Ecuación de Movimiento de Boussinesq

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE BOUSSINESQ La ecuación de movimiento general es: 𝐷𝑣

𝜌 𝐷𝑡 = −∇𝑝 − [∇ ∙ 𝜏] + 𝜌𝑔 (1) Esta es válida para flujo tanto isotérmico como no isotérmico. En flujo no isotérmico, la densidad y la viscosidad del fluido suelen depender de la temperatura, así como de la presión. La variación en la densidad es particularmente importante porque da origen a las fuerzas de flotación y por ello también a la convección natural. La fuerza de flotación aparece automáticamente cuando una ecuación de estado se inserta en la ecuación de movimiento. La descripción matemática del sistema debe considerar la característica esencial ya mencionada para que se dé la convección natural es decir la variación de la densidad por influencia de la temperatura. Entonces Se plantea una diferencia de temperatura: ∆𝑇 = 𝑇2 − 𝑇1 1 Ahora se expande la densidad en una serie de Taylor alrededor de la temperatura 𝑇̅ = (𝑇1 + 𝑇2 ) 2

Así: 𝜌 = 𝜌│ 𝑇=𝑇̅ +

𝑑𝜌 │ ̅ (𝑇 − 𝑇̅) + ⋯ = 𝜌̅ − 𝜌̅ 𝛽̅ (𝑇 − 𝑇̅) + ⋯ 𝑑𝑇 𝑇=𝑇 𝜌(𝑇) = 𝜌̅ − 𝜌̅ 𝛽̅ (𝑇 − 𝑇̅) (2)

Siendo (2) la ecuación de estado donde 𝜌̅ 𝑦 𝛽̅ son la densidad y el coeficiente de expansión en volumen evaluados a la temperatura 𝑇̅. El coeficiente de expansión en volumen se define como: 𝛽=

1 𝜕𝑉 1 𝜕(1⁄𝜌) 1 𝜕𝜌 ( ) = ( ) =− ( ) 𝑉 𝜕𝑇 𝑝 (1⁄𝜌) 𝜕𝑇 𝜌 𝜕𝑇 𝑝 𝑝

Ahora se sustituye la ecuación de estado ‘’hecha por Taylor’’ (2) en la ecuación de movimiento (1), se sustituye en el término 𝜌𝑔 pero no en el término 𝜌 𝝆

𝐷𝑣 . 𝐷𝑡

Se obtiene la ecuación de Boussinesq:

𝑫𝒗 ̅ (𝑻 − 𝑻 ̅) ̅ 𝒈) − [𝛁 ∙ 𝝉] + 𝝆 ̅ 𝒈𝜷 = (−𝛁𝒑 + 𝝆 𝑫𝒕

Esta forma de la ecuación de movimiento es muy útil para hacer el análisis de la transmisión de ̅ 𝒈) es muy pequeño y omitirlo suele ser apropiado, calor. En convección natural el término (– 𝛁𝒑 + 𝝆 particularmente para el flujo vertical rectilíneo y para el fluido cerca de los objetos sumergidos en ̅ 𝒈) a cero equivale a suponer que la distribución de grandes cuerpos de fluido. Igualar (– 𝛁𝒑 + 𝝆 presión es precisamente la de un fluido en reposo.

A continuación se muestra la ecuación de movimiento para un fluido en coordenadas cartesianas (x, y, z) donde se realiza la inserción de la expresión newtoniana 𝜏𝑖𝑗 = −𝜇

𝑑𝑣𝑗 𝑑𝑖

(i, j pueden ser x, y, z)

que representa las fuerzas viscosas. 𝜌𝐶𝑝 ( 𝜌(

𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑝 𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕 2 𝑣𝑥 + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 ) = − +𝜇( 2 + + ) + 𝜌𝑔𝑥 + 𝜌𝑔𝑥 𝛽(𝑇 − 𝑇̅) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕 2 𝑣𝑦 𝜕 2 𝑣𝑦 𝜕 2 𝑣𝑦 𝜕𝑝 + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 +𝜇( 2 + + )=− ) + 𝜌𝑔𝑦 + 𝜌𝑔𝑦 𝛽(𝑇 − 𝑇̅) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑝 𝜕 2 𝑣𝑧 𝜕 2 𝑣𝑧 𝜕 2 𝑣𝑧 𝜌( + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 )=− +𝜇( 2 + + ) + 𝜌𝑔𝑧 + 𝜌𝑔𝑧 𝛽(𝑇 − 𝑇̅) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

La anterior ecuación describe un balance entre la fuerza viscosa, de presión, la fuerza de gravedad y la fuerza de flotación. Se debe tener en cuenta que estas son válidas para un sistema con densidad y viscosidad constante. También son llamadas ecuaciones de Navier – Stokes las cuales constituyen el fundamento de toda la Mecánica de Fluidos.

Estás ecuaciones fueron adaptadas y aplicadas en el modelo de convección natural para un cilindro en un recinto cerrado planteado en el documento por ende hay términos que se eliminan o se simplifican, igualmente algunas notaciones varían. Estas también se ven modificadas por otros parámetros inducidos que se mencionaran a continuación.

2 2 2 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 𝜌𝐶𝑝 ( ∗ + 𝑢∗ ∗ + 𝑣 ∗ ∗ + 𝑤 ∗ ∗ ) = 𝑘 ( ∗ 2 + ∗ 2 + ∗ 2 ) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧