MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Departamento de Química Sección Físico Química y Matemáticas
Cálculo Evaluación a distancia 4 Créditos
Titulaciones • Contabilidad y Auditoría • Administración en Banca y Finanzas • Administración de Empresas
Ciclo
III
Profesor principal:
Cesar Agusto Yepez Gomez TUTORÍAS: El profesor asignado publicará en el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) su número telefónico y horario de tutoría, para contactarlo utilice la opción “Contactar al profesor” Más información puede obtener llamando al Call Center 07 3701444, línea gratuita 1800 88758875 o al correo electrónico
[email protected]
Octubre 2015 –Febrero 2016
Asesoría virtual: www.utpl.edu.ec La Universidad Católica de Loja
Evaluaciones a distancia: Cálculo
PERIODO: OCTUBRE 2015–FEBRERO 2016 Le recordamos que usted debe enviar de forma obligatoria su evaluación a distancia a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en las fechas definidas, que son EXCLUSIVAS E IMPOSTERGABLES. PRIMER PARCIAL 1 de noviembre al 17 de noviembre de 2015 CICLOS FECHAS DE ENVÍO GENERAL
ENVÍO POR TITULACIÓN
• Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: -- Educación Básica -- Físico Matemáticas -- Químico Biológicas -- Lengua y Literatura • Contabilidad y Auditoría
1 al 10 de noviembre de 2015
12 y 13 de noviembre de 2015
Todos los ciclos
• • • • •
Gestión Ambiental Economista Licenciado en Psicología Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Inglés Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Educación Infantil
1 al 10 de noviembre de 2015
13 y 14 de noviembre de 2015
Todos los ciclos
• Derecho • Administración en Gestión Pública • Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Ciencias Humanas y Religiosas • Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras
1 al 11 de noviembre de 2015
14 y 15 de noviembre de 2015
Todos los ciclos
• • • • •
1 al 12 de noviembre de 2015
16 y 17 de noviembre de 2015
Todos los ciclos
TITULACIONES
Administración en Banca y Finanzas Licenciado en Asistencia Gerencial y Relaciones Públicas Ingeniero en Informática Administración de Empresas Licenciado en Comunicación Social
Para el envío de las evaluaciones acceda a: www.utpl.edu.ec
ACTIVIDADES EN LÍNEA Actividades en Línea, acreditadas con 3 puntos. Al igual que la Evaluación a Distancia es una estrategia de aprendizaje, especialmente de tipo colaborativo, que se realiza en el Entorno Virtual de Aprendizaje ya sea de modo asíncrono (foro) o síncrono (chat y videocolaboración) como veremos en sus definiciones:
Foro académico a través el EVA En el que se realizan debates o análisis de temas, se resuelven casos o problemas o se puede hacer trabajo en grupo (lluvia de ideas, discusión sobre procedimientos). Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá plantearle varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Chat académico a través del EVA
Videocolaboración a través del EVA
Es un diálogo escrito síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes para debatir temas o resolver casos o problemas. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre, pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Es una videoconferencia, con imagen y audio, síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes. Su uso es, además de para consultas al profesor, para debatir aspectos específicos y realizar estudio de casos. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
La Universidad Católica de Loja
3
Evaluaciones a distancia: Cálculo
PRUEBA OBJETIVA ( 2 PUNTOS)
爀攀氀愀挀椀渀
4
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo Evaluaciones a distancia: Cálculo
8.
(
)
La siguiente expresión: lim!→! 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) es correcta cuando f es una función polinomial
9.
(
)
Si p es un número real positivo entonces la siguiente igualdad es correcta: ! lim!→!! ! = 0 !
10.
(
)
Si p es un número real positivo entonces la siguiente igualdad es no es ! correcta: lim!→! ! = ∞ !
11.
(
)
Si f(x) es una función racional, y 𝑎𝑎! 𝑥𝑥 ! y 𝑏𝑏! 𝑥𝑥 ! son términos en el numerador y denominador respectivamente, con las potencias más
grandes de x, entonces: lim!→! 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim!→!
!! ! !
!! ! !
12.
(
)
Una función f es continua en 𝑎𝑎 si y solo si: 1. 𝑓𝑓(𝑎𝑎) existe existe 3. lim!→! 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
13.
(
)
Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), la derivada de f en x que se escribe 𝑓𝑓´(𝑥𝑥), es la función
definida por el límite 𝑓𝑓´ 𝑥𝑥 = lim!→!
2. lim!→! 𝑓𝑓 𝑥𝑥
! !!! !!(!) !
14.
(
)
Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). La derivada representa geométricamente la pendiente de la curva 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto (𝑥𝑥, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ).
15.
(
)
Una ecuación de la tangente a la curva 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto (𝑎𝑎, 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ) se obtiene mediante la fórmula 𝑦𝑦 − 𝑓𝑓´ 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
16.
(
)
Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 ! , 𝑢𝑢 = ℎ(𝑥𝑥), n es cualquier número real, ! derivada 𝑢𝑢 ! = 𝑛𝑛𝑢𝑢 !!!
entonces la
!"
17.
(
)
Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑢𝑢) y 𝑢𝑢 = ℎ(𝑥𝑥) entonces por la regla de la cadena, la derivada de y respecto a x (dy/dx) se calcula mediante: !" !"
=
!"
!"
+
!" !"
18.
(
)
Si 𝑐𝑐 = 𝑓𝑓(𝑞𝑞) es una función de costo total, donde q es el número de unidades de un producto, entonces el costo marginal se define como la derivada de la función de costo total.
19.
(
)
Si r = f(q) es la función de ingreso total, entonces la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al número de unidades vendidas es la derivada
!"
La Universidad Católica de Loja !"
. A ésta razón de cambio se le llama ingreso marginal.
55
Evaluaciones a distancia: Cálculo Evaluaciones a distancia: Cálculo
20.
(
)
Si 𝑦𝑦 = ln (𝑢𝑢), además 𝑢𝑢 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) entonces la derivada de la función ! logarítmica es: 𝑦𝑦´ = ∙ 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) !
La función exponencial 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 ! con 𝑢𝑢 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tiene como derivada: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦´ = 𝑒𝑒 ! ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
21.
(
)
22.
(
)
23.
(
)
24.
(
)
Una función f es decreciente en un intervalo I, cuando: Para cualquier 𝑥𝑥! , 𝑥𝑥! elementos de I, se cumple que: Si 𝑥𝑥! < 𝑥𝑥! , entonces 𝑓𝑓 𝑥𝑥! > 𝑓𝑓(𝑥𝑥! )
25.
(
)
Si f es una función diferenciable en un intervalo I y 𝑓𝑓´ 𝑥𝑥 < 0 en todo x elemento de I, entonces la función f es creciente en el intervalo I.
26.
(
)
Analizando la gráfica de la función 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝟓𝟓, se puede establecer ! que 𝑓𝑓´´ 𝑥𝑥 > 0 en el intervalo [0, ]
Se dice que una función f es creciente en un intervalo I, cuando: Para cualquier 𝑥𝑥! , 𝑥𝑥! elementos de I, se cumple que: Si 𝑥𝑥! < 𝑥𝑥! , entonces 𝑓𝑓 𝑥𝑥! < 𝑓𝑓(𝑥𝑥! )
En el intervalo [𝐴𝐴, 𝐵𝐵] tomando en cuenta la concavidad, se cumple que 𝑓𝑓´´ 𝑥𝑥 < 0
!
27.
(
)
Según la prueba de la segunda derivada para extremos relativos: suponiendo que 𝑓𝑓´ 𝑎𝑎 = 0. Si 𝑓𝑓´´ 𝑎𝑎 > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en 𝑎𝑎
28.
(
)
Si 𝑓𝑓´´ 𝑥𝑥 > 0 en todo un intervalo, entonces f es cóncava hacia arriba en ese intervalo y existe un máximo relativo
6
6
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo Evaluaciones a distancia: Cálculo
29.
(
)
29.
(
)
30.
(
)
30.
(
)
La gráfica adjunta representa a la función a distancia: − 8𝑥𝑥 ! + 1. En Cálculo ella se 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 !Evaluaciones observan 3 puntos de inflexión La gráfica adjunta representa a la función 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 ! − 8𝑥𝑥 ! + 1. En ella se observan 3 puntos de inflexión
En la gráfica de la función f adjunta, A, B y C son puntos de Eninflexión la gráfica de la función f adjunta, A, B y C son puntos de inflexión
PRUEBA DE ENSAYO (4 PUNTOS) En cada uno de los siguientes enunciados seleccione el literal de la respuesta correcta. 31.cada Aplicando del límiteseleccione de una función encuentre: En uno de las los propiedades siguientes enunciados el literal de la respuesta correcta. 31. Aplicando las propiedades del límite de! una función encuentre: lim 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 − 3
(a) (b) (a) (c) (b)
-57 -37 -57 -47 -37
!→!!
lim 3𝑥𝑥 ! − 4𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 − 3
!→!!
(c) -47 32. Aplicando las propiedades del límite de una función encuentre: 32. Aplicando las propiedades del límite de una función 𝑥𝑥 ! −encuentre: 𝑥𝑥 − 2 lim ! 𝑥𝑥 −𝑥𝑥𝑥𝑥 − − 22 !→!! lim (a) -4 !→!! 𝑥𝑥 − 2 (a) -4 (b) 0 (b) (c) 0-1 (c) -1
33. Para calcular límites laterales se pueden dar valores cercanos por la izquierda o por la 33. Para calcular seque pueden darelvalores por la izquierda o por derecha a 𝑥𝑥 ,límites segúnlaterales el valor al tienda límite.cercanos De esta forma se observa que:la derecha a 𝑥𝑥 , según el valor al que tienda el! límite. De esta forma se observa que: 5𝑥𝑥 + 14𝑥𝑥 − 3 ! + 14𝑥𝑥 − 3 lim5𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒: ! !→!! 𝑥𝑥 ! + 3𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒: lim ! ! !→!! 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 (a) −∞ (a) −∞ (b) No se puede determinar (b) No se puede determinar (c) 16/3 (c) 16/3 La Universidad Católica de Loja
7
7 7
Evaluaciones a distancia: Cálculo Evaluaciones a distancia: Cálculo
34. A continuación se presenta una función definida por partes. Determine el límite que se indica. Es conveniente realizar previamente una gráfica
(a) 0 (b) −∞ (c) ∞
g x =
𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0 lim! g(x) −𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 0 !⟶!
35. La continuidad aplicada a las desigualdades proporciona una técnica para encontrar los valores en los cuales una desigualdad se cumple. Así la desigualdad ! ! !! !
< 0, se cumple para los valores de 𝑥𝑥 tales que: 0 < 𝑥𝑥 < 1 𝑜𝑜 𝑥𝑥 > 1 −1 < 𝑥𝑥 < 1 0 < 𝑥𝑥 < 1 𝑜𝑜 𝑥𝑥 < −1
(a) (b) (c)
36. La continuidad aplicada a las desigualdades proporciona una técnica para encontrar los valores en los cuales una desigualdad se cumple. Así la desigualdad −𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 + 4 > 0 se cumple para los valores de 𝑥𝑥 tales que: (a) 0 < 𝑥𝑥 < 5 𝑜𝑜 𝑥𝑥 < −4 (b) −4 < 𝑥𝑥 𝑜𝑜 0 < 𝑥𝑥 < 5 (c) −4 < 𝑥𝑥 < 5 37. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. y = x ! + 2x + 3; (1,6) (a) −4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2 = 0 (b) −4𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 = 2 (c) −4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2
38. Ingreso-educación. Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. De acuerdo con sus hallazgos, una persona con x años de educación antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales, donde !
4 ≤ x ≤ 16 y = 5x ! + 5900 Encuentre la razón de cambio aproximado del ingreso con relación a 9 años de educación. (a) 437.50 (b) 337.50 (c) 537.50 39. La función c representa el costo promedio por unidad, que es una función del número q de unidades producidas. Encuentre el costo marginal para el valor indicado de q.
8
c = 0.002q! − 0.5q + 60 +
!""" !
q = 10
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA 8
educación. (a) 437.50 (b) 337.50 (c) 537.50
Evaluaciones a distancia: Cálculo
39. La función c representa el costo promedio por unidad, que es una función del número q de unidades producidas. Encuentre el costo marginal para el valor indicado de q. c = 0.002q! − 0.5q + 60 +
(a) 53/5 (b) 43/5 (c) 63/5
!""" !
q = 10
Evaluaciones a distancia: Cálculo
8
40. La función r representa el ingreso total y es una función del número q de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal para los valores indicados de q.
(a) 0.8 (b) 7.2 (c) 9
r = 0.8q; q = 9, q = 30 q = 50 24 30
40 50
41. Encuentre la razón de cambio relativa de y. y = 3x ! + 7 (a)
(b) (c)
!!
!"! !! !"! !! !! !
!"! !!
42. En el valor dado de x encuentre la razón de cambio de y, y = 3x ! + 7 ; x = 2 (a) 12 (b) 19 (c) 2
43. En el valor dado de x encuentre la razón de cambio relativa de y, y = 3x ! + 7 ; x = 2 (a) 19/12 (b) 12/19 (c) 6/19
44. En el valor dado de x encuentre la razón de cambio porcentual de y. + 7 ; xde=Loja 2 y = 3x !Católica La Universidad (a) 150%
(b) 63%
9
(a) 19/12 (b) 12/19 (c) 6/19
Evaluaciones a distancia: Cálculo
44. En el valor dado de x encuentre la razón de cambio porcentual de y. y = 3x ! + 7 ; x = 2 (a) 150%
(b) 63% (c) 31%
Evaluaciones a distancia: Cálculo
45. La función P representa una función de demanda para cierto producto, donde p denota el precio por unidadd para q unidades. Encuentre la función de ingreso marginal. Recuerde que ingreso = pq. 𝑃𝑃 = 50 − 0.01𝑞𝑞
(a) 50𝑞𝑞 − 0.01𝑞𝑞 ! (b) 50 − 0.02𝑞𝑞 (c) 0 − 0.01
46. Utilice la regla de la cadena para calcular dw/dt cuando t=1 si: 𝑡𝑡 − 1 𝑤𝑤 = 𝑢𝑢 ! 𝑦𝑦 𝑢𝑢 = 𝑡𝑡 + 1 (a) 0
! !!! !
(b) 3𝑢𝑢 ! (c) 1
47. Encuentre y´ si : 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 ! − 𝑥𝑥 (a)
(b) (c)
!
10𝑥𝑥 − 1 5𝑥𝑥 ! − 𝑥𝑥
! !" !!!
!/!
! ! ! !! !
! !!!
! ! ! !!
48. Calcule la derivada de la función f x = (a)
(b) (c)
!!! ! !! !! ! !! !!! !
!
(!! !!")!
!! !! ! ! !"!! ! !! !! ! !
49. Utilice las propiedades de los logarítmos para calcular la derivada de la función: 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 1)! 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 ! + 3
10 (a)
𝑥𝑥 + 1 ! (𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 ! + 3 !
!
(b) 𝑥𝑥 + 1 (𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 + 3 (c)
!
+
!
+
!!
!
!!! ! !!!
− +
!
!!! ! !!!
+ +
!!
! ! !! !! ! ! !!
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
9
(a) (b) (c)
!! !! ! !! !!! ! !! !! ! ! !"!! !
Evaluaciones a distancia: Cálculo
!! !! ! !
49. Utilice las propiedades de los logarítmos para calcular la derivada de la función: 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 1)! 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 ! + 3 (a)
𝑥𝑥 + 1 ! (𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 ! + 3
(b) 𝑥𝑥 + 1 ! (𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 ! + 3 (c)
!
!!!
+
!
!!!
+
!!
! ! !!
!
!!! ! !!!
− +
!
!!! ! !!!
+ +
!!
! ! !! !! ! ! !!
Evaluaciones a distancia: Cálculo
50. Encuentre y´ por medio de diferenciación logarítmica
(a) 2 3𝑥𝑥 + 1
(b) 2 3𝑥𝑥 + 1 (c)
3𝑥𝑥 + 1
!! !
!!
!!!! !!
𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 1
!!
+ 𝑙𝑙𝑙𝑙 3𝑥𝑥 + 1
10
+ 𝑙𝑙𝑙𝑙 3𝑥𝑥 + 1
!!!! !! !! + !!!!
𝑙𝑙𝑙𝑙 3𝑥𝑥 + 1
51. Calcule la cuarta derivada de y, para la siguiente función: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ! + 𝑒𝑒 ! ! (a) 0 + 𝑒𝑒 (b) 6𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 ! (c) 𝑒𝑒 ! + 6 52. Para la siguiente función, calcule la derivada indicada evaluada en el valor correspondiente. 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 !! + 𝑒𝑒 !! , (a) 0 (b) 75 (c) 275
!!! !! !
𝑥𝑥 = 0
53. Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto (-1,1) de la curva expresada en forma implícita x ! + xy + y ! = −1 (a) y = 4x + 3 (b) 3x + y − 4 = 0 (c) y = −4x − 3
54. Calcular f´´(x) para la función f x = x ! ln(x) (a) f´´(x) = 2 + 3 ln x (b) f´´(x) = 3 + 2 ln x (c) f´´(x) = 2x + 3 ln x
La Universidad Católica de Loja
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55. El cociente a utilizar para calcular f´(x) si f(x)=6/x , utilizando la definición de derivada es: (a)
! !!! !!(!!)
54. Calcular f´´(x) para la función f x = x ln(x) (a) f´´(x) = 2 + 3 ln x (b) f´´(x) = 3 + 2 ln x (c) f´´(x) = 2x Cálculo + 3 ln x Evaluaciones a distancia: 55. El cociente a utilizar para calcular f´(x) si f(x)=6/x , utilizando la definición de derivada es: (a)
! !!! !!(!!)
(b)
! ! ! !!! !
!
!
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Estimado(a) estudiante, una vez resuelta su evaluación a distancia en el documento impreso (borrador), acceda al Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en www.utpl.edu.ec e ingrese las respuestas respectivas.
SEÑOR ESTUDIANTE: Le recordamos que para presentarse a rendir las evaluaciones presenciales no está permitido el uso de ningún material auxiliar (calculadora, diccionario, libros, Biblia, formularios, códigos, leyes, etc.) Las pruebas presenciales están diseñadas para desarrollarlas sin la utilización de estos materiales.
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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo
PERIODO: OCTUBRE 2015 - FEBRERO 2016 Le recordamos que usted debe enviar de forma obligatoria su evaluación a distancia a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en las fechas definidas, que son EXCLUSIVAS E IMPOSTERGABLES. SEGUNDO PARCIAL 2 de enero al 18 de enero de 2016
CICLOS FECHAS DE ENVÍO GENERAL
ENVÍO POR TITULACIÓN
• Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: -- Educación Básica -- Físico Matemáticas -- Químico Biológicas -- Lengua y Literatura • Contabilidad y Auditoría
2 al 13 de enero de 2016
17 y 18 de enero de 2016
Todos los ciclos
• • • • •
Gestión Ambiental Economista Licenciado en Psicología Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Inglés Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Educación Infantil
2 al 12 de enero de 2016
16 y 17 de enero de 2016
Todos los ciclos
• Derecho • Administración en Gestión Pública • Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Ciencias Humanas y Religiosas • Ingeniero en Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras
2 al 11 de enero de 2016
15 y 16 de enero de 2016
Todos los ciclos
• • • • •
2 al 11 de enero de 2016
13 y 14 de enero de 2016
Todos los ciclos
TITULACIONES
Administración en Banca y Finanzas Licenciado en Asistencia Gerencial y Relaciones Públicas Ingeniero en Informática Administración de Empresas Licenciado en Comunicación Social
Para el envío de las evaluaciones acceda a: www.utpl.edu.ec
ACTIVIDADES EN LÍNEA Actividades en Línea, acreditadas con 3 puntos. Al igual que la Evaluación a Distancia es una estrategia de aprendizaje, especialmente de tipo colaborativo, que se realiza en el Entorno Virtual de Aprendizaje ya sea de modo asíncrono (foro) o síncrono (chat y videocolaboración) como veremos en sus definiciones:
Foro académico a través el EVA En el que se realizan debates o análisis de temas, se resuelven casos o problemas o se puede hacer trabajo en grupo (lluvia de ideas, discusión sobre procedimientos). Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá plantearle varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Chat académico a través del EVA
Videocolaboración a través del EVA
Es un diálogo escrito síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes para debatir temas o resolver casos o problemas. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre, pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
Es una videoconferencia, con imagen y audio, síncrono (en tiempo real) entre docente y estudiantes. Su uso es, además de para consultas al profesor, para debatir aspectos específicos y realizar estudio de casos. Está planificado y moderado por el tutor y favorece el coaprendizaje (aprender de y con los otros). El tutor o tutora podrá convocar varios por bimestre pero solo uno será calificado (un punto). Es un actividad opcional.
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Evaluaciones a distancia: Cálculo Evaluaciones a distancia: Cálculo
PRUEBA OBJETIVA ( 2 PUNTOS)
Lea detenidamente cada uno de los siguientes enunciados y escriba dentro del paréntesis una V si es Verdadero o una F si es Falso 1.
(
)
2.
(
)
3.
(
)
4.
(
)
Una antiderivada de una función f es una función F tal que 𝐹𝐹´ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
5.
(
)
La integral indefinida de una función f se escribe como: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 y se calcula mediante: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶, donde C es una constante y 𝐹𝐹(𝑥𝑥) es cualquier derivada de f.
6.
(
)
Según la regla de la potencia para la integración, si u=f(x) es una función diferenciable en x, entonces, para n≠-1 se tiene:
En la figura, el segmento IQ se llama diferencial en 𝑦𝑦.
Se llama diferencial de 𝑦𝑦, 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓´(𝑥𝑥)∆𝑦𝑦
14
(
)
a la expresión
En la figura, el segmento QH es el incremento en 𝑦𝑦
𝑢𝑢 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 7.
de una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
!!!! !!!
+ 𝐶𝐶
Si u=f(x) es una función diferenciable entonces se cumple las siguiente regla de integración: 𝑒𝑒 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 ! 𝑢𝑢´ + 𝐶𝐶
14 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo Evaluaciones a distancia: Cálculo
8.
(
)
Según las definiciones de integrales definidas e integrales indefinidas, podemos decir que la integral definida representa un número, mientras que una integral indefinida es una función.
9.
(
)
Sea la región formada por f, una función continua, definida en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces el área en formada por la función, el eje X y las rectas x=a y x=b se calcula mediante una integral indefinida.
10.
(
)
En la figura, el rectángulo tiene un área 𝑦𝑦∆𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥. El área de la región completa se calcula determinando el límite de las sumas de todos elementos entre 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, este límite es la integral definida.
11.
(
)
El teorema fundamental del cálculo se utiliza para obtener de forma más eficiente las integrales definidas.
12.
(
)
Según el teorema fundamental del cálculo integral: Sea f una función continua definida en un intervalo [a,b] y F cualquier antiderivada de f en [a,b], entonces: !
!
13.
(
)
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑎𝑎 − 𝐹𝐹(𝑏𝑏)
Según las propiedades de las integrales, podemos afirmas que el resultado de la siguiente integral es correcto !""
!""
14.
(
)
Según las propiedades de las integrales, podemos afirmar que el resultado de la siguiente integral es correcto: !
!!
15.
(
)
!
5𝑥𝑥 ! 𝑒𝑒 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
4 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
!!
!
(4 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ! )𝑑𝑑𝑑𝑑
Tomando en cuenta las propiedades de la integral definida, el siguiente es correcto:
La Universidad Católica de Loja procedimiento
15
15
Evaluaciones a distancia: Cálculo
15.
(
)
Evaluaciones a distancia: Cálculo
Tomando en cuenta las propiedades de la integral definida, el siguiente procedimiento es correcto: !
!
16.
(
)
4 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!
(
)
!
!
(4 + 3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 +
!
(−𝑥𝑥 ! )𝑑𝑑𝑑𝑑
Según las propiedades de las integrales, podemos afirmar que el resultado de la siguiente integral es correcto: !
17.
!
4 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ! ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!
!
4 + 3𝑤𝑤 − 𝑤𝑤 ! ! 𝑑𝑑𝑑𝑑
Si la función de costo marginal de un fabricante es
!
!"
(𝑐𝑐), entonces el costo
de incrementar la producción de q1 hasta q2 viene dado por: !!
!!
18.
(
)
(𝑐𝑐) 𝑑𝑑𝑑𝑑
La función de ingreso marginal de un fabricante es: !"
!"
. Entonces el cambio en el ingreso total del fabricante cuando la
producción aumenta de 10 a 20 unidades se calcula mediante: !"
!"
19.
(
)
El área de la región formada por la curva 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 ! + 4 y el eje X, se calcula mediante la integral definida !
−𝑥𝑥 ! + 4 𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
20.
(
)
El área de la región formada por la curva 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 3, el eje X, y el eje Y, se calcula mediante la integral definida !
!
21.
(
)
𝑥𝑥 + 3𝑑𝑑𝑑𝑑
El área de la región formada por la curva 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, y la curva 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, se calcula mediante la integral definida !
!
16
(𝑟𝑟) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
16
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo Evaluaciones a distancia: Cálculo
22.
(
)
El área de la región formada por la curva 𝑦𝑦 ! = 4𝑥𝑥, y la curva 𝑦𝑦 = 3, se calcula mediante la integral. !/!
!
23.
(
)
4𝑥𝑥 − 3 𝑑𝑑𝑑𝑑
Curva de Lorenz. La curva de Lorenz se utiliza para estudiar las distribuciones de ingresos. Sea 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) la curva de Lorenz, entonces x es el porcentaje acumulado de receptores de ingresos, ordenados de más pobres a más ricos, y y es el porcentaje de ingresos. Si el 30% de la gente recibe el % 15 de los ingresos, el 20 % de la gente recibe el 10% de los ! ingresos, entonces la curva de Lorenz sería 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. !
24.
(
Sea 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓(𝑞𝑞) la curva de demanda, 𝑝𝑝 = 𝑔𝑔(𝑞𝑞) la curva de oferta. El punto en el que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio 𝑞𝑞! , 𝑝𝑝! . Entonces la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio (𝑝𝑝! )se calcula mediante la integral:
)
!!
!
25.
(
Sea 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓(𝑞𝑞) la curva de demanda, 𝑝𝑝 = 𝑔𝑔(𝑞𝑞) la curva de oferta. El punto en el que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio 𝑞𝑞! , 𝑝𝑝! . Entonces la ganancia total de los productores por suministrar el producto a precios menores que el precio de equilibrio (𝑝𝑝! ), se calcula mediante la integral:
)
!!
!
26.
(
)
𝑝𝑝! − 𝑔𝑔(𝑞𝑞) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑔𝑔 𝑞𝑞 − 𝑝𝑝! 𝑑𝑑𝑑𝑑
La integración por ´partes expresa una integral en términos de otra integral que puede ser más fácil de integrar. 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 −
La Universidad Católica de Loja
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
17
17
Evaluaciones a distancia: Cálculo
Evaluaciones a distancia: Cálculo
27.
(
)
La integración por partes es una técnica basada en la regla del producto Evaluaciones a distancia: Cálculo para la derivación.
27.
(
)
La integración por partes es una técnica basada en la regla del producto para la derivación.
28.
(
)
28.
(
)
Una antiderivada de la función 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! + 5 es la función: ! 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! + 5𝑥𝑥 + 400. ! Una antiderivada de la función 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! + 5 es la función: ! 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! + 5𝑥𝑥 + 400.
29.
(
)
29.
(
)
30.
(
)
30.
(
)
!
Si u=f(x) es una función diferenciable entonces se cumple la siguiente regla ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑢𝑢 + 𝐶𝐶| de integración: ! Si u=f(x) es una función diferenciable entonces se cumple la siguiente regla ! de integración: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑢𝑢 + 𝐶𝐶| ! Para encontrar el valor de la constante de integración, se obtiene a través de los valores iníciales. Para encontrar el valor de la constante de integración, se obtiene a través de los valores iníciales.
PRUEBA DE ENSAYO (4 PUNTOS)
En cada uno de los siguientes enunciados seleccione el literal de la respuesta correcta !
!
! ! En uno de los siguientes enunciados seleccione el respuesta correcta 31. cadaEl resultado de la integral indefinida − − literal + de 6x ladx es:
31.
! ! El resultado!!de indefinida ! la integral a. − − 7𝑥𝑥 !! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
a. b. b. c. c.
!"
!
!
!! !! !"
!
!
−
!"
!
!! !
−
!
! !
+ 6x dx es:
!"
!
− 7𝑥𝑥 ! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
! !! Resolviendo a. + la integral + 𝐶𝐶 indefinida
18
!
! !
!
!! ! !
32.
!
c.
!!
− !! ! − 7𝑥𝑥! ! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶 − !" − 7𝑥𝑥 ! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
Resolviendo la integral indefinida
b. c.
!
−!! !!− 7𝑥𝑥 !!! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶 − !" − 7𝑥𝑥 ! + 3𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
32.
a. b.
−
!
!
! ! !! ! !
!!!! !!
!! !
!
!
!! !!
+ !! + + 𝐶𝐶 𝐶𝐶 + !
! ! !!"! ! !! !
! ! !!"! ! !! !
𝑑𝑑𝑑𝑑, se obtiene: 𝑑𝑑𝑑𝑑, se obtiene:
!
!! !!
!! + + ! + +𝐶𝐶𝐶𝐶
+
!
!! ! !
+ 𝐶𝐶
18
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA 18
Evaluaciones a distancia: Cálculo
Evaluaciones a distancia: Cálculo
33.
Encuentre la función y, sujeta a las siguientes condiciones iniciales: 𝑦𝑦 !! = −3𝑥𝑥 ! + 4𝑥𝑥
a
b
!"
a.
b. c.
b. c.
!! !
!! !
+ +
!! ! !
!! ! !
!! ! !
+ 𝑥𝑥 + + 𝑥𝑥 +
!"
!" !"
!"
+ 𝑥𝑥 ! +
!"
!"
= 5000 − 3 2𝑞𝑞 + 2𝑞𝑞 !
𝑝𝑝 = 5000 − 6𝑞𝑞 ! − 6𝑞𝑞 !
𝑝𝑝 = 5000 − 3𝑞𝑞 ! −
!! ! !
𝑝𝑝 = 5000 − 3𝑞𝑞 ! − 3𝑞𝑞 !
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 ! 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 !
!
!
12𝑥𝑥 ! + 4𝑥𝑥 + 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ! + 2𝑥𝑥 ! + 𝐶𝐶
+ 𝐶𝐶
Calcule la siguiente integral indefinida: (6𝑡𝑡 ! + 4𝑡𝑡)(𝑡𝑡 ! + 𝑡𝑡 ! + 1)! 𝑑𝑑𝑑𝑑 a.
!
b.
!
c. 37.
!
+
Calcule la siguiente integral indefinida
a.
36.
!!
𝑦𝑦 1 = 3
Si dr/dq es una función de ingreso marginal, encuentre la función de demanda !!
35.
𝑦𝑦 = −
𝑦𝑦 = −
c 34.
𝑦𝑦 = −
𝑦𝑦 ! 1 = 2
! !
(6𝑡𝑡 ! + 4𝑡𝑡)! + 𝐶𝐶
(𝑡𝑡 ! + 𝑡𝑡 ! + 1)! + 𝐶𝐶
!
(𝑡𝑡 ! + 𝑡𝑡 ! + 1)! + 𝐶𝐶 !
Calcule el valor de la siguiente integral definida: !
a.
!"# !
La Universidad Católica de Loja
b.
!"# !
!
!
𝑥𝑥 + 2 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑
19
!
b.
(𝑡𝑡 ! + 𝑡𝑡 ! + 1)! + 𝐶𝐶
!
Evaluaciones a distancia: Cálculo !
(𝑡𝑡 ! + 𝑡𝑡 ! + 1)! + 𝐶𝐶
c.
37.
!
Calcule el valor de la siguiente integral definida: !
a.
!"#
b.
!"# !
!
!"#
Evaluaciones a distancia: Cálculo
Calcule el valor de la siguiente integral definida !
a.
!
b.
!
c. 39.
𝑥𝑥 + 2 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
c. 38.
!
! ! ! !
𝑒𝑒 − 1
!
!
5𝑥𝑥 ! 𝑒𝑒 ! 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑒𝑒 + 1 𝑒𝑒 − 1
Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Realice la gráfica de las ecuaciones. 2𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 !
40.
a.
!"#
b.
!"#
c.
!"#
!"
2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 4
!"
!"
Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Realice la gráfica de las ecuaciones. 𝑦𝑦 = 2 − 𝑥𝑥 ! ,
20
a.
9/2
b.
2/9
c.
9/3
19
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Evaluaciones a distancia: Cálculo
瀀爀漀搀甀挀琀漀爀攀猀
㴀
La Universidad Católica de Loja
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Evaluaciones a distancia: Cálculo
Evaluaciones a distancia: Cálculo
44.
Encuentre la siguiente integral.
a. b. c.
𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 + 3
𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 + 3 !
! !!! ! !
! ! ! !
+ 𝐶𝐶
−
!
! !!! !
+ 𝐶𝐶
!
3𝑥𝑥 2𝑥𝑥 + 3𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐶𝐶
Estimado(a) estudiante, una vez resuelta su evaluación a distancia en el documento impreso (borrador), acceda al Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) en www.utpl.edu.ec e ingrese las respuestas respectivas.
SEÑOR ESTUDIANTE: Le recordamos que para presentarse a rendir las evaluaciones presenciales no está permitido el uso de ningún material auxiliar (calculadora, diccionario, libros, Biblia, formularios, códigos, leyes, etc.) Las pruebas presenciales están diseñadas para desarrollarlas sin la utilización de estos materiales.
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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
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