EC 513 G presión lateral de suelo
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PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO o o y
h h
K o
A
Peso especifico del suelo = f = c + tan z
´h = K o ´ ´o ´
' h ' o
Como
´o = z, tenemos ´h = K o ( z)
Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica (Jaki,1944)
K o = 1 – sen Donde = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados, Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para K o :
IP(%) K o 0.44 0.42 100
Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por
K o preconsolidada K onormalment econsolidada OCR OCR Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como c omo
OCR =
presión de preconsolidación presión de sobrecarga sobrecarga efectiva presente presente
La magnitud de K o en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores val ores mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO
Peso específico del suelo =
H
Po
1 2
K o H 2
H
3
K o H
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE SUMERGIDO A
H 1
E
C
H
Peso específico del suelo =
z
Nivel de Agua freática
I
KoH 1 Peso específico saturado del suelo = sat
+
H 2
F B
K o (H 1 + ’H 2)
G
J
wH2 (b)
K
H 1
KoH 1
=
H 2
K o (H 1 + ’H 2) + wH2
(c)
Distribución de la presión de tierra t ierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido
Presión efectiva vertical =
o H 1 ( z H 1 )
Presión efectiva horizontal =
h K o o K o H 1 ( z H 1 )
u w ( z H 1 )
h h u
Presión total horizontal =
K o H 1 ( z H 1 ) w ( z H 1 ) Po
1 2
K o H K o H 1 H 2 2 1
1 2
( K o w ) H 2
2
o
Po
1 2
22 w H 22 K o H 12 2 H 1 H 2 H
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
L A´ A
Peso especifico del suelo = f = c + tan ´O ´
´h ´
(a) B´ B
Presión activa de tierra de Rankine
z
l a m r o n o z r e u f s E
c A
O a
D
b
C K o O
O a
D´
(b)
Presión activa de tierra de Rankine
Esfuerzo normal
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTI ACTIV VA Y PASIV PASIVA A sen
CD AC
CD AO OC
Pero CD = radio del círculo de falla = AO = c cot
y
OC
o a 2
Por lo que
o a sen sen
2 o a
c c ot
2
o a 2
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
o
c
o
c os
a
o
o
a
2
1
sen sen
1
sen sen
sen
2c
o
cos 1
o presión de sobrecarga efectiva vertical = z
tan 45 1 sen 2 2
y
tan 45 1 sen 2 cos
a
2
Pero
1 sen
sen sen
Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos
a z tan 2 45
2c tan 45 2 2
La Variación de a con la profundidad. Para suelos sin cohesión, c = 0 y
a o tan 2 45
2
La razón de a respecto a o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine , Ka,o
a
tan 45 K a o 2 2
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIV ACTIVA A
2c K a
45
2c
45
2
tan ( 45 ) 2
z
zK a 2c K a
(c) (d)
2
ESTADO PASIVO PASIVO DE RANKINE
L A
A´
Peso especifico del suelo = f = c + tan ´O ´
´h ´
B
B´
(a)
Presión pasiva de tierra de Rankine
z
l a m r o N o z r e u f s E
A
D b
a
O
K o o
C o
p
Esfuerzo Normal
D
(b)
Presión pasiva de tierra de Rankine
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIV ASIVA A
2 p o tan 45
2 c tan 4 5 2 2
z tan 2 45 2c tan 45 2 2 La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee
p o tan 2 45
2
o
p
K p tan 45 o 2 2
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
45
45
2
z
2c
zK p
K p
(c) (d)
2
EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO
Muro de retención en voladizo
La 45 A´
La C´ 45
2
2
A
z H
B
(a)
Lp
Lp A
45
A
45
2
2
H
45
2
(b)
Rotación de un muro sin fricción respecto al fondo
C
Variación Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro a r r e i t e d n ó i s e r P
Presión pasiva
p
Presión en reposo
Presión activa a
Inclinación del muro
La H
LP H
Inclinación del muro
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LA LATERAL TERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓN RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO
Caso Activo
a a K a z
a K a H Pa
1 2
2
K a H
(Nota: c = 0)
45
2
Cuña de falla H
H
a= a
c = 0
P a H
3
K a H H
(a)
45
2
Cuña de falla H
H p= p
c = 0
P p H
3
K p H H
(b) Caso Pasivo
p p K p H P p
1 2
2
K p H
RELLENO. SUELO SIN SI N COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDO SOPORTANDO SOBRECARGA Caso Activo
a K a o Donde o y a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0
y
o o q
a a K a q A la profundidad z = H 1,
y
o o q H 1
a a K a q H 1
A la profundidad z = H,
o q H 1 H 2 y
a K a q H 1 H 2 Donde =sat - w. La Variación de a con la profundidad se muestra .
La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H 1 es 0, y para z > H 1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H ,
u w H 2 El diagrama de la presión lateral total a´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,
Pa K a qH
1 2
k a H 12 K a H 1 H 2
1 2
K a w H 22
Sobrecarga = q 45+ 2
H 1
Cuña de falla Nivel del Agua Freática
H
H 2
sat Z (a)
qK a
H 1
K a H 1 K a q
+ H 2
a
= a
u
K a q H 1 H 2
(b)
w H 2
(c)
2 w H 2 K a H
K a q H 1
(d)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido sumergido y soportando una sobrecarga
Caso Pasivo
p K p po
P p K p qH
1 2
K p H 12 K p H 1 H 2
1 2
K H p
w
2 2
RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL Caso Activo
a K a z 2c K a K a zo 2c K a 0 o
zo
2c
K a
Para la condición no drenada, esto es, = 0, Ka = tan245° = 1, y c = c u (cohesión no drenada)
tenemos
z o
2 cu
Entonces con el tiempo, se desarrollaran desar rollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una Profundidad z
Sobrecarga = q
45 - 2
H 1
Cuña de falla
Nivel del Agua Freática H
H 2
sat Z (a)
qK a
H 1 K a H 1 K a q
+ H 2
p
qK p
K p H 1 H 2
(b)
= p
u
w H 2
(c)
2 w H 2 K p H
K p q H 1
(d)
Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido sumergido y soportando una sobrecarga
45+ 2
Cuña de falla
Z H
(a)
2c K a
zo
=
-
H
H - z o a
K a H
(b)
2c K a
(c)
K a H 2c K a
(d)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo cohesivo
La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de presión total
Pa
1 2
K a H 2 K a cH 2
Para la condición = 0
Pa
1 2
H 2 2cu H
Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2 cl (Ka) y , H es la única considerada. En este caso
2c Pa K a H 2 K a c H 2 K a 1
1
K a H 2 K a cH 2 2
2
c
2
Para la condición = 0,
Pa
1 2
H 2 2cu H 2
C u
2
Caso Pasivo Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]
p K p z 2 K p c En z = 0,
p 2 K p c Y en z = H,
p K p H 2 K p c
45 - 2
Cuña de falla H
p
Z
K p H
2c K p
(a)
(b)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con Relleno de un suelo cohesivo
La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como
P p
1 2
Kp H 2 2 K p cH
Para la condición = 0, Kp = 1 y
P p
1 2
H 2 2cu H
EJEMPLO Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura, y determine también la posición de la resultante
Solución Para determinar determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos
a K a o K a z K a
1 sen 1 sen
1 sen30 1 sen30
1 3
5m
= 15.7 KN/m3 = 30°
5m 65.5 KN/m2
c = 0
1.67 m
26.2kN/m2 (a) (b)
5m 588.8 kN/m 1.67 m
235.5 kN/m2
El diagrama de la distribución de presión se muestra
Fuerza activa
Pa
1 2
526.2
65.5k N / / m La distribución de la presión total triangula, y entonces P a actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del muro. Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que
p p K p o K p z K p
1 sen 1 sen
1 0. 5 1 0. 5
3
En z = 0, p = 0; en z = 5m, p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2. La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora
P p
1 2
5235.5 588.8k N / m
La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.
EJEMPLO 2 Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?
Solución
si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces
h h K o o K o z
K o 1 sen o
K o 1 sen30 0.5
Y en z = 0, h = 0; en 5m, h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2 El diagrama de distribución de presión total se muestra
Po
1 2
539.3 98.3k N / m
EJEMPLO 3 Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada ( = 0) del relleno, determine los siguientes valores: a. b. c.
La pro profun fundi dida dad d máxi máxima ma de de la gri griet eta a de ten tensi sión ón P a antes de que ocurra la grieta de tensión P después de que ocurra la grieta de tensión
5m 98.3 KN/m 1.67 m
39.3 kN/m2
34 kN/m2
2.17m Arcilla blanda saturada
6m
= 15.7 kN/m3 =0 Cu = 17 kN/m2 3.83m
60.2 kN/m2
Solución
Para = 0, Ka = tan245° = 1c y c = c u . De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos
a z 2cu En z = 0,
a 2cu 2 17 34 k N / m 2 En z = 6m,
a 15 .7 6 217 60 .2k N / m 2 La variación de a con la profundidad se muestra a.
De la la ecuaci ecuación, ón, la profu profundi ndidad dad de la la grieta grieta de de tensió tensión n es igua iguall a
zo
b.
2cu
217 15 .7
2.17 m
Ante Antes s de de que que ocur ocurra ra la grie grieta ta de ten tensi sión ón
Pa
1
Pa
1
o
2
2
H 2 2cu H
15.7 62 2176 78.6k N / m
c.
Despu De spués és de de que que ocur ocurre re la la grie grieta ta de ten tensi sión ón,,
Pa
1 2
6 2.1760.2 115.3k N / m
Nota: La P a precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación ec uación
EJEMPLO 4 Se muestra un muro de retención sin fricción. a. b.
Determ Dete rmin ine e la la fue fuerz rza a act activ iva a P a, después de que ocurre la grieta de tensión. ¿Cuá ¿C uáll es es la la fue fuerz rza a pas pasiv iva, a, P p ?
Solución a.
Dado = 26°, tenemos K a
1 sen 1 sen
1 sen26 1 sen26
De la ecuación
K
2c K
0.39
q = 10 kN/m2
-6.09kN/m2
z=1.04m
4m
= 15kN/m3 = 26° c=
4 – z = 2.96m
8kN/m2
17.31kN/m2
(a)
(b)
153.6 kN/m2 51.2kN/m2
(c)
En z = 0
a a 0.3910 28 0.39 3.9 9.99 6.09k N / m2 En z = 4 m
a a 0.3910 415 28 0.39 27.3 9.99
17.31k N / m 2 De este diagrama vemos que
6.09
z
17.31 4 z
o
z 1.04m Después de que ocurre la grieta de tensión
Pa
1 2
4 z 17 .31 1 2.96 17 .31 25 .62 k N / m 2
Dado = 26°, tenemos
K p
1 sen 1 sen
1 sen26 1 sen26
1.4384 0.5616
2.56
De la ecuación
p p K p o 2 K p c En z = 0, o = 10 Kn/m2 y
p p 2.5610 2 2.568 25.6 25.6 51.2k N / m2 De nuevo, en z = 4m, o = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m 2 y
p p 2.5670 2 2.568 204.8k N / m2 La distribución de p (=p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es
P p 51.24
1 2
4153.6 204.8 307.2 512k N / m
EJEMPLO Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, P a, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante
Solución dado c = 0, sabemos que a = Kao. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es
K a K a 1
1 sen30 1 sen30
1.2m
6m
n ó i c c i r f n i s o r u M
1 3
Arena
1 = 16.5kN/m3, 1 = 30°, c 1= 0
Nivel agua freática Arena 2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m 3 2 = 35° C2 = 0
(a)
Para el estrato inferior,
K a K a 2
1 sen35 1 sen35
0.4264 1.5736
0.271
En z = 0, o = o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), o = o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m 2
1 3
a a K a 1 o 19 .8 6.6k N / m 2 De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) o = o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m 2, y
a a K a 2 o 0.27119.8 5.37kN / m2 En z = 6 m,
o 1.2 16 .5 4.819 .2 9.81 64 .87 k N / m 2 y
a K a 2 o 0.27164.87 17.58k N / m2
La variación de a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue En z = 0, u = 0 En z = 1.2m, u = 0 En z = 6m, u = (4.8)(w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m k N/m2
0
1.2
a (kN/m2)
5.37
0
6.6
u
(kN/m2)
1.2
) m ( z
+
6
) m ( z
6 17.58
(b)
47.1
(c)
a (kN/m2)
0 1 1.2
=
) m ( z
6.6
2 P a
3 1.8m 6 5.37
64.68
(d) La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de ( presión activa total) entonces
1 1 P a 6.61.2 4.85.37 4.864 .68 5.37 2 2 / m 3.96 25.78 142.34 172.08kN / La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Así entonces
3.96 4.8
z
1.2
4.8 25.782.4 142.34 3 3 1 8m
MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN
45
2
45
A
D
2
A
H
+ H 3
P a
C B
(a) Caso activo (+)
(b)
45
2
D
A
45
2
A
H
- H
C
3
B
(c) Caso activo (-)
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
45
2
A A
D
45
2
A
P p
H C
+ H 3
B
(d) Caso pasivo (+)
(e)
45
2
45
A A
H C H
-
3
B
(f) Caso pasivo (-)
2
TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB
Caso Activo C A
- 90 - + P a
W
90 - -
90 + + - +
D
H
90+-
P a
W
F
-
F
B
(a)
(b)
Presión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; pr ueba; (b) polígono de fuerzas
La ley de los senos, tenemos
W sen90
Pa sen
o
Pa
sen sen90
W
La ecuación precedente se puede escribir en la forma
Pa
1 2
2 sen sen sen90 c os sen
H 2
sen c os c os sen
Donde = peso especifico del relleno. Los valores de , H , , , , y son constantes, y es la unica Variable. Para determinar el valor crítico de para P a, máxima, tenemos
dPa d
0
Después de resolver la Ec., cuando la relación de se sustituye en la Ec., obtenemos la presión activa de tierra de Coulomb como
1
Pa
2
2
K a H
Donde K a es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por
K a
cos 2
sen sen 2 cos cos 1 cos cos
2
Caso Pasivo
P p
1 2
K p H 2
Donde K p = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o
cos 2
K p
sen sen 2 cos cos 1 cos cos
2
C
A
90 - +
Presión pasiva de coulomb: (a) Cuña de falla de prueba
W
H
P p
90 + +
F
B
(a) [180 - (90 - + ) – ( + )]
P p 90 - +
(b) Polígono de fuerzas
F
W
+
ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓN
Pa
1
2
K a H
2
Donde
K a
1 sen
tan 2 45 1 sen 2 A
C 1
A
W s
P a (coulomb) H
(o)
W c
H W Wc c
P a (Rankine)
H
H
3
3
B
B (a)
KaH
A
P a (coulomb) H
(o)
W c
H
C 2
A
3
(b)
W s
B
P a (Rankine)
H W Wc c
H
H
3
B
Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granular
El valor de P a(Rankine) se da por la relación
Pa
1 2
K a H 2
Donde H BC 2
y
c os c os c os 2
c os
2
c os c os c os 2
2
Donde = talud de superficie del terreno
K a
1 sen 1 sen
tan (45 2
2
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