Ecuación de Calor en Coordenadas Esféricas

Ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas esféricas

I. Fundamentación: Uno de los principales objetivos en un análisis de conducción de calor es determinar el campo de temperatura en temperatura en un medio que resulta de las condiciones impuestas sobre sus fronteras. Es decir, deseamos conocer la distribución de temperaturas, temperaturas, que representa como varia la temperatura con la posición en el medio. Una vez que se conoce esta distribución, el flujo de calor por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la ley de Fourier . La distribución de temperaturas para un sólido sirve para comprobar la integridad estructural mediante la determinación de los esfuerzos térmicos, sus expansiones y deflexiones; así como también, es útil para optimizar el espesor de un material aislante o para determinar la compatibilidad de recubrimiento o adhesivos especiales que se usen con el material. La ecuación diferencial de conducción de calor nos va a servir para determinar el campo de temperaturas en un cuerpo o sistema. El fenómeno térmico se estudiara en un intervalo de tiempo pequeño y en un volumen elemental del espacio, seguiremos la metodología de aplicación de la conservación de la energía.

II. Deducción de la Ec. diferencial de calor para coordenadas coordenadas esféricas: 2.1 Volumen de control: Para la deducción definimos antes que nada un volumen de control infinitesimal pequeño (diferencial), que para las coordenadas en que la deduciremos geométricamente es una cuña esférica, como se muestra en la figura 1.

Figura 1 Volumen 1  Volumen diferencial de control para el análisis de conducción en coordenadas esféricas (r, ϕ, θ)

2.2 Hipótesis de trabajo: - Medio homogéneo e isotrópico. - Las variaciones de volumen debido al cambio de temperatura son despreciables. - Propiedades físicas no se alteran o cambian, suponen constantes. - Existe una fuente de calor uniformemente distribuida.

2.3 Principio de conservación de la energía:  Aplicaremos el principio de la conservación de la energía para un instante de tiempo “t”, el cual enuncia lo siguiente: la velocidad de la energía calorífica neta impartida por la transferencia de calor a través de todas sus superficies más la velocidad de la energía calorífica proporcionada por las fuentes internas de calor es igual a la velocidad del incremento de la energía interna considerada.

 ̇  ̇  ̇  ̇    

…….…balance entre las velocidades de energía

…………………(I)

Dónde:

     

velocidad neta de tranferencia de calor por conduccin

 ( ̇  ̇ )

velocidad de transferencia de calor lierada por las fuentes internas de calor 

  ̇ 

velocidad de incremento de la energa interna de la sustancia contenida en el volumen de control

   ̇  

2.4 Desarrollo: 2.4.1 Cálculo de áreas del elemento diferencial de volumen de control.- sea la siguiente figura:

Figura 2 Elemento diferencial de volumen en coordenadas esféricas

2.4.1.1 Según la dirección radial (r):

⬚    sin  ⬚  sin    

   



 

⬚ ⬚

 

  

 

+ +





     sin    2  sin   

  



 



 

  

2.4.1.2 Según la dirección polar (ϕ):

⬚  ⬚ 

+ +

 

 



 

 



         

 



 )

   

2.4.1.3 Según la dirección azimutal (θ):

⬚    sin   sin ⬚  sin   

 



 



 

  





 )

⬚ ⬚

 

+    sin  +  sin   





 





   sin    cos   

 

  







   



 )

2.4.2 Cálculo de la velocidad neta de transferencia de calor introducida al elemento por conducción: Tenemos que:

      +   +   +

…………………………(II)

Con:

………………………………(1) …………………………(2)

……………………………(3)

 Ahora, sabemos que el flujo de calor es:

   

Dónde:

   

   

fluo de calor 

velocidad de transferencia de calor por conduccin

 

rea de conduccin



  sin    sin    +      + ++     2sin + sin2sin  sin   +            sin    sin 2sin  sin       

- Para

- Para

:

: aplicando Serie de Taylor 

Reemplazando estos resultados en la ecuación (1):

- Para

- Para



:

+

     

     + ++         +   

: aplicando Serie de Taylor 

Reemplazando estos resultados en la ecuación (2):

  +                

- Para

- Para



:

   sin sin 

+      + ++    sincos      +     sin     cos  sin : aplicando Serie de Taylor 

Reemplazando estos resultados en la ecuación (3):

  +            sin      sin     cos  sin         

Finalmente, reemplazando estos últimos datos en la ecuación (II):

               [  2  s in cos    s in    sin]            sin    

…(III)

Pero, sabemos que por ley de Fourier:



Nota: en el denominador del gradiente de temperatura se toma la dimensión de la dirección de coordenadas específicas de acuerdo al volumen de control, ver direcciones en figura 1.

 Ahora, reemplazando estas ecuaciones en la ecuación (III):

   2sin  cos sin      sin  s in       2sin  cossin    sin  s in    *           ………………(a)

2.4.3 Cálculo de la velocidad de transferencia de calor “liberada” por las fuentes internas de calor:

 ̇

Dónde:

̇  sin

rapide a la que se genera energia por unidad de volumendel medio

Por lo tanto,

  ̇  



……………()

2.4.4 Cálculo de velocidad de incremento de la energía interna de la sustancia contenida dentro del volumen de control:

Tenemos que:

                 

………………(c)

Ahora, reemplazando ecuaciones (a), (b), (c) en ecuación (I):

[sin    sin     sin ]̇ sin sin 

[     sin     sin   sin ]̇     [     sin     sin   sin ] ̇   [              ]  ̇   

Dónde:

     III. Conclusiones: Como observamos el resultado obtenido es la forma general, en coordenadas esféricas de la ecuación diferencial del calor, la misma que será de gran ayuda para obtener la distribución de temperaturas T( r, ϕ, θ) como función del tiempo. IV. Bibliografía: 1. INCROPERA, F.P.; DE WITT, D.P “Fundamentos de transferencia de Calor”, 4ta. Ed. Edit. Mc GrawHill, Mexico 1999. 2. 2. YUNUS A. CENGEL “ Transferencia de Calor ”, 2da. Ed. Edit Mc GrawHill, Mexico 2004. 3. http://www.das.uchile.cl/~mhamuy/courses/AS42B/tema2.html 4. http://es.scribd.com/doc/22495144/La-ley-de-Fourier-y-la-ecuacion-de-calor 5. http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas