Échantillon_Annales Annabac 2017 Bac S

anna2017 bac SUJETS SUJETS &&

CORRIGÉS CORRIGÉS

L’INTÉGRALE du BAC 100 sujets expliqués et corrigés + les outils du bac : formulaires, mémentos, lexiques… + des conseils de méthode

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S

Maths Physique Chimie SVT

annabac 2017 SUJETS & CORRIGÉS

L’Intégrale Bac S

Mathématiques Hervé Kazmierczak professeur agrégé

Christophe Roland professeur certifié

Physique — Chimie Jérôme Fréret professeur certifié

Caroline Adam professeur agrégée

Rodolphe de Tourris professeur agrégé

Nathalie Benguigui professeur agrégée

Sciences de la vie et de la Terre Jacques Bergeron Jean-Claude Hervé professeurs agrégés de l’université

© Hatier, Paris juillet 2016 ISSN : 1168-3775 ISBN : 978-2-218-99852-2

L’Intégrale Bac S, mode d’emploi

En quoi consiste cet ouvrage de préparation au bac ? L’Intégrale Bac S regroupe les principales matières de votre programme. Elle est conçue pour vous accompagner, tout au long de l’année, dans votre préparation aux épreuves du baccalauréat S. L’ensemble des thèmes au programme sont abordés à l’aide d’une large sélection de sujets et de leurs corrigés.

En quoi peut-il faciliter vos révisions ? 1. En premier lieu, parce qu’il s’agit d’un « trois en un » : dans un même ouvrage sont rassemblées les trois matières à plus fort coefficient de votre programme : les mathématiques, la physique-chimie et les SVT.

2. Dans chaque matière, vous avez accès au sujet posé lors de la session de juin 2016 en France métropolitaine, ainsi qu’à un ensemble de sujets complémentaires représentatifs des épreuves : chaque sujet est associé à des « clés du sujet » ; chaque corrigé 7 7 est accompagné de commentaires de l’auteur : informations, conseils ( ) et mises en garde utiles dans le cadre d’une préparation ( ) au bac. ANALYSE

S U J E T

CORRIGÉ

SUJET

7

COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS

PARTIE A – ÉTUDE D’UNE FONCTION RATIONNELLE

On note

– {2} par f ( x ) =

sa courbe représentative dans un repère.

x −1 . x+2

PARTIE A – ÉTUDE D’UNE FONCTION RATIONNELLE

m 1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes des intervalles sur lesquels elle est définie. Interpréter graphiquement. (1 point) m 2. Déterminer m 3. Dresser

les variations de la fonction f. (1,5 point)

de f aux bornes de son ensemble de définition 1 1   x 1−  1−    x −1 x  x . Pour tout x ∈ – {2}, = =x x+     x 1+   1 +   x x 1 2 lim = lim = 0 , donc lim f ( x ) = − ∞ . x →− ∞ x →− ∞ x 2 x →− ∞ x 1 2 lim 2 = lim = 0 , donc lim f ( x ) = + ∞ . x →+ ∞ x x →+ ∞ x x →+ ∞ lim x 2 − 1 = 3 > 0. x →− 2

le tableau de variation de la fonction f. (0,5 point)

Quand x tend vers – 2 en restant inférieur à 2, x + 2 tend vers 0 en restant négatif. f (x) = − ∞.

PARTIE B – ÉTUDE DE DEUX TANGENTES PARALLÈLES

Donc lim

m 1. Déterminer

Quand x tend vers – 2 en restant supérieur à 2, x + 2 tend vers 0 en restant positif. Donc lim f ( x ) = + ∞ .

l’équation réduite de la tangente

à la courbe

au point A d’abscisse 1.

(0,5 point) m 2. On

cherche à déterminer les coordonnées du point B en lequel la courbe admet une tangente ′ parallèle à . (0,5 point) 2 a) Démontrer que pour tout x de – {2} : f ′( x ) = ⇔ x 2 + 4 x − 5 = 0 . 3 2 b) En déduire les solutions de l’équation f ′( x ) = . 3 c) Conclure. m 3. Déterminer

l’équation réduite de la droite

m 4. Tracer

et

,

′. (0,5 point)

x →− 2 x − 2

On en déduit que la droite d d’équation x = – 2 est asymptote verticale à .

m 2. Étude des variations de la fonction f La fonction f est un quotient de fonctions polynômes ; elle est donc dérivable sur chaque intervalle sur lequel elle est définie, c’est-à-dire sur ]– ∞ ; – 2[ et sur ]– 2 ; + ∞[. Ses variations se déduisent du signe de sa dérivée sur chacun de ces intervalles.

2 x ( x + 2) − x − 1 x 2 + 4 x + 1 = . ( x + 2)2 ( x + 2)2 Pour tout x ∈ – {2}, (x + 2)2 > 0, donc f ’(x) a le signe de x 2 + 4x + 1. 2

Pour tout x ∈ – {2}, f ′ ( x ) =

′. (0,5 point)

(

LES CLÉS DU SUJET

∆ = 16 − 4 = 12 = 2 3

La notion en jeu Fonctions : généralités.

Les conseils du correcteur Partie A m 1. Pour déterminer la limite de f en l’infini, pensez à factoriser. Pour l’étude en – 2, l’utilisation de la règle des signes vous oblige à distinguer les deux cas x < – 2 et x > – 2. m 2. La fonction f étant dérivable sur ]– ∞ ; – 2[ et sur ] – 2 ; + ∞[, ses variations se déduisent du signe de sa dérivée sur chacun de ces intervalles. FICHES C7 C9

Partie B m 1. La tangente à en A d’abscisse 1 a pour coefficient directeur f ′(1). FICHE C8 m 2. b) Utilisez l’équivalence établie dans la question précédente. c) Relisez l’objectif de la question et interprétez l’une des deux solutions de l’équation précédente. Rappelez-vous que deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. m 3. Déduisez-en l’équation réduite de la droite étudiée.

44

2

S U J E T

7

)

2

> 0 ; donc le trinôme a deux racines réelles :

−4− 2 3 −4+ 2 3 x1 = = − 2 − 3 et x 2 = = − 2 + 3 . Ainsi : 2 2 f > 0 sur ]– ∞ ; – 2 – 3 [ ∪ ]– 2 + 3 ; + ∞[, f < 0 sur [– 2 – 3 ; – 2[ ∪ ]– 2 ; – 2 + 3 [. et f (– 2 – 3 ) = f (– 2 + 3 ) = 0. On en déduit que la fonction f est : 3 + 3 ; + ∞[ ; ∞ 3 + 3 [. m 3. Tableau

(

de variation de la fonction f

−2 − 3 −1 ) ( − 2 − 3)+ 2 = 4 + 4− 3 3+ 3 − 1 = − 6 + 43 3 3 (6 + 4 3 ) 6 3 + 12 =− = − 4 − 2 3. =− 2

f −2− 3 =

3× 3

3

45

C O R R I G É

7

MATHÉMATIQUES

On considère la fonction f définie sur

m 1. Limites

2

3. En plus des sujets corrigés, vous trouverez :  des conseils de méthode généraux ;  des « utilitaires » (formulaire, lexique, mémento…). Et puis un planning J – 60, pour organiser la dernière ligne droite de vos révisions.

Et l’offre privilège sur annabac.com ?­ En quoi consiste-t-elle ? L’achat de cet ouvrage vous permet de bénéficier d’un accès gratuit* aux ressources d’annabac.com : fiches de cours, podcasts, quiz interactifs, exercices, sujets d’annales… Comment procéder ? Pour profiter de cette offre, rendez-vous sur www.annabac.com dans la rubrique « Vous avez acheté un ouvrage Hatier ? ». La saisie d’un mot clé du livre (lors de votre première visite) vous permet d’activer votre compte personnel. *Selon conditions précisées sur www.annabac.com

Il nous reste à vous souhaiter de très bonnes révisions et un bac sans souci !

3

Coordination éditoriale : Anne Peeters, Grégoire Thorel et Charlotte Monnier, assistés de Sophie Larras et de Julie Laurendeau Correction : Jean-Marc Cheminée (mathématiques), Claire-Marie La Sade (physique-chimie), Hannah-Belle Abdullah (SVT) Maquette de principe : Dany Mourain Coordination maquette : Hatier Mise en page : Nord Compo Iconographie : Hatier Illustration Dessins et schémas : Bernard Sullerot, Philippe Bouillon (Illustratek), STDI

4

Sommaire général

Mathématiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

L’épreuve en questions-réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Les sujets et leurs corrigés commentés 1 à 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Physique - Chimie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

L’épreuve en questions-réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Les sujets et leurs corrigés commentés 1 à 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Sciences de la vie et de la Terre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

L’épreuve en questions-réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Les sujets et leurs corrigés commentés 1 à 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Les outils du bac S Mémento de mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 Lexique, USI, formules clés, analyse spectrale de physique-chimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 Lexique de SVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

Le planning J – 60 Organisez vos révisions au cours des 8 semaines précédant le jour J. . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

5

mathématiques

sommaire



Cochez les sujets sur lesquels vous vous êtes entraîné.



L’épreuve en questions-réponses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10



■ Sujet complet 1 France métropolitaine, juin 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Exercice 1 • Fabrication d’un composant électronique Exercice 2 • Voyageons dans l’espace Exercice 3 (Spécifique) • Une fonction et une suite associée Exercice 3 (Spécialité) • Droite rationnelle Exercice 4 • Transformons l’essai !



■ Sujets classés par thèmes



A N A LY S E



Suites numériques



2 Étude d’une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33



3 Algorithme et suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36



4 Utiliser une suite auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40



5 Étude du volume d’eau dans un bassin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43



Compléments sur les fonctions



6 Représentations graphiques, aire et algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46



7 Fonctions exponentielles, polynômes et rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51



Fonction exponentielle



8 Des courbes, des tangentes et des aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55



9 La famille exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59



10 Position relative d’une droite et d’une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63



11 Logo d’une entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

77

MATHÉMATIQUES





Fonction logarithme népérien



12 Étude d’une fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73



13 Retoucher une image. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79



Intégration



14 Suite d’intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86



15 Exponentielle et calcul d’aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



GÉOMÉTRIE



Nombres complexes et applications 16  Détermination de cos  π  via les nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . 94  12 



17 Dessinons une ligne brisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98



18 Spirale et complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102



19 Résolution d’une équation du quatrième degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109



Géométrie dans l’espace



20 Sectionner un cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112



21 Droites et plans : jouons ensemble ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117



22 Jouons dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121



p ro b a b ilités et statisti q u es



Probabilités conditionnelles



23 Étude d’un test de dépistage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124



24 Probabilités : vrai ou faux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128



25 Utilisation d’un arbre pondéré. Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131



Lois de probabilité à densité



26 Durée de vie et défectuosité d’un moteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134



27 Rendez-vous au lycée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137



28 Pots de crème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

88



Intervalles de fluctuation et de confiance 29 Conformité de boîtes surgelées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146



30 Estimation d’un taux de grévistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

MATHÉMATIQUES



9

L’épreuve en questions-­réponses ■ ■ Le programme 1. Quel est le programme d’enseignement spécifique en terminale S ? Le programme se divise en trois grandes parties : analyse, géométrie, probabilités et statistique. Ces trois parties sont évidemment interdépendantes. À ces trois parties s’ajoute l’algorithmique qui intervient dans tous les champs du programme. Analyse

Fonctions Continuité

• Présentation de la notion de continuité • Théorème des valeurs intermédiaires et conséquences

Limites

• Présentation de la notion de limite • Opérations • Interprétation géométrique

Compléments de dérivation

• Fonctions composées particulières

Fonctions de référence • Fonctions sinus et cosinus • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien Intégration

• Aire sous une courbe • Primitives • Intégrale d’une fonction de signe quelconque • Propriétés de calcul Suites

Suites

• Raisonnement par récurrence • Limites de suites • Suites arithmético-­géométriques

Géométrie

Géométrie dans l’espace Droites et plans

• Positions relatives de droites et de plans • Orthogonalité : – de deux droites – d’une droite et d’un plan

Géométrie vectorielle

• Extension à l’espace de la notion de vecteur • Vecteurs coplanaires • Représentations paramétriques de droites

10

Produit scalaire

• Extension à l’espace • Notion de vecteur normal • Équation cartésienne d’un plan Nombres complexes

Forme algébrique

• Opérations sur les nombres complexes

Forme trigonométrique

• Module et argument d’un nombre complexe

Géométrie des nombres complexes

• Représenter un nombre complexe

• Notation exponentielle • Interpréter les notions de module et argument

Probabilités et statistiques

• Conditionnement • Arbre pondéré • Indépendance de deux événements

Lois à densité

• Loi uniforme • Lois exponentielles • Lois normales • Notion à partir d’exemples

Intervalle de fluctuation

• Intervalle de fluctuation asymptotique et prise de décision

Estimation

• Intervalle de confiance

• Notion de seuil • Niveau de confiance

2. Qu’en est-­il du programme de spécialité ? Cet enseignement permet d’aborder deux domaines : l’arithmétique et le calcul matriciel en lien avec les suites. Il prend appui sur la résolution de problèmes. Arithmétique Problèmes de codage, de chiffrement

• Arithmétique dans Z  : divisibilité, congruences et applications

Nombres premiers Système cryptographique RSA Calcul matriciel Marches aléatoires

• Matrices et opérations

Modèle de diffusion d’Ehrenfest

• Matrices et systèmes linéaires

Modèle proie-prédateur discrétisé

• Suites de matrices colonnes • Étude asymptotique d’une marche aléatoire

11

MATHÉMATIQUES

Probabilités conditionnelles

■ ■ L’épreuve 3. En quoi consiste l’épreuve écrite ? • L’épreuve écrite dure 4 heures. • Le sujet comporte généralement 4 exercices. • Si vous avez choisi les mathématiques comme enseignement de spécialité, l’un des exercices spécifiques sera remplacé par un autre conforme à votre programme, pour le même nombre de points. • Les exercices proposés couvrent l’ensemble du programme et peuvent se présenter sous diverses formes  : exercice classique, QCM (questionnaire à choix multiples), ROC (restitution organisée de connaissances), affirmations à confirmer ou à infirmer, problème ouvert… • Cette épreuve écrite a un coefficient 7 ou, si vous avez choisi les mathématiques en spécialité, un coefficient 9. mmLes critères de notation • La connaissance des notions du programme • La maîtrise des méthodes types de résolution de problèmes • La capacité à mener une démonstration ou à construire un raisonnement • L’attitude critique vis-­à-­vis des résultats obtenus • La qualité de la rédaction, de l’expression

4. Comment se déroule l’oral de contrôle ? • Si vous obtenez une moyenne au baccalauréat inférieure à 10 mais au moins égale à 8, vous êtes autorisé à vous présenter aux oraux de contrôle, dits « oraux de rattrapage ». Dans ce cas, vous devez choisir deux matières : par exemple celles où vous avez obtenu les notes les plus basses ou/et celles à fort coefficient. • En mathématiques, l’oral de contrôle consiste en 20 minutes d’exposé et d’entretien avec l’examinateur, précédé d’une préparation de 20 minutes sur des questions posées par ce dernier. Les élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité seront interrogés sur le programme spécifique et de spécialité. • L’échange oral devra permettre de voir comment vous avez abordé et résolu les questions posées. Certaines justifications de vos raisonnements pourront être données oralement. Ne rédigez donc pas in extenso des réponses aux questions.

■ ■ Nos conseils 5. Comment préparer l’épreuve écrite ? Voici quatre conseils clés pour préparer l’épreuve écrite : m 1. Apprenez bien votre cours, les formules, les théorèmes ainsi que leurs conditions

d’application.

12

m 2. Maîtrisez les méthodes types de résolution de certains points « clés » du programme,

qui reviennent régulièrement dans bon nombre de sujets. Par exemple, une étude de variations d’une fonction commence généralement par la justification de la dérivabilité. Il faut ensuite calculer la dérivée puis étudier le signe de cette dérivée pour obtenir finalement les variations de la fonction. m 3. Dès la rentrée, rédigez des fiches de synthèse des notions rencontrées. m 4. Entraînez-­vous en faisant beaucoup d’exercices. N’hésitez pas à vous mettre dans les

conditions du bac en vous imposant une limite de temps (celle conseillée par les « Clés du sujet » de votre Annabac par exemple). mmComment utiliser cet Annabac ? • Utilisez l’index thématique. • Aidez-­vous du planning de révision proposé. • Révisez les formules et les algorithmes clés avec « La boîte à outils ».

6. Comment aborder le sujet le jour J ?

• L’ordre de résolution des exercices n’est pas imposé. Vous pouvez donc traiter les exercices dans l’ordre que vous souhaitez, pourvu que les références (exercice, numéros des questions) soient bien mentionnées. • Lorsque des questions vous posent problème, passez-­les pour éviter de perdre du temps et revenez-­y plus tard. Si vous pensez avoir le bon résultat mais des calculs incorrects, vous pouvez le préciser explicitement sur la copie. Vous pourrez alors poursuivre l’exercice avec ce résultat. mmConsignes : mode d’emploi Prenez garde à la façon dont les consignes sont formulées.

Consigne « En déduire… » « Démontrer…, justifier… » « Conjecturer… »

« Observer graphiquement… » ROC (restitution organisée de connaissances)

Signification • Il faut exploiter le travail précédent pour répondre à la question posée • Un raisonnement rigoureux et bien structuré est attendu pour répondre au problème posé. • À partir d’observations graphiques ou numériques, vous devez émettre une conclusion qui sera en général démontrée dans la suite de l’exercice proposé. • Aucun calcul n’est attendu et seul le support graphique doit être exploité. • Il s’agit de redémontrer un résultat de cours à l’aide des instructions fournies dans l’énoncé.

7. Comment exploiter sa calculatrice ? • La calculatrice étant normalement autorisée le jour de l’épreuve, pensez à exploiter ses fonctionnalités pour vérifier vos résultats ou émettre des conjectures, pour trouver des pistes de démonstrations.

13

MATHÉMATIQUES

• Avant de commencer, lisez intégralement le sujet, pour repérer les exercices sur lesquels vous êtes le plus à l’aise et ceux sur lesquels vous avez quelques appréhensions.

• Votre calculatrice permet d’obtenir : Pour les fonctions

• Tableaux de valeurs • Courbes représentatives • Valeurs approchées de solutions d’équations • Valeurs approchées d’intégrales

Pour les suites

• Tableaux de valeurs pour les termes d’une suite • Représentation graphique

Pour les probabilités

• Calculs classiques : loi binomiale, loi normale

Pour les nombres complexes

• Calculs élémentaires • Forme algébrique • Forme trigonométrique

Pour les matrices

• Opérations usuelles (somme, produit, inverse…)

8. Comment traiter les questions d’algorithmique ? • L’algorithmique s’articule depuis la classe de seconde autour des notions suivantes  : traitement des entrées et sorties, structure pour, structure tant que, structure si … alors … sinon. • Pour analyser un algorithme, décomposez les étapes proposées en présentant les résultats dans un tableau : on le fait fonctionner ligne par ligne, structure après structure et on indique à chaque étape les résultats trouvés. Analysez ensuite l’ensemble des résultats pour indiquer le rôle de l’algorithme proposé. 9. Qu’est-­ce qu’un problème ouvert et comment l’aborder ? • Un problème ouvert est une question globale sur un thème précis. Vous devez vous-­ même trouver la méthode pour y répondre. • Par exemple, pour justifier qu’une fonction admet un extremum sur un intervalle, vous devrez penser à étudier les variations de cette fonction. mmGagnez des points ! • Respectez la numérotation des questions et indiquez-­la clairement. • N’utilisez pas les symboles mathématiques comme abréviation au milieu d’une phrase. • Encadrez les résultats obtenus. • Rédigez les conclusions aux questions posées. • Attention à l’écriture ! Évitez les fautes d’orthographe.

10. Comment préparer l’oral de contrôle ? • Révisez des éléments clés du cours : propriétés et théorèmes avec leur champ d’application. • Évitez absolument les absurdités et/ou incohérences. Par exemple : – la fonction exponentielle ne peut être négative ; – une probabilité ne peut être négative ou supérieure à 1 ; – la fonction ln n’est pas strictement positive sur son ensemble de définition… • Utilisez les post-­it au fil des corrigés de votre Annabac afin d’éviter les pièges les plus fréquents.

14

s u j e t

1

F R A N C E M É T R O P O L I TA I N E • J U I N   2 0 1 6 S ujet complet

DURÉE : 4 HEURES • COEFFICIENT : SPÉCIFIQUE 7, SPÉCIALITÉ 9 SPÉCIFIQUE ET SPÉCIALITÉ • Thème : Probabilités et statistiques EXERCICE 1 • 6 POINTS

Fabrication d’un composant électronique Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste. Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note : • A l’événement « le composant provient de la chaîne A » ; • B l’événement « le composant provient de la chaîne B » ; • S l’événement « le composant est sans défaut ». mm 1.

Montrer que la probabilité de l’événement S est P(S) = 0,89.

mm 2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près. P artie   B

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de composants sans défaut. Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92. mm 1.

Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

mm 2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ? P artie   C

La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif ). On note f  la fonction densité associée à la variable aléatoire T. On rappelle que : • pour tout nombre réel x >  0,  f (x) = λe–λx ; • pour tout nombre réel a > 0, P(T  a ) =

a

∫0

f ( x )d x .

15

s u j e t

1

mathématiques

P artie   A

mm 1.

La courbe représentative # de la fonction f est donnée ci-­dessous. y

C

O

a

x

a) Interpréter graphiquement P(T  0, P(T  1. Identifiez la taille de l’échantillon n et la fréquence f du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et f sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant.

Partie C > 3. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement. SPÉCIFIQUE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 2 • [Durée conseillée : 40 minutes]

■■ Les thèmes clés Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Vecteurs colinéaires E27  Affirmations 1 et 3 • Orthogonalité E32c  Affirmation 2 • Produit scalaire E31b • E32  Affirmation 2 • Vecteur normal à un plan E33a  Affirmation 2 • Représentation paramétrique d’une droite E30  Affirmation 4 • Équation cartésienne d’un plan E33c  Affirmations 3 et 4

■■ Nos coups de pouce > Affirmation  3. Déterminez les coordonnées du milieu M de [BC], une représentation paramétrique de la droite (EF) et une équation cartésienne du plan (ABC). Concluez en résolvant un système d’équations. > Affirmation 4. Déterminez une représentation paramétrique pour chacune des droites (AB) et (CD) puis déterminez à l’aide d’un système d’équations si elles sont sécantes ou non.

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s u j e t

1

SPÉCIFIQUE EXERCICE 3 • [Durée conseillée : 70 minutes]

■■ Les thèmes clés Fonction logarithme népérien • Suites • Algorithmique.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Raisonnement par récurrence E1  Partie B, 1. • Dérivation E6c • E6e • E6f  Partie A, 2. • Fonction logarithme népérien E9a • E9c • E9d  Partie A, 1., 2. et 3. ; Partie B, 2. • Limites de fonctions E5a • E5b • E9c  Partie A, 2. • Limites de suites E2e  Partie B, 3. • Algorithmique A4  Partie A, 4. a)

■■ Nos coups de pouce Partie A > 3. N’oubliez pas qu’une fonction strictement croissante sur un intervalle conserve l’ordre.

SPÉCIALITÉ EXERCICE 3 • [Durée conseillée : 70 minutes]

■■ Les thèmes clés Arithmétique • Algorithmique.

■■ Nos coups de pouce > 3. a) Pensez au théorème de Bézout. > 5. a) Pensez à exploiter la question 3. b) pour justifier l’arrêt de l’algorithme dans le premier cas envisagé. SPÉCIFIQUE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 4 • [Durée conseillée : 70 minutes]

■■ Les thèmes clés Géométrie plane • Dérivation et variations • Fonctions trigonométriques.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Fonctions sinus et cosinus E10a • E10b  2. • Dérivation E6e • E6f  2. et 4. • Variations d’une fonction E6c  2. et 4.

■■ Nos coups de pouce > 1. Identifiez dans chaque triangle rectangle considéré le côté opposé et le côté adjacent à ∧

l’angle T. Concluez à l’aide des longueurs fournies dans l’énoncé. > 3. Justifiez que γ = β – α . Remplacez a par β et b par α dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, puis utilisez vos résultats établis à la première question. Simplifiez enfin pour conclure. > 4. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 50]. Utilisez votre calculatrice pour conclure.

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s u j e t

1

mathématiques

Partie B > 1. Pensez à un raisonnement par récurrence.

c o r r i g é

sujet

1

SPÉCIFIQUE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 1 partie   a

mm 1. Calculer la probabilité d’un événement à l’aide d’un arbre Traduisons la situation décrite dans l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. La chaîne A produit 40 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement A se réalise est alors P(A) = 0,40. La chaîne B produit donc 60 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement B se réalise est ainsi P(B) = 0,60. 20 % des composants, en sortie de la chaîne A, présentent le défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. La probabilité que l’événement S (événement contraire de l’événement S) se réalise sachant que l’événement A est réalisé, est alors PA (S) = 0,20. Similairement, comme 5 % des composants, en sortie de la chaîne B, présentent le défaut, nous avons PB (S) = 0,05. Nous pouvons ainsi représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

1 – 0,20 = 0,80 0,40

0,60

A PA( S ) = 0,20 1 – 0,05 = 0,95 B PB( S ) = 0,05

Chaîne (A ou B)

S S

S S

Défaut (sans ou avec)

Par la formule des probabilités totales, il en découle que : P (S) = P (A ∩ S) + P (B ∩ S) = P (A) × PA (S) + P (B) × PB (S) = 0,40 × 0,80 + 0,60 × 0,95 = 0,89. La probabilité de l’événement S est égale à 0,89. mm 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité demandée, probabilité conditionnelle, se note PS(A). Comme, d’après la question précédente, P(S) = 0,89 ≠ 0, il s’ensuit, par définition, que : PS (A) =

P (A ∩ S) P (A) × PA (S) 0,40 × 0,80 32 = = = ≈ 0,36. 89 P (S) P (S) 0,89

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c orr ig é 1

Notez bien La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Sachant que le composant ne présente pas de défaut, la probabilité qu’il provienne de la chaîne A est environ 0,36. partie   b

mm 1. Déterminer un intervalle de confiance 400 composants ont été prélevés de manière aléatoire parmi ceux fabriqués dans la chaîne A. La taille de l’échantillon considéré est alors n = 400. Parmi les 400 composants prélevés, la fréquence observée de composants sans défaut est f = 0,92. Comme n = 400 > 30, n × f = 368 > 5 et n × (1 – f ) = 32 > 5, les conditions sur n et f sont vérifiées et l’intervalle de confiance est défini par :

f –

1 1 ; f + = 0,92 – n n

1 ; 0,92 + 400

1 = [0,87 ; 0,97]. 400

Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est [0,87 ; 0,97].

Remarque Au niveau de confiance 0,95, la proportion de composants sans défaut fabriqués par la chaîne A se situerait entre 87 % et 97 %.

1 1 1 1 . ; f + = 0,92 – ; 0,92 + n n n n L’amplitude de cet intervalle de confiance est alors : f –

0,92 +

1 n

– 0,92 –

1 2 . = n n

La contrainte « un tel intervalle de confiance a une amplitude maximum de 0,02 » 2  0,02. Or, par équivalence, nous avons : se traduit, par suite, par l’inéquation n 2 4 n 1 4  0,02 ⇔  0,02 2 ⇔  ⇔ n ⇔ n  10 000. 2 n 4 0,02 0,0004 n La taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 est 10 000. partie c

mm 1. a) Interpréter graphiquement une probabilité

a

Soit a un réel strictement positif. Par le rappel, nous avons P (T  a ) = ∫ f ( x )d x 0 où f est la densité associée à la variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre λ  0, fonction continue et positive sur l’intervalle [0 ; +∞[ donc sur l’intervalle [0 ; a]. La probabilité P(T < a) est alors l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = a.

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cor ri gé 1

mathématiques

mm 2. Déterminer la taille d’un échantillon sous contrainte Dans cette question, la taille de l’échantillon n n’est pas nécessairement égale à 400 contrairement à la fréquence f qui est encore égale à 0,92. Sous l’hypothèse que les conditions sur n et f sont vérifiées, l’intervalle de confiance est défini par :

b) Établir une égalité

Soit t un nombre réel positif. Par les rappels, nous avons : P (T  t )

=

t

2ème rappel a = t 0

∫0

f ( x )d x

=

1er rappel 0 x

t

∫0

λ e −λx d x .

Or, une primitive de la fonction x  λe–λx sur , donc sur [0 ; t], étant x   – e–λx, nous en déduisons que : P (T  t ) =

t

∫0 λ e – λx d x =

– e – λx

t 0

= – e – λ × t – (– e – λ × 0 ) = 1 – e – λt .

Notez bien Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ  0 est : x  – e–λx.

Notez bien e0 = 1

Pour tout nombre réel t > 0, P (T  t ) = 1 – e – λt . c) Calculer une limite Quand t tend vers +∞, −λt tend vers –∞, λ étant un nombre réel strictement positif. Par suite, lim e – λt = lim et ′ = 0 . Il en découle par différence et à l’aide de l’égat → +∞

t ′ → –∞

lité établie à la question précédente que lim P (T  t ) = 1 – 0 = 1. t → +∞

mm 2. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle L’énoncé donne P(T < 7) = 0,5. Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant t = 7 > 0, cette égalité s’écrit 1 – e – λ × 7 = 0,5. Or, par équivalence, nous avons : ln(0,5) 1 – e – λ × 7 = 0,5 ⇔ e –7 λ = 0,5 ⇔ –7 λ = ln(0,5) ⇔ λ = – ≈ 0,099. 7 La valeur du paramètre λ arrondie au millième est 0,099. mm 3. a) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité demandée se note P(T > 5). Les événements {T > 5} et {T  5} étant contraires, nous avons P (T  5) = 1 – P (T  5) = 1 – P (T  5). Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant t = 5 > 0, nous en déduisons que : P (T  5) = 1 – (1 – e –0,099 × 5 ) = e –0,099 × 5 = e –0,495 ≈ 0,61. La probabilité qu’un composant choisi au hasard dans la production de cette usine fonctionne au moins cinq ans est environ 0,61. b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le composant choisi au hasard ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant que ce composant a déjà fonctionné deux ans. Elle se note P(T  2) (T  7). Comme la variable aléatoire T suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons : P(T 2) (T  7) = P(T 2) (T  5 + 2) = P (T  5). Or, d’après la question précédente, P (T  5) ≈ 0,61. La probabilité qu’un composant, choisi au hasard parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans, ait une durée de vie supérieure à 7 ans, est environ 0,61. c) Calculer une espérance dans le cadre d’une loi exponentielle 1 1 Nous avons E (T ) = = ≈ 10. λ 0,099 L’espérance de la variable T est 10 (valeur arrondie à l’unité près). Par suite, si nous considérons un grand nombre de composants électroniques, la durée de vie moyenne d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est de 10 années.

24

c orr ig é 1

Notez bien Pour tout réel x, pour tout réel y  0, e x = y ⇔ x = ln( y ).

SPÉCIFIQUE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 2

mm 1. Étudier l’alignement de trois points

xB – x A = 3 – 1 = 2

x C – x A = –1 – 1 = – 2

On a AB yB – y A = 0 – 2 = – 2 et AC yC – y A = 0 – 2 = – 2 . zB – z A = 1 – 3 = – 2 zC – z A = 1 – 3 = – 2 Les coordonnées des vecteurs AB et AC n’étant pas proportionnelles, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés. L’affirmation 1 est fausse. mm 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan

n ⋅ AB = 0 × 2 + 1 × (– 2) + (–1) × (– 2) = 0 donc n ⊥ AB. n ⋅ AC = 0 × (– 2) + 1 × (– 2) + (–1) × (– 2) = 0 donc n ⊥ AC. Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Donc n est normal au plan (ABC). L’affirmation 2 est vraie. mm 3. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan • Le milieu K du segment [BC] a pour coordonnées (1 ; 0 ; 1) : x + x C 3 + (–1) y + yC 0 + 0 z + zC 1 + 1 = 1 ; y K = B xK = B = = 0 ; z K = B = + = 1. 2 2 2 2 2 2 x F – x E = – 2 – (–1) = –1

• On a aussi EF yF – y E = – 3 – (– 2) = –1. zF – zE = 4 – 3 = 1 La droite (EF) qui passe par le point E(–1 : –2 ; 3) et a pour vecteur directeur EF admet pour représentation paramétrique : x = –1 – 1 × t = –1 – t (EF) :

y = – 2 – 1 × t = – 2 – t , t ∈ . z =3+1× t =3+t

• n est normal au plan (ABC) (voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan (ABC) est 0x + 1y – 1z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Or B ∈(ABC) donc y B – z B + d = 0 ⇔ 0 – 1 + d = 0 ⇔ d = 1. (ABC) a pour équation cartésienne y – z + 1 = 0.

25

cor ri gé 1

mathématiques

D’après ce qui précède, les vecteurs AB et AC sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

x = –1 – t • M(x ; y ; z ) ∈ (EF) ∩ (ABC) ⇔

) ∈ (EF) ∩ (ABC) ⇔

x = –1 – t

y = –2 –t

x = –1 – t

z =3+t x = –1 y ––zt + 1 = 0

y = –2 –t

y = –2 – t

⇔

z =3+t

y = –2 – t

⇔

z =3+t 1 + t) + 1 = 0 – 2 – tx –= (3 ⇔

z =3+t

y – z +1= 0

x =1

– 2 – t – (3 + t ) + 1 = 0

y=0 z =1

⇔

.

t = –2

Finalement, la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu K du segment [BC]. L’affirmation 3 est vraie. mm 4. Étudier la position relative de deux droites

2 x D – x C = 2 – (–1) = 3 On a AB – 2 (voir affirmation 1) et CD yD – yC = 1 – 0 = 1 . –2 z D – z C = (–1) – 1 = – 2 La droite (AB) qui passe par le point B(3 ; 0 ; 1) et a pour vecteur directeur AB admet pour représentation paramétrique : x = 3 + 2 × t = 3 + 2t y = 0 – 2 × t = – 2t

(AB) :

, t ∈ .

z = 1 – 2 × t = 1 – 2t La droite (CD) qui passe par le point C(–1 ; 0 ; 1) et a pour vecteur directeur CD admet pour représentation paramétrique : x = –1 + 3 × k = –1 + 3k (CD) :

y =0+1× k =k

, k ∈ .

z = 1 – 2 × k = 1 = 2k Supposons que les droites (AB) et (CD) soient sécantes. On résout alors le système d’équations suivant pour trouver les coordonnées du point d’intersection : 3 + 2t = –1 + 3k – 2t = k 1 – 2t = 1 – 2k

3 + 2t = –1 + 3t ⇔

– 2t = t t =k

t=4 ⇔

t = 0. k=0

Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes et l’affirmation 4 est fausse. Deuxième méthode Le plan (ABC) a pour équation cartésienne y – z + 1 = 0 (voir affirmation 3) et yD – z D + 1 = 1 – (–1) + 1 = 3 ≠ 0 donc le point D(2 ; 1 ; –1) n’appartient pas au plan (ABC). Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l’affirmation 4 est fausse.

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c orr ig é 1

y=0 z =1 t = –2

.

SPÉCIFIQUE EXERCICE 3 partie a

mm 1. Résoudre une équation Pour tout nombre réel x : f (x ) = x ⇔ x – ln(x 2 + 1) = x ⇔ ln(x 2 + 1) = 0 = ln(1) ⇔ x 2 + 1 = 1 ⇔ x = 0. L’unique solution dans  de l’équation f (x) = x est x = 0.

Notez bien Pour tous nombres réels a  0 et b  0, ln(a) = ln(b) ⇔ a = b.

mm 2. Justifier les éléments figurant dans un tableau de variations

• On a lim 1+ x 2 =+∞ et lim ln( X )=+∞ donc, par composition, lim ln(1+ x 2 ) =+∞. X → +∞

x → –∞

x → –∞

x → –∞

• La fonction x  1 + x 2 est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur . On remarque aussi que cette fonction est strictement positive sur . Par conséquent, la fonction x  ln(1 + x 2 ) est dérivable sur . Finalement, la fonction f est dérivable sur  comme différence de fonctions dérivables sur . 1 + x 2 – 2 x ( x – 1)2 2x = = Pour tout nombre réel x, f ′( x ) = 1 – . 1 + x2 1 + x2 1 + x2 On a alors immédiatement les résultats suivants : •  f ′( x ) = 0 ⇔ ( x – 1)2 = 0 ⇔ x = 1 ; • pour tout réel x ≠ 1, (x – 1)2  0 et (1 + x2)  0 donc, pour tout réel x ≠ 1 f ′(x)  0 ; • la fonction f ′ est strictement positive sur  sauf en 1 où elle s’annule, donc f est strictement croissante sur . mm 3. Justifier un encadrement

La fonction f est strictement croissante sur , donc elle conserve l’ordre. En particulier, pour tout réel x ∈[0 ; 1], 0 < x < 1 et f (0) < f (x) < f (1). Puisque f (0) = 0 – ln(1 + 02) = 0 et que f (1) = 1 – ln(1 + 12 ) = 1 – ln(2)  1, nous en déduisons que 0 < f (x) < 1. Ainsi, pour tout réel x ∈ [0 ; 1], f (x) appartient à [0 ; 1]. mm 4 a) Identifier le rôle d’un algorithme

Dans cet algorithme, l’expression N – ln(N 2 + 1) n’est rien d’autre que f (N). Cet algorithme calcule donc les valeurs f (N), pour les valeurs successives de l’entier N, cet entier étant initialisé à 0, ceci tant que f (N) reste inférieur à l’entier naturel A. Cet algorithme permet donc d’afficher la plus petite valeur de l’entier naturel N telle que f (N) > A. b) Déterminer l’affichage en sortie d’un algorithme f est continue sur  (car dérivable sur  d’après la question 2.) et strictement croissante sur . Comme 100 appartient à ]–∞ ; +∞[ =

lim f ( x ) ; lim f ( x ) , l’équation

x → –∞

x → +∞

f (x) = 100 admet, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une unique solution α sur . À l’aide de la calculatrice, on obtient 109,3  α  109,4. Comme f est strictement croissante sur , la plus petite valeur de l’entier naturel N telle que f(N) > 100 est N = 110.

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cor ri gé 1

Notez bien Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et si u est strictement positive sur I alors la fonction ln(u) est dérivable sur I et u′ [ln( u )]′ = . u Pour tous réels a et b, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2.

mathématiques

x → –∞

Comme lim x = –∞, par différence, lim f ( x ) = – ∞ .

partie b

mm 1. Démontrer un encadrement par récurrence On considère la propriété P (n ) : un ∈ [0 ; 1]. Initialisation : u0 = 1 donc u0 ∈[0 ; 1] et la propriété est initialisée. Hérédité : on suppose que la propriété P(k) est vraie pour un entier naturel k : uk ∈[0 ; 1] (hypothèse de récurrence). On démontre alors que P(k + 1) est vraie : uk +1 ∈[0 ; 1]. Comme uk ∈[0 ; 1], d’après la question A 3., on a f (uk) ∈ [0 ; 1] soit uk +1 ∈[0 ; 1]. La propriété est donc héréditaire. La propriété étant initialisée et héréditaire, pour tout entier naturel n, un ∈ [0 ; 1]. mm 2. Étudier les variations d’une suite Pour tout entier naturel n, un +1 – un = un – ln(1 + un2 ) – un = – ln(1 + un2 ). D’après la question B 1., pour tout entier naturel n, un ∈[0 ; 1]. Par conséquent : un ∈ [0 ; 1] ⇒ un2 ∈ [0 ; 1] ⇒ 1 + un2 ∈ [1 ; 2] ⇒ 1 + un2  1 ⇒ ln(1 + un2 )  0. Finalement, pour tout entier naturel n, un +1 – un = – ln(1 + un2 )  0. La suite (un) est donc décroissante.

Notez bien ln(1) = 0 et, pour tout réel x  0, ln( x )  0 ⇔ x  1

mm 3. Montrer qu’une suite est convergente D’après la question B 1., la suite (un) est minorée par 0. D’après la question B 2., la suite (un) est décroissante. D’après le théorème de la limite monotone, la suite (un) est convergente. mm 4. Déterminer la limite d’une suite On a f () =  d’après l’énoncé. Or, d’après la question A 1., l’unique solution dans  de l’équation f (x) = x est x = 0. Par conséquent,  = 0. SPÉCIALITÉ EXERCICE 3

mm 1. a) Justifier qu’un entier relatif est divisible par 3

Soit (x, y) un couple d’entiers relatifs. On a 15x – 12y = 3 × (5x – 4y) où 5x – 4y est un entier relatif. Par définition, 3 divise 15x – 12y. b) Identifier un éventuel point sur une droite Supposons qu’il y ait sur la droite Δ1 au moins un point M(x ; y) dont les coordon5 2 nées x et y sont des entiers relatifs. Dans ce cas, on a y = x – qui équivaut à 4 3 15x – 12y = 8.

Notez bien Si a et b sont deux entiers relatifs, b divise a s’il existe un entier relatif c tel que a = bc.

Or, d’après la question précédente, 3 divise 15x – 12y. Mais, puisque 15x – 12y = 8, cela implique que 3 divise 8 ce qui est absurde. Par conséquent, il n’existe pas de point de Δ1 dont les coordonnées soient deux entiers relatifs. mm 2. a) Justifier qu’un entier divise un produit

On sait d’après l’énoncé que m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls. Soit x0 et y0 des entiers relatifs tels que le point M(x0, y0) soit sur la droite Δ.

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c orr ig é 1

Notez bien  est l’ensemble des entiers relatifs.

mm 3. a) Déterminer des entiers relatifs vérifiant une égalité

On sait d’après l’énoncé que m et n sont des entiers relatifs non nuls et que pgcd(m, n) = 1. D’après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u′ et v′ tels que nu′ + mv′ = 1. En considérant les entiers relatifs u = u′et v = – v′, on obtient nu – mv = 1 ce qui, puisque n = qr, nous donne qru – mv = 1. On peut donc trouver des entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1. b) Justifier l’existence d’un point à coordonnées entières appartenant à une droite D’après la question précédente, il existe des entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1. Cette dernière égalité nous donne, sachant que n = qr ≠ 0 : m 1 m 1 ⇔u= v+ . qru – mv = 1 ⇔ u = v + qr qr qr n

Notez bien Théorème de Gauss : soit a, b et c des entiers relatifs, si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

En multipliant les deux membres par – pr dans la dernière égalité, on obtient : p m m 1 soit encore – pru = × (– prv ) – . – pr × u = × (– pr ) × v – pr × n q qr n Il existe donc un couple d’entiers relatifs (x0, y0) avec x 0 = – p × r × v et y 0 = – p × r × u p m v et y 0 = – p × r × u tels que y 0 = × x0 – . n q mm 4. Étudier un cas particulier p m 3 7 L’équation y = x – est de la forme y = x – avec m = 3, n = 8, p = 7 et n q 8 4 q = 4. On constate alors que q = 4 divise n = 8, que pgcd(m, n) = 1 et pgcd(p, q) = 1. D’après la question 3. b), il existe un couple d’entiers relatifs (x0, y0) tels que p m y0 = × x0 – . n q Par conséquent, la droite Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs. mm 5. a) Justifier l’arrêt d’un algorithme • Si Q divise N, alors l’algorithme cherche des coordonnées entières (X, Y) ou (–X, Y) M P qui vérifient l’équation réduite de droite Y = en partant de X = 0. X est X – N Q incrémenté de 1 tant qu’une valeur de Y n’est pas trouvée. D’après la question 3. b), on sait que de telles coordonnées existent. • Si Q ne divise pas N, alors l’algorithme affiche le message « Pas de solution ». Dans tous les cas, cet algorithme se termine pour tout entrée de M, N, P, Q entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N) = 1 et pgcd(P, Q) = 1.

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cor ri gé 1

mathématiques

On a dans ce cas : p np m y0 = x0 – ⇔ ny0 = mx 0 – ⇔ qny0 = qmx 0 – np ⇔ q (ny0 – mx 0 ) = – np . n q q Puisque ny0 – mx 0 ∈ , la relation précédente nous dit que, par définition, q divise – np et donc q divise np. b) Justifier qu’un entier en divise un autre D’après la question précédente, q divise np. Or, d’après l’énoncé, pgcd(p, q) = 1. D’après le théorème de Gauss, on en déduit que q divise n.

b) Identifier le rôle d’un algorithme

Cet algorithme permet d’obtenir, si elles existent, des coordonnées entières (X ; Y) M P d’un point sur la droite d’équation y = x– . N Q SPÉCIFIQUE ET SPÉCIALITÉ EXERCICE 4

mm 1. Exprimer la tangente d’un angle D’après l’énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n’importe quel point T sur le segment [EM] sauf au point E. Par suite, la distance ET ne peut pas être nulle. Autrement dit, x ≠ 0.

B A 25 E

α x

B 5,6 A 25 E Ainsi, tan α =

β x

T

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EA = 25 et ET = x), nous avons, dans le triangle ETA rectangle en E : EA 25 tan α = = . ET x

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EB = EA + AB = 25 + 5,6 = 30,6 et ET = x), nous avons, dans le triangle ETB rectangle en E : EB 30,6 tan β = = . T ET x

25 30,6 et tan β = . x x

mm 2. Étudier le sens de variations d’une fonction

π . 2 Notez bien • Comme la fonction cosinus ne s’annule pas sur I et que les fonctions sinus et cosi- Pour toutes fonctions sur nus sont dérivables sur R et donc sur l’intervalle I, la fonction tangente définie dans uI, vetnev dérivables s’annulant pas u l’énoncé est dérivable sur I. sur I, le quotient • En notant u : x  sin( x ) et v : x  cos( x ), u′ et v′ leurs dérivées respectives, nous est dérivable sur vI et u′v – uv ′ u′ avons : . = u ′( x ) × v ( x ) – u( x ) × v ′( x ) cos( x ) × cos( x ) – sin( x ) × (– sin( x )) cos 2 (vx ) + sinv 22 ( x ) = = tan ′ ( x ) = cos 2 ( x ) cos 2 ( x ) (v ( x ))2 Notez bien (– sin( x )) cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) 1 . = = Pour tout réel a, cos 2 ( x ) cos 2 ( x ) cos2(a) + sin2 (a) = 1. Notons I l’intervalle 0 ;

in( x ) x)

Notez bien Dans un triangle ABC rectangle en B, BC côté opposé tan Aˆ = = . AB côté adjacent

Comme pour tout réel x de I, cos2(x)  0, il en est de même pour tan′(x). La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur l’intervalle I, la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle I.

30

c orr ig é 1

En prenant a = β et b = α dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, nous avons : tan β – tan α tan γ = tan ( β – α ) = . 1 + tan β × tan α En utilisant les expressions de tan α et tan β établies à la première question, nous en déduisons que : 30,6 25 – x x tan γ = 30,6 25 1+ × x x 5,6 = 2 x x + 765 x2 5,6 x2 = × 2 x x + 765 5,6 x = 2 . x + 765 5,6 x . Ainsi, tan γ = 2 x + 765 mm 4. Déterminer des valeurs sous contrainte

• Notons Topt une éventuelle position du point T sur le segment [EM] à l’exception du point E pour laquelle l’angle ATB serait maximum, autrement dit pour laquelle sa mesure γ serait maximale. Désignons par γopt la mesure associée à cette position optimale du point T. Par suite, quelle que soit la mesure γ de l’angle ATB, T appartenant à [EM] à l’exception du point E, nous avons naturellement : γopt > γ. π Comme toutes ces mesures appartiennent à l’intervalle 0 ; et que la fonction 2 tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s’ensuit que : tan γopt > tan γ. • Notons xopt la longueur ETopt. En se remémorant que ET = x et en utilisant le résultat démontré à la question 3., nous avons : 5,6 x opt x opt 5,6 x x tan γ opt  tan γ ⇔ 2 ⇔ .  2  2 2 x opt + 765 x + 765 simplification x opt + 765 x + 765 par 5,6 0

31

cor ri gé 1

mathématiques

mm 3. Établir une égalité Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : ETA + ATB = ETB équivalent à ATB = ETB – ETA. En rappelant que α, β et γ sont respectivement les mesures en radians des angles ETA, ETB et ATB, nous en déduisons que γ = β – α.

Comme x est dans l’intervalle ]0 ; 50] (pour rappel, T décrit le segment [EM] à l’exception du point E) et que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[, il en découle que : 2 + 765 x opt x 2 + 765 tan γ opt  tan γ ⇔  x opt x ⇔

2 x opt

x opt

+

⇔ x opt +

765 x 2 765 +  x x x opt 765 765 x + x opt x

⇔ f ( x opt )  f ( x ). Rechercher une mesure maximale γopt de l’angle ATB est ainsi équivalent à recher765 cher un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] de la fonction f définie par f ( x ) = x + . x • Étudions les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 50]. 1 La fonction affine x  x est dérivable sur R et la fonction inverse x  est dérix vable sur ]0 ; +∞[. La fonction f est alors dérivable sur ]0 ; 50] comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est donnée par : 1 765 x 2 – 765 (x – f ′( x ) = 1 + 765 × – 2 = 1 – 2 = = x x x2

765)(x + 765) . x2

Notez bien Pour tous réels a et b, a2 – b2 = (a – b)(a + b).

Comme x2  0 et que sur ]0 ; 50], x + 765  0, le signe de f ′(x) dépend uniquement du signe de x – 765 . Mais, x – 765 = 0 ⇔ x = 765 et x – 765  0 ⇔ x  765 . Il en découle le tableau de signes suivant : x

0 765 50 Signe de f ′(x) – 0 + La dérivée f ′ étant strictement négative sur ]0 ; 765[ et strictement positive sur ] 765 ; 50], la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; 765] et strictement croissante sur [ 765 ; 50]. La fonction f admet alors un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] atteint en x = 765 ≈ 28. Il existe ainsi une unique valeur de x (xopt) dont une valeur approchée au mètre près est 28 pour laquelle l’angle ATB est maximum. Pour cette valeur de x, à l’aide de la question précédente, nous avons : tan γopt =

5,6 × 765 5,6 765 5,6 85 = = et à l’aide d’une calculatrice, 1 530 510 ( 765)2 + 765

γ opt ≈ 0,10. Une mesure de l’angle ATB à 0,01 radian près est 0,10.

32

c orr ig é 1

Gagnez des points N’oubliez pas de sélectionner le mode Radian dans votre calculatrice.

2

s u j e t

po ly n é si e F r a n ç a is e • J u in   2 0 1 4 s u it e s n u m é r i q u e s

durée : 60 MINUTES • 5 POINTS

Étude d’une suite On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2n + 2. mm 1.

Calculer u1 et u2.

mm 2.

On considère les deux algorithmes suivants : Algorithme 2

Algorithme 1

Entrée

n est un entier naturel u est un réel Saisir la valeur de n

Variables Entrée

Traitement u prend la valeur 0 Pour i allant de 1 à n u prend la valeur u + 2i + 2 Fin Pour Sortie

n est un entier naturel u est un réel Saisir la valeur de n

Traitement u prend la valeur 0 Pour i allant de 0 à n – 1 u prend la valeur u + 2i + 2 Fin Pour

Afficher u

Sortie

Afficher u

De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de un, la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur ? À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et un en ordonnée.

mm 3.

n

un

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156

160 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

33

s u j e t

2

mathématiques

Variables

a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (un) ?

Démontrer cette conjecture.

b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c

tels que, pour tout entier naturel n, un = an2 + bn + c. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations fournies.

On définit, pour tout entier naturel n, la suite (vn) par : vn = un+1 – un. a) Exprimer vn en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (vn) ? mm 4.

b) On définit, pour tout entier naturel n, Sn =

n

∑ vk = v0 + v1 + …+ vn.

k =0

Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn = (n + 1)(n + 2). c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn = un+1 – u0, puis exprimer un en fonction de n. les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Généralités sur les suites • Suites arithmétiques • Algorithme.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Variations d’une suite  E2a   3. a) • Définition d’une suite arithmétique  E3a   4. a) • Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique E3e   4. b) • Raisonnement par récurrence  E1   4. c)

■■ Nos coups de pouce mm 3. b) Lisez dans le tableau les valeurs de un pour n 0 , n 1 et n 2 (par exemple). Puis exprimez un en fonction de a, b et c pour les valeurs de n choisies. Résolvez le système induit pour conclure. mm 4. c) Utilisez un raisonnement par récurrence pour démontrer la propriété énoncée.

c o r r i g é

sujet

2

mm 1. Calculer des termes d’une suite

• u1 = u0 + 2 × 0 + 2 = 2 . • u2 = u1 + 2 × 1 + 2 = 6 . mm 2. Comprendre un algorithme Remarquez qu’une seule ligne différencie ces deux algorithmes : la ligne « Pour » dans la phase de traitement. Dans l’algorithme 1, la variable i prend les valeurs de 1 à n (avec un pas de 1) tandis que dans l’algorithme 2, la variable i prend les valeurs de 0 à n 1 (avec un pas de 1, également). Si nous saisissons 1 pour la valeur n dans l’algorithme 1 (phase d’entrée), i prend uniquement la valeur 1 et, de ce fait, l’instruction de la boucle « Pour » ne s’exécute qu’une seule fois. Autrement dit, la valeur de la

34

c orr ig é 2

variable u sera mise à jour une seule fois par l’instruction : « u prend la valeur u 2i 2 ». Comme i 1 et u 0 (initialisation, première ligne de la phase de traitement), u prend la valeur 0 + 2 × 1 + 2 = 4. L’algorithme 1 afficherait ainsi la valeur 4 pour valeur de u1, ce qui conduit à une contradiction avec la réponse à la question 1. (u1 2 ). Par élimination, l’algorithme qui permet d’afficher en sortie la valeur de un est donc l’algorithme 2. mm 3. a) Émettre une conjecture et la démontrer • Dans le tableau donné, nous constatons que quand les valeurs de n augmentent, les valeurs de un augmentent aussi. Nous pouvons ainsi conjecturer que la suite (un ) est croissante. • Pour tout entier naturel n, nous avons : un +1 − un = 2n + 2 > 0, ce qui implique que un 1 > un. La suite (un ) est donc strictement croissante.

b) Résoudre un système

• D’une part, d’après le tableau donné, nous avons u0 0 , u1 2 etu2 • D’autre part, en remplaçant n dans la formule donnée, nous avons :

6.

(n = 0) u0 = a × 0 2 + b × 0 + c = c (n = 2) u2 = a × 2 2 + b × 2 + c = 4a + 2b + c . Par les deux points précédents, nous en déduisons que les nombres réels a, b et c sont solutions du système suivant : c = 0  c=0  c=0     ⇔  b = 1.  a + b + c = 2  ⇔  b = 2 − a  4a + 2b + c = 6  2a + (2 − a ) = 3 a = 1    Dans le cadre de cette conjecture, pour tout entier naturel n, un = n 2 + n. mm 4. a) Déterminer la nature d’une suite • Soit n un entier naturel. Nous avons vn = un +1 − un = (un + 2n + 2) − un = 2n + 2. • Pour tout entier naturel n, nous avons vn +1 − vn = (2(n + 1) + 2) − (2n + 2) = 2, ce qui implique que vn +1 = vn + 2.

La suite (vn ) est arithmétique de raison 2 et de premier terme v 0 = u1 − u0 = 2 − 0 = 2. b) Déterminer une somme de termes consécutifs Le terme Sn est la somme des (n 1) premiers termes de la suite (vn ) qui, d’après la question 4. a), est arithmétique. Ainsi, pour tout entier naturel n : premier terme + dernier terme Sn = nombre de termes × 2 v +v = (n + 1) × 0 n 2 2 + (2n + 2) = (n + 1) × (question 4. a)) 2 = (n + 1) × (n + 2).

35

cor ri gé 2

mathématiques

(n = 1) u1 = a × 12 + b × 1 + c = a + b + c

c) Expliciter le terme général d’une suite Soit la propriété P(n ) : « Sn = un +1 − u0 ». Démontrons cette propriété par récurrence. Initialisation : comme u1 − u0 = v0 = S0, la propriété P(0) est vraie. Hérédité : supposons que la propriété est vraie au rang k. Démontrons qu’elle est vraie au rang k 1. Sk +1 = v0 + v1 + …+ vk +1 (définition, question 4. b))

= (v 0 + v1 + …+ v k ) + v k +1 = Sk + v k +1

= uk +1 − u0 + v k +1 (hypothèse de récurrence) = uk +1 − u0 + uk + 2 − uk +1 (définition de la suite (v n )) = u k + 2 − u0 .

Conclusion : la propriété P(n ) étant initialisée et héréditaire, d’après l’axiome de récurrence, la proposition P(n ) est donc vraie : pour tout entier naturel n, Sn = un +1 − u0. • Pour tout entier naturel n, Sn = un +1 − u0 un +1 = Sn + u0 = Sn (u0 = 0 d’après l’énoncé) un +1 = (n + 1)(n + 2) (question 4. b)). Ceci peut encore s’écrire : un = n × (n + 1), pour tout entier n ≥ 1. Cette dernière égalité est également vraie pour n 0, car 0 × (0 + 1) = 0 = u0. Nous en concluons alors que, pour tout entier naturel n, un = n × (n + 1) = n 2 + n . Ce résultat est cohérent avec la question 3. b).

s u j e t

3

a m é r i q u e d u no r d • m a i   2 0 1 3 s u it e s n u m é r i q u e s

durée : 60 MINUTES • 5 POINTS

Algorithme et suite géométrique On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un .

mm 1. On

considère l’algorithme suivant :

n est un entier naturel u est un réel positif Initialisation Demander la valeur de n Affecter à u la valeur 1 Traitement Pour i variant de 1 à n Affecter à u la valeur 2u Fin de Pour Sortie Afficher u Variables

36

s u j e t

3

a) Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on

choisit n = 3. b) Que permet de calculer cet algorithme ? c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n : n Valeur affichée

1 1,4142

5 1,9152

10 1, 9272

15 1,9999

20 1,9999

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un) ? mm 2. a) Démontrer

que, pour tout entier naturel n, 0  un  2. b) Déterminer le sens de variation de la suite (un). c) Démontrer que la suite (un) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite. mm 3. On

considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = ln un − ln 2. 1 a) Démontrer que la suite (vn) est la suite géométrique de raison et de premier terme v0 = − ln 2. 2 b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de v en fonction de n, puis de u en n

Variables Initialisation Traitement Sortie

n est un entier naturel u est un réel Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 1

   

les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Suites • Fonction logarithme népérien • Algorithme.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Raisonnement par récurrence  E1   2. a) • Suites et généralités E2   1. c), 2. b), et 2. c) • Suites géométriques E4   3. a), 3. b) et 3. c) • Fonction logarithme népérien  E9a • E9b   3. a) et 3. b)

■■ Nos coups de pouce mm 1. Pensez aux propriétés d’une suite (variations et convergence). mm 2. b) Précisez que tous les termes de la suite ( un ) sont strictement positifs, puis calculez le u quotient n 1 et enfin concluez. un mm 3. d) Pensez à l’instruction conditionnelle «  Tant que  » qui est effectuée jusqu’à ce que la condition précisée ne soit plus vérifiée.

37

s u j e t

3

mathématiques

n

fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite (un). d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1,999.

c o r r i g é

sujet

3

mm 1. a) Dérouler un algorithme Lors de la phase d’initialisation, la variable n prend la valeur 3 (valeur choisie par l’utilisateur) et la variable u prend la valeur 1 (affectation). Lors de la phase de traitement, la variable i prend successivement les valeurs 1, 2 et 3 (boucle itérative pour). Pour chaque valeur prise par la variable i, la variable u est mise à jour (affectation). Les différentes étapes de cette phase peuvent se présenter sous la forme d’un tableau :

Variable i

Variable u

1

u prend la valeur

2u = 2 × 1 = 2 ≈ 1,4142

2

u prend la valeur

2u = 2 × 2 ≈ 1,6818

3

u prend la valeur 2u = 2 × 2 × 2 ≈ 1,8340

Une valeur approchée à 10–4 près par défaut du résultat affiché par cet algorithme est 1,8340. b) Comprendre un algorithme Cet algorithme permet de calculer le n-ième terme de la suite (un) et d’en afficher une valeur approchée, l’entier naturel n étant choisi par l’utilisateur. c) Émettre une conjecture Comme 1,4142 < 1,9152 < 1,927 2 < 1,9999, la suite (un) semble croissante. Les valeurs approchées données se « rapprochent » de la valeur 2 : la suite semble convergente. mm 2. a) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit P(n) la propriété : « 0  un  2 ». Initialisation u0 = 1. Comme 0 < u0 ≤ 2, alors P(0) est vraie.

Hérédité Supposons que la propriété P(k) est vraie pour un entier naturel k. Démontrons P(k + 1). Comme P(k) est vraie, nous avons l’encadrement suivant : 0 < uk ≤ 2. En multipliant chaque membre par 2, 0 < 2 uk ≤ 4. Comme la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + ∞[ (donc sur ]0 ; + ∞[), 0 < 2 uk ≤ 4 ce qui s’écrit : 0 < uk 1 ≤ 2. Conclusion Comme P(0) est vraie et que la propriété est héréditaire, d’après l’axiome de récurrence, nous en déduisons que, pour tout entier naturel n, 0 < un ≤ 2. b) Étudier le sens de variation d’une suite

D’après la question précédente, tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs. Pour tout entier naturel n, nous avons : 2un un +1 = = un un

2 . un

38

c orr ig é 3

Or d’après la question précédente 0 < un ≤ 2. Comme la fonction racine carrée est croissante sur ]0 ; + ∞[, 0 < un ≤ 2 puis comme la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + ∞[,

1 1 ≥ . En multipliant chaque membre de cette inégalité par un 2

un 1 ≥ 1. un La suite (un) est donc croissante. 2, il en découle que :

c) Étudier la convergence d’une suite La suite (un) est croissante (question 2. b)) et majorée par 2 (question 2. a)) : elle est donc convergente. mm 3. a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n, nous avons :

vn +1 = ln(un +1 ) − ln(2) 1 ln(2un ) − ln(2) 2 1 2 = ×  ln(2) + ln(un ) − ln(2) 2 2 1 = ×  ln(un ) − ln(2) 2 1 = × vn . 2 =

La suite (vn) est donc géométrique de raison

mathématiques

Notez bien Pour a > 0 et b > 0 : 1 ln( a ) = × ln( a) 2 ln( a × b) = ln( a) + ln( b).

= ln( 2un ) − ln(2)

1 et de premier terme : 2

v0 = ln(u0 ) − ln(2) = ln(1) − ln(2) = − ln(2). b) Exprimer une suite sous forme explicite n n 1 1 Pour tout entier naturel n, vn = v0 ×   = − ln(2) ×    2  2 1 (formule explicite d’une suite géométrique de premier terme – ln(2) et de raison ). 2 n n  1 1 Or ln(un ) = vn + ln(2) = − ln(2) ×   + ln(2) = ln(2) × 1 −   .  2  2   Il s’ensuit que : un =

e vn + ln 2

=

n  1  ln 2 × 1−      2   e

=

1 1−   2  2

n

Notez bien e a × b = (e a )b .

.

c) Déterminer la limite d’une suite

Comme

1<

n n  1 1  1 < 1, lim   = 0 et lim  1 −    = 1.  2  n→+∞  2  n→+∞  2

Par suite, lim un = 21 = 2. n→+∞

d) Compléter un algorithme

Pour déterminer la plus petite valeur de n telle que un > 1,999, à l’aide d’un algorithme, il suffit de calculer successivement les termes un de cette suite à partir de

39

cor ri gé 3

l’indice n = 0 jusqu’au premier terme un de cette suite qui sera strictement supérieur à 1,999 (instruction conditionnelle « tant que », condition uk ≤ 1,999). Il faut ensuite afficher l’indice n. Variables Initialisation Traitement

Sortie

s u j e t

4

n est un entier naturel u est un réel Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 1 Tant que u ≤ 1,999 Affecter à u la valeur 2u Affecter à n la valeur n + 1 Fin du Tant que Afficher n

po ly n é si e f r a n ç a is e • j u in   2 0 1 3 s u it e s n u m é r i q u e s

durée : 60 MINUTES • 5 POINTS

Utiliser une suite auxiliaire On considère la suite (un) définie par u0 mm 1. a) Calculer u1 et u2.

3un 1 et telle que, pour tout entier naturel n, un +1 = . 2 1 + 2un

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0  un. mm 2. On

admet que pour tout entier naturel n, un  1. a) Démontrer que la suite (un) est croissante. b) Démontrer que la suite (un) converge. mm 3. Soit

(vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn =

un . 1 − un

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n. c) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = d) Déterminer la limite de la suite (un).

40

3n . +1

3n

s u j e t

4

les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Suites numériques.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Raisonnement par récurrence   E1  1. b) • Suites et variations  E2a   2. a) • Suites et convergence  E2e    2. b) • Suites géométriques E4a • E4b  • E4c   3. a), et 3. b) • Suites et limites   E2c   3. d)

■■ Nos coups de pouce mm 3. a) Établissez, pour tout entier naturel n, une relation entre vn+1 et vn de la forme vn+1 = qvn où q est un réel à préciser.

sujet

4

mm 1. a) Calculer des termes d’une suite

1 3 3× 3u0 3 2 u1 = = = 2 = = 0,75 1 + 2u0 1 + 2 × 1 2 4 2 3 9 3× 3u1 4 = 4 = 9 = 0,9. u2 = = 1 + 2u1 1 + 2 × 3 10 10 4 4 b) Démontrer une inégalité par récurrence Soit P(n) la propriété : 0 < un. 1 Initialisation : u0 > 0 donc P(0) est vraie. 2 Hérédité : supposons que P(k) est vraie pour un entier naturel k. Démontrons que P(k + 1) est vérifiée. D’après l’hypothèse de récurrence, on sait que uk > 0. 3uk Or : uk +1 = où 3uk > 0 et 1 2uk > 0 donc uk 1 > 0. P(k + 1) est donc véri1 + 2uk fiée et la propriété P(n) est héréditaire. Conclusion : d’après l’axiome de récurrence, pour tout entier naturel n, on a un > 0. mm 2. a) Étudier les variations d’une suite

Pour tout entier naturel n : 3un 3un u (1 + 2un ) un +1 − un = − un = − n 1 + 2un 1 + 2un 1 + 2un =

3un − un − 2un2 2un (1 − un ) . = 1 + 2un 1 + 2un

41

cor ri gé 4

mathématiques

c o r r i g é

Comme, pour tout entier naturel n, on sait que 0 < un < 1, alors : 2un > 0   1 − un > 0  1 + 2un > 0 

un +1 − un > 0

La suite (un ) est donc croissante. b) Établir la convergence d’une suite La suite (un ) est croissante et majorée (par 1), donc elle est convergente. mm 3. a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n, on sait que un < 1, donc 1 − un ≠ 0 et la suite (vn ) est bien définie. Pour tout entier naturel n : 3un 3un u 1 + 2un 1 + 2un vn +1 = n +1 = = + 3 u 1 2 u 3un 1 − un +1 1 − n n − 1 + 2un 1 + 2un 1 + 2un 3un 1 + 2un 3un 1 + 2un 3un = = × = = 3vn . 1 − un 1 + 2un 1 − un 1 − un 1 + 2un La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 3. b) Déterminer la forme explicite d’une suite auxiliaire

La suite (vn) est une suite géométrique de raison 3. Son premier terme est 1 u0 v0 = = 2 = 1. 1 − u0 1 − 1 2 Donc, pour tout entier naturel n : vn = v0 × 3n = 3n . c) Déterminer la forme explicite de la suite initiale Pour tout entier naturel n : u u (1− un ≠ 0) n 3n = n 3 (1 − un ) = un vn = n 1 − un 1 − un

3n − 3n × un = un

3n = (3n + 1) × un

d) Déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n : un =

Or 1 <

3n = 3n + 1

3n

1  3n  1 + n   3 

n

un = =

3n . 3n + 1

1  1 1+    3

n.

1  1 < 1 donc lim   = 0. Par somme et passage à l’inverse, on obtient n→ + ∞  3 3

donc lim un = 1. n →+ ∞

42

c orr ig é 4

s u j e t

5

a m é r i q u e d u no r d • m a i   2 0 1 4 s u it e s n u m é r i q u e s

durée : 50 MINUTES • 5 POINTS

Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique, on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante : • au départ, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1 400 m3 d’eau ; • tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; • tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B. Pour tout entier naturel n, on note : •  an le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ; •  bn le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement. On a donc a0 = 800 et b0 = 1 400.

Par quelle relation entre an et bn traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ? 3 mm 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, an +1 = an + 330 . 4 mm 3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle an est supérieur ou égal à 1 100. Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes. mm 1.

mm 4.

Variables

n est un entier naturel a est un réel

Initialisation

Affecter à n la valeur 0 Affecter à a la valeur 800

Traitement

Tant que a  1 100, faire : Affecter à a la valeur… Affecter à n la valeur n + 1 Fin Tant que

Sortie

Afficher n

Pour tout entier naturel n, on note un = an – 1 320.

a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la

raison.

b) Exprimer un en fonction de n.

n

3 En déduire que, pour tout entier naturel n, an = 1 320 − 520 ×   .  4

43

s u j e t

5

mathématiques

Étude du volume d’eau dans un bassin

mm 5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement. les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Suites géométriques • Algorithme • Fonction logarithme népérien.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Définition d’une suite géométrique E4a   4. a). • Formule explicite pour une suite géométrique E4b   4. b). • Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien E9b   5.

■■ Nos coups de pouce mm 2.  Traduire en langage mathématique les échanges de volumes d’eau entre bassins en vous concentrant sur le bassin A : identifiez l’eau qui reste dans A et celle qui est transférée de B dans A. mm 5.  Les deux bassins devant contenir le même volume d’eau, celui-ci sera de 1 100 m3 par bassin. Indiquez alors l’équation à résoudre.

c o r r i g é

sujet

5

mm 1. Traduire une situation D’après l’énoncé, un volume d’eau constant de 2 200 m3 est réparti entre les deux bassins A et B. Or, pour tout entier naturel n, an et bn sont respectivement les volumes d’eau (exprimés en m 3) présents dans les bassins A et B à la fin de la n-ième journée de fonctionnement. On a donc, pour tout entier naturel n : an + bn = 2 200. mm 2. Établir une relation de récurrence an 1 est le volume d’eau (exprimé en m 3) présent dans le bassin A à la fin de la (n 1)-ième journée de fonctionnement. Il a été constitué de la manière suivante : • 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B à la fin de la n-ième journée de fonctionnement est transféré dans le bassin A, ce qui correspond à 0,15bn ; • 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A à la fin de la n-ième journée de fonctionnement est transféré dans le bassin B, ce qui signifie que 90 % du volume d’eau présent dans le bassin A y reste, ce qui correspond à 0,9an . Ainsi, pour tout entier naturel n : an +1 = 0,15bn + 0,9an = 0,15 × (2 200 − an ) + 0,9an = 330 − 0,15an + 0,9an . 3 Finalement, pour tout entier naturel n : an +1 = 0,75an + 330 = an + 330 . 4

44

c orr ig é 5

Notez bien D’après la question précédente, an + bn = 2 200 .

mm 3. Compléter un algorithme pour déterminer une valeur seuil

Variables Initialisation Traitement

Sortie

n est un entier naturel a est un réel Affecter à n la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Tant que a < 1 100 faire : Affecter à a la valeur 0,75a + 330 Affecter à n la valeur n + 1 Fin Tant que Afficher n

mm 4. a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n : un +1 = an +1 − 1320 = 0,75an + 330 − 1320 = 0,75an − 990 = 0,75 ( an − 1320 ) = 0,75un .

mathématiques

u0 = a0 − 1320 = 800 − 1320 = − 520. La suite (un ) est donc une suite géométrique de raison q  0, 75 et de premier terme u0 = − 520. mm b) Déterminer la formule explicite d’une suite géométrique

Pour tout entier naturel n : un = u0 × q n = − 520 × 0,75n . Comme un = an − 1320, alors an = 1320 + un et finalement, pour tout entier naturel n : n 3 an = 1 320 − 520 × 0,75n = 1 320 − 520 ×   .  4 mm 5. Résoudre une équation Les deux bassins contiendront le même volume d’eau, au mètre cube près, s’ils contiennent chacun 1 100 m 3 d’eau. Pour répondre au problème posé, on peut donc résoudre l’équation an 1 100. Résolution effective (non demandée a priori) : an = 1 100 1320 − 520 × 0,75n = 1 100 220 = 520 × 0,75n 220 11 0,75n = = 520 26 11 ln(0,75n ) = ln    26 

Notez bien Pour tout réel a 0 et tout entier relatif n, ln( an ) = n × ln(a) .

11 ln    26  n= . ln(0,75) 11 ln    26  ≈ 3. Ainsi n = ln(0,75) Au cours du 3e jour de fonctionnement, les deux bassins auront, au mètre cube près, le même volume d’eau.

45

cor ri gé 5

f r a n c e m é t r opo l it a in e • s e pt e m b r e   2 0 1 3

6

s u j e t

c omp l é m e nts s u r l e s fon c tions

DURÉE   : 6 0 M I N U T E S • 6 P O I N T S

Représentations graphiques, aire et algorithme Soit f une fonction définie r r et dérivable sur °. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O ; i , j ). P a r ti e A

Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C1, C2 et C3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0. y C

r

j r O i y

y

y

r

j

x

r

d1 r

j

x

O i

d2 r

O i

r

x

j

C2

C3

C1

r

O i

mm 1.

Donner par lecture graphique, le signe de f (x) selon les valeurs de x.

mm 2.

On désigne par F une primitive de la fonction f sur °.

d3 x

a) À l’aide de la courbe C , déterminer F ′(0) et F ′(−2). b) L’une des courbes C1, C2, C3 est la courbe représentative de la fonction F.

Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres. P a r ti e B

Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur 1

x

° par f ( x ) = ( x + 2)e 2 . mm 1.

L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.

a) Démontrer que, pour tout réel x, f ′( x ) =

1

x 1 ( x + 4)e 2 . 2

46

s u j e t

6

b) En déduire une validation de la conjecture précédente. mm 2.

On pose I =

1

∫ 0 f ( x )d x.

a) Interpréter géométriquement le réel I. b) Soient u et v les fonctions définies sur ° par u( x )  x et v ( x )

Vérifier que f = 2(u ′v + uv ′ ).

1

x

e2 .

c) En déduire la valeur exacte de l’intégrale I.

On donne l’algorithme ci-dessous. Variables Entrée Initialisation Traitement

Sortie

k et n sont des nombres entiers naturels, s est un nombre réel Demander à l’utilisateur la valeur de n Affecter à s la valeur 0 Pour k allant de 0 à n – 1 1 k Affecter à s la valeur s + f   n  n Fin de boucle Afficher s

On note sn le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n. a) Justifier que s3 représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur. y

C

1 0

1

x

b) Que dire de la valeur de sn fournie par l’algorithme proposé lorsque n devient grand ? les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Fonction exponentielle • Intégrale • Algorithme.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Propriétés liées à la fonction exponentielle E8   Partie B, 1. a), 1. b), 2. b) et 2. c) • Étude des variations d’une fonction E6c   Partie B, 1. b) • Dérivation de fonctions E6e • E6f   Partie B, 1. a) et 2. b) • Intégration : primitive, calcul et interprétation d'une intégrale E11a • E13 • E14   Partie A, 2. a) ; partie B, 2. a) et 2. c)

47

s u j e t

6

mathématiques

mm 3.

■■ Nos coups de pouce Partie A mm 2. b) Pour éliminer la courbe C3, intéressez-vous au coefficient directeur de la droite d3 . Pour éliminer la courbe C2 , intéressez-vous aux variations plausibles de la fonction F.

Partie B mm 1. b) Étudiez le signe de la dérivée f , puis déduisez-en les variations de f , et enfin concluez. mm 2. c) Remarquez que la fonction 2uv est une primitive de f sur °.

c o r r i g é

sujet

6

P a r ti e A

mm 1. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction Les points de la courbe C d’abscisse strictement inférieure à 2 sont situés en dessous de l’axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réelx < 2, f ( x ) < 0. Les points de la courbe C d’abscisse strictement supérieure à 2 sont situés au-dessus de l’axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réel x > 2, f ( x )  0. La courbe C coupe l’axe des abscisses en un seul point : le point d’abscisse 2. Ainsi, f (− 2) = 0. mm 2. a) Déterminer graphiquement une image Comme F est une primitive de f sur °, pour tout nombre réel x, F ′ x  = f ( x ). Or le point de la courbe C d’abscisse 0 a pour ordonnée 2 (on a f (0) 2)­et le point de la courbe C d’abscisse 2 a pour ordonnée 0 (on a f (− 2) = 0). Par suite, F ′(0) = f (0) = 2 et F ′(− 2) = f (− 2) = 0.

b) Associer une courbe représentative à une fonction

• Supposons que la courbe C3 soit la courbe représentative de la fonction F . Comme d 3est la tangente à la courbe C3 au point d’abscisse 0, son coefficient directeur doit être égal à F ′(0) = 2 (d’après la question 2. a)). Par lecture graphique, les points de coordonnées (1 ; 0) et (0 ; 1,5) appartiennent à −1,5 − 0 = 1,5. la droite d 3 qui a ainsi pour coefficient directeur : 0 −1 Les deux points précédents conduisent à une contradiction : 1,5 2. La courbe C3 ne convient pas. • Supposons que la courbe C2 soit la courbe représentative de la fonction F . Comme f est la dérivée de F sur °, la fonction F devrait être strictement croissante sur [− 2 ; +∞[ et strictement décroissante sur ] −∞ ; − 2] (question 1.). Par lecture graphique, la fonction F est croissante sur [− 0,5 ; +∞[ et décroissante sur ] −∞ ; − 0,5]. Les deux points précédents conduisent à une contradiction : − 0,5 ≠ − 2. La courbe C2 ne convient pas. Par élimination, la courbe C1 convient.

48

c orr ig é 6

P a r ti e B

mm 1. a) Dériver une fonction La fonction f est le produit de deux fonctions u et v définies sur ° par u( x ) = x + 2 1

x

et v ( x ) e 2 . Comme u et v sont dérivables sur °, alors la fonction f est dérivable sur ° (produit de fonctions dérivables) et pour tout nombre réel x  : f ′ x ) = u ′ x ) × v  x ) + u x ) × v ′ x )

Attention (e u )′ = u′ ×  e u .

1 1  1 x x = 1 × e 2 + ( x + 2) ×  × e 2  2  1 x 1 f ′ x ) =  1 + ( x + 2) × e 2   2 1

x 1 ( x + 4)e 2 . 2 b) Valider une conjecture

=

1

1 est également strictement 2 positif. Par suite, le signe de f ( x ) est donné par le signe de x 4 qui s’annule en – 4. Pour x  4 , x 4  0 et donc f ( x )  0. La fonction f est ainsi strictement croissante sur l’intervalle [− 4 ; +∞[. Pour x  4 , x 4  0 et donc f ( x )  0. x

La fonction f est ainsi strictement décroissante sur l’intervalle] −∞ ; − 4]. Ce que nous pouvons résumer par le tableau suivant : x Signe de f ′(x) Variations de f

– 4

– ∞ –

0

+ ∞

+ ∞ 

+ ∞ f (– 4)

Par suite, la fonction f admet un minimum, atteint en x = −4. La conjecture est validée. mm 2. a) Interpréter géométriquement une intégrale Le nombre réel I est l’intégrale de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1. La fonction f est continue (car dérivable) sur [0 ;1] et positive sur [0 ;1]. Par définition, dans un repère orthogonal du plan, ce nombre réel est égal à l’aire exprimée en unités d’aire (u.a.) de la partie du plan délimitée par C sa courbe représentative, l’axe des abscisses et les droites d’équations x 0 et x 1. b) Vérifier une égalité 1 x Les fonctions u et v définies sur ° par u( x ) x et v ( x ) e 2 étant dérivables sur °, nous avons, pour tout nombre réel x  :

49

cor ri gé 6

mathématiques

Pour tout nombre réel x , e 2 est strictement positif et

1 1   x x 1 2 × ( u ′( x ) × v ( x ) + u( x ) × v ′( x )) = 2 ×  1 × e 2 + x × × e 2  2   1

x x = 2 × 1 +  × e 2   2 1

= (2 + x )e 2 = f ( x ).

x

c) Déterminer la valeur exacte d’une intégrale De la question précédente, nous déduisons que la fonction 2uv est une primitive de f sur ° (donc sur l’intervalle [0 ; 1]). En effet, pour tout nombre réel x : (2uv )′( x ) = 2 × (u ′( x ) × v ( x ) + u( x ) × v ′( x )) = f ( x ).

Par suite, I=

1

∫ 0 f (x ) d x

= [(2uv )( x )]0 1

= 2 × u(1) × v (1) − 2 × u(0) × v (0) 1

= 2e 2 = 2 e. mm 3. a) Interpréter le résultat affiché par un algorithme • D’après l’énoncé, l’intervalle [0 ; 1] est divisé en trois parties égales : les trois rec1 tangles ont alors la même largeur égale à . 3 Une des longueurs du rectangle à gauche a pour extrémités les points de coordonnées (0 ; 0) et (0 ; f (0)) : ce rectangle a ainsi pour « longueur » f (0). De même, une des longueurs du rectangle au centre a pour extrémités les points de 1 1 1  1  coordonnées  ; 0 et  ; f     : ce rectangle a ainsi pour « longueur » f   .  3  3  3  3

Enfin, une des longueurs du rectangle à droite a pour extrémités les points de coor2 2 2  2 données  ; 0 et  ; f     : ce rectangle a ainsi pour « longueur » f   .  3 3  3  3 L’aire exprimée en unités d’aire du domaine hachuré sur le graphique est égale à la somme des aires des trois rectangles évoqués ci-dessus, c’est-à-dire : 1 1  1 1  2 × f (0) + × f   + × f   .    3 3 3 3 3 • Déterminons maintenant la valeur de s3 en « déroulant » l’algorithme pour n Initialisation : s prend la valeur 0. Traitement : k 0 1 1 1  0 s prend la valeur s + × f   = 0 + × f (0) = × f (0)  3 3 3 3

50

c orr ig é 6

3.

k

1

s prend la valeur s + k

2

s prend la valeur s +

1 1 1 1 1 × f   = × f (0) + × f      3 3 3 3 3 1 1  2 1  1 1  2 × f   = × f (0) + × f   + × f   .  3 3  3 3  3 3 3

Sortie : l’algorithme affiche la valeur

1 1  1 1  2 × f (0) + × f   + × f   .  3 3  3 3 3

La conclusion s’ensuit. b) Comprendre la finalité d’un algorithme Lorsque n devient grand, la valeur de sn fournie par l’algorithme proposé se rapproche de la valeur exacte de l’intégrale I déterminée à la question 2. c).

7

a m é r i q u e d u s u d • no v e m b r e   2 0 1 3 c omp l é m e nts s u r l e s fon c tions

DURÉE   : 6 0 M I N U T E S • 6 P O I N T S

Fonctions exponentielles, polynômes et rationnelles P a r ti e A

Soit f la fonction définie sur ° par f ( x ) = xe1− x. x mm 1. Vérifier que pour tout réel x, f ( x ) = e × . ex mm 2. Déterminer la limite de la fonction f en − ∞. mm 3. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement cette limite. mm 4. Déterminer la dérivée de la fonction f. mm 5. Étudier les variations de la fonction f sur ° puis dresser le tableau de variations. P a r ti e B

Pour tout entier n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur ° par : g n ( x ) = 1 + x + x 2 + K + x n et hn ( x ) = 1 + 2 x + K + nx n −1. que, pour tout réel x : (1 − x ) g n ( x ) = 1 − x n +1. 1 − x n +1 . On obtient alors, pour tout réel x ≠ 1 : g n ( x ) = 1− x mm 2. Comparer les fonctions hn et g n , g n étant la dérivée de la fonction gn. nx n +1 − (n + 1)x n + 1 En déduire que, pour tout réel x ≠ 1 : hn ( x ) = . (1 − x )2 mm 1. Vérifier

mm 3.

Soit Sn = f (1) + f (2) + K + f (n ), f étant la fonction définie dans la partie A.

En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn, puis sa limite quand n tend vers +∞.

51

s u j e t

7

mathématiques

s u j e t

les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Fonction exponentielle • Fonctions polynômes et rationnelles • Limites et somme.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Propriétés associées à la fonction exponentielle E8   Partie A, 1. à 5. ; partie B, 3. • Limites usuelles et limites associées à la fonction exponentielle E5a-E5d • E8c   Partie A, 2. et 3. ; partie B, 3. • Étude des variations d’une fonction E6c   Partie A, 5. • Dérivation de fonctions E6e • E6f • E8d   Partie A, 4. ; partie B, 2.

■■ Nos coups de pouce Partie B mm 2. Dans un premier temps, dérivez gn à partir de l’expression donnée dans l’énoncé de la

partie B (fonction polynôme de degré n) puis constatez que gn n’est rien d’autre que la fonction hn. Dans un deuxième temps, dérivez gn à partir de l’expression donnée dans l’énoncé de la question 1. (fonction rationnelle). Enfin, concluez. mm 3. Dans un premier temps, démontrez, en utilisant l’expression de hn donnée dans l’énoncé de la partie B (fonction polynôme de degré n), que Sn = hn (e−1). Dans un deuxième temps, calculez, afin de déterminer la limite demandée, l’image de e 1 par hn, en utilisant cette fois-ci l’expression donnée dans l’énoncé de la question 2. (fonction rationnelle). Enfin, concluez à l’aide des « croissances comparées ».

c o r r i g é

sujet

7

P a r ti e A

mm 1. Transformer l’écriture d’une fonction

e1 x = × x = e1− x × x = f ( x ). ex ex mm 2. Déterminer la limite d’une fonction D’une part, lim x = −∞. Pour tout nombre réel x  : e ×

x →−∞

D’autre part, comme lim 1 − x = +∞, alors lim e1− x = lim e X = +∞. x →−∞

x → −∞

X →+∞

Par produit, lim f ( x ) = lim x × e1− x = − ∞. x → −∞

x → −∞

mm 3. Déterminer la limite d’une fonction et l’interpréter

ex x = +∞ (« croissances comparées »), alors lim x = 0. x → +∞ x x → +∞ e x x Ainsi, lim f ( x ) = lim e × x = e × lim x = 0. x → +∞ x → +∞ x → +∞ e e Nous en déduisons que la droite d’équation y 0 (axe des abscisses) est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.

Comme lim

52

c orr ig é 7

Notez bien Pour tous nombres réels a et b,  

ea = ea− b . eb

mm 4. Dériver une fonction La fonction f est le produit de deux fonctions u et v définies sur ° par u( x ) x et v ( x ) = e1− x . Comme u et v sont dérivables sur °, alors la fonction f est dérivable sur ° (produit de fonctions dérivables) et pour tout nombre réel x  : f ′( x ) = u ′( x ) × v ( x ) + u( x ) × v ′( x )

Attention (eu )′ = u′ ×  eu .

= 1 × e1− x + x × (−1 × e1− x ) = e1− x × (1 − x ). mm 5. Dresser un tableau de variations • Pour tout nombre réel x , e1 x est strictement positif. Par suite, le signe de f ( x ) est donné par le signe de 1 x qui s’annule en 1. • Pour x 1, 1 x  0 et donc f ( x )  0. La fonction f est donc strictement décroissante sur l’intervalle [1 ; +∞[.

• Pour x 1, 1 x  0 et donc f ( x )  0. La fonction f est donc strictement croissante sur l’intervalle ] −∞ ; 1].

x Signe de f ′(x) Variations de f

1

– ∞ +

0

+ ∞ –

1 – ∞

0

P a r ti e B

mm 1. Vérifier une égalité Pour tout entier naturel n non nul, pour tout nombre réel x  :

(1 − x ) × g n ( x ) = g n ( x ) − x × g n ( x ) = (1 + x + x 2 + …+ x n ) − x × (1 + x + x 2 + …+ x n ) = (1 + x + x 2 + …+ x n ) − ( x + x 2 + x 3 + …+ x n +1 ) = 1 + x + x 2 + …+ x n − x − x 2 − x 3 …− x n − x n +1 = 1 − x n +1. mm 2. Comparer des expressions • La fonction g n est dérivable sur ° comme fonction polynôme de degré n (n entier naturel non nul) et pour tout nombre réel x  : g n′ ( x ) = 0 + 1 + 2 × x + …+ n × x n −1 = hn ( x ). Par suite, la fonction hn est la dérivée de la fonction g n sur °. • D’après la question précédente, la fonction g n s’écrit comme le quotient de deux fonctions u et v définies par u( x ) = 1 − x n +1 et v ( x ) = 1 − x . Pour tout nombre réel x 1, v ( x ) ne s’annulant pas, et u et v étant dérivables, nous avons :

53

cor ri gé 7

mathématiques

•  f (1) = 1 × e1−1 = e 0 = 1. Ce que nous pouvons résumer par le tableau suivant :

g n′ ( x ) =

u ′( x ) × v ( x ) − u( x ) × v ′( x ) (v ( x ))2

=

−(n + 1) × x n × (1 − x ) − (1 − x n +1 ) × (−1) (1 − x )2

=

−(n + 1)x n + (n + 1)x n +1 + (1 − x n +1 ) (1 − x )2

=

nx n +1 − (n + 1)x n + 1 . (1 − x )2

Ainsi, pour tout nombre réel x

1,

hn ( x ) = g n′ ( x ) =

nx n +1 − (n + 1)x n + 1 . (1 − x )2

mm 3. Déterminer la limite d’une somme Pour tout entier naturel n non nul, Sn = f (1) + f (2) + …+ f (n )

= 1 × e1−1 + 2 × e1− 2 + …+ n × e1− n = 1 + 2 × e −1 + K + n × (e −1 )n −1 1 1 = 1 + 2 ×   + …+ n ×    e  e 1 = hn   .  e Or, d’après la question précédente, comme 1 Sn = hn   =  e

1 n ×    e

n +1

1 e

n −1

1, n

1 − ( n + 1) ×   + 1  e

 − 1  1  e

2

n n +1 − n +1 n +1 e e = 2  e − 1   e 

n +1 n 1 1 − n +1 − n − n + 1 n +1 e e e e = (e − 1)2 e2 2 e n +1 1 n 1 = ×  − − − + 1 .  (e − 1)2  e n +1 e n +1 e n e n

54

c orr ig é 7

Notez bien Pour tout réel a, 1 e− a = a . e

ex x = +∞ (« croissances comparées ») alors lim x = 0 et donc x → +∞ x x → +∞ e

Comme lim lim

n +1

n → +∞ e n +1

= 0 et lim

n

n → +∞ e n

= 0. 1

Comme lim e x = +∞ (« fonction de référence »), alors lim lim

1

n → +∞ e n

x → +∞

= 0 et lim

1

n → +∞ e n +1

x → +∞ e x

= 0.

Nous en concluons que lim Sn = n →+∞

s u j e t

8

= 0 et donc

e2 . (e − 1)2

P o ly n é si e f r a n ç a is e • j u in   2 0 1 4 fon c tion e x pon e nti e l l e

Des courbes, des tangentes et des aires x

Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f ( x ) e x et g ( x ) 2e 2 – 1. On note 𝒞f et 𝒞g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal. Démontrer que les courbes 𝒞f et 𝒞g ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente Δ dont on déterminera une équation.

mm 1. mm 2.

Étude de la position relative de la courbe 𝒞g et de la droite Δ. x

Soit h la fonction définie sur ℝ par h( x ) = 2e 2 – x − 2. a) Déterminer la limite de la fonction h en − ∞.  x  2 e2  b) Justifier que, pour tout réel x, h( x ) = x x − 1 − .  x  2  En déduire la limite de la fonction h en +∞. c) On note h la fonction dérivée de la fonction h sur ℝ. Pour tout réel x, calculer h ( x ) et étudier le signe de h ( x ) suivant les valeurs de x. d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur ℝ. x

e) En déduire que, pour tout réel x, 2e 2 − 1 ≥ x + 1. f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe 𝒞g et de la droite Δ ?

Étude de la position relative des courbes 𝒞f et 𝒞g. 2  x  a) Pour tout réel x, développer l’expression  e 2 – 1 .   mm 3.

b) Déterminer la position relative des courbes 𝒞f et 𝒞g.

mm 4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes 𝒞f et 𝒞g et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

55

s u j e t

8

mathématiques

durée : 60 MINUTES • 5 POINTS

les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Fonction exponentielle • Dérivation • Limites de fonctions • Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Dérivation E6b • E6e • E6f • E8d  1. et 2. c) • Limites de fonctions E5a • E5b • E8b   2. a) et 2. b) • Calculs avec la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien E8b •  E9a  2. c) et 3. a) • Variations d’une fonction E6c  2. d) • Calcul d’aires E11c • E13 • E14  4.

■■ Nos coups de pouce mm 1. N’oubliez pas de justifier la dérivabilité des fonctions utilisées. mm 2. b) Pensez à utiliser les limites par croissances comparées et les limites par composition.

c o r r i g é

sujet

8

mm 1. Déterminer une tangente commune à deux courbes

•  f (0)

e0

0

1 et g(0) = 2e 2 − 1 = 2e 0 − 1 = 1. Nous avons donc f (0)

g (0).

Les courbes Cf et Cg ont donc un point commun d’abscisse 0. • La fonction f est la fonction exponentielle, donc f est dérivable sur °. Pour tout réel x  : f ′( x ) = e x et f ′(0) = e 0 = 1. L’équation réduite de la tangente à Cf au point d’abscisse 0 est donc : y = f ′(0)( x − 0) + f (0) = 1 × x + 1 = x + 1. x

x est dérivable sur °. Par composition, la fonction x a e 2 est 2 dérivable sur °. Par produit et différence, la fonction g est dérivable sur °. • La fonction x a

x

x

0

1 2 e = e 2 et g ′(0) = e 2 = e 0 = 1. 2 L’équation réduite de la tangente à Cg au point d’abscisse 0 est donc :

Pour tout réel x  : g ′( x ) = 2 ×

y = g ′(0)( x − 0) + g (0) = 1 × x + 1 = x + 1. Au point d’abscisse 0, les courbes Cf et Cg ont une tangente commune d’équation y = x +1.

56

c orr ig é 8

Notez bien Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors (eu )′ = u′ × eu .

mm 2. a) Calculer une limite en -  

 lim x = − ∞  x →−∞ 2 par composition lim e  x →−∞  lim e X = 0  X →−∞

x 2

=0;

comme lim − x − 2 = + ∞, par somme lim h( x ) = + ∞ . x→− ∞

x →−∞

b) Calculer une limite en   

 x 2e 2 h( x ) = x  − 1−  x 

 x  2 e2 = x  − 1− x x   2

Notez bien Pour tout réel 2 x non nul, x

 2 . x  

1 . x 2

 lim x = + ∞ x  x →+∞ 2 e2 par composition lim = + ∞. •  X x →+∞ x  lim e = + ∞ 2  X →+∞ X 2 = 0, nous obtenons, par somme et produit : Comme lim x = + ∞ et lim x →+∞ x x →+∞ lim h( x ) = + ∞ .

x →+∞

c) Étudier le signe d’une dérivée En remarquant que, pour tout réel x , h( x ) = g ( x ) − x − 1, nous pouvons dire que h est dérivable sur ° comme somme de fonctions dérivables sur °. x

Pour tout réel x , h ′( x ) = g ′( x ) − 1 = e 2 − 1. x

h ′( x ) > 0 e 2 − 1> 0 On obtient ainsi :

x

x

e2 >1

x

ln(e 2 ) > ln(1) 0

– ∞ –

Signe de h ( x )

x >0 2

0

x > 0.

+ ∞ 

d) Construire le tableau de variations d’une fonction

x

0

– ∞ –

Signe de h ( x )

0

+ ∞

+ ∞ 

+ ∞

Variations de h 0 Avec h(0) = g (0) − 0 − 1 = 1 − 1 = 0. e) Démontrer une inégalité D’après le tableau de variations de la question précédente, le minimum de la fonction h sur ° est 0 donc, pour tout réel x , h( x ) ≥ 0 ce qui équivaut à g ( x ) x 1 ≥ 0.

57

cor ri gé 8

Notez bien x a x 1 est dérivable sur ° et g est dérivable sur ° (voir question 1.). Notez bien Pout tout réel a, ln(e a ) a.

mathématiques

• Pour tout réel x non nul :

x

Finalement, pour tout réel x , 2e 2 − 1 ≥ x + 1. f) Étudier la position relative d’une courbe et d’une droite D’après l’inégalité précédente, nous avons, pour tout réel x , g ( x ) ≥ x 1. Par conséquent, la courbe Cg est toujours au-dessus de la droite D, avec un point de contact en x 0 . mm 3. a) Développer une expression Pour tout réel x  :

(e − 1) = ( ) x 2

2

x 2 e2 x

= e2

×2

Notez bien Pour tous réels a et b :  ( a − b)2 = a2 − 2ab + b2 . Pour tout réel a et tout entier relatif n : (e a )n = e a × n .

x

− 2 × e 2 × 1 + 12 x

− 2e 2 + 1 x

= e x − 2e 2 + 1 = f ( x ) − g ( x ). b) Étudier la position relative de deux courbes

2

 x  D’après la question 3. a), pour tout réel x , f ( x ) − g ( x ) =  e 2 − 1 ≥ 0 donc   f ( x ) ≥ g ( x ). La courbe Cf est donc toujours au-dessus de la courbe Cg , avec un point de contact en x 0. mm 4. Calculer l’aire comprise entre deux courbes Les fonctions f et g sont dérivables donc continues sur ° et sur [0 ; 1]. D’après ce qui précède, pour tout réel x , f ( x ) g ( x ) ≥ 0. Par conséquent, l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équations x 0 et x 1 est donnée par :

A= =

1

∫ 0 ( f ( x ) − g ( x ))d x 1

x  x − 2e 2 + 1 d x e  ∫ 0   1

x   =  e x − 4e 2 + x 0 1 0     =  e1 − 4e 2 + 1 −  e 0 − 4e 2 + 0 .    

Ainsi A = e − 4 e + 4 u.a.

58

c orr ig é 8

s u j e t

9

A nti l l e s , G u y an e • S e pt e m b r e 2 0 1 3 F on c tion e x pon e nti e l l e

durée : 60 MINUTES • 6 POINTS

La famille exponentielle Pour tout réel k strictement positif, on désigne par fk la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels  telle que : f k ( x ) = k x e − kx . r r On note k sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O ; i , j ). P a r ti e A   : é t u d e d u c as k = 1

On considère donc la fonction f1 définie sur  par f 1( x ) = xe − x .

Déterminer les limites de la fonction f1 en − ∞ et en + ∞. En déduire que la courbe 1 admet une asymptote que l’on précisera.

mm 1.

Étudier les variations de f1 sur  puis dresser son tableau de variations sur .

Démontrer que la fonction g1 définie et dérivable sur  telle que : g1( x ) = −( x + 1)e − x est une primitive de la fonction f1 sur . mm 3.

mm 4.

Étudier le signe de f1(x) suivant les valeurs du nombre réel x.

Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe 1, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = ln10.

mm 5.

P a r ti e B   : p r op r i é t é s g r ap h i q u e s

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes 2, a et b où a et b sont des réels strictement positifs fixés, et T la tangente à b au point O origine du repère. y 0,6 T 0,4 0,2

– 0,2 O

C2 Ca 0,2

Cb 0,4

0,6

0,8

1

1,2

x

mm 1. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes k passent par un même point. mm 2. a)

Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a : f k′( x ) = k (1 − kx )e − kx .

59

s u j e t

9

mathématiques

mm 2.

b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, fk admet un maximum et calculer ce maximum. c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la démarche. d) Écrire une équation de la tangente à k au point O origine du repère. e) En déduire à l’aide du graphique une valeur approchée de b. les clés du sujet

■■ Les thèmes clés Étude de fonction • Calcul d’aire • Équation de tangente.

■■ Les outils dont vous avez besoin Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage. • Limites associées à la fonction exponentielle E5a • E8c   Partie A, 1. • Formule de dérivation pour un produit de fonctions   E6f   Partie A, 2. et 3. ; partie B, 2. a) • Formule pour le calcul intégral   E13    Partie A, 5. • Formule pour l’équation réduite d’une tangente  E6b   Partie B, 2. d)

■■ Nos coups de pouce Partie B mm 1. Remarquez que les courbes représentées sur le graphique passent toutes par l’origine du repère : f2 (0) = fa (0) = fb (0) = 0. mm 2. b) Étudiez le signe de la dérivée de la fonction fk puis déduisez-en ses variations et enfin concluez sur l’existence d’un maximum. mm 2. c) Placez sur l’axe des abscisses les valeurs respectives de x pour lesquelles fa et f2 atteignent leur maximum, puis comparez ces valeurs et concluez.

c o r r i g é

sujet

9

P a r ti e A : é t u d e d u c as k = 1

mm 1. Quelques calculs de limites et interprétation x Pour tout réel x, f 1( x ) = x e − x = x . Alors, comme lim x = −∞ et lim e x = 0, x → −∞ x → −∞ e

par quotient lim f 1 ( x ) = − ∞ .

Autre méthode En posant X = –x, lim e− x = lim e X = + ∞ x→−∞

et lim x =

x→−∞

x→ − ∞

1 = x. Pour tout réel non nul x, f 1( x ) = e x ex = + ∞. Par croissances comparées, lim x→+∞ x x e− x

X→+∞

lim − X = − ∞.

X→+∞

Par produit, lim f1( x ) = − ∞. x→ − ∞

Attention Limite à connaître : un calcul direct donnerait une forme indéterminée.

Par passage à l’inverse, lim f 1( x ) = 0. x → +∞

Nous en déduisons que la courbe 𝒞1 admet pour asymptote la droite d’équation y = 0 (axe des abscisses).

60

c orr ig é 9

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