Ecuacion de La Conduccion de Calor
August 26, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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15 de Noviembre del 2015 Transferencia de Calor Ecuación de la Conducción de Calor •
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En general la ecuación de conducción de calor es un medio es tridimensional y depende del tiempo, y la temperatura en un medio vería con la posición y con el tiempo: es decir=T!, y, ", t#$ %e dice &ue la conducción en un medio es estacionaria estable# cuando la temperatura no varía con el tiempo, no estacionario transitoria#, cuando lo 'ace$ %e dice &ue la conducción de calor en un medio es unidimensional cuando la trans(erencia de calor por conducción es signi(icativa solo en una dimensión y despreciable en las otras dos direcciones primarias, bidimensional cuando la conducción en la tercera dimensión es despreciable y tridimensional cuando la conducción en todas las dimensiones es signi(icativa$ )oordenadas: Rectangulares P ( x , y )
Cilíndricas P ( r , ∅ , z ) Esféricas P ( r , ∅ , θ )
Trans(erencia de )alor multidimensional magnitud y dirección#
•
∂ T ´ ; Qn [ ¿ ] W ∂n ´ n=Q x i + Q y j+ Q z k Q
´ n=−kA Q ⃗
⃗
⃗
*eneración de )alor caso especial#
•
´ = ∫ v ´gdu; G g du; ´G [ ¿ ] W
´g= vel velocid ocidad ad constan constante te de generac generacion ion de calor calor por voluen voluen
Estacionario
Transitorio
)ondiciones
)ondiciones
t=2+
! " t
t=-+
-0.) -0.)
25.) 25.)
-0.) -0.)
25.) 25.)
-0 -0.) .)
25 25.) .)
2/ 2/.) .)
25 25.) .)
Ecuación unidimensional de la Conducción de Calor
[
En el caso especial •
] [
][
][
velociad de generacion generacion velocidad ad de conduc conduccio cion n + velociad velocia vel ociadd dd de conduc conduccion cion − velocid = de calor calor en elinterior elinterior del elento elento de ca calloren x + ! x decalor decal or en en x
´ = g´ ∗v G
En &ue unidades esta dada la
[¿ ]
´ G
W
3
Nota: %e suele utili"ar el caso especial cuando se genera calor uni(ormemente, como en el caso del calentamiento por resistencia elctrica en todo un material 'omogneo$ Eercicio a resistencia de un alambre de una secadora de cabello de 1200 vatios tiene /0 cm de largo y un di3metro de 0,0- cm$ 4etermine la velocidad de generación de calor en el alambre por unidad de volumen, en W / c 3 y el (luo de calor sobre la super(icie del alambre, como resultado de esta generación de calor 4atos:
´g=1200 W
$=0,03 c
%=80 c
velocidad delconte energiad
´ ´g= G = 12002W =
´ = g´ ∗v G
v
$ & %
0,03 c
&
4
1200 W 4
= 1200 W 3 =212.39 W 3
2
5.65 c
(80 c)
c
Nota: El (luo de calor sobre la super(icie de alambre, como el resultado de velocidad de generación se determine al dividir la velocidad total de la generación entre la 3rea super(icial del alambre$
'´ =
G´ A super(icie
= 1200 W = &
%$1200 W
& ( 0,03 c )( 80 c)
=15.91 W 2 c
a resistencia de alambre de una planc'a de 100m tiene 15 pulg de largo y un di3metro de 0,0/pulg$ 4etermine la velocidad de generación por unidad de volumen y el (luo de calor en la super(icie e!terior de dic'o alambre de dic'o resultado de esta generación de calor$ 4atos:
$=0,08 pulg
´ =100 W %=15 pulg G
G ´ = g´ ∗v
´g=
G´ v
2
$ ) = & % 4
(
( 0,08 pulg )2 ) = & ( 15 pulg )=0,075 pulg 3∗ 4
´ ´g= G = v
'´ =
100 W −6
1.23 * 10
100 W
−7
3
=8.1 * 10
=4.11 * 10 4 −3
2.43 * 10
)
−2
2.54 * 10 1 pulg
(
3
=1.23 * 10−6 3
)
2 W 2.54 =2.43 * 10−3 3.76 pulg∗ 3 1 pulg
W
2
Ecuación de la Conducción de Calor en una Pared Plana Grande
)eloci elocidad dad de gener generacion acion +aondeca#io decalor enel deca#io deca# io de dell +azon de conducci,n − +azon de conduccion + = interior inte riordel del contenidode decalor enx delcalor enx + ! x eleento energiadel energia del eleen eleento to
[
][
]
[
][
]
A = - − . + / −0 A = - − . + G ! - eleento = -t +! t − -t " -t +! t =∗0 p∗T t + !t " -t =∗0 p∗T t
! - eleento= ∗0 p ( T t + ! t −T t )
! - eleento = 1∗ A∗! x ( T t +! t −T t )
´ x − ´Q x + ! x + ´G= Q
´ = g´ ∗v " g´ ∗ A∗! x G
! - eleento
! t 1∗ A∗! x ( T t + !t − T t )
´ x − ´Q x + ! x + ´G= Q ´ x Q A ! x
−
A ! x
! t
+ +´g´ =
!x
)
lim T t +!t −T t
!t " 0
! t
=
∗(−1 )
´ x +! x Q
´ x Q
A ! x
A ! x
1∗0 p ( T t + ! t −T t ) =g´ − ! t
−
1∗0 p ( T t +! t −T t )
= g´ −
´ x + ! x − ´Q x lim Q
! x "0
!x
=
! t
∂ ´Q ∂x
∂ T ∂ t
( ) ( )+ ´ =¿
1 ∂
∂ T k =g´ − 1∗0 p ∂ T A ∂ x ∂ x ∂ t ∂ ∂T k ∂x ∂x
( (( x + ! x )− ( ( ( x ) d ( ( ( x ) = !x dx
Q x +! x − ´ Q x 1 ´ A
! t 1 ∗ A∗! x ( T t + !t −T t )
! x" 0
(
1∗ A∗! x ( T t +! t −T t ) ´ x − ´Q x + ! x + g´ ∗ A∗! x = Q ! t
´ x +! x Q
lim ( ( ( x x ) =
= 1∗) " 1∗ A∗! x
g
0 p
( )
− A ∂ k ∂T = g´ − 1∗0 ∂ T ∗(−1 ) p A ∂ x
∂x
∂ t
∂ T ∗k ∂ t
)onductividad ariable
)onductividad )onstante 2
∂ T 2 + g = 1 ∂ T ∂ x k 2 ∂ t
∂ k ∂∂ T g 1 0 ∂ T ∂ x ∂ x + ´ = ∗ p p ∂ t
( )
)asos 7gimen estacionario:
6ormulas
∂T ( = 0 ) ∂ t
2
∂ T g + =0 2 ∂ x k
7gimen transitorio, sin generación de calor:
∂2 T 1 ∂ T = 2 2 ∂t ∂x
7gimen estacionario, sin generación de calor:
∂2 T
( ´g= 0)
=0
2
∂x
(
∂T =0 ) ∂ t
:
( ´g= 0)
Ecuación de Conducción de Calor para un Cilindro Grande
elocidad dad de gener generacion deca#io deca# io de dell decalor enel acion = +aondeca#io +azon de conducci,n − +azon de conduccion + )eloci delcalorenr + ! r contenidode interior inte riordel del decalorenr energiadel energia del eleen eleento to eleento
]
][
[
)onductividad ariable
1 ∂
)onductividad )onstante
( )+ ´ = ∗
∂ T rk r ∂r ∂r
][
[
g 1 0 p
∂ T ∂ t
1 ∂
( )+ ´ =
∂ T rk r ∂r ∂r
)asos
g 1 ∂ T k 2 ∂ t
6ormulas
7gimen estacionario:
(
∂T = 0 ) ∂ t
7gimen transitorio, sin generación de calor:
( ´g= 0)
( )+ ´ = ( )= ( )=
1 ∂
r ∂r 1 ∂
r ∂r
7gimen estacionario, sin generación de calor:
∂T ( =0 ) ∂ t
:
( ´g= 0)
r
∂T ∂r
g 0 k
r
∂T ∂r
1 ∂ T
d ∂ T r dr ∂ r
2 ∂ t
0
Ecuación de la la Conducción en una Esfera
)onductividad ariable
1 ∂
(
)
∂ T 2 ∂ T + g´ = 1∗0 p r k ∂r ∂ t r ∂r 2
)onductividad )onstante
(
)
´g 1 ∂ T 2 ∂ T + = r k ∂r k 2 ∂t r ∂r 1 ∂ 2
]
)asos
6ormulas
7gimen estacionario:
(
∂T = 0 ) ∂ t
7gimen transitorio, sin generación de calor:
0
( )
r ∂r
1 ∂
r ∂r
7gimen estacionario, sin generación de calor:
∂T =0 ) ∂ t
1 ∂
2
( g´ = ) (
:
( ´g= 0)
r
r
∂T ´g + =0 ∂r k
2
∂T ∂ T ∂r
=
( ) ( )
1 ∂ T
2 ∂ t 2
d 2 ∂ T d T dT r =0 r 2 + 2 dr ∂r dr dr
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