ECUACIÓN DE BERNOULLI

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA COMPLEJO ACADÉMICO “EL SABINO”

DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA UNIDAD CURRICULAR: FENÓMENOS DE TRANSPORTE (QUÍMICA)

GUÍA DIDÁCTICA SOBRE EL TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN MECÁNICA DE FLUIDOS: LA ECUACIÓN DE BERNOULLI EN CASOS DONDE NO SE CONSIDERAN LAS PÉRDIDAS POR FRICCIÓN. Para determinar las pérdidas de energía y cambios de presiones asociadas al flujo de fluidos en conductos cerrados se aplica un balance de energía el cual proviene de la primera ley de la termodinámica, y ¿qué establece esta ley?

Establece que el calor añadido a un sistema menos el trabajo hecho por el sistema depende única y exclusivamente de los estados inicial y final del mismo . Si se aplica dicha ley a un volumen de control, (lo cual como se recordará de contenidos anteriores no es más que una región espacial perfectamente delimitada a través de la cual existe flujo de entrada y salida de fluidos) la misma se reduce a una ecuación llamada Ecuación de Bernoulli , asumiendo las siguientes condiciones en el sistema: 1. El fluido se describe mediante líneas líneas de corriente definidas 2. El flujo es continuo, incompresible y unidimensional 3. El flujo es no viscoso y no hay transferencia de calor 4. No hay cambios en la energía interna 5. El flujo es estacionario e isotérmico Suponiendo que un fluido se mueve entre un punto 1 y un punto 2 de un sistema de tubería, con alturas referidas a un nivel de referencia conocido, la ecuación de Bernoulli, establecerá que la energía mecánica entre los puntos del sistema se conserva, lo que queda expresado mediante las siguientes ecuaciones:

Expresiones fundamentales del Teorema de Bernoulli (Conservación de la energía mecánica en un tubo de corriente) Expresiones que no consideran efectos de rozamiento ni dispositivos mecánicos que agreguen o resten energía al fluido En términos de carga (válida sin modificaciones para el sistema internacional de unidades y el sistema inglés)

          

En ésta, y todas las expresiones dadas, los parámetros son: P (presión), u (velocidad lineal), g (gravedad), Z (alturas medidas respecto a un nivel de referencia), y (peso específico) Expresión anterior corregida para considerar los efectos de fricción y la corrección del término de energía cinética

                           

Expresión anterior corregida considerando un dispositivo que añade energía al fluido (una bomba)

Expresión de la ecuación de Bernoulli en unidades de energía específica, considerando todos los efectos

                   

La expresión anterior puede ser utilizada para el sistema internacional de unidades sin ningún problema, considerando a gc igual a la unidad. Recuerde que la unidad m 2/s2 es unidad de energía Expresión del teorema de Bernoulli en términos de presión

          

En términos generales, el gradiente de presión en cualquier punto en una tubería está compuesto por los efectos de aceleración, de posición y de fricción CASO DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN. TRABAJE ESTE PROBLEMA EN UNIDADES DEL SISTEMA INGLÉS Y CON LA ECUACIÓN DE BERNOULLI EN TÉRMINOS DE CARGA (UNIDADES DE LONGITUD) Un tramo de un sistema de tubería, consiste en 13ft de tubería que asciende y luego mediante un codo desvía el f lujo 90° a la derecha una longitud indeterminada, permitiendo salir un chorro de diámetro 2in. Si el diámetro interior de todo este sistema es de 3in, la presión medida por un manómetro es de 84PSI justo donde se empiezan a medir los 13ft de tubería que ascienden, la descarga del sistema es atmosférica, y el flujo es kerosén k erosén a 100°F, 100°F, determina: A. El esquema de flujo del sistema, indicando sus dimensiones 3

B. El caudal volumétrico volumétrico del del sistema en ft  /s Ubique las propiedades del kerosén e indique la referencia de donde obtuvo su información.

Solución al ejercicio.

Esquema del sistema sistema (AÚN SIN ESPECIFICAR NADA)

DATOS DEL PROBLEMA:

Longitud de tubería que asciende: 13 ft Diámetro del conducto: 3in = 0,25ft Diámetro del chorro: 2in = 0,17ft Fluido: kerosén a 100°F Razonamiento: Para hacer el cálculo del caudal volumétrico es necesario determinar la velocidad del fluido o bien en el

interior del ducto, o bien a la salida, justo en el chorro libre, para hacer uso de la ecuación de caudal. Para esto, aplicamos la ecuación de Bernoulli, entre el punto A y el B, tal como se muestra en el esquema final del sistema, y determinamos el valor de una de estas velocidades. Como son dos incógnitas las que tenemos, hacemos uso de la ecuación de continuidad, para colocar una velocidad en función de la otra, y resolver la ecuación para la incógnita que nos queda, y finalmente hacer el cálculo del caudal.

Aplicación de la ecuación de Bernoulli: en este caso, no se consideran las pérdidas por fricción, y no existen dispositivos mecánicos que agreguen o retiren energía al fluido, por lo tanto la ecuación queda escrita de la siguiente manera:

                                   (   )          ()

PA = 84 psi = 84*(144/1) = 12096 lbf/ft2 ZA = 0, ZB = 13ft, PB = 0 man De la ecuación de continuidad:

Colocando la velocidad en A en términos de la velocidad en B, tenemos que:

Entonces en la ecuación de Bernoulli:

Haciendo la sustitución y el despeje respectivo:

Para evaluar esta ecuación necesitamos el peso específico del kerosén a la temperatura de operación, para lo cual buscaremos su gravedad específica. De la referencia A-6 relación peso específico  – temperatura del texto de Crane, Flujo de Fluidos:

A 60°F sg = 0,815, con este valor según procedimiento procedimiento de la referencia, la gravedad gravedad específica a 100°F será: será: Sg = 0,80 (lectura del gráfico), luego, la densidad del kerosén será:  = 0,80 * 62,4 = 49,92 lbm/ft3, y por lo tanto el peso específico, por estar en el sistema inglés es el mismo valor, pero en unidades correspondientes: correspondientes: 

= 49,92 lbf / ft3.

Entonces:

Así:

              ( )            ()   √ √        

De esta manera, el caudal volumétrico buscado es:

Siendo el área AB = (). DB / 4 = (). 0,17 / 4 = 0,023ft2 ”

”

Q = 135,7 *0,023 = 3,12 ft3/s Esta aplicación ilustra el uso adecuado de la ecuación de Bernoulli sin considerar las pérdidas por fricción en un sistema de tubería sencillo. En este modelo se ilustró paso a paso la metodología más adecuada para la solución de los problemas en casos prácticos de aplicación. Puede notarse claramente una de las principales aplicaciones de la ecuación de continuidad en caso de fluidos incompresibles.