Econometria

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE ECONOMIA DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ECONOMIA

.

CAPITULO I

MODELOS MULTIECUACIONALES 1.

EVALUACIÓN DE MODELOS MULTIECUACIONALES

1.1.

EXOGENEIDAD En términos generales: 1º

Variable Endógena es aquella cuyo comportamiento pretendemos estimar.

2º

Variable exógena es aquella cuyos valores se toman como datos para analizar el comportamiento de las endógenas. Para seleccionar variables exógenas se considera el criterio siguiente:

DEPARTAMENTAL

Se consideran como exógenas aquellas que están total o parcialmente al margen del sistema (Clima, población, política, tecnología)

CAUSAL

Se consideran exógenas aquellas que no están influidas por las endógenas.

Según Koopmans (1950) la definición estadística de exogeneidad debe ser más estricta que la definición teórica. DEFINICIÓN I:

En un sistema con variables retardadas se considera como estadísticamente exógenas además de las anteriores las que cumplan las siguientes condiciones:

1º

Que sólo intervengan en las ecuaciones estructurales con algún nivel de retardo.

2º

Que aún interviniendo sin ningún nivel de retardo, estás sólo dependan de variables estrictamente exógenas o de variables retardadas.

DEFINICIÓN ESTADÍSTICA: Partimos de la definición de un sistema completo como:

X 1t = α 11 * X 1t + α 21 * X 2 t +...+α rt * X rt + u1t X it = α 1i * X 1t + α 2i * X 2 t +...+α ri * X rt + uit X rt = α 1r * X 1t + α 2 r * X 2 t +...+α rr * X rt + urt

2

y presentando una función de distribución conjunta de las perturbaciones aleatorias independiente para cada periodo t, así:

f t (u1 ,L, ui Lur ) En un sistema sin variables retardadas se considera como estadísticamente exógenas aquellas variables cuya función de distribución es independiente de las variables exógenas. Es decir: 1º

El conjunto de variables endógenas no intervienen en las ecuaciones de las endógenas.

2º

Las funciones de distribución de las perturbaciones aleatorias son independientes.

3º

El Jacobiano del conjunto de perturbaciones aleatorias con respecto al total de variables presenta valores nulos en las perturbaciones correspondientes a las variables exógenas con respecto a las variables endógenas. Por lo general, se distinguen dos conceptos de exogeneidad:

1º

Predeterminación

Una variable es predeterminada en una ecuación específica si es independiente de los errores contemporáneo y futuro en tal ecuación. Es decir: E ( X t ut + m ) = 0 ; E ( X t ut ) = 0 ; E ( X t ut −n ) ≠ 0.

2º

Exogeneidad Estricta

Una variable es estrictamente exógena si es independiente de los contemporáneo, futuro y pasado en la ecuación relevante. Es decir: E ( X t u t + m ) = 0 ; E ( X t ut ) = 0 ; E ( X t ut −n ) = 0.

Para explicar estos conceptos es preciso considerar un modelo con variables rezagadas; así:

Yt = α 1 X t + β 11Yt −1 + β 12 X t −1 + u1t

X t = α 2Yt + β 21Yt −1 + β 22 X t −1 + u 2t

u1t y u2 t son mutua y serialmente independientes. En la primera ecuación, si α 2 = 0 entonces X t está predeterminada para Yt . Considerando la segunda ecuación, si α 2 = 0 y β 21 = 0 entonces X t es estrictamente exógena para Yt . Si β 21 ≠ 0 entonces X t depende de u1,t1 por medio

3

de Yt −1 . En los modelos no dinámicos y sin correlación serial en los errores, no es necesario hacer esta distinción. Engle, Hendry y Richard sugieren tres conceptos adicionales: 1º

Exogeneidad débil.- una variable X t es débilmente exógena para estimar un conjunto de parámetros si la inferencia sobre condicional en X t no supone una pérdida de información. Es una condición requerida para la estimación eficiente. Ejemplo:

Yt y X t tienen una distribución normal bivariada, existen cinco

parámetros: u1 , u 2 , σ 11 , σ 22 , σ 12 . Es posible transformarlos mediante una transformación unívoca en (α , β , σ 2 ) y (u 2 , σ 22 ) . Ambos conjuntos son separados, por lo tanto, para estimar (α , β , σ 2 ) no es necesario información de (u 2 , σ 22 ) . 2º

Superexogeneidad.- Si X t es débilmente exógena y los parámetros en la distribución conjunta de Yt y X t permanecen sin cambios ante las variaciones en la distribución marginal de X t . Es una condición requerida para propósitos de política. Ejemplo:

3º

Si modificamos u 22 y σ 22 (parámetros en la distribución marginal de X t se producen cambios en (α , β , σ 2 ) , entonces no es superexógena.

Exogeneidad fuerte.-

Ejemplo:

Si X t es débilmente exógena y no está precedida por ninguna de las variables endógenas del sistema.

Se tiene el modelo:

Yt = β X t + u1t X t = α 1 X t −1 + α 2Yt −1 + u 2t

(u1t , u 2t ) se distribuye normal bivariada y son serialmente independientes,

Vat (u1t ) = σ 11 , Vat (u 2t ) = σ 22

y Covat (u1t u 2t ) = σ 12 .

Si α 12 = 0 entonces X t es débilmente exógena debido a que la distribución marginal de X t no involucra a β ni a σ 11 . Pero la segunda ecuación demuestra que Yt precede a X t , es decir, X t

4

depende de Yt −1 ; por lo tanto, X t no es fuertemente exógena. La definición de Engle, Hendry y Richard es en términos de un concepto llamado causalidad de Granger. Así: "Si X t es débilmente exógena y no es causada en el sentido de Granger por ninguna de las variables endógenas del sistema, entonces se define como fuertemente exógena". 1.2.

PRUEBA DE EXOGENEIDAD El enfoque de la Fundación Cowles para ecuaciones simultáneas sostiene el punto de vista de que no es posible probar la causalidad y la exogeneidad. Tenemos un modelo de ecuaciones simultáneas con tres variables endógenas Y1 , Y2 , Y3 y tres variables exógenas Z 1 , Z 2 , Z 3 . Supongamos que la primera ecuación del modelo es:

Y1t = β 2Y2t + β 3Y3t + α 1 Z 1t + u1t

se quiere probar si es posible tratar a Y2 y Y3 como exógenas para la estimación de esta ecuación. Para probar esta hipótesis seguimos el siguiente procedimiento: 1º

Obtenemos los valores predichos de Y2 y Y3 , a partir de las ecuaciones en la forma reducida para estas últimas.

2º

Luego se estima el modelo:

Y1t = β 2Y2 t + β 3Y3t + α 1 Z 1t + γ 2Yˆ2 t + γ 3Yˆ3t + u1t empleando mínimos cuadrados ordinarios. 3º

Se realiza la prueba de Wald para probar la hipótesis:

H0 :γ 2 = γ 3 = 0 H1 : γ 2 ≠ γ 3 ≠ 0

si se acepta la hipótesis nula entonces Y2 y Y3 si pueden tratarse como exógenas en la estimación de la ecuación; y si se rechaza la hipótesis nula entonces Y2 y Y3 no pueden tratarse como exógenas en la estimación de la ecuación. Se tiene el modelo siguiente:

DDt = α 1 + α 2 I t + α 3 ENCt + α 4 DDt −1 + u1t

5

I t = β 1 + β 2 DDt + β 3 INFt + u 2t INFt = δ 1 + δ 2 DDt + δ 3 CIN t + u 3t Verificaremos que las variables DD e INF se pueden tratar cono exógenas en la segunda ecuación, se tiene el procedimiento siguiente: 1º

Estimamos la forma reducida de DD e INF y obtenemos los valores predichos estáticos de DD e INF, nos da: Dependent Variable: DD Method: Least Squares Sample: 1992:02 1997:12 Included observations: 71 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 37.82578 11.54381 3.276716 0.0017 DD(-1) 0.686693 0.087386 7.858146 0.0000 ENC -0.400755 0.206661 -1.939190 0.0567 CIN 0.038788 0.010386 3.734700 0.0004 ============================================================ R-squared 0.848166 Mean dependent var 207.9296 ============================================================

DDF ================================================================================ Modified: 1992:02 1997:12 // frdd.fit ddf 1992:01 NA 144.7520 146.4577 147.9097 153.1752 151.2739 1992:07 155.2140 164.7869 156.9519 154.5775 156.8674 157.9472 1993:01 171.6747 164.1451 170.1863 164.5127 158.1686 153.1212 1993:07 164.9365 178.5399 164.1107 167.7566 173.7750 173.9148 1994:01 194.8023 180.7786 182.7720 188.9755 178.1305 179.3825 1994:07 185.6961 219.4566 196.9213 200.7219 201.4028 200.8673 1995:01 239.0520 215.7034 224.6584 236.4655 225.9911 219.8976 1995:07 225.4408 247.7038 230.3212 234.5356 234.8269 230.6908 1996:01 258.3213 233.7957 230.7273 237.7114 241.8207 242.2752 1996:07 236.4521 250.4778 238.3640 235.9629 235.6657 237.1514 1997:01 260.8767 241.0755 244.8116 257.7485 259.6422 261.2410 1997:07 253.4000 279.0850 267.5338 260.7541 266.3076 261.8484 ================================================================================ Dependent Variable: INF Method: Least Squares Sample: 1992:02 1997:12 Included observations: 71 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 5.239088 0.542312 9.660657 0.0000 DD(-1) -0.019710 0.004105 -4.801078 0.0000 ENC 0.053570 0.009709 5.517762 0.0000 CIN -0.001711 0.000488 -3.507769 0.0008 ============================================================ R-squared 0.687070 Mean dependent var 1.652113 ============================================================

6 INFF ================================================================================ Modified: 1992:02 1997:12 // frinf.fit inff 1992:01 3.500000 4.008865 3.872067 3.424886 3.545896 3.490536 1992:07 2.875449 3.159742 3.740656 3.466783 3.676729 2.952576 1993:01 3.270704 2.953143 3.007627 3.047820 3.690561 3.643172 1993:07 2.353319 2.372938 2.984426 2.271774 2.434575 1.733955 1994:01 1.423582 1.805801 1.524053 1.334873 1.867048 1.901173 1994:07 2.005350 0.926592 1.317732 1.282110 1.420033 1.150795 1995:01 0.215221 0.944469 0.608405 0.371529 1.193807 1.102860 1995:07 1.269565 0.729651 1.096230 1.045941 1.129630 1.238353 1996:01 0.811535 1.334264 1.524015 0.831504 0.646067 0.558532 1996:07 1.241294 0.626075 1.364197 0.873296 1.130797 1.108127 1997:01 0.471394 1.091477 1.313852 0.135472 -0.091280 -0.022570 1997:07 0.575497 -0.462633 0.228249 0.256949 0.207520 0.663370 ================================================================================

2º

Se estima el modelo extendido, obteniéndose: Dependent Variable: I Method: Least Squares Sample: 1992:02 1997:12 Included observations: 71 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 26.54475 15.14426 1.752793 0.0843 DD 0.003468 0.050426 0.068765 0.9454 INF 2.088850 1.073380 1.946050 0.0559 DDF -0.042697 0.076812 -0.555866 0.5802 INFF 2.607720 2.241078 1.163601 0.2488 ============================================================ R-squared 0.525173 Mean dependent var 26.14704 ============================================================

3º

Realizamos la prueba de Wald para probar la hipótesis:

H0 :γ 4 = γ 5 = 0 H1 : γ 4 ≠ γ 5 ≠ 0

El Eviews da el resultado siguiente: Wald Test: Equation: MEI ==================================================== Null Hypothesis C(4)=0 C(5)=0 ==================================================== F-statistic 2.252994 Probability 0.113108 Chi-square 4.505988 Probability 0.105084 ==================================================== se realiza la comparación:

F = 2.252994 < 3.1357193449 = F(0.95, 2 , 66 ) se acepta la hipótesis nula, es decir, las variables DD e INF pueden tratarse como exógenas en la segunda ecuación.

7

1.3.

CAUSALIDAD DE GRANGER En algunas oportunidades es importante determinar si cambios en una variable causa cambios en otra variable. El test de causalidad de Granger nos ayuda a determinar si de acuerdo a los datos (no la teoría) existe una variable cuyos cambios anteceden cambios en otra variable. Es importante que las series sean estacionarias para evitar el riesgo de obtener relaciones espurias, y en caso de no cumplir con esta característica es necesario aplicar alguna transformación para convertirlas en estacionarias, asumiendo que al hacerlo se mantienen las relaciones de causalidad. Granger se basa en la premisa de que el futuro no puede provocar el presente o el pasado. Si un evento A ocurre después de un evento B, se sabe que A no puede provocar a B. Al mismo tiempo, si A ocurre antes de B, esto no necesariamente implica que A provoque a B. Consideremos dos series de tiempo (Yt y X t ) , la serie X t fracasa en la causalidad de Granger de Yt si en una regresión de Yt sobre las Y rezagadas y las X rezagadas los coeficientes de esta última son cero. Es decir, la hipótesis es:

H 0 : β i = 0(i = 1,2,..., k )

H1 : βi ≠ 0 y se estima el siguiente modelo: k

k

i =1

i =1

Yt = ∑ α i Y t − i + ∑ β i X t − i + u t si se acepta la hipótesis nula, entonces X t fracasa en causar a Yt , siendo K arbitrario. Si se rechaza la hipótesis nula, es decir X causa Y, entonces cambios en X deben preceder en el tiempo a cambios en Y. La prueba de causalidad de Granger asume que la información relevante para la predicción de las variables Yt y X t está contenida únicamente en los datos de series de tiempo sobre estas variables. El test dependerá de m (el # de rezagos) y este es arbitrario, es decir uno puede especificar el número de rezagos. Y el resultado de pronto se vería afectado. Entonces uno debería efectuar los tests con diferentes rezagos y asegurarse que la conclusión del test no se afecte por el número de rezagos. Para ver lo que hace la prueba de Granger, consideremos el siguiente modelo:

Yt = α 1 X t + β 11Yt −1 + β 12 X t −1 + u1t

8

X t = α 2Yt + β 21Yt −1 + β 22 X t −1 + u 2t escribamos la forma reducida del modelo:

Yt = π 11Yt −1 + π 12 X t −1 + v1t X t = π 21Yt −1 + π 22 X t −1 + v 2t

para la no causalidad de Granger se requiere que π 21 = 0 . En cambio, para que X t sea predeterminada de Yt debe cumplirse que α 2 = 0 . Para que X t sea estrictamente exógena para Yt se requiere que α 2 = 0 y β 21 = 0 . Sabemos que:

π 21 =

α 2 β 11 + β 21 1 − α 1α 2

entonces π 21 = 0 no implica que α 2 = 0 y β 21 = 0 . Por lo tanto, la prueba de causalidad de Granger no equivale a la prueba de predeterminación ni a la prueba de exogeneidad estricta. 1.4.

EVALUACIÓN Mucho de lo establecido para modelos uniecuacionales es directamente aplicable con la inmediata generalización que supone trabajar con g ecuaciones en lugar de con una sola. La diferencia conceptual al analizar los errores en modelos multiecuacionales, respecto al caso de ecuación única, reside en que ahora los errores en la variable endógena de una ecuación no pueden asignarse directamente a un defectuoso funcionamiento de la misma, sino que frecuentemente vendrán inducidos por errores en otras ecuaciones conexas con la que estamos estudiando. El proceso de evolución se realiza ecuación por ecuación y siguiendo los mismo criterios que en la evaluación de un modelo multiecuacional; es decir, el criterio económico, criterio estadístico y criterio econométrico.

1.4.1. CRITERIO ECONÓMICO Consiste en contrastar si los resultados de la estimación cumplen con las restricciones impuestas por la teoría económica. La evaluación consiste en verificar si las categorías de signo y tamaño son los que la teoría exige. Por lo tanto, existen sólo dos alternativas: A.-

Los parámetros estimados tengan el tamaño y el signo que la teoría señala, o

9

B.-

los parámetros estimados no posean las características que la teoría espera. Tenemos el modelo de determinación de la renta siguiente:

CPt = α 0 + α 1 PBI t + u1t

IBt = β 0 + β 1 (PBI t − PBI t −1 ) + β 2 TIBt + u 2t

PBI t = CPt + IBt + GGt La teoría económica determina que:

0 < α1 < 1

β1 > 0

β2 < 0

Los resultados econométricos de la estimación del modelo son: Dependent Variable: CP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1950:2 1985:4 Included observations: 143 after adjusting endpoints Instrument list: C PBI(-1) TIB GG ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C -142.1103 10.13736 -14.01848 0.0000 PBI 0.673290 0.004185 160.8802 0.0000 ============================================================ R-squared 0.994587 Mean dependent var 1416.052 Adjusted R-squared 0.994549 S.D. dependent var 484.8804 S.E. of regression 35.79936 Sum squared resid 180704.8 F-statistic 25882.43 Durbin-Watson stat 0.165631 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================ Dependent Variable: IB Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1950:2 1985:4 Included observations: 143 after adjusting endpoints Instrument list: C PBI(-1) TIB GG ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 61.22132 48.49890 1.262324 0.2089 PBI-PBI(-1) 7.496991 1.826459 4.104659 0.0001 TIB 35.78810 5.098588 7.019217 0.0000 ============================================================ R-squared -1.225633 Mean dependent var 385.1077 Adjusted R-squared -1.257428 S.D. dependent var 130.6596 S.E. of regression 196.3126 Sum squared resid 5395412. F-statistic 29.63298 Durbin-Watson stat 1.342052 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

La función consumo personal presenta correcto el signo y tamaño del parámetro, mientras la función inversión bruta presenta un signo correcto y el otro cambiado.

10

1.4.2. CRITERIO ESTADÍSTICO (CRITERIO DE PRIMER ORDEN) Consiste en someter a los parámetros estimados a una serie de test o exámenes para determinar su grado de confiabilidad o certeza. La investigación aplicada ha centrado todos estos exámenes en el uso del siguiente procedimiento: A.-

B.-

Test o Prueba de Hipótesis: Pueden ser pruebas individuales o conjuntas, dentro de las cuales se encuentran las pruebas de significancia. La regla de decisión es: Si el estadístico calculado supera al valor de la tabla se rechaza la hipótesis nula, es decir, el estadístico calculado cae en la región crítica. Test de Bondad de Ajuste: de un modelo estimado a través del coeficiente de determinación (R2): El coeficiente de determinación nos indica la proporción o porcentaje de variación total en la variable dependiente que ha sido explicada por los cambios de las variables explicativas del modelo.

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA INDIVIDUAL: En la función de consumo personal, la propensión marginal a consumir es significativa al 5% (0.0000); mientras que en la función de inversión bruta, el acelerador y el coeficiente de la tasa de interés son significativos al 5 % (0.0001 y 0.0000 respectivamente). PRUEBA DE SIGNIFICANCIA GLOBAL: La función de consumo personal e inversión bruta en conjunto son estadísticamente significativas al 5 % (0.000000 y 0.000000 respectivamente). PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE: En la función de consumo personal es aceptable y significa que el 99.4587 % de la variancia del consumo personal es explicada por las variaciones del PBI y en la función de inversión bruta no se puede interpretar el resultado porque nos sale negativo. TEST DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO MULTIECUACIONAL Conceptualmente, no es fácil disponer de una medida única integradora de la bondad de un modelo multiecuacional en su conjunto. Se ha propuesto el coeficiente de Determinación de Dhrymes, que se define: G

R =∑R 2

h =1

2 h

σ y2

h

G

∑σ h =1

2 yh

11

La crítica a este coeficiente se sustenta en que un modelo multiecuacional no es simplemente una unión de ecuaciones individuales, sino que cobra un carácter unitario que exige una evaluación también global. Incluso aunque todas las ecuaciones individuales se ajusten bien a los datos y sean estadísticamente significativos, no tendremos la garantía de que en su conjunto, cuando sea simulado, reproduzca aquellas mismas series en forma ajustada. En el ejemplo del modelo de determinación de la renta, el coeficiente de determinación del modelo es positivo aunque el coeficiente de determinación de la función de inversión bruta es negativo, el coeficiente de determinación de Dhrymes se obtiene de la siguiente forma:

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 484.88042 130.6596 2 ⎜ ⎟ R = 0.994587⎜⎜ 1 . 225633 + 2 2 ⎟ ⎜ 484.8804 2 + 130.6596 2 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎝ 484.8804 + 130.6596 ⎠ R 2 = 0.844284 2

1.4.3. CRITERIO ECONOMÉTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN) Corresponde a determinar si todos los supuestos del modelo se han cumplido de manera satisfactoria. Hay que detectar si existe un alto grado de multicolinealidad, heterocedasticidad, autocorrelación, observaciones atípicas, normalidad y estabilidad parametrica. MULTICOLINEALIDAD: La multicolinealidad es una cuestión de grado, no de existencia. La decisión importante no es entre presencia y ausencia, sino entre los distintos grados de multicolinealidad. La regla de Klein en su versión de correlaciones indica que existe un alto grado de multicolinealidad si:

rX i X j > RY donde rX i X j es el coeficiente de correlación simple entre dos regresores cualquiera y

RY es el coeficiente de correlación múltiple de la ecuación, o la raíz cuadrada de su coeficiente de determinación. O en su versión más empleada, si al menos una correlación entre regresores supera a una correlación de uno de los regresores con la endógena. La matriz de correlaciones de las variables del modelo son:

12 Correlation Matrix ================================================ PBI-PBI(-1) IB TIB ================================================ PBI-PBI(-1) 1.000000 0.210195 -0.043968 IB 0.210195 1.000000 0.821177 TIB -0.043968 0.821177 1.000000 ================================================

La función de consumo personal no presenta multicolinealidad. La primera y segunda versión de Klein no se puede aplicar para la función de inversión bruta por tener un coeficiente de determinación negativo. La tercera versión de Klein nos indica que existe un bajo grado de multicolinealidad. HETEROCEDASTICIDAD: La hipótesis nula es la existencia de homocedasticidad, es decir no existencia de heterocedasticidad. Esta hipótesis se verificará en los siguientes tests: 1º

WHITE SIMPLIFICADO.- No requiere especificar la forma que puede adoptar la heterocedasticidad. Abrimos la estimación del modelo original (para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción: View ⇒ Residual Tests ⇒ White Heteroskedasticity (no cross terms) y el computador nos muestra el resultado. En nuestro caso para la primera ecuación es: White Heteroskedasticity Test: ============================================================ F-statistic 4.476687 Probability 0.013045 Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599 ============================================================

Para la segunda ecuación da: White Heteroskedasticity Test: ============================================================ F-statistic 264.9849 Probability 0.000000 Obs*R-squared 126.5267 Probability 0.000000 ============================================================

Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta. 2º

WHITE GENERAL.- No requiere especificar la forma que puede adoptar la heterocedasticidad. Se abre la estimación del modelo original (para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción: View ⇒ Residual Tests ⇒ White Heteroskedasticity (cross terms) y el

13

computador nos muestra para la primera ecuación: White Heteroskedasticity Test: ============================================================ F-statistic 4.476687 Probability 0.013045 Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599 ============================================================

Para la segunda ecuación da: White Heteroskedasticity Test: ============================================================ F-statistic 245.2174 Probability 0.000000 Obs*R-squared 128.6275 Probability 0.000000 ============================================================

Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta. 3º

HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA.- Se ha elegido que el modelo autorregresivo de heterocedasticidad es de primer orden. Después de abrir la estimación del modelo original ejecutamos la siguiente instrucción: View ⇒ Residual Tests ⇒ Arch LM Test ⇒ 1 ⇒ OK y se obtiene para la primera ecuación: ARCH Test: ============================================================ F-statistic 334.3676 Probability 0.000000 Obs*R-squared 100.0916 Probability 0.000000 ============================================================

El resultado de la segunda ecuación es: ARCH Test: ============================================================ F-statistic 2.054933 Probability 0.153943 Obs*R-squared 2.054138 Probability 0.151793 ============================================================

Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis alternativa en la primera ecuación a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden uno en la función de consumo personal. En la función de inversión bruta existe homocedatsicidad. Ahora, se comprobará heterocedasticidad de segundo orden; siendo los resultados de la primera ecuación:

14 ARCH Test: ============================================================ F-statistic 179.5448 Probability 0.000000 Obs*R-squared 101.8561 Probability 0.000000 ============================================================

En la segunda ecuación se obtiene: ARCH Test: ============================================================ F-statistic 6.139587 Probability 0.002790 Obs*R-squared 11.52098 Probability 0.003150 ============================================================

De acuerdo a la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden dos en ambas funciones. AUTOCORRELACION: La hipótesis nula es la no existencia de autocorrelación de orden p, es decir ausencia de autocorrelación de orden p. Esta hipótesis se comprobará en los siguientes tests: 1º

DURBIN - WATSON.- Comprobamos ausencia de autocorrelación de primer orden, por lo tanto, utilizamos el estadístico Durbin-Watson que se tiene en la estimación de la primera ecuación, luego buscamos en la tabla de Durbin Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y una variable explicativa (excluyendo el intercepto); a continuación aplicamos la regla correspondiente:

0 01 .4 165631 24 3 DW

1{ .72

11 .2 73 46

dL

dU

2

Como el DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden. Para la segunda ecuación utilizamos el estadístico Durbin-Watson de la estimación, luego buscamos en la tabla de Durbin - Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y dos variables explicativas; a continuación aplicamos la regla correspondiente:

0

11 .4 342052 24 3

11 .2 706 3

1{ .76

DW

dL

dU

2

El valor del DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la

15

hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden. 2º

BREUSCH - GODFREY (LM).- Comprobaremos que no existe autocorrelación de primer orden. Abrimos la estimación del modelo original y se ejecuta la siguiente instrucción: View ⇒ Residual Tests ⇒ Serial Correlation LM Test ⇒ 1 ⇒ OK y el EVIEWS nos muestra el siguiente resultado de la primera ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ F-statistic 737.9106 Probability 0.000000 Obs*R-squared 115.9041 Probability 0.000000 ============================================================

Y nos muestra el siguiente resultado para la segunda ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ Obs*R-squared 15.37167 Probability 0.000088 ============================================================

Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal y en la función de inversión bruta. A continuación, se verificará autocorrelación de segundo orden; obteniéndose para la primera ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ F-statistic 379.6381 Probability 0.000000 Obs*R-squared 116.7076 Probability 0.000000 ============================================================

Obtenemos para la segunda ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ Obs*R-squared 15.39034 Probability 0.000455 ============================================================

Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe autocorrelación de segundo orden en las funciones de consumo e inversión bruta. 3º

BOX – PIERCE.- Verificaremos que no existe autocorrelación de primer orden y segundo orden. Abrimos la estimación del modelo original y se ejecuta el siguiente comando:

16

View ⇒ Residual Tests ⇒ Correlogram –Q- Statistics ⇒ 2 ⇒ OK y el EVIEWS y el computador nos da el siguiente resultado para la primera ecuación: Correlogram of Residuals ============================================================== Sample: 1950:2 1985:4 Included observations: 143 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|*******| .|*******| 1 0.899 0.899 118.09 0.000 .|****** | *|. | 2 0.778-0.160 207.14 0.000 ==============================================================

Se tiene:

H 0 : ρ1 = 0 H 1 : ρ1 ≠ 0

comparamos:

QBP = 143 * 0.899 2 = 115.572743 > 3.84 = χ (20.95,1) Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal. Para verificar segundo orden, tenemos:

H 0 : ρ1 = ρ 2 = 0 H 1 : ρ1 ≠ ρ 2 ≠ 0

calculamos:

(

)

QBP = 143 * 0.899 2 + 0.778 2 = 202.128355 > 5.99 = χ (20.95, 2 ) Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de segundo orden en la función de consumo personal. A partir de la segunda ecuación se obtiene: Correlogram of Residuals ============================================================== Sample: 1950:2 1985:4 Included observations: 143 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|** | .|** | 1 0.327 0.327 15.655 0.000 .|* | .|. | 2 0.117 0.011 17.665 0.000 ==============================================================

17

Se tiene:

H 0 : ρ1 = 0 H 1 : ρ1 ≠ 0

comparamos:

QBP = 143 * 0.327 2 = 15.290847 > 3.84 = χ (20.95,1) Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de primer orden en la función de inversión bruta. Para verificar segundo orden, tenemos:

H 0 : ρ1 = ρ 2 = 0 H 1 : ρ1 ≠ ρ 2 ≠ 0

calculamos:

(

)

QBP = 143 * 0.327 2 + 0.117 2 = 17.248374 > 5.99 = χ (20.95, 2 ) Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de segundo orden en la función de inversión bruta. NORMALIDAD: Se plantea la siguiente hipótesis:

H0 : u ≈ Ν H1 : u ≠ Ν se utiliza el estadístico Jarque - Bera, cuya fórmula es:

JB =

N−K⎛ 2 1 2⎞ ⎜ S + (K − 3) ⎟ 6 ⎝ 4 ⎠

se tiene la siguiente regla de decisión:

JB < 5.99 = χ (20.95, 2 ) entonces, a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribución normal. El test de normalidad lo obtenemos de la siguiente forma para la primera ecuación: Abris EQ1 ⇒ View ⇒ Residual Tests ⇒ Histogram-Normality Test ⇒ OK, obteniéndose el siguiente resultado:

18

14 Series: Residuals Sample 1950:2 1985:4 Observations 143

12 10

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

8 6 4 2

Jarque-Bera Probability

1.02E-12 -3.450644 101.6454 -73.31450 35.67308 0.333192 3.135286 2.754957 0.252214

0 -60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribución normal. El test de normalidad se obtiene de la siguiente forma para la segunda ecuación: Abris EQ2 ⇒ View ⇒ Residual Tests ⇒ Histogram-Normality Test ⇒ OK, obteniéndose el resultado siguiente: 30 Series: Residuals Sample 1950:2 1985:4 Observations 143

25

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

20 15 10 5

Jarque-Bera Probability

4.84E-14 -9.054948 764.3070 -643.3132 194.9253 0.233754 5.681904 44.15825 0.000000

0 -600

-400

-200

0

200

400

600

800

entonces, a un nivel de significancia del 1 % lo residuos no se aproximan a una distribución normal. PRUEBA DE ESTABILIDAD DE LOS PARAMETROS: Asumimos en el test de Chow como punto de quiebre 1995:2 y en la función consumo personal nos da: Chow Breakpoint Test: 1975:2 ============================================================ F-statistic 74.94903 Probability 0.000000 ============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que rechazanos la hipótesis nula; es decir, existe cambio estructural.

19

Consideramos como punto de quiebre 1980:2, en la función inversión bruta resulta: Chow Breakpoint Test: 1980:2 ============================================================ F-statistic 0.396361 Probability 0.755822 ============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que aceptamos la hipótesis nula; es decir, no existe cambio estructural.

2.

SIMULACIÓN Para simular los efectos de valores alternativos en diferentes variables o parámetros, es preciso disponer de una cierta solución del modelo que la haga factible en un contexto de simultaneidad de las diferentes ecuaciones. La simulación más habitual es la que supone cuantificar los efectos sobre las endógenas de valores alternativos para las variables exógenas del modelo. Si los datos de las variables exógenas son históricos se tiene una simulación ex - post o histórica; en cambio, si los datos de las variables exógenas son supuestos para el futuro se trata de una simulación ex - ante. Es posible realizar otras simulaciones que correspondan a variaciones en los términos de error de cada ecuación (factores adicionales) o incluso retoques en algunos de los parámetros (ajuste y afinado).

2.1.

OBJETIVOS Los objetivos de la simulación pueden ser: 1º

La evaluación del modelo y la evaluación de la capacidad predictiva del modelo.

2º

La predicción, se trata de determinar los valores de las variables endógenas del modelo en base a los valores de las variables exógenas.

3º

La comparación de políticas alternativas, en base a diferentes escenarios se puede determinar los diferentes efectos de las políticas y poder elegir la más conveniente.

4º

El análisis de las condiciones dinámicas del modelo, consiste en determinar la estabilidad del modelo.

20

2.2.

TIPOS Se tienen los siguientes tipos de simulación: 1º

Simulación Residual.- Para cada ecuación en forma aislada, se da tanto a las exógenas como a las endógenas explicativas sus valores reales y se comprueban los errores de cada ecuación y las identidades. Es útil realizarla para comprobar que no existen errores de transcripción, redondeo en los valores de los parámetros, etc., en el modelo definitivamente seleccionado. Es decir:

yˆ 1t = α 1 + α 2 y 2t + α 3 y1t −1 + α 4 x t

2º

Simulación Estática.- Se consideran valores reales en las variables explicativas, excepto las endógenas corrientes de cada ecuación, que se determinan por el propio modelo en forma conjunta. Sirve para un análisis del funcionamiento período a período del modelo, puede conseguirse trabajando simultáneamente con todas las ecuaciones, pero sin conexión dinámica. Tenemos:

yˆ1t = α 1 + α 2 yˆ 2t + α 3 y1t −1 + α 4 xt

Resultados satisfactorios no garantizan el que el modelo no se desestabilice o presente errores importantes después de varios periodos de funcionamiento, ya que en este tipo de simulación, en cada nuevo periodo se sustituyen las endógenas desplazadas por sus valores reales y no por los de solución del modelo para periodos anteriores. 3º

Simulación Dinámica.- La solución es simultánea para todas las ecuaciones y sólo se suministra datos (reales del pasado o supuestos) para las exógenas y el valor inicial de partida de las endógenas. Esta es la que permite contrastar la estabilidad del modelo y la calidad de sus predicciones. Sería:

yˆ1t = α 1 + α 2 yˆ 2 t + α 3 yˆ1t −1 + α 4 xt

4º

2.3.

Simulación Estocástica.- Se trabaja con las distribuciones de probabilidad tanto de los parámetros como del término de error. Nos permite establecer el grado de incertidumbre sobre los efectos estimados de una determinada política.

SOLUCIÓN DEL MODELO La mayor o menor complejidad en la solución del modelo dependerá de la propia forma en que la simultaneidad se manifieste, de la inclusión o no de ecuaciones dinámicas, de la posible coexistencia de relaciones no lineales junto a otras lineales y del tamaño del modelo.

21

La existencia de variables endógenas desplazadas en el modelo, la forma reducida ya no nos permite una solución inmediata del modelo, dado que la simultaneidad afecta también a las variables endógenas desplazadas y no de todas las variables predeterminadas como se hace en la forma reducida. Theil y Boot propusieron a estos efectos la denominada Forma Final del modelo, donde las variables endógenas corrientes quedan expresadas en función de sólo las exógenas (corrientes y desplazadas), mediante un proceso de eliminación repetitiva de todas las variables endógenas desplazadas en la forma reducida. La forma reducida del modelo es:

YY = ∏ X t + Vt Descomponemos la forma reducida, considerando el desdoblamiento de ∏ de la forma siguiente: ∏0

⇒

∏0

⇒

∏0

⇒

∏0

⇒

término independiente. endógenas desplazadas. exógenas corrientes. exógenas desplazadas.

Asumimos que sólo existen variables desplazadas un período, entonces la forma reducida se expresa:

Yt = ∏ 0 + ∏1 Yt −1 + ∏ 2 Z t + ∏ 3 Z t −1 + Vt donde Z t sólo incluye las exógenas corrientes del modelo. Si no existen variables desplazadas, es decir:

Yt = ∏ 0 + ∏ 2 Z t + Vt entonces la forma final del modelo y la forma reducida del modelo coinciden. Reemplazando Yt −1 en la forma reducida nos da:

Yt = ∏ 0 + ∏1 (∏ 0 + ∏1 Yt − 2 + ∏ 2 Z t −1 + ∏ 3 Z t − 2 + Vt −1 ) + ∏ 2 Z t + ∏ 3 Z t −1 + Vt simplificando, tenemos:

Yt = ∏ 0 (I + ∏1 ) + ∏12 Yt −2 + ∏ 2 Z t + (∏ 2 ∏1 + ∏ 3 )Z t −1 + ∏1 ∏ 3 Z t −2 + (Vt + ∏1 Vt −1 )

(

Repitiendo el proceso s veces, resulta:

)

Yt = ∏ 0 I + ∏1 + ∏12 +... + ∏1s + ∏1s +1 Yt −s −1 + ∏ 2 Z t + (∏ 2 ∏1 + ∏ 3 )Z t −1 + ... +

(∏ 2 ∏1 + ∏ 3 ) ∏1s−1 Z t −s + ∏1s ∏ 3 Z t −s−1 + (Vt + ∏1 Vt −1 + ∏12 Vt −2 + ... + ∏1s Vt −s )

22

Cuando s crece indefinidamente supondremos que ∏ 1s → 0 . Luego se anula los coeficientes de Z t −s −1 e Yt −s −1 . La suma de matrices del término independiente es:

S = I + ∏ 1 + ∏ 12 +... + ∏ 1s como se trata de una progresión geométrica infinita, nos da igual:

lím s →∞

S=

I −1 = (I − ∏ 1 ) I − ∏1

La forma final del modelo puede resumirse: ∞

Yt = ∏ 0 (I − ∏1 ) + ∏ 2 Z t + ∑ (∏ 2 ∏1 + ∏ 3 ) ∏ −1

r =1

r −1 1

∞

Z t −r + ∑ ∏1r Vt − r r =1

Esta expresión recoge los siguientes efectos denominados: 1º

Multiplicador de impacto.- recoge el efecto inmediato que cualquier cambio en la variable exógena tiene sobre la variable endógena. En este modelo es ∏2. .

2º

Multiplicador dinámico.- recoge el efecto según pasa uno, dos, ... , s períodos que cualquier cambio en la variable exógena tienen sobre la variable endógena. En este modelo son:

(∏ 2 ∏ 1 + ∏ 3 )

3º

;

(∏ 2 ∏ 1 + ∏ 3 ) ∏ 1

;

(∏ 2 ∏ 1 + ∏ 3 ) ∏ 12

; ...

Multiplicador total a largo plazo.- viene a ser la suma de todos los multiplicadores. Tenemos:

MLP = ∏ 2 +(∏ 2 ∏1 + ∏ 3 ) + (∏ 2 ∏1 + ∏ 3 )∏1 +(∏ 2 ∏1 + ∏ 3 )∏12 +...

sacando factor común, nos queda:

(

)

MLP = ∏ 2 + (∏ 2 ∏1 + ∏ 3 ) I + ∏1 + ∏12 +...

reemplazando la suma del término independiente da:

MLP = ∏ 2 + (∏ 2 ∏1 + ∏ 3 )(I − ∏1 )

−1

simplificando tenemos:

MLP = (∏ 2 + ∏ 3 )(I − ∏ 1 )

−1

23

En caso de trabajar con variaciones en porcentaje tanto de las variables exógenas como de las variables endógenas, podemos hablar en forma equivalente de elasticidad impacto, elasticidad dinámica y elasticidad total a largo plazo. Si no existen variables rezagadas (endógenas y exógenas), los coeficientes de la forma reducida son directamente los multiplicadores de impacto y son los únicos multiplicadores en el tiempo y coinciden con los multiplicadores totales. En modelos que incluyen relaciones no lineales o son de un tamaño que resulta incómodo seguir todo este proceso y se busca una solución al modelo mediante algún algoritmo de resolución por tanteo de sistema de ecuaciones, frecuentemente alguna variante del algoritmo de Gauss - Seidel. 2.4.

CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN MODELO DINÁMICO Para poder alcanzar la forma final es necesario que se cumplan ciertas condiciones de convergencia en relación con las matrices de parámetros de las endógenas desplazadas. La estabilidad del modelo la entendemos en el sentido de que tienda a una nueva solución de equilibrio después de que se haya provocado un cambio inicial en uno o varios de los valores de las exógenas. Para el caso de un modelo de G ecuaciones simultáneas con variables endógenas retardadas hasta s periodos, podríamos expresar el conjunto de ecuaciones dinámicas fundamentales como una ecuación en diferencias vectoriales con coeficientes consistentes del tipo:

A0 YT′ + A1YT′−1 + A2 YT′− 2 + ..... + AS YT′− S = G (t )

donde,

Yt′−r ⇒

vector de las variables endógenas (1xG) que se han transpuesto a efectos de post multiplicar la matriz de coeficientes.

Ar ⇒

matriz de los coeficientes de todas las variables endógenas (GxG) para cada retardo establecido r ( r = 0, 1, .., s) en las diferentes ecuaciones del modelo.

G (t ) ⇒

incluye a todas las variables exógenas desplazadas, corrientes y término de error para las G ecuaciones.

Dhrymes comprobó que la ecuación en diferencias vectoriales de orden s puede reducirse a una de sólo primer orden; por lo tanto:

Yt − AYt −1 = 0