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Ecuación de la recta Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano. cartesiano. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos i ntuitivos de la Geometría (como son también t ambién el punto y el plano). plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados a lineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. Recta . Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que la vean o sepan de su existencia. Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado. grado . Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de de la línea recta que se quiere quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la l a recta. 1. –  – Ecuación general de la recta Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). (y). Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos s obre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente: Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales(( reales

); y en que A y B no son simultáneamente simultáneamente nulos, representa representa una línea recta.

2. –  – Ecuación principal de la recta

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente: Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa ey ey el valor de la ordenada. or denada. (x, y) = (Abscisa , Ordenada) Ejemplo: El punto ( –  –3, 5) tiene por abscisa  –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7, (7, 2) 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero. Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, conoce, que se obtiene con la fórmula y = mx + n que considera las siguientes variables: un punto (x, ( x, y), y), la pendiente (m ( m) y el punto de intercepción en la ordenada (n ( n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego). Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y elpunto elpunto de intercepción (también llamado intercepto) intercepto) en el eje de las ordenadas (y). (y). Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, (0, b) b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma y − y1 = m(x − x 1)

y – b = m(x – 0) y – b = mx y = mx + b Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7). 7).

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la bcorresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y). Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10. La ecuación que se pide es y = 3x + 10. Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como  – y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y + 10 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación: y = – 5x + b Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b Despejamos la variable b en: 2 = – 5 (1) + b 2 = – 5 + b 2+5=b b=7 Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7 La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7. La cual también podemos expresar en su forma general: y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0 la cual ordenamos y queda 5x + y – 7 = 0 Pendiente de una Recta Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados: Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m =  – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m =  – 3. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m =  – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5. Además: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen. Determinar la pendiente Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría: 3 = 2 · 1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m · 1 + n, 5 = m · 2 + n. Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula: y – y1 = m(x – x1)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera: y – y1 = m(x – x1) Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 36_2010 Pregunta 15_2006 Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,  – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: y – y1 = m(x – x1) y – ( –4) = – 1/3(x – 2) 3(y + 4) =  –1(x – 2) 3y + 12 =  –x + 2 3y +12 + x  – 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0 Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por:

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo 1: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

y – 2 = x – 1 y – x + 1 = 0

Ejemplo 2: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2( –3,  –2) Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores:  –2 – 3 = y – 3  –3 – 4

x – 4

 –5 = y – 3  –7

x – 4

y – 3 = x – 4 ( –5 / –7) y – 3 =  –5 x + 20  –7  –7 (y – 3) = –5 x + 20

 –7y +21 + 5x  – 20 = 0

5x – 7y + 1 = 0 Que se corresponde con una ecuación de la forma general Ax + By + C = 0 Donde A=5 B=7 C=1 Ecuación de la recta dados punto –pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente) Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

despejando, llegamos a: y – y1 = m(x – x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente  –4 y que pasa por el punto (5,  –3) y – y1 = m(x – x1) y – ( –3) = –4(x – 5) y + 4 =  –4x + 20 Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0. Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x1) 1. m = –1; punto ( –2, 3) y – 3 =  –1(x + 2) y – 3 =  –x – 2 x + y – 1 = 0

2. m = 2; punto ( –3/2, –1) y + 1 = 2(x + 3/2) y + 1 = 2x + 3  – 2x + y – 2 = 0 2x – y + 2 = 0 3. m = 0; punto ( –3, 0) y – 0 = 0(x + 3) y=0 4. m= –4; punto (2/3, –2) y + 2 =  –4(x – 2/3) y + 2 =  –4x + 8/3 y +2 – 4x –8/3 = 0 y – 2/3 – 4x = 0 4x – y + 2/3 = 0 5. m = –2/5; punto (1,4) y – 4 = 1(x – 1) y – 4 = x – 1 y – 4 – x + 1 = 0 y – 3 – x = 0 x – y + 3 = 0 6. m = 3/4; punto (2,5, –3) y + 3 = ¾(x  – 2,5) y + 3 = 3/4x  – 15/8 y + 3 – 3/4x +15/8 = 0 y + 39/8 – 3/4x = 0 3/4x – y – 39/8 = 0 7. m = ind; punto (0,5) y – 5 = (x – 5) y – 5 – x + 5 = 0 y – x = 0 x – y = 0 8. m = 0; punto ( –4, 1/2) y – ½ = (x + 4) y – ½ – x – 4 = 0 y – 9/2 – x = 0 x – y + 9/2 = 0

Ecuación vectorial de la recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector escalar:

tiene igual dirección que

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director

, luego es igual a

multiplicado por un

= (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

Ecuaciones paramétricas de la recta

A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director

Ecuación punto-pendiente de la recta

= (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

.

Pendiente La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo. Ecuación punto-pendiente Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejado:

Como

Se obtiene:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director

= (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45°.

Ecuación continua de la recta Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

Y si igualamos, queda:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director

= (2,5). Escribir su ecuación continua.

Ecuación general de la recta Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta. Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

igual (-2, 1).

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean los puntos A (x 1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continua.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5).

Rectas paralelas a los ejes Rectas paralelas al eje OX

Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b se expresa mediante la ecuación : y = b

Rectas paralelas al eje OY

Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuación: x = a

Ejes de coordenadas

Los puntos que pertenecen al eje OX tienen como característica que su segunda coordenada es 0, la ecuación del eje OX es y = 0. Los puntos que pertenecen al eje OY tienen como característica que su primera coordenada es 0, la ecuación del eje OY es x = O. Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.

Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.

Ejemplos Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas.

Hallar la ecuación de la recta paralela a r ≡ 3x + 2y -4 = 0, que pasa por el punto A(2, 3).

3 · 2 + 2· 3 + k = 0 k = -12 3x + 2y - 12= 0 La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

Incidencia Un punto P(p1, p2) pertenece a una recta de ecuación Ax + By + C = 0, cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad:  Ap1 + Bp2 + C = 0 

Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P. Analiza si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r ≡ x + 2 y - 13 = 0.

3 + 2 · 5 - 13 = 0

A

r

0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0

B

r

Cuando dos rectas r y s tienen un punto común, se dice que tienen un punto de intersección. Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas. ¿Hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones r ≡ 2 x - y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0.

Posiciones relativas de dos rectas Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que::

1 Si

, las rectas son secantes, se cortan en un punto.

2 Si

, las rectas paralelas, no se cortan en ningún punto.

3 Si

, las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.

¿Son secantes las rectas r ≡ x +y -2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.

Ecuación canónica o segmentaria La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.

a es la abscisa en el origen de la recta. b es la ordenada en el origen de la recta. Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general. Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b. Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos: 1Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n

2Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k 3Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx. Ejemplos Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación.

Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4).

Hallamos la ecuación en forma continua:

Pasamos a la general: −4x −8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0

Si y = 0

x = −5/4 = a.

Si x = 0

y = −5/3 = b.

La recta r ≡ x − y + 4 = 0 forma con los ejes un triángulo del que se pide su área.

La recta forma un triángulo rectángulo con el origen y sus catetos son la abscisa y la ordenada en el origen. Si y = 0

x = −4 = a.

Si x = 0

y = 4 = b.

La ecuación canónica es:

El área es:

Una recta pasa por el punto A(1. 5) y determina con los ejes de coordenadas un triángulo de 18 u 2 de superficie. ¿Cuál es la ecuación de la recta? Aplicamos la ecuación canónica:

El área del triángulo es:

Resolvemos el sistema:

Sabemos que una recta pasa por el punto A(3, 2) y que determina sobre los ejes coordenados, segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas. Hallar la ecuación de esta recta.

Posiciones de dos planos:

Para el sistema formado por ambas ecuaciones,

, caben las siguientes posibilidades:

1.

. Entonces los planos coinciden (fig. 1)

2.

. Entonces son planos paralelos, y distintos (fig. 2)

3. En cualquier otro caso, el rango del sistema es 2, y entonces los planos definen una recta (fig. 3)

Posiciones de dos rectas: Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas cuatro ecuaciones , y A’ a la ampliada.

Éstas son las posibilidades: 1. rang(A) = 2, rang(A’)=2. Entonces, son dos rectas coincidentes. 2. rang(A) = 2, rang(A’)=3. Entonces, son dos rectas paralelas, distintas. 3. rang(A) = 3, rang(A’)=3. Entonces, son dos rectas secantes; su punto de corte es la solución del sistema. 4. rang(A’)=4, es decir, Det(A’) ¹ 0. Entonces, se dice que las rectas se cruzan.

Dos rectas que se cruzan siempre podrán situarse en dos planos paralelos. Además, éste es el único caso en el que no existe un plano que contenga las dos rectas (rectas no coplanarias)

Posiciones de recta y plano: Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas tres ecuaciones , y A’ a la ampliada.

Éstas son las posibilidades: 1. rang(A) = 2, rang(A’)=2. Entonces, la recta está contenida en el plano (fig. 1).

2. rang(A) = 2, rang(A’)=3. Entonces, la recta es paralela al plano, y no contenida en él (fig. 2).

3. rang(A) = 3, rang(A’)=3. Entonces, se dice que la recta es secante al plano. El punto de corte es la solución del sistema (fig. 3)

Es importante darse cuenta de que el paralelismo de recta y plano se da exactamente cuando Det(A) = 0.

Posiciones de 3 planos: Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas tres ecuaciones , y A’ a la ampliada. Éstas son las posibilidades: 1. rang(A) = 1, rang(A’)=1. Entonces, los 3 planos coinciden. 2. rang(A) = 1, rang(A’)=2. Entonces, son 3 planos paralelos (Dos de ellos pueden coincidir.) 3. rang(A) = 2, rang(A’)=2. Entonces, los 3 planos contienen una misma recta (planos de un

haz)

4. rang(A) = 2, rang(A’)=3. Entonces, hay dos posibilid ades: a) Hay 2 planos paralelos, y el otro los corta

b) Los tres son caras de un prisma triangular

5. rang(A) = 3, rang(A’)=3. Entonces, los planos tienen exact.un punto común (caras de

triedro)

Distancia y ángulo entre rectas

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Hallar la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r ≡ 3 x + 4 y = 0.

Distancia al origen

Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.

Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su

ecuación?

Distancia entre rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

Hallar la distancia entre las rectas : r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x − 12 y − 4 = 0.

La distancia entre dos rectas también se puede expresar del del siguiente modo:

Calcular la distancia entre las rectas:

Ángulo entre dos rectas

Se llama ángulo entre dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: 1 Sus vectores directores

2 Sus pendientes

Hallar el ángulo que forman las rectas r y s, si sus vectores directores son:

= (−2, 1) y

=(2, −3).

Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.