│EC│ ARITMETICA COMPLETO CEPRE SM 2016-I
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Descripción: jbj...
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética Semana Nº 1 LÓGICA PROPOSICIONAL TABLAS DE VALORES DE VERDAD 1)
2)
Negación. Se denota mediante el símbolo “~” y se lee “no es cierto que …” o “es falso que … ”. p
~p
V F
F V
Conjunción ( y, pero, a la vez, …) p q
4)
5)
pq
Disyunción fuerte (O … o …) pq
pΔq
VV VF FV FF
F V V F
Condicional (Si … entonces …) p q
V V F F
3)
V F V F
V F F F
Disyunción débil (o) p q
V V F F 6)
V F V F
Semana Nº1
V F V F
pq V V V F
V F V V
Bicondicional (… sí y solo sí …) pq
V V F F
p q
VV VF FV FF
(Prohibida su reproducción y venta)
pq V F F V
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Ciclo Ordinario 2016-I
PRINCIPALES EQUIVALENCIAS E IMPLICANCIAS LÓGICAS (LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL) 1)
Involución o Doble Negación ~ (~ p) ≡ p
2)
Idempotencia a) (p p) ≡ p b) (p p) ≡ p
3)
Conmutativa a) (p q) ≡ (q p) b) (p q) ≡ (q p)
4)
Asociativa a) [(p q) r] ≡ [p (q r)] b) [(p q) r] ≡ [p (q r)]
5)
Distributiva a) [(p q) r] ≡ [(p r) v (q r)] b) [(p q) r] ≡ [(p r) (q r)]
6)
Leyes de De Morgan a) ~ (p q) ≡ (~ p ~ q) b) ~ (p q) ≡ (~ p ~ q)
7)
Ley de la Identidad a) (p V) ≡ p c) (p V) ≡ V
8)
b) (p F) ≡ F d) (p F) ≡ p
Ley del Complemento a) (p ~ p) ≡ F
9)
b) (p ~ p) ≡ V
Leyes de Absorción a) b) c) d)
[p (p q)] ≡ p [p (p v q)] ≡ p [p (~ p q)] ≡ (p q) [p (~ p v q)] ≡ (p q)
10) Ley de La Condicional Semana Nº1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016-I
a) p q ≡ ~ p q b) ~ (p q) ≡ p ~ q 11) Ley de La Contrarrecíproca pq≡~q~p 12) Ley de La Bicondicional a) b) c) d)
(p q) ≡ [(p q) (q p)] (p q) ≡ [(~ p q) (~ q p)] (p q) ≡ [(~ p ~ q) v (p q)] (p q) ≡ [~ (p q) v (p q)]
13) Ley de la Disyunción Fuerte a) p Δ q ≡ ~ (p q) ≡ (~ p q) b) p Δ q ≡ (p v q) ~ (p q) c) p Δ V ≡ ~ p
Semana Nº1
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE N° 1 1.
Dadas las proposiciones atómicas: p: Raquel hará un viaje. q: Raquel se matricula en la UNMSM. r: Raquel estudiará todo el verano. s: Raquel alcanza vacante por la CEPREUNMSM. Escribe en forma simbólica las siguientes proposiciones: I)
Raquel no estudiará durante todo el verano si alcanza vacante por la CEPREUNMSM. II) Si Raquel alcanza vacante por la CEPREUNMSM, hará un viaje y si no, estudiará durante todo el verano. III) Raquel no hará un viaje si no alcanza vacante por la CEPREUNMSM. IV) Raquel no irá de viaje dado que se matricula a la UNMSM porque alcanza vacante por la CEPREUNMSM. Determine cuál(es) de las proposiciones es equivalente a “Raquel alcanza vacante por la CEPREUNMSM y no se matricula en la UNMSM, ya que Raquel hará un viaje”. A) Solo IV 2.
B) I y IV
C) Solo III
E) IV y III
Se define t # u mediante la tabla t V V F F
u V F V F
Halle la conclusión de la proposición A) FVFV 3.
D) IV y II
B) VVVV
t # u V V F V [(t #u)]( t #u)]
C) FFVF
D) VFFF
E) FVFF
Sí P(x) : x 2 7, Q(x) : x 2 3x 4 , halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. [(P(2)P(5)) (Q(4) Q(5))] II. [(Q(-1)P(3)) (Q(5)P(4))] III. [Q(2) P(5)]P(5) P(6) A) VFV
4.
B) FVV
C) VVF
D) VVV
E) VFF
¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías? i) ( p p) r iii) (p q) q A) i y ii
Semana Nº 1
ii) (p q) (q p)
B) Solo ii
C) Solo iii
D) Solo ii y iii
(Prohibida su reproducción y venta)
E) i
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Si las siguientes proposiciones P (u q) y Q ( q t) (q u) son falsas, determine el valor de verdad de q, u y t, en el orden indicado. A) FVV
6.
8.
C) FVF
D) FFV
E) VVV
B) p p
C) p
D) q q
E) p q
Si el esquema molecular (q r) {(p q) (r r)} es verdadera, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicado. I) p q
II) q r
III) q r
A) FVF
B) VFV
C) VVV
D) VVF
E) VFF
D) p r
E) q p
Simplifique [ p (p q)] [ q (q r)] . A) p q
9.
B) VFV
Si p q (p q) q , halle una proposición equivalente a la proposición compuesta (p q) (q p) . A) q
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) p r
C) p r
Simplifique la proposición [ q q) ( p q)] (q p) . A) ( p q ) B) q p
C) p
D) p q
10. Si la proposición [( p q) (t q)] [( p q) (q el valor de verdad de p, q y t respectivamente. A) VVF
B) VFV
C) FVV
E) q
p) es verdadera, determine
D) VVV
E) VFF
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 1 1.
Dadas las proposiciones p: José postula a San Marcos, q: José postula a otra universidad, t: José es un buen futbolista. Halle la expresión simbólica del siguiente enunciado: “Si José decide no postular, entonces sería un buen futbolista, pero si José no es un buen futbolista, entonces postulará a alguna universidad”. A) ( (p q) t) (t (p q))
B) ( ( p q ) t ) ( t ( p q ) )
C) ( ( p q ) t ) ( t ( p q ) )
D) ( ( p q ) t) ( t ( p q ) )
E) ( ( p q ) t ) ( t ( p q ) )
2.
Si la proposición (p q) (q t) es verdadera, halle el valor de verdad de: I) (p q) t A) FVV
Semana Nº 1
B) VVF
II) p [ q (p q)] t
III) (p q) t
C) VFV
E) FFF
D) VFF
(Prohibida su reproducción y venta)
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Ciclo Ordinario 2016-I
De las siguientes proposiciones: I. [ ( r t ) s] ( r s ) II. ( r t) (s r) III. (r s) ( s t) ¿Cuál(es) son equivalentes a la proposición [(s t ) ( r s ) ] A) Solo III
4.
B) I y III
D) II y III
E) Solo I
D) p
E) q
Simplifique p (p q) [ (p q) (p q) ]. A) p q
5.
C) I y II
B) p q
C) q
Si P(x): x2 = 36, Q(x): x – 3 = 5 y R(x): x – 2 > 7, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. [(P(2) P(1)) (R(8) Q(1))] II. [(Q(2) P(6)) (P(2) Q(5))] III. [R(9) Q(2)] P(6) A) VFV
6.
B) VVF
B) q p
B) FVF
C) p
D) q q
E) p q
C) FFV
D) FVV
E) FFF
Si la proposición (p q) ( p Δ t ) es verdadera, halle el valor de verdad de p, q y t en el orden indicado. A) VFF
9.
E) VFF
Si la proposición (p q) v ( q t ) es falsa, halle el valor de verdad de p, q y t en el orden indicado. A) VFF
8.
D) VVV
Si p q ≡ (p q) ( q p), halle una proposición equivalente a la proposición compuesta [ ( p q ) ( q p ) ] [ ( p q ) ] A) q
7.
C) FFF
B) FVF
C) FFV
D) FVV
E) FFF
Si las siguientes proposiciones M = (p q) (~ p v t) y N = (q ~ p) son falsas, determine el valor de verdad de p, q y t en el orden indicado. A) VVF
B) VFV
C) VFF
D) FVV
10. Dadas las siguientes equivalencias lógicas: simplifique A) q
Semana Nº 1
q p ( r s )
B) p v q
p C) p
E) VVV
p qpq
y
p q q D) q
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pq p q
E) p
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA Nº 2 TEORÍA DE CONJUNTOS La palabra conjunto es un término no definido; sin embargo, dicha palabra nos da la idea de una colección de objetos que tienen una característica común. Nombre del conjunto
M = { 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 } Elementos del conjunto
Relación de Pertenencia (): Elemento Ejemplo: 7 M, 13 M, 19 M,
Conjunto
4 M, 8 M.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Por Extensión: Cuando se da una Por Comprensión: Cuando se da una propiedad que lista que comprende a todos los caracteriza e todos los elementos del conjunto. elementos del conjunto. A = { a; e; i; o; u }
A = { x/ x es una vocal }
B = { 0; 2; 4; 6; 8 }
B = { x/ x es un número par menor que 10 }
C = { c; o; n; j; u; t; s }
C = { x/ x es una letra de la palabra conjuntos }
Cardinal de un Conjunto card(M); n(M); #(M) : Es el número de elementos diferentes de un conjunto. Ejemplo: Si el conjunto M tiene 8 elementos,
entonces
n(M) = 8
Clases de Conjuntos Conjunto Vacío ( ): Es aquel conjunto que carece de elementos.
Semana Nº 2
Conjunto Unitario: Es aquel conjunto que
(Prohibida su reproducción y venta)
Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que sirve
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Ciclo Ordinario 2016-I
tiene un solo elemento.
A = { x / x es un día de 90 horas }
de referencia a otros conjuntos incluidos en él.
U = { seres humanos }
B = {xZ / 2x = 6}
Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Relación entre Conjuntos Relación de Inclusión ( ): Conjunto
Conjunto
(x) [ xA
A B Ejemplo: Si M = {1; 2; 3}
entonces: {1} M ;
xB]
{1; 2} M ;
MM ;
ΦM
El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. Todo conjunto está incluido en sí mismo. Relación de Igualdad : (=) Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Relación de Subconjunto Propio: Se dice que A es un subconjunto propio de B si A esta incluido en B, pero no es igual a B. Conjunto Potencia P(M): Es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto M. Ejemplo: M = {1; 2; 3}
P (M) = { {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; M;
}
#[ P (M) ] = 2#(M) Nota:
# [P (M)] = 23 = 8 elementos # [subconjuntos propios (M)] = 2#(M)1
Subconjuntos propios de M : {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; Φ Producto Cartesiano Si
A= { 1; 2; 3 }
y
B = { 4; 5 }
, entonces el producto cartesiano
AxB = { (1;4) ; (1;5); (2;4); (2;5); (3;4); (3;5) }
y
BxA = { (4;1) ; (4;2); (4;3); (5;1); (5;2); (5;3) } n(AxB) = n(A) . n(B) Semana Nº 2
.
Así
n(AxB) = 3 .2 = 6
y
(Prohibida su reproducción y venta)
n(BxA) = 2.3 = 6 Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE Nº 2 1.
Sea M ,x,y ; determine cuántas de las proposiciones son falsas: I. P(M)
II. P(M)
III. P(M)
IV. P(M)
V. P(M)
VI. P(M)
A) 1 2.
B) 2
D) 4
E) 5
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado: I. Si 𝑀 = {𝑥 ∈ 𝑍; II. Si 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑁; III. Si 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; IV.Si 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; A) VVFF
3.
C) 3
(𝑥 2 − 3)(𝑥 2 − 4) = 0} 𝑦 𝑇 = {−2; 2} entonces 𝑀 = 𝑇. 𝑥(𝑥 2 − 𝑥 − 6) = 0} 𝑦 𝑄 = {−2; 0; 3} entonces 𝑃 = 𝑄. 𝑥 ≠ 𝑥} entonces 𝐿 = ∅. 𝑥 + 5 = 5} entonces 𝑆 = ∅.
B) FVFV
C) VFFV
D) VFVF
Los conjuntos 𝑀 = { 𝑥; 2𝑦 − 1 } 𝑦 𝑇 = { 5;
7𝑦+1 3
E) FFVV
} son conjuntos unitarios.
Si 𝐿 = { 𝑥𝑦; 𝑥 𝑦 ; 2𝑥 + 3𝑦; 2𝑥 }, y si además los valores de x e y son los mismos en los tres conjuntos, halle 𝑛(𝑃(𝐿)). A) 4 4.
B) 120
D) 1
C) 83
Sea el conjunto 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝑅; A) 4
6.
C) 8
E) 5
Dados los conjuntos 𝑀 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝑍 ˄ 8 < 𝑥 ≤ 12} 𝑦 𝑃 = {𝑦 + 2; 𝑦 ∈ 𝑍 ˄ √𝑦 + 5 ∈ 𝑀}. Halle la suma de los elementos del conjunto P. A) 124
5.
B) 2
B) 2
Sean M x 1 Z /
𝑥+2
2
D) 134
E) 116
2
+ 1−𝑥 = 1−𝑥 2 }. Determine el valor de 𝑛[𝑃(𝑃(𝐿))]. 𝑥+1 C) 3
x 2 1 0 x 2 4
D) 1 y
E) 5
T x M / x 2 x 1 .
Halle el número de subconjuntos no unitarios de T. A) 4 7.
B) 2
C) 3
D) 1
E) 5
Sean los conjuntos M a 1; b 2; c 3;...; j 10 y N a 3; b 4; c 5;...; j 12 donde M es un conjunto unitario. Calcule P(M) + P(N). A) 3
8.
B) 2
C) 4
D) 1
E) 5
Si 𝑛(𝐿) = 256, 𝐿 = {𝑥/𝑥 ⊂ 𝑀} 𝑦 𝑀 = {𝑥/𝑥 ⊂ 𝑆}, halle el número de subconjuntos propios de S. A) 4
Semana Nº 2
B) 2
C) 3
D) 7
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 5 Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.
Ciclo Ordinario 2016-I
Si el conjunto M tiene 36 subconjuntos entre binarios y unitarios, determine el número de subconjuntos propios de M. A) 511
B) 255
C) 127
D) 63
E) 1023
10. Si el conjunto M tiene 2(n-1) elementos y 3(n2+5) subconjuntos no vacíos, ¿cuántos subconjuntos no unitarios tiene M? A) 4
B) 2
C) 3
D) 12
E) 5
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 2 1.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado. 4𝑥+3
I) Si 𝑇 = {𝑥 ∈ 𝑍; 3 = 5} , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇 = {3; 3} II) Si 𝑛(𝑀) = 4, entonces el número de subconjuntos binarios de M es 6. III) {3; 9} ⊂ {𝑥 ∈ 𝑅; 3𝑥 = 𝑥 3 } A) FVV 2.
E) VFV
B) 2
C) 3
D) 4
E) 0
Sean los conjuntos M = { 2 ; 5 ; 3 } y N = { 3; {2 ; 5} }, determine cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I) ( M ≠ N ) ( card(N) = 3 ) II) P(M)P(N) III) M y N son comparables. A) Solo I y II
B) Solo I
Si los conjuntos L = { de (yX). A) 64
5.
D) FFF
Para todo x ∈ U, si x ∈ M, entonces x ∈ N Para todo x ∈ U, si x ∉ N, entonces x ∉ M Hay algún x ∈ U tal que x ∈ N y x ∉ M Para todo x ∈ U, x ∈ M o x ∉ N
A) 1
4.
C) VVV
Sean M y N subconjuntos de U. Si 𝑀 ⊂ 𝑁, ( M ≠ N ), ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) II) III) IV)
3.
B) VVF
C) Solo I y III
C) 16 𝑥+1
Sean los conjuntos 𝑀 = {
A) 10
Semana Nº 2
B) 6
E) I, II y III.
x 3 2 ; y – 5 } y M = { 3 – y; 5} son iguales, determine el valor
B) 4
Determine 𝑛(𝑀). 𝑛(𝑁).
D) Solo II y III
3
D) 2
E) 32 𝑥+1
∈ 𝑍 + ; −1 < 𝑥 ≤ 6} 𝑦 𝑁 = {
C) 8
3
D) 12
(Prohibida su reproducción y venta)
; 𝑥 ∈ 𝑍 + ˄ − 1 < 𝑥 ≤ 6}.
E) 14
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.
Ciclo Ordinario 2016-I
Sean los conjuntos M = {x3+1 / x Z ʌ 0 ≤ x < 5} y T = { x3 1 / 0 x < 5 }. Determine la cantidad de elementos enteros de T que no pertenecen a M. A) 121
7.
B) 122
C) 120
D) 119
E) 115
Sean los conjuntos 3x 1 3x 1 2x 1 Z / 2 x 5 y T / x Z x 9 M Z / x Z x 9 , L 4 4 . 5
Halle [ n (L) + n(T) + n (M) ] A) 14 8.
B) 12
C) 13
D) 11
E) 15
Sean los conjuntos M x / x Z 2 x 5 y N X M / X . Calcule el valor de n(N). A) 15
9.
B) 31
C) 63
D) 127
E) 7
Si un conjunto tiene nueve elementos, halle la cantidad de subconjuntos no binarios y no unitarios que tiene dicho conjunto. A) 227
B) 674
C) 467
D) 256
E) 476
10. Sean los conjuntos: 𝑥+4
𝑀 = {2𝑥; 𝑥 ∈ 𝑁 ˄ 𝑥 < 6 }, 𝑇 = { Halle #(𝑃(𝐻)) A) 64
Semana Nº 2
B) 32
2
2𝑦+1
; 𝑥∈𝑀} 𝑦 𝐻={
C) 16
5
D) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
∈ 𝑍; 𝑦 ∈ 𝑇 }.
E) 8
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética Operaciones con Conjuntos Intersección de Conjuntos
Unión de Conjuntos
A
A
B
A U B = { x / xA xB }
A
B
A ∩ B = { x / xA xB }
Diferencia Simétrica de Conjuntos A
Diferencia de Conjuntos
B
A – B = { x / xA xB }
Complemento de un Conjunto U
B A
C (A) = Al = U – A
A Δ B = (A – B) U (B – A)
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Idempotencia
Semana Nº 3
Conmutativa
(Prohibida su reproducción y venta)
Asociativa
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Ciclo Ordinario 2016-I
AUA=A A∩A=A
AUB=BUA A ∩B=B∩A
Distributiva
De Morgan
Del Complemento
AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
C (AUB) = C (A)∩C (B) C (A∩B) = C (A)UC (B)
AUC (A)=U A∩C (A)= Φ C [C(A)] = A
Absorción
Adicional
AU(A∩B) = A A∩(AUB) = A A U [C (A) ∩ B] = A U B A ∩ [C (A) U B] = A ∩ B
A – B = A ∩ C (B) C (U) = Φ C (Φ) = U
De la Unidad
AUU=U AUΦ=A
A∩U=A A∩Φ=Φ
(AUB)UC = AU(BUC) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
Producto Cartesiano: AxB = { (a; b) / a A b B } Notación: MxM = M2 Nota: #(A x B) = #(A) x #(B) Nota: Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, entonces: #(AUB) = #(A) + #(B) #(A∩B)
#(AUBUC) = #(A) + #(B) + #(C) #(A∩B) #(A∩C) #(B∩C) + #(A∩B∩C)
Diagrama De Venn Euler Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre esas cuatro paredes. Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro.
1.
De 320 deportistas que solamente practican fútbol, natación o vóley, se sabe que 13 practican fútbol y natación, 15 practican vóley y natación, 5 practican los tres deportes, 160 practican vóley, 86 solamente fútbol y 250 practican fútbol o natación. ¿Cuántos deportistas practican únicamente vóley?
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016-I
Resolución: -
250 practican fútbol o natación, entonces: F
86 + 8 + 5 + 10 + x + z = 250 V (160) z
86
x + z = 141
145-z 5
8
10 x N
320 -
El total de deportistas es 320, entonces: 160 + 86 + 8 + x = 320 x = 66 Luego: 66 + z = 141 z = 75 Solo practican vóley = 145 – z = 70 Diagrama de Lewis Carroll Un diagrama de Carroll es un diagrama rectangular utilizado mayormente para conjuntos disjuntos cuya unión comprende la totalidad de los elementos. Son llamados así en alusión a Lewis Carroll, el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, el famoso autor de Alicia en el País de las Maravillas quien era también matemático.
2.
En una aula de 70 personas, se sabe que - 25 mujeres tenían USB. - 35 hombres no tenían USB. Si el número de hombres que tenían USB es la cuarta parte del número de mujeres que no tenían USB, ¿cuántas personas no tenían USB? Resolución:
USB No USB
Hombre x 35
Mujer 25 4x
x + 25 35 + 4x 70
x + 25 + 35 + 4x = 70 5x = 10, luego x = 2 No tienen USB = 35 + 4x
No tenían USB 43 personas.
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE Nº 3 1.
Sean los conjuntos M x
/ (x 3 x 2 2x)(x 2 9) 0
G x
/ (x 3 8)(x 3 6x) 0
F x
/(2x 1)(x 3 6x 2 11x 6) 0
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) M G F 8 IV) n P ( M G ) A) 2 2.
II) n(M F ) 9 V) n(M F ) 2
B) 3
C) 4
D) 1
E) 5
D)
E) 2
Dados los conjuntos:
F
x
G
x F / 1 x 2 x G /x 0 x < 2
H
/
x 2
Halle P G - H
Sean
x 5
H - F
B) 0
A) 3.
III) (M F) (F G)
los
C) 0,
conjuntos
A,
B
y
C;
se
cumple
n(A) 19, n(B) 25, n(C) 22, n[(A B) C]=7, n[(B C) A]=8
n(AUBUC) 36, y n[(A B) C]=3.
Halle n[(AB) C] A) 7 4.
C) 8
D) 9
E) 12
Sean F y G dos conjuntos diferentes del conjunto vacío. Simplifique F U G (F G) U (F G) A) F U G
5.
B) 10
B) G - F
C) F - G
D) F U G
Si M = {1, 2, 3, 4, 5}, N = {4, 5, 6, 7} y L M N U M U M N U M N la cantidad de subconjuntos propios de L.
N U M
A) 1
D) 31
Semana Nº 3
B) 3
C) 7
(Prohibida su reproducción y venta)
E) F
G
U N M U N , halle
E) 15
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.
Si los conjuntos A, B y C son no vacíos, simplifique la siguiente expresión: A B C U B C A B C A B A) A U B
7.
A
B) A
C) A – B
E) A U B
D) B – A
Sean los conjuntos no vacíos A, B y C incluidos en el universo U. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado. I)
A
II)
A B
III) A A) VVV 8.
Ciclo Ordinario 2016-I
B B
A
C A
C
BA C
B B
C
A C A
C A B
B) VVF
C) FVV
D) VFV
E) FFV
En un concurso de talentos se presentan 60 niños, de los cuales se sabe que: I. Todos los que tocan un instrumento también cantan. II. Todos los que cantan, también bailan. III. Los que cantan son el doble de los que tocan un instrumento. IV. Los que bailan son dos veces más de los que cantan. V. Los que no bailan son tantos como los que solo bailan. ¿Cuántos tocan un instrumento? A) 2
9.
B) 7
C) 5
D) 6
E) 4
De 33 deportistas, 14 practican fútbol, 13 practican vóley, 16 practican natación y 6 no practican ninguno de estos deportes. Si dos practican los tres deportes y 13 practican solo uno de estos tres deportes, ¿cuántos practican exactamente dos de los deportes mencionados? A) 13
B) 15
C) 12
D) 10
E) 14
10. De un grupo de 180 personas se sabe que 45 personas que no tienen 26 años tienen memoria USB pero no disquete, y que 40 personas que tienen 26 años no tienen memoria USB ni disquete. Si 80 personas tienen disquete, ¿cuántas personas de 26 años tienen memoria USB pero no disquete, si ellos representan la cuarta parte del total de personas que no tienen 26 años, no tienen USB ni disquete? A) 2
B) 5
C) 4
D) 6
E) 3
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 3 1.
Si M L y M W , simplifique A)
Semana Nº 3
B) L
M
C)
W L L D) M
(Prohibida su reproducción y venta)
M W L E) W
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.
Ciclo Ordinario 2016-I
Realizada una encuesta a 950 personas sobre preferencias de los perfumes A, B y C 54 , se obtuvieron los siguientes resultados: n A B C 350 , n B n B n A n A 50 , n C 480 , n A
B C 278 .
¿Cuántos prefieren exactamente dos de los perfumes mencionados? A) 110 3.
B) 105
C) 100
Dados los conjuntos: 2x 1 F / x 5 x 10 3
3x 1
G
/ x 2 x 5, x
D) 115
E) 112
D) 38
E) 32
Halle: n F G n P G A) 33 4.
B) 37
Dados los conjuntos A y B diferentes del vacío, simplifique: A B B A A B .
A) A 5.
C) A
B) AB
B
B
D) A
B
E) A
B
Dados los conjuntos:
F x
G
2x 1 / x 1
H
x
2
/ x 2 13x 40 3x 2 0 x 6,x
1/x G x < 5
Halle n F
H G
A) 4 6.
C) 35
B) 3
C) 1
D) 2
E) 0
Sean A y B dos conjuntos no nulos contenidos en el conjunto universal. Si A - B B-A A B , ¿cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? I) A = A - B II) B = B - A III) A B IV) A A V) A B A) 3
Semana Nº 3
A
B B) 2
C) 1
D) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 0
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Dados los conjuntos no nulos A, B y D, se tiene A B , n A D 0, D B n 6, n A A 17, n B 22, n(D) Calcule n BD n A A) 7
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 5
B D 30.
B.
C) 8
D) 4
E) 9
Dados los conjuntos no nulos A , B y C se tiene
C=, n B C B 10 A C 8, n B A C 14, n A Halle n A B C A
A) 24 9.
B) 30
C) 28
D) 25
E) 32
En una fiesta donde asistieron 80 personas, se observa que el número de hombres es igual al número de mujeres solteras. Hay 18 hombres solteros y menos de 24 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son casadas, si entre estas hay menos de 12 hombres? A) 25
B) 28
C) 33
D) 30
E) 29
10. En un grupo de personas se observa que 32 de ellas trabajan, 62 son mujeres, de las cuales 11 solamente estudian; de los varones 40 estudian o trabajan y 18 no estudian ni trabajan. Si 33 varones no trabajan, ¿cuántas mujeres no estudian, ni trabajan? A) 28
Semana Nº 3
B) 44
C) 43
D) 35
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 29
Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016 -I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA Nº 04 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Número Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. La representación simbólica de un número recibe el nombre de numeral. Una cifra es aquel símbolo que se utiliza para la formación de numerales. Principios fundamentales de la numeración Del orden Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado un orden, de derecha a izquierda. De la base Es un numeral mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un orden cualquiera son necesarias, para formar una unidad del orden siguiente. De la cifra Toda cifra que conforma un numeral es menor que la base. El número de cifras posibles, que se puede utilizar en cierta base, es igual a la base. Observación A mayor numeral aparente, le corresponde menor base y a menor numeral aparente mayor base. Ejemplo. Si 124(k) = 43(n) entonces k < n. A continuación presentamos algunos sistemas de numeración: Base 2 3 4 5 6
Nombre del sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario
Cifras utilizables 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5
En un sistema de numeración de base “n” se tiene que las cifras son 0; 1; 2; 3; …; (n – 1) y la representación literal de un numeral está dado por:
abc( n) ; aabaa( n) ;
n 1 n 1n , etc.
Número capicúa Un numeral capicúa es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016 -I
Ejemplos.: aba ; aaaa; abba; etc. son numerales capicúas. Cambio de base De base diferente de diez a base diez. Mediante descomposición polinómica: 345(7) = 3×72 + 4×7 + 5 = 147 + 28 + 5 = 180, luego 345(7) =180 2104(5) = 2×53 + 1×52 + 0×5 + 4 = 279, luego 2104(5) = 279 De base diez a base diferente de diez. Mediante divisiones sucesivas: 125 a base 6 125 6 5 20 6 2 3
luego 125 = 325(6)
De base diferente de diez a base diferente de diez.
Primero se convierte a base 10 mediante descomposición polinómica y luego a la base deseada mediante divisiones sucesivas. Otros casos:
De base n a base nk.
Se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden. A cada grupo, se le descompone polinómicamente y el resultado será una cifra en base nk. Ejemplo. Convertir 2101121(3) a base 9. Como 9 = 32 , se forman grupos de 2 cifras: 2 2 2
| | |
10 1x3+0 3
| | |
11 1x3+1 4
| | |
21 2x3+1 7
(3) (9)
Luego 2101121(3) = 2347(9)
De base nk a base n
Cada cifra del numeral en base nk, genera un grupo de k cifras en base n, mediante divisiones sucesivas. Ejemplo. Convertir 2345(8) a base 2 Como 8 = 23 , cada cifra genera un grupo de 3 cifras: 2 | 3 | 4 | 5 010 | 011 | 100 | 101
(8) (2)
5=101(2) 3=011(2)
; ;
4 = 100(2) 2 = 010(2)
; .
Luego 2345(8) = 10011100101(2)
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016 -I
Observación:
1a1a
i)
n k.a
.. . 1a ( n )
k veces
a1a1
ii)
ak 1 a .n a 1 k
.. . a1( n )
k veces
ab
iii) k
a k 1 a .n b a 1 k
ab.. . veces ab ( n )
COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número natural N, denotado por CA(N), es la cantidad que le falta a N para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. En general, el complemento aritmético de a1......ak ( b ) está definido como:
CA a 1......ak ( b ) 1000...000
(b)
(k 1) cifras
a 1......ak ( b )
CA (576) = 1000 – 576 = 424. CA( 341(5)) = 1000(5) – 341(5) = 104(5) EJERCICIOS DE CLASE Nº 4 1.
José reparte 1334 ( n ) monedas entre sus tres hijos, dando 231 ( n ) al primero, 122 ( n ) al segundo y 431 ( n ) al tercero. Determine el valor de n. A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
2.
Si (m 2)(m 1) m (4) = mnpqrs (2) , halle el valor de (m + n + p + q + r + s).
3.
A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 2 Un padre le dice a su hijo que le dará de propina S/. m n 3 n , además le dice que
m m n 2 nn . Si el hijo recibió la propina y luego gastó S/.24, ¿cuánto dinero le quedó? m 2m n
A) S/. 46
Semana Nº 4
B) S/. 68
C) S/. 32
D) S/. 52
(Prohibida su reproducción y venta)
E) S/. 64
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.
Si (2t 1) t(t 1)(t 2)(t 3) A) 8
5.
8 mnpxyzqr 4 , halle el valor de (m + x + r).
B) 9
C) 6
D) 5
E) 4
Si el mayor número de tres cifras del sistema de base n se escribe en el sistema quinario como 4021, halle el valor de n. A) 7
6.
Ciclo Ordinario 2016 -I
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Si N 14641( n) 1331( n) 121( n) 1 , calcule la suma de las cifras de N expresado en base n + 1. A) 3n + 1
7.
D) 3
E) 5
B) 256
C) 232
2n
D) 222
E) 242
n
Al expresar M 14 8 16 8 20 en el sistema octanario se obtiene un numeral cuya suma de cifras es 3n – 21. ¿Cuántas cifras no significativas tiene dicho numeral? A) 19
9.
C) 4
¿Cuántos números se escriben con tres cifras en los sistemas heptanario y undecimal? A) 228
8.
B) 2n + 3
B) 20
C) 22
D) 21
E) 23
El complemento aritmético de mnpq (8) es mnp (8) , halle el complemento aritmético de
pq(8) mn(8) .
A) 3
B) 5
C) 8
D) 9
E) 7
10. Si se cumple que mnq (p) dm (p 1)(7) y además 88
2
(n )
mmmm(n) , halle el valor de
(n + p + q). A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 16
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N°4 1.
Si los siguientes numerales están escritos correctamente m23n(p) , q 21(m) , m3 p (6) , r 2r (q)
calcule el valor de (m + n + q). A) 12 2.
B) 11
C) 18
D) 15
E) 1
D) 7
E) 9
Si 531(m) 40n (7) , halle el valor de (m + n). A) 8
Semana Nº 4
B) 5
C) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Si mn m 2 p (9) m0210mm 3 , determine el valor de (m + n + p). A) 7
4.
5.
6.
B) 6
C) 5
D) 4
E) 8
Un número convertido a dos sistemas de numeración de bases pares consecutivas se escribe como 203 y 113, calcule la suma de cifras de dicho número en base 10. A) 8
B) 9
Si mp (9) q 0qq
(2 r )
A) 4
B) 9 11
C) 13
D) 12
E) 10
mn(8) rrr (2) , halle el valor de (m + p – n).
9
C) 6
D) 5
E) 7
7
Si mnpq8 2 2 2 1 , calcule el valor de (m + n + p + q). A) 7
7.
Ciclo Ordinario 2016 -I
B) 6
C) 8
D) 11
E) 5
Si el número 454545...(9) tiene 2009 cifras, determine cuántas cifras 2 se emplearán para representarlo en base tres. A) 1006
8.
C) 1002
D) 504
E) 502
Sebastián le dice a su hijo que le dará una propina, en soles, igual a la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal que para ser convertidos a la base siete solo basta duplicar cada una de sus cifras. ¿Cuánto dará de propina? A) 102
9.
B) 1004
B) 210
C) 312
D) 425
E) 624
Si M = 888887(9) y N = 148(M), halle la suma de las cifras de N en base 27. A) 8
B) 5
C) 6
D) 10
E) 12
10. Si la diferencia de un número de tres cifras con otro número de dos cifras es 60, calcule la suma de las cifras de la diferencia de sus complementos aritméticos. A) 12
Semana Nº 4
B) 15
C) 14
D) 8
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 16
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Aritmética SEMANA Nº 5
SISTEMA DE NÚMEROS ENTEROS ( ) DIVISIBILIDAD ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTERA Para los números enteros D (dividendo) y d (divisor) existen dos únicos números enteros; q (cociente) y r (residuo) tales que:
D = d.q + r; donde 0 r < d Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta, en caso contrario se dice que es inexacta. DIVISIÓN INEXACTA: DIVISIÓN ENTERA POR DEFECTO: D = d.qdef + rdef
DIVISIÓN ENTERA POR EXCESO:
D = d.qexc – rexc
Además se cumple que:
rdef + rexc = d qexc = qdef + 1 rmáx = d – 1 rmín = 1 Ejemplo: En una división entera inexacta, el dividendo es menor que 912, el cociente por exceso es 12 y el residuo es 21. ¿Cuántos valores toma el divisor? Solución qexc = 12 qdef = 11 D = d(11) + 21 < 912; 21 < d 21 < d < 81 d = 22, 23, 24 , . . . , 80. Por lo tanto # d = 59
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
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DIVISIÓN EXACTA:(Divisibilidad) Se dice que un número entero es divisible entre otro entero positivo (llamado módulo), si al dividir el primero entre el segundo, el cociente es entero y el residuo es cero. Además, se dice que el módulo es divisor o que divide al primero. Así: A es divisible por B, si y solo si existe un número entero K, tal que A = BK. PROPIEDADES o
1)
k = 0, k Z+
2)
Si
3)
Si a = k
4)
( k + r)n = k + rn ; r < k
5)
o
o
o
a= k b= k a+b= k ; o
o
an = k
o
k Z+
, n Z+, k Z+
o
o
o
a – b = k a x b = k,
, n Z+, k Z+
o
k – rn ; si n es impar, n Z+, k Z+
o
( k - r )n =
o
k + rn ; si n es par, n Z+, k Z+
6)
o
o
k + rdef = k + rexc rdef + rexc = k
Ejemplo: Halle el residuo por exceso al dividir (170512)50 por 17. Solución
(170512)50 = 17 x ( 17 2 )50 = 17 x 17 250 17 x
(24 )12 . 22 17 x (17 1)12 .4 17 x (17 1).4 17 x 17 4 17 x
17 13 17 x . Por lo tanto el residuo por exceso es 13. o
a r 7)
Si N =
o
b r
O
N = MCM(a,b,c) r
o
c r Ejemplo: ¿Cuál es el menor número que al ser dividido entre cualquiera de las cantidades 7, 6, 5, 3 o 2, deja un residuo máximo para cada divisor empleado? Solución Sea N el menor número entero positivo, del dato:
Semana Nº 5
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7 6 7 1 6 5 6 1 N 5 4 5 1 N MCM (2,3,5, 6, 7) 1 210 1 Por lo tanto el menor es 209. 3 2 3 1 2 1 2 1 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR 2 POR 3 POR 4 POR 5 POR 6 POR 7
: : : : : :
Última cifra es cero o cifra par. La suma de sus cifras es múltiplo de 3. Las dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. Última cifra es cero o 5. Es divisible por 2 y por 3. La suma de sus cifras multiplicadas de derecha a izquierda por los factores 1, 3, 2, –1, –3, –2, ... es múltiplo de 7. O
O
N a b c d e f 7 f + 3e + 2d - c - 3b - 2a = 7 -2 -3 -1 2 3 1
POR 8 : Las tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. POR 9 : La suma de sus cifras es múltiplo de 9. POR 11: Diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar menos la suma de sus cifras de lugar par es múltiplo de 11. O
O
N a b c d e f 11 (f + d + b) - (e + c + a) = 11 -1 1 -1 1 -1 1
POR 13: Cuando la suma de sus cifras multiplicadas de derecha a izquierda por los factores 1, – 3, – 4, – 1, 3, 4... es múltiplo de 13. o
f
N=abc def
3e
4d
c + 3b + 4a = 13
4 3 -1 -4 -3 1
POR 33: El número a b c d e f es divisible por 33 si ab cd ef es múltiplo de 33. POR 99: El número a b c d e f es divisible por 99 si ab cd ef es múltiplo de 99. Ejemplo:
Si 7x3yz = 55 y zx3 3 , hallar el mayor valor de (x + y). Solución: i)
Z = 5 (Obvio)
ii)
7 x 3 y 5 11
5 x3 3
;
15 ( x y ) 11 8 + x = 3
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
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2+x= 3 7 8 1 4 7 Por lo tanto x + y = 15 x y 11 4
RESTOS POTENCIALES Son los diversos residuos que se obtienen al dividir las diferentes potencias de una misma base entre un cierto número llamado módulo. Ejemplo. Calcule los restos potenciales de la base 3, respecto al módulo 5. 1
O
3 5 3 3
0 4 1 0
O
32 5 4 3 4 2 3
O
3 5 2 3
0 4 3
0
O
34 5 1 34 Luego se tienen 4 residuos diferentes: 3, 4, 2 y 1 Ejemplo: Calcule el residuo por exceso de dividir 342358954521456550 por 5. Solución o
o
o
o
o
3 42358954521456550 5 r 3 4 2 5 r 5 4 5 r rexc 1
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
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EJERCICIOS DE CLASE N° 5 1.
Si en una división inexacta de residuo máximo, al dividendo se le disminuyera 170 unidades, el cociente disminuiría 3 unidades, su residuo sería mínimo y seguiría siendo inexacta. Halle el triple del producto de las cifras del divisor. A) 48
2.
B) 36
B) 121
____
D) 16
E) 8
_____
o
o
C) 64 ______
D) 60
E) 32
o
______
B) 49
C) 25
D) 4
E) 16
C) 9
D) 1
E) 4
o
Si 3xyx 143 , halle (4x – 3y)2.
_______
B) 16 o
Si mnpp 23 y m + n + p = 10, halle la suma de las cifras del menor valor de n2 + (m – p). B) 9
C) 10
D) 7
E) 8
Halle el residuo por defecto al dividir (45186)36 por 13. A) 6
9.
E) 81
Si mn 9, mp 7 y mnp 13 , halle (p + m – n)2.
A) 6
8.
C) 9
B) 16
A) 25 7.
D) 144
En una división entera inexacta, la suma del dividendo, el divisor y el cociente es 984, el residuo por defecto es 31 y el residuo por exceso es 21. Halle el cuádruple de la suma de las cifras del dividendo.
A) 36 6.
C) 9
B) 4
A) 80
5.
E) 54
En una división el residuo es 13. Si al dividendo se lo multiplica por 4 y al divisor por 2, el residuo aumentaría en tres unidades. Halle el producto de las cifras del divisor. A) 6
4.
D) 45
En una división inexacta, el residuo por defecto y el residuo por exceso son iguales a 48. Si el cociente por defecto es 37, halle el cuadrado de la suma de las cifras del dividendo. A) 16
3.
C) 60
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
D) 4
E) 1
Halle el residuo por exceso al dividir 29992 por 7. A) 6
Semana Nº 5
B) 2
C) 3
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Ciclo Ordinario 2016-I
____
10. Si 31018 ...x , halle el valor de x2. A) 25
B) 36
C) 49
D) 64
E) 81
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 5 1.
En una división, el cociente es 156 y el residuo es 6, pero si se aumentara 1000 unidades al dividendo, el cociente aumentaría en 17 unidades y el residuo aumentaría 8 veces. Halle el triple de la suma de las cifras del dividendo. A) 60
2.
B) 57
4.
5.
B) 1
C) 5
D) 6
E) 7
A) 15 B) 13 C) 14 D) 9 Halle el residuo por exceso de dividir 99675691 por 17.
E) 16
A) 6
E) 3
B) 2
_________
C) 4
D) 5
_________
o
Si mppm 35 , halle el residuo de dividir el mayor número mpm por 42. B) 22
______
o
______
o
C) 24 ______
D) 28
E) 29
o
Si mnr 5, rmn 13, rnm 6 , y letras diferentes representan dígitos diferentes, halle 2m + 3n – 5r. A) 5
7.
E) 63
Halle la suma de las cifras de la cantidad de números de tres cifras, de modo que al ser divididos por cierto número se obtenga 12 como cociente y un residuo máximo.
A) 19 6.
D) 54
Al dividir n y 16n por un mismo divisor se obtuvo como residuos 6 y 19, respectivamente. Halle la cifra de la decena del divisor. A) 3
3.
C) 51
____
B) 4 ____
____
C) 3
D) 2
E) 1
o
Si mn nm pp 13 y letras diferentes representan dígitos diferentes, halle el residuo ______
por exceso que se obtiene luego de dividir el CA(mnp) por 9. 8.
9.
A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 Halle el residuo por defecto de dividir (53)1201 por 7.
E) 2
A) 1
E) 5
B) 2
C) 3
D) 4
Halle la diferencia positiva de los residuos que se obtienen al dividir por defecto y por exceso (2603)2606 por 13. A) 6
Semana Nº 5
B) 3
C) 4
D) 5
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E) 13 Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
__________________________
10. Si M mnpmnp...mnp781 tiene 123 cifras, halle el residuo que se obtiene al dividir M por 7. A) 3
Semana Nº 5
B) 2
C) 1
D) 4
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E) 6
Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética NÚMEROS PRIMOS Se dice que un número natural es primo o primo absoluto cuando admite tener únicamente 2 divisores positivos que son la unidad y él mismo. Ejemplo: 17 admite como divisores a 1 y 17. Observaciones: 1) 2) 3)
La unidad es el único número que no es primo ni compuesto por tener un solo divisor. Se llama número primo en Z a todo número entero que posee exactamente 4 divisores Si p es un número primo en Z, entonces –p es un número primo en Z. NÚMEROS COMPUESTOS
Se dice que un número natural es compuesto cuando admite tener más de dos divisores positivos. Los números primos menores a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97
Teorema (Criterio de Eratóstenes) Sea n ℕ (n > 1). Si no existe q ℕ, 1 < q ≤ n , que divide a n, entonces n es un número primo. Ejemplo: Si 227 = 15,06… Los números primos ≤ que 15 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13 Como ninguno de los números: 2, 3, 5, 7, 11, 13 divide a 227 227 es primo. Teorema Fundamental de la Aritmética Si n ℕ (n > 1), entonces existe un conjunto finito de números primos p k y k ℕ – {0}, donde k = 1, 2, 3, 4, … ,m tales que 0 < p1 < p2 < p3 < …< pm donde m n = p11 . p22 . p33 ... pm (descomposición canónica de n).
Ejemplo: Sea ab. (a + 1)a. ab la descomposición canónica del número N. Si N es el menor posible, halle la suma de cifras de N. Solución N = 23.32.23 N = 1656. Por lo tanto 1+ 6 + 5 + 6 = 18.
Semana Nº 6
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Ciclo Ordinario 2016-I
CANTIDAD DE DIVISORES POSITIVOS (CD) m Sea n ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma p11 . p22 . p33 ... pm , la cantidad de divisores positivos de n denotada por CD(n) , está definida como
CD(n) = (α1 + 1) (α2 + 1) (α3 + 1) . . . (αm + 1) Nota: Sea n ℕ, entonces: 1) (CD (n)) = (CD primos) + (CD compuestos) + 1 2) (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) 3) # (Divisores simples) = # (Divisores primos) + 1. 4) Divisor propio: Es aquel que, siendo divisor de un número, no es igual a él. Ejemplos: - Los divisores propios de 8 son: 1; 2 y 4 - Los divisores propios de 20 son: 1; 2; 4; 5 y 10 Ejemplo: El número N = 3n + 3n+3 tiene 33 divisores positivos que no son números primos, halle el _____
número de divisores primos del número nnn . Solución N = 3n + 3n+3 = 3n(1 + 33) = 3n.22.7 entonces N = 3n.22.7 (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) _____
(n + 1)(3)(2) = 33 + 3 entonces n = 5. Luego nnn = 555 = 5.3.37. Por lo tanto el número de divisores primos es 3. SUMA DE DIVISORES POSITIVOS Sea n ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma a α . bβ . cθ , la suma de los divisores positivos de n denotada por SD(n) está definida como
a 1 1 b 1 1 c 1 1 . . SD(n) = b1 c1 a 1 PRODUCTO DE DIVISORES POSITIVOS Sea n ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma aα . bβ . cθ, el producto de los divisores positivos de n denotado por PD(n) está definido como PD(n) =
Semana Nº 6
n
CD(n)
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Ciclo Ordinario 2016-I
Ejemplo: La suma de divisores positivos y el producto de sus divisores positivos de un número son 624 y 312 56 76 respectivamente, además tiene 12 divisores positivos. Calcule la suma de los divisores que no son múltiplos de 7. Solución SD(N) = 624 PD(N) = 312.56.76 entonces NCD/2 = (32.5.7)12/2 entonces N = 32.5.7 0 33 1 52 1 Por lo tanto SD(N no 7 ) = = 13.6 = 78 . 31 51 EJERCICIOS DE CLASE N° 6 1.
¿Cuántos números de la forma xy1 tienen tres divisores positivos? A) 5
2.
B) 4
E) 7
C) 40
D) 60
E) 72
L , ¿cuántos divisores positivos tiene mn ?
B) 18
C) 15
D) 12
E) 16
B) 8512
C) 8912
D) 9712
E) 8712
¿Cuántos números, menores que 10 000 tienen 21 divisores positivos? A) 5
B) 7
C) 9
D) 8
E) 6
Si el número L 5 312a tiene 32 divisores positivos que son múltiplos de 6, pero no de 5, ¿en cuántos ceros termina “L” al expresarlo en base 15? A) 1
8.
D) 5
Halle la suma de los 20 divisores positivos que tiene el número xx 55 . A) 7812
7.
E) 7
“L” es un número cuadrado perfecto, el menor posible, que tiene (3a)(3a) divisores
A) 10
6.
C) 6
B) 48
positivos. Si mn
5.
D) 3
Si el número L ( x 1) x x 2x (4x 1)3 x está en descomposición canónica, ¿cuántos divisores que son cuadrados perfectos tiene el número L? A) 28
4.
C) 6
¿Cuántos números de la forma abc tienen quince divisores positivos? A) 8
3.
B) 4
B) 3
C) 5
D) 2
E) 4
Sea “L” un número de tres cifras diferentes, las cuales son los factores primos de L en su descomposición canónica; además tiene 12 divisores positivos. ¿Cuál es la suma de las cifras del número “L”? A) 12
Semana Nº 6
B) 13
C) 15
D) 17
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E) 14 Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.
Ciclo Ordinario 2016-I
El número “L” tiene tres divisores positivos primos que suman 16 y 26 divisores positivos compuestos. Halle la suma de las cifras del menor número “L”. A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
q 26 n 4p y L mnpmq tiene 21 divisores positivos, ¿cuántos divisores
10. Si
positivos de mqpn son múltiplos de 20, pero no de 40? A) 1
B5
C) 3
D) 6
E) 4
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 6 1.
Si xy es un número primo, ¿cuántos divisores positivos tiene xyxy ? A) 4
2.
B) 6
D) 10
E) 12
L a x b y es la descomposición canónica de un número natural. La cantidad de divisores positivos de L y la suma de los mismos son 6 y 124 respectivamente. ¿Cuál es la suma de las cifras del número L? A) 10
3.
C) 9
B) 12
C) 14
D) 13
E) 11
Si aabc5 a 3 (a c )c (a c )c está en descomposición canónica, ¿cuántos divisores de dos cifras tiene abc ? A) 1
4.
B) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B) 7
C) 3
D) 5
tiene 90
E) 6
Si L (124! )2 tiene “x” divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos tiene M (125! )2 ? A)
7.
E) 5
Si M 2 x 3 x 15 y tiene 45 divisores positivos múltiplos de 2, y L 7 x 3 z y x divisores positivos múltiplos de 126, halle el valor de z. A) 2
6.
D) 4
Si L (a 1)a ab c está en descomposición canónica, y si además la cantidad de divisores positivos de “L” es múltiplo de 7, ¿cuál es el menor valor de b? A) 3
5.
C) 3
Si
21 x 19
B)
21 x 17
C)
17 x 19
D)
19 x 17
E)
19 x 21
L 40 x 20 x tiene a0 ( 4a) divisores positivos, ¿cuántos divisores cuadrados
perfectos tiene ax A) 900 Semana Nº 6
xa
?
B) 1024
C) 864
D) 1032
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E) 961 Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.
Si L = 5k y la suma de los divisores positivos de “L” es 620, determine la suma de las cifras del producto de los divisores positivos de “2k”. A) 21
9.
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B) 18
C) 10
D) 14
E) 16
Si L 10 * 20 * 30 * ... * 100 tiene “x” divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos tendrá M 5 * 10 * 15 * ... * 50 ? A)
9 x 5
B)
9 x 19
C)
3 x 5
D)
7 x 19
E)
9 x 8
10. Si L 9 x 9 x1 9 x2 tiene 32 divisores positivos no primos, ¿cuántos divisores positivos múltiplos de 81 tiene “L”? A) 20
Semana Nº 6
B) 30
C) 28
D) 24
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E) 26
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA Nº 7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS ENTEROS
1. Definición: El Máximo Común Divisor (MCD) de un conjunto de números enteros positivos es el mayor de sus divisores comunes. Ejemplo: Si A = 34.57.1713 y B = 312.72.1711, el MCD (A; B) = 34.1711 Se dice que A y B son primos entre sí (PESI), si MCD(A; B) = 1 PROPIEDADES Dados los números enteros A, B, C y n, entonces se cumple que: i. MCD(nA; nB; nC) n MCD(A; B; C) MCD(A; B; C) A B C ii. MCD ; ; n n n n n n n iii. MCD(A ; B ; C ) MCD(A; B; C) n iv. MCD(A;B;C;D)=MCD(MCD(A;B);MCD(C;D)) v. MCD(A;B;C)=MCD(MCD(A;B);MCD(B;C)) Observación. En general, sean los números A, B y C; de tal manera que el MCD(A; B; C) = d, entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: A = d p;
B = dq
y
C = d r
Si a es múltiplo de b, entonces el MCD(a;b) es b. Si varios números naturales se dividen entre su MCD, los resultados son primos entre sí. El MCD de dos números a y b coincide con el MCD de b y el resto de la división de a entre b. En esta propiedad se basa el Algoritmo de Euclides. Teorema de Bezout. a y b son números enteros con MCD(a;b) = d si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifica:
Semana Nº 7
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO d = p.a + q.b
Ciclo Ordinario 2016 - I
Según el Teorema de Bezout. a y b son PESI si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifique: p.a + q.b = 1. 2. Definición: El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de un conjunto de números enteros positivos es el menor de sus múltiplos comunes. Ejemplo: Si A = 26.54.78 y B = 25.33.79, el MCM (A; B) = 26.33.54.79 Si A y B son primos entre sí, entonces MCM (A; B) = A B PROPIEDADES. Dados los números A, B, C y n, entonces se cumple que: i. ii. iii.
MCM(nA; nB; nC) n MCM(A; B; C) MCM(A; B; C) A B C MCM ; ; n n n n n n n MCM(A ; B ; C ) MCM(A; B; C) n
Solo para dos números enteros se cumple que MCD(A; B) MCM(A; B) A B
Observación. En general, sean los números A, B y C; de tal que el MCM(A; B; C) = m; entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: m = A p,
m = Bq
y
m = C r
Si a es múltiplo de b, entonces el MCM de ambos es a. Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro natural m, su MCM queda también multiplicado (o dividido exactamente) por m.
Semana Nº 7
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016 - I
ALGORITMO DE EUCLIDES PARA EL CÁLCULO DEL MCD DE DOS NÚMEROS El procedimiento se puede organizar en el siguiente esquema: Cocientes
q2 q3
q1
Cocientes Dividendo y divisor
# Mayor # Menor r1 A B
Residuos
r1
r2
q
q
r2
r3
r4 = d = MCD(A;B)
r3
r4
0
4
5
Ejemplo: Halle el MCD de 42 y 9
42
4
1
2
9
6
3
6
3
0
MCD(42 ; 9) = 3
Por lo tanto, MCD (42; 9) = 3 PROPIEDADES. MCD N a - 1 ; N b - 1 = N MCD(a; b) - 1 .
Si N = a+ k
Semana Nº 7
y
N = b k
, k Z N = MCM (a ; b) + k
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Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO EJERCICIOS DE CLASE N° 7 1.
José le dice a Luis: “Te regalo N canicas, siendo N la cantidad de divisores positivos comunes que tienen los números R = 242 X 423, S = 213 X 124 y T = 284 X 822 ”. Si Luis determinó correctamente el valor de N, ¿cuántas canicas recibió? A) 24
2.
D) 32
E) 28
B) 80
C) 20
D) 25
E) 50
B) S/ 24
C) S/ 27
D) S/ 13
E) S/ 29
Al calcular el MCD de los números ̅̅̅̅̅ 𝑎5𝑏 y ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑑6, a>c, mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos 3; 2; 1 y 5, en ese orden. Si la segunda división fue realizada por exceso, halle el valor de (a.b.c.d). A) 64
5.
C) 14
Un padre le dará a su hijo (a+b+c+d+e) soles de propina, si este encuentra ̅̅̅̅̅ ; 𝑑𝑒 ̅̅̅ ] = 2639, donde acertadamente su valor. Para ello le dice que el MCM [ 𝑎𝑏𝑐 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 y 𝑑𝑒 toman su máximo valor posible. ¿Cuánto de propina recibió el hijo? A) S/ 26
4.
B) 36
Si el MCD (9F, 6G) = 300 y el MCD (4G, 10H) = 80, halle el máximo común divisor de 12F, 8G y 20H. A) 40
3.
Ciclo Ordinario 2016 - I
B) 378
C) 72
D) 105
E) 48
Si T = MCD [ ⏟ 333 … 333 (4) ; 777 ⏟ … 777 (8) ], y si luego T se expresa en el sistema 420 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
240 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
binario, halle la suma de sus cifras en dicho sistema. A) 120 6.
D) 60
E) 720
B) 12
C) 18
D) 21
E) 24
Don Jesús tiene tres millares de barras de jabón cuyas dimensiones son: 15; 12 y 5 centímetros. Si las guarda en cajas cúbicas, llenándolas completamente, y los jabones sobrantes lo remata a sus clientes, ¿cuánto dinero obtuvo como máximo, al vender todo a S/ 800 cada caja y a S/ 2 cada jabón sobrante? A) S/ 9840
8.
C) 480
Si A + B = 1080; A > B y (MCM(A;B)3 = (MCD(A;B)4, halle el producto de las cifras de ( A – B ). A) 6
7.
B) 240
B) S/ 8640
C) S/ 8940
D) S/ 10280
E) S/ 8240
Un agricultor tiene un terreno rectangular de 2185 m de largo y 943 m de ancho, el cual lo divide en un número mínimo de parcelas cuadradas del mismo tamaño y de dimensiones enteras en metros. Si colocó un poste en los vértices de cada parcela, ¿cuántos postes empleó en total? A) 3895
Semana Nº 7
B) 3936
C) 4032
D) 3990
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 4128
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.
Ciclo Ordinario 2016 - I
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + 18; B) = MCM (𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + 18; 99B), halle el valor de (a.b). Si MCM (𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 A) 9
B) 18
C) 16
D) 20
E) 24
10. En el sistema de base “n” el MCM del menor número de cuatro cifras y del mayor número de tres cifras resulta 777000(n). Halle el MCD [ (3n+4) ; (n2+4n+2) ]. A) 11
B) 2
C) 1
D) 10
E) 14
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 7 1.
Si el MCD de P = 42 x 24n y Q = 24 x 42n tiene 386 divisores positivos compuestos, halle la suma de las cifras de n. A) 1
2.
C) 28
D) 42
E) 14
B) 14
C) 9
D) 10
E) 12
B) 3
C) 9
D) 12
E) 15
B) 9
C) 12
D) 8
E) 19
Si la suma de los cuadrados de dos números enteros positivos es 13968 y el MCD de dichos números es el menor número que tiene 6 divisores positivos, halle la diferencia positiva de dichos números. A) 80
7.
B) 7
̅̅̅̅̅̅̅; 1𝑐𝑐𝑏 ̅̅̅̅̅̅; 6𝑑𝑏 ̅̅̅̅̅ ) = 14, calcule el menor valor de (a + b + c + d). Si el MCD( 3𝑎𝑎𝑏 A) 7
6.
E) 4
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎 + 1)5; ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎 + 1)5; 𝑏(𝑎 Si MCM [ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑏(𝑎 − 1) ]= 360 y MCD [ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 1) ] = a2, halle la 3 2 suma de las cifras del MCD( a + 3 ; b – a – 1; a.b – 6 ). A) 6
5.
D) 3
Al calcular el MCD de dos números enteros positivos mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos 5; 1; 3 y 2 en este orden. Si el MCM de esos dos números es ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎8𝑏8, calcule la suma de las cifras del mayor de dichos números. A) 11
4.
C) 5
Si MCD( 15a ,20b) = 140 y MCD(20a ,15b) = 210, calcule el valor del MCD(a, b). A) 35
3.
B) 2
B) 56
C) 60
D) 54
E) 50
Si F – G = 60; MCM (F ; G) = 21. MCD (F ; G) y F representa a un número de tres cifras, halle (F + G). A) 150
Semana Nº 7
B) 66
C) 84
D) 85
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 120 Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016 - I 8. Luisa le dice a María: “Te doy ( a + b ) soles si hallas correctamente su valor”. ̅̅̅̅̅; 𝑏𝑎𝑎 ̅̅̅̅̅ ) = 9243. ¿Cuánto dinero recibió María Para ello te digo que el MCM ( 𝑎𝑎𝑏 luego de cumplir el pedido de Luisa? A) S/ 7 9.
B) S/ 9
C) S/ 10
D) S/ 6
E) S/ 8
Rosita va al mercado y compra piñas, sandías y melones. Cada piña cuesta S/ 6, cada sandía S/ 18 y hay melones de S/ 8 y S/ 9. Si Rosita gastó una misma cantidad de dinero al comprar cada tipo de fruta pagando lo mínimo posible, ¿cuántas frutas compró en total? A) 25
B) 12
C) 6
D) 8
E) 17
10. Jorge compró 150 kg de azúcar de S/ 2,20 el kg y 100 kg de arroz de S/ 3,20 el kg. Si envasó todo en bolsas y cada bolsa la vendió a un mismo precio, el mayor posible, ganando el 20% del costo, halle la diferencia positiva entre el número de bolsas de azúcar y arroz que vendió. A) 3
Semana Nº 7
B) 1
C) 2
D) 5
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 4
Pág. 6
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética NÚMEROS RACIONALES Definición (Números Racionales) El conjunto de los números racionales, que denotaremos por Q , está formado por a todos los números de la forma , donde a y b son números enteros, con b 0 . Es b decir, a Q = / a,bZ b 0 b Ejemplo:
1 3 ; - ; - 7;... 2 5
Definición (Números Irracionales) El conjunto de los números Irracionales, que denotaremos por I , está formado por a todos los números que no tienen la forma , donde a y b son números enteros, con b b 0 . Es decir,
a I = x / x con a,bZ b 0 b Ejemplo:
2 ; - 5 ; π ; ...
Definición (Fracción)
a , donde a y b son números b enteros positivos. Es decir, el conjunto de las fracciones se define como Una fracción se define como un número de la forma
a Fr = / a,bZ b Notación: “a” se llama “numerador” de la fracción “b” se llama “denominador” de la fracción CLASES DE FRACCIONES: 1.- Fracción Propia: Es aquella fracción donde el numerador es menor que el denominador (a < b) esta clase de fracciones son menores que la unidad, es decir,
a b) esta clase de fracciones son mayores que la unidad, es decir,
Ejemplo:
a >1 b
4 1000 7 ; ; ; ... 3 7 3
3.- Fracción Aparente: Es aquella fracción donde el denominador es igual a la unidad (b = 1), esto quiere decir que las fracciones aparentes son todos los números enteros positivos o aquellas fracciones que se reduzcan a un número entero positivo.
a= Ejemplo: 1; 2; 3;
16 ;… 8
a 1
4.- Fracción Irreducible: Es aquella fracción donde sus términos no se “reducen”, esto significa que sus términos no deben tener divisores comunes diferentes de la unidad, es decir ,sus términos deben ser PESI. Ejemplo:
3 16 1345 ; ; ; ... 4 17 1344
Observación:
44 no es irreducible puesto que esta se puede “reducir” o “simplificar” a 36 11 la fracción 9 La fracción
5.- Fracción Decimal: Esta clase de fracciones tienen en su denominador potencias de 10. Es decir
a 10n
Observación: Diremos que dos fracciones son equivalentes, esto es, cumple que a.d = b.c
a c = , si se b d
Esto también se puede interpretar de la siguiente manera a c = a = ck b = dk ; k Z + b d
Propiedades:
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 1.- Si
Ciclo Ordinario 2016-I
a a a +k < 1⇒ < , ∀k ∈ Z + b b b +k
2.- Si la suma de dos fracciones irreducibles resulta un número entero positivo, entonces las fracciones son homogéneas. Es decir, dadas las fracciones irreducibles a c y se cumple: b d a c = k k Z+ b d
3.- Dadas las fracciones irreducibles
b=d
a c y se cumple que: b d
a c MCD(a,c ) MCD , = b d MCM(b,d )
∧
a c MCM(a,c ) MCM , = b d MCD(b,d )
EJERCICIOS DE CLASE N° 8 1.
Si el producto de los términos de una fracción equivalente a 4/11 tiene 14 divisores positivos, calcule la suma de los términos de dicha fracción. A) 75
2.
5.
6.
D) 90
E) 30
803 , tal que la suma de sus términos sea 657 divisible por 65 y, además, dicha suma esté comprendida entre 1600 y 2000. B) 1001/234
C) 934/523
D) 908/252
E) 947/821
¿Cuántas fracciones irreductibles comprendidas entre 88/23 y 89/29 son tales que uno de sus términos excede en una unidad al triple del otro? A) 16
4.
C) 45
Determine una fracción equivalente a
A) 1001/819 3.
B) 60
B) 12
C) 13
D) 11
E) 14
Si N es un número entero positivo menor que 100, ¿cuántas fracciones de la forma (N 2)2 + 16(N 2) + 28 son irreducibles? N+3
A) 60
B) 62
C) 64
D) 66
E) 68 ab Si ab es un número primo, ¿cuántas fracciones de la forma existen y que estén 221 8 2 comprendidas entre y ? 13 17 A) 16
B) 17
C) 12
D) 15
E) 14
¿Cuántas fracciones propias e irreducibles de denominador 720, existen? A) 64
Semana Nº 8
B) 192
C) 221
D) 222
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 219
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Ciclo Ordinario 2016-I
Calcule la suma de todas las fracciones equivalentes a sea de tres cifras y el denominador de cuatro cifras. A)
8.
576 107
B)
768 214
C)
704 107
D)
1920 tales que el numerador 6420
960 321
E)
24 321
José vendió los 3/8 de los libros que compró, perdiendo 1/3 de su costo. Si desea recuperar su capital, ¿qué fracción del costo debe ganar al vender lo restante? A)
9.
1 6
B)
1 3
C)
4 5
D)
1 4
E)
1 5
Los grifos A y B juntos llenan un depósito en 2 horas 24 minutos. Funcionando individualmente, A llena el depósito en dos horas menos que B. ¿En cuántas horas llena B el depósito solo? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 3
10. Una tela cuyo largo mide L cm, se divide a lo largo en tres partes desiguales, la primera es menor que L/5, la segunda menor que L/4 y la tercera mide 56 cm. Si L es múltiplo de 3, halle la suma de las cifras del mayor valor que puede tomar L. A) 3
B) 12
C) 9
D) 18
E) 6
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 8 1. .
2.
Sea el número L 1225 13n . Si la fracción suma de los términos de dicha fracción. A) 66
C) 99
D) 77
E) 55
O a una fracción equivalente a 65/117 tal que a + b = 35 y la diferencia de a y b b está comprendida entre 190 y 210. Halle el valor de a.
Sea
A) 250 3.
B) 88
CD(39L) 8 es equivalente a , calcule la CD(L) 3
B) 100
C) 125
D) 300
E) 150
¿Cuántas fracciones propias e irreducibles existen; cuyo denominador cumple que es menor que 434 y al ser dividido entre 10, 13 y 19 deja por residuo 4, 5 y 0 respectivamente? A) 69
Semana Nº 8
B) 92
C) 118
D) 128
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 144
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.
Ciclo Ordinario 2016-I
Si k Z además 1 < k < 1990, además los términos de la fracción PESI, ¿cuántos valores de “k” cumplen? A) 90
5.
B) 296
C) 364
D) 256
E) 288
B) 24
C) 30
D) 28
E) 26
B) 304
C) 288
D) 264
E) 280
Un tanque puede ser llenado por un caño en 15 minutos y vaciado por otro caño en 40 minutos. Estando vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque, si ambos caños se abren en forma simultánea? A) 22 min.
9.
E) 3
¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador 30 existen, tal que el numerador está entre 119 y 1231? A) 296
8.
D) 105
La suma de dos fracciones irreductibles es 5. Si la suma de sus denominadores es 14 y la diferencia de sus numeradores es 9, calcule la suma de los divisores primos del producto de sus numeradores. A) 38
7.
C) 86
¿Cuántas fracciones impropias, irreducibles de numerador 640 existen? A) 144
6.
B) 104
k2 7 no son k4
B) 23 min.
C) 26 min.
D) 25 min.
E) 24 min.
El agua contenida en un tanque se agotó en 3 horas. En cada hora el nivel del agua bajó la mitad de su altura, más dos centímetros. Determine la altura inicial, en centímetros, que tenía el nivel del agua. A) 26cm.
B) 12cm.
C) 28cm.
D) 32cm.
E) 16cm.
10. Después de partir un pastel, Sandra se quedó con los 2/3 mientras que Verónica se quedó con 1/3. Para evitar que su amiga se enojara, Sandra cortó 1/4 de su porción y se lo dio a Verónica. En este momento: A) Sandra tiene 5/12 del pastel B) Sandra tiene 1/4 del pastel C) Sandra tiene 7/12 del pastel D) Sandra tiene 1/2 del pastel E) Sandra tiene 1/3 del pastel
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA N° 9 FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO AVAL 1. AVAL EXACTO K cifras ab... x (n) ab... x (n) 0, abc... x (n) nK 100 ... 0 (n )
.
" k ceros"
Ejemplo:
42 21 0,42 100 50
2. AVAL PERIÓDICO PURO
0, abc x (n ) ... K cifras
abc... x (n) abc... x (n) nK 1 (n 1) (n 1) ... (n 1) (n ) "k cifras"
Ejemplo: 0,3333. . . = 0, 3 =
3 1 9 3
Ejemplo : 1,7373. . . = 1,73 =
173 1 172 99 99
3. AVAL PERIÓDICO MIXTO
0,a1a2 ...aKb1b2...bm (n)
Semana Nº 9
a1a2 ...aKb1b2 ...bm a1a2 ...aK (n) (n) nK (nm 1)
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Ciclo Ordinario 2016-I
a1a2 ...aK b1b2 ...bm a1a2 ...aK (n) ( n) (n 1)(n 1) ...(n 1) 00 ... 0 " m cifras "
Ejemplo:
0,2131313. . . = 0,213 =
" k ceros "
213 2 211 990 990
RECONOCER EL DECIMAL A PARTIR DE SU FRACCIÓN GENERATRIZ
Sea f
a fracción irreducible b
1) Si b = 2p x 5q con p y q no nulos a la vez. El número decimal correspondiente es exacto. # cifras decimales de f = Mayor exponente de 2 y 5 = máx. {p ; q} Ejemplo:
f
21 21 4 0,0525 400 2 52
# cifras decimales = máx. { 4; 2} = 4. Por lo tanto, f tiene cuatro cifras en la parte decimal. Regla de los 9:
Nivel:
9 = 32
Representantes 1
3
99 = 32 x 11
2
11
999 = 33 x 37
3
27
9999 = 32 x 11 x 101
4
101
99999 = 32 x 41 x 271
5
41
= 33 x 7 x 11 x 13 x 37
6
7
= 32 x 239 x 4649
7
239 y 4649
= 32 x 11 x 73 x 101 x 137
8
999999 9999999 99999999
73
y
9
y
37
y 271 y
y
13
137
Obs: El nivel se considera de arriba hacia abajo.
Semana Nº 9
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Ciclo Ordinario 2016-I
Ejemplo: El nivel del 11 es 2 (dos), pues se encuentra por primera vez como factor de 99 (dos nueves); así como el nivel del 37 es 3 y no 6, pues el 37 aparece por primera vez como factor de 999 (tres nueves), etc. 2) Si b se descompone en factores primos diferentes a 2 y/o 5 Supongamos que b = r x … x s
donde r,…,s son PESI con 2 y 5, entonces el
número decimal correspondiente es periódico puro; por lo tanto # Cifras del periodo de f = MCM {nivel (r);…; nivel (s)}. Ejemplo 01:
1 0, 142857 7 # Cifras del periodo = nivel (7) = 6. Luego, f tiene 6 cifras en su periodo. Ejemplo 02:
1 0, 003484320557491289198606271777 7 41 # Cifras del periodo de f = MCM {nivel (41); nivel (7)} = MCM {5; 6} = 30. Por lo tanto, f tiene 30 cifras en su periodo. 3) Si b tiene factores primos 2 y/o 5, y otros factores PESI con 2 y/o 5. Supongamos que b = 2p x 5q x r x … x s con p y q no nulos a la vez donde r,…,s son PESI con 2 y 5, entonces el número decimal correspondiente es periódico mixto; por lo tanto: # cifras de la parte no periódica de f = Mayor exponente de 2 y 5 = máx. {p ; q} # Cifras de la parte periódica de f = MCM {nivel (r);…; nivel (s)}. Ejemplo: f=
7 = 0,000072765 2 ×5 ×37×13 3
2
# Cifras parte no periódica de f = máx. { 3; 2} = 3. #Cifras de parte periódica de f = MCM {nivel (37); nivel (13)} = MCM {3; 6} = 6 Semana Nº 9
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Ciclo Ordinario 2016-I
TEOREMA DE MIDY(1836): Sea p 2, 5 un número primo y 0 < a < p talque
a = 0,c1c 2 ...c nc n 1...c 2n 1c 2 n entonces c1c 2 ...c n +c n 1...c 2n 1c 2n 99...99 . p n cifras Obs: c j + cn+j = 9, j =1,2,...,n.
Semana Nº 9
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Ciclo Ordinario 2016-I
Ejemplos:
1 = 0,05882352 94117647 05882352+ 94117647 = 99999999 17
Obs: c5 = 2; c5+8 = 7 c 5 +c 5+8 = 2+7 = 9
1 = 0,142857 142 + 857 = 999 7
1 = 0,032475(8) 032(8) + 475(8) = 777(8) (Teorema de Midy en base 8) 19 (8) Observaciones: 1) A todo número
a que cumple el teorema llamemos número de Midy. p
2) Generalización del teorema de Midy: Sean N >1 y 1 a a, halle el valor de a + b.
B) 12
C) 13 3N La siguiente fracción irreducible abc
D) 8
E) 4
con a, b y c diferentes entre sí, genera un
número decimal de la forma 0,bcab. Halle el producto de las cifras de N. A) 18
4.
B) 54
B) 17
C) 22
D) 6
E) 9
23 b 1 0, (2a) c , determine la cantidad de cifras periódicas del número ab 3 ab decimal que genera la fracción c b . b xc
Si
3 4
B) 6
A) 18
7.
E) 12
Si
A) 8
6.
D) 15
Si 0,23(m) = 0,3abcd(6) = 0, xy y si además m 4, halle el valor de (a+b+c+d+m+x+y). A) 14
5.
C) 14
C) 4
D) 5
E) 7
2 2 3 2 3 2 3 (...) 0, abcd , halle el valor de (a + b + c + d). 11 5 5 5 5 5 5 B) 16
C) 21
D) 15
E) 23
Halle el producto de las cifras periódicas del número decimal que genera la fracción 810k 11 , k Z+ 11
A) 8
Semana Nº 9
B) 16
C) 28
D) 12
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 14
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.
Ciclo Ordinario 2016-I
Determine la última cifra del período del número decimal generado por la siguiente fracción irreducible U6 NM3
A) 1 9.
B) 2
36
35
x SM7
C) 4
37
D) 6
E) 7
Halle la diferencia positiva de la cantidad de cifras periódicas y no periódicas del 3 x 2016 número decimal generado por la fracción . 16 !
A) 8 B) 4 C) 2 D) 6 E) 3 10. Si 0,55(6) + 1,14(6) + 1,75 = xx ( x 2) , halle la suma de los términos de la fracción generatriz irreducible en el sistema decimal, que generó el número aval 0,( x 1) ( x 2)( x 3) .
A) 27
B) 36
C) 14
D) 30
E) 13
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 9 1.
Si
a b 0,40324 , halle 25 37
A) 6 2.
Si
C) 7
D) 9
B) 2128
C) 1240
D) 1258
Lo que le falta a 0,878787… para ser igual a 1,212121… es Calcule el mayor valor de (a – b)2. A) 4
4.
E) 12
1 1 1 1 1 ... 0,324 , halle el valor de M. 4 28 70 130 M
A) 1226 3.
B) 10
a. b
B) 36
C) 16
D) 25
E) 1320
a (a y b son dígitos). b
E) 49
a 0,1 0,14 0,17 0,21 ... 0,74 , halle el valor de (a + b) donde a y b son primos b entre sí.
Si
A) 36 Semana Nº 9
B) 52
C) 32
D) 43
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 86 Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
6.
Halle el valor de S S
1 2 3 4 3 4 3 4 ... 2 3 4 5 6 7 5 5 5 5 5 5 5 58
A)
187 220
194 220
C)
B) 1,2
187 600
C) 2,6
La siguiente fracción irreducible
D)
187 420
D) 1,6
161 320
E) 2
a
B) 26
C) 14
D) 11
El número aval 1,131313…(n) tiene como fracción generatriz a de (n2 + n). A) 20
9.
E)
genera un número decimal periódico puro con bcd cuatro cifras periódicas. Halle el mayor valor de (a + b + c + d), si a < 10. A) 8
8.
B)
Sean P y Q la suma de todos los decimales diferentes de la forma: 0,n(n–1)n (n–1)n(n – 1) ... y 0,(m – 1)m(m – 1)m(m – 1)m … respectivamente. Halle el valor de (P/Q). A) 1,8
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 42
C) 56
D) 30
E) 13 31(n) 22(n )
. Calcule el valor
E) 72
Determine la última cifra del periodo del número decimal que genera la siguiente fracción 217 17 2016
A) 8
B) 7
C) 2
D) 6
E) 4
10. Si se sabe que a b c y 0, abcabc... 0, aaa... 0, bbb... 0, ccc... valor de a2 + b2 + c2. A) 17
Semana Nº 9
B) 6
C) 14
D) 21
(Prohibida su reproducción y venta)
789 , calcule el 999
E) 18
Pág. 8
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Semana Nº 9
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA Nº 10 RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades que pertenecen a una misma magnitud, por medio de una diferencia o de un cociente. Razón Aritmética: Cuando se compara por diferencia: a b r Ejemplo: La razón aritmética entre 15 y 9 es 6, pues 15 9 6 Razón Geométrica (RAZÓN): Cuando se compara por cociente:
a k b
6 2 3 En los dos casos anteriores se conoce como a: Antecedente b: Consecuente r: Valor de la razón aritmética. k: Valor de la razón geométrica. PROPORCIÓN: Ejemplo:
la razón entre 6 y 3 es 2, pues
Es la igualdad de dos razones de un mismo tipo. 1.
Proporción Aritmética (EQUIDIFERENCIA): Es la igualdad de dos razones Aritméticas. a–b=c–d Donde: a y d: Se llamarán “Términos extremos” b y c: Se llamarán “Términos medios”
1.1
Proporción aritmética discreta (o no continua): Es cuando los términos medios de la proporción son diferentes ab cd,
1.2
bc
Donde: d: Se llamará “Cuarta diferencial de a, b y c” Proporción aritmética continua: Es cuando los términos medios de la proporción son iguales. ab bc Donde: ac b : Se llamará “Media diferencial de a y c” 2 c: Se llamará “Tercera diferencial de a y b”
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.
Proporción Geométrica (PROPORCIÓN): Es la igualdad de dos geométricas a c b d Se lee: Donde:
2.1.
Ciclo Ordinario 2016-I razones
a es a b como c es a d a y d: Se llamarán “Términos extremos” b y c: Se llamarán “Términos medios”
Proporción discreta: Es cuando los términos medios de la proporción son diferentes a c , bc b d Donde: d: Se llamará “Cuarta proporcional de a, b y c”
2.2.
Proporción continua: iguales
Es cuando los términos medios de la proporción son
a b b c
b ac : Se llamará “Media proporcional de a y c” c: Se llamará “Tercera proporcional de a y b”
Propiedades 1)
Si i)
a c , se dice que d es la cuarta proporcional. Se cumplen: b d
ab
cd
ac bd a-c b-d n n na a c v) ; nb bn dn iv)
b d a c ii) ab cd iii)
2)
ac a c bd b d
Dado:
i)
a1
b1
a2
b2
...
a 1 a 2 ... a n
b1 b 2 ... bn
Semana Nº 10
vi)
an
bn
n
c
n
d
ac k2 bd
k , serie de n – razones se tiene:
k
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO ii)
a 1a 2 ... a n
b 1b 2 ...b n
iii)
kn
a n1 a n2 ... a nn
bn1
bn2
Ciclo Ordinario 2016-I
...
bnn
kn
Ejemplo 1. Sea M la tercera diferencial de 24 y 16. L es la media diferencial de 9 y 1. Hallar la media diferencial de M y L 1. Solución: 24 – 16 = 16 – M M = 8
9 – L = L – 1 L = 5 Luego, 8 – x = x – 4 x = 6
Ejemplo 2. Sea M la cuarta proporcional de 7, 2 y 21. N es la tercera proporcional de 16 y 8. Hallar la cuarta diferencial de M, N y 5. Solución: 16 7 21 8 → M = 6; →N=4 2 8 M N
Luego, M – N = 5 – x → 6 – 4 = 5 – x → x = 3
Ejemplo 3.
b2 c2 1 Si b es la media proporcional de a y c, a + b + c = 63 y 2 , siendo a, b y 2 16 a b
c Z+, hallar la cuarta diferencial de a, b y c. Solución:
a b b2 ac b c De (1) en (2):
… (1)
b2 c2 1 2 2 16 a b
ac c2 16 a=16c a2 ac
… (2)
En (1): b2 16c2 b=4c
a b c 63 16c 4c c 63 c 3 a 48 b 12 48 12 3 x x = -33
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
RAZONES Y PROPORCIONES FAMOSAS Existen algunas razones famosas en la historia de la matemática, aunque no se expresen con números enteros. Una de ellas es la razón constante entre la longitud de la circunferencia (C) y la de su diámetro (d). Este valor es el que conocemos como el número (pi), cuyo valor es 3,141592... De modo que C/d = . Otra razón de interés histórico es la llamada razón áurea (Zippin, 1996). Surge al resolver este problema: Dividir un segmento dado en dos partes, tales que la menor (b) es a la mayor (a) como la mayor es al segmento total (a + b); es decir, b a a ab
5 1 / 2 , es decir, La razón b/a se conoce como razón áurea, y su valor es aproximadamente 0,61803... Su interés histórico radica en que con esta razón se construyeron los rectángulos áureos (la razón del lado menor al mayor es 0,61803...), que están presentes en numerosos elementos (la fachada, los ventanales, etc.) de muchas construcciones clásicas (las fachadas del Partenón y de la Universidad de Salamanca, el cuadro de Las Meninas de Velásquez...) así como en objetos de la vida diaria (carnés, cédulas, tarjetas, páginas...), y dan una extraña sensación de equilibrio y armonía... [Puede ampliarse este conocimiento buscando en Internet por los términos “razón áurea”, “número de oro o áureo”, “divina proporción”, “sección áurea”...]. Finalmente, hay que destacar la sensación de armonía que presentan los cuadros y dibujos en los que se ofrece una perspectiva de la realidad que conserva sus dimensiones relativas y, particularmente, la “profundidad” de la escena. Desde el punto de vista matemático, se trata de conservar en el plano del dibujo las proporciones que presentan los objetos reales entre sí. Esta armonía es la que se echa de menos en los cuadros de los llamados pintores primitivos, o ingenuos, que presentan todos los objetos en un mismo plano, pero cuyo valor artístico no se pone en duda (lo que revela que la lógica de la matemática y la estética de la obra artística pueden convivir en mundos complementarios, que a veces se cruzan...). EJERCICIOS DE CLASE N° 10 1.
Si M es la media diferencial de 24 y 34; L es la media proporcional de 88 y 22; N es la cuarta proporcional de 80, 15 y 16, halle el valor de L + M + N. A) 90
2.
C) 76
D) 60
E) 58
Si M es la tercera proporcional de 64 y 16; y P es la cuarta diferencial de 20, 12 y 15, halle la tercera diferencial de M y P. A) 9
3.
B) 81
B) 15
C) 8
D) 12
E) 10
En una proporción geométrica continua de términos enteros positivos, el primer término es 1/16 del cuarto término. Halle la media proporcional de esta proporción, si la suma de los cuatro términos es 125. A) 20
Semana Nº 10
B) 17
C) 18
D) 15
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 12
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.
En una proporción geométrica de términos enteros positivos se cumple que la suma de los cubos de sus términos es igual a 980. Calcule la suma de sus cuatro términos, si el valor de la razón de esta proporción es un número entero. A) 23
5.
B) 21
C) 20
D) 18
E) 19
Cinco números enteros forman una serie de razones geométricas continuas cuya constante de proporcionalidad es un número entero. Halle el primer consecuente, si el producto de las razones formadas es 81/160 de la diferencia de los términos extremos. A) 35
6.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 49
C) 60
D) 54
E) 72
César tiene ab años y Julio ac años. Si hace 10 años sus edades estaban en la relación de b a c respectivamente, y si además César es mayor que Julio y ab ac n(a 3) 20 , halle la suma de sus edades dentro de na años. A) 72
7.
B) 56
C) 64
Sean m, n, p Z tal que
D) 68
E) 75
m2 n 2 n 2 p 2 m2 p 2 , donde m < n < p. Si p – m= 2, 41 61 52
determine el valor de (m2 + n + p). A) 27 8.
C) 28
D) 22
E) 24
Sea una serie de seis razones geométricas equivalentes de términos enteros positivos, donde la suma de los antecedentes es 21. Si todos los antecedentes son diferentes, y la suma del producto de cada antecedente con su respectivo consecuente es 364, halle el valor de la razón. A) 2/5
9.
B) 25
Si
B) 1/3
C) 1/4
D) 3/7
E) 2/5
a c e g K , K Z y (a + c + e + g) (b + d + f + h) = 1024, halle el valor de b d f h
( ab cd ef gh )1/ 5 .
A) 1
B) 3
C) 5
D) 4
E) 2
10. Se tienen tres recipientes de vino cuyos contenidos están en relación de 9, 6 y 10. Se pasa a litros del primer recipiente al segundo y luego b litros del tercero al segundo, siendo la nueva relación 4, 6 y 5 respectivamente. Calcule el volumen final del tercer recipiente, si a – b = 14 A) 150 L
Semana Nº 10
B) 190 L
C) 160 L
D) 175 L
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 180 L
Pág. 5
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 10 1.
Si M es la cuarta diferencial de 24, 19 y 30; L es la tercera proporcional de 12 y 6; Halle la media diferencial de M y L. A) 7
2.
Si q = 4p, r = 5p y A) 0,42
3.
D) 14
E) 16
p q r a2 b2 c 2 , halle el valor de M . a b c (a b c ) 2
B) 0,8
C) 0,5
D) 1,2
E) 1,6
B) 32,5
C) 34,5
D) 35,5
E) 31,5
En una proporción geométrica continua el producto de los cuatro términos es 1296. Si la suma de los términos de la primera razón es a la suma de los términos de la segunda razón como 3 a 2, halle la diferencia de los términos extremos. A) 3
5.
C) 15
En una proporción geométrica de términos enteros de razón entera mayor que uno, la razón aritmética de los antecedentes es 3 y la suma de los consecuentes es 33. Calcule la media diferencial de los términos medios. A) 41,5
4.
B) 12
Si
B) 2
C) 4
D) 6
E) 5
m 48 p r , mn + ps = 168 y p + q + r + s = 40; halle la diferencia positiva de 2 n q s
p y s. A) 7 6.
a b ; b c (a + b + c). Si
A) 21 7.
D) 8
E) 4
ab ac 1050 , donde a, b y c Z , halle la suma de las cifras de
B) 18
C) 20
D) 26
E) 19
B) 17
C) 13
D) 16
E) 18
Si p es a q como 4 es a 3, q es la cuarta proporcional de m, n y p; mn – pq = 36 y m + p = 12, halle la razón aritmética de m y p. A) 6
9.
C) 6
Si abc(5) es la cuarta diferencial de 22(5), 110(5) y 44(5), halle el valor de (2a+3b+c). A) 15
8.
B) 5
B) 8
C) 7
D) 4
E) 5
Sea M la cuarta proporcional de 5, 3 y 10; N es la tercera proporcional de 12 y 36. Halle la cuarta diferencial de N, M y 110. A) 8
Semana Nº 10
B) 11
C) 10
D) 9
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 12
Pág. 6
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Ciclo Ordinario 2016-I
10. Si A es a B como 2 es a 3, B es a C como 6 es a 8, y A + C = 600, halle (B + C). A) 500
Semana Nº 10
B) 700
C) 750
D) 800
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 900
Pág. 7
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DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA N° 11 PORCENTAJES Porcentaje es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determinada cantidad. Es decir, si dividimos una cantidad en 100 partes iguales y tomamos un número “m” de esas partes, nos estamos refiriendo al m por ciento, denotado por m%; luego: m%
m 100
Así, el m% de una cantidad C es igual a m %C
m C 100
32 40 12,8 100
Ejemplo: el 32% de 40 es: 32% 40
Propiedad Toda cantidad representa el 100% de sí misma, es decir: 100% C C. Ejemplo: A + 20%A = 120%A Descuentos y aumentos sucesivos Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 30%? Cantidad Final = 70%(80% cantidad Inicial) = 56% cantidad inicial. Por tanto el descuento único equivalente es (100 – 56)% = 44% Ejemplo: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 30%? Cantidad Final = 130%(120% cantidad inicial) = 156% cantidad inicial. Por tanto el aumento único equivalente es (156 – 100)% = 56% Variación porcentual Se utiliza para describir la diferencia entre un valor pasado y uno presente en términos de un porcentaje del valor pasado. Generalmente se puede calcular la variación porcentual con la fórmula: V . P.
VFINAL VINICIAL VINICIAL
100%
Ejemplo: Si el precio de un artículo subió de 50 a 60 soles, ¿en qué porcentaje aumentó? V.P .
60 50 100% 50
20%
Por lo tanto aumentó en 20%.
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
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Mezcla alcohólica La pureza de una mezcla alcohólica nos indica qué tanto por ciento representa el volumen de alcohol puro respecto del volumen total. Pureza
Valcohol puro 100% Vtotal
Ejemplo: ¿Cuál es la pureza de mezcla de 9 litros de alcohol puro con 3 litros de agua? Pureza
9 100% 75% 93
Aplicaciones comerciales Cuando el precio de venta es mayor que el precio de costo: Pventa Pcos to Ganancia Gbruta Gneta gastos Pfijado Pventa Descuento
Observación. Generalmente i. Las ganancias se representan como un tanto por ciento del precio de costo, ii. El descuento se representa como un tanto por ciento del precio fijado. Cuando el precio de venta está por debajo del precio de costo: Pventa Pcos to P
Donde P = pérdida.
Observación. Generalmente las pérdidas se representan como un tanto por ciento del precio de costo. Cuando el precio de venta y el precio de costo son iguales, no hay ganancia ni pérdida. Ejemplo: Se compró un artículo a 240 soles. ¿En cuánto se debe fijar el precio para su venta al público, de tal manera que al hacerse un descuento del 10% todavía se esté ganando el 20% del costo? PV = 90%PF = PC + 20%Pc = 120%PC = 120%(240) = 288 90%PF = 288 → PF = 320 Se debe fijar el precio en 320 soles.
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
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EJERCICIOS DE CLASE N° 11 1.
En una fiesta se encuentran bailando en parejas mixtas el 40% de las mujeres y el 75% de los varones. Si del 15% de los varones que no baila cada uno invitara a bailar a una dama, ¿en qué tanto por ciento variaría el número de mujeres que baila? A) 2%
2.
5.
B) S/ 2912,5
C) S/ 3200,5
D) S/ 2470
E) S/ 2812,5
B) 42%
C) 45%
D) 44%
E) 46%
A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 75 Del total de personas que asistieron a un concierto, el 20% obtuvo un descuento del 30% por comprarlo en preventa, otro 40% de los asistentes pagó solo el 80% por usar su tarjeta de crédito en la compra y un 10% de ellas pagó con una incremento del 20% por comprar su entrada en la misma boletería. Si el resto pagó su entrada a precio normal, ¿cuál es la diferencia positiva entre la recaudación total y la recaudación que se hubiera obtenido si todos pagaban la entrada a precio normal? B) 12%
C) 18%
D) 24%
E) 18,5%
Se tiene un recipiente lleno de vino, del cual se extrae el 25% para ser reemplazado por agua; de la mezcla resultante se extrae el 16% del total para reemplazarlo por agua; por último se extrae el 90% de la nueva mezcla. ¿Qué porcentaje del volumen inicial quedará con agua? A) 2,6%
7.
E) 9%
Para fijar el precio de un artículo, un negociante aumentó su costo en un x%, pero al momento de venderlo hace un descuento equivalente al 25% de su costo, con lo cual su ganancia fue del 20% de su precio de venta. ¿Cuál es el valor de x?
A) 20% 6.
D) 5%
Si el radio y la altura de un cilindro circular recto aumentan en un 20%, ¿en qué porcentaje aumenta el área de su superficie cilíndrica? A) 35%
4.
C) 3%
Adriana invirtió su dinero en un negocio y ganó el 50%. Colocó el total obtenido en otro negocio y perdió el 25%. Por último, invirtió lo que le quedaba en una empresa y ganó el 12%. Si la ganancia final por los tres negocios fue de S/ 650, ¿cuál fue la cantidad que invirtió en el tercer negocio? A) S/ 2463
3.
B) 6%
B) 3,7%
C) 2,9%
D) 4,2%
E) 5,7%
Antonio fijó el precio de lista de un producto incrementando en 55% su costo. Al momento de venderlo se hizo un descuento del 20%, y observó que si hubiera hecho esta rebaja sobre el incremento estaría ganando S/ 40 más. ¿En cuánto fijó Antonio el precio de su producto? A) S/ 320
Semana Nº 11
B) S/ 330
C) S/ 310
D) S/ 321
(Prohibida su reproducción y venta)
E) S/ 283
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.
Si el área de un rectángulo aumentó en 8% cuando su base aumentó en 20%, ¿en qué porcentaje disminuyó su altura? A) 9%
9.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 10%
C) 11%
D) 11
1
9
%
E) 9
1 % 11
Nicole fija el precio de un producto en 1300 soles y lo vende con una rebaja de 110 soles, además el precio de venta fue un 70% más que el precio de costo. Si los gastos fueron un 96% de la ganancia neta, halle la ganancia neta. A) S/ 250
B) S/ 260
C) S/ 200
D) S/ 290
E) S/ 300
10. Joaquín compró camisetas deportivas y vendió el 75%, ganando el 20% sobre el precio de compra, después vendió el 44% del resto, perdiendo el 10% sobre el precio de venta. Si ya no vendió más y en total ganó S/.264, ¿cuántos soles pagó por las camisetas que no vendió? A) 312
B) 290
C) 336
D) 320
E) 395
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 11 1.
De los seleccionados nacionales para las olimpiadas de Río 2016, el 60% son mujeres. De ellas, el 30% participa por primera vez; mientras que de los varones, el 50% lo hace por primera vez. ¿Qué porcentaje de nuestros deportistas representan los que participan por primera vez? A) 38%
2.
E) 45%
B) S/ 7000
C) S/ 4900
D) S/ 5600
E) S/ 6850
B) 30%
C) 25%
D) 22%
E) 20%
Sebastián fija el precio de un televisor aumentando su precio de costo en S/ 200. Si, al venderlo, se hace un descuento del 20% y se gana el 30% de su costo, ¿cuál es el precio de costo del televisor? A) S/ 324
5.
D) 35%
Si el volumen de un cubo aumentó en 72,8%, ¿en qué porcentaje aumentó su arista? A) 15%
4.
C) 30%
Si Josué gastara en la compra de un televisor Smart el 12% de su dinero y luego ganara el 10% de lo que le quedaría, entonces habría perdido S/224. Halle la cantidad de dinero que tiene Josué. A) S/ 6500
3.
B) 42%
B) S/ 260
C) S/ 164
D) S/ 210
E) S/ 320
Mathías invirtió el 24%, 36%, 30% de su capital en 3 negocios, regalando el resto a una obra benéfica. Si obtuvo, en los dos primeros, ganancias del 25% y 50% respectivamente, y en el tercero una pérdida del 20%, ¿qué porcentaje ganó o perdió Mathías en total? A) perdió 4%
Semana Nº 11
B) perdió 3%
C) ganó 2%
D) ganó 8%
(Prohibida su reproducción y venta)
E) ni gana ni pierde
Pág. 4
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Ciclo Ordinario 2016-I
6.
Un recipiente contiene 40 litros de mezcla alcohólica al 60%. Se extrae 1/3 del volumen total reemplazando por agua. Luego de la mezcla resultante, se extrae el 50% para volver a reemplazarlo por agua. Si finalmente se extrajo el 75% del resto y se volvió a suplir por agua, ¿cuántos litros de alcohol puro quedó? A) 6 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5
7.
Isaac pensaba vender su auto ganando el 42% del costo; sin embargo, lo vendió ganando el 35% del precio de venta, ganándose así $ 770 más de lo que pensó inicialmente. ¿A Isaac cuánto le costó su auto? A) $ 7880
8.
C) $ 6860
D) $ 8950
E) $ 6790
Para aumentar en un 125% el área de un círculo, ¿en qué porcentaje se debe aumentar su radio?. A) 50%
9.
B) $ 6500
B) 10%
C) 30%
D) 25%
E) 22%
Angie compró cierto número de carteras en S/ x cada uno y los vendió con una ganancia neta de S/ 55x/2. Si la venta le ocasionó a Angie un gasto equivalente al 12% de la ganancia bruta y por toda la venta obtuvo S/ 185x/4, ¿cuántas carteras compró Angie? A) 15
B) 10
C) 30
D) 25
E) 22
10. Pamela compró cierta cantidad de cuadernos pagando el tercio de estos a razón de S/ 10 por tres cuadernos y el resto a S/ 8 por cuatro de ellos. Si se deterioraron 40 1 cuadernos y vendió los restantes a S/ 48 la docena, obteniendo el 9 % de ganancia, 11 ¿cuántos cuadernos compró Pamela? A) 120
Semana Nº 11
B) 150
C) 180
D) 125
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 190
Pág. 5
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Aritmética SEMANA Nº 12 MAGNITUDES PROPORCIONALES (DIRECTA E INVERSA)-REPARTO PROPORCIONAL- REGLA DE TRES SIMPLE-REGLA DE TRES COMPUESTA MAGNITUDES PROPORCIONALES (DIRECTA E INVERSA) MAGNITUD: Es todo lo susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser cuantificado. Dos magnitudes tienen cierta relación de proporcionalidad si, al variar una de ellas, entonces la otra también varía en la misma proporción. Dicha relación de proporcionalidad puede ser de dos tipos: A) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D.P.) Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales (D.P.) cuando al aumentar los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan en la misma proporción o viceversa. Observación 1: La magnitud “A” es directamente proporcional a la magnitud “B” equivale a: A = cte. A D.P. B B VALORES NUMÉRICOS A
a1
a2
a3
…
an
B
b1
b2
b3
…
bn
B
a1 a2 a3 a ... n b1 b2 b3 bn A cte. B
b3 b2 b1
a1
a2
a3
A
Ejemplo: Distancia Velocidad
Semana Nº 12
100 20
200 40
300 60
400 80
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
B) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ( I.P.) Dos magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.) cuando al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra magnitud disminuyen en la misma proporción o viceversa. Es decir, si los valores de una de ellas se duplica, triplica,… los valores correspondientes se reducen a su mitad, tercera parte… respectivamente. Observación 2: La magnitud “A” es inversamente proporcional a la magnitud “B” equivale a: A I.P. B A x B = cte. VALORES NUMÉRICOS A
a1
a2
a3
…
an
B
b1
b2
b3
…
bn
a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = … = an bn B
AB=cte
b1 b2 b3 b4
a1
a2
a3
A
a4
Ejemplo: V T
50 20
100 10
200 5
250 4
500 2
PROPIEDADES I)
Si A D.P B B D.P C A D.P C
II)
Si A I.P B A D.P
Semana Nº 12
1 B
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO III)
IV)
V)
Ciclo Ordinario 2016-I
Si A D.P B (C es constante) Si A D.P C (B es constante) A A D.P B x C = cte. BxC Si A I.P B (C es constante) A I.P C (B es constante) A I.P B x C A x B x C = cte. Si A D.P B (valor A)n (valor B)n
= cte.
Si A I.P B (valor A)n x (valor B)n = cte. REPARTO PROPORCIONAL Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste dividir una cantidad en varias partes, las cuales deben ser proporcionales a un conjunto de números o cantidades llamados índices de reparto. REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Sea “C” la cantidad a repartir y los índices de reparto: a1; a2 ; a3; …; an a1 x K a2 x K a3 x K . . . an x K
C
K
C a1 a2 a3 ... an
Partes P1 = a1 K P 2 = a2 K P 3 = a3 K . . . P n = an K
Ejemplo: Reparta S/. 720 directamente proporcional a: 2; 3; y 4 2K 720
3K 4K
Semana Nº 12
720 K 80 234
P1 = 2(80) = 160 P2 = 3(80) = 240 P3 = 4(80) = 320
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
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REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL Sea “C” la cantidad a repartir y los índices de reparto: a1; a2 ; a3; …; an
1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an = 1 K a1
C
1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an = 2 K a2 1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an = 3 K a3
K
. . .
C 1 2 3 ... n
1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an = n K an
Ejemplo: Reparta S/. 780 que sean inversamente proporcional a 6; 9; y 12.
1 MCM(6,9,12) 6K 6 780
P1 = 6(60) = 360
1 MCM(6,9,12) 4K 9
K
780 60 643
P2 = 4(60) = 240 P3 = 3(60) = 180
1 MCM(6,9,12) 3K 12
REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Es cuando se tiene dos magnitudes directamente proporcionales. El esquema es el siguiente: A a1 x x
a1b2 b1
B b1 b2
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Es cuando se tiene dos magnitudes inversamente proporcionales. El esquema es el siguiente: A B a1 b1 x b2 a1b1 x b2 Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
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REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando se tienen tres o más magnitudes. El esquema es el siguiente: A a1 x
B b1 b2
C c1 c2
Supongamos que las magnitudes A con B son directas y A con C son inversas; entonces, ab c x 1 2 1 b1c2 EJERCICIOS DE CLASE N° 12 1.
El consumo de un trabajador es D.P. a su sueldo, y lo que no gasta lo ahorra. El señor Torres gana S/ 500 semanales y ahorra S/ 100. Si recibe un aumento, consume S/ 1260 ¿De cuánto fue el aumento? A) S/ 1075
2.
4.
E) S/ 2000
B) 20
C) 24
D) 40
E) 15
A) 10 B) 11 C) 14 D) 12 E) 13 Dos socios obtienen en un negocio una utilidad de S/ 14500. El primero aportó S/ 3000 durante cinco meses y el segundo, aportó su dinero durante dos meses. ¿Cuánto aportó el segundo si su capital se duplico? B) S/ 3500
C) S/ 4500
E) S/ 8000
D) S/ 7000
Una persona tiene alimentos para 20 días consumiendo dos raciones diarias. Si se desea que los alimentos alcancen para 30 días ¿cuántas raciones menos se deben consumir diariamente para lograr el objetivo? A) 2/5
6.
D) S/ 1400
Tomas tiene 4 años menos que María, y juntos poseen S/ 84, los cuales se reparten proporcionalmente a sus edades. Pero Tomas decide que María reciba el doble de lo que el recibe por lo cual le da S/ 7. ¿Cuál es la edad de María?
A) S/ 3000 5.
C) S/ 1600
Se tienen dos magnitudes “M” y “N” que son I.P. para valores de “N” menores o iguales a 40, pero las mismas son D.P. para valores de “N” mayores o iguales a 40. Si M=8 cuando N=64 ¿Cuál es el valor de “M” cuando N=160? A) 18
3.
B) S/ 1000
B) 3/4
C) 1/3
D) 1/2
E) 2/3
Doce obreros pueden hacer una obra en 28 días. Si ocho de estos obreros se reemplazan por 8 obreros que rinden 60 % más, ¿en cuánto tiempo se hará la misma obra? A) 20
Semana Nº 12
B) 16
C) 15
D) 14
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 7
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Se empezó una obra con 12 obreros con un plazo de 30 días para culminarla, trabajando 8 h/d. Al terminar el tercer día, se retiran la mitad del número de obreros, retornando al cabo de 9 días de ausencia. Después de 14 días de iniciada la obra se contratan “n” obreros en turno, un extra durante 9 h/d para culminar a tiempo. Halle el valor de “n” A) 1
8.
B) 3
C) 2
D) 5
E) 4
Doce obreros se comprometen a realizar una obra en 30 días, después de trabajar cinco días, algunos obreros aumentan su eficiencia en 50 %, terminándose la obra cinco días antes del plazo establecido. ¿Cuántos obreros aumentaron su eficiencia? A) 4
9.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 7
C) 6
D) 8
E) 9
Un bote puede transportar a seis hombres ó a ocho mujeres. Si se tiene que transportar 212 mujeres y 123 hombres, ¿cuántos viajes realizará como mínimo en el bote? A) 45
B) 46
C) 48
D) 47
E) 49
10. Tres amigas juntan su dinero para comprar un regalo. Las dos primeras aportan S/ 64 y S/72 respectivamente. Luego de efectuar la compra, se reparte el vuelto proporcionalmente a los aportes de cada una recibiendo la segunda seis soles menos que la tercera y ésta ocho soles más que la primera. ¿Cuál fue el costo del regalo? A) S/ 234
B) S/ 320
C) S/ 116
D) S/ 87
E) S/ 174
DE EVALUACIÓN N° 12 1.
El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su peso. Si se partiera en n partes iguales se obtendría cierta perdida, pero si se partiera en "2n" partes iguales, la 1 perdida variaría respecto a la anterior en ¿En cuántas partes se partió finalmente? 20 A) 11
2.
D) 7
E) 6
B) 150 y 80
C) 140 y 70 D) 160 y 90
E) 130 y 60
Si 35 obreros se comprometen a terminar una obra en 27 dias. Al cabo de 6 dias de trabajo se contrata cierto número de obreros de otro grupo tal que todo junto en 15 dias terminarian la obra. ¿Cuántos obreros eran los del segundo grupo? A) 12
4.
C) 8
Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenadas. Calcular cuantas vueltas habrá dada cada una al cabo de cuatro minutos, sabiendo que una rueda ha dado 70 vueltas más que la otra? A) 120 y 50
3.
B) 9
B) 11
C) 14
D) 13
E) 15
Una tripulación de “L” hombres tiene víveres para “n” dias. Si se reduce a la tercera parte el número de dias de viaje, ¿cuántos hombres más podrán viajar? 3 2 2 B) L C) 3L D) 2L E) L A) L 5 3 2
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Se reparte S/ 42 entre María, Nelly y Patricia de manera que la parte de Nelly sea el doble del cuadrado de la parte de Patricia y la de Patricia la diferencia de las partes de María y Nelly ¿Cuánto fue la mayor cantidad repartida? A) 40
6.
9.
C) 16
D) 14
E) 21
B) 28
C) 21
D) 14
E) 42
Arturo, Daniel y Gustavo compran una máquina aportando cantidades que son proporcionales a los números ab , ba y bb respectivamente. Si Arturo aportó S/ 468 y Daniel S/ 819, ¿cuál es el costo de la maquina? A) S/ 1950
8.
B) 28
Tres distribuidores mayoristas desean transportar el mismo número de artículos, el primero a 50 Km, el segundo a 65 Km y el otro a 75 Km, por esto alquilan una empresa de transportes pagando un total de S/ 266. ¿Cuánto más paga el tercero que el primer comerciante? A) 35
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) S/ 2145
C) S/ 2950
D) S/ 1450
E) S/ 1140
Si 40 obreros pueden hacer una obra en 24 días trabajando 8 h/d, pero cuando se hizo la cuarta parte de la obra se pide que se entregue la obra 8 días antes del plazo fijado ¿Con cuántos obreros tendrán que reforzarse para que trabajando 9 h/d entreguen el trabajo en el nuevo plazo fijado? A) 21 B) 30 C) 24 D) 25 E) 45 Un grupo de 10 obreros deben hacer una obra en 20 días, luego de trabajar tres días recibieron la ayuda de dos obreros quienes trabajan solo “x” días. Si la obra se terminó un día antes de lo previsto y todos los obreros son de rendimiento similar, halle el valor de “x”. A) 3
B) 4
C) 7
D) 5
E) 6
10. Diez expertos en costura recta deben hacer 100 chompas en 16 días, al terminar el cuarto día dos de los expertos renunciaron al trabajo, y en su lugar ingresaron dos con doble de eficiencia que los anteriores. ¿Con cuántos días de anticipación se concluyó el trabajo? A) 6
Semana Nº 12
B) 5
C) 4
D) 3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2
Pág. 7
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA N° 13 REGLA DE INTERÉS SIMPLE Y REGLA DE DESCUENTO COMERCIAL I. REGLA DE INTERÉS La regla de interés es el conjunto de procedimientos ligados a operaciones matemáticas que permiten determinar la utilidad producida por un bien al ser invertida en una determinada actividad económica; en la regla de interés intervienen los siguientes elementos: Capital ( C ) Es la cantidad de dinero que se va a prestar o alquilar para que luego de un periodo de tiempo produzca una ganancia. Tiempo ( t ) Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital. Interés ( I ) Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce el capital, durante cierto tiempo. Tasa de interés ( r% ) Es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias, en un cierto tiempo. Monto ( M ) Es la suma del capital más los intereses que se obtienen en un determinado momento. CLASES DE INTERÉS: a) Interés simple: El interés simple se da cuando el capital prestado permanece constante en el tiempo que dura el préstamo. Es decir: los intereses no se suman al capital.
b) Interés compuesto: El interés compuesto se da cuando el capital prestado varía aumentando periódicamente durante el tiempo que dura el préstamo. Es decir: los intereses se suman al capital cada unidad de tiempo durante todo el tiempo de duración del préstamo. Fórmulas de interés simple I = C × r% × t
a)
M=C+I
Interés I que produce un capital C cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en años. C.r.t I= 100
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO b)
c)
d)
Ciclo Ordinario 2016-I
Interés I que produce un capital C cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en meses. C.r.t I= 1200 Interés I que produce un capital C cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en días. C.r.t I= 36000 Monto M producido por un interés I y un capital C con tasa anual r% en un tiempo t .
M =C + C.t.r% = C 1+ t.r%
Se debe tener presente que las unidades de tasa y tiempo deben ser las mismas.
r anual , semestral , trimensual , bimensual , mensual , diaria ,... ® t
años
semestres (6 meses)
trimestres (3 meses)
bimestres (2 meses)
Considerar: Año comercial = 360 días
meses
días
Mes comercial = 30 días
II. REGLA DE DESCUENTO La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro. La ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital. Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: Descuento comercial, descuento racional y descuento económico. Elementos de la Regla de Descuento: 1. Letra de cambio: Es una orden escrita de una persona (girador) a otra (girado) para que pague una determinada cantidad de dinero en un tiempo futuro (determinado o determinable) a un tercero (beneficiario). 2. Valor Nominal ( Vn ) Es la cantidad de dinero escrita en el documento efecto de comercio (Letra de cambio, pagaré, cheque, factura, boleta, etc.) 3. Valor actual ( Va ) Es el efectivo que se paga por la deuda en una fecha antes de su vencimiento. 4. Descuento Comercial ( Dc ) Es la rebaja que se hace al valor de un documento, por pagarla anticipadamente a su vencimiento. Se calcula como un interés simple tomando como capital de referencia en valor nominal. 5. Tiempo ( t ) Es el tiempo que falta para el vencimiento del documento al momento de realizar un pago anticipado. 6. Tasa de descuento (r %) Semana Nº 13
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Es el tanto por ciento aplicado por cada cierto periodo establecido a un determinado valor. Fórmulas del Descuento Comercial
Dc = Vn × t × r%
Va = Vn - Dc
a)
Descuento comercial Dc que se obtiene a partir de un valor nominal Vn cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en años. V .r.t Dc = n 100
b)
Descuento comercial Dc que se obtiene a partir de un valor nominal Vn cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en meses. V .r.t Dc = n 1200 Descuento comercial Dc que se obtiene a partir de un valor nominal Vn cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en días. V .r.t Dc = n 36000
c)
d)
Valor actual
Va (efectivo a pagar) cuando se tiene un descuento comercial Dc
a una letra de valor nominal Vn con tasa anual r% en un tiempo t .
Va = Vn - Dc = Vn - Vn .t.r% = Vn 1- t.r%
Se debe tener presente que las unidades de tasa y tiempo deben ser las mismas.
r anual, semestral , trimensual , bimensual , mensual, diaria ,... ® t
años
semestres (6 meses)
trimestres (3 meses)
bim estres (2 meses) bimestres
meses
días
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 13 1.
Un comerciante gana en dos meses S/ 2016 lo cual representa el 30% de su capital. Durante cuánto tiempo tendría que depositar su capital en un banco que ofrece una tasa de interés del 9% trimestral, para que su capital genere una utilidad igual a la ganancia obtenida anteriormente? A) 3 meses
2.
C) 9 meses
D) 10 meses
E) 1 año
Un capital ha generado una rentabilidad del 37,5% del monto a una tasa de 5% cuatrimestral. ¿Qué porcentaje del monto producirá dicho capital en 20 años? A) 75%
3.
B) 6 meses
B) 37,5%
C) 62,2%
D) 75,5%
E) 25%
Tres capitales impuestos separadamente al 12,5% semestral, 8% cuatrimestral y al 5% trimestral respectivamente generan la misma renta anual. Si el menor de los montos producidos en un año es de S/ 3000, calcule el mayor capital. A) S/ 2500
Semana Nº 13
B) S/ 3200
C) S/ 3000
D) S/ 2800
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E) S/ 2900 Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.
Se prestó un capital por cinco años y el monto obtenido fue de S/45 000, pero si el tiempo hubiese sido de siete años, se ganaría S/ 12 000 más. Halle la tasa de interés trimestral. A) 9%
5.
E) 12%
B) 33,3%
C) 33,5%
D) 35%
E) 35,3%
B) 7
C) 10
D) 14
E) 22
B) 2184
C) 4182
D) 2148
E) 2418
María firmó una letra de S/ 7200 a pagar dentro de 2 años; pero como pagó 14 meses después de haber firmado dicha letra, tan solo pagó S/ 6780. ¿A qué tasa de descuento semestral estuvo impuesta esa letra? A) 3,5%
9.
D) 10%
Eloy decide comprar un artefacto a plazos, por el cual paga una cuota inicial de S/ 600 y firma tres letras mensuales cuyos valores nominales son proporcionales al número de meses que faltan para su vencimiento. Si la cuota inicial es el promedio de los valores nominales, y si además, la tasa de descuento es del 18% trimestral. ¿Cuánto hubiese pagado Eloy al contado? A) 4128
8.
C) 8 %
Jhamil firma una letra pagadera dentro de 15 meses, con una tasa descuento comercial del 18% trimestral; pero a los 6 meses cancela su deuda. Sabiendo que si la hubiera cancelado el mismo día que firmó la letra, se hubiera ahorrado S/ 1800. Halle el producto de divisores primos del valor nominal de dicha letra. A) 6
7.
B) 11%
Un capital impuesto durante 10 años genera un interés igual al 20% del monto. ¿Qué porcentaje del nuevo monto será el interés generado en 20 años? A) 32,5%
6.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 14%
C) 1,75%
D) 7,5%
E) 7%
Daniel vende a crédito un celular al señor Marcos; el precio al contado es de S/ 2000. Marcos da S/ 150 de inicial, y firma dos letras de igual valor nominal que vencen mensualmente. Calcule este valor nominal admitiendo una tasa de descuento de 60% anual.
A) 900 B) 850 C) 950 D) 1050 E) 1000 10. Un jubilado decide comprarse un televisor led de 50 pulgadas y para esto firma 8 letras mensuales de $ 1 000 cada una. Aunque si paga al contado al jubilado se le ofrece un descuento que haría que el solo cancele $ 6 200 por todas sus letras. ¿Cuál es la tasa de descuento mensual que ofrece el vendedor? A) 3,5%
B) 4%
C) 7,5%
D) 5%
E) 7%
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 13 1.
Un capital es colocado al 7% anual durante 8 meses y este produce S/ 6 500 menos que estando colocado al 6% mensual en el mismo tiempo. Halle este capital. A) S/ 12500
2.
B) S/ 13200
C) S/ 15000
D) S/14800
E) S/ 14900
Dos comerciantes tienen sus capitales en relación de 16 a 21 y éstos son colocados en un mismo banco durante 3 años con una tasa del 10% de interés simple. Si al cabo de este tiempo se espera recibir un monto total de S/ 19 240. Halle la diferencia positiva de estos capitales.
Semana Nº 13
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO A) S/ 2500 3.
9.
C) 10,68
D) 4,68
E) 5,34
B) S/ 12 000
C) S/ 24 000
D) S/ 18 000
E) S/ 16000
B) S/ 240
C) S/ 245
D) S/ 250
E) S/ 225
B) 3%
C) 8%
D) 6,5%
E) 7,2%
Una letra de S/ 36000 se ha negociado faltando 15 días para su vencimiento. Si se hubiera negociado 7 días después, su valor hubiera sido S/840 mayor. ¿Cuánto se recibirá por dicha letra? A) 31800
8.
B) 9,68
Se tiene una letra cuyo valor actual es 5 460 que vence dentro de 18 meses. Si se cancelara dentro de 5 meses, se pagaría $ 300 menos que si se cancelara 3 meses antes de la fecha de vencimiento. ¿Cuál es la tasa de descuento anual aplicado en todos los casos? A) 6%
7.
E) S/ 4900
Dos personas han impuesto entre ambos un capital de S/ 10000 a interés simple. El primero coloca su parte al 5% anual durante 6 meses y el segundo al 4% anual durante 9 meses. Sabiendo que el interés que recibió el primero es a lo que recibió el segundo como 5 es a 24, halle el interés que produjo el mayor de los capitales. A) S/ 230
6.
D) S/ 4800
Martha depositó un capital con una tasa del 2% trimestral y al cabo de t meses recibió por los intereses simples, la décima parte del capital. Si Martha hubiera depositado el mismo capital a una tasa del 2% cuatrimestral, en (t + 8) meses hubiera recibido S/ 2300 por los intereses simples. Calcule el capital de Martha. A) S/ 20 000
5.
C) S/ 2000
Dos hermanas se proponen tener el mismo capital dentro de 10 años. La mayor tiene para empezar S/ 2600 y la menor S/. 2200. Si la mayor impone su capital al 7.5% ¿A qué tasa semestral tendrá que colocarlo la menor? A) 11,68
4.
B) S/ 3200
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B) 32400
C) 34200
D) 34050
E) 34400
Luchito firmó una letra de S/ 2400 pagadera dentro de 8 meses. Se libera pagando S/ 676 al contado y suscribiendo dos pagarés, el primero de S/ 864 pagadero en 5 meses y el otro pagable en un año, con una tasa de descuento de 5% anual en todos los casos. ¿Cuál es el valor nominal del último pagaré? A) S/ 875 B) S/ 860 C) S/ 820 D) S/ 835 E) S/ 840 Un comerciante firma dos letras de igual valor nominal cuyos vencimientos son dentro de 3 y 8 meses. Si él recibe un pago adelantado de sus clientes mayoristas y cancela dichas letras en efectivo, el mismo día que las firmó, con un descuento total de S/ 13 200; halle el valor nominal de estas, si la tasa de descuento es de 1% mensual en ambos casos. A) S/ 120875
B) S/ 120000
C) S/ 120820
D) S/ 120835
E) S/ 120840
10. Luis tiene dos letras cuyos valores nominales suman S/ 12 800, pero al momento de cancelarlas paga en total S/ 12 550 con una tasa de descuento del 5%. Si la primera y segunda letra fueron descontadas por 3 y 6 meses respectivamente; halle la de mayor valor nominal. A) S/ 7875
Semana Nº 13
B) S/ 7860
C) S/ 7200
D) S/ 7235
(Prohibida su reproducción y venta)
E) S/ 7240
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Aritmética SEMANA N° 14 MEZCLAS Y ALEACIONES MEZCLA Es la unión de dos o más sustancias homogéneas en la que cada una de ellas conserva su propia naturaleza. REGLA DE MEZCLA En el comercio se acostumbra mezclar diversas clases de mercadería (ingredientes de la mezcla) de distintos precios, para venderlo en un precio intermedio. El precio medio (o precio de la mezcla) es el precio de costo por unidad de mezcla. Está dado por:
Pm =
C1,C2 ,...Cn Cantidades de los ingredientes
C1P1 +C2P2 +...+CnPn C1 +C2 +...+Cn
P1,P2 ,...Pn Precios de los ingredientes
PV = Pm + G MEZCLA ALCOHÓLICA Es aquella en la que interviene alcohol puro y agua; o donde los ingredientes contienen cierta cantidad de alcohol puro. Grado o pureza de alcohol Es el tanto por ciento de alcohol puro que contiene una mezcla alcohólica. También se mide en grados. El alcohol puro tiene 100° y el agua sola 0°.
Grado medio (Gm )
Grado de volumen de alcohol puro × 100% = alcohol volumen total de la mezcla
Es el grado resultante de mezclar varios alcoholes, cada uno de ellos con su respectivo grado. G1V1 +G2 V2 +...+Gn Vn V1,V2 ,..., Vn Volumen de los alcoholes V1 +V2 +...+Vn ALEACIÓN G ,G ,...,Gn Grado de los alcoholes Es la mezcla de dos o más metales mediante1la 2fundición. Gm =
Ley de Aleación La pureza de una aleación se determina mediante la expresión decimal de la relación existente entre el peso del metal fino y el peso total de la aleación. Lm =
Semana Nº 14
L1W1 + L2 W2 + ... + Ln Wn W1 + W2 + ...+ Wn
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Ley Media (LM) Es la ley de una aleación conformada por varias aleaciones. Lm =
W1,W2 ,...,Wn peso de cada metal L1, L2 ,...,Ln Ley de cada metal
L1W1 + L2 W2 + ... + Ln Wn W1 + W2 + ...+ Wn
Ley de oro Ley =
Peso del oro N° Kilates = Peso total 24
Kilates medio W1,W2 ,...,Wn pesos de cada metal
K W +K W + ...+Kn Wn Km = 1 1 2 2 W1 +W2 + ... Wn
K1, K2 ,...,Kn Kilates de cada metal
EJERCICIOS DE CLASE N° 14 1.
José mezcló cantidades iguales de alcohol de 70° y 90°, luego a esa mezcla le agregó 15 litros de alcohol puro y 20 litros de agua, obteniendo alcohol de 60°. Si la mezcla final la vendió a S/ 2 la botella de 260 ml, ¿cuánto dinero recaudó José al vender toda la mezcla? A) S/ 450
2.
D) S/ 420
E) S/ 650
B) 16
C) 19
D) 18
E) 20
Un vendedor mezcla 20 litros de vino de S/ 50 el litro con 80 litros de vino de S/ 30 el litro, luego vende cierta cantidad de esa mezcla ganando el 20% y los reemplaza por agua, finalmente vende el resto ganando el 10%. Si la ganancia por litro de la primera venta excede al de la segunda en S/ 5,10; ¿cuántos litros de vino vendió al inicio? A) 40
4.
C) S/ 500
Luis tiene dos recipientes el primero contiene de 30 litros de alcohol de 90° y el segundo 50 litros de alcohol de 60°, ¿qué cantidad entera de litros debe intercambiar Luis, como mínimo, para que el grado de pureza de la mezcla del primer recipiente sea menor que el de la segunda? A) 17
3.
B) S/ 750
B) 45
C) 50
D) 55
E) 35
Se mezcla tres tipos de arroz, cuyos pesos en kilogramos son 10, 12 y 8; y los precios en soles son 2,40; 2,20 y 2,80 respectivamente. Si al vender toda la mezcla se obtuvo S/ 83,72; ¿qué porcentaje se ganó en dicha venta? A) 12%
Semana Nº 14
B) 10%
C) 14%
D) 16%
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 15%
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Rosita lleva a la joyería tres objetos de plata de leyes 0,925; 0,950 y 0,875, para que le confeccionen un collar de plata de ley 0,900. Si los dos objetos más finos tienen el mismo peso y el joyero agregó 2 gramos de plata pura, de modo que luego de fundirlos obtuvo un collar de 20 gramos cumpliendo el pedido de Rosita, ¿cuántos gramos pesaba el objeto menos fino de los tres? A) 12
6.
D) 10
E) 14
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
B) 36
C) 40
D) 39
E) 42
Un joyero fundió dos lingotes de plata, el primero de ley 0,800 y el segundo de ley 0,6̂. Si la cantidad de plata pura que contiene el primero es a lo que contiene el segundo como 14 es a 5, ¿de qué ley resultó dicha aleación? A) 0,750
9.
C) 15
Se tiene un lingote de plata de 4 kg de peso y 0, abc de ley. Si abc es el máximo número posible múltiplo de 25, ¿con cuántos kilogramos de oro puro se le deberá fundir para que su ley se duplique? A) 38
8.
B) 18
Tres amigos poseen cada uno un lingote de oro que contiene cobre. El de Julio es de 18 quilates y contiene 210 g de oro puro, el de César tiene una liga de 0,400 y contiene 100 g de cobre; y el de Pablo tiene 1,000 de ley y pesa 490 g. Si fundieron los tres lingotes, ¿cuántos quilates tiene la aleación resultante? A) 22
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 0,760
C) 0,720
D) 0,680
E) 0,650
Se tiene dos lingotes de oro de 21 quilates, que contienen cobre. Las cantidades de cobre que tienen ambos lingotes están en la relación de 5 a 2. Si se funde cada lingote con una cantidad de cobre igual al total de cobre que había al inicio, ¿cuál es la mayor relación que hay entre las leyes de esas aleaciones resultantes? A) 4/3
B) 58/47
C) 23/19
D) 115/94
E) 5/4
10. Alicia y Juan son esposos y llevan al joyero, 2 anillos de oro de 14 quilates de 3 gramos cada uno y 2 anillos de oro de 18 quilates de 3,5 gramos cada uno respectivamente, para que les confeccione 4 aros de oro de 21 quilates, dos para Alicia de un mismo peso y dos para Juan de un mismo peso. Si el joyero fundió los 4 anillos con cierta cantidad de oro puro, resultando que cada aro de Juan tiene 3 gramos más que cada aro de Alicia, ¿cuántos gramos de oro puro tiene cada uno de los aros de Juan? A) 8
B) 8,25
C) 7,75
D) 8,5
E) 8,75
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 14 1.
Se tiene 80 litros de alcohol de 90º. Si se agregó alcohol puro y agua hasta obtener 200 litros de alcohol de 65º, ¿cuántos litros más de agua que de alcohol puro se agregó? A) 10
Semana Nº 14
B) 12
C) 8
D) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 6
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.
Un comerciante mezcló café de S/.15 y S/.20 el kg. Si dicha mezcla contiene 7 partes del más barato por 13 partes del más caro y luego vendió esa mezcla ganando el 20% del costo, ¿a cuánto vendió el kilogramo de la mezcla? A) S/ 21,90
3.
C) 50°
D) 40°
E) 55°
B) S/ 0,75
C) S/ 1,30
D) S/ 0,85
E) S/ 0,55
B) 5
C) 15
D) 17
E) 9
B) 156
C) 132
D) 143
E) 134
B) 36
C) 9
D) 12
E) 6
Un joyero fundió un lingote de oro de 800g y 21 quilates con otro lingote de oro de 400g y 0,750 de ley. Si cada lingote contiene oro puro y cobre, ¿cuántos gramos más de oro puro que de cobre hay en la aleación final? A) 400
9.
B) 45°
Tres amigas Ana, Bertha y Carol tienen tres joyas de plata de leyes 0,600; 0,800 y 0,900 respectivamente. Si se fundiera las joyas de Ana y Bertha se obtendría plata de ley 0,720; pero si se fundiera las joyas de Bertha y Carol se obtendría plata de ley 0,820. Si el peso total de las tres joyas es 69 g, ¿cuántos gramos pesa la joya de Carol? A) 24
8.
E) S/ 21,25
El 30% de un lingote de oro es cobre. ¿Cuántos gramos de oro puro se debe añadir a 90 gramos de ese lingote para que luego de fundirlos se obtenga oro de 21 quilates? A) 126
7.
D) S/ 27,50
Un comerciante mezcló vino de S/ 40 el litro con vino de S/ 30 el litro. Luego de esta mezcla vendió 25 litros a S/ 43,20 el litro ganando el 20%. Halle la diferencia positiva entre el número de litros de vino de ambos tipos en la mezcla vendida. A) 11
6.
C) S/ 22
Un bodeguero mezcló dos tipos de azúcar en la proporción de 3 a 7 y dicha mezcla la vendió perdiendo el 10%. Después las mezcló, en el mismo orden, pero en la proporción de 9 a 5 y esa mezcla la vendió ganando el 40%. Si el precio de venta por kg fue el mismo en ambos casos y el precio de compra por kg de un tipo excede al otro en S/ 2,50, ¿cuál es el precio de compra por kg del más barato? A) S/ 0,65
5.
B) S/ 21
Don Jesús mezcló 1 litro de alcohol de 10°, con 2 litros de alcohol de 20°, con 3 litros de alcohol de 30° y así sucesivamente hasta donde fue posible. Si luego, a dicha mezcla le agregó 22 litros de agua, ¿de qué grado de pureza resultó la mezcla final? A) 60°
4.
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B) 600
C) 650
D) 800
E) 750
María llevó a la joyería una brazalete de oro de 12 gramos y 18 quilates, y un anillo de oro de 6 gramos y ley 0,850 para que con ellos le confeccionen un collar de 21 quilates. Para lo cual el joyero tuvo que agregar oro puro hasta obtener lo pedido. Si el joyero cobró S/ 125 por gramo de oro puro que agregó y S/ 5 de mano de obra por cada gramo del peso total del collar, ¿cuánto pagó María por su collar? A) S/ 1802
Semana Nº 14
B) S/ 1806
C) S/ 1810
D) S/ 1820
(Prohibida su reproducción y venta)
E) S/ 1824
Pág. 4
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10. Sofía compró un anillo de oro de 20 quilates que pesa 6 gramos y una pulsera de plata de ley 0,925 que pesa 20 gramos. Si el gramo de oro puro y plata pura cuesta S/ 125 y S/ 20 respectivamente, y no le cobraron por el metal corriente que contienen las joyas, ni por la mano de obra, ¿cuánto pagó Sofía por dicha compra? A) S/ 1000
Semana Nº 14
B) S/ 1025
C) S/ 1200
D) S/ 825
(Prohibida su reproducción y venta)
E) S/ 995
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Aritmética SEMANA Nº 15 PROMEDIOS Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Promedio: Es la cantidad representativa de un conjunto de datos, donde ésta debe estar comprendida entre el menor y mayor de los datos. Sean d1 ;d2 ;d3 ;d4 ;...;dn los datos (ordenados de forma creciente). Si P es el promedio de dichos datos entonces: d1 P dn PROMEDIOS IMPORTANTES 1.Promedio Aritmético. ( MA ; X ) n
suma de los datos X= = cantidad total de los datos
d
i
i=1
n
OBS:
Aumento y / o disminución Variación del promedio(Vp)
Velocidad promedio.
Vp =
Vp =
de los datos Total de los datos
espacio total recorrido Tiempo total empleado
2.Promedio Geométrico. ( MG )
MG =
cantidad total de los datos
n Producto = n di = n d1 ×d 2 × ...×dn de los datos i=1
3.Promedio Armónico. ( MH )
MH =
cantidad total de los datos = suma de inversas de los datos
n n
1
d i=1
i
PROPIEDADES: 1) MA MG MH 2) MA = MG = MH si y sólo si todos los datos son iguales. 3) Propiedades para dos datos a y b.
Semana Nº 15
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Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
a+b 2a.b ; MG(a,b) = a.b; MH(a,b) = 2 a+b
a)
MA(a,b) =
b)
MA(a,b) MH(a,b) = MG(a,b)
c)
MA(a,b) - MG(a,b) = 4
2
a - b
2
MA(a,b) + MG(a,b)
MEDIDAS DE POSICIÓN 1) MEDIA ( X ) está dada por la media aritmética de los datos. OBS: X varía siempre que alguno de los datos varíe. 2) MEDIANA (Me) considerando los datos ordenados (creciente o decreciente); la mediana es el término central y/o la semisuma de los términos centrales. 3) MODA (Mo) es aquel dato que se presenta con mayor frecuencia, así pueden ser UNIMODAL, BIMODAL, etc. MEDIDAS DE DISPERSIÓN 1) Variancia ( σ 2 ) σ 2 Varianza de la población. d i Elementos de observación (datos) i = 1, 2, ...,n X = MA media de los datos d i , i = 1, 2, ...,n
n número de elementos de la muestra. n
σ2 =
d i=1
Además σ (kX) = k σ (X); 2
2
2
i
-X
n
Entonces:
n
d 2
=
2
i
i=1
- X
2
n σ X + k = σ 2 X , donde k es constante. 2
2) Desviación estándar ( σ ) n
σ=
d i=1
i
-X
n
2
n
=
d i=1
i
n
2
- X
2
EJERCICIOS DE CLASE N° 15 1.
El promedio aritmético de 30 números es 25. Si 20 de ellos son disminuidos en 10 unidades y el resto son aumentados en 10 unidades obteniendo un nuevo promedio, halle la variación positiva de los promedios. A)
2.
10 3
B)
65 3
C)
25 3
D)
65 6
E)
12 5
La media aritmética, geométrica y armónica de los perímetros de tres triángulos equiláteros son 5 cm, 4 cm, 3 cm respectivamente. Calcule la media de las áreas de los tres triángulos. A)
97 3 cm 2 108
Semana Nº 15
B)
97 3 67 3 27 3 cm 2 C) cm 2 D) cm 2 54 54 24 (Prohibida su reproducción y venta)
E)
97 3 cm 2 27 Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Un aeroplano se dirige desde una ciudad A hasta la ciudad E, para ello debe pasar por las ciudades B, C y D sin detenerse y a velocidades constantes diferentes de una ciudad a otra que están en relación a 2, 4, 6 y 8 respectivamente. Si la velocidad media del aeroplano en su recorrido total es de 288 km/h y las distancias entre las ciudades son iguales. ¿A qué velocidad hizo el recorrido desde C hacia D? A) 450 km/h
4.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 300 km/h
C) 250 km/h
D) 400 km/h
E) 500 km/h
La distribución de los sueldos de los empleados de una empresa está dada en la siguiente tabla Sueldo (S/ ) # empleados
750 10
1000 5
1500 1
2000 10
4800 4
6000 1
Si se contratan tres nuevos empleados con salario de S/ 1800 cada uno, ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. II. III. IV.
La media de los salarios anteriores es mayor que la nueva media. La mediana de los nuevos salarios es mayor que la mediana anterior. La moda de los nuevos salarios es S/ 2000 El promedio de las medianas es S/ 1625
A) FVFV
5.
D) FFVV
E) VVFF
B) 12,72
C) 12,60
D) 14,10
E) 13,20
Una ama de casa gasta S/ 30, cada mes, durante 3 meses consecutivos, en la compra de aceite. El primer mes compró a S/ 10 el galón, el segundo mes lo compró a S/ 6 el galón y el tercer mes lo compró a S/ 3 el galón; diga entonces ¿cuál fue el costo promedio mensual? A) S/ 15
7.
C) VVVF
En un curso, la nota promedio de las secciones A y B son 12 y 10 respectivamente; 2 la sección B tiene del número de alumnos que tiene A. Luego de los reclamos 3 presentados por los alumnos, el promedio de la sección A sube 10% y el de B sube 20%. Calcule el promedio de notas de ambas secciones. A) 13,75
6.
B) VFVF
B) S/ 12
C) S/ 10
D) S/ 5
E) S/ 3
Luis es un estudiante universitario del primer ciclo, ha llevado 5 cursos cuyas notas y pesos por cursos se muestra en la siguiente tabla: CURSOS
NOTA
PESOS
CÁLCULO I MÁT. BÁSICA REDACCIÓN FÍSICA COMPUTACIÓN
10 12 17 13 14
5 5 3 4 4
Determine el promedio ponderado que obtuvo Luis. A) 11,15
Semana Nº 15
B) 12,25
C) 11,16
D) 13,10
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 12,81
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.
Ciclo Ordinario 2016-I
En la siguiente tabla se muestra el consumo mensual de energía eléctrica de una familia, durante los 5 primeros meses del 2016. MESES enero febrero marzo abril mayo
CONSUMO (Kw) 115,5 113,8 113,2 111,2 112,8
Calcule la varianza, en Kw, de los consumos mensuales. A) 1,440 9.
B) 1,952
C) 2,450
D) 3,465
E) 1,432
La venta diaria de seis artículos diferentes en una tienda es la siguiente: el primer día se vende 4; 7; 6; 8; 5 y 6 unidades respectivamente, el segundo día la venta de cada artículo se duplica con respecto al día anterior y el tercer día se vende tres unidades más de cada artículo comparado con la venta del día anterior. Halle el promedio de ventas y la varianza del último día. A) 10 y
20 3
10 6
B) 10 y
C) 15 y
10 3
D) 15 y
20 3
E) 15 y
18 5
10. La suma de tres números es 24 y su desviación estándar es 4 3 / 3 . La media y la varianza de otros tres números son 8 y 20/3 respectivamente. Halle la desviación estándar de los seis números. A) 6
B)
6
C)
8
D) 3
E) 2 6
EVALUACION DE CLASE N° 15 1.
El promedio armónico de las edades de 36 personas es 18. Si ninguna de ellas tiene más de 21 años, ¿cuántos años como mínimo podría tener una de las personas? A) 15
2.
C) 16
D) 10
E) 3
En los últimos 5 meses del gobierno actual se registró una tasa de inflación mensual de 1,6%; 2,0%, 2,5%; 1,6% y 2,5%. Encuentre la tasa de inflación mensual promedio durante ese tiempo. A) 3,5%
3.
B) 12
B) 2,5%
C) 2,0%
D) 1,5%
E) 1,7%
El promedio de los cuadrados de los “n” primeros números enteros positivos es Halle el promedio de los cubos de estos números. A) 325
4.
B) 512
C) 507
D) 610
325 . 6
E) 417
El peso promedio de todos los alumnos del aula A es de 68 kilogramos y de todos los alumnos del aula B es de 55 kilogramos. Si el total de alumnos de las dos aulas es 52 y el peso promedio de estos es 60 kilogramos, ¿cuántos kilogramos es el peso total de los alumnos del aula A? A) 1496
Semana Nº 15
B) 1428
C) 1292
D) 1360
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E) 2176
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
La edad promedio, en años, de los 𝑛 alumnos que hay en un aula de la CEPREUNMSM es 𝑡, la edad promedio de las mujeres es 𝑝 y la edad promedio de los varones es q. ¿Cuántas mujeres hay en esa aula? tq n A) p q
6.
Ciclo Ordinario 2016-I
tq n B) p q
tq n C) p q
p q n D) tq
tq n E) p q
Cinco estudiantes concursaron para obtener una beca de estudios. Se les evaluó con 4 exámenes donde cada examen tiene diferentes pesos, los resultados de sus exámenes se muestran en la siguiente tabla: ESTUDIANTES Paulo Juan Mario Alberto Luis
1er Examen (20%) 14,8 15,0 14,9 14,8 14,6
2do Examen (20%) 15,2 14,7 15,0 15,0 15,0
3er Examen (30%) 15,0 15,0 15,1 15,0 15,4
4to Examen (30%) 15,0 15,3 15,0 15,2 15,0
¿Quién ganó la beca? A) Paulo 7.
D) Alberto
E) Mario
B) 11
C) 15
D) 12
E) 16
La media y la varianza de los sueldos de los trabajadores de una empresa son S/ 800 y S/ 900 respectivamente. Si cada trabajador recibe un aumento de m% de su sueldo y una bonificación de S/ n, la nueva media es S/ 980 y su desviación estándar es S/ 36. Halle la bonificación. A) S/ 15
9.
C) Luis
Para aprobar un curso, un estudiante debe dar cuatro exámenes parciales con pesos 2, 3, 2 y 3 respectivamente y obtener 11 puntos de promedio como mínimo. Si un alumno obtuvo en las pruebas parciales 8, 13 y 11 respectivamente, ¿cuál es la nota mínima que necesita sacar en la prueba final para aprobar el curso? A) 13
8.
B) Juan
B) S/ 12
C) S/ 16
D) S/ 10
E) S/ 20
Seis niños tienen cada uno 9; 7; 11; 12; m y n caramelos respectivamente. Si este conjunto de datos es bimodal y su media es 10. Halle la varianza de los datos dados. A)
16 3
B)
15 6
C)
20 3
D)
10 3
E)
25 6
10. Si la desviación estándar y la media aritmética de los números: 2; 2; 3; 6; m y n son 8,5 y 5 respectivamente. Halle la media aritmética de (m2 y n2). A) 74
Semana Nº 15
B) 60
C) 75
D) 72
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E) 64
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética SEMANA Nº 16
Sucesiones R que asocia a Sucesión: Una sucesión de números reales es una función x: Z+ cada número entero positivo n un número real xn, llamado n- ésimo término de la sucesión. Es decir una sucesión es el conjunto de números que se generan a través de una ley de formación y se presentan en un orden determinado. Por ejemplo tenemos: a) 2, 3, 4, 5, . . . b) 10, 13, 16, . . . c) 2, 4, 8, 16, . . .
la ley de formación consiste en sumar uno al término anterior. la ley de formación consiste en sumar tres al término. la ley de formación consiste en multiplicar por dos al término precedente.
A) Sucesión polinomial de segundo orden El término n - ésimo an está expresado de la forma: an = An2 +Bn + C donde A, B y C son constantes que se debe calcular a0 a1 a2 a3 a4 a5 . . . d0
d1 r
d2 r
d3 r
d4 . . . r
donde d0 = d1 - r, a0 = a1 - d0 , A =
r , B = d0 - A, C = a0 2
El término general es: an = An2 + Bn + C B) Sucesión polinomial de tercer orden Dada la sucesión: a1
a2
b1
a3 b2
c1
a3;
a5
a6 . . .
a4 b3
c2 d
a1; a2;
b4 c3
d
a5;
a6 . . .
b5 . . . c4
d
a4;
c5 . . . d
. .
.
Semana Nº 16
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Ciclo Ordinario 2016-I
El término n-ésimo an está expresado de la forma:
n -1 n -1 n -1 n -1 n n! an = a1 donde = + b1 + c1 +d 0 1 2 3 r r! n - r ! La suma Sn de los n primeros términos está dado por:
n n n n Sn = a1 + b1 + c1 + d 1 2 3 4 Progresión Aritmética Una progresión aritmética (PA) es una sucesión de primer orden a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . donde su razón es r = a2 – a1 = a3 – a2 = . . . Término general:
an = a1 + n – 1 r
Suma de los n primeros términos de una PA:
Sn =
(an + a1 )n 2a1 + (n - 1)r = n 2 2
Progresión Geométrica Dada la progresión geométrica (PG) es una sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . donde la razón es q =
a2 a3 a 4 = = = ... a1 a2 a3 Término general: an = a1qn-1
Suma de los n primeros términos de una PG:
Sn =
a1 (qn - 1) q-1
EJERCICIOS DE CLASE N° 16 1.
Halle el valor de M = 5 + 8 + 13 + 20 + 29 + … + 229. Dé como respuesta la cifra de mayor orden. A) 3
2.
C) 2
D) 4
E) 5
En la siguiente sucesión:6, 11, 21, 38, 64, 101, . . . , 298, abb , … , halle el valor de 3a + 2b. A) 23
3.
B) 1
B) 16
C) 18
D) 19
E) 27
Calcule el valor de: N 5 55(6) 555(6) ... 55... 5(6) 6n 1 5n 6 A) 5 n 1 6 5n D) 5
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6n 1 6n 5 B) 5 n 1 6 5n 5 E) 5
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6n 5n C) 5
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4.
Ciclo Ordinario 2016-I
Halle el valor de R = 1 + 3 + 2 + 2 + 6 + 4 + 3 + 9 + 6 + . . . 100 sumandos
5.
A) 3500 B) 3200 En la secuencia
C) 3400
D) 3600 10 8 9 5 6 7 1 2 3 4
6 3 1
1
Fig. 1
4 2
1
Fig. 2
5 2
E) 3100
3
Fig. 3
Fig. 4
Halle la suma de los números impares de la figura 53. A) 7122 6.
D) 7172
E) 7152
C) 25
D) 22
E) 24
1 1 3 1 5 ... 4 8 64 64 1024
B) 2/9
C) 7/9
D) 1/9
E) 5/9
Sea la progresión aritmética: m + 2n; 2m – n; 2m + n; … donde la razón es (m – 12). Halle la suma de los primeros veinte términos de esta progresión. A) 2070
9.
B) 23
Halle el valor de M A) 4/9
8.
C) 7142
En una fiesta se reparten dulces a todos los niños en cantidades que forman una progresión aritmética. Al sexto niño le tocó la tercera parte de lo que le tocó al último y a este el séxtuplo de lo que le tocó al segundo. ¿Cuántos niños son? A) 26
7.
B) 7162
B) 2040
C) 2080
D) 2015
E) 2060
En una progresión geométrica el tercer término es 10 y el sexto término es 80. Halle la suma de los 6 primeros términos de esta progresión A) 171,5
B) 149,5
C) 163,5
D) 145,5
E) 157,5
10. En una progresión aritmética, cuyo primer término es 1, se observa que los términos de los lugares 2, 6 y 22 forman una progresión geométrica. Halle el primer término de tres cifras de la progresión aritmética. A) 104
B) 100
C) 103
D) 102
E) 105
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 16 1.
En la siguiente sucesión 7, 15, 23, 31, 39, … . Calcule la suma del menor y el mayor término de tres cifras. A) 1112
Semana Nº 16
B) 1102
C) 1110
D) 1105
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E) 1115
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2.
Ciclo Ordinario 2016-I
En la progresión aritmética: a0b(7) , acb(7) ,... ,b0a(7) 33 términos
Halle el menor valor de (a + b + c). 3.
A) 9 B) 6 C) 5 D) 8 E) 7 En la siguiente sucesión, halle la suma de las cifras del término 25. –1, 0, 3, 8, 15, . . . A) 12
4.
B) 19
1 2 Si a , b n n 0 2 n 0 3
A) 19 5.
Si M 1 A)
7.
9 4
q
y
E) 14
n
6 , halle el valor de (3a + 2b + 6q)
n0
C) 20
D) 17
E) 15
B) 1926
C) 1795
D) 1685
E) 1580
2 1 4 3 8 9 16 27 ....., halle el valor de (1 + M)–2 3 5 9 25 27 125 81 625
B) 4
C)
1 4
D)
1 9
E) 9
En la siguiente sucesión: 8, 15, 22, 29,… ¿cuántos de sus términos de tres cifras terminan en la cifra 5? A) 13
8.
B) 21
n
D) 15
Calcule la suma de los K primeros términos de la sucesión 24, 29, 36, 45, ab,.... , 27b,... K - Términos A) 1810
6.
C) 17
B) 10
C) 15
D) 12
E) 11
En la sucesión: 6, 13, 24, 39, 58, ... ¿Qué lugar ocupa el número 1833? A) Vigésimo D) Trigésimo segundo
9.
B) Vigésimo segundo E) Trigésimo tercero
C) Trigésimo
En la siguiente progresión geométrica de términos enteros: 2n + 1 ; 7n + 1; 20n + 5; halle el quinto término. A) 375
B) 395
C) 415
D) 385
E) 405
10. Calcule la suma de los veinte primeros términos de la siguiente sucesión: 1, 15, 53, 127, 249, …
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO A) 68760
Semana Nº 16
B) 98670
C) 75560
Ciclo Ordinario 2016-I D) 65340
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 88180
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Aritmética ANÁLISIS COMBINATORIO FACTORIAL DE UN NÚMERO El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Si n es un entero positivo, el factorial de n se denota por n!, es decir: n! = 1×2×3⋯ × (n-1) ×n Observación. 0! = 1 Si n! = 1 entonces n = 1 o n = 0. n! = n× (n-1)! PRINCIPIOS FUNDAMENTALES A) Principio de Multiplicación Si un suceso A se puede realizar de m maneras diferentes y por cada una de estas un segundo suceso B se puede realizar de n maneras diferentes, entonces el suceso A y B se pueden realizar simultáneamente de m×n maneras diferentes. B) Principio de Adición Si un suceso A se puede realizar de m maneras diferentes y otro suceso B se puede realizar de n maneras diferentes, y además ambos sucesos no pueden ocurrir a la vez, entonces el suceso A o B se puede realizar de m + n maneras diferentes. C) Variaciones Son los diferentes arreglos u ordenaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. La característica principal de una variación es el orden de sus elementos, es decir, dos ordenaciones son diferentes, cuando el orden de sus elementos es distinto. ● Variaciones simples Cuando se tienen n elementos diferentes y se quiere ordenarlos tomándolos de k en k (k≤ n), el número de variaciones se calcula como: n! Vkn = n(n - 1)(n - 2)...(n - k +1) = (n - k)! ● Variaciones con repetición Son todas las agrupaciones de k objetos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de n objetos distintos, donde cada uno de los elementos puede formar parte de la agrupación, tantas veces como sea posible. El número de variaciones con repetición de k objetos a partir de n objetos distintos, es: VRnk = (n)(n)...(n) = nk k veces
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D) Permutaciones Se denominan permutaciones de n objetos a cada una de las variaciones de los n objetos distintos. ●
Permutaciones simples o lineales Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se arreglan u ordenan en línea recta. El número de permutaciones de n objetos distintos, denotado por P n, es:
Vnn = Pn = n× (n- 1) × (n- 2) ×...× 2 ×1= n! ●
Permutaciones circulares Son las diferentes permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos, donde no hay ni primero ni último objeto, es decir lo que importa es la posición relativa de los objetos entre sí; mientras que en la permutación lineal importa los lugares que los objetos ocupan. El total de permutaciones “circulares” diferentes que pueden formarse con n objetos PnC = (n – 1)! distintos, es:
●
Permutaciones con objetos repetidos Se da cuando los elementos a ordenar no son todos distintos. Entonces el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales entre sí, n2 son iguales entre sí, … nk son iguales entre sí, está dado por la expresión: n! Pnn ,n ,...,n = ; n +n + ... +nk n 1 2 k n1! n2! nk! 1 2
E) Combinaciones Una combinación es una selección o grupo de elementos que se pueden formar con parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos, es decir una combinación es diferente de otra, si al menos tiene un elemento diferente. ● Combinaciones simples Consideremos n elementos diferentes, los cuales se agrupan de k en k. el número de n grupos diferentes con k elementos distintos, denotado por Ck , viene dado por: n! Cnk = k!(n - k)! Propiedades 1) Cn0 = Cnn = 1
n n- k +1 n Ck- 1 5) Cnk =2n k k=0 Combinaciones con repetición
4) Cnk = ●
n n 2) Ck = Cn - k
n n n+1 3) Ck-1 + Ck = Ck t
6)
C
m k
Cnt - k = Cn+m t
k=0
El número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, de manera que dos, n tres, …, k objetos pueden ser uno mismo y que denotaremos por CRk , está dado por la expresión (n +k - 1)! CRnk = Cn+k-1 = k k!(n - 1)!
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EJERCICIOS DE CLASE N° 17 1.
Un estudiante de la Facultad de Matemática observa que hay 3 posibles horarios para matricularse en Cálculo I y 2 posibles horarios para Algebra Lineal. Además, todos los horarios son en días distintos. Si P representa el número total de posibilidades que tiene el alumno para matricularse en ambos cursos y Q es la cantidad de posibilidades para elegir solo uno de los cursos, calcule la suma de cifras del valor de A) 14
2.
D) 60
E) 56
B) 86
C) 57
D) 96
E) 81
B) 220
C) 212
D) 248
E) 216
B) 18
C) 20
D) 26
E) 30
B) 2100
C) 3450
D) 5400
E) 4800
Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se desea formar números de 5 cifras diferentes que comiencen en 6 o terminen en 2. Si las cifras no se repiten, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden formar éstos números? A) 210
8.
C) 64
Adriana tiene 10 monedas diferentes, las cuales entregará a sus tres sobrinos. Si al mayor le dará cuatro y a los mellizos las restantes en cantidades iguales, ¿de cuántas maneras diferentes podrá hacerlo? A) 4200
7.
B) 46
Se tiene 10 vacunas, de las cuales tres se encuentran en mal estado. Si se prueba una a continuación de otra y en la sétima prueba se logró determinar la tercera vacuna en mal estado, ¿de cuantas formas se pudo haber hecho la prueba? A) 15
6.
E) 19
Los lados de un cuadrado se han dividido en cuatro partes. ¿Cuántos triángulos cuyos vértices sean los puntos de división se pueden construir? A) 226
5.
D) 16
De un grupo de 5 alumnos de Derecho y 4 de Medicina Humana, se seleccionará al azar a 4 de ellos para formar una comisión. ¿De cuantas maneras diferentes se puede obtener entre los seleccionados, por lo menos 2 de Medicina Humana? A) 54
4.
C) 28
Una empresa tiene 10 empleados en recursos humanos de los cuales David es el más eficiente, Luis es el más ineficiente y el resto son regulares. Si se aumenta el sueldo a 6 de los empleados, de acuerdo a su eficiencia, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá elegir a los favorecidos con el aumento de salario, si se debe incluir a David, pero no a Luis? A) 72
3.
B) 20
2P Q C3Q 2P .
B) 216
C) 220
D) 160
E) 130
¿Cuántas palabras diferentes de siete letras con o sin sentido se podrán formar a partir exactamente de cada una de las letras de la palabra CARRITO y además empiecen con una vocal? A) 1 624
Semana Nº 17
B) 1 080
C) 1 430
D) 7 560
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 8 576 Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.
Ciclo Ordinario 2016-I
Al lanzar tres dados perfectos y observar los puntajes de las caras superiores, ¿de cuántas formas diferentes se obtendrá un total de diez puntos? A) 12
B) 18
C) 21
D) 24
E) 27
10. ¿Cuántos números de cinco cifras cuyo producto de sus cifras sea ocho se pueden formar? A) 38
B) 35
C) 32
D) 43
E) 27
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 17 1.
Luis desea viajar de Lima a Piura. Si por vía terrestre existen tres empresas de transporte cada una con seis salidas diarias, y por vía aérea existen dos líneas aéreas cada una con cuatro salidas diarias, ¿de cuántas maneras diferentes puede realizar su viaje? A) 11
2.
B) 15
C) 26
D) 18
E) 24
De un grupo de profesores conformado por cinco lingüistas y tres matemáticos se desea formar un comité de cuatro miembros. ¿De cuántas maneras diferentes, puede formarse el comité que incluya al menos a un matemático? A) 55
B) 72
C) 62
D) 65
E) 50
3.
En una asamblea, ¿de cuántas maneras se pueden ordenar en la lista de oradores a Arturo, Bertha, Carlos, Diana y Elías, con la condición de que Bertha no debe intervenir antes que Arturo? A) 120 B) 60 C) 24 D) 240 E) 20
4.
Jorge seleccionará una entrada y un segundo para almorzar, y tiene para elegir uno de 3 restaurantes. En el primero hay 3 entradas diferentes y 4 segundos diferentes; en el segundo hay 2 entradas diferentes y 5 segundos diferentes; y en el tercero, 4 entradas y 4 segundos diferentes. ¿De cuántas maneras podrá almorzar? A) 60
5.
C) 20
D) 32
E) 38
En una reunión familiar participan 8 hermanos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 de ellos alrededor de una mesa circular, si el resto quedará de pie? A) 1790
6.
B) 29
B) 1020
C) 1980
D) 1660
E) 1344
Si el número de palabras diferentes de 10 letras con o sin sentido que se pueden formar a partir exactamente de cada una de las letras de la palabra MATEMÁTICA es n, halle el valor de A) 10
Semana Nº 17
n . 7!
B) 30
C) 45
D) 60
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 50
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila 2 fichas negras, 3 verdes y 4 azules, si una ficha azul y una verde se ubican en los extremos y si todas las fichas son iguales salvo el color? A) 210
8.
B) 240
C) 350
D) 420
E) 560
De los 50 primeros números enteros y positivos, se desea elegir dos cuya suma sea par. ¿De cuántas formas se podrá hacer? A) 600
9.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 450
C) 300
D) 720
E) 480
Ocho amigos viajan y llevan para ello dos coches de 4 asientos cada uno. Si solo tres de ellos saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes podrán realizar el viaje? A) 4230
B) 4203
C) 4302
D) 4320
E) 2430
10. Al final de una fiesta de cumpleaños se efectuaron en total 378 estrechadas de mano. Suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás, determine el número de personas que asistieron al cumpleaños. A) 28
Semana Nº 17
B) 30
C) 32
D) 21
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 27
Pág. 5
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética TEORÍA DE PROBABILIDAD La Teoría de Probabilidad tiene como objetivo el estudio de las leyes que gobiernan a los fenómenos aleatorios, es decir, trata con las propiedades de los fenómenos aleatorios que dependen esencialmente de la noción de aleatoriedad y no de otros aspectos del fenómeno considerado. Caracterización de un fenómeno aleatorio Tiene los siguientes rasgos: 1. Se podría repetir indefinidamente las observaciones bajo condiciones esencialmente invariables. 2. Se es capaz de describir todos los posibles resultados de una observación, aun cuando no es posible establecer lo que será un resultado particular. 3. Los resultados individuales de las observaciones repetidas pueden ocurrir de manera accidental. Espacio Muestral (Ω) : Es el conjunto de todos los resultados posibles que se puede obtener de una sola observación realizada, o más brevemente del experimento aleatorio. Evento o Suceso (A) : Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Probabilidades de sucesos en espacios muéstrales finitos equiprobables Sea 1 , 2 ,..., n el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio tal que todos los sucesos elementales i tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces
es un espacio muestral finito equiprobable. Sea A P(A) =
Número de elementos del suceso A n(A) = Número de elementos del espacio muestral n(Ω)
Ejemplo: En el “BANQUITO LOS 11” hay cinco hombres y seis mujeres como candidatos para formar una comisión. Si se elige al azar cuatro personas, ¿cuál es la probabilidad de formar con ellas una comisión mixta? A)
31 33
B)
310 333
C)
210 331
D)
160 357
E)
5 16
Solución: A:”Se forma una comisión mixta de 4 miembros”
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
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PA
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C15 xC36 C52 xC62 C53 xC16 31 C11 33 4
Propiedades 1. 2. 3.
0 P(A) 1
P(A) +P(AC ) = 1, donde AC es el suceso contrario al suceso A. P(A B) = P(A) +P(B) - P(A B), donde A y B son sucesos cualesquiera.
Sucesos Mutuamente Excluyentes Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, si no pueden ocurrir ambos simultáneamente.
A B = P(A B) = 0 P(AUB) = P(A) +P(B) Ejemplo: La distribución de tipos de sangre de los integrantes de raza blanca de una determinada ciudad es aproximadamente la siguiente: Tipo de sangre A B AB O Porcentaje 40% 11% 4% 45% Tras un accidente automovilístico, un individuo de raza blanca es conducido de emergencia a una clínica. Si se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo al que pertenece, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, o del tipo B o del tipo AB? A) 0,55
B) 0,45
C) 0,51
D) 0,49
E) 0,54
Solución Tenemos eventos mutuamente excluyentes
P( A B AB ) P( A) P( B) P( AB ) 0,40 0,11 0,04 0,55 Probabilidad Condicional Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral Ω, donde P (B) > 0. La probabilidad de que ocurra el suceso A, dado que el suceso B ha ocurrido, que denotaremos por P A /B , está definido por
P(A/B) =
P(A B) P(B)
Ejemplo: Al lanzar tres dados perfectos, la suma de los puntajes obtenidos en las caras superiores siempre es un número impar; ¿cuál es la probabilidad de que dicha suma sea mayor que 6? Solución Evento B: La suma de los puntajes obtenidos de las caras superiores siempre es un número impar.
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Ciclo Ordinario 2016-I
B = {3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17}
n(B) = 8 n(Ω) = 16
Ω = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18} Evento A: la suma es mayor que 6. A ∩ B = {7; 9; 11; 13; 15; 17}
A = {7; 9; 11; 13; 15; 17} n(A ∩ B) = 6
6
3 P(A/B) = 16 = 8 4 16 Ejemplo: En la tienda de “DON RAMONCITO”, hay 60 tarros de leche chocolatada de la marca X y 40 tipo light de la misma marca, también hay 50 tarros de leche chocolatada de la marca Z y 30 tipo light de la misma marca. Si se vende un tarro de leche al azar, halle: a) La probabilidad de que sea de la marca X, dado que es leche chocolatada. b) La probabilidad de que sea leche chocolatada, dado que es de la marca X. Solución X Z
Leche chocolatada (A) Leche light (B) 60 40 100 50 30 80 110 70 180
60 6 a) P(X/A) = 180 = 110 11 180 60 3 b) P(A/X) = 180 = 100 5 180 Regla de la Multiplicación Dados dos sucesos A y B tal que P(A) > 0, se tiene
P A B P A P B / A Ejemplo: De un grupo de 180 turistas se sabe que 120 hablan inglés, 72 hablan francés y 24 hablan los dos idiomas. Si seleccionamos al azar a un turista del grupo ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés sabiendo que habla inglés? A) 0,7 Semana Nº 18
B) 0,6
C) 0,5
D) 0,2
E) 0,4
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Solución Según los datos Habla Inglés No habla Inglés Total Habla Francés 24 48 72 No habla Francés 96 12 108 Total 120 60 180 P F | I
P(F I) 24 / 180 0,2 P(I) 120 / 180
TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL
Hn es P Hn 0
Si
una colección contable de eventos incompatibles para la cual para todo n
Hn 1 , entonces para todo suceso A se cumple n1 N
y P
N
P A P Hn P A / Hn n 1
Ejemplo: Los porcentajes de votantes del partido “DIGNIDAD” en tres distritos electorales diferentes se reparten como sigue: En el primer distrito 21%; en el segundo distrito 45% y en el tercero 75%. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad que vote por el partido DIGNIDAD? A) 1/ 100
B) 1/ 120
C) 37 / 100
D) 43 / 100
E) 47 / 100
Solución: 1 P Ai 3 B: “La persona seleccionada vota por el partido DIGNIDAD”
Ai: “Se selecciona el i-ésimo distrito”
P B
3
P A P B / A i1
i
i
P B
1 21 45 75 47 x 3 100 100 100 100
SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos A y B se dicen independientes si se cumple
P A B P A P B Ejemplo: Una urna contiene cuatro fichas de color azul y nueve fichas de color blanco. Si se extrae dos fichas sucesivamente y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las dos fichas resulten de color azul? A)
1 13
Semana Nº 18
B)
4 13
C)
9 13
D)
7 156
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
7 12
Pág. 4
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Ciclo Ordinario 2016-I
Solución A:” La primera ficha seleccionada es de color azul” B:” La segunda ficha seleccionada es de color azul” P A B
4 3 1 X 13 12 13
EJERCICIOS DE CLASE N° 18 1.
Se tiene un grupo de ocho hombres y tres mujeres. Si se ordenan en fila, cuál es la probabilidad de que las mujeres siempre estén A)
2.
37 87
1 8
23 110
D)
3 11
E)
5 33
38
B)87
C)
41 87
D)
31 89
E)
79 103
B)
1 4
C)
3 8
D)
1 2
E)
5 8
B) 0,226
C) 0,268
D) 0,246
E) 0,315
Se desea escoger dos días consecutivos del mes de febrero para una reunión. Considerando que el lunes es el primer día de la semana, y el primero de febrero de un año no bisiesto es lunes. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos días elegidos estén en la misma semana? A)
6.
C)
Se lanzan 10 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener cinco caras y cinco sellos? A) 0,210
5.
7 55
Sean L y M eventos de un mismo espacio muestral. Se sabe que P(L)=3/8, P(M)=1/2 y P(M N ) 1/ 4 . Halle el valor de P(M ´L´) A)
4.
B)
En una urna se tiene 20 canicas azules y 10 canicas verdes. Se extraen dos canicas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las dos canicas sean azules? A)
3.
3 55
2 63
B)
1 63
C)
1 21
D)
5 63
E)
4 63
Un dado está arreglado tal que la probabilidad de que ocurra un número determinado es proporcional al cuadrado del mismo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro? A)
16 91
Semana Nº 18
B)
7 91
C)
13 31
D)
14 53
(Prohibida su reproducción y venta)
36
E) 91
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Un dormitorio tiene tres portafocos conectados a un mismo interruptor. De una caja con 10 focos, de las cuales seis están en buen estado y el resto defectuosos, se extrae al azar tres focos y se colocan en el portafocos. Al dar contacto, ¿cuál es la probabilidad de que el dormitorio quede iluminado? A)
8.
1 11
B)
29 30
C)
11 30
D)
15 19
E)
11 23
Se lanzan dos dados de diferentes colores sabiendo que los resultados son diferentes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de resultados sea par? A)
9.
Ciclo Ordinario 2016-I
7 9
B)
2 5
C)
13 15
D)
13 18
E)
5 9
De un número positivo de tres cifras se sabe que es múltiplo de cinco. ¿Cuál es la probabilidad de que también sea múltiplo de 11? A)
17 900
B)
89 900
4
C)45
D)
17 180
E)
89 180
10. La producción de 1000 camisas semanales en las maquinas A, B y C se distribuye en 400, 100 y 500 camisas, respectivamente, y sus porcentajes de camisas defectuosas son 5%, 4% y 3%. Si se selecciona una camisa al azar y es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que lo haya fabricado por la maquina A? A)
3 32
B)
16 625
C)
5 32
1 64
D)
10
E) 27
EVALUACIÓN DE CLASE N° 18 1.
Gabriel, Ramón, Rocío, Willy, Rosa y Leticia deben ubicarse en seis asientos alrededor de una mesa circular, ¿cuál es la probabilidad de que Rocío, Rosa y Leticia se sienten juntas? A) 0,10
2.
C) 0,24
D) 0,25
E) 0,30
Se tiene 10 números enteros, positivos y consecutivos. Se escogen al azar ocho de estos números y se suman, ¿cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de cinco? A)
3.
B) 0,15
3 20
B)
4 15
C)
8 15
1
8
D)5
E) 45
Se tiene fichas numeradas del 1 al 200 de las cuales, se elige una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea múltiplo de 6 ó 8? A)
1 15
Semana Nº 18
B)
1 6
C)
1 4
D)
1 5
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
1 8
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.
Se lanzan seis monedas y un dado. Determine la probabilidad de que el número que se obtenga en el dado sea igual al número de sellos obtenida en la moneda. A)
5.
17 135
B)
21 128
C)
31 192
D)
13 164
E)
19 42
La probabilidad que Luis apruebe algebra es 0,8 y la probabilidad de que apruebe aritmética es 0,9, siendo estos eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una asignatura? A) 0,98
6.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 0,96
C) 0,90
D) 0,92
E) 0,80
P A 9,8% ; P B 22,9% ; P C 12,1; Sean los eventos: A, B y C tal que:
P A B 5,1% ; P A C 3,7% ; P B C 6% y P A B C 2,4% . ¿Qué porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos? A) 32,4% 7.
D) 32,3%
E) 32,1%
1 4
B)
3 40
C)
1 8
D)
3 20
E)
7 40
La probabilidad de que los investigadores A, B y C descifren un mensaje, siendo estos eventos independientes, es 1 ; 1 y 1 , respectivamente. 5 4 3 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos descifre el mensaje? A)
9.
C) 32,5%
En una sección de 40 alumnos se desea formar una comisión de tres miembros. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno Luis siempre integre la comisión? A)
8.
B) 32,2%
2 3
B)
1 2
C)
3 5
D)
2 5
E)
8 15
Se tiene seis numerales positivos y cinco numerales negativos, se escoge cuatro numerales al azar y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad que el producto sea positivo? A)
14 39
B)
19 33
C)
17 35
D)
17 33
E)
85 143
10. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. Calcule la probabilidad de obtener: i) Puntaje par en el dado y sello en la moneda ii) Puntaje no menor de tres en el dado y cara en la moneda Dé como respuesta la suma de ambos resultados. A)
1 3
Semana Nº 18
B)
4 5
C)
2 3
D)
3 5
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
7 12
Pág. 7
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética Semana 19 Repaso 1.
Silvia le dice a su hija Rosa: “Si no limpias la casa entonces lavas toda la ropa, pero Rosa no lavó toda la ropa”. Dicha proposición es equivalente a: I) “Rosa no limpió la casa y no lavó toda la ropa”. II) “Rosa limpió la casa y lavó toda la ropa”. III) “Rosa limpió la casa y no lavó toda la ropa”. A) Solo III
2.
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) Solo I
Determine cuál o cuáles de las proposiciones es equivalente a la proposición: “Antonio alcanza vacante a la UNMSM y no se matriculará este ciclo, salvo que llegue a tiempo”. I) Antonio no se matriculará este ciclo si alcanza vacante a la UNMSM. II) Antonio no llegó a tiempo porque no alcanzó vacante a la UNMSM. III) Antonio llegó a tiempo dado que, se matriculó este ciclo porque alcanzó vacante a la UNMSM. A) Solo III
3.
B) I y III
C) Solo II
D) II y III
E) I y II
De 33 alumnos que rindieron los exámenes de Aritmética y Química se sabe que: – –
La cantidad de alumnos que aprobaron ambos cursos son la sexta parte de los que no aprobaron esos dos cursos. La cantidad de alumnos que aprobaron solo Aritmética son la mitad de los que aprobaron Química.
¿Cuántos alumnos, como máximo, aprobaron Aritmética y Química? A) 6 4.
B) 2
C) 4
D) 5
E) 3
De un grupo de 1200 postulantes a las carreras de Medicina y Derecho de la UNMSM se sabe que: – –
El número de mujeres que postula a Medicina, es la mitad del número de varones que postula a Medicina, y estos son tantos como las mujeres que postulan a Derecho. El número de varones que postulan a Derecho es dos veces más que el número de mujeres que postula a Medicina.
Determine la cantidad de divisores positivos del número de postulantes varones. A) 36 Semana Nº 19
B) 32
C) 24
D) 8
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 16 Pág. 1
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Ciclo Ordinario 2016-I
Juan le dice a Rubén: “Te regalaré (a + b – c + d) trompos, luego que determines esa cantidad, para ello te doy el dato que 1101111010 10(2) abcd(8) ”. ¿Cuántos trompos recibió Rubén, luego de encontrar acertadamente dicha cantidad? A) 12
6.
B) 8
8.
9.
D) 10
E) 11
Al repartir cierta cantidad de caramelos entre todos mis sobrinos, cada uno recibió 18 caramelos y me sobró 8 caramelos. Si la cantidad de sobrinos que tengo es un número primo y al inicio tenía menos de 224 caramelos, calcule la diferencia positiva entre el número de caramelos que tenía al inicio y el número de sobrinos que tengo. A) 187
7.
C) 9
B) 195
C) 127
D) 134
E) 161
Aldo le dice a Daniel: “Si logras determinar con certeza el residuo por exceso luego de dividir (2242)495 por 11, te doy una cantidad de soles igual al cuadrado de dicho residuo”. ¿Cuánto recibió Daniel luego de acertar? A) S/ 1
B) S/ 36
C) S/ 81
D) S/ 100
E) S/ 9 3 Patricia le dice a Silvia: “Existen n fracciones equivalentes a , de modo que la suma 4 de sus términos es un múltiplo de 91 comprendido entre 70 y 210. Si encuentras el valor de n y dichas fracciones equivalentes, te doy un número de soles igual a la suma de n con los numeradores de esas fracciones”. ¿Cuántos soles recibió Silvia, si halló correctamente dichos valores? A) 197
B) 119
C) 148
D) 211
E) 106
Determine la suma de los cuadrados de las dos últimas cifras del periodo del número a3 , sabiendo que “a” toma su menor decimal que genera la fracción irreducible 2(a 2) valor posible impar. A) 20
B) 16
C) 13
D) 25
E) 17
10. En un recipiente se tienen 15 litros de alcohol y 3 litros de agua, mientras que en otro hay 12 litros de alcohol y 4 de agua. Si se extraen simultáneamente 3 litros del primero y 4 litros del segundo, y luego se intercambian a la vez, ¿cuántos litros de alcohol se tendrá en el primer recipiente? A)
43 3
B)
31 3
C)
37 3
D)
31 2
E)
41 3
1 1 1 1 1 2 2 2 ... , halle la suma de las cifras 2 2 1 3 1 4 1 5 1 20 1 de (840.M).
11. Si M =
2
A) 17 12. Si
abc def
B) 20 =
C) 19
D) 14
E) 22
3 5 7 5 7 5 7 ... ; además def toma su máximo valor, 8 82 83 84 85 86 82
halle el valor de (a + b – c) x (d + e – f). A) 24 Semana Nº 19
B) 28
C) 21
D) 14
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 32 Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016-I
13. El valor actual de una letra es S/ 2454. Si se descontara luego de transcurrir los 4/7 del tiempo que falta para el vencimiento, se obtendría un descuento de S/ 234, ¿cuál es el valor nominal de dicha letra? A) S/ 3000
B) S/ 2900
C) S/ 2800
D) S/ 2750
E) S/ 3100
D) 12
E) 17
14. Si 4b6(x) 3bb(8) , halle el valor de (x + b). A) 10
B) 24
C) 11
15. Los sueldos semanales de José y Pablo son S/ npf y S/ calcular el máximo común divisor de dichas cantidades Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos a 1; 2 y división por exceso. Si n>3, halle la diferencia positiva de José y Pablo. A) S/ 218
B) S/ 205
C) S/ 316
3r9 respectivamente, y al mediante el algoritmo de 5, realizando la segunda los sueldos semanales de
D) S/ 215
E) S/ 322
16. Un grupo de obreros se comprometen a realizar una obra en un plazo establecido. Al cabo de unos días de trabajo se despide a 10 obreros y los que quedan trabajan por 8 días, al término de los cuales se contrató otros 30 obreros, y todos juntos culminaron la obra en el plazo establecido. ¿Cuántos días trabajaron estos últimos obreros? A) 4
B) 2
C) 6
D) 8
E) 5
17. Pedro, Juan y Marcos, que son agricultores, tienen terrenos de 31, 13 y 20 hectáreas respectivamente. Ellos contratan un ayudante y juntos siembran los terrenos trabajando todos por igual. Si el ayudante cobró S/ 640 por su trabajo, ¿cuánto le pagó Pedro al ayudante? A) S/ 300
B) S/ 450
C) S/ 750
D) S/ 600
E) S/ 900
18. Un boticario tiene un recipiente lleno de alcohol de 90°, del cual extrae la tercera parte y la reemplaza con agua. A continuación, extrae los 2/7 y nuevamente reemplaza con agua. Finalmente, extrae los 5/12 y los reemplaza por agua. Luego a esa mezcla resultante le agrega el mismo volumen, pero de alcohol de 75°, y 45 litros de alcohol puro, obteniendo alcohol de 80°. ¿Cuántos litros tenía inicialmente el recipiente? A) 10
B) 12,5
C) 15
D) 17,5
E) 20
19. La MA y la MG de tres números P, 8 y R son entre sí como 7 es a 6; además, se sabe que la MG de P y R es 8. Calcule la MH de esos tres números. A) 6
B) 7
C)
46 7
D)
48 7
E)
45 7
20. Dada la PA: 16(m) ; bn(p) ; cm(n) ; … ; 42p ; … . Halle el valor de (m + n – p + b – c). A) 5
B) 2
C) 4
D) 6
E) 1
21. Si la MH( 6; 66; 176; 336; …; abcd ) = 41, halle la MA( ab ; cd ). A) 45
Semana Nº 19
B) 38,5
C) 41
D) 42,5
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 47,5
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
22. Se tiene siete números positivos diferentes y seis números negativos diferentes, y escogen cuatro números al azar. ¿De cuántas maneras diferentes el producto de ellos resultará positivo? A) 300
B) 400
C) 335
D) 350
E) 365
23. Carlos y José juegan lanzando un dado perfecto, uno después del otro. Gana el primero que obtenga un “dos”. Si Carlos empezó el juego, calcule la probabilidad de que gane Carlos.
25 6 6 5 6 B) C) D) E) 13 36 36 11 31 24. Jorge arroja 3 dados perfectos sobre el piso. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos en la cara superior de los dados sea menor que 17? A)
A)
1 54
Semana Nº 19
B)
5 256
C)
53 54
D)
103 108
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
26 27
Pág. 4
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