Echangeurs de Chaleur!

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Chapitre III

III. ECHANGE DE CHALEUR CONTACT INDIRECT

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INTRODUCTION

A. DEFINITION ET OBJECTIFS L’échange de chaleur est une des opérations physiques unitaires les plus fréquemment rencontrées dans l’industrie chimique : chaque fois qu’il est nécessaire de transférer des calories entre deux fluides. Cette opération peut être réalisée : −

Simultanément avec une autre opération unitaire de transformation de la matière, par exemple : dans un réacteur chimique (contrôle thermique) ; dans une colonne à distiller (apport de calorie au bouilleur, enlèvement de calorie au condenseur).

−

Dans un appareil spécifiquement prévu à cette fin en amont ou en aval d’une opération unitaire : l’échangeur de chaleur.

L’échangeur de chaleur est un outil indispensable à l’Utilisation Rationnelle de l’Energie (URE) dans un procédé industriel. Le contenu enthalpique échangé peut être la chaleur sensible des fluides (gaz ou liquide) ou la chaleur latente de changement d’état du/des fluide(s) : condensation d’une vapeur ou vaporisation d’un liquide.

B. MOYENS L’échange de chaleur se réalise le plus souvent par contact indirect79 au travers d’une paroi séparant les deux fluides. La présence d’une paroi séparant les deux fluides permet d’éviter une contamination d’un fluide par un autre. Elle autorise une plus grande diversité dans le choix des fluides caloporteurs ainsi que dans la configuration d’écoulement des fluides. La présence de cette paroi apporte cependant une résistance supplémentaire au transfert de chaleur, d’où l’importance du choix du matériau et de son épaisseur.

79

L’échange de chaleur par contact direct entre deux fluides est également possible. Elle est principalement utilisée dans les tours de refroidissement (d’eau ou de gaz) ainsi que dans les unités de conditionnement d’air (voir chapitre 5).

90

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Les échangeurs de chaleur doivent être conçus de manière à : − −

maximiser la surface d’échange et, minimiser la résistance au transfert de chaleur.

L’ajout d’ailettes ou d’ondulations sur la surface permet à la fois d’accroître la surface d’échange et de promouvoir la turbulence, ce qui contribue à accroître le transfert de chaleur. On peut classer les échangeurs de chaleur en fonction de la configuration d’écoulement des fluides. 1. Les réacteurs chimiques et autres cuves agitées mécaniquement sont souvent équipés d’un système de contrôle de température au moyen d’une double enveloppe et/ou d’un serpentin.

2. Les échangeurs (multi)tubulaires représentent une catégorie d’échangeurs dont les applications sont très fréquentes dans l’industrie.

importante

Parmi ceux-ci, on distingue une famille particulièrement importante d’échangeurs : les à « tubes et calandre » (shell and tube) : l’un des fluides circule à l’intérieur des tubes et l’autre dans la calandre ou enveloppe. Ils sont particulièrement bien adaptés au fonctionnement sous pression tel que rencontré en pétrochimie ou lors d’utilisation de vapeur surchauffée. On distingue plusieurs types d’échangeur « tubes et calandre » en fonction de la circulation des fluides côté calandre et côté tube.

91

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Une passe côté tube – une passe côté calandre (Tubes droits)

Deux passes côté tube – une passe côté calandre (Tubes droits)

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Deux passes côté tube – une passe côté calandre (Tube en U)

3. Les échangeurs à changement de phase Ces échangeurs sont le plus souvent du type « faisceau multitubulaire » : on les retrouve dans les colonnes de distillation80 : −

Au niveau du bouilleur : Un faisceau tubulaire parcouru par de la vapeur est immergé dans la phase liquide venant du pied de colonne.

−

Au niveau du condenseur : La vapeur provenant de la tête de colonne se refroidit et se condense sur un faisceau tubulaire parcouru par de l’eau (de refroidissement).

80

Voir chapitre 4 : Distillation

93

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4. Les échangeurs à plaques représentent une autre catégorie importante d’échangeurs. Ils sont composés d’un assemblage de tôles métalliques minces, normalement nervurées, permettant le passage des deux fluides de part et d’autre de ces tôles ; L’assemblage d’un grand nombre d’éléments permet d’accroître considérablement la surface d’échange. L’écoulement des deux fluides est essentiellement du type contre-courant.

Deux types d’assemblage peuvent être utilisés : −

Assemblage par joints étanches séparant les circuits des deux fluides. L’assemblage est maintenu étanche en pressant mécaniquement les tôles les unes contre les autres au moyen de vérins mécaniques. Cette configuration permet un démontage et un nettoyage fréquent de l’échangeur. Elle est réservée aux utilisations à moyenne et base pression.

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−

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Assemblage par soudure des différentes tôles. Cette configuration forme un ensemble monobloc non démontable. Elle est adoptée lorsqu’il faut travailler à plus haute pression (max 40 bar).

C. PRINCIPES DE MODÉLISATION Comme pour la modélisation d’un contacteur gaz-liquide (absorption – désorption et distillation), la modélisation du fonctionnement d’un échangeur de chaleur repose sur la prise en compte de deux échelles caractéristiques :


L’échelle locale : - Cette échelle correspond à une petite portion représentative de la paroi séparant les deux fluides. - C’est à ce niveau que doivent être introduites toutes les informations non spécifiques des appareils, en particulier les cinétiques de transfert thermique.




L’échelle globale : - L’échelle de l’appareil dans son ensemble. - C’est au niveau de l’appareil que doivent être établies les équations de performance de l’appareil. - C’est à ce niveau que doivent apparaître les informations sur la géométrie de l’appareil, le mode de mise en contact des deux fluides, leur circulation l’un par rapport à l’autre, etc.

Nous considérerons donc successivement les équations de bilan de chaleur au niveau local et au niveau global.

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BILANS LOCAUX DE CHALEUR

Les bilans locaux de chaleur reposent sur l’écriture des flux de chaleur entre les fluides chaud et froid à travers la paroi de l’échangeur. En général, le transfert de chaleur repose sur la mise en série de différents mécanismes. A. COEFFICIENTS DE TRANSFERTS CONVECTIF ET CONDUCTIF Pour rappel81, le transfert thermique convectif, au sein d’un fluide, entre ce fluide et un solide, est proportionnel à la différence de température entre le fluide et l’interface. q = h (T1 − TO )

T1

q : flux thermique (W/m2) q T1 : température au sein du fluide (K) TO : température à l’interface (K) h : coefficient de transfert thermique convectif au sein du fluide (W/m2K)

T0

De la même manière, le transfert thermique conductif, à travers une paroi solide, est proportionnel à la différence de température de part et d’autre du solide. q=

λ eP

eP

(TI1 − TI 2 )

q: flux thermique (W/m2) TI1, TI2 : températures de part et d’autre de la paroi (K) eP : épaisseur de la paroi (m) λP : conductibilité thermique de la paroi (W/mK)

TI1 TI2 q

Ces expressions supposent que les hypothèses suivantes sont vérifiées : −

Fonctionnement stationnaire ou quasi-stationnaire : Hypothèse vérifiée si la résistance au transfert est confinée dans une couche limite de très faible épaisseur.

−

Découplage des flux convectif et diffusionnel : Hypothèse vérifiée dans le cas d’un solide et/ou si le transfert de chaleur est confiné dans une couche limite de très faible épaisseur (faible inertie).

−

Constance de la conductibilité thermique.

81

Rappel du cours CHIM0022-2 : Introduction au Génie Chimique

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B. COEFFICIENT GLOBAL DE TRANSFERT Le transfert de chaleur entre deux fluides au travers d’une paroi solide s’exprime par la mise en série de plusieurs résistances, résultant en un coefficient global de transfert thermique U.

q = U (T1 − T2 ) eP

1 1 eP 1 = + + U h1 λP h2

T1 TI1

TI2

q q : flux thermique (W/m2) T1 : température au sein du fluide 1 (K) T2 : température au sein du fluide 2 (K) h1 : coefficient de transfert thermique convectif au sein du fluide 1 (W/m2K) h2 : coefficient de transfert thermique convectif au sein du fluide 2 (W/m2K) U : coefficient global de transfert thermique (W/m2K)

T2

Cette expression peut être généralisée au cas d’un nombre quelconque de résistances thermiques en série, par exemple : −

les résistances au transfert convectif côtés fluide 1 et fluide 2 (2 résistances),

−

la résistance au transfert conductif dans la paroi,

−

les résistances au transfert conductif induites par le dépôt de couches d’encrassement côtés fluide 1 et fluide 2.

q = U (T1 − T2 )

e1

eP

e2

T1

1 1 e1 eP e2 1 = + + + + U h1 λ1 λP λ 2 h2 T2 q eP : épaisseur de la paroi (m) λP : conductibilité thermique de la paroi (W/mK) e1 : épaisseur de la couche d’encrassement côté fluide 1 (m) λ1 : conductibilité thermique de la couche d’encrassement côté fluide 1 (W/mK) e2 : épaisseur de la couche d’encrassement côté fluide 2 (m) λ2 : conductibilité thermique de la couche d’encrassement côté fluide 2 (W/mK)

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C. FACTEUR DE FORME Dans le cas de géométries non planes, le même formalisme de mise en série des résistances au transfert peut être utilisé : L’épaisseur de la paroi ( eP ) doit être remplacée par une expression (facteur de forme) tenant compte de la géométrie de l’interface fluide-solide.

Dans le cas du transfert de chaleur entre deux fluides à travers une paroi cylindrique (tube), on a : h2 r2

1 U

1 U

r1

r  r1 ln  2  1  r1  + r1 1 = + h1 λP r2 h2

r2

r  r2 ln  2  r 1  r1  + 1 = 2 + r1 h1 λP h2

h1 r1

selon que le coefficient global de transfert thermique U est rapporté à la surface externe ou interne du tube. Dans les deux expressions précédentes, l’épaisseur eP ( = (r2 – r1)) est corrigée (multipliée) par un facteur de forme r1/rlm (ou r2/rlm) où rlm représente la valeur logarithmique moyenne du rayon entre r1 et r2.82 rlm =

1 U

= r1

r 2 − r1 r  ln 2   r1 

r e r 1 1 + 1 P + 1 h1 rlm λP r2 h2

1 U

= r2

r2 1 r2 eP 1 + + r1 h1 rlm λP h2

Les deux valeurs du coefficient de transfert de chaleur sont reliées par le rapport des surfaces, c-à-d des rayons externe et interne :

Ur = 1

82

r2 U r1 r2

Voir cours CHIM0022-2 : Introduction au Génie Chimique

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Le transfert de chaleur entre un fluide et une surface tubulaire peut être considérablement accru en appliquant des ailettes (soudées, serties) sur la surface tubulaire interne et/ou externe. La présence de ces ailettes a deux conséquences : −

accroissement de la surface d’échange ;

−

création de turbulence aux environs des ailettes, ce qui a pour effet d’accroître le coefficient de transfert convectif.

Les deux figures suivantes illustrent une des nombreuses configuration d’un tube à ailettes.

Dans le cas illustré ci-dessus (ailettes appliquées uniquement sur la surface externe du tube, en r2), le coefficient de transfert convectif h2 doit être corrigé par un facteur de forme φ traduisant l’accroissement de la surface d’échange externe :

1 U

r2

r  r2 ln  2  r 1  r1  + 1 1 = 2 + r1 h1 λP φ h2

Ce facteur de forme est égal au rapport entre la surface effective Aeff du système tubeailettes et la surface externe du tube sans ailette (A).

φ=

Aeff A

La surface effective Aeff est toutefois inférieure à la surface totale AT (tube + ailettes). Elle est reliée à cette dernière par l’efficacité de surface η0 définie par :

η0 =

Aeff AT

99

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T 0 – T2

Cette efficacité tient compte de la diminution progressive de l’écart de température entre le solide et le fluide au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la paroi du tube, à la surface de l’ailette.

T0

Le flux de chaleur sur l’ensemble tube-ailette est en effet donné par

paroi

(

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T2

ailette

)

q = h2 T0 − T2 = η0 h2 (T0 − T2 ) T0 : température sur la parois externe du tube

T0 : température moyenne sur l’ensemble tube-ailette La diminution de T0 par rapport à T0 est d’autant plus rapide (et η0 d’autant plus petit) que : −

la conductibilité thermique λP est faible ;

−

le coefficient de transfert thermique convectif h2 est élevé ;

−

l’ailette est longue.

En résumé, le coefficient global de transfert thermique U au niveau de la paroi d’un échangeur de chaleur peut toujours être représenté par la mise en série des différentes résistances au transfert thermique, chacune étant corrigée par un facteur de forme tenant compte de la géométrie locale.

D. DETERMINATION DES COEFFICIENTS DE TRANSFERT D.1. Coefficients de transfert thermique convectif Les coefficients de transfert thermique convectif, h1 et h2, dépendent des conditions hydrodynamiques (vitesse, régime d’écoulement, géométrie) prévalant côté fluides 1 et 2. La plupart des corrélations permettant de déterminer ces coefficients sont présentées sous forme adimensionnelle83, incluant le nombre de Nusselt Nu, le nombre de Reynolds Re et le nombre de Prandl Pr. Un grand nombre de ces corrélations se présentent sous la forme suivante84 : Nu = A Re m Pr n

A : fonction de la géométrie m = 0,3 – 0,8 en fonction du régime n = 0,3 – 0,4 (= 1/3 : analogie Chilton-Colburn)

83

Voir la définition des nombres adimensionnels dans le cours CHIM0022-2 : Introduction au Génie Chimique 84 Pour plus d’informations à ce sujet, voir par exemple : F. Incropera, D. Dewitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, J. Wiley, New York (1990).

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Les coefficients de transfert thermique convectif, h1 et h2, sont étroitement liés à la perte de charge et, donc, aux dissipations énergétiques. Pour rappel, l’analogie de Chilton-Colburn85 permet de relier ces coefficients de transfert au coefficient de frottement et, donc, à la perte de charge.

CF Nu = 2 Re Pr −1/ 3

CF τ = 2 ρ v ∞2

−

∆P A =τ ⋅ L V

A : surface de frottement fluide-solide (par ex. : paroi des tubes) V : volume de fluide en contact avec les parois

Le choix des conditions opératoires devra toujours rechercher un optimum économique entre coefficients de transfert élevés et perte de charge (dissipation énergétique) faible. Le tableau suivant donne quelques ordres de grandeurs de coefficient de transfert thermique convectif pour différents fluides.

Coefficient de transfert h

Résistance au transfert86

(kW / m2 K)

(m2 K / kW)

1,7 – 11 0,02 – 0,3 0,35 – 3 0,06 – 0,7

0,09 – 0,6 3,3 – 50 0,3 – 3 1,4 – 17

6,0 – 17,0 0,9 – 2,8 1,2 – 2,3 0,12 – 0,3

0,06 – 0,17 0,36 – 1,1 0,43 – 0,83 3,3 – 0,08

2,0 – 12,0 0,6 – 2,0 0,8 – 1,7 0,06 – 0,3

0,04 – 0,5 0,5 – 1,67 0,59 – 1,25 3,3 – 16,7

Fluide sans changement d’état Eau Gaz Solvants organiques Pétrole

Condensation de vapeurs Vapeur d’eau Solvants organiques Pétrole léger Pétrole lourd

Evaporation de liquides Eau Solvants organiques Pétrole léger Pétrole lourd

85 86

Voir le cours CHIM0022-2 : Introduction au Génie Chimique La résistance thermique est égale à l’inverse du coefficient de transfert thermique.

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D.2. Coefficients de transfert thermique conductif Les contributions « conductives » au transfert thermique dépendent fortement de la conductibilité thermique du matériau considéré : la paroi ou la (les) couche(s) d’encrassement. Le tableau suivant fournit quelques valeurs de coefficient de transfert thermique conductif pour des parois et différentes épaisseurs.

Coefficient de transfert h

Résistance au transfert87

(kW / m2 K)

(m2 K / kW)

400 200 133

0,0025 0,005 0,075

220 110 73

0,0045 0,009 0,0135

80 40 27

0,0125 0,0250 0,0375

15 7,5 5

0,066 0,133 0,200

0,5 0,25 0,17

2,0 4,0 6,0

Cuivre (λP = 0,4 kW/m K) 1 mm 2 mm 3 mm

Aluminium (λP = 0,22 kW/m K) 1 mm 2 mm 3 mm

Fer (λP = 0,08 kW/m K) 1 mm 2 mm 3 mm

Acier inox. (λP = 0,015 kW/m K) 1 mm 2 mm 3 mm

Polym. (λP = 0,0005 kW/m K) 1 mm 2 mm 3mm

87

La résistance thermique est égale à l’inverse du coefficient de transfert thermique.

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L’encrassement résultant de l’utilisation de fluides industriels provoque la formation d’un (ou de plusieurs) dépôt(s) d’épaisseur ei qui introduit une résistance au transfert thermique ei λi où λi représente la conductibilité du dépôt. Cette résistance supplémentaire est appelée facteur d’encrassement. Elle évolue au cours du temps, au fur et à mesure du développement du dépôt. Les valeurs rapportées ci-dessous représentent quelques exemples (ordre de grandeur) de facteurs d’encrassement rencontrés dans des conditions standards d’utilisation industrielle.

Coefficient de transfert h

Facteur d’encrassement

(kW / m2 K)

(m2 K / kW)

6,7 2,9 1,9 11,1

0,15 0,35 0,053 0,09

5,0 5,0 2,9 2,0 0,55

0,2 0,2 0,35 0,5 1,8

11,1 5,0 5,0

0,09 0,2 0,2

Eau Eau de mer Eau saumâtre Eau de rivière Eau distillée

Liquides organiques Lubrifiant Kérosène Gasoil léger Gasoil lourd Asphalte et résidus

Vapeurs Vapeur d’eau Vapeur d’eau avec trace d’huile Solvants organiques

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BILANS GLOBAUX DE CHALEUR

Les bilans globaux de chaleur portent sur les deux fluides et sur l’ensemble de l’appareil. Ces bilans globaux dépendent étroitement du mode de mise en contact des deux fluides : circulation d’un fluide par rapport à l’autre. Nous considérerons successivement : −

L’écoulement parallèle à contre-courant

−

L’écoulement à multiple passe

−

L’écoulement croisé

A. ECOULEMENT PARALLÈLE À CONTRE-COURANT L’écoulement parallèle à contre-courant est la configuration la plus simple. C’est aussi celle qui permet de réaliser la meilleure mise en contact des deux fluides88. On s’approche de cette configuration dans : −

les échangeurs à spirales

−

les échangeurs à plaques

88

Voir à ce sujet la comparaison entre écoulements à co- et contre-courant dans les contacteurs gaz-liquide (chapitre 2).

104

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Chapitre III

Nous adopterons l’hypothèse d’un écoulement des fluides unidimensionnel (selon l’axe de l’échangeur) ce qui implique que l’on néglige les variations transversales de composition.

Z=0

Z=L T1,S

T1,E u1

T1



u2

T2



T2,S

T2,E

dZ

Les bilans de chaleur sont appliqués aux volumes infiniment petits dV1 et dV2 d’épaisseur dZ. Les volumes totaux correspondent aux volumes V1 et V2 des fluides 1 et 2. Les vitesses superficielles u1 et u2 sont calculées en divisant les débits volumétriques par les sections des zones  et 89. La dispersion axiale est négligée dans les deux zones : écoulement piston. Les bilans de chaleur appliqués aux fluides 1 et 2 s’écrivent dès lors, sous forme vectorielle, de la manière suivante : Pour le fluide 1

 ∂T1  ∂t

ρ1 CP1 

+

=0 (accumulation) Pour le fluide 2

 ∂T2  ∂t

ρ 2 CP 2 

 u1 ⋅ ∇T1  

(flux conv) −

 u 2 ⋅ ∇T2  

=

− ∇ ⋅ q1

φT 21

+

=0 (flux disp.) (terme d’échange therm.) =

− ∇ ⋅ q2

+

φT 12

Le changement de signe du flux convectif dans le fluide 2 résulte de l’écoulement à contre courant et du fait que u 2 est dirigé dans la direction opposée à l’axe Z 90. Le terme φT 21 représente la quantité de chaleur transférée du fluide 2 vers le fluide 1, par unité de temps et par unité de volume du fluide 1. Le terme φT 12 représente la quantité de chaleur transférée du fluide 1 vers le fluide 2, par unité de temps et par unité de volume du fluides 2. Il s’agit de deux grandeurs de signe opposé et dont les valeurs absolues diffèrent, car rapportées à des volumes différents. 89

Cette définition est différente de celle adoptée dans la modélisation d’un contacteur gaz-liquide continu (voir chapitre 2). 90 Voir explication similaire présentée lors de la modélisation d’un contacteur gaz-liquide (chapitre 2).

105

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Ces termes d’échange de chaleur sont donnés par les produits des flux thermiques entre les deux fluides multipliés par les aires spécifiques A V1 et A V2 .

φT 21 =

UA (T2 − T1 ) V1

φT 12 =

UA (T1 − T2 ) V2

En tenant compte de l’hypothèse d’écoulement piston unidimensionnel, il vient :

dT1 U A (T2 − T1 ) = dZ V1

Pour le fluide 1

ρ 1 C P 1 u1

Pour le fluide 2

− ρ 2 CP 2 u 2

dT2 U A (T1 − T2 ) = dZ V2

ρ1 , ρ 2 :

densités des fluides 1 et 2 (kg/m3) C P 1 , C P 2 : chaleurs spécifiques des fluides 1 et 2 (kJ/kg K) u1 , u 2 : vitesses superficielles des fluides 1 et 2 (m/s) V1 , V2 : volumes occupés par les fluides 1 et 2 (m3) A: surface d’échange entre les fluides 1 et 2 (m2) U: coefficient global d’échange de chaleur (kW/m2K)

On obtient un système de deux équations différentielles ordinaires de premier ordre dont les conditions aux limites sont fixées par les conditions d’entrée/sortie des deux fluides : T1 = T1E

en Z = 0

et

T1 = T1S

T2 = T2S

en Z = L

T2 = T2E

En multipliant les deux équations différentielles respectivement par V1 et V2 et en les additionnant, on obtient :

ρ 1 C P 1 u1 V1

dT1 dT2 = ρ 2 C P 2 u 2 V2 dZ dZ

qui donne après intégration entre Z = 0

ρ 1 C P 1 u1

et Z = L

T1=T1E

et T1=T1S

T2=T2S

et T2= T2E

V1 (T1S − T1E ) = ρ 2 C P 2 u 2 V2 (T2E − T2S ) L L

106

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Les termes ρ 1 C P 1 u1 V1 L et ρ 2 CP 2 u 2 V2 L se mesurent en W/K. Ils représentent les débits (thermiques) capacitifs. Nous les représenterons par Q1 et Q2. Q1 = ρ 1 C P 1 u1

V1 L

et

Q2 = ρ 2 C P 2 u 2

V2 L

Les débits capacitifs Q1 et Q2 permettent de relier les variations de températures sur les deux fluides : Q1 (T1S − T1E ) = Q2 (T2E − T2S )

Cette dernière équation joue un rôle formellement identique à celui joué par l’équation reliant les fractions molaires entrée-sortie sur le gaz et le liquide dans un contacteur gazliquide91. Les débits capacitifs Q1 et Q2 jouent dès lors un rôle semblable à celui joué par les flux molaires L et G. Les équations

ρ 1 C P 1 u1 V1

dT1 dT2 = ρ 2 C P 2 u 2 V2 dZ dZ

peuvent être mises sous la forme92 Q1

dT1 dT2 = Q2 dZ dZ

et être intégrées entre une des entrées de l’échangeur et une coordonnées quelconque Z. Z 0 Q1 (T1 − T1E ) = Q2 (T2 − T2S )

T1,E T2,S

T1 T2

Cette équation relie les températures T1 et T2 dans une section droite quelconque de l’échangeur. Il s’agit de l’équation de la droite opératoire telle que rencontrée dans un contacteur gazliquide fonctionnant à contre-courant. Cette relation entre les températures T1 et T2 permet d’intégrer séparément l’une des deux équations de bilan de chaleur, par exemple celle portant sur T1. 91 92

Voir page 40 chapitre 2 En divisant les deux membres par L

107

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ρ 1 C P 1 u1

dT1 U A (T2 − T1 ) = dZ V1

qui devient

dT1 UA dZ = ρ1 CP 1 u1 V1 T2 − T1

Cette dernière équation peut être intégrée entre T1,E et T1,S .

UA UA L = = ρ1 CP 1 u1 V1 Q1

T1S

∫

T1E

dT1 = NUT1 T2 − T1

On retrouve le concept de Nombre d’Unités de Transfert (NUT) introduit en absorption gaz-liquide.

NUT1 représente le nombre d’unités de transfert dans le fluide 193. Il est une mesure de la sévérité de l’opération d’échange thermique réalisée. Il représente à la fois :

−

le rapport entre la capacité volumique de transfert du contacteur ( U A ) et le débit capacitif Q1 (charge volumique de transport) ;

−

l’intégrale du rapport entre la variation de température du fluide 1 ( dT1 ) et le potentiel moteur disponible ( T2 − T1 ).

T1S

Le calcul de NUT1 se ramène au calcul analytique de l’intégrale :

∫

T1E

dT1 T2 − T1

En tenant compte du lien entre T1 et T2 défini par la droite opératoire :

T2 = T2 S +

Q1 (T1 − T1E ) Q2

l’expression de NUT1 devient94 : T1E

NUT1 =

∫

T1S

dT1    Q1 Q T1 − 1 T1E  T1 − T2S + Q2 Q2   

93

Un Nombre d’Unités de Transfert (NUT2 ) rapporté au fluide 2 peut également être défini. Il est relié à NUT1 par la relation suivante : NUT1 Q1 = NUT2 Q2 car NUTi = UA/Qi 94 Les bornes d’intégration ont été inversées et le dénominateur a été changé de signe.

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Chapitre III

En raison de son caractère linéaire, cette intégrale peut être explicitée analytiquement.

NUT1 =

(T1E

T1E − T1S − T2S ) − (T1S − T2E )

 T − T 2S ln  1E  T1S − T2E

  

soit :

NUT1 =

T1E − T1S T − T1S = 1E [T1 − T2 ]lm ∆Tlm

où :

∆Tlm représente la valeur logarithmique moyenne du potentiel moteur du transfert, c-à-d l’écart entre les températures T1 et T2 : ∆Tlm =

(T1E − T2S ) − (T1S − T2E )  (T − T2S )  ln 1E   (T1S − T2E ) 

L’équation :

NUT1 =

T1E − T1S U A = Q1 ∆Tlm

peut être utilisée pour dimensionner l’échangeur de chaleur, c-à-d déterminer sa surface d’échange A :

A =

Q1 T1E − T1S U ∆Tlm

A est une fonction : −

des quatre températures d’entrée-sortie ( T1E , T1S , T2E , T2S ) ;

−

du débit capacitif Q1 (kW/K) ;

−

du coefficient global de transfert de chaleur U (kW/m2 K).

L’utilisation de cette équation de dimensionnement s’appelle la méthode du ∆Tlm (LMTD : Logarithmic Mean Temperature Difference) L’utilisation de cette équation suppose que les quatre températures d’entrée-sortie soient connues. Si tel n’est pas le cas (par exemple, si seules les températures d’entrée sont connues95), une méthode de résolution itérative doit être utilisée. 95

Dans ce cas, la surface A de l’échangeur doit être connue : il s’agit alors d’un problème de simulation d’une unité existante.

109

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Chapitre III

Dans ce cas, il est préférable d’utiliser une méthode mieux adaptée à la simulation, appelée méthode de l’efficacité-NUT ( ε − NUT ). Cette méthode repose sur la définition de l’efficacité ε d’un échangeur et sur sa relation avec le nombre d’unités de transfert. Elle se définit généralement par rapport au fluide qui a le débit capacitif minimum96. L’efficacité ε mesure le rapport entre la variation entrée-sortie de température et la variation maximale correspondant à l’équilibre thermodynamique :

ε=

TMIN ,E − TMIN ,S

Variation effective de température

TMIN ,S − TMAX ,E

TMIN,E

TMIN,S

TMAX,S TMAX,E

Variation de température correspondant à un équilibre entre le fluide « min » quittant la colonne et le fluide « max » y rentrant. Le nombre d’unités de transfert NUTMIN

NUTMIN =

TMIN ,E − TMIN ,S ∆Tlm

peut être exprimé en fonction de l’efficacité ε , comme cela a été développé dans le cas de l’absorption gaz-liquide.97

NUTMIN =

1 Q 1 − MIN QMAX

Q    1 − MIN ε  QMAX  ln  1− ε     

Cette relation peut être « inversée » :

  Q  exp1 − MIN  NUTMIN  − 1   QMAX  ε=  Q  Q  exp 1 − MIN  NUTMIN  − MIN  QMAX  QMAX  En choisissant de définir l’efficacité par rapport au fluide présentant le débit capacitif minimum ( QMIN QMAX < 1)98, l’efficacité ε tend toujours vers 1 lorsque NUTMIN tend vers l’infini. 96

Si Q1 < Q2 , alors QMIN = Q1 et QMAX = Q2 et vice-versa. Voir le calcul de EG dans un contacteur gaz-liquide continu (chapitre 2). 98 Cette situation correspond au cas r > 1 en absorption gaz-liquide. 97

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Chapitre III

L’évolution de l’efficacité ε en fonction du nombre d’unités de transfert NUTMIN illustrée à la figure suivante.

est

Efficacité d’un échangeur de chaleur à contre-courant.

L’équation et le graphique ci-dessus permettent de simuler le fonctionnement d’un échangeur de surface A connue et dont on a fixé les conditions opératoires (Q1 , Q2 , U) et les températures d’entrée (TMIN,E , TMAX,E ) La connaissance de l’efficacité ε

ε=

TMIN ,E − TMIN ,S TMIN ,E − TMAX ,E

et de la relation QMIN (TMIN ,S − TMIN ,E ) = QMAX (TMAX ,E − TMAX ,S ) permet en effet de déterminer les températures de sortie (TMIN,S , TMAX,S ). On observe sur le graphique ci-dessus que l’efficacité d’un échangeur augmente lorsque le nombre d’unités de transfert NUTMIN augmente et/ou lorsque le rapport QMIN QMAX → 0 . Lorsque QMIN QMAX = 0 , la relation donnant l’efficacité ε en fonction de NUTMIN se simplifie :

ε=

exp ( NUTMIN ) − 1 exp ( NUTMIN )

= 1 − exp ( −NUTMIN )

Cette situation est rencontrée lorsque QMAX = ∞, c-à-d lorsque l’un des deux fluides est en changement de phase. 111

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B. EXTENSION À D’AUTRE CONFIGURATIONS D’ÉCOULEMENT Dès que la configuration d’écoulement des deux fluides s’écarte de l’écoulement parallèle à contre-courant, les conditions d’intégration des équations de bilan de chaleur sont modifiées et les solutions analytiques présentées ci-dessus ne sont plus valables. Les méthodes utilisées pour corriger ces équations seront vues plus loin (point C.). Il existe cependant des situations où il est possible de s’affranchir de la configuration d’écoulement des fluides : lorsque la température d’un des deux fluides reste constante. Dans ce cas, le potentiel local de transfert de chaleur T1 − T2 ne dépend pas de la position relative d’un fluide par rapport à l’autre et, donc, de leur configuration d’écoulement. Cette situation est rencontrée lorsque : −

un des fluides est parfaitement mélangé

T1E

T1 –T2

T1S T2S

T2E −

un des fluides est en changement de phase : température constante99

(a) :

Vapeur en condensation

(b) :

Liquide en évaporation

99

Dans ce cas, le fluide ayant le débit capacitif le plus élevé est le fluide en changement de phase : QMAX = ∞.

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C. CONFIGURATIONS QUELCONQUES D’ÉCOULEMENT Beaucoup de configurations d’écoulements des fluides rencontrées dans les applications industrielles d’échangeur s’écartent considérablement de l’écoulement parallèle à contrecourant. Elles ne peuvent donc être décrites par les équations vues ci-dessus. Il s’agit en particulier de : −

L’écoulement à multiple passe

−

L’écoulement croisé

L’expression et l’intégration des équations différentielles de bilan de chaleur doivent alors être reprises en tenant compte de la réalité de ces écoulements. Une méthode classique consiste à déterminer un facteur correctif Y modifiant la valeur moyenne du potentiel moteur de transfert :

∆Tm = Y ∆Tlm ∆Tm représente la valeur moyenne du potentiel moteur de transfert pour une configuration particulière d’écoulement des fluides. ∆Tlm représente la valeur logarithmique moyenne du potentiel moteur de transfert pour une configuration d’écoulement parallèle à contre-courant. Cette correction s’applique particulièrement bien à la méthode dite du ∆Tlm (LMTD) utilisée pour dimensionner l’échangeur de chaleur. La surface d’échange A est déterminée par :

A =

Q1 T1E − T1S Q1 T1E − T1S Acc = = U U Y ∆Tlm Y ∆Tm

La correction revient donc à diviser la surface d’échange requise pour un écoulement parallèle à contre-courant (Acc) par le facteur correctif Y. La pratique montre que ce facteur correctif Y est toujours inférieur à 1 : la correction revient donc à accroître la surface d’échange nécessaire pour atteindre les performances souhaitées.

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Chapitre III

Ce facteur correctif peut être déterminé analytiquement ou numériquement pour quelques configurations d’écoulement. Il est corrélé à deux grandeurs adimensionnelles R et S reliées aux températures entréesortie de l’échangeur.

R=

T1E − T1S T 2S − T 2 E

et S =

T2S − T2E T1E − T2E

On note que : −

R = 0 lorsque T1E = T1S (fluide 1 à température constante),

−

S = 0 lorsque T2E = T2S (fluide 2 à température constante),

−

R = Q2 Q1 .

Les cas des échangeurs à tube et calandre100 Le calcul de la relation en Y d’une part, et R et S d’autre part, devient de plus en plus lourd au fur et à mesure que la configuration d’écoulement se complexifie. Pour des configurations relativement simple, par exemple le cas de deux passes côté tube – une passe côté calandre, telle qu’illustré ci-dessous,une solution analytique existe :

( R + 1)ln 11−−RSS  Y=   (R − 1) ln 2 − S (R + 1 − R + 1)  2

2

 2 − S (R + 1) + R 2 + 1   

Pour les cas plus complexes, des solutions numériques et leurs représentations graphiques peuvent être utilisées.

100

Par convention, dans les échangeurs à tubes et calendre, le fluide 1 circule du côté calendre et le fluide 2 circule du côté tubes.

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1 passe côté calandre et 2 n passes côté tubes

2 passes côté calandre et 4 n passes côté tubes

115

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Chapitre III

Les cas des échangeurs à courants croisés On applique la même méthode que pour le cas des échangeurs à tubes et calandre. La valeur du coefficient Y est fonction : −

des caractéristiques d’écoulement (une ou plusieurs passes) et,

−

des valeurs des paramètres R et S liées aux températures d’entrée-sortie.

On distingue différents types de relations et, donc, de graphiques, selon l’état de mélange des fluides101, par exemple : Fluides 1 et 2 non mélangés

Fluide 1 mélangé et fluide 2 non mélangé

Fluides 1 et 2 non mélangé

101

Il s’agit de l’état de mélange « transversal » entre veines fluides parcourant l’échangeur.

116

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Chapitre III

Fluide 1 mélangé et fluide 2 non mélangé

Remarque générale Quelque soit la configuration des échangeurs de chaleur considérée ci-dessus, on constate que le facteur correctif augmente lorsque R et/ou S diminue(nt). En particulier, si un des deux fluides subit un changement de phase : −

T1E = T1S

→ T1E − T1S = 0

−

T2 E = T2 S

→ T 2 E − T 2S = 0

→ →

R =0 S=0

Dans les deux cas, le facteur correctif Y est alors égal à 1.102 La méthode de simulation, appelée méthode de l’efficacité-NUT ( ε − NUT ) se prête mal à l’utilisation du facteur correctif Y. Le calcul du facteur Y implique en effet la connaissance des 4 températures entrée-sortie alors que la méthode ε − NUT se fait au départ de la connaissance du nombre d’unités de transfert (surface d’échange et coefficient de transfert connus). Il serait alors nécessaire d’utiliser une méthode de résolution itérative au départ de valeurs initiales de températures inconnues (températures de sortie). Il est dans ce cas préférable d’avoir recours à des relations (analytiques ou numériques) permettant de calculer l’efficacité ε pour toute une série de configurations d’écoulement.

102

Ceci est un cas particulier et une confirmation de la constatation faite au point B de ce chapitre.

117

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Chapitre III

Le tableau suivant présente quelques exemples de ces relations pour quelques configurations parmi les plus couramment rencontrées

Configuration d’écoulement

Relation

Parallèle contre-courant

Tubes et calandre 1 passe côté calandre et 2 n passes côté tubes

  Q  exp1 − MIN  NUTMIN  − 1   QMAX  ε=  Q  Q  exp 1 − MIN  NUTMIN  − MIN  QMAX  QMAX 

   Q  Q2 ε = 2 1 + MIN + 1 + 2MIN  QMAX  QMAX  

   

1/ 2

1/ 2 2     QmIN 1 + exp − NUTMIN 1 + 2      QMAX     1/ 2 2      Q 1 − exp NUTMUN 1 + 2MIN      QMAX   

−1

Courant croisé (1 passe) Fluides 1 et 2 non mélangés

 QMAX

ε = 1 − exp 

 QMIN

Courant croisé (1 passe) Fluide min non mélangé

ε=

QMAX QMIN

   QMIN 022 0,78   − 1  NUTMIN NUTMIN exp −     QMAX 

   QMIN (1 − exp(− NUTMIN ))  1 − exp −   QMAX 

Fluide max mélangé Courant croisé (1 passe) Fluide min mélangé Fluide max non mélangé

 QMAX     QMIN NUTMIN   1 − exp −  QMIN     QMAX

ε = 1 − exp 

Ces expressions (et d’autres) peuvent être représentées graphiquement. Quelques exemples sont représentés ci-dessous103.

103

Voir, à titre de comparaison, la figure correspondant au contre-courant parallèle

118

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Echangeur tubes et calandre :1 passe côté calandre et 2 n passes côté tubes

Echangeur à courant croisé (1 passe) : fluides 1 et 2 non mélangés

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Chapitre III

Echangeur à courant croisé (1 passe) : 1 fluide mélangé et 1 fluide non mélangé

Les courbes continues correspondent au cas ou le fluide de débit capacitif minimum QMIN est mélangé, alors que les courbes en pointillés correspondent à la situation contraire, c.à.d. au cas ou le fluide de débit capacitif maximum QMAX est mélangé.

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