrsjocns nl nc snltjhi dni`êtrjei. Uj lis cj`jta`is a tacns hnspcaza`jnlt hnspcaza`jnltis, is, iotnln`is

qun nstaocnen nc Rrjlejpji hnc traoaki vjrtuac; «Nc traoaki ngnetuahi pir cas gunrzas apcjeahas nl hnspcaza`jnltis vjrtuacns rnvnrsjocns jlgjljtnsj`acns ei`patjocns eil cas rnstrjeejilns hnc sjstn`a, ns enri½. 4

 

 

16 16

Ca neuaejõl  rnprnsnlta ul rnsuctahi sustalejac`nltn lunvi. Hnojhi a qun nc sjstn`a nstá suknti a rnstrjeejilns, cis hnspcaza`jnltis h nspcaza`jnltis vjrtuacns  li sil tihis jlhnpnlhjnltns, hn ca neuaejõl  li sn punhn eilecujr qun = pnri sj nc sjstn`a sn hnserjon pir `nhji hn eiirhnlahas ei irhnlahas dnlnracjzahas

   2 1, ? , …, 

        sn nxprnsal   ,  , …nltilens ,  ,   nl1,têr`jlis ? , … , hn cas eiirhnlahas dnlnracjcis hnspcaza`jnltis vjrtuacns zahas ei`i     0∑     1, ? , … ,  y pir talti 16 ahqujnrn ca gir`a  ∑0  2 1:  Hilhn     ∑0  √    1, ? , … ,   sil eiliejhas ei`i gunrzas dnlnracjzahas dnlnracjzahas. Runsti qun afira nc lû`nri hn eiirhnlahas dnlnracjzahas eijlejhn eil nc lû`nri hn drahis hn cjonrtah hnc sjstn`a, cis hnspcaza`jnltis vjrtuacns dnlnracjzahis  sil tihis jlhnpnlhjnltns, hn itra `alnra arojtrarjis, nltilens .

   2 1, ? , …,  

^la hn cas prjlejpacns apcjeaejilns hnc prjlejpji hnc traoaki vjrtuac nstá nl nc eáceuci hn cas pisjejilns hn nqujcjorji nstátjei hn ul sjstn`a. Rrjlejpji hn H‚Acn`onrt  

H‚Acn`onrt jltrihuki nl 1485 nc jltnrnsaltn eilenpti hn «pêrhjha hn gunrza½ a gjl hn apcjear a

ul sjstn`a hjlá`jei nc Rrjlejpji hn Onrliuccj. Xratarn`is aquà nc eiltnljhi hnc Rrjlejpji hn H‚Acn`onrt nl su gir`a `ás ûtjc, li nl su gir`a irjdjlac.   Nc prjlejpji hnc traoaki vjrtuac trata eil nc nqujcjorji nstátjei hn cis sjstn`as y pir ci `js`i li ns ahneuahi para usarci nl priocn`as hjlá`jeis. Ujl n`oardi, su utjcjhah sn punhn nxtnlhnr a ca hjlá`jea sj eilsjhnra`is ca sndulha cny hn Lnwtil para ul sjstn`a hn  partàeucas nl ca gir`a

 +  ∟  ̆  2   1,?,… , 

   y  



 sil cas gunrzas apcjeahas y hn rnstrjeejõl rnspnetjva`nltn. Ca neuaejõl hilhn grneunltn`nltn grneunltn`nl tn cca`aha Rrjlejpji hn H‚Acn`onrt . 6

 ?2 ?2

 ns

 

∟ ̆

?2 ?2

Rara nltnlhnr ca neuaejõl  pihn`is jltnrprntar a  ei`i ula gunrza jlnrejac. Hn nsta `alnra ca neuaejõl  sn punhn jltnrprntar ei`i ca hnecaraejõl hnc nqujcjorji hjlá`jei hjlá`jei hn ca partàeuca nl eunstjõl= pir nsta razõl ns qun sn hjen qun nc prjlejpji hn H‚Acn`onrt lis pnr`jtn

tratar priocn`as hjlá`jeis ei`i sj gunral nstátjeis. Ei`i ula eilsneunleja hn nstn prjlejpji, pihn`is nxtnlhnr nc prjlejpji hnc traoaki vjrtuac a priocn`as hn hjlá`jea nserjojnlhi para ca -êsj`a partàeuca

 +  ∟  ̆ √  2   1,?,… ,   ∑  ∟  ̆ √  2 ??

 ?1

Uupiljnlhi qun cis hnspcaza`jnltis vjrtuacns  sil rnvnrsjocns, i sna qun sn eu`pcn ca neuaejõl . Nltilens pihn`is nserjojr para nc sjstn`a hn partàeucas

?2

??

Lis rngnrjrn`is a ca neuaejõl

 qun nldcioa nc prjlejpji hnc traoaki vjrtuac hn ca nstátjea y nc prjlejpji hn H‚Acn`onrt, ei`i nc  prjlejpji dnlnracjzahi hn H‚Acn`onrt , qun pihn`is nlulejar ei`i sjdun; «Nc traoaki vjrtuac titac rnacjzahi pir cas gunrzas ngnetjvas nl hnspcaza`jnltis vjrtuacns jlgjljtnsj`acns ei`patjocns ei`patjocns eil cas rnstrjeejilns hnc sjstn`a, ns enri½. Nc Rrjlejpji hn H‚Acn`onrt rnprnsnlta ca gir`ucaejõl `ás dnlnrac hn cis priocn`as h jlá`jeis.

Cis hn`ás prjlejpjis hn ca `neáljea, jlecuynlhi nc Rrjlejpji hn Fa`jctil, sil hnrjvahis hn êc. Neuaejilns hn Cadraldn

Eilsjhnrn`is nc Rrjlejpji hn H‚Acn`onrt  dnlnracjzahi,  dnlnracjzahi,

∑  ∟  ̆ √  2  ,  , … ,              1,?, … ,         1,?, … ,   

?5

Êstn li ns eilvnljnltn para ca hnrjvaejõl hn cas neuaejilns hn `ivj`jnlti, ya qun cis hnspcaza`jnltis li sil jlhnpnlhjnltns. Ujl n`oardi, sj ci nxprnsa`is nl têr`jlis hn ul eilkulti hn eiirhnlahas dnlnracjzahas , hilhn  ns nc lû`nri hn drahis hn cjonrtah hnc sjstn`a, cis hnspcaza`jnltis  sil jlhnpnlhjnltns y ahn`ás arojtrarjis. Oaki nstas ejreulstalejas cis eingjejnltns hn  sn punhnl jduacar a enri pir snparahi y iotnlnr ul eilkulti hn neuaejilns nl têr`jlis hn cas eiirhnlahas dnlnracjzahas. Rrienha`is a ngnetuar ci altnrjir eilsjhnralhi qun cis vnetirns hn pisjejõl  cis nxprnsa`is nl têr`jlis hn cas eiirhnlahas dnlnracjzahas , hilhn  ns nc lû`nri hn drahis hn cjonrtah hnc sjstn`a



:

 

  , , … , ,     1,?,… , 

?8

 

Nxprnsalhi cis hnspcaza`jnltis vjrtuacns nl têr`jlis hn cas eiirhnlahas dnlnracjzahas

 Uustjtuynlhi

 



 

0    ∑       1,?,… ,  ?> ?5      ̄    ∑0  √ 0∑   ∟ ∑0   √ ∑0    2  nl

?>

 

 

qun pihn`is nserjojr ei`i

 ̄     0 0 ?7 0∑ ∑0   √   ∑∑  √      ̄        ∑0   √    ∑0  ̄ √  ∟ ∑0  ̄ √     ?8 

Xralsgir`alhi ca su`a siorn  hnc  hnc `jn`ori jzqujnrhi hn prihueti

 

?7 ?4

, pir `nhji hn ca hnrjvaha hnc

 

Rrj`nri eaceucarn`is his rnsuctahis qun sn usarál aquà y `ás ahncaltn. Hnrjvalhi eil rnspneti ac tjn`pi ca neuaejõl  iotnln`is ca vnciejhah hn cas partàeucas

  ̄   + 0∑   ̄ 

 

1, ? , … ,   ̄ ̄    ∑  ̄̄  ∑         1,?, … ,  0 0

Nsta neuaejõl pripirejila hn jl`nhjati nc rnsuctahi,

Xa`ojêl iotnln`is

        0             + ∑   ̄

12

?6

 

 

         + ∑   ̄   ̄     1,?,… ,   1,?,… , 0 Nstis rnsuctahis sil cca`ahis «ealencaejõl hn cis pultis½ n «jltnrea`oji hn va`nltn. Apcjealhi

 nl ca neuaejõl

?:

 

y

½

rnspnetj-

 

?6 y ?:   ̄ ?4   ̄   ̄ ∑0   √    ∑0  ̄ √ ̄ ∟ ∑0  ̄ √  1   ∑ ?  ̄ √  ̄

 

Nl nc sndulhi `jn`ori rneilien`is hnrjvahas parejacns hn ca nlnrdàa ejlêtjea  

0

Rir talti, ca neuaejõl

hilhn



  ̄   ∑0  ̄ √  ̄    ,   ∑0  ̄ √  ̄ 

?7

 ca pihn`is nserjojr ei`i

    ∑0  ̄ ∟  ∟   2

52

 ns ca gunrza dnlnracjzaha, hngjljha pir

     ∑0  √      1,?, … ,  51 Runsti qun cas eiirhnlahas   sil jlhnpnlhjnltns, sn jduacal a enri uli a uli cis têr`jlis hn ca jduachah 52, iotnln`is  ̄  ∟   ∑  √      1,?, … ,   5 ?    0 Afira, supilda`is sjl pnrhnr dnlnracjhah

   ∟  +    ̄   11

  1,?,… , 

55

 

 

hilhn

5?   ,  ̄  ̄  ∟   ∑  √  ∟ ∑  √  + ∑   ̄ √  0 0 0 . Ca neuaejõl

 sn tralsgir`a nl

 

nc ûctj`i têr`jli sn tralsgir`a eilsjhnralhi ca hnrjvaha hn ul prihueti,

                ̄     ̄  ∑0   ̄ √    ∑0  ̄ √  ∟ ∑0  ̄ √     ∑0  ̄ √ ̄ ∟ ∑0  ̄ √  

?6 y ?: 5?  ̄  ∟   ∑  √  ∟ ∑  √  ∟ ∑  ̄ √  ̄ +  ∑  ̄ √  ̄̄ 0 0 0 0   ∟̄   ∟ ̄ ∟∟  ∑0  √   ∟  + 1,?,…̄  ,   5 8  0   ∟  ̄  ∟   ∑  √    1, ? , … ,  0 hilhn sn fal apcjeahi lunva`nltn

. Arrndcalhi têr`jlis ca neuaejõl

 rnsucta

 

 

 

Un hngjln ca gulejõl cadraldjala cadraldjala ei`i draldn

 y nserjoj`is gjlac`nltn cas neuaejilns hn Ca-

 

Uj tihas cas gunrzas apcjeahas sil eilsnrvatjvas

. Nltilens

 ̄  ∟  2   1,2 ? , … , 

1?

  @RQ