Ecuacion de La Recta y Circunferencia en Coordenadas Polares

 

 

ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES Sea  L  una recta cualquiera que no pasa por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a

 L , que se intercepta en  N  . Sea    el ángulo que hace el eje polar con la normal ON  y  p  la medida del segmento ON . Finalmente sea  P(r ,   )  un punto cualquiera de  L .

En el triángulo ONP  se tiene:

  p cos        r  Por lo tanto

r cos      p  

Es la ecuación polar de la recta  L .

Casos particulares: a)  Recta  perpendicular al eje polar, está a la derecha del polo; haciendo     

0,

entonces

r cos      p  

b)  Recta perpendicular al eje polar, está a la izquierda del polo; haciendo     

0,

entonces

r cos       p  

c)  Recta paralela al eje polar, está arriba del polo; haciendo     

 

2

 90º ,

entonces

r cos      90º   p  

r sen      p   d)  Recta paralela al eje polar, está debajo del polo; haciendo

3   270º , 2 Que es lo mismo que r sen       p       

entonces

r cos    270º   p  

e)  Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella es de la forma:  y  mx   Realizando las transformaciones respectivas:  y

mx



rsen



 sen   cos    tan   





mr  cos    m

tan  





 

 

 

  Por lo tanto si la recta  L    pasa por el polo, su ecuación es de la forma     k  . Siendo k  una   una constante que puede restringirse a valores no negativos menores de 180 . 

Ejemplo  Hallar la ecuación de la recta que pasa p por or el punto  P  2;30º  y es perpendicular al eje polar OX  . : Solución La ecuación de la recta es de la forma: r cos       p . Pero como  L  está a la derecha entonces la ecuación es de la forma: r cos      p . Si  P  2;30º   L , entonces: 2cos 30º     p 

2

3 2

  p  

3   p   Luego la ecuación de la recta es: r co  s     

3 

EJERCICIOS 1.  Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto  P (4,  2  / 3)   y es perpendicular al eje polar. 2.  Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto  P (3  2 ,3  / 4)  y es paralela al eje polar.



  y es paralela al eje OY  .  4;30   y forme un ángulo de

3.  Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3; 30 4.  Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto

150  con el eje polar.

 

5.

      Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto  P  2 2 ; 3 4   y es paralela al eje

polar. 6.  Hallar la ecuación en coordenadas polares de una recta que pasa por el punto

 

 

 P  6;

2  

  y es perpendicular al eje polar.

3 

7.  Hallar la ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por  P (4 ,   / 6)   y que es perpendicular a la recta    60   0

 

 

8.  Deducir la ecuación polar de una recta que pasa por el punto  P  2;  inclinación respecto al eje polar de un ángulo  

  

2  3

.

  

   con

6

una

 

  9.  Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por  P (1 / 2,30 )  y es perpendicular a la  



recta    60 . 0

10.  Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto P(3,0 o) y forma un ángulo 3  / 4   con el el eje polar.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES Sea C (r 1  ,  )   el centro de una circunferencia cualquiera de radio R. Sea  P(r ,   )   un punto cualquiera de la circunferencia.

Teorema La ecuación polar de una circunferencia de centro en el punto C (r 1  ,  ) , y radio igual  R  es:

r 2  2r1r cos(   )  r12  R 2  

Casos particulares a)  Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la derecha del polo, y la circunferencia pasa por él, se tiene : r1  R  y     0º , entonces: r  2 R  cos( )   - Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la izquierda del polo, y la circunferencia pasa por él, se tiene: r  R  y     , entonces: r  2R c  os( )   b)  Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY  , arriba del polo, y la circunferencia pasa por él, entonces: r1

 R ,    

 

, entonces:

2 r  2 R s en    - Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY  , debajo del polo, y la circunferencia pasa por él, entonces: r1

3 

 R ,  

  

2

, entonces:

r  2 R  s en    c)  Si el centro de la circunferencia está en el polo, r 1     0 y la circunferencia se reduce a:

r  R  

Ejemplo Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro C    (4,30º)  y radio igual a 5. Solución Por datos del problema se tiene,

 

,

 

  ,   

. Luego:

r    4  R 5 30º r 2  2(4)r co  s(   30)  42  52   1

 

 

r 2  8r co  s(   30)  16  25  r 2  8r co  s(   30)  9  0  

Ejemplo Hallar el centro y el radio de la circunferencia r 2  4r cos    4  3rsen   20  0 . Solución Aplicando la ecuación de la circunferencia r

2

 2r1r cos(   )  r12  R 2 ,

desarrollando se

obtiene:

r 2  2rr1  cos cos  sen sen    r12  R 2  0  

r 2  2r  r1 cos cos  r1sen sen    r12  R2  0   O bien

r 2  2r1 cos  r cos   2r1sen rsen  r12  R2     2

Comparando la ecuación dada r  (1)

 

 4r co coss     4  3rsen   20  0  con esta última, tenemos:

2r 1 co  s   4  

(2)

   4 3  y 2rsen 1

(3)

r12  R 2  20  

Dividiendo la ecuación (2) por (1) tg    120 . Sustituyendo en (1),      3 , entonces    

 2  r 1   12    4   de donde

r 1 De (3) se tiene, 16  R

2

  

4.

 20 ,  R  6 .

120º   y su radio vale 6. Luego el centro de la circunferencia es el punto C (r 1  ,  ) =  4; 120º

   

 

EJERCICIOS 1.  Hallar la ecuación polar de la circunferencia cuyo centro y radio son: a.  C 4; 0 , R  4  





b.  C (5,180  ), R

 5  c.  C (3,45  ), R  8   d.  C (2,240  ), R  7    



 



 



2.  Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación polar: 2 a)  a)  r   r cos( )     3r sin( )  3  0   b)  b)  r 2  3 3r cos(    3r sin( )  5  0     )

c)  c)  r 2  2 2r cos( )   2  2r sin( )  5  0     2 sin( )  15  0   d) r  4   3r cos( )  4r si