Ecuacion General de Flujo de Gas

ECUACION GENERAL DE FLUJO DE GAS 1. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE FLUJO DE GAS La ecuación general de flujo de gas a través de tubería circular de longitud L y de diámetro D se expresan en función de la presión para poder integrar esa expresión diferencial, en este entendido consideraremos que a lo largo de la tubería ocurre lo siguiente:

 

El Flujo es isotérmico, por lo tanto la energía interna no varía ∆U = 0. Existe una diferencia de nivel por lo tanto la energía potencial varía con la altura, debido al peso de la columna del fluido (columna hidrostática).  Es despreciable la variación de energía cinética, siempre que la longitud de la tubería sea suficientemente grande respecto al diámetro (L>>>>>>>D).  Solo se considera la variación de la energía de presión, la cual es única que balancea el trabajo de fricción realizado por el gas. Por otra parte hacer notar que la ecuación general de flujo de gas se puede obtener a partir de la ecuación general de Bernoulli tomando en cuenta los principios hidrodinámicos, para un fluido que produce factor de fricción. Sin embargo de lo anterior, dicha expresión de flujo de gas también se puede obtener partiendo de la ecuación de Euler, así como de la 1º Ley de la Termodinámica. En nuestro caso para determinar la ecuación de flujo de gas aplicaremos la ecuación de Bernoulli , que está dada por la siguiente expresión:

(

)

( )

Por otra parte en transporte de fluidos se produce la fricción, en este entendido la ecuación anterior se transforma como sigue:

(

)

( )

Así mismo el flujo por ser isotérmico y adiabático, la energía cinética producidapor el fluido parcialmente turbulento es mínimo(3%-8%) razón por la cual no se considera tal como mencionamos anteriormente

(

)

Entonces:

( ) Para describir el factor de fricción, la caída de presión y el factor de fricción de Faning, consideremos que el factor de fricción (frotamiento entre las partículas del fluido así como la pared interna de la tubería)es directamente proporcional a:  Al área de la superficie mojada  A la densidad del fluido  Al cuadrado de la velocidad Bajo la consideración anterior está dado por lo siguiente:

(

)

(

)

Donde: f: Factor de Fricción de faning. Wf : Trabajo realizado debido al factor de fricción. Dividiendo la ecuación 6 entre la sección de la tubería circular, la densidad del fluido y la diferencia de la longitud, se tiene la siguiente expresión:

( ) Simplificando:

Integrando de 0 a L:

Como wf es el trabajo realizado debido al factor de fricción, y a su vez cumple la siguiente expresión matemática:

Igualando las ecuaciones 9 y 10:

Despejando la variación de la Presión se tiene:

Donde: ∆P (psi) : Caída total de presión en el interior de la tubería. v (ft/s) : velocidad del fluido. 3 ρ (lb/ft ) : Densidad del fluido. L (ft) : longitud de la tunería. d (ft) : Diámetro interno de la tubería f (adimensional) : Factor de fricción de Faning. 2 2 G (ft/s ) : constante gravitacional (32,17 ft/s ). Cabe aclarar que existe una diferencia real entre la caída de presión (∆P) y la pérdida de fricción (f). La caída de presión representa una conversión de energía de presión en cualquier otra forma de energía, mientras que la pérdida por fricción (f) representa una pérdida neta de energía de trabajo total disponible que caracteriza al fluido, los dos términos se relacionan entre si tal como se observa en la ecuación 12. Así mismo sobre el factor de fricción está en función del Número de Reynolds y la rugosidad de la tubería, donde esta última variable cambia considerablemente durante la operación de ducto. Reemplazando la ecuación 8 en la ecuación 4:

( ) Multiplicando por

a la ecuación 13:

( ) Para base:

Y

Reemplazando 15 y 16 en 17:

( )

( )

( ) Por otra parte según la ecuación de la continuidad:

Reemplazando la ecuación 19 en la ec. 14:

Sabemos que:

( )

(

(

( ))

)(

)

Reemplazando las ecuaciones 21 y 22 en 20 tenemos

(

)

(

(

)

(

(

(

( ))

(

( ))

)

)) )

(

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Resolviendo la ecuación diferencial:

∫

∫

(

)

( *

) +

Operando

*

(

)

+

Donde: Qb (pcs/día) flujo de gas a condiciones de base Tb (R) temperatura base Pb (psia) presión base F factor de transmisión P1(psia) presión de entrada P2(psia) presión de salida Pm(psia) presión promedio en la línea GE gravedad especifica del gas H1 (ft) elevación con referencia al punto de entrada H2 (ft) elevación con referencia al punto de salida Zm factor de compresibilidad del gas T (R) temperatura promedio de la línea L(millas) longitud de la línea d (pulg) diámetro interno de la tubería E factor de eficiencia del ducto VALOR DE ( E ) 1.0 0.95 0.92 0.85

CONDICIONES DE LA TUBERIA Completamente nueva En buenas condiciones En condición promedio En condiciones no favorables



ECUACIÓN GENERAL DEL FLUJO DE GAS

(

*

)

+

De la ecuación anterior, se puede despejar diferentes variables, entre ellas las más importantes:  DIÁMETRO INTERNO DE LA TUBERÍA ⁄



{

]

}

(

) (

)

)

PRESIÓN DE ENTRADA

√

(

) * (



)

LONGITUD DEL DUCTO

( 

(

[

(

)+

(

)+

)

PRESIÓN DE SALIDA

√

(

) * (

)

La ecuación general de flujo de gas en tuberías, es más conocida cuando se considera que no existen cambios de nivel en el trayecto de la tubería, y en ese caso, la ecuación general de flujo sería:

(

*

)

+

Donde: Tomando en cuenta el factor de fricción:

(

)(

(

) (

)

Tomando en cuenta el factor de transición:

)

2. VARIABLES IMPORTANTES EN LA ECUACIÓN GENERAL DE FLUJO 2.1. FACTOR DE FRICCIÓN El término “Factor de fricción” es un parámetro adimensional que depende del número de Reynolds del flujo. En la literatura de ingeniería, podemos encontrar dos diferentes factores de fricción que se mencionan. El factor de fricción de Darcy es el más común, el otro factor de fricción es conocido como “Factor de fricción Fanning” y es muchas veces preferido por algunos ingenieros. La relación numérica entre el factor de Fannig y el factor de Darcy es la siguiente:

Donde:

El factor que se usa generalemente es el de Darcy, y de denota con la letra“f”. Este factor se determina dependiendo el tipo de flujo.

Para flujo laminar se determina con la siguiente ecuación:

Mientras que para flujo turbulento el factor de fricción se determina en función del número de Reynolds, el díametro interno de la tubería, y la rugosidad interna que tiene la tubería en estudio. Muchas relaciones empíricas para el cálculo del factor de fricción fueron deducidas, sin embargo, las más populares son las ecuaciones de Colebrook-White y AGA. 2.1.1. ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE La ecuación de Colebrook-White, es una relación entre el factor de fricción y el número de Reynolds, la rugosidad de la tubería, y el diámetro interno de la tubería. La siguiente ecuación es usada para el cálculo del factor de fricción.

Donde:

La siguiente tabla muestra las diferentes rugosidades de diferentes materiales de tuberías:

2.2. FACTOR DE TRANSMISIÓN El factor de transmisión “F” es considerado el opuesto del factor de fricción “f”. Mientras que el factor de fricción indicas cuán difícil es mover una cierta cantidad de gas por la tubería, el factor de transmisión es una medida directa de cuanto gas puede ser transportado por la tubería. A medida que el factor de fricción aumenta, el factor de transición disminuye y, por ende, a menor factor de fricción, mayor flujo de gas habrá. El factor de transmisión “F” está relacionado con el factor de fricción, de la siguiente manera:

Es importante notar que solo existe un factor de transmisión, mientras que en el caso del factor de fricción existen dos. 2.2.1. ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE MODIFICADA Con el factor de transmisión definido la ecuación de Colebrook-White, se modifica de la siguiente manera:

La ecuación de Colebrook-White fue usada por muchos años, sin embargoen 1956, fue modificada. La modificación resulta en un factor de fricción mayor, y como resultado, un valor menor en el caso del factor de transmisión. Gracias a esto, se tiene un valor constante del flujo de gas. La ecuación modificada de Colebrook-White es la siguiente:

2.2.2. ECUACIÓN DE AGA (AMERICAN GAS ASSOCIATION) En 1964 y 1965, la asociación Americana de gas (AGA) publicó como calcular el factor de transmisión para el gas en tuberías para ser usado en la ecuación general del flujo de gas. Esto es referido como el método AGA NB-13, que consiste en:

Donde:

2.2.3. ECUACIÓN DE WEYMOUTH La ecuación de Weymouth es usada para presiones altas, altos flujos de gas, y diámetros grandes en el sistema. La siguiente formula calcula directamente el flujo de gas a través de la tubería.

2.2.4. ECUACIÓN DE PANHANDLE A la ecuación de Panhandle A fue desarrollada para el uso de gas natural en tuberías, incorporando la eficiencia para el número de Reynolds en un rango de 5 a 11 millones. En esta ecuación, la rugosidad de la tubería no es usada.

2.2.5. ECUACIÓN DE PANHANDLE B La ecuación de Panhandle B, también conocida como la ecuación revisada de Panhandle, es usada para diámetros grandes de tubería, alta presión en las líneas. En flujo total turbulento, es adecuado usar valores del número de Reynolds de 4 a 40 millones.