Ecuacion de Los 3 Momentos Final

 

 

ANALISIS ESTRUCTURAL I

ECUACION DE LOS 3 MOMENTOS  

 

“AÑO DE LA UNIVERSALIZA ION DE DE LA SALUD”

  NIVERSIDAD NACIONAL DE H ANCAVELICA

FACULTAD DE INGENIERIA MINAS - CIVIL Y   AMBIENTAL ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL  DE INGENIERIA CIVIL

ECUACION DE LOS 3 MOMENTOS  

CURSO:

ANALISIS ESTRUCTURAL

CATEDRÁTICO:

Ing. HUACHO TORRES, Aubert

INTEGRANTES:

-BREÑA QUISPE, Alex Nicolas -CLEMENTE LLANCARI, Oscar Piero

 

- CUETO VELASQUE, Mauro Adolfo

 

- LLOCLLA ÑAHUI, José María

 

- OCHOA HUINCHO, Juan Pablo

 

- SALVATIERRA CASTILLO, Carlos

CICLO:

VI

SECCIÓN:

“A”

 

LIR AY - 2020

 

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A nuestros padres, quienes a lo largo de nuestra vida han velado por nuestro bienestar  y educación siendo nuestro apoyo en todo momento.

ANALISIS ESTRUCTURAL I

 

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INDICE  _Toc47642204

INTRODUCCION .......................................................................................................................4 MÉTODO DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS ..................................................5 DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA:.................................................................................................5 DEFLEXIÓN POR LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS.......................................................8

APLICACIONES PRACTICAS................................................................................................11 CONCLUSIONES .....................................................................................................................19 SUGERENCIAS ........................................................................................................................20 BIBLIOGRAFIAS: ....................................................................................................................21

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

 

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INTRODUCCION En el presente trabajo se estudia las vigas con tres o más apoyos, dos o más tramos, y que, por tanto, disponen de uno o más apoyos redundantes en los que las reacciones no  pueden determinarse determinarse por las ec ecuaciones uaciones de la Estática. En el método de los tres momentos se comienza obteniendo una relación de tipo general entre los momentos flexionantes en tres secciones cualesquiera de la viga, relación que se llama Ecuación de los tres momentos, y que se escribe fácilmente aplicando los teoremas de las áreas de momentos. La Ecuación de los tres momentos fue desarrollada por el ingeniero francés Clapeyron en 1857. Esta ecuación relaciona los momentos internos de una viga continua en tres  puntos de soporte con las cargas que actúan en los soportes. Por aplicación sucesiva de esta ecuación a segmentos de la viga se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse simultáneamente simultáneamente para los momentos internos desconocidos en los soportes. Las aplicaciones de esta ecuación son numerosas, como determinar las deformaciones y reacciones redundantes en cualquier tipo de vigas, en particular en las vigas continuas. Se terminará el presente con algunos ejercicios de aplicación para la teoría expuesta.

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MÉTODO DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA: Consideramos una Viga de dimensiones de longitud diferentes, cuyos apoyos a un mismo nivel y de sección transversal constante (Pueden ser variables, en este caso en la deducción se debe considerar) somedo a un estado general de carga.

En cada apoyo continuo debe actuar un momento redundante. Del sistema extraigamos los tramos 1-2 y 2-3 y estudiemos las cargas que actúan sobre esta y la compatibilidad de sus deformaciones. deformaciones.

(a)

Carga sobre viga

5

Simplemente

Supóngase M1 > M2

Supóngase M1 > M2 (b)

Momentos de continuidad en los

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© Diagrama de momento del estado de la carga (a)

(d) Diagrama de momento del estado de carga (b)

En los esquemas de cargas mostrados, el estado real de la viga continua es la sumatoria de los estados de carga (a) y (b) por el principio de la superposición, de igual forma los efectos, en este caso los momentos flectores para el caso de la viga continua se obtiene sumando los diagramas (a) y (d). Por compatibilidad de deformaciones se establece el esquema siguiente:

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Por la continuidad de las deformaciones

θ21 =θ 23 

Pero

θ21 =

−t 3/ 2

t 1/2  L1

7

  θ23=

Y resulta:

t 1 /2  L1

=

t 3 /2  L2

Las desviaciones desviaciones se determinan a partir ele los diagramas de momentos de los estados (c) y (d) y tomando los momentos, para la desviación t1/2 respecto al apoyo 1, y para t3/22 respecto apoyo 3. Es así que para el momento del estado (a) viga isos isostátic táticaa se conside consideran ran las distancia distanciass a´ 1 b´2 respectivamente. Luego las desviaciones considerando el área ele momento so pueden expresar. Desviación de 1, respecto a la tangente trabada por 2  1

t 1/ 2=  ¿  EI 

Desviación de 3, respecto a la tangente trabada por 2.

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º  1

t 3/ 2=  ¿  EI 

Reemplazando Reemplazan do estos valores en la relación 1 se obtiene:

 M 1 L1 + 2 M 2 ( L1 + L2 )+ M 3 L2 +

6  A 1 a ´1

 L1

+

´2 6 A 2 b  L2

=0

Esta expresión se llama la ecuación de los tres momentos para los tramos 1-2 > 2-3, la cual se aplicará a todos los tramos contiguos de la viga, ósea para el tramo 2-3 y 3-4. etc. De esta forma obteniéndose varias ecuaciones y la solución de los mismos nos darán los momentos de continuidad en los apoyos con lo cual ya es posible graficar el diagrama de M para la viga continua.

8

Pa Para ra reso resolv lver er las las fuer fuerza zass cort cortan ante tess se de debe be,, su suma marr la lass re reac acci cion ones es correspondientes a los estados (a) y (b). ósea el efecto de la viga cargada considerado isostática más al efecto de los momentos de continuidad. Por  ejemplo, para el apoyo 1

,

, 0  R2 ¿ R 1+ R1 Donde  R1=

 M 1+ M 1  L1

DEFLEXIÓN POR LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Antes de iniciar el estudio de la aplicación de la ecuación de los tres momentos a la evaluación de deflexiones, insistamos en algunos aspectos y características de esta ecuación. La ecuación de los tres momentos expresa una relación entre los momentos flexionantes en cualesquie cualesquiera ra tres puntos en una viga cualqu cualquiera. iera. Los tres puntos puntos determinan determinan dos tramos en la viga, y los términos

6 A 1 ´a1

 L1

 y

6 A 2 ´b2

 L2

 

de la ecuación se refieren al área de

momentos flexionantes que producen las cargas aplicadas a estos tramos si se suponen apoyados en sus extremos. ANALISIS ESTRUCTURAL I

 

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Las alturas h1 y h3 son las alturas de los puntos 1 y 3 respecto de la horizontal que pasa  por 2 y se consideran positivas si están por encima y negativas si están por debajo de esa horizontal. El método general para determinar ordenadas de la elástica o deflexión es elegir los  puntos 1,2 y 3 de manera que una (o las dos) de las alturas h1 y h3 sean iguales a la ordenada o deflexión buscada. Esto acurre cuando dos de los puntos se toman sobre dos apoyos y el tercero en el punto cuya ordenada de trata de calcular. Previamente se ha de conocer o calcular los valores de los momentos en estos tres puntos. El ejemplo que sigue aclara y detalla el método a seguir.

9

Problema Ilustrativo Aplicar la ecuación de los tres momentos a la determinación del valor de EI§ a 1m del apoyo izquierdo de la viga cargada como indica la figura.

h1

Solución: la línea punteada representa, muy exageradamente, la elástica de la viga. Consideremos como punto 2 en el punto en el que se trata de determinar la deflexión y como punto 1 y 3 los apoyos. En estas condiciones, las alturas h1 y h3 son iguales entre si y a la deflexión pedida, pedida, y como los puntos 1 y 3 están están por encima del punto 2, eestas stas alturas son positivas. Los segmentos en que quedad dividida la viga por los tres puntos se llamaran tramo 1 y tramo 2. ANALISIS ESTRUCTURAL I

 

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La ecuación general de los tres momentos es:

 M 1 L1 + 2 M 2 (  L L1 + L2 )+ M 3 L2 +

6 A 1 a ´1

 L1

+

´2 6 A 2 b  L2

= 6 EI (

 h1  h3

+

 L1  L2

)

10

6 A 1 ´a1

Como el tramo 1 está libre de cargas,  L1   es cero. Para el tramo 2 se aplica aplica el caso 5 de la tabla 8.1, es decir: 6 A 2 ´b2

 L2

¿

2

wd ( 2 L2 −d 2 ) = 4 L

 900 ( 2 ) 4 ( 3)

2

  ( 2 ( 3 )2−( 2) ² ) ¿ 4200 N . m ²

Tomando momentos respecto de R2 se obtiene R1 = 450N y, por tanto, el momento flexionante en el punto 2 es M2= 450N x 1 = 450N.m Además, M1 = M3 = 0 y h1= h3 = §. Sustituyendo la ecuación tenemos:

0 + 2∗( 450 ) ( 1 + 3 ) + 0 + 0 + 4200 =6 EI (

§ 1

§

+ ) 3

Donde:

 EI § =975 N .m .m

ᵌ  

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11

APLICACIONES PRACTICAS PROBLEMA 01: Empleando el método de los tres momentos calcular: a) El DFC y DMF  b) la deflexión en el punto “D”( “D”(en en el centro del tramo 2) considerar considerar E I = cte   150KN

30KN

A

B

C D

  6m

9m

6m

SOLUCION: Agregamos un tramo adicional de L=0 30KN 150KN A’

A

B

C

  6m

0m

9m

6m

TRAMO A’AB  M   0 0 L 0 + 2 M 1 ( L 0 + L 1 ) + M   2 2 L 1=−6 α 1−6 α 2 

 

donde: α 2=

 p l

3

16

6 150 x 122  M   0 0 ( 0 ) + 2 M   1 1 ( 0 + 12 )+ M   2 2 ( 12 )=−6 ( 0 ) − ∗ 16

2 M 1 + M 2 =−675………………………

(1)

TRAMO ABC  M 1 L 1+ 2 M   2 2 ( L 1+ L 2 ) + M   3 3 L 2=− 6 α 1−6 α 2  donde: α 1=

 

2

− 6∗150 x 12 6∗30 x 9 −  M 1 ( 12 ) + 2 M  2  2 ( 12+ 9 ) + M 3 ( 9 )=

 p l

3

16

, α 2=

wl

3

24

3

24

16

2 M 1 + 7 M 2 =−2261,25……………………

(2)

Resolviendo (1) y (2) X(-7)

2 M 1 + M 2 =−675………………(1)

-14M1-7M2=4725

+ ANALISIS ESTRUCTURAL I

 

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12

 

2 M 1 + 7 M 2 =−2261,25 ……………..(2)

2 M 1 + 7 M 2 =−2261,25

 

-12M1=2463.75  M1= -205.312 KN.m  M2= -264.375 KN.m

REACCIONES EN LOS APOYOS  

150KN

205.312 KN.m

264. 375 KN.m

A

B 6m

 

6m

V  AB  

V BA

 MA =0 

 FV = 0

∑

∑

205.312 −150 ( 6 ) −264.375 + V BA ( 12 ) = 0 

V  AB−150 + V BA =0 

V BA =79.922 KN  

V  AB=70.078 KN 

  30KN

264. 375KN.m B

C   9m

V BC  

V CB

∑ MB =0 

∑ FV = 0  V BC −270 + V CB = 0 

264.375 − 270 (4.5 )+ V CB ( 9 )=0  

V BC =¿ 164.375KN

V CB =¿ 105.625 KN ¿  

POR LO TANTO, LAS REACCIONES SON: RA=70.078KN

RB=244.247KN

RC=105.625KN

GRAFICANDO EL DFC Y DMF

DFC

+ ANALISIS ESTRUCTURAL I

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º

 

-

 

DMF  DMF  -

+

 

 b). Calculando la deflexión en el centro del tramo: 

x = 4.5m

30KN

  375KN.m 264. B

C

D

  X 9m V BC =164.375 

V CB =105.625 2

 M  X   X =−264.375 + 164.375  X −

30 X  2

 M 1 L 1+ 2 M   2 2 ( L 1+ L 2 ) + M   3 3 L 2 +

6 A 1 a 1

 L1

+

6 A 2 b2

 L2

=6 EI (

 h 1 h 2 + )  L 1  L 2

 

M1 = MB = -264.375 KN.m

L1 = 4.5 m

X=4.5

M2 = MD = 171.563 KN.m

L2 = 4.5 m

h1 = h2 =∂ D

  M3 = MC = 0 30KN

 

D

B X=4.5m

6 A 1 a1

 L1

=

6  A 2 b2

 L2

=

ql 4

3

3

=

30 ¿ 4.5 4

=683.43

  Reemplazando:  M 1 L 1+ 2 M   2 2 ( L 1+ L 2 ) + M   3 3 L 2 +

6 A 1 a 1

+

6 A 2 b2

=6 EI (

 h 1 h 2

+

)

 L1

 L2

 L 1  L 2

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−264.375 ( 4.5 ) + 2 ( 171.563 ) ( 4.5 + 4.5 ) + 0 ( 4.5 ) + 2 ( 683.43 )=6 EI (

 ∂ D 4.5

∂ D= 1224.49 KN . m 3

PROBLEMA 02. Mediante el método de los tres momentos, calcular: a) Los mom moment entos os y rreac eaccio ciones nes en llos os ap apoyo oyoss  b) El DFC Solución:

Fórmula general de método de los tres momentos:  M 1 l 1 + 2 M 2 ( l 1 + l 2)+ M 3 l 2+  M 1=−3000 N − m M 3=0

TRAMO 01:

6  A 1 a1

 L1

+

6  A 2 b2

 L2

= 6 EI 

(

h 1  h3

+

 L1  L2

)

+

 ∂ D 4.5

)

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i) Ca Calc lcul ulan ando do los los mom momen ento tos. s.

Calculando

6 A 1 a1

 L1

 y

6 A 2 b2

 L2

, en cada tramo.

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º

 MB =0

− RA ( 10 )+ 3000 + 4000 ( 2 )+

3500 ( 4 )

=0

3

 RA =1566.67 N 

Graficando el diagrama de momentos y área de momento.

1

2

1

3

1

4

2

3

3

4

4

5

 A1 a1= ( 15666.67∗10 )( ∗10 )−(3000∗10 )( 5 )− ( 4∗ 8000)( 6 + ∗ 4 )− ( 4∗ 4666.67 )( 6 + ∗4 )

 A1 a1=229555.6333

6 A 1 a1

l1

=

6 ( 229555.6333 ) 10

= 137733.38 m 3

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TRAMO 02: Determinando el área de momento con la fórmula

Aplicando la fórmula: 6 A 2 b2

l2

3

=

wL 4

+

7w L 60

3

6 A 2 b2

l2

3

=

2750 ( 4 ) 4

+ 7 ( 1750 ) ¿ ¿

Del TRAMO 01 y TRAMO 02 Reemplazando Reemplaza ndo en la fórmula general de la ecuación de los tres momentos:  M 1 l 1 + 2 M 2 ( l 1 + l 2)+ M 3 l 2+

6  A 1 a1

 L1

+

6  A 2 b2

 L2

=6 EI 

(

h 1  h3

+

 L1  L2

)

; h =h =0;  M  =0 1

3

3

−3000 ( 10 )+ 2 M 2( 10 + 4 )+ 0 + 137733.38 m 3 + 57066.67 = 0  M 2=−5885.72 N −m

ii) Calculando las reacciones en los apoyos A, B Y C de la estructura. ANALISIS ESTRUCTURAL I

 

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Empleando la condición de:  M 2=¿ 1

− 5885.72= RA ( 10)− 1500 ( 12 )−4000 ( 2)− 3500 ( ∗4 ) 3

 RA = 2478.09 N 

18

 M 3=¿   M 3=0 0 =(2478.09 )( 14 )− 1500∗16 −8000 ( 4 )+ RB ( 4 )−14000 (

1

∗8 )

3

 RB=14660.02  N 

∑ FY = 0  RA + RB + RC =8000 + 14000 + 1500  RC =23500−2478.09 −14660.02  RC =6361.89 N 

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iii) iii) Dia Diagra grama ma DF DFC. C.

19

CONCLUSIONES



Podemos concluir el trabajo diciendo que este método es muy importante en cuando al cálculo de diagramas de fuerza cortante, así como de diagramas de momento flector se refiere, nos facilita su cálculo de tal manera que la podemos aplicar sin ningún temor a equivocarse. Este es un método que nos permite tener  una amplia proyección acerca de los diferentes cortes que podemos realizar en una viga, permite al alumno tener más libertad y creatividad para imaginarse acerca de cómo podríamos separar a una viga de tal manera que nos sea fácil su aplicación para el cálculo de las reacciones reacciones.. ANALISIS ESTRUCTURAL I

 

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



Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación  para resolver ese ese momento de empotramiento. Este método solo es aplicable en vigas continuas.

20

SUGERENCIAS



Se recomienda a los estudiantes que presten una muy buena atención en lo que respecta a este método ya que nos permite tener una idea o al menos imaginar la manera de cómo podríamos resolver los problemas de este tipo, que en muchos casos se nos presenta y a veces no lo podemos desarrollar por la falta de información y dedicación por parte del alumno.

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Se recomienda al ingeniero a cargo del curso profundizar el tema ya que será muy importante en nuestra vida futura como profesionales.

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BIBLIOGRAFIAS:







ANALISIS ESTRUCTU ANALISIS ESTRUCTURAL RAL I-II I-II,,  BIA BIAGGI GGIO O ARBULU ARBULU G. EDI EDITOR TORES ES LIMA PERU – 2012 RESISTEN RESIS TENCIA CIA DE MAT MATER ERIAL IALES, ES, PYT PYTEL EL  – SINGER SINGER.. EDI EDITOR TORIAL IAL:: OXFORD ALFA OMEGA. RESISTENCIA RESISTEN CIA DE MATER MATERIALES IALES, GEN GENNER NER VIL VILLAR LAREAL EAL CAS CASTRO TRO,, LIMA – PERU – 2010

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ANALISIS DE ESTR ANALISIS ESTRUCTUR UCTURAS, AS, JAIRO URIBE ESCAMILLA, EDICION. ECOE – 1992 

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