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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Departamento de Química Sección Físico Química y Matemáticas
Cálculo Evaluación a distancia 4 Créditos
Titulaciones Ingeniero en Contabilidad y Auditoría Ingeniero en Administración en Banca y Finanzas Ingeniero en Administración de Empresas
Ciclos
III
Profesor principal:
MSc. César Augusto Yépez Gómez TUTORÍAS: El profesor asignado publicará en el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) su número telefónico y horario de tutoría, para contactarlo utilice la opción “Contactar al profesor” Más información puede obtener llamando al Call Center 07 3701444, línea gratuita 1800 88758875 o al correo electrónico
[email protected]
Abril-Agosto 2015
Asesoría virtual: www.utpl.edu.ec La Universidad Católica de Loja
Evaluaciones a distancia: Cálculo
PERIODO: ABRIL - AGOSTO 2015 Le recordamos que usted debe enviar de forma obligatoria su evaluación a distancia a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en las fechas definidas, que son EXCLUSIVAS E IMPOSTERGABLES. PRIMER PARCIAL 2 al 18 de mayo/2015 CICLOS TITULACIONES
FECHAS DE ENVÍO GENERAL
ENVÍO POR TITULACIÓN
• Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: -- Educación Básica -- Físico Matemáticas -- Químico Biológicas -- Lengua y Literatura • Ingeniero en Contabilidad y Auditoría
2 al 11 de mayo/2015
13 y 14 de mayo/2015
Todos los ciclos
• • • • •
Ingeniero en Gestión Ambiental Economista Licenciado en Psicología Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Inglés Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Educación Infantil
2 al 11 de mayo/2015
14 y 15 de mayo/2015
Todos los ciclos
• Derecho • Ingeniero en Administración en Gestión Pública • Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Ciencias Humanas y Religiosas • Ingeniero en Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras
2 al 12 de mayo/2015
15 y 16 de mayo/2015
Todos los ciclos
• • • • •
2 al 13 de mayo/2015
17 y 18 de mayo/2015
Todos los ciclos
Ingeniero en Administración en Banca y Finanzas Licenciado en Asistencia Gerencial y Relaciones Públicas Ingeniero en Informática Ingeniero en Administración de Empresas Licenciado en Comunicación Social
Para el envío de las evaluaciones acceda a: www.utpl.edu.ec
ACTIVIDADES EN LÍNEA Actividades en Línea, acreditadas con 3 puntos. Al igual que la Evaluación a Distancia es una estrategia de aprendizaje, especialmente de tipo colaborativo, que se realiza en el Entorno Virtual de Aprendizaje ya sea de modo asíncrono (foro) o síncrono (chat y videocolaboración) como veremos en sus definiciones:
Foro académico a través el EVA En el que se realizan debates o análisis de temas, se resuelven casos o problemas o se puede hacer trabajo en grupo (lluvia de ideas, discusión sobre procedimientos). Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá plantearle varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Chat académico a través del EVA
Videocolaboración a través del EVA
Es un diálogo escrito síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes para debatir temas o resolver casos o problemas. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre, pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Es una videoconferencia, con imagen y audio, síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes. Su uso es, además de para consultas al profesor, para debatir aspectos específicos y realizar estudio de casos. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
La Universidad Católica de Loja
3
Evaluaciones a distancia: Cálculo
PRUEBA OBJETIVA (2 puntos)
Lea detenidamente cada uno de los siguientes enunciados y escriba dentro del paréntesis una V si es Verdadero o una F si es Falso 1.
(
)
La expresión 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝑳𝑳 se lee: “Límite cuando x tiende a f(x) de a es igual a L”
2.
(
)
3.
(
)
El límite: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝑳𝑳 significa que los valores de f(x) se acercan a L cuando se escoge x lo suficientemente cerca pero diferente de 𝑎𝑎.
4.
(
)
5.
(
)
6.
(
)
7.
(
)
Si 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 existe, si c es una constante y f(x)=c, entonces 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐢𝐢𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒄𝒄
Si 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂! 𝒇𝒇 𝒙𝒙 ≠ 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂! 𝒇𝒇 𝒙𝒙 , afirmamos que 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 existe. Si f es una función racional , entonces 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒇𝒇(𝒂𝒂) Si p>0 entonces 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→!!
𝟏𝟏
𝒙𝒙𝒑𝒑
=−∞
Si f(x) es una función racional, y 𝑎𝑎! 𝑥𝑥 ! y 𝑏𝑏! 𝑥𝑥 ! son términos en el numerador y denominador respectivamente, con las potencias más grandes de x, entonces: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→! 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→!
8.
(
)
9.
(
)
Una función f es discontinua en 𝑎𝑎 si y solo si: 1. 𝒇𝒇(𝒂𝒂) existe 2. 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 existe 3. 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒇𝒇(𝒂𝒂)
Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), la derivada de f en x que se escribe 𝑓𝑓´(𝑥𝑥), es la función
definida por el límite 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒉𝒉→𝟎𝟎 10.
(
11.
(
12.
(
4
)
)
)
𝒂𝒂𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒏𝒏
𝒃𝒃𝒎𝒎 𝒙𝒙𝒎𝒎
𝒇𝒇 𝒙𝒙!𝒉𝒉 !𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝒉𝒉
Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). La derivada representa geométricamente la pendiente de la curva 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto (𝑥𝑥, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ).
Una ecuación de la tangente de la curva 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto (𝑎𝑎, 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ) se obtiene mediante la fórmula 𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓´(𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) Si 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒄𝒄, entonces la derivada 𝒚𝒚´ = 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙 =
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
= 𝟎𝟎
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo
13.
(
)
14.
(
)
Sean f, g dos funciones diferenciables, si 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙 . 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒚𝒚´ = 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙 . 𝒈𝒈´(𝒙𝒙).
Si 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 𝒖𝒖 = 𝒖𝒖𝒏𝒏 , 𝒖𝒖 = 𝒉𝒉(𝒙𝒙), n es cualquier número real, entonces la derivada
15.
(
)
16.
(
)
entonces
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
=
𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
.
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒖𝒖𝒏𝒏 = 𝒏𝒏𝒖𝒖𝒏𝒏!𝟏𝟏
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
, donde 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒖𝒖), 𝒖𝒖 = 𝒉𝒉(𝒙𝒙) es la llamada regla del producto
La derivada
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥∆𝒙𝒙→𝟎𝟎
∆𝒙𝒙
∆𝒚𝒚
se pude interpretar como la razón de cambio
promedio de y respecto a x 17.
(
)
Si 𝒄𝒄 = 𝒇𝒇(𝒒𝒒) es una función de costo total, donde q es el número de unidades de un producto, entonces el costo marginal se define como la derivada de la función de costo total.
18.
(
)
El costo marginal se interpreta como el costo aproximado de una unidad adicional de producción.
19.
(
)
La función
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
representa el ingreso marginal si 𝒓𝒓 = 𝒇𝒇(𝒒𝒒) es el ingreso de
un fabricante al vender q unidades de un producto. 20.
(
)
Si 𝒚𝒚 = 𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒖𝒖), además 𝒖𝒖 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) entonces la derivada de la función 𝟏𝟏 logarítmica es: 𝒚𝒚´ = 𝒖𝒖
21.
(
)
23.
(
)
La función exponencial 𝒚𝒚 = 𝒆𝒆𝒖𝒖 con 𝒖𝒖 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) tiene como derivada: 𝒚𝒚´ = 𝒆𝒆𝒖𝒖
Si 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es una función diferenciable, entonces la tercera derivada se obtiene calculando:
24.
(
)
25.
(
)
𝒅𝒅
𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒇𝒇´´(𝒙𝒙)
Se dice que una función f es creciente en un intervalo I, cuando: Para cualquier 𝑥𝑥! , 𝑥𝑥! elementos de I, se cumple que: Si 𝑥𝑥! < 𝑥𝑥! , entonces 𝑓𝑓 𝑥𝑥! < 𝑓𝑓(𝑥𝑥! ) Una función f es decreciente en un intervalo I, cuando: Para cualquier 𝑥𝑥! , 𝑥𝑥! elementos de I, se cumple que: Si 𝑥𝑥! > 𝑥𝑥! , entonces 𝑓𝑓 𝑥𝑥! > 𝑓𝑓(𝑥𝑥! )
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suponiendo que 𝒇𝒇´ 𝒂𝒂 = 𝟎𝟎. Si 𝒇𝒇´´ 𝒂𝒂 > 𝟎𝟎, entonces f tiene un máximo relativo en 𝑎𝑎
28.Evaluaciones ( ) a distancia: Si 𝑓𝑓´´ Cálculo 𝑥𝑥 > 0 en todo un intervalo, entonces f es cóncava hacia arriba en ese intervalo. 26. 29.
( (
)
)
SiEnf es función diferenciable en un intervalo I ysolo 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙de 𝟎𝟎, entonces f tiene un máximo relativo en 𝑎𝑎
29.
(
)
En un punto de inflexión , la concavidad cambia solo de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.
30.
(
)
La recta 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 es una asíntota vertical para la gráfica de la función si y si: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝒂𝒂! 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = ±∞.
Si 𝑓𝑓´´ 𝑥𝑥 > 0 en todo un intervalo, entonces f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
PRUEBA DE ENSAYO (4 puntos)
En cada uno de los siguientes enunciados seleccione el literal de la respuesta correcta. 31.
Seleccione el valor que se obtiene al calcular el siguiente límite:
a. b. c.
t ! + 3t ! ! → ! t ! − 4t ! lim
0 -3/4 ∞
32. Seleccione valor que se obtiene al calcular el siguiente En cada uno de ellos siguientes enunciados seleccione ellímite: literal de la respuesta correcta. 𝑥𝑥 ! − 81 lim ! 31. Seleccione el valor que se obtiene al𝑥𝑥calcular el 15 siguiente límite: !→!! + 8𝑥𝑥 + a. b. c. a. b. c.
32.
6
t ! + 3t ! ! → ! t ! − 4t !
-81/15 -54 45 0 -3/4 ∞
lim
Seleccione el valor que se obtiene al calcular el siguiente límite:
a. b. c.
-81/15 -54 45
𝑥𝑥 ! − 81 !→!! 𝑥𝑥 ! + 8𝑥𝑥 + 15 lim
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo
33.
Si 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 − 𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 entonces el límite 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒇𝒇 𝒙𝒙!𝒉𝒉 !𝒇𝒇(𝒙𝒙)
resulta: a. b. c.
34.
a.
b. c.
! !
! ! ! ! ! !
!
! !
x + y + = 0 ! !
x + y − = 0 !
y = 4x + 3 3x + y − 4 = 0 y = −4x − 3
Costo marginal. La función en dólares del costo promedio de un fabricante, está
a. b. c.
. Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales)
79.90 89.90 97.90
Sea la función 𝐟𝐟 𝐱𝐱 = 𝐱𝐱 𝟐𝟐 𝐥𝐥𝐥𝐥(𝐱𝐱), calcular 𝐟𝐟´´(𝐱𝐱) a. b. c.
f´´(x) = 2 + 3 ln x f´´(x) = 3 + 2 ln x f´´(x) = 2x + 3 ln x
Sea la función función son: a. b. c.
39.
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒒𝒒!𝟐𝟐𝟐𝟐)
cuando 𝑞𝑞 = 50.
38.
en el punto
x + y − = 0
dado por 𝒄𝒄 =
37.
𝟕𝟕𝟕𝟕!𝟐𝟐
𝐱𝐱!𝟏𝟏
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝐱𝐱 𝟑𝟑 + 𝐱𝐱𝐱𝐱 + 𝐲𝐲 𝟐𝟐 = −𝟏𝟏, en el punto (-1,1). a. b. c.
36.
1+8x 1- 8x -1+ 8x
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝐲𝐲 = 1,
35.
𝒉𝒉
𝒚𝒚 =
b. c.
𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 !𝟐𝟐𝟐𝟐
!
,
todos los valores críticos que se presentan en la
x = − , x = 0 y x = !
x = 0 y x = !
! !
! !
x = − y x = 0 !
La función 𝒚𝒚 = a.
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 !𝟐𝟐𝟐𝟐
, tiene un máximo relativo en:
𝑥𝑥 = 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = !
! !
𝑥𝑥 = − 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 0
𝑥𝑥 = 0
!
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Evaluaciones a distancia: Cálculo
40.
40.
El intervalo donde la función 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 es cóncava hacia abajo es:
a. (−1, 1) ! ! El intervalo donde la función 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 es cóncava hacia abajo es: − , b !
41. 41.
42. 42.
!
! a. (−1, c. − 1), 1 !! ! − , b ! ! ! determina que el costo total, c, de producir un artículo está dado por Un fabricante c. − , 1 la función de! costo: 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒒𝒒𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓. ¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad? Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artículo está dado por la costo: 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒒𝒒𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓. ¿Para qué nivel de producción será a. función 100de unidades mínimo el costo promedio por unidad? b 50 unidades c. 150 unidades a. 100 unidades b 50 unidades c. 150 unidades
La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es: 𝑝𝑝 = −5𝑞𝑞 + 30. ¿A qué precio se maximizará el ingreso?
La de demanda para el producto de un monopolista es: 𝑝𝑝 = −5𝑞𝑞 + 30. ¿A a. ecuación 15 dólares qué precio se maximizará el ingreso? b 30 dólares c. 20 dólares a. 15 dólares b 30 dólares c. 20 dólares Estimado(a) estudiante, una vez resuelta su evaluación a distancia en el documento impreso (borrador), acceda al Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en www.utpl.edu.ec e ingrese las respuestas respectivas.
SEÑOR ESTUDIANTE: Le recordamos que para presentarse a rendir las evaluaciones presenciales no está permitido el uso de ningún material auxiliar (calculadora, diccionario, libros, Biblia, formularios, códigos, leyes, etc.) Las pruebas presenciales están diseñadas para desarrollarlas sin la utilización de estos materiales.
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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo
PERIODO: ABRIL - AGOSTO 2015 Le recordamos que usted debe enviar de forma obligatoria su evaluación a distancia a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en las fechas definidas, que son EXCLUSIVAS E IMPOSTERGABLES. SEGUNDO PARCIAL 29 de junio al 15 de julio/2015 CICLOS TITULACIONES
FECHAS DE ENVÍO GENERAL
ENVÍO POR TITULACIÓN
• Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: -- Educación Básica -- Físico Matemáticas -- Químico Biológicas -- Lengua y Literatura • Ingeniero en Contabilidad y Auditoría
29 de junio al 10 de julio/2015
14 y 15 de julio/2015
Todos los ciclos
• • • • •
Ingeniero en Gestión Ambiental Economista Licenciado en Psicología Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Inglés Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Educación Infantil
29 de junio al 9 de julio/2015
13 y 14 de julio/2015
Todos los ciclos
• Derecho • Ingeniero en Administración en Gestión Pública • Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Ciencias Humanas y Religiosas • Ingeniero en Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras
29 de junio al 8 de julio/2015
12 y 13 de julio/2015
Todos los ciclos
• • • • •
29 de junio al 8 de julio/2015
10 y 11 de julio/2015
Todos los ciclos
Ingeniero en Administración en Banca y Finanzas Licenciado en Asistencia Gerencial y Relaciones Públicas Ingeniero en Informática Ingeniero en Administración de Empresas Licenciado en Comunicación Social
Para el envío de las evaluaciones acceda a: www.utpl.edu.ec
ACTIVIDADES EN LÍNEA Actividades en Línea, acreditadas con 3 puntos. Al igual que la Evaluación a Distancia es una estrategia de aprendizaje, especialmente de tipo colaborativo, que se realiza en el Entorno Virtual de Aprendizaje ya sea de modo asíncrono (foro) o síncrono (chat y videocolaboración) como veremos en sus definiciones:
Foro académico a través el EVA En el que se realizan debates o análisis de temas, se resuelven casos o problemas o se puede hacer trabajo en grupo (lluvia de ideas, discusión sobre procedimientos). Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá plantearle varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Chat académico a través del EVA
Videocolaboración a través del EVA
Es un diálogo escrito síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes para debatir temas o resolver casos o problemas. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre, pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Es una videoconferencia, con imagen y audio, síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes. Su uso es, además de para consultas al profesor, para debatir aspectos específicos y realizar estudio de casos. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
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Evaluaciones a distancia: Cálculo
PRUEBA OBJETIVA (2 puntos)
Lea detenidamente cada uno de los siguientes enunciados y escriba dentro del paréntesis una V si es Verdadero o una F si es Falso 1.
(
)
2.
(
)
3.
(
)
4.
(
)
Sea 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙 una función diferenciable de x, sea el número real ∆x un cambio e. Entonces 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒇𝒇´(𝒙𝒙)∆𝒙𝒙 es la derivada de y.
Una antiderivada de una función f es una función F tal que 𝑭𝑭 𝒙𝒙 = 𝒇𝒇´(𝒙𝒙).
La integral indefinida de una función f se escribe como: 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅 y se calcula mediante: 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑭𝑭 𝒙𝒙 + 𝑪𝑪, donde C es una constante y 𝐹𝐹(𝑥𝑥) es cualquier antiderivada de f.
Según la regla de la potencia para la integración, si u=f(x) es una función diferenciable en x, entonces, para n≠1 se tiene: 𝒖𝒖𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 =
5.
(
)
6.
(
)
7.
(
)
10
𝒖𝒖𝒏𝒏!𝟏𝟏 𝒏𝒏!𝟏𝟏
+ 𝑪𝑪
Si u=f(x) es una función diferenciable entonces se cumple las siguiente regla de integración: 𝒆𝒆𝒖𝒖 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒆𝒆𝒖𝒖 + 𝑪𝑪
Según las definiciones de integrales definidas e integrales indefinidas, podemos decir que la integral definida representa una función, mientras que una integral indefinida es un número. Sea la región formada por f, una función continua, definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si subdividimos la región en n rectángulos de área 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ∆𝑥𝑥, entonces el límite de la suma de los n rectángulos es el área de la región entera.
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo
8.
(
)
En la figura, el rectángulo tiene un área 𝑦𝑦∆𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥. El área de la región completa se calcula determinando el límite de las sumas de todos elementos entre 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, este límite es la integral indefinida.
9.
(
)
El teorema fundamental del cálculo se utiliza para obtener de forma más eficiente las integrales definidas.
10.
(
)
Según el teorema fundamental del cálculo integral: Sea f una función continua definida en un intervalo [a,b] y F cualquier antiderivada de f en [a,b], entonces: !
!
11.
12.
(
(
)
)
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑎𝑎 − 𝐹𝐹(𝑏𝑏)
El cálculo de la siguiente integral definida es correcto: !!
!!
(
)
!
!
(
)
2 − 𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
)
(
)
!
(𝑥𝑥 ! − 2)𝑑𝑑𝑑𝑑 +
!
!
(𝑥𝑥 ! − 2)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑦𝑦 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!
!!
𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑
La fórmula para el cálculo de “la integral definida de una derivada” es:
16.
!
(𝑥𝑥 ! − 2)𝑑𝑑𝑑𝑑
La variable de integración es una variable ficticia, esto quiere decir que cualquier otra variable produce el mismo resultado, así: !!
(
!
2 − 𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!
15.
!
Tomando en cuenta las propiedades de la integral definida, el siguiente procedimiento es correcto: !
14.
𝑥𝑥 ! − 𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
Según las propiedades de la integral definida “Al intercambiar los límites de integración se cambia el signo de la integral”, entonces el siguiente procedimiento es correcto: !
13.
!
𝒃𝒃 𝒇𝒇 𝒂𝒂
𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒇𝒇´ 𝒃𝒃 − 𝒇𝒇´(𝒂𝒂).
Si la función de costo marginal de un fabricante es
!
!"
(𝑐𝑐), entonces el
costo de incrementar la producción de q1 hasta q2 viene dado por: !! 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 !! 𝑑𝑑𝑑𝑑
La Universidad Católica de Loja
11
Evaluaciones a distancia: Cálculo
17.
(
17.
)
La función de ingreso marginal de un fabricante es:
(
𝒅𝒅𝒅𝒅
)
= función 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟑𝟑𝒒𝒒𝟐𝟐 .marginal Entoncesdeelun cambio en eles:ingreso total del de ingreso fabricante
𝒅𝒅𝒅𝒅La
𝒅𝒅𝒅𝒅
fabricante cuando la producción aumenta el de cambio 10 a 20 unidades se calcula = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟑𝟑𝒒𝒒𝟐𝟐 . Entonces en el ingreso total del 𝒅𝒅𝒅𝒅 mediante:
fabricante cuando la producción aumenta de 10 a 20 unidades se calcula !" mediante: 250 + 90𝑞𝑞 − 3𝑞𝑞 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 !"
18.
(
18. 19.
(
19. 20.
(
20. 21.
22.
(
23.
(
24.
12
)
( (
23. 24.
)
) )
(
!!
2 − 𝒚𝒚 𝑥𝑥 = − 𝒙𝒙𝑥𝑥𝟐𝟐! +𝑑𝑑𝑑𝑑 El área de la región formada por la curva 𝟏𝟏, y la curva 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 3, !! se calcula mediante la integral definida !
! −la𝑥𝑥 curva + 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏, y la curva 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 3, El área de la región formada−𝑥𝑥 por !! se calcula mediante la integral definida
!
)
(
!
𝟑𝟑 El área de la región formada 2por − 𝑥𝑥la−curva 𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑𝒚𝒚 = 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 , el eje X, y el eje Y, se calcula mediante la integral definida !!
Curva de Lorenz. La curva de Lorenz −𝑥𝑥 ! − 𝑥𝑥 se + 2utiliza 𝑑𝑑𝑑𝑑 para estudiar las distribuciones de ingresos. Sea 𝒚𝒚!!= 𝒇𝒇(𝒙𝒙) la curva de Lorenz, entonces x es el porcentaje acumulado de receptores de ingresos, ordenados de más y y esLael porcentaje ingresos. el 30% para de la gente ) pobres Curvaa más de ricos, Lorenz. curva de de Lorenz se Siutiliza estudiar las recibe el % 15 de los ingresos, el 20 % de la gente recibe el 10% de los distribuciones de ingresos. Sea 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) la curva de Lorenz, entonces x es ingresos, entonces la curva de Lorenz sería 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. el porcentaje acumulado de receptores de ingresos, ordenados de más
)
(
! El área de la región formada por la curva 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 y el eje X, se 4 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 calcula mediante la integral definida !!
!
)
(
22.
)
El área de la región formada por la!curva 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐 −!𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟑𝟑 , el eje X, y el eje Y, 4 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 se calcula mediante la integral definida
)
(
21.
) )
(
!"
250 + 90𝑞𝑞 − 3𝑞𝑞 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑
El área de la región formada por la curva 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 y el eje X, se calcula mediante la integral definida
)
(
!"
)
pobres a más ricos, y y es el porcentaje de ingresos. Si el 30% de la gente recibede el % 15 de La los curva ingresos, el 20 %sedeutiliza la gente el 10% Curva Lorenz. de Lorenz pararecibe estudiar las de los ingresos, entonces la curva de Lorenz sería 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. distribuciones de ingresos. Sea 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) la curva de Lorenz, entonces x es
el porcentaje acumulado de receptores de ingresos, ordenados de más pobres a más ricos, entonces la igualdad de la distribución de ingresos Curva de la Lorenz. está dada por recta 𝒚𝒚 =La𝒙𝒙. curva de Lorenz se utiliza para estudiar las
distribuciones de ingresos. Sea 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) la curva de Lorenz, entonces x es el porcentaje acumulado de receptores de ingresos, ordenados de más Seapobres 𝒑𝒑 = 𝒇𝒇(𝒒𝒒) la curva de entonces demanda, la 𝒑𝒑 = 𝒈𝒈(𝒒𝒒) la de curva oferta. El punto a más ricos, igualdad la de distribución de ingresos en está el que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio 𝑞𝑞! , 𝑝𝑝! . dada por la recta 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙.
Entonces la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio (𝒑𝒑𝟎𝟎 )se calcula mediante la integral: !!
Sea 𝒑𝒑 = 𝒇𝒇(𝒒𝒒) la curva de demanda, = 𝒈𝒈(𝒒𝒒) la curva de oferta. El punto 𝑓𝑓 𝑞𝑞 − 𝑝𝑝!𝒑𝒑 𝑑𝑑𝑑𝑑 ! en el que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio 𝑞𝑞! , 𝑝𝑝! . Entonces la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a Sea 𝑝𝑝 =más 𝑓𝑓(𝑞𝑞)que la curva de demanda, 𝑝𝑝 = 𝑔𝑔(𝑞𝑞) la curva demediante oferta. El punto pagar el precio de equilibrio (𝒑𝒑𝟎𝟎 )se calcula la integral:
en el que las curvas se intersecan!!se llama punto de equilibrio 𝑞𝑞! , 𝑝𝑝! . Entonces la ganancia total de los productores suministrar el producto 𝑓𝑓 𝑞𝑞 − 𝑝𝑝por ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 ! equilibrio (𝒑𝒑𝟎𝟎 ), se calcula mediante la a precios menores que el precio de integral:
! Sea 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓(𝑞𝑞) la curva de !demanda, 𝑝𝑝 = 𝑔𝑔(𝑞𝑞) la curva de oferta. El punto 𝑔𝑔 𝑞𝑞 − 𝑝𝑝se ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 en el que las curvas se intersecan llama punto de equilibrio 𝑞𝑞! , 𝑝𝑝! . ! Entonces la ganancia total de los productores por suministrar el producto a precios menores que el precio de MODALIDAD equilibrio (𝒑𝒑 calcula mediante la 𝟎𝟎 ), se Y ABIERTA A DISTANCIA integral:
!!
𝑔𝑔 𝑞𝑞 − 𝑝𝑝! 𝑑𝑑𝑑𝑑
Evaluaciones a distancia: Cálculo
25.
(
)
La integración por ´partes expresa una integral en términos de otra integral que puede ser más fácil de integrar. 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 −
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
26.
(
)
La integración por partes es una técnica basada en la regla del producto para la derivación.
27.
(
)
Una antiderivada de la función 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! + 5 es la función: ! 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! + 5𝑥𝑥 + 400.
28.
(
)
!
Si u=f(x) es una función diferenciable entonces se cumple la siguiente ! regla de integración: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑢𝑢 + 𝐶𝐶| !
29.
(
)
Para encontrar el valor de la constante de integración, se obtiene a través de los valores iníciales.
30.
(
)
Una integral indefinida no es otra cosa que un número real y puede o no representar un área.
PRUEBA DE ENSAYO (4 puntos)
En cada uno de los siguientes enunciados seleccione el literal de la respuesta correcta 31.
El resultado de la integral indefinida a. b. c.
32.
−
−
−
!
!! ! !"
!
! !! !
!" !
!! ! !"
!
− 7𝑥𝑥 !! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
b. c.
!! ! !!
! !! !
+ +
+
𝐱𝐱 𝟐𝟐
𝟓𝟓
−
𝟕𝟕
𝟐𝟐 𝐱𝐱
+ 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝐝𝐝𝐝𝐝 es:
!
!
− 7𝑥𝑥 ! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
!! ! ! !! !
! !! ! !
𝟑𝟑
− 7𝑥𝑥 ! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
Resolviendo la integral indefinida a.
−
+ 𝐶𝐶
𝒛𝒛𝟒𝟒 !𝟏𝟏𝟏𝟏𝒛𝒛𝟑𝟑 𝟐𝟐𝒛𝒛𝟐𝟐
𝒅𝒅𝒅𝒅, se obtiene:
+ 𝐶𝐶
+ 𝐶𝐶
La Universidad Católica de Loja
13
Evaluaciones a distancia: Cálculo
33.
Encuentre la función y, sujeta a las siguientes condiciones iniciales: 𝒚𝒚!! = −𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒙𝒙
a
b c 34.
𝒅𝒅𝒅𝒅
a.
b. c.
!
+ +
! !! ! ! !! ! !
+ 𝑥𝑥 + + 𝑥𝑥 + !
b. c.
!" !"
!" !"
+ 𝑥𝑥 +
!"
= 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟑𝟑 𝟐𝟐𝒒𝒒 + 𝟐𝟐𝒒𝒒𝟑𝟑
𝑝𝑝 = 5000 − 6𝑞𝑞 ! − 6𝑞𝑞 !
𝑝𝑝 = 5000 − 3𝑞𝑞 ! −
!! ! !
𝑝𝑝 = 5000 − 3𝑞𝑞 ! − 3𝑞𝑞 !
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 ! ! + 𝐶𝐶 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 ! ! + 𝐶𝐶 ! ! !
(6𝑡𝑡 ! + 4𝑡𝑡)! + 𝐶𝐶
(𝑡𝑡 ! + 𝑡𝑡 ! + 1)! + 𝐶𝐶
! !
(𝑡𝑡 ! + 𝑡𝑡 ! + 1)! + 𝐶𝐶 !
Calcule el valor de la siguiente integral definida: 𝟑𝟑
a. b. c. 38.
!"#
𝟐𝟐
𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒅𝒅𝒅𝒅
! !"# ! !
!"#
Calcule el valor de la siguiente integral definida 𝟏𝟏
a. b. c.
14
𝒚𝒚 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑
!"
Calcule la siguiente integral indefinida: (𝟔𝟔𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒕𝒕)(𝒕𝒕𝟑𝟑 + 𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝟏𝟏)𝟔𝟔 𝒅𝒅𝒅𝒅 a.
37.
𝑦𝑦 = −
! !!
+
𝒚𝒚! 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐
Calcule la siguiente integral indefinida
a. b. c. 36.
𝑦𝑦 = −
! !!
!! !
Si dr/dq es una función de ingreso marginal, encuentre la función de demanda 𝒅𝒅𝒅𝒅
35.
𝑦𝑦 = −
!!
! ! ! ! ! !
𝑒𝑒 − 1
𝟎𝟎
𝟑𝟑
𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒆𝒆𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑒𝑒 + 1 𝑒𝑒 − 1
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo
39.
Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Realice la gráfica de las ecuaciones.
a. b. c. 40.
!"#
!" !"#
2𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ! 2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 4
!" !"# !"
Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Realice la gráfica de las ecuaciones. 𝑦𝑦 = 2 − 𝑥𝑥 ! , a. b. c.
41.
9/2 2/9 9/3
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
La primera es una ecuación de demanda y la segunda es una ecuación de oferta de un producto. Determine el excedente de los consumidores, bajo el equilibrio de mercado. 𝑝𝑝 = 2 − 0.8𝑞𝑞
a. b. c. 42.
25.6 22.5 26.5
𝑝𝑝 = 6 + 1.2𝑞𝑞
La primera es una ecuación de demanda y la segunda es una ecuación de oferta de un producto. Determine el excedente de los consumidores, bajo el equilibrio de mercado. 𝑝𝑝 = 2 − 0.8𝑞𝑞
a. b. c. 43.
40.4 30.4 38.4
𝑝𝑝 = 6 + 1.2𝑞𝑞
Encuentre la siguiente integral.
a. b. c.
!
!!
+ 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
La Universidad Católica de Loja
𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅
15
Evaluaciones a distancia: Cálculo
44.
Encuentre la siguiente integral.
a. b. c.
𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 + 3
𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 + 3 ! !!! !
! !
! ! ! !
+ 𝐶𝐶
−
!
! !!! !
+ 𝐶𝐶
!
𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝐶𝐶
Estimado(a) estudiante, una vez resuelta su evaluación a distancia en el documento impreso (borrador), acceda al Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en www.utpl.edu.ec e ingrese las respuestas respectivas.
SEÑOR ESTUDIANTE: Le recordamos que para presentarse a rendir las evaluaciones presenciales no está permitido el uso de ningún material auxiliar (calculadora, diccionario, libros, Biblia, formularios, códigos, leyes, etc.) Las pruebas presenciales están diseñadas para desarrollarlas sin la utilización de estos materiales.
16
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
