Ecuacion Bidimensional de Onda

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECUACIÓN ECU ACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA MEMBRANA RECTANGULAR ESTUDIANTES: • • • •

Byron Ludeña Alex Godoy Henry Vasquez Chrisian Sari

PROFESOR: In!" #uan Bauisa Sanan!o $ernandez $ernandez

OBJETIVOS: • • •

De%osrar de la e&ua&i'n (idi%ensional de la onda" A)li&ar la e&ua&i'n (idi%ensional de onda a %e%(ranas re&an!ulares" Ideni*&ar los %odos de +i(ra&i'n en una %e%(rana re&an!ular" re&an!ular"

INTRODUCCIÓN El an,lisis que se )resena es ano +,lida )ara %e%(ranas &o%o )la&as- ya que la di.eren&ia enre enre ellas es que el )ar,%ero )ar,%ero que ri!e a las )ri%eras es la ensi'n a la que sea so%eida- %ienras que la se!unda endr, &o%o .a&or deer%inane su &o%)ora%ieno a la ri!idez" Las %e%(ranas ienen en a&usi&a un !ran &a%)o de a)li&a&i'n/ !ra&ias a las )ro) )ro)ie ieda dade des s que que )res )resen ena an n las las +e%o +e%os s a)li a)li&a &ada das s en un !ran !ran n0%e n0%ero ro de dis)osii+os ales &o%o1 insru%enos %usi&ales- ala+o&es- %i&ro.onos- &a2as a&usi&as y *lros- enre oros" Asi- )ues el esudio de ese i)o de ele%enos- (asi&a%ene la .or%a en que +i(ran- nos )er%ie %odi*&ar diseños- de %anera que en!a%os un %ayor a)ro+e&ha%ieno de &ada una de las &ara&erisi&as analizadas"

Ecuación bidimensina! de ndas

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ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA Co%o oro )ro(le%a (,si&o de +i(ra&iones- se &onsidera el %o+i%ieno de una %e%(rana el,si&a ensada"

Su"ues#s $%sics: •

•

La %asa de la %e%(rana )or unidad de ,rea ser, &onsane" La %e%(rana endr, 4exi(ilidad )er.e&a y no o.re&e resisen&ia a la 4exi'n" La %e%(rana se ensa y lue!o se *2a a lo lar!o de oda su .ronera en el )lano  xy "

T   )or unidad de lon!iud- &ausada )or el esira%ieno de

•

La ensi'n

•

la %e%(rana- es la %is%a en odos los )unos y en odas las dire&&iones- y no &a%(ia durane el %o+i%ieno" La de4exi'n v ( x , y , t ) de la %e%(rana durane el %o+i%ieno es )equeño en &o%)ara&i'n al a%año de la %e%(rana y odos los ,n!ulos de in&lina&i'n son )equeños"

Aun &uando esos su)uesos no )uedan )onerse en )r,&i&a exa&a%ene- se &u%)lir,n &on relai+a )re&isi'n &on +i(ra&iones rans+ersales )equeñas de una %e%(rana el,si&a del!ada- de al %odo que se o(iene un (uen %odelo"

Ecuación bidimensina! de ndas

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Fi&u'a ()() Memb'ana *ib'an#e

Deducción de la ecuación: La e&ua&i'n di.eren&ial que !o(ierna

el %o+i%ieno de la %e%(rana se o(iene &onsiderando las .uerzas que a&0an so(re una )equeña )or&i'n de la %e%(rana de la *!" 63"37" 8ueso que las de4exiones de la %e%(rana y los ,n!ulos de in&lina&i'n son )equeños- los lados de la )or&i'n son i!uales a)roxi%ada%ene a ∆ x y ∆ y " La ensi'n T   es la .uerza )or unidad de lon!iud" En &onse&uen&ia- las .uerzas que T∆x

a&0an so(re los lados de la )or&i'n son a)roxi%ada%ene

y

T∆ y "

8ueso que la %e%(rana iene 4exi(ilidad )er.e&a- esas .uerzas son an!enes a las %e%(ranas"

Componene! "o#i$onale! de la %ue#$a1 Se o(ienen %uli)li&ando las .uerzas )or los &osenos de los ,n!ulos de in&lina&i'n" 8ueso que los ,n!ulos son )equeños- sus &osenos es,n &er&a de 3" En &onse&uen&ia- las &o%)onenes horizonales de la .uerzas de los lados o)uesos son a)roxi%ada%ene i!uales" 8or ano las )ar9&ulas de la %e%(rana en una dire&&i'n horizonal ser,n )r,&i&a%ene des)re&ia(les" 8or lo anerior )uede &on&luirse que es )osi(le &onsiderar el %o+i%ieno de la %e%(rana &o%o rans+ersal/ es de&ir- que &ada )ar9&ula se %ue+e +eri&al%ene"

Componene! &e#icale! de la! %ue#$a!: esas &o%)onenes a lo lar!o del lado dere&ho e izquierdo son *!" 63"37 T ∆ ysenβ

−T ∆ ysenα  -

:

res)e&i+a%ene/ el si!no %enos a)are&e )orque so(re el lado izquierdo la .uerza es, diri!ida ha&ia a(a2o" 8ueso que los ,n!ulos son %uy )equeños sus senos )ueden ser susiuidos &on sus an!enes" 8or ano- la resulane de esas dos &o%)onenes +eri&ales es

T ∆ ysenβ −T ∆ ysenα =T ∆ y ( tanβ −tanα )

¿T ∆ y

(

∂v ∂v  ¿( x +∆ x , y ) −  ¿( x , y ∂x ∂x 1

2

)

)

63"37

De %anera si%ilar- la resulane de las &o%)onenes +eri&ales que a&0an en los oros dos lados de la )or&i'n es

T∆x

(

 ∂ v  ¿ ∂ y ( x

1

, y +∆ y )

−

∂v  ¿ ∂ y ( x

2

)

,y)

63" 57

Ecuación bidimensina! de ndas

;

8or la se!unda ley de Ne