Ecuacic3b3n de La Circunferencia

 

TEMA 2. La Circunferencia Objetivo 4: Determinar la ecuación de la circunferencia conocidas sus propiedades y graficarla en un sistema de coordenadas bidimensional 

1.  Forma ordinaria de la Ecuación de la Circunferencia. Tomando como definición de la circunferencia el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo es el centro de la circunferencia y la l a distancia constante es el radio. Si se toma P(x,y)   un punto cualquiera de la P(x,y) Y circunferencia circunferenc ia y el centro C(h,k) C(h,k)   y el radio r, P(x,y) por definición el punto P debe satisfacer la condición geométrica: r = |CP|, |CP|, esto es la distancia entre los puntos C(h,k) puntos  C(h,k) y  y P(x,y) P(x,y),, por tanto:  C(h,k) r = (x – h)2 + (y – k)2  despejando: 0 X (x – h)2 + (y – k)2 = r2 siendo esta la ecuación ordinaria de la circunferencia Si el centro de la l a circunferencia es el origen C(0,0) C(0,0),, entonces la ecuación tiene la forma: 2 2 2 x  + y  = r   1.1.  1.2.  1.3.  1.4.  1.5.  1.6.  1.7.  1.8. 

Ejercicios de aplicación Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3,-5) y radio 7. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Hallar la ecuación de la curva. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(2,2). Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2,-4) y que es tangente al eje Y. Una circunferencia tiene su centro en el punto (0,-2) y es tangente a la recta 5x – 12y + 2 = 0. Hallar su ecuación. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4,-1) y que es tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0. La ecuación de una circunferencia es (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36. Demostrar que el punto A(2,-5) es interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) B( -4,1) es exterior. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0.

2.  Forma General de la Ecuación de la Circunferencia. Circunferencia. Si se desarrolla la ecuación ordinaria: (x – h)2 + (y – k)2 = r2  se tiene: x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + h2 – r2 = 0 esta expresión puede escribirse como: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 donde: D = -2h; E = -2k; y F = h2 + k2 – r2 

 

 

 

UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano TEMA 2. La Circunferencia 2

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Ahora, si en la ecuación general obtenida x   + y   + Dx + Ey + F = 0, 0, agrupamos los términos: (x2 + Dx) + (y2 + Ey) = - F y completamos cuadrados: (x + D/2)2 + (y + E/2) 2 = (D2 + E2 – 4F)/4 al comparar esta expresión con la ecuación ordinaria de la circunferencia (x  h)2 + (y  k)2 = r2, se concluye que: a)  el centro C(h,k) C(-D/2, -E/2) b)  y el radio r= ½ D2 + E2   4F –

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Al examinar el radical D2 + E2   4F  4F,, se pueden presentar tres posibles casos: -  D2 + E2   4F> 0: 0: la ecuación representa una circunferencia. ci rcunferencia. 2 2 -  D  + E    4F= 0: 0: la ecuación representa un punto de coordenadas C(-D/2, -E/2). 2 2 -  D  + E    4F< 0: 0: la ecuación no representa un lugar geométrico. –

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2.1. 

Ejercicios de aplicación Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria completando cuadrados, determinar si representa o no una circunferencia, en caso afirmativo, encontrar encontrar su centro y radio. a)  2x2 + 2y2 – 6x + 10y + 7 = 0 b)  4x2 + 4y2 + 28x – 8y + 53 = 0 2

2.2.  2.3.  2.4.  2.5. 

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c)  16xel + 16ydel  – 64x + cuya 8y + ecuación 177 = 0 es 9x 2+ 9y2+ 72x- 12y+ 103 = 0 (A = r2) Hallar área circulo Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 25x 2 +25y2+ 30x-20y-62=0 (P = 2r). Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 - 16x+ 12y + 13 = 0 y 12x2+ 12y2- 48x+ 36y+ 55 = 0 son concéntricas. Demostrar que las circunferencias x 2 +y2 +4x+ 6y- 23 = 0 y x 2 +y2 -8x- 10y+ 25 = 0 son tangentes.

Objetivo 5:

 

 

UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano TEMA 2. La Circunferencia

Aplicar la condición de tangencia, para determinar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia.

3.  Ecuación de la Recta Tangente a una Circunferencia. La ecuación de una recta tangente a una circunferencia dada, queda perfectamente determinada, cuando se conocen sui pendiente y el punto de contacto. Si se tiene uno de estos datos, el otro debe determinarse a partir de las condiciones del problema, siendo la condición de tangencia entre ambas curvas: b2   4ac = 0 y 0 y se plantean tres casos: a)  Dada la ecuación de la circunferencia y el punto de tangencia. b)  Dada la ecuación de la circunferencia y la pendiente de la l a recta tangente. c)  Dada la ecuación de la circunferencia y un punto de la l a recta tangente. –

Ejercicios de aplicación 3.1.  Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x 2  + y2  –  2x –  6y - 3 = 0 en el punto (-1,6). 3.2.  Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia 4x 2 + 4y2 + 8x + 4y – 47 = 0 que tengan pendiente –3/2. 3.3.  Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (-2,7) a la circunferencia x2 + y2 + 2x – 8y + 12 = 0. 3.4.  Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x 2  + y2  – 8x + 3 = 0 en el punto (6,3). 3.5.  Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 + 4x – 10 y + 21 = 0 que son paralelas a la recta 5x – 5y + 31 = 0.