Dynamic Robots
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Descripción: robotica...
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Din´amica Lagrangiana de Robots Manipuladores un acercamiento Esteban Ch´avez-Conde UPGto Rob´ otica
M&C de Robots Junio 10
Esteban Ch´ avez-Conde
UPGto
Rob´ otica
Din´ () amica Lagrangiana de Robots Manipuladores M&C de Robots Junio 10
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Contenido
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Din´amica Lagrangiana de Robots Manipuladores Ecuaciones Euler-Lagrange Forma can´onica de sistemas de segundo orden Modelado matem´atico de robots manipuladores
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Referencias Libros, tutoriales
Control de Movimiento de Robots Manipuladores R. Kelly y V. Santib´ an ˜ez Prentice Hall, 2003 Modeling and Control of Robot Manipulators L. Sciavicco and B. Siciliano Springer, 2003 Rob´otica John J. Craig Prentice Hall, 2006
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Ecuaciones Euler-Lagrange
Ecuaciones Euler-Lagrange Preliminares
Las ecuaciones de movimiento de Lagrange, permiten obtener el modelo matem´atico de una clase amplia de sistemas a partir de la ecuaci´on diferencial, d ∂L ∂L − = Qi (1) dt ∂ q˙i ∂qi donde qi , es la i-´esima coordenada generalizada y q˙i su primera derivada con respecto del tiempo, y Qi es la fuerza generalizada aplicada en la i-´esima coordenada generalizada.
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Ecuaciones Euler-Lagrange
Ecuaciones Euler-Lagrange Preliminares
El Lagrangiano L del sistema, es definido como la diferencia entre la energ´ıa cin´etica T y la energ´ıa potencial V del sistema, L=T −V
(2)
con T = 12 mvT v + 12 ω T Iω, V = mgh (m´as la energ´ıa potencial de elementos resortes existentes, V = 21 kx2 o V = 12 kθ2 ).
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Ecuaciones Euler-Lagrange
Ecuaciones Euler-Lagrange Preliminares
Si existen fuerzas disipativas, se puede utilizar el t´ermino de disipaci´on de Rayleigh. Estas, est´an definidas para la i-´esima coordenada generalizada, como, ∂D (3) ∂ q˙i donde, D es el t´ermino de disipaci´ on de Rayleigh, dado por, ! n 1 X D= ci q˙i2 2 i=0
As´ı, sustituyendo la ec.(3) en la ec.(1), la ecuaci´ on de Lagrange puede ser reescrita como, d ∂L ∂L ∂D − + = Qi (4) dt ∂ q˙i ∂qi ∂ q˙i Esteban Ch´ avez-Conde
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Ecuaciones Euler-Lagrange
Ecuaciones Euler-Lagrange Preliminares
En la ec.(4) obtenida, es f´acil incluir fuerzas de perturbaci´on, por ejemplo, las fuerzas de fricci´on seca y las fuerzas producidas por un proceso de corte. La ec.(4) se puede reescribir como, d ∂L ∂L ∂D − + = Qi − f ci sign(q˙i ) − F cortei (5) dt ∂ q˙i ∂qi ∂ q˙i
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Forma can´ onica de sistemas de segundo orden
Forma can´onica de sistemas de segundo orden Preliminares
Para representar las ecuaciones del modelo din´amico de robots manipuladores de forma matricial, se utiliza la forma can´onica de segundo orden, ˙ q˙ + G(q) = τ, D(q)¨ q + C(q, q) (6) ˙ q˙ es la matriz de Coriolis y donde D(q) es la matriz de inercias, C(q, q) G(q) es la matriz de gravedad. El vector de coordenadas articulares est´a dado por q = [q1 , . . . , qn ]T , y el vector de pares en las uniones es τ = [τ1 , . . . , τn ]T .
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Forma can´ onica de sistemas de segundo orden
Forma can´onica de sistemas de segundo orden Preliminares
En la ec.(6) se pueden incluir f´acilmente las fuerzas de fricci´on y las fuerzas de contacto del efector final del robot manipulador con el ambiente (τ = JT F). La ec.(6) puede reescribirse como, ˙ q˙ + G(q) = τ − Ff (q) ˙ + JT F, D(q)¨ q + C(q, q)
(7)
˙ la fuerza de fricci´ siendo Ff (q) on viscosa y seca, es decir, ˙ + Fc sign(q). ˙ El Jacobiano del manipulador es J y F las Ff = B(q) fuerzas de contacto.
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 1GDL
Considere el robot manipulador de 1GDL mostrado en la Figura 1. La coordenada generalizada es q = θ y la fuerza generalizada es Q = τ .
Figura 1: Robot manipulador de 1GDL. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 1GDL
El centro de masa del eslab´ on est´a localizado en las siguientes coordenadas: xc = lc sin(q)
yc = −lc cos(q)
Y el vector de velocidad v de su centro de masa est´a dado por, x˙ lc q˙ cos(q) v= = y˙ lc q˙ sin(q)
(8)
Por lo que vT v es, vT v = lc2 q˙2 cos2 (q) + lc2 q˙2 sin2 (q) = lc2 q˙2
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 1GDL
La energ´ıa cin´etica del sistema es por lo tanto, 1 1 T = mlc2 q˙2 + I q˙2 2 2
(10)
V = mglc (1 − cos(q))
(11)
Y la energ´ıa potencial es,
Ahora bien, el Lagrangiano (L = T − V ) est´a dado por, 1 1 L = mlc2 q˙2 + I q˙2 − mglc (1 − cos(q)) 2 2
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 1GDL
Considerando la fricci´on viscosa debido al rodamiento, la funci´on de disipaci´on de Rayleigh es, 1 D = cq˙2 2 La ecuaci´on de Lagrange del sistema est´a dada por, d ∂L ∂L ∂D − + =Q dt ∂ q˙ ∂q ∂ q˙
(13)
(14)
Si se considera la fricci´on seca se incluye en la ecuaci´ on anterior, quedando de la siguiente forma: d ∂L ∂L ∂D − + = Q − Fc sign(q) ˙ (15) dt ∂ q˙ ∂q ∂ q˙
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 1GDL
Ahora, las operaciones correspondientes resultan, d ∂L = (I + mlc2 )¨ q, dt ∂ q˙ ∂L = −mgl sin(q), ∂ q˙ ∂D = cq˙ ∂ q˙ Finalmente, el modelo matem´atico del robot manipulador de 1GDL est´a dado por, (I + mlc2 )¨ q + cq˙ + mgl sin(q) = τ − Fc sign(q) ˙
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 2GDL R Considere el robot industrial FANUC M-6iB de 6GDL que se muestra en la Figura 2a. Este robot es un mecanismo serial y un dibujo esquem´atico que considera el segundo y tercer grado de libertad se muestra en la Figura 2b.
R Figura 2: (a) Robot industrial FANUC M-6iB y (b) dibujo esquem´ atico del mecanismo serial considerando 2GDL. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 2GDL
Las coordenadas generalizadas del sistema est´an dadas por el vector q = [q1 q2 ]T = [θ1 θ2 ]T , y las fuerzas generalizadas, son Q1 = τ1 y Q2 = τ2 . Los centros de masa de los eslabones est´a localizados en las siguientes coordenadas: x1 = lc1 cos(q1 ), y1 = lc1 sin(q1 ), x2 = L1 cos(q1 ) + lc2 cos(q1 + q2 ), y2 = L1 sin(q1 ) + lc2 sin(q1 + q2 ) Y los vectores de velocidad v de sus centros de masa est´an dados por, v1 =
v2 = Esteban Ch´ avez-Conde
x˙ 2 y˙ 2
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=
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x˙ 1 y˙ 1
=
−lc1 q˙1 sin(q1 ) lc1 q˙1 cos(q1 )
−L1 q˙1 sin(q1 ) − lc2 (q˙1 + q˙1 ) sin(q1 + q2 ) L1 q˙1 cos(q1 ) + lc2 (q˙1 + q˙1 ) cos(q1 + q2 )
(17)
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 2GDL
La energ´ıa cin´etica del sistema es por lo tanto, 1 1 1 1 T = m1 v1T v1 + m2 v2T v2 + I1 q˙12 + I2 (q˙1 + q˙2 )2 2 2 2 2
(19)
Por lo que v1T v1 es, 2 2 2 2 2 v1T v1 = lc1 q˙1 2 sin2 (q1 ) + lc1 q˙1 cos2 (q1 ) = lc1 q˙1
(20)
Y v2T v2 es, v2T v2
=
L21 q˙1 2 sin2 (q1 ) + 2L1 q˙1 sin(q1 )lc2 (q˙1 + q˙1 ) sin(q1 + q2 ) 2 +lc2 (q˙1 + q˙2 )2 sin2 (q1 + q2 ) + L21 q˙12 cos2 (q1 ) 2 +2L1 q˙1 cos(q1 )lc2 (q˙1 + q˙2 ) cos(q1 + q2 ) + lc2 (q˙1 + q˙2 )2 cos2 (q1 + q2 )
=
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2 L21 q˙12 + 2L1 lc2 (q˙12 + q˙1 q˙2 ) cos(q2 ) + lc2 (q˙1 + q˙2 )2
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 2GDL
La energ´ıa potencial del sistema est´a dada por, V1
= m1 glc1 (1 + sin(q1 )),
(22)
V2
= m1 gL1 (1 + sin(q1 )) + m2 glc2 (1 + sin(q1 + q2 )),
(23) (24)
Ahora bien, el Lagrangiano (L = T − V ) est´a dado por, L =
=
1 1 2 2 2 m1 lc1 q˙1 + m2 [L21 q˙12 + 2L1 lc2 (q˙12 + q˙1 q˙2 ) cos(q2 ) + lc2 (q˙1 + q˙2 )2 ] 2 2 −m1 glc1 (1 − sin(q1 )) − m1 gL1 (1 − sin(q1 )) − m2 glc2 (1 − sin(q1 + q2 )) 1 1 2 2 m1 lc1 q˙1 + m2 L21 q˙12 + m2 L1 lc2 q˙12 cos(q2 ) + m2 L1 lc2 q˙1 q˙2 cos(q2 ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 + m2 lc2 q˙1 + m2 lc2 q˙1 q˙2 + m2 lc2 q˙2 − m1 glc1 (1 + sin(q1 )) 2 2 −m1 gL1 (1 + sin(q1 )) − m2 glc2 (1 + sin(q1 + q2 )) (25)
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 2GDL
Considerando la fricci´on viscosa debido a los rodamientos, la funci´on de disipaci´on de Rayleigh es, 1 D = [c1 q˙12 + c2 q˙22 ] 2
(26)
Las ecuaciones Euler-Lagrange del sistema, considerando la fricci´on seca en cada uni´on, est´an dadas por, d ∂L ∂L ∂D − + = Q1 − Fc1 sign(q˙1 ) (27) dt ∂ q˙1 ∂q1 ∂ q˙1 d ∂L ∂L ∂D − + = Q2 − Fc2 sign(q˙2 ) (28) dt ∂ q˙2 ∂q2 ∂ q˙2
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 2GDL
Finalmente, el modelo matem´atico del robot manipulador de 2GDL est´a dada por, d11 q¨1 + d12 q¨2 + 2hq˙1 q˙2 + hq˙22 + c1 q˙1 + φ1 = τ1 − Fc1 sign(q˙1 ), (29) d21 q¨1 + d22 q¨2 − hq˙12 + c2 q˙2 + φ1 = τ2 − Fc2 sign(q˙2 ), (30) con h
=
−m2 L1 lc2 sin θ2 ,
d11
=
2 2 m1 lc1 + m2 (L21 + lc2 + 2L1 lc2 cos θ2 ) + I1 + I2 ,
d12
=
2 m2 lc2 + m2 L1 lc2 cos θ2 + I2 ,
d21
=
d12 ,
d22
=
m2 lc2 + I2 ,
φ1
=
(m1 lc1 + m2 L1 )g cos(q1 ) + m2 lc2 g cos(q1 + q2 ),
φ2
=
m2 lc2 g cos(q1 + q2 ).
y
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 2GDL
El modelo din´amico expresado en la forma can´ onica de segundo orden queda como, ˙ q˙ + G(q) = τ − Ff (q), ˙ D(q)¨ q + C(q, q)
(31)
donde, q = [q1 q2 ]T , τ = [τ1 τ2 ]T , y
d11 d12 D(q) = d21 d22 φ1 (q1 ) G(q) = φ2 (q2 )
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hq˙2 hq˙2 + hq˙1 ˙ = , C(q, q) −hq˙1 0 c1 q˙1 + Fc1 sign(q˙1 ) ˙ = Ff (q) . c2 q˙2 + Fc2 sign(q˙2 )
,
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Mano rob´ otica de 4GDL
Considere la mano rob´otica de cuatro dedos realizada en el Centro Aeroespacial Alem´an (DLR) mostrada en la Figura 3a. La mano completa tiene 13GDL. En la Figura 3b se muestra un dibujo esquem´atico de una mano rob´otica de dos dedos de 4GDL (tiene 2GDL por cada dedo).
Figura 3: (a) Mano rob´ otica del DLR Alemania y (b) dibujo esquem´ atico de una mano rob´ otica de dos dedos. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador de 3GDL
Figura 4: Robot manipulador cil´ındrico de 3GDL.
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot cartesiano de 3GDL
Considere el robot cartesiano de 3GDL mostrado en la Figura 5, utilizado para operaciones de corte con l´aser.
Figura 5: Aplicaci´ on de un robot cartesiano de 3GDL para corte con l´ aser en defensas de autom´ oviles. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot cartesiano de 3GDL
Figura 6: Partes de la m´ aquina de corte. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot cartesiano de 3GDL
Las ecuaciones de movimiento del robot cartesiano se pueden plantear considerando la Figura 7.
Figura 7: Robot cartesiano de 3GDL.
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Modelado matem´ atico de robots manipuladores
Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador tipo SCARA de 3GDL R Considere el robot industrial tipo SCARA de la marca KUKA KR5-R350 de 4GDL que se muestra en la Figura 8a. Este robot es un mecanismo serial y un dibujo esquem´atico que considera los primeros tres grados de libertad se muestra en la Figura 8b.
R Figura 8: (a) Robot industrial tipo SCARA de la marca KUKA KR5-R350 y (b) dibujo esquem´ atico del mecanismo serial considerando 3GDL. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador tipo antropom´ orfico de 3GDL R Considere el robot industrial del tipo antropom´ orfico de la marca KUKA KR6 de 6GDL que se muestra en la Figura 9a. Este robot es un mecanismo serial y un dibujo esquem´atico que considera los primeros tres grados de libertad se muestra en la Figura 9b.
R Figura 9: (a) Robot industrial tipo antropom´ orfico de la marca KUKA KR6 y (b) dibujo esquem´ atico del mecanismo serial considerando 3GDL. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador tipo antropom´ orfico de 5GDL
Considere el robot industrial del tipo antropom´ orfico de la marca R Mitsubishi RV-2AJ de 5GDL que se muestra en la Figura 10a. Este robot es un mecanismo serial y un dibujo esquem´atico que considera los cinco grados de libertad se muestra en la Figura 10b.
R Figura 10: (a) Robot industrial tipo antropom´ orfico de la marca Mitsubishi RV-2AJ y (b) dibujo esquem´ atico del mecanismo serial con 5GDL. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador con mecanismo paralelogramo R Considere el robot industrial ABB IRB 1400 de 6GDL que se muestra en la Figura 11a. Este robot tiene un mecanismo paralelogramo de cinco barras en su segundo y tercer grado de libertad, como se muestra en el dibujo esquem´atico de la Figura 11b.
R Figura 11: (a) Robot industrial ABB IRB 1400 y (b) dibujo esquem´ atico del mecanismo paralelogramo con sus actuadores respectivos en la base y considerando 2GDL. Esteban Ch´ avez-Conde
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Modelado matem´atico de robots manipuladores Robot manipulador con actuadores en la base R Considere el robot did´actico ESCORBOT ER-4u de 5GDL que se muestra en la Figura 12. Los actuadores de los primeros cuatro grados de libertad est´an colocados en la base, y utilizan mecanismos con banda dentada para la transmisi´on de movimiento.
R Figura 12: Robot ESCORBOT ER-4u para fines educativos. Esteban Ch´ avez-Conde
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