Ecuación de Oscilación Del Generador y Métodos de Solución Listo2

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI

UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA Y APLICADAS CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRICA ALUMNOS: Bassantes Darwin Chuquitárco Luis Edgar  Lema Luis Sarabia Byron

TEMA:

DOCENTE: Ing. Proaño Xaier 

ACADÈMICO ABRIL 2015 – AGOSTO 2015

1.- OBETIVOS

1.1.- O!"#$%&'( G#)#*+,

2.2.- O!"#$%&' E(#%/%'

•

Determinar !os "rinci"a!es m#todos de ecuaciones de osci!aci$n de! generador% mediante consu!tas a!ternatias a! tema% que "ermitirá re&or'ar !os aná!isis de !os e(ercicios.

•

 )na!i'ar !os m#todos de so!uci$n de! generador mediante m#todos de so!uci$n en base a inestigaci$n re&erencia! que "ermitan determinar  sus di&erentes a"!icaciones.

•

De&inir !as "rinci"a!es caracter*sticas de !os m#todos de so!uci$n% mediante

inestigaci$n

re&erencia!%

"ermitiendo

me(orar

!os

conocimientos de so!uci$n de ecuaciones. •

Describir !as &$rmu!as de sistemas de ecuaciones y m#todos de so!uci$n mediante inestigaci$n re&erencia!% e+istiendo una me(or corre!aci$n en reso!uci$n de e(ercicios.

ECUACIN DE OSCILACIN DEL GENERADOR Y MÉTODOS DE SOLUCIN. RESUMEN EECUTIVO: La inestigaci$n se rea!i'$ sobre !as ecuaciones de osci!aci$n de! generador y sus

m#todos

de

so!uci$n

!os

cua!es

nos

ayudaran

a

identi&icar

e!

com"ortamiento de cada uno de !os generadores en aná!isis. Se deta!!ara sobre !a ecuaci$n de osci!aci$n en generadores ana!i'an e! com"ortamiento e! rotor y otros com"onentes con !os diersos m#todos que e+isten "ara identi&icar  cada uno de !os "arámetros "ara de esta manera identi&icar si su &uncionamiento. Los m#todos de so!uci$n de !as ecuaciones de osci!aci$n en generadores son,

ECUACIN DE OSCILACIN DEL GENERADOR. E! com"ortamiento de cada generador se describe mediante una ecuaci$n di&erencia!% denominada ecuaci$n de osci!aci$n. E! aná!isis de estabi!idad transitoria en un sistema e!#ctrico de "otencia se rea!i'a mediante !a so!uci$n de !as ecuaciones de osci!aci$n de !as máquinas de! sistema. Debido a !a no !inea!idad de dicho con(unto de ecuaciones di&erencia!es% resu!ta im"osib!e una so!uci$n cerrada% "or !o cua! se han a"!icado m#todos num#ricos de "redicci$n. La ecuaci$n de osci!aci$n gobierna e! moimiento de! rotor de una maquina re!acionando e! torque de inercia a !a resu!tante de !os torques mecánico y e!#ctrico en e! rotor% esto es, J θ´ =T a [ N . m ]

Donde - es e! momento de inercia en g.m/  de todas !as masas rotatias conectadas a! e(e0

θ´

es e! ángu!o mecánico de! e(e en radianes% con

res"ecto a una re&erencia &i(a0 y actuando en e! e(e.

T a

 es e! torque ace!erante en newton1metros

Ecuaci$n de osci!aci$n "ara e! generador " 1 #simo% es decir dada "or,

La ecuaci$n de osci!aci$n "ara cada máquina se "uede reso!er "or diersos m#todos num#ricos% !os cua!es "ermiten reso!er num#ricamente !a ecuaci$n a "artir de !a so!uci$n de dos ecuaciones di&erencia!es de "rimer orden% ta! como se indica a continuaci$n, Para un sistema de n2máquinas% es necesario reso!er un sistema de /n ecuaciones simu!táneas de "rimer orden dado "or,

MÉTODOS DE SOLUCIN. E+isten di&erentes m#todos "ara !a ea!uaci$n num#rica de !as ecuaciones de osci!aci$n ta!es como e! Punto a Punto% Eu!er% Eu!er 3odi&icado% 4unge1utta y e! 3#todo de !a 4eg!a 5ra"e'oida!% etc. 5odos estos m#todos son esencia!mente "rocedimientos iteratios% además% son "rácticos so!amente cuando se em"!ean com"utadoras% es"ecia!mente cuando se estudian sistemas de gran tamaño. En todos !os casos% se trata de determinar 6 en &unci$n de t% gra&icando !a res"uesta y de esta &orma determinar si e! sistema es estab!e o no.

MÉTODO PASO A PASO. E! m#todo "aso a "aso &ue desarro!!ado "ara a"!icar!o en un )na!i'ador de 4edes y cá!cu!os a mano% es mucho más sim"!e que a!guno de !os m#todos uti!i'ados "ara cá!cu!os en com"utadora% como !os m#todos de Eu!er o 4unge1 utta. En este m#todo e! cambio en !a "osici$n angu!ar de! rotor durante un corto intera!o de tiem"o se ca!cu!a ba(o !as siguientes su"osiciones,

METODO PASO A PASO

( )

 Pa ( n −2 ) ω n−

1 2

↑ ↑ n−2 n −1 n ← ∆ t → ← ∆ t → ↔ ↑  ∆ δ n ∆ δ n−1 ↓ ↓

7. La "otencia de ace!eraci$n Pa ca!cu!ada a! "rinci"io de un intera!o% es constante desde !a mitad de! intera!o que !e "recede hasta !a mitad de! intera!o considerado.

/. ) !o !argo de cua!quier intera!o% !a e!ocidad angu!ar es constante e igua! a! a!or ca!cu!ado en !a mitad de! intera!o.

La &igura 8/.9: ayuda a isua!i'ar estas su"osiciones y determina e! "rocedimiento "ara ca!cu!ar e! a!or de! ángu!o 6 en cada intera!o.

Las consideraciones rea!i'adas asumen un moimiento circu!ar uni&ormemente ariado 83C; 8b: se escribe !a ace!eraci$n angu!ar ? en t#rminos de !as e!ocidades angu!ares ea!uadas en !a mitad de !os intera!os, w n− 1 / 2 − w n− 3 / 2 ∆ t 

2

d δ  = =α  8/.=>: 2 d t 

De !a &igura 8c:% haciendo uso de !a re!aci$n entre !a ariaci$n de! ángu!o 6 y !a e!ocidad angu!ar @ en e! moimiento circu!ar uni&orme 83C;:% se escriben !as siguientes re!aciones. w

w

n−

n−

= 3

δ n−1− δ n−2 ∆ t 

2

= 1

δ n− δ n−1 ∆t 

2

=

=

∆ δ n−1 ∆ t 

∆ δ n ∆ t 

 )! des"e(ar !as ariaciones angu!ares y rea!i'ar !a o"eraci$n tiene !a siguiente ecuaci$n,

(

∆ δ n− ∆ δ n−1= w

De !a cua!% des"a(ando

(

∆ δ n= ∆ δ n−1 + w

n−

1 2

−w

∆ δ n

n−

3 2

)

n−

1

−w

2

n−

3 2

). ∆ t  8/.=9:

 se obtiene,

. ∆ t 

2

d δ  2 ∆ δ n= ∆ δ n−1 + 2  . ∆ t  8/.=A: d t 

De !a ecuaci$n de osci!aci$n se tiene que, 2

d δ  2

d t 

 =

ws 2  H 

Pa

4em"!a'ando esto en !a ecuaci$n se obtiene,

∆ δ n− ∆ δ n− 1

se

∆ δ n= ∆ δ n−1 +

 K =

ws

2

. P an−1 . ∆ t  8/.>: 2 H 

ws 2 H 

2

. ∆ t 

8/.>7:

Para e+"resar e! ángu!o 6 en grados e!#ctricos se tiene que

 K =

180 f 

 H 

2

. ∆ t 

ina!mente% !as ecuaciones que "ermite ca!cu!ar e! a!or de 6n en un intera!o son, ∆ δ n= ∆ δ n−1 + k . P an−1 8/.>/: δ n=δ n−1+ ∆ δ n 8/.>:

M$'' 3)$' + 3)$' 4S',3%) '* +*$#(6:   Es un m#todo sim"!e% que "ermite rea!i'ar cá!cu!os a mano y "or !o tanto es a"!icab!e s$!o a sistemas "equeños. Se diide e! tiem"o tota! de estudio en n intera!os de duraci$n  t segundos cada uno% ta! como se indica en !a igura =.79. Fenera!mente se uti!i'a un  t G %H segundos y e! cá!cu!o se hace ba(o !as siguientes su"osiciones,

 La "otencia de ace!eraci$n determinada a! comien'o de un intera!o% es

constante desde !a mitad de! intera!o anterior hasta !a mitad de!

intera!o considerado. En a!gunos casos% en e' de !a "otencia de ace!eraci$n se em"!ea !a ace!eraci$n angu!ar.  La e!ocidad angu!ar es constante en cada intera!o e igua! a! a!or 

ca!cu!ado "ara !a mitad de! mismo. Por su"uesto% ninguna de !as condiciones anteriores es e+acta ya que 6 está cambiando continuamente y tanto Pa como @ son &unciones de 6. ) medida que e! intera!o de tiem"o disminuye% !a cura de osci!aci$n ca!cu!ada de esta &orma se hace más e+acta.

La igura =.79 ayuda a isua!i'ar estas su"osiciones. La "otencia de ace!eraci$n se ca!cu!a en !os "untos encerrados en c*rcu!os en !os e+tremos de !os intera!os n1/% n17 y n% que son !os comien'os de !os intera!os n17% n y nJ7 res"ectiamente. La e!ocidad angu!ar @ corres"onde a d6Kdt% es decir a! e+ceso de !a e!ocidad angu!ar de !a máquina% sobre !a e!ocidad s*ncrona @s. Entre !as ordenadas n1K/ y n17K/ hay un cambio de e!ocidad originado "or !a "otencia de ace!eraci$n constante.

E! cambio de e!ocidad es igua! a! "roducto de !a ace!eraci$n "or e! intera!o de tiem"o, 2

d δ  180 f  ω '  1 −ω 3 = 2 ∆ t = . P a ,n −1 . ∆t  8=.=: n− n−  H  dt  2 2 ' 

La ariaci$n de! ángu!o 6 en un intera!o cua!quiera es igua! a! "roducto de !a e!ocidad @ en e! intera!o "or e! tiem"o. )s*% e! cambio de 6 durante e! intera!o n17 es ∆ δ n−1=δ n−1−δ n−2=ω

'  n−

3

∆ t 

2

8=.>:

y durante e! intera!o n ' 

∆ δ n= δ n− δ n−1= ω

n−

1

∆ t 

2

8=.9:

4estando 8=.>: a 8=.9: e introduciendo e! resu!tado en 8=.=:% se obtiene, 2

∆ t ¿

∆ δ n= ∆ δ n−1 + K Pa ,n −1 con K =

180 f 

 H 

¿

8=.A:

Luego, δ n=δ n−1+ ∆ δ n 8=.:

La ecuaci$n 8=.: "ermite obtener 6 como &unci$n de! tiem"o o sea corres"onde a !a so!uci$n "aso a "aso de !a ecuaci$n de osci!aci$n. Por otra "arte% !a e!ocidad @ se "uede determinar a "artir de 8=.A:% diidiendo "or t y se obtiene, ' 

ω ' n−ω n−1 +

k  P  t  a, n−1 8=.7:

Discontinuidad en !a "otencia de ace!eraci$n, Cuando ocurre una &a!!a% se "roduce una discontinuidad en !a "otencia de ace!eraci$n Pa que tiene un a!or  cero antes de !a &a!!a y un a!or distinto de cero des"u#s de #sta. Esta discontinuidad ocurre a! comien'o de! &en$meno 8cuando t G :. Lo mismo sucede cuando se "roducen a"erturas de interru"tores% recone+iones% etc. 5eniendo en cuenta que este m#todo su"one que !a "otencia de ace!eraci$n ca!cu!ada a! comien'o de! intera!o es constante desde !a mitad de! intera!o anterior hasta !a mitad de! intera!o que está siendo considerado y que en este caso se tiene dos a!ores distintos "ara !a "otencia ace!erante% se debe tomar  e! a!or "romedio de estos a!ores como !a "otencia ace!erante constante. En genera!% "ara una discontinuidad en un tiem"o t se tiene,

−¿ ¿ t 

¿ +¿ ¿

t 

¿

 Pa ¿  Pa ( t )=¿

En e! caso en que !a discontinuidad ocurra en e! "unto medio de! intera!o no hay necesidad de em"!ear 8=./: "ues e! m#todo contem"!a una discontinuidad  (ustamente en ese "unto. En otro caso% coniene a"ro+imar a! más cercano% esto es% a! comien'o o a! medio de! intera!o% segMn corres"onda.

CONCLUSIN:  E! sistemas de ecuaciones de osci!aci$n de !os generadores nos

"ermiten determinar !os com"ortamiento de !os generadoresen re!aci$n a estabi!idad o inestabi!idad determinando sus a!encias de o"eraci$n% "or cuanto e+iste metodos de so!uci$n de !as ecuaciones de osci!aci$n de! generador, Punto a Punto% Eu!er% Eu!er 3odi&icado% 4unge1utta y e! 3#todo de !a 4eg!a 5ra"e'oida! entre otros mas e&iciente 4unge1utta.

BIBLIOGRA7IA: •

[1] RADIOTECNIAS/ RADIOTECHNOLOGY/ ESCRITO POR: Guillermo Garcia,

Disponibleen:http://books.google.o!.e/books " i#$EL%&'(G%'SgC)pg $*A+-)# $e0iones1#e1osil0iones1 gene20#o2es)hl$es)s0$3)e i$45!D6'O6N7gg8T6s9L75()e#$;CC((-AE8AA