Ecuacion Dinamica de Flujo Gradualmente Variado

3. ECUACION DINAMICA DE FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Considérese el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud diferencial dx, un canal como se muestra en la figura. Donde:

          

E = Energía total para un sección cualquiera dE = Diferencial de energía c cambio de energía en el dx. dx = longitud diferencial del tramo del canal dZ = incremento en la altura o carga de posición de la sección dx SE = pendiente de energía o de carga totales, constante en el dx considerado, pero variable a lo largo de la dirección x. SW = pendiente de la superficie libre o eje hidráulico. So = pendiente longitudinal del fondo del canal, constante. Ѳ = ángulo que forma el perfil longitudinal del fondo del canal con la horizontal. β = ángulo que forma el horizonte de energía con la línea de alturas totales. d = tirante perpendicular o normal a la sección. y = tirante vertical.

En general se cumple que: SW ≠ So ≠ SE Ѳ≠β

dcosθ= y=

P , para θ= pequeño γ

Estudiando una sección cualquiera del flujo, como la representada en la sección (1), se obtiene que la carga o energía total sobre el plano de referencia es:

2

E=Z + y +α α

V … … …(3.1) 2g

Es el coeficiente de Coriolis que se supone constante en el tramo del

canal considerado. Tomando el fondo del canal como el eje x, y diferenciando la ecuación (3.1) con respecto a esta longitud, se tiene: 2

( )

dE dZ dy d v = + +α … … … .(3.2) dx dx dx dx 2 g

Interpretación de cada uno de los términos: a)

−dE =S E pendiente de la línea de energía, el signo negativo se debe dx al hecho de que hay disminución de energía útil en el sentido del escurrimiento, luego:

−dE =S E … … … .(3.3) dx

b)

−dZ =tgθ=senθ=S 0 dx

(para

θ

= pequeño), pendiente de fondo, el

signo negativo se debe a que Z decrece a medida que x crece, es decir, S0 se supone positiva si la inclinación es descendente hacia aguas abajo (Z decrece cuando x crece) y negativa en caso contrario, luego:

dZ =S 0 … … … .(3.4 ) dx

c)

α

d v2 α dv α dv dy = v = v . … … … (3.5) dx 2 g g dx g dy dx

( )

De otro lado:

dv d Q −Q dA −Q −v = = 2 = 2 T= … … … .(3.6) dy dy A A /T A dy A

( )

Sustituyendo (3.6) en (3.5), resulta:

α

d v2 v 2 dy =−α … … … .(3.7) dx 2 g g A/T dx

( )

Pero en forma general, se tiene que:

2

α

v =F 2 … … … .(3.8) g A /T

Luego:

α

d v2 dy =−F 2 … … … (3.9) dx 2 g dx

( )

Sustituyendo (3.3), (3.4) y (3.9) en (3.2), resulta.

−S E =−S 0+

dy dy −F 2 dx dx

O también:

( 1−F 2 ) dy =S0 −S E dx

De donde:

dy S0 −S E = dx 1−F 2

O

SE S0 dy =S 0 … … … .(3.10) dx 1−F 2 1−

De (3.8) en (3.10) se obtiene:

S0 −S E dy = 2 dx v T 1−α gA

En la práctica se adopta

SE S0 dy =S 0 … … … .(3.11) 2 dx v T 1−α gA 1−

O

α =1 de lo cual se obtiene:

dy S 0−S E = dx v2 T 1− gA

SE S0 dy =S 0 … … … .(3.12) dx v2 T 1− gA 1−

O

En (3.12) reemplazando

v=

Q A , de la ecuación de continuidad,

resulta:

dy S0 −S E = dx Q2 T 1− g A3

SE S0 dy =S 0 … … … .(3.13) 2 dx Q T 1− g A3 1−

O

Las ecuaciones (3.10), (3.11), (3.12) y (3.13) son diferentes formas de representar la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado, y se le denomina con el nombre de ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Estas ecuaciones representan la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo del canal; el tirante y se mide a partir del fondo del canal, tomándose este fondo como eje de abscisas (x). Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de capacidad (K) y el factor de sección (Z) Según la definición de factor de capacidad

Q

K=

1

Para cualquier seccione del M.G.V.

SE2 Q

K n=

So

1 2

Para movimiento uniforme

Luego, 2

[ ]

SE Kn = So K

Según la definición de factor de sección

Z=

√

A3 T

Para cualquier sección

Z c=

Q √g

Para condiciones críticas

Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas el número de Froude es igual a 1, por lo tanto

√

V c =√ g d c = g

A T

V c=

;

Q A = =Z c2 g T

2

2

Q A =g 2 T A

√

Q A = g A T

;

3

Luego, 2

[ ]

Zc Q2 T = Z g A3

Introduciendo en la ecuación (3.13) los valores obtenidos para K y Z se llega a

dy =S 0 dx

Kn 1− K

2

Zc 1− Z

2

[ ] [ ]

… … … .. ( 3.14 )

Que es otra de la formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado. Las ecuaciones del flujo gradualmente variado, (3.10), (3.13) y (3.14) representan la variación de la superficie libre con respecto al fondo del canal.

Aplicación a una sección rectangular muy ancha Si usamos la fórmula de Manning se tiene

K n=

2 3

y AR = n n n

5 3

Para condiciones normales

2

5

A R3 y 3 K= = n n

Para condiciones sección del M.G.V 2

Z c = A √d c = y c 3 Z =A √ d= y

Para flujo crítico

2 3

Para cualquier sección del M.G.V

Reemplazando estos valores en la ecuación general (3.14) se obtiene

dy =S o dx

10 3

[ ] [ ]

yn 1− y

3

yc 1− y

… … … .(3.15)

Que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning) en movimiento gradualmente variado. Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces la ecuación general del movimiento gradualmente variado sería

dy =S o dx

y 1− n y

3

y 1− c y

3

[ ] [ ]

… … … .(3.16)

Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor (constante) en la ecuación (3.1) y proseguir con el desarrollo. La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así

dy =S o dx

Q 1− Qn

2

Q 1− Qc

2

[ ] [ ]

… … … .(3.17)

Siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado, para un flujo normal cuyo tirante gradualmente variado,

Qc

y

Qn

es el gasto

fuese igual al del movimiento

es el gasto crítico para una profundidad

y .

Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M.G.V la siguiente ecuación.

2

Q 2 2 dy C A R = … … … ..(3.18) 2 dx Q 1− 2 gA d S0 −

Siendo

d

el tirante hidráulico

A T