Ecuación de Difusividad Demostracion......

Ecuación de Difusividad

La ecuación de la difusividad es la combinación de las principales ecuaciones que describen el proceso físico del movimiento de fluido dentro del reservorio, combina la ecuación de continuidad (que es el principio de la conservación de la masa, y de aquí obtenemos el  balance de materia), la ecuación de flujo (ecuación de Darcy) y la ecuación de estado (compresibilidad). A continuación se contempla el desarrollo de la ecuación de difusividad para un sistema radial en un medio poroso: La ecuación de conservación de la masa es: (Masa entra) - (masa sale) = (acumulación) (acumulación)

Δtqρǀ - Δtqρǀ+ = ØVρǀ+ - ØVρǀ

Ecu. (1)

Donde:

Δt = Paso de Tiempo Δr = Radio

q

= Tasa de Producción, Ley de Darcy:

 =  µ  

Ecu. (2)

ρ = Densidad

V  = Volumen;

V = 2π r h r Ø

Ecu. (3)

Dividiendo ecu. (1) por Δr y Δt, y tomando límites cuando Δr -->0 y Δt -->0:

qρǀ  qρǀ+Δ = lim lim  −−>  −−> Δ

ØVρǀ  Δ  ØVρǀ

Quedaría:

   =   (Øρ)

Ecu. (4)

Sustituyendo la Ley de Darcy en Ecu. (4) obtenemos:

    =   (Øρ)     Ó:

 ρ  =    (Øρ)    

Ecu. (5)

Desarrollando el termino:

  (Øρ)  Obtenemos:

 ρ  =  Ø   ρ Ø      Se necesita calcular

Ecu. (6)

:

 y Ø   Procedemos como sigue: Primero se tiene que la comprensibilidad isotermica esta definida como:

  f =  

Ecu. (7)

Integrando:

   ∫    = ∫ 

→

      lnρ  lnρ

Se tiene:

=

()  ρ

Ecu. (8)

Derivando Ecu. (8) con respecto al tiempo, obtenemos:

 = ρ  ()   =    

  

Ecu. (9)

Por otro lado, la comprensibilidad de la roca está definida por :

Ø    = Ø 

Ecu. (10)

Integrando Ecu. (10) y derivando con respecto al tiempo, obtenemos:

Ø = Ø p   

Ecu. (11)

Sustituyendo Ecu. (9 y 11) en (6), obtenemos:

 ρ  =  Ø        Definiendo:

Ø  =  Ø (   ) 

Ecu. (12)

 =   Obtenemos:

    Ø   ρ     =  ρ 

Ecu. (13)

Ahora, se puede decir que:

ρ  =  ρ p = ρ p ≅ 0        Finalmente se obtiene:

 = Ø     

Ecu. (14)

Observe que en esta ecuación hay una derivada parcial con respecto al tiempo

y

una

segunda

derivada

con

respecto

a

la

distancia

(espacio).

En un sistema cartesiano 3D, la ecuación (14) se puede escribir como sigue:

 p  = µØ  

Ecu. (15)

Donde, el operador V está definido por:

  1   1    =            Y la ecuación de difusividad se convierte en:

         = µØ p         

Ecu. (16)

Si solo existe flujo radial, la ecuación (16) se convierte en:

 p   = Ø       

Ecu. (17)