E-Systèmes à N ddl

E – SYSTEMES A N DEGRES DE LIBERTE

1 – Intérêt de l'étude : Ces systèmes sont à N ddl car la description du mouvement nécessite l'utilisation de N paramètres cinématiques indépendants ou N coordonnées généralisées q i. Plusieurs types de systèmes peuvent être étudiés : - des ensembles de solides indéformables liés par des raideurs et des amortisseurs sans masse, structures « à constantes localisées » et, - plus souvent, des structures « à constantes réparties » que l'on discrétise par différentes méthodes (par exemple par la méthode des éléments finis).

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1

L'enjeu lié aux prestations acoustiques et vibratoires est devenu essentiel. Une enquête de la "direction du produit" de la société Renault montre les attentes des clients. L'acoustique devient souvent un caractère différenciant pour l'identité de marque d'un constructeur. Les performances acoustiques et vibratoires sont, de plus en plus souvent, au cœur du pilotage d'un projet. Pour les vibrations, on s'intéressera généralement : -

aux caractéristiques des premiers modes du système (fréquences propres et formes propres associées), aux réponses du système à des excitations, à l'identification et au recalage vis-à-vis de résultats d'analyse modale expérimentale.

2 – Propriétés des matrices décrivant l'oscillateur linéaire à N ddl : Les coordonnées généralisées sont choisies nulles à l'équilibre stable. L'hypothèse de petits mouvements permettra la linéarisation des relations "efforts/déplacements", "efforts/vitesses" et "efforts/accélérations". •

L'énergie cinétique d'un système constitué de p points matériels M i, de masses m i r et de vitesses V(M i ) , peut s'écrire comme un produit scalaire strictement positif : r r 1 p Ek = ∑ m i V(M i ) V(M i ) 2 i =1 r r r r N N N N  p  ∂M i ∂M i ∂M i ∂M i 1 p 1 Ek = ∑ m i ( ∑ q& r ) (∑ q& s ) = ∑ ∑  ∑ m i q& r q& s   2 i =1 2 r =1 s =1  i =1 ∂q r ∂q s r =1 ∂q r s = 1 ∂q s  Pour de petits mouvements autour de la position d'équilibre, les coefficients réels r r p ∂M i ∂M i mrs = msr = ∑ mi permettent l'écriture de l'énergie cinétique comme une forme ∂q r ∂q s i =1 quadratique définie positive (Ek >0) : Ek =

1 N ∑ 2 r =1

N

∑m

rs

q& r q& s .

s =1

Cette expression possède une représentation matricielle faisant apparaître la matrice de 1 T masse : Ek = {q& } [M] {q& } . 2

La matrice [M] est alors symétrique, à coefficients réels et définie positive, ceci signifie notamment que toutes ses valeurs propres sont réelles et strictement positives.

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2

•

L'énergie potentielle élastique pour un ressort de raideur k rs reliant les degrés de liberté q r et q s s'écrit : Ep rs = ½ k rs (q r – q s)2. Il est facile de vérifier que cette contribution à la matrice de raideur totale est une sous-matrice symétrique à coefficients réels.

La matrice de raideur [K ] , constituée de ces sous-matrices, est donc symétrique et à coefficients réels. L'énergie potentielle élastique est positive mais, dans le cas de "modes rigides", lorsqu'il n'y a pas de déformation, elle peut devenir nulle. L'énergie potentielle possède la représentation matricielle : Ep =

1 T {q} [K ] {q} . 2

La matrice [K ] est alors symétrique, à coefficients réels et semi-définie positive, ceci signifie notamment que toutes ses valeurs propres sont réelles et positives ou nulles.

•

La fonction de dissipation, pour un amortissement visqueux laminaire de coefficient b rs reliant les degrés de liberté q r et q s, s'écrit : Ed rs = ½ b rs ( q& r - q& s )2. Il est facile de vérifier que cette contribution à la matrice d'amortissement totale est une sousmatrice symétrique à coefficients réels.

La matrice d'amortissement [B] , constituée de ces sous-matrices, est donc symétrique et à coefficients réels. La fonction de dissipation est positive ou nulle. La fonction de dissipation possède la représentation matricielle : Ed =

1 & T {q} [B] {q& } . 2

La matrice [B] est alors symétrique, à coefficients réels et semi-définie positive, ceci signifie notamment que toutes ses valeurs propres sont réelles et positives ou nulles.

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3

3 – Vibrations libres et recherche directe des modes propres : •

Le système de N équations différentielles du second ordre à coefficients constants (hypothèse de linéarité) s'écrit matriciellement : [M] {&& q} + [B] {q& } + [K ] {q} = {0} .

Lorsque les facteurs d'amortissement relatifs à chaque mode sont faibles, les fréquences propres ne sont que peu affectées par les amortissements. On travaillera donc essentiellement, pour les vibrations libres, à partir du système conservatif associé : [M] {&&q} + [K ] {q} = {0} .

 q 1i  q   2i  • On recherche des solutions du type {q i } exp (j ω i t) avec {q i } =   . Elles seront  :  q N i  2 donc données par - ω i [M] + [K ] {q i } = {0} . En prémultipliant l'expression précédente par la matrice inverse de [M] , on aboutit à :

[M] -1 [K ] - ω i2 [I] {q i } = {0} avec [I] , matrice identité.   Ceci définit un problème standard aux valeurs propres. On va montrer que ces valeurs propres sont toujours réelles, positives ou nulles. Soit λ i et {z i } une valeur propre et un vecteur propre associé de [M]

{a

i

+ j b i } , vecteur à composantes complexes avec a i et b i réels.

-1

[K ] . On pose {z i } =

[M] -1 [K ] - ω i2 [I] {z i } = {0} ou [K ] - ω i2 [M] {z i } = {0} peuvent s'écrire :    

[K ] {a i + j b i } = λ i [M] {a i + j b i } .

({a }

En prémultipliant par

T

i

- j {b i }

T

{a } [K ] {a } + {b } [K ] {b } + j {a } [K ] {b } - j {b } [K ] {a } = λ ({a } [M] {a } + {b } [M] {b } + j {a } [M] {b } - j {b } [M] {a } ) . T

T

i

i

T

i

i

T

i

i

T

i

i

T

i

i

i

T

i

) et en développant :

i

T

i

i

i

i

Puisque les formes quadratiques sont des scalaires, on peut, par exemple, écrire que

{a i }

T

{

}

[K ] {b i } = {a i } [K ] {b i } T

T

et, en transposant,

{

{a i}

λi

i

T

= {b i } [K ] {a i } . Une T

T

i

i

T

i

}

[K ] {b i }

{a } [K ] {a } + {b } [K ] {b } , = {a } [M] {a } + {b } [M] {b } T

valeur propre quelconque

T

i

T

i

i

constituée de formes

i

quadratiques semi-définies positives au numérateur et de formes quadratiques positives au dénominateur, est donc toujours réelle, positive ou nulle.

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Les pulsations propres ω i – que l'on classera par valeurs croissantes – sont les -1 racines carrées des valeurs propres de la matrice [M] [K ] . Les formes propres {z i } -1 2 seront obtenues par [M] [K ] - ω i [I] {z i } = {0} .  

•

Sous réserve que [K ] soit définie positive (en l'absence de mode rigide), en prémultipliant l'expression précédente par [K ]

-1

[M]

2

et en divisant par ω i :

  1 1 -1 -1 sont valeurs propres de [K ] [M] . [K ] [M] - 2 [I] {z i } = {0} . Les 2 ωi ωi   •

2 Ou encore, [K ] - ω i [M] {z i } = {0} , les pulsations propres ω i sont telles que le

déterminant [K ] - ω i [M] est nul. 2

On observera que les formes propres

{z i }

sont connues à une constante

multiplicative près. •

Equations générales du mouvement libre du système conservatif associé :

Comme pour les systèmes à deux degrés de liberté, elles sont obtenues par combinaison linéaire des solutions particulières :

q 1(t) = Q 11 cos(ω1 t + Φ1 ) + Q 1 2 cos(ω2 t + Φ2 ) + ... + Q 1N cos(ωN t + ΦN ) ...  q i (t) = Q i 1 cos(ω1 t + Φ1 ) + Q i 2 cos(ω2 t + Φ2 ) + ... + Q i N cos(ωN t + ΦN ) . ...  q N (t) = Q N 1 cos(ω1 t + Φ1 ) + Q N 2 cos(ω2 t + Φ2 ) + ... + Q N N cos(ωN t + ΦN ) Les (Q 11 … Q i1 … Q N1), première colonne de coefficients, expriment la première forme propre correspondant à la première pulsation propre ω 1. Les (Q 1i … Q ii … Q Ni), colonne de rang i, expriment la forme propre de rang i correspondant à la pulsation propre ω i. Ces colonnes sont connues à une constante multiplicative près par la recherche de vecteurs propres. Ces N constantes ainsi que les N phases à l'origine Φi sont calculables par 2 N conditions initiales (les q i(0) et les q& i (0) par exemple).

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4 – Modes rigides : Ceux-ci apparaissent lorsque la position d'équilibre n'est pas définie, par exemple pour toutes les structures mobiles, les véhicules, les satellites … mais aussi les lignes d'arbre en torsion. Exemple : inerties J indéformables liées par des raideurs sans masse en torsion C, en rotation autour d'un axe fixe par des liaisons pivot parfaites, paramétrage ordonné (θ1, θ2, θ3) par les angles de rotation des inerties 1, 2 et 3 autour d'une position – indifférente – d'équilibre.  1 0 0 [M] = 0 1 0 0 0 2  2  kg.m 

[K ] - ω i2 [M]



 2 −2 0  [K ] = − 2 3 − 1  0 − 1 1  [ Nm / rad ]

= 0 conduit à ω1 = 0 rad/s, ω2 = 0,9287 rad/s, ω3 = 2,1535 rad/s.

a    Quelle est la forme du premier mode {z1} = b  ? c    a  2 − 2 0  a 0  [K ]b = − 2 3 − 1 b = 0 c   0 − 1 1  c  0        

 2a − 2b = 0  − 2a + 3b − c = 0  −b+c =0 

a 1    soit b  = 1 c  1   

Cette forme ne donne aucune torsion des arbres, les modes rigides (ou solides, ou flottants) sont à 0 Hz et n'entraînent aucune déformation des raideurs. La matrice de raideur étant singulière, toutes les méthodes nécessitant le calcul de [K ]

-1

sont mises en défaut. On peut alors utiliser un " décalage spectral (shifting) " qui consiste à résoudre le problème associé suivant : [K'] = [K ] + α [M] avec α scalaire positif et [M'] = [M] . On recherche les valeurs et vecteurs propres de [M']

[K'] tels que : [M'] -1 [K'] - ω' i 2 [I] {q' i } = [M] -1 [K ] + (α - ω' i2 ) [I] {q' i } = [M] -1 [K ] - ω i2 [I] {q i } = {0} .       -1

Le nouveau problème conduit aux mêmes vecteurs propres que le précédent, les valeurs propres sont décalées de α puisque ω' i 2 = ω i 2 + α, ceci permet d'avoir un déterminant différent de 0 et rend possible le calcul.

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6

5 – Orthogonalité des modes propres : •

Les solutions du système conservatif associé sont telles que 2 - ω i [M] + [K ] {q i } = {0} . Si ( ω i ,{z i } ) et ω j ,{z j } sont deux couples solutions, ils  

(

)

 ω i2 [M] {z i } = [K ] {z i } satisfont à :  2 . ω j [M] {z j } = [K ] {z j } En prémultipliant la première équation par la transposée {z j } et la seconde par {z i } , il T

T

ω 2 {z }T [M] {z } = {z }T [K ] {z } j i j i  i vient :  . Comme [M] et [K ] sont symétriques, il vient, en T T 2 ω j {z i } [M] {z j } = {z i } [K ] {z j } transposant la seconde : ω j

(

la première, on obtient : ω j

2

{z } [M] {z } = {z } [K ] {z } . En soustrayant cette équation à - ω ) {z } [M] {z } = 0 . T

T

j

2

Comme, en général, ω i ≠ ω j :

i

j

i

T

2

i

j

i

{z } [M] {z } = 0 T

j

i

et

{z } [K ] {z } = 0 . T

j

i

Ces relations d'orthogonalité des modes par rapport aux matrices de masse et de raideur sont aussi vérifiées entre un mode de corps rigide et un mode à fréquence non nulle. Entre deux modes de corps rigide , {z j } [K ] {z i } = 0 mais, en général, {z j } [M] {z i } ≠ 0 . T

•

T

Masse et raideur modales :

En prémultipliant ω i [M] {z i } = [K ] {z i } par {z i }

T

2

{z i } [K ] {z i } K , on obtient ω i = i = . M i {z i }T [M] {z i } T

2

La raideur modale K i et la masse modale M i permettent le calcul de la pulsation propre du mode de rang i.

6 – Projection dans la base modale : •

En utilisant la " base modale ", il est possible de diagonaliser les matrices et découpler les équations.

La matrice modale [U] est constituée, en colonnes, des N formes modales {z i}, rangées dans l'ordre croissant et utilisant le même type de norme. On effectue le changement de base {q } = [U] {u} où u1, u2 … uN sont les nouvelles variables appelées variables

modales, variables découplées ou encore coordonnées principales. &&} + [K ][U] {u} = {0} ou Pour le système conservatif, [M] {&& q} + [K ] {q} = {0} devient [M][U] {u &&} + [U] [K ][U] {u} = {0} . encore [U] [M][U] {u T

T

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7

Les relations d'orthogonalité montrent que les matrices de masse modale [U] [M][U] et T

de raideur modale [U] [K ][U] sont diagonales. L'écriture des équations du mouvement revient à celle de N systèmes à un ddl : T

u 1  K 1 0 0 0 0   u 1   0  M 1 0 0 0 0   &&  0 ... 0 0 0   ...   0 ... 0 0 0   ...  ...          && i  +  0 0 K i 0 0   u i  =  0  .  0 0 Mi 0 0  u          0 0 0 ... 0   ...   0 0 0 ... 0   ...  ...  0 0 0 0 M N  u && N   0 0 0 0 K N  u N   0  Les couples de solutions ( ω i , {u i } ) satisfont à :

ω12 0 0 0 0  M 1 0 0 0 0   u 1  K 1 0 0 0 0   u 1   0    0   0 ... 0 0 0   ...   0 ... 0 0 0   ...  ...  0 ... 0 0           -  0 0 ωi 2 0 0   0 0 M i 0 0  u i  +  0 0 K i 0 0  u i  = 0  .       0 0 0 ... 0   0 0 0 ... 0   ...   0 0 0 ... 0   ...  ...  2      0 0 0 0 ωN   0 0 0 0 M N  u N   0 0 0 0 K N  u N   0  La matrice diagonale formée par les carrés des pulsations propres rangés dans l'ordre croissant est appelée matrice spectrale. La base modale sera essentiellement utilisée pour l'étude des réponses en vibrations forcées. •

Normalisation des formes propres :

Pour les vecteurs {z i } représentant les formes propres, on peut choisir diverses normes :

•

-

prendre une composante du vecteur (souvent la première) égale à l'unité, prendre la plus grande des composantes égale à l'unité, écrire que la longueur du vecteur est égale à l'unité, T écrire que la masse modale est égale à l'unité : M i = {z i } [M] {z i } = 1 pour le

-

mode de rang i (ce qui entraîne K i = ω i2), …

Exemple :

Vibrations verticales (liaisons parfaites avec le bâti) de deux masses de 100 kg et 30 kg liées à des ressorts sans masse, verticaux, de raideurs égales à 104 N/m. Paramétrage par x1 et x2, déplacements verticaux pris par les deux masses à partir de la position d'équilibre (même sens positif). Une mise en équation directe permet d'écrire :

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100 && x1 + 2 10 4 x1 - 104 x 2 = 0  x 2 + 10 4 x 2 - 10 4 x1 = 0  30 &&

100 0    0 30 

[M] = 

 2 -1 . -1 1 

[K ] = 104 

et

Les fréquences et formes propres sont telles que :

 1  0,783  2 ω1 = 72,3 rad2 s-2 , f1 = 1,35 Hz, de forme   ou  , 1,28   1   1  - 0,383  2 ω2 = 461 rad2 s-2 , f2 = 3,42 Hz, de forme   ou  . - 2,61  1  Les relations d'orthogonalité s'écrivent : T

 1  100 0   1      =0  1,28   0 30  - 2,61

T

2 -1  1   1  4    10   =0  1,28  -1 1  - 2,61

T

2 -1  1   1  4    10    K 1 1,28  -1 1  1,28  10770 2  ω1 = = = = 72,3 M 1  1 T 100 0   1  149      1,28   0 30  1,28  T

-1  1   1  4 2     10  K 2 - 2,61 -1 1  - 2,61 140000 2  ω2 = = = = 461 304 M 2  1 T 100 0   1       - 2,61  0 30  - 2,61 Dans la base modale, les couples de solutions ( ω i , {u i } ) satisfont à :

0   u1  0  72,3 0  149 0   u1  10770 -  +   = .    461  0 304  u2   0 140000  u2  0   0

On revient aux paramètres initiaux

{x i }

(ddl, coordonnées généralisées, variables

1  u 1  x 1  1 spatiales…) par le changement de base   =     . Les variables  x 2  1,28 - 2,61 u 2  2,61x 1 + x 2 1,28 x 1 - x 2   modales  u 1 = et u 2 =  n'ont aucune signification physique. 3,89 3,89   Normaliser le premier mode propre {z1} avec une masse modale égale à l'unité s'écrit : T

 x 1  100 0   x 1      =1  1,28 x 1   0 30  1,28 x 1 

ou encore

0,0819  . 0,1046 

{z 1} = 

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7 – Constitution du modèle pour des systèmes à constantes localisées : Pour les systèmes composés de masses indéformables et de ressorts sans masse, on peut être amené à utiliser les méthodes qui suivent. •

Equations de Lagrange

•

Mise en équation directe (voir systèmes à 2 ddl)

•

Utilisation des coefficients d'influence :

La matrice

[ λ]

inverse de la matrice de raideur ( [ λ ] = [K ] ) est la matrice des -1

coefficients d'influence. Sa détermination peut se faire directement en appliquant successivement des forces unitaires selon chacune des coordonnées. Un coefficient λ i j se définit comme le déplacement suivant le ddl i induit par la seule force unitaire appliquée suivant le ddl j.

λ11 : on applique une force unitaire sur m1 (2m) d’où un déplacement de 1/k de m1 et de m2 et m3. λ22 : on applique une force unitaire sur m2 (m) d’où un déplacement de 1/k de m1 et (1/k+1/2k)=1,5/k de m2 et m3. λ33 : on applique une force unitaire sur m3 (3m) d’où un déplacement de 1/k de m1 et 1,5/k de m2 et 2,5/k de m3.

1  1 1 1 [ λ] = 1 1,5 1,5  est une matrice symétrique inverse de la matrice de raideur. k 1 1,5 2,5  Cette méthode est aussi utilisable :

-

-

pour les lignes d'arbre, pour lesquelles la discrétisation se fait le plus souvent par l'intermédiaire de volants indéformables (à inerties constantes) et de raideurs en torsion sans masse, avec un formulaire de théorie des poutres, pour traiter le cas des sollicitations de flexion, avec un chargement par masses concentrées.

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8 – Constitution de modèles éléments finis de types barre et poutre : La méthode des éléments finis fait l'objet d'un cours spécifique. Son utilisation pour la recherche des modes propres d'un système conservatif et avec des éléments respectant la théorie des poutres sera seule envisagée. Les étapes de cette méthode sont les suivantes :

-

on discrétise la structure en éléments de dimensions finies appelés éléments finis qui sont réunis en des points situés sur leur contour appelés points nodaux ou nœuds, à partir d'hypothèses raisonnables sur les vecteurs déplacements d'un point de l'élément i, sous la forme de fonctions de déplacement (ou fonctions d'interpolation), on calcule l'énergie cinétique Ek (i) et l'énergie de déformation Ep (i) de l'élément i en fonction des déplacements des nœuds,

-

si la structure est composée de N éléments, alors Ek = ∑ Ek (i) et Ep = ∑ Ep (i) .

-

N

N

i =1

i =1

Pour obtenir la matrice de masse et la matrice de raideur du système, on utilise ensuite les équations de Lagrange. •

Elément de type barre : Cet élément a deux nœuds et un degré de liberté par nœud : les déplacements longitudinaux u1 et u2. Comme il y a deux déplacements nodaux, la fonction de déplacement utilisée pour exprimer une forme "raisonnable" entre les deux nœuds est ici : u(x) = a1 + a2 x.

Les constantes a1 et a2 sont déduites des valeurs de u aux nœuds : en x = 0, en x = L,

u(0) = u1 = a1, u(L) = u2 = a1 + a2 L.

x x La fonction de déplacement peut alors s'écrire : u(x) = (1- ) u1 + ( ) u2 . L L Dans le cas général, avec cette fonction d'interpolation, les lois de la mécanique des structures permettent les écritures de l'énergie de déformation élastique (énergie potentielle élastique) et de l'énergie cinétique de l'élément. Dans ce cas particulier, la fonction de déplacement associe une translation d'ensemble u1 x à une déformation de l'élément (u2 - u1 ) , proportionnelle à l'abscisse, qui correspond à la L déformation statique.

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Dans ce cas, l'énergie potentielle élastique s'écrit Ep = matrice de raideur [K ] =

1 ES (u2 - u1 )2 et conduit à la 2 L

E S  1 -1 . L  -1 1 

Avec cette même fonction de déplacement, on peut construire la matrice de masse "cohérente" (utilisant les mêmes hypothèses sur le déplacement). Ek = ∫

L 0

1 2 u& (x) ρ S dx 2

& = u& 1 + (u& 2 - u& 1 ) avec u(x) 2

L 1 x 1 u& ρ S ∫ (u& 1 + (u& 2 - u& 1 ) )2 dx = ρ S L ( 1 + 0 2 L 2 3 m  2 1 conduit à la matrice de masse [M] =  . 6  1 2 

Ek =

•

x , L 2 u& 1 u& 2 6

+

2 2 2 u& 2 1 u& 2 u& 1 u& 2 u& 2 )= m( 1 + + ) 3 2 3 6 3

Flexion plane d'un élément de type poutre :

Cet élément a deux nœuds et deux degrés de liberté par nœud : les flèches v1 et v2 et les pentes α1 et α2. Dans ce qui suivra, on utilisera les résultats de la théorie des poutres et les effets secondaires de cisaillement et d'inertie de rotation seront négligés. Comme il y a quatre déplacements nodaux, la fonction de déplacement choisie n'utilisera que quatre constantes : v(x) = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x3. On aura aussi : α(x) = a2 + 2 a3 x + 3 a4 x2. Les quatre constantes sont déduites des quatre valeurs de v et α aux nœuds : en x = 0, en x = L,

v(0) = v1 et α(o) = v′(0) = α1 , v(L) = v2 et α(L) = v ′(L) = α2 .

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 6 x 6 x2   - L2 + L3     4 x 3 x2  1- L + L2  La fonction de déplacement peut alors s'écrire : v(x) =   2  6x -6x   L2 L3   2   -2x +3x   L L2 

T

 v1     α1    v 2  α2 

Avec cette fonction d'interpolation, les lois de la théorie des poutres permettent, comme dans le cas de l’élément de type barre, les écritures de l'énergie potentielle élastique et de l'énergie cinétique de l'élément.  12 6 L -12 6 L   2 2 E I  6 L 4L -6 L 2L  . Ceci conduit à la matrice de raideur [K ] = 3 L -12 -6 L 12 -6 L   2 2  6 L 2L -6 L 4L  54 -13 L   156 22 L  2 13 L -3 L2  ρ S L  22 L 4 L La matrice de masse "cohérente" s'écrit [M] = . 420  54 13 L 156 -22 L   2 2  -13 L -3 L -22 L 4 L  •

L'assemblage de ces différentes matrices (pour différents éléments et différentes sollicitations) pourra se faire sur la base de sommes sur les énergies potentielles et cinétiques.

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9 – Calcul des pulsations et modes propres : Pour les systèmes conservatifs de grande taille, les calculs de déterminants et les recherches de solutions pour les polynômes caractéristiques sont très longs. Lorsque le nombre de paires propres à extraire (souvent les premières) reste faible, on utilise le plus souvent des algorithmes faisant appel à des techniques itératives associées aux propriétés du quotient de Rayleigh. Les méthodes réduisant la taille du problème aux valeurs propres peuvent être utilisées, elles seront étudiées dans un cours d'analyse numérique. •

Quotient de Rayleigh :

Soit un vecteur {q i } quelconque de dimension N.

{q } [K ] {q i } . Formons l'expression R ({q i } ) appelée quotient de Rayleigh : R ({q i } ) = i T {q i } [M] {q i } T

Il a déjà été démontré que le quotient de Rayleigh d'un mode propre est la valeur propre

{z i } [K ] {z i } . T {z i } [M] {z i } T

2

associée : ω i =

Considérons un vecteur {z% i } "voisin" du mode propre {z i } . Comme tout vecteur, il se décompose sur la base des modes propres :

{z% } = C {z } + ∑ C {z } i

i

i

j≠i



j

∀ j (par hypothèse) .

avec C j