Ecuacion de La Energia

204

Capítulo 7

Ecuación general de la energía

En un problema particular es posible que no se requiera que aparezcan todos i términos en la ecuación general de la energía. Por ejemplo, si no hay un dispositivo ^ cánico entre las secciones de interés, los términos hA y h ^ serán igual a cero y se ^ fuera de la ecuación. Si las pérdidas de energía son tan pequeñas que puedan ignorar ^ se elimina el término hL.  Si ocurren ambas condiciones, se observa que la ecuació (7-3) se reduce a la ecuación de Bernoulli.

PROBLEMAS MODELO PROGRAMADOS □ PROBLEMA MODELO 7.1 7.1

De un depósito grande fluye agua a razón de 1.20 1.20 pie3/s pie3/s por p or un sistema sist ema de tubería, tubería, como se aprecia en la figura 7.7. Calcule la cantidad total de energía que se pierde en el sistema debido a la válvula, codos, entrada de tubería y fricción del fluido.

FIGU RA 7.7 Sistema de tubería tubería  para el problema probl ema modelo 7.1.

Con un enfoque similar al que se empleó con la ecuación de Bemoulli, elija dos seccio nes de interés y escriba la ecuación general de la energía, antes de mirar el panel siguiente. Las secciones en las que se tiene más información sobre l a  presión,  presi ón, velocidad y e l e v a c i ó n , son la superficie del depósito y la corriente libre de fluido a la salida de la tubería. D e n o m i n e éstas sección 1 y sección 2, respectivam respe ctivamente. ente. Entonces, Ento nces, la ecuación ecuaci ón general g eneral de d e la energía energía en su forma total es [ecuación (7-3)] la siguiente: Pl  y

°i + ¿1 + ~ 2g

Pi

ol

I" h A — f i R — h i =   ------ f- Zo H------7 2g

El valor de algunos de estos términos es igual a cero. Determine cuáles valen cero y simplifique la ecuación de la energía. Los términos siguientes valen cero: P\ 

0

Superficie del depósito expuesta a la atmósfera.

Pl

0

Corriente libre de fluido expuesta a la atmósfera.

l,i - 0 hn  —0 —0

(Aproxim adamente el el área área superficial del depósito es grand grandee ) En el sistema no hay dispositivo s mecánicos.

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Ecuación general de la energía

205

Así, la ecuación de la energía se transforma en 0

+ Z2 +

2i °

J°

j 0

j°

+ r ~ 7 ” hL = ^ + zi + ~ 2g  Zi  Zi - hL = z2  + v\/ 2g

Debido a que se busca la pérdida total de energía en el sistema, despeje de esta ecuación h L . Debió obtener  hL  = (Z (Zi -

Z2)

~ vl/2g

Ahora, evalúe los términos en el lado derecho de la ecuación, a fin de determinar hL en las unidades de lb-pie/lb. La respuesta es h¿ = 15.75 15.75 lb-pie/lb. lb-pie/lb. A continuación mostramos cómo se obtuvo. En  prime  pri merr lugar, pies  Z\ — z2  = +25 pies v 2  = Q/A 2

Como Q  es 1.20 pie3/s y el área del chorro de 3 pulg de diámetro es de 0.049 pie2, tenemos 1.20 pies3 pies 3 i Q v 2  = — = ------------ X   -----------------------= 24.4 pies pies,, s s  A 2 0.0491 pies2 (24.4) pie2 s2 vi  — = ---------------X ----------------- = 9.25 pies 2g s2 (2)(32.2) (2)(32.2 ) pie Entonces, la cantidad total de la pérdida de energía en el sistema es hi = (z\ (z\ — z2) z2) ~ v i/ 2g = 25 pies - 9.25 pies hL = 15.75 pies, o 15.75 15.75 lb-pie/lb

□ PROBLEMA MODELO 7.2

g

El flujo volumétrico a través de la bomba de la figura 7.8 es de 0.014 m3/s. El fluido que se  bombea  bom bea es aceite aceit e con graved gra vedad ad específic espe cíficaa de 0.86. Calcule Calc ule la energía energ ía que trasmite la bomba b omba al aceite por unidad de peso de este fluido en el sistema. Las pérdidas en el sistema son oca sionadas por la válvula de verificación y la fricción, mientras el fluido circula por la tubería. Se determinó que la magnitud de dichas pérdidas es de 1.86 N-m/N. Para escribir la ecuación del sistema, utilice como secciones de interés aquéllas con mediciones de presión, e incluya sólo los términos necesarios. Debe obtener  Pk

Á

 p b

 — + Zk Zk + — + hk - hL = — + 2g  y y

¿b +

~

2g

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206

Capítulo 7

Ecuación general de la energía

FIGURA 7.8 Sistema de bomba para el problema modelo 7.2.

296 kPa - Tubería de de acero acero de 2 pulg cédula 40

Flujo

1.0 m

Válvula de verificación verificación

Tubería de acero de 3 pulg cédula 40 Pa

=  -28

kPa kPa Bomba

Observe que agrupamos los términos semejantes. Esto será de ayuda cuando se efectúen lo> cálculos. Debe estudiar bien la ecuación (7-4). Indica que la carga total sobre la bomba hAes una medida de todas las tareas que deberá hacer la bomba en un sistema. Debe incrementar la presión ex istente des de el p unto A en la en trada de la bo mb a a la qu e hay en el pu punto nto B. Debe elevar el fluido en la cantidad de la diferencia de elevación entre los puntos A y B. Debe suministrar la energía para aumentar la velocidad del fluido desde la que tiene en la tubería más grande en la entrada de la bomba (se le denomina tubería de succión), a la que tiene en la tubería más peque ña a la sa lida de la bom ba (se le den om ina tu bería de descarga). Además, debe superar cualquier pérdida de energía que ocurra en el sistema tal como la debida a la válvula de verificación y en la tubería de descarga por la fricción. Se le recomienda evaluar cada uno de los términos de la ecuación (7-4) por separado y combin arlos al final. El prim er térm ino es la dife rencia entre la carg a de presión en el el pu punto A y la del punto B. ¿Cuál es el valor de  y l Recuerde que debe usarse el peso específico del fluido que se bombea. En este caso, el peso específico del aceite es  y =   (sg)( 7 w) = (0.86)(9.81 kN m3) = 8.4 4 kN m3

Ahora complete la evaluación de (pB -  p A) /y . Como  p q = 296 kPa  y p \ —  —28  —28 kPa, ten em os

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7. 6

Potenc ia que requieren requieren las bombas

207

Con objeto de determinar cada velocidad, hay que utilizar la definición de flujo volu métrico y la ecuación de continuidad: Q — Av = AAV AAVA = Agü Agü/j /j

Después, al resolver para las velocidades, y con el empleo de las áreas de flujo para las tuberías de succión y de descarga del apéndice F se obtiene v> a 

= (0.014 m3/s m3/s)/ )/(4 (4 .768 X 10 3 m2) = 2.94 m/s Q/A r   = (0.014 m3/s m3/s )/ (2 .168 .168 X 10“3 10“3 m2) m2) = 6.46 m/s

~ Q/Aa

»b   =

Por último, [(6.46 )2 — (2.94)2] (2.94 )2] m2 s2 VB ~ v a  —  ------- = ---------- ------------------------ ----- 1.69 m  ¿8 2(9.81 m/s2) El único término remanente en la ecuación (7-4) es la pérdida de energía hL, que está dado como 1.86 N-m/N, o 1.86 m. Ahora combinamos todos estos términos y finalizamos el cálcu lo de hA. La energía que se agrega al sistema es hA =  38.4 3 8.4 m + 1.0 m + 1.69 m + 1.86 m = 42.9 m, m, o 42.9 N-m/N N-m /N

Es decir, la bomba suministra 42.9 N-m de energía a cada newton de aceite que fluye a través de ella. Con esto term inamos la enseñanza programada. programada.

7 .6

POTENCIA QUE R E Q U IE R E N L A S BOMBAS

La potencia se define como la rapidez a que se realiza un trabajo. En la mecánica de fluidos se modifica dicho enunciado y se considera que la potencia es la rapidez con que se transfiere la energía. En primer lugar se desarrolla el concepto fundamental de la potencia en unidades del SI. Después se hará para las unidades del Sistema Tradicional de Estados Unidos. La unidad de la potencia en el SI es el watt (W), que es equivalente a 1.0 N-m/s o 1.0  jo u le (J)/s. (J) /s. En el problema modelo 7.2 encontramos que la bomba suministraba 42.9 N-m de energía a cada newton de aceite que pasara por ella. Para calcular la potencia que se trasmite al aceite, debe determinarse cuántos newtons de este fluido pasan por la bomba en un lapso dado de tiempo. A esto se le denomina  fl u jo en p es o W, la cual definimos en el capítulo 6, y se expresa en unidades de N/s. La potencia se calcula con la multipli cación de la energía transferida por newton de fluido por el flujo en peso. Es decir  Pa  

= hAW 

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208

Capítulo

7 Ecuación general de la energía

Del problema modelo 7.2 se sabe que  hA = 42.9 N-m/N

8.44 kN/m 3 0.01 4 m 3/s

 y = Q =

=

8.44 X 103 N/m3

Al sustituir estos valores en la ecuación (7-5) obtenemos

42.9 N - m 8.44 X 103 N w 0.014 m3 , ---------------------= -= 50 69  N-m /s P A = --------------X ------------ --------- X -----N

m3

s

Como 1.0 W = 1.0 N-m /s, este resultado resultado se expresa expresa en watts como sigue: sigue:  P A = 5069 W = 5.07 kW

7.6.1 La potencia en el Sistema Tradicional de Estados Unidos

La unidad de la potencia en el Sistema Tradicional de Estados Unidos es la lb-pie/s Como es práctica común expresar la potencia en caballos de fuerza (hp), el factor de conversión que se requiere es

1 hp = 550 lb-pie/ s En la ecuación (7-5), la energía que se agrega,  hA,  hA, está expresada en pies del flui do que pasa por el sistema. Entonces, al expresar el peso específico del fluido en lb/pie3 y el flujo volumétrico en pie3/s, se llegaría a el flujo en peso  y Q   en Ib/s. Por último, en la ecuación de la potencia  PA  P A =  hAyQ  hAyQ ,   ésta queda expresada en lb-pie/s. Para convertir estas unidades al SI empleamos los factores

1 lb-pie/s = 1.356 W 1hp = 745.7 W 7.6.2 Eficiencia mecánica de las bombas

El término eficiencia  eficiencia   se utiliza para denotar la relación de la potencia trasmitida por la bomba al fluido a la potencia que se suministra a la bomba. Debido a las pérdidas de energía por fricción m ecáni ca en lo s com pon ente s de la bomba, fricc ión del fluido y tur bulencia excesiva en ésta, no toda la potencia de entrada se trasmite al fluido. Entonces, si se denota la eficiencia mecánica con el símbolo e¡u,  e¡u,  tenemos

O

Potencia transmitida al fluido

 P A

Potencia de entrada a la bomba

 P¡

e VÍ  --------------------------------------------------- —

EFIC EFICIE IENC NCIA IA DE LA BOMB BOMBA A

El valor de

(7-61

siempre será menor que 1.0.

Al continuar con los datos del problema modelo

7.2,

podría calcularse la  potencia

de entrada a la bomba si se conociera e¡^.  e¡^.  Para las bombas comercialmente disponibles, el valor de se publica com o parte parte de los datos de rendimiento. Si suponemos suponemos que la eficiencia de la bomba de este problema es de 82%, entonces

 p i =

 p a /

^ í   = 5 . 0 7 / 0 . 8 2 = 6 . 1 8 k W

El valor de la eficiencia mecánica de las bombas no sólo depende del diseño d

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7.6

Potenc ia que requieren las bombas

209

e0,  ba s ce ntrí nt rífu fu ga s. Se util ut iliz izaa con co n frec fr ecue ue ncia nc ia los tres tre s valo va lores res siguie sig uiente ntes: s: eficiencia globa l e0, eficiencia volumétrica ev y eficiencia torsional ej. En el capítulo 13 detallamos estas efi ciencias. En general, la eficiencia global global es análoga a la mecánica que estudiamos en esta sección para otros tipos de bomba. La eficiencia volumétrica es una medida de lo que trasmite en realidad la bom ba, en com paración con la trasmisión trasmisión ideal que se calcula con el d esplazam iento por revo lución m ultiplicado ultiplicado por la velocidad de rotación rotación de la bomba. bomba. Se desea una eficiencia volumétrica elevada, porque la operación del sistema de poten cia de fluido depende de un flujo volumétrico casi uniforme para todas las condiciones de operación. La eficiencia torsional es una medida de la relación del par ideal que se requiere para accionar la bomba contra la presión que desarrolla el par real. El problema modelo programado siguiente ilustra un arreglo posible para medir la eficiencia de una bomba.

PROBLEMA MODELO PROGRAMADO □ PROBLEMA MODELO 7.3

FIGURA FIGURA 7.9 Sistema de prueba de la bomba bomba para el el pro blema mod elo 7.3.

Para el arreglo de prueba de la bomba de la figura 7.9, determine la eficiencia mecánica de ésta si la potencia de entrada que se midió fue de 3.85 hp, cuando bombeaba 500 gal/min de aceite (y = 56.0 lb/pie3). Flujo

Para comenzar, escriba la ecuación de la energía para este sistema. Con los puntos identificados como 1 y 2 en la figura figura 7.9, 7.9, tenemos tenemos vj  Pi v\ p2 +  Z\  z2 + ~  Z\   + — + Ka = — + z2

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210

Capítulo 7

Ecuación general de la energía

Conviene resolver para cada término de manera individual y después combinar los resü| dos. El manómetro nos permite calcular ( p 2 ~ P \ ) ! y  porque mide la diferencia de 3  pr  presifm ifm Con el procedimiento desarrollado en el capítulo 3, escriba la ecuación para el manóm entre los puntos I y 2. tr° Se comienza en el punto punto I y tenemos Pl +

y»y 

+ W20 .4pulg) - y„(2 y„(20. 0.4p 4pul ulg) g) -  y 0y = p 2

donde y es la distancia desconocida entre el punto 1 y la parte superior de la columna mercurio en la rama izquierda del manómetro. Cancelamos los términos que involucran Asimismo, en esta ecuación  y n es el peso específico del aceite, y  y m es el del mercurio constituye el fluido manométrico. El resultado que se desea al utilizar la ecuación (7-7) es ( p 2  — P\)!y   Ahora, resuel P\ )!yv. v. Ahora, va para esto y calcule el resultado.  P \ ) / y 0 = 24.0 pies. A continuación presentamos una La solución correcta es (p 2 — P\ forma de obtenerlo:

 y m  = (I3.54)(y,v) = (13.54)(62.4 lb/pie3) = 844.9 lb/pie3 Pl = Pl  + y,,,(20.4pulg) y,,,(20.4pulg) - yo(20.4pulg) yo(20.4pulg) Pl ~ Pi = 7,,,(20.4 7,,,(20.4 pulg) pulg) - 7o(20.4 pulg) pulg)

 _ 7,„(2 7,„ (204 04pu pulg) lg) _  y o

yo

- (23= - l ) 20 .4pul .4 pulgg \ yo

J 

844.9 lb/pie3 lb/p ie3 \  — —— — - 1 j 20.4 pulg p ulg = (15.1 - 1)(20.4 pulg) pulg) 56.0 lb/pieJ / Pl l ipie /t ___ ___ i _ \ /( 4 1__~  _ rPlr __ /1 a = (14.l)(2 0.4p ulg ) (^ (^Y~2 pul g) = 24-° P ies y  0

El término siguiente en la ecuación (7-7) es  z 2  - z\.  ¿Cuál es su valor? Es cero. Ambos puntos se encuentran a la misma elevación. Hubiera podido cance larse estos términos en la ecuación original. Ahora, encuentre (vi - v])/ 2g.

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7.7

Potenc ia suministrada a motores de fluido

211

Despejamos hA,  obtenemos hA  = 24.0 pies + 0 + 1.99 pies = 25.99 pies

Ahora se calcula la potencia que se trasmite al aceite, PA. El resultado es PA — 2.95 hp, que se obtiene como sigue: 56.0 Ib ^ /1.11 pie3  pie PA = 1620 1620 lb-pie/s lb-pie/s ( —  \   hp,— hp,— ) = 2.95 2.95 hp \55 0 lb-pie/s/ lb-pie/s/

El paso final es calcular em , la eficiencia mecánica de la bomba. De la ecuación (7-6) tenemos e.\i = P a /P i =  2.95/3.85 = 0.77

Si se expresa como porcentaje, la bomba tiene una eficiencia de 77% en las condiciones men cionadas. Con esto terminamos la enseñanza programada.

7.7 POTENCIA SUMINISTRADA A MOTORES DE FLUIDO

O

POTENCIA QUE UN FLUIDO TRANSMITE A UN MOTOR

La energía que un fluido trasmite a un dispositivo mecánico, como a un motor de flui do o a una turbina, se denota en la ecuación general de la energía con el término hR. Esta es una medida de la energía trasmitida por cada unidad de peso del fluido confor me pasa por el dispositivo. Encontramos la potencia trasmitida con la multiplicación de hR  por el flujo en peso W : PR = hRW = hRyQ

(7-8)

donde PR  es la potencia que el fluido trasmite al motor de fluido.

7.7.1 7.1 Eficiencia mecánica

Como describimos para el caso de las bombas, la pérdida de energía en un motor de fluido se produce por fricción mecánica y por fricción del fluido. Por tanto, no toda la

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Capítulo 7

Ecuación general de la energía

FIG UR A 7.10 Motor de fluido  para el problem pro blem a model mo deloo 7.4.

+ A Diámetro de 25 mm

Flujo

Motor de fluido

1.8 m

 / 

Pl

Diámetro de 75 mm

B

■+

Como puntos de referencia elegimos A y B, y obtenemos  P a

» a

P b

 — + ZA + 7----- hR - hL = — + zB + ~ y 2g 7 2g

Se necesita el valor de hR para determinar la potencia de salida. Despeje este término de la ecuación de la energía. Compare la ecuación que sigue con el resultado al que llegó: Á - v\  

Pa ~ P b

(zA  hR = ------------ + (z

i b  )

7

+ —

----------- h  

(7-10)

2g

Antes de mirar el panel siguiente, resuelva el valor de cada término de esta ecuación con el empleo de la unidad de N-m/N o m. Los resultados correctos son los siguientes: ,

Pk ~ Pb _ ( 70 0 - 1 2 5 X 1 0 ^ w

X

m3

58.6 58 .6 m

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Problemas

213

La energía que el agua trasmite a la turbina es hR =  (58.6 + 1.8 1.8 + 0.77 - 4.0) m = 57.2 m

Para terminar el inciso (a) del problema, calcule PR. Sustituimos los valores conocidos en la ecuación (7-8), y obtenemos  p R =  hRy Q p

_

o m

PR - 57.2 57.2 m

v X

9 81 X 103 N 1.92 1.9 2 X 10_3m3  --- 1080 ------------------ x ---------------------- --1080 N-m/s N-m/ s

m

s

PR = 1.08 kW

Ésta es la potencia que el agua trasmite al motor de fluido. ¿Cuánta potencia útil sale del motor? Como la eficiencia del m otor es de 85%, se obtiene una potencia de salida de 0.92 kW kW. Con el empleo de la ecuación (7-9), e¡y =  P0/  P0/ P r . obtenemos Po = e.\fPR =  (0.85)(1.08 kW)  P0 = 0.92 kW

Con esto terminamos el problema modelo programado.

PROBLEMAS

Quizá sea necesario que consulte los apéndices para obtener da tos acerca de las dimensiones de las tuberías o propiedades de los fluidos. Suponga que no existen pérdidas de energía, a me nos que se diga otra cosa.

+ A