e45 hw 1

Charlie  (Woo  Yong)  Choi   22609575   E45   6.7)  In  normal  motion,  the  load  exerted  on  the  hip  joint  is  2.5  times  body  weight.  (a)   Calculate  the  corresponding  stress  (in  MPa)  on  an  artificial  hip  implant  with  a  cross-­‐ sectional  area  of  5.64cm2  in  a  patient  weighing  150lbf.  (b)  Calculate  the   corresponding  strain  if  the  implant  is  made  of  Ti-­‐6Al-­‐4V,  which  has  an  elastic   modulus  of  124GPa.     Solution   a)  Let’s  first  convert  all  units  to  the  same  one  so  we  can  work  with  them.   𝑁 1𝑃𝑎 = 1 !   𝑚 1𝑙𝑏𝑠! = 4.448222𝑁   5.64𝑐𝑚! = 5.64 ∗ 10!! 𝑚!   Plugging  these  values  into  the  stress  equation:   𝑃 2 ∗ 𝑏𝑜𝑑𝑦  𝑤𝑒𝑖𝑔ℎ𝑡 2.5 ∗ 150 ∗ 4.448222 𝜎= = = ≈ 𝟐. 𝟗𝟓𝟕𝟓𝟗𝑴𝑷𝒂   𝐴 𝜋𝑟 ! 5.64 ∗ 10!! b)  Using  the  stress-­‐strain  equation  with  elastic  modulus,  we  can  find  the  strain:   𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜖   𝜎 2.95759𝑀𝑃𝑎 𝜖= = ≈ 𝟐. 𝟑𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎!𝟓   𝐸 124000𝑀𝑃𝑎     6.8)  Repeat  Problem  6.7  for  the  case  of  an  athlete  who  undergoes  a  hip  implant.  The   same  alloy  is  used,  but  because  the  athlete  weighs  200lbf  a  larger  implant  is   required  (with  a  cross-­‐sectional  area  of  6.90cm2).  Also,  consider  the  situation  in   which  the  athlete  expends  his  maximum  effort  exerting  a  load  of  five  times  his  body   weight.     Solution   𝑃 2.5 ∗ 200 ∗ 4.448222 𝜎!.!  !"#$% =   = ≈ 𝟑. 𝟐𝟐𝟑𝟑𝑴𝑷𝒂   𝐴 6.9 ∗ 10!! 𝑃 5 ∗ 200 ∗ 4.44822 𝜎!  !"#$% = = ≈ 𝟔. 𝟒𝟒𝟔𝟕𝑴𝑷𝒂   𝐴 6.9 ∗ 10!! 𝜎 3.2233𝑀𝑃𝑎 𝜖!.!  !"#$% = = ≈ 𝟐. 𝟓𝟗𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎!𝟓   𝐸 124000𝑀𝑃𝑎 𝜎 6.3367𝑀𝑃𝑎 𝜖!  !"#$% = = ≈ 𝟓. 𝟏𝟗𝟖𝟗 ∗ 𝟏𝟎!𝟓   𝐸 124000𝑀𝑃𝑎   6.9)  Suppose  that  you  were  asked  to  select  a  material  for  a  spherical  pressure  vessel   to  be  used  in  an  aerospace  application.  The  stress  in  the  vessel  wall  is:   𝜎=

𝑝𝑟   2𝑡

where  p  is  the  internal  pressure,  r  the  outer  radius  of  the  sphere,  and  t  the  wall   thickness.  The  mass  of  the  vessel  is:   𝑚 = 4𝜋𝑟 ! 𝑡𝜌   where  r  is  the  material  density.  The  operating  stress  of  the  vessel  will  always  be  

𝜎≤

Charlie  (Woo  Yong)  Choi   22609575   E45  

𝑌. 𝑆   𝑆

where  S  is  a  safety  factor.  (a)  show  that  the  minimum  mass  of  the  pressure  vessel   will  be   𝑚 = 2𝑆𝜋𝑝𝑟 !

𝜌   𝑌. 𝑆

(b)  given  Table  6.1  and  the  following  data,  select  the  alloy  that  will  produce  the   lightest  vessel.     Alloy  

𝜌  (

𝑀𝑔 )   𝑚!

Cost  ($/kg)  

1040  carbon  steel  

7.80  

0.63  

304  stainless  steel  

7.80  

3.70  

3003-­‐H14  aluminum  

2.73  

3.00  

Ti-­‐5Al-­‐2.5Sn  

4.46  

15.00  

(c)  Given  6.1  and  the  data  in  the  preceding  table,  select  the  alloy  that  will  produce   the  minimum  cost  vessel.   Solution   ! a)  Solving  𝑚 = 4𝜋𝑟 ! 𝑡𝜌  for  t,  t  =  !!! ! !.  Plugging  into  expression  for  𝜎,     𝑝𝑟 𝑝𝑟 4𝜋𝑟 ! 𝜌 2𝜋𝑝𝑟 ! 𝜌 𝜎= = =   2𝑡 2𝑚 𝑚 Then  we  plug  this  into  operating  stress  requirement  and  rearrange:   𝑌. 𝑆   𝑆 2𝜋𝑝𝑟 ! 𝜌 𝑌. 𝑆 ≤   𝑚 𝑆 𝟐𝑺𝝅𝒑𝒓𝟑 𝝆 𝑚=   𝒀. 𝑺 𝜎≤

b)   Alloy  

Y.S  (MPa)  

𝜌   𝑌. 𝑆

𝜌  (kg/m3)  

𝜌 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑡   𝑌. 𝑆

1040  carbon  steel  

600  

7800  

13  

8.19  

304  stainless  steel  

205  

7800  

38.049  

140.78  

3003-­‐H14  aluminum  

145  

2730  

Charlie  (Woo  Yong)  Choi   22609575   E45   18.828   56.484  

Ti-­‐5Al-­‐2.5Sn  

827  

4460  

5.3930  

80.895  

  !

From  looking  at  the  !.!  data,  if  all  other  variables  such  as  radius,  safety  factor,   !

pressure  are  kept  constant  and  equal,  the  one  with  the  lowest  !.!  value  will  require   lowest  minimum  mass.  Thus  Ti-­‐5Al-­‐2.5Sn  would  require  least  mass.   !

!

c)  Since  !.!  of  each  material  acts  as  a  ratio  of  their  masses,  we  can  multiply  !.!  with   the  cost  to  see  which  of  the  materials  have  the  lowest  product.  The  one  with  the   lowest  product  will  be  the  cheapest.  It  turns  out  1040  carbon  steel  has  the  lowest   product,  thus  will  be  the  cheapest.     6.16)  A  single  crystal  Al2O3  rod  (precisely  6mm  diameter  x  50mm  long)  is  used  to   apply  loads  to  small  samples  in  a  high-­‐precision  dilatometer  (a  length-­‐measuring   device).  Calculate  the  resulting  rod  dimensions  if  the  crystal  is  subjected  to  a  25-­‐kN   axial  compression  load.   Solution   E  =  380*103MPa  

𝜈 = 0.26                𝑟! = 0.003𝑚          

Assume  change  in  r  is  minimal  during  compression,  thus  r  is  constant.   !

𝜎=!=!

!"###! !.!!"! !

𝑧! = 0.05𝑚   𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜖!   𝜎 ∆𝑧 𝜖! = = 0.002326 =   𝐸 𝑧! ∆𝑧 = 0.1163𝑚𝑚  𝑜𝑟 − 0.1163𝑚𝑚  𝑠𝑖𝑛𝑐𝑒  𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛   𝜖! 𝜈 = − = 0.26   𝜖! ∆𝑟 𝜖! = 0.00060476 =   𝑟! Since  𝜖!  is  very  small,  our  assumption  is  reasonable.   ∆𝑟 = 0.001814𝑚𝑚   Resulting  rod  dimensions:  0.04988m  x  0.006003628m      

P  

= 884.19𝑀𝑃𝑎  

r  

z