E&A Prüfungen und Loesungen_Update
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1 Prüfung am 27.06.1995 über die im SS 95 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (5,6,5,4) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Gegeben ist ein sortiertes Feld A[1..n] von n positiven Zahlen. Entwerfen Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der entscheidet, ob A zwei verschiedene Zahlen a und b enthält, für die a=3b-7 gilt. Analysieren Sie ihren Algorithmus und zeigen sie seine Korrektheit. Zeigen Sie eine untere Laufzeitschranke für dieses Problem. (Volle Punkteanzahl nur für optimale Algorithmen) 2. Gegeben ist eine Menge S von n Punkten in der Ebene, sowie die optimale Triangulierung von S. Entwerfen Sie einen Algorithmus, der die Punktmenge S mit maximal 6 verschiedenen Farben so färbt, daß keine zwei durch eine Kante der Triangulierung verbundenen Punkte dieselbe Farbe erhalten. Erklären Sie genau die Grundidee des verwendeten Algorithmus und beschreiben Sie ihn in vollständigen Sätzen. Zeigen Sie die wesentlichen Punkte und Implementationsdetails und beweisen Sie seine Korrektheit. Analysieren Sie Laufzeit und Speicherbedarf. Volle Punkteanzahl nur für O(n) Algorithmen. 3. Richtig oder falsch? Geben Sie für falsche Aussagen ein Gegenbeispiel, für richtige Aussagen einen kurzen Beweis an. (a)
Jeder Baum ist planar. (b) Jeder Graph G=(V , E ) mit (c)
ist planar.
Jeder Graph G=(V , E ) mit (d)
und Maximalgrad drei ist planar.
Es (e) existiert ein planarer Graph G=(V ,E ) in dem jeder Knoten Grad
hat.
In jedem planaren Graphen G=(V , E ) existiert ein Knoten mit Grad
.
4. Erklären Sie eine einfache Methode, wie unter Verwendung bekannter Stringsuchverfahren der Einsatz des Sonderzeichens '*' (Wildcard für beliebig viele Zeichen) in Suchstrings effizient ermöglicht wird. Dabei gilt die Einschränkung, daß nur ein '*' pro Suchstring erlaubt ist. Viel Erfolg!
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9 Prüfung am 12.10.1995 über die im SS 95 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (5,6,5,4) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Lösen rekursiver Zeitgleichungen - Geben Sie alle zur Berechnung benötigten Zwischenschritte an. 1. Ein Algorithmus A besitzt eine Laufzeit, die durch die Rekursion beschrieben wird. Ein Algorithmus A' für dieselbe Aufgabenstellung besitzt eine Laufzeit . Geben sie den größtmöglichen Wert von a an, sodaß Algorithmus A' asymptotisch schneller als A ist. 2. Lösen Sie folgende Rekursion mittels Substitutionsmethode , T (1)=1 2. Schreiben Sie zwei effiziente Algorithmen, die für einen gegebenen Input den Wert von m[n,n] für folgende rekursiven Zusammenhänge berechnen (
):
1.
2. Zeigen Sie die Korrektheit Ihrer Lösungen und analysieren Sie sowohl deren Zeit- als auch Speicherbedarf (Hinweis: Beachten Sie die Initialisierung!). 3. Konvexe Hüllen 1. Zeigen Sie die untere Laufzeitschranke zur Berechnung der konvexen Hülle von n Punkten in der Ebene. 2. Erklären und analysieren Sie den Konvexen-Hüllen-Algorithmus von Graham. Erläutern Sie insbesonders die zugrundeliegende Technik sowohl des Algorithmus' als auch seiner Analyse. 4. Gegeben ist eine Menge von n achsenparallelen Rechtecken in der Ebene. Gesucht ist die Fläche des Durchschnittes aller Rechtecke in möglichst schneller Zeit. Zeigen Sie die zum Entwerfen eines effizienten Algorithmus notwendigen Eigenschaften (Hinweis: Wie sieht der Durchschnitt geometrisch aus?) und geben Sie den entsprechenden Algorithmus an.
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15 Prüfung am 30.11.1995 über die im SS 95 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (4,6,5,5) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. (Graphentheorie) Gegeben ist ein kantengewichteter Graph G=(V , E ). Die Gewichte sind ganzzahlig (können aber auch negativ sein!). Gesucht ist eine Teil-Kantenmenge , die alle Knoten verbindet (d.h. der Graph (V ,E ') ist zusammenhängend) und ein möglichst kleines Gesamtgewicht hat. Erklären Sie, wie eine solche optimale Lösung aussieht, und in welcher Zeit sie berechnet werden kann. (Hinweis: Sie können dazu gegebenenfalls Unterprogramm aufrufen.) in der Vorlesung verwendete Algorithmen als 2. (Geometrie) Gegeben sind n Punkte in der Ebene. Entwerfen Sie eine Datenstruktur bzw. einen Algorithmus, der folgende Aufgaben durchführt: 1. Testen der gesamten Punktmenge auf Degeneriertheit. (Eine Punktmenge ist degeneriert, wenn es zumindest drei Punkte der Menge gibt, die kollinear sind. Drei Punkte sind kollinear, wenn sie auf einer Geraden liegen!) 2. Unter der Voraussetzung, daß die Punktmenge nicht degeneriert ist, soll für einen zusätzlichen Punkt schnell getestet werden, ob dieser zu Kollinearitäten führt. Beide Probleme sollen mit linearem Speicher gelöst werde. Hinweis: volle Punkteanzahl gibt es nur, wenn a) in gelöst wird.
Zeit und b) in
Zeit
3. (Parallele Algorithmen) Erklären Sie die in der Vorlesung besprochene Schaltung zur parallelen Berechnung der Präfixsummen von n Integer Zahlen ( ). Welche Erweiterungen müssen an der Schaltung vorgenommen werden, damit eine Folge von solchen Berechnungen effizient durchgeführt werden kann (Wellenberechnung!)? Gefordert ist, daß nach der Anlaufzeit pro Takt ein Ergebnis geliefert wird. Geben Sie die Schaltung und insbesondere den Bedarf an Gattern an. 4. (Komplexitätstheorie) 1. Definieren Sie die Begriffe Optimierungsproblem , Entscheidungsproblem , Komplexitäetsstatus und Reduzierbarkeit sowie die Problemklassen P und NP . Geben Sie den Zusammenhang zwischen diesen Begriffen und deren Bedeutung innerhalb der Komplexitätstheorie an. 2. Erklären Sie das Problem Hamiltonscher Kreis und seinen Komplexitätsstatus. Zeigen Sie den Komplexitätsstatus des Problems, wenn man einen gerichteten Graphen zugrundelegt.
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Prüfung am 01.02.1996 über die im SS 95 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (4,5,6,5) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. (Plane-Sweep-Technik) Erklären Sie, warum der einfache Schnitt-Detektor für Kreisscheiben (Plane-sweep Technik) für Kreise nicht korrekt funktioniert. Mit welcher einfachen Idee kann das für Liniensegmente verwendete Verfahren auch zur Berechnung aller Schnitte von Kreisen verwendet werden? (Idee beschreiben, kein Programmcode!) 2. (Graphentheorie) 1. Definieren Sie die Begriffe Graphisomorphismus, planarer Graph, Kuratowski Graph. 2. Zeigen oder widerlegen Sie: Folgende Graphen sind planar (Beweis!):
3. (Geometrie, Komplexitätstheorie) 1. Zeigen Sie: In einem konvexen Viereck ist die Gesamtlänge der beiden Diagonalen immer größer gleich der Gesamtlänge zweier gegenüberliegender Seiten. 2. Zeigen Sie: Die optimale Rundreise (TSP) für eine ebene Punktmenge in allgemeiner Lage kreuzt sich nicht selbst.
3. Entwerfen Sie einen möglichst schnellen Punktmengen (d.h. alle Algorithmus Punkte liegenfür aufdas derTSP KHauf der konvexen ebenen Punktmenge). Hinweis: Die Aufgaben (a) bis (c) sind bewußt in dieser Reihenfolge angegeben! 4. (Näherungsalgorithmen) 1. Definieren Sie die Begriffe Heuristik, Approximationsalgorithmus, relativer Fehler, polynomiales Approximationsschema. 2. Definieren Sie die Optimierungsvariante des Rucksackproblems und geben Sie ein polynomiales Approximationsschema dafür an. Welche Laufzeit und welchen relativen Fehler hat dieser Algorithmus (ohne Beweis)?
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Prüfung am 14.03.1996 über die im SS 95 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (5,5,4,6) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. (Randomisierte Suchbäume) Definieren Sie die Datenstruktur Randomisierte Suchbäume und den damit verbundenen Begriff Prioritäten. Wozu werden Randomisierte Suchbäume verwendet? Wie werden die entsprechenden Operationen implementiert und welchen Aufwand benötigt man dafür? (Hinweis: E [r ( x)] und brauchen nicht bewiesen werden.) 2. (Matrizen-Ketten-Multiplikation) Gegeben sind 4 Matrizen der Größe ,
,
,
. Berechnen Sie effizient die
optimale Klammerung zur Berechnung des Matrizenproduktes (wobei zur Multiplikation zweier Matrizen die Schulmethode verwendet wird). Erklären Sie kurz die verwendete Methode und geben Sie alle Zwischenschritte an. Vergleichen sie den Aufwand der optimalen Lösung mit dem Aufwand ohne Klammerung. 3. (Parallele Algorithmen, Geometrie) Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt einen Prozessoren, der in parallelen Algorithmus mit für n Punkte in der Ebene berechnet.
Zeit die konvexe Hülle
4. (Graphentheorie) Der Durchmesser d (G) eines ungewichteten zusammenhängenden Graphen G ist der maximale Abstand zweier Knoten aus G: , mit d (u,v) ist die Länge (=Anzahl Kanten) des kürzesten Weges von u nach v. Folgender Algorithmus berechnet den Durchmesser d ( B) für den Speziallfall eines Baumes B: Nimm einen beliebigen Knoten
. Bestimme einen Knoten
der
von x maximalen Abstand hat. Bestimme einen Knoten der von y maximalen Abstand hat. Dann ist der Abstand von y nach z der Durchmesser des Baumes. Zeigen Sie die Korrektheit dieses Algorithmus' (Hinweis: zeigen Sie zuerst, daß y sicher Endpunkt eines Pfades maximaler Länge ist).
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28 Prüfung am 04.06.1996 über die im SS 96 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 100 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (5,4,6,5) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Graphentheorie: 1. Gegeben ist der gerichtete Graph G mit folgender Adjazenzliste: 1 2, 6, 8; 2 1, 9; 3 5, 6; 4 1, 2, 3, 5, 9; 5 1, 7; 6 5, 7; 7 1, 2, 3; 8 4; 9 3; Geben Sie für G die Knotenreihenfolge für Breitensuche: und Tiefensuche: an, wenn der Knoten 1 der Startknoten ist. 2. Gegeben ist der Graph G:
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Graphen zum Graph G isomorph sind:
3. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Graphen planar sind:
2. Ein Algorithmus A besitzt eine Laufzeit, die durch die Rekursion beschrieben wird. Ein Algorithmus A' für dieselbe Aufgabenstellung besitzt eine Laufzeit
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. Geben Sie den
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größten Wert von a an, sodaß Algorithmus A' asymptotisch schneller als A ist: 3. Minimaler Spannbaum: 1. Sie dendes Begriff Spannbaum''. 2. Definieren Zur Konstruktion MSB``Minimaler eines Graphen G wurden in der Vorlesung zwei Algorithmen besprochen. Erklären Sie die Idee zur Auswahl ``guter'' Kanten, die beiden Algorithmen zugrundeliegt, und beweisen Sie die Korrektheit dieser Idee. 3. Sie haben eine Menge S von n Punkten im gegeben, sowie eine Funktion d ( x ,y), die in konstanter Zeit für zwei Punkte berechnet. Gesucht ist der MSB für S.
deren Abstand
Wählen Sie das für dieses Problem besser geeignete Verfahren, und begründen Sie Ihre Wahl, oder zeigen Sie, daß beide Verfahren gleich gut geeignet sind. 4. Stringsuchverfahren: 1. Erklären Sie die beiden Stringsuch-Methoden a) Knuth-Morris-Pratt sowie b) Quicksearch. Erläutern Sie insbesonders den Unterschied der verwendeten Verschiebefunktionen. 2. Erläutern Sie Vor- und Nachteile der beiden Verfahren, wenn Sie in einem Text auf einem sequentiellen Datenträger (z.B. Magnetband) suchen. Welches Verfahren ist dafür besser geeignet? Viel Erfolg!
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Prüfung am 08.11.1996 über die im SS 96 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (4,6,5,5) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Definieren Sie die Begriffe konvexe Hülle, Durchmesser einer Punktmenge und Weite (=Breite) eines Polygons. Erklären Sie den Algorithmus zur Konstruktion der konvexen Hülle einer Punkt-menge mittels iterativen Einfügens. Erläutern Sie ausführlich die Idee hinter dem Algorithmus und die dazu notwendigen Schritte (ohne Analyse). 2. Sei A[i, j] ein zweidimensionales Feld von positiven Gleitkommazahlen mit n Zeilen und 2n Spalten. Das Element A[1,1] steht dabei ``links oben''. Eine Teilmenge S der Einträge in A heißt Stiege, wenn (1) S aus jeder Zeile von A genau ein Element enthält und (2) der Eintrag aus Zeile i links vom Eintrag in Zeile i1 steht, . Die S entsprechenden Felder laufen also in A von der untersten zur obersten Zeile ``stiegenförmig'' nach rechts. Siehe Bild:
Der Wert einer Stiege sei die Summe Ihrer Elemente. Gesucht ist die Stiege mit maximalem Wert. Entwerfen Sie einen Algorithmus, der dieses Problem effizient löst (in PseudoCode oder natürlicher Sprache). Verwenden Sie dazu das Paradigma ``Dynamisches Programmieren''. Erklären Sie genau die Bedeutung des verwendeten Feldes und führen Sie eine Worstcase-Analyse für die Laufzeit Ihres Algorithmus durch. 3. Themenbereich: Komplexität von Algorithmen. Kreuzen Sie korrekte Aussagen an. Sie können
voraussetzen.
Alle Probleme in NP haben zumindest eine exponentielle untere Laufzeitschranke. Alle NP-vollständigen Probleme besitzen dieselbe asymptotische Laufzeit.
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Die Probleme TSP (Travellig Salesman Problem) und MSB (Minimaler Spannbaum) sind beide in NP. Entscheidungsprobleme können zum Lösen zugehöriger Optimierungsprobleme verwendet werden. Optimierungsprobleme können zum Lösen zugehöriger Entscheidungsprobleme verwendet werden. Kann man ein neues Problem aus der Klasse NP auf ein NP-vollständiges Problem reduzieren, so beweist dies die NP-Vollständigkeit des neuen Problems. 3-SAT ist NP-vollständig, 2-SAT hingegen kann in polynomialer Zeit gelöst werden. Die Klasse NP enthält alle mathematisch wohlformulierbaren Probleme. Das geometrische kann in polynomialer Zeit mit einem relativen Fehler 1 approximiertRundreiseproblem werden. NP ist die Abkürzung für ``Nicht Polynomial''. Hinweis: Sie müssen Ihre Aussage nicht begründen. Fälschlich angekreuzte Markierungen können Sie korrigieren, indem Sie den Punkt voll ausmalen. Er gilt dann als nicht angekreuzt. 4. Themenbereich Graphentheorie. Kreuzen Sie korrekte Aussagen an. Jeder zusammenhängende Graph mit n Knoten hat mindestens n-1 Kanten. Jeder planare Graph mit n Knoten hat mindestens n-1 Kanten. Jeder bipartite Graph enthält ausschließlich gerade Zyklen. Jeder planare bipartite Graph enthält eine gerade Anzahl von Knoten. Jeder planare bipartite Graph enthält eine gerade Anzahl von Kanten. Ein Graph mit n Knoten, der regulär vom Grad n-1 ist, ist nicht planar. Jeder Graph besitzt einen planaren Teilgraphen. Jeder Graph ist 6-färbbar. Jeder Graph mit 8 Kanten ist planar. Jeder Graph mit
Kanten ist planar.
Triangulierungen von Punkten in der Ebene sind immer planare Graphen. Hinweis: Sie müssen Ihre Aussage nicht begründen. Fälschlich angekreuzte Markierungen können Sie korrigieren, indem Sie den Punkt voll ausmalen. Er gilt dann als nicht angekreuzt.
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Prüfung am 28.01.1997 über die im SS 96 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (5,5,5,5) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Beschreiben Sie das String-Matching Verfahren nach Knuth-Morris-Pratt. Erläutern Sie insbesondere Aufgabenstellung, Algorithmus, verwendete Verschiebefunktion und Zeitanalyse genau! Wie muß der Algorithmus angepaßt werden, um das Wildcard '?' (genau ein beliebiges Zeichen) im Suchstring verwenden zu können? 2. Erklären Sie, weshalb der einfache Schnitt-Detektor für Kreisscheiben (Plane-sweep Technik) für Kreise nicht korrekt funktioniert. Mit welcher einfachen Idee kann das für Liniensegmente verwendete Verfahren auch zur Berechnung aller Schnitte von Kreisen verwendet werden? (Idee beschreiben, kein Programmcode!) 3. Konstruieren Sie einen parallelen Algorithmus, der mit
Prozessoren (Ver-
gleichsgattern) das Minimum von n Zahlen (unsortiert) in Zeit bestimmt. 4. Gegeben ist ein Graph G=(V , E ) mit n=|V | Knoten und m=| E | Kanten. Zeigen Sie, daß es keinen Algorithmus mit Laufzeit O(nm) geben kann, der alle Kreise der Länge 4 in G auflistet.
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Prüfung am 11.03.1997 über die im SS 96 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (4,6,4,6) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Definieren Sie das Teilsummenproblem . Zeigen Sie bestmögliche obere und untere Laufzeitschranken für dieses Problem, und begründen Sie Ihre Aussagen. 2. Randomisierte Suchbäume 1. Definieren Sie das Wörterbuchproblem , sowie die Datenstruktur Randomisierter Suchbaum . 2. Erklären Sie ausführlich die zugrundeliegenden Operationen des randomisierten Suchbaumes, und zeigen Sie, mit welchen Laufzeiten damit das Wörterbuchproblem gelöst werden kann. 3. Beweisen oder widerlegen Sie: Sind die Werte und Prioritäten des randomisierten Suchbaumes paarweise verschieden (d.h. alle Werte bzw. Prioritäten sind verschieden), so ist der randomisierte Suchbaum eindeutig. 3. Beschreiben Sie eine deterministische Methode (Verfahren nach Graham) zur Berechnung der konvexen Hülle von n Punkten in der Ebene. Analysieren Sie das genaue Laufzeitverhalten dieses Verfahrens. 4. Graphentheorie 1. Geben Sie einen ungerichteten, ungewichteten, kreisfreien, zusammenhängenden Graphen mit 8 Knoten an, und kennzeichnen Sie einen Startknoten, sodaß sowohl Breitensuche als auch Tiefensuche alle Knoten in derselben Reihenfolge besuchen! 2. Wieviele solcher ungerichteten, ungewichteten, kreisfreien, zusammenhängenden Graphen mit n Knoten, von denen einer als Startknoten gekennzeichnet ist, gibt es, sodaß sowohl Breitensuche als auch Tiefensuche alle Knoten in derselben Reihenfolge besuchen? Beweisen Sie Ihre Aussage!
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Prüfung am 15.05.1997 über die im SS 96 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (4,5,5,6) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Definieren Sie die Begriffe Heuristik, Approximationsalgorithmus, relativer Fehler, polynomiales Approximationsschema. Kann für jede Problemstellung ein polynomiales Approximationsschema gefunden werden? Welche Vor- und Nachteile besitzt ein polynomiales Approximationsschema gegenüber einer Approximation mit einer sehr kleinen, aber festen Konstanten 2. Gegeben sind 4 Matrizen der Größe ,
? ,
,
. Berechnen Sie effizient die optimale Klammerung zur
Berechnung des Matrizenproduktes (wobei zur Multiplikation zweier Matrizen die Schulmethode verwendet wird). Erklären Sie kurz die verwendete Methode und geben Sie alle Zwischenschritte an. Vergleichen Sie den Aufwand der optimalen Lösung mit dem Aufwand ohne Klammerung. 3. Gegeben ist ein kantengewichteter Graph G=(V ,E ). Die Gewichte sind ganzzahlig, können aber auch negativ sein! Gesucht ist eine kreislose Kantenteilmenge (d.h. ein kreisloser Teilgraph (V , E ')), die ein möglichst großes Gesamtgewicht hat. Erklären Sie, wie eine solche optimale Lösung aussieht, und in welcher Zeit sie berechnet werden kann. Hinweis: Sie können dazu gegebenenfalls in der Vorlesung verwendete Algorithmen als Unterprogramm aufrufen. 4. Exponentation 1. Sie sollen , , , mit möglichst wenigen Multiplikationen berechnen. Beschreiben Sie dazu das in der Vorlesung besprochene, auf der Binärdarstellung von n beruhende, Verfahren, und geben Sie den Algorithmus an. 2. Ermitteln Sie mit diesem Verfahren die Anzahl notwendiger Multiplikationen zur Berechnung von . 3. Modifizieren Sie nun obige Methode, sodaß es auf Basis 3 arbeitet, d.h. n wird als Zahl zur Basis 3 dargestellt. Erklären Sie die dazu notwendigen Änderungen und geben Sie den neuen Algorithmus an. Welche Laufzeit besitzt dieser Algorithmus? 4. Wieviele Multiplikationen sind mit diesem modifizierten Verfahren zur Berechnung von
notwendig? (Hilfestellung:
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Name: Matr.Nr.:
Prüfung am 26.06.1997 über die im SS 97 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (5,5,4,6) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Optimale Triangulierungen 1. Definieren Sie das Problem der optimalen Dreieckszerlegung. 2. Zeigen Sie eine einfache untere Schranke für die Anzahl verschiedener Dreieckszerlegungen eines konvexen Polygons mit n Ecken. 3. Erklären Sie den Algorithmus zur Berechnung der optimalen Dreieckszerlegung für ein konvexes Polygon mit n Ecken. 2. NP-vollständige Probleme: Kreuzen Sie korrekte Aussagen an. Jedes NP-vollständige Problem A ist auf jedes NP-vollständige Problem A' polynomial reduzierbar. NP-vollständige Probleme sind die schwersten Probleme aller Probleme in NP. NP steht für 'nondeterministic-polynomial'. Ist ein Entscheidungsproblem NP-vollständig, dann auch das zugehörige Optimierungsproblem. Kann ein Optimierungsproblem in polynomialer Zeit gelöst werden, dann auch das zugehörige Entscheidungsproblem. Die Berechnung der Konvexen Hülle von n Punkten in der Ebene ist in NP. 2SAT und 3SAT sind beide in NP. Alle wohlformulierten Probleme sind entweder in P oder in NP. Für NP-vollständige Probleme gibt es eine exponentielle untere Laufzeitschranke. Beim Reduktionsbeweis wird das zu klassifizierende Problem auf ein bereits als NP-vollständig bekanntes Problem reduziert. Hinweis: Sie müssen Ihre Aussage nicht begründen. Fälschlich angekreuzte Markierungen können Sie korrigieren, indem Sie den Punkt voll ausmalen. Er gilt dann als nicht angekreuzt. 3. Gegeben ist ein zusammenhängender Graph mit n Knoten und m Kanten. Entwerfen Sie einen Algorithmus, der möglichst effizient feststellt, ob dieser Graph bipartit ist.
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51 Zeigen Sie die Korrektheit Ihrer Lösung und analysieren Sie den Zeit- und Speicherbedarf. 4. Beschreiben Sie kurz den Algorithmus von Dijkstra zur Berechnung der kürzesten Wege in gewichteten, zusammenhängenden Graphen G=(V , E ). 1. Wie verhält sich der Algorithmus, wenn auch negative Kantengewichte erlaubt sind? Beweisen Sie entweder seine Korrektheit, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an. 2. Welche Modifizierungen müssen am Algorithmus vorgenommen werden, wenn das Gewicht eines Pfades nicht die Summe, sondern das Produkt seiner Kantengewichte darstellt? Dabei gilt, daß das Gewicht einer Kante immer > 1 ist. Beweisen Sie Ihre Aussage!
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Prüfung am 16.10.1997 über die im SS 97 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (5,4,5,6) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Beschreiben Sie die beiden String-Matching Verfahren nach 'Knuth, Morris, Pratt' sowie 'Karp-Rabin'. Vergleichen Sie die beiden Methoden und erklären Sie jeweils Vor- und Nachteile. Welches der Verfahren ist besser geeignet, die Wildcards '?' (ein beliebiges Zeichen) und '*' (eine unbestimmte Anzahl beliebiger Zeichen) zu behandeln? Begründen Sie Ihre Aussagen! 2. Erklären und analysieren Sie die in der Vorlesung besprochene Schaltung zur parallelen Berechnung der Präfixsummen von n Integer Zahlen . 3. Gegeben ist eine Folge von Eckpunkten in der Ebene, die ein simples (nicht selbstkreuzendes) Polygon P beschreiben. Geben Sie einen möglichst schnellen Algorithmus an, der den Flächeninhalt von P bestimmt. Zeigen Sie die Korrektheit Ihrer Lösung und Analysieren Sie den Zeit- und Speicherbedarf. 4. Beschreiben Sie kurz den Algorithmus von Dijkstra zur Berechnung der kürzesten Wege in gewichteten, zusammenhängenden Graphen G=(V , E ). 1. Wie verhält sich der Algorithmus, wenn auch negative Kantengewichte erlaubt sind? Beweisen Sie entweder seine Korrektheit, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an. 2. Welche Modifizierungen müssen am Algorithmus vorgenommen werden, wenn das Gewicht eines Pfades nicht die Summe, sondern das Produkt seiner Kantengewichte darstellt? Dabei gilt, daß das Gewicht einer Kante immer > 1 ist. Beweisen Sie Ihre Aussage!
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57 Prüfung am 20.11.1997 über die im SS 97 abgehaltene Vorlesung. Es dürfen keine schriftlichen Unterlagen, Taschenrechner, PCs etc. verwendet werden. Zeit: 90 Min. Punkteschlüssel: Für Beispiel (1,2,3,4) jeweils (4,5,5,6) Punkte. Notenschlüssel: Sehr gut = 17 -20, Gut = 15 -17, Befriedigend = 13-15, Genügend = 10 12 . 1. Geben Sie einen effizienten Algorithmus zur Multiplikation langer Zahlen an (Präzisionsarithmetik mit n dezimalen Stellen je Zahl). Erklären Sie den Algorithmus, und analysieren Sie dessen Laufzeitbedarf. 2. Optimale Triangulierungen 1. Definieren Sie das Problem der optimalen Dreieckszerlegung. 2. Zeigen Sie eine einfache untere Schranke für die Anzahl verschiedener Dreieckszerlegungen eines konvexen Polygons mit n Ecken. 3. Erklären Sie den Algorithmus zur Berechnung der optimalen Dreieckszerlegung für ein konvexes Polygon mit n Ecken. 3. Gegeben ist ein zusammenhängender Graph mit n Knoten und m Kanten. Entwerfen Sie einen Algorithmus, der möglichst effizient feststellt, ob dieser Graph bipartit ist. Zeigen Sie die Korrektheit Ihrer Lösung, und analysieren Sie den Zeit- und Speicherbedarf. 4. Gegeben ist eine Folge von Eckpunkten in der Ebene, die ein simples (nicht selbstkreuzendes) Polygon P beschreiben. Geben Sie einen möglichst schnellen Algorithmus an, der den Flächeninhalt von P bestimmt. Zeigen Sie die Korrektheit Ihrer Lösung und analysieren Sie den Zeit- und Speicherbedarf.
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