Dynamique Des Sols Pecker

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ALAIN PECKER

:resseS de récole nationale des

onts et chaussées

Toute reproduction, même partielle, de cet ouvrage est interdite, Une copie ou reproduction par quelque procédé que ce soit, photographie, microfilm, bande magnétique, disque ou autre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi du 1 t mars 1957 sur la protection des droits d'auteur,

©

1984

ISBN 2-85978-072-6

resses de r~ooll' natj(mal~ ri,,"

onts et chaussées

28, rue des Saints,Pères, 75007 Patis

Département Edition de l'Association Amicale des Ingénieurs Anciens Elèves de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées.

SOMMAIRE Notations......................................................................................

11

Chapitre 1: Caractérisation du mouvement sismique.. ........... ...........

13

1. 2. 3. 4.

Introduction............................................................................ Rappel de tectonique des plaques............................................. Définitions............................................................................. Paramètres caractéristiques du mouvement sismique .......... ......... 4.1. Grandeurs maximales: accélération, vitesse, déplacement.. .... 4.2. Durée.............. ..................... ............. .......... ........... ....... 4.3. Spectre de réponse.......................................................... 5. Paramètres affectant le mouvement sismique.............................. 5.1. Facteurs liés à la source .............. ............ ......... ............ .... 5.2. Facteurs liés au trajet parcouru... ............ ......... ............ ...... 5.3. Facteurs liés aux conditions locales...... .......... ......... ........... 5.4. Lois d'atténuation............... .............. ........... ........... .......... 6. Evaluation du risque sismique d'une région................................. 6.1. Détermination de provinces sismotectoniques ...... ............ ..... 6.2. Séismicité historique.............. ............ ........... ............ ........ 6.3. Définition du mouvement sur le site... ........... ........... ........... 7. Conclusions ......... _ ....................................... .......................... Bibliographie..............................................................................

13 15 18 19 21 21 22 24 25 30 31 33 36 37 38 39 40 41

Chapitre Il: Comportement des sols sous chargement cyclique........

43

1. Introduction ................... .................... ........... ......... ........... ...... 2. Description du comportement des sols ........... ......... ........... ........ 2.1. Loi de comportement........................................................ 2.2. Description expérimentale.................................................. 3. ObselVations expérimentales.................................................... 3.1. Chargement monotone...................................................... 3.2. Chargement cyclique........................................................ 4. Notions d'amortissement........... .............. ........... ...................... 4.1. Définitions des paramètres caractérisant l'amortissement. .......

43 43 45 45 46 46 48 52 52 5

4.2. Matériaux à amortissement dépendant de la vitesse de déformation..................................................................... 4.3. Matériau à amortissement indépendant de la vitesse de déformation..................................................................... 5. Modèles de comportement....................................................... 5.1. Modèle élastique.............................................................. 5.2. Modèle viscoélastique linéaire ........... ........... .......... ............ 5.3. Modèles non linéaires........ ............. ........... ............ ........... 6. Conclusions ........................ :.................................................. Bibliographie .................................... ........... .......... .......... ...........

55 57 57 57 60 66 81 82

Chapitre III : Liquéfaction des sables..............................................

85

1. Introduction............................................................................ 2. Variations de volume d'un sable sous chargement cyclique ........... 2.1. Rappels sur les variations de volume en chargement monotone............................................................................... 2.2. Variations de volume sous chargement cyclique .... ............... 3. Observations de cas de liquéfaction in situ................................. 4. Paramètres affectant la résistance au cisaillement cyclique non dralnee ............. .................... ...... .......... .......... ......... .............. 4.1. Influence de l'état de contrainte actuel........ ......... ............... 4.2. Influence de l'histoire des contraintes et déformations............ 4.3. Influence de l'incrément de contrainte appliqué ..................... 4.4. Influence de la saturation .................................................. 5. Modèles de comportement pour l'étude de la liquéfaction.............. 5.1. Modèle du chemin de contraintes effectives ......................... 5.2. Modèle de MARTIN FINN SEED ........................................ 6. Evaluation du risque de liquéfaction d'un site .............................. 6.1. Approche en contraintes totales ......................................... 6.2. Evaluation du risque de liquéfaction en contraintes effectives 7. Stabilisation de sites liquéfiables ............................................... 7.1. Accroissement de la densité.............................................. 7.2. Amélioration du drainage ................................................... 7.3. Amélioration par augmentation de la contrainte dans le sol ..... 7.4. MOdification des caractéristiques du sol ............................... Bibliographie..............................................................................

85 86

92 97 98 102 102 103 104 104 107 108 117 121 123 123 123 123 124

Chapitre IV: Mesure des caractéristiques dynamiques des sols........

127

1. Introduction ............................................................................ 2. Essais en place....................................................................... 2.1 Généralités......................... ........... .......... ......... ............... 2.2. Essais réalisés à partir de la surface ................................... 2.3. Essais réalisés dans des forages .......................................

127 128 128 130 131

6

86 88 92

JI;

3. Essais de laboratoire .................................................... : .......... 3.1. Généralités..................................................................... 3.2. Essais de vibration libre .................................................... 3.3. Essais de résonance ........................................................ 3.4. Essais de vibration forcée................................................. 4. Comparaisons entre mesures au laboratoire et mesures en place Bibliographie ...................................... ............. .......... ............ .....

138 138 138 139 143 150 154

Chapitre V: Réponse sismique d'une couche de sol........ ............ ....

157

1. Introduction ............................................................................ 2. Propagation d'ondes dans un milieu élastique, isotrope. Rappels .... 2.1. Equation de propagation................................................... 2.2. Onde monochromatique plane............................................ 2.3. Réflexion et réfraction des ondes planes à un interface...... ... 2.4. Onde sphérique dans un milieu infini .................................. 3. Propagation d'ondes planes en milieu élastique semi-infini ............ 3.1. Ondes SH dans un milieu semHnfini........... ........... ......... .... 3.2. Ondes SH dans une couche d'épaisseur limitée surmontant un semi-espace ............................................................... 3.3. Ondes SH dans un milieu stratifié surmontant un semi-espace 3.4. Ondes de surface dans un milieu semi-infini homogène.. ....... 3.5. Ondes de surface dans un milieu stratifié ........ ......... ........... 4. Problèmes spécifiques au génie parasismique............................. 5. Choix des caractéristiques de l'onde sismique............................. 5.1. Nature de l'onde et angle d'incidence .................................. 5.2. Définition du pOint de contrôle ............................................ 6. Réponse sismique d'un profil viscoélastique à une onde de volume 6.1. Modélisation du sol en milieu continu.................................. 6.2. Modélisation discrétisée du profil de sol............................... 6.3. Validité du modèle viscoélastique linéaire équivalent.............. 7. Réponse non linéaire à une onde sismique de volume ................. 7.1. Prise en compte des conditions aux limites .......................... 7.2. Modélisation du sol en milieu continu .................................. 7.3. Modélisation discrétisée du profil de sol.......... .......... ........... 7.4. Validité des calculs non linéaires ........................................ 8. Réponse sismique d'un profil viscoélastique à une onde sismique de surface............................................................................. Bibliographie.................................. .......... .......... ........... .......... ...

157 158 158 159 161 161 163 164 165 169 170 173 174 175 175 176 177 177 182 187 189 190 191 193 196 197 201

Chapitre VI : Vibration des massifs de fondation.............................. 203 1. Introduction............................................................................ 203 2. Définition de l'impédance d'une fondation ......... .......... .......... ...... 204 2.1. Impédance d'un oscillateur simple à un degré de liberté......... 205 2.2. Forme générale de l'impédance d'une fondation..... .......... .... 206 7

2.3. Analogie entre le demi-espace et l'oscillateur simple. HS1EH (1962) ............................................................................ 3. Application des fonctions d'impédance à l'étude des vibrations de massifs de fondation............................................................... 4. Détermination des fonctions d'impédance ....... ............ ................ 4.1. Solutions continues .......................................................... 4.2. Solutions discrètes.............. .............. ........... .......... .......... 4.3. Avantages et limitations des méthodes... ........... ......... ......... 5. Exemples de fonction d'impédance ............................................ 5.1. Impédance d'une fondation circulaire à la surface d'un semi-espace.................................................................... 5.2. Impédance d'une fondation circulaire en surface d'une couche d'épaisseur limitée ........................................................... 5.3. Impédance d'une fondation de forme quelconque ....... ........... 5.4. Impédance d'une fondation enterrée ....... ......... ............ ....... 6. Conclusions........................................................................... Bibliographie..................................... ............ ........ ......... ............

208 209 211 212 213 213 214 214 218 220 221 222 223

(Chapitre VII: Interaction sol-structure............................................. 225 1. Introduction............................................................................ 225 2. Formulation d'un problème d'interaction sol-structure ........ ............ 226 ... 3. Méthodes de prise en compte de l'interaction sol-structure... ......... 229 3.1. Méthodes globales........................................................... 229 3.2. Méthodes de sous-structures...... ........... ........... ............ ..... 231 3.3. Méthode hybride.............. ............. ............ .......... ............. 238 3.4. Comparaison des différentes méthodes............................... 239 4. Mise en œuvre des calculs d'interaction sol-structure..... .............. 239 4.1. Modèle de comportement du sol..... ........... .......... .............. 241 4.2. Nature et direction de propagation de l'onde incidente ........... 241 4.3. Modélisation géométrique du milieu ....... ........... ........... ....... 242 4.4. Schéma d'intégration numérique.... ........... ........... ............... 246 5. Exemple de calcul d'interaction sol-structure ........... ......... ........... 249 Bibliographie .................. ........ .............. ............ .......... ............ .... 251 Annexe: Echelle d'intensité macrosismique MSK................................. 253

Index ............................................................................................ 261

B

AVANT-PROPOS

La prise en compte du risque sismique dans la conception d'un nOl'l1bre grandissant

d'ouvrages

~rtanta

comme les centrales nucléaires, les grands barrages, les

réservoirs CIe gaz naturel liquéfie, a contribué au développement rapide d'une science récente: le Génie Parasism1.que, Sous ce vocable se trouvent regroupées les disciplines diverses que sont la séismologie, la dynamique des sols, la dynamique des structures et des équipements, l'instrumentation sismique .... Cet essor rapide ae trouve concretisé par un nombre important de publications annuelles, de conférences, cours et également par la mise à jour, en France, des

nouvelles règles parasismiques destinées

à

remplacer les règles PS.69. Si la

dynamique des structures et la séismologie ont très tot retenu l'attention des chercheurs et ingénieurs, ce n'est que depuis une quinzaine d'année que la dynamique des sols est apparue comme une composante fondamentale du Génie Parasismique. Ce livre a pour objectif de présenter l'état actuel de la pratique en dynaIlLique des sols, tout en introduisant les développements les plus récents. ces développements ayant trait a la modélisation du comportement des sols et aux calculs dynamiques de couches de sol, en relation ou non avec les ouvrages~~f appelés a prendre une part grandissante dans la pratique courante, Ce li~$< .1I{é ' écrit a partir des notes constituant la base du cours enseigné a l' Ecole,-~t.îonale des Ponts et Chaus!,!ées depuis 5 ans, dans le cadre d'un séminaire dl,! f?EA Génie

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Mécanique puis du cours de Mécanique des Sols.

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Essai de chargement cyclique au trlaxia!

Pour un chargement cyclique, le point représentatif de l'état de contraintes translate les surfaces de charge vers le bas (flgure lB), Les variations de contrainte le long des segments NAl et OA, Al. Bl et AB... résultent des variations de taille k( m)( EV) des surfaces de charge. pour un écrouiasage purement cinématique on aurait NAl20 2k(1.), AIBt _ 2k(2.) , .. Dans ce dernier c:as, le modèle de prevost est équivalent, pour les chargements unidirectionnels, au modèle de IWAN constitué d'un notribre fini d'éléments rhéologiques raaselOhlant un reaaort et un frotteur J l'activation de la surface de charge fi correspond à la miae en rupture de l'élément i.

80

6. CONCLUSIONS

,

l5'

il est certain que les moc.èles tels que celui présenté ci--(l.essus représentent , un proqrOs fondamental ~ànà l'appréhension du comportement des 1101s sous chargement CYCliq ue leur mise en oeuvre pour les applications pratiques reste extrêmement limitée', Pour ces dernières, le mo40 -40 >40 >40 180 180 180 180 180 .5 .5 .5 .5

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Liquéfaction Liquéfaction lobsence Liq. Absence Liq. Liquéfaction Liquéfaction Absence Liq. Liquéfacti.on Liquéfaction Absence Liq. Liquéfaction Absence Liq. Liquéfaction Liquéfaction loiquéfaction Liquéfaction Liquéfaction

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Graviers sableux 1

Tab1eau 1 1 Conditions de site et caractéristiques des séismes pour les cas recencés de liquéfaction

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! 1 O-xz 1 ) de celui ou le cisaillement résultant ('Tc + C'xz) s'exerce toujours dans la même direction, Seule la première configuration peut éventuellemnt conduire a une liquéfaction. Ce résultat a déjà été noté au paragraphe 2,2 ou il a été indiqué que les essais cycliques dans le domaine subcaractéristique, sans alternance du déviateur, conduisent a une stabilisation le lony de la ligne caractéristique. L'inverf'ion de la direction du cisaillement permet seul~ d'atteindre les seuils caractéristiques. La R.e.C. non drainée mesurée par le rapport TelUÉ est in[luencée par la valeur

du cisaillement statique initial. Par rapport a la situation sans cisaillement

97

initial. cette résistance peut étre augmentée ou diminuée suivant l'état ne compacité initial du sol et la valeur du cisaillement statique. Pour les sols denses, elle est en général augmentée comme le montre la figure 10 donnant des résultats d'essais triaxiaux réalisés sur alluvions sablo--graveleuses compactées. Il faut noter que si la R,C.C. est exprimée a l'aide du rapport (~zx + T )/{1Z' l'application n'un cisaillement statique conduit toujours a une C __ augmentation de résistance [FINN, 1991].

4,2. :Influence (le l'bistoire des contraintes et défoUlliltiona nature du sable constitut-.if, le mode de formation du dépOt et l'histoire des sollicitations subies jusqu'a l'état de contrainte actuel confèrent au sol une structure caractérisée par une compacité et un certain arrangement des grains. Tous ces facteurs ont une influence sur la R.C.C. non drainée du sol.

La

Du point de vue de la résistance a la liquéfaction, il n'est pas possible de différencier les sables en fonction de leur granulométrie. LeS premières études (LEE-PI'l"l'ON, 1969] qui faisaient apparaitre une forte dépendance de la R.C.C. sur le d~o du matériau semblent étre entachées d'erreurs expérimentales iJnportantes. Tout juste est-il possible de définir un fuseau des matériaux liquéfiables 1 un tel fuseau est. donné sur la figure Il [THOMPSON-EMERY, 1976]. Par ailleurs, il est vraisemblable que la coroposition minéralogique et la forme des grains a une influence sur la R.C.C. Aucune conclusion définitive ne peut cependant étre actuellement tirée quant a l'influence de ces facteurs .

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1 MAJORITE DES SABLES LIQUEFIABLES SUR LA BASE D'ESSAIS LABORATOIRE

Figure 11

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ENVELOPPE DE 19 GRANULOMETRIES DE SABLE UQUEFIES PENDANT DES SEISME AU .JAPON IKISHIDAJ

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Cp5\1 ~ Q02 .0.01 5.. 2.. ," SEISME D'ALASKA (1964)-

Fuseau granulomètrique des sols liquéfiables

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4.2.1. Inf1uenoe de la densité du sab1e

-

- - - -

densité constitue le paramètre dont l'influence sur la R.C.C. a été 1apremière reconnue. Tant les observations in situ que les essais de laboratoire (figure 12) ont montré que la R.C .C. d'un sable est pratiquement proportionnelle à sa densité relative, tout au moins jusqu'à des densités relatives de 70 à BO " Au-delà de ces valeurs, la R.C.C. croit plus vite que la densité relative. La

Les essais de laboratoire, tels que ceux de la figure 12, montrent qu'il esl possible d'atteindre une comUtlon de liquéfaction (u - am) même sur des sables très denses. Ce résultat a 10ngtemps été l'objet d'une controverse car, en place, 1es dommages conSécutifs a une liquéfaction n'ont été observés que sur des sab1eS 1àdhes. En fait pour les sables denses, C'est-à-dire pour 1eS sables dont l'état caractéristique n'est pas confondu avec l'état de rupture, la comUt10n de liquéfaction n'est atteinte que temporairement.' Sous 1'effèt des sollicitations app1iquées (cyc1iques ou permanentes) le point représentatif de l'etat de ;contrainte "remonte" dans 16 domaine surcaractéristique (para'i_l:~e 2,2), et; le ,! comportement di1atant du sol lui permet de recouvrer une certaine :tésistance au cisai11ement, par suite de la diminution de la pression interstitielle. Il en résulte que les déformations accompagnant la 1iquéfaction restent limitées,

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10

Nombre d. CVcl••

Influence de la densité relative sur la RCC

99

Par opposition, pour un sable lache, il n'existe pas de domaine surcaractéristique J le comportement du sol est toujours contractant et l'application d'une charge (poids d'un ouvrage par exemple) sur un sable liquéfié entraine des déformations pratiquement illumitées. Longtemps le terme liquéfaction a été réservé à ce seul phénomène et certains auteurs ont employé le tenne mobilité cyclique pour définir le comportement des sables denses (CASTRO, l.969 J CASAGRANDE, l.976]. Dans la pratique, la liquéfaction des sables denses ne présente pas un caractère fondamental dans la mesure oCi cet état est temporaire. Seules l.es déformations qui en résultent, et qui seront supportées par les ouvrages, doivent retenir l.'attention. Aussi est-il préférable de définir des courbes de R,C.C, en se référant non pl.us à l.'état c:le l.iquéfaction (u - am) mais a une certaine valeur de la déformation, choisie arbitrairement ou en relation avec les déformations ~",susceptibl.es d'ètre aupportées par l.es ouvrages, Le terme réaiatance à la liquéfaction est aouvent employé abuSp,vement pour définir cette résistance. Si cette confusion est justifiée pour Qes sablea l.adhes, il est préférabl.e de , . conserver l.a c:lénOlnination réaistance ,.U , ,cisaill.ement cycl.ique, plus générale et moins génératrice c:le confusion.

4.2.2. rnfluence de 1a structure du .BOl -------...,------------

.,;.-.c .

On désigne par structure la forme des grains et l'arrangement de ceux-ci. Cette structure résulte du mode de formation du c:lépOt et de l'histoire des contraintes et déformations subies depuis cette formation. rI est 11nportant de réaliser que, les grains n'étant ni sphériques ni tous identiques, l.a densité du sol n'est pa!! caractéristique de sa structure J a une c:lensité donnée, il est possibl.e d'associer plusieurs arrangements des grains. La. figura 13 présente des courbes de R,C.C. mesurées sur das éprouvettes d'un même

sable, préparéea a la même densité mais par des méthodes de mise en place différentea [HULILIS et al., l.975] , L'accroissement de R.C,C, peut atteindre l.00" suivant la méthode de préparation. Cette variation résulte des différences de structure des asseltlbl.ages formés. La structure la moins stable correspond A un assemblage o~ l'angle moyen, LOrmé par les plane de contact entre grains et la direction de la sol.licitation, est égal a 45 0 (SEED et al, l.975]. La R,C,C, n'est pas seule modifiée par la structure du sol J tout le comportement jusqu'A la rupture est affecté comme l.' attestent les différences entre les courbes de génération de pressions interstitielles obtenues pour diverses méthodes de préparation des éprouvettes (LAnD, l.976]. Cette influence de la structure formée par l'aElsembl.age des grains est responsable des différences de R.C.C. mesurées sur dea édhantill.ons ayant subi des chemins de contrainte ou de déformation différents ~ surconsol.idation, sollicitations cycliques antérieures, age du dépôt ... surconsolidation du sol. a pour effet d'accroitre sa R.C.C. Cet accroissement ne peut étre expliqué par la seule augmentation de contrainte moyenne, résultant d'une augmentation de K" (FINN, 19911. et une part provient de la différence de structure,

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même, les sollicitations cycliques de faible amplitude augmentent la con'1 trainte moyenne mais tendent également a produire. des assemblages de grains plus stables donc plus résistants. La figure 14 donne un exemple de variation de De

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30

3 Nombre de cycles'"

Figure 13 Influence de la structure sur la RCC (d'après Mulms et al 1975 J

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Nombre de cvcles

Figure 14

Influence des prévibratiDr1$ sur la RCC

101

B.C.C., mesurée sur deux échantillons dont l'un a été prévLbré puis remis en éqùl1ibre, par dissipation rias pressiona interstitiell.es., SÇlus l.·et.at de contraintes -effectivea initial. Cette variation est importante et mérite d'ê'tre prise en compte dans l'éval.uation de la susceptibilité d'un sol. a la lÜ:luéfaction. C'est le cas, par exemple, des plateformes en mer ou les chargement.s cycliques engendrés par une houle importante sont précédés de sollicitations de plus faible amplitude, dues a Cles houles moins fortes. Si les pressions interstitielles développées par les houles faibles ont le temps de se dissiper avant l'arrivée d'une houle plus importante, la résistance du sol est accrue. Enfin, l'expérience montre que l'age du dépot peut avoir une influence notoire sur sa R,C,C, Plus le dépOt est ancien, plus sa résistance est élevée. Cela provient partiellement d'une augmentation de densité, les dépots du tertiaire étant nettement plus denses que ceux du Pléistocène ou de l'Holocène [TOHNO, 1.975], mais également d'une différence de nature (les contacts entre grains, Dans les dèpots anciens, les particules les plus fines sont "squeezées" et les contacts entre les grains les plus grossiers plus nonIDreux et plus stables.

4.3. Inf1uence de l'1ncrélDent de contra:1nte appliqué Les essais de laboratoire sont réalisés pour des sollicitations unidirectionnelles. En place, les sollicitations sismiques engendrent des vibrations tr1directionnelles. DeS essais sur table vibrante ont montré que les vibrations verticales ne modifient que peu la R.C.C. Cela s'explique par le fait que ces vibrations n'induisent que des cisaillements peu importants et donc ne provo-quent pas de variations de volume significatives, Il en est de meme en place oCl les vibrations verticales résultent de la propagation d'ondes de compression (cf. dhap1tre V) qui, dans des couches (le sol subhorizontales, génèrent essentiellement des déformations de compression-extension, par contre les vibrations horizontales engendrent des défonnations de cisaillement dans deux directions. L'étude sur table vibrante de l'influence d'une vibration horizontale bidirectionnelle fait apparaitre une (liminution de la R.C.C. du sable. Cette diminution reste cependant lintitée 1 il est admis que la R.C.C. sous lIollicitat10n bidirectionnelle est égale a 90" environ de la R.C.C. mesurée sous sollicitation unidirectionnelle [SEEO et al, 1975].

4.4. Influence de la saturat10n L'augmentation de pression interstitielle créée par le cisaillement résulte de la tendance a la variation de volume du sol. DanS un échantillon parfaitement saturé et en condition non drainée, la variation de volwne totale est nulle et, l'eau interstitielle étant nettement moins compressible que le squelette, la tendance a la variation de volume est entièrement contrebalancée par l'augmentation de pression de l'eau. Dans un échantillon partiellellU'!nt saturé la variation de volume est possible par compression de l'air occlu. Il en résulte une augmentation plus faible de la pression interstitielle et donc, en condition non drainée, une R.C.C. plus élevée (figure 15),

102

Cette influence de la saturation peut être une cause importante d'erreurs expérimentales si l'on ne s'assure pas au laboratoire, par l'utilisation d'une contrepression élevée, de la parfaite saturation du sol. Dans le même ordre d'idées, les dispositifs expérimentaw( ne permettant pas de maintenir constant le volume de l'échantillon peuvent conduirg a. des mesures de R.C.C. erronées. A cet égard, l'appareil triaxial est nettement plus fiable que l'appareil de cisaillement simple pour lequel il n'existe, a. notre connaissance, qu'un specimen opérant a volume rigoureusement constant [FINN-VAlD, 19'17].

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O~------~------~------~------~ 1 3 10 30 100 Nombre de cycle. ,1..1

Figure 15

Influence du degré de saturation sur la RCC

LeS études expérimentales, dont les résultats ont été présentés au paragraphe précédent, ont trait a la R.C.C. non drainée du sol, C'est une approche du phénomène de liquéfaction par les contraintes totales dans laquelle on ne s'intéresse qu'a la résistance a rupture du Sol. D'un point de vue plus fondamental, la R,C,C. non drainée est gouvernée par le comportement du sol, donc par les contraintes effectives. Divers types de modèles de cOlTlportement ~>nt été développés récelmll!nt de façon spécifique pour l'étude de la liquéfaction. Ces modèles permettent de suivre l'évolution des pressions interstitielles au cours du Chargement, On peut distinguer l

103

des modèles empiriques comme le modèle énergétique [NEMMA.T-NASSl':R~ 51101

5

7}

Comparaison entre modèle et modèle non linéaire

10

12:5

15

linéaire équivalent

Pour un système de N couches, on peut alors montrer que la solution des équations d'équilibre se ramène a la résolution d'un problème de valeurs propres, les nombres d'onde k, et de vecteurs propres. les déplacements {u} ,

[

(A] kl-

-+ i

[B] k

+

(C] -

l/

(M]

]

{u} .. 0

(1:19)

Les matrices (A], (B), (C], [H] sont des matrices d'ordre 2n, (M] est la matrice masse 1 [A], (B]. [Cl sont formées a partir des modules de cisaillement G. modules confinés" ... 2G, et pourcentage d'amortissement critique (J, Les tenues de ces matrices sont complexes. Les vecteurs propres {u} représentent l'équivalent des fonctions fj{:r;) et gj( z) des équations (66 )-( 67), L'équation aux valeurs propres (119) a 2n solutions et est en complète analogie avec les équations (66 )-( 67) j la solution général.e s'écrit pour une harmonique donnOe 1

'n {u}."

1:

(120)

J-' 00 {V}j représente un vecteur propre normalisé.

HORIZONTAL

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APPROXIMATION

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/ V ...

fixe""""

,

(~,.

\, ,

/ /, / / / / // / /",

Figure 17 Modèlisation du profil de sol Ondes de Rayleigh

Pour un système amorti, tous les nombres d'onde sont imaginaires avec une partie imaginaire négative, La solution (120) représente une onde de Rayleigh qui Be propage dans l.a direction x ) 0, avec un coefficient d'atténuation exp (2TT lm( ltj) / Re( kj )] par longueur d'onde " '" 2rr / Re( kj ), Cette solution comporte 2n inconnues Rj qui doivent être déterminées a partir de l'amplitude du mouvement de référence AR au point de contrOle x-O. Z '" 0, Le problème est indéterminé car mathématiquement mal posé. Pour obtenir une solution complète,

199

il serait nécessaire de connaitre le champ incident en tout point de la verticale x-O. Pour obtenir une solution, il est nécessaire de faire une hypothèse. Généralement on admet que seul le mode fondamental se propage à quelque distance du point ~e contrOle. Le déplacement vaut alors 1

ru} = ~

(121)

on l'indice f représente le mode fondamental. Cette méthode a été mise en oeuvre pour évaluer la réponse d'une centrale nucléaire a un champ incident constitué par une onde ~e Rayleigh généralisée [GOMEZ-MASSO et al, 1982]. LeS résultats montrent que les ondes de Rayleigh ~e fr~uence supérieure a 2 Hz s'atténuent très rapidement en s'éloignant ~u point ~e controle , ceci est en accord avec les observations sismologiques qui ne mettent pas en évi~ence ~'ondes de Rayleigh à des fréquences élevées, Cette méthode, très attractive, ne présente cependant, dans la majeure partie des cas, qu'un intérêt académique. In~épendamment des hypothèses nécessaires à l'ohtention ~'une solution (mode retenu 1 fon~amental ou autre, distance du point de controle :x: .. 0 au point d'observation), il serait nécessaire de connaitre, dans le Champ incident, la proportion d'ondes de surface et d'ondes de volume. Cette proportion est inconnue et seules des approches empiriqueS sont possibles [GOMEZ-JomSSO et al, 1982]. Bien enten~u, le résultat d'ensemble de la réponse du site est fortement fonction ~e ce paramètre.

200

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X.

0

0

0

0

K

[K) =

En prenant comme inconnues les déplacements

(22 )

•

(vI du centre de gravité 1

Iv) ... {V}b ...

(23)

on a la relation {R} ." (KJ. J {v}

ob [KJ.l est une matrice dérivée de la matrice d'impédance,

210

( 24)

K

,

0

0

K

[K J ...

•

0

K

0

0

Les équations du mouvement (20)

[M]

.. ..

0

,c , K. . K

K

X

K.

0

X

(25)

0

C

0

s'éc~lvent

+

[v}

0

[K

•]

Ke

alors sous forme matricielle 1

{v} = {QI

(26 )

avec:

[M)

-

m

0

0

0

0

m

0

0

0

0

1

0

0

0

(27 )

0

x

1

z

et: K

,

0 K

0

•

[K ]

-

0

K

K. .

x

xx x c

x..

0

0

K

•

-

x

0

,c

0

•

2 Kx. X c

0

0

K

x

x

z

c

0

(28 )

Ke

Pour une sollicitation harmonique (Qo}exp(iwt), la solution stationnaire est

solution de l'équation

1

Wil. [Ml

1 (v)

-

(Q )

o

(29 )

ta solution de l'équation (29) est: aisée à obtenir, d'autant: que deux degrés de liberté seulement: sont couplés. La seule difficulté réside dans' la détenn.1nat1on

de la matrice d'impédance [K] (équation 22).

+.

DEI'ERKIN7.'l'Iœ/ DES l'Ol'IC'l'XONS D':J:MPEDMICE

La solution au problème d'une force haunonique appliquée ilIa surface d'un semi-

espace élastique a ete obtenue par LAMB (1904). Par intégration de cette solution élémentaire sur une surface circulaire, Rl-:ISSNER{1936), QUINLAN (1953) et SUNG

211

(1953) ont obtenu des solutions pour

le cas de répartition de contraintes uniforme, parabolique ou e11iptique, Ces solutions ne représentent pas l' impédance d'une fondation rigide. En effet, sous une fondation la répartition de contrainte n'est ni uniforme, ni parabolique, ni elliptique 1 de plus elle varie avec la fréquence, Le problème a résoudre est en fait un problème aux conditions aux limites mixtes: contrainte nulle a la surface du sol en dehors de l'emprisn de la fondation, déplacement plan sous la surface d'appui de la fondation, Ce n'est qu'avec les travaux de LYSMER (1965) que les premières solutions (numériqueS) ont été obtenues pour l'impédance verticale d'une fondation rigide a la surface d'un semi-espace élastique. Actuellement, différentes procédures sont employées pour la détermination des impédances de fondation de forme quelconque soumises a une so11icitation hi!-r:monique ( force ou moment). Une procédure donnée est plus ou moins bien adaptée a la solution d'un problème, et i l n'existe pas de méthode universelle pennettant de déterminer l'impédance d'une fondation, quels que soient 1a forme de cette dernière, son enfoncement dans le sol, la stratigraphie du sol de fondation, la fréquence d'excitation, .. Il est donc important de connaitre les limitations et avantages principaux de chacune d'entre elles pour choisir la mieux adaptée au problème polJé, En reprenant la classification de GAZETAS (1983) on peut distinguer

1

les solutions obtenues a partir d'une formulation continue du problème conduisant a des solutions analytiques ou semi-analyt1.ques les solutions obtenues a partir d'une formulation discrétisée du problème 1 méthode des éléments finis et plus rarement des diffé rences finies, Les caractéristiques principales de ces diverses solutions sont examinéeS ciaprès sans toutefois entrer dans le détail de leur formulation mathématique .

•• 1. SOluti.ons continues

Ces solutions sont obtenues a partir des solutions analytiques des équations de l 'élastodynamique dans chaque couche de sol. suivant la façon dont est traitée la condition aux limites à l'interface sol-fondation, on peut distinguer les solutions entièrement analytiques et les solutions serni-analytiques. Les solutions analytiques ne peuvent être obtenues qU'en simplifiant la condition de contact 1 les contraintes de cisaillement sont supposées nul.les a. l'interface pour les mouvements de translation verticale, ou de balancement autour d'un axe horizontal 1 les contraintes normales sont supposées nulleS pour les mouvements de translation horizontal.e, L'application de transformations intégrales (Fourier ou Hankel) conduit, pour chaqu~ mode de vibration, à un ensemble d'équations intégrales duales rêductible a une équation de Fredholm donl l'évaluation est Obtenue numériquement, Des solutions de ce type ont été Obtenues pour des fondations circulaires et filantes sur sol stratifié, viscoélastique, et pour des fondations rectangulaires sur un demi-e"pace, Les solutions semi-analytiques sont obtenues par discrétisation de la surface de contact, Le déplacement, résultant de l'application d'une sollicitation harmo--

212

nique en un des points de la discrétisation, est calculé en tous les autres points de la surface de contact. On obtient ainsi une matrice de coefficients d' influence dynamiques 1 la solution du problème est obtenue en imposant aux déplacements de tous les points de la surface de contact de se trouver dans un plan. Plusieurs techniques nwnériques sont poss1lHes pour l'obtention de la matrice des coeFFicients d'influence 1 utilisation de la solution de LalIlh, transformation de Fourier, méthode des équations intégrales ... Des solutions de ce type ont été obtenues pour des fondations de forme quelconque, posées a la surface de sols viscoélastiques stratifiés horizontalement, et pour quelques cas de fondations enfoncées dans un semi-espace homogène .

.... 2. Solutions discrètes

La plupart de ces SOlutions sont obtenues par la méthode des éléments finis. La

principale difficulté, pour la mise en oeuvre de solutions nwnériques par éléments finis, réside dans la simulation des conditions aux limites du modèle. Pour éViter les réflections d'ondes heurtant les bords du modèle, il est nécessaire d'adjoindre à ces limites des frontières absorbantes simulant de façon exacte la présence, au-delà de la frontière, d'un milieu d'extension infinie, L'existence de ce mi1ieu permet la dissipation d'énergie vers l'inFini. un exemple de frontière absorbante a été donné au chapitre V. ACtue11ement, des frontières absorbantes n'ont été développées que pour les problèmeS plans ou axisymétriques, Pour les problèmeS tridimensionnels, la seule alternative consiste a éloigner suffisamment les frontières du modè1e pour permettre l'absorption d'énergie par amortissement matériel, ou a adjoindre aux limites des frontières "visqueuses" (amortisseurs de type Lysrner-Kuh1emeyer) ne représentant le milieu infini que de façon approchée. Dans le cadre de ces restrictions géométriques, des solutions par éléments finis peuvent etre obtenues quelques soient les hétérogénéités du Sol et les enfoncements de la fondation.

4,3. Avantages et lilllitations des méthodes

De la présentation ci-descus, il ressort que les méthodes semi-analytiques (ou analytiques) sont bien adaptées aux CaB de fondation de forme quelconque reposant a la surface de semi-espaces (élastiques ou viscoélastiques), homogènes, ou dont 1es propriétés ne varient pas de façon trop brutale avec la profondeur, Leur principal avantage, et non le moindre, est de prendre correctement en compte l'aspect tridimensionnel du problème, Dée que la stratification devient trop importante, ou pour les fondations enterrées, ces méthodes deviennent moins eff1caces. Il en va de même pour le traitement des fréquences élevées nécessitant, dans J.es méthodes semi-analytiques, un grand nombre de points de discrétisation de la. surface de contact.' La méthode des éléments finis est bien adaptée au tra.itement de problèmes plans ou

axisymétiques. Aucune limitation n'existe concernant les hétérogénéités du sol ou l'enfoncement de la fondation. Les problèmes tridimensionnels sont par contre mal appréhendés et la méthode peut devenir prohibitive poUl: le traitement des fréquences élevées conduisant à des dimensions de maille faibles (voir chapitre V, paragraphe 6.2). Notons enfin que les méthodes ont souvent été opposées. Dans la pratique leur application correcte conduit a des résultats équivalents [HADJIAN et al, 1974).

213

S. EXEMPLES DE POIIC'l'l:ON

D'~

Une compilation très complète des fonctions d'i.nIp4dance publiées dans la littérature a été présentée par GAZETA.S (1983). Nous ne retiendrons ici, a titre d'illustration, que les cas d'utilisation les plus courants correspondant a une fondation circUlaire reposant, soit sur un semi-espace homogène, soit sur un bicouche constitué d'une couche de sol surmontant une assise rigide. On examinera l'influence de la forme géométr1que de la fondat1on et de son enfoncement dans le sol, Les résultats sont présentés BOUS la forme de l'équation (12) en omettant 1'indi.ce .1..

5.1. :I!IIpêdanOe CI' une fondat1on c1zcuJ.a1ze a ].a surfaoe d' un sem:L-eseœ; Du point de

vue CIe la fonnulation mathématique, ce cas correspond a la configuration la plus simple, Les valeurs de l'impédance correspondant aux quatre degrés CIe liberté, y comprie le terme de couplage mouvement horizont-.al balancement, ont été publiées par VELETSOS-WEI (1971), LUCQ-WES'l'MANN (1971) et VELETSOS-VERBIC (1974). LeS valeurs de k et c, correspondant a chaque l1ICXIe de vibration, eont donnéee sur la figure 4 pour 0 .. ao" B et {pO. L'expression de la raideur statique est également indiquée sur la figure, Pour des valeurs non nulles de l'amortissement matériel (J, l'équation (13) est applicable avec une très bonne approximation, LeS termes de couplage klC'St, cx4> n'ont pas été représentés car ils sont très faibles et peuvent étre raisonnablement négligés 1 la matrice d'impédance (22) est alors diagonale, Mi,s a part les parties réelles k z et ~ de l'impédance en translation verticale et. en balancement, les aut.res coefficients sont pratiquement indépendants du coefficient de Poisson, De même les coefficients c z • c x ' kx ne varient. que faiblement avec la fréquence et on peut, avec une bonne approximation, les considérer constants. Il en est de même pour ka' ce et c~ dès que ao ~ 2. La partie

imaginaire de l'impédance correspondant aux l1ICXIes de translation. Cz et est nettement plus élevée que celle correspondant aux modes de rotation, En d'autres termes, l'amortissement radiatif issu de ces modes est plus important que celuiiBSU des lIlOdeB de rotation. Ce dernier est: d'ailleurs pratiquement nul pour les lIlOdes de rotation aux faibles valeurs de ao(fondation de dimension réduite ou fréquence d' excitation basse), Dans ce cas, le seul amortissement est apporté par l'amortissement matériel) il est donc important d'en tenir compte. Par COntre il peut être négligé devant l'amortissement radiatif pour les modes de translation,

ex:

Les résultats de la figure 4 permettent de déterminer, a toute fréquence, le mouvement d'une fondation rigide circulaire reposant a la surface d'un sffmiespace, Il est cependant possible, dans le cas du semi-espace, de simplifier plus avant la détermination de ce mouvement en définissant ..les coefficients d' impê- dance indépendants de la fréquence. ces coefficients sont Choisis de façon a ce que la réponse du massif de fondation soit aussi proche que possible de la réponse exacte. Ainsi, la réponse étant gouvernée aux faibles fréquences par la raideur statique, la partie réelle de l'impédance est choisie égale a k "" 1. Au voisinage de la résonance, la réponse étant contrOlée par l'amortissement du systèiM, la partie imaginaire de l'11lIpéd.ance est choisie de façon a reproduire le mouvement a son voisinage, En suivant cette approche, L'iSMER (1965), HALL (1967) ont proponé

214

k.1 ~

.-

CoefftcMotlt de poisaon

~., _._._. :;:

,r

p

C.

_.

.,,0- r-' ./

............ -.-.--

q

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K:r.'" 4GR

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L

L

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1

,

1

,

1

1

j

-

,

c,

kt q.

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.--=' ~~::~~::~:::-~.

,o

,

k.

o Figure 4

Co

80

8

0

,

·0 •

Impédance d'une fondation circulaire sur un semi-espace

215

les valeurs d' impédance données dans le tableau lIces valeurs sont indépendantes de la fréquence, Les valeurs des raideurs statiques sont données sur la figure 4. Les valeurs donnéeS dans le tableau l conduisent a une très bonne approx1.mation de la réponse sur la plage de fréqUences définie par 0 .. a o .. 4 (exception faite peutetre du balancement). La figure 5 compare, a titre d'exemple, l'amplification (rapport du déplacement dynamique au déplacement statique) d ',une fondation circulaire, sollicitée verticalement, évaluée de façon exacte et avec les coefficients d'impédance indépendants de la fréquence.

a-a• .;",•

-Impédanea _riable

(,.-ll

____ lmpolidBnea eon.tan1a

-,

....

I",!~,,I,,, '" fr:+l

G..... ~

•

,. • 0

Figure

5

Réponse d'une fondation circulaire ri$lide • une force verticale {Lyamer _ Richart,19661

Pour mieux approcher la réponse du II'\assif de fondation a l'aide de coefficients d'impédance indépendants de la fréquence, certains auteurs ont proposé d' ajouter une masse fictive a la fondation (~-ROSENBLUETH, 1971J. Cette masse ne représente pas une masse de sol "attachée" à la fondation mais constitue un artifice mathématique permettant de mieux rendre compte de la réponse de la fondation. Notons enfin que, dans cette approche où les coefficients d'impédance sont pris indépendants de la fréquence, le sol de fondation est simplement modélisé a l'aide de ressorts et d' amortisseurs (un couple pour chaque degré de liberté) de caractéristiques constantes. L'analogie de HSIEH prend alors la forme la plus simple possible. La réponse s'évalue â. l'aide de l'équation (29) où la matrice (K~J est constante.

216

Coefficients de l'impédance équivalente MOd.

d. vibration

partie réelle k,

Partie imaginaire

c,

-

--vertical

I

0.95

Horizontal

I

0.576

Balancement

I

0.30 ( I v) l

,

I

,x

+

P r.

8

V

-

•

r. Torsion

I

n

2 l I

+ p

z

,

r. _.

Tableau I •

du semi-espace 1 coefficients 1nd:épendants de la fréquence Impé~ance

domaine de validité

Raideur statique

Mod. de v1J::>rat1on

4 G

I

r. v

8 G

r.

Vertical

Horizontal

1

v

8 G

r.•

,

Torsion

-" ,-

(

I

G

+

r.

1.28

- 1

H > 2

H

r. , o., -1I 1

2

Balancement

I

H >

H

V

r.

)

[1+0.1.7

H

1

r.•

ro

<

H >

H

r.

r.

< ...

ro

1..25 ro

Tableau II • Raideur statique d'une fondation circulaire sur un mono-couche

217

,.......

5.2. rmpédance (l'une fondation circul.aire en surface (l'une couche d'épilisseu.r

Lea 13101131 de fondation ont rarement das propriétés constantes sur das profondeurs suffisamment iltIportantes pour pouvoir être assimilés a des serni-espaces hO\1Klgènes, Un cas d'hétérogénéité typique est Créé par la présence, a faible profondeur, d'une couche de sol nettement plus raide que la couche de surface, La réponse d'un massif de fondation sur ce Sol stralifié peut être fortement différente de celle du merne massif sur un sol homogène. DanS le cas 00 la couche sous-jacente peut etre considérée comme infiniment rigide, l'impédance dynamique de la fondation circulaire a été évalUée par KAUSEL (1974), KAUSEL-ROESSET (1975), KAUSEL-USHI,J'IMA (1979), La raideur statique (tableau rr) et les variations avec la fœquence des parties réelle et imaginaire de l'impédance (fiqure 6 ) sont toutes deux affectées par la présenCe d'une COuche rigide a une profondeur H, La raideur en translation verticale, et dans une moindre t'IIesure celle en translation hori:,r:ontale, sont fortement modifiées par la présenCe d'une assise X'OCheuse, par contre les raideurs en balanCement et en torsion sont peu, ou pas, affectées.

Les coefficients de l'1lnpédance dynamique dépendent fortement dU rapport B/ro, Leurs variations avec la fréquence présentent des p~cs et vallées prononCés, alora que, dans le cas du semi-espace, les variations sont plus régulières. Les pics et vallées correSpondent au]!: fréquences propres de vibration de la COuche (voir chapitre V) , les ondes émises par la vibration du massif sont réfléchies a la ~e de la couche et renvoient l'énergie vers la fondation, provoquant une augmentation de l'amplitude de vibration a certaines fréquences, Lorsque l'amortissement matériel du sol croit, les pics et vallées deviennent moins prononCés. un autre Phénomène iltIportant, mis en évidence sur la figure 6, est l'absence d'amortissement racuatif aux faibles fréquences (partie imaginaire de l'impédance dynamique nulle), A ces fréquences, le seul amortisselflênt est apporté par l'amortissement matériel, Cela résulte du fait qu'a ces fréquences aucune onCle de surface, dont la direction de propagation est horizontale, n'est Créée dans la couche de sol 1 toute l'énergie est transportée par les onCles de volutne qui sont réfléchies en atteignant l'assise rocheuse, L'énergie n'est donc transportée horilG()utalement vers l'infini qu'après de multiples réflections, ce phénomène est nettement plus marqué pour les modes de translation, donnant principalement naissânce a des ondes (de compression ou de cisaillell'lênt) a propagation verticale, que pour les modes de rotation, LeS résultats précédents mettent clairement en évidence le risque de sousévaluation de la réponse d'un massif, encouru en assimilant son sol de fondation a un semi-aspace homogène, La seule modification de la raideur statique de la fondation ne permet pas de prendre correctement en co!:".pte la présence de l'assise rigide, Si a la base de la couche de sol existe, non plus une assise rigide, mais un nemiespace, la raideur statique de la fondation diminue, les pics et vallées des impédances dynaJ1'\iques sont moins marqués et l'amortissement radiatif est accru en raison de l'absorption partielle des ondes de volume dans le semi- espace,

218

li

H/ro

•

C.

,

.....'

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(

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"

"

J o

Figure 6

, .0

o!-"'·"L-!,--__-!-__-:! o

2

·0

"

6

Impédance d'une fondation circulaire rigide sur un monocouche (11=5 % )

219

Les résultats de ce paragraphe montrent l'importance de la prise en compte de la stratification ~u sol ~ans l'évaluation de l' impé~ance d'une fondation. Cntte stratification a d'autant plus d'influence que le contraste de raideur, exprl.rné par le rapport VS1 / Vsz des vitesses de propagation des ondes de cisaillement des deux couches, est plus marqué et que le rayon de la fondation est important vis-avis de l'épaisseur de la couche. La figure 7 permet ~e juger de la nécessité de prendre en compte la stratification [LUCO, 1974) 1 lorsque le cas considéré correspond a un point ~e la zone hachurée, il est nécessaire d'en tenir compte dans l'évaluation ~es fonctions d'impédance.

'.0 v,

D

CJ Pas

O.'

d'influence

IZZZIlnfluence notable

o

D/_

o

Figure 7

Importance de la stratification sur la réponse d'une fondation

5.3. l''I'''''?:'noe a'une fOndation de forme quelconque Quelques résultats existent relatifS a des fondations de forme rectangulaire ou a ~es semelles fîlantes. COs résultats montrent que le concept de fondation circulaire équivalente con~uît a une valeur approchée de l' impé~ance dynamique tout-a-fait acceptable dans la pratique. Ce concept pourra être étendu, en l'absence de résultats spécifiques, a des fondations de forme quelconque régulière. Pour les modes de translation, la fondation équivalente est définie COmmP. la fondation circulaire ayant même aire que la fondation réelle 1 pour les modes de rotation, la fondation équivalente a le même moment d'inertie autour de l'axe de rotation considéré. Ainsi, pour une fondation rectangulaire de coté zr. (suivant Ox) et 2B (suivant Oy), le rayon de la fondation Circulaire équivalente est:

- mode de translation;

- modp. de balancement autour de Ox:

220

B

1'f<

r 0-

[ 4

r

[ ", rr 1

0

-

rr

L

B

3

L

~/"

- mode de

autour de Oy:

ha~ancement

- mode de torsion:

"'r'

r0-

[ ,"

r 0-

['" , "

16 L

, ,

L (B +L )

(

L'impédance dynamique de la fondation peut alors étre éva~uée a partir des résu~tats donnés pour la fondation circu~aire dans la même configuration.

5 .4. Tmp6ot!ance d'une fondation enterrée Peu de mass.1fs de fondation, et encore moins d'ouvrages importants, sont directement fondés a la surface du sol. La plupart sont plus ou moins partiellement enfoncés dans le sol de fondation, Le développement des méthodes numériques par éléments finis a permis d'obtenir l'impédance dynamique de telles fondations, circulaires ou filantes. Des méthodes analytiques approchées ont été appliquées au cas des fondations rectangulaires.

Raideur statique

Mode

de vibration 4 G ro

Vertical

1

[1

"

ro + 1.28

[H 8 G

Horizontal

ro

--,- "

( l

+

0.5

Balancement

ro

---3 (l-v)

0.85 -

0.28

1[

fi

1

+

0.67

·t'oraion

,

16

G

" '[

ro

ro

ro

ro

1

], OIRDI" 1[

0

1

+

1.25

1[

1 + 0.5

1 + 2.67

0

ro

ro

fi

1

0

0

ro [1+0.17

0

0

ro

,

8 G

(

1 [H O.,

H

0

1

[ 1

+ 0.7

" 1

1

----~-~--'---~--

--

Tableau III • RaideUr statique d'une fondation cylindrique enterrée dans une couche de Bol surmontant une assise rigide

221

La plupart de ces solutions supposent que la

et le sol au contact restent parfaitement liés pendant la vibration. En pratique, il peut y avoir glissement si les contraintes de cisaillement sur les faces latérales sont trop élevées, ou décollement si des contraintes de traction se développent a l'interface. De tels phéllOlllènes sont plus ou moins prépondérants suivant le mode de vibration ou la nature du sol de fondation. YOSHIMI et al ( l.977) ont indiqué que les sols argil.eux ou sil.teux sont l.es pl.us sensibl.es a ces phénomènes. Ceux-ci peuvent d' aill.eurs expliquer les écarts souvent importants notée entre les mouvements calcul.és et observés pour les massifs enterrés. fond~tion

par rapport a la fondation superficiel.l.e, l'enfoncement se traduit par une augptntation de la raideur statique, en part.iculier pour les modes de rotation, pax: un ACcroissement de l'amortissement radiatif et par une augmentation sensible du couplage balancement - translation horizontale. La vari.ation avec la fréqUence de l'impédance dynamique est en général différente de celle de la fondatl.on superficielle, cependant, en prem.1ère approximation, ELSABEE-MOHAAY (1977) ont proposé de retenir la même variation, que la fondation soit enterrée ou non, et ont suggéré les valeurs de raideur statique données dans le tableau III.

L'état. actuel des connaissance en matière de vibration de massifs de fondation est suffisilllmBnt développé pour permettre d'évaluer de façon rigoureuse leurs l'IIC:lUVe.nents vibratoires, De nombreux résultats concernant les impédances dynamiques de fondations superficielles, ou enterréeS, de formes diverses, ont été publiés et. peuvent être utilisés pour la plupart des applications pratiques. Pour les applicat.ions plus complexes des méthodes numériques ou analytiques ont été développées, La méthode des impédances dynamiques est suffisamment s1lllple pour être préférée

a tout.e autre méthode plus ancienne, mathématique,

souvont sans fondement physique ou

cependant, il ne faut pas oublier que la validité des résultats obtenus pour l'évaluation du mouvement d'une fondation dépend, essentiellement, de la bonne CQnnaissance et de la prise en compte correcte des caractéristiques du problème 1 stratigraphie et caracteristiques mécaniques des sols, schématisation de la fondation ". Une méconnai.ssance, ou une connaissance imparfaite, de ces paramètres est souvent responsable des écarte mentionnés entre mouvements calculés et mouvements observés,

222

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224

Chapitre VII INTERACTION SOL-STRUCTURE

On entend généralement, impropl:ement,!par .interaction Bol-structure l'étude du comportement d'une structure soumise a une sollicitation Sismiquel Littéralement.fl' .interaction Bol-structure traduit la mocUfication du mouvement du sol

(ou de la structure) lors d'un séisme du fait de la présenCE!! de l'autre composant {structure ou sall/cette interaction eat bien entendu plus ou moins importante suivant la nature du SOli les caractéristiques de l'ouvrage et son mode de fondation. Pour certains ouvrages, fondés superficiellement, elle peut etre pratiquement négligeable. Pax contre, la nécessité d'étudier la réponse sismique

(l'un ouvrage, en ne le considérant pas isolément mais comme partie intégrante d'un ensemble comprenant le sol et les structures avoisinantes, rend les analyses (l'interaction sol-structure impérieuses pour une part grandissante d'ouvrages importants 1 barrages, centrales nucléaires, r4servoirs de gaz naturel liquéfié (GNL) ."

De nombreux aspects nécessitent une étude approfondie pour résoudre complètement un probl.ème d'interaction sol-structure, Ce sont 1 la définition de l'aléa sismique et du mouvement résultant, l'étude du comportement du sol sous chargement cycl.ique, l'évaluation de la r4ponse du sol en champ libre, et celle des structures sous chargement dynamique. Mis a part ce dernier aspect, les autres ont fait l.'objet des chapitres;pr4cédents. L'analyse dynamique das structures ne sera pas abordé; on pourra Be reporter utilement a CLOUGH-PeNZ!EN [l975J,

L'abondance de la littérature concernant l'interaction sol-structure traduit a la fois la complexité du phénomène et l'intérêt qu 'y ont porté nombre de cherchf!llrs. Deux synthèses générales ont entrepris .me classification des méthodes d'étude de l'interaction sol-structure [LYSMER, 1978 ; IDRISS-}(ENNEDY, 1980J, ces publications mettent en évidence le fait que l'étude des phenomènes

225

d'interaction est essentiellement limitée au cas des probl~mes linéaires. L'approche de problèmes purement non linéaires reste l'except.ion.

une analyse complète d'interaction

~oit

prendre en compte:

la variation des caractéristiques du sol avec la profondeur le comportement non linéaire du sol le caractère tridimensionnel du problème le schéma complexe de propagation des ondes qui engendrent le mouvement l'interaction avec les structures avoisinantes. En l'état actuel des connaissances, des simplifications doivent ètre effectuées pour penœttre le traitement du problème 1 elles concernent la schématisation du sol de fondation, la nature des ondes 1ncidentelil (ondelil planelil, de cilila.i.llement, de compression, ondes de Rayleigh) •••• Avant d'e~1ner les différentes méthodes de prise en compte de l'interaction sol-structure, il est utile de formuler de façon générale le problème. cette formulation est orientée vers un traitement par éléments finis du phénomène d'interaction. En effet, la complexité du problème est telle que le recours aux méthodes numériques est pratiquement inévitable. On essaiera cependant dans la suite du chapitre d'indiquer les étapes suscept1l>les d'un traitement analytique ou celles permettant le recours a des solutions existantes. Les équations du mouvement sont obtenues par référence a la figure la qui schématise un ensemble sol-structure .

•

~

Nœuds eharg's

," "f+Ui

0 Nœuds fix'_

, -a-?

0-

,

Q,

. "'

.."' .

~

Q,

Q, ~

Problème d'Interaction

Figure 1

226

+

=

Response en champ libre

+

Inter~etion

sol-strueture

Théorème de superposition pour l'interaction sol-structure

Désignant par [Ml, [Cl, [Kl les matrices de masse, amortissement et raideur du système, l'équation du mouvement s'écrit,

(Ml lu) ... [Cl (û) ...

[K]

lu}

~

{Qf}

(')

comme la source du mouvement (foyer du séisme) n'est généralement pas incluse dans le modèle, le vecteur de charge {Qf} n'a de valeurs non nulles que sur la frontière extérieure du modèle, En l'absence de structure, l'équation du mouvement du champ libre est analogue de par sa forme a l'équation (1) 1 les indices f désignant les matrices masse, amortissement et raideur relative au seul champ libre, cette équation s'écrit;

-

(2)

on l'a noté au chapitre V, l ~équation (2) ne peut être résolue qu'en faisant certaines hypothèses sur la nature et la direction de propagation du champ .incident. Corm\e

posant ,

P) ,

l'équation (3) définit le déplacement d'interaction CUi) qui satisfait l'équation ,

-

( ')

.~c

Le vecteur de charge {Qi} est déterminé a partir des déplacements en champ libre,

Pour les systèmes linéaires, on a alors le théorème de superposition illustré sur la figure 1 [LYSMER, 1978J , le problème d'interaction est décomposé en lit Gomme d'un p'roblème de réponse du sol en champ libre (équation 2) et d' un probll':me source (équation 4) où les forces appliquées (Qi) n'ont de composantes non nulles qu'aux noeuds communs a la structure et au sol. ce dernier problème est, par essence, analogue à un problème de vibration de machine, Le déplacement total pour le problème d'interaction est alors donné par l'équation (3). L'équation (5) met clairement en évidence le fait qu'il Y a interaction dès qu'il Y a différence de masse ou de raideur entre le sol et la structure. SupprimonS pour

227

simplifi~r le terme d'amortissement dans cette équation et restreignons le problème à celui d'une structure posée à la surface du sol et soumise à la propagation verticale d'ondes de volume (cisaillement. ou compression), Dana ces condit.ions, en champ libre, tous les points de la surface du sol sont an1l1'lés d'un même lUouvement. Si la fondation de l'ouvrage est infiniment rigide, le dernier terme de l'équation (5) s'annule J le vecteur de charge {Qi) se réduit à •

[ (Ml

-

[H

f

J

(G)

Les forces {Qi} appliquées à la base de la structure engendrent un mouvement du support, équivalent a un champ de forces d'inertie dans la structure (voir équation de l'oscillateur simple au chapitre r), par suite, l'interaction ne résulte que des forces d'inertie développées dans cette structure. On lui donne le nom d'Interaction Inertielle, A l'opposé, considérons une structure enterrée dont la masse est nulle hors du sol et égale (en valeur et répartition) a. celle du sol pour la partie en terre. Les forces {Qi} ont alors pour expression 1

(7)

Elles ne résult.ent que de la différence de raideur pour la partie en terre, entre le sol et la etructuœ. Même sans différence de masse, il y a interaction J on lui donne le nom d'Interaction cinématique. Elle résulte de la raideur de la fondation qui l'empêche de suivœ les mouvements ilnposés par le sol. On a vu précédenment qu'elle était rigoureusement nulls pour certains cas 1 ell.e peut ètœ faible dans d'autres cas ( fondations sur pieux souples) ou très ilnportante (structure raide fortement contœventée enfoncée dans le sol), Dans le cas le plus général, l'interaction résulte d'une interaction inertielle et d'une interaction cinématique. La figure 1 et les raisonnements précédents illustrent 1es deux grandes méthodes d'approche de l'interaction sol-structure, La figure 1a correspond aux méthodes globa1es dont la solution est Obtenue par résolution directe de l'équation (i) '.

Elles ne font intervenir aucune notion de superposition et sont donc théoriquement adaptées aux problèmes non linéaires, Alternativement, les méthodes de sous-structures s'appuient sur la décomposition de la figure lll-lc, ou sur des déCOlllpOsitions analogues. pour résoudre le problème par étapes. Ces méthodes ne sont bien entendu applicables qu'aux problèmes linéaires, justifiables de superposition.

228

On peut distinguer 1es méthodes g1oba1es, 1es méthodes de sous-structures, et 1es méthodes hybrides. Chacune ~'elles correspond à une schématisation du modèle sol-structure.

3.1 Méthodes glaba1es

LeS méthodes globales sont celles conduisant a une détermination simultanée dU mouvement dans 1e sol et dans la structure. Le problème a résoudra est celui défini par l'équation (1), La. mise en oeuvre pratique de telles solutions est illustrée sur la figure 2. Elles nécessitent la déconvolution en champ libre du mouvement de contrOle défini à la surface ~u solI rappelons en effet (voir chapitre V) que ce dernier do:l.t étre impérativement défini à une surface libre. Le mouvement calculé a la base du modèle est ~sé a la base du système sol-structure.

acc. du ...té.unCB

MODELE CHAMP LIBRE

Figure 2

00<

libre

lS 1'f-=,,;

.pectre ace. ba •• d. st.uctu ••

MODELE SOL-STRUCTURE

Représentation schématique d'un calcul interaction sol·structure. méthode globale

229

En théorie, les méthodes globales peuvent être étendues aux cas tridimensionnels et sont susceptibles d'appréhender les comportements non linéaires dus a la loi de comportement d'un des matériaux (sol le plus souvent) ou aux interfaces solstructure (décollement ou glissement d'ouvrages sur leur fondation), En pratique, le coot de résolution de problèmeS tridimensionnels est nettement prohibitif et on doit se restreindre aux problèmes bidimensionnels. Certains artifices, sur lesquels nous reviendrons au paragraphe 4, permettent de simuler de façon approxilnative l'effet tridimensionnel de radiation des ondes. Il faut cependant garder a l'esprit que, si les méthodes globales sont généralement cooteuses du point de vue ordinateur, elles requièrent souvent moins de temps humain que d'autres méthodes approchèes exigeant une grande réflexion. Ce temps de réflexion représente également un coot non négligeable [WIGHT, 1977J.

+ Un des avantages principaux des méthodes globales est leur capacité a prendre en compte les hétérogénéités résultant soit des variations de faciès, soit des variations des caractéristiques de sol provenant de non linéarités plus prononcées dans certaines zones (angle des racU.ers .... ). Par ailleurs, l'expérience montre qu'elles sont généralement mieux adaptées et plus faciles de mise en oeuvre pour l'étude d'ouvrages enterres. Un des prograJmnes de calcul les plus utilisés dans la pratique pour résoudre les problèmes d'interaction SOl-structure par une méthode globale est le programme FLUSH [LYSMER et al, 1975]. Ce programme incorpore une loi de comportement du type v1scoélastique linéaire équivalent pour le sol, avec résolution dans le doma.:ine fréquence. Un processus :itératif permet, en outre, d'ajuster les caractéristiques du sol avec le niveau moyen de déformation ioouit par la sollicitation. Par ailleurs, ce progranane dispose de frontières absorbantes permettant licites peuvent être obtenues. L'onde considérée se propage dans un monocouche et est engendrée par une force harmonique agissant, en surface, dans une direction perpendiculaire au plan de propagation. La figure 9 reproduit leurs résultats en présentant, en fonction de la fréquence d'excitation normée à la fréquence propre Vs/4H de la couche de sol, les amplitudes des ondes incidentes et réfléchies correspondantes au mode fondamental. Ces amplitudes ont été normées à l'amplitude de la solution exacte, On constate que, en dessous de la fréquence fondamentale de la couche, toutes les frontières fonctionnent correctement. Ce résultat u'est pas surprenant dans la mesure oü l'on a noté au chapitre VI que pour ces fréquences l'amortissement radiatif est pratiquement nul 1 il n 'y a pas propagation des ondes a l' infini, Audelà de cette fréquence, les résultats se détériorent en passant des frontières consistantes aux frontières locales et élémentaires. Le résultat obtenu pour les frontières consistantes est parfait. 4.3,3.5 Frontière inférieure du modèle Il n'existe pas de frontières consistantes représentant l'effet du semi-espace sousjacent au modèle, aussi, la frontière inférieure du modèle est-elle supposée rigide. En la choisissClJlt suffisamment profonde (une largeur de structure environ), les phénomènes de réflexion sur cette frontière deviennent négligeables, En effet, le champ d . ondes réfléchies par la structure est essentiellement constitué d'ondes de surface dont l'atténuation avec la profondeur est rapide, On peut d'ailleurs bénéficier de cetle propriété pour avoir une frontj~r~ inf.érieure mobile, avec un maillage variable, située à 'autant plus profondément que les fréquences étudiées sont faibles. En effet, les faibles fréquences s'atté-

244

2

,_ Frontièr.

fi".

/3 = 0,05

2-Frontl ••• lib ••

L/H.. 5

,

3-Frontiè•• Smilh 4.Lyame._ Kuhleme_

2

5-Lyame._ Wa ••

,

, , •

(a'

o

o

,

,

2

FREQUENCe ADIMENSIONNELLE

,

4f H/V.

1.Frontll... f .... 2.F.ontièr. lib ••

3.Frontlère Smith

4.Lya ... er_Kuhlemeyer

5.Lvame._ Waas

, q.

(b'

o

o

,

l'

FREQUENCE

Figure 8

,

2 ADIMENSIONNElLE

et H/V.

Amplitude normalisée du mode fondamental lai Onde incidente IblOnde réfléchie

245

nuent plus lentement mais requièrent des maillages plus grossiers pout" assurer une transmission correcte de l'onde (paragraphe 4.2.2).

--

-4.3.4 Effet - - -

-tridimensionnel - - - - - - -

En raison du COQt des calculs tridimensionnels par éléments finis. une méthode approchée permettant de prendre en compte l'effet tridimensionnel dans le sol a été proposée par HW7.NG et al [1975], Cette méthode consiste a attacher a chaque noeud du mail,lage de sol une frontière absorbante locale, du type LYSMERXUHLEMEYER (amortisseur). Cea amortisseurs, dont les caractéristiques dépendent: des propriétéS du sol en champ libre, développent des forces de frottements proportionnelles a la différence des vitesses, en ce point, entre le champ libre et le modèle, ces frontières. dites visqueuses, s1lllulent la propagation des ondes de cisail.lement dans la direction perpendicul.a.1re au plan du modèle. De cette façon, l'effet radiatif tridimensionnel des ondes est représenté de façon approchée. Ceci est particulièrement important pour l'étude de l'interaction entre bat1Jnents oa, en l'absence de telles frontières, les ondes peuvent rester piégées dans le modèle par réflexions successives sur lea structures, les réponses de cea dernières sont alors amplifiées Bans que cela corresponde à une réalité physique.

4.4 SChéma d'1ntégn.tion numérique Comme on l'a vu au chapitre V. il est possible de choisir un schéma d'intégration

dans le domaine temps, dans le domaine fréquence ou, s'agissant d'analyse de structures, de procéder à une analyse modale.

Cette méthode ne sera pas développée en détails, On pourra se reporter a CLOUGHPENZrEN {1975]. Le principe de la méthode consiste à décomposer le mouvement du système suivant ses modes propres de v1bration. Pour les systèmes non amortis, on bénéficie de la propriété d'orthogonalité des modes propres qui permet d'obtenir le découplage des équations du mouvement associées à chaque degré de liberté. LeS équations se réduisent donc à un ensemble d'équations régissant le mouvement d'oscillateurs s1lllples à un degré de liberté. L'amortissement est introduit sous forme d'un pourcentage d'amortissement critique. La grosse difficulté de la méthode est l'1lIIpossibilité de relier ce pourcentage d'amortissement critique à l'amortissement matériel en un point quelconque du système. De plus, l'amortissement matériel peut ètre très différent entre la structure et le sol et la valeur a introduire, pour un mode donné, doit tenit" compte d'une certaine pondération entre l'énergie de déformation du sol et celle de la structure dans ce

mode. Cette dernière difficulté n'est pas contournée en analysant séparément le sol et la structure par la méthode des sous~structures. En effet, lea impédances de aol dépendent de la fréquence et, réciproquement, les fréquences propres de vibration de la structure sont fonction de la valeur de l'1lIIpédance, On ne peut donc procéder que par itération.

246

En conclusion, l'analyse modale est mal adaptée d'interaction sol~structure.

a

l'étude des prohlèmes

C'est la seule méthode permettant de prendre en compte des non-lim~arités soit de comportement Boit de conditions aux limites (décollement, glissement ... ). Elle n'est cependant pas bien adaptée a l'étude de l'interaction sol-structure. On a vu en effet que les impédances de sol, intervenant dans une méthode de résolution par sous-structure, ou les frontières absorbantes, intervenant dans une méthode de résolution globale ou dans la résolution du problème de diffraction des méthodes de sous-structures. ont des caractéristiques dépendantes de la fréquence. LeS frontières absorbantes, de type locale, peuvent cependant permettre d'ohtenir des solutions acceptables, quoiqu'approchées, par les méthodes globales. Les algorithmes d'intégration possibles sont nombreux j certains ont été expoSéS au chapitre V. On citera plus particulièrement l'algorithme de Newmark (NEWMARK, 1959], le a-Wilson (BATRE-WILSON, 1973] ou l'algorithme de l'inertie cubique (ARGYRIS et al, 1973]. Indépendamment des problèmes de précision et de convergence, liés au choix du pas de temps, une difficulté des méthodes d'intégration directe réside dans la formation de la matrice d'amortissement. cette difficulté n'existe pas si le comportement du matériau, en l'occurence If'!! l'loI, est modéliSé à l'aide d'une loi de CQlllPOrtement appropriée (type élastoplastique) : l'amortissement est alors inclus dans la formulation. Par contre, si l'on désire faire dépendre la rigidité du sol du niveau de déformation, tout en introduisant des propriétés dissipatives, il convient d'exprimer la matrice d'amortissement de chaque élément comme une combinaison linéaire des matrices de masse et de raideur de l'élément [IDRISS et al, 1973) ,

(C]

...

a

(M]

+

{3 [K]

(28)

on obtient ainsi un amortissement de Rayleigh qui présente une dépendance sur la fréquence 1 cette dépendance est en contradiction avec les données expérimêntales pour les sols (chapitre II). On peut cependant choisir judicieusement les paramètres a et (3 de façon a atténuer cette dépendance sur la plage des fréquences intéressantes.

Il ressort des discussions précédentes que cette méthode est la mieux adaptée a l'étude de l'interaction sol-structure, que ce soit par les méthodes globales ou par les méthodes de sous-structure. Le principe de la méthode a été détaillé au chapitre V. Elle n'eat applicable qu'aux systèmes linéaires mais l'utilisation d'un modèle de sol viscoélastique linéaire équivalent, associé a un schéma itératif, pennet de prendre en compte, de façon approchée mais satisfaisante, les propriétés non linéaires et dissipatives du sol, L'amortissement matériel est en particulier pris en compte en formant les matrices de rigidité a partir des modules complmœs ; il est. dans ce cas indépendant de la fréquence.

247

compte tenu du nombre de degrés de liberté (> 1000) incorporé dans 1es ana1yses d'interaction sol-structure, il est impossib1e de résoudre le problème pour chaque fréquence de la décomposition en séries de Fourier de la sollicitation, les temps de calcul deviendraient prohibitifs, Dans la pratique, le problème est résolu pour quelques fréquences (20 a 30) judicieusement choisies et les réSultats sont interpolés, pour les autres fœquences, avant recomposition des solutions élémentaires. Le schéma d'interpolation tient compte des caractéristiques des fonctions de transfert de l'oscillateur simple a l ou 2 degrés de liberté (LYSMER et al, 1975 1 LYSMER et al, 1981], En particulier, l'inverse de la fonction de transfert de l'oscillateur simple a 1 degré de 1iberté est une fonction linéaire de la fréquence, compte tenu de ces remarques, les méthodes d'intégration dans le domaine fréquence Bont particulièrement bien adaptées et compétitives du point de vue numérique pour la œsolution des problèmes d'interaction sol-structure •

•1-

I~ ,

Frontière conslstanta

•

,. , ,

•

•

,

300

z

o

•

~

,

"

,. Figure 9

Maillage d'éléments finis IHumbolt Bay'

248

•

')

1

1 1 1 1 1

- 'N

•

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•

••

',_.,

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rf...

J,

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...

'p

FREQUENCE -HiI-

"

E!9ure 10 Comparaison des spectres de réponse il 5 % il la base

de "ouvrage

5. EXEMPLE DE CALCUL D' nr:l'ERi'.CTIotf SOI.-S'l'RDC'l.

La présentation, au paragraphe 4, des différentes méthodes de prise en compte de

l'interaction sol-structure montre que, d'un point de vue théorique, elles doivent toutes conduire a des résultats identiques, Jusqu'a, une date récente, la

méthode des sous-structures dans sa foeme la plus simple (fondation superficielle, impédance constante avec la fréquence) a reçu le plus d'attention. Avec l'apparition des méthodes globales par éléments finis, une contreverse a pris naissance tendant a discréditer la méthode simplifiée des sous- structures. S' 'lI eat exact que les deux approches ne conduisaient pas toujour:s à des résultats sell'lblables, il faut plutot en rechercher la cause dans une application inadaptée, ou marne erronée, plutot que dans une déficience théorique de l'une ou l'aulre

249

méthode. Il est actuellement universellement admis que, correctement appliquées avec la rigueur nécessairé, les deux métho