Dynamique Des Fluides RéelsM1-Cours

 

´ Dynamique des Fluides Reels eels ´ ´ ´ M1 Mathematiques ematiques et applications applications : specialit ecialit´ e Mecanique ecanique

´ Ebauche de cours ..... en train d’´elaboration/completion elaboration/completion

Adil  Ridha

 

i  Copyright   c  2008 Unive Universit´ rsit´e de Cae Caen n - D´epartem epar tement ent de Math´ematiqu emat iques es et M´ecaniqu ecan ique, e, Tous droi dr oits ts r´eser es erv´ v´es. es .



Avertissement Le conten contenue ue de ce document est inspir´ e d’un cours enseign enseign´´e `a l’Unive l’Universit´ rsit´e de Caen en Licence Lice nce de M´ecanique ecan ique (20 (2002– 02–200 2003), 3), de Mast Master er 1 Math´ Ma th´ematiques emat iques et app applica licatio tions ns : sp´ecialit´ ecia lit´e M´ecanique, ecanique, et de divers manuels et ouvrages dont : (1) P. Germain & P. Muller, Introduction Muller,  Introduction `a la m´ecanique ecanique des milieux continus , Mass Masson on (2) R. Comolet,  Comolet,   M´ ecan ique ecaniq ue exp exp´´erimen eri menta tale le de dess fluid fl uides  es , Masson. ´  ements ´ ` (3) P. Chassaing, M´ Chassaing,  M´ecaniqu ecan iquee des de s Fluid Fl uides, es,  El´ eme nts d’un premie premierr parc parcours  ours , CEPADU ES– ´ EDITIONS (4) Inge L. Ryhming,  Dynamique des fluides , Presse Polytechniques et Universitaire Romandes. (5) A. Dyment, Introduction Dyment,  Introduction a` la m´ecanique ecaniq ue des d es fluid fluides  es , Cours Co urs de m´ecanique ecan ique des fluide fl uides, s, Universit´e des sciences et techniques techniqu es de LILLE. L ILLE. (6) G. Duvaut, M´ Duvaut,  M´ ecaniq ue des mil ecanique milieux ieux continu continus  s , Masson. (7) A. R. Paterson, A Paterson,  A first cours in fluid dynamics , Cambridge university press. (8) Gebick Bar-Meir, Fundamentals Bar-Meir, Fundamentals of Compres Compressible sible Fluid Mec Mechanics  hanics , The Protto Project ´ ` EDITIONS ´ (9) P. Chassaing, Turbulence Chassaing,  Turbulence en m´ecanique ecanique des fluides  fluides    , CEPADU ES–

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` TABLE DES MATIERES Chapitre 1.   Introduction   ´ ´ ´ eneralit eralites es 1.1.   Gen   1.2.   Liq Liquide uide et et Gaz   1.3. Forces ext´erieures erieures   1.4. Tenseur de contraintes contraintes et la notion de viscosit´ e 1.5.. Sta 1.5 Statiq tique ue des flui fluides des   1.6. 1. 6. So Somm mmai aire re  

1 1 2 4 11 13 20

 

´matique des Fluides   Cinematique e

Chapitre 2. sse et 2.1. Vite Vitesse et Trajectoi Trajectoire re de Par Particu ticule le 2.2.. La d´eriv´ 2.2 eriv´ee ee mat´ ma t´erielle eriel le (ou ( ou parti p articula culaire) ire)

 

23 28

 

Chapitre 3.   Conser Conserv vation de La Masse   ´ 3.1.   Equa Equatio tion n de conti continuit´ nuit´e   3.2. Fonction de courant pour un ´ecoulement ecoulement bidimensionnel

31 31 33

 

´ eformation des Fluides. Vor Vorticit ticit´ e Chapitre 4.   Deforma 4.1.. In 4.1 Introd troduct uction ion   4.2.. Ch 4.2 Champ amp ve vect ctori oriel el ω  

 

41 41 47

 −→

´ Chapitre 5.   Equations du mouvement 5.1. Forme fondam fondamen entale tale 5.2. Contrain Contraintes tes et taux de d´ d´eformation eformation   ´ 5.3. Equations de Navier-Stokes 5.4. Discussion des equations e´quations de Navier-Stoke Navier-Stokess ´ ulement Chapitre 6.   Eco Ecoule mentss id´ i d´eaux eau x 6.1. L’´equation equation d’Euler 6.2. L’´equation equation du vecteur vecteur tourbillon 6.3. Le th´eor` eor`eme eme de circulatio ci rculation n de Kelvin K elvin 6.4.. Th´eor` 6.4 eor`eme eme de Bernoul Bern oulli li

 

51 51 53 56 57

         

61 61 61 63 64

       

´ Chapitre 7.   Equation de Bernoulli et Perte de Charge 7.1. L’´equation equation de Bernoulli et la perte de charge     ´ 7.2. la conservation d’´energie energie   7.3.. Equation 7.3 L’´equatio equa tion nded’´ ener energie gie   ´ 7.4.   Equation de Bernoull Bernoullii : ´equation equation de l’´energie energie   UFR des Sciences

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73 73 74 76 77

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` TABLE DES MATI ERES  ´ Chapitre 8.   Ecoulement potentiel   8.1. G´en´ en´era er alit it´´es es     ´ 8.2. Ecoulements plans irrotationnels d’un fluide incompressible ´ oule 8.3.   Ec Ecou leme ments nts ´el´ el´ement ementai aire ress   8.4.. Forc 8.4 orcee et et Mome Moment nt  

´ ´ Chapitre 9.   Ecoulement des Fluides Reels eels 9.1.. In 9.1 Introd troduct uction ion   ´ 9.2.   Ecoulemen Ecoulements ts unidirectionnels     ´ 9.3. Ecoulement `a faible vitesse ou faible nombre de Reynolds 9.4. Lubri Lubrificati fication on Hydr Hydrodynami odynamique que   9.5. Exp´ erience de Reynolds erience   Chapitre 10.   Anal Analyse yse Dimensionnelle Dimensionnelle et Similitude 10.1. Pr´eambule eambule   10.2. Analy Analyse se dime dimension nsionnelle nelle   10.3 10 .3.. Th´eor` eor`eme eme de Vaschy–B Vas chy–Bucki ucking ngha ham m ou th´ t h´eor` eor`eme eme des  π 10.4. Param Param``etres etres sans dimensions   10.5. Similitude et th´ th´eorie eorie des maquettes maquettes

 

 

12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5.

93 93 94 105 108 112

 

 

115 115 115 117 120 120

   

Chapitre Chapit re 11. 11. Cou Couch ches es limi limite tess   11.1. 11. 1. In Introd troduct uction ion     ´ 11.2. Equations de la couche limite – th´eorie eorie de Prandtl (1904) (19 04) 11.3. D´eveloppement eveloppement de la couche couche limite   11.4. L’´epaisseur epaisseur de la couche limite   11.5. Solutions approch´ees ees     ´ 11.6. Equatio Equation n int´egrale egrale de von K´arm´ arm´an an   Chapit Cha pitre re 12. In Introdu troducti ction on a` la turbulence

79 79 83 85 90

127 127 127 130 135 137 138

 

 

1 Pr´eambule eambulecaract´   Quelques car act´eristiques eristiques d’´ecoulements ecoulements turbulents t urbulents Mouvement Mouve ment moyen moyen et fluctuations en ´ecoulement ecoulement incompressible Equations Equat ions de mouvemen mouvementt et le tenseur tenseur de contrain contraintes tes de Reynolds Reynolds Hypoth` Hypo th`eses eses pour p our les ´ecoulements ecoulements turbulents t urbulents  

145    

145 148 150 151 155

´ Chapitre 13.   Ecoulements compressibles   165 13.1. 13. 1. In Introd troduct uction ion   165 13.2. L’´equation equation d’´energie energie et le premier p remier et deuxi`eme eme princip p rincipee de la thermodyn ther modynamique amique 165 13.3. Onde Ondess sonors sonors : propag propagation ation des des petites petites perturbati perturbations ons de press pression ion   166 13.4. Onde de choc choc en 1D : l’exemple l’exemple d’un d’un piston en mouv mouvemen ementt   172 13.5. 13 .5. On Onde de de choc   174   ´ 13.6. Ecoulement unidimensionnel isentropique   177 13. 7. R´esum´ 13.7. esum´e de d e relat r elation ionss d’´ d ’´ecouleme ecou lements nts isentr isentropi opiques ques : Th´eor` eor`emes emes de Hug Hugoni oniot ot   185 Annexe A. Formules et Identit´ Identit´es es Vecorielles Vecorielles   187 D´epar arttement de M´ecan aniique

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Dynamiques des fluides r´eels

 

v  Annexe B.

Th´eor` eor`eme eme de transpor tran sportt de Reynolds Reynold s

 

Annexe C. Tenseur de contraintes, equations e´quations de mouvement mouvement ( 3.1.. Co 3.1 Coordo ordonn´ nn´ees ees cart´esiennes esien nes (x,y,z  (x,y,z ) avec (u,v,w (u,v,w)) Tenseur de contraintes   ´ Equations de Navier–Stokes   ´ Equation de la conservation de la masse 3.2. Coordon´ees ees cylindriques (r,θ,x (r,θ,x)) avec (v (vr , vθ , vx ) Tensur des contraintes   ´ Equation de la conervation de masse ´ Equation de Navier–Stokes   3.3.. Co 3.3 Coordo ordon´ n´ees ees sph´eriques eriqu es (r,ϕ,θ (r,ϕ,θ)) avec (v (vr , vϕ , vθ ) Tenseur de contraintes   ´ Equation de la conservation de la masse ´ Equation de Navier–Stokes   ´ Annexe D.   Equation Equatio n de la conservation d’´energie energie

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∇ · v  = 0)  

           

 

191 191 191 191 191 192 192 192 192 193 193 194 194 195

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CHAPITRE ITRE 1 CHAP

Introduction ´ ´ ´ 1.1.   Gen eneralit eralites es

Un fluide est un mili milieu eu mat´ m at´eriel eriel conti continu nu qui se qui  se d´eforme   sous l’action de efor me continue cont inuell lem lement  ent  sous la moindre force de cisaillement. Ce pourquoi on dit que le fluide s’´ecoule. ecoule. Un fluide prend la forme du r´ecipien ecipientt av avec ec les parois duque duquell il est en con contact tact.. Le mot fluide est synonyme synonyme de substan substance ce dont les ´el´ el´ements ements se mettent en mouvement avec une lib libert´ ert´e totale (fluides id´eaux, eaux, dits non visqueux) ou une liber libert´ t´e restreinte (fluides r´eels, eels, dits visqueux). En M´ecanique ecan iquess des d es Fluide Fl uidess (des ( des liqui l iquides des ou des d es gaz) g az) on consid` co nsid`ere ere l’´ l ’´ecouleme ecou lement nt des de s fluides flu ides du point du vue macroscopique  vue  macroscopique , c’est-`a-dire a-dire du point du vue de milieux continus. Dans ce cadre, cadr e, bien qu’u qu’un n ´el´ el´ement ement du fluid fluidee soi soitt comp compos´ os´e d’u d’un n tr`es es gra grand nd nombr nombree de mol´ecules, ecul es, c’est aux au x pro propr pri´ i´et´ et´es es moyen moyennes nes de cet ´el´ el´ement eme nt ma macro crosco scopiq piques ues que l’o l’on n s’i s’int´ nt´eress ere sse. e. Par une Par  une particule de fluide  on   on entend dire un ´el´ el´ement ement de fluid fluidee qui est infin infinit´ it´esimal esim al au sens math´ematique, ematique, c’est-`a-dire a-d ire assi assimil´ mil´ee ee a` un point en analogie avec la notion de point mat´eriel eriel en m´ecanique ecanique rationn rationnelle. elle. Ainsi on admet qu’une particul particulee de fluide fl uide a les mˆemes emes propri´ propr i´et´ et´es es en tous ses point points. s. Nous nous limit limitons ons dans ce qui suit aux fluide fluidess  isotropes , c’est-` a-dire aux fluide dont les a-dire l es propri´ pr opri´et´ et´es es sont inv i nvariables ariables dans toutes les direction directions. s. Vu par un physici physicien, en, la M´ecanique ecanique des Fluides constitue une branche de physique physique.. En revanche, pour un math´ematicien ematicien il s’agit d’une branche de math´ematiques ematiques appliqu´ees. ees. Par ailleurs, vue les soucis d’applications d’ing´enierie, enierie, l’ing´enieur enieur la voit comme une science qui s’appuie, en grande partie, sur l’exp´ erience. En effet, la science de la m´ecanique erience. ecanique des fluides est un ensemble constitu´e de tous ces composantes car La Science est un ensem ensemble ble ordonn´e et syst´ematique ematique de connaiss connaissances ances ´etablies etablies par l’anal l’analyse yse th´eorique, eorique, l’observation ` vrai dire et l’e l’exp´ xp´erienc eri ence. e.   A l’´etude etude de La M´ecanique ecanique des Fluides ne peut ˆetre etre effectu´ee ee en profond profondeur eur qu’avec une ma maˆˆıtrise consid´erable erable de math´ematiques. ematiques. En M´ecanique ecanique des Fluides l’observation l’observation,, l’exp´erience erience et la math´ematiques ematiques sont aussi bien ins´eparables eparables comme une cellule vivante et l’eau. On appel la branche de M´ecanique, ecanique, ou Math´ematiques ematiques appliq appliqu´ u´ees ees qui traite les lois du  mouvementt des mouvemen d es fluides La M´ecanique ecanique des Fluides . Dans le cas o`u le “fluide” signifie “liquide” (il s’a s’agit git en g´en´ en´erale eral e de d e l’eau l ’eau), ), la M´ecanique ecan ique des Flui Fluides des devi devient ent la M´ecanique ecan ique des liqu liquides ides,, 1 ou l’h ’hyd ydrom´ rom´ecani eca niqu que  e ; en dynamique il s’agit alors de l’hydrodynamique . Lorsq Lorsque ue “fluide” “fluide” veut dire d ire “gaz”, on app appel el la M´ecanique ecanique des Fluides l’A´erom´ erom´ecanique; ecanique; en dynamique on parle 2 alors alo rs de d e l’A´ l’ A´erodyna ero dynamiqu miquee .

1hyd˜  or  2

  = = eau +  dynamikos  (force)   (force) a˜er   = air +dynamikos  (force)

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Introduction

En Hydrodynamique on cherc cherche he d’´etablir etablir des relations analytiques et th´eoriques eoriques entre 3 less ´el´ le el´emen em ents ts ci cin´ n´emat em atiq ique uess du mouvement, mo uvement, en l’occu l’occurrence rrence l’´ecoulement, ecoulement, et les forces qui qu i les 4 produisent et maintienne maintiennent. nt. L’Hydraulique est l’hydrodynamique dont le but est l’´etude etude des lois de mouvement des liquides dans les tubes, les tuyauteries, les canaux, les coudes, et dans d ans d’autres apparei appareils ls d’ing´enierie. enierie. L’A´ L’ A´erom´ ero m´ecani eca nique que se di divis visee en A´erosta ero statiq tique, ue, A´erodyn ero dynam amiqu iquee Th´eoriqu eor ique, e, A´erodyn ero dynam amiqu iquee Exp´erimental erim ental et la M´ecanique ecan ique de Vol. En biom´ecanique, ecanique, la m´ecanique ecanique des fluides traite l’´ecoulement ecoulement du sang dans les veines et dans le coeur, co eur, elle traite aussi l’´ecoulement ecoulement de l’air dans l’appareil respiratoire. D’autres exemples de la m´ecaniques ecaniques des fluides sont fournis fo urnis par la pr´ p r´ediction ediction climatiqu climatiquee et le champ mag magn´ n´etique. etiq ue.

1.2.   Liquide et Gaz Lorsqu’un Lorsqu ’un sol solide ide es estt sou soumis mis a` une force il subi une   d´efor ef orma mati tion  on . On dit dit que que cett cettee d´eforma efo rmati tion on est  ´ela el ast stiq ique  ue  si  si elle dispara disparaˆˆıt av avec ec la disparition de la force et plastique  et  plastique  dans   dans le cas contraire o` u elle persiste.

Force normale

Force de cisaillement

Figure 1.1.  Forces normale et forces de cisaillement.

Par contre un fluide r´eel, eel, c’est-`a-dire a-dire visqueux, se d´eforme eforme continuellement d´es es qu’il est soumis `a la moindre force de cisaillement; cisa illement; on dit d it alors a lors que le fluide s’´ecoule ecoule tout en r´esistant esistant `a la d´eformation eformation.. Par une force de cisai cisaillem llemen entt on en entend tend dire une force tangentiel tangentielle le `a la surface de l’´el´ el´ement ement fluide qui prov provoque oque un mouveme mouvemen n des couche couchess voisines de fluide l’une par rapport aux autres. On appelle  appelle   fluide parfait  tout   tout fluide (non–visqueux  (non–visqueux  )   ) qui n’offre aucune r´esistance esistance aux forces de cisaillement. Un liquide  Un  liquide  est   est un fluide pesant  fluide  pesant  dont   dont la masse volumique varie peu avec la pression ainsi qu’avec qu’av ec la temp´ erature et est usuellemen erature usuellementt suppos´ee ee inv invariable. ariable. Par contre, la masse volumique d’un gaz varie beaucoup b eaucoup avec la pression et la temp´erature, erature, et est suffisamment petite p etite pour po ur qu’o qu’on n puis puisse, se, en g´en´ en´eral, eral , n´egliger egli ger les effets dˆus us a` la pesanteur; un  un   gaz  remplit   remplit tout le 3ki kin˜ n˜emat em atos  os  4hyd˜  or  =  =

 = mouvement eau +  aulos (tube)

D´epar arttement de M´ecan aniique

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Dynamiques des fluides r´eels

 

1.2  Liquide   Liquide et Gaz

 

3 

volume du r´ecipient ecipient qui le contien contient. t. Les gaz se distinguent de liquides par leur propri´et´ et´e d’expansion  d’ expansion . On dit alors alors que les liquid liquides es sont sont `a   compres comp ressi sibi bili lit´ t´e   e   tr`es es faible ou sont fortement incompressible  ment  incompressible ; c’est pourquoi on dit que les liquides sont des fluides  incompressibles . Contrairement aux liquides, la compressib compressibilit´ ilit´e des gaz est tr`es es ´elev´ elev´ee ee et on parle alors des fluides compressible  fluides  compressible .

1.2.1. Volum 1.2.1. olume e de con contrˆ trˆ ole.   En Thermodynamique on fait recours `a la notion du ole. syst`eme eme thermo thermodynamiqu dynamiquee comme une r´egion egion de l’espace d´elimit´ elimit´ee ee par une surface, dite sureface sure face de s´eparati epar ation on qui pe peut ut ˆetre etre mat´erielle eriel le (r´eelle) eelle ) ou ima imagin ginaire aire.. Le syst`eme eme est constit st itu´ u´ee ee de dess ´el´ el´emen em ents ts ma mat´ t´erie er iels ls ´etud et udi´ i´es es su subi biss au a u chan ch ange geme ment nt d’ d’´´etat et at pr provo ovoqu qu´´e pa p ar des des ´echan ech ange gess de masse, ou de chaleur et/ou de travail `a travers la surface su rface de s´eparation. eparati on. En revanche, pour p our analyser ana lyser le mou mouvement vement de fluid fluidee on iso isole le dan danss la pen pens´ s´ee ee une r´egion egio n (mat´erielle) eriel le) g´eom´ eom´etrique etri que et arbitr arbitraire aire   V  V ((t), app appel´ el´e volum volumee de contrˆole, ole, d´elimit´ elim it´ee ee par une surf surface ace mat´erielle erie lle   S (t) perm´eable eable aux particul particules es fluides;   V  V ((t) et et   S (t) peuvent ˆetre etre fixes, mobiles et d´eformables eformabl es dans da ns l’´ecoul eco uleme ement. nt. y S 

V  n dS  y x Figure Figu re 1.2.   Volume de contrˆ ole   V  ole  V    d´elimit´ elim it´e par une surf surface ace de contr contrˆole  ˆole   S ,

n  est le normal normalee ext´erieur erieur `a  S   S ..

1.2.2. Masse Volumique, Volume Sp´ ecifique, Compressi ecifique, Compressibilit´ bilit´ e.   Soit   D   un doe. maine occup´e par un milieu fluide et et   P    D   un point quelconque du milieu; soit  soit   δM  δM    la masse ma sse d’ d’un un ´el´ el´ement eme nt infi infini nit´ t´esima esi mall du volu volume me   δV  δV    ce cent ntr´ r´e en   P  P  et  et enferm´e par la surface   δS . Alors, il existe `a chaque instant t instant  t  une fonction scalaire ρ scalaire  ρ((P, t) continˆ ume nt d´erivabl ument eri vablee :

 ∈

(P, t)

−→ ρ(P, t) =

δM   , δV  →0 δV  δM →0 lim li m

 

kg/m3

(1.1)

appel´ appel´ ee la mas ee masse se volu olumiq mique ue du mil milieu ieu.. Dan Danss le cas de de deux ux flui fluide dess non non-mi -misc scibl ibles es (di (ditt immiscibl immis cibles), es), bien que   ρ   soit discontinue `a la surf surface ace de s´eparation eparation de deux fluide fluidess (qui UFR des Sciences

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Introduction

est une un e surface surfa ce de discontinuit´e), e), elle el le est continˆument ument d´erivable erivab le sur chaqu chaquee cˆot´ ot´e d’ d’une une tel telle le surfa sur face. ce. On d´efinit efin it de la mˆeme eme ma mani` ni`ere ere le vol volume ume sp´ecifiqu eci fiquee   v   : (P, t)

v (P, t) = lim δV  → δM  →00

−→

δV 

,

 

m3 /kg kg..

 

(1.2)

δM 

La comp compress ressibi ibilit´ lit´e d’u d’un n fluid fl uidee est es t d´efinie efini e par p ar κ  =

    − 1 v

∂v ∂p

=

T 

 1 ρ

∂ρ ∂p

m2 /N 

 

(1.3)

T 

o`u  T  et p  sont respective respectivement ment la temp´ erature (K) et la pression thermodynamique (Nm −2 ). erature  T    et  p sont Confo Con form´ rm´ement eme nt `a cette d´efinition, efinitio n, on dit que l’´ecoulement ecoulement est   incompressible   incompressible   si la masse volumiq vol umique ue de ch chaque aque particule fluide rest restee (pre (presque sque)) const constant ante, e, et qu’i qu’ill est est   compressible  dans le cas contraire.

1.3. Force orcess ext´ erie ures erieures Toute particule ou domaine fluide est soumis `a deux types de forces ext´ erieures, forces erieures, ou actions a` distance et actions de contact.

1.3.1. Forces ` a distance dis tance ou forces fo rces de champ.   Il s’agit s ’agit des forces f orces qui se s e d´ecroissent ecroissent lentement avec la l a distance entre les ´el´ el´ements ements en interaction et dont l’effet est appr´eciable eciable pour les distances caract´ eristiques de l’´ecoulement eristiques ecoulement du fluide. Ces forces sont produises par des ch champs amps natur naturelle elless comm comme, e, par exe exemple mple,, le ch champ amp de la pesan pesanteur teur (force par unit unit´´e de volume, ρ volume,  ρg) ou o u les le s champs cha mps ´electrom elect romagn´ agn´etiques. etiq ues. Les for forces ces fictives fi ctives ind induite uitess par p ar des d es r´ef´ ef´erentiels erenti els en acc´ a cc´el´ el´eration erat ion tell tellee que la force f orce de centrifu ce ntrifuge ge sont s ont aussi a ussi clas class´ s´ees ees par parmis mis les force f orcess `a distance. Ces forces sont prop proportion ortionnelles nelles aux ´el´ el´ements ements de volume ou de masse et agissent de la mˆeme eme mani`ere ere sur toutes les particul particules es fluides d’un petit ´el´ el´ement ement de volume. On appel appelle le toutes ces forces forces forces  forces de volume (ou volumique)   ou ou force  force de masse (ou massique). massique) . En ´ecrivant ecrivant des equation mouvement, on d´esigne ecentr´ signe e en en´ en´ erale erale la dont forceletotale l’instance l’instance t  t s’exer¸  s’exer¸ cant´equations cant surr un ´el´ su esl´ement ede me nt de vol volume ume  δ  δV  V    et e n g´ en un po point int P   P  dont vecteur`a position est  est  x  par

−→f  (  (x, t)ρδV  ρδV ;;

(1.4)

−→

densit´ it´e du d u fluide fl uide et f  (  (x, t) est la force massique. La force de la pesanteur par unit´e ρ  est la dens de mas masses ses s’´ecrit ecri t f    = g f    (1.5)

−→

o`u  g  est l’a l’acc´ cc´el´ el´eration erat ion due la pe pesanteu santeur. r. Quantt aux forc Quan forces es fictiv fictives, es, elle elless en entren trentt en jeu quand le mouv mouveme ement nt est analys analys´´e par rapport `a un r´ef´ ef´erentiel erentiel uniform uniformement ement acc´el´ el´er´ er´e, e, les “forces d’inerti d’inertie” e” telles que la force 1 2 de Coriolis (2 (2vrelative   ω ) ou la force de centrifuge ( 2 ω r) sont des forces fictives;     ω   est

∧

−

le vecteur vec teur dulogie rep` eet re dan par srapport `a un ef´erentiel ef´ eeanique el gal galil´ il´een. ei´ en. force forc e de eCori Corioli s est import imp ortant ant rotation en m´et´ et´eorolog eoro ieere dans la circu circulat lation ion r´ oc´ erenti ani que ´etudi´ etud ee enLadyna ee dynamiqu mique des olis fluides fluid es g´eophy eo physi siqu ques es.. D´epar arttement de M´ecan aniique

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Dynamiques des fluides r´eels

 

1.3 Forces ext´erieures

5  

ω  

r dV 

ρω 2r dV  ρg dV 

Figure 1.3.  Forces de pesanteur et de centrifuge s’exer¸cant cant su surr un ´el´ el´ement ement

de volume dV  dV ..

1.3.2. Forces de con 1.3.2. contact tact..   Il s’agit des forces d’orig d’origine ine mol´eculaire eculaire qui se d´ecroissent ecroissent extrˆemement emement rapidement avec la l a distance entre les ´el´ el´ements ements en interaction de sort qu’elles n’entrent n’entre nt en jeu que sur une distance du mˆeme eme ordre de grandeur que la distance s´eparant eparant les mol´ecules ecules de fluide. Ces forces ne se font apparaˆıtre ıtre que lors de de contact  contact direct  entre   entre les ´el´ el´ements ements et ne s’exe s’exercent rcent que sur la  surface de contact . La force force de pressio pression n   p   (contrainte normale `a la surface) ou la force de cisaillement (contrainte de cisaillement agissant parall` al l`elem el ement ent a` la surface) sont des exemples de forces de contact et sont exprim exprim´´ees ees en fonction de leur densit´e surfaciqu surfacique. e. Pour comprendre comment ces forces agissent sur un fluide, on consid` ere un domaine ere D  d  d´´elimi eli mit´ t´ee ee pa parr la sur surfa face ce ∂   ∂ D , voir la figure 1.4 figure  1.4.. Les particules fluides `a l’ex l’ext´ t´erieures erie ures de   D  exercent des actions sur les particules `a l’ l’int´ int´erieur eri eur de de ∂   ∂ D  D . Quand on note que l’orientation de toute partie de la surface ∂  surface  ∂ D  epend de sa position, on se rende compte assez vite qu’il epend D  d´ est inutile de chercher une expression pour les forces de contact en fonction de leur effet total tot al sur un ´el´ el´ement ement fluid fluidee a` volume finit. Il sera plustˆot ot judicieux de focaliser l’attention   D 

  D 

sur ´el´ el´ement eme nt  D  de1   sur surfa face ce plane   plane  A  A  intercept´ee eecontac par let domain domaine e maintena ;   A  divise sousun domaines et   D  s’exprime s’ex prime main tenant ntalors comme en la deux forcee forc 2 . La force totale de contact exerc´ee ee par le fluide en   D 2  sur le fluide en   D 1   `a tr traver averss un ´el´ el´ement ement   δA δA,, de la surface plane A, vu de D 1 , et cent centr´ r´e en P( x , t); la force totale est proportionnelle `a l’l’ai aire re de ce cett ´el´ el´ement ement δA et δA  et `a la valeur de force de contact par unit´e de surface a` l’instance  l’instance   t, Σ (n, x, t), soit :

−→

 −→

−→Σ (n, x, t)  δ δA, A,

 

(1.6)

o`u  n  est le vecteur unitair unitairee normale no rmale ext´erieure erieure `a   δA δA.. On appelle contrainte  appelle  contrainte  locale   locale la force de contact Σ . Compte tenu du troisi`eme eme principe de Newton, N ewton, le princip pr incipee d’action d ’action et r´eaction, eaction, la force exerc´ee ee par le fluide en   D 1  sur le fluide en   D 2   a` travers δ travers  δA A  (vu maintenant de   D 2 ) est

 −→

−→Σ (n, x, t)  δ δA. A. Cette force est aussi ´egale egale `a

UFR des Sciences

− −→Σ (−n, x, t)  δ δAA 2008–2009

   

(1.7a) (1.7b) Universit´e de Caen

 

Introduction

∪ D  ∂ D  D   =  ∂ D  D  ∪ ∂ D  D  D   = D 1

2

1

∂ D  D2 

2

D 2

n

face-2

A

P  δA

face-1

→ −→Σ ∧ −δA

−n

∂ D  D1  D 1

Figure 1.4.   Esquisse pou pourr les d´efinitions efinition s de contraintes co ntraintes `a tr trave avers rs un ´el´ el´emen ementt

de surface, dS  dS .

 −→

ce qui implique que Σ  est une fonction impaire , c’est `a dire :

−→ − −→ Σ (n, x, t)  δ  δA A  = Σ (−n, x, t)  δ  δA. A.

 

(1.7c)

  −→

1.3.3. Repr´ esentation de Σ   par le ten esentation tenseu seurr de con contra train intes tes..   Pour Pour met mettre tre en ´eviden evi dence ce com comment ment Σ d´epend epe nd de l’ori l’ orientati entation on de n, on con consi sid` d`ere ere ma maint intena enant nt un pe peti titt ´el´ el´ement eme nt

−→

de fluide sous 1.5. la .for forme merapport d’un t´etra` etra` edre base edre aux arˆ etes orth etes orthogo ogonal nales es a`  son sommet P  com sommet P   c omme me mo montr ntr´´e surflui la de figure figure 1.5 Par `a une orthonorm´ orthon orm´ ee directe ee B ( e1 , e2 , e3 ), le vecteur unitaire tai re norma no rmale le ext´erieure, erie ure, l’a l’aire ire et la force fo rce de conta c ontact ct asso as soci´ ci´es es `a chac chacun unee des fac faces es du t´etra` etr a`edre edr e

−→ −→ −→

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

1.3 Forces ext´erieures

7  

−→ e 3

C  n

P   

δA2

δA3

A

 →  −

 e 1

δA1 B

→  −  e  

2 

Figure 1.5.   Un ´ el´ement el´ ement de flui fluide de de volum volumee t´etra` etra`edre edre aux tro trois is face facess orth orthogo ogonal nales. es.

sont don donn´ n´es es par : Face AB C BP C CP A AP B

Aire nomale δA δ A1  = e1 nδ A δ A2  = e2 nδ A δ A3  = e3 nδ A

−→ · −→ · −→ ·

ext´erieure Force de contact n Σ ( n)δA e1 Σ ( e1 )δA 1 e2 Σ ( e2 )δA 2 e3 Σ ( e3 )δA 3

 

−→ − −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→

  −−→   −−→   −−→  −→ → au premier ordre d’approximation, o` u Σ (−− e ) d´esigne esigne la contrain contrainte te locale s’exer¸cant cant sur i

l’´el´ el´ement ement de su surf rfac acee  δ  δA Ai . Selon le princip principee fondam fondamentale entale de la dynamiqu dynamique, e, l’´equation equation de mouvement de l’´el´ el´ement ement t´etra et ra``edre ed re es estt do donn nn´´ee ee pa parr :

× acc´el´eration × δV  δV  =  = forces volumiques × δV  −→ −→ → −→ → −→ → + Σ (n)δA + Σ (−− e )δA  + Σ (−− e )δA  + Σ (−− e )δA → En remp rempla¸ la¸cant  cant   δA   par par δ  δA A− e  · n, et puis en divisant par δ par  δA A, on obtient : −→ −→ → −→ → −→ → → → →   0 =   0 + Σ (n) + Σ (−− e )− e  · n + Σ (−− e )− e  · n + Σ (−− e )− e  · n quand (δV/δA (δV/δA)) → 0.  −→ → −→ → Ensuite, en utilisant Σ (−− e ) = − Σ (− e ) on obtient le vecteur −→Σ (n) = −→Σ (−→ −→ → −→ → → → → e )− e  · n + Σ (− e )− e  · n + Σ (− e )− e  · n   (1.8a) den enssit it´´e

1

i

1

2

2

3

3

i

1

i

1

2

2

3

3

i

1

1

2

2

3

3

dont l’i l’i`eme composante dans la base   B  est   es t do donn´ nn´ee ee pa parr Σi (n) = Σi ( e1 )n1  + Σ i ( e2 )n2  + Σ i ( e3 )n3  = Σi ( e j )n j

o`u  n j  est la j la  j `eme

−→ −→ −→ →n   dans la base   B . composante de −

UFR des Sciences

2008–2009

−→

 

(1.8b)

Universit´e de Caen

 

Introduction

 −→  −→

Notons a` ce stade que les vecteurs n   et Σ ne d´ependent ependent en aucune mani`ere ere du choix de la base   B , qui est arbitraire. Il vient alors que l’expression

−→

Σi ( e j ) rep epr´ r´esen es ente te l’´el´ el ´emen em entt (i, j ) dans   B , d’une grandeur d’une  grandeur objective , cestcest-``a-dire, a-d ire, ind´ependa epe ndante nte du choi hoix x de base. base. Aut Autre remen mentt dit dit,, Σi ( e j ) est un ´el´ el´ement ement d’un tenseur d’ordre 2, disons disons   σij , d´efini efi ni pa parr : Σi ( n ) = Σi ( e j )n j   = σij n j .   (1.9) R´esum esumon onss :   σij  est la i la  i`eme composante de la force de contact par unit´e de surface s’exer¸cant cant `a travers un ´el´ el´ement ement de surface plane normal normalee a` la direction e j , et asso associ´ ci´ee ee a` l’instant  l’instant   t, `a

−→ −→

−→

 −→

 −→ −→

−→ −→

la position x  dans le milieu fluide. On appelle  tenseur de contraintes  le   le tenseur σ   auquel appartient σ appartient  σ ij . La force d F  F    exerc´ee ee par le flui fluide de sur un ´el´ el´ement ement pla plan n de surf surface ace d’un d’unee front fronti` i`ere ere sol solide ide , d S  ,   , et e t ori orient´ ent´e par la nor normal malee ext´erieure erie ure   n  est auss aussii don donn´ n´ee ee par

−→

−→ −→ −→ −→ dF   =  = σ  σ n dS   = σ →  · entre −→  ·un tenseur et un vec o`u ·  d´esigne esigne le produit − scalaire vecteur. teur. d F  F    = σ d S  S    = σ ndS    ou

i

ij  j

ij dS   j

1.3. 4. Pro 1.3.4. Propri´ pri´ et´ et´ es de tens es tenseur eur de contr contraintes aintes.. 1.3.4.1.   Sym´etrie etrie du tenseur de contr contrainte. ainte. Soit V  Soit  V    un petit p etit volume de fluide flui de centr´e en  en   O  et d´elimi eli mit´ t´e pa parr la su surfa rface ce S   S .. Les forces de surface dues au fluide `a l’ex l ’ext´ t´erieur eri euree de de V   V  s’exercent  s’exercent un moment sur le fluide `a l’ l’int´ int´erieur eri eur de V    : V  r dF ,

 

  ∧ S 

   la force de contact appliqu´ee o`u   r  est le vecteur position relativement `a   O, et dF  F   ee sur un ´el´ el´ement ement de su surf rfac acee dS ; cette force s’´ecrit ecrit comme dF  F      = σ ndS  et l’expression l’ expression de moment mo ment de forces ext´erieures erieures `a  V   V    devient

−→  ·

  ∧   ∧ −→−→ ·    ∇ ·  ∧ −→−→ ·       = dF  F  

r

S 

r

σ n dS.

S 

L’appl L’a pplicat ication ion du th´eor` eor`eme eme de converg convergence ence a` cette expression conduit `a r

σ n

dV 

V 

`eme

dont l’i l’i

composante compo sante est donn´ee ee par V 

∂  (εijk x j σkl ) dV  ∂xl

o`u nous avons po pos´ s´e r  = (x1 , x2 , x3 ). Maintenant, si on utilise le symbole de Kronecker, ∂x j = δ  jl , δ  jl   = 1 si   j   = l, δ  jl   = 0 sinon, ∂xl D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

1.3 Forces ext´erieures on obtient

9  

   εijk

V 

∂σkl σkj  + x j ∂xl



dV.

 

(1.10)

Analysons cet Analysons cette te expr expressi ession on quand dV  d V    0.   A ` cette fin soit   σ   l’ordre de grandeur des ´el´ el´ements ements du tenseur de contraintes et   δ  δ    le rayon moyen de   V  V    par rapport a`   O. Alo lors rs,, 3 3 V    O(δ  ), c’est `a dire   V  V    est d’ordre   δ  . Le premie premierr ter terme me dans l’expre l’expressi ssion on (1.10 1.10)) est d’ordre

 →

 ∼

σδ 3 tandis que le deuxi`eme eme est d’ordre (σ/ ∆x)δ 4 . σ/∆ Dans ce cette tte ex expre pressi ssion on ∆x   repr´ esente la distance sur laquelle   σij   subit un ch esente changem angemen entt appr´ app r´eciable, ecia ble, par exemp exemple le de z´ero ero `a  σ  σ.. D’o` u εijk

   V  V 

∂σkl σkj  + x j ∂xl

∂σkl ijk kj ijk  j dV  V    = V  V  ε σ dV  + V  V  ε x ∂x l dV 

            O(δ 3 )

O(δ 4)

Si on ´ecrit ecrit maintenant l’ l’ii`eme comp composa osante nte de l’´equatio equa tion n de mome moment nt po pour ur l’´el´ el´ement ement   V  V ,, on obtient :

    V 

[r

    

∧ (d (den enssit it´´e × acc cc´´el´ el ´era er ation)]  d  dV  V  = i



4

O(δ  )

[r

V 

∧ (forces volumiques)]  d dV V  + i



 

4

O(δ  )

             εijk σkj dV  +

V 

εijk

V 

O(δ 3 )

∂σkl dV  ∂xl

O(δ 4 )

Par la suite, on d´eduit eduit en divisant cette ´equation equatio n par par   δ 3 que le premier, deuxi`eme eme et quatri`eme eme term termes es tend tendent ent vers z´ero ero quan quand d  δ  0 ce qui impose que

→

εijk σkj   = σ jk

−σ

kj   =

00,,

quel que soi quelque soitt l’´el´ el´ement ement de volum volumee   V  V .. On vien vientt ainsi de d´emontrer emontrer que le tens tenseur eur de contraintes est sym´etrique, etrique, et n’a que six comp composantes osantes ind´ependantes. ependa ntes. Les tro trois is com composan posante tess dia diagon gonale aless de   σij   sont sont des des   contraintes contraintes normales  normales    dont ch chaque aque ´el´ el´ement ement constitue co nstitue la compo composante sante normal normalee de force de contacte co ntacte agissant a gissant `a tr trave avers rs un ´el´ el´emen ementt plan de surface parall`ele ele `a un pl plan an du sy syst` st`eme eme r´ef´ ef´erent erentie iel.l. Les six ´el´ el´ements ements non dia diagon gonaux aux de de   σij  sont des contraintes des  contraintes de cisaillement  induites   induites par un mouvement de d e cisaillement cisa illement ou par un d´eplacement eplacement relatif des couches parall` p arall`eles eles de milieu mi lieu continue. UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

Introduction

1.3.4.2.  Le tenseur de contraintes dans un fluide au repos.  On sait que tout tenseur σ tenseur  σ jk poss`ede ede des axes principa principaux ux de sym´etrie etrie dans lesquels il s’´ecrit ecrit sous la forme ′   0 σ11

0

′



0   σ22   0′ 0 0   σ33



et que la somme des ´el´ el´ements ements diagon diagonaux aux de tout tenseur est invariante (ind´ (i nd´ependante ependa nte de la base relatif a` laquelle l aquelle il est exprim´ exp rim´ee), ee), soit : ′ ′ ′ σii′  =  = σ  σ11  + σ22  + σ33   = σ11  + σ22  + σ33  =  = σ  σii

Pour d´egager egag er certa c ertaines ines pro propri´ pri´et´ et´es es du tens tenseur eur de contr contraintes aintes,, il est comm commod odee de d e le l e d´ecompo ecom poser ser en un tenseur isotrope et un tenseur dit d´ dit  d´evia ev iate teur  ur  : : 1  1 ′ σii   0 0 σ11 σii   0 0 3 3   1  1 ′ et 0 σii   0 0   σ22 σii   0 3 3   1  1 ′ 0 0 0 0   σ33 3 σii 3 σii

      

tenseur isotrope

          −  

−

−



tenseu ten seurr d´eviat evi ateur eur

−

   

Ainsi le tenseur de contraintes s’exprime sous la forme :  1 ′ σ11 σii   0 0 3 1 0 0 1  1 ′ σii 0 1 0 + (1.11) 0   σ22 σii   0 3 3 0 0 1  1 ′ 0 0   σ33 σii 3 On sait que tout milieu solide supporte `a la fois des forces de compression et de traction (tension), mais il supporte mieux les premi` eres que les deuxi` eres emes. En rev emes. revanche, anche, un fluide supporte facilemen facilementt les forces de compression mais supporte supp orte tr`es es mal les force de traction mˆeme eme pour des liquides sous des conditi conditions ons exp´erimentales erimentales soigneu soigneusement sement pr´epar´ epar´ees ees ;   un   fluide se disper disperse se en g´en´ en´erale erale sous l’action de la moindr moindree for force ce de tract traction  ion . En g´en´ en´erale, erale, le signe du terme isotrop isotropee   σii  est n´egatif egatif et par cons´equent equent il s’agit d’ d’une  une  pression uniforme , en tout point P  point  P ,, dans toutes les directions. En ce qui qu i concerne le tenseur d´eviateur, eviateur, le deuxi`eme eme terme dans (1.11 1.11), ), il est imp´erative erat ive qu’il soit constitu´e `a la fois des ´el´ el´ements ements aux signes n´egatif egatif et positif car la somme des ´el´ el´ements ements diago diagonaux naux est nulle compte tenu de la d´ecomposition ecomp osition du tenseur de contraintes. Pour fixer les id´ees ees on con consid´ sid´ere ere mai maintena ntenant nt un pe petit tit ´el´ el´ement ement sph´erique eriqu e d’un flui fluide de au repos. Premi` ere constat : en tout ´evidence ere evidence un tel ´el´ el´ement ement peut supporter une pression uniforme comme celle fournit par la composante isotrope du tenseur de contraintes, et peut en cons´equence equen ce ˆetre etre comp comprim´ rim´e tou toutt en gar gardant dant une form formee sph´erique. eriqu e. Deu Deuxi` xi`eme eme : po pour ur un fluide au repos, rep os, la compos co mposante ante d´eviateur eviateur s’exercerait s’ exercerait au moins mo ins une contrainte contrai nte de compression

−

−

  

dans une direction et au moins une contrainte de traction (tension) dans une autre direction car la somm sommee des ´el´ el´ements ements dia diagon gonaux aux est nulle nulle.. Cons´equence equen ce : un ´el´ el´ement ement flui fluide de ne peu peutt pas r´esister esis ter `a de telles contrain contraintes tes et doit subir par cons´ equent une d´eformation equent eformation ce qui D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

1.4 Tenseur de contraintes et la notion de viscosit´e

11

transfo rme la sph`ere transforme ere en un ellipso¨ıde ıde : autrement dit l’´el´ el´ement ement se mettrait en mouvement ce qui est en contradictio contradiction n avec avec le fait que le fluide est repos. Conc Conclusio lusion n : la composan composante te d´eviateur evia teur de contr contrainte aintess  doit  s’annuler   s’annuler pour tout fluide au repos.

Conclusions : (a) Pour un fluide au repos le tenseur de contraintes se r´eduit eduit `a σij   =  pδ ij ij

−

ou

−→ −→I −→σ   = − p−→ −→ −→ tenseur o`u  p  est la pression de fluide et I   un tens eur un unit´ it´e. e.

 

(1.12)

(b) La comp composante osante d´eviateur eviateur de tenseur de contraintes d´epend epend de mouvement et li´e `a la visc viscosit osit´´e de fluide et aux forc forces es de cisai cisailleme llement nt.. Ces forces s’ann s’annulen ulentt pour un fluide au repos. Quand on o n se rappelle rapp elle qu’en Thermodynamique l’´etat etat d’un fluide `a l’´equil equ ilibr ibree est d´efini efin i pa parr une rela relatio tion n app appel´ el´ee ´ ee  ´equa eq uati tion on d’´etat  et at ,, ´ecrite ecr ite en g´en´ en´erale, era le, so sous us la fo forme rme : f (( p, ρ, T  f  T )) = 0.

 

(1.13)

on se rende compte que p que p pe  peut ut ˆetre etr e con c onsid´ sid´er´ er´ee ee com comme me un unee varia var iabl blee “sta “ statiq tique” ue” car caract´ act´eristi eri stique que de l’´etat etat du flui fluide. de. Lorsque le fluide est visqueux et en mouvement, le tenseur de contraintes prend la forme suivante :

−→ −→σ

=

−

tenseur de contraintes

 pression

↑

ou

σij

↑

tenseur de contraintes

  p

−→ −→I   +

−

  p

(1.14a)

de contraintes tenseur visqueuses

↑

=

−→ −→τ  ↑

δ ij ij  +

↑

 pression

 

τ ij ij

↑

.

 

(1.14b)

tenseur de contraintes visqueuses

1.4. Tenseur de contrain contraintes tes et la notion de viscosit´ e En fluide, fl uide, les contraintes contra intes d´ependent ependent de la vitesse de la d´eformation eformati on et de ce qu’on app appelle elle la vi visco scosi sit´ t´e  e . Isaac Newton sugg´era era une exp´erience erience pour mesurer la r´esistance esistance de fluide au mouvement. Dans l’exp´erience erience on consid`ere ere l’´ecoulement ecoulement visqueux dans l’espacem l’espacement ent entre deux plaques planes de grandes envergures, parall`eles eles et s´epar´ epar´ees ees par une petit petitee distance   δ  commee montr´ comm m ontr´e sur s ur la figu figure re 1.6  1.6.. Une plaque est fixe et l’autre mobile dans son propre plane UFR des Sciences

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Introduction

`a une vitesse constante  constante   U x. On observe observe pour p our des nombreaux nombreaux fluides, fluides, tel que l’air et l’eau, que la vitesse entre les deux plaques varie lin´eairement eairement de z´ero ero `a  U   U  d’une  d’une plaque `a l’autre : y vx (y ) = U    (1.15) δ 



y

plaque mobile  

U x  

δ 

F x

vx (y ) = (y/δ )U 

O x

plaque fixe ´ Figure 1.6.   Ecoulement de cisaillement simple. L’exp´erience erience de Newton sugg´era era que la force   F x   n´ec´ ec´essaire essa ire po pour ur mai maintenir ntenir la pla plaque que mobile en mouveme mouvement nt (ici, la plaque sup´erieure) erieure) est directemen directementt proportionnelle a` la vitesse relative ainsi qu’`a l’aire  l’aire   A  de la plaque, et inversement proportionnelle `a la distance  distance   δ   : F x   =  µ A



U  . δ 

 

(1.16a)

On appelle  appelle   viscosit´ viscos it´e dyn d ynam amiqu ique  e  le  le coefficient de prop proportion ortionalit´ alit´e   µ  ; la viscosit´e dynamiqu dynamiquee estt un es unee pr prop opri´ ri´et´ et´e du flu fluid idee et d´epen ep end d en g´en´ en´eral eral de la te temp´ mp´erat er atur ure. e. La force qui s’exerce sur la plaque inf´erieure erieure par le fluide est

 F x A

et sur la plaque sup´erieure erieure

= µ

plaque y plaque  y =0

 F x A



U  ∂v x  = µ   =  τ xy xy δ  ∂y

=

plaque y plaque  y =δ

  −µ ∂v∂y   . x

 

 

(1.16b)

(1.16c)

L’un L’ unit´ it´e de  µ  dans le syst` eme SI est le Pascal.se eme Pascal.seconde conde (Pa.s), soit : 1 Pa.s = N/m2 .s = kg.m/s2 .1/m2 .s = kg/ kg/(m. (m.s) s) C’est pourquoi on appelle fluide appelle  fluide Newtonien  tout   tout fluide qui se d´eforme eforme de cette mani`ere. ere. Il existe des fluide existe fluidess dont le comport comportemen ementt est diff diff´´erent erent et peuv peuven ent, t, par exe exemple mple,, support supporter er une contrainte de cisaillement   τ 0   avant avant de se mettre en mouveme mouvement nt tels que les mati`eres eres plas pl astiq tiques ues et les flui fluides des d´enom´ eno m´es fluides es  fluides de Bingham . Pou Pourr le premier catogorie catogorie la variati ariation on D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

1.5 Statique des fluides

13  

des contrain contraintes tes de cisaillement est non-lin´eaire eaire avec les gradients de vitesse tandi que pour p our le deux deuxi` i`eme eme elle est lin´eaire eair e et d´ecrite ecrit e par : ∂v x τ xy  + µ  µ   .   (1.17) xy   =  τ 0  + ∂y On appelle fluide appelle  fluide non Newtonien  toute  to ute mat mati` i`ere ere flui fluide de qui n’o n’ob´ b´eissent eiss ent pas a` la loi de Newton, tels que des miels, des hui huiles les lourdes, des boues, b oues, des solut solutions ions de polym polym``ere, ere, ainsi que les poudres comme les sels ou les sables. τ 

  u  e   q     i    t   s    l  a    P

  m   h a  g    n   B  i

 e  q  u  q      i  i  t  s  o p  p  l a  a  d o  u  e   P s

 e n   i e  n  o   t  e  w  N  d e   i d    u u   l   F

 t  t a n    a a   l   D  i Fluide parfait τ  parfait  τ    = 0

dvx dy

Figure 1.7.  Comportement de la contrainte de cisaillement pour des fluides

Newtoniens et non-Newtoniens.

1.5. Stati Statique que des fluides fluides 1.5.1. 1.5. Pression Press hydrost hy drostatiq etes force volum .-`a-dire, utilise terme   hydrostatique   po1.  pour ur d´ ecrir eion ecrire l a m´ la ecan ecanique iqueatique des ue fluides fluid en ´equilib equivolumique libre re : ique. c’est-` c’est a  On -dire, pourrled´ecrire pou eterme  crire la statique des fluides. Le principe fondamental de la dynamique nous renseigne que le mouvement d’un milieu mat´eriel eriel contenue dans un volume volume V   V ,, et soumie s oumie aux forces ext´erieures erieures Σ F  ,   , ob ob´´eit ei t au deuxi`eme eme princip principee de Newton :

−→

masse

× ac acc´ c´el´ el´eratio era tion n = Som S omme me des fo force rcess ext´erieur eri eures es

  par Soi t un fluid Soit fluidee de d e densi d ensit´ t´e ρ  ρ,, contenu dans V  dans  V ,, en mouvement `a la vitesse  U    par rapport `a un r´ef´ ef´erent er entie iell ga galilil´ l´een. een. Al Alor orss :   dU  ρ  d  dV  V    = Σ F    (1.18a) dt V  Au cas d’´equilibre equilibre statique par rapp rapport ort au r´ef´ ef´erentiel, erentiel, la vitesse de toute particul particulee est es t nulle, conduisant ainsi a` 0 = Σ F    (1.18b)

 

−→

−→

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Introduction

n

S  f       o    r     c    e     d      e       p    r     e     s     s     i      o    n   

dS 

       S      

V 

−  

  p          n    d     S     

force fo rce de gr gravi avit´ t´e

 

ρgdV 

V 

Figure 1.8.  U  Un n ´el´ el´ement eme nt du flu fluide ide au rep repos os..

En g´en´eral,

−→

Σ F  F    = Forc orces es de sur surfac facee + Forc orces es vo volum lumiqu iques es + Forc orces es fict fictiv ives es

(1.18c (1. 18c))

et puisque le fluide est au repos relativement `a un rep`ere ere galil´een, een, il n’est assujetti en fait qu’aux forces suivantes :

   −

force de pression :

S (

np)d np)dS, S,   force surfacique

ρg dV,

force de pesanteur :

 

force volumique

V 

dont la r´esultante esultante est nulle :

  −

( np) np) dS  +  +

S 

soit :

 

ρ g dV 

 

=   0

(1.18d)

=   0

(1.18e)

=   0

(1.18f )

V 

  −∇

 p +  p  + ρ g )d )dV  V 

(

 

V 

d’o` u:

 p + ρ g

 

 

−∇

car V  car  V    est arbitraire. D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

1.5 Statique des fluides

15  

  p  exerc´ee Selon (1.18d (1.18d), ), la force de pression  F  ee par un fluide, `a densit´e constante, sur un corps du volume V  volume  V    dans lequ lequel el il est plo plong´ ng´e est e st don donn´ n´ee ee par p ar   F  p   = =

  −   −    −

np) np) dS 

S ( S 

ρg dV 

V 

=

ρ g

dV  V    =

V 

  (ρgV  ρgV ))

−ρg V    =

z  z 

↑

poids du fluide d´epl ep lac ac´ ´ e pa parr  V 

  p , qui est orient On appelle  F  orient´´ee ee selon la vertic verticale ale ascendante ascendante,,  fo  force rce de pous pouss´ s´ee   ee   ou ou force  force de   flottement . Cela traduit le traduit  le prin principe cipe d’Archim`ede  : ede  : Tout corps immerg´e dans da ns un fluide est soumis so umis a` une force de po pouss´ ee ´egale ee ogale rient´ ee dans ee da ns sla l adu di rection direct ion dedelafluide verticale vertica le a scendante ascend ante quiuss´ est eorient´ au poids poid volume d´ eplac´ eplac´ e par le corps. On appelle cette force  force   force d’ d’Arch Archim` im`ede  ed e . Surface libre, z  libre,  z  =  = 0, 0,   p =  = p  patm atmosph´ osph´eri erique que z 1  p1

g

z  z 

H 

 

z 2

y  p2 x

Figure 1.9.  Cyl  Cylindre indre de fluide fl uide pesant en ´equilibre. equilibre.

Si on se pl place ace ma maint intena enant nt dan d anss un u n r´ef´ ef´erenti ere ntiel el ´equip´ equ ip´e des d es co coor ordo donn´ nn´ees ees ca carte rtesie sienn nnes es (x,y,z ), ), avec l’axe des z  des  z  orient´   orie nt´e le lon longg de la vertica ver ticale le ascend a scendante, ante, l’´equatio equa tion n (1.18 ( 1.18ff ) s’´ecrit ecrit alo alors rs sous s ous UFR des Sciences

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Introduction

la forme : ∂p   = 0, ∂x

 

(1.19a)

∂p   = 0,   ∂y ∂p  = ρg   ∂z  gz  z . On conclu conc lu imm´ediatement edia tement des ´equation equa tionss (1.19 ( 1.19a,b) a,b) que :

(1.19b)

 −

car  car  g  =

(1.19c)

−

la pression  pression   p  est constante dans tout plan horizontal  horizontal   x-y . On appelle la pression p pression  p,, d´efinie efini e dan danss (1.19 1.19), ), pression  pression hydrostatique . L’int´ L’i nt´egratio egra tion n de (1.19c 1.19c)) conduit `a  p2

− p  =  = ρg  ρg((z  − z  ) = ρg  ρgH  H  1

1

 

2

(1.20)

pour un fluide a` densit´ e constante, qui peut ˆetre etre vue comme une application du principe d’ Archim` d’Arch im`ede ede a` une parcelle cylindrique de fluide de hauteur   H  H    =   z 1 z 2   et de dens densit´ it´e uniforme ρ uniforme  ρ.. En multipliant par S  par  S ,, l’aire de la section droite du cylindre, on obtient

 −

S 

× ( p − p ) = 2

1

force for ce de de flotte flottemen mentt =  S 

× (ρgH  ρgH )) =

poidss du flui poid fluide de dans le cylin cylindre dre

L’´equa equati tion on (1.20 1.20)) exprime en fait la l a distribution distri bution de pression pressio n d’un fluide en ´equilibre equilibre `a de dens nsit it´´e uniformee ´ecrite uniform ecrite sous la forme :  p + ρgz  =   = constant = p =  p((z  =  = 0) 0)..

 

(1.21)

1.5.1.1.  Forces hydrostatiques.   L’analyse de tout syst` eme des forces requiert a` la fois le eme calcul de la r´esultante esultante ainsi que le moment par rapp rapport ort `a un axe donn´ do nn´e, e, ce pou pourquoi rquoi la notion no tion du torse t orseur ur a ´et´ et´e introd intr oduit uit.. Cher Cherchons chons don doncc `a d´eterminer eterminer le torseur to rseur de forces fo rces hydrostatiques hydros tatiques s’exer¸cant cant sur une surface solide S  solide  S  immerg´  immerg´ee ee dans un fluide pesa pesant. nt. On sait que la force dF  F  a  app ppli liqu´ qu´ee ee pa parr le flui fluide de sur un ´el´ el´ement eme nt dS 

 −→

−d→F F    = − p n  d dS, S,

  d’o` u

  −→ F    = F 

  −

(  p n) dS    avec  

S 

 ∈ S  est  ∈   es t do donn´ nn´ee ee pa parr p(z ) =  p − ρgz  0

o`u  p 0  est la pression `a la surface libre en z  en  z  =  = 0. Le point d’application G d’application  G  de cette force sur S  sur  S ,, dit cent dit  centre re de pous pouss´ s´ee  ee , est don donn´ n´e par

 

 

−OG → ∧ (− p n) dS   = −OM  −→  ∧∧ (− p n) dS  S 

 

(1.22)

S 

o`u  M   M  est  est un point mat´eriel eriel de la l a surface  S   S ,, et et O  O  un poi oint nt de r´ef´ ef´eren erence ce.. En guise d’illustration, soit une paroi plane S  imme   im merg rg´´ee ee da dans ns un liliqu quid idee comm co mmee sch´ sch´emat ematis´ is´ee ee sur la figure 1.10 figure  1.10.. Alors, la force par unit´e de surface appliqu´ a ppliqu´ ee par le liquide a` tout point ee M   S   S    est np tandis np  tandis que celle appliqu´ee ee par la pression atmosph´erique erique   p0   a` la face nonmoui mo uill´ ll´ee ee es estt ( n) p0 . Ainsi la force nette nette s’exer¸ s’exer¸cant cant par pa r unit´e de surface sur la paroi est n( p  p0 ) =  =  nρg z > 0, car z car  z  0, et les contraintes de cisaillement qui s’ex s’exercent ercent par parall` all`element eleme nt `a tout t outee surfa s urface ce fronti` f ronti`ere. ere. Tenseur de contraintes.   Toute surface su rface fluide flu ide est soumise aux contraintes contrai ntes (force par unit´ uni t´e de surface). Ces forces surfaciques constituent les ´el´ el´ements  ements   σij  de tenseur de contraintes compos´ compo s´e d’une partie isotro isotrope pe et une partie d´eviatrice. eviatrice. ´  Equilibree hydrost Equilibr hydrostatique. atique.   Un fluide est dit en ´equilibre equilibre hydrostatiq hydrostatique ue s’il est au repos rapport un rep` ere fixe ou ere o u mobile mais `a acc´el´ el´eration erat ion unif uniform orme. e. Dan Danss le deuxi`eme eme cas une force fictive s’ajoute aux forces de pression et de pesanteur.    exerc´ee La forc forcee hy hydrost drostatiqu atiquee   F  F   ee sur une surface plane d’aire   A   =   ℓ  L   , avec   L

 ×

horizontale, horizontal e, immerg´ i mmerg´ee ee dans d ans un liquide l iquide est    == F   F  == ρgAh  ρgAhc , D´epar arttement de M´ecan aniique

hc  =

Adil Ridha

 1 (h0  + H ) 2 Dynamiques des fluides r´eels

 

1.6 Sommaire

21

dont le point d’application G d’application  G  est do donn´ nn´e pa parr 3h0 H  +  + ℓ2 sin2 α , H  +  + h0

 2 OG = OG  = 3





α  ´etant etant l’angl l’anglee d’inclin d’inclination ation de de A  A  `a l’horizontale. Massee de liqu Mass liquide ide en mouv mouvemen ementt unif uniforme ormement ment acc´el´ el´er´ er´e. e.   L’anal L’analyse yse de l’´equilibre equilibre hydrostatiqu sta tiquee s’´ s ’´etende etend e aussi a ussi `a tou toutt mouvem mouvement ent de liqu liquide ide uni uniform formement ement acc´el´ el´er´ er´e lors lorsque que vu d’un r´ef´ ef´erent er entie iell y li´e. e. L’ L’´´equa equati tion on r´egis egissa sant nt l’´equi eq uililibr bree es estt al alor orss do donn´ nn´ee ee pa parr

∇ p p =  = ρ  ρ (g − γ  γ )

(1.25)

o`u  γ  γ  est l’acc´el´ el´eration eration uniform uniformee de masse du liquide.

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CHAPITRE CHAP ITRE 2

Cin´ ematique des Fluides ematique Dan s la cin´ematique Dans emat ique des fluid fluides es on o n s’int´ s’ int´eresse eres se au mouveme m ouvement nt des de s fluides flu ides ind´ependa ep endamment mment des forces qui le produisent pro duisent et maintiennent. maintienn ent. En m´ecanique ecanique du d u solide ind solide  ind´´efor ef orma mabl ble  e  la  la vitesse v   p  `a tout po point int mat´eriel P  eriel  P  e  est st d´etermi ete rmin´ n´e d`es es que l’ l’on on di disp spos osee du d u vecte ve cteur ur ro rota tatio tion n inst i nstant antan´ an´e Ω et le vecteur vitesse v   o  en un point quelconque,  quelconque,   O   :

−→ −→

 −→

→ −→v  = −→v  + −→Ω ∧ −OP   p

 

 o

(2.1)

En fluide, par contre, le probl`eme eme est plus compliqu´e mais le mouvement reste, n´eanmoins, eanmoin s, calc ulable calcula ble po pourvu urvu que deux ´el´ el´ements ements fluid fluides es ne pe peuvent uvent oc occup cuper er la mˆeme eme po positi sition on au mˆeme eme instant. Pourr fixe Pou fi xerr les l es id´ees ees no nous us co cons nsid´ id´eron er onss un ´el´ el´ement ement flu fluid idee infi i nfini nit´ t´esim es imal alem ement ent pet etit it d´enom en omm´ m´e une particul particulee fluide. La vitesse relative de toute partie de cet ´el´ el´ement ement est es t n´egligeable egligeab le car toute particul particulee fluide flui de est assimil´ a ssimil´ee ee `a un poi oint nt g´eom´ eom´etri etriqu que. e. En g´en´ en´eral, eral, la vitesse d’une particul particulee fluide fl uide est une fonction de temps temps   t  et de ces coordonn´ do nn´ees ees en en P   P ((x1 , x2 , x3 ). On distingue deux cas simples de mouvement :(a) Un mouvement   permanent  dans permanent  dans lequel la vitesse `a tout instant, en tout point   P  fixe dans l’espace, ne d´epend epend que de ses coor coordonn´ donn´ees. ees. (b) Un mouvement est dit  uniforme   `a un instant donn´e lorsque toutes les particules ont la mˆeme eme la l a vitesse. vi tesse. Un mouvement mo uvement uniforme unifo rme pourrai p ourraitt aussi aus si ˆetre etre permanent. p ermanent. Notons que pour le cas (a), un mouvement qui est permanent relativement `a un rep`ere ere donn´e pour pourrait rait ˆetre etre non–p non–permanent ermanent par rapp rapport ort `a un autr autree rep`ere. ere.

2.1. Vite Vitesse sse et Trajectoi rajectoire re de Pa Particu rticule le

−−−→

Soit v (r , t) la vitesse d’une particule fluide dont le vecteur position, `a l’instant  l’instant   t, est  est  r par rap rappo port rt un r´ef´ ef´erentiel erenti el gal galil´ il´een. een. La vites vitesse se de part particul icule, e, d´efinie efini e par

−−−→

dr   = v (r, t), dt

 

(2.2)

fournit sa trajectoire `a tout autre instant   t. On d´ esignera par (x esignera ( x0 , y0 , z 0 ) la position de particule a` l’instant t l’instant  t =  = 0. Pour mettre en vale valeur ur certaines notions n´ecessaire ecessaire pour p our la description du mouveme mouvement, nt, nous commen¸cons cons par l’examen de quelques exemples.

2.1.1. 2.1. 1. Exem Exemples ples de trajectoires. trajectoires. UFR des Sciences

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´matique des Fluides Cinematique e

(1)   v  = (ay, ax, 0), (1) 0), a  a R. La trajectoire de particule est donn´ee ee par dx   dy  dz   d z    =  ay  ay,,   = ax,   = 0. 0. dt dt dt Il est imm´ediat edia t que les prem premi` i`eres eres deux ´equatio equa tions ns se r´eduisent edui sent soi soitt `a dy   = x/y dx ou soit `a d2 x   d2 y 2   + a x  = 0 ou   + a2 y  = 0. 2 2 dt dt La soluti solution on de ce syst` s yst`eme eme est :

−

∈

−

−

 

x   =   y0 sin at + x0 cos at, y   =   z 0 cos at x0 sin at, z    =   z 0 .

−

En ´elim el imin inan antt  t  on trouve   x2 + y 2 =   x20  + y02  = constante, constante, z    =   z 0 , ce qui montre que la trajectoire est un cercle dans le plane  z   z  =  = z   z 0 . Exercice :   Trai raitez tez l’ex l’exempl emplee pr´ec´ ec´edent edent en co coord ordonn´ onn´ees ees cyli cylindri ndriques. ques. (2)   v  = (ay, a(x bt (2) bt)), 0), (a, (a, b) R La tra trajecto jectoire ire est d´efinie efini e par les ´equatio equa tions ns diff´erentielles erenti elles dx   =   ay, dt dy   = a(x bt bt)), dt

− −

∈

     

qui se r´eduisent edui sent `a

 − −

ddz  t = 0

d2 x   + a2 x   =   a2 bt, 2 dt   dx ay   = , dt dz    = 0. dt La sol solutio ution n de d e la l a premi` p remi`ere ere ´equatio equa tion n nou nouss permet p ermet d’en d´eduire edui re cell cellee de d e la l a deuxi`eme eme :

 

x   = (y0 y   = (y0 z    =   z 0 .

− b/a )sin at  + x  cos at + bt, b/a)sin at + − b/a b/a)cos )cos at − x  sin at at +  + b/a, 0

0

La trajectoire est donc un mouvement circulaire du rayon [(y [( y0 b/a b/a))2 + x20 ]1/2 cent ntr´ r´e en (bt,b/a,z 0 ). D´epar arttement de M´ecan aniique

−

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

2.1 Vitesse et Trajectoire de Particule

25  

 y

 x

O

Exemple 3

Exemple 1

−

(3)   v  = (a(t)x, a(t)y, 0) (3) La tra trajectoire jectoire a pour p our ´equations equation s

 

ddxt   =   a(t)x, dy   =   a(t)y, dt dz    = 0. dt Les deux premi`eres eres ´equations equations nous permett permettent ent de calculer dy/ y/d dx   : dy   = y/x, dx dont la solution est :   xy xy =  = constante, constante,   et   z  = z   =  z 0   comme avant. La variation de x de  x et de y de  y  au cours du temps est :

−

x =  = x  x0 exp A(t) ,

{

}

y  =  = y  y0 exp

{−A(t)}

o`u  A  A(0) (0) = 0 et dA/ dA/d dt  =  = a  a((t). 2.1.2. 2.1. 2. D´ efini tions. efinition s.   Les trois tro is exemples exem ples pr´ec´ ec´edents edents nous n ous perme p ermettent ttent d’intro d’ introduir duiree quelques quelq ues d´efini efi niti tion ons. s. ´  lement bidimensionnel. 2.1.2.1.   Ecou Ecoulement bidimensionnel.   Da Dans ns un u n syst` s yst`eme eme ap appro propri´ pri´e de co coor ordo donn´ nn´ees ees on pe peut ut exprimer pour un ´ecoulement ecoulement donn´e, e, les comp composantes osantes de vitesse   vx   et et   vy   in ind´ d´epend ep endam amment ment de   z  z    avec   vz   = 0; les autre autress variabl ariables, es, telle telless que la masse volumique volumique,, la temp temp´´erature erature et la pression, sont aussi suppos´ees ees ind´ependantes ependantes de   z . Les trois exercices pr´ec´ ec´edents edents d´ecrits ecrits des ´ecoulements ecoulements bidimens bidimensionnels ionnels pour le champs de vitesse. vites se. En pratique, pr atique, il n’existe n’ex iste pas d’´ecoulement ecoulement qui sont exactement bidimens bidimensionnels, ionnels, mais avec un dessin exp´erimental erimental soigneusement con¸cu, cu, on peut arriver `a une approximati approximation on satis satisfaisan faisante. te. Notons aussi que certain certa in ´ecoulement ecou lementss natu naturels rels pe peuvent uvent ˆetre etre supp suppos´ os´es es bidi bidimens mension ionnels nels..   ´  2.1.2.2. Ec Ecoulem oulement ent pe permane rmanent, nt, dit stat stationna ionnair ire. e.   Dans un tel ´ecouleme ecoulement nt la vite vitesse, sse, la masse vol volumiq umique ue ainsi que les autre autress grand grandeurs eurs ph physiq ysiques, ues, son sontt ind ind´´ependante ependantess de   t. L’´ecoulement ecoulement d´ecrit ecrit par l’exemple (1) est stationnaire pour p our la vitesse. Par contre, ceux des exemples (2) et (3) ne sont pas stationnaires. UFR des Sciences

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´matique des Fluides Cinematique e

◮  Remarque   2.1 :   Dans un ´ecoulement ecoulement stationn stationnaire, aire, la position d’une particule fluide d´ epend  epend  du  t  t . Il en est du mˆeme eme pour un ´ecoulemen ecoule ment  t  instationnaire   instationnaire. Des ´ecoulements ecoulements stationn stationnaires aires peuvent  peuve nt  ˆetre etre r´ealis´ eali s´es es exp´erimenta erim entaleme lement, nt, et son sontt math´ematiqu emat iquemen ementt moin moinss diffic difficile ile ` a ´etud et udie ier. r.   ◭

2.1.2.3.   Un point d’a d’arrˆ rrˆet. et.   On appel un point d’arrˆet et tout poin p ointt o`u   v   =     0. Da Dans ns le less exemples (1)-(3) les points (0, (0, 0, z ) sont des poi points nts d’arrˆet. et. 2.1.2.4.  D  Descr escripti iption on Eul´erienne. erie nne.   La vitesse v  (  (r, t) en un point fixe de l’espace varie au ´ cours du temps  temps   t.   Evidemment cela corresp correspond ond aux arrang arrangements ements exp´erimentaux erimentaux utilis´es es au laboratoire o` u les appareils de mesures sont fixes, c’est-`a-dire a-d ire y li´es es au mˆeme eme sens que le laboratoi lab oratoire re au a u r´ef´ ef´erentiel erentiel galil´een. een. Dans cette descriptio description n la vitesse est une fonction de la la position de mesure et du temps, c’est-`a-dire a-dire ( (r, t) : On appel   (r, t)  les variables d’Euler . Par ailleurs, il est parfois utile de suivre une particule fluide dans son mouvement pour pouvoir conna connaˆˆıtre ce qui aurait lieu dans son voisinage; par exemple dans l’´ecoulement ecoulement atmosph mo sph´´erique eri que,, on s’i s’int´ nt´eress ere ssee plut p lutˆot ˆot a` l’histoire d’une masse d’air au cours de son mouvement pour pouvoire estimer s’il y aurait de pluie ou de neige (par exemple), qu’`a la s´equence equen ce des

 −→

masses passent unCela pointnous de mesure et´ et´ edescription eorologique. orologique.Lagrangienne. Et cela est en d´epit epit du fait que d’air tout qui les deux sontsur li´es. es. am`ene ene a`m´ la 2.1.2.5.  Description Lagrangienne.   Dans cette description on s’int s’int´´eresse eresse aux grandeurs physiques physi ques ass assoc oci´ i´ees ees a` une particule donn´ee ee au cours de son mouvement. mouvement. Ainsi, la vitesse est expr ex prim´ im´ee ee pa parr v  ( r  ( r0 , t), t) v  ( r0 , t)

−→ −→ −→

−→

≡ −→ −→

o`u r0   est la position de la particule particule `a l’instant t l’instant  t =  = 0. La description lagrangienne est difficile car on doit suivre toutes les particules dans leurs mouvements, mais il est souvent fructueux de consid´ erer l’histoire de vie de particule fluide afin de comprendre l’´ecoulement. erer ecoulement. Dans l’atmosph`ere ere on utilise un ballon-sonde pour l’acquissions de donn´ees ees type Lagrangiennes, tandis que dans les courants estuariens on utilise de sondes flottants. On appel   ( r0 , t)  les variables de Lagrange .

−→

erons l’exemple (3) avec  avec   a(t) = con consta stant nte. e. La trajectoi trajectoire re de par partic ticule ule,, dan danss ce cas,Consid´ est erons x  =  = x  x0 eat , y  =  = y  y0 e−at , z  = z   =  z 0 ce qui est une description Lagrangienne car elle d´epend epend de la position p osition initiale. Pour calculer la vitesse en coo coordonn´ rdonn´ees ees Lagra Lagrangienne ngienne on cherche la l a d´eriv´ eriv´ee ee par rapp rapport ort au temps   t  avec r0   = (x0 , y0 , z 0 ) fixe car il s’agit de la mˆeme eme particule :

−→

v   =

 ∂r ∂t

→ − r 0

= (ax0 eat , ay0 e−at , 0) 0)..

−

Mainten Mai ntenant ant,, con consid´ sid´erons ero ns l’ l’acc´ acc´el´ el´erati era tion on : 2

at

2

−at

2

→ r0   = (a x0 e , a y0 e (i) Description Lagrangienne : (∂ (∂v /∂ t)− , 0) = a r ; (ii) Description Eul´erienne erienne : (∂v /∂ t)r   =     0 car   v   = (ax, ay, 0) ne contient pas   t explicitement.

−

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

2.1 Vitesse et Trajectoire de Particule

27  

Il est imm´ediat ediat que ‘la partic particule ule s’acc´el` el`ere, ere, mais le courant, lui mˆeme, eme, dem demeure eure a` vitesse  constante ’. ’. Par exemple, exem ple, consid`ere ere une pi`ece ece de bois (un rondin) empo emport´ rt´ee ee par le courant d’un rivi`ere ere ayant une secti section on rap rapide ide : la pi`ece ece s’ac s’acc´ c´el` el`ere ere d´es es qu’e qu’elle lle entre dan danss la sect section ion rap rapide. ide.carD’u D’une mani` eron re app appro ee, rticu ee, cecule’ comport comp ortement ement repr´esente esente acc´ eun l´eration erat ionervate Lagran Lag ranggienne ien ne onnesui suit t le ere rondin din,,roch´ lach´ ‘parti ‘pa le’,, dan dans s son mouvem mouv emen ent. t.uneMai Mais s el´ observ obs ateur ur se trouvant trouv ant au bord du rivi`ere ere verrait une succession de rondins passant devant devant lui `a la mˆeme em e vitesse, vite sse, simp simplement lement parc parcee que le cour courant, ant, dan danss sa tot totali alit´ t´e, e, ne s’a s’acc´ cc´el` el`ere ere pas : l’a l’acc´ cc´el´ el´eration erat ion Eul´ Eu l´erie er ienn nnee a` un point fixe, en fixe,  en ce qui concerne cet exemple , est `egal egalee `a z´ero er o.

2.1.3. Lign 2.1.3. Lignes es de courant. courant. Tubes de courant. courant.   Pou Pourr visua vi suali liser ser un ´ecoul eco uleme ement nt don d onn´ n´e, e, supposez qu’il existe un nombre important de particules marqu´ ees d’une mani`ere ees ere appropri´ee ee : pren prenez ez deux pho photos tos `a deux inst instants ants succ successi essifs fs s´epar´ epar´e par  un petit intervalle , et puis les superposez sup erposez l’une sur l’autre. Il vous est possible maintenan maintenantt de dessiner une fl`eche eche liant la premi`ere ere et deuxi`eme eme posi position tion de chaque particul particule. e. Cet ensemble des fl`eches eches indique alors un ensemble ens emble de courb co urbes es appe ap pel´ l´ees lignes ees  lignes de courants , qui sont diff´erentes erente s de de trajectoires   trajectoires . Pour tracer ces derni`eres eres on a besoin b esoin d’un grand intervalle du temps; pour cela on pourrait faire un filme perme permettan ttantt de suiv suivre re les parti particule culess dans leur mouvemen mouvement. t. Pou Pourtan rtant, t, dans le cas d’un ´ecoulement ecoulement permanent (stationnaire), les deux courbes se confondent confondent.. `  un instant  t 2.1.3.1.   D´efini appelle ligne  toute courbe dont la efi niti tion ons. s.   A  t0  fixe , on appelle  ligne de courant  toute tangente en chacun de ses points p oints est parall`ele ele au vect vecteur eur vitesse. La tangente en (x1 , x2 , x3 ) est pa para rall` ll`ele ele `a d  x  = (d (dx x1 , dx2 , dx3 ). Alors, si  si  v   = (v1 , v2 , v3 ) d´enote enote le vecteur vitesse en ce point, on tire alors que d dx v  =   0, soit

∧

dx1   dx2   dx3  =  = . v1 (x1 , x2 , x3 , t0 ) v2 (x1 , x2 , x3 , t0 ) v3 (x1 , x2 , x3 , t0 )

 

(2.3)

Les lignes de courant sont fournies par ces ´equations. equations. Puisque la vitesse en un point donn´e

trajectoires

    

lignes de courant

tube de courant

M 3′

 

′

M 2 P 

M 1′ M 1   M 2

c(t′ ) lignes d’´emis emissi sion on c(t)

M 3

Figure 2.1.  Tube de d e courant, cour ant, tra jectoires, lignes d’´emission emission

change en g´en´ en´eral eral avec le temps, t emps, il vient vi ent alors al ors que qu e les lignes de courant, co urant, elles aussi, changent avec le temps. UFR des Sciences

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Universit´e de Caen

 

Cin´ ematique des Fluides ematique

Soit   C   une courbe trac´ee ee dans le milieu fluide. On appelle app elle surface  surface de courant  la   la surface engendr´ee ee par pa r les lignes l ignes de courant cour ant qui s’appui s’appuient ent sur C , si elles existent. Dans le cas ou C  est une courbe ferm´ ee, on ee, o n appelle une telle surface tube surface  tube de courant . appelle  lignes gnes d’´emission  ent  mis sion  les courbee trac´ees, ees, a` l’instant   t, par toutes les particules qui On ont appelle li pass´e par un poi point   P  P . .  les courb On appelle trajectoire  appelle trajectoire  le  le lieu des positions successives d’une particule au cours du temps : dx1   dx2   dx3  =  =   = dt. v1 (x1 , x2 , x3 , t) v2 (x1 , x2 , x3 , t) v3 (x1 , x2 , x3 , t)

 

(2.4)

L’i nt´egratio L’int´ egra tion n de (2.4 2.4)) fai faitt app apparaˆ araˆıtre trois ıtre  trois constantes  qui  qui sont d´etermin´ eterm in´ees ees par identi identifiant fiant la particule en question en se donnant sa positions initiale r0 .

 −→

2.2.. La d´ 2.2 eri v´ eriv´ ee mat´eriell ee eri elle e (o (ou u par parti ticu culai laire) re) Dans la description Eul´erienne, erienne, la variation d’une fonction scalaire   F  F ((r , t) d´erivabl eri vablee au cours du temps est constitu´ ee dedonn´ ee deuxe, une variati variation onenant localedeli´ee eson e a` mouveme la position u se trouve la particule `a l’instant e,parties et une :variation provenant prov mouvement nt o` en espace esp ace.. Soi Soitt   r  la position de la particule `a l’instant   t   et et   r  + r   celle `a l’instant   t  + t. Notons la limite du taux de variation de la fonction  F   F  par  par dF dF /dt. Alors :

△

dF    = dt

△

△r, t + △t) − F F ( (r, t)   , △t F ((r, t + △t) − F  F  F ((r, t)  F   F ((r + △r, t + △t) − F  F ((r, t + △t) = lim   + △t △t ∂F   gradF   grad F ((r, t + △t) · △r  + O(△r ) = lim   + O(△t) + ∂t △t −−−→ gradF  grad F ( (  r , t + t ) v (r, t) t + O(v t )   ∂F  = ∂t   + lim △ · △t △ △ lim

F ((r + F 

△t→0

△t→0

△t→0

 

2

2

△t→0

=

  ∂F  ∂t





·

+   v grad gradF  F 

↑

variation locale

2

  



(2.5)

↑

variation due a ` la convection

On ap app p el elle le la d´eriv´ er iv´ee ee (2.5 2.5)) d´eriv´ee mat´eriel le  ou d´  ou  d´eriv er iv´´ee ee pa part rtic icul ulaaire  ire  car  car il s’ s’ag agit it de la d´eriv´ er iv´ee ee asso as soci´ ci´ee ee a` une particule lors de son mouvementnt. Pourr ´eten Pou et end d la no noti tion on de d´eriv´ er iv´ee ee ma mat´ t´erie er iellllee a` une fonction vectorielle, il suffit d’appliquer la formule (2.5 (2.5)) aux trois composantes de cette fonction. Appliquions cette formule `a l’l’aacc´el´ el´era er ati tion on  γ  = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ). Par d´efinition efinition on a γ  =

−→γ  (  (r, t) = D´epar arttement de M´ecan aniique

lim li m

△t→0

−→v ( (r + △r, t + △t) − −→v ( (r, t) △t Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

2.2 La d´eriv´ee mat´eriel le (ou particulaire)

29  

quii es qu estt la d´eriv´ eriv´ee ee ma mat´ t´erie eriellllee de de   v . D’ D’ap apr` r`es es (2.5 2.5)) on trouve pour les composantes :   γ 1 , γ 2 , γ 3   :   ∂v 1 ∂v 1 ∂v 1   + v1 + v2 ∂t ∂x1 ∂x2   ∂v 2 ∂v 2 ∂v 2 γ 2   =   + v1 + v2 ∂t ∂x1 ∂x2   ∂v 3 ∂v 3 ∂v 3 γ 3   =   + v1 + v2 ∂t ∂x1 ∂x2 Avec la conventio convention n de la somm sommati ation on sur l’i l’indic ndicee r´ep´ ep´et´ et´e   ∂v j ∂v j γ  j   =   + vi . ∂t ∂xi La formule (2.6 (2.6)) peut p eut s’´ s ’´ecrire ecrire sous la forme vectorielle   ∂v γ  γ  = =   + v v, v, ∂t γ 1   =

+ v3

∂v 1

  ∂v γ  γ  =  + rot rotv ∂t

  ∇

× v + 12 v −−→ dite expression dite  expression de Helmholtz , o`u l’ l’op´ op´erateu era teurr ∇ = grad.

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(2.6a)

∂x3 ∂v 2 + v3 ,   (2.6b) ∂x3 ∂v 3 + v3 .   (2.6c) ∂x3 on peu peutt ´ecrire ecrir e (i  = 1, 2, 3) :

·∇

ou

,

2

,

 

(2.7a)

 

(2.7b)  

(2.7c)

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CHAPITRE CHAP ITRE 3

Conservation de La Masse ´ 3.1.   Equat Equation ion de conti continuit´ nuit´ e Une loi fondam fondamen entale tale de la m´ecanique ecanique est la conse conserv rvation ation de la masse masse.. Pou Pourr fixer les id´ees ees on cons consid` id`ere ere d’a d’abo bord rd un fluid fluidee de dens densit´ it´e   ρ  en ´ecouleme ecou lement nt a` vitesse uniforme v   `a toute section   S  section variable. variable. Les sections sections S    d’un tube de courant ou d’une conduite `a section S 1 ,   S 2   et et   S 3 , qui d´elimitant elimitant les parcelles du fluide fluide   P 1   et et   P 2 , parcourent respectivement les petites distances  distances   v1 δt δt,,  v 2 δt δt et  et v  v 3 δt δt pendant  pendant l’intervalle δ l’intervalle  δtt. En con cons´ s´equent equ ent la r´egio egion n occu ccup´ p´ee ee par le parcelle P  parcelle  P 1  change en occupant un nouvel volume S  volume  S 2 v2 δt δt,, ba bala lay´ y´e pa parr S 2 , et en li lib´ b´erant era nt

 −→

1 δt  ba 1  es un volume volume    S 1 vterm  bala parrcontributi pa   S 1 . ibution Le taux Le  taux du changement    de additionnel  de la massenel de  +ρS  de   est t con consti stitu´ tu´e alors de deux termes eslay´ : y´eune contr on positiv positive e du vol volume ume addition +P ρS  2 v2 δt  et une contr co ntrib ibut utio ion n n´ n´egat egative ive du vol volum umee lib´ l ib´er´ er´e ρS 1 v1 δt δt.. Comme la masse de P  de P 1  e  est st n´ec´ ec´essa es sair irem emen entt conserv´ee, ee, on onclu alors qu’`a tout instant

−

v1 S 1  =  = v  v 2 S 2

 

(3.1a)

o`u les deux membres repr´esentent esentent le taux instantan´e du d´ebit ebit volumique dans la conduite. De la mˆeme eme mani`ere ere on pe peut ut montr montrer er que v2 S 2  =  = v  v 3 S 3 et par cons´equent equent on tire v1 S 1  =  = v  v2 S 2  =  = v  v3 S 3  =  = v  vS. S. Cette ´eequation qua tion montr montree que qu e   v1  > v2  > v3   car car   S 1  < S 2  < S 3 .

 

(3.1b)

Pour exprimer cette loi sous forme diff´erentielle, erentielle, on consid` ere maintenan ere maintenantt un volume V   fixe dans l’espace et enferm´e par une surface d´erivable  V   erivable   S . Le d´ebit ebit massique de fluide entrant dans V  dans  V    est v1 δt v1

S 1

v3 δt

v2 δt

P 1

v2

 

S 2

P 2

S 3 v3

´ Figure 3.1.   Ecoulment dans une conduite `a section variable de S  de  S 1  `a S 3  avec S 1  < S 2  < S 3 ; la vite vitesse sse ´etant etant supp suppos´ os´ee ee unif uniform ormee a` toute section  section   S . UFR des Sciences

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Conser Conserv vation de La Masse

n   dS 

v

V  Figur Fig ure e 3.2 3.2..   Volume Volume de con contrˆ trˆ ole   V  ole V    fix fixee dan danss l’ l’es espa pace ce pa parr ra rappo pport rt `a un

r´ef´ ef´eren er enttiel galilil´´een ee n;  n  est le l e vecteur unitai unitaire re normale no rmale ext´erieur erieur `a  S   S .. Flux Flu x massiqu massiquee =

   −

  ρ v dS,

·

S 

  est    = le signe n´egatif egatif indiquant que dS    est comp compt´ t´e po positi sitivement vement vers l’ext´erieur erie ur de de   V  V ,, car dS  n  d  dS  S   o`u n  est le vecteur normal n ormal unitai unitaire re ext´erieur erieur `a  S . Le taux d’accroisse d’accroissemen mentt de la masse dans V  dans  V    est d ρ  d  dV  V  dt V  et comme  comme   V  V    est fixe fi xe dans dan s l’espace l’ espace on d´eduit eduit que d ∂ρ ρ  d  dV  V    =   dV. dt V  ∂t V 

 

 

   

     −   ·

  



Or, la conservation de la masse implique ∂ρ     dV  V    = ρ v dS  ∂t V  S  soit ∂ρ   dV  V    + ρv n  d  dS  S    = 0 (3.2a) V  ∂t S  qui est l’´ est  l’´equa eq uati tion on de con conti tinu nuit´ it´e  sous e  sous fo  forme rme int int´´egrale  eg rale . En util utilisa isant nt le th´eor` eor`eme eme de Gau Gauss-O ss-Ostro strogra gradsky dsky (di (ditt th´eor` eor`eme eme de la diverg divergence) ence),, (3.2a 3.2a)) s’´ecrit ecrit sou souss la l a form formee ∂ρ  + (ρ 0,   (3.2b) v ) dV  V    = 0, ∂t V  qui est valable quelque soit V  V .. Ainsi, on tire l’ tire  l’´´equa eq uati tion on de con conti tinu nuit´ it´e sous e  sous form  formee diff´ di ff´erentie eren tiell le  le ::

 

∂ρ  + ∂t D´epar arttement de M´ecan aniique

∇·

∇ · (ρv) = 0.0 .

 

Adil Ridha

·

´ uati Eq Equa tion on de con onti tin nuit it´´e

(3. 3.2c 2c))

Dynamiques des fluides r´eels

 

3.2 Fonction de courant pour un ´ecoulement bidimensionnel

33  

ou

∂ρ   + v ρ + ρ v   = 0 (3.2d) ∂t Compte Com pte tenu de la d´eriv´ eri v´ee ee ma mat´ t´eriell eri ellee (2.5 2.5), ), on peut calculer le taux Lagrangienne (en suivant suiv ant toute particule dans son mouveme mouvement) nt) en fonction des mesures Eul´eriennes, eriennes, soit : dρ   ∂ρ   =   + v ρ dt ∂t et de (3.2d (3.2d), ), l’´equatio equa tion n de conti continuit´ nuit´e pren prend d la for forme me : dρ   + ρ v  = 0.   (3.3) dt On conclu alors que pour une particule particule `a masse volumique constante lors de son mouvement l’´equa equati tion on (3.3 3.3)) se r´eduit edu it `a :

·∇

∇·

·∇

∇·

∇ · v  = 0

 

´ Equat Equation ion de con contin tinuit uit´´e : ´ecouleme ecoulement nt incom incompres pressible sible

(3.4)

qui est l’´equation equation de continuit´e pour un fluide (ou un ´ecoulement) ecoulement) incompres incompressible. sible.

3.2. Fonction de courant pour p our un ´ ecoulement bidimensionne ecoulement bidimensionnell Pour ´etudier etudier les implicat implications ions engendr´ees ees par l’´equation equation de continuit´e pour un fluide incompressible, v  = 0, nous commen¸cons cons par souligner so uligner les cons´equences equences suivantes : (i) En uti u tilis lisant ant le th´ t h´eor` eor`eme eme de la l a diverg di vergenc ence, e, on d´eduit edu it que l’´equat equ atio ion n v  = 0 implique que le d´ebit ebit volumique total a` travers toute  travers  toute  surface   surfa ce ferm´ee ee est nul :

 ∇ ·

∇·

  ∇ · V 

v dV  V    =

  ·

v ndS   = 0.

S 

 E    = (ii) Il existe une analogie ave avecc les champs ´electrostatiques electrostatiques o`u   = 0 sauf pour des charges ponctuelles. (iii) La variation temporelle dans l’´equation equation de contin continuit´ uit´e a disparu ce qui conduit `a

 ∇ ·

des simplificat si mplifications ions consid´erables. erables. Pourtant v  (  (r, t) peut varier avec le temps t temps  t.. Consid´ Cons id´erons eron s mai maintena ntenant nt des ´ecouleme ecou lements nts o`u il n’y a que deux composantes non–nulles de vitesse asso associ´ ci´ees ees seulement `a deux co coord ordonn´ onn´ees. ees. ´ (1)   Ecoulements bidimensionnels,

 −→

v  =  = u  u((x, y )  i + v (x, y ) j  ou

−→

 = v v  =  vr (r, θ) er   + vθ  eθ ,

 −→

o`u   i  et     j so  j  sont nt les vecteurs unitai unitaires res dans les coo coordonn´ rdonn´ees ees Cart´esiennes esiennes (x, y ), et er et  et  eθ  sont ceux dans le syst` sys t`eme eme pol polaire aire (r, θ). ´ (2)   Ecou Ecouleme lements nts axia xi-sym´ sym´etriques etri ques,, v  =  = v  v r (r, z ) er   + vz (r, z )  k, dans le syst`eeme me cylindriqu cylindriquee pol polaire aire de coor coordonn´ donn´ees ees (r,θ,z ). ).

−→

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´ stence 3.2.1.   Exi Existe nce de la fon foncti ction on de cou coura rant nt..   Un ´ecoulement ecoulement bidimens bidimensionnel ionnel est d´efinit efin it pa parr :   v  =  = u  u((x, y )  i + v (x, y ) j,



∂u  +  ∂ v   = 0 ∂x ∂y dont la deuxi`eme eme ´equation equation est identiquement satisfai satisfaite te par   ∂ψ ∂ψ u  =  , v  = ∂y ∂x pour toute fonction ψ fonction  ψ((x, y ) continˆ ument d´erivable. ument erivable. Ce r´esultats esultats rapp rappelle elle la notion de force conservatrice o` u   F 1 (x, y )  i + F 2 (x, y ) j, munie mun ie de la pr prop opri´ ri´et´ et´e ∂F 2  ∂ F 1   = 0, ∂x ∂y se d´erive erive d’une fonction pot potentielle entielle φ  φ((x, y ) tel que   ∂φ   ∂φ F 1  = , F 2  = . ∂x ∂y

−

 −

 −−−−→

Mettons Metto ns ce r´esultat esul tat dan danss un contex contexte te plus g´en´ en´eral. eral . Soi Soitt A(x, y ) la fonction vectorielle

−−−−→ A(x, y ) = ψ  ψ((x, y )  k. Alors,

∇ ∧  A    =   ∇ ∧ (ψ(x, y) k) = (∇ψ) ∧   k   car     k   est constant ∂ψ ∂ψ = (  , − , 0) ∂y ∂x =   v. v.

Soit  B   une fonction vectorielle continˆ ument d´erivable ument erivabl e tel que    B  = 0. Alors, il existe une     fonction vectorielle A  d´efini efi niee pa parr   =  A.   B   un ‘vecteur potentiel’ asso  . On appelle  A associ´ ci´e `a  B Danss l’ex Dan l’exempl emplee pr´ec´ ec´edent, edent, le vecteur po potentie tentiell  ψ  k  est particuli` p articuli`erement erement utile car il i l a une composante seulement. On appelle cette composante ‘la ‘la fonction de courant’  courant’  de  d e l’´ecoule eco ulement ment.. 3.2.1.1.   Prop Propri´ ri´et´ et´es es de d e la l a fonc f onctio tion n de d e couran courant. t.   La fon fonctio ction n de d e cour c ourant ant est ´etroitem etro itement ent li´ee ee aux lignes de courant. Puisque v  = ψ   k on d´eduit edu it que  v  est alors orthogonale `a ψ  et que ψ  est perpendiculaire `a toute courbe (ou surface en trois dimensions) donn´ee ee par

∇·

∇∧

 ∇

∇ ∧

 ∇

ψ  = constante. On conclu alors que   v   est para parall` ll`ele ele a` une telle courbe en chacun de ses points, et par cons´equent equent ces courb courbes es repr´esentent esentent des lignes de courant. D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

3.2 Fonction de courant pour un ´ecoulement bidimensionnel

35  

Consid` erons maintenan erons maintenantt deux lignes de courant courant   ψ   =   a   et et   ψ   =   b  dans le plan  plan   xy xy.. So Soit it ABCD un ABCD  un rectangle de hauteur unit´e dont l’aire est est   S  S  et  et la normale est compt´ee ee dans la directio dire ction n de d e l’´ecoulement ecou lement,, avec  AB   =  DC   DC  =  = 1, voir la figure  figure   3.3 3.3.. Alors, le d´ebit ebit volumique

 

a` travers  ABCD    ABCD   est soit

 

  ·  ∇ ∧   ·   ·   v dS,

S 

ψ  k

  dS,

S 

qui,, d’ qui d’ap apr` r`es es le th´eor` eor`eme eme de St Stokes okes,, dev devient ient

ψ  k d  ℓ,

ℓ

o`u la l a dire directio ction n de l’int´egratio egra tion n est ind indiqu´ iqu´ee ee par les fl`eches eches sur  ABCD  ABCD.. On peut facilement calculer calc uler cette int´egrale egra le :



  sur  = b  b   et    sur    AB BC ψ et = DA k sur   C D ψ  =  = a  a   et  

    kd  ℓ = ℓd  = 0, dℓ,   k d  ℓ   = dℓ,

· · ·

 −

o`u d  ℓ  est le vecteur d’un ´el´ el´ement ement infin infinit´ it´esimale esim ale sur la conto contour ur  ABCD  ABCD.. Donc le d´ebit, ebit, par unit´e d’hauteur d’ hauteur entre les lignes de courant co urant ψ  ψ  =  = a  a   et et   ψ  =  = b  b est  est

  ·

   = b v dS 

S 

−a

car le rectangle est de hauteur unit´e. e. Par cons´equent, equent, l’´ecoulement ecoulement devien devientt autant plus rapidee que les lignes de cour rapid courant ant s’approche s’approchent nt l’une de l’autre. De plus, les ligne ligness de courant courant ayant diff´ d iff´erentes ere ntes valeu valeurs rs de d e ψ  ψ ne  ne se coup coupent ent que qu e dans da ns un po point int de sing singula ularit´ rit´e de l’´ l ’´ecoulement ecou lement.. Revenons maintenant `a la fo form rmee g´en´ en´erale era le de   ψ   et essayons de l’ interpr´eter eter comme un d´ ebila ebit t de l’´ecoul eco 3.4. uleme ement. nt. So Soit  une le courbe les  AB points  A   et et   P  P   co mme comm eteur montr mo ntr´´e sur figure figure 3.4.   Alors, onit a  C pour d´ebit ebitarbitraire traversant trav ersantliant la base base AB  par  pa r unit´ e  de hauteur hau

  −

 x

)dξ, v (ξ, b)d ξ,

a

  k B

C 

 j 

ψ  =  = b  b

A D v

ψ  =  = a  a   i

´ Figure 3.3.   Ecoulement a` travers tr avers un rectangl rectanglee de d e hauteur ha uteur unit´e. e. UFR des Sciences

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et celui a` travers le cˆot´e  B  BP  P   y

)dη. u(x, η )d η. b

 

En con cons´ s´equence equen ce le d´ebit ebit tot total al pren prend d la l a form formee

  −

 x

a

 

 y

v (ξ, b)d )dξ  ξ  +  +

      − −      x

u(x, η )d )dηη  =

b

∂ψ (ξ, b) ∂ψ( ∂ξ 

a

 x

=

 y

dξ  +  +

b

∂ψ((x, η ) ∂ψ   dη ∂η

 y

dψ (ξ, b) +

a

dψ(x, η )

b

=  ψ  ψ((x, b)

− ψ(a, b) + ψ(x, y) − ψ(x, b) =  ψ  ψ((x, y ) − ψ(a, b) =  ψ  ψ((x, y ) o`u nou n ouss avons avons po pos´ s´e ψ  ψ((a, b) = 0 car C   est arbitra arbitraire. ire. Par d´eplacement eplacement de l’origi l ’origine, ne, on d´eduit eduit imm´ediateme edia tement nt que le d´ebit ebit `a trav travers ers une courbe (d´erivable) erivable) quelconque qui lie le point (c, d) `a (x, y ) est ψ (x, y )

− ψ(c, d)

par unit´e de hau hauteur teur.. Cela repr´esente esente l’i l’interpr´ nterpr´etation etat ion la plus r´ev´ ev´elatrice elat rice de la fonctio fon ction n de courant ψ courant  ψ.. On aurait peut abo aboutir utir au mˆeme eme r´esultat esultat en cherchant le d´ebit ebit traversant une courbe courb e   C ,     Soitt ds Soi ds  un ´el´ el´ement eme nt in infin finit´ it´esima esi mall ap appa parte rtena nant nt a` la courbe t  un vecteur unitair unit airee par parall` all`ele ele `a ds   et et   n  le vecteur normal `a ds  tel que  que  n  =    k   t. Alors le d´ebit  ebit   Q   par C    quelcon quelconque que..

∧

−→  j

P ((x, y ) P 

−→i −→k −→ n− →

C 

t ds

A(a, b)

 

B (x, b)

´ Figure 3.4.   Ecoulement `a travers une courbe arbitraire, vue d’en haut. D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

3.2 Fonction de courant pour un ´ecoulement bidimensionnel

37  

unit´ un it´e d’´epai ep aiss sseu eurr es estt ´egal egalee `a

−

v nds  = C 

·

 

= =

v (  k   t)d )dss

−

C 

· ∧

  · ∧   − · −   −       −

 dy )) v (  k (  idx + j  jd

−

C 

 dx v ( j  jd

  idy )

C 

=

(udy

v dx)

C 

=

C 

=

∂ψ  ∂ ψ  dyy +  d dx ∂y ∂x

dψ   =   ψ(x, y )

ψ(a, b)

C 

pour la courbe A courbe  A((a, b)– )–P  P ((x, y ). 3.2.1.2.   Fonction de cour courant ant pour les ´ecoulements ecoulements axi-sym´etriques. etriques.  C  Consi onsid´ d´erons eron s mai mainntenant la classe d’´ecoulements ecoulements axi-sym´etriques, etriques, dits ´ecoulements ecoulements tourbil tourbillonnai lonnaires. res. En coo coorrdonn´ees ees cylindriques le vecteur vitesse pour cette classe d’´ecoulements ecoulements s’´ecrit ecrit sous la forme suivante :  = v v  =  v r (r, z ) er   + vz (r, z )  k.

−→

(a)   L’existence de la fonction de courant   :   Dans Dans ce cas l’´ equation de con equation contiti1 nuit´ nui t´e s’´ecrit ecr it so sous us la fo forme rme ∂ (rvr )  ∂   ∂ ((rvz )   +   = 0. 0.   (3.5) ∂r ∂z  Il vient alors que   rv   d´erive erive d’une fonct fonction ion de coura courant, nt, comme dans le cas d’un ´ecouleme ecou lement nt plan p lan,, car les ´equatio equa tions ns ont la mˆeme eme form forme. e. D’o D’o` u `

   

rvz   =   ∂ Ψ , ∂r ∂ Ψ rvr   =  . ∂z  On appelle Ψ la fonction de courant de Stokes. Vous po pouvez uvez v´erifier erifi er que  s

Ψ(r, Ψ( r, z ) =

 −

  − ∇ ∧  −→

 z

svz (s, z )ds )ds

a

(3.6)

avr (a, ζ )dζ )dζ ,

c

et que le vecteur pot potentiel entiel en coor coordonn´ donn´ees ees cylindriques cyl indriques pola polaires ires s’´ecrit ecrit sous s ous la forme fo rme v  = 1´

r −1 Ψ eθ .

 

(3.7)

Equation Equatio n de continuit´e en coor coordonn´ donn´ees ees cylindriq cylindriques ues :

∂v r  v r  ∂ vz  1 ∂v θ  +  +  +  =0 ∂r r ∂z r ∂θ

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Il est possible de calculer le vect vecteur eur potentiel en coordonn´ees ees sph´eriques eriques a` partir de cette ´equation equa tion . Not Notons ons qu’en co coord ordonn´ onn´ees ees sph´eriques eriqu es   r   rep repr´ r´esen es ente te  maintenant  la   la dist distance ance mesu mesur´ r´ee ee de   O,



l’angle   θ   est mesur´ mes ur´e de l’axe l’a xe des   z. θ

 

P  O

r

r

O

z  Coordo Coo rdonn´ nn´ees ees cyli cylindri ndriques ques

 

ϕ P  θ

Coor Co ordo donn´ nn´ees ees sp sph´ h´eriq erique uess

Figure 3.5.   Relatio Relation n entre les coo coordonn´ rdonn´ees ees cylindriqu cylindriques es et sph´eriques. eriques.

Ainsi, on doit calculer

 ∇ ∧  A  en co c oor ordo donn´ nn´ees ees sph´erique eri ques, s, ou ` →   =   1   Ψ− A e  

(3.8) ϕ r sin θ car dans les coo coordonn´ rdonn´ees ees sph´eriques eriques la distance mesur´ee ee de l’axe est est   r sin θ  au lieu de r de  r,, et le vecteur unitaire autour de l’axe est eϕ  au lieu eθ . Voir la figure 3.8 figure  3.8 pour  pour explication. Alors er   r eθ   r sin θ eϕ   1 ∂  ∂  v  = 2 (3.9a)   0 r sin θ ∂r ∂θ 0 0 Ψ   1 ∂ Ψ   1 ∂ Ψ vr   = r2 sin θ ∂θ  , vz   = r sin θ ∂r  .   (3.9b)

−→

 −→  

−→

−→

−→

−

  

et´ et´ es de la fon es foncti ction on de courant   Ψ:  Comme nous l’avons d´ (b)   Propri´ ej`a vu, la ej` fonction de courant est constante sur une ligne de courant. Mais dans un ´ecoulement ecoulement axi-sym´ etrique il est plus naturel de parler de ‘tube de courant’; notons que toutes etrique les lignes de courant s’appuyant sur un cercle centre `a l’axe de sym´etrie etrie forme un tube de cour courant ant.. Celu Celui-ci, i-ci, comm commee mon montr´ tr´ e dans la figure figure   3.6 3.6,, est une surface de r´evolution evolut ion ayant po pour ur axe l’a l’axe xe de sym´etrie. etri e. Les prop propri´ ri´et´ et´es es du flux volum volumique ique (le d´ebit) ebit ) asso associ´ ci´ees ees a` la fonction de courant se d´erivent erivent de la mˆeme eme man mani` i`ere ere que po pour ur l’´ecoulement ecou lement pla plan, n, mai maiss tou toutt en util utilisa isant nt des arguments plus difficiles. Consid´ erons deux tubes erons tub es de courants Ψ = a =  a et  et Ψ = b =  b,, sch´emat ematis´ is´e su surr la fig figur uree 3.7.   Le taux ta ux du flux volumique volum ique `a travers l’espacement entre

les deux tubes, `a savoir `a travers l’anneau, est   v dS,

  · S 

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Dynamiques des fluides r´eels

 

3.2 Fonction de courant pour un ´ecoulement bidimensionnel

39  

L’axe

Figure 3.6.  Tube de cour c ourant ant dans un ´ecoulement ecou lement axi axi-sym´ -sym´etrique. etri que.

Ψ = b =  b Ψ = a

S 

Figure 3.7.   Tubes de courant pour p our l’´ecoulement ecoulement dans l’espace entre deux tubes. tub es.

qui, en fonction de Ψ, s’´ecrit ecrit sous la forme

 ∇ ∧  −→ ·   −→ · r −1 Ψ eθ

  dS.

S 

En uti utilisa lisant nt le th´eor` eor`eme eme de Sto Stokes kes on trou trouve ve r−1 Ψ eθ d  ℓ,

ℓ

o`u  S   S  es  estt ento entour´ ur´ee ee pa parr  ℓ  comme montr´e sur la figure figure 3.8  3.8.. Pour calculer ca lculer l’int´egrale egrale il faut prendre en compte les deux cˆot´ ot´es es de cha chaˆˆıno ınon n entre les deux cercl cercles es :   (i) l’i l’int´ nt´egrale egra le vaut z´ero ero lor lorsque sque dℓ, le long du cha chaˆˆınon, est orthogonal `a eθ ; (ii) les int´ i nt´ egrales sur les egrales l es deux d eux cˆot´ ot´es es s’a s’annule nnulent nt si d  ℓ  n’est pas orthogonal `a eθ . Sur le cercle ext´erieur erieur on a eθ dℓ  =  = r  rd dθ tandis tan dis que sur l’i l’int´ nt´erieur erieu r eθ d  ℓ  = rdθ. Alors,

 −→  −→

 −→ ·

−→ ·

  ·

−

  = v dS   = 2π (b

S 

− a),

ce qui veut dire que le l e flux volumique est ´egale egale `a 2π  foi  foiss la diff´erence erence entre les l es deux valeurs vale urs de Ψ. Finalement Finalement,, comme avant, avant, la fonction de courant Ψ repr´esente esente un flux.

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ℓ S 

Figure 3.8.   Le contour d’int´ egratio n `a util egration utiliser iser dan danss le th´eor` eor`eme eme de Sto Stokes. kes.

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Dynamiques des fluides reels

 

CHAPITRE CHAP ITRE 4

´formation des Fluides. Vor Deformation e Vorticit ticit´ e 4.1. Int Introducti roduction on Tout ´el´ el´ement ement de fluide est soumis au cours de son mouveme mouvement nt a` trois changements : (i) une translation, (ii) une rotation, et (iii) une d´eformation. eformation. Pour mettre en lumi`ere ere ces changement nous commen¸cons cons par cons consid´ id´erer erer une croi croix x const c onstitu´ itu´ee, ee, a` l’instant t l’instant  t,, d’une ligne horizontale se confondant avec l’axe des   x, et une linge verticale   M 1 M 2 , de longueur   δy δy,, s’alignant avec l’axe des y des  y;; la vitesse en M  en  M 1 (x, y ) est u est u((x, y ) et e t est ´egal egalee `a u  u((x, y ) + δy δy((∂u/∂y ∂u/∂y)) en   M 2 (x, y + en  + δy  δy)) selon le d´eveloppement eveloppement de Taylor. Dans un interv intervalle alle   δt δt une  une particule en ′

′

M 1  se

1 , soit la distance  1 1   =  uδ 2  parcourt d´eplace epl ace distance  )]δt M   uδt t, tandis qu’une en   M parcourue en  distance distance M   M `a2 M  M 2′  = [u + δy δy( (∂u/∂y ∂u/∂y)] δt,,M  soit  δy soit δ y (∂u/∂y ∂u/∂y) )δt δt en  en plusparticule de la distance

une par la particule se trouvant en M  en  M 1   a` l’instance  l’instance   t, (voir la figure 4.1 figure  4.1)) M 2

u(x, y + δy δy))

M 2′

[u + δy δy((∂u/∂y ∂u/∂y)] )]δt δt

δy M 1

uδt

M 1′

u(x, y ) Figure 4.1.   D´ efor mation eformat ion d’u d’un n ´el´ el´ement ement fluid fluidee lor lorss de son mouvem mouvement. ent.

Alors, `a la premi` p remi`ere ere approximat approximation, ion, la ligne  M 1 M 2  subit une rotation d’angle δy((∂u/∂y δy ∂u/∂y))δt   = (∂u/∂y ( ∂u/∂y))δt. δy Puisque la ligne horizontale ne subit aucune rotation, la vitesse de rotation (rotation instantan´ee) ee) moyenne de deux lig lignes nes (au sens de la m´ecanique ecan ique de soli s olide de ind´eformab efor mable) le) est ´egale ega le `a 1 (∂u/∂y ∂u/∂y). ). 2 Une telle rotation est `a la base de tourbillom`etre etre o`u la vitesse de rotation des ailettes crois´ croi s´ees ees s’i s’identifi dentifiee a` la vitesse locale de rotation le long de l’axe central. Nous sommes maintenant en position d’effectuer une analyse plus approfondie du mouvement d’une ligne infinit´esimale esimale ‘trac´ee’ ee’ dans le fluide dont les extr´emites emites sont en en   x  et en x +    ξ . Soi oitt v (r, t) la vitesse dans lequel l’´el´ el´ement ement est mis en mouveme mouvement. nt. Calculons aux approximations approximat ions premi` p remi`eres eres le changement chang ement subi par p ar cette ligne l igne dans da ns un intervalle δt intervalle  δt du  du temps.

 −−−→

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´ Deforma eformation tion des Fluides. Vor Vorticit ticit´ e

Figure 4.2.   Une sch´ emat isatio ematisa tion n de tou tourbil rbillom` lom`etre. etre.

On a les transformations suivantes :

  −→   x + −−−→ v (x, t)δt, −−−−−−→   −→   x +  ξ  +  + v (x +   −−−→ξ, t)δt

x x +   ξ 

· ∇)vδt + O(−→ξ  ) 2

  =   x +   ξ  +  + v (x, t)δt + (ξ 

en utilisa utilisant nt le d´eveloppement eveloppement de Taylor. Notons que les deux extr´emit´ emit´es es ex´ecutent ecutent un d´epla ep lace ceme ment nt v (x, t)δt translation lation au sens de la cin cin´´ematique ematique de solid solidee de tout δt,, qui est une trans l’´el´ el´ement. ement. Il exist existee po pourta urtant nt un un mouvement  mouvement relatif  des   de s de deux ux ex extr´ tr´emit´ emit´es es do donn´ nn´e pa parr

−−−→

  (ξ 

· ∇)vδt

  ou ou ξ   ξ  j j ∂v i /∂x j δt,

i, j = j  = 1, 2, 3

que nous allons analyser par la suite.

4.1.1. Le tenseur antisym´ etrique et etrique v .  Tout tenseur A tenseur  A ij  p  peu eutt ˆetre et re d´eco ec omp mpoos´e en un tenseur sym´etrique etrique et un tenseur antisym´etrique etrique :  1 1 Aij   =  (  (A Aij  + A ji ) +   (Aij A ji ) . 2 2

 ∇ ∧

−

sym´ sy m´etriq etr ique ue

antisym´ anti sym´etriqu etr iquee

             − 

Appliquons Appliquo ns cette identit´e au tenseur   ∂v i /∂x j   :

ou

 

∂v i   1 ∂v i  ∂  ∂vv j = + ∂x j 2 ∂x j ∂xi vi ,j   = eij  + rij .

+

 1 2

∂v i ∂x j

 ∂ v j  ∂v ∂xi

 

 

Analysons Analyso ns maintenant le tenseur antisym´etrique  etrique   rij  qui s’´ecrit ecrit sous la forme :

  − −   −    −   −

0 r12   r13 r12   0 r32 r13   r32   0

  

compte tenu de l’anti-sym´etrie, etrie, que l’on peut ´ecrire ecrire comme 0 R3   R2 R3   0 R1 R2   R1   0

−

.

(4.1a) (4.1b)

Depar arttement de Mecan aniique

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Dynamiques des fluides reels

 

4.1 Introduction

43  

Or, puisque le mouvement relatif est ∂v i = ξ  j δt δt((eij  + rij ), ∂x j la partie antisym´eetrique trique se transfo transforme rme ξ   ξ i   en en ξ   ξ i  + ξ  j rij δt δt,, soit ξ  j δt



 1 ξ i + ξ  j 2 ce qui veut dire   ξ 

∂v i ∂x j

−

 ∂ v j ∂xi



δt,

  − → ξ   +  + (R ( R ξ  − R ξ  , R ξ  − R ξ  , R ξ  − R ξ  )δt, 2 3

3 2

3 1

1 3

1 2

2 1

qui n’est d’autre que

  ξ 

 )δt.   ∧ ξ    − → ξ   +  + ( R

 

(4.2)

   est rotationnel au sens de la Autrement dit, cette partie de mouvement de l’´el´ el´ement ement   ξ  ξ    . Les composantes de  R   cin´ematique emat ique de soli s olide de o` ou ` le l e vecteur rota rotatio tion n insta i nstantan´ ntan´ee ee est ´egale ega le  R sont don donn´ n´ees ees par : R1  =  = r  r 32 R2  =  = r  r 13 R3  =  = r  r 21

 1  = 2  1  = 2  1  = 2

  

∂v 3 ∂x2 ∂v 1 ∂x3 ∂v 2 ∂x1

− − −

  

  ∂v 2  1  =  ( ∂x3 2   ∂v 3  1  =  ( ∂x1 2   ∂v 1  1  =  ( ∂x2 2

∇ ∧ v)

1

,

 

(4.3a)

∇ ∧ v)

2

,

 

(4.3b)

∇ ∧ v)

3

.

 

(4.3c)

   est   1 Ainsi, la vitesse de rotatio rotation n (dite vitesse angula angulaire) ire) de l’´el´ el´ement ement lin´eique eique   ξ  v, qui 2 est en accord avec la valeur trouv´ee ee pou pourr la croix discut´ee ee pr´ec´ ec´edemment. edemment. On app appelle elle le    =   1   le ve vecteur  R v   (g´ (g´en´eralement not´e   Ω) vecteu cteurr tourb tourbillon illon ou vecteur vecteur rotation. On 2 appelle le vecteur  vecteur     ω  = v   la l a vort vortic icit´ it´e. e.

∇∧

∇∧

∇ ∧ −→

4.1.2. Le tenseur t enseur sym´ etrique et etrique v.   Revenons maintenant au tenseur sym´etrique etrique eij . Dans ce qui est expos expos´´e ci-de ci-dessus ssus nous av avons ons discu discut´ t´e la trans translation lation et la rotati rotation on de mouvemen mouv ement. t. Nous allons analy analyser ser dans ce qui suit la parti partiee de mouvemen mouvementt associ associ´´ee ee `a la d´eformat efor mation ion.. Puis Puisque que e  e ij  est sym´etrique etrique il existe ex iste alors des axes principa principaux ux de sym´ s ym´etrie etrie dans lesquels   eij  s’´ecrit ecrit sous la forme :

 ∇··  ∇

eij   =

 

e1   0 0 0   e2   0 0 0   e3

   par Le tenseur  tenseur   eij   tr tran ansf sfor orme me l’´el´ el´ement ement   ξ  ξ i ou

 

 

 

−→ ξ   + e

ij ξ   j δt

i

ξ 1 ξ 2 ξ 3

  −−→ e ξ  δt, → ξ ξ   +  + e ξ  δt,  −→ ξ   + e ξ  δt 1

1 1

2

2 2

3

3 3

.

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D´ eformation eforma tion des Fluides. Vor Vorticit ticit´ e

soit

 

−→ ξ  (1 + e δtδt)), −→ ξ  (1 + e δtδt)), ξ  −→ ξ  (1 + e δt δt)) ξ 1 ξ 2 3

1

1

2

2

3

3

ce qui montre que ξ  que  ξ i  est dila dilat´ t´ee ee par p ar (1 + ei δt δt). ). Il vient alo alors rs que certa certains ins ´el´ el´ements e ements  e i  peuvent ˆetre etr e n´egat egatifs ifs et cor corres respo ponde ndent nt pa parr con c ons´ s´equent equ ent a` une compression.

translation

−−−−−−−→

rotation

−−−−−→ d´efor ef orma mati tion on

−−−−−−−−→ Figure 4.3.   Changements subis par un ´el´ el´ement ement fluide au cours de son mouvement.

Les r´esultats esultats que l’on vient de discuter impliquent que le volume volume   ξ 1 ξ 2 ξ 3   d’ d’un ´el´ement cubique, de cˆot´es  ξ  , ξ  , ξ  , se d´eforme efor me en 1

2

3

(1 + e1 δt δt)(1 )(1 + e2 δt δt)(1 )(1 + e2 δt δt))ξ 1 ξ 2 ξ 3 ou

{1 + (e (e  + e  + e ) δt} ξ  ξ  ξ  1

2

3

1 2 3

en n´egligeant egligea nt les termes en en   δt2 . Conf Conform´ orm´ement ement `a nos d´efinitions efinitio ns on a e1  + e2  + e3  =  = e  e 11  + e22  + e33 car la l a somme so mme des d es ´el´ el´ements ements diagona di agonaux ux est invariable sous so us un u n changement changem ent de base. Donc e1  + e2  + e3  =

∇ · v.v.

 

(4.4)

Ainsi le taux de changement de volume est localement ´egale egale a` v , ce qui en accord avec v  = 0 pour un ´ecoulement ecoulement incompressible incompressible.. Il est ´evident evident que v  = 0 implique que parmi pa rmi les vale valeur urss des ´el´ el´ements eme nts   ei  il y en a certaines qui sont sont positives et d’autres qui sont so nt n´egati ega tives. ves.

∇·

 ∇ · ∇ ·

Depar arttement de Mecan aniique

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Dynamiques des fluides reels

 

4.1 Introduction

45  

4.1.2.1.   Exemple.   Con Consi sid´ d´eron er onss l’l’´´ecou ecoule leme ment nt d´efini efi ni pa parr   u =  = βy  βy,, v  = 0, La fonction de courant pour p our cet ´ecoulement ecoulement est est   ψ   =   12 βy 2 et tenseur   ∂v i /∂x j   : tenseur 0   β    0 0 0 0 . 0 0 0



   

D’o`u on a po pour ur les ´el´ el´ements eme nts de de e  e ij

et pour r pour  r ij

   

0   12 β    0 1 β    0 0 2 0 0 0 0

 −

 

1 2 β 

0

Le vecteur rotation est donc

 ∇ ∧ v   = −β  k . On a pour le

1 β    2

  0 0

  =  R   = (0 Ω (0,, 0,

0 0 0



.

− 12 β ).

Soit   e  les valeurs propres de e Soit de  e ij . Alors d´eter etermi mina nant nt((eij ou

 

− eδ  ) = 0

e   12 β    0 1 β e   0 2 0 0   e

ij ij

 

=0

dont la solution est   e   =   12 β, 12 β, 0. Les fonction fonctionss pro propre press cor corres responda pondant ntes es sou souss for forme me norma no rmali lis´ s´ee ee so sont nt  ), e  =   12 β    : 2−1/2 (1 (1,, 1, 0) soit 2−1/2 (  i + j  j)  ), e  = 12 β    : 2−1/2 ( 1, 1, 0) soit 2−1/2 (   i + j  j) : (0, 0, 1) soit     e = 0 k. Cela nous donne les axes principaux dans la base desquels le tenseur   eij   de d´eform efo rmat atio ion n devient 1 β    0 0 2 1 0 β    0 . 2 0 0 0

−

−

−

 

−

 −

 

Ainsi Ai nsi la d´eforma efo rmatio tion n de l’´el´ el´ement eme nt flui fluide de est rep repr´ r´esent´ ese nt´ee ee pa parr

 

une ´elongation elonga tion au taux   12 β    le long du     i + j   1   une compression au taux i + j  2 β    le long du changement effectif du volume vaut z´ero. ero.

 −

 −

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 −→

4.2 Champ vectoriel  ω

 

47 

o`u ( v)T  est le transp transpos´ os´e du v . Il vie vient nt alors que le chan hangem gemen entt de vitesse vitesse en entre tre deux pointss voi point voisins, sins, comme expr exprim´ im´ e dans (4.5 4.5a,b), a,b), est constitu´ constitu´e de deux contributio contributions ns : la premi`ere ere est due `a la rotatio rotation n de l’´el´ el´ement ement fluide et la deuxi`eme eme due `a la d´eformation, eformati on,

∇

 ∇

soit

→ −−−−→ −

` comparer avec  a avec  vM 2 =vM 1 + Ω ∧M 1 M 2 en solide

v(x +   ξ ) =   v ′ =

 

∇ ∧ ∧   −→−→ ·            

 1 v(x) +  ( 2

  ξ 

v )

changement dˆ u ` la rotation a

+

  e ξ 

(4.6)

changement dˆ u a la ` l a d´eforma efo rmatio tion n

Le changement pro produit duit par la rotatio rotation n d’un ´el´ el´ement ement fluide fl uide ressemble donc a` celui en solide en rotation rotati on mais ma is avec un vecteur rotati rotation on instantan´ i nstantan´ee ee Ω ´egal eg alee `a la moiti´e de vecteur tourbil tourbillon lon ω :    1 Ω =   ω. 2

−→

−→

4.2. Cham Champ p ve vectori ctoriel el ω

 −→

Pour d´ecrire ecri re le l e champ cha mp vectori vec toriel el      ω on util utilise ise le mˆeme eme appro a pproche che employ´ em ploy´e pour p our la descri de scriptio ption n du champ champ de vit vites esse. se. Ain Ainsi si on appe appelle lle une ligne une  ligne (ou fil) tourbillonnaire  (ou tourbillonnaire  (ou une ligne de rotation) toute courbe dans l’espace dont la tangente en chacun de ses points p oints est parall`ele, ele, a` tout instant   t  fixe, au ‘vecteur tourbillon’ ω . L’´equation equation diff´erentielle erentielle d’une telle ligne satisfait alors d x ω   =   0, soit dx1   dx2   dx3 = = (4.7) ω1 ω2 ω3 o`u d d x = (d (dx x1 , dx2 , dx3 ) est tangent `a la courbe co urbe en coordonn´ co ordonn´ees ees curvilignes, curvili gnes, voir la figure fig ure 4.4.  4.4.

 −→

−→ ∧ −→

ω    x  

 d C 

Figure 4.4.   Fil tourbillonnaire.

Autrement dit, les lignes tourbillonnaires `a un inst instant ant donn donn´´e son sontt des ligne ligness de forc forcee du champs de vecteurs     ω   a` cet instan instant. t. Les Les   surfaces de rotation ou tourbillonnaires   et et   les  tubes de rotation ou tourbillonnaires  sont   so nt d´efinis efin is `a partir des lignes de rotation de la mˆeme eme mani`ere ere que sont d´efinies efinies les surfaces et les tubes de courant a` partir des lignes de courant. Puisque ω  =   v

∇∧

on d´eduit edu it im imm´ m´ediat edi ateme ement nt que

∇ ·  ω  = 0.

Un tel champ vector vectoriel iel est dit sol´eno¨ eno¨ıdal. ıda l.

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´ Deforma eformation tion des Fluides. Vor Vorticit ticit´ e

Comm e pour Comme po ur un tub t ubee de courant, cou rant, on consid` con sid`ere ere maintena ma intenant nt une surfa su rface ce ferm´ee ee S  en   eng´endr´ee par des lignes tourbillonaires s’appyant sur une courbe ferm´ ee   C   et d´elimita ee elim itant nt un u n volum volumee V    du fluide que l’on suit dans son mouvemen V  mouvement, t, voi voirr la figure figure 4.5  4.5 ;  ; une telle surface constitue un tube  S  tourbillonnaire. onire se fixe surdeleGa volume  V    V    d´ dgrad ´eladsky imsky it´e p(di art S   S  et  et les deux sections S  sections et S   S 2 , on pe peut utSi´ecrir ecr e sel selon onl’attention le th´eor` eor`eme eme Gauss uss-Os -Ostro trogr (dit th´ eor` eor` eme eme de 1   et la divergence) :

  ∇ · (

ω ) dV    V    = 0 =

V 

 

·

(n   ω )d )dS  S 

S 

o`u  n  et le vecteur normal ext´erieur erieur `a   S . On sait que l’int´ l’int´egrale egrale de surface sur le tube est nulle car   car    ω  y est orthogonal `a  n, et pa parr con cons´ s´equent equ ent on d´eduit edu it

  −

·

(n   )dS  ω)d S   =

S 1

 

·

(n   )dS  ω )d S 

S 2

 

(4.8)

ce qui qu i montre que le d´ebit ebit tourbil tourbillonnai lonnaire re est ind´ependant ependa nt du choix de de S   S  et  et de   C . n2 S 2

C 2

ω   ω   S 1 n1

C 1

Figure 4.5.   Lignes tourbillonnaires formant un tube tourbillonnaire.

4.2.1. Circulati Circulation. on. Th´ eor` eor` eme de Kelvin.   On d´efinit eme efinit la circulation de vect vecteur eur vitesse le long l ong d’une courb courbee ferm´ee ee   C  (  (un un circ circuit uit ferm´e) e) par Γ=

  ·

v d  ℓ

 

(4.9)

C 

o`u   ℓ   est mesur´ e le long de   C . La circ circulatio ulation n Γ satis satisfait fait un th th´´eor` eor`eme eme importan importantt de la dynamique des fluides appel´e le l e th´ t h´eor` eor`eme eme de Kelvin. Dans le cadre ca dre de certaines approximations, qui sont souvent plus ou moins satisfaites, on peut montrer que dΓ   = 0. 0.   (4.10) dt Cela veut dire que si l’on suit les particules fluide formant le circuit C  dans leur mouvement, la circulation autour de   C   reste r este tou toujour jourss la l a mˆeme. eme. Une co cons´ ns´equenc equ encee imm´ediat edi atee est la su suivant ivante. e. D’ D’ap apr` r`es es le th´eor` eor`eme eme de Sto Stokes kes on a   Γ0  = ω dS      (4.11)

  · S 

Depar arttement de Mecan aniique

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Dynamiques des fluides reels

 

 −→

4.2 Champ vectoriel  ω

 

49 

o`u  S  est   est la l a surfac su rfacee engend en gendr´ r´ee ee par p ar C . On d´eduit edu it al alor orss qu’ q u’ap apr` r`es es (4.8 4.8)) et (4.11 (4.11), ), la vort vortici icit´ t´e ω  s    s’a ’accr ccroi oitt si l’´etat eta t de l’´ecoul eco uleme ement nt fai faitt r´etr´ etr´ecir eci r   C   et par cons´equent equent la vorti vorticit´ cit´e aug augmentte mentte par un mou mouvement vement d’´elongat elon gation ion para parall` ll`ele ele `a     ω. Consid´erons erons par exemple un ´ecoulement ecoulement dont l es lignes les li gnes de courant co urant sont s ont des cercles concentriques o` u la vitesse est donn´ee ee par par   v   =   ω  k r , avec  avec   r   =   r (cos θ, sin θ) et calculons la circulation le long d’un cercle   C 0  de rayon r rayon  r 0   :

∧

Γ0  =

 

v d  ℓ  =  = ω  ω

C 0

·

 

r0 (  k

C 0

→ ∧ −→ e ) · (r − e dθ) = 2πω 2 πωrr . r

0 θ

2 0

Ce r´esultat esultat nous dit que pour Γ0  fixe,  fixe,   ω  diminue comme le carr´e du d u rayon. Un deuxi`eme eme exemple. exempl e. Soit   v   = (K/r K/r)) eθ   un champ de vitesse,   K  K  est  est une constante. Reprenons le calcul de circulation autour de   C 0 , on trouve K  Γ0  = 2πr 0 = 2πK  2 πK  r0 ce qui montre qu’elle est constante. Finale Fin alemen mentt not notons ons que la cir circu culat lation ion le lon longg d’u d’une ne cou courbe rbe   C    situ´ sit u´ee ee sur une surface tourbillonnai tourbil lonnaire re vaut z´ero ero :

−→

ΓC   =

  ·   ·   · v d  ℓ  =

C 

  = ω dS     =

S 

ω   ndS   = 0

S 

car   car    ω  est orthogonal `a  n, o`u  n  est la normal ext´erieure erieure `a  S   S ,, la surface engendr´ee ee par   C . Les r´esultats esultats que l’on vient d’expo d’exposer ser dans le cadre de th´eor` eor`eme eme de Kelvin nous montreX0nt que (1) un tube tourbi tourbillonnai llonnaire re se d´ eplace av eplace avec ec le fluide en tan tantt que surfa surface ce mat mat´´erielle erielle d´efor eforma mabl ble; e; (2) un fil tourbillonnaire se d´eplace eplace avec le fluide en tant qu’une ligne d’intersection de deux surf surfaces aces mat´erielles eriel les d´eformab efor mables; les; (3) un fil tourbillonnaire ou une singularit´ e tourbillonnaire se d´eplace eplace av avec ec le fluide en tant qu’un cas limite d’un tube tourbillonnaire. (4) comp compte te tenu de l’´equatio equa tion n (4.8 (4.8), ), un  un tube tourbillonnaire de longueur finie ne peut pas  se terminer/commencer dans le fluide  car   car un tub tubee tourb to urbillo illonnai nnaire re en se s e r´etr´ etr´ecissant eciss ant `a un ray rayon on nul est ´equivoque equivoque `a   ω . En effe effet, t, cett cettee limit limitee repr repr´´esente esente un fil tourbillonnai tourbil lonnaire re qui n’est franchissable fr anchissable que qu e par la disparition disp arition du d u tourbillon tourbil lon lui-mˆeme, eme, `a moins qu’il y ait une fronti`ere ere ou une singula singularit´ rit´e. e.

 → ∞

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CHAP CHAPITRE ITRE 5

´ Equations du mouvement 5.1. Forme fondamentale fondamentale Pou r d´etermi Pour ete rminer ner les ´equat equ atio ions ns du mou m ouveme vement nt nou n ouss allo a llons ns suiv s uivre re la l a mˆeme eme m´etho eth ode util u tilis´ is´ee ee pour la formulation de la loi de conservation de masse, `a savoir l’´equatio equa tion n de la conti continuit´ nuit´e. e. Soit   S  Soit  une surface ferm´ee ee contentant un volume volume   V  fluide, e, comm commee sch´ematis´ emat is´e sur la S  une V    de fluid figure   5.1 figure 5.1.. Le taux du changement de la quantit´e de mouvement dans un tel volume volume   V  V    est ´egal a` la somme de (i) le flux de la quantit quantit´´e de mouveme mouvement nt a` travers la surface  surface   S , comp compt´ t´e po positi sitivement vement vers l’int´erieur erie ur de de S   S ,, (ii) toutes les forces agissant `a l’i l’int´ nt´erieur eri eur de de V   V ,, (iii) toute les forces agissant sur la surface S  surface  S ..  , mes Notons d’abord que tous les flux `a travers la surface   S  S    sont so nt asso associ´ ci´es es `a   v dS  mesur´ ur´e en volume par pa r unit´e du temps, qui est prop proportion ortionnel nel `a l’aire locale et `a la vitesse du fluide vers `eme l’ext´ erieur. Alors, on a pour l’ erieur. l’ii composante compo sante de la quantit´e de mouvement par unit´e du volume ρv volume  ρv i . Par cons´equent equent on doit avoir pour p our le premier terme

·

    −

(i)

S 

  ρviv dS,

·

o`u le signe n´egatif egatif indique que le flux est compt´e vers l’int´erieur erieur de de   S . Not Notons ons au passage passage que viv dS    = v  =  viv ndS  = v  =  v i v j dS.

·

·

En ce qui concerne le deuxi`eme eme terme, qui correspond aux forces volumique volumiques, s, on a (ii)

 

ρf i dV ,

V 

o`u  f i  est l’i l’i`eme composante de la force volumiqu volumiquee par unit´e de masse. Finalement, Finalemen t, l’interac l’interaction tion de contact entre entre les particules fluides `a l’i l ’int´ nt´erie er ieur ur et `a l’e l ’ext xt´´erie er ieur ur de S  de  S  se  se traduit par le tenseur de contraintes σ . On appelle cette action de contact la force de surface qui est donn´ee ee par

−→ −→

 −→−→ ·

  σ dS,

S 

soit (iii)

  S 

σij n j dS 

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´  Equations du mouvement  pour l’i l’i`eme composante, o` u  n  est le vecteur unitaire u nitaire normal ext´erieur erieur `a   S . Ain Ainsi si l’´ l ’´equatio equa tion n de bil bilan an de la qua quantit´ ntit´e de mou mouvement vement s’´ecrit ecrit sou souss form formee int´ i nt´egrale egra le d   i i dt V  V    = v dS  +  + V  V    + S    (5.1a) V  ρv dV  S  ρv  S  V  ρf i dV  S  σij n j dS. En app appliqu liquant ant le th´eor` eor`eme eme de Gau Gaussss-Ostr Ostrogr ograds adsky ky (th´eor` eor`eme eme de la diverg divergence) ence) a` l’i l ’int´ nt´egra egrale le de surface (pourvu que  que   S  ne   ne contienne pas de discontin discontinuit´ uit´e) e) les termes (i) et (iii) prennent respectivement les formes ∂  (i*) (ρvi v j ) dV, ∂x  j V  et ∂  (iii*) σij dV. ∂x  j V 

 

−

 

 

·

 

    −  

Compte tenu du fait que V  que  V    es estt su supp ppos os´´e fix´e, e, l’l’´´equa equati tion on (5.1a 5.1a)) se transforme en :

   V 

 ∂   (  (ρv ρvi ) +   ∂  (ρvi v j ) ∂t ∂x j

− ρf  −  ∂x∂  σ  j

ij

 j



dV  V    = 0,

qui est valable quelque soit  soit   V  V .. D’o` u ∂    ∂    ∂   (ρv  ( ρvi ) + (ρvi v j ) = ρf  j  + σij ∂t ∂x j ∂x j

 

 

(5.1b)

(5.1c)

qui est l’´equatio equa tion n de la quant quantit´ it´e de mouvement. mou vement. En uti utilisa lisant nt l’´equatio equa tion n de conti continuit´ nuit´e ´ecrite ecrit e sous forme indicielle ∂ρ   ∂   + (ρv j ) = 0,   (3.2c ) ∂t ∂x j l’´equa equati tion on (5.1c 5.1c)) se r´eduit edu it `a ∂v i ∂v i   ∂  ρ   + ρv j =  ρf i  + σij ,   (5.1d) ∂t ∂x j ∂x j ou sous forme vectorielle : ∂v    + ρ   + ρ(v )v  =  = ρ  ρf  σ.   (5.1e) ∂t

∗

−→ ∇ · −→

·∇

n

S 

v

dS  V 

Figure 5.1.   Un volume  volume   V  V    du fluid fluidee d´elimit´ elim it´e par la surf surface ace S   S ..

D´epar arttement de M´ecan aniique

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Dynamiques des fluides r´eels

 

5.2 Contraintes et taux de d´eformation

53  

5.2. Contraintes et taux de d´eformation eformation 5.2.1. Partie isotrope isotrop e et partie d´ eviatrice de tenseur eviatrice t enseur de contraintes.  L  L’´ ’´equa equati tion on de conserv conservation ation de la quantit quantit´´e de mouveme mouvement nt (5.1 5.1)) est inutilisable sans donner une forme pr´ecise ecise pour le tenseur de contrainte co ntrainte σ . Ceci se d´ecompose ecompose en deux tenseurs. Le premier est dit isotrope et le second est dit d´eviateur eviateur :  1  1 σij   = σkk δ ij σkk δ ij (5.2) ij + σij ij . 3 3

−→

  −            isotrope

d´evia ev iate teur ur

Pour un fluide au repos  au  repos  la   la deuxi`eme eme compo composante sante doit s’annuler, et la premi`ere ere devient

− pδ  , ij ij

o`u  p  est, en effet, ´egale ega le a` la pression thermodynamique `a l’´equil equ ilibr ibre. e. Par contre, pour un fluide en mouvement mouvement il n’est plus n´ecessaire ecessaire que le terme isotrope soit le mˆeme eme que la pression thermodynamique. Posons donc σij   = o`u

−P δ   + s ij

ij

−P P    =   13 σ

kk

dont la relation `a la pression thermodynamique reste `a examiner. examiner. Ains Ainsii   sij  est un tenseur d´eviateur evia teur dont la la par partie tie iso isotrop tropee est, e st, par d´efinitio efini tion, n, ´egale egal e `a z´ero er o,  s kk  = 0, car  car   δ kk kk  = 3, et parr co pa cons´ ns´equent equ ent σkk  = 3P   + skk . Nous allons maintenan maintenantt examiner la relation du tenseur d´eviateur eviateur au mouveme mouvement nt de fluide.

−

5.2.2. L’´ equation constitut equation co nstitutive ive pour un fluide flu ide Newtonien. Newtoni en.  Un fluide est dit Newtonien si la contrainte de cisaillement τ  cisaillement  τ  (u  (une ne force f orce tang tangentiel entielle le expri e xprim´ m´ee ee par p ar unit´ u nit´e de surf surface, ace, produite lors de mouvement) est proportionnelle au gradient de vitesse. Par exemple, dans un ´ecoulement ecoulement bidimensio bi dimensionnel nnel la contrainte de cisaillement ci saillement dans la direction des des x  x es  estt do donn nn´´ee ee ∂u τ   =  µ   Nm−2 ∂y o`u   µ   est la viscosit´e dynamiqu dynamiquee du fluide, exprim´ee ee en Nsm−2 ou en kg s−1 m−1 . L’ L’ai airr et l’eau l’e au son sontt des fluides fluides Ne Newto wtonie niens. ns. Le coeffi coefficie cient nt   µ  s’interpr  s’interpr``ete ete comme un coefficient de r´esistan esis tance ce au gli glissem ssement. ent. L’origine de cette relation provien provientt de la consid´ eration de transfert de la quantit eration quantit´´e de mouvement a` travers toute surface au niveau mol´eculaire. eculaire. Examinons donc un tel transfert suivant la direction des x des  x  `a travers une surface  surface   y  = constante., cf. la figure   5.2 5.2.. Un certain cert ain nombre de mol´ mo l´ecules ecules au dessus d essus de de S   S  sera  sera en mouvement vers le bas `a travers S . La quan quantit tit´´e (mo (moye yenne) nne) de mouv mouveme ement nt dans la dire direction ction des   x, de ces mol´ecules, ecules, est proportionnelle `a   U   + u  u qui  qui est inf´erieur erieu r a` celle correspondant `a leur nouvelle position, la diff´erence erence entre les deux ´etant etant perdue p erdue par p ar collisio co llision n avec les autres particul particules. es. Cela veut dire qu’il y a un trans transfert fert de la quan quantit tit´´e de mouv mouvemen ementt ve vers rs le bas a` travers   S . Vue sur sur une ´echelle echelle plus grande, cela se manifeste comme une force, dans la direction des x des  x,, sur la r´egio egion n

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´  Equations du mouvement  inf´erieure erieure de fluide. En revanche, un transfert de “d´eficit” eficit” de quantit´e de mouvement vers

10 10 10 10 10 10 10 10 1010 1010 10 10 1010 1010 10 10 10 10 10 10 10 10 101010 10 10 10 101010 10 10 10 10 10 10 10 10 10

U   + u

S 

y  = constant.

U 

Figure 5.2.  Transf  Transfert ert mol´eculair ecul airee de d e la l a quanti q uantit´ t´e de d e mouveme m ouvement nt `a travers une surface.

la r´egio egion n su sup´ p´erieur eri euree a` travers  travers   S , qui fai faitt d´ec´ ec´el´ el´erer erer le mou mouvement vement des mol´ecules ecul es au dessu dessuss de   S . Le r´esultat de esultat est une contrain contrainte te de de   cisaillement   a` travers  travers   S  qui   qu i fa fait it acc´el´ el´erer ere r le flu fluid idee au dessous de   S , et, par la mˆeme, eme, fai faitt d´ec´ ec´el´ el´erer erer le fluid fluidee au dess dessus us de   S . La contra contrain inte te est n´ecessairement ecessairement prop proportionn ortionnelle elle `a  u  u,, la diff´erence erence de vitesse, et `a d’autres param`etres etres de mouvement mou vement mol´eculair ecul aire. e. Or, dan danss un u n ´ecoulement ecou lement r´eel eel il n’y a pas p as de disco d iscontinuit´ ntinuit´e de vite vitesse sse a` travers  travers   S . Com Compte pte tenu tenu de ce fai faitt on doi doitt cher herccher alors une gra grande ndeur ur pour re rempl mplace acerr u. Maintenant puisque l’´echange echange mol´eculaire eculaire a lieu a` travers une distance comparable au parcour par courss mol´ m ol´eculair ecul airee moyen m oyen l l,, la variation de vitesse est l

dU  dy

qui est, en effet, une bonne approximation car l car  l  est petit devant l’´echelle echelle suivant laquelle l aquelle U   U  change. Par cons´ co ns´equent equent la contrainte de cisaillem cisaillement ent peut p eut s’´ s ’´ecrire ecrire sous la forme f orme µ

dU  dy

o`u  µ  µ,, la l a vis v iscos cosit´ it´e, e, d´epend ep end des pa para ram` m`etres etr es de mo mouvem uvement ent mo mol´ l´ecula ecu lair ire. e.

5.2.3. Loi de comportement 5.2.3. comportement pour un fluide Newtonien. Newtonien.   L’ L’ar argu gume ment nt pr´ec´ ec´edent ed ent,, qui peut ˆetre etre raffin´e pour un gaz, fournit une bonne base pour sugg´erer erer que la contrain contrainte te de cisaillement `a admettre dans s dans  s ij  doit ˆetre etre proportionnelle prop ortionnelle au gradient local (en temps et en espace) de vitesse, au moins pour des fluides `a constitution mol´eculaire eculaire simple dont le tempss de r´eponse temp ep onse est tr`es es cour court. t. Rappelons Rapp elons nous que le mouvement d’un fluide peut ˆetre etre loca localement lement d´ecompos´ ecomp os´e en : (i) translation locale; (ii) mouveme mouvement nt de rotation comme pour un solide ind´eformable; eformable; (iii) d´eformation eformati on loca locale. le. On note imm´ediatement ediatement que la premi` ere composante (i) n’a rien av ere avoir oir av avec ec la contrain contrainte te locale de cisaillement. Il est plausible aussi que le mouveme mouvement nt de rotation pure n’entra n’entraˆˆıne, quant `a lui, non plus de telles contraintes (les d´emonstrations emonstrations se trouven trouventt dans des livres sp´ecialis´ ecialis´es). es). Finalement, il ne nous reste que le tenseur des taux de d´eformation eformat ion e  e ij  comme source pour les contraintes  contraintes   sij .

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Dynamiques des fluides r´eels

 

5.2 Contraintes et taux de d´eformation

55  

Nous cherchons une relation tensorielle entre e entre  e ij   et et s  s ij  qu  quii reflet re flet des pr prop opri´ ri´et´ et´es es ob o b jec jecti tives ves et donc n’a rien avoir avoir avec avec le ch choix oix des axes axes.. Ainsi Ainsi,, nous cherc cherchons, hons, en effet effet,, une relation relation lin´eaire. eaire. Bien plus, pour des fluides simples (par rapport rappo rt `a leur structure mol´eculaire) eculaire) nous anticipons que la relation est isotrope, o`u il n’y a pas de directions de pr´ef´ ef´erence erence dans le mouvement mou vement mol´eculaire. ecula ire. Forc´ement, ement, cela nou nouss cond c onduit uit `a sij   = Aijkl ekl , avec

 

Aijkl  =  = µδ   µδ ik ik δ   jl  + µ1 δ il il δ   jk  + µ2 δ ij ij δ kl kl

compte tenu de l’isotropie de milieu fluide simple. Alors sij   = µe ij  + µ1 e ji  + µ2 ekk δ ij ij ` cela s’ajoute le Le fait que  que   sij   et et   eij   soient des tenseurs sym´etriques etriques conduit `a   µ   =   µ1 .   A faitt que fai q ue nou nouss avons avo ns d´efini efini  s ij  tel que s que  s ii  = 0, 0 , et par cons´equent equent   µ2  = 2µ/ µ/33.  Finalement, la ‘loi de comportement’ prend la forme  1 sij   = 2µ(eij ekk δ ij (5.3) ij ) 3 pour un fluide Newtonien.

−

−

◮  Remarque  5.1 :  L  L’e ’exp´ xp´erie er ience nce a mon m ontr´ tr´e que q ue le less argum a rgumen ents ts d´evelo ev elopp´ pp´es es pour ar arriv river er a ` l’´ l’´equa eq uati tion  on  (5.3 5.3)) sont justifi´es es pour les fluides flu ides simples, s imples, mais ne n e s’applique s’ap plique pas aux fluides flu ides compliqu´es es dits d its fluides  flui des  nonno n-Ne Newto wtonie niens ns ´etudi´ etu di´es es en rh´eologi eo logie. e.   ◭

5.2.4. Thermodynamique et pression m´ ecanique.  O ecanique.  On n no note te de ce qui a pr´ec´ ec´ed´ ed´e  1 que   sij   ne d´epend que epe nd que du tens tenseur eur d´eviateur evia teur   eij 3 ekk δ ij ene a` penser que ene ij .  Cela nous am` v   ou   ekk   doit inter interve venir nir ailleurs ailleurs.. Et puisque puisque v   n’est pas li´e au changeme changement nt de volume, il pourrait alors se manifester dans le terme P δ ij car   p   et dV  V    sont ass assoc oci´ i´es es en ij , car  thermodynamique. Notons que si nous admettons que

 −

∇·

 ∇ ·  −

P   p

 − P  −  − p p =  = −K e

est li lin´ n´eaire eai re en en e  e ij , il vient alors que la seule relation possible serait kk

o`u K  est   est une constante, car e car  ekk  f  fournit ournit le seul inv invariant ariant lin´eaire eaire de de e  eij . En effet cet cet argument argument peut ˆetre etre justifi´e par la consid´eration eration de l’´energie energie du fluide, que l’on peut trouver dans les ouvr ou vrag ages es sp´ecia ecialilis´ s´es. es . On dispose maintenan maintenantt d’une forme compl` ete pour   σij , exprim ete exprim´´ee ee en fonction de deux ‘constantes’   µ   et et   K  K    (qui varient, en g´en´ en´eral, eral , avec la temp´erature, erat ure, et pro probabl bablement ement avec la masse volumique  volumique   ρ) : σij   =

−( p − Ke

kk )δ ij ij  +

o`u  p  est la pression thermodynamique, et P    = p P 



2 µ eij 2µ

− Ke

−



 1 ekk δ ij ij , 3

kk

est la pression m´ecanique, ecanique, ou la contrain contrainte te normale moy moyenne. enne.

 

(5.4a)

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´  Equations du mouvement  En g´en´ en´eral er al,, l’l’´´equa eq uati tion on (5.4a 5.4a)) s’´ecrit ecrit sous la forme : σij   =  pδ ij 2 µeij  + λekk δ ij ij  + 2µe ij ,

−

 

(5.4b)

τ ij ij

 

avec

λ  =  = K   K 

    

−  23 µ.

´ 5.3.   Equations de Navier-Stokes Muni de  de   σij  nous sommes maintenant en posi position tion d’´ecrire ecrire les ´equations equatio ns de mouvement sous forme explicite. Mais d’abord rappelons nous que   1 ∂v i  ∂ v j eij   = + , 2 ∂x j ∂xi   ∂v k = ekk  = v. v. ∂xk





∇·

Alors on obtient pour p our les ´equations equations de mouveme mouvement nt (5.1 5.1)) dvi   ∂p   ∂  ∂v i ∂v j   ∂  ρ   = ρf i + µ +µ + dt ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi ∂xi



−

   λ

∂v k ∂xk

.

 

(5.5a)

On appelle app elle cette ´equatio equa tion n l’´equatio equa tion n (com (compl` pl`ete) ete) de Navier Navier-St -Stokes. okes. Les variations de   µ   et et   λ   avec la position (dues, en premier lieu, aux changements de temp´erature) erature) sont petites que l’on peut n´egliger, egliger, ce qui nous permet d’´ecrire ecrire ρ

dv     =  ρf  dt

 

2

 − ∇ p + µ∇ v + (λ  − (λ + µ)∇∇ · v

´ ations Equ Equati ons de Na Navie vier-S r-Stok tokes es

(5.5b) (5. 5b)

On appelle app elle les ´equations equations (5.5 5.5)) les ´equations equation s de Navier-Stokes; Navier- Stokes; pour un fluide fluid e au repos rep os ( (v  =   0) (5.5 5.5)) se r´eduit edu it a` l’´equation equa tion hydro hydrosta statiqu tiquee ρf     =  p   E Equation ´ quation hydrostatique Lorsque ρ Lorsque  ρ est  est constante constante,, ou lorsque la vitesse de l’´ecoulement ecoulement est petite p etite devant la vitesse du son dans le milieu fluide on peut admettre que v  = 0, l’´equatio equa tion n (5.5 5.5)) se r´eduit edui t alo alors rs `a

∇

 ∇··  ∇

ρ

dv     =  ρ f  dt

2

 − ∇ p + µ∇ v  −

 

´ Equat Equations ions de Nav Navierier-Stok Stokes es incompre incompressibl ssibles es (5.6)

qui repr´esente esente les ´equations equation s de Navier-Stokes pou pourr un ´ecoulement ecoulement incompress incompressible. ible. Un nombre important de solutions de (5.5 ( 5.5)) peut ˆetre etre obtenue lorsque µ =  = λ  λ =  = K   K    = 0

Mod od``ele no nonn-v vis isq que ueu ux

pourr le mod`ele pou ele non-vis non-visqueux queux d’´ecoulement. ecoulement. On obtient alors l’´equation equation d’Euler : ρ

dv     = ρf  dt

 − ∇ p  −

 

´ quation d’Euler E

(5.7)

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

5.4 Discussion des ´equations de Navier-Stokes

57  

La visc viscosi osit´ t´e dyna dynamiqu miquee a pour p our uni unit´ t´e ML−1 T−1 , et la visco viscosit´ sit´e cin´ematique emat ique a L2 T−1 ; dans tableau   5.1 tableau 5.1   sont donn´ees ees des vale valeurs urs de ces coefficien co efficients ts pour quelques fluides. Notons que ces chiffres ne sont pas tr`es es significatifs sauf pour p our des comparaisons entre des fluides. Pour faire valoir la l a signifiance sig nifiance de la viscosit´e  µ  µ il  il va falloir fallo ir consid´ consi d´erer erer des group groupes es sans dimensio dimension. n. Par exemp exemple, le, po pour ur un ´ecoulement ecou lement cara caract´ ct´eris´ eris´e par une vites vitesse se   U  U  sur  sur un corps de dimension (taille) ℓ (taille)  ℓ,, le groupe ρUℓ/µ = ρUℓ/µ  = Uℓ/ν   Uℓ/ν  estt sa es sans ns dimens dimension ion.. On appell appellee ce groupe groupe le le   nombre nombre de Re Reynolds  ynolds . C’ C’es estt le nom nombr bree de Reynold Reyn oldss qui met en lumi`ere ere l’eff l’effet et de la visc viscosit´ osit´e dan danss un ´ecouleme ecou lement nt donn´e. e. Il est commode commo de de diviser les ´equations equations de Navier-St Navier-Stokes okes par   ρ, en particulier lorsque celle-ci varie peu, ce qui conduit `a dv     −1   Eq ´ uation   = f  ρ  p + ν  2v Equat ion de Na Navie vier-S r-Stok tokes es inc incomp ompres ressib sible le (5.8) (5. 8) dt pour un fluide ou un ´ecoulement ecoulement incompressible. Sous cette forme on voit imm´ediatement ediatement que c’est la visco viscosit´ sit´e cin´ematique emat ique qui met en ´evidence evid ence l’eff l’effet et de la visc viscosi osit´ t´e sur l’´ecoulement ecou lement,, car compte tenu de donn´ees ees affich´ees ees dans la table   5.1 5.1,, on se rend vite compte que, par exemple, l’air est beaucoup plus visqueux que l’eau, et le mercure est peu visqueux par rapport aux autres fluides.

 − ∇  −

∇

5.4. Discussi Discussion on des d es ´ equations de Navier-Stokes equations N avier-Stokes 5.4.1. Conditio Conditions ns aux fronti` eres.   Un condition pr´ealable eres. ealable pour toute solution des ´equat equ atio ions ns diff´ d iff´erentie ere ntiell lles es ou o u aux au x d´eriv´ eri v´ees ees par p arti tiell elles es est es t l’exi l’ exist stenc encee des de s condi co nditi tion onss aux au x fronti` fro nti`eres, ere s, c’est-` a-dire les conditions a-dire conditions aux limites. Dans tout mouv mouveme ement nt un fluide est en con contact tact avec avec d’autres milieux : il s’agit en g´en´ en´eral eral soit d’un autre fluide, soit d’une paroi solide. D´esign esi gnon onss pa parr   F   la l a fronti`ere ere du domain domainee   D   occup´ o ccup´ e par le fluide ;   F   peut p eut ˆetre etre une donn´ don n´ee ee ou une inco inconnue nnue du pro probl` bl`eme. eme. 5.4.1.1.   Fr Fron onti` ti`ere ere so solid lide. e.   Soit   F   la fronti`ere ere d’un solide situ´e dans un milieu fluide et w  (r , t) sa vitesse. D´esignons esignon s par p ar   n  et  et   τ  resp τ  respectivement ectivement le l e vecteur unitair unitairee normal no rmal ext´erieur erieur `a   F   et le vecteur vecteur tange tangente nte.. Alors la vite vitesse sse du fluide est ´egale egale `a la vitesse du solide aux points de contact fluide-solide   F   :

∀M  ∈  ∈ F  soit

 

et

 

· −  w (M, t)) = 0,0,    · (v(M, t) −  w (M, t)) = 0 τ  τ ·

  v(M, t) =  w  (M, t)

n (v (M, t)

L’air µ  (kg/m s) 1.8 10−5 ν   = µ/ρ  µ/ρ (m  (m2 /s) 1.5 10−5

× ×

  dite condition de non-gl gliissement.

L’eau 1.1 10−3 1.1 10−6

× ×

(5.9)

Mercure 1.6 10−3 1.2 10−7

× ×

Huile d’olive 0.10 1.1 10−4

×

(5.10 10)) Glyc´erine 2.33 1.8 10−3

×

Table 5.1.   Valeurs de d e viscosit´ visco sit´e dynami dyn amique que µ  µ et  et vi visc scos osit´ it´e ci cin´ n´emat ematiq ique ue ν   ν  pour   pour

quelques fluides, `a 288 K.

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´  Equations du mouvement  Ces deux conditions sont aussi valables quelques soit le milieu d´efini efini par   F . Quand Quan d on o n ´etudie etud ie l’´ecouleme ecou lement nt auto a utour ur d’un d ’un sol solide ide F  es  estt une donn´ee ee et ce sont so nt les efforts exerc´´es exerc es par le fluide sur le solide qui constituen constituentt l’inconnue `a laqu laquelle elle on s’i s’int´ nt´eresse. eres se. 5.4.1.2.   Fr Fronti` onti`ere ere entre deux de ux fluides flui des non n on misci m iscibles bles..   Lorsque F  e  est st un unee fro f ronti nti``ere er e s´epar ep arant ant deux fluides dont l’une au moins est un liquide on dit que c’est une  surface libre  ;   ; la surface entre mer et atmosph`ere ere est une surface libre. Le fait que F   est une surface mat´erielle erielle nous permet pe rmet d’´etablir etab lir une cond conditio ition n n´ecessair ecess airee de cin´ematique. emat ique. Soi Soitt F ((M, t) = 0 F  l’´equa equati tion on de F  au cours de mouvement, o`u M  F   pe peut ut ˆetre etr e co consi nsid´ d´er´ er´ee ee co comme mme la po posit sitio ion n d’une particule. Puisque dF  dF  =  = 0, il vient alors que

 ∈  ∈

dF    ∂F    ∂F  dxi  =  + dt ∂t ∂xi dt dF    ∂F   =   + v F    = 0. F    condition cin´ematique. dt ∂t Quand   F  e  est st une surf surface ace lib libre, re, on a int´erˆ erˆet et a` se donner F  donner  F  sous  sous la forme

(5.11)

·∇

 ≡ x − η(x , x , t) = 0.  ≡

F 

3

1

2

Il vient d’a d’apr` pr`es es (5.11 5.11)) ∂η ∂η ∂η   + v1 + v2 = 0 pour  x3  =  = η  η.. ∂t ∂x1 ∂x 2   F  n   F 

  e  u    i    l    i   m

   ∂  D

 2

  D   1

  n  t   e   a  c Σ    j   a  d

  e  u    i    l    i   m

  e    i  ´   d   u   e  ´  t   u    i  n   t   n  c  o

   ∂

n′

∂ D  D3  Figure 5.3.   Une segment de   F .

 

(5.12)

D´epar arttement de M´ecan aniique

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Dynamiques des fluides r´eels

 

5.4 Discussion des ´equations de Navier-Stokes

59  

5.4.1.3.  Conditions dynamiques.  Soit `a l’instant t l’instant  t deux  deux milieux continus adjacents et   D  le volume du cylindre aplati de la figure   5.3 5.3,, limit´e par la base   ∂ D  D1   situ´ ee dans le milieu ee ´etud et udi´ i´e, e, la ba base se   ∂ D  D2    situ´ ee dans le milieu adjacent et une surface lat´erale ee erale   ∂ D  D3    de faible dimension. Nous admetto admettons ns que les forces de capilla capillarit´ rit´e sont n´egligeables. egligea bles. L’´equa equati tion on (5.1a 5.1a)) ap appl pliqu´ iqu´ee ee `a   D  s’´ecrit ecrit sou souss la l a form formee d ∂  ρvi dV  V    + (ρvi v j ) dV  V    = ρf i dV  V    + σij n j dS    (5.13) dt D  ∂x  j D  D  ∂ D  D  Faisons maintenant tendre   ∂ D  D1    et   ∂ D  D2    vers Σ, partie de   F    int´ int´erie erieur uree `a   D . Le Less forc forces es d’inertie et `a distan distance ce son sontt des forc forces es massi massiques ques et elle elless von vontt tend tendre re ve vers rs z´ ero puisq ero puisque ue le volume tend vers z´ero. ero. Il va donc rester, `a la limite,

 

 

 

  Σ

′



σij′ n j  + σij n j′ dS   = 0,

o`u σij  d´esignant esignant la contrainte contrai nte dans le milieu mil ieu adjacent, a djacent, et n′ = il vient soit

σij′

−σ

ij   =

−n. Comme Σ est quelconque,

0,

σij   = σij′

 

 

 

(5.14)

ce qui veut dire que le vecteur contrainte est continu `a la travers´ee ee de   F . ◮  Remarque   5.2 :   Appli Appliquons quons la loi de la dynamique dynamique au cylin cylindr dree et faiso faisons ns tendre tendre la hauteu hauteur  r  ′         vers z´ero. ero. Soit  F   et  F  les forc forces es de conta contact ct exerc exerc´ ´ees ees resp respectivement ectivement sur les deux bases   ∂ D  D1    et  tendentt l’une vers l’aut l’autrre les for force cess mass massiques iques (inert (inertie ie et ext ext´ ´erieur) erieur) ∂ D  D2  . Lorsque les deux bases tenden

ont une limite nulle car le volume d’int´ egration tend vers z´ egration ero. On obtient donc  ero.    +  F   ′ = 0 F  soit 

 

   = F  F  

−F  

′

(5.15)

car   D 1   = D 2  = Σ. Cett Cettee relati relation on peut ˆetre etre vue comme l’´egalit´ ega lit´e de l’ac l’action tion et la r´eaction eac tion..

 

◭

◮  Remarque  5.3 :   Si  F   est la surface de s´ eparation de deux fluides au rep eparation repos os ou de deux fluides  id´eaux eaux en mouvem mouvement ent ( µ  =  = λ  λ =  = 0) la condition vectorielle   (5.14 5.14))  se r´edui ed uitt a ` la condition scalaire 

 p =  p  = p  p ′ .

 

(5.16) ◭

◮   Remarque   5.4 5.4 :   Le milieu adjac adjacent ent exer exerce ce sur le milieu fluide ´etudi´ etudi´ e une for force ce dont la  r´esultan esu ltante te pour la partie   Σ   de   F   est 

  −→−→   −→ − −→  

σ nd S. S.

Σ

Si le milieu adjacent est un solide, la forc forcee exer exerc´ c´ee ee par le fluide sur le solide est    = R

σ nd S. S.

Σ

Si le fluide est id´ eal on a  eal

  = R

 pnd S. S.

Σ

◭

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´  Equations du mouvement 

5.4.2. La pesa 5.4.2. pesant nteur eur et la pre pressi ssion on dyn dynam amiqu ique. e.   En g´en´ en´eral era l les fo force rcess a` distance (forces de volume) se limitent `a la force de la pesanteur; cette force est souvent la cause principale principa le de d e l’´ecoulement ecoulement comme par exemple exem ple dans le cas de l’´ecoulement ecoulement fluvial, mais elle se trouv trouvee dans d’aut d’autre re cas ´equilibr equilibr´´ee ee par la pres pression sion hy hydrost drostatiqu atique. e. Il est donc utile de soustraire ces deux effets av avant ant d’analyser certaine classe d’´ecoulement. ecoulement. Pour fixer les id´ees ees suppo supposons sons que que   ρ   est est constante. constante. Soit Soit   p1  la pression lorsque le fluide est au repos, et  et   p1  +  + p  p2  dans le cas contraire. Alors on a ρg  =  p1 ,   pour un un fluide fluide au repos repos dv ρ   =  ρg ( p1  +  + p  p2 ) + µ 2 v,   pour un fluide en ´ecoulement. ecoulement. dt Ces deux ´equations equatio ns conduisent `a dv ρ  =  p2  + µ 2 v, dt o`u seule la pression  pression   p2  appara  apparaˆˆıt. On appelle cette pression la “pression dynamique”.

∇

−∇

∇

−∇

∇

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Dynamiques des fluides r´eels

 

CHAPITRE CHAP ITRE 6

´ oule Ec Ecou leme ments nts id´eaux eaux 6.1. L’´ equat ion d’Eu equation d’Euler ler On appell a ppellee un fluide pour lequel la contrainte co ntrainte visqueuse vi squeuse (ou la viscosit´ vi scosit´e) e) et conductivi conductivit´ t´e thermiqu ther miquee son sontt nu nulles lles un fluide parfait; pour ´eviter eviter toute confusion confusion en entre tre la notion de gaz parfait en thermodynamique et un fluide parfait il est commode de parler d’un fluide id´eal eal (ou un ´ecoulement ecoulement id´eal) eal) au lieu d’un fluide parfait. Dans ce cas le tenseur de contrain contraintes tes est sp sph´ h´erique eri que

−→ I → − σ   = − p− →  , et l’´equatio equa tion n de Navier Navier-Sto -Stokes kes se r´eduit edui t `a ∂v   + v ∂t

· ∇v  = − ρ1 ∇ p +  f  

 

´ quation d’Euler. E

(6.1)

On appelle (6.1 (6.1)) l’´ equation d’Eul equation d’Euler, er, don dontt la solut solution ion est a` rechercher avec l’´equation equation de cont co ntin inui uit´ t´e ∂ρ  + ∂t

 

∇ · (ρv) = 0

´ quation de continuit´e E

(6.2)

et l’´equat equ atio ion n d’´etat eta t de flu fluide ide  F   F ((ρ,p,T ) = 0. Cette ´equatio equa tion n est remp remplac´ lac´ee ee par

pour un fluide incompressible, ou

ρ  = constante



  ds  = 0 dt  p   =   RρT 

pou r un gaz pour g az parfait, parfa it, pour p our lequel le transfert tran sfert thermique th ermique par p ar conduction cond uction est suppos´ supp os´e n´egligeable egligea ble (conduct (con ductivit´ ivit´e ther thermiqu miquee nulle) et les chang changements ements d’´etat etat sont supp suppos´ os´es es r´eversibles, eversib les,   s  ´etant l’entropie du fluide.

6.2. L’´ equation du vecteur tourbillon equation t ourbillon Nouss adm Nou admett ettons ons dans ce qui sui suitt qu quee la mas masse se vo volum lumiqu iquee est constan constante te,, et la for force ce volumique est soit la force de la pesanteur ou soit une autre force qui d´erive erive d’une fonction potentielle :    = f  Φ.

−∇

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´  leme Ecou Ecoule ments nts id´eaux  eaux  L’´equation equation d’Euler s’´ecrit ecrit alors sous la forme



∂v   + v v  = ∂t ρ  = constante.

·∇

1  p ρ

Φ,

(6.3)

− ∇ −∇ ∇∧)

Pour trouver l’´equation equation qui r´egit egit le vecteur tourbil tourbillon lon nous appliqu appliquons ons l’op´erateur erateur rot ( `a l’´equation equation d’Euler, mais notons d’abord que v   ∂  ω ∇ ∧  ∂  = ∂t ∂t

∇ ∧ v. Ensuite, on peut montrer que ∇ ∧ (v · ∇v) = v · ∇ ω −  ω · ∇v,v, o`u nou nouss avons util utilis´ is´e ∇ · v  = 0 et ∇ ·   ω  = 0. De plus, puisque pour toute fonction scalaire f ,, ∇ ∧ ∇f  = f    = 0, l’´equation equation du vecteur tourbil tourbillon lon se r´eduit eduit `a o`u    ω  =

∂  ∂tω  + v

· ∇ ω =  = ω  ω · ∇v, v,

 

(6.4a)

ou d  ω   =   ω v. v.   (6.4b) dt Cette ´equation equation nous dit que le taux du changemen changementt du vecteur vecteur tourbillon associ´e a` une particule fluide au cours de son mouveme mouvement nt est ´egale egale `a    ω v .

·∇

·∇

´ ◮   Remarque   6.1 :   [ Ecoulemen Ecoulement t bidimensionnel bidimensionnel ]  ] Pour un ´ecoulement ecoulement bidimensionnel 

v  =  = u  u((x, y)  i +  + v  v((x, y ) j 

on a     equen t on a  equent ω  =  = ω  ω((x, y )  k . Par cons´ d ω       ∂    =    ω v  =  = ω  ω((x, y ) u(x, y)  i +  + v  v((x, y) j   = 0 d t ∂z ce qui q ui montre que la “vortici “vorticit´ t´ e” est conserv´ee. e” ee. Notons que ce r´esultat esultat s’appliq s’applique ue aux r´ egions o` egions u  u  l’effet l’eff et de la vis viscosit´ cosit´e est n´egligeabl egl igeable, e, car   (6.4 eriv e de l’´equatio equ ation n d’Eu d’Euler. ler.   ◭ 6.4))  d´erive

·∇





◮  Remarque   6.2 :   [ L’´ L’´ equation du vecteur tourbillon pour un ´ equation ecoulement quelconque ]  ecoulement Soit  σ coordonn´ee ee curvili curviligne gne le long de fil tourbil lonnaire et  e t   v ecteurs rs unita u nitaires ires parall` paral l`ele  ele   σ  la coordonn´  τ  τ   et    n  les vecteu et normal `a  a  σ. Alors    ∂  ω   = ω . ∂σ Il s’en suit qu’en posant    v  =  = v  v 1τ  τ  + v2n,   (  ω v)  devient 

·∇ ·∇

ω  

∂τ  τ  ∂ (v2 n) · ∇ = ωτ τ  ∂v∂σ1  + ωv1 ∂σ   + ω  . ∂σ

Notons que les changements en   v1   le lon longg du fil tou tourbi rbillonn llonnair aire, e, tr tradu aduit it par le ter terme  me   ∂v 1 /∂σ , conduisent ` a l’´elongation elongat ion de d e fil tourbil lonnaire, et `a l’accroissement (si  ∂v  ∂ v1 /∂σ > 0 > 0 ) de sa rotation. Les termes ter mes restants (dans le deuxi`eme eme membre) refl` etent le r´eajustement etent eajuste ment dans le vecteur tourbil lon  consistant avec la rotation de fil tourbillonnaire.   ◭

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

6.3 Le th´eor`eme de circulation de Kelvin

63  

6.3. Le th´ eor` eor` eme de cir eme circula culation tion de Kelv Kelvin in Soit   C  une courbe ma courbe  mat´ t´erie er iell le  le  (arbi  (arbitra traire) ire) ferm´ee ee qui est po port´ rt´ee ee par l’´ecouleme ecou lement. nt. Alor Alorss on d´efinit efinit la circulation Γ autour de   C   par Γ=

  ·

v d  ℓ

C 

o`u dℓ  est un arc infinit´esimal esimal le long l ong de   C . Consid´ Cons id´erons eron s un ´ecouleme ecou lement nt d’un fluid fluidee id´eal eal et bar barotro otrope pe  ρ  = ρ ), et calculons le taux  ρ =  ρ(( p  p), de variation temporel de Γ en suivant   C  dans son mouvement. On a dΓ   d  = v d  ℓ dt dt C  d = v d  ℓ   car la courbe courb e est mat´erielle erielle d t C  dv     d   = dℓ + v (dℓ)

  ·    · 

  −  · ∇ ·∇  ·  ·    −   −   −   −  C  C 

=

C 

=

C 

=

dt 1 dt  p + Φ d  ℓ + v dv ρ d p 1 dΦ + d v 2 ρ 2   d p  1   2  +Φ v ρ 2 C 

  (cf. l’´equatio equa tion n (6.3 6.3)) ))

=0

(6.5)

car C   est une courb courbee ferm´ee, ee, et l’expression l’exp ression a` l’i l ’int´ nt´erieur eri eur de la pa parent renth` h`ese, ese , qui rep repr´ r´esente ese nte un potentiel, est univoque. On app appelle elle le r´esultat esul tat expr exprim´ im´e par dΓ  = 0 dt

Th´eor`eme de Kelvin

(6.6)

le th´ th´eor` eo r`eme em e de Ke Kelv lvin  in . Par ail ailleur leurs, s, en util utilisa isant nt le l e th´ t h´eor` eor`eme eme de Stokes on peu peutt ´ecrire ecrir e Γ=

  ·   ·   · v d  ℓ  =

ω ndS   

 

(6.7)

S 

C 

o`u la surface S  surface  S  e  est st d´elim el imit it´´e pa parr   C . Par cons´equent equent (6.6 6.6)) implique d dt

ce qui montre que :

ω ndS   = 0  

S 

le taux de d´ ebit tourbillonnaire ` ebit a trav travers ers toute surface   S   po p ort´ ee par un ´ ecou lement de fluid ecoulement fluide e id´ eal, baro eal, barotrop trope e et soum soumis is ` a un champ conservatif de force, reste constante.

(6.8)

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2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  leme Ecou Ecoule ments nts id´eaux  eaux 

6.4.. Th´eor` 6.4 eor ` eme de Ber eme Bernou noulli lli 6.4.1. Cas d’un ´ ecoulement irrotation ecoulement irrotationnel. nel.  Un ´ecoulement ecoulement est dite d ite irrotati i rrotationnel onnel si vecteur teur vitesse d´erive erive d’une fonction potentie p otentielle lle appel´ee ee ω =   v   = 0. Dans ce cas le vec potentiel de vitesse :

 ∇ ∧

∇φ.

v  =

 

(6.9)

En utilisa utilisant nt l’identit´e vectorielle v

· ∇v + v ∧ (∇ ∧ v) =

  ∇ 1  2 v 2

 

(6.10)

− ρ1 ∇ p.

 

(6.11)

l’´equation equation d’Euler se transform t ransformee ainsi ain si en

∇

∂φ  1  + ∂t 2

|∇φ|

2



+ Φ  =

La form formee de cette ´equatio equa tion n sug sugg` g`ere ere d’´ecrire ecri re le deux deuxi` i`eme eme membre sou souss la for forme me 1  p =  p  = ρ

∇

∇F F ((ρ, p)

` cette fin, supposons que le pour que (6.11 (6.11)) ait un sens avec   F  F ((ρ, p) est `a d´etermi ete rminer ner..   A fluide soit barotr barotrope, ope, c’es c’est-` t-` a-dire  ρ = a-dire ρ  = ρ  ρ(( p  p). ). Alors il est es t imm´ediat ediat que

 

1 ∂p   ∂   = ρ( p  p)) ∂x ∂x

  1 ∂p   ∂  dx = ρ( p  p)) ∂x ∂x

 

  1 d p ρ( p  p))

ce qui cond conduit uit dan danss le cas g´en´ en´eral eral `a 1  p =  p  = ρ( p  p))

∇

Par con cons´ s´equent equ ent (6.11 6.11)) s’´ecrit ecrit sous la forme

∇

∂φ   1  + ∂t 2

2

|∇φ|

∇

  d p . ρ( p  p))

  +Φ+

 

(6.12)

  

  d p  = 0 ρ( p  p))

(6.13)

qui s’i s’int` nt`egre egre en ∂φ  1  + ∂t 2

2

|∇φ|

+Φ+

 

  d p   = C   C ((t) ρ( p  p))

´ Equation de Bernoulli pour un ´ecoulement ecoulem ent irrotat irrotationnel ionnel

 

(6.14)

o`u  C   C ((t) est une fonction du temps seulement. Pour un ´ecoulement ecoulement irrotationnel, incompressible et stationnaire (6.14 6.14)) se r´eduit edu it `a 1  2  p constante. v + Φ +  = constante. 2 ρ

 

Bernoul li pour un ´ecoulement Bernoulli ecoulement irrotationnel, incompressible et stationnaire

 

(6.15)

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

6.4 Th´eor`eme de Bernoul li

65  

6.4.2. Cas d’un ´ ecoulement rotationnel.   Consid´erons ecoulement erons maintenant la situati situation on o`u l’´ecoulement ecoulement est rotationnel et barotrope barotrop e en r´egime egime permanent (stationnaire). Dans ce cas l’´equation equation d’Euler peut s’int s’int´´egrer egrer le long des lignes de courant si les forces volumiques d´erivent erivent d’une fonctio fonction n potentiel potentielle, le,  f  f      = Φ. L’´equation equatio n d’Euler peut s’´ecrire ecrire alors sous la forme 1  2   d p v   ω  = v + Φ +  = H     (6.16) 2 ρ( p  p)) o`u  1   2   d p H    =  v +Φ+   (6.17) 2 ρ( p  p)) est un unee fon f oncti ction on sca scala lair iree d´enomm´ eno mm´ee fonction ee  fonction de Helmholtz . Alors, le vecteur  vecteur  v   ω  est normal a` la surface   H    = constante qui, lui mˆeme, eme, est normal a` la fois `a  v   et et     ω . Par con cons´ s´equent equent toute surface   H   =   = constante contient les lignes de courant et fils tourbillonnaires, comme montr´e sur la figu figure re 6.1.  6.1.   Soit  Soit  τ  un τ  un vecteur pris le long d’une ligne de courant, c’est-`a-dire

∇

∧

v

 −∇

ω  =  

∧

surface H   =   = constante

    

∇

∧

H  

∇ ω   v

ligne de courant dans la surface   H    = constante Figure Figu re 6.1.   Surface   H  = constante, ligne de courant et fil tourbillonnaire:

Bernoullii pour Bernoull p our un ´ecoulement ecoulement rotati rotationnel. onnel. para pa rall` ll`element ele ment `a  v. Alors τ  τ  v

 · · ∧  ω  = 0

et par cons´equent equent on trouve

  · · ∇

τ  τ  Puisque ( (τ  τ 

1  2 v + Φ + 2

  

  d p  = 0. ρ( p  p))

) est la d´eriv´ eriv´ee ee le long l ong de ligne de courant il vient alors que

 · ∇

1  2 v + Φ + 2

 

  d p   = H   ρ( p  p))

´ Equation de Bernoulli pour un ´ecoulement ecoulement rotati rotationnel onnel et stationnaire

(6.18)

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´  leme Ecou Ecoule ments nts id´eaux  eaux  dans laquelle   H    est constante. Exempl Exe mple e 6.1 :   Cons Consid´ id´erons eron s l’´ecouleme ecou lement nt d’u d’un n liqu liquide ide d´eboucha eb ouchant nt d’un pe petit tit ori orifice fice situ´e `a la parois (et pr`es es de la base) d’un r´eservoir eservoir de grande dimension comme montr montr´´e sur la figure   6.2 figure  6.2.. L’´ecoulement ecoulement a` tout instant est presque stationnaire, et si le tuyau n’est pas trop long et de diam`etre etre pas trop petit, l’effet de viscosit´e serait confin´e `a une pet petite ite r´egion egi on au voisinage imm´ediat ediat des parois du tuyau d´enomm´ enomm´e couche limite. Les lignes de courant commencent alors `a la surface libre, et convergent en s’approchant vers le tuyau. z 

 p =  p  = p  p atm , v  = 0

h

z  =  = 0  = p v, p =  patm ´ Figure 6.2.   Ecoulement issu d’un r´eservoir. eservoir. ` la surface libre la vitesse est   V  Consid´ erons l’une de ces lignes de courant.   A erons V ,, le potentiel de la pesanteur (par rapport `a   z  =   = 0) est  est   gh gh,, et la pression est ´egale egale a` la pression ` la sortie de l’orifice, la vitesse est   v , le potentiel de la pesanteur atmo at mosp sph´ h´eriq er ique ue   patm .   A est nul, et la pression est aussi ´egale egale la pression atmosph´erique  erique   patm . Donc l’´equation equation de Bernoul Bern oulli li app appliqu´ liqu´ee ee a` une ligne de courant conduit `a 1 2 V  + gh + patm /ρ /ρ =  = v  v 2 + patm /ρ. 2 Selon l’´equation equation de continuit´e il existe une relatio relation n entre les vitesse vitesse V   V    et et v  v.. Si Si A  A((h) d´esig es igne ne l’aire de la surface libre et   a   celui de l’orifice, le d´ebits ebits massiques respectifs s’´ecrivent ecrivent alors comme  comme   ρA ρA((h)V  V    et et   ρav ρav,, dans lesquels   V  V    et et   v  repr´esentent esentent respect respectivement ivement les valeurs moyennes. Il vient V A(h) = v  va. a. De plus, puisque la vitesse `a la surface libre est V    = V 

− ddht

  (pourqu (pourquoi oi ?)

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6.4 Th´eor`eme de Bernoul li

67  

on peut obtenir une ´equation equation pou pourr  h  h((t). On trouve 2gh gh =  = V   V 

A

2

2

1

 −   − −  a

ou

 

dh  = dt

A a

2gh

−1

2

1/2

.

1

Il est ´evident evid ent qu’o qu’on n peu peutt faci facilement lement int´egrer egre r cette ´equatio equa tion n si si   A(h) est constant, et encore plus facilement lorsque  lorsque   A/a 1, ce qui permet la justifica justification tion du mod`ele ele d’´ecoulement ecoulement au r´egime egime permanent p ermanent.. Dans ce cas on a

≫

dh  = dt

−  a2 2gh 2 A

1/2

2

1/2

1  a2 1/2 d’o` u   h  = g t + h0 2 A2 o`u  h  h((t  = 0) = h = h0 . Il vient vi ent alors alo rs que le temps temp s n´ecessaires ecessaires pou pourr vider le r´eservoir, eservoir, dans ce cas, est (A/a A/a)(2 )(2h h0 /g /g))1/2 . Par ailleurs, dans le cas d’un r´eservoir eservoir assez grand pour que 1 2 V  gh 2 on obtient ce que l’on appelle le th le  th´´eor` eo r`eme em e de Tori Toricel celli  li  : :

−  



≪

v  =

 

2gh.    ◭

Exemple Exempl e 6.2 :  [Le tourbillon (vortex) de Rankin] On appelle vortex de Rankin le champ de vite vitesse sse d´efini efini par v   =   12 r Ωeθ , r < a, a,   1 2 v   = 2 a Ω e   θ /r, r > a. Il s’agit d’un ´ecoulement ecoulement o`u il n’a y pas de fron fronti` ti` eres auxquelles eres auxquelles des effe effets ts visq visqueux ueux ou de conduction thermique peuvent se produire ; l’interface   r   =   a   induit indui t une disc discontinu ontinuit´ it´e dans le gradient de vitesse ce qui, dans un ´ecoulement ecoulement r´eel, eel, produit des forces visqueuse visqueuses. s. N´eanmoin eanm oins, s, l’eff l’effet et de cette r´egion egi on de disc discontinu ontinuit´ it´e sera sera,, dans ce qui sui suit, t, n´eglig´ egl ig´e et on va supposer que l’´equation equation d’Euler s’applique partout. Supposons de plus que la force de pesanteur agit dans la direction des  des   z  avec   avec

 −→−→

−→

Φ =  ρg. Alors, puisque puisque      ω  = egion   r > a, il est imm´ediat ediat que l’´equation equation de Bernoul Bernoulli li s’y applique partout : 0 dans la r´egion 1 2 4 2 Ω a /r + gz  + p/ρ  +  p/ρ =  = constante = p =  p∞ /ρ 8

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´  leme Ecou Ecoule ments nts id´eaux  eaux  car la vitesse tend vers z´ero ero quand  quand   r . Donc  1 2 4 2  p =  p  = p  p ∞ Ω a /r gρz    pour   r > a. 8 Pour   r < a  le vecteur tourbillon est constant, Pour

 → ∞

−

−

ω =

∇∧   = Ω v

k

et la fonction de courant peut s’´ecrire ecrire sous la forme 1 2 ψ  = r Ω. 4 De plus,  1 1  2 v   ω  = rΩ2er   = v + Φ + p/ρ + p/ρ 2 2 ce qui conduit `a 1 2   ∂  1   2 rΩ =   v + Φ + p/ρ + p/ρ 2 ∂r 2

−

∇

∧







car   er   =   ∂/∂r. ∂/∂r. En int int´´egrant egrant cette ´equation equation on obtient la vers version ion de l’´equation equation de Bernoulli pour le cas d’un vecteur tourbillon constant, qui se traduit par 1 2 2  1 2 2 Ω r + Ω r + gz  + p/ρ  + p/ρ =  = constante, constante, r < a 4 8 pour le probl`eme eme ´etudi´ etudi´ e. La constante est choisie pour e. p our que la pression soit contin continue ue en r  =  = a  a.. On obtient alors 1 2 2 Ω a + p∞ /ρ 4 pour la constante. D’o`u  1 2 2  1 2 2  p =  p  = p  p∞ Ωa + Ωr gz,,   pour   r < a. gz 4 8 Notons que pour  pour   r < a  l l’´ ’´equa eq uati tion on

 · ∇

−

−

−

−

1 v 2 + Φ + p/ρ +  p/ρ 2 demeure constante le long de toute ligne de courant   r  = constante, mais la valeur de la constante de Bernoulli change d’une ligne de courant `a une autre de telle fa¸con con que qu e l’´equat equ atio ion n final de la pres pression sion soit de forme diff´erente. erente. Cela provient provient de mouv mouveme ement nt tourb tourbillonn illonnaire aire pourr dans cette r´egion, pou egion,   r < a. Un tourb tourbillon illon peut ˆetre etre mis en mouvemen mouvementt dans un grand volume de liquide avec un surface libre `a laquelle la pression est constante, disons la pression atmo at mosph sph´´erique eri que,,   p∞. Alors, on obtient `a la surface libre  1 2 4 2  p∞  =  = p  p ∞ Ω a /r gρz,, r > a, gρz 8  1 2 2  1 2 2  p∞  =  = p  p ∞ Ωa + Ωr gz, r < a. a. 4 8

− −

D’o`u

 



  z    = z    =

2 4

−

−

2

  −Ω a /8gr , r > a,a,   −Ω a /4g + Ω r /8g, r < a.a. 2 2

2 2

   ◭

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6.4 Th´eor`eme de Bernoul li

69  

 = 0 z  =

r  =  = a  a

r  =  0

 = a r  =  a

Figure 6.3.  Tourbillon de Rankin.

6.4.3. Appar 6.4.3. Appareill eilles es de mesures. mesures. 6.4.3.1.  Tube de Pitot.   Le tube de Pitot est un petit dispositif dispo sitif simple destin´ e `a mesurer la vitesse `a l’aide la pression. pression. Ce dispositif dispositif prend la forme d’un tube mince dont l’axe est align´ ali gn´e avec l’´ecoulement ecou lement de tell tellee man mani` i`ere ere que son ouver ouverture ture soi soitt ori orient´ ent´ee ee dan danss le sens opp oppos´ os´e a` celui-ci, (figure 6.4 (figure  6.4). ). L’ouverture A L’ouverture  A du  du tube constitue un point d’arrˆet et car la vitesse y est ´ega eg ale `a z´ero. ero. Cela nous permet de d´eterminer eterminer la constante de Bernoulli. Le tube de Pitot est aussi muni d’une deuxi`eme eme ouverture ouverture   B  sur sa paroi o`u la pression est not´ee ee par par p  p.. La diff´erence eren ce de pres pressio sion n  p 0  p  p est  est `a mesurer mesur er par pa r un manom`etre etre convenable, voir la figure figure 6.5.  6.5. La ligne de courant passant par  par   A  passe aussi par  par   B   o`u la vitesse juste `a l’ex l’ext´ t´erieur erie ur de la couche limite s’approche de   U . Donc, l’´equation equation de Bernoulli appliqu´ee ee sur une ligne de courant passant par A par  A  et  B  conduit `a  1  p + ρU 2 =  p 0 2 et pa parr con cons´ s´equent equ ent U   = 2( 2( p  p0  p  p))/ρ 1/2 .

−

−

{

−

}

la diff´erence erence de pression   p0  p  p est  est `a mesurer par un manom`etre etre conv convenable, enable, par exemple comme montr´e sur la figure  6.5  6.5.. U 

ligne de courant  

B

A

 p  p0

Figure 6.4.  Tube de Pitot.

6.4.3.2.  Tube de Venturi.   Le Tube de venturi, construi construitt selon le sch´ ema montr´e sur la ema figure   6.6 figure 6.6,, est un dispositif destin´ e `a mesu mesurer rer le d´ebit ebit massique massique dans un condu conduit. it. Le tube est muni de deux trous pour capter la pression locale  p1  et  et p  p2 . Alors, en en n´egligeant egligeant l’effet de la vis visco cosit´ sit´e on pe peut ut d´eterm ete rmine inerr le d´ebit ebi t  Q Q =  = V   V 1 A1  =  = V   V 2 A2 .

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´  leme Ecou Ecoule ments nts id´eaux  eaux  D’apr`es es l’´equation equation de Bernoull Bernoullii appliqu´ee ee sur une ligne de courant on a  1  1  p1  + ρV 12  =  p2  + ρV 22 2 2 2 d’o` u   p1  p2  =   1 ρV 22 1 (A2 /A1 ) . 2 La mesure de la l a diff´ d iff´erence erence de pression p ression   p1  p2  nou  nouss permet p ermettra tra alo alors rs de d´eterminer eterm iner le d´ebit. ebit .

−

−

−



◮   Remarque   6.3 :   Il est imp importan ortantt de noter que ce cette tte formule formule n’est n’est pas exacte car car les con-

ditions de l’´ equation de Bernoulli ne sont pas tous r´ equation ealisables compt ealisables comptee tenu de l’effet de viscosit viscosit´ ´e. e. N´eanmoins, eanmoin s, une ´etalonnage etalonn age du tube de Venturi bas´ ee sur des mesures de pression corr ee correspondants  espondants  aux vitesse vitessess donn´ees ees rend satisfais s atisfaisantes antes les mesures effectu´ees ees par cet appareil.   ◭

U 

1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010B1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

A

 p0

 p  

Figure 6.5.  Tube de Prandtl.

h

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6.4 Th´eor`eme de Bernoul li

71  p1

V 1 V 1 Section   A1 Section

 p2 V 22 V  Section A Section  A 2 Figure 6.6.   Tube de Venturi.

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CHAPITRE CHAP ITRE 7

´ Equation de Bernoulli et Perte de Charge 7.1. L’´ equation de Bernoulli et la perte de charge equation Reprenons l’´equation equation de Bernoulli Ber noulli pou pourr un ´ecoulement ecoulement incompress incompressible ible et stationna sta tionnaire ire : 1 2  p  = Cte =  C  v +  + gz  gz  = 2 ρ Il est commode d’appeler la constante au deuxi` eme membre eme membre charge   charge ; elle s’exprime sous la forme de l’hauteur d’une colonne du liquide : H   =

  C   . g

 

(7.1)

Alors que l’´equation equation de Bernoulli s’applique aux ´ecoulements ecoulements en fluide parfait, les fluides r´eels eels sont visqueux et les ´ecoulements ecoulements sont souvent non uniform uniformes. es. Par cons´ co ns´equent, equent, pou pourr l’´ecoulement ecoulement dans une conduite on utilise la vitesse moy moyenne enne   U  U    calc ca lcul ul´´e `a partir du d´ebit ebit volumique   Q  divi  divis´ s´e par la secti section on S   S    :   U   = Q/S . De plus, dans un ´ecoulement ecoulement permanent le fluide perd d’´energie energie pour vaincre les forces de frottement fro ttement interne (viscosit´e/turbulence) e/turbulen ce) ce qui conduit co nduit `a une chute de pression app appel´ el´ee ee perte de charge . Il est commode d’appeler d’app eler la perte de charge li´ee ee `a la l a longueu longueurr et la l a rugosi rugosit´ t´e de la conduite ainsi qu’`a la visco viscosit´ sit´e, e, per perte te de charg chargee ”li ”lin´ n´eaire” eai re” (ou ”li ”lin´ n´eique”) eiqu e”) ou ou r  r´´eguli`ere  H r . Quand les pertes de charge sont dues aux formes g´eom´ eom´etriques etriques de canalisation (coude, t´es, es, ´elargis elar gissement sement ou contr contracti action on brus brusque, que, cˆones, ones, joints, clapets, passage `a travers une grille, vanne, robinet, ...) on les appelle perte appelle  perte de cha charge rge sing singuli` uli`ere  ere ,  H s .

7.1.1. Coeffici 7.1.1. Coefficien entt de perte de cha charge. rge.   En g´en´ en´erale erale et dans la pluspar pluspartt des cas on trouve exp´erimentalement erimentalement que les pertes de charge sont proportionnelle au carr´ ee de la ee vitesse moyenne U  moyenne  U  et  et s’expriment sous la forme : U 2 (H r  + H s ) =  K  . 2g

 

(7.2)

7.1.2. Lignes de charges : repr´ esentation graphique.   Pour interpr´ esentation i nterpr´eter eter grap g raphiqu hiquee∗ ment l’´equation equation de Bernoulli on pose   p =   p  +  + ρg  ρg   qui repr´esente esente l’´energie energ ie po potentie tentielle lle par unit´e de volume dans le champs de pesanteur, pesanteur,   g , en presence de la pression   p; il s’agit de la charge obtenue au repos. C’est pourquoi on appelle  p ∗ /ρg /ρg c  charge harge pi´ezometri ezom etrique  que  ou  ou  ligne  pi´´ezom pi ez omet etri riqu que  e en en dans lequel   p/ p/((ρg ρg)) repr´ esente la charge due a` la pression et   z  esente z    la charge potentielle.

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´ Equation de Bernoulli et Perte de Charge ligne lig ne pi´ezometri ezom etrique que plan de charge; ligne de charge totale v12 /2g

v 2 /2g

v22 /2g  p 2 /ρ

 p/ρ  

  H 

 p 1 /ρ Canalisation ligne moyenne z  z 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

z  z1 

z  z 

plan pl an de r´ef´ ef´eren er ence ce

Figure 7.1.   Repr´ esantation graphi esantation graphique que de charge d’un ´ecoulement ecoulement dans une conduit conduite. e.

Figure 7.2.   Repr´ Re pr´esantati esant ation on gra graphiq phique ue de charge cha rge d’un ´ecouleme ecou lement nt `a surface libre.

´ 7.2.   Equation de la conservation d’´ energie energie 7.2.1. 7.2. 1. Prem Premier ier principe thermodyn thermodynamiq ue.  Le premier principe de la thermody modynamique namique affirme que pourde unla syst` eme ferm´e amique. eme : dQ + dW  dW    = dE 

 

(7.3)

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ quation de la conservation d’´energie 7.2  E

75  

n v

dS 

Surface de contrˆole,  ole,   S , d´elimitant elimita nt le volume de contrˆole  ole   V 

Figure 7.3.  Volume de contrˆ ole  V C  d´ ole V   d´elimit´ elim it´e par la surf surface ace de contr contrˆole S ˆole  S C .

o`u dQ   est la chaleur re¸cue cue par un syst` eme thermodynamique, dW  eme W    le travail fait par le syst` sys t`eme eme (d’ (d’oou ` le signe negatif) et dE  dE  est   est le changement dans l’´energie energie du syst`eme eme en mouvement. On peut p eut utiliser ce princip principee pour ´ecrire ecrire l’´equation equation de la consevation d’´energie energie pour un fluide en ´ecoulement. ecoulement. En suivant une u ne masse (et donc un syst`eme eme ferm´e),  e),   m, de fluide lors de son mouvement, le premier principe conduit `a dQ  d  dW  W    dE   +  =   (7.4) dt dt dt On suppo s uppose se que le syst`eme eme thermo thermodynamiqu dynamiquee est es t constitu´e de d e la masse   m  du fluide qui, `a l’instant t l’instant  t o , est contenue dans la volume de controle V controle  V C , d´elimi eli mit´ t´e pa parr la sur surfa face ce de cont contrˆ rˆole ol e Sc.. Si Sc Si   e  d´esigne esig ne l’´energie energ ie par unit´e de mass masse, e, on a alo alors rs : E syst sy st` ` em  = em

 

 dm e  d m =

syst sy st` `eme em e

avec e  =

 

1 2 v 2

+

 

 dV  e ρ  d V 

(7.5)

syst sy st` ` em e eme

 

u

+

 

gz 

        

´ Ener Energie gie cin´eti etique que

 

´ Energie interne

(7.6)

´ Energie potentielle

o`u   u  est l’´energie ener gie intern internee du syst`eme eme par uni unit´ t´e de mas masse. se. Noto Notons ns qu’e qu’en n g´en´ en´erale eral e   e  inclue toutes les formes d’´energie. energie.

7.2.2. Deuxi` eme principe eme princ ipe de d e la thermodynamique. thermo dynamique.  Alors que le premier principe de la ou consevation el’´ nergie maislesans imp imposer oserprincip des conditions surlalesthermodynamique types d’´echanges echanges affirme possibles pos sibles sur le sensdedel’´energie evolution, evolution, deuxi` eme eme principe e permet de pr´evoire evoire l’´evoultion evoultion de syst` s yst`eme. eme. Ce princip p rincipee pose p ose la fondati fondation on pou pourr le sens de transfo transforrˆ   d´esigne ˆ   et dQ mation thermodyna thermodynamique mique.. Si dS  esig ne le chang changement ement de l’ent l’entropi ropiee du syst`eme eme  S 

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´ Equation de Bernoulli et Perte de Charge la qu quant antit´ it´e de cha chale leur ur ´echan ech ang´ g´ee ee a` la l a tem temp´ p´eratur era turee   T  T ,, le l e deuxi`eme eme princip principee affirme a ffirme que

dS  ˆ   dT  Q

 ≥  ≥

 

(7.7)

L’´equation equation d’´energie, energie, de la conserv conservation ation de masse et de quantit quantit´´e de mouveme mouvement nt sont `a completer par l’´equation equation d’´etat etat du fluide qui s’´ecrit ecrit sous la forme  p =  p  = p  p((ρ, T  T ))

(7.8)

7.3. 7. 3. L’´equa equati tion on d’´ener energi gie e Pour une masse de fluide en mouv Pour mouvemen ement, t, don dontt le vo volume lume co co¨¨ınci ıncide de av avec ec le vol volume ume de contrˆole ole `a un instant donn´ee, ee, on a selon le th´eor` eor`eme eme de transp transport ort de courant (B.1 B.1)) : dE    ∂   = dt ∂t

 

eρ d eρ  dV  V    +

V C 

 

 ·

eρ   (v n) dS   = eρ

SC 

  dQ  d  dW  W   + dt dt

 

(7.9)

La quant quantit´ it´e du d u travail t ravail re¸cue cue par un fluide fluid e contenu dans da ns un volume volum e mat´eriel eriel (en l’o l’occurrence ccurrence le volume de contrˆole,  ole,   V C ) par unit´e de temps est constitu´ e de la contribution des forces de contraintes W s  =

−→ −→ ·  ·

−→ −→

v ( σ n) dS   = Sc Sc

 

(v σ ) dV. V C 

  ∇ ·

·

La contribut contribution ion de contrain contraintes tes de cisaillemen cisaillementt est, en g´en´ en´ eral, petite et par cons´equence eral, equence ˙  p , do n´egligeable egligeable par pa r rapport au trav travail ail fait par la force de pression,  W  donn´ nn´e pa parr   ˙  p  =  p dW  v ndS  =  =  pvn dS 

− ·

−

 

(7.10)

et pa parr con cons´ s´equent equ ent ˙  p   = W 

  −

 pvn  d  dS  S 

 

(7.11)

SC 

La chaleur Q chaleur Q app  apport´ ort´ee ee au a u fluide flu ide pe peut ut ˆetre etre seul seulement ement imp import ortante ante dans d ans les ´ecoulement ecou lementss avec de transfert thermique. De travail peut p eut ˆetre etre aussi au ssi app apport´ ort´e au fluide par des machines externes ˙ m  par uni dont la contribution nous notons par  W  unit´ t´e de temp temps. s.

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Dynamiques des fluides r´eels

 

´ quation de Bernoul li : ´equation de l’´energie 7.4  E L’´equa equati tion on d’´ener en ergi giee s’´ecri ecritt al alor orss ˙ m +  W  ˙  p  =   ∂  Q˙  +  W  ∂t

˙m Q˙ +  W 

  −

 1 (u + gz  +  + v 2 )ρdV  V + + V C  2  1 2 (u + gz  +  + v )ρ v n  d  dS  S    2 SC   1 (u + gz  +  + v 2 )ρdV  V + + 2 V C   1 (u + gz  +  + v 2 )ρ v n  d  dS  S    2 SC   1 (u + gz  +  + v 2 )ρdV  V + + 2 V C   p  1 (u + gz  +  +  + v 2 )ρ v   n  d  dS  S  ρ 2 SC 

        

  ∂  ∂t

 pvn  d  dS  S  =  =

SC 

˙ m  =   ∂  Q˙  +  W  ∂t

Q˙  +  W  ˙ m  =  ∂t ∂ 

77  

 ·

(7.12a)

 ·

(7.12b)

 

 ·

 

(7.12c)

(u + gz  + 1  +  12 v 2 )ρdV  V + +

    V C 

 1 (h + gz  +  + v 2 )ρ v   n  d  dS  S  2 SC 

 ·

 

(7.12d)

o`u  h  h =  = u  u +  + p/ρ  p/ρ est  est l’enthalpie massique du fluide. Supposons maintenant que le volume de contrˆole ole est un tube de courant et les grandeurs comme la densit´ e, la vitesse, la pression et d’autres variables sont uniformes `a travers toute e, section du tube ou sont des vale valeurs urs moy moyennes. ennes. Alors, on peut ´ecrire ecrire pour p our un ´ecoulement ecoulement permanent ˙ m  = (ρvS )2 Q˙  +  W 



 1 h + gz  +  + v 2 2

−  (ρvS )1

2

 1 h + gz  +  + v 2 2



(7.13)

1

o`u,ici u,ici ,  S  repr´  repr´esente esente l a se la sect(ρvS  section ion du tube de)courant. co urant. La, S  continuit´ e impo impose )1   = (ρvS  ˙   Ainsi, Ainsi, en fonc fonction tion de valeur aleurss int intensiv ensives es 2 = m ˙ m ˙ m /m q  =  =  Q/ Q/ ˙  ˙ ,  w m  =  W   ˙ , l’´equat equ atio ion n (7.13 7.13)) s’´ecrit ecrit sous la forme (ρvS )1



 1 h + gz  +  + v 2 2

  =

1

 1 h + gz  +  + v 2 2

− − q 

wm

 

(7.14)

2

´ 7.4.   Equat Equation ion de Bern Bernoull oullii : ´ equat ion de l’´ equation ener gie energie Dans un ´ecoulement ecoulement incompr incompressible essible non–vis non–visqueux queux et perma permanent nent l’´energie energie est conserv´ee ee le long de toute ligne de courant : 1 2 ρv +   p +   ρgz  = Cte. = e =  e 2 Travail fait par les

´n´etiq ciEnergie cin´ et ique ue

forces de pression

´ Energie potentielle

          

Dans cette ´equation equatio n le fluide est suppo suppos´ s´e parfait et dans cet optique la vitesse est supp suppos´ os´e uniforme. Mais dans la pratique les fluides r´eels eels sont visqueux ce qui rend la r´epartition epartition de

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´ Equation de Bernoulli et Perte de Charge vitesse `a travers une section   S  S    non uniforme. Pour tenir compte de cette r´epartition epartition une correc cor rectio tion n de l’´energ ene rgie ie cin´etique eti que est effe effectu´ ctu´ee. ee. 2

  ·       

( 1 ρv2 )( )(v n)d )dS  S  =  α  α((ρU ρUS  S ) U  2 2 S 

 

(7.15)

Flux de l’´ l ’´energie ener gie cin´ ci n´etiq et ique ue a ` travers S  travers  S 

o`u  U   U    est la vitesse moyenne `a travers travers S   S  .  . On appelle α appelle  α co  coeffici efficient ent de correction de l’´energie  energi e  cin´ ci n´etiq et ique  ue  ; ; α  α varie  varie donc d’une section `a une autre. Rappelons que pour p our un ´ecoulement ecoulement `a un d´ebit ebit constant il est commo commode de en pratique d’´ecrire ecrire v2   p v2   p   +   + z  =   +   + z  + H frottement H pompe   (7.16) frottement pompe + H turbine turbine 2g ρg 2 g ρg 1 2



 



−

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Dynamiques des fluides r´eels

 

CHAPITRE CHAP ITRE 8

´ Ecoulement potentiel 8.1. G´ en´ eralit´ es 8.1.1. Intr 8.1.1. Introductio oduction. n.   Soit C   une courb courbee mat´ m at´erielle erielle ferm´ee ee que qu e l’on l ’on suit dans son mouvement. veme nt. Selon le th´eor` eor`eme eme de Kelvin pour un fluide non visqueux (µ ( µ   = 0) et barotrope (ρ  =  = f  )), la circulation Γ autour   C  est toujours nulle s’elle l’est `a un instant quelconque.  f (( p  p)), ´ Evidement un tel fluide ’id´eal’ eal’ n’existe pas dans da ns la nature, mais on peut p eut n´eanmoins eanmoin s envisager envisag er des conditions o` u un tel ´ecoulement ecoulement pourrai p ourraitt approximativement approxima tivement avoir lieu suffisamment loin d’obstacles ou de fronti fronti``eres. eres. On voit alors qu’on peut anticiper que Γ = 0 dans des r´egions egions assez ´etendues. etendues. Donc il est utile d’´etudier etudier les ´ecoulements ecoulements irrota irrotationnels tionnels,, pou pourr lesquels les quels on doit avoir 0.   (8.1a) v   = 0. Cela implique qu’il existe une fonction φ fonction  φ  continˆument ument d´erivable erivabl e tell tellee que ce qui, avec l’´equatio equa tion n de conti continuit´ nuit´e

∇ ∧ −→ −→v   = ∇φ

 

∇ · −→v   = 0,

(8.1b)  

(8.1c)

pourr un ´ecoulement pou ecoulement incompress incompressible, ible, conduit `a l’´equation equation de Lapla Laplace ce 2

∇ φ = 0.

 

(8.1d)

On appelle ´ecoule ecou leme ment nt poten pot entie tiel l  tout   tout ´ecoulement ecoulement irrotation irro tationnel nel d’un fluide parfait pa rfait incompressincomp ressible satisfa satisfaisant isant au syst`eme eme (8.1 8.1). ). Alors il suffit de satisfaire l’´equation equation de Laplace (8.1d ( 8.1d)) et les cond conditio itions ns aux lim limites ites app appropr ropri´ i´ees ees po pour ur d´eterminer eterm iner l’´ecoulement ecou lement.. Le pro probl` bl`eme eme po pos´ s´e par ce syst`eme eme est enti`erement ereme nt cin´ematique emat ique car il s’a s’agit git de d´eterminer eterm iner le po potenti tentiel el φ  φ.. En d’autre ecou lement est ecoulement terme, le fait que l’´ecoulement ecoulement soit irrotationnel conduit a` dire que   si l’´ cin´ ematiquement admissible il le serait dynamiquement. Le probl` ematiquement pro bl`eme eme dynamique dyn amique se traduit tra duit alors par l’´ l ’´equation equation de Bernoulli Ber noulli pour un ´ecoulement ecoulement irrotat irrotationnel ionnel (6.14 6.14)) ∂φ  1   d p 2  + φ +Φ+   =  C   C ((t).   (8.2) ∂t 2 ρ( p  p))

|∇ |

 

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´  lement poten Ecou Ecoulement potentiel  tiel 

8. 1.2. 8.1. 2. Pr Prop opri ri´ ´ et´es et´ es g´ en´eral en´ er ales es de l’´equa equati tion on de La Lapl plac ace. e. 2 8.1.2.1.  L  Liin´earit´e de  φ = 0.   Puisque l’´equation equation de Lapla Laplace ce est es t lin´eaire eaire on peut appliquer le principe de superposition `a la solution  solution   φ  pour un probl`eme eme donn´e. e. Cela revient `a dire que la solution  solution   φ  peut se reconstruire `a partir de solut solutions ions plus simples. Par exemple, exemple, 2 2 si   φ1   et si et   φ2  so  sont nt solutio solutions ns v´erifiant erifiant respect respectivement ivement φ1  = 0 et φ1  = 0, il s’en suit que la 2 fonction φ fonction  φ 3  =  = φ  φ1  + φ2  est aussi une solution de φ  = 0. 8.1.2.2.   Unicit´e de solution dans une r´egion egion finie.   Soit   S  S    une surface sur laquelle la composante normale  normale  v n  est donn´ee, ee, et supp supposons osons qu’ qu’il il existe  deux   deux solutions continues  continues   φ1 et   φ2  satisfaisant `a et

 ∇  ∇

 ∇  ∇

 ∇

·

2

∇φ =

Alors, si  si   φ3  =  = φ  φ 2

−

`a l’i l’int´ nt´erieur eri eur de   S.

0

∂φ   =   f  f ((r),   une foncti fo nction on donn´ do nn´ee ee sur   S. ∂n φ1  il vient 2

2

φ3   =

∇∂φ

3

(φ1

φ2 ) = 0



 

(8.3a)

`a l’i l’int´ nt´erieur eri eur de   S.



  (8.3b)   =   ∂  (φ1 φ2 ) = 0 sur   S. ∂n ∂n Soit   V  Soit V    le volume contenu dans S  dans  S ,, et   T    l’´energie ener gie cin´eetique tiqu e qui lui est ass assoc oci´ i´ee. ee. Alo Alors rs

 ∇

−

 1 T    = ρ 2 Mais ( φ3 )2 =

∇

2

  ∇

2

( φ3 ) dV.

V 

2

∇ · (φ ∇φ ) − φ ∇ φ , =∇ · (φ ∇φ ) 3

3

3

3

3

3

 ∇ φ  = 0. Donc

car

3

T    = 1 ρ

2 1 = ρ 2

   ∇ · V 

φ3

S 

(φ3 φ3 ) dV 

∇

∂φ3  dS   d S  ∂n

compte tenu du d u th´eor` eor`eme eme de la divergence. Mais nous savons que qu e  ∂  ∂φ φ3 /∂n /∂n =  = 0 sur S  sur  S , et par cons co ns´´eque eq uent nt T    = 0. 0. Or, puisque   T    est l’i l’int´ nt´egrale egra le de d e ( φ3 )2 qui n’est pas n´egative, egative, il vient alors que ( φ3 )2 ne peut pas s’annuler si elle n’est pas ´egale egale `a z´ero ero par partou toutt dans   V  V .. Cela ´equivaut equi vaut a` dire que

∇

∇φ   = 0 3

∇

part pa rtou outt a` l’ l’int´ int´erieur eri eur de   S.

Cela   φ1  seule et   φ2solutio   conduisent conduisen eme champ de vitesse partout dans   S , et le probl`eme emontre me n’a que qu’une solution. n. t au mˆeme Remarque   –   φ1   et et   φ2  p  peuvent euvent ˆetre etre diff´erentes erentes l’une de l’autr l’autree `a une constante pr`es es sans produire aucun changement dans le champ de vitesse φ.   

 ∇

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8.1 G´en´eralit´es

81

8.1.2.3.   Unic Un icit´ it´e de  de    φ  pour une r´egion egion infinie.   Soit   V  V    le volum volumee d´elimit´ elim it´e par les deux surfaces   S 1   et surfaces et   S  S    comme indiqu´e sur la figure   8.1 8.1;; la surface  surface   S 1   est d´efinie efinie par la distance r  =  = R  R mesur´  mesur´ee ee d’un point sur ou au voisinage de  S   S .. Consid´ erons maintenan erons maintenantt la solution tridimensionnelle satisfaisant `a φ  =  = O  O(1 (1/r /r)) lorsque r lorsque  r

→ ∞, et supposons qu’il existe deux solutions φ solutions  φ   et et φ  φ  p  pour our le prob probl` l`eme eme ∇φ = 0 `a l’ l’ext´ ext´erieur eri eur de   S. φ   =   O(1 (1/r /r)) qua uand nd r  r → ∞, 1

2

 

2

Alors φ Alors  φ 3  =  = φ  φ1

−

∂φ   =   f  f ((r) ∂n φ2  satisfait `a

sur   S.

(8.4a)

V  S  S 1

 §

Figure 8.1.  S  Sch´ ch´ematisa emat isatio tion n po pour ur 8.1.2.3. 2

∇φ

 = 0 `a l’e l’ext´ xt´erieur eri eur de   S. φ3   =   O(1/r (1/r)) qua uand nd r  r , 3

∂φ 3

 → ∞

(8.4b)



  = 0 sur   S. ∂n Remarque  – Notez que la diff´erence erence entre deux fonctions qui sont de l’ordre l’ordre   O(1 (1/r /r)) est, elle el le mˆeme, eme,  O  O(1 (1/r /r). ).   Exam Examino inons ns mai maintena ntenant nt l’´energie energ ie cin´etique etiq ue  1 T    = 2

  ∇

( φ3 )2 dV.

V 

Comme dans le cas pr´ec´ ec´edent edent on peut montrer que ( φ3 )2 =

∇

∇ · (φ ∇φ ) 3

3

et par cons´equent equent le th´eor` eor`eme eme de la diverg divergence ence cond conduit uit `a T    =

−

 1 2ρ

∂φ3  1 3  + 2 ρ S  φ ∂n   dS  + S 

 

∂φ 3 3 1 S1  φ ∂r   dS  , S 

 

o`u le l e signe s igne n´egatif egatif provient de la direction du vecteur normal ext´erieur erieur `a S . Pou Pourr d´etermi ete rminer ner T    nous remarquons remarquons d’abord que le prem premier ier terme est nul car ∂ car  ∂φ φ /∂n /∂n =  = 0 sur S  sur  S .. En ce qui

3

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´  lement poten Ecou Ecoulement potentiel  tiel  concerne le deuxi`eme eme terme, on peut l’estimer de la mani`ere ere suivante : dS 1   =   O(R2 )

car la sph` ere est d’une aire ´egale ere egale a` 4πR 2 ,

3 (1/R /R)) `a   r  =  = R  R   pour   R   grand, grand, ∂φφ3   =   O(1 −2   =   O(R ) car   φ3  =  = O  O(1 (1/R /R)). ∂r Il vient alors que ∂φ3 φ3   dS 1  =  = O  O(1 (1/R /R)) ∂r S 1 qui tend vers z´ero ero lorsque   R . Doncc l’´energie Don ener gie cin´etique etiq ue tota totale le dan danss la r´egion egi on infin infinie ie `a l’ l’ext´ ext´erieur eri eur de   S  est   est nulle. nulle. Alors Alors,, comm co mmee pr pr´´ec´ ec´edem ed emme ment nt,, φ3  doit s’annuler partout `a l’ l’ext´ ext´erieur eri eur de de S   S ,, et par con cons´ s´equent equent   φ1 et   φ2  ont le mˆeme et eme champ de vitesse. Remarque   – La d´emonstration emonstrat ion d’unicit´e de la solutio solution n de l’´equation equation de Laplace a ´et´ et´e effectu´´es effectu es pour des solutions tridimensionnelle tridimensionnelles. s. Pour le cas bidimensionnel d’une r´egion egion



 

→∞

 ∇

infin ie, il exis infinie, existe te des diffic difficult´ ult´es es asso associ´ ci´ees ees `a la circulation ainsi qu’av qu’avec ec une ´energie energie totale qui devient infinie.    8.1.2.4.   Le th´eor` eor`eme em e de Kel Kelvin vin d’´energie ene rgie min minima imale le .  C  Con onsid` sid`erons ero ns un ´ecoul eco uleme ement nt inco i ncommpressible dans l’espacement tri-dimensionnel entre les deux surfaces   S 1   et et S   S 2  mo  montr´ ntr´e su surr la figure 8.2 figure  8.2.. Soit v = φ

−→ ∇

 −→

la solution qui fournit les composantes normales de vitesse `a   S 1   et et   S 2 . Soit v   ′ un champ arbitraire de vitesse satisfaisant `a

∇ · −→v = 0  ′

dans   V 

qui se raccorde avec les vitesses normales `a   S 1   et et   S 2 . Soit   T    et   T  ′ le less ´ener en ergi gies es ci cin´ n´etiq etique uess assoc ass oci´ i´ees. ees. Alo Alors rs ′

T  

− T    =   12 ρ  1 = ρ 2  1 = ρ 2

 

car

v   2 dV 

( v ′

v  ) 2 + 2( v   ′

( v ′

v  ) 2 + 2

V 

−→ − −→v ) · −→v

V 

V 



dV 

∇ · [φ (−→v − −→v )]

−→v   = ∇φ, ∇ · −→v   = ∇ · −→v

 ′

 ′

 

et

v   ′2

  −→ − −→     −→ − −→    −→ − −→



dV 

= 0. 0.

Fina lement,, en util Finalement utilisa isant nt le th´eor` eor`eme eme de la diverg divergence, ence, la dern derni` i`ere ere int´egrale egra le peu peutt s’´ecrire ecrir e sou souss forme d’int´egrale egrale de surface sur les fronti`eres eres :

  ∇ · V 

 −→  −→

−→ − −→v )] dV V    =

[φ ( v   ′

  S 

−→ − −→v ) · d−→S S    = 0

φ ( v ′

car v   et v   ′ ont les l es mˆemes emes compo composantes santes normales `a  S    et et S   S  . Alors,

1

D´epar arttement de M´ecan aniique

2

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulements plans irrotationnels d’un fluide incompressible 8.2  E

83 

V  S 1

S 1

 §

Figure 8.2.  S  Sch´ ch´ematisa emat isatio tion n po pour ur 8.1.2.4.

′

T  

−

 1 T    = ρ 2

 −→

  −→ − −→ ( v ′

v  ) 2 dV,

V 

 −→

qui est pos positive itive d´efinie efinie car v   ′ est diff´erente erente de v   . Don oncc   T  ′ est sup´erieure erie ure `a   T  , et par cons´ equentautres equent l’´energie energie cin´etique etique d’´ecoulement ecoulement potentiel estt `alal’ moindre par toutes solutions admissibles pour l’´ ecoulemen ecoulement l’int´ int´erieur eri eur parmi de V  de  V .. celles fournies

´ 8.2.   Ecoulements plans irrotationnels d’un fluide incompressible

−→

Soit (u, (u, v ) les composantes du vecteur vitesse v   as asso soci´ ci´ees ees au aux x co coor ordo donn´ nn´ees ees Car Cart´ t´esienn esi ennes es (x, y ). Pour un fluide incompres incompressible, sible, l’´equation equation de continuit´e se r´eduit eduit alors `a ∂u  ∂  ∂vv  +   = 0. ∂x ∂y

 

(8.5)

Dans ce cas on peut introduire une fonction de courant   ψ(x,y,t x,y,t)) d´efini efi niee a` une constante pr`es es du te temp mpss t et d´eter et ermi min´ n´ee ee pa parr   ∂ψ u  = ∂y  ,

v  =

−

∂ψ ∂x

 

(8.6)

dans laquelle t laquelle  t est  est con consid sid´´er´ er´e com c omme me un pa para ram` m`etre etr e et no non n com c omme me une vari variab able le ind´ i nd´epend ep endant ante. e. L’´ecoul eco uleme ement nt ´etant eta nt ir irro rota tatio tionn nnel el v  = 0, on a

 ∇ ∧ −→ ∂u   ∂v  − ∂x   = 0, ∂y

 

(8.7)

ce qui implique qu’il existe une fonction φ fonction  φ((x,y,t x,y,t), ), potentiel de vitesse, tel que   ∂φ   ∂φ , v  =   (8.8) ∂x ∂y o`u   t   est consid´ eer´ r´e aussi comme un param`etre. etre. On appelle les lignes   φ   = constante les u  =

´equipotentielles equipo tentielles du champ de vitesse vi tesse (u, v ). Les ´equat equ atio ions ns (8.6 8.6)) et (8.8 (8.8)) peuvent s’´ecrire ecrire sous forme vectorielle

−→

−→

∇φ  ∇ψ ∧ k ,

v  UFR des Sciences

 

2008–2009

(8.9) Universit´e de Caen

 

´  lement poten Ecou Ecoulement potentiel  tiel  ou

  ∂φ   ∂ψ  = ∂x ∂y ∂ψ . (8.10) v   =   ∂φ   = ∂y ∂x On appelle ces relations les ´ les  ´ equa tionss de equation d e Cauch C auchy-Rie y-Rieman mann  n . Par suite, il existe une fonction  une  fonction  iθ analytique   f  f ((z, t)   de la variable complexe   complexe   z  z    =   x  + iy   =   re =   r(cos θ  + i si sin n θ), pouvant ´eventuel event uellem lement ent d´epend ep endre re de de t  t,, qui est d´erivable erivable par rapp rapport ort `a  z   z ,, u =



 −

f ((z, t) =  φ f   φ((x,y,t x,y,t)) + iψ iψ (x,y,t x,y,t)) o`u i2 =

(8.11)

−1.

Th´ eor` eor eme  8 eme  8.2 .2.1 .1 (D´erivabi eri vabili lit´ t´e de f(z f(z)) )).

Soit   f  Soit  f ((z) =   φ(x, y) + iψ(x, y ) une fonctio fonction n d´erivable erivable en en   z   =   x + iy i y. Al Alor orss   φ(x, y ) et et   ψ(x, y ) sont d´erivables erivables par rapp rapport ort `a  x   et et   y  en tout point (x, (x, y) tel que ∂φ

 =

  ∂ψ   ∂φ  ,  =

∂x

◭  Il existe une limite

∂y

−

∂y

∂ψ

.

− ∂x

f ((z + f   + h  h)) f (z )   df    =   =  f ′(z ) h→0 h dz quelque soit le chemin utilis´ e pour approcher le point point z  z . Supposons d’abord que h que  h  tend vers z´ero ero en dem demeura eurant nt r´eelle eell e (h  =  = r  r). ). Dans ce cas lim

−

−

φ(x +  + r,  r, y) + iψ i ψ(x +  + r,  r, y ) φ(x, y) iψ(x, y) r →0 r φ(x +  + r,  r, y) φ(x, y) ψ(x +  + r,  r, y) ψ(x, y) = lim   + i lim r →0 r →0 r r

f ′ (z ) = lim

−

−

d’o` u f ′ (z ) =

  ∂φ

 + i

∂ψ

.

∂x ∂x Posons maintenant  maintenant   h = is, o`u   s R. Alors on a

∈

−

−

 + t i ψ(x, y +  + s φ(x, y +  t)) + iψ  s)) φ(x, y) iψ(x, y ) s→ 0 is φ(x, y +  + s  s)) φ(x, y) ψ(x, y  +  + s  s)) ψ(x, y ) = lim   + i lim s→ 0 s→ 0 is is φ(x, y +  + s  s)) φ(x, y) ψ(x, y  +  + s  s)) ψ(x, y) = i lim   + lim s→ 0 s→ 0 s s

f ′ (z ) = lim

−

− −

−

−

d’o` u f ′ (z ) =

 ∂ ψ −i ∂φ   +  . ∂y ∂y

Les expressions expressions pour pour   f (z ) aux deu deuxi` xi`emes emes memb membres res de ces deu deux x r´esultat esul tatss sont ´egales egal es ∂φ ∂ψ  + i   = ∂x ∂x

 ∂ ψ −i ∂φ   +  . ∂y ∂y

Cela Ce la dem emont ontre re le th theo eorrem eme. e.   ◮

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulements ´el´ementaires 8.3  E

85  

Alors, Alo rs, on a d’ d’ap apr` r`es es le th´eor` eor`eme eme que l’ l’on on vie vient nt de d´emontre emo ntrer, r,   df 

  ∂φ

∂ψ

∂φ

w (z, t) = dz  z    = ∂x   + i ∂x   =

 ∂ ψ

−i ∂y   + ∂y   = u − iv.

 

(8.12)

On appelle  appelle   f  f ((z, t) le le potentiel  potentiel complexe de l’´ecoulement  ecoulement , et et   w(z, t) la vitesse complexe. On peut exprimer la vitesse complexe en fonction de (v (vr , vθ ) as asso soci´ ci´ees ees au aux x co coor ordo donn´ nn´ees ees polaires (r, (r, θ). Dans ce cas il suffit d’effectuer d’effectuer une diff´erentiati erentiation on par rapport `a   r   de de   f  f ((z ) iθ avec θ avec  θ  fix´e. e. On a alor a lorss dz  d z  = e  =  e dr  et pa parr con cons´ s´equent equ ent   df  w (z, t) =  = dz 



∂φ ∂ψ  + i ∂r ∂r



e−iθ = (v ( vr

−iθ

− iv )e θ

(8.13a)

Si l’on fixe  fixe   r , on obtient w(z, t) =

  df    1  = dz  r

∂ψ



∂θ

i

 −

∂φ ∂θ

e−iθ = (v ( vr



iθ

ivθ )e−iθ .

 

(8.13b)

−

Remarque  –  La multiplication du vecteur vitesse u vitesse  u − iv   par par e  e induit une rotat rotation ion d’angl d’anglee  θ   de ce vecteur dans le sens de θ de  θ  croissant.

´ oule 8.3.   Ec Ecou leme ment ntss ´ el´ el´ ementa emen tair ires es ´ 8.3.1.   Ecoul Ecouleme ement nt recti rectilign ligne e unifo uniforme. rme.   Un ´ecoulement ecoulement rectiligne uniforme peut s’´ecrire ecrir e sous s ous la form formee   ∂φ   ∂ψ u =  = U   U    =   =  , ∂x ∂y (8.14)   ∂φ ∂ψ v  = 0 =  = ∂y ∂x o`u  U   U    est constante. Alors, il en d´ecoule ecoule imm´ediatement ediatement

−

φ =  =   U x,

 

ψ  =  = U  U y

 

(8.15a)

d’o` u f ((z ) = φ f   φ +  + iψ iψ  =  = U  U z.

 

(8.15b)

Un ´ecoulement ecoulement uniforme faisant un angle  α  avec l’axe des  des   x  est do donn´ nn´ee ee pa parr f ((z ) = U e−iα z. f 

 

(8.16)

8.3.2. Sou 8.3.2. Source rce et pui puits. ts.   Soit   C   un cercle de rayon  rayon   r  et ce centr ntr´´e a` l’origine  l’origine   O, et et   Q   le d´ebit ebit par unit´e de lon longueu gueurr travers traversant ant   C . Une source ou un puits est caract´ eris´e par un eris´

 −→

vecteur de vitesse v   = (vr (r), 0), et par le debit ebit   Q, deno enomm mmee int intens ensit itee de la so sourc urcee ou du UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  lement poten Ecou Ecoulement potentiel  tiel  puits. Alors Q  = C  C 

=

−→v   · −→n dℓ

 −→ · −→   v

e   r (r dθ)

(8.17)

C 

=

vr (r dθ)

C 

= 2πr πrvvr . D’o`u

 Q  Q x, v  = y. 2πr 2 2πr 2 Par cons´ co ns´eequent quent le pot potentiel entiel complexe co mplexe est df    Q x iy   Q   =  u iv  =   = . dz  2π r2 2πz  u  =

−

−

Il vient alors

 Q  ln z  2π  Q  Q =  ln z  + i arg arg z   z  2π 2π  Q  Q =  ln r +i   θ 2π 2π

f ((z ) = f 

||

         φ

ψ

`a une con constant stantee pr`es. es. Dans le cas o`u la source est plac´ee ee en en z   z 0  le potentiel p otentiel complexe s’´ecrit ecrit sous s ous la forme f orme  Q f z0 (z ) =  ln(  ln(z  z  z 0 ). 2πvitesse 8.3.2.1.  Tourbillon ponctuel.   Le champ de vit esse d’un d ’un tour t ourbill billon on ponct p onctuel uel est es t caract´ cara ct´eris´ eris´e par des lignes de courant formant des cercles C  c  cen entr tr´´e a` l’ori l’ origin ginee et asso associ´ ci´e `a une circulation Γ ind´ependante ependa nte du rayon, c’est-`a-dire a-dire v   = (0, (0 , vθ ) en coor coordonn´ donn´ees ees pol polaires aires (r, θ). Alors

−

 −→

Γ=

 −→ ·  −→ · −→  

v d  ℓ

C 

=

v

e   θ (r dθ)

C 

=

rvθ dθ

C 

ce qui sugg`ere

rvθ (r)d )dθθ

Γ= C 

d’o` u

 

 

Γ = 2πr πrvvθ (r)  Γ vθ (r) = .

 

car Γ est ind´ependa ep endante nte   r

2πr D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulements ´el´ementaires 8.3  E

87  

Par suit, on a u  =  = v  vr cos θ

 Γ y

vθ sin θ  =

−  Γ2πrx r

−

v  =  = v  vr sin θ + vθ cos θ  =

2πr r

.

Ainsi le potentiel complexe satisfait `a df    = u dz 

− iv,  Γ y + ix ix =− 2π r , 2

 Γ 1 2πi z,  Γ  ln z, f ((z ) = f  =

d’o` u

 

2π Γi   iΓ φ + iψ iψ  = + arg arg z   z   ln z  2π 2π  Γ   iΓ = θ  ln r. 2π 2π Le potentiel p otentiel co complexe mplexe d’un tourbil tourbillon lon centr´e en  en   z 0  es  estt do donn´ nn´e pa parr

−

 

et

||

−

 Γ  ln(z   ln( z  z 0 ). 2πi 8.3.2.2.  Doublet ou dipˆ  ole.  On appelle a ppelle doublet l’´ecoulement ecoulement plan p lan irrotation irro tationnel nel construit constru it par la superposition d’une source et un puits de mˆeme eme intensit intensit´´e absolue absolue   Q, et s´epa ep ar´es es pa parr une distance  distance   ℓ  tel que lim Q ℓ µ = Cte. Cte.

−

f z0 (z ) =

→0 Qℓ→∞

× →

Soit donc une source d’intensit´e +Q  pl  plac´ ac´ee ee en (x′ , y ′ ) et un puits d’intensit´e Q  s  siitu´e ′ ′ ′ en (x δx , y ). Alors le potentiel de vitesse  vitesse   φ  en un point M  point  M ((x, y ) est don donn´ n´e par

−



 −



 Q 1/2 1/2 φ = ln (x x′ )2 + y 2 ln (x x′ + δx′ )2 + y 2 2π 1/2 1/2 Q ′ ln[( ln[(x x x′ )2 + y 2 ] ln[(x ln[( x x′ + δx′ )2 + y 2 ] soit pour un doublet   φ  = lim δx δx →0 2π δx′

−

−

′

−

−

−

−

Q→∞

= = =

  µ ∂   ln (x 2π ∂x′   µ x x′

−



′ 2

−x)

+ y2



1/2

2

−−  2µπ cosr θ 2π r ′

exprim expr imee en co coord ordonn onnees ees po polai laires res (r, θ) dont d ont l origi origine ne est situ situee ee en (x , 0). UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  lement poten Ecou Ecoulement potentiel  tiel  Les comp composantes osantes du vecteur vitesse s’´ecrivent ecrivent   µ cos θ   1 ∂ Ψ  =  , 2 ∂r 2π r r ∂θ   1 ∂φ   µ sin θ ∂ Ψ vθ   =  =   = r ∂θ 2π r 2 ∂r vr   =

  ∂φ

 =

−

et la fonction de courant  courant   ψ Ψ=

  µ sin θ  . 2π r

Par suite, on a pour le potentiel complexe df    =  u iv dz    µ cos2 θ sin2 θ = 2π r2

−

−   − i   µ 2cos θ sin θ 2π r 2

2

=   µ (cos θ 2isin θ) 2π r −2i 2iθθ  µ e  µ 1 =   = 2π r 2 2π z 2   µ 1   C  d’o` u   f ((z ) = f   = 2π z  z  o`u  C   C    = µ/ µ/22π  est une constante. ´  8.3.2.3.   Ecoulement dans un angle.   Cons Co nsid` id`ere ere l’´ecou ecoule leme ment nt   f  f ((z ) =   C z n o`u   C  C    est une constante. En coordonn´ co ordonn´ees ees polair p olaires es (r, (r, θ) on a

−

−

−

f ((z ) =  C f   Crr n (cos( (cos(nθ nθ)) + i si sin( n(nθ nθ)) )) d’o` u  φ  φ =  = C  C rn cos( cos(nθ nθ)) et et   ψ  =  C  Crr n sin( sin(nθ nθ). ). On voit imm´ediatement ediatement que les droites droites   θ  = 0 et θ/n font θ/n  font parties des lignes de courant car v car  v θ  = 0. on a   df  w(z ) =   =  nC  nCrr n−1 [cos( [cos(n n 1) 1)θθ + i si sin( n(n n 1) 1)θθ]. dz  On voit que la vitesse est nulle au sommet de l’angle si  n >  1, c’est-`a-dire θ a-dire  θ < π, et qu’elle est infinie si  si   n <  1 c’est-`a-dire  a-dire   θ > π. Cela est impossi impossible ble car une vite vitesse sse est ´equivoque equivoque,, d’ap d’ apr` r`es es le th´eor` eor`eme eme de Ber Berno noull ulli, i, `a une pression infinie n´egative. egative. Il faut donc qu’i qu’ill y ait d´ecolleme ecol lement nt au somm sommet. et.   ´  8.3.2.4. Ecou Ecoulement lement autour d’un cylindre.   L’´ecouleme ecou lement nt d´efinit efini t par pa r le l e potent p otentiel iel comp complexe lexe

−

−

 

 a 2 f ((z ) = C  z  + f   + z 

repr´esente esente l’´ecoulement ecoulement potentiel autour d’un cylindre de rayon rayon a  a.. Les lignes de courant co urant sont donn´ d onn´ees ees par

− 

ψ  =  = C  Cyy 1

 a 2

r2 D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulements ´el´ementaires 8.3  E  Q (a) f  (a)  f ((z ) =  ln z  2π

89   (b) f  (b)  f ((z ) =

 

ligness de couran ligne courantt (c)   f  (c) f ((z ) =

 

− 2iΓπ  ln z 

lignes lig nes ´equipotent equip otentiell ielles es

  C  z 

Figure 8.3.   (a) Source, (b) Tourbillon ponctuel, (c) Doublet.

o`u  r 2 =  x2 + y 2 . Le champ de vitesse est donn´e par df  dz  z    = u

 a 2 z 2

 

− iv  =  = C   C  1 −

. 2

2

2

La ligne de courant  courant   ψ  = 0 est compo compossee de l axe des des   x  et du cercle x cercle  x + y =  a . UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  lement poten Ecou Ecoulement potentiel  tiel  ´  8.3.2.5.   Ecoulement autour d’un cylindre avec circulation.  Ajoutons au potentiel complexee pr´ec´ plex ec´edent edent celu celuii d’un tou tourbil rbillon lon po ponctu nctuel el centr´e `a l’ori l’origine gine 2

   − −   − −  − −

f ((z ) = C  z  + f   +  a z  D’o`u

  a2 r2

ψ  =  = C  C y 1 Le champ de vitesse asso associ´ ci´e est es t df    =  u dz   

soit

+   Γ  ln z. 2πi  Γ θ. 2π

 a 2 z 2

iv  =  = C   C  1

 a 2  coss 2θ  co r2

u =  = C   C  1

+

 Γ 1 2πi z 

 Γ  sin θ, 2πr

2

v  =   Γ  cos θ 2πr

− C ar  s sin in 2θ. 2

8.4. Force et Moment Moment Consid`erons erons l’´ecoulement ecoulement station stationnaire naire et bidimens bidimensionnel ionnel autour d’un cylindre   C  de section tio n arbitra arbitraire ire.. La force force F  F    et le moment k M   M   appliqu´es es par le fluide sur le cylindre peuvent pe uvent ˆetre etre calc calcul´ ul´es es en uti utilisa lisant nt la th´eorie eori e des d es variab variables les comp complexes lexes.. On a

 −→

 −−→

−→ F    = − F  F x  = i

 

Alors

  −→

 p n dℓ

C 

                    − − −

−→  · −→ F   = −  p − F   →i   · −→n dℓ = − = −  p   sin θdℓ  = −  p  p d  dy, y, −→ −→ −→ →n dℓ = − F    =  j   · F  F    = −  p  j   · − C  C 

C 

y

 p   cos θdℓ  =

C 

d’o` u

 

F x

− iF    = y

 p   cos( n , i   )d )dℓℓ

−→ −→

C 

C 

=

C  C 

−→ −→

 p   cos( n ,  j  j )d  )dℓℓ

C 

 p d  p  dx x

C 

 p (d  p  (dx x

i

C 

idyy ) = id

 p d  p  d¯ z¯. z.

i

C 

L’application L’appl ication du th´eor` eor`eme eme de Bernoull Bernoullii sur la surface   C  du cylindre conduit `a  1 0  p =  p  = p  p 2 ρ u2 + v 2 C  dans laquelle

−

  2

2

 

u +v

C 

  = [( [(u u

D´epar arttement de M´ecan aniique

− iv)()(uu + iviv)]

C 

  = (w ( w w)C 

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

8.4 Force et Moment

91 y

−→  j F   j

y

Γ

−→i F 

x

C 

x

−M  →

dℓ  p θ

´ Figure 8.4.   Ecoulement autour un cylindre de section   C   arbitraire.

et   p0   est la pression au point d’arrˆet. et  et. Sachan Sachantt que que   p0  ne contribue pas aux int int´´egrales egrales on obtient la relation F x

−

1 iF y   = i ρ 2

 

w ¯ w  d  d¯ z¯  z 

C 

dans laquelle

− −

w ¯  d  d¯ z¯  = z  = (u + iv iv )(d )(dx x id idyy ) = u  ud dx + v dy i(u i(udy = dφ d φ id idψ. ψ.

−

− vdx)

De la mˆeme eme fa fa¸con ¸con on trouve w trouve  w d  dz  z  =  = dφ + idψ idψ . Sachant que   C  est une ligne de courant sur laquelle dψ dψ  = 0, il vient (w¯  d z  z¯ )C   = (w ( wdz )C  et l’on obtient F x

− iF    = i y

1

ρ

 

w2 dz    form formule ule de Blasiu Blasiuss pour F .

2

C 

UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  lement poten Ecou Ecoulement potentiel  tiel  Soit   P  Soit

 ∈ C . Alors le moment des efforts ext´erieurs  ∈ erieurs qui s’appliquent au cylindre est −→ →n )d M = OP d F  F    = (xi + y j) (  p− )dℓℓ ∧ ∧− = −k  p (x sin(i, n) + y sin( j, n)) dℓ

        −     −   − ℜ   − ℜ C  C 

C  C 

C 

=

k

 p((x cos θ + y sin θ)d  p )dℓℓ =

C 

= =

M = o`u

1 ρk 2 1 ρk 2 1 ρk 2

  − k

 p((xdx + y dy )  p

C 

u2 + v 2 (xdx + y dy )

C 

w ¯ wz dz  z¯ 

C 

w 2 z dz    form formule ule de Blasi Blasius us pour  M

C 

ℜ d´esigne esig ne la l a partie pa rtie r´eelle eell e de l’i l’int´ nt´egrale. egra le. On app a ppelle elle ces formu formules les les les formules  formules de Blasius.

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

CHAPITRE CHAP ITRE 9

´ ´ Ecoulement des Fluides Reels eels 9.1. Int Introducti roduction on Les ´equation equa tionss de Navie Navier-St r-Stokes okes sont des ´equatio equa tions ns diffici d ifficiles les et il i l s’av` s’ av`ere ere util utilee de se limit l imiter er aux cas sim simple pless ou par partic ticuli ulier erss don dontt les solution solutionss son sontt con connu nues es.. Nou Nouss nou nouss lim limito itons ns aux ´ecoulements ecoulements incompressibles pour lesquels  v   = 0 et nous supposons de plus que la viscosi visc osit´ t´e demeur d emeuree consta co nstante. nte. Par ailleurs, les probl`emes emes trait´es es seront tels que les conditions aux limites associ´ees ees

 ∇ ·

aux fronti` eres sont simples `a appliquer math´ematiquement. ematiquement. Ainsi, nous allons essay essayer er de r´ es oud eso udr re eres v   = 0, dv   (9.1) ρ   =  p + µ 2 v, dt o`u   p   d´esigne esigne la pression dynamique et   µ   la viscosit´ visco sit´e dynamique. Le syst`eme eme (9.1 9.1)) est compos´ comp os´e de quat quatre re ´equatio equa tions ns pour p our les quat quatre re inconnu in connues es p  p et  et v. Contra Contrairem irement ent aux probl` pro bl`emes emes en dynamique la force  p est  p  est `a d´eterminer eterminer comme partie int´egrale egrale de la solutio solution, n, car elle n’estt pas don n’es donn´ n´ee. ee. On sait sa it que dans l’´ecoulement ecoulement des fluides fl uides r´eels, eels, les particules p articules de fluide flu ide sont subies subi es lors l ors de leur mouvement aux forces de frottement dues `a la visco viscosit´ sit´e et a` la turbulence. Pour vaincre ces for forces ces d’´energie energ ie cin´etique etiqu e est diss dissip´ ip´ee ee et tra transfo nsform´ rm´ee ee en ´energie ener gie ther thermiqu miquee trad traduit uit par une perte de charge ( une chute de pression).

∇·

  −∇

∇



−∇

Les forces convectiv conv ectives es par unit´ volume,  volume, ρ v viscosit´ v   ( e, associ´ eve  (asso au soci´ transport transp 2ee de quantit´ e ded’inertie mouvement par  convection  ),e etdeles ), force  de easso ,   µ ci´ (as ci´ees ees ort au transport transp ort de quantit´e de mouvement par par diffusion   diffusion ), ), ne so sont nt pa pass en g´en´ en´eral era l du mˆeme eme or ordr dree de grandeur. L’ordre de grandeur de chaque terme d´epend epend de la vitesse, la g´eom´ eom´etrie etrie de l’´ecoul eco uleme ement nt et la vis visco cosit´ sit´e   µ   ainsi que de la densit´ e de fluide fluide   ρ. Si dans un ´ecoulement ecoulement sur un corps solide, dont la dimension naturelle est   L  (ou de  lo  longue ngueur ur caract´eristique  eris tique    L), la vitesse moyenne (ou   caract´ est   U , le flux de quantit´e de mouvement asso associ´ ci´e `a carac t´eris er isti tiqu que  e ) est  2 la convection serait de l’ordre ρU  l’ordre  ρU  et celu celuii asso associ´ ci´e a` la diffusion serait de l’ordre µU/L l’ordre  µU/L.. Le rapport entre ces deux flux est sans dimension et s’´ecrit ecrit sous la forme : flux convectif de la quantit´e de mouvement   ρU 2  UL  =   =  Re   (9.2) flux diffusif de la quantit´e de mouvement µU/L ν  o`u  ν   ν  e  est st la visc viscosi osit´ t´e cin´ematique emat ique qui repr´esente esente la diff diffusiv usivit´ it´e de la quant quantit´ it´e de mou mouvement; vement;

 · ∇

∇

 ≈

on appelle ce rapport le nombre de Reynolds. Alors, suiv suivant ant les vitesse et les g´eom´ eom´etries etries d’´ecoulement ecou lement po pour ur un flui fluide de don donn´ n´e (c’est ( c’est-` -`a-dire a-dire suivant l’ordre de grandeur de Re de  Re), ), le transport po rt de d e la l a quant qu antit´ it´e de d e mou mouveme vement nt d’u d ’un n flui fl uide de peut p eut ˆetre etr e dom d omin´ in´e par p ar des ph´enom` eno m`enes ene s diffu d iffusif sifss

ou conv convectifs. ectifs. UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´ Ecoulement des Fluides R´ eels eels On di disti sting ngue ue deu deux x r´egimes egi mes d’´ecoule eco ulement mentss li´es es a` l’ordre de grandeur de nombre de Reynolds : r´egime  laminaire  et   et r´egim eg imee  turbulent . Dans un ´ecoulement ecoulement laminaire les particules de fluide se d´eplacent eplacent en formant des lames ou ou couches   couches  stables   stabl es et r´eguli` eguli`eres eres qui ”gliss ”glissent” ent” l’une sur l’autre et ne se m´elangent elangent pas. Par contre, un ´ecoulement ecoulement turbulent est instation in stationnaire naire et caract´eris´ eris´e par la form formati ation-´ on-´eclatement ecla tement de tour tourbil billon lonss de d e tail t ailles les diff´erentes erentes cond conduisa uisant nt ainsi a insi au m´elange elange ou brassag b rassagee intensif des particules. pa rticules. La valeur des grandeurs gr andeurs de l’´ecoulement ecoulement comme la pression, pres sion, le vecteur vitesse, vi tesse, etc. en un point p oint fixe pr´ p r´esente esente des fluctuati fluctuations ons al´ a l´eatoires eatoires autour d’une valeur moyenne.

´ 9.2.   Ecoulements unidirectionnels Un ´ecoulement ecoulement est dit unidirectionnel unid irectionnel quand les lignes de courant coura nt sont, `a chaque instant, des droites parall`eles eles `a la dire direction ction de l’´ ecoulement. ecoulemen t. Cela implique, implique, par exemple, exemple, que la solution est de la forme  forme  u  =  = u  u((y,z,t y,z,t))x  dan  danss le sys syst` t`eme eme ca cart´ rt´esien, esi en, (x,y,z ), ), des co coord ordonn´ onn´ees ees auquel on associe le vecteur vitesse   v   = (u,v,w ), avec la direction des   x   choisie comme u,v,w), directio dire ction n de d e l’´ecouleme ecou lement; nt; la non d´ependa ep endance nce de de u  u de  de x  x es estt d´ d´edui ed uite te de l’´equa equati tion on de co conti ntinui nuit´ t´e : ∂u  ∂  ∂vv  ∂ w  +   +  = 0 (9.3) ∂x ∂y ∂z    ∂u et puisque  puisque  u =  = u  u((y,z,t y,z,t))x  implique  implique v  v  =  = w  w =  = 0 on d´eduit edui t que  = 0 c’est qui montre que u que  u ∂x ne d´epend epe nd pas de de   x. Les ´equations equations de Navier–Stokes se r´eduisent eduisent alors `a



∂u ∂ 2 u  ∂ 2 u   =   ν   + ∂t ∂y 2 ∂z 2

−

 1 ∂p , ρ ∂x

∂p   = 0, ∂y

 

 

(9.4)

(9.5)

∂p   = ρg.   (9.6) ∂z  et la pression est donc fonction de (x,z,t (x,z,t)) seulement :   p  p  p((x,z,t x,z,t). ). La tro troisi` isi`eme eme ´equat equ atio ion n ′ condu con duit it do donc nc `a   p(z,x,t z,x,t)) = ρgz  +  + P  P ((x) ce qui montre que ∂p/∂x que  ∂p/∂x =  = P   P  (x) = d p/  p/d dx.

 −

≡

−

´ 9.2.1.   Ecoulement entre deux plaques planes.   On ´etudie etu die ma maint intena enant nt l’´ l ’´ecoule eco ulement ment stationnaire d’un fluide situ´e entre deux plaques planes infinies et parall`eles eles a` distance   d dans la direction   y   (voir figure (9.2 (9.2)) )) o` u une pla plaque que est fixe et l’a l’autr utree se d´ eplacee par eplac par-all` al l`elem el ement ent `a ell elle-mˆ e-mˆeme eme a` une vitesse constante U  constante  U  p p  dans la direction O direction  Ox x. Les cons consid´ id´eration erat ionss de l’´ecoulement ecoulement montren montrentt que les composantes de vitesse vitesse   v   et et   w   s’annul s’annulen ent. t. L’analy L’analyse se de l’´equatio equa tion n de d e continuit´ co ntinuit´e montre m ontre alo alors rs que q ue la l a comp co mposa osante nte u n’est fonction que de y . L’´equat equ atio ion n de Navier–Stoke devient alors 2

0 =

  − ∂x ∂p   + µ ∂  ∂yu 2

∂p

 

(9.7a)

 

0 D´epar arttement de M´ecan aniique

∂y

  + ρg

 

Adil Ridha

(9.7b)

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulements unidirectionnels 9.2  E

95  

On peut d´eduire  edu ire   (9.7 eratio n de mou mouvem vement ent d’u d’un n ´el´ el´ement eme nt infi infinit´ nit´esimal esim al comme sui suite te : 9.7))  par la consid´eration  

y

Soit    δx   δy   1   un ´el´ el´ ement de fluide en  ement mouvement mouve ment dans la dir direc ections tions des   x. Il vi vien ent  t  alor al orss qui le bi bila lan n de dess fo forrces ag agis issa sant nt su surr cet  ´el´ el´ement eme nt impose :   (d y 1)( p(x)  p(x+δx δx)) )+ (δx 1)( 1)(σ σyx σyx yx((y ) yx((y +δy δy)) ) = 0 Soit : ( p(x+δx (σyx σyx δx))  p(x) ) yx((y) yx((y+δy δy)) )   +   =0 δx δy ´  ntuellem Eventu Eve ellement ent en fai faisan sant  t   δx   et    δy   tendent  ∂p   ∂σ yx vers z´ ero on obtient : ero   = 0.   Avec  ∂x ∂y ∂u retrouve ouve l’´equation equati on ( 9.7  9.7 a) a) σyx  =  = µ  µ , on retr ∂y

 ×   ×

δx σyx yx((y +δy δy))

×

      )

   x     δ

      )    x       (

δy

     +    x       (

   p

σyx yx((y )

−

−

−

   p

×

−

−

  −  −

x

Figur Fig ure e 9.1 9.1..   Forces agissant sur un ´ el´ement el´ ement du fluide suiv suivant ant   Ox   dans

´ecoulement ecoulement de Couette plan. Puisque la vitesse  vitesse   u   est une fonction de   y   seulement on se rend compte (voir (9.7 (9.7b) b) ) que le gradient de pression ∂p/∂x pression  ∂p/∂x est  est constant. En int´egrant egr ant (9.7 9.7a) a) deux fois par rapport `a  y  y,, on obtient:   1 d p y 2 u  =   + C 1 y + C 2   (9.8) µ dx 2 o`u   C 1   et et   C 2  sont les constantes d’int´egrations egratio ns `a d´eterminer eterminer en utilisant les conditions aux limites aux parois. Les conditions aux limites se traduisent par la condition de non–glissement aux parois: y  = 0,

u  = 0

y  =  = d,  d,

u =  = U   U  p

(9.9a)  

(9.9b)

En satisfaisant (9.9 (9.9)) on obtient de (9.8 ( 9.8)) u =

  −



d p  y(  y (d y ) y   + U  p dx 2µ d

−

 

(9.10)

Sur la figure 9.2 figure 9.2 sont  sont montr´es es des profiles de vitesse pou pourr diff´ d iff´erente erente configurat co nfigurations ions de gradient de pression. pression. On appelle ´ appelle ´ecoulement ecoule ment de Coue Couette  tte  l’´  l’´ecouleme ecou lement nt obtenu o btenu quan quand d d p/ d p/d dx  = 0. Dans ce cas ca s la l a r´epartiti epar tition on de vites v itesse se est lin´eaire eair e et, selo selon n les l es r´esultat esul tatss exp´ ex p´erimentau erim entaux, x, valabl valablee pour p our un nombre de Reynolds de R de  Ree  = (dU  p /ν ) 1500. Dans le cas o`u   U  p   = 0, on obtient un ´ecoulement ecoulement bidimensionnel entre deux plaques immobiles et la solution u solution  u  prend la forme :

≤

 1 u = 2µ

d p dx (dy

− 

2

− y ),

 

(9.11)

la r´epartition epartiti on de vitesse est donc don c parabolique. parab olique. Elle est valable, selon sel on les mesures exp´erimentaux, erimentaux,

pour un nombre de Reynolds R Reynolds  Ree  = (dU  p /ν ) UFR des Sciences

≤ 120 1200. 0. Cet ´ecouleme ecou lement nt est app appel´ el´e ´ecoul eco ulem emen ent t 

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´ ´ Ecoulement des Fluides Reels eels

U  p

U  p

U  p

y

 = 0

U  p

x d p dx

=0

d p dx

d p

> 0

dx

d p

 0 dx ∂u ∂y

 

|y=0   = 0

d p   > 0 dx ∂u   3  3

6

× 10

     3

   <    x    e

    R    <      5

     0      1

U

δ 

     ×

     5

x sous–couche laminaire

Figure 12.2.   D´ eveloppement de la couche limite sur une plaque plane. eveloppement

La transition trans ition d’un d’u n ´ecoulement ecoulement laminaire lam inaire `a un un ´ecou ecoule leme ment nt tur t urbu bule lent nt est e st fo fort rtem ement ent ac acc´ c´el´ el´er´ er´ee ee par la pr´esence esence des pertur perturbation bationss et la rugosit´e de d e surface s urface sur laquelle le fluide s’´ecoule. ecoule. UFR des Sciences

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Introduction `a la turbulence 

12.2.. Quel 12.2 Quelques ques cara caract´ ct´ eris tiques eristiqu es d’´ d ’´ ecou lementss turb ecoulement t urbulents ulents 1 Dans un ´ecoulement ecoulement turbulent, l’´etat etat d’un fluide en tout point   x   et a` tout instant vite tess ssee   u(x, t) pr´esente esente un caract`ere ere tourb tourbounnai ounnaire re o`u la ta tail ille le,, la loc local alis isat atio ion n et t, la vi l’orientation des tourbillons changen changentt constammen constamment. t. C’est pourquoi p ourquoi un r´egime egime turbulent est intrins` intri ns`equement equem ent un ph´enom` enom`ene ene al´eatoire. eato ire. Les ´ecoulement ecou lementss turb turbulent ulentss se nai naissent ssent lors lorsque que la force motrice (ou la l a source so urce d’´energie energie cin´etique) etique) qui met m et le fluide en mouvement mo uvement est relativement intense dev devant ant les forces de viscosit viscosit´´e que le fluide oppose o ppose pour se d´eplacer. eplacer. La force motrice peut prender plusieurs formes :  gradients de pression  impulsion initiale pour les jets  une  u ne forc forcee d’Archi d ’Archim` m`ede ede (de flot flottab tabili ilit´ t´e) e) due `a une diff´erence erenc e de temp´erature erat ure dan danss le champ de pesanteur. Un ´ecoulement ecou lement turb turbulent ulent cond conduit uit `a :   la r´educti edu ction on d’i d’inh nhom omog´ og´en´ en´eit´ eit´es es cin´ematiq ema tiques ues,, th therm ermiqu iques, es, ma massi ssique quess au sei sein n de d e l’´ l ’´ecoul eco uleme ement, nt, tout en augme augmenta ntant nt les transferts transferts paritaux. Cela est traduit ce qu’on appelle appelle dif dif fusion turbulente  ; ;   l’augmentation l’augmentation de la tra traˆˆın´ee ee de frottemen frottementt visqueux, diminution possible de la traˆ tr aˆın´ ın´ee ee de fo form rmee (l (li´ i´e `a la pression) pression),, en retardant d’´eventuels eventuels d´ecollements ecollements ;  favoriser le m´elange elange d’une phase disper dispers´ s´ee, ee, mais pouvant ´egalement egalement provoquer la coalescence de gouttelettes dans des ´ecoulements ecoulements diphasiques. Les ´ecoul eco uleme ements nts tur turbul bulents ents so sont nt ca cara ract´ ct´eris´ eri s´e pa parr diff´ d iff´erentes ere ntes ´echell eche lles es de lo long ngueu ueurr :   Echelle ´  mouvement nt d’ensem d’ensemble ble,   L, correspondant a` l’´evolution de  mouveme evolut ion “moyenn “moyenne” e” ou “glob “global” al” de l’´ecoulement, ecoulement,   Ec ´ hellee de   mouvem Echell mouvement ent d’agitation turbulente,   ℓ, mir miroit oitan antt de dess tou tourbi rbillo llons ns r´eell eellem ement ent pr´esent es entss da dans ns l’´ecou ecoule leme ment, nt,   Echelle ´ mouvement ent d’agi d’agitati tation on mol´ ecul aire,   l , reflettant seuls les effets eculaire de   mouvem m macroscopiques dans une approche de type milieu continu. La r´educti edu ction on d’ d’inh inhom omog´ og´en´ en´eit´ eit´ese ese da dans ns l’´ecoule eco ulement ment a po pour ur so sourc urcee le ph´enomen eno menee de di diffus ffusio ion n qui, en turbu turbulenc lence, e, se tradu traduit it par la diffusion turbulente  ou  diffusion par mouvement continu  as  asso soci´ ci´ee ee au  transport   d’u d’une ne pro p ropri pri´´et´ et´e quelc qu elcon onque que pa parr les  ´ ecarts  de vitesse entre la valeur locale instantan instantan´´ee ee et une certaine valeur moy moyenne enne ou d’ensem d’ensemble. ble. 2 −1 En s’inspirant de coefficients de  de   diffu diffusi sivi vit´ t´e  e    (L T  ), qui sont des pro propri´ pri´et´ et´es es physiq physiques ues du fluide (ind´ependantes ependa ntes du mouvement), on d´efinit efinit des “diffu diffusivi sivit´ t´e turbu turbulen lentes  tes ” qui sont a priori des fonction fonctionss de l’´ecoulement. ecoulement. Cela conduit `a d´efini efi nirr :  unee ´echelle  un echelle de vites vitesse se   u′ ,  une ´echelle echelle de lon longueu gueurr  ℓ suite auxquelles a uxquelles on d´eduit eduit l’ordre de grandeur gra ndeur d’une d’ une diff  diffusivit´ usivit´e par diffusion turbulente  turbulente  ν   ν    :

• • • • • • • • •

• •

′

T 

 ∼ u × ℓ

ν T  T  1Sour Source ce

des text textes es cit´es/ada es/ adapt´ pt´es es : ´ ` EDITIONS ´ ecanique des fluides , CEPADU Chassaing, P. ,  Turbulence en m´ecanique ES–

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Dynamiques des fluides r´eels

 

12.22 Quel Quelques ques caract´eristiqu eris tiques es d’´ecoulement ecoule mentss turbul t urbulents  ents 2 12.

149 

Ainsi, le rapport `a la di diffus ffusivi ivit´ t´e   ν  du   du fluide : ν T    u′ ℓ T  ν  ν    =  Re T , qui est un nombre de Reynolds de turbulence compris entr entr´´ee ee :

 ∼ ×

102 < Re R eT   <  10 7 suivant la l a configura configuration tion d’´ecoulement ecoulement turbulent. Pour Po ur met mettre tre en rel relief ief l’effet l’effet rel relati atiff de la diff diffusi usion on tur turbul bulen entt par rapport `a la diffusion mol mol´´eculaire, eculaire, on consi consid` d`ere ere la couc couche he limit limitee sur une plaqu plaquee plane semi semi-infin -infinie. ie. Bien que l’´epaisseur epaisseur de la couche limite laminaire   δ (x) de Blasius est donn´ee ee par l’´evolution evolution parabolique paraboliq ue : 1/2 δ (x) 5xRe− 5( ν/U ∞ )1/2 x1/2 ,   (Rex  =  = U   U ∞ x/ν ), x   = 5(ν/U  l’´evolution evolut ion de l’´epaisseu epai sseurr de la l a couche c ouche limi limite te en r´egime egim e turbul tu rbulent ent suit s uit une loi loiss d’´epaissis epai ssissement sement 4/5 en x en  x :

≈

−1/5

1/5 4/5

0 , 37 0, 37xRe xRex

∞

δ (x) =   = 0, 0 , 37( 37(ν/U  ν/U  ) x . Quant `a l’effet de m´elange, elange, on note (toujours (toujou rs d’apr` d ’apr`es es Chassain Chassaing) g) que : 1

 y  Advection

 Diffusion Turbulente

 ν > ν T

  n  t    l  e   u    b   u  r    T

0 0

0.5

1

u/U 

∞

des diffus diffusions ions par agitation agitation mol´eculaire eculaire et turbulente, tur bulente, et profile pro file des d es vitesse vi tesse asso associ´ ci´ees ees aux rgimes lamina laminaire ire et turbulent. D’apr`es es Chassain Chassaingg Figu Fi gure re

12.3 12 .3..   Localis Localisation ation pr´ ef´erentiel ef´ erentielle le

•   “la diffusion turbulente agit comme un “activ “activateur” ateur” de la diffusion mol´eculaire, eculaire, `a la •

quelle elle ne peut p eut se substituer, mais dont elle inensifie consid´erablement erablement les effets en accroissant accr oissant la “surface “ surface effective” d’´ d ’´echange echange o`u si`egent egent les gradients loca locaux.“ ux.“   ”l’ ”l’intens intensficat fication ion du m´elange elan ge par la turb turbulen ulence ce pe peut ut ˆetre etre mesur´ee ee par sa r´epercus epe rcussio sion n sur le profil des vitesses d’un ´ecoulement ecoulement en conduite, que l’on sait re parabolique avec la distance `a l’axe dans le cas laminaire‘. En r´egime egime turbulent, et s’agissant ¯ de ce mˆeme eme profil pour la vitesse moyenne ( U  U ,, au sens temporel par exemple), la distribution est plus plate au centre de l’´ecoulement ecoulement (y  =  = R  R), ), puisque :

U ((y )/U (R) = (y/R U  ( y/R))1/n o`u   n  est compris entre 6 et 10 selon la valeur du nombre de Reyonolds globale de l’´ecou ecoule leme ment. nt.““ UFR des Sciences

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Introduction `a la turbulence 

12.3. Mouve Mouvement ment moy moyen en et fluctuations en ´ ecoulement incompressible ecoulement Pour d´ecrire ecrire le mouvement turbulent il est commo commode de de d´ecomposer ecompo ser le mouvement en en un   un  en un ou   mouvement tourbillonnaire  (eddy   (eddy mouvement moyen   en  un mouvement de fluctuation , ou motion en angla anglais). is). La moyenne est compt´ee ee sur s ur un intervalle assez a ssez long et d´esign´ esign´e, e, pou pourr la composante  composante   u  de vitesse, par exemple, par u ¯  ; la vitesse de fluctuation est not´ee ee par par   u′ . De cette mani`ere ere on pose u  =  = u  u + u′ , v  =  = v  v +  + v ′ , w  =  = w  w +  + w′ , p =  = p  p + p′

(12.1)

Dans le cas ca s d’un d’ un ´ecoulement ecoulement turbulent compressib compressible, le, il est aussi n´ecessaire ecessaire de poser p oser ρ  =  = ρ  ρ +  + ρ′ , T  T    = T   T    + T ′

(12.2)

La moy moyenne enne en temps est calcul´ ee en un point fixe dans l’espace et donn´ee, ee ee, par exemple, par  1 u = t1

 

  t0 +t1

u  d  dtt

 

(12.3)

t0

o`u l’interv l’intervalle alle t  t 1  est assez long de sort que u′ = v ′ =  w ′ = p ′ = ρ′ =  T ′ = 0

(12.4)

Avant ´etablir etablir les ´equations equation s pou pourr la couche limite turbulente il est utile de rapp rappeler eler les r`egles egles `a suivre pour p our le calcul des grandeurs moyenn´ moyenn´ees ees : f   =  f   f ;;   f  +  + g  =  = f   f   + g, f  g  =  = f   f  g, ∂f    ∂f   = ,   f  f d ds  =   f ds ∂s ∂s

 · ·

   · ·  

(12.5)

o`u  s  repr´esente esente l’un l’unee des d es variab variables les x  x,, y,z   ou ou t  t.. Appliquons ces formules aux grandeurs de flux, par exemple,   vi v j   o`u  v i  =  = u,  u, v   ou ou w  w   :

·

vi v j   = (v ( v i + vi′ )( )(vv j  + v j′ ) = v i v j  + v i v j′  + vi′ v j  + vi′ v j′

·

qui,, d’ qui d’ap apr` r`es es (12.5 12.5)) conduit `a vi v j   = v i v j  + vi′ v j′

·

D´epar arttement de M´ecan aniique

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Dynamiques des fluides r´eels

 

Introduction `a la turbulence  assez vite qu’il qu’ilss repr repr´´esenten esententt des composa composante ntess de tens tenseur eur de con contrain traintes tes dˆu a` la vitesse turbulente :



′   σ′   σ′ σxx xy xz ′ ′ ′ σxy   σyy   σyz ′ ′ ′ σxz   σyz   σzz

   =

′   τ ′ σx′   τ xy xz ′ ′ ′ τ xy   σy   τ yz ′ ′ τ xz   τ yz   σz′

 −   =

ρ u′2 ρ u′ v ′ ρ u′ w′ ρ u′ v ′ ρ v ′2 ρ v ′ w ′ ρ u′ w ′ ρ v ′ w ′ ρ w ′2



  (12.15)

Les composantes comp osantes de ce tenseur ten seur repr´esentent esentent en effet les contraintes co ntraintes apparentes appa rentes produites pro duites par p ar le mouvement turbulent comme il serait d´emontr´ emontr´e dans les section suivantes.

12.4.1. Contrai Contraintes ntes apparen apparentes tes de mouve mouvement ment turbulent (d’apr` es Schlic es Schlichthting).  Soit dS  dS  une  un e surface s urface ´el´ el´ementaire ementaire dans un courant turbulent dont la vitesse est (u,v,w u,v,w). ). La normale `a dS   est est co comp mpt´ t´ee ee pa para rall` ll`ele ele `a  x  x,, et les directions des  des   y   et et   z  sont   so nt para parall` ll`eles eles dan danss plan de dS  dS . La masse passant par dS  dS  dans  dans un intervalle du temps dt d t est do donn´ nn´ee ee pa parr dS d S ρu  dtt ρu d et par cons´equent equent le flux de quantit´e de mouvement dans les direction directionss   x,   y   et et   z  z  sont  sont re2 spectivement dJ  dJ x  = dS ρu dt, dJ y   = dS d S ρuv  ρuv   dt  et dJ z   = dS d S ρuw  ρuw   dt. La masse volumique ´etant etant constante, co nstante, on peut calculer la moyenne en temps du flux fl ux de la quantit´ qu antit´e de d e mouvement mo uvement par unit´e du temps : dJ x   = dS ρ(u2 ) = dS ρ(u + u′ )2 = dS ρ(u2 + u′2 ) dJ y   = dS ρ(uv) uv) = dS ρ(u + u′ )( )(vv + v ′ ) = dS ρ(u v  + u′ v ′ ) dJ z   = dS ρ(uw uw)) = dS ρ(u + u′ )( )(w w + w ′ ) = dS ρ(u w + u′ w ′ ) Ces grandeurs g randeurs d´esignent esignent en effet le taux t aux de d e variation variati on de d e la quantit´e de mouvement dont d ont la y

+v ′

+v ′

−w −u

′

′

y dS 

−v

+u′ +w ′

−v

′

′

x z  (a)

 

(b)

x

Figure Figu re 12.4.   (a) Transport de la quantit quantit´´e de mouveme mouvement nt dˆu aux fluctua-

tions (a) a` travers une surf surface ace ´el´ el´ementaire, ementa ire, dS  S  ;  ; (b) dans un ´ecoulement ecoulement de cisaillementt av cisaillemen avec ec ∂u/∂y  ∂u/∂y > 0. > 0.

dimensio n est d une forces agissa dimension agissant nt sur s ur la surface el elementaire ementaire dS . Ainsi, en divisant par dS  d S  on obtient o btient les dimensions de force par unit´e de surface, soit les dimensions de contraintes. Or, puisque le flux de quantit quantit´´e de mouveme mouvement nt par unit´e de temps trav traversant ersant une surface est toujou toujours rs ´equivalent equivalent `a une force ´egale egale et oppo oppos´ s´ee, ee, exerc´ee ee sur la surface par le milieu D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

Introduction `a la turbulence  forme :

∂u  p + 2µ 2µ ρu′2 , ∂u ∂x   ∂v σxy   = τ xy   =   µ  + ρu′ v ′ , xy ∂y ∂x σxx  =  = σ  σx   =



 −

−

 −

    ··· 

(12.18)

◮   Remarque   12.1 :   Les contraintes appar apparentes entes sont, en g´en´ en´eral, eral, de loin plus grandes que les 

composantes visqueuses et, par cons composantes cons´ ´equent, equent, on peut ` a un bon d´egr´ egr´ee ee d’approxima d’ap proximation tion n´eglige egl igerr ces  derni`eres eres dans plusieu plusieurs rs cas d’´ecoulements ecoulements turbule turbulents. nts.   ◭

Conditions aux limit Conditions limites. es.   Les conditions de non-glissement et de non-p´en´ en´etration etration aux surfaces imperm´eables eables s’appliquen s’appliquentt toujours aux parois : vn (xn  = 0) = v =  v t (xt  = 0) = v =  vn′ (xn  = 0) = v =  v t′ (xt  = 0) = 0. 0.

 

(12.19)

Les indices  indices   n  et  t  d´esignent esignent respect respectivement ivement les direction directionss normal normalee et parall`ele ele a` la paroi. Il vient alors que toutes les composantes du tenseur de contraintes turbulentes disparaissent aux par parois ois et sont, s ont, par cons´equent, equent, tr`es es petit p etites es `a leurs voisinages imm´ediats. ediats. Les seules contraintes qui y restent activent sont les contraintes (laminaires) visqueuses dont les valeurs y deviennen deviennentt tr`es es grandes dev devant ant celles des contrain contraintes tes apparente apparentes. s. Voil`a pourquoi il vient que dans un ´ecoulement ecoulement turbulen turbulentt il existe une couche couchess tr`es es mince sous-jacen sous-jacente te a` la paroi et dans laquelle l’´ecoulement ecoulement est, par essence, laminaire. On appelle app elle une telle couche sous–  couche  sous–  couche couc he laminair laminaire  e  dans   dans laquelle les vitesses sont tellement petites que les forces visqueuses y deviennent dominantes par rapport aux forces d’inertie. La sous–couche laminaire s’adjoint a` une couche de transition o`u la vitesse de fluctuation devient assez grande pour donner lieu aux contraintes turbulentes comparables dans leurs ordres de grandeurs aux contraintes visqueus visq ueuses. es. En s’ s’´´eloignant eloignant encore des parois, aux distances distances enco encore re plus grandes, les contraintes turbulentes deviennent largement plus grandes que les contraintes visqueuse. C’est pr´ecisem eci semment ment `a cette couche que l’´ecouleme ecou lement nt turb turbulent ulent devi devient ent comp compl` l`etement eteme nt ´etabli. etab li. L’´epaisseur epaisseur de la sous–co sous–couche uche laminaire lami naire est tellement tell ement petite p etite qu’il qu’ il est impo impossible, ssible, ou tr`es es difficile, d’observer d’observe exp´ erimen erimentalemen talement. Pourtant, rˆole oillement, leement, jou´e par couche estlad´ecisif  efor cisicef  car elle est le si`ege eger du ph´ enom` enom` ene quit.d´etermine ene ePourtan term ine t,le lecisa cisaill et cette par con cons´ s´equent equent force de traˆın´ee a` la paroi. Bref, en notations no tations indiciell indicielles, es, l’intr´epetation epeta tion du champ moyen et de flucuation flu cuation peut ˆetre etre illustr´ ill ustr´e de la man mani` i`ere ere sui suivante vante : ∂ ¯ ∂  u¯i = 0,   (12.20a) ∂xi Du ¯i ∂ ¯ ∂   p¯   ∂ 2 u¯ j   ∂  ¯ ρ = +   ρf i + µ (ρui u j ) (12.20b) Dt ∂xi ∂xi ∂x j ∂x j

    

Force moyenne d’inertie

  −

−                    

Force moyenn m oyennee de pression

Force moyenne de volume

Force moyenne de vis viscosi cosit´ t´e

Tesnions de Reynolds

◮  Remarque  12.2 :   Ens Ensemb emble, le, les equatio e´qu ations  ns   (12.15 12.15))  et   (12.17 12.17))  ne sont pas suffisantes pour une 

´evaluation evaluat ion rationnel rationnelle le de d e l’´ecoulement ecoulement moyen tant que la relation entre e ntre les comp composantes osantes moyenn moyennes  es 

et turbulentes turbulentes reste inconnus. inconnus. Une telle re relati lation on ne peut, a ce jour, etre obtenue que d une fa¸con  con  empirique et const constitue itue le contenu essentiel de tous les hypoth` eses conc eses concernant ernant la turbulence `a discuter dans ce qui suit.   ◭

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

12.5 Hypoth`eses th´eoriques

155  

12.5.. Hyp 12.5 Hypoth` oth` eses po eses pour ur les ´ecoulement ecou lementss turb t urbulents ulents nous certains asp aspects ects du ecanisme ecanisme de turbulence mais nousAujourd’hui, somme toujour toujours s tr` tcomprenons r`es es loin d’unemieux compr´ ehension ehension compl` ete.m´ ete. C’est pourquoi pour quoi des tentatives innombrab inno mbrables les ont ´et´ et´e fai faitt po pour ur ´etablir etab lir des bas bases es th´eoriques eori ques po pour ur d´ecrire ecri re les ´ecoulement ecou lementss turbulentss a` partir turbulent pa rtir des hypoth`eses eses semi-empir s emi-empiriques. iques. Par exemple, Boussi Boussinesq nesq (1870 (1870)) sugg`ere ere une expression exp ression pour le coefficient co efficient de frottement ou de m´elange elange (viscosit´e tourbillo to urbillonnaire nnaire ou eddy viscosity),  viscosity),   ν T  contrainte te de Reynolds d’´ecoulement ecoulement turbulen turbulentt : T , pour la contrain τ t  =

′ ′

−ρu v

= ν T  T 

du dy

 

(12.21)

par anologie `a la contarinte visqueuse,  visqueuse,   τ l , r´egnant egna nt dans d ans les ´ecouleme ecou lements nts lam lamina inaires ires : τ l  =  = µ  µ

∂u , ∂y

 

(12.22)

o`u  µ  µ est  est le coefficient de la viscosit´e dynamique. Malheureusem Malheureusement ent cette hypoth`ese ese poss`ede ede un grand d´esavantage esavantage intrins`eque eque car le coefficient   ν T  constit stitue ue pas une pro propri´ pri´et´ et´e du T    ne con fluide comme   µ, mais d´ epend de la vite epend vitesse sse moy moyenne enne   u. Alo Alors rs que les force forcess visqueu visqueuse sess dans un ´ecoulement ecoulement turbulent sont approximat approximativement ivement propo p roportionnel rtionnelles les au carr´ee ee de vitesse moyenne, moy enne, elles sont dans le cas d’´ecoulement ecoulement laminaire lin´eairement eairement proportionnelles `a la vitesse. Il est commo commode de d’utili d’utiliser ser la viscosit´e apparente (tourbil (tourbillonnai lonnaire) re) cin´ematique ematique   ε  =  = ν   ν T  T /ρ par analogie `a la vis visco cosit´ sit´e cin´emati ema tique que   µ/ρ µ/ρ,, et on ´ecrit ecri t alo alors rs

et

 

du τ l   = ρ ν  dy du τ t  =  = ρ  ρ ε . dy

 

(12.23)

De cette mani`ere ere on peut ´ecrire ecrire l’´equation equation de couche limite turbulente sous la forme :



∂u ∂u 1 ∂p   ∂  ∂u u  + v  =  + (ν  +  + ε) ∂x ∂x ρ ∂x ∂y ∂y ∂u  ∂  ∂vv  +   = 0.   ∂x ∂y

 −

Les conditions aux limites sont  sont   u(y  = 0) = v =  v((y  = 0) = 0 et u et  u((y



 

(12.24a) (12.24b)

 → ∞) → U  . e

12.5.1. Longueur de m´ elange de Prandtl.   Il est ´evident elange evident que si la d´ependance ependa nce de ν T  eses (12.21 eses 12.21)) et (12.23 (12.23)) seraient seraient inutilisab inutilisables. les. Il T    sur la vitesse reste inconnue, les hypoth` est donc n´ec´ ec´ essaire de trouver une relation empirique entre le coefficient essaire coefficient   ν T  T    et la vitesse

moyenne.   A cette fin Prandtl (1925 (1925)) fit une av avanc ancee ee consid considerable erable que nous pres presentons entons pou pourr le cas d’´ecoulement ecou lement par parall` all`ele ele o`u la vitesse varie d’une ligne de courant `a une une autre. Consid`erons erons un cas o`u l’´ecoulement ecou lement prin principa cipale le est comp compt´ t´e par parall` all`element eleme nt `a  x  tels que : u   =   u(y ); );   v   =   w   = 0. UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

Introduction `a la turbulence  Un tel ´ecouleme ecoulement nt peut ˆetre etre obtenu dans un canal rectangulaire. rectangulaire. Dans ce cas la seule non-z´ero ero composante de la contrain contrainte te de cisaillemen cisaillementt turbulen turbulente te est ′   =  τ l   = τ xy

′ ′

−ρu v

= ν T  T 

du . dy

 

(12.25)

y u(y ) u(y1 + l) u(y1 )

l

u(y1

l

− l)

y1

111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 x

Figure 12.5.   Explication de la notion de longueur de m´ elange. elange.

Selon Prandtl, lorsqu’un fluide dans un ´ecoulement ecoulement turbulent passe le long de paroi, des particules particul es fluide se r´eunissent eunissent pour former des agglo agglom´ m´erations erations qui se d´eplacent eplacent en tant que parcelles en trav traversant ersant une distance donn´ee, ee, que ce soit dans la direction longitudinale ou transversale, transver sale, tout en gardant la quantit quantit´´e de mouveme mouvement nt dans la direction des x des  x.. Supposons maintenant qu’une telle parcelle traverse une distance  distance   l, par exemple, de la lame (y ( y1 l ) ′ a` la vitesse  vitesse   u(y1 l) dans la direction  direction   y  positive (v (v >  0), voir figure  12.5  12.5.. On appel appelle le la distance   l  longueur de m´elange distance retientt la quantit quantit´´e de elange de Prandtl . Comme la parcelle fluide retien mouvement qui qu i lui lu i est asso associ´ ci´ee, ee, la l a vitesse vites se a` la nouvelle lame y lame  y 1  est plus petite que la vitesse qui y r`egne. egne. Il vient alors a lors que les l es diff´ d iff´erences erences dans les vitesses est

−

−

∆u1  =  = u  u((y1 )

− u(y − l) = u u((y ) 1

1

 −

u(y1 )

−

du l   + O (l 2 ) + dy

   ··· ≈ l

du dy

.

1

De la mˆeme eme mani`ere ere une parcelle fluide qui arrive en en   y1   de la lame (y (y1  +  + l l)) po poss` ss`ede ede une vitesse plus grande que celle en y en  y 1 , la diff´erence erence est alors 2



∆u2  =  = u  u((y1  + l)

− u(y ) = u u((y ) + l dduy   + O(l ) + · · · − u(y ) ≈ l 1

1

du dy

1

. 1

Dans ce cas   v ′ <   0. La diff´erence erence de vitesse ainsi a insi produite par le mouveme mouvement nt peut ˆetre etre vue comme la composante de vitesse de turbulence en   y1 . Il vient vient qu’on peut calcu calculer ler la D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

12.5 Hypoth`eses th´eoriques

157  

moyenne temporelle de la valeur absolue de cette fluctuation : u′  =   1 ( ∆u1 + ∆u2 ) =  l 2



|

| |

|

   du dy

.

 

(12.26)

1

Compte tenu de cette ´equation equation on peut avancer l’interpr´etation etation physique suivante pour p our la longueu lon gueurr de m´elange elan ge l l.. La longueur de m´elange elange est la distance dans la direction traversale traversale qu’une parcelle des particules fluide doivent parcourir `a la vitesse moyenne originale pour que la diff´erence erence entre cette vitesse vit esse et la vitesse vit esse `a la l a nouvelle n ouvelle lame soit ´egale egale `a la fluctuation fluctuation moyenne de l’´ecoulement ecoulement turbulente. Pourtant, que lors lo rs de son d´eplacement eplacement dans la direction d irection transversale, transver sale, la parcelle du fluide retienne compl`etement etement sa vitesse de la lame d’origine ou elle s’adapte partiellement `a la vitesse de la lame trav travers´ ers´ ee tout en contin ee continuant uant son parcours dans la mˆeme eme direction, reste `a vraie dire une question enti enti``erement erement ouverte ouverte.. Le concept de longueur de m´elange elange de Prandtl est en fait analogue, jusqu’` a ce cert rtai ain n d´egr´ egr´ee, ee, a` la notion de parcour parcourss moyen utilis´e dans la th´eorie eorie cin´etique etique des gaz, la diff´erence erence ´etant etant que cette derni`ere ere est asso associ´ ci´ee ee au mouvement microscop microscopique ique des mol´ecules, ecules, tandis que la premi`ere ere traite le mouveme mouvement nt macroscopique d’une agglom´eration eration de particules fluide. On pourrait aussi imaginer que la vitesse transversale de fluctuation prend naissance de la mani`ere ere suiv suivante ante : Consid´ erons deux parcelles du fluide se rencontr erons rencontrant ant dans une lame `a distance y distance  y1 , la plus lente provenant de (y (y1 l) avant la plus rapide de (y ( y1 + l). Dans ce cas cas une ′ collision aura lieu `a la vitesse 2u 2u entre ces deux parcelles et elles s’´eloignent eloignent obliquemen obliquement. t. Cela est en effet ´equivalent equivalent a` l’existence d’une composante transversale de vitesse dans les deux directions par rapport `a la couche en y en  y1 . Si les deux parcelles apparaissent dans l’ordre inve in vers rse, e, el elle less aur uron ontt ´et´ et´e s´epa ep ar´e `a une vitesse ´egale egale a` 2u′ avec l’espace l’esp ace entre elles el les ainsi laiss´e vide serait rempli par le fluide environnˆat, at, donnant lieu aussi `a une composante transversale de vitesse dans les deux directions en y en  y1 . Cet argument implique la composante transversale ′ v est du mˆeme eme ordre de grandeur que que   u′ et pn pose

−



v ′  = constante

×



u′  = constante

× l dduy .

 

(12.27)

A fin de trouver une expression pour la contrainte de cisaillement `a partir de l’´equation equation ′ ′ (12.25 12.25)) un examen plus approfondi de la valeur moyenne   u v est n´ecessaire. ecessaire. Il en suit de la pr´esentatio esenta tion n pr´ec´ ec´edente edente que les par parcell celles es qui arr arrivent ivent a` la couche  couche   y1  avec une valeur ′ ′ positive de  de   v donne lieu ”plus probablement” `a   u n´egative egative de sort que leur produit   u′ v ′ est n´egatif. egatif. Les parcelles `a une valeur n´egative egative de de   v ′ (provenant d’en haut selon la figure 12.5)) sont 12.5 so nt ”plus ”p lus probabl probablement” ement” asso associ´ ci´ee ee `a  u ′ positive et le produit u produit  u ′ v ′ est n´egatif ega tif une foi foiss encore. Le terme qualitatif ”plus probablement” dans le contexte plus haut exprime le fait que l’apparence des particules pour lesquelles u lesquelles  u ′ est d’u d’un n signe si gne app appos´ os´e `a celui ce lui ci-d ci-dessu essuss n’est n ’est pas exclu mais est, est , n´eanmoins, eanmoin s, beaucoups b eaucoups moins fr´equent. equent. Ainsi que qu e la moyenne m oyenne temporelle temp orelle ′ ′ u v est diff´erente erente de nulle, et n´egative. egative. On supp suppose ose alors que



u′ v ′ =

′

v′ ,

−c u ·

 



o`u 0 < c     p

    p     <     p

 

     0

 ,    e     t    n    e     t    e     ´     d

 ,    n    o     i    s    s    e    r    p    m    o    c

u

u

     0

     0

    p     >     p

    p     <     p

 

    p     >     p

    p     >     p

     0

    p     <     p

 ,    e     t    n    e     t    e     ´     d

 ,    n    o     i    s    s    e    r    p    m    o    c

     0

    p     <     p

 ,    e     t    n    e     t    e     ´     d

 ,    n    o     i    s    s    e    r    p    m    o    c

sens de propagation Figure Figu re 13.1.   Zones Zon es de compressi compression on et d´etente, etente, d´eplacement eplacement en masse, di-

rection de vitesse d’oscillations et le sens de propagation d’onde sonore

Figure Figu re 13.2.   Visulisatio Visulisation n d’une onde sonore, photo prise de livre : Davi David d

C. Knight Knight & Fran rankli klin n Watt atts, s, The First First Book of Sou Sound nd : A Bas Basic ic Guide to the Science of acoustics, Inc. New York (1960), p. 80. UFR des Sciences

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Universit´e de Caen

 

´  Ecoulements compressibles  Nou s avons Nous avon s vu en Therm T hermod odynam ynamique ique que les chaleu chaleurr sp´ s p´ecifiques ecifiq ues peu peuvent vent ˆetre etre expr exprim´ im´ees ees 2 sous la forme ∂s ∂s ∂s cv   = T  = T  , c p  =  = T   T  compte tenu de v de  v  = 1/ρ ∂T  v ∂T  ρ ∂T   p

   

 

A partire de ces deux relations on peut d´emontrer emontrer la relation de Reec Reech h   κT  γ   = κs o`u  κ T   est la comp compress ressibi ibilit´ lit´e iso isother therme. me. Ains Ainsii on pe peut ut ´ecrire ecri re po pour ur la c´el´ el´erit´ erit´e : a0   = Pour un gaz parfait, l’on obtient alors :

 

1/2

  γ  ρ0 κT 

.

 

(13.14a)

,

 

(13.14b)

1/2

a0  =

 p0  p

  γ  ρ0

ce qui nou nouss pe permet rmet d’´evaluer evaluer la c´el´ el´erit´ erit´e en fonc fonctio tion n des cond conditi itions ons lo locale caless de temp´erature erat ure et de pression.

´ 13.3.2.   Ener Energie gie et propa propagati gation on d’on d’ondes des sonor sonores. es.   L’´equation equation de la conservation d’´energ ene rgie ie est do donn´ nn´ee ee pa parr : De   =  p v (λ T  T )) + Φ (13.15) Dt o`u Φ repr´esente esente la dissipati d issipation on thermique therm ique produite pro duite par les forces visqueuses, visqueuses, λ  la con condu ducti ctivit´ vit´e  λ la thermique du fluide, T  fluide,  T  la  la tem temp´ p´eratu era ture re et et e  e l’´  l’´energie ener gie inter interne ne par unit´e de mass masse. e. Comm Commee on on s’int´´eresse s’int eresse aux ondes sonores, on pose :

− ∇ · −→  − ∇ ∇

ρ

e  =  = e  e 0  + e′ ,

T    =  T 0  + T ′ T 

tels que  que   e′ e0   et et   T ′ T 0 , et l’on consid`ere ere le cas d’un fluide parfait ce qui nous permet p ermet de n´ egliger la dissi egliger dissipation pation thermique thermique le trans transfert fert thermique thermique par condu conduction ction.. Noton Notonss que cette derni`ere ere s’annule a` tout cas dans un processus isentropique qui est en effet le cas d’ondes sonores. En portant ces relation de l’´equation equation d’´energie, energie, l’on obtient au premier ordre d’approximation

≪

≪

De′ ρ0   = ( p0  +  + p  p′ ) v   ′ = ( p0  +  + p  p′ ) v   (13.16) Dt o`u le terme en p en  p′ a ´et´ et´e ret r etenu enu ca carr l’´ l’´ener en ergi giee cin´ c in´etiq etique ue es estt rep r epr´ r´esent´ esent´ee ee pa parr un u n ter t erme me qu quad adra rati tiqu quee ′  ′ en   v . Ici, nous avons pos´ en p os´e v = v   co comm mmee in indi diqu´ qu´e pr´ec´ ec´edem edemme ment, nt, voi voirr ´equa equati tion onss (13.7a 13.7a)) et (13.7b 13.7b). ). La prem premi` i`ere ere ´equatio equa tion n fou fournit rnit

−

 −→  −→

∇ · −→ −

∇ · −→

′

∇ · −→v   = − 1 Dρ

ρ0 Dt

2

Voir polycopi´e de cours de Thermodynamique, chapitre 4, eqs (4.14) et (4.15)

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

13.3 ondes sonors

171

qui, combi combin´ n´ee ee avec (13.8 13.8), ), conduit `a : ′

∇ · −→v   = −κ DD pt s

et pa parr con c ons´ s´equenc equ encee l’´equat equ atio ion n (13.16 13.16)) devient : ρ0

De′ D p′   = κ s ( p0  +  + p  p′ ) Dt Dt

 

(13.17)

´ Etant donn´e que le d´eveloppent eveloppent en cours se fait dans le cadre des approximat approximations ions lin´eaires, eaires, on admet que : D   ∂   = , Dt ∂t et l’´equat equ atio ion n (13.17 13.17)) s’i s’int` nt`egre egr e en :  1 ′2 ρ0 e = κs p0 p + 2 κs p (13.18a) o`u la co cons nsta tante nte de l’l’int int´´egra eg rati tion on a ´et´ et´e d´eter etermi min´ n´ee ee de l’´etat et at (.)0 . Noter que le premier terme reflett le tra refle trav vail des forces de pression produit par la propag propagation ation de son. Quan Quantt au term termee ′ quadratique en p en  p , il d´esigne esigne ce que l’on appelle l’´energie energie acoustique potentielle et prend la forme de travail dˆ u uniquement aux oscilations en pression et masse volumique. ′

′

13.3.3.. Ond 13.3.3 Onde e son sonore ore d’u d’une ne sou source rce mob mobile ile..   On consid`ere ere maintenant une source sonore   S  sonore S  en  en mouvement, `a une vitesse constante  constante   U , dans un fluide au repos s’´etendant etendant `a l’infini. Il existe trois cas `a distinguer selon le rapport entre la vitesse de source et la vitesse de son.  

U a at

2α

U 

S 

Ut

Ut

U < a   : vu que la di dist stan ance ce parco parcour urue ue par la so sour urce ce   U t   dans ce cas est inf´erieure erieure a` celle parcourue par le front d’onde at d’onde  at,, les fronts d’ondes sonores ´emises emises par la source au courss de temp cour tempss devi deviennent ennent emboˆıt´ ıt´es. es. U > a  : la distan distance ce parcou parcourue rue par par la sourc sourcee  U t  est su sup´ p´erieur eri euree a` celle parcourue par le front d’onde   at d’onde at.. Les ondes ´emises emises par la source au cours de son mouveme mouvement nt dans ce cas

forme une env enveloppe eloppe conique dont le demi angle au sommet est ´egale egale `a   at   a   1 sin α  =  =   = .   (13.19) Ut U  M  On appelle le nombre M  nombre  M    =  U  U/a /a le  le nombre de Mach et α et  α  l’angle de Mach. UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  Ecoulements compressibles  U   = a  a   : ce cas repr´esente esente la limite interm´ediaire ediaire entre les deux cas pr´ec´ ec´edents edents lorsque les fronts de tous to us les l es ondes on des ´emises emises par la source au cours de son so n mouvement mo uvement s’emboˆıtent ıtent `a un seul point donn´e par la position p osition de source sonore en mouvement. On app appelle elle respecti respectivement vement ces trois r´egimes egimes : r´egime egime subsoniq subsonique, ue, r´egime egime supers supersonique onique et r´egime egime transso transsonique; nique; ce dernier derni er correspo co rresponde nde `a la formation d’ondes de choc, prov provoqu´ oqu´ee ee par l’emboˆˆıtemen l’embo ıtementt d’ondes de surpression en un seul correspondant au a u point p oint source. Quand la vitesse de source augment de   U < a   `a   U > a, une onde de choc se forme `a l’instant o`u U    =   a, on dit alors la source franchit le mur du son des que   U  U  U  d  d´´epa ep asse   a; un bel exemple est fourni `a la figure 13.3.3 figure  13.3.3..

Figure 13.3.  Franchissement du mur de son

13.4.. Onde de choc en 1D : l’exemple 13.4 l’exemple d’un piston en mouv mouveme ement nt dans cette section on consid` ere l’onde de choc produite par le mouveme ere mouvement nt rapide d’un piston (par exemple suite `a la phase d’ignition d’un moteur `a quatre temps). Posons u Posons  u p  pour

 p   > c, pourquoi la vitesse de episton et et c  (u ul’onde p ourquoi pour celle du choc et d´esignons esignons par l’indice toute variable variabl en av aval al  cde ( et par 2 sa?)valeur vale ur en amont de l’onde. On constate constat e que la1 vitesse de toute particule fluide se trouv trouvant ant entre le piston et l’onde est ´egale egale `a la vitesse du piston tandis qu’en amont a mont de l’onde la vitesse est celle de fluide non perturb´e, e, donc ´egale egale `a nulle. La repartition de vitesse est ainsi discontin discontinue ue comme illustr´ ee sur la figure. ee

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

13.4 Onde de choc en 1D : l’exemple d’un piston en mouvement

173  

u p  > c u

1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 10101010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 101010101010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 101010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 x

u p

c

u p ρ2 , p2

ρ1 , p1

u = 0

Figure 13.4.   Onde de choc prouduite unidimensionnelle.

Analyso ns fluide. maintenant maint enant l’´ecoulement ecou lement danss un rep` dan elareconservation li´e a` l’onde en unequantit vitesse´e ´ega eg alAna e `a lysons c au Pour appliquer les principes de ere de ajoutant masse et de quantit´ de mouvement m ouvement on o n consid` co nsid`ere ere un volume volu me de contrˆ co ntrˆole ole entourant l’onde l ’onde de choc, cho c, comme co mme illustr´ i llustr´e dans la figure suivante :

−

u1  =  = c  c

u u2  =  = u  u p

−c

1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010−1010 1010 1010 1010 1010101010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 101010 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 u2  =  = u  u p

x

c

c ρ1 , p1 u1  =  = c  c

ρ2 , p2

Figure 13.5.   Onde de choc prouduite unidimensionnelle.

On obtient alors : ρ1 cS   = ρ2 (u p et : 2

− c)S 

2

 

− ρ c S  +  + ρ (u − c) S   = ( p − p )S 

  o`u  S   S  est  est la section de piston. En combinant ces deux ´equations equations l’on obtient : 1

 p  p  =  = p  p 2

2

2

− p  =  = ρ  ρ c − 1

1

 p

 ρ 21 c2   ρ1 = (ρ2 ρ2 ρ2

1

2

2

−ρ )c 1

=

  ρ1 ρc2 ρ2

(13.20a) (13.20b)

(13.20c)

o`u   .  d´esigne esigne le saut dans la valeur de variable `a travers travers l’onde de choc. Ains Ainsi, i, la vite vitesse sse de choc est donn´ee ee par 1/2 ρ2  p  p c  = (13.20d) ρ1 ρ

 

UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  Ecoulements compressibles  D’apr`es es cette ´equation, equation, on note que la vitesse de propagation d’une onde de choc d´epend epend des conditions conditions de pres pression sion et de densit´ densit´e en aval et en amon amontt de choc. Notons aussi que quand p quand  p 2  p1 ,   ρ2 ρ1 , et par la suite cette formule tend vers la forme suivante :

 →

 →

    ∼ ∼

c=

∆ p ∆ρ

1/2

=

∂p ∂ρ

1/2

=  a,   vitesse de son

(13.20e)

13.5. 13. 5. Ond Onde e de ch choc oc Nous allons maintenan maintenantt mettre en ´evidence evidence les conditions de saut et leur d´ependance ependance de conditio conditions ns thermo thermodynamiques dynamiques de l’´ecoulement. ecoulement. Pour cela on consid`ere ere un ´ecoulement ecoulement unidimensionnel en r´egime egime permanent d’un fluide parfait a` comportement de  gaz parfait, c’est-` a-dir d’un fluide id´eal a-dir eal (µ   =   λ   = 0). Les variables variables ne d´ependent ependent alors que d’une dimensions (x (x). Comm Commee dans da ns la l a sectio sec tion n pr´ec´ ec´edent, edent, on utili ut ilisera sera les indi indice ce 1 et e t 2 pour p our d´esigner esig ner respectivelent respective lent les conditions en amont (avant) (avant) et en aval (apr`es) es) de l’onde de choc. De plus, nous les chaleurs sp´ecifiques ecifiques parfait constantes a` travers le choc. supposons Ainsi, les que ´equations equations de la conserv conservation ationdedegaz masse, de restent quantit´ quantit ´e de mouveme mouvement nt et de l’´ener en ergi giee (13.5 13.5)) se r´eduis edu isent ent `a : dρu   = 0, dx du d p ρu  = , dx dx dT    d p ρc p  = dx dx o`u on a util utilis´ is´e dh  =  = c  c p dT  T  pour  pour un gaz parfait. ` ces ´equation A equa tions, s, on doi doitt adj adjoin oindre dre l’´equatio equa tion n d’´etat etat :

 

(13.21a)

 −

 p =  p  = RρT   RρT 

   

 

(13.21b) (13.21c)

(13.21d)

o`u  R  est la constante du gaz en J/(kg K). Alors, Alo rs, l’´equat equ atio ion n de cont continui inuit´ t´e con contui tuit´ t´e (13.21a 13.21a)) donne : ρ1 u1  =  = ρ  ρ 2 u2

 

Si on utilise, (13.21a (13.21a), ), l’´equat equ atio ion n (13.21b 13.21b)) se modifie en : u soit :

dρu du   + ρu   = dx dx

− dd px

d   d p ρu2 +   = 0 dx dx

qui s’int`egre egre en : 2

 

2

(13.22a)

ρ1 u1  +  + p  p1  =  = ρ  ρ 2 u2  +  + p  p2 Quant `a l’´equation Quant equation (13.21c 13.21c), ), en rempl rempla¸ a¸can c ant d p/  p/d dx   par int´egrat egr atio ion n:  1  1 c p T 1  + u21  =  = c  c pT 2  + u22 2 2

  1 2 u )/dx, 2

(13.22b) l’on obtient apr`es es

 

(13.22c)

D´epar arttement de M´ecan aniique

Dynamiques des fluides r´eels

  −d(

Adil Ridha

 

13.5 Onde de choc

175  

Comp arer ce dern Comparer dernier ier r´esultat esul tat avec l’´equatio equa tion n de cons consrevatio revation n d’´energie ener gie d´emontr´ emontr´ee ee en ther ther-modyna mo dynamiqu miquee po pour ur un syst`eme eme ferm´e en ´ecoulement ecou lement sta statio tionnai nnaire. re. Pour un gaz parfait, on note que la vitesse de son est donn´ee ee par : ∂p   ∂   p a2 = =  (Cte. ργ ) = γ    =  γ  γRT  RT    = γ (c p cv )T  T    = (γ  1) 1)cc p T  ∂ρ s ∂ρ ρ



×

−

−

ce qui p erm ermet et de r´e´ e´ecrire ecr ire l’´equat equ atio ion n (13.22c 13.22c)) sous la forme : a21  1 2   a22  1  + u1  =  + u22 γ  1 2 γ  1 2

−

Si l’on introduit le nombre de Mach, d´efini efini par :

−

 

(13.23)

  vites vitesse se de l’´ecouleme ecou lement nt  u  =   (13.24) vitesse de son dans le milieu fluide a dans (13.23 (13.23), ), on o n obtient o btient alors a lors pou pourr un ´ecoulement ecoulement `a nombr nombree de d e Mach unit´e  M   M  =  = 1, c’est-`aadire   u = dire  = u  uc  =  = a  ac , la relation suivante : a21  1 2   a22  1 2   γ  +  + 1 a2c  + u  =  + u  =   (13.25) γ  1 2 1 γ  1 2 2 γ  1 2 M   =

−

−

−

13.5.1. L’´ equation de equation d e Rankine-Hugoniot. Rankine-H ugoniot.   La c´el` el`ebre ebr e ´equat equ atio ion n de Ra Ranki nkinene-Hu Hugo gonio niott exprimant la diff´erence erence de l’enthalpie de part et d’aure du choc peut ˆetre etre obtenue a` partir de (13.22a 13.22a), ), (13.22b 13.22b)) et (13.21c (13.21c)) exprim´ee ee en fonctio fonction n de l’enthalpie. Pour un ´ecoulement ecoulement unidimensionnel unidimen sionnel en r´egime egime perma permanent nent l’on obtient de l’´equation equation d’´energie energie : dh   d p  d ρ  =   = ρ dx dx dx

−  1 2 u 2

 

(13.26)

Ainsi, `a l’aide de (13.22a (13.22a)) et (13.22b (13.22b), ), cet ´equat equ atio ion n pe peut ut se r´e´ e´ecrir ecr iree ap apr` r`es es int´egrat egr atio ion n sou souss la forme : h2

−h

1

 1 2  1 u1 u22  =  (  (u u1  + u2 ) (u1 u2 ) 2 2  1  p2  p1 =  (  (u u1  + u2 ) ,   en utili utilisan santt (13.22a 13.22a)) puis (13.22b (13.22b)) 2 ρ1 u1   1  1   1 = + ( p2  p1 ),   en utili utilisan santt (13.22a 13.22a)). 2 ρ1 ρ2

 =

− −   −

−

(13.27)

On appelle (13.27 (13.27)) l’´equation equation de RankineRankine-Hugoni Hugoniot. ot. 13.5.1.1.   Relation de saut entr entree la pres pression sion et densit´ e de par et d’autr d’autree du choc. choc.   Pour un gaz parfait on a :   γ   p h  =  = c  c p T  T    = γ  1 ρ

Alors, en report re portant ant cet ´equation equation dans (13.27 13.27)) on tire la relation suivante donnant   p2 /p1   en fonction ρ fonction  ρ 2 /ρ1   : −1   2γ    + 1 ρ1  p2  ρ 1   γ  + = 1+ 1 (13.28)  p1 ρ2 γ  1 γ  1 ρ2

−



UFR des Sciences

− −

 −



−

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  Ecoulements compressibles  La cour courbe be ´etablie etab lie sur cette rela relatio tion n est sou souvent vent d´enomm´ enom m´ee adiabate ee  adiabate dynamique du gaz  pour   pour la distinguer de courbe isentrope bas´ee ee sur  p2 =  p1

 ρ2 ρ1

γ 

.

Ces deux cour courbe bess sont s ont repr´esent´ esent´ees ees sur la figur figuree  13.6  13.6.. Notons qu’une singula singularit´ rit´e s’obtient s ’obtient quand ρ2   γ  +  + 1 = . ρ1 γ  1

−

 10

     1

   p      /      2    p

γ 



 8

 p2 =  p1

ρ2 ρ1

 6

´ Equation (13.28)) (13.28

 4

 2

 0  0

0.2

0.4

0.6

γ  − 1

0.8

1

ρ1 /ρ2

γ  +  + 1

Figure Figu re 13.6.  Illustration de courbe de Rankine-Hugoniot d’un gaz parfait

`a  γ   γ  =  = 1.4 ` partir 13.5.1.2.  Relation de Prandtl du choc   u1 u2  =  = a  a2c .   A p artir des ´equations equation s de d e la conservation de masse (13.22a (13.22a)) et de quantit´e de mouvement (13.22b 13.22b), ), l’on obtient :  p2

 p1   =   ρ1 u1 (u1

u2 )

(13.29a)

ρ2

−ρ

D’o` u:

1

  =   ρ1 (u1 /u2

−− 1)

− p −ρ

 p2 ρ2

D´epar arttement de M´ecan aniique

1

(13.29b)

= u 1 u2

 

(13.30)

1

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulement unidimensionnel isentropique 13.6  E

177  

Comp te tenu de l’´equation Compte equa tion d’´etat etat d’u d’un n gaz par parfai fait, t, l’´equatio equa tion n d’´energie ener gie (13.22c 13.22c)) p eut s’´ecrir ecr iree sous la forme : γ   p1 +  1 u2  =   γ   p2 +  1 u2  =   γ  +  + 1 a2c   (13.31) 1 2 γ  1 ρ1 2 γ  1 ρ2 2 γ  1 2 Or, la diff´erence erenc e de vite vitesse sse (d’a (d’apr` pr`es es (13.22a 13.22a)) et (13.22b (13.22b)) )) s’exprime par :

−

−

−

−

  p2  p1   p2   p1 = (13.32) ρ1 u1 ρ2 u2 ρ1 u1 En utilisant (13.31 (13.31), ), on peut trouver des expressions pour p our le premier et deuxi deuxi``eme eme termes du deuxi`eme eme membre de (13.32 13.32)) : u1

−u

2

 =

−

 p1   γ  +  + 1 a2c  γ  1   p2   γ  +  + 1 a2c =   u1 , = ρ1 u1 2γ  u1 2γ  ρ2 u2 2γ  u2 Ains i, l’´equatio Ainsi, equa tion n (13.29a 13.29a)) se transforme en :

− −

u1

−

 + 1  a2 u2  =   γ  + 2γ  c

D’o`u, u, l’on obtient :

−



  p2 ρ2

− p , −ρ



 1 u2

−

 1 u1



+  γ  1  (u1 2γ 

−

−  γ 2−γ 1  u

2

−u ) 2

(13.33)



γ  +  + 1 a2c  γ  1 (u1 u2 ) 1+  = 0 2γ  u1 u2 2γ  dont les solutions sont u sont  u 1  =  = u  u 2 , (une solution triviale) et : u1 u2  =  = a  a2c   =

1

−

 

−

La relat atiion de Pran and dtl du choc

(13 13..34)

1

´ 13.6.   Ecoulement unidimensionnel isentropique Ici nous nous int´eressons eressons aux ´ecoulements ecoulements id´eaux eaux (´ecoulements ecoulements en fluide parfait parfait)) unidimensionn dime nsionnel el d’un gaz parfa parfait it en r´egime egime perma p ermanen nentt dans une condu conduite ite de sect section ion   A(x). Notre Not re int´erˆ erˆet et sera par particu ticuli` li`erement ereme nt po port´ rt´e sur les rela relatio tions ns expr exprima imant nt l’´evolutio evolu tion n des variables abl es physiq physiques ues en fon fonct ction ion de nom nombre bre de Mac Mach h le long de la conduite conduite.. Mai Maiss pour pourquo quoii ´etudi-t etud i-t-on -on un ´ecouleme ecou lement nt aux con conditi ditions ons id´eales eale s ? Un tell tellee ´etude etud e s’av`ere ere imp import ortante ante po pour ur deux raisons : (1) elle fournit d’infor d’informations mations sur l’´evolution evolution de l’´ecoulement ecoulement et mettre en ´evidence evidence des param` par am`etres etres imp importa ortants, nts, (2) elle permet p ermet d’introduire d’intro duire ult´ u lt´erieurement erieurement des facteurs fa cteurs pouvant p ouvant tenir compte comp te des d´eviations eviation s de l’l’´´eta et at id id´´eal. ea l.

13.6.1. L’´ etat de stagnation du mod` etat ele de gaz parfait.   Par l’´etat ele etat de stagna stagnation tion on entend dire un ´etat etat th´eorique eorique dans lequel l’´ecoulement ecoulement est ramener dans un proces processus sus

isentropique `a un de ´etat et at d’´equi eqe. breenotera a` vitesse vitessun e nulle sanspar f aire faire i ntervenir intervenir aucun fo rce ext´erieure erieure telle que la force gravit´ euili . libr On tel ´etat etat l’indice z´ero ero aucune “0”. e force L’´equatio equa tion n d’´energie ener gie peu peutt s’´ecrire ecrir e alo alors rs sou souss la form formee :  1 h + u2 = h 0   (13.35a) 2 UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  Ecoulements compressibles  qui, pour un gaz parfait, prend la forme : c p T   +  1 u2 = c pT 0 2

 

(13.35b)

o`u nous admis que les chaleur sp´ecifiques ecifiques restent constante. Or compte tenu de la relation thermodynamique R thermodynamique  R =  = c  c p cv   =  c p (γ  1) 1)/γ  /γ  pour  p our un gaz par parfai fait, t, et la c´el´ el´erit´ erit´e du son lo locale cale 2 a =  γp/ρ  γp/ρ =  = γ  γRT  RT ,, l’´equat equ atio ion n (13.35b 13.35b)) peu peutt s’´ecrire, ecri re, apr`es es divi division sion par  c pT  T ,, sous la forme :

−

−

1+

 γ 

2

− 1 u   =   T 

0

a2

2

 

T 

(13.35c)

Alors, en introduisant le nombre de Mach  M   M    =  u/a  u/a dans  dans cette ´equation equation l’on obtient : 0 2 T  T   = 1 +  γ  2  1 M 

−

(13.36)

Ainsi, on d´eduit eduit que pour p our un u n gaz ga z parfait par fait en ´ecoulement ecoulement isentropique (unidimen (unidimensionnel sionnel et en r´egime egime perma permanent) nent) les relation relationss suivantes :  p0  =  p

    γ/((γ −1) γ/

T 0 T 

ρ0  = ρ

= 1+

T 0 T 

 γ 

2

2

1/(γ −1)

=

−  1 M 

1+

 γ 

 

γ/((γ −1) γ/

,

 

1/(γ −1)

− 1  M 

2

2

(13.37)

(13.38)

Quant au rapport des vitesses acoustiques, on obtient : a0  = a

  T 0 T 

1/2

=

1+

 γ 

−  1 M 

2

2



1/2

(13.39)

Introduisant maintenant le cas   M  M    =   M c   = 1 d´esign´ esi gn´e pa parr l’i l’ind ndice ice   c. Les Les rapport rapportss des valeurs correspondant `a   M  M    = 1 aux valeurs de stagnation ne d´ependent ependent que des rapports rapp orts des chaleurs suivantes : T c   a2c   2 = 2 = , T 0 a0 γ  +  + 1  pc

 2

γ/(1+ γ/ (1+γ  γ )

 

(13.40)

c

 p0 =

    γ  +  + 1

 2 γ  +  + 1

ρc = ρ0 D´epar arttement de M´ecan aniique

,

 

(13.41)

1/(1+ (1+γ  γ )

(13.42)

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulement unidimensionnel isentropique 13.6  E

179  

 1

T /T 0  p/p0 ρ/ρ0

 0.8

 0.6

 0.4

 0.2

 0  0

2

4

6

8

10

Nombre de Mach,  Mach,   M  ´ Figure 13.7.   Evolution des propriet´ prop riet´es es physiques par rappor ra pportt aux conditions con ditions de stagnation avec le nombre de Mach ; un gaz parfait `a  γ   γ  =  = 1.4 ` faible nombre de Mach, par ex13.6.2. Relations ` a faible nombre de Mach.   A emple   M    0.1, on peut utili emple utiliser ser le d´eveloppem eveloppement ent de Tayl aylor or pour trouv trouver er de bonnes approximations proximatio ns mettant en ´evidence evidence l’effet de compressib compressibilit´ ilit´e sur l’´ecoulement. ecoulement. Ainsi, il suffit d’appliquer d’appli quer le d´eveloppement eveloppement pol polynˆ ynˆome ome :  n((n 1) 2  n  n  n((n 1)( 1)(n n 2) 3 (1 + x)n = 1 + nx + nx +   x +   x + 2! 3! aux au x expr e xpress essio ions ns pr´ec´ ec´edentes ede ntes p ou ourr  p 0 /p /p et  et  ρ 0 /ρ /ρ.. On trouve :  p0  γ   γ   γ (2  γ  (2 γ ) 6   = 1 + M 2 + M 4 +   M  +   (13.43)  p 2 8 48

 ≤

−

−

−

···

···

ρ0  1  (2 γ ) 4  (2 γ )(3 )(3   = 1 + M 2 +   M  + ρ 2 8 48 D’o`u on obtient les expressions expr essions normal normalis´ is´ees ees suivantes su ivantes :

−

−

−

−  2γ ) M  + · · · 6

 

(13.44)

 p0  p  =   γ M 2 +  γ M 4 +  γ   γ (2 (2 γ   ) M 6 +  p 2 8 48

−

ρ0

− ρ 

ρ

−

=

−

  1 2  (2 γ ) 4   (2 M  +   M  + 2 8

UFR des Sciences

···

 

(13.45)

− γ )(3 )(3 − 2γ )   M  + · · · 6

48

2008–2009

 

(13.46)

Universit´e de Caen

 

´  Ecoulements compressibles  Quant a` la chute de pression ( p0  p  p)) no norma rmali lis´ s´ee ee pa parr l’´energ ene rgie ie cin´etique eti que   ρu2 /2), elle peut ˆetre et re d´eter et ermi min´ n´ee ee co comm mmee su suit itee :  p0  p   p0  p   = 1 1 2 2 2 2 ρu 2 ρM  a   p0  p = 1 2 (γp/ρ) ) 2 ρM  γp/ρ   p0  p 2 =  p γM 2

− −

−

−

−

Ainsi, en multipliant l’expression (13.45 (13.45)) par (2 (2/γM  /γM 2 ) on obtient l’expressio l’expression n recherch´ ee ee pour la chute de pression :  p0

− p  = 1 +  1 M  +  (2 − γ  ) M  + · · ·

1 2 2 ρu

2

2

4

(13.47)

24

correction correct ion de d e compressi com pressibilit´ bilit´e

     

 

 → 0.  →

On r´ecup` ecup`ere ere alo alors rs l’´equatio equa tion n de Bern Bernoul oulli li po pour ur un ´ecoulement ecou lement inco incompre mpressib ssible le quan quand d M 

13.6 .3. Tuy` 13.6.3. ere de Laval. ere Il s’agit d’une conduite convergentediverg div ergen ente te d’a d’axe xe rec rectil tilign ignee `a section A tion  A((x) vari variab able le co comm mmee sch´ s ch´emat ematis´ is´e ci-c ci -con ontr tree su surr la fig figur uree   13.8. 13.8. Le faitt que dan fai danss un ´ecoul ecouleme ement nt adi adi-abatique abatiq ue (´echange echange ther thermiqu miquee nu null avec av ec l’ex l’ext´ t´erieure) erieure) impli implique que que la temp´erature erature de stagna stagnation tion   T 0   sera con onst stan ante te.. cela cond condui uitt al alor orss `a

A  = 0 dx

d

A    0 ρ +  d ρ dx  d

une pressi ssion onsi l’on den con consta stant e nombre stagnasta gnation. pre Alors, l’o connaˆ ınte ıt t le no mbre de Mach Ma ch ou la temp´erature, erature, on peut d’ap d’ apr` r`es es le less ´equa equati tion onss (13.40 13.40), ), (13.41 13.41)) et (13.44 13.44)) d´eterminer eterm iner l’´evolutio evolu tion n d’autr d’a utres es grandeur grandeurss ph physi ysiqu ques. es. Les seules grandeurs `a relier sont alors la section de conduite et le nombre de Mach.

u

u + u

Figure Figu re 13.8.   Tuy` ere de Laval avec un ere

volume de contˆole. ole.

Pour d´eterminer eterminer la relation entre l’´evolution evolution de nombre de Mach ave avecc la section de conduite, on consid`ere ere les ´equations equation s de la conservation de masse Compte tenu du caract`ere ere isentropi isentr opique, que, la c´el´ el´erit´ erit´e du son dan danss les cond conditio itions ns lo locale caless de l’´ecouleme ecou lement nt est don donn´ n´ee ee par :

d p  p =  = a  a2 dρ   (13.48a) L’´equatio equa tion n de con conservati servation on de mas masse, se, de qua quantit´ ntit´e de d e mouveme m ouvement, nt, d’´energie ener gie ain ainsi si que l’´equatio equa tion n d’´etat etat.. La pr prem emi` i`ere, ere, ρuA = ρuA  = constante = ρ =  ρc uc Ac , D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

´ coulement unidimensionnel isentropique 13.6  E

181

´ecrite ecrite sous forme diff´erentielle erentielle se transforme transfo rme en : dρ  d  du u  d  dA A 0. ρ   + u   + A   = 0. En combi combinant nant l’´equatio equa tion n d’´energie energ ie :

 

(13.48b)

dh + udu  = 0 et la relation thermodynamique : T d T  ds  = dh

−  d d pρ p

on d´eduit eduit la relation suiv suivante ante pour p our un processus isentropi isentropique que : d p   + udu   = 0 (13.48c) ρ De plus plus,, en d´erivant erivant l’´equatio equa tion n d’´etat etat d’un gaz par parfait fait,,   p   =   RρT  RρT ,, et puis en divisant par RρT ,, on obt RρT  obtient ient le r´esultat esul tatss diff´erentiel erenti el suivant : d p   dρ  d  dT  T   =  +   (13.48d)  p ρ T  Alors, il vient qu’en rempla¸cant cant du/u du/u obtenue  obtenue de (13.48b (13.48b)) dans (13.48c (13.48c)) : du u

        −

d p ρ

u2

dA  d  dρ ρ  +  = 0 A ρ

(13.49)

Or, ´etant etant donn´ee ee que le processus pro cessus adiabatique pour un gaz parfait est un processus polytrope, p trope,  p =  = p  p((ρ), il vient que dρ  =   dρ d p  p =  =   12 d p d p a et l’´equat equ atio ion n (13.49 13.49)) se transformera alors en :

−  1

  u2  d p  d p 2 dA   =  u a2 ρ A

ou en fonction de nombre de Mach : d p   ρu2 1 dA  = dx A 1 M 2 dx De plus, si l’on tient compte de (13.48c (13.48c), ), on peut aussi ´ecrire ecrire : A du   1 dA  = 2

−

 

(13.50a)

 

(13.50b)

 

(13.50c)

u dx le M long1 de dx Tuy`ere. qui exprime l’acc´el´ el´eration eration de l’´ecoulement ecoulement ere. Quant `a l’´evolution evolution de la densit´ dens it´e, e, l’o l’on n obt obtient ient dρ   ρM 2 1 dA ρM 2 du  =   =   (13.51) dx A 1 M 2 dx u dx

−

−

−

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´  Ecoulements compressibles  Comm ent la Comment l a temp´ t emp´erature erat ure ´evolue-tevolue -t-elle elle avec le nombr nombree de Mach ? La r´eponse epo nse a` cette question peut ˆetre etre d´eduite eduite en se rendant compte que les conditions de stagnation sont constante constantes. s. Cela implique dT 0   = 0. dx Ainsi, on obtient en d´erivant erivant (13.36 13.36)) par rapport `a  x   : 1 dT   = T  dx

1)M  M  dM  − 1 +(γ (−γ  −1) 1)M  1) M  dx  1 2

2

 

(13.52)

13.6.3.1.  Variations de grandeurs physiques avec le nombre de Mach.   Examinons maintenant les implications physique physiquess de l’´equation equation (13.50b 13.50b)) tout en notant d’abord que les 2 2 termes (ρu (ρu /A et(ρM  /A) sont toujours positifs. On distingue alors les cas suivants : /A)) et(ρM 

•   Cas subsonique   :  M  0 = dx

•   Cas supersonique   :  M > 1

dA   >  0 = dx

dA   <  0 = dx

d p   <   0, dx du  > 0 dx d p   >   0, dx du   0 dx d p   >   0, dx du    1

M >  1 :

dA    0 dx d p d x   >   0,

(13.54a)

du     0, dx du   0 =

UFR des Sciences

dx   >  0  0,,



du  > 0 dx (3)  Cas sonique   :   M  M  =  = 1 ce cas ce qui implique n´ecessairement ecessairement que quand quand   M  M    = 1, dA/ A/d dx   = 0. Cela veut dire que, pour un ´ecoulement ecoulement interne interne,, l’´ecoulement ecoulement doit

⇒

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´  Ecoulements compressibles  passer par un dispositif convergent-divergent pour atteindre une vitesse supersonique. Ces r´esultats esul tats sont illu illustr´ str´es es sur la figu figure re 13.6.4.1  13.6.4.1..

Tuy`ere ere de La Laval val

 p0

dA  = 0 dx

ρ0 T 0  p/p0 1

(a) Subsonique M Subsonique  M <  1

 ps /p0  ps /p0  = 1 1′

Valeurs d´ecro ecrois issa santt nttes es de p de  p s

2 2′ Supersonique M Supersonique  M >  1

0

xc

M 

3 x

(b) 3 Valeurs d´ecro ecrois issa santt nttes es de p de  p s

M   = 1

2′ 2 1′ 0

xc

x

Figure 13.9.   Variations de la pression statique, (a (a), et de nombre de Mach,

(b), dans une tuy`ere ere convergente–convergente. convergente–convergente.   p0  d´esigne esigne la pression de stagnation nat ion (sup (suppo pos´ s´ee ee cons constante tante)) r´egnant egna nt `a l’l’ent entr´ r´ee ee de tu tuy` y`ere, er e,   ps  la pression sta-

tique `a la sortie de tuy`ere. ere. ◮   Remarque   13.4 :   La condit condition ion d A/ A/d x  = 0  n’implique nullement que   M   = 1  compte tenu du  cas d M/ M/ d x  = 0. Dans la partie subsoni subsonique, que, un r´etr´ etr´ecissement ecisse ment de la section fait (math´ematiquement  ematiqu ement 

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

13.7 R´ esum´e de relations d’´ecoulements ecoulements isentropiques : Th´eor` eor`emes emes de Hugoniot R´esum´

185 

parl ant) parlan t) acc´el´ el´erer erer l’´ecoule ecou lemen mentt et cond condui uitt ` a l’ac l’accr croiss oissement ement de nombr nombree de Mach. Par contre, contre, une  augmentation de la section conduit `a une baisse de vitesse et de nombre de Mach.   ◭

13.7. 13. 7. R´ esu m´ esum´ e de rel relati ations ons d’´ eco ulement ecoule mentss is isentr entrop opiqu iques es : Th´eor` eor`emes eme s de Hugoniot Les r´esulta esu ltats ts ob obtenu tenuss expr e xprim imant ant l’´evoluti evol ution on de pro propri´ pri´et´ et´es es phys physiqu iques es da dans ns un ´ecoule eco ulement ment isentropique isentropiq ue le long de la Tuy`ere ere de Lav Laval al constituen constituentt ce qu’on appelle les th´eor` eor`emes emes de Hugoniot. Ils sont donn´ees ees sous forme de de variations logarithmes du/u u/u,, d p/p  p/p,, dρ/ρ ρ/ρ,d ,dT T /T  et dM/M   :   du   1 dA Vitesse :  = 2   (13.55a) u M  1 A   d p   γM 2 dA Pression Pres sion :  =   (13.55b)  p M 2 1 A

−

−

Dens De nsit it´´e : Temp´erat eratur uree : Nombre de Mach :

 

−

dρ  =   M 2 dA ρ M 2 1 A dT    (1 γ )M 2 dA  = T  M 2 1 A 1)M  M 2 dA dM    1 +   12 (γ  1)  = M  M 2 1 A

−

−

   

−

−

− −

 

(13.55c)  

(13.55d)  

(13.55e)

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ANN ANNEX EXE E A

Formu ormules les et Ide Identit´ ntit´ es Veco es ecorie rielle lless

∇ · (a b) =  b · ∇a + a∇ ·  b   ∇ ∧ (a b) = ( ∇a) ∧  b + a∇ ∧  b   ∇ · (a ∧  b) =  b · (∇ ∧ a) − a · (∇ ∧  b) ∇ ∧ (a ∧  b) = ( b · ∇)a + a(∇ ·  b) −  b(∇ · v) − (v · ∇) b ∇(a ·  b) = (a · ∇) b + (  (  b · ∇)a + a ∧ (∇ ∧   b) +   b ∧ (∇ ∧ a)   ∧ a) ∧ a +    ∇( 12a ) (a · ∇)a  = (∇ ∇ · (∇ ∧ a) = 0 ∇ ∧ (∇a) = 0 ∇ ∧ (∇ ∧ a) = ∇(∇ · a) − ∇ a   ∇ ∧ (a · ∇a) = ( ∇ ∧ a) (∇ · a) + a · ∇ (∇ ∧ a) − (∇ ∧ a) · ∇a 2

(A.1) (A.2) (A.3)  

(A.4) (A.5) (A.6)

(A.7) (A.8) 2 (A.9)   (A.10) Soit   S  Soit S    une surface d´elimitant elimita nt un volume   V  V ,,   C   une courb courbee d´elimitant elimita nt une un e surface su rface   S ,   n   le t vecteur unitair unitairee normal ext´erieur erieur `a un ´el´ el´emen em entt dS   de de S   S    et et   r  = (x,y,z ) . Alors

    ∇   ·   ∇ ·   ∧   ∇ ∧   ∧ ∇     · ∇ ∧   · a ndS   =

S 

a   dV 

n a  d  dS  S  =  =

S 

(A.11)

(

a)d )dV  V 

 

(A.12)

(

a)d )dV  V 

 

(A.13)

V 

n

a  d  dS  S  =  =

S 

V 

n

( a)d )dS  S  =  =

S 

n (

S 

 

V 

adr

 

(A.14)

C 

a)d )dS  S  =  =

a dr

C 

 

(A.15)

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ANNEXE ANN EXE B

Th´ eor` eor` eme de tra eme transp nsport ort de Rey Reynol nolds ds Soit un volume materiel   D (t) d´elimi eli mit´ t´e pa parr la su surfa rface ce   ∂ D  D (t) ;   D (t) po pouvant uvant se d´eplacer epla cer ` l’instant t et se d´eform efo rmer. er.   A l’instant  t 0 , on fait confondre D (t) avec un volume de contrˆole V  ole  V    d´elimit´e lui mˆeme eme par la surface   S  S    ; a` l’instant  l’instant   t0  +  + δt  δt,,   D (t) se confonde avec un autre volume de ′ ′ contrˆole  ole   V  d´elimi´e par   S  . Soit  Soit   v (r, t) la vitesse de fluide en un point ( (r, t) appartenant `a la surface  surface   ∂ D  D (t), voir figure 2.1. figure  2.1.

n I I I 

D (t0 ), V 

I I  δt)) δt

δt)), V ′ δt

n

 

D (t0  +

D (t0  +

− D (t)

−→  · n) δt

(v

I  n Figure Figu re 2.1.   Lors de son d´ eplacement le volume materiel   D (t) occupe `a eplacement

l’instant   t0   l’esp l’instant  l’ espace ace d´esign´ esi gn´e pa parr (I   +  I I ) et l’es l’espace pace d´esign´ esig n´e par   I I  I    +  I I I  `a l’l’in inst stant ant   t0  + δt δt.. Soit So it l’i l’int´ nt´egral egr alee F ((t) = F 

 

f ((r, t) dV  f 

D (t)

o`u  f   f ((r , t) est une propri´et´ et´e physisque quelconque asso associ´ ci´ee ee au fluide et variant en espace et

en temps. Alors, il vient

−

dF  F ((t0  + δt F  δt)) F  F ((t0 )   = lim δt→0 dt δt (F II  )(tt0  + δt δt)) II  + F II II I )( = lim δt→0 δt UFR des Sciences

− F  (t ) V  V 

0

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Th´eor` eor`eme em e de d e tran transpor sportt de Reyn Reynol olds  ds  (F II  )(tt0  + δt δt)) F I I (t0  + δt δt)) F V   (tt0 ) II  + F II II I  + F I  I )( V  ( δt→0 δt I  + F II  I  II )( V  0 V  II I  0 II )(tt0  + δt δt)) F  δt)) F I I (t0  + δt δt)) = lim (F   +   (t ) +  F  (t  + δt δt→0 δt δt F V  δt)) F V   F II δt)) F I I (t0  + δt δt)) V  (t0 + δt V  (t0 ) II I (t0 + δt = lim   + δt→0 δt δt   ∂F  F II δt)) F I I (t0  + δt δt)) II I (t0  + δt =   + lim δt→0 ∂t δt car le volume de contrˆole V  ole  V  est  est fixe dans l’espace. Lors de son mouvement, la surface   ∂ D  D (t) balay balayee soit un volume nouvelle nouvellement ment occup´e ou soit un volume ´evacu´ evacu´ e par le fluide. Le terme [F II δt)) F I I (t0  + δt δt)] )]/δt /δt re  repr pr´´esen es ente te II I (t0  + δt pr´ecisement ecisement le changement chan gement induit par le mouvement mo uvement de  ∂ D (t) :

−

= lim

 

−

−

−

−



−

−



−

F II δt)) = cha hang ngem emen entt en en F   F dˆ dˆu au volume nouvellement occup´e II I (t0  + δt F I (t0  + δt δt)) = cha hang ngem emen entt en en F   F    dˆu au vo volu lume me ´evacu eva cu´´e Une sur surfa face ce ´el´ el´ementa eme ntaire ire,, dS , en mouvement a` la vitesse v   balaye un volume ( v n)  δ  δtt  d  dS  S  lors de son mouvement dans un intervalle  δ  δtt. Alors, il vient

 −→

 

−→  ·

·

f ((r, t)( f  )(v n)  δ  δtt  d  dS  S  F II δt)) F I I (t0  + δt δt)) II I (t0 + δt S  lim   = li lim m δt→0 δt→0 δt δt et par par con cons´ s´equent equ ent dF    ∂    = f ((r , t) dV  f  V    + f  f ((r, t) (v n)d )dS  S  dt ∂t V  S  ∂f ((r , t) ∂f  =   dV  + f ((r, t) (v n) dS  f  ∂t V  S 

−

 

  ·     ·               ∇·     · ∇     ∇· variation locale

flux de f  de  f ((r ,t) a ` travers la surface  S 

∂f (r , t) ∂f (   dV  V    + (f  f ((r, t)  v) dV  ∂t V  V  ∂f ((r , t) ∂f  =   dV  V    + [(v [( )f  f ((r, t) + f  f ((r, t) ∂t V  V  Df  f ((r, t) =   + f  f ((r, t) v dV  Dt V  On appelle app elle cette ´equation equation l’ l’´´equation equation de transport de Reynolds . =

 ∇ · v   ] dV 

(B.1)

D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

ANNEXE ANN EXE C

∇ · v   = 0)

Tenseur de contraintes, ´ equations de mouvemen equations mouvementt (

Nous ´ecrivons ecrivons dans ce qui suit les ´equation equation de la conserv conservation ation de la masse et Navier– Stokes Sto kes dans d ans les co coord ordonn´ onn´ees ees cart´esiennes esie nnes,, cyli cylindri ndriques ques et sph´eriques. eriqu es.

3.1.. Co 3.1 Coord ordonn onn´ ´ ees car ees cart´ t´ esi ennes esienn es   (x,y,z )  avec   (u,v,w u,v,w)) Tenseur de contraintes

σxx   =

∂u  p +  p  + 2µ 2µ ∂x

 −

 

σxy

σyy   =

∂v   − p p +  + 2µ 2µ ∂y

 

σzx   =   µ

σzz   =

∂w   − p p +  + 2µ 2µ ∂z 

 

σyz   =   µ

  

∂u   ∂v  = µ  + ∂y ∂x

  

∂w  ∂  ∂u u  + ∂x ∂z  ∂v  ∂ w  + ∂z  ∂y

(C.1)

´ Equations de Navier–Stokes ∂u ∂u ∂u ∂u   + u  + v   + w   =   f x ∂t ∂x ∂y ∂z  ∂v ∂v ∂v ∂v   + u  + v   + w   =   f y ∂t ∂x ∂y ∂z  ∂w ∂w ∂w ∂w   + u  + v   + w   =   f z ∂t ∂x ∂y ∂z 

  

  

−

 1 ∂p ∂ 2 u  ∂ 2 u  ∂ 2 u  + ν   +  + ,   (C.2a) ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

−

  1 ∂p ∂ 2 v  ∂ 2 v  ∂ 2 v   + ν   +  + ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

−

 1 ∂p ∂ 2 w  ∂ 2 w  ∂ 2 w   + ν   + 2 + 2 ρ ∂z  ∂x2 ∂y ∂z 

,

 

(C.2b)

.   (C.2c)

E Equation ´ quation de la conservation de la masse ∂u  ∂ v  ∂  ∂w w  +  +   = 0, ∂x ∂y ∂z  UFR des Sciences

 

(C.3)

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Universit´e de Caen

 

Tenseur de contr contraintes, aintes, continuit´e et Navier–St Navier–Stokes okes pour un fluide incompresible 

z 

M 

r θ

y

O

x 3.2. Coord Coordon´ on´ ees cylindriqu ees cylindriques es   (r,θ,x r,θ,x))  avec   (vr , vθ , vx ) Tensur des contraintes

σrr   = σxx   =

σθθ   =

∂v r  p +  p  + 2µ 2µ ∂r

 −

 

 −

1 ∂v r  v r  p +  p  + 22µ µ r ∂θ   + r

 −



1 ∂v r  ∂  ∂vvθ σrθ   =   µ  + r ∂θ ∂r

 

∂v x  p +  p  + 2µ 2µ ∂x



  

σxr

 

σθx

∂v x  ∂ vr  = µ  + ∂r ∂x

 −

 

 v θ r

 (C.4)

∂v θ  1 ∂v x   =   µ ∂x   + r ∂θ

´ Equation de la conervation de masse 1 ∂ (rvr )  1 ∂v θ  ∂ vx   +  +  = 0 r ∂r r ∂θ ∂x

´ Equation de Navier–Stokes

(C.5)

∂v r ∂v r  v θ ∂v r   + vr  + ∂t ∂r r ∂θ

2 θ

  − vr   + v ∂v∂x  1 ∂p ∂  v  1 ∂v  v   1 ∂  v   2 ∂v  ∂  v   −   − =  f  −   + ν   +  +  + ρ ∂r ∂r r ∂r r r ∂θ r ∂θ ∂x r

D´epar arttement de M´ecan aniique

x



r

2

r 2

r

Adil Ridha

r 2

2

2

r 2

θ

2

2

r 2



,   (C.6a)

Dynamiques des fluides r´eels

 

ANN ANNEX EXE E D

´ Equation de la conservation d’´ energie energie Soit   D (t) un volume materiel de fluide (homog`ene ene et isotrop isotrope) e) en mouvement d´elimit´ elimit´e par une surface de contrˆole ∂  ole  ∂ D  D (t); le volume   D (t) se confonde ` a l’instant t l’instant  t  avec un volume de contrˆole V  ole  V    fixe d´elimit´ eli mit´e pa parr un unee su surfa rface ce de cont contrˆ rˆole ol e  S . L’´energie ener gie tot totale ale E   E  contenue  contenue dans D (t) ` a l’ l’in insta stant nt   t  est alors :

E D  D (t)   =

 

+   1 v2 2

               ∇ · −→ ρE dV  V    =

D (t)

ρ

V 

e

´ en ergi ener giee interne massique

dV 

 

(D.1)

´ener en ergi giee ci n´etiq cin´ et ique ue

Il vient, d’a d’apr` pr`es es le th´eor` eor`eme eme de tra transp nsport ort de Reyn Reynold olds– s– voir ann annexe exe B  B-- que le taux temporel de variation de E  de  E  s’´  s’´ecrit ecrit sous la forme : dE    d D(ρ D( ρE )  = ρE  dV  V    =   + ρE  v dV    (D.2) dt dt D (t) D t V  Selon le premier principe de la Thermodynamique, la variati variation on temporelle de l’´energie  energie   E  est don donn´ n´ee ee par : dE    dQ   dW   = + (D.3a) dt dt dt chaleur re¸cue cue par unit´e de temps

  

travail re¸cu cu par unit´e de temps

      − ∇· ∇

Pour la chaleur  Q˙  re¸cue cue par unit´e de d e temps, t emps, on a d’apr` d ’apr`es es la loi de Fourier : Q˙  =

  − ∇

· −→

( λ T  T )) n dS   =

S 

(λ T  T )d )dV  V 

 

(D.3b)

V 

o`u   λ   est la conductivit conductivit´´e thermique de fluide. En l’absence de tout trav travail ail m´ecanique, ecanique, la puissance puissan ce de travail effectu´e par le milieu ext´erieur erieur au   D (t) ( a` l’instant   t) sur le fluide (contenu en   D (t) a` l’instant  l’instant   t), est const constitu itu´´e de la puiss puissance ance de tra trav vail fait par les forc forces es surfaciques : ˙ s  = W 

 −→ · −→−→ · −→  −→ · −→−→ · −→   ∇ · −→ · −→−→ v (σ

S 

n )d )dS  S   =

n (σ

S 

v  )d  )dS  S  =  =

(v

V 

σ )d  )dV  V 

 

(D.3c)

et de celui de force volumique f  f    :

 −→

˙ v = W 

  −→ · −→ ρ f 

 dV  v  d V 

 

(D.3d)

V 

−→ −→

o`u σ   est le tenseur de contraintes. UFR des Sciences

2008–2009

Universit´e de Caen

 

´  Equation de la conservation d’´energie  energie  Il vient alors a lors qu’en combinant ´equations equation s (D.2 ( D.2)) et (D.3 (D.3)) l’on obtient :

   V 

D(ρE  ) D(ρ   + ρE  Dt

   −∇ ·

∇ · −→v

dV  V    =

V 

→v   · −→ −→σ ) + ρ−→f   · −→v (λ∇T  T )) + ∇ · (−



dV,   (D.4)

valable quel quelque que soit   V  V .. D’o` u on tire l’´equation equation aux d´eriv´ eriv´ee ee partiell partielles es suivante pour la conservatio cons ervation n d’´energie energ ie : D(ρE  ) D(ρ   + ρE  Dt

−→σ ) + ρ−→f   · −→v ∇ · −→v   = −∇ · (λ∇T T )) + ∇ · (−→v   · −→

 

(D.5)

On peut simplifier encore cette ´equation equation en faisant usage de l’´equation equation de Navier–St Navier–Stokes okes exprim´ee ee sous la forme :

 −→ ∇   − −→ × −→

ρ ∂  v   + ∂t

1 v2 2

v

ω  =

→f f    + ∇ · −→τ τ    = ρ−→f f    + ∇ · −→σ −∇ p p +  + ρ−

 

(D.6)

et l’´equatio equa tion n de conti continuit´ nuit´e ´ecrite ecri te sou souss la for forme me : Dρ  + ρ Dt

∇ · −→v   = 0

(D.7)

−→ → − −→I    + −→ → − −→σ  est le tenseur de contraintes visqueuses. o`u τ  τ    = p I  →v  (sur une ligne de courant) : Ensuite, on pro p rojette jette l’´equation equation (D.6 D.6)) sur − D 1 →v  p + ρ−→v −→f f    + −→v −→ −→τ  ρ v  = −   Dt 2 −  · ∇  ·  · ∇ · 2

et multiplie (D.7 (D.7)) par   E   :

 

E 

Dρ   + E ρ Dt

∇ · −→v   = 0,

 

(D.8a)

(D.8b)

afin d’en soustraire les r´esultats esultats de (D.5 D.5)) pour arriver `a : ρ

−→τ   ) − −→v   · ∇ · −→ −→τ  − ∇ · −→v − ∇ · (λ∇T T )) + ∇ · (−→v   · −→

De =  p Dt

                1 

2 

3 

 4 

 

(D.9)

o`u

1  : variation de l’´energie energie interne d’une particule en mouvement m ouvement par pa r unit´ uni t´e de temps, 2  : puissance de travail de pression, 3   : puis puissanc sancee therm t hermique ique ´echang´ echang´ee ee par p ar cond conducti uction, on, 4  : puissance de dissipation visqueuse. D´epar arttement de M´ecan aniique

Adil Ridha

Dynamiques des fluides r´eels

 

197  Il est d’usage de poser Φ =

=

  ∇ · (−→v   · −→τ   ) − −→v   · ∇ · −→τ τ    = −→σ   : ∇(−→v )

 

 p + σxx   σxy   σxz σyx   p + σyy   σyz σzx   σzy   p + σzz 

en coordonn´ co ordonn´ees ees cartesiennes. cart esiennes. On trouve trou ve : ∂u ∂v ∂w Φ = ( p + σxx )  + ( p + σyy )   + ( p ( p +  + σzz ) ∂x ∂y ∂z  ∂v  ∂ u + σxy Il est utile de noter que :



 :

∂w

∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z 

∂v ∂w ∂x ∂x ∂v ∂w ∂y ∂y ∂v ∂w ∂z  ∂z 

 ∂vv  ∂

∂y   + ∂z  + σzx

    ∇ · −→  −     

∂x + ∂x  + ∂y

  

∂u

 ∂ w

∂z    + ∂x ∂z 



  (D.10)

De   p Dρ Dt ρ Dt De D 1 = ρ   + p Dt Dt ρ De Dϑ = ρ   + p   (D.11) Dt Dt o`u  ϑ  ϑ est  est le volume massique massique du fluide. fluide. Il vient vient alors que (D.9 (D.9)) se r´e´ e´ecrit ecri t alo alors rs sous la form formee : De Dϑ ρ   + p  = (λ T  T )) + Φ (D.12) ρ

De   + p Dt

+ σyz

    



v   = ρ

  −∇ ∇ −∇ ∇

Dt Dt o`u De  D 1   + p  = (λ T  ρ T )) + Φ Dt Dt ρ qui traduit l’application du premier principe de la thermodynamique.

(D.13)