ECUACIONES E INECUACIONES AUTOR:
JUAN ALFREDO HUAMANCHAQUI QUISPE
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Índi e General 1. E ua iones e ine ua iones
E ua iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E ua iones lineales . . . . . . . . . . . E ua iones uadráti as: . . . . . . . . . E ua iones Ra ionales: . . . . . . . . . Método de fa toriza ión por RUFFINI: Ine ua iones: . . . . . . . . . . . . . . . . . Ine ua iones lineales: . . . . . . . . . . Ine ua iones Cuadráti as: . . . . . . . . Ine ua iones polinómi as √ y ra ionales . E ua iones e ine ua iones √ on · . . . . . . E ua iones on √ · . . . . . . . . . . . Ine ua iones on · . . . . . . . . . . . E ua iones e ine ua iones on | · | . . . . . . E ua iones on | · | . . . . . . . . . . . Ine ua ión on | · | . . . . . . . . . . . E ua iones e ine ua iones on J·K . . . . . . E ua iones on J·K . . . . . . . . . . . . Ine ua iones on J·K . . . . . . . . . . . E ua iones e ine ua iones e(·) . . . . . . . . E ua iones e(·) . . . . . . . . . . . . . . In ua iones e(·) . . . . . . . . . . . . . E ua iones e ine ua iones logb (·) . . . . . . E ua iones logb (·) . . . . . . . . . . . Ine ua iones logb (·) . . . . . . . . . . . Ejer i ios de e ua iones . . . . . . . . . . . .
Bibliografía
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[email protected]
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3
3 3 4 6 7 10 11 12 13 18 18 20 20 21 22 27 27 28 30 30 32 33 34 36 38
44
2
R
Li : Juan A. Huaman haqui
Cap´ıtulo
1
E ua iones e ine ua iones E ua iones
Toda e ua ión son fun iones proposi ionales que tienen la forma P (x) = 0 o en el aso mas general sería P1 (x) + P2 (x) + . . . + Pn (x) = 0. Q1(x) + Q2(x) + . . . + Qm (x)
Con este tema se pretende en ontrar algunos x ∈ R tal que las fun iones proposi ionales sean verdaderas. E ua iones lineales
Para poder resolver las e ua iones lineales es ne esario re ordar el teorema: Teorema: Si a, b ∈ R, on a 6= 0, enton es la e ua ión ax = b tiene una solu ión úni a x = a−1 b. Ejemplo 1.0.1.
lineales
En uentre las solu iones de las siguientes e ua iones
1. 4(x − 10) = −6(2 − x) − 6x 2. 2(x + 1) − 3(x − 2) = x + 6
x−1 x−5 x+5 − = 4 36 9 x + 1 2x − 3 3 1 3 4. 6 − =3 x− − (3x − 2) 8 16 4 4 8
3.
3
.
ECUACIONES
3x + 1 2 − 4x −5x − 4 7x − = + 7 3 14 6 2 x−2 6. x− 1− +1=x 3 3
5.
E ua iones uadráti as:
Sean a, b, c ∈ R y a 6= 0, enton es la e ua ión ax2 + bx + c = 0 se llama e ua ión uadráti a. Para resolver las e ua iones uadráti as, se tiene los siguientes métodos. 1.
En primer lugar la e ua ión uadráti a se tiene que fa torizar. Luego, utiliza el teorema Método de fa toriza ión:
ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti a, por el método de fa toriza ión. Ejemplo:
a ) 4x2 − 4x − 3 = 0 b ) 3x2 −5x−12 = 0
) x2 − x = 2 2.
d ) x2 + 4x − 5 = 0 e ) 2x2 − x − 10 = 0 f ) 5z 2 +13z +6 = 0
g ) x2 − 4x − 21 = 0 h ) 3x2 −11x+6 = 0 i ) x3 + x2 − 2x = 0
Sea la e ua ión uadráti a ax + bx + c = 0 el método de ompletar uadrados onsiste en llevar a una forma omo (x + d)2 = e2 , donde d, e son onstantes por determinar. Luego, se utiliza teorema: Método de ompletar uadrados: 2
√ √ a2 = b ⇔ a = − b ∨ a = b.
Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti a por el método de ompletar uadrados. Ejemplo:
a ) x2 − 5x − 36 = 0 b ) x2 − 8x + 15 = 0
) 3x2 + 4x − 1 = 0 3.
d ) x2 + 4x − 5 = 0 e ) x2 + 6x + 7 = 0 f ) 5x2 + 3x = −2
Método de la fórmula general:
siguiente fórmula.
x1,2 = P
[email protected]
−b ± 4
g ) 3x2 − 11x = −6 h ) x2 + 54x = −79 i ) 5x2 + 3x = 2
en este método se utiliza la
p b2 − 4ab . 2a R
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ECUACIONES
A la expresión △= b2 − 4ac, los llamaremos dis riminante. Veamos que su ede on las solu iones de la e ua ión uadráti a. Obs:
a ) Si △> 0 , enton es la e ua ión uadráti a tiene dos solu iones distintas. b ) Si △= 0 , enton es la e ua ión uadráti a tiene una úni a solu ión.
) Si △< 0 , enton es la e ua ión uadráti a no tiene ninguna solu ión real.
b
c
a △< 0 △= 0
x0
△> 0
x2
x1
Notemos que las solu iones de la e ua ión uadráti a son los puntos de interse
ión del eje X y la parábola (Ver teoría de fun ión). Cuando la dis riminante △< 0 la parábola no se interse ta on el eje X es por eso que la expresión ax2 + bx + c on a > 0 es siempre positiva; esto es, ax2 + bx + c > 0 para ualquier x ∈ R. Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti as (si existen) utilizando las fórmula general. Ejemplo:
a) b)
) d) P
3x2 − 2x − 1 = 0 2x2 − 5x + 4 = 0 9x2 +12x+4 = 0 4x2 − 6x + 2 = 0
[email protected]
7 1 e ) x2 − x + = 0 6 3 f ) 6x2 − 5x + 1 = 0
h)
√ x
2x2 − x = x2 +
i ) x2 + 2x + 1 = 0
g ) 9x2 − 6x + 1 = 0 5
R
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ECUACIONES
Si la e ua ión uadráti a ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, admite solu iones r y s en R, enton es se umple:
Teorema
1. S = r + s = − 2. P = rs =
b a
c a
p b2 − 4ac 3. D = |r − s| = a Demostra ión
Sólo se apli a la fórmula general.
E ua iones Ra ionales:
Una e ua ión ra ional es una igualdad ondi ional que redu ida a su mas simple expresión tiene la forma
P (x) = 0, donde P (x) y Q(x) son Q(X)
monomios, binomios polinomios no nulos on oe ientes reales. Observa ión: Un Polinomio es una expresión algebrai a de la forma: an xn +an−1xn−1 +an−2 xn−2 +· · ·+a1 x+a0 donde n es un entero positivo y los oe ientes an , an−1 · · · a0 son números reales arbitrarios. ax + b = 0, sabemos por el cx + d a teorema de lo números reales que: = 0 ⇒ a = 0 ∧ b 6= 0, enton es b b la e ua ión tiene omo solu ión a x = − a
1. Si la e ua ión ra ional tiene la forma:
2. Si la e ua ión tiene la forma
ax2 + bx + c = 0, ex2 + f x + g
a ) Para la resolu ión de estas e ua iones primero no onsideramos los valores donde el denominador se ha e ero (esto es ex2 + f x + g = 0) b ) Luego hallamos e ua ión uadráti a del numerador (es de ir ax2 + bx + c = 0) y estas serán las respuestas de la e ua ión. Ojo: notemos que algunos de las solu iones del numerador no debe anular al denominador, si fuese así sólo extremos (o anulamos) el número del resultado.
P
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ECUACIONES
3. Si la e ua ión ra ional tiene la forma
P (x) = 0, son polinomios Q(X)
no nulos de grado mayor que dos. Para la solu ión se ha e
a ) Primero no onsideramos los valores donde el denominador se ha e ero (esto es Q(x) = 0) b ) Luego hallamos las solu iones del numerador (es de ir P (x) = 0) y estas serán las respuestas de la e ua ión ra ional. Ojo: Notemos que si algunos de las solu iones del numerador P (x), no debe anular al denominador Q(X),si fuese así sólo extraemos (o anulamos) el número del resultado.
x1
x2
Método de fa toriza ión por RUFFINI:
Antes de ha er los ejer i ios de las e ua iones ra ionales re ordemos el método de fa toriza ión por RUFFINI:
Fa torizar el polinomio x4 + 6x3 − 5x2 − 42x + 40 utilizando en método de RUFFINI. Solu ión: Para fa torizar on este método se ha e 1. Se extrae todos los divisores de la variable donde no esta multipli ado on x o sea el número 40 (Para esto utilizamos em MCM.) x = ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40. on estos son los posibles fa tores omunes. Ejemplo 1.0.2.
P
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ECUACIONES
2. Luego, ordenamos los oe ientes en una tabla de mayor a menor grado. De esta forma. 1 1 ↓ 1 2 ↓ 1
6 −5 −42 40 1 7 2 −40 7 2 −40 0 2 18 40 9 20 0
Las e has que tiene sentido ha ia abajo, nos di e que el número de arriba (1) debe ser olo ado abajo. Luego ese número (1) lo multipli amos por el número que esta a la izquierda de la linea verti al (1) y ese resultado es olo ado al ostado dere ho de la e ha. Después el número olo ado (1) se suma on el número que se en uentra en ima de di ho número y ese resultado lo olo amos debajo de la linea horizontal (7) Se ha e los mismos pasos hasta terminar. Ojo: si el ultimo número es ero (0), la fa toriza ión estará bien si no es ero (0), bus amos otro número hasta que salga el número ero (0). Para la siguiente fa toriza ión se pro ede de la misma forma y así su esivamente (hasta terminar). 3. Luego los que esta a la izquierda de la linea son ambiados de signo o ordenamos de la siguientes forma (x − 1)(x − 2)(x2 + 9x + 20) que esta es la fa toriza ión: √
5 2 2. Hallas las raí es reales de la e ua ión: 8(x−3)4 −38(x−3)2 +9 = 0
Ejemplo 1.0.3.
1. Hallar las solu ión de
2x + 3 − 3 = 3x +
fa torizando la expresión y ha iendo m = (x − 3)2, se tiene Solu ión:
1 9 ∨ (x − 3)2 = 4 2 2 2 4x − 24x + 35 = 0 ∨ 2x − 12x +√ 9=0 12 ± 72 (2x − 5)(2x − 7) = 0 ∨ x1,2 = 4√ 5 7 6±3 2 x= ∨x= ∨ x1,2 = 2 2 2 (x − 3)2 =
P
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ECUACIONES
3. Hallar las raí es reales de la e ua ión: Solu ión:
Ha iendo y =
iza ión
x 1+x
2
x 1+x
2 1 + x 2 17 + = x 4
tenemos la siguiente fa tor-
2 2 x 1 x − =0 ∨ −4=0 1+x 4 1+x x 1 x 1 x x = ∨ =− ∨ =2∨ = −2 1+x 2 1+x 2 1+x 1+x 1 2 x = 1 ∨ x = − ∨ x = −2 ∨ x = − 3 3 6 6 4. Hallar las raí es reales de: x + 1 + x−1+ = 24 x x 6 Solu ión: Basta ha er: w = x+ y utilizar a2 −b2 = (a−b)(a+b). x 5. Hallar las raí es reales de: (x2 + 3x + 2)2 − 8(x2 + 3x) = 4 2 2 2 Solu ión: Basta ha er: w = x + 3x y utilizar (a + b) = a + 2ab + b2. 3 2 12 6. Hallar las raí es reales de: x − − 4x + = 12 x x 3 Solu ión: Basta ha er: w = x− y utilizar (a−b)2 = a2 −2ab+b2 x p x 2 7. Hallar las raí es reales de: x − x + 3 2x2 − 3x + 2 = + 7 2 Ejemplo 1.0.4. 1. Hallar los valores de x para que umpla la e ua ión: 5 4 3 x − 4x + 3x + 3x2 − 4x + 1 = 0
Fa torizando on Ru ni la e ua ión en ontramos. (x − 1) (x + 1)(x2 − 3x +√1) = 0, enton es la solu iones de la Solu ión: 2
e ua ión es x = −1, 1,
3± 5 2
2. Hallar los valores de x para que satisfa e la e ua ión 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0. 1 Solu ión: Ha iendo x = en ontramos, 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0 x
1 y fa torizando on Ru ni se tiene x + (x + 2)(x + 1) = 0, 2 1 por lo tanto en ontramos los valores de x = − , −2, −1. 2 P
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INECUACIONES:
3. Hallar los valores de x para que satisfa e la e ua ión 4x4 − 17x3 + 17x − 4 = 0. Solu ión: Fa torizando on Ru ni la e ua ión en ontramos. (x − 1)(x + 1)(4x − 1)(x − 4) = 0, por lo tanto en ontramos los 1 4
valores x = −1, 1, 4, .
4. Hallar el onjunto solu ión de a) x3 − 10x2 + 11x + 70 = 0 Solu ión: Fa torizando on Ru ni la e ua ión en ontramos. (x − 7)(x + 2)(x − 5) = 0 enton es la solu ión es x = −7, 2, 5
b) Hallar los valores de x para que satisfa e la e ua ión: 4x3 − x2 − 16x + 4 = 0. Solu ión: Fa torizando on Ru ni la e ua ión en ontramos. (x−2)(x+2)(4x−1) = 0, por lo tanto en ontramos los valores 1 4
es x = −2, 2, .
) Hallar los valores de x para que satisfa e la e ua ión:
2 + x+1
2x 2x2 = . x2 − 5x + 4 (x + 1)(x2 − 5x + 4) 2 Solu ión: operando tenemos x − 4x + 4 = 0, enton es la solu ión x = 2. 36 d) 3x − 6 = 2 + 3x + 4 Ine ua iones:
Una ine ua ión es toda desigualdad que ontiene una o mas antidades des ono idas, llamadas variables, y que sólo es verdadera para algunos x en los números reales. Las ine ua iones de una variable son fun iones proposi ionales que tienen la forma P (x) > 0 o en el aso mas general sería; P1 (x) + P2 (x) + . . . + Pn (x) >0 Q1(x) + Q2(x) + . . . + Qm (x) también son on los signos 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0 y ax + b ≥ 0. Y la solu ión de la ine ua ión es de la forma. ax + b > 0 ⇒ ax + b − b > −b ⇒ ax > −b b ⇒ x>− a b ⇒ x ∈ (− , ∞) a Ejemplo 1.0.5.
iones
Hallar el onjunto solu ión de las siguientes ine ua-
5x 1 x − 4 3 6 5x − 2 x − 8 x + 14 2. − > −2 3 4 2 2−x 4x + 1 x − 5 3. x − ≤ − 5 3 15
1. − − 4 ≥
4.
2(x + 2) < 2x 3
5.
3(2 − x) 16 x+1 − 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0 y ax2 + bx + c ≥ 0. donde a 6= 0 y a, b, c son números reales. existen dos métodos para resolves las ine ua iones uadráti as y son: 1.
Se redu e uando el trinomio ax2 + bx + c es fa torizable y su resolu ión se basa en apli ar el teorema Método de fa toriza ión:
a ) ab > 0 ⇔ [(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)] b ) ab < 0 ⇔ [(a < 0 ∧ b > 0) ∨ (a > 0 ∧ b < 0)]
Hallar el onjunto solu ión de las ine ua iones uadráti as, por el método de fa toriza ión. Ejemplo:
a ) 4x2 − 4x − 3 < 0 b ) 3x2 −5x−12 > 0
) x2 − x ≤ 2 2.
d ) x2 + 4x − 5 > 0 e ) 2x2 − x − 10 > 0 f ) 5z 2 +13z +6 < 0
Método de ompletar uadrados:
g ) x2 − 4x − 21 < 0 h ) 3x2 −11x+6 ≥ 0 i ) x3 + x2 − 2x > 0
El método onsiste en transb
formar el trinomio ax2 + bx + c a una forma omo a(x + )2 = k 2a donde k esta por determinar. Y se ha e uso del teorema. √ √ a ) Si b ≥ 0 → a > b ⇔ [a > b ∨ a < − b] √ √ b ) Si b > 0 → a2 > b ⇔ [− b < a < b] 2
Hallar el onjunto solu ión de las ino ula iones uadráti as, por el método de ompletar uadrados. Ejemplo:
a ) x2 − 5x − 36 ≤ 0 b ) x2 − 8x + 15 ≤ 0
) 3x2 + 4x − 1 ≥ 0
P
[email protected]
d ) x2 + 4x − 5 < 0 e ) x2 + 6x + 7 > 0 f ) 5x2 + 3x > −2
12
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g ) 3x2 − 11x < −6 h ) x2 + 54x < −79 i ) 5x2 + 3x < 2
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INECUACIONES:
△< 0 △= 0
−
x0
+
+
x1
x2 +
+
△< 0
Ine ua iones polinómi as y ra ionales
Una ine ua ión ra ional es una desigualdad ondi ional que redu ida a su mas simple expresión tiene la forma 0y
P (x) P (x) P (x) > 0, < 0, ≤ Q(X) Q(x) Q(x)
P (x) ≥ 0, donde P (x) y Q(x) son monomios, binomios polinomios Q(x)
no nulos on oe ientes reales. Observa ión: Un Polinomio es una expresión algebrai a de la forma: an xn +an−1xn−1 +an−2 xn−2 +· · ·+a1 x+a0 donde n es un entero positivo y los oe ientes an , an−1 · · · a0 son números reales arbitrarios. 1. Si la ine ua ión ra ional tiene la forma:
ax + b ax + b > 0, < 0, cx + d cx + d
ax + b ax + b ≤0y ≥ 0, y sabemos por un teorema que cx + d cx + d
a ) a < 0 ⇒ a−1 < 0 b ) a > 0 ⇒ a−1 > 0
enton es la ine ua ión se puede expresar omo: (ax+b)(cx+d) > 0, P
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INECUACIONES:
(ax + b)(cx + d) < 0, (ax + b)(cx + d) ≤ 0 y (ax + b)(cx + d) ≥ 0
y se apli a el teorema
a ) ab > 0 ⇔ [(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)] b ) ab < 0 ⇔ [(a < 0 ∧ b > 0) ∨ (a > 0 ∧ b < 0)]
ax2 + bx + c ax2 + bx + c > 0, 2 < 2. Si la ine ua íon tiene la forma 2 ex + f x + g ex + f x + g ax2 + bx + c ax2 + bx + c 0, 2 ≤0y 2 ≥0 ex + f x + g ex + f x + g
a ) Si una de los dos trinomios no tiene solu iones reales o tiene una raíz doble, es de ir b2 − 4ac < 0 o b2 − 4ac = 0, enton es ax2 + bx + c o ex2 + f x + g tiene signo jo y es positivo para
ualquier x ∈ R. b ) Si ambos trinomios tiene raí es reales y distintos enton es la ine ua ión se transforma en una ine ua ión polinómi a. 3. La ine ua ión ra ional tiene la forma
P (x) P (x) > 0, < 0, Q(X) Q(x)
P (x) P (x) ≤ 0 y ≥ 0, donde P (x) y Q(x) son polinomios no Q(x) Q(x)
nulos de grado mayor que dos.
Método para resolver ine ua iones polinómi as y ine ua iones ra ionales
1. Fa torizar los polinomios P (x) en fa tores lineales (en el aso que si se pudieran fa torizar aso ontrario sólo dejar el fa tores uadráti as), Re omenda ión: Para fa torizar se re omienda utilizar el método de Ru ni. 2. Se resuelve los raí es de ada fa tor lineal, a la ual ada raíz lineal se le llamará punto ríti o. 3. Los puntos ríti os se olo a en la re ta Real, dependiendo del valor numéri o. 4. Se olo a entre estos valores los signos (+) y (−) alternadamente, empezando por la dere ha on el signo (+) y luego on el signo (−) así su esivamente. Si existe entre estos puntos ríti os valores iguales que ontados llegan ha er pares enton es el signo de la P
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INECUACIONES:
izquierda del punto le orresponde el mismo signo de la dere ha del mismo punto. +
a
−
b
Puntos ríti os distintos. −
a
+
b
+ −
c
−
d
c
−
d
+ R + R
El punto ríti os c es una raíz doble. 5. Ellos indi aran que la expresión original del problema es:
a ) Si P (x) > 0 enton es la solu ión son todos los intervalos que tiene los signos positivos (+) b ) Si P (x) < 0 enton es la solu ión son todos los intervalos que tiene los signos negativos (−) Hallar el onjunto solu ión de las ine ua iones uadráti as, utilizando el método de los puntos ríti os. Ejemplo:
a ) −4x2 + 4x > −3 b ) 3x2 −5x−12 < 0
) x2 − x ≥ 2
d ) x2 − 5x + 6 < 0 e ) 2x2 − x − 10 > 0 f ) 3x2 − 7x + 6 < 0
g ) x2 − 3x − 4 > 0 h ) 3x2 − 7x + 4 ≤ 0 i ) x2 − 4x + 5 ≥ 0
P (x) > 0 x2 +
x3 −
+ x1
+
−
P (x) < 0
Resuelva las siguientes ine ua iones, utilizando las propiedades del sistema de los números reales. Ejemplo 1.0.6.
P
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x2 +
.
INECUACIONES:
1. x +
2 > −3 x
Solu ión:
x2 + 3x + 2 2 >0 x + > −3 ⇔ x x (x + 2)(x + 1) ⇔ >0 x ⇔ x ∈ (0, ∞) ∪ (−2, −1)
2. (x − 1)(2x2 − 12x + 19) < 0 Solu ión:
(x − 1)(2x2 − 12x + 19) < 0 ⇔ (x − 1) < 0 ⇔ x ∈ (∞, 1) 2 1 3. ∈ ,2 2x + 3 4 Solu ión:
1 2 1 1 < ≤2 ⇔ < ≤1 4 2x + 3 8 2x + 3 ⇔ −2 ≤ 2x 0 Solu ión:
(x2 + 7)(x2 + 25)(x2 − 4)(x2 + 3) > 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
x + 2 x2 + 2 5. ≥ x+4 x2 Solu ión:
x+2 x2 + 2 x + 2 x2 + 2 ≥ ⇔ − ≥0 x+4 x2 x+4 x2 x3 + 2x2 − x3 − 2x − 4x2 − 8 ⇔ ≥0 x2(x + 4) x2 + x + 4 ⇔ ≤0 x2(x + 4) 1 ⇔ 2 ≤0 x (x + 4) ⇔ x ∈ (−∞, −4] P
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INECUACIONES:
6.
2x x x−1 − ≥ x+1 x−1 x
Solu ión:
2x x x−1 2x2 − x + 1 − − ≥0 ⇔ ≤0 x+1 x−1 x x(x − 1)(x + 1) 1 ⇔ ≤0 x(x − 1)(x + 1) ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1)
7.
x+1 ≥0 x2 + 2x + 3
8. Halle el onjunto de valores de k para que la e ua ión x2 + kx = 2 tenga dos raí es, una de las uales es 1. √ −k ±
apli ando la fórmula general tenemos que x1,2 = 2 vemos que k 2 + 8 > 0, enton es hallemos una raíz de la e ua ión
uadráti a, Solu ión:
−k ±
√ √ k2 + 8 = 1 ⇔ ± k2 + 8 = 2 + k 2 ⇔ k 2 + 8 = 4 + 4k + k 2 ⇔ 1=k
Por lo tanto el onjunto solu ión es {1}.
9. Halle el onjunto de valores de k para los que x tome valores reales en la e ua ión x2 + 3x + 1 = (k + 2)x. Solu ión: para que tenga solu iones reales basta que la dis riminante sea mayor que ero (3k + 6)2 − 4 ≥ 0 ⇔ (3k + 4)(3k + 8) ≥ 0 4 8 ⇔ k+ k+ ≥0 3 3 8 4 ⇔ x ∈ −∞, − ∪ − , ∞ 3 3
10. Halle el onjunto de valores de m para que la siguiente e ua ión 2 no tenga solu iones reales: (m + 5)x + 3mx − 4(m − 5) = 0 P
[email protected]
17
R
Li : Juan A. Huaman haqui
k2 + 8
,
ECUACIONES E INECUACIONES CON
Solu ión:
√ ·
.
Basta ver que la dis riminante sea menor que ero (0).
9m2 + 16(m2 − 25) < 0 ⇔ m2 − 16 < 0 ⇔ (m − 4)(m + 4) < 0 ⇔ m ∈ (−4, 4) E ua iones e ine ua iones on
√
·
q Las fun iones proposi ionales que tienen la forma P (x) ⋆ 0, donde ⋆q ≡=, ,q ≤, ≥, o en el aso mas general sería
P1 (x) + P2 (x) + . . . + Pn (x) q q ⋆ 0, Q1 (x) + Q2 (x) + . . . + Qm (x)
on este tema se pretende que las fun iones preposi ionales sean verdaderas para intervalos que son sub onjuntos de R. E ua iones on
√ ·
Para resolver este tipo de e ua iones √ se utiliza el siguiente 2teorema: Teorema: Sean a, b ∈ R, enton es. a=b⇔ √[b ≥ 0 ∧ a = b ]. Nota: A la raíz positiva se le denotará omo a y si queremos denotar √ a la raíz √ negativa se lo hará por −√ a. Enton es no se onfunda ha er esto 4 = 2 pero no es ierto que √4 = −2 √. Teorema Sean a, b ∈ R, enton es. a + b = 0 ⇔ [b = 0 ∧ a = 0]. Demostra ión:
√
0≤
√
a≤
√ √ a+ b=0
√ √ a+ b=0 √ √ √ Teorema Sean a, b, c ∈ R , enton es. a + b = c ⇔ c ≤ 0[( a+ √ 2 2 b) = c ]. √ √ √ 2 Teorema Sean a, b, c ∈ R , enton es. a − b = c ⇔ c ≤ 0[ a = √ 2 ( b + c) ]. b=
Si una e ua ión tiene mu hos radi ales (esto es, q q P (x) Q(x) q q + S(x) = 0) enton es primero tenemos que extraer R(x) el universo U que es la interse
ión de los valores que ha e que exista las radi ales. (esto es U = {x ∈ R/P (x) ≥ 0 ∧ Q(x) ≥ 0 ∧ R(x) ≥ Observa ión:
P
[email protected]
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R
Li : Juan A. Huaman haqui
ECUACIONES E INECUACIONES CON
√ ·
.
0 ∧ S(x) ≥ 0})
Para resolver las e ua iones on radi ales, primero se tiene que extraer el onjunto universo U , Para poder onseguir el onjunto universo es pre iso poner las ondi iones ne esaria y su iente de la e ua ión original (del mismo problema), no uando ya se ha he ho q opera iones. Con esto quiero de ir que: El universo de la e ua iones P (x)Q(x) = 0 esta de nido U1 = {x ∈ R/P (x)Q(x) ≥ 0}, pero el universo de la q porq e ua ión P (x) Q(x) = 0 esta de nido por U2 = {x ∈ R/P (x) ≥ 0 ∧ Q(x) ≥ 0} enton es podemos ver que√los universos √ √ U1 y U2 son distintos, porque la propiedad de radi ales ab = a b es válida uando − a, b ∈ R+ 0 pero no es ierto uando a, b ∈ R OJO:
Ejemplo 1.0.7.
Resuelva ada uno de las e ua iones on radi ales.
q 1. (2x − 1)(3x + 1) = x + 1 Solu ión: El universo es U = {x ∈ R/(2x − 1)(3x + 1) ≥ 0} luego
ha emos la e ua ión omo
x + 1 ≥ 0 ∧ (2x − 1)(3x + 1) = (x + 1)2 ∧ U x ≥ −1 ∧ 6x2 − x − 1 = x2 + 2x + 1 ∧ U x ≥ −1 ∧ 5x2 − 3x − 2 = 0 ∧ U x ≥ −1 ∧ (5x + 2)(x − 1) = 0 ∧ U √ √ 2. x − 1 10x + 5 = x + 3 Solu ión: El universo es U = {x ∈ R/(x−1) ≥ 0∧(10x+5) ≥ 0}
luego ha emos la e ua ión omo
x + 3 ≥ 0 ∧ (x − 1)(10x + 5) = (x + 3)2 p p 3. x2 − 21x + 90 − x2 + 3x − 54 = x − 6
fa torizando q q tenemos: (x − 15)(x − 6) − (x + 9)(x − 6) = x − 6 Solu ión:
enton es el universo es
U = {x ∈ R/(x − 15)(x − 6) ≥ 0 ∧ (x + 9)(x − 6) ≥ 0}
luego q ha emos la e ua ión: q (x − 15)(x − 6) =
(x + 9)(x − 6) + (x − 6) q elevando al uadrado, se tiene 2 (x + 9)(x − 6) = −(x + 18) para x 6= 6 apli ando el teorema. P
[email protected]
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R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
|·|
.
x ≤ −18 ∧ 4(x + 9)(x − 6) = (x + 18)2, enton es en ontramos ∅. Por lo tanto la solu ión es x = 6. Ine ua iones on
√ ·
Para resolver este tipo de ine ua iones √ se√utiliza el siguiente teorema: Teorema: Si a, b ∈ R enton es 0 ≤ a ≤ b ⇒ 0 ≤ a ≤ b. Teorema: Si a, b ∈ R enton es
√ a < b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b > 0 ∧ a < b2 ] √ 2. a > b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b2 )] √ √ Ejemplo 1.0.8. 1. x + 1 + x + 2 < 3
1.
Solu ión:
se apli a el teorema dos ve es.
q p 2. 1 + x4 − x2 > x − 1
el onjunto universo es U = {x ∈ R/x4 − x2 ≥ 0} apli ando el teorema, se tiene Solu ión:
p x − 1 < 0 ∨ [x − 1 ≥ 0 ∧ x4 − x2 > (x − 2)x] p Veamos primero las radi ales x4 − x2 > (x − 2)x, enton es
(x − 2)x < 0 ∨ [(x − 2)x ≥ 0 ∧ x2(4x − 5) > 0]
luego, se tiene x ∈ [1, ∞). reemplazando a la e ua ión se tiene:
U = (−∞, −1] ∪ {1} ∪ [1, ∞) √ 3. 6x + 1 ≥ 2x − 3
el onjunto universo es U = {x ∈ R/6x + 1 ≥ 0} apli ando el teorema, se tiene Solu ión:
2x − 3 < 0 ∧ [2x − 3 ≥ 0 ∧ 6x + 1 ≥ (2x − 3)2] E ua iones e ine ua iones on
|·|
Toda fun iones proposi ionales que tienen la forma. |P (x)| ⋆ 0, donde ⋆ ≡=, , ≤, ≥,o en el aso mas general sería; |P1 (x)| + |P2 (x)| + . . . + |Pn (x)| ⋆ 0, |Q1 (x)| + |Q2 (x)| + . . . + |Qm (x)|
on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean verdaderas para algunos x que están en R. P
[email protected]
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R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
E ua iones on
|·|
.
|·|
En las e ua iones on valor absoluto se utiliza el siguiente teorema: Teorema
1. |x| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ [x = b ∨ x = −b] Demostra ión:
⇒) Como |x| ≥ 0 y |x| = b enton es b ≥ 0, además por de ni ión de valor absoluto x = b ∨ x = −b. →) Sabiendo que b ≥ 0
1) Si x = b y omo b ≥ 0 enton es |x| = b 2) Si x = −b y omo b ≥ 0 enton es x ≺ 0 enton es |x| = −x = b
2. |x| = |b| ⇔ [x = b ∨ x = −b] Demostra ión: Sabemos que |x| = |b| ⇔ |x|2 = |b|2 ⇔ x2 = b2 ⇔ x = ±b
1. |3x − 1| = |5x − 15| Apli ando el teorema se tiene.
Ejemplo 1.0.9. Solu ión:
|3x − 1| = |5x − 15| ⇔ 3x − 1 = 5x − 15 ∨ 3x − 1 = −5x + 15 ⇔ 7=x∨x=2
2. |6x + 3| = |18 + x| Solu ión: Apli ando el teorema se tiene. |6x + 3| = |18 + x| ⇔ 6x + 3 = 18 + x ∨ 6x + 3 = −18 − x ⇔ x = 3 ∨ x = −3
3. (x − 4)2 − 2|x − 4| − 15 = 0 2 Solu ión: La e ua ión es equivalente a |x−4| −2|x−4|−15 = 0, fa torizando tenemos que |x − 4| + 3 = 0 ∨ |x − 4| − 5 = 0 enton es x = 9 ∨ x = −1.
P
[email protected]
21
R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
Ine ua ión on
|·|
.
|·|
Para las ine ua iones on valor absoluto se utiliza los siguientes teoremas. Teorema: Sean x, a ∈ R, entones 1. |x| ≤ a ⇔ [(a ≥ 0) ∧ (−a ≤ x ≤ a)] Demostra ión:
⇒) Como a ≥ |x| y |x| ≥ 0 enton es a ≥ 0, y |x|2 ≤ a2 enton es x2 ≤ a2 luego tenemos −a ≤ x ≤ a
⇐) Como x ≤ a y −x ≤ a enton es |x| ≤ a
2. |x| ≥ a ⇔ [(x ≥ a) ∨ (x ≤ −a)] Demostra ión:
⇒) ∀x ∈ R: x ≥ 0 ó x < 0, en donde -) Si x ≥ 0: |x| = x y omo se umple |x| ≥ a enton es x ≥ a. -) Si x < 0: |x| = x y omo se umple |x| ≥ a enton es −x ≥ a, nalmente x ≤ −a ⇐) Como x ≥ a y −x ≥ a enton es |x| ≥ a
y el teorema Teorema: Sean b, a ∈ R, enton es
1. |a| ≤ |b| ⇔ (a + b)(a − b) ≤ 0
2. |a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a − b) ≥ 0
En esta observa ión haremos un método mas sen illo para poder hallar las ine ua iones on valor absoluto. Supongamos que tenemos una ine ua ión de la forma: Observa ión:
|P (x)| + |Q(x)| = |H(x)| |R(x)|
se solu iona de la siguientes manera.
1. Apli amos la de ni ión de valor absoluto, en ada aso. |P (x)| = P
(
[email protected]
P (x) ; P (x) ≥ 0 Resolviendo x ≥ a −P (x) ; P (x) < 0 Resolviendo x < a 22
R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
|·|
.
|Q(x)| =
(
Q(x) ; Q(x) ≥ 0 Resolviendo x ≥ b −Q(x) ; Q(x) < 0 Resolviendo x < b
|R(x)| =
(
R(x) ; R(x) ≥ 0 Resolviendo x ≥ c −R(x) ; R(x) < 0 Resolviendo x < c
|H(x)| =
(
H(x) ; H(x) ≥ 0 Resolviendo x ≥ d −H(x) ; H(x) < 0 Resolviendo x < d
y
2. Ahora supongamos que a < b < c < d y lo representamos estos puntos en: −H(x)
−H(x)
−H(x)
−H(x)
H(x)
|H(x)|
−R(x)
−R(x)
−R(x)
R(x)
R(x)
|R(x)|
−Q(x)
−Q(x)
Q(x)
Q(x)
Q(x)
|Q(x)|
−P (x)
P (x)
P (x)
P (x)
|P (x)|
a
P (x)
b
d
R
3. Luego trabajamos en ada uno de los intervalos.
a ) Si x < a enton es: |P (x)| + |Q(x)| −P (x) − Q(x) = |H(x)| ⇔ = −H(x) |R(x)| −R(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos por A b ) Si a ≤ x < b enton es: |P (x)| + |Q(x)| P (x) − Q(x) = |H(x)| ⇔ = −H(x) |R(x)| −R(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos por B P
[email protected]
23
R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
|·|
.
) Si b ≤ x < c enton es: |P (x)| + |Q(x)| P (x) + Q(x) = |H(x)| ⇔ = −H(x) |R(x)| −R(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos por C
d ) Si c ≤ x < d enton es: |P (x)| + |Q(x)| P (x) + Q(x) = |H(x)| ⇔ = −H(x) |R(x)| R(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos por D
e ) Si d ≤ x enton es: |P (x)| + |Q(x)| P (x) + Q(x) = |H(x)| ⇔ = H(x) |R(x)| R(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos por E Cada onjunto solu ión es la solu ión de la ine ua ión interse tando on el intervalo donde pertene e nuestro x. Nota:
4. Finalmente el onjuntos solu iones A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E Ejemplo 1.0.10.
Resolver
|4x − x2| − 5 √ 1. ≥0 1 − x2 Solu ión: 2
veamos la ine ua ión.
|4x − x | − 5 |x||4 − x| − 5 √ = ≥0 1 − |x| 1 − x2
apli ando la de ni ión de valor absoluto se tendría |x| =
y |x − 4| =
P
[email protected]
(
(
x ; x≥0 −x ; x < 0
x−4 ; x≥4 −(x − 4) ; x < 4 24
R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
|·|
.
ahora pongamos los signos en la re ta real. -
-
+
a)
+ b)
+
)
0
4
|x − 4| |x| R
Trabajemos en ada uno de los intervalos. 1. x ∈ (−∞, 0) enton es |x| = −x y |x − 4| = −x + 4 |x||4 − x| − 5 −x(4 − x) − 5 ≥ 0 ⇒ ≥0 1 − |x2| 1+x
resolviendo tenemos x ∈ (5, ∞) enton es x ∈ (5, ∞)∩(−∞, 0) = ∅
2. x ∈ [0, 4) enton es |x| = x y |x − 4| = −x + 4
|x||4 − x| − 5 x(4 − x) − 5 ≥ 0 ⇒ ≥0 1 − |x2| 1−x
resolviendo tenemos x ∈ (1, ∞) enton es x ∈ (1, ∞)∩[0, 4) = [1, 4)
3. x ∈ [4, ∞) enton es |x| = x y |x − 4| = x − 4
|x||4 − x| − 5 x(x − 4) − 5 ≥ 0 ⇒ ≥0 1 − |x2| 1−x
resolviendo tenemos x ∈ (−∞, −1)∪(1, 5) enton es x ∈ {(−∞, −1)∪ (1, 5)} ∩ [4, ∞) = (4, 5)
nalmente tenemos el onjunto solu ión (4, 5) ∪ [0, 5). q q 2. |x + 2| − 3 + 5 − |4 − x| > 0 √ √ Solu ión: Re ordemos que a + b > 0 ⇔ [a ≥ 0 ∧ b > 0] ∨ [a > 0 ∧ b ≥ 0] veamos la ine ua ión, apli ando el resultado anterior,
se tendría.
[|x + 2| ≥ 3 ∧ 5 > |4 − x|] x ∈ [1, 9)
P
[email protected]
∨ [|x + 2| > 3 ∧ 5 ≥ |4 − x|] ∨ x ∈ (1, 9] x ∈ [1, 9]
25
R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
|·|
.
q 3. |2x − 1| + x − 5 > x − 1 Solu ión:
Hallando el universo
U = {x ∈ R/|2x − 1| ≥ 5 − x} = R − (−4, 2) q Ahora resolvamos la ine ua ión. |2x − 1| + x − 5 > x − 1.
Apli ando un resultado anterior.
q x ∈ R − (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x − 1 ≥ 0 ∧ |2x − 1| + x − 5 > x − 1)]
x ∈ R − (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ |2x − 1| > x2 − 3x + 6)] x ∈ R − (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ (−7 > x2 − 5x ∨ 5 < −x2 + x))] x ∈ R − (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ (x ∈ ∅ ∨ x ∈ ∅))] x ∈ R − (−4, 2) ∧ [x ∈ (−∞, 1) ∨ (x ∈ [1∞) ∧ (x ∈ ∅ ∨ x ∈ ∅))] x ∈ (−∞, −4] q q q 4. |x| + 3 < |x| + 1 − 6 − |x| Solu ión:
Hallando el universo
U = {x ∈ R/|x| + 3 ≥ 0 ∧ |x| + 1 ≥ 0 ∧ 6 − |x| ≥ 0} = {x ∈ R/x ∈ (−∞, −3] ∪ [3, ∞) ∧ x ∈ R ∧ x ∈ [−6, 6]} = [−6, −3] ∪ [3, 6]
Ahora veamos la desigualdad, primero elevaremos al uadrado. q q q |x| + 3 < |x| + 1 − 6 − |x| q q q |x| + 3 + 6 − |x| < |x| + 1 q 1 (|x| + 3)(6 − |x|) < (|x| + 2) 2
apli ado las propiedades
P
[email protected]
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R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
J·K
.
2 1 1 (|x| + 2) ≥ 0 ∧ (|x| + 3)(6 − |x|) < (|x| + 2) 2 2 1 (|x| + 2) ≥ 0 ∧ 0 < 5|x|2 − 40|x| + 76 2 1 (|x| + 2) ≥ 0 ∧ 0 < 5|x|2 − 40|x| + 76 2 2 2 x ∈ R − [−2, 2] ∧ |x| ∈ R − 4 − √ , 4 + √ 5 5 2 2 2 2 x ∈ R − [−2, 2] ∧ x ∈ R − −4 − √ , 4 + √ ∪ −4 + √ , 4 − √ 5 5 5 5
inter eptando
on el universo es:
2 2 2 2 −6, −4 − √ ∪ −4 + √ , −3 ∪ 3, 4 − √ ∪ 4 + √ , 6 5 5 5 5
E ua iones e ine ua iones on
J·K
Toda fun iones proposi ionales que tienen la forma. P (x) ⋆ 0, donde ⋆ ≡=, , ≤, ≥, o en el aso mas general sería JP1 (x)K + JP2 (x)K + . . . + JPn (x)K ⋆ 0, JQ1(x)K + JQ2 (x)K + . . . + JQm (x)K
on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean verdaderas para algunos x que están en R. E ua iones on
J·K
Para resolver las e ua iones on máximo entero se utiliza el teorema Teorema: ∀x ∈ R y n ∈ N, umple JxK = n ⇔ n ≤ x < n + 1, y las propiedades de máximo entero.
1. J2x − 1K = −1 sabemos por propiedad de máximo entero que:
Ejemplo 1.0.11. Solu ión:
J2x − 1K = −1 ⇔ −1 ≤ 2x − 1 < 0 1 ⇔ 0≤x< 2 1 ⇔ x ∈ [0, ) 2 P
[email protected]
27
R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
2.
s
{ 3x + 1 =2 3 − 2x
Solu ión:
s
J·K
.
sabemos por propiedad de máximo entero que:
{ 3x + 1 3x + 1 =2 ⇔ 2≤ 4 x = 1,9 → JxK > 0
[email protected]
28
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
x ≥ JxK ≥ 1 x ≥ JxK ≥ 5 x ≥ JxK ≥ 5 x ≥ JxK ≥ 1 R
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ECUACIONES E INECUACIONES CON
o también podemos ver que Si Si Si Si
J·K
x = 1,2 → JxK ≤ 1 x = 5,3 → JxK ≤ 5 x = 5,0 → JxK ≤ 5 x = 1,9 → JxK ≤ 1
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
.
2 > x ≥ JxK 6 > x ≥ JxK 6 > x ≥ JxK 2 > x ≥ JxK
de estas observa iones, tenemos el siguiente orolario. Corolario: Para todo n ∈ Z umple 1. JxK > n ⇔ x ≥ n + 1
2. JxK ≤ n ⇔ x < n + 1
Ejemplo 1.0.12.
1.
s
3x + 2 x−1
{
Solu ión:
≤
Resolver
13 3
13 < 5, enton es se tiene 3 s { 3x + 2 3x + 2 ≤5 ⇔ 0 x−1
Como
⇔ x ∈ (−∞, 1) ∪
2.
q 4 − |x|
Jx2 − 2x − 7K
8 ,∞ 3
>0
Hallando el onjunto universo. U = {x ∈ R/4 − |x| ≥ 0} = [−4, 4], ahora veamos la ine ua ión. Solu ión:
q 4 − |x|
Jx2 − 2x − 7K
P
q >0 ⇔ 4 − |x| > 0 ∧ Jx2 − 2x − 7K > 0 ∧ x ∈ [−4, 4]
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
[email protected]
4 − |x| > 0 ∧ J(x − 1)2 − 8K ≥ 1 ∧ x ∈ [−4, 4] x ∈ (−4, 4) ∧ (x − 1)2 − 8 ≥ 1 ∧ x ∈ [−4, 4] x ∈ (−4, 4) ∧ (x − 4)(x + 2) ≥ 0 ∧ x ∈ [−4, 4] x ∈ (−4, 4) ∧ x ∈ (−∞, −2] ∪ [4, ∞) ∧ x ∈ [−4, 4] x ∈ (−4, −2] 29
R
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ECUACIONES E INECUACIONES
e(·)
.
3. 2Jx + 1K2 − 11JxK ≤ 4 Solu ión: Sabemos por propiedad de máximo entero que Jx + 1K = JxK + 1, enton es
2Jx + 1K2 − 11JxK ≤ 4 ⇔ 2(JxK2 + 2JxK + 1) − 11JxK ≤ 4 ⇔ (2JxK − 3)(JxK − 2) ≤ 0 3 ⇔ JxK ∈ , 2 2
omo JxK ∈ Z enton es x ∈ [2, 3). E ua iones e ine ua iones
e(·)
Toda fun iones proposi ionales que tienen la forma. P (x) ⋆ 0, donde ⋆ ≡=, , ≤, ≥, o en el aso mas general sería eP1 (x) + eP2 (x) + . . . + ePn (x) ⋆ 0, eQ1 (x) + eQ2 (x) + . . . + eQm (x)
on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean verdaderas para algunos x que están en R. E ua iones
e(·)
Sea a < 0 un número real positivo arbitrario, y sean P (x) y q(x) fun iones arbitrarias de la variable real x, enton es llamaremos una e ua ión exponen ial a una e ua ión de una de las dos formas: aP (x) = 1 ó aP (x) = aQ(x) . Y para resolver este tipo de e ua iones se utiliza los dos teoremas siguientes. Teorema: Sea a > 0. Si x es una variable real, enton es la expresión ax es siempre positiva, para todo x ∈ R Teorema: Sea a > 0, a 6= 1, enton es 1. aP (x) = aQ(x) ⇔ P (x) = Q(x) 2. aP (x) = 1 ⇔ P (x) = 0
3. 1P (x) = 1, para toda expresión P (x). Ejemplo 1.0.13.
de y P
Hallar el onjunto donde umple igualdad en términos
[email protected]
30
R
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ECUACIONES E INECUACIONES
e(·)
.
s
{ 2y + 3 1. 32x+5 − 28(3x+1 − 2) = 55 siendo x = y+2 2x x Solu ión: la e ua ión para resolver es 243.(3 ) − 84(3 ) + 1 = 0, enton es resolviendo la e ua ión uadráti a (p = 3x) en ontramos 3x = 3−1 os3x = 3−4 { enton es de esto se tiene x = −1 o x = −4 y 2y + 3
omo x = enton es y+2 s { s { 2y + 3 2y + 3 = −1 ∨ = −4 y+2 y+2 2y + 3 2y + 3 < 0 ∨ −4 ≤ < −3 −1 ≤ y+2 y+2 5 3 11 9 y ∈ − ,− ∨ y ∈ − ,− 3 2 6 5
Por lo tanto el onjuntosolu ión es: 5 3 − ,− 3 2
2. 3
x+2
+3
∪ −
x+1
11 9 ,− 6 5
x
+3 +3
x−1
= 120 donde x =
s
y 2 + 7y − 2 y+2
Solu ión:
3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x−1 = 120 ⇔ (27 + 9 + 3 + 1)3x = 360 ⇔ 3x = 9 s y 2 + 7y − 2 ⇔ x=2= y+2 ⇔ y = −5, 2
3. 32(x+1) − (18)3x + 9 = 0 donde x = Solu ión:
32(x+1) − 183x + 9 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
P
[email protected]
31
p
y4 − 4
(9)32x − (18)3x + 9 = 0 3x = 1 ∧ 3x = 1 p x = 0 = y4 − 4 √ y=± 2
R
Li : Juan A. Huaman haqui
ECUACIONES E INECUACIONES
In ua iones
e(·)
.
e(·)
Las ine ua iones exponen iales son de la forma aP (x) > aQ(x) , aP (x) > aQ(x) , aP (x) ≤ aQ(x) y aP (x) ≥ aQ(x) . Para hallar estos tipos de ine ua iones se utiliza el siguiente teorema, pero antes debemos re ordar que a < b ⇔ b > a. Teorema: Sea a > 0, 1. Si a > 1, enton es
a ) aP (x) > aQ(x) ⇔ P (x) > Q(x) b ) aP (x) ≥ aQ(x) ⇔ P (x) ≥ Q(x)
2. Si 0 < a < 1, enton es
a ) aP (x) > aQ(x) ⇔ P (x) < Q(x) b ) aP (x) ≥ aQ(x) ⇔ P (x) ≤ Q(x)
Y el teorema. Teorema: Sean a > 0, b > 0 y α ∈ R, enton es 1. Si α > 0,
a ) aα < bα ⇔ a < b b ) aα ≤ bα ⇔ a ≤ b
2. Si α = 0 enton es aα = bα = 1 3. Si α < 0,
a ) aα < bα ⇔ a > b b ) aα ≤ bα ⇔ a ≥ b Ejemplo 1.0.14.
de m
Hallar el onjunto donde umple igualdad en términos
1. (0,3)x+9 > (0,3)x −3x+4 donde x = |m2 − 4| + 2m − 4 Solu ión: sabemos que 2
2
(0,3)x+9 > (0,3)x
P
[email protected]
−3x+4
⇒ x + 9 < x2 − 3x + 4 ⇒ 0 < (x − 5)(x + 1) ⇒ x ∈ (−∞, −1) ∪ (5, ∞)
32
R
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ECUACIONES E INECUACIONES
LOGB (·)
.
Como x = |m2 − 4| + 2m − 4 enton es
|m2 − 4| + 2m − 4 ∈ (−∞, −1)√ ∪ (5, ∞)√resolviendo la ine ua iones se tiene omo solu ión (1 − 2 2, 1 − 2) q √ x−1 √ 3 2x+5 3x+1 2. 3 > 9x+5 donde ||m + 4| + (m + 5)| = x Solu ión:
3x+1
2x+10
3x + 1 2x + 10 > 3(x − 1) 5x + 5 7(x + 5) >0 ⇒ 3(x − 1)(5x + 5) −5 ⇒ x ∈ −5, ∪ (1, ∞) 2
3 3(x−1) > 3 5x+5 ⇒
omo ||m + 4| + (m+ 5)| = x enton es ||m+4|+(m+5)| ∈ −5,
enton es
−5 ∪(1, ∞), luego ||m+4|+(m+5)| > 1 2
|m + 4| > −m − 4 ∨ |m + 4| < −m − 6 m > 0 ∨ ∅ ∨ ∅ ∧ m ∈ (−∞, −1)
enton es el onjunto solu ión es m ∈ (0, ∞). E ua iones e ine ua iones
logb(·)
Toda fun iones propisi ionales que tienen la forma. P (x) ⋆ 0, donde ⋆ ≡=, , ≤, ≥, o en el aso mas general sería logH(x) P1 (x) + logH(x) P2 (x) + . . . + logH(x) Pn (x) ⋆ 0, logH(x) Q1(x) + logH(x) Q2 (x) + . . . + logH(x) Qm (x)
on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean verdaderas para algunos x que están en R. Cuando se resuelve una e ua ión o una ine ua ión logarítmi a en primer instan ia hay que extraer el universo, y este es: 1. A la expresión logQ(x) P (x), le obliga automáti amente a resolver la ine ua ión P (x) > 0. 2. A la expresión logQ(x) P (x), le obliga automáti amente a resolver la ine ua ión (Q(x) > 0) ∧ (Q(x) 6= 1). P
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R
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ECUACIONES E INECUACIONES
E ua iones
LOGB (·)
.
logb (·)
Primero se tiene que extraer el universo (las dos ondi iones de arriba) y luego se apli a el teorema. Teorema: Sea a ∈ R, umple:
loga P1 (x) = loga P2 (x) ⇔ P1 (x) = P2 (x) Ejemplo 1.0.15.
En ontrar la solu ión de las e ua iones logarítmi as
1. logx (3). log 81x (3) = − logx−3 (x) para x > 1 Solu ión: Hallando el onjunto universo. U = (1, +∞). Veamos la e ua ión. logx (3). log 81x (3) = − logx−3 (x) log3 3 log81 3 1 ⇒ 81 = log3 x log81 x 3 ·
1 1 1 4 ⇒ = log3 x 1 − 14 log3 x 3 ⇒ (log3 x)2 − 4 log3 x + 3 = 0 ⇒ (log3 x − 3)(log3 x − 1) = 0 ⇒ log3 x = 3 ∨ log3 x = 1 ⇒ x = 27 ∨ x = 3
Por lo tanto el onjunto solu ión es {3, 27}
8 2. log8x + (log8(x))2 = 1 x Solu ión:
· ⇒ ⇒ ⇒
Veamos la e ua ión
8 log8x + (log8(x))2 = 1 x log8x 8 − log8x x + (log8(x))2 = 1 log8 8 log8 x − + (log8(x))2 = 1 log8 8x log8 8x log8 8 log8 x − + (log8 (x))2 = 1 log8 8 + log8 x log8 8 + log8 x Ha iendo p = log8 x y operando tenemos log8 x = 0 ∨ log8 x = −2 ∨ log8 x = 1
· ⇒ ⇒ x = 1 ∨ x = 8−2 ∨ x = 8 (Por de ni ión de log) P
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R
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ECUACIONES E INECUACIONES
LOGB (·)
.
Por lo tanto el onjunto solu ión es:
1, 8−2, 8
logy 81−log3 y (log3 y− 25 ) 25 2 = 3. siendo y = Jx + 2K 5 4 Solu ión:
resolviendo la e ua ión
logy 81−log3 y (log3 y− 25 ) 25 2 = 5 4 −2(log3 y− 25 ) 2 = 5
Apli ando la propiedad de los exponentes, tenemos
4 − log3 y = 2 log3 y − 5 log3 y ⇒ log3 y = 4 ∨ log3 y = 1 ⇒ y = 81 ∨ y = 3
logy 81 − log3 y = 2 log3 y − 5 ⇒
Por lo tanto el onjunto solu ión es.
{3, 81} 8 4. log8x + (log8(x))2 = 1 donde x = |m2 + 2m + 1| x Solu ión:
U = = = = = = P
Hallando el onjunto universo.
1 2 2 m ∈ R/|m + 2m + 1| > 0 ∧ |m + 2m + 1| 6= 8 1 m ∈ R/(m + 1)2 > 0 ∧ m2 + 2m + 1 6= 8 !2 r 1 2 m ∈ R/m ∈ R − {−1} ∧ (m + 1) − 6= 0 8 ( ) r ! r ! 1 1 m+1+ 6= 0 m ∈ R/m ∈ R − {−1} ∧ m+) − 8 8 ( " r r #) 1 1 m ∈ R/m ∈ R − {−1} ∧ m 6= − 1 ∨ m 6= −1 − 8 8 ( ) r r 1 1 R − −1, − 1, − −1 8 8
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R
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ECUACIONES E INECUACIONES
LOGB (·)
.
Veamos la e ua ión · ⇒ ⇒ ⇒
8 + (log8(x))2 = 1 log8x x log8x 8 − log8x x + (log8(x))2 = 1 log8 8 log8 x − + (log8(x))2 = 1 log8 8x log8 8x log8 8 log8 x − + (log8(x))2 = 1 log8 8 + log8 x log8 8 + log8 x Ha iendo p = log8 x y operando tenemos log8 x = 0 ∨ log8 x = −2 ∨ log8 x = 1 x = 1 ∨ x = 8−2 ∨ x = 8 (Por de ni ión de log)
· ⇒ ⇒ ⇒ |m2 + 2m + 1| = 1 ∨ |m2 + 2m + 1| = 8−2 ∨ |m2 + 2m + 1| = 8 ⇒ (m + 1)2 − 1 = 0 ∨ (m + 1)2 − 8−2 = 0 ∨ (m + 1)2 − 8 = 0 √ √ 7 9 ⇒ m ∈ {−2, 0} ∨ m ∈ − , − ∨ m ∈ {2 2 − 1, −2 2 − 1} 8 8
Por lo tanto el onjunto solu ión es:
√ 7 9 √ −2, 0, − , − , 2 2 − 1, −2 2 − 1 8 8 Ine ua iones
logb (·)
Primero se tiene que extraer el universo (las dos ondi iones de arriba) y luego se apli a el teorema. Teorema: Sea a ∈ R, umple: 1. a > 1 enton es loga P1 (x) < loga P2 (x) ⇔ P1 (x) < P2 (x)
2. 0 < a < 1 enton es loga P1 (x) < loga P2 (x) ⇔ P1 (x) > P2 (x)
Ejemplo 1.0.16.
1. Si b > 1, resolver logb x+logb (x+1) < logb (2x+
6) donde x = Jm2 − 1K Solu ión:
logb x + logb(x + 1) < logb (2x + 6) ⇔ logb
Hallando el universo U = {m ∈ R/ 1K}
x(x + 1) 0 on x = Jm2 − 2x + 6
x(x + 1) > 0 ⇒ x ∈ (−3, −1) ∪ (0, ∞) 2x + 6 P
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R
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ECUACIONES E INECUACIONES
LOGB (·)
.
pero x = Jm2 − 1K ∈ (−3, −1) ∪ (0, ∞) enton es, hallaremos por parte el universo. Primero. Jm2 − 1K ∈ (−3, −1) ⇒ Jm2 − 1K = −2 ⇒ −2 ≤ m2 − 1 < −1 ⇒ m∈R
y
Jm2 − 1K ∈ (0, ∞) ⇒ Jm2 − 1K > 0 ⇒ m2 − 1 > 0 ⇒ m ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
por lo tanto el universo es U = R − [−1, 1] Finalmente veamos la ine ua ión x(x + 1) x+1 x+3 x+2 6 3 7 21. − < x−1 x+1 x+2 2x x 22. 2 > 2 2x + 7x + 5 x + 6x + 5
20.
4. Si A y B son los onjuntos solu ión orrespondientes a las ine ua(x − 1)2 − 1 (x + 3)(3 − 5x)
iones en R: < 0 ; ≥ 0; hallar (x + 3)(2 − 5x) (x + 1)(2x + 3) A∩B
5. Hallar la ine ua ión ra ional uyo onjuntos solu ión es: h−∞, −2i∪ [−1, 3] ∪ h4, +∞i
6. Hallar la ine ua ión ra ional uyo onjuntos solu ión es: h−∞, −3i∪ 7.
[−1, 1i ∪ h4, +∞i
Resolver las siguientes sistemas de e ua iones:
a) b)
3m + 2n = 13 −6m + 4n = 14
x−y = 2 3x − 2y = 9 4 6 =0 + x y d) 3 4 17 − = − 6 x y 12 + 7y = 53 x e) 18 − 13y = 85 P x
[email protected]
)
3(2x − 5y) 5x − 2y f) 4(5x + 2y) 3 13 + 5y 3x + 2y + z g) 5x − 6y + z 4x + 7y − z x+z = 2 h) y+z = 4 y+x = 9
3x + 2y = 13 5x − 3y = 9
40
R
= −24 =
1
= −4 = 92 = −67
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.
EJERCICIOS DE ECUACIONES
8.
Resolver las siguientes sistemas de ine ua iones:
a) b)
) 9.
2x + y ≤ 3 x+y ≥ 1
3x − y ≤ −1 2x + 3y > 7 x+y ≥ 3 2x − y < 4
d)
e)
2x + y > −4 2x + y ≤ 6 x + 2y ≤ 0 y − x > −2
Resolver las e ua iones on valor absolutos.
x + 8 =3 a) x + 4
b) ||x2 − 1| − x| = x
) ||x2 − 5x + 15| − x2 + 8| = |3x + 9|
d) ||x + 1| + 2|x − 2|| = |x − 8|
e) 2||x − 5| + 2|2 − 11||x − 5| + 2| + 12 = 0 10.
Resolver las ine ua iones on valor absolutos.
||x + 1| − 2| ≥1 2 − |x| 2 x + 3x + 11 ≤3 2. x−2
1.
|x| − 3 2 − |x| ≥ 5 − |x| |x| + 1 p p p p 4. ( |x − 1| − 3 − 5 − |x − 4|)( |x − 1| − 3 + 5 − |4 − x|) ≤ x−6 s x||x + 1| − 2| − 6 ||x − 3| − 1| √ 5. − + 2−x≥0 |x − 2| + 5 |x + 1| + 2
3.
6. |2|x2 − 7x + 12| + x2 + 4| < |3|x2 − 9x + 18| + x2 + 4| 7.
P
|4 − x| + |2x + 3| ≤2 |x − 1| + 1
[email protected]
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R
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.
EJERCICIOS DE ECUACIONES
11.
Resolver las e ua iones e ino ula iones on Máximo entero.
a)
p x − JxK = x
b) J5xK = 4x + 3
)
d)
q 2x−1 y x+2
=1
p p 9 − JxK2 + |x| − 3 = 0 p e) JxK2 − 12 − (JxK2 − JxK − 6) ≥ 0 p f) JxK2 − 9 − (JxK2 − 2JxK − 15) ≤ 0 p g) JxK2 − 9(JxK2 − 2JxK − 15) ≤ 0
h) 2|x| − J2xK ≥ 0 12.
Resolver las e ua iones exponen iales y logarítmi as.
a) 4x = 8 3 + 2, siendo x = |10 − 3n + n2 | − |n2 + n − 6| x
1
2
b) 25x − 4 = 52x−1, siendo x = ||n − 1| + n| −
√
−n
) 2x + 2x+1 + 2x−2 + 2x−3 = 960, siendo x = Jn2 − 4n − 3K
n + 1 n − 2 − d) log(3x + 1) − log(2x − 3) = 1 − log 5, siendo x = n − 2 n + 3
√
√
|6n − n2 | − 4 e) log 3x + 10 + log x + 2 = 1 − log 5, siendo x = 4 − |n| s { log(16 − x2) |n + 3| − |n − 1| + |x − 5| f) = 2, siendo x = log(3x − 4) |x + 2| − 3
13.
a)
Resolver las ine ua iones exponen iales y logarítmi as.
ex e3x−2
< e−x , siendo x = |3n − 1| − |n + 2|
b) ln(7x − 13) < 0, siendo x = ||n| − 3| − |3n + 2|
) (0,8)|x −3x+2| ≥ (0,64)x+1, siendo x = J2n − 3K 2
d) 34 P
√ x
√
− 4(32 x ) + 3 ≤ 0, siendo x = J5nK − 4n − 3
[email protected]
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.
EJERCICIOS DE ECUACIONES
s
n+2 e) logx (x2 − x − 5) > 0, siendo x = −2 n−3
{
f) log2 (9x−1 + 7) < 2 + log2 (3x−3 + 1), siendo x = 14.
s
|n − 2| + 3 2
{
Resolver omo pueda las siguientes ejer i ios.
a) Si Ap = {x ∈ R/Jx − 1K2 + 2JxK ≥ 17, si Jx + 2K = 5}, hallar A.
b) Exprese el onjunto A = {x2 − J|x − 1| + 2K + JxK/x ∈ h0, 2]} omo
ombina ión de intervalos. √
) Exprese el onjunto A = {x ∈ R/J 10 − 3x − x2 K2 ≤ 9 ↔ Jx−1K = 3} omo ombina ión de intervalos.
P
[email protected]
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[3℄ HAASER, Norman B. LASALLE, Joseph P. SULLIVAN, Joseph A., Análisis Matemáti o I, Edi iones trillas. [4℄ K`ÁREINK. C. FRANCO PALLETE, A. RAMOS TAPIA, J. Matemáti a Bási a, Edirial Universit: de ima edi ión, LimaPerú, 2009. [5℄ VENERO B. Armando, Matemáti a Gemar: segunda edi ión, Lima-Perú, 2008.
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Edi iones
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44
