Ecuación de Segundo grado

Ecuación de Segundo grado Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones reales de la ecuación).

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = 0), las raíces, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Fórmula cuadrática Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

donde el símbolo ± indica que los valores y constituyen las dos soluciones.

Ecuación de tercer grado Una ecuación

de

tercer

grado o ecuación

cúbica con

una

incógnita

es

una ecuación

algebraica de grado tres 1que se puede poner bajo la forma canónica:

, donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de losnúmeros complejos, aunque con frecuencia son números racionales 2 .

Función cúbica

Gráfico de la función cúbica y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2) en el plano cartesiano. Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2.

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma: donde el coeficiente a es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales. La derivada de una función su integral una función cuártica.

cúbica

genera

una función

cuadrática y

Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Números Imaginarios

Un número que cuando se eleva al cuadrado da como resultado un número negativo. Ahora, si se eleva al cuadrado cualquier número real siempre se obtendrá un número positivo, o cero, como resultado. Por ejemplo 2×2=4, y (-2)×(-2)=4 también. Entonces ¿cómo podemos elevar al cuadrado un número y obtener un resultado negativo? Porque nos "imaginamos" que podemos ? y resulta que tales números que pueden parecer imposible, son en realidad útiles y pueden resolver problemas reales. La "unidad" de números imaginarios (lo mismo que es "1" para los números reales)es √(1) (la raíz cuadrada de menos uno, y su símbolo es i, o j.

Números Complejos Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado porLeonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”). La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer. Gracias a esta particularidad, los números complejos se emplean en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Por su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, por citar un caso, son utilizados con frecuencia en laelectrónica y las telecomunicaciones. Y es que el llamado análisis complejo, o sea la teoría de las funciones de este tipo, se considera una de las facetas más ricas de las matemáticas. Cabe resaltar que el cuerpo de cada número real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).