Ecuación de Tres Momentos PDF
October 8, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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1
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Siendo AB una viga cargada cua cualquiera, lquiera, de tal manera ais aislamos lamos los tramos 1- 2 y 2 – 3, e introducimos en las secciones secciones las fuerza fuerzass y momentos resistentes de la viga fig. (a) Para cada uno de los tramos, descomponemos los estados ( b ) y ( c ) en superposición y de la misma manera manera iindicamos ndicamos los d diagramas iagramas d de e mom momentos entos p por or pa partes rtes ( d ) y ( e ) En la fig. ( f ) vemos la elástica de la viga sumamente exagerada por semejanza de ttriángulos riángulos tenemos: C 2 D y
R 2S
h1 t 1 / 2 t 3 / 2 h3 L L 1
2
Luego: t
t
h
h
L
L
L
L
1 / 2 3 / 2 1 3 ..... (1) 1
2
1
2
t 1/ 2
( Área)12 . X 1
t 3 / 2
Áreaa)23 ( Áre . X 2
EI 1
EI 2
Aplicando estas definiciones definiciones a los diagrama diagramass por partes ( d ) y ( e ): 2 1 1 1 1 t A a M L x L M L x L 1 EI 1
1/ 2
2
1
t
3/ 2
1 1 3 1
2
2 1 3 1
A a 1 M L x 1 L 1 M L x 2 L EI 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 3 2 2 1
Sustituyendo estas ecua ecuaciones ciones en ( 1 ), tenemos tenemos:: h
h
1
L
1
3
L
M 1 L1 I 1
2
A a1 M L M L 1 1 1 1 2 1 6 3 EI L EI 2 1 1 1
L
L
I
I
2 M 2 ( 1 2 ) 1
2
M 3 L2 I 2
A a 2 M L M L invirtiendo: 2 3 2 2 2 Agrupando e invirtiendo: 6 3 L 2 h
h
L
L
A a1 A a 2 6 1 6 2 6 E ( 1 2 ) I 1 L1
I 2 L2
1
2
Si los puntos 1, 2 y 3 están a la m misma isma altura de la viga flexada flexada,, entonces: h1 h3 0
2
M 1 L1 I 1
L
L
I
I
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6 A a1 6 A a 2 L 2 M 2 ( 1 2 ) M 3 2 1 2 0 1
I 2
2
I 1 L1
I 2 L2
Por último, si la viga continua es toda de sección constante, entonces sus momentos momentos de inercia I 1 I 2 se anulan: M L 2 M ( L L ) M L 1 1
2 1
2
3 2
6 A a1 6 A b 2 1 2 0
L1
L2
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3
PROBLEM A 1 . Resolver la viga mostrada usando ecuación PROBLEMA ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
SOLUCIÓN
1. M L 2 M ( L L ) M L 1 1 2 1 2 3 2 2. M L
2 2
6 A a1 6 A b 2 1 2 0
2 M ( L L ) M L 3
2
3
4 3
L
L
2
1
6 A a 2 6 A b3 2 3 0
L
L
3
2
3. M L
3 3
2 M ( L L ) M L 4
3
4
5 4
6 A3 a 3
L
3
6 A4 b 4
L
0
4
Hallando 6 Aa / L y 6 Ab / L para cada tramo, correspondiente a las cargas car gas dadas, utilizando Momentos por Partes, empotrando en un punto en el cual se eliminan las fuerzas y los l os momentos, en nuestro caso se empotra en el extremo derecho, se tiene:
TRAMO 1-2: M 1 0
5 x1 15 4, 5 x4 5R2 0
R2 7,6 ,
R1 1,9
3
2
1 1 A1 a1 x5 x9,5 2 x5 3 x 15 2 1 x3 x4 x20 1
A1 a1 6 A a1 6 1 x75,15 90,18 5 L 1
2 237,5 3
157 ,5
440 3
297 20
75,15
2
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4
TRAMO 2-3: M 2 0 4 x2 12 x 2 4 R3 0
R2 8
R 8 , 3
3
3
4
1 1 1 A2 a 2 x4 x32 2 x4 x 2 x8 2 2 x2 x 4 x 24 3 x 4 2
A2 a 2
512 3
80 3
2
A2 a 2 6 x 48 72 4 L2
96 48 ,
3
1 1 1 A2 b 2 x 4 x32 1 x4 x 2 x8 1 x 2 x4 x24 1 x 4 3
2
A2 b 2
256 3
16 3
2
3
3
4
A2 b 2 6 x 48 72 4 L2
32 48 ,
TRAMO 3-4: M 1 0 2 x1 4 x2 4 x3 4R4 0
3
R4 5,5 ,
3
R3 4,5
4
1 1 1 1 A3 a3 x4 x18 2 x4 x3 x6 1 2 x 3 x 2 x8 2 2 x 2 x2 x4 2 3 x 2 3
2
A3 a 3 96 27
80 3
2
112 12
2
A3 a 3
33 ,
L3
3
6
x33 49,5 4
1 1 1 1 A3 b3 x 2 x 4 1 x 2 x 2 x8 1 x 2 x3 x 6 1 x3 x 4 x18 1 x 4
3
2
A3 b3 48 9
16 3
4 3
97 3
2
,
3
2
3
3
A3 b3 6 97 x 48,5 4 3 L3
4
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5
Al sustituir los valores anularemos anularemos los términos del claro imaginario: imaginario: L 0, M 6 , M 0 , tenemos: 4
5
1
5 M 2 M (4 5) 4 M 90.18 72 0 1 2 3 4 M 2 M ( 8) 4 M 72 48.50 0 2 3 4 4 M 2 M ( 4) 49.5 0 3 4
Simplificando, tenemos: 9 M 2 M 66.09 ..................(4) 2 3 M 4 M M 30,125 ......(5) 2 3 4 M 2 M 12, 375 ................(6) 3
4
M 6 Tn.m 1
M 6 ,22 Tn.m 2 M 5 ,06 Tn.m 3 M 3 ,66 Tn.m 4
Representación de llas Representación as vigas isostáticas que forman un sistema equivalente a la viga contínua: a partir de estas vigas isostáticas se determinan los diagramas de fuerzas cortantes.
M 0 6 6,22 5(1 ) 15 4,5(4) 5R 0
1 2 R 7,644 2 M 0 6 6,22 4, 5(1) 15 5(4) 5R 0 2 1 R 1,856 1
M 0 6,22 5, 06 16(2) 4 R 0
R
3
2 7,71
3
M 0 6,22 5, 06 16(2) 4 R 0
R
2
3 8,29
2
M 3
0 5,06 3,66 2(1) 4( 2) 4(3) 4 R4 0 R 5,15 4 M 0 5,06 3,66 4 (1) 4(2) 2(3) 4 R 0 4 3
R 4,85 3
6
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Cálculo de las reacciones y los diagramas de fuerza cortante y momento flector:
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PROBLEM A 2 . Resolver la viga mostrada usando ecuación PROBLEMA ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo esfuer zo cortante y momento flector.
SOLUCIÓN 1. M L 2 M ( L L ) M L 1 1 2 1 2 3 2 2.
6 A a1 6 A b 2 2 1 0
L
L
2
1
6 A a 2 6 A b3 M L 2 M ( L L ) M L 2 3 0 2 2 3 2 3 4 3 L L 3 2
3. M L
3 3
2 M ( L L ) M L 4
3
4
6 A a 3 3
5 4
L
6 A b 4 4 0
L
4
3
car gas dadas, utilizando Hallando 6 Aa / L y 6 Ab / L para cada tramo, correspondiente a las cargas Momentos por Partes, empotrando en un punto en el cual se eliminan las fuerzas fu erzas y los momentos, en nuestro caso se empotra en el extremo derecho, se tiene: TRAMO 1-2
6 Aa
67, 28 284 4
L
6 Aa
L
10 L2 3 a 2
3,6 x9 60 x5
10 x 25 3x9 24 ,084 084
Pa 2 2 6 x 4 ( L a ) (25 16) 43,2 L 5
TRAMO 2-3
6 Aa
L 6 Ab L
222 222 ,71 711 1 15 153 3 ,889 889
2 6 Aa
60 L
L
6 Aa
wa 2
10 L2 3 wa a2 60 L
4 x9
686 60 x7 10 x49 3x9 39 ,686 4 x9 6 Ab wa 2 2 20 x 49 3 x3(4 x7 4) 59 ,314 314 20 L 3a ( 4 L b) 60 x 7 60 L L
L
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8 6 Aa
M
(3a 2 L2 ) 8 (3x16 49) 1,143 7
L L 6 Ab M 8 (3b 2 L2 ) (3x9 49) 25,143 L L 7 6 Aa
L
w 4 2 2 2 L b (2 L b ) 4 L
6 Ab
L
L 6 Aa
L
3,2 x 2 x
7 4 25(2 x 49 25) 139 139 ,886 886 4 x7 6,8
,314 314 w a 2 ( 2 L2 a 2 ) 6,8 4(2 x 49 4) 91 4 x7
4 L
a 0, 6 Aa
2
2
4
3
3
3
b 2 17 e c 5
d a b 0 x 2 , wbe(b 3d ) 2 (b 9c 3d )
2
3
wbdc3
54 L
L2
3
3
wb3 (b 5c) 20 L
4 3 4 4 2 3 ( 2 3 x ) ( 2 9 x5 3 x ) 3,2 x 2 x x5 3,2 x 2 ( 2 5 x5) 3 3 3 3 996 41,996 2 2 20 7 x 7 54 x 7
17
6 Aa
L 25,1646 21,7687 4,9371 41,9962 6 Ab
L 6 Ab
L
2
2 (b c 3d ) wbdc 2 2 L
27 L 3,2 x 2 x
6 Ab
L
wbe(b 3d )3
wb3 (5a 4b) 20 L
4 4 3 4 2 ( 2 3 x ) 3,2 x 2 x x5 ( 2 5 3 x ) 3 3 3,2 x 2 (0 4 x 2) 28, 4038 3 3 3 2 2 20 x 7 2 x 7 27 x 7
17
5,9211 23,9456 1, 4629 28, 4038
TRAMO 3-4 6 Aa 97,812 812 L 6 Ab
L 6 Aa
L 6 Ab
L 6 Aa
L
w 2 2 2 2 2 2 a ( 2 L a 2 ) 3 ( 2 x5 3 ) 36,9 4 x5 4 L
10 106 6 ,78 788 8
w 4 2 2 2 2 4 L b (2 L b ) 5 2 2 (2 x52 2 2 ) 44,1 4 x5 4 L
wa 2 10 L2 3a 2 60 L
4,8 x 32 10 x52 3 x32 32,112 112 60 x5
6 Ab
L
2 wa 2 4,8 x3 20 L2 3a ( 4 L b) 60 L 60 x5
20 x52 3 x3(4 x5 2) 43,488 488
9 6 Aa
Pa 2 2 4 x 4 ( L a ) (25 16) 28,8 L 5 L 6 Ab Pb 2 4 x1 ( L b 2 ) (25 1) 19,2 L 5 L
Al sustituir los valores anularemos anularemos los términos del claro claro imaginario: L4 0, M 1 10,4 , M 5 0 , tenemos: 5 M 1 2 M 2 (5 7) 7 M 3 67,284 153,8924 0 7 M 2 M (12 ) 5M 4 222,7076 106,788 0 2 3 5 M 2 M ( 5) 97,812 0 3 4
Simplificando, tenemos: 24 M 7 M 169,1764 ..................( 4 ) 2 3 7 M 24 M 5 M 329,4956 ......( 5 ) 2 3 4 5 M 10 M 97,812 ................( 6 ) 3 4
Resolviendo el sistema de ecuaciones Resumen: M 1 10 ,4 Tn.m M 2 3, 583 Tn.m M 3 11 ,884 Tn.m M 4 3, 839 Tn.m
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10
TRAMO 1-2
2 b a M A wb 3( )2 10 60 L L 3 b M wb 5 3 A 60 L L
Pa 2b
Pab2 M
A
M B L2
L2
TRAMO 2-3
2 b a M A wb 3( )2 10 60 L L 3 b M B wb 5 3 60 L L
Mb M A ( L 3a) L2
a wa3 (4 3 ) M A 12 L L
wa3 M A (5 L 4a) 20 L2
M B
wa 2 2 30 L
(10 L2 6a 2 15aL)
Ma M B ( 2 L 3a ) 2 L
wa 2 a a 6 (8 3 ) M B L 12 L
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11
TRAMO 3-4
M A
wa 2 12
6 a (8 3 a ) L L
a wa3 M (4 3 ) B 12 L L 2 b a M A wb 3( )2 10 60 L L 3 b M B wb 5 3 60 L L
Pa 2b
Pab 2 M
A
M B L2
L2
Representación de las vigas isostáticas que forman un sistema equivalente Representación a la viga contínua: a partir de estas vigas isostáticas se determinan los diagramas de fuerzas cortantes.
M 1 0 6 6,22 5(1 ) 15 4,5(4) 5R2 0 R 7,644 2
M 0 6 6,22 4, 5(1) 15 5(4) 5R 0
2 R 1,856 1
1
M 0 6,22 5, 06 16(2) 4 R 0
R
3
2 7,71
3
M 3 0 6,22 5, 06 16(2) 4 R2 0 R 8,29 2
12
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M 0 5,06 3,66 2 (1) 4(2) 4(3) 4 R 0
3 4 R 5,15 4 M 0 5,06 3,66 4 (1) 4(2) 2(3) 4 R 0 4 3 R 4,85 3
Cálculo de las reacciones y los diagramas de fuerza cortante y momento flector:
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ecuación de 3 momentos. Hallar los PROBLEM A 3 . Resolver la viga mostrada usando ecuación PROBLEMA momentos y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
SOLUCIÓN
PLANTEANDO LA ECUACIÓN DE TRES MOMENTOS:
1. M L 2 M ( L L ) M L 1 1 2 1 2 3 2 2. M L
2 2
2 M ( L L ) M L 3
2
3
4 3
6 A a1 6 A b 2 2 1 0
L
1
2
6 A a 2 6 A b3 2 3 0
L
2
3.
L
L
3
6 A a 3 6 A b 4 M L 2 M ( L L ) M L 3 4 0 3 3 4 3 4 5 4 L L 4 3
TRAMO FAB:
216 x 3,2 ; 6
0 2 M (0 6) 6 M 6
A
B
12 M 6 M 691,2 ............ (1)
A
B
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14
TRAMO ABC:
1 1 4 4 x 2 16 x 2 x 2 16 x 2 x 2 32 2 x 4 216 216 x 2,8 3 3 3 3 6 M 2 M (6 6) 6 M 6 A B C 6 6 6 6 6 6 M 24 M 6 M 708,8 ............ ( 2)
A
B
C
TRAMO BCD: 2 1 1 1 2 4 x x2 16 2 3 x4 32 x 2 x 4 16 4 3 x 2 14, 4 x x 2 21,6 2 x3 125 5 x 2,5 12 3 3 3 3 6 M B 2 M C (6 5) 5 M D 6 6 6 6 6 5 5 5 6 M 22 M 5 M
B
C
6 M 22 M
B
C
D
587,8 ;
M 100 D
87,8 ............ (3)
Resolviendo las ecuacione ecuacioness (1), (2) y (3), tene tenemos: mos: M 48,84 , M 17,52 , A B CÁLCULOS PREVIOS TRAMO AB 0 : M B
R B 24 y R A 48
72(2) 6 R B 0 ;
Área de la superficie superficie parabólica A
w L3 24
24(6)3 24
216 ;
7 15
(6) 2,8 ;
8 15
TRAMO BC
(6) 3,2
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
15
TRAMO BC
Área de la superficie parabólica: parabólica: A
3 w L 12
,
2
2
3
3
A L(37,5)
(5) (37,5) 125
TRAMO CD
C 0 ; M C 0 : 24 5 R
M 4(1) 12 x
42 2
100
RC 4,8 y R D 7,2
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PROBLEMA 3. Calcular en la viga mostrada usando ecuación de 3 momentos, los momentos en los apoyos.
Aplicando la ecuación ecuación de los tres momentos a los claros 1 y 2 despu después és a los claros 2 y 3, se tiene: M L 2 M ( L L ) M L 1 1
2 1
2
3 2
6 A a1 6 A b 2 1 2 0
L1
L2
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17
2.
6 A a 2 6 A b3 M L 2 M ( L L ) M L 2 3 0 2 2 3 2 3 4 3 L L 3 2
De acuerdo con la definición de momento flexionante, M y M son nulos, por lo que las 1
4
ecuaciones anteriores forman un sistema con dos incógnitas M y M , que puede resolverse si 2
3
se conocen los valores de 6 Aa / L y 6 Ab / L para cada tramo, correspondiente a las cargas dadas, utilizando utili zando las tablas que contienen estos valores, se tiene: 6 A a1 1
L
wb2 (2 L2 b 2 ) 4 L
1 400(3) 2 N .m 2 2( 4) 2 (3) 2 5175 4( 4)
6 A b 2 8 8 2 wL3 (800 )(3)3 2 880 N .m 2 60 60 L 2 6 A a 2 7 7 2 wL3 (800 )(3)3 2 520 N .m 2 60 60 L2 6 A b3 3 Pb ( L 2 b2 )
L
L
3
700(2) 600(3) (4) 2 (2) 2 (4) 2 (3) 2 4 4
3 150 150 4 200 20 0 7 350 350 N .m 2
Sustituyendo los valores calculados en las ecuaciones iniciales, se tiene: 2 M (4 3) 3M 5175 2 880 0 2 3
3 M 2
2 M 3 (3 4) 2 520 7 350
Simplificando: 14 M 3 M 8 055 2 3 3 M 14 M 9 870 2
0
3
Resolviendo el sistema se obtiene: M 445 610 N .m 445 N .m M 610 2
3
Cálculo de las l as reacciones: Aplicando la definición de momento flexionan flexionante te se puede expresar los momentos momentos en función de las fuerzas a la izquierda o a la derecha de la sección de la reacción, se tiene: Para determinar R1 se expresa el momento M2 en función de las fuerzas a la izquierda de R 2: M 2 ( M )izq 639 N M 445 44 5 4 R ( 400 400 x3) x2.5 de donde: R 639 2
1
1
Bruno Enrique BRAVO CHIPA 18 Para determinar R2 se expresa el momento M3 en función de las fuerzas a la izquierda de R3: M ( M ) 3 izq 800 x3 2 sustituyendo el valor ya conocido de R y M 610 7 R (400 x 3) x5.5 3 R 1 x x3 3 1 2 2 3
despejando R2 resulta: R 1306 306 N 2
4
3
El valor de de e M , pero expresado expresado éste en fun función ción de las fu fuerzas erzas a la derecha deRR3 se ; esobtiene decir, a partir d M ( M ) 3 der R 348 348 N
610 610 4 R 700 70 0 x 2 600 600 x1 4
4
Mediante condición de equilibrio de las fuerzas fuerzas verticales, aplicada a toda la viga, se tiene: F 0 y
800 x3 600 700 R R R R 400 x3 600 1
2
3
4
2
639 + 1306 + R3 + 348 = 1200 + 1200 + 600 + 700 De donde: 407 N R3 1 407
SEGUNDO MÉTODO: Consiste en aislar cada claro y determinar sus reacciones r eacciones en los extremos. En cada apoyo intermedio se sumarán las dos reacciones que corresponden al claro de cada lado: Cálculos previos:
M M j i R ' L 450 0 111 N 1 4 610 445 55 N R ' 2 3 0 ( 610) ' R 152 N 3 4
R '
Ahora se puede trazar trazar fácilmente el diagrama de fuerz fuerza a cortante
6 A a 2 6 A b 2 2 2
L
L
2
2
20 wL3 4
4500 (5)3 140 625 Kg .m 2 4
6 A a 3 7 7 3 wL3 (6000 )(4.5)3 63 787.5 Kg .m 2 60 60 L 3 6 A b3 8 8 3 wL3 (6000 )(4.5)3 72 900 Kg .m 2 60 60 L 3
Al sustituir los valores anularemos anularemos los términos del claro claro imaginario: M 1 0, L4 0, M 5 0 , tenemos: 2 M (4 5) 5M 7 200 140 625 0 2 3 5 M 2 M (5 4.5) 4.5 M 140 625 72 900 0 2 3 4 4.5 M 2 M (4.5 0) 63 787.5 0 3 4 18 M 5 M 212 625..................(4) 2 3 5 M 19 M 4.5 M 213 525....(5) 2 3 4 4.5 M 9 M 63 787.5................(6) 3 4
Resolviendo ecuación (5) y (6), tenemos: 10 M 38 M 9 M 427 050.0 2 3 4 4.5 M 3 9 M 4 63 787.5 __________ ______ ____ ______ __________ ____ _____ _________ ____ 363 262.5 ....(7) 10 M 33.5 M 2 3
Resolviendo ecuación (7) y (4), tenemos: 90 M 25 M 1' 063 125,0 2 3 90 M 2 301,5 M 3 3' 269 362,5 __________ __________ _______ 276,5 M 3 2' 206 237,5 M 3 7 979,16
M 2 9 596,06 4,5(7 979,16 ) 9M 4 63 787,5 M 4 3 097,92
Cálculos previos:
R1' R2'
9 596 0
2 399,02
4 ,16 9 596,06 7 979
5
323,38
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
R3'
3 097,92 7 979,16
4,5
21 1084,72
Cálculo de las l as reacciones: R 6 601 1 R 11 399 11 573 22 972 2
R 10 927 10 773 21 700 3
R 2 727 4
v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. PROBLEMA 5. Resolver la viga
SOLUCIÓN
Hallando las ecuaciones de los tres momentos: 1. M L 2 M ( L L ) M L 0 0
1
0
1
2 1
6 A a 0 6 A b1 0 1 0
L
L
6 A a1 1
6 A b 2 2
0
1
2. M 1 L1 2 M 2 ( L1 L2 ) M 3 L2 L1 L2 0
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
22
3.
6 A a 2 6 A b3 M L 2 M ( L L ) M L 2 3 0 2 2 3 2 3 4 3 L L 3 2
6 Aa
Hallando los valores de: L 6 A a1 6 A b1 wL3 300(6)3 1
L
1
L
1
1
6 A a 2 Pa 2 2 ( L
L
2
L
6 A b 2 Pb 2 2 ( L
L
2
L
4
4
a 2 )
2 000 ( 2)
b 2 )
2 000 ( 2)
4
4
y
6 Ab
L
16 200 N .m2
(42 22 ) 12 000 N .m 2
(42 22 ) 12 000 N .m 2
Al sustituir los valores anularemos anularemos los términos del claro claro imaginario: M 0, M 0 , L 0, L 0 , tenemos: 0
4
0
3
Reemplazando los datos en (1), tenemos: 2 M (0 6) 6 M 16 200 0 1
2 M M 1 2
2 2 700 . . . . . ( 4)
Reemplazando los datos en (2), tenemos: 6 M 2 M (6 4) 4 M 16 200 12 000 0 1
2
3 M 10 M 2M 1 2 3
3 14100 . . . . (5)
Reemplazando los datos en (3), tenemos: 4 M 2 M (4 0) 0 12 000 0 2
3
M 2 2 M 3 3 000 . . . . . . (6)
Resolviendo las ecuaciones (4), (5, y (6) tenemos: t enemos: M 880 N .m 1
M 940 N .m 2
M 1 030 N .m 3
Las reacciones son: R 890 N , R 1 887 N , 1
2
R 1 023 N 3
PROBLEMA 6. Resolver la viga v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos.
Hallando las ecuaciones de los tres momentos:
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
23
M L 2 M ( L L ) M L 0 0
2. M L 2 M ( L L ) M L 1 1
3. M L
2 2
2 1
2
3
2
3
4 3
0
1
2 1
L
0
L
1
6 A a1 6 A b 2 2 1 0
3 2
L1
2 M ( L L ) M L
1
6 A a 0 6 A b1 0 1 0
L2
6 A a 2 6 A b3 2 3 0
L
L
3
2
Al sustituir los valores anularemos anularemos los términos de estos estos claros imaginarios
Hallando los valores de:
6 Aa
L
y
6 Ab
L
6 A a1 6 A b1 3 3 1 1 wL 4 800(4.50) 109 350 N .m2 4 4 L L 1 1 6 A a 2 2
L
2
7
3
60 wL
7
60 (3500 )(4.50)
3
2
37 20 209 9 .38 N .m
6 A b 2 8 8 2 wL3 x3500 ( 4.50)3 42 525 525 N .m 2 60 60 L 2 6 A b3 3 Pb ( L 2 b2 )
L
3
L
6 A b3 6400 (7) 7200 (7) 3 ((8.5) 2 42 ) ((8.5) 2 7 2 ) 8.50 8.50 L 3
137 858,82 169 411,76 307 270,58
Al sustituir los valores anularemos anularemos los términos del claro claro imaginario: M 0 , L 0 , tenemos: 0 0 Reemplazando los datos en (1), tenemos: 9 M 4 , 5M 109 350 . . . . .( 4) 1
2
24
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
Reemplazando los datos en (2), tenemos: 4,5 M 18 M 4,5M 151 875 . . . . (5) 1
2
3
Reemplazando los datos en (3), tenemos: 4,5 M 26 M 8,5M 3 44 479,96 . . . . . . (6) 2
3
M 1100
4
(1,5) 2
4
2
1 237,5 N .m . . . .(7)
Resolviendo las ecuaciones ecuaciones (4), (5), (6) ( 6) y (7) tenemos: ,17 N .m M 1 10 834 M 2 2 631 ,66 N .m M 3 12 389,18 N .m
Las reacciones son: R N , R N , R N 1
2
3
PROBLEMA 4. Resolver la viga v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
SOLUCIÓN
1. M L 2 M ( L L ) M L 6 A1a1 6 A2 b2 0 1 1 2 1 2 3 2 L
1
2. M L
2 2
2 M ( L L ) M L 3
2
3
4 3
3 3
2 M ( L L ) M L 4
3
4
5 4
2
6 A a 2 6 A b3 2 3 0
L
2
3. M L
L
6 A a 3 3
L
3
L
3
6 A b 4 4 0
L
4
Hallando 6 Aa / L y 6 Ab / L para cada tramo, correspondiente correspondien te a las cargas dadas, utilizando las tablas que contienen estos valores, se tiene:
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
25 6 A a1 1 14 10,5 24,5 ;
L
6 A b1 1 18 7.5 25,5
L
1
1
6 A a 2 2 44,10 27,18 71,28 ;
L
6 A b 2 2 36,90 20,07 56,97
L
2
2
6 A a3 3 143,04 56,06 68,57 267,67
L
3
6 A b3 3 194,46 72,19 51,43 318,08
L
3
Al sustituir los valores anularemos anularemos los términos del claro claro imaginario: L4 0, M 1 9 , M 5 0 , tenemos: 9(4) 5 M 2 M (4 5 ) 5M 24,5 56,97 0
1 2 3 5 M 2 M (12 ) 7 M 71,28 318,08 0 2 3 4 7 M 2 M (7 0) 0 267,67 0 3 4
Simplificando, tenemos: 18 M 5 M 45,47 ..................( 4) 2 3 5 M 24 M 7 M 389,36 ......(5) 2 3 4 7 M 14 M 267,67 ................(6) 3 4 Eliminando
M en (1) y (2), tenemos: 2 90 M 25 M 227,35 2 3 90 M 2____ 126 M 4 ____ 7008 ,48 M 3 ____ 432 __________ ______ __________ ______ __________ ______ ______ 407 M 126 M 6781,13....(7) 3 4
Resolviendo ecuación (7) y (6), tenemos: 2849 M 882 M 47467,9 3 4 2849 M 5698 M 108941,69 3 __________ 4 __________ _______ 4816 M 61473,79 4 M 4 12,76 en (6)
M 3 12,71 reemplazando en (4) M 2 1,00
Resumen:
27
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
28
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
PRÁCTICA A DOMICILIO Resolver todos los ejercicios que serán calificados para el promedio con las prácticas calificadas. v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos PROBLEMA 1. Resolver la viga y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos PROBLEMA 2. Resolver la viga y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos PROBLEMA 3. Resolver la viga y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
PROBLEMA 4. Resolver la viga v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos PROBLEMA 5. Resolver la viga y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
v iga mostrada usando ecuación de 3 momentos. Hallar los momentos PROBLEMA 6. Resolver la viga y las reacciones, trazar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
29 FÓRMULAS PARA EL MÉTODO DE TRES MOMENTOS
6 Aa
L 6 Aa
M
L
Pa 2 2 ( L a ) L
L
6 Aa
L
(3a 2 L2 )
6 Ab
L 6 Ab
L
Pb 2 2 ( L b ) L
M
L
(3b 2 L2 )
w b 2 ( 2 L2 b 2 ) a 2 ( 2 L2 a 2 ) 4 L
L
6 Ab
w 2 2 d ( 2 L d 2 ) c 2 (2 L2 c 2 ) 4 L
6 Aa
L
6 Ab
wbe(b 3d )3
L
27 L2
wbdc 2 (b c 3d )
2 L2
wbe(b 3d ) 2 (b 9c 3d ) 54 L2
wb3 (5a 4b) 20 L
wbdc3 L2
wb3 (b 5c) 20 L
wb 4 (3a b) w a 2b 2 (a 3b) wb 4 2 2 5 L L 3 L 3 L
6 Aa
wb3 (3a b) 2 2wa3b 2 wb3 (5a b) 2 2 20 L L 6 L 3 L
6 Ab
wa 2 2 10 L 3a 2 60 L L
wa 2 2 20 L 3a (4 L b) 60 L L
6 Aa
6 Aa 7WL3
L
6 Ab 8WL3
L
60
wa 2 (2 L2 a 2 ) 4 L L
6 Aa
6 Aa
L
6 Aa
L
6 Ab
L
6 Ab
L
6 Ab
WL3
4 3PL2 8
60
wa 2 (2 L a ) 2 4 L L
6 Ab
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30 FÓRMULAS PARA EL EMPOTRAMIENTO PERFECTO
wb 56b3 45b 2 ( L 2a) 270e 2 ( L 2d ) 1 540 L3 wb 2 b (30 M L 45a 28b) 270de2 1 540 L2 wbe M 2 M 1 R1 L 2 wb R R 2 1 2
R
w M (3b 4 8b3 L 6b 2 L2 3a 4 8a 3 L 6a 2 L2 ) A 12 L2
w M 3b 4 4a3 L 3a 4 ) ( 4b3 L B 12 L2 2
M A
M B wa 3 (4 3 a ) 12 L L
wa 6 L a (8 3 L a )
12
WL2 M A 12
WL2
M B 12
L2
M (3w 2 w ) 1 2 A 60
WL2
L2 M ( 2 w 3w ) B 60 1 2
WL2
M A 20
M B 30
11
M WL2 A 192
5
M WL2 B 192
Bruno Enrique BRAVO CHIPA
31 wc 2
(10 L2 6c 2 15cL ) M A 30 L2
b wb3 L 5 3 L M A 60
Pab2 M
M B
wc3 M B (5 L 4c) 20 L2
2 3 ( ) 2 10 b L a wb 60 L
Pa 2b
L2
M B L2
P L M A 8
P L M B 8
A
Mb M A L2 ( L 3a)
Ma 3a ) B L 2 ( 2 L M
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