Dynacmique Des Structures, Tome 1 Principes Fondamentaux (J.penzIEN Et R.W.clouGH)

Ray W. CLOUGH

Joseph PENZIEN

Professeur de Génie Civil à l'Université de Californie à Berkeley

Professeur de Génie Civil à l'Université de Californie à Berkeley

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COLLECTION SCIENTIFIQUE DE LIPSI dirigée par Jean-Louis ARMAND

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DYNAMIQUE DES STRUCTURES

DEJA PARU Introduction aux éléments finis, par Richard H. GALLAGHER, Doyen de PEcole d’ingénieurs, Université de l’Arizona à Tucson. A PARAITRE Dynamique des structures, Tome 2 : Vibrations aléatoires et génie sismique, par R.W. CLOUGH et J. PENZIEN.

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La méthode des éléments finis : techniques numériques, par K.J. BATHE et E.L. WILSON.

Tome 1

Principes fondamentaux

Formules pour le calcul statique et dynamique des structures : approche directe par déformations et contraintes, par Walter D. PILKEY et Pin Yu CHANG. Méthodes variationnelles en élasticité et plasticité, par Kyuichiro WASHIZU. Stabilité des structures, par Hans ZIEGLER.

Traduit de l'anglais par Jean-Louis CLAUDON Ing én ieur A rts et M étiers, M aster of S cien ce

Préface de Jean-Louis A RM AND M aître de C o n fé re nces à l'Eco le P o lytechn iqu e

043299

Inventaire Ecole Nationale Polytechnique

ÉDITIONS PLURALIS

Table des matières du tome 1

Dynamique des structures (Tome 1 : Principes fondamentaux) Copyright © 1980, PLURALIS. est traduit de Dynamics of Structures Copyright © 1975 by McGraw-Hill, Inc. ISBN 2-86216-001-6 (édition originale : ISBN 0-07-011392-0 McGraw-Hill, Inc.)

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. La loi du 1 1 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les “ copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective” et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, “ toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite” (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

Préface à l'édition française

XV

Préface des auteurs

X IX

Table des notations

XXI

1

Présentation générale de la dynamique des structures 1.1 1.2 1.3 1.4

1.5

1.6

Objectif fondamental de la dynamique des structures, 1 Types de chargements donnés, 2 Caractéristiques essentielles d’un problème dynamique, 3 Méthodes de discrétisation, 4 Concentration des masses Déplacements généralisés Notion d’élément fini Formulation des équations du mouvement, S Ecriture directe de l’équilibre dynamique par le prin­ cipe de d’Alembert Principe des déplacements virtuels Principe de Hamilton Résumé Organisation de ce cours, 11

1

PREMIERE PARTIE : SYSTEMES A UN DEGRE DE LIBERTE

15

Formulation des équations du mouvement

17

2.1 2.2

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Composants du modèle dynamique élémentaire, 17 Méthodes de formulation, 17 Ecriture directe de l’équilibre dynamique Application du principe des travaux virtuels Application du principe de Hamilton Influence des forces de pesanteur, 20 Influence d’une excitation d’appui, 21 Systèmes particuliers à un degré de liberté : assemblage de corps rigides, 22 Systèmes particuliers à un degré de liberté : souplesse répartie, 29 Expression des caractéristiques généralisées d’un système, 34

Oscillations libres 3.1 3.2 3.3

Méthode de la demi-puissance (largeur de bande) Déperdition d’énergie par cycle (essai en résonance) Amortissement hystérésique

5

Réponse à un chargement périodique quelconque 5.1 5.2 5.3

6

Résolution de l’équation du mouvement, 41 Oscillations libres non amorties, 42 Oscillations libres amorties, 44 Amortissement critique Systèmes sous-amortis Systèmes suramortis

Réponse à un chargement par impulsion 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

41

1

7.1

4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Système non amorti, 53 Solution homogène Solution particulière Solution générale Facteur de réponse Système amorti, 56 Résonance, 60 Accéléromètres et mesure des déplacements, 63 Isolation vibratoire, 64 Mesure de l’amortissement des systèmes à un degré de liberté, 70 Décroissance des oscillations libres Amplification résonante

53

7.3 7.4 7.5

8

Nature des charges impulsives, 89 Impulsion en forme de sinusoïde, 90 Impulsion rectangulaire, 93 Impulsion triangulaire, 94 Spectres de réponse ou spectres de choc, 95 Calcul approché de la réponse à un chargement par impulsion, 98

Réponse à une excitation dynamique quelconque

12 Réponse à un chargement harmonique

Développement de la charge appliquée en série de Fourier, 81 Réponse à un chargement exprimé en série de Fourier, 81 Forme exponentielle de la solution par série de Fourier, 84

Intégrale de Duhamel pour un système sans amortissement, 103 Calcul numérique de l’intégrale de Duhamel pour un sys­ tème sans amortissement, 104 Réponse d’un système avec amortissement, 109 Détermination de la réponse sur l’ensemble du domaine des fréquences, 113 Etude numérique dans le domaine des fréquences, 116 Transformées discrètes de Fourier Utilisation de la transformée rapide de Fourier

Détermination de la réponse d'une structure en cas de non-linéarité 8.1 8.2 8.3 8.4

Principe de l’analyse, 121 Equation incrémentale de l’équilibre, 122 Intégration pas à pas, 123 Récapitulation de la méthode, 126

9

Etude des vibrations par la méthode de Rayleigh 9.1 9.2 9.3 9.4

12.3 Formulation par les souplesses, 184 12.4 Influence des forces axiales, 185 Vibrations libres Charge critique Flambage par excitation harmonique 12.5 Propriétés d’orthogonalité, 188 Relations fondamentales Autres relations Normalisation

Principe de la méthode, 133 Etude approchée d’un système quelconque, 135 Choix d’une fonction de déplacement, 136 Méthode de Rayleigh améliorée, 140

DEUXIEME PARTIE : SYSTEMES A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE 10

133

Formulation des équations du mouvement des sys­ tèmes à plusieurs degrés de liberté

147

13

13.1 Coordonnées principales (normales), 195 13.2 Equations découplées du mouvement non amorti, 196 13.3 Equations découplées du mouvement amorti, 198 Formation des équations Conditions pour l’orthogonalité de l’amortissement Couplage de l’amortissement 13.4 Méthode de superposition des modes: récapitulation,203

149

10.1 Choix des degrés de liberté, 149 10.2 Expression de l’équilibre dynamique, 150 10.3 Influence des forces axiales, 153 11

Détermination des matrices caractérisant les propriétés d'une structure

14

Oscillations libres non amorties 12.1 Détermination des fréquences propres de vibration, 179 12.2 Détermination des modes vibratoires, 181

Pratique du calcul des vibrations

155

11.1 Caractéristiques élastiques, 155 Souplesse Rigidité Autres notions fondamentales en calcul des structures Eléments finis. Rigidité 11.2 Caractéristiques massiques, 164 Matrice des masses concentrées Matrice de masse cohérente 11.3 Caractéristiques d’amortissement, 168 11.4 Action des forces extérieures, 169 Résultantes statiques Forces cohérentes aux nœuds 11.5 Rigidité géométrique, 170 Approximation linéaire Rigidité géométrique cohérente 11.6 Choix du type de formulation, 175 12

Etude de la réponse dynamique

179

14.1 Remarques préliminaires, 213 14.2 Méthode de Stodola, 214 Détermination du mode fondamental Convergence Détermination du second mode Détermination du troisième mode et des modes suivants Détermination du dernier mode 14.3 Etude du flambage par itération matricielle, 227 14.4 Méthode de Holzer, 230 Principe de la méthode Méthode des matrices de transfert Méthode de Holzer-Myklestad 14.5 Réduction du nombre de degrés de liberté, 239 Rappels Concentrations en masses discrètes Méthode de Rayleigh appliquée aux systèmes de coor­ données discrètes Méthode de Rayleigh-Ritz 14.6 Notions élémentaires d’itération matricielle, 247 Développement de la matrice dynamique selon ses éléments propres Résolution itérative du problème d’éléments propres

Itération avec décalage Itération de sous-espace 14.7 Forme symétrique de la matrice dynamique, 256 Matrice de masse diagonale Matrice de masse cohérente 14.8 Etude des structures sans appuis, 259 15

Etude des systèmes non linéaires

18

16

Formulation variationnelle des équations du mouvement 16.1 16.2 16.3 16.4

17

19

Coordonnées généralisées, 275 Equations de Lagrange, 276 Obtention des équations générales du mouvement, 283 Equations de contraintes et multiplicateurs de Lagrange, 287

20

293

Equations aux dérivées partielles du mouvement

295

Introduction, 295 Flexion des poutres : cas élémentaire, 296 Flexion des poutres : effet des forces axiales, 298 Flexion des poutres : déformations d’effort tranchant et inertie de rotation, 299 17.5 Flexion des poutres : amortissement visqueux, 302 17.6 Flexion des poutres : excitations d’appuis généralisées, 303 \ 1 J Déformations axiales, 306

Etude de la réponse dynamique 19.1 19.2 19.3 19.4

275

TROISIEME PARTIE: SYSTEMES A CARACTERISTIQUES REPARTIES

17.1 17.2 17.3 17.4

18.1 Flexion des poutres : cas élémentaire, 309 18.2 Flexion des poutres : prise en compte des effets des forces axiales, 317 18.3 Flexion des poutres : déformation d’effort tranchant et inertie de rotation, 318 18.4 Flexion des poutres : orthogonalité des modes de vibra­ tion, 320 18.5 Vibrations axiales libres, 322 18.6 Orthogonalité des modes de vibration axiale, 325

265

15.1 Introduction, 265 15.2 Equations incrémentales de l’équilibre, 267 15.3 Intégration pas à pas : méthode de l’accélération linéaire, 268 15.4 Méthode inconditionnellement stable à accélération li­ néaire, 269 15.5 Performances de la méthode 0 de Wilson, 272

Vibrations libres non amorties

Coordonnées normales, 327 Equations découplées en flexion sans amortissement, 330 Equations découplées en flexion avec amortissement, 334 Equations découplées du mouvement axial sans amortis­ sement, 336

La méthode de la rigidité directe dans les problèmes dynamiques 20.1 Introduction, 343 20.2 Matrice dynamique de rigidité en flexion, 344 20.3 Rigidité dynamique : flexion et déplacements axiaux rigides, 350 20.4 Matrice de rigidité dynamique des déformations axiales,353 20.5 Rigidité en flexion et en déformation axiale combinées, 355 20.6 Effets des forces axiales sur la rigidité en flexion, 356

21

Propagation d'ondes 21.1 Equation fondamentale de la propagation des ondes axiales, 361 21.2 Prise en compte des conditions aux limites, 365 21.3 Barre présentant des discontinuités, 368 21.4 Ondes de contraintes lors de l’enfoncement d’un pieu, 373 21.5 Onde d’effort tranchant dans un bâtiment, 377

Préface à l'édition française

Le grand public, s’il trouve aujourd’hui naturel de profiter des progrès de la technologie, a également pris conscience des dangers qui les accompagnent : c’est pourquoi il exige de l’ingénieur des réalisations toujours moins coûteuses et toujours plus fiables, contradiction apparente que seule une conception mieux comprise permet de dépasser. Il est ainsi devenu nécessaire, au fil des ans, de raffiner les schémas mathématiques utilisés au stade du projet, pour tenter de les faire approcher d’une réalité souvent complexe : dans ce domaine, l’apparition des calculateurs électroniques, dans les années 1950, a autorisé le développement de méthodes numériques à la puissance colossale, telles que la méthode des éléments finis. Celle-ci est aujourd’hui d’un usage courant dans l’industrie pour l’étude de structures dont la complexité rend vaines les mé­ thodes de la résistance des matériaux classique. C’est ainsi que la conception de la^ plupart des structures (que ce soient les constructions fixes du génie civil, du génie nucléaire ou du génie océanique, les machines ou parties de machines, les.constructions aéronautiques, automo­ biles ou navales) exige à présent la détermination de leur réponse aux sollici­ tations de nature dynamique qu’elles sont amenées à rencontrer au cours de leur existence. Or, le comportement dynamique d’une structure est très fréquemment lié à des phénomènes que ne peut permettre de prévoir la seule considération des chargements statiques ou pseudo-statiques auxquels sont souvent assimilées les sollicitations dynamiques rencontrées dans la réalité : le tristement fameux pont de Tacoma, ou la rupture d’une aile d’avion par flottement aéroélastique, constituent des exemples heureusement extrêmes de tels phénomènes. L’objectif que se fixe la dynamique des structures est de caractériser le comportement des constructions soumises à des sollicitations dynamiques. Le traité que lui ont consacré les Professeurs Clough et Penzien répond remar­ quablement bien à cet objectif, en réussissant parfaitement à présenter une vue synthétique de la théorie moderne et à souligner ses applications à des pro­ blèmes pratiques auxquels l’ingénieur se trouve confronté.

Le premier tome de l’ouvrage que nous présentons aujourd’hui au lecteur de langue française reprend les trois premières parties de l’original américain, dues au seul Professeur Clough. Nul mieux que lui ne sait, que ce soit dans les leçons qu’il professe ou à travers ses écrits, présenter avec une telle simpli­ cité, fruit de longues années de recherches et d’enseignement, ces concepts fondamentaux dont la connaissance éclairée permet la compréhension phy­ sique des phénomènes réels, qu’il s’agisse du système masse-ressort le plus élémentaire ou de l’assemblage d’éléments finis le plus compliqué. Les mé­ thodes numériques présentées ont toutes fait la preuve de leur applicabilité aux calculs sur ordinateurs : l’auteur, qui est également, ne l’oublions pas, l’un des pionniers de la méthode des éléments finis, est orfèvre en la matière. L’ingénieur sera en outre agréablement surpris de constater .que le cours s’attarde avec un luxe de détails sur des techniques très générales, dont l’utilité, au stade de l’avant-projet, n’est plus à démontrer, qui permettent la détermi­ nation approchée rapide, avec une simple règle à calcul ou une calculatrice de poche, du comportement dynamique d’une structure. Ce sont d’ailleurs souvent ces mêmes techniques qu’utilise le calcul automatique, mais à une autre échelle, évidemment. C’est en effet le propre de l’ingénieur que d’être en mesure d’apporter une signification physique aux algorithmes qu’il vient à utiliser, algorithmes qui, pour le mathématicien, ne sont que trop souvent prétextes à des constructions “fort intéressantes” mais aussi fort inutiles, car vides dès le départ de tout sens pratique. Les nombreux exercices simples d’application, de nature essentiellement pratique, qui jalonnent le cours, guideront pas à pas le lecteur en lui permettant de vérifier à mesure qu’il progresse sa bonne compréhension des concepts exposés. Résultat de près de vingt années d’enseignement, ce cours est une illustration parfaite de cette pédagogie d’outre-atlantique que l’on a pu taxer de pragmatisme, mais dont l’excellence, que traduisent les résultats obtenus, n’est plus aujourd’hui à démontrer. L’ouvrage que nous présentons ici est le premier de ce niveau à épouser le point de vue de l’ingénieur et non plus seulement celui du physicien ou du mathématicien : il va en effet au-delà des habituels schémas à un ou deux degrés de liberté, exercices d’école bien insuffisants pour mériter l’appellation générale de systèmes et pour représenter la réalité, et qui composent la matière de la plupart des traités classiques. Le Professeur Clough s’est attaché à exposer clairement, tout au long de ce cours, des exemples et règles pratiques de modé­ lisation qui soient utiles à l’ingénieur. La traduction de Jean-Louis Claudon est encore une fois irréprochable. Elle a bénéficié des corrections apportées à la première édition en langue anglaise depuis sa parution, ainsi que de la conversion des unités anglo-saxonnes de l’original en unités du système international (S.I.), ce qui a représenté un travail considérable. On peut d’ailleurs se demander comment font les étudiants amé­ ricains pour percer les secrets d’une dynamique dans laquelle l’unité de masse est la livre, (seconde)2/pouce (lb.s2/in) quand ce n’est pas le slug, qui est défini comme une livre.(seconde)2/pied (lb.s2/ft), et où l’on dispose, pour caractériser une pression ou une contrainte, d’unités aussi peu parlantes que variées, qui peuvent s’appeler psi, lb/in2, psf, lb/ft2, kip/in , k/in2, ksi, kip/ft2, k/ft2, ksf,

toutes notations indifféremment relevées dans l’original anglais ! Un avantage non négligeable du système anglo-saxon est par contre de faire clairement ressortir la différence si capitale entre les notions de masse et de force, pas toujours bien comprise de nos étudiants, et parfois même de nos ingénieurs et physiciens, qui font encore trop souvent appel à des unités de force bâtardes, telles que le kilogramme-force (kgf) ou le kilogramme-poids (kgp). C’est à dessein que nous avons utilisé exclusivement comme unité de force, tout au long de la traduction, le newton (N), ou exceptionnellement le kilo-newton (kN), suivant en cela la définition même du système international. Il nous reste, pour conclure un aussi long avant-propos, à souhaiter au lecteur autant de plaisir à étudier cet ouvrage que nous en avons eu à préparer la présente édition. Jean-Louis ARMAND

r

Préface des auteurs

Ce livre représente l’aboutissement de plus de vingt-cinq années d’ensei­ gnement de la dynamique des structures à l’Université de Berkeley en Californie. On comprendra sans mal que le contenu de cet enseignement ait connu des modifications considérables sur une telle période. Trois polycopiés successifs ont été rédigés et distribués aux élèves à des époques assez éloignées les unes des autres, et des versions adaptées en ont été utilisées lors de cours présentés en des lieux aussi divers que Santiago au Chili, Trondheim en Norvège et Tokyo au Japon. Lors de la conception initiale de cet ouvrage, le Professeur Clough a été fortement influencé par le cours du Professeur R.L. Bisplinghoff du Massachusetts Institute of Technology ; il est redevable à cet enseignement superbe de la dynamique des structures aéronautiques. L’orientation subsé­ quente du livre vers les problèmes dynamiques du génie civil reflète les travaux de Hohenemser et Prager dans leur traité d’avant-garde Dynamik der Stabwerke*. De même, le Professeur Penzien est reconnaissant au Professeur S.H. Crandall, également du Massachusetts Institute of Technology, pour tout le bénéfice qu’il a pu tirer de son cours sur les vibrations aléatoires. Le dévelop­ pement de cette partie a cependant été le fait des deux auteurs conjointement. Les contributions apportées à la littérature par de nombreux auteurs ont été incorporées au cours de manière aussi pertinente que possible ; la plupart de ces contributions sont si bien établies dans le domaine de la dynamique des structures qu’il est à présent difficile de les accréditer de manière certaine. Peu de références seront donc données, et nous présentons nos excuses à ceux qui pourraient se sentir lésés. Bien que le contenu de ce cours ait été constamment revu et corrigé, son organisation générale est restée la même. On effectue une transition logique à partir des structures à un degré de liberté en passant par les systèmes à un degré généralisé, pour arriver à l’étude par superposition des modes des structures à plusieurs degrés de liberté en coordonnées discrètes ; ce cheminement est le plus simple pour l’ingénieur habitué aux calculs de la statique, et qu’il faut *K. Hohenemser & W. Prager, Dynamik der Stabwerke, Julius Springer, Berlin, 1933.

amener à considérer les problèmes particuliers que posent les chargements dynamiques. Par ailleurs, il nous a toujours paru essentiel de nous attacher à l’étude de la réponse dynamique transitoire, plutôt que de nous limiter à celle des vibrations. Pour tirer le meilleur profit de l’étude de la dynamique des structures, des connaissances solides en théorie statique des structures —y compris les méthodes matricielles —sont nécessaires ; nous supposerons que le lecteur possède ces connaissances. L’évolution la plus importante qui se soit produite au cours de la consti­ tution de ce livre a sans doute été que l’ordinateur digital se soit imposé en tant qu’outil standard en analyse des structures. Avant cette évolution, on travaillait surtout avec des méthodes conçues pour la règle à calcul ou la calculatrice de bureau. Ces méthodes restent à l’honneur ici, car les auteurs sont convaincus de leur valeur pédagogique : lorsque l’on a parfaitement compris un procédé de résolution à la main, il est en effet facile d’écrire ou d’utiliser le programme correspondant, alors qu’il peut s’avérer impossible d’utiliser un programme de manière efficace s’il ne représente pour l’utilisateur qu’une “boîte noire” dont il ne connaît pas le fonctionnement interne. On a cependant tenu compte du fait que pratiquement toute étude dynamique réelle exige un tel volume de calculs qu’il n’est raisonnable de la traiter que par l’ordinateur : les techniques de résolution sur lesquelles nous insistons ici sont généralement celles qui peuvent être le plus facilement utilisées à l’ordinateur ; elles sont également utilisables à la main. Notre objectif étant d’exposer les fondements des méthodes, nous ne nous attarderons pas sur les techniques de programmation. [...] Nous avons incorporé au texte un grand nombre d’exemples avec leur solution complète en raison de leur grande importance pédagogique. Nous avons également prévu un grand nombre de problèmes à la fin de la plupart des chapitres, car il est essentiel que l’élève utilise les méthodes par lui-même pour vraiment les maîtriser : il faut toutefois tenir compte du fait que ces analyses dynamiques sont notoirement longues à effectuer. Au rythme d’un enseignement de trois heures hebdomadaires, la donnée de un à quatre pro­ blèmes par semaine nous semble convenir, selon les problèmes : ce livre en propose donc bien plus qu’on ne pourrait normalement en résoudre.

a ^OJ A A i, A 2 b K K B c c* Ce Cn Cij c» D D &U ^2 e E E i—i i___________ i h)

RAY W. CLOUGH JOSEPH PENZIEN

Table des notations

El f h fl> fû9 /S 9 9i

distance coefficients de Fourier ; constantes aire ; constante constantes distance ; nombre entier coefficients de Fourier ; constantes constante constante d’amortissement constante d’amortissement généralisé constante d’amortissement critique coefficients d’influence d’amortissement coefficients de Fourier coefficients d’amortissement généralisés, modes normaux facteur d’amplification dynamique ; raideur d’une plaque matrice dynamique k""1 m constantes déplacement axial module de Young matrice dynamique D-1 valeur moyenne ; moyenne d’un ensemble raideur en flexion fréquence cyclique naturelle coefficients d’influence de souplesse forces d’inertie, d’amortissement et de rappel accélération de la pesanteur coordonnées de déplacements générales ; fonctions d’ondes de contraintes

G G, Gl9 G2 h h(t) H((û), H(iœ) Hz i / I j k, kt k*9 k* k(t) kG ku 1ctj k Gij Kn L Po p p* p cff p(x) p(x,y) p(x | y)

module de glissement constantes épaisseur d’une plaque ; hauteur d’un étage réponse à une impulsion unité réponse en fréquence complexe : Hertz (unité de mesure des fréquences, en cycles par seconde) nombre entier impulsion ; moment d’inertie matrice identité nombre entier constantes de rappel (ressorts) constantes de rappel généralisées rigidité effective rigidité géométrique coefficients d’influence de rigidité coefficients d’influence de rigidité combinée coefficients d’influence de rigidité géométrique rigidité généralisée du même mode normal longueur facteur d’excitation d’un séisme masse ; nombre entier masse coefficients d’influence de masse masse linéique moment d’inertie massique en rotation masse généralisée du même mode normal masse généralisée moment interne à une section nombre entier ; constante charge axiale ; nombre d’incréments de temps ; nombre de degrés de liberté charge axiale critique force axiale variable dans le temps charge chargement linéique chargement généralisé chargement effectif densité de probabilité densité de probabilité bidimensionnelle densité de probabilité conditionnelle

p{x1, X2.......-«J PAO P(X),P(X,Y) Pr Qi r m RA*) * „ (* )

s S„(to) Sx(ô>) 5a

SI t,h h hj T Tn T, TR u U v v' V, ’ V9* »st

V, Vf, K V w W Kc X X

—7 X

x(t) y yU)

densité de probabilité multidimensionnelle fonction excitatrice du même mode normal fonctions de répartition probabilité lème coordonnée généralisée lème fonction excitatrice généralisée rayon de gyration facteur de réponse fonction d’autocorrélation fonction de corrélation croisée constante fonctions densités spectrales réponse spectrale en accélération réponse spectrale en déplacement réponse spectrale en pseudo-vitesse intensité du spectre de réponse temps ; instant durée d’une impulsion coefficients d’influence de transfert période de vibration ; énergie cinétique période du niéme mode normal période du chargement transmittance déplacement dans la direction x énergie de déformation déplacement dans la direction^ déplacement total ^ déplacement du sol déplacement statique énergie potentielle effort tranchant dans une section déplacement dans la direction z travail ; poids travail de forces non conservatives travail d’une charge axiale N coordonnée cartésienne valeur moyenne de x moyenne quadratique de x processus aléatoire coordonnée cartésienne processus aléatoire

Y„ z

déplacement généralisé du même mode normal coordonnée cartésienne coordonnées généralisées p rapport des fréquences poids surfacique y s décrément logarithmique ; variation ; résidu A incrément 4, déplacement statique e déformation C fonction du temps ; coefficient d’amortissement hystérésique ÀG facteur de chargement axial multiplicateur de Lagrange même valeur propre K 0 angle de déphasage ; pente ; rotation V facteur de ductilité Vxy covariance V coefficient de Poisson facteur d’amortissement P module d’un vecteur ; masse volumique Pxy coefficient de corrélation ij déplacement modal 4>n forme du même mode o matrice des modes fonction de déplacement généralisée t , Ÿn vecteur déplacement généralisé (0,(0„ fréquence angulaire naturelle non amortie œ D> 0)Dn fréquence angulaire naturelle amortie (pseudo-pulsation) œ fréquence angulaire d’une fonction excitatrice harmonique

1

Présentation générale de la dynamique des structures

1-1 Objectif fondamental de la dynamique des structures

Le but principal de ce livre est de présenter des méthodes permettant l’étude des contraintes et des déplacements communiqués à une structure donnée soumise à un chargement dynamique arbitraire. Dans un sens on peut considérer notre objectif comme la généralisation des méthodes classiques de la théorie des structures —qui ne traitent en général que les charges statiques — pour permettre la prise en compte des charges dynamiques. Vu sous cet angle, on voit qu’il est alors possible de considérer un chargement statique comme un simple cas particulier de chargement dynamique. Pour l’étude des structures linéaires il est cependant plus pratique de séparer les composants statiques et dynamiques du chargement appliqué, de calculer séparément la réponse à chaque type de charge, puis de superposer les deux composantes de la réponse pour obtenir la réponse totale. Lorsqu’elles sont envisagées de cette manière, les méthodes d’analyse statique et dynamique présentent des caractéristiques fondamentalement* différentes. Dans le contexte de cet ouvrage la signification du terme dynamique peut se définir simplement comme : variable dans le temps ; une charge dynamique est donc une charge dont l’intensité, la direction ou le point d’application varient avec le temps. De même* la réponse de la structure à une charge dynamique c’est-à-dire les déplacements et les contraintes qui en résultent - est également variable dans le temps, donc dynamique elle aussi. Deux approches fondamentalement différentes s’offrent à nous pour évaluer la réponse d’une structure à des charges dynamiques : l’approche déterministe et l’approche non déterministe. Le choix de la méthode à utiliser dans chaque cas dépend du mode de définition du chargement. Si l’évolution du chargement dans le temps est parfaitement connue - même si elle est oscillatoire ou très irrégulière - nous dirons dans ce livre qu’il s’agit d'un chargement dynamique donné ; le calcul de la réponse d’une structure donnée à un chargement dyna­ mique donné sera un calcul déterministe. Si au contraire l’évolution dans le temps n’est pas parfaitement connue mais peut être définie de manière statistique, le chargement est dit chargement dynamique aléatoire ; l’étude

de la réponse d’une structure à un chargement dynamique aléatoire sera une étude non déterministe. La quatrième partie* de ce livre est consacrée à une introduction aux méthodes d’analyse non déterministe. Un chapitre sur l’étude non déterministe de la réponse aux séismes a également été inclus dans la cinquième partie, qui traite de l’application des méthodes de la dyna­ mique des structures au domaine du génie sismique. En règle générale, c’est par leurs déplacements que l’on exprime la réponse des structures aux charges dynamiques. Une analyse déterministe mène donc à une histoire des déplacements de la structure dans le temps, histoire constituant le pendant de celle du chargement donné ; les autres caractéris­ tiques de la réponse déterministe d’une structure, telles que contraintes, défor­ mations, efforts internes, etc., font généralement l’objet d’une seconde phase de l’étude, phase s’appuyant sur les déplacements précédemment déterminés. Quant à l’analyse non déterministe, elle procure des informations statistiques sur les déplacements résultant d’un chargement lui-même défini de manière statistique. Dans ce dernier cas la variation des déplacements avec le temps n’est pas déterminée ; et les contraintes, efforts internes, etc., doivent donc être calculés de manière directe par une étude non déterministe indépendante, et non à partir des résultats obtenus pour les déplacements.

Machine tournante dans un bâtiment

Hélice à l’arrière d’un navire

(b)

Non périodique

□□ □□

(c)

□ a a □

Secousse sismique sur un château d’eau

1.2 Types de chargements donnés

Pratiquement n’importe quelle structure est susceptible de subir pendant sa durée de vie un chargement dynamique sous une forme ou une autre. D’un point de vue analytique, on peut subdiviser les chargements donnés (déter­ ministes) en deux grandes catégories : périodiques et non périodiques. La Fig. 1.1 montre quelques formes types de chargements donnés, ainsi que des exemples de situations où ils sont susceptibles d’apparaître. Comme indiqué par les Figs. 1.1a et b, les chargements périodiques sont constitués de charges répétitives qui conservent la même évolution dans le temps sur un grand nombre de cycles. Le chargement périodique le plus simple est de forme sinusoïdale, Fig. 1.1a : on l’appelle harmonique simple ; ce genre de chargement est caractéristique des efforts de balourd dans les machines tournantes. Les autres formes de chargements périodiques, par exemple ceux qui proviennent des pressions hydrodynamiques engendrées par l’hélice à l’arrière d’un navire ou des effets d’inertie des machines alternatives, sont souvent plus complexes. Mais une analyse de Fourier permet de représenter un chargement périodique quelconque sous la forme d’une superposition d’harmo­ niques simples ; le calcul de la réponse à un chargement périodique quelconque peut donc en principe se conduire selon une procédure générale unique. Les chargements non périodiques sont soit des impulsions de courte durée, soit des chargements de longue durée et de forme quelconque. Des chocs, des explosions sont des sources courantes de chargements impulsifs ; pour ces efforts de courte durée on peut utiliser des formes d’analyse simplifiées. En * La quatrième et la cinquième partie forment la matière du tome II.

id)

Histoire du chargement Fig. 1.1

Explosion d'une bombe au voisinage d'un bâtimènt

Exemple

Exemples de chargements dynamiques : (a) harmonique simple ; (b) périodique ; [c) impulsif ; id) de longue durée.

revanche, un chargement quelconque - de longue durée, comme peut en provoquer une secousse sismique, ne peut être traité que par des méthodes d’analyse dynamique complètement générales. 1.3 Caractéristiques essentielles d'un problème dynamique

Un problème de dynamique des structures se distingue du problème statique correspondant par deux caractéristiques importantes. La première est, par définition, la nature évolutive du problème dynamique dans le temps. Comme la charge et la réponse varient avec le temps, il est évident qu’un problème dynamique n’a pas qu’une solution, ce qui déjà le différencie d’un problème statique ; il faut en effet déterminer une succession de solutions correspondant à tous les instants qui présentent un intérêt dans l’histoire de la réponse. Une étude dynamique sera donc plus complexe et moins rapide qu’une étude statique.

La Fig. 1.2 illustre une distinction plus fondamentale encore entre les problèmes statique et dynamique. Si une barre simple est soumise à une charge statique p — voir Fig. \2 a — le moment fléchissant,l’effort tranchant et la déformée dépendent directement de la charge donnée et se calculent en fonction de p à l’aide des principes bien établis de l’équilibre des forces. Mais si la charge p(t) est appliquée dynamiquement - voir Fig. 1.26 - les dépla­ cements de la barre correspondent à des accélérations qui produisent des forces d’inertie opposées à ces mêmes accélérations. Les moments fléchissants et les efforts tranchants de la barre considérée doivent équilibrer non seulement la force extérieure appliquée, mais encore les forces d’inertie qui résultent des accélérations de la barre. Ces forces d’inertie, qui s’opposent de la sorte aux accélérations de la struc­ ture, constituent la caractéristique distinctive la plus importante des problèmes de dynamique des structures. De manière générale, dans le cas où les forces d’inertie représentent une part sensible de la charge totale équilibrée par les forces élastiques internes de la structure, il faut tenir compte du caractère dy­ namique du problème lors de sa résolution. Si en revanche les mouvements sont si lents que les forces d’inertie sont négligeables, le calcul pour un instant donné pourra s’effectuer par les procédés d’analyse statique bien que la charge et la réponse varient dans le temps. j*

|P(0 wwky////,

Mais si la masse de la poutre peut être considérée comme concentrée en un certain nombre de points séparés (ou discrets) comme le montre la Fig. 1.3, le problème se trouve grandement simplifié car les forces d’inertie ne peuvent alors apparaître en aucun autre point. Dans ce cas, il n’est nécessaire de définir les déplacements et les accélérations qu’en ces points. Le nombre de composantes de déplacements à considérer pour pouvoir re­ présenter les effets de toutes les forces d’inertie qui interviennent dans une structure peut être appelé nombre de degrés de liberté dynamiques de la struc­ ture. Si par exemple les déplacements du système de la Fig. 1.3 sont contraints de sorte que les trois points massiques ne puissent se déplacer que dans des directions verticales, on dira qu’il s’agit d’un système à trois degrés de liberté. Si ces masses ne sont pas concentrées de manière ponctuelle mais ont une inertie de rotation finie, il faudra également considérer les déplacements angu­ laires des trois points et le système aura six degrés de liberté. Si de plus les dé­ formations longitudinales de la poutre sont sensibles, des déplacements paral­ lèles à l’axe de la poutre en résulteront et le système aura neuf degrés de liberté. Si à présent la structure peut se déformer dans l’éspace à trois dimensions, chaque masse présentera six degrés de liberté et le système entier en aura dixhuit. Si par contre les masses sont concentrées de maniéré ponctuelle et si l’inertie de rotation peut être négligée, le système tridimensionnel aura neuf degrés de liberté. Après ces considérations, il est clair qu’un système dont la masse est répartie de manière continue, comme en Fig. 1.2b, possède un nombre infini de degrés de liberté.

X f î J, JForces d’inertie '

Fig. 1.2

(b)

Distinction fondamentale entre une charge statique et une charge dynamique : (a) chargement statique ; (b) chargement dynamique.

1.4 Méthodes de discrétisation

Concentration des masses Considérons le système dynamique de la Fig. 1.2Ô; il est évident que son étude est rendue considérablement plus complexe par le fait que des forces d’inertie sont produites par les déplacements de la structure, ces déplacements étant eux-mêmes influencés par les intensités des mêmes forces d’inertie. Le cercle vicieux ne peut être évité qu’en formulant le problème de manière di­ recte à l’aide d’équations différentielles. Comme de plus la masse de la poutre est répartie de manière continue, les déplacements et les accélérations doivent être définis en chaque point de son axe si on veut que les forces d’inertie soient parfaitement définies. Il est dans ce cas nécessaire de formuler le problème à l’aide d’équations aux dérivées partielles, car il faut alors prendre pour variables indépendantes à la fois le temps et la variable de position le long de la barre.

Fig. 1.3 Idéalisation d'une poutre simple par concen tration de la masse.

77^77/

^

/ /W /

Déplacements généralisés L’idéalisation par concentration des masses procure un moyen simple pour limiter le nombre de degrés de liberté à considérer dans l’étude des problèmes de dynamique des structures. Le procédé de concentration est particulièrement efficace dans le traitement de systèmes pour lesquels une grande proportion de la masse totale est effectivement concentrée en quelques points. On peut alors considérer la masse de la structure plus légère qui porte ces concentrations comme également concentrée aux mêmes points ; la structure porteuse ellemême sera considérée comme étant sans masse. Dans certains cas cependant, la masse du système est répartie partout de manière pratiquement uniforme ; on peut alors préférer une autre méthode pour limiter le nombre de degrés de liberté. Cette méthode est fondée sur l’hypothèse selon laquelle la déformée, c’est-à-dire l’ensemble des flèches définissant la configuration de la structure après déplacement, peut être expri­ mée comme une cômbinaison linéaire de certains motifs de déplacements ;

ces motifs jouent alors le rôle de coordonnées dans lesquelles on exprime les déplacements de la structure. Un exemple immédiat de cette idée est la repré­ sentation de la déformée d’une poutre simple en série trigonométrique. Cette déformée peut s’exprimer comme la somme de contributions sinusoïdales indépendantes qu’illustre la Fig. 1.4 ; sous une forme mathématique : «p(t)

>p(t)

fs«

k

?//////■ (a)

Fig. 2.1

fû4

(b)

Système idéalisé à un degré de liberté : (a) composants élémentaires ; (b) forces participant à l'équilibre.

2.2 Méthodes de formulation

Ecriture directe de l'équilibre dynamique L’équation du mouvement du système de la Figure 2Aa s’obtient par n’im­ porte lequel des trois procédés présentés au Chapitre 1. Dans ce cas élémentaire,

la méthode la plus simple consiste à exprimer directement l’équilibre de toutes les forces agissant sur la masse. Comme on le montre en Figure 2.16, les forces agissant suivant la direction du degré de liberté de déplacement sont le charge­ ment appliqué p (t) et trois forces engendrées par le mouvement : la force d’inertie / 7, la force d’amortissement f D et la force de rappel du ressort élas­ tique f s . L’équation du mouvement exprime tout simplement l’équilibre de ces forces, et s’écrit : f i + Id + fs = P ( 0

fs = kv

(2-2a)

De même, par le principe de d’Alembert, la force d’inertie est le produit de la masse et de l’accélération : f i = mv (2-26) Enfin, en supposant un mécanisme d’amortissement visqueux la force d’amor­ tissement est le produit de la constante d’amortissement c et de la vitesse : d

=

ci)

(2 -2 c)

Si on reporte les trois équations qui précèdent dans l’Eq. (2.1), on obtient l’équation du mouvement de ce système à un degré de liberté comme étant mv -f cv + kv — p(t)

(2-3)

Application du principe des travaux virtuels Il sera également instructif de mener à bien la formulation de cette même équation de mouvement par l’intermédiaire des travaux virtuels. Les forces agissant sur la masse sont analysées en Fig. 2.16. Si on communique à cette masse un déplacement virtuel ôv (le seul déplacement compatible avec les contraintes présentes), ces forces fournissent chacune un certain travail. Le travail total effectué par le système peut s’écrire ~ fi àv - f D ôv - f s ôv + p(t) ôv = 0

(2-4)

où les signes négatifs s’expliquent par le fait que les forces agissent dans le sens opposé à celui du déplacement virtuel. Reporter les Eqs. (2.2) dans l’Eq. (2.4) et simplifier par ô v mène alors à [ — mi)

—

cû

—

Art? -h /?(*)] àv

Application du principe de Hamilton Pour compléter cette présentation, nous obtiendrons à présent l’équation du mouvement du même système par utilisation du principe de Hamilton [Eq. (1.4)]. L’énergie cinétique du système est par définition donnée par

(2-1)

Chacune des forces figurant au premier membre de cette équation est fonction du déplacement v ou de ses dérivées par rapport au temps ; le sens positif de ces forces a été délibérément choisi de manière à correspondre au sens des déplacements négatifs, car elles s’opposent aux chargements positifs appliqués à la masse. Considérons d’abord la force de rappel du ressort élastique. Elle est bien sûr donnée par le produit de la rigidité du ressort et du déplacement :

/

Comme 5v est non nul, on peut facilement mettre cela sous la forme de l’Eq. (2.3).

=

0

(2-5)

T =

(2-6d)

et l’énergie potentielle, qui représente simplement l’énergie de déformation U du ressort, est donnée par V = U = x\ 2kv2

(2-66)

Les forces non conservatives du système de la Fig. 2.16 sont la force d’amortis­ sement f D et la charge appliquée p(t). La variation du travail effectué par ces forces peut s’exprimer par ÔWnc = p(t) ôv - ci) ôv (2-6c) qui est équivalente à l’expression du travail virtuel associé à ces forces dans l’Eq. (2.5). En reportant les Eqs. (2.6) dans l’Eq. (1.4) et en prenant la variation du premier terme, on parvient à [mû ôv — ci) ôv — kv ôv + p(t) ôv] dt = 0

(2-7)

Le premier terme de cette équation peut à présent être intégré par parties comme suit : /V2 P*2 mv ôv dt = mv ôv — I mv ôv dt ( 2 - 8) Jri

t!

Jri

où on a utilisé l’égalité ôt> = d(hv)/dt. Mais comme l’une des hypothèses du principe de Hamilton est que la variation bv s’annule aux bornes d’intégration t 1 et t2) le premier terme obtenu est égal à zéro. Si on reporte alors la rela­ tion (2.8) dans l’Eq. (2.7), le résultat peut s’écrire [ —mv — ci) — kv + p(0] àv dt = 0

(2-9)

et comme la variation ôu ést arbitraire, il est clair que l’équation qui précède ne peut en général être satisfaite que si l’expression entre crochets s’annule. On peut alors passer à la forme de l’Eq. (2.3). Cet exemple montre comment la même équation du mouvement peut être obtenue par chacune des trois méthodes de base. Pour ce système il est évident que l’on préférera exprimer directement l’équilibre dynamique.

2.3 Influence des forces de pesanteur

Considérons à présent le système représenté en Fig. 2.2a, qui correspond à celui de la Fig. 2Aa après une rotation de 90° (si bien que les forces de gravité agissent dans la direction du déplacement). Le système de forces agissant sur la masse est alors défini comme sur le schéma de la Fig. 22b, et si on utilise les Eqs (2.2) l’expression de l’équilibre s’écrit : mv + cv + kv = p(t) + W (2-10) où W représente le poids du bloc rigide. Si on exprime le déplacement total v comme la somme du déplacement statique A^ (dû au poids W) et du déplacement dynamique complémentaire vyvoir la Fig. 2.2c : v = Ast + v

(2-11)

f s = kv = kAst + kv

(2-12)

la force dans le ressort s’écrit En reportant l’Eq. (2.12) dans l’Eq. (2.10), on obtient mv + cv + kAst + kv = p(t) + W et comme k

(2-13)

= W, on a finalement mi) + cv + kv = p(t)

(2-14)

Si on dérive à présent l’Eq. (2.11) en remarquant que A^ est indépendant du temps (et donc que v — v, etc.), l’Eq. (2.14) peut être mise sous la forme mv + cv + kv = p(t)

(2-15)

En comparant les Eqs. (2.15) et (2.3), on constate que si le mouvement est mesuré par rapport à la position d’équilibre statique du système dynamique,

son équation n’est pas affectée par les forces de pesanteur. Pour cette raison, les déplacements seront désormais comptés à partir de la position statique du système, et les déplacements ainsi repérés constitueront la réponse dynamique. De cette manière, les flèches, contraintes, etc. totales seront obtenues en ajoutant les valeurs statiques adéquates aux résultats de l’étude dynamique. 2.4 Influence d'une excitation d'appui

Les contraintes et les déplacements dynamiques d’une structure peuvent provenir non seulement d’un chargement variable dans le temps comme en Fig. 2.1 et 2.2 mais encore de mouvements de ses points d’appui, ou points d’ancrage. D’importants exemples de ce type d’excitation sont les mouvements communiqués aux fondations d’un bâtiment par des secousses sismiques, ou les mouvements communiqués au bâti d’une machine par les vibrations du bâtiment qui l’abrite. La Fig. 2.3 représente un modèle simplifié du problème que posent les excitations par séisme ; les déplacements horizontaux du sol sont repérés par le déplacement vg de la base de la structure par rapport à l’axe fixe de référence. La poutre transversale de ce portique est supposée rigide ; ôn suppose égale­ ment qu’elle contient toute la masse mobile de la structure. Les colonnes verti­ cales sont supposées sans masse et inextensibles dans la direction verticale (axiale) ; la résistance opposée par les colonnes aux déplacements de la poutre est représentée pour chaque colonne par une constante de rappel élastique k /2.La masse possède donc un seul degré de liberté v, qui provient de la possi­ bilité de flexion des colonnes ; l’amortisseur visqueux de constante c oppose à cette déformation une résistance proportionnelle à la vitesse du déplacement. Comme le suggère la Fig. 23b, l’équilibre des forces de ce système s’écrit f, + fo + fs = 0

(2-16)

///////////////////s '//jz fs fo fs fü

U

1

2

fc i ri

m

m ■W

x

T. P(t) (a) Fig. 2.2

[s

p(t) (b)

—i— iw

fo

ÙL 2

(b) —— s/

Déplacement statique

P(t) (c)

Influence de la pesanteur sur l'équilibre d'un système à un degré de liberté.

Fig.2.3 Influence d'une excitation d'appui sur l'équilibre d'un système à un degré de liberté : (a) mouvement du système ; (b) forces participant à l'équilibre.

où les forces d’amortissement et de rappel élastique peuvent s’exprimer comme dans les Eqs. (2.2). Dans ce cas cependant, la force d’inertie est donnée par f I = m i)t

(2-17)

où v f représente le déplacement total de la masse par rapport à l’axe de référence. En remplaçant par leur valeur dans l’Eq. (2.16) les forces d’inertie, d’amortissement et de rappel élastique, on obtient mv* + cv + kv = 0 (2-18) Pour résoudre cette équation, il faut d’abord pouvoir exprimer toutes les forces en fonction d’une seule variable ; on peut le faire si on remarque que le dépla­ cement total de la masse est égal à la somme du mouvement du sol et du déplacement dû aux déformations des colonnes, à savoir v*=-v + vg

(2-19)

Si on exprime la force d’inertie en fonction des deux composantes d’accélé­ ration obtenues par dérivation de l’Eq.(2.19),et si on reporte dans l’Eq. (2.18), on obtient mv -f mvg + ci) + kv = 0 (2-20)

pour lesquels les déformations peuvent être continues dans l’ensemble de la structure ou au sein de quelques-uns de leur composants. Dans les deux cas, on contraint la structure à se comporter comme un système à un degré de liberté par l’hypothèse suivant laquelle des déplacements d’une seule allure donnée peuvent se produire. Pour la classe de structures formées d’un assemblage de corps rigides et dont il est question dans ce paragraphe, il est fréquent que la limitation à une seule allure de déplacement soit une conséquence de la configuration de l’assem­ blage ; c’est-à-dire que les déplacements des corps rigides sont contraints par des rotules, si bien qu’un seul type de déplacement est possible pour l’ensemble. Pour les structures à caractéristiques élastiques réparties considérées au § 2.7, la réduction à cette forme permettant de n’avoir qu’un degré de liberté unique ne constituera qu’une hypothèse simplificatrice ; en réalité, des caractéristiques élastiques réparties autorisent une variété infinie de dépla­ cements. Pour formuler les équations du mouvement d’un assemblage de corps rigides, les forces élastiques créées par des déplacements correspondant à un Barre uniforme

et comme l’accélération du sol représente l’excitation dynamique donnée de la structure, l’équation du mouvement peut s’écrire sous la forme simple suivante : mv -f ci) + kv = —mi)g(t) = ptu(t) (2-21)

/o ~mu h

Dans cette équation peff(0 représente le chargement effectif dû à l’exci­ tation des appuis ; autrement dit, la structure répond à l’accélération du sol vg(t) exactement comme elle répondrait à un chargement extérieur p(t) égal au produit de la masse et de l’accélération du sol. Le signe négatif dans l’Eq. (2.21) indique que la force effective s’oppose à l’accélération du sol ; cela ne présente que peu d’importance en pratique, d’autant plus que l’excitation de la base doit généralement être considérée comme agissant suivant une direction arbitraire. 2.5

m = mL

m = masse linéique

Plaques uniformes

Tb

m

2

I

&

*m - yab

7 = masse surfacique

Systèmes particuliers à un degré de liberté : assemblage de corps rigides

Tous les cas considérés jusqu’à présent étaient extrêmement simples, car chacune des caractéristiques physiques —masse, amortissement et élasticité était représentée par un composant isolé et unique. Mais l’étude de la plupart des systèmes réels requiert l’utilisation d’idéalisations plus compliquées, même pour les structures auxquelles nous nous intéressons à présent et qui sont celles que l’on peut assimiler à des systèmes à un seul degré de liberté. Pour notre propos il sera plus pratique de distinguer deux classes de systèmes généralisés à un degré de liberté : (1) les assemblages de corps rigides dans lesquels les déformations élastiques sont strictement limitées à des éléments ressorts localisés, et (2) les systèmes possédant des caractéristiques élastiques réparties,

Jo =m(iir->

K *K H Fig. 2.4

Masse et moment d'inertie massique de quelques corps rigides.

degré de liberté unique peuvent s’exprimer facilement en fonction de l’ampli­ tude du déplacement, car chaque élément élastique est un ressort discret soumis à une déformation donnée. De même les forces d’amortissement peuvent être exprimées en fonction des vitesses relatives des points d’accro­ chage de chaque amortisseur. Mais en revanche la masse des corps rigides n’est pas nécessairement concentrée, et les accélérations supposées produiront généralement des forces d’inertie réparties. Le plus efficace pour notre étude dynamique consistera cependant généralement à traiter les forces d’inertie d’un corps rigide comme si la masse et le moment d’inertie massique étaient concentrés au centre de masse. Les résultantes d’inertie ainsi obtenues sont entièrement équivalentes aux forces d’inertie réparties dans la mesure où c’est le comportement d’ensemble de l’assemblage qui est concerné. (Il est de même souhaitable de représenter toutes les charges extérieures réparties agissant sur les corps rigides par leurs résultantes.) On a regroupé en Fig. 2.4 les masses et les moments d’inertie massiques d’une barre prismatique et de diverses plaques uniformes.

Nous utiliserons ici la méthode des travaux virtuels ; signalons que le principe de Hamilton serait tout aussi applicable. Pour la forme du déplacement susceptible de se produire dans cette structure à un degré de liberté (Fig. E2.2), la flèche Z (t) au niveau de

EXEMPLE E2.1 Un exemple possible d’assemblage de corps rigides consiste en deux barres rigides liées par une rotule en B et portées par un pivot en A et un galet en C (voir Fig. E2.1). Une excitation dyna-

la rotule peut être prise pour variable de base, et tous les autres dépla­ cements peuvent être exprimés en fonction de cette variable ; par exemple DD' = Z/4, E É = 3Z/4, FF* —'2Z/3, etc. Les forces agissant sur le système (sauf la force axiale N sur laquelle nous reviendrons plus tard) sont également représentées sur la figure. Chaque force résistante peut être exprimée en fonction de Z ou de ses dérivées par rapport au temps :

Fig. E2.2

Déplacements d'un système à un degré de liberté et les forces qui en résultent.

/ S1 = k ,(£ £ ') = fc,3/4Z(t) f s2 = k2(GG') = k2l/ 3Z(t) DD'^J = c,V4Z('2

+ k*Z - k*Z - p*ff(0 ] àZ dt =-- 0

ou

m* = J

(2-27)

(2-32)

m{x)\j/2 dx = masse généralisée

k* = j* E l (x)(\j/")2 dx = rigidité généralisée L’énergie potentielle de la charge axiale N est donc donnée par (2-33) (2-28)

k% = N j* ( * ? dx = rigidité géométrique généralisée

où le signe négatif apparaît parce que le potentiel de la force N est réduit par le déplacement e(t). Remarquons au passage que si la force axiale N variait avec la cote le long de la tour (en tenant par exemple compte du poids propre de la structure), il ne serait nécessaire de modifier l’Eq. (2.28) que par l’inclusion de l’expression de la force axiale sous le signe d’intégration. Dans le système de la Fig. 2.5 il n’y a pas de charges dynamiques directe­ ment appliquées, et on a négligé l’amortissement. En conséquence le principe de Hamilton prend la forme

PeffCO = —vg j* m(x)ij/ dx = charge effective généralisée

VK = - f £

[>'(*,0 ] 2 dx

J ' 2 Ô(T - V) dt = 0

Mais comme la variation ÔZ est arbitraire, le terme entre crochets dans l’Eq.(2.32) doit s’annuler; l’équation du mouvement peut donc finalement s’écrire m*Z(t) + Jc*Z(0 = p*ff(0

(2-34)

où £* = & * est la rigidité généralisée combinée du système.

(2-35)

La charge critique de flambage peut se calculer par la même méthode que celle qui a été utilisée dans l’Exemple E2.1 : en posant la rigidité généralisée combinée égale à zéro ; ainsi : JE* = k* - k* =

JLE I { x W ) 2 dx

En tenant compte de la force axiale N, la rigidité géométrique généra­ lisée de la tour est, par l’Eq. (2.33),

- N cr J L m 2 dx = 0 et la combinaison avec l’Eq.(c) donne la rigidité généralisée combinée

d’où £■ E I ( x W ) 2 dx --------------N„ = ')2 dx

(2-36)

J>

JE* = k* - k* = G 32L3

..

n4EI 8L

(a)

Par application des Eqs.(2.33), les masse et rigidité généralisées de la tour sont m* = J

m(\j/)2 dx = m j* ^1 — cos

dx = 0.22SmL

* j ; ( £ « g y * . g f?

(b)

«

G

m\j/ dx = mvg(t) j* ^1 - cos

0.228m L l{î) + Ï E

(d)

Si on néglige la force axiale, l’équation du mouvement donnée par l’Eq. (2.34) est donc 0.228mLZ(0 + ^

Z(l) = 0.364mLvt(t)

( i - J p j Z(t) = 0.364mLü9(f)

(e)

°

(j)

On peut bien entendu essayer pour ÿ (x) toute autre allure satisfaisant aux conditions géométriques de frontière de la structure. Si par exemple la forme des déplacements est supposée parabolique, (x,y)]2 dA + £

(2-41)

Attirons l’attention sur la nature vectorielle des grandeurs de force et de déplacement qui apparaissent dans cette dernière équation. Seules peuvent y figurer des composantes de déplacement dans la direction des charges appli­ quées, et leur sens dépend du sens des charges. Autrement dit, l’Eq. (2.41) représente en réalité le travail effectué par les charges lors d’un déplacement unité le long de la coordonnée généralisée Z(t). Ainsi qu’il a déjà été signalé à propos de l’Eq. (2.35), la rigidité généralisée combinée k* est donnée par k* =k* — kfe . Ces coordonnées généralisées s’appliquent de même et tout aussi bien à la réduction de systèmes bidimensionnels à un seul degré de liberté. Considérons par exemple la dalle rectangulaire qui est représentée à la Fig. 2.7. Si les flèches de cette dalle sont supposées avoir l’allure représentée, et si l’amplitude du déplacement central est prise pour coordonnée généralisée, alors les dépla­ cements peuvent s’exprimer par w(x,y,t) = >j/(x,y)Z(t)

Plaque bidimensionnelle traitée comme un système à un degré de liberté.

(2-40a)

Enfin, la force généralisée associée au chargement latéral et variable dans le temps de la Fig. 2 .6 /est p*(t) = J* pCM)i

Fig. 2.7

(2-43)

mais toute autre allure raisonnable compatible avec les conditions d’appui pourrait être utilisée. Les caractéristiques généralisées de ce système peuvent alors se calculer par des expressions équivalentes à celles présentées pour un élément unidimension-

(2-44)

Les expressions correspondantes pour la rigidité généralisée et la forme généra­ lisée d’une structure uniforme de type plaque sont

p* = J*^ p(x,y)i/'(x)y) dA + 2 Pi^i

(2-46)

D —Eh3/ 12(1 —u2) = raideur en flexion la plaque P(x»y ) ~ chargement réparti sur la plaque v = coefficient de Poisson h = épaisseur de la plaque

OU

On voit facilement que les mêmes techniques peuvent être appliquées sans difficulté à des systèmes tridimensionnels tels que des masses de terre ou de béton ; avec cette fois une fonction de déplacement adéquate à trois dimen­ sions. Mais la difficulté du choix d’une allure appropriée s’accroît rapidement avec le nombre de dimensions du système, et la confiance à accorder aux résultats diminue en conséquence.

Problèmes

2A

Pour le système représenté en Fig. P2.1, déterminer les caractéristiques physiques généralisées m*, c*, k * et le chargement généralisé p*(0, tous définis au moyen de la coordonnée de déplacement Z(f). Exprimer les résultats en fonction des caractéristiques et des cotes données.

2.4

Pour traiter la colonne de la Fig. P2.4 comme un système à un degré de liberté, on définit sa déformée comme Z(t)

\L J \2

2L j

En dénotant la masse linéique (uniformément répartie) par m, la raideur (uniforme) par El, et la charge linéique (uniformément répartie) par p (t), calculer les caractéristiques physiques généralisées m* et k* et le charge­ ment généralisé p* (t). Fig. P2.1

2.2

zu)

Reprendre l’énoncé du Prob. 2.1 pour la structure de la Fig. P2.2. IL

H

Colonne uniforme: m = masse linéique £7= raideur en flexion

ici.

Fig. P2.4

2.5

2.3

Reprendre l’énoncé du Prob. 2.1 pour la structure de la Fig. P2.3. (Indi­ cation : ce système n’a qu’un degré de liberté dynamique car les ressorts dirigent complètement le mouvement relatif des deux barres rigides.) p (t)

2.6

Barre rigide et sans masse Barre uniforme rigide (Masse totale .= m)

Z(t)

V&M

^

. n x . ny

^(x.y) = sin — sm — a a

1

X 2.7

Fig. P2.3

(a) Si une charge N verticale et dirigée vers le bas est appliquée au som­ met de la colonne du Prob. 2.4, calculer sa rigidité généralisée combi­ née k * en utilisant la même fonction de déformée ÿ(x). (b) Reprendre la partie (a) en supposant que la force axiale dans la co­ lonne varie linéairement sur sa longueur comme N(x) = N ( 1 - x /L ) . Supposons que la dalle uniforme de la Fig. 2.7 soit carrée, de côté a, et qu’elle soit sur appuis simples sur les quatre côtés. (a) Si sa masse par unité d’aire est y et sa raideur en flexion Z), déter­ miner ses caractéristiques généralisées m* et k* en fonction de la coordonnée Z (t) de déplacement au centre. Supposer que la fonc­ tion de déplacement est

(b) Le chargement extérieur (uniformément réparti) par unité d’aire est p(t). Déterminer le chargement généralisé p*(r) en prenant la fonction de déplacement de la partie (a). Le diamètre extérieur, la hauteur et les propriétés du matériau d’une cheminée conique en béton sont représentés en Fig. P2.5. En supposant

y 2.40 m

1TX *00=1 ■cos 2L

60 m

t j / / f

Corps de cheminée en béton : densité = 2 400 kg/m 3 £ = 2 x 1010 N/m 2 épaisseur de la paroi = 20 cm

Oscillations libres

3.1 Résolution de l'équation du mouvement Fig. P2.5

■5.40 m

que l’épaisseur de la paroi est uniforme et égale à 20 cm et que la forme fléchie est donnée par cos nx IL calculer la masse généralisée m* et la rigidité généralisée k* de la struc­ ture. Utiliser la règle de Simpson pour évaluer les intégrales, et faire inter­ venir dans les sommations les valeurs des intégrandes correspondant aux sections de la base, du milieu et du sommet. Par exemple AY m* = — (y0 + 4yx + y2) 3 o ù ^ = m ^ j est évalué au niveau

Il a été montré au Chapitre 2 que les équations du mouvement de tout système à un degré de liberté pouvaient se réduire à la forme m*Z(0 + c*Z(t) -h E*Z(0 = p*(t) Cette équation est entièrement équivalente à l’équation du mouvement d’un système simple masse-ressort avec amortissement, Fig. 3.1, qui peut s’écrire mv(t) -f cv(t) + kv(t) = p(t)

(3-1)

Il sera facile d’utiliser l’Eq. (3.1) et de visualiser la réponse de ce système simple ; on pourra cependant se rappeler que les résultats obtenus s’appli­ queront également à la réponse en coordonnées généralisées de tout système complexe assimilable à un système à un degré de liberté. La solution de l’Eq. (3.1) sera obtenue en considérant d’abord l’équation homogène obtenue en annulant le second membre : mv(t) + cv(t) + kv(t) = 0

(3-2)

Les mouvements du système en l’absence de chargement sont appelés oscil­ lations libres, et c’est la réponse en oscillations libres que nous allons à présent étudier. La solution de l’Eq. (3.2) s’écrit : vit) = Gest

(3-3)

En substituant cette expression dans l’Eq. (3.2).on obtient (ms2 + es -f k)Gest = 0 En simplifiant par mGest et en posant m

(3-4)

m -vOQQQr-

Fig. 3.1

k

Système élémentaire à un degré de liberté.

l’Eq. (3.4) devient s2 + — s + œ2 = 0 m

(3-6)

La valeur de s calculée à partir de cette équation dépend de la valeur de c : le type de mouvement représenté par l’Eq. (3.3) dépendra donc de l’amortis­ sement présent dans le système. 3.2 Oscillations libres non amorties

S’il n’y a aucun amortissement dans le système, c’est-à-dire si c = 0, il est évident que la valeur de s obtenue à partir de l’Eq. (3.6) est : s = ‘± iœ (3-7) La solution donnée par l’Eq. (3.3) est donc 'KO = G #** + G2e~iat

@-8)

Les deux termes de cette expression correspondent aux deux valeurs de s, et les constantes Gl et G2 représentent les amplitudes (encore indéterminées) du mouvement. Par utilisation de l’équation d’Euler e±itat = cos œt ± i sin cot

(3-9)

l’Eq. (3.8) peut se reformuler sous la forme plus commode suivante : v(t) = A sin œt + B cos œt

(3-10)

où les constantes A et B peuvent s’exprimer en fonction des conditions initiales, c’est-à-dire du déplacement t»(0) et de la vitesse û(0) à l’instant t = 0 où commencent les oscillations libres du système. On voit immédiatement que u(0) = B et que v(0) = Aco. L’Eq. (3.10) devient donc v(t) =

sin œt + iw+1. De FEq. (3.27) on tire le rapport des amplitudes de ces deux pics :

(3-26)

K)

= exp ( 2nÇ — 1 Cette réponse peut également s’écrire sous la forme d’un vecteur tournant : v(t) = pe~i(0), mais une vitesse initiale nulle 0(0) = 0 (ce que l’on obtient en relâchant la masse à partir d’une position déplacée immobile). On peut remarquer que le système sous-amorti oscille de part et

soit, avec l’Eq. (3.24), * -

^ L . (m o Vi - £2 Pour de faibles amortissements cette dernière équation peut s’approcher par t

(*) = e~i -J — {________ 1________ ] 1/2 _ p0 cos 0 k 1 - p 2 \ l + [2S0/O - p 2) f j

0 Fig. 4 A Variations du facteur d'amplification dynamique en fonction de l'amortissement et de la fréquence.

k 1 - p2

( ) W

où la fonction trigonométrique a été déduite de l’Eq. (4.22). En simplifiant on obtient k( 1 — p 2) = k - œ 2m -

P

Bien que l’on en soit proche, ceci ne représente pas la réponse maximum exacte des systèmes amortis ; le rapport des fréquences à la réponse maximum exacte peut s’obtenir en annulant la dérivée de l’Eq. (4.24) par rapport à fi. Pour les structures courantes, dont le coefficient d’amortissement £ est inférieur à 1/%/T, on trouve que la fréquence du pic de la réponse est :

et en disposant sous forme matricielle on obtient

C

2 500

0.966 2.06 x 10 - 4 0.574 4.17 x 10~4

Ppic = V l -

(4-26a)

2?

et la valeur du pic est :

ce qui donne k = 1.75 x 107 N/m

Dm x = ----- (4-26i>)

m = 22 500 kg

e Pour de faibles amortissement il y a très peu de différence entre les valeurs obtenues par les Eqs. (4.26Ô) et (4.25). Pour une meilleure compréhension de la nature de la réponse résonante d’une structure à un chargement harmonique, il est nécessaire de considérer l’équation générale de la réponse (4.20), dans laquelle interviennent à la fois le terme permanent et le terme transitoire. A la fréquence de résonance (fi = 1) cette équation devient : 2*vi -

D’où la fréquence propre - = 27.S a = = /I — 27.9 rad/s Vm

Pour déterminer le facteur d’amortissement, on peut déduire des Eqs ( 2 (1.75 x 10 4.3 Résonance

La Fig. 4.4 montre qu’un pic de la réponse en oscillation permanente se produit, pour les systèmes peu amortis, à un rapport des fréquences proche de l’unité. Dans le cas où ce rapport est égal à l’unité, c’est-à-dire lorsque la fréquence du chargement appliqué est égale à la fréquence naturelle de vibra­ tion , il se produit le phénomène de résonance. Si on considère l’Eq. (4.13) il est évident que la réponse d’un système non amorti en état de résonance tend vers l’infini. L’Eq. (4.24) met en évidence une propriété plus générale de la résonance (jS= 1) : le facteur d’amplification dynamique est inversement proportionnel au facteur d’amortissement. Ce résultat est général : (4*25)

v(t) = e~i 1, t > t j) t>„ „ 2p n -Eîî- = — - cos — P o /k

1 - p 2

2p

EXEMPLE E6.1 II s’agira de la détermination de la réponse maximum à une impulsion sinusoïdale de longue durée, où le maximum se produit alors que la charge est en train d’agir. Considérons le cas où P = 2/3 (03 = 2/3 co ou t x = 3/4 T) ; l’Eq. (6.4) donne

—

i p â

- >

p h a s e i Une charge appliquée de manière instantanée et constante durant la phase I est appelée échelon. La solution- particulière pour un chargement en échelon est simplement la flèche statique correspondante :

et en reportant cette valeur dans l’Eq. (6.1) le facteur d’amplification dynamique devient D = — ^-JT- (sin *j5n - 2/ 3 sin 6/ sn) = 1.77 1~ b Comme exemple spécifique d’impulsion de courte durée, où la réponse maximum se produit durant la phase de vibration libre, prenons le cas où P = 4/3 (03 = 4/3 co ou t 1 = 3/8 T). Dans ce cas le facteur d’amplification dynamique se déduit de l’Eq. (6.6).

vp

= J

(6 -7 *)

On tire de ce résultat la solution générale, avec des constantes de vibration libre calculées pour satisfaire aux conditions initiales (repos) : (Pour 0 < t < t t )

t 0)

v(t) =

co

sin coï -f i ^ ) cos col

(6-8)

Pour cette impulsion rectangulaire, il est évident que la réponse maximum se produira toujours dans la phase I s i t ^ 772,et que le facteur d’amplification dynamique D est 2 dans ce cas. Pour des chargements de plus courte durée, la réponse maximum se produira pendant la vibration libre de la phase II, et l’amplitude de la réponse sera donnée par l’Eq. (3.15) : P = ^mai =

+ M * .)]2

(6-9)

p hase i Dans cette phase le chargement s’écrit p 0( 1 —t / t x), et on montre aisément que la solution particulière correspondant à ce chargement s’écrit

(6- 11) On suppose des conditions initiales nulles ; on calcule les constantes de la vibration libre et on obtient

Avec v (t) = p 0oj/k sin cot et oj = 2 n/T ceci devient v(t) =

p0 /'sin œ t t \ ( ----------- cos œ t ------- + 1 l c \ œ ti h J

(6-12)

PHASE II Les valeurs de l’Eq. (6.12) et de sa dérivée première à la fin de la phase I (t — t i ) donnent

v(.h)

_ p0 /sin œti k \ œ tl

cos œt

_ Poœ /co s œ îl + sin œ tt Hti) = k \ œ tx Ainsi le facteur d’amplification dynamique varie comme le sinus du rapport t j T pour les rapports inférieurs à 1/2.

6.4 Impulsion triangulaire

Le dernier chargement en impulsion que nous considérerons sera l’impulsion triangulaire décroissante, Fig. 6.5.

(6-13)

1 œ tt

Elles peuvent être reportées dans l’Eq. (6.2) pour obtenir la réponse en vibra­ tion libre de la phase II. De même que dans les autres exemples, on détermine les valeurs maximales de ces fonctions en calculant leurs valeurs aux instants de vitesse nulle. Pour un chargement de très courte durée ( t l /T < 0.4) la réponse maximum se produit durant les vibrations libres de la phase II ; dans les autres cas elle se produit durant l’intervalle de chargement (phase I). Des valeurs du facteur d’amplification dynamique D = vmax/(p0/k ) calculées pour diverses durées de chargement sont présentées en Table 6.1. Table 6.1 Facteur d'amplification dynamique dans le cas d'une impulsion triangulaire.

hI T

0.20

0.40

0.50

0.75

1.00

1.50

2.00

D

0.60

1.05

1.19

1.38

1.53

1.68

1.76

6.5 Spectres de réponse ou spectres de choc

D’après les résultats précédents on voit que la réponse maximale produite dans une structure sous-amortie à un seul degré de liberté par une forme donnée de chargement en impulsion, ne dépend que du rapport t x/T entre la durée de l’impulsion et la période naturelle de la structure. Il est donc intéressant de tracer le facteur d’amplification dynamique D en fonction de t xlT pour di­ verses formes de chargements en impulsion. Par exemple, le contenu de la Table 6.1 a été tracé sous forme de courbe en Fig. 6.6. Des tracés analogues,

taie doit être égal en module à la force de rappel élastique kvmiX. Il est donc évident que les spectres de réponse de la Fig. 6.6 peuvent être utilisés pour dé­ terminer la réponse maximum en accélération en présence de charges impul­ sives. Utilisés dans ce but, on appelle généralement ces tracés spectres de choc. EXEMPLE E6.2 Utilisons un spectre de choc pour évaluer la réponse maximum d’une structure à une charge impulsive. Le système de la Fig. E6.1 représente un bâtiment d’un seul étage soumis à une explosion. Pour le poids et la rigidité donnés, la période de vibration est 2n Tm / 3 x 105 T = — = 2?r / — = 2tt / ----------- r = 0.082 s co J k J 1.75 x 109 Masse totale = 3 0 0 t

P (t)

Rigidité latérale totale k = 1.75 x 109 N /m

Fig. 6.6

Spectres de la réponse en déplacement pour trois types d'impulsions.

m zrn

correspondant à d ’autres formes de charges impulsives, apparaissent également sur cette figure ; ces courbes sont connues sous le nom de spectres de réponse en déplacement, ou simplement spectres de réponse des charges impulsives. On peut généralement utiliser ce genre de tracés pour obtenir une approximation acceptable de l’effet maximum à attendre d ’un type de chargement impulsif donné agissant sur une structure simple. Ces spectres de réponses permettent également de prédire la réponse de la structure à une accélération impulsive appliquée à sa base. Si cette accélération est v J t) , elle produira un chargement impulsif effectif peff(t) = — mvg (t) [voir nq. (2.21)]. Si l’accélération maximum de la base est notée vgQ, la charge impulsive effective maximum sera = — müg0- ^ facteur d’amplification dynamique devient donc D =

mVgolk

(6-14)

où en général seul le module de la réponse présente un certain intérêt. On peut encore écrire cela comme D =

(6-15) go

où ÿJnax est l’accélération totale maximum de la masse ; cela provient du fait que dans un système non amorti le produit de la masse et de l’accélération to-

Force élastique de rappel

fs = kv Fig. E6.1

Bâtiment à un degré de liberté soumis à une explosion.

Le rapport de durée de l’impulsion est donc t.

0.05 1 ~ *------ = 0.61 T 0.082 et vu la Fig. 6.6 le facteur d’amplification dynamique est D = 1.33. Le déplacement maximum sera donc 5 x 106 = D — = 1.33--------- - s = 3.8 x 10 3 m = 3.8 mm k 1.75 x 10 et les forces élastiques maximales produites seront fs, max = fctfma, = (1-75 x 109) (3.8 x 10"3) = 6.65

X

106 N

Si la durée de l’impulsion avait été dix fois moindre ( tx = 0.005 s), le facteur d’amplification dynamique pour le rapport t J T — 0.061 aurait été D = 0.44 seulement et les forces résistantes élastiques n ’auraient été que d e fs = 2.2 x 106 N. Ainsi, pour une impulsion de très courte durée une grande partie de la charge appliquée est absorbée par l’inertie de la structure, et les contraintes sont beaucoup plus faibles que celles qui seraient dues à un chargement de plus longue durée.

Pour t > t x, la force appliquée est égale à zéro et la réponse est une vibration libre :

6.6 Calcul approché de la réponse à un chargement par impulsion

L’étude des spectres de réponse présentés en Fig. 6.6 pour des impulsions rectangulaire, triangulaire et sinusoïdale et pour d’autres cas de chargement nous permet de tirer les deux conclusions suivantes :

v(i) =

sin coï + v(tx) cos coï

co

1 Dans le cas de chargements de longue durée, par exemple t x/ T > 1, le facteur d’amplification dynamique dépend principalement de la vitesse à laquelle la force atteint sa valeur maximum. Un chargement en échelon appliqué pendant un temps suffisamment long produit un facteur d’amplification dynamique D = 2. Un accroissement très progressif de la force conduit à un facteur égal à l’unité. 2 Dans le cas de chargements de courte durée, par exemple t xjT < 1/4, l’amplitude du déplacement maximum t>max dépend principalement de

où i = t - t x . Or v ( tx) est suffisamment petit pour être négligé en pratique, et de plus v (tx) = At;. On peut donc utiliser l’expression approchée suivante :

la valeur de l’impulsion appliquée I = J ti p ( t ) d t et n’est que peu

EXEMPLE E 63 Illustrons l’utilisation de cette formule approchée avec la structure et le chargement impulsif décrits par la Fig. E6.2 Dans ce cas

influencée par sa forme. Le facteur d’amplification dynamique D, par contre, dépend directement de la forme de la fonction chargement car il est proportionnel au rapport entre l’aire délimitée par la fonction chargement et l’amplitude maximum au pic de cette même fonction. Ceci apparaît très bien sur la Fig. 6.6 si on s’intéresse à la réponse dans le domaine des petites périodes. L’amplitude vmax est donc la grandeur la plus significative permettant de mesurer la réponse. Une méthode commode pour approcher la réponse maximum à un charge­ ment en impulsion de courte durée consiste donc à exprimer la variation de quantité de mouvement d’une masse m m Av = j* [ p ( 0 — kv(t)~\ dt

v(ï) = - i - ( | p(t) dt \ sin coï ™ co\Jo J

œ = \/k /m = 3.14 rad/s et

v(t) =

5

x 10"

106 (3.14)

sin cot

Le maximum de la réponse est obtenu pour sin co t = 1, ce qui corres­ pond à : tfmax = 1.59 cm tp (f)

H | - /wmwir 9.86 x 106 N/m

m=

PU)

106 kg

rn^Æ w m -O .ls-^O .ls-^-O .ls-^ Fig. E6.2

m Av = j 'p ( t) d t

p (t) d t = 5 x 104 N.s. La réponse

est donc approximativement

(6-16)

où Ai; est la variation de vitesse produite par l’application de l’impulsion p (t). On notera que pour les impulsions de courte durée le déplacement v ( t x) produit est de l’ordre de grandeur de (tx)21 alors que la variation de vitesse A v est de l’ordre de grandeur de t x. Comme l’ordre de grandeur de l’impulsion appliquée est également t x, le terme de rappel élastique kv(t) tend vers zéro avec t x et est négligeable dans cette équation dans le cas des impulsions de courte durée. L’équation précédente peut donc s’écrire de la manière approchée suivante :

(6-19)

Etude approchée de la réponse à une explosion.

(6-17) L’effort élastique maximum produit dans la structure est

ou encore 1 f '1

Av = — |

f s ,mai = p(t) dt

(6-18)

= (9.86 x 106) (t .59 x 10"2) = 1.57 x 105 N

Si on remarque que la période propre de vibration de ce système est T = 2tt/cj = 2 s, la même étude avec t l /T = 0.15 pourra être considérée

comme très valable. En fait, l’utilisation de la méthode d’intégration directe aurait conduit à un déplacement maximum vmax = 1.56 cm au lieu de 1.59 cm, soit une erreur inférieure à 2 %.

de la tour en utilisant l’Eq. (6.19) et en calculant l’intégrale de l’impul­ sion à l’aide de la méthode de Simpson : j p dt = y (p0 + 4pt + lp 2 + 4/>3 + pA)

Problèmes

6.1

6.2

On considère le système dynamique de la Fig. 3.1 avec les caractéris­ tiques suivantes : m = 300 kg et k = 1.75 x 105 N/m. On suppose qu’il est soumis à une impulsion de forme sinusoïdale (Fig. 6.2) d’amplitude p Q = 2 500 N et de durée t x = 0.15 s. Déterminer : (a) L’instant auquel se produira la réponse maximale, (b) La force de rappel maximale produite par le chargement ; vérifier ce résultat avec celui obtenu par utilisation de la Fig. 6 .6 . Une impulsion triangulaire qui s’accroît linéairement de zéro à sa valeur maximale est exprimée par p (t) = p ^ t / t ^ (0 < t< t x). (a) Obtenir une expression pour la réponse à ce chargement d’une struc­ ture à un seul degré de liberté, partant de conditions “au repos” . (b) Déterminer le facteur de réponse maximale Fig. P6.1

6.3

résultant de ce chargement si t x = 3 7r/co. On donne l’impulsion suivante : p(t) = p0 cos œ tl 0 < t <

( - ■ i )

(a) Obtenir une expression pour la réponse à cette impulsion avec des conditions initiales au repos. (b) Déterminer le facteur de réponse maximale P o lk

6.4

6.5

Le système à un seul degré de liberté de la Fig. 3.1, avec les caracté­ ristiques k = 3.5 x 106 N/m et m = 700 t est soumis à une impulsion triangulaire de la forme de la Fig. 6.5 avecp 0 = 7.5 x 104 N et t x = 0.15 T. (a) En utilisant les spectres de choc de la Fig. 6 .6 , déterminer la force de rappel maximale fsm&x (ressort). (b) En utilisant l’Eq.(6.19), calculer approximativement le déplacement et la force maxima pour le ressort ; comparer avec le résultat de la partie (a). Le château d ’eau de la Fig. P6 .I0 peut être traité comme une structure à un seul degré de liberté ayant les caractéristiques suivantes : m = 700 t, k = 7 x 106 N/m. A la suite d’une explosion, l’ouvrage est soumis à une charge dynamique dont l’histoire est représentée en Fig. P6.1 b. Calculer approximativement le moment de renversement maximum 0Tcoà la base

Réponse d'un château d'eau à une explosion.

Réponse à une excitation dynamique quelconque

7.1

Intégrale de Duhamel pour un système sans amortissement

La procédure exposée au Chapitre 6 , qui donne une réponse approchée à une impulsion de courte durée, peut être généralisée au cas d’une excitation dynamique quelconque. Considérons un chargement dynamique quelconque p ( t ), Fig. 7.1. Pendant la fraction de temps d t il fait subir à la structure une impulsion p { r ) d r , et on peut utiliser TEq. (6.19) pour calculer la réponse. Bien qu’approchée pour une durée courte mais finie, la méthode devient exacte lorsque d r devient infiniment petit. Ainsi, pour t > t la réponse pro­ duite par le chargement p(t) est d v ( t ) = É Ù J l sin c o ( t -

t)

(7 -1 )

mco Dans cette expression exacte au sens mathématique,dv(t) est l’expression diffé­ rentielle de la réponse à l’impulsion p (f) dr, pour t > r . Ce n ’est pas la varia­ tion de v pendant la durée dt.

!

/ / / / P(t ) / / /

r

7

^

1

"*1 «•----- >dr

—

£ --^ --y C -- (t -

T)

Réponse dv(t) Fig. 7.1

Détermination de l'intégrale de Duhamel (système non amorti).

La fonction complète peut alors être considérée comme une succession d’impulsions, chacune produisant une réponse du type exprimé dans l’équation précédente. En intégrant de 0 à t, on obtient donc la réponse de ce système linéaire à l’instant t : v(t) = — f p(x) sin œ(t - x) dx mco Jo

f p(x)h(t — x) dx

h(t — x) = — sin œ(t — t) mœ

7.2

œ

sin cot + i?(0) cos œt + - î — f p(x) sin œ(t — x) dx mœ Jo

(7-6)

1 r A (t) = ---p(x) cos œx dx mœ Jo

avec

(7-7)

1 ff B(t) = ---p(x) sin œx dx mœ Jo

Le calcul numérique de l’intéjrale de Duhamel requiert donc le calcul numérique des intégrales À (t) et B (t). Considérons par exemple la première ; la fonction à intégrer est décrite graphiquement en Fig. 7.2. Pour simplifier le

(7-3)

(7-4)

L’Eq. (7.3) est appelée intégrale de convolution. Lorsque l’on calcule la réponse d’une structure à un chargement arbitraire en utilisant l’équation ci-dessus, on peut parler d’obtention de la réponse dans le domaine des temps. La fonc­ tion h(t — r ) est généralement appelée réponse à une impulsion unité (définie ici pour un système non amorti) car elle exprime la réponse du système à une impulsion de valeur unité appliquée à l’instant t = r . Il a été supposé à l’Eq. (7.2) qu’à l’instant t — 0 le système était au repos. Dans le cas contraire, si v(0) =£ 0 ou i>(0) 0, la solution générale comprend des termes complémentaires de vibration libre. Dans le cas général : v(t) =

v(t) = A (t) sin œt - B(t) cos œt

(7-2)

expression généralement connue sous le nom d ’intégrale de Duhamel pour les systèmes sans amortissement. On peut l’utiliser pour calculer la réponse d’un système à un degré de liberté, non amorti, soumis à une excitation quelconque. Dans le cas d’une fonction de chargement entièrement quelconque, on aura bien sûr recours à une intégration numérique. L’équation précédente (7.2) peut également s’écrire KO -

OU

p( r ) cos cor = y{r)

(7-5)

Calcul numérique de l'intégrale de Duhamel pour un système sans amor­ tissement

Si la fonction décrivant le chargement appliqué est intégrable, la réponse dynamique de la structure peut être déterminée par une formule d’intégration, Eq.(7.2) ou (7.5). Dans de nombreux cas cependant, le chargement n’est connu que sous la forme de données expérimentales et la réponse doit être calculée par des procédés numériques. Dans ce genre de calculs il est utile de connaître l’identité trigonométrique sin (cot — cor) = sin cot cos cot — cos cot sin cor, et d’écrire l’Eq. (7.2) sous la forme (pour des conditions initiales nulles)

Fig. 7.2 Formulation du procédé numérique de sommation pour l'intégrale de Duhamel.

travail numérique, la fonction a été calculée pour des incréments de temps égaux Ar, les valeurs successives de la fonction étant repérées par des indices adéquats. La valeur de l’intégrale peut alors être obtenue de manière approchée en sommant ces ordonnées après pondération par des facteurs appropriés. Mathématiquement : m

= — I yi*) dx = — i - mco - rJo

(o

(7-8)

où y (r) = p ( r ) cos cor, et (l/J ) 2 ^ représente le processus de sommation numérique (dont la forme spécifique dépend de l’ordre de l’approximation

utilisée). Dans les trois cas les plus élémentaires les sommations s’effectuent comme suit : Simple sommation (f = 1) :

Eqs. (7.8) et (7.11) dans l’Eq. (7.6) mène à l’équation de réponse finale pour un système sans amortissement : v(t) = — - f " v ( 0 sin (Ot - 2 (0 cos

A

2 ( 0 = y 0 + yi + y i + • • • + J'n-i

mœCLV

( i-9a )

«

(7-12) J

Méthode des trapèzes (f = 2) : A

2 (0 = y 0 + 2 y t + 2y2 + ■■■ + 2yJV_ 1 + y N

(7.% )

2

Méthode de Simpson (f = 3) :

EXEMPLE E7.1 Considérons la réponse dynamique d’un château d’eau à une explosion. La modélisation de la structure et le chargement sont exposés en Fig. E7.1. Pour ce système la fréquence et la période de vibration sont

A

2 (0 = yo + 4yi + 2y2 + • • • + 4yN_ t + y N

(7-9c)

où N = t/A r doit être un nombre pair pour la méthode de Simpson. L ’utilisation dans l’Eq. (7.8) de l’une quelconque des formules de somma­ tion ci-dessus mène à une approximation de l’intégrale pour l’instant consi­ déré t. En général cependant, on recherche l’histoire entière de la réponse et pas seulement le déplacement à un instant bien spécifique ; autrement dit, la réponse doit être calculée pour une succession d’instants t x , t 2 , . . . , séparés les uns des autres d’un intervalle A r (ou 2 A r si c’est la méthode de Simpson qui est utilisée). Pour obtenir cette histoire complète de la réponse, il est plus commode d’exprimer les sommations de l’Eq. (7.9) sous forme incrémentale : Simple sommation (f = 1) : A

où

m

'3.94 x 10 2tt ------------s = 30 rad/s T = — = 0.209 s V 4.38 x 104 co

L’incrément de temps utilisé dans l’intégration numérique est A r = 0.005 s, qui correspond à un incrément angulaire en vibrations libres de co A r = 0.15 rad (un incrément plus long aurait probablement donné des résultats satisfaisants aussi). Il n ’y a pas d’amortissement. On a utilisé la méthode de Simpson, c’est-à-dire que le facteur f = 3 a été utilisé dans les Eqs. (7.10) à (7.12).

A

2 ( 0 = 2 (* ~ ^t) + 'P(* “ ^ T) cos ^ i i

~ ^ T)

(7-10a)

+ P(*) cos

(7-106)

Méthode des trapèzes (f = 2) : A

A

2 ( 0 = 2 (* ~ ^ T) + CP(* ~~ ^ T) cos ^ 2

2

Méthode de Simpson (f = 3) : A

A Histoire du chargem ent

2 ( 0 = 2 (* ~ ^ T) + tP(! ~~ ^At) cos co(r — 2 à t ) 3

3

+ 4p(t — At) cos co(t — At) -f p( 0 cos œt]

(7-10c)

où - Ar) représente la valeur de la sommation effectuée pour l’instant précédent / — Ar. _ Le calcul du terme B(t) peut s’effectuer exactement de la même manière, soit B (0 = —

î t w

mœ C "

(7-H )

où (t) peut être calculé par des expressions identiques aux Eqs. (7.10) mais avec des fonctions sinus au lieu des fonctions cosinus. La substitution des

Fig. E7.1

Château d'eau soumis à une explosion.

La table E7.1 présente une résolution à la main portant sur les dix premiers intervalles de temps. A A et A B représentent la sommation de la colonne 7 (ou colonne 12) par groupes de trois termes comme indiqué par les accolades. En colonne 17 on trouve le terme entre crochets de l’Eq. (7.12), et les déplacements en colonne 18 ont été obtenus en multipliant la colonne 17 par G = Ar/mco£. Les forces figurant dans la dernière colonne sont données p a r/ 5 = k v (t). Signalons que ces calculs ont été effectués à la règle à calcul : les résultats finaux, qui comportent des différences de grands nombres, sont donc assez peu précis.

w

0 0.57 4.52 14.84 30.9 47.6

w

fO Cl Cl

X

ç.gg

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OE

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vo^oovoqtnooNO o^^dfodorjvo^o 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1

3

(10) x (11) (12)

B

11

ce qui est équivalent aux résultats obtenus précédemment par l’étude sur l’ensemble du domaine temps [Eqs. (6.7b) et (6 .8)], à la différence de la prise en compte de l'amortissement.

7.5 Etude numérique dans le domaine des fréquences

L’application littérale de l’analyse en fréquences, illustrée par l’exemple précédent, se limite aux cas pour lesquels les transformées de Fourier des fonctions de chargement sont connues ; et même dans ce cas le calcul des intégrales qui en résultent peut s’avérer long et fastidieux. Il convient donc de rendre la méthode plus commode d’accès en la formulant de manière numérique. Cette formulation numérique sera composée de deux phases : (1) obtention d’expressions de transformées discrètes de Fourier correspondant aux expressions intégrales des Eqs. (7.22) et (7.23), et (2) mise au point d’une technique numérique efficace permettant de calculer les transformées discrètes de Fourier. Transformées discrètes de Fourier

La première étape de l’obtention des expressions dans leur version discrétisée consiste à supposer que le chargement est périodique de période Tp . Cela constituera une approximation dans le cas d’un chargement tout à fait quelconque ; mais c’est nécessaire pour remplacer l’intégrale sur intervalle de temps infini, Eq. (7.23), par une somme finie. Le choix de la période de chargement sert également à définir la fréquence la plus basse qui peut être considérée dans l’analyse ; ainsi, ~ 1 = Aco A- = — 271 œ

supposent l’hypothèse d’un chargement périodique. Pour minimiser les erreurs relatives à l’étude de charges non périodiques, la période de la charge peut être étendue par l’adjonction d’un bon intervalle de charge nulle dans la période T ; l’histoire du chargement qui en résultera ressemblera alors à celle de la Fig. 7.3. Utilisation de la transformée rapide de Fourier

Le calcul des sommes qui figurent dans les deux équations de transformée discrète de Fourier est grandement simplifié par le fait que les fonctions exponentielles présentes sont harmoniques et s’étendent sur un intervalle de N 2. Seules des valeurs discrètes de m et n apparaissent dans les exponen­ tielles, et on peut tire^ profit de la duplication de valeurs qui se produit lors de la formation des sommes. Il conviendrait à ce stade d’entrer dans les détails de la programmation ; nous pourrions envisager de manière plus complète la formulation optimale d’une analyse par transformée discrète de Fourier, mais cela dépasse le cadre de ce bref résumé. Il sera cependant utile de lever quelque peu le voile recouvrant les bases de la technique de la transformée rapide de Fourier. Ce procédé relativement récent, qui intéresse les calculs par ordi­ nateur, est si efficace et si puissant qu’il a fait de l’étude par le domaine des fréquences une méthode numérique capable de concurrencer les méthodes traditionnelles sur le domaine temps ; elle est donc en train de révolutionner le domaine de la dynamique des structures. L’une quelconque des transformées discrètes de Fourier peut être repré­ sentée par

La période du chargement est alors divisée en N incréments de temps égaux A t , et la charge est définie pour les instants tm = m A t. Le terme exponentiel

Bm = *2 Anw r

dans l’Eq. (7.20) peut alors s’écrire

(7-27)

11= 0

où

exp (iœntm) = exp (inAœ m At) = exp ^2ni L’Eq. (7.20) prend donc la forme discrète

POm) = f f ^ C^Bn) CXP(27U

(725'>

où la fréquence la plus élevée à considérer a été arbitrairement choisie égale à

WM = e2*1'*1

(7-28)

Le calcul de la somme sera le plus efficace si le nombre N d’incréments de temps qui divisent la période de chargement Tp est une puissance M de 2, c’est-à-dire, N = 2m Dans ce cas les entiers m et n peuvent être exprimés sous forme binaire comme*

(N - \)A Ü .

m = m0 + 2ml + 4m2 + • • • + 2M~ 1mAf_ 1

L’expression discrète correspondante de la fonction amplitude c ( côw) peut être obtenue en substituant simplement la somme d’une série finie de termes discrets à l’intégrale de l’Eq. (7.21), d’où le résultat suivant :

c(cô„) = At 2

m= 0

p(‘m) exp f —2ni

y

/

(7-26)

Les Eqs. (7.25) et (7.26) sont les transformées discrètes de Fourier qui corres­ pondent aux transformées continues des Eqs. (7.22) et (7.23). Lorsqu’on utilise les transformées discrètes, il est important de se rappeler qu’elles

(7-29)

n = «o + 2nt + 4n2 + • ** + 2 où les valeurs des coefficients m • et n* sont soit 0 soit 1. Avec cette notation l’Eq. (7.27) peut s’écrire B(m) =

2

2

2 * “

«o=o m - o bî»o

2

* m -i" 0

A(n)W]$mo+2mi+*m2+" ' )(no+2ni+" ' ) tn ia \

i i0

rteponse a une excitation dynamique quelconque / Chap. 7 \

L’avantage de la notation binaire sera illustré par le cas très simple où la période de chargement est divisée en huit incréments de temps, c’est-à-dire av ec# = 8 et M = 3. Dans ce cas l’Eq. (7.30) devient î î î B(m ) = 2 2 2 W8(mo+2m' +4m2)(no+2n,+4B2> (7-31)

Problèmes

7.1

no — 0 n i = 0 «2 = 0

Mais le terme exponentiel peut s’écrire \Y ^ mn —

| y 88 ( » i» 2 + 2m2«2 + » » 2 » i)^ M -B 2 m o ^ 82 iii(2 m i + m o )p ^ n o (4 m 2 + 2 m i+ » n o )

De plus le premier facteur du second membre est égal à l’unité car

Le système non amorti à un degré de liberté de la Fig. ? l.la est soumis au chargement de forme sinusoïdale représenté en Fig. P7.1 b. Déter­ miner l’histoire de la force de rappel f s(t) pour l’intervalle de temps 0 < t < 0.6 s par calcul numérique de l’intégrale de Duhamel avec Ar = 0.1 s et en utilisant (a) Simple sommation (f = 1) (b) Méthode des trapèzes (f = 2) (c) Méthode de Simpson (f = 3) Comparer ces résultats avec ceux obtenus par l’Eq. (6 .1) calculée avec les mêmes incréments de temps Ar = 0.1 s.

ft/^8(entier) = exp [27tz(8/s) (entier)] = 1 En conséquence, seuls les trois termes restants sont à considérer dans la som­ mation. On peut les traiter en séquence, en utilisant une nouvelle notation pour dénoter les étapes successives du processus de sommation. Pour la première étape :

k = 1 974 N/m

m

A l(m0,n1,n0) = 2

«2=0

A(n 2 ,nu n0)W8An2mo

m = 50 kg y

■ \ sm À is u

(7-32a) (a)

De même pour la deuxième étape : /42(m0,m1,n0) =

Fig. P7.1

2 ^ i(w o.«i.«o)^82'"(2mi+m°) »i = 0

Système simple et histoire du chargement.

(7-32f>)

et pour la troisième étape (l’étape finale, avec M = 3) :

B(m0,m 1,m2) = 2

A 2(m0,m l ,n0)Wsno^

+2m' +m‘>)

(7-32c)

iio —O

Ce procédé est particulièrement efficace parce que les résultats d’une étape sont immédiatement utilisés dans l’étape suivante, minimisant ainsi la mémoire nécessaire, et aussi parce que l’exponentielle prend une valeur unité dans le premier terme de chaque somme. Des économies supplémentaires proviennent de la nature harmonique de l’exponentielle, ce qui donne = — Ws4, Wbl = — Ws5, W82 = — Wg6, etc. Les économies de calcul qui résultent de cette formulation deviennent énormes lorsque l’intervalle de temps est divisé en un grand nombre d’incréments ; si par exemple N = 1 024, l’algorithme de la transformée rapide de Fourier ne nécessite que 0,5 % environ du volume des calculs nécessaires au calcul direct de l’Eq. (7.27).

(a) Fig. P7.2

7.2 7.3 7.4

(b) Portique simple et histoire du chargement.

Résoudre l’Exemple E7.1 en utilisant la méthode des trapèzes. Résoudre l’Exemple E7.2 en utilisant la méthode des trapèzes. La structure à un degré de liberté de la Fig. P7.2æ est soumise par suite d ’une explosion à l’histoire de chargement représentée en Fig. P7.26. Déterminer l’histoire des déplacements dans l’intervalle de temps 0 < t < 0.72 s par calcul numérique de l’intégrale de Duhamel, en utilisant la méthode de Simpson avec Ar = 0.12 s.

Détermination de la réponse d'une structure en cas de non-linéarité

8.1

Principe de l'analyse

Dans le cas de structures linéaires soumises à des chargements dynamiques arbitraires, l’intégrale de Duhamel ou l’étude dans le domaine des fréquences décrite au Chapitre 7 procurent généralement la technique de résolution la plus commode. Il faut cependant souligner que comme le principe de superposition a été utilisé dans la définition de ces deux méthodes on ne peut les utiliser qu’avec des systèmes linéaires, c’est-à-dire des systèmes dont les caractéristiques restent invariables sur l’ensemble de la réponse. Mais pour de nombreuses struc­ tures il ne sera pas possible de supposer un comportement linéaire : ce sera par exemple le cas d’un bâtiment soumis à un mouvement sismique assez sévère pour causer des détériorations graves. Il'est donc nécessaire de mettre au point une autre méthode de calcul susceptible d’être utilisée dans le cas des systèmes non linéaires. La méthode qui est probablement la plus puissante en analyse non linéaire est celle de l’intégration pas à pas. Dans cette technique, la réponse est calculée de lieu en lieu pour une suite de courts incréments de temps At, généralement choisis de longueur fixe pour la commodité des calculs. L’équilibre dynamique est établi au début et à la fin de chaque intervalle, et le mouvement du système pendant l’incrément de temps est approché sur la base d’un comportement présupposé (qui ignore généralement le possible défaut d’équilibre au sein de l’intervalle). La nature non linéaire du système est prise en compte par le calcul de nouvelles caractéristiques relatives à l’état déformé pris au début de chaque incrément de temps. La réponse complète est obtenue en prenant la vitesse et le déplacement relatifs à la fin d’un intervalle pour conditions initiales de l’intervalle suivant ; le processus peut être poursuivi pas à pas depuis le début du chargement jusqu’à n’importe quel instant, approchant ainsi un comportement non linéaire au moyen d’une séquence de systèmes linéaires successifs.

8.2

Equation incrémentale de l'équilibre

La structure que nous considérerons à présent est le système à un degré de liberté de la Fig. 8.1a. Les caractéristiques du système : m ,k ,c et p (t), peuvent représenter non seulement des éléments simples et localisés comme ceux qui interviennent sur le schéma, mais encore des grandeurs généralisées, voir § 2.5. Les forces agissant sur la masse du système sont définies en Fig. 8.1£, et les caractéristiques non linéaires des forces de rappel élastique et d ’amortissement sont précisées en Figs. 8.1c et d ; la Fig.8 .1e représente un chargement appliqué quelconque. A tout instant t l’équilibre des forces agissant sur la masse m implique / / ( 0 + U t ) + M O = p{t)

(a)

(b)

(c)

(d)

(8-la)

et après un court instant At l’équation devient fj(t + A t) + f D(t + AO + f s(t + A t) = p(t + A t)

(8-1 b)

En soustrayant l’Eq.(8 .1a) de l’Eq.(8.16) on obtient alors à l’instant t la forme incrémentale de l’équation du mouvement pour l’intervalle de temps A t : A /# ) + Af D(t) + Afs(t) = Ap(t)

(8-2)

Les forces incrémentales de cette équation peuvent s’exprimer comme suit : Afi(t) = fi(t + AO - M t ) = m Av(t) A/i>(0 = /d(? + AO - fa it) = c(t) Av(t) A/s(0 = fs(t + A t) - U t ) = k(t) Av(t)

(e)

àp(t) = p(t + A t) - p (t) où il est implicitement admis que la masse reste constante ; les termes c(t) et k (t) représentent les caractéristiques d’amortissement et de rigidité corres­ pondant à la vitesse et au déplacement relatifs à cet intervalle, voir Figs. 8.1c et d. Dans la pratique, les pentes sécantes indiquées ne peuvent être calculées que par itération car la vitesse et le déplacement à la fin de l’incrément de temps en dépendent ; pour cette raison, on utilise plus fréquemment les pentes tangentes définies au début de chaque intervalle de temps : «0 *

KO * ^

(8-4)

Fig. 8.1 Description d'un système dynamique non linéaire : (a) structure de base à un degré de liberté ; (b) équilibre des forces ; (c) amortissement non linéaire ; (d) rigidité non linéaire ; (e) charge appliquée.

nécessairement ne dépendre que du déplacement, comme c’est le cas pour un matériau élastique non linéaire : un matériau à hystérésis non linéaire peut tout aussi bien être choisi, avec une force qui dépend de l’histoire passée de la déformation aussi bien que de la valeur actuelle du déplacement ; la seule condition est que les caractéristiques de rigidité soient complètement définies par l’histoire passée et par l’état actuel de la déformation. Il est de plus bien évident que l’hypothèse implicite d’une masse constante est arbitraire : elle pourrait elle aussi être variable dans le temps.

La substitution des expressions des forces, Eqs. (8.3), dans l’Eq. (8.2), mène à la forme finale des équations incrémentales de l ’équilibre à l’instant t : m Av(t) + c(t) Av(t) + k{t) Av(t) = Ap(t)

(8-5)

Les propriétés des matériaux peuvent dans ce type d’analyse présenter n’importe quelle forme de non-linéarité. Ainsi, la force de rappel f s ne doit pas

8.3

Intégration pas è pas

De nombreuses méthodes s’offrent à nous pour l’intégration numérique de l’Eq.(8.5). La technique utilisée ici est simple dans son principe, mais s’est

avérée donner d’excellents résultats pour relativement peu de calculs. L’hypo­ thèse de base du procédé est que l’accélération varie linéairement au sein de chaque incrément de temps, et que les caractéristiques du système restent constantes sur tout cet intervalle. Le mouvement de la masse durant ce laps de temps est représenté sous forme graphique à la Fig. 8.2 ; on y a également indiqué les équations relatives à la variation linéaire supposée de l’accélération, et les variations quadratique et cubique correspondantes de la vitesse et du déplacement. Le calcul de ces dernières expressions à la fin de l’intervalle (r = At) mène aux équations suivantes pour les incréments de vitesse et de déplacement : a* (8-6 a) Av(t) = v(t) At + Av(t) — At>(0 = KO A t + v(t) ^

2

+ At>(0 ^

(8-6b)

6

Il sera dès lors commode d’utiliser le déplacement incrémental comme va­ riable de base de l’analyse ; nous tirons donc de l ’E q.(8.6&) l’accélération incré­ mentale, et substituons cette expression dans l’Eq. (8.6a) pour obtenir Aü(0 = A Av(t) Ar

At

3ü(0

(8-7a)

Av(t) = — Av(t) - 3v(t) - ^ v(t) At 2

(8-76)

La substitution des Eqs.(8.7) dans l’Eq.(8.5) mène à la forme suivante de l’équation du mouvement :

m

- fi ^ ~

+

A^ ~

~

T e^~ \

+ k(t) Av(t) = Ap(t) Enfin, on transfère dans le second membre tous les termes associés aux condi­ tions initiales connues, ce qui donne

fc(t) Av(t) = Ap(t)

(8-8)

OÙ k(t) = k (t) + Ap(t) = Ap(t) + m ^

Fig. 8.2

Mouvement d'un système à accélération linéaire lors d'un incrément de temps.

At

m + — c(0 At

v(t) + 3i?(ol + c(t) J3t)(0 + y tf(0 j

(8-9a) (8-9b)

On notera que l’Eq.(8 .8) est équivalente à l’expression d’un équilibre incré­ mental statique ; on peut en tirer le déplacement incrémental en divisant la charge incrémentale par la rigidité. Le comportement dynamique est pris en compte en faisant intervenir les effets d’inertie et d’amortissement dans les termes de charge effective et de rigidité. Après avoir tiré de l’Eq.(8 .8) l’incré­ ment de déplacement, on reporte sa valeur dans l’Eq.(8.7Z>) pour obtenir la vitesse incrémentale. Les conditions initiales relatives à l’intervalle suivant proviennent alors de l’addition de ces valeurs incrémentales à la vitesse et au déplacement initiaux précédents. Ce procédé numérique comporte les deux approximations importantes suivantes : ( 1) l’accélération varie linéairement, et (2) les caractéristiques d ’amortissement et de rigidité restent constantes sur tout l’incrément de temps. En général aucune de ces suppositions n ’est rigoureusement vérifiée, mais les erreurs restent faibles si cet incrément reste de courte durée. En général des erreurs se produiront donc dans l’équation d’équilibre incrémental, et ces erreurs sont susceptibles de s’accumuler avec le temps ; cette accumulation doit être évitée en imposant la condition d’équilibre global à chaque étape du calcul. Cela peut se faire de manière commode en exprimant les accélé­ rations au début de l’incrément de temps en fonction de la charge externe totale, moins les forces totales d’amortissement et de rappel élastique.

8.4

Récapitulation de la méthode

Pour chaque incrément de temps : 1 Les valeurs initiales de la vitesse et du déplacement i)(Y) et v(t) sont connues, soit comme les valeurs à la fin de l’incrément précédent, soit comme les conditions initiales du problème. 2 A partir de ces valeurs et des propriétés non linéaires connues de la structure, on détermine l’amortissement c {t) et la rigidité k (t) pour cet intervalle, ainsi que les valeurs actuelles des forces d’amortissement f D{t) et élastiques/^(f) à l’aide par exemple des Figs. 8.1c et d. 3 L’accélération initiale est donné par m

= Ijx o m

- u o

-/s (o ]

(8-io)

qui n’est rien d’autre qu’une modification de l’équation de l’équilibre pour l’instant t. 4 L’incrément de charge effective A p (t) et la rigidité effective Tc(t) sont calculés par les Eqs. (8.9). 5 L’incrément de déplacement est donné par l’Eq. (8.8), et l’incrément de vitesse par l’Eq. (8.7b). 6 Enfin, la vitesse et le déplacement à la fin de l’incrément sont tirés de v(t + A t) = 6(0 + Aû(0

d’appréhender convenablement les aspects dynamiques importants du charge­ ment peut être déterminé sans difficulté. Ainsi, si l’histoire du chargement est relativement simple le choix de l’inter­ valle de temps dépendra essentiellement de la période de vibration de la structure. La méthode par accélération linéaire est seulement conditionnel­ lement stable, et donnera une solution divergente si l’incrément de temps est plus grand qu’environ la moitié de la période de vibration. Soulignons cependant que l’incrément doit être considérablement plus court que cela si on veut obtenir une précision raisonnable, et que l’instabilité ne peut donc pas représenter un véritable problème. En général un rapport incrément-période A t/T inférieur ou égal à 1/10 permet d’obtenir des résultats dignes de confiance. S’il subsiste le moindre doute sur la solution obtenue, un second calcul peut être effectué avec un incrément moitié ; et si la réponse ne change pas de manière sensible, on peut alors admettre que les erreurs imputables à l’intégration numérique sont négligeables. EXEMPLE E8.1 Nous effectuerons ici une résolution à la main par la méthode pas à pas à accélération linéaire que nous venons de décrire. Nous prendrons pour exemple le portique élastoplastique à un degré de liberté de la Fig. E8.1, avec un incrément de temps de 0.1 s ; cette durée est trop importante pour une bonne précision, mais conviendra bien à notre simple but illustratif.

11^

v(t + Àt) = v(t) + Av(t) Lorsque l’étape 6 a été effectuée, les calculs pour cet incrément de temps sont terminés et le processus entier peut être repris pour l’intervalle de temps suivant. On le répète autant de fois qu’on le désire et l’histoire complète de la réponse peut ainsi être déterminée pour n ’importe quel système à un degré de liberté présentant n ’importe quelles caractéristiques non linéaires. Les systèmes linéaires peuvent également être traités de cette manière : les caractéristiques d’amortissement et de rigidité restent alors constantes, de sorte que les opé­ rations deviennent un peu plus simples. Comme dans toute intégration numérique, la précision de cette méthode pas à pas dépendra de la durée de l’incrément de temps A t. Trois facteurs essentiels doivent être considérés lors du choix de cette durée : ( 1) la rapidité de variation du chargement appliqué p (t), (2) la complexité des caractéristiques non linéaires d’amortissement et de rigidité, et (3) la période T de vibration de la structure. L’incrément de temps doit être assez court pour permettre une bonne représentation de toutes ces grandeurs, la dernière étant relative au comportement du système en vibrations libres. En général la variation des carac­ téristiques du matériau ne constitue pas un facteur critique ; si une modifi­ cation sensible et soudaine prend place, comme dans le cas de la plastification d ’un ressort élastoplastique, un incrément de temps subdivisé spécial peut traiter cet effet avec précision. De même, un incrément de temps permettant Fig. E8.1

Portique élastoplastique et son chargement dynamique.

L’amortissement est supposé constant, la non-linéarité provient donc exclusivement de la modification de rigidité accompagnant la plastifi­ cation. La rigidité effective peut s’exprimer [voir Eq. (8.9a)] comme

oo m vo t* r - t'' Tt « o 0 ^ f f ^ r - < 7\ o o > o o < o q - H q p p o o q q o o o o o o o o o o o

E P x vO

«

io n >o r't OO v© M f l h O \ ' 0 0 \ONO''t o O

» ■ —

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oov£>C'icor~-«r~-om mr-OOvor^oooNr~— vo -rf n o d d d d d d d o d

>o >o

( 16)

Au 30

o

d

d

vo r ~

rr

( 14)

( 13)

13 200 +



oo - h ^ r~ r ir 'f't o o o in o '

E

k(t) = k(t) H-----~-~t m -f — c = 13 200 + k (t) (0.1)2 0.1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 o

roosio — ' t o 'rorfr*-) d o d

d

O r - on O VO ZJ' —' oo m Tt / i _ — O O p p p p d d d d

Ap(t) = Ap(t) 4- ^

— >o r-~ OO ro m m o — — ~ p p p d d d

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o N N M M M N fN C-l C-l fS

L’incrément de vitesse donné par l’Eq. (8.1b) devient Av = 30Ai; — 3v — 0.05v Une disposition en table destinée aux calculs à la main est présentée en table E8.1. Le comportement de ce système élastoplastique change très rapi­ dement avec le début et la fin de la plastification, et pour obtenir une meilleure précision il serait souhaitable de diviser chaque incrément de temps comportant un tel changement de phase en deux sous-incréments. Le calcul serait plus précis, mais une technique itérative serait alors néces­ saire pour déterminer les longueurs respectives des sous-incréments. Ce raffinement n’a pas été utilisé ici. La rigidité initiale a été affectée à l’incrément entier, introduisant probablement des erreurs sensibles lors des transitions de phases. La réponse élastoplastique dynamique calculée en table E8.1 est tracée en Fig. E8.2, avec la réponse en phase plastique en pointillé. On a tracé à titre de comparaison la réponse élastique linéaire obtenue par un calcul pas à pas analogue avec k = 14200 et f s = 1 000 v dans tous les calculs. L’effet de la plastification est clair : la flèche permanente (la configuration au voisinage de laquelle se produisent les vibrations libres subséquentes du système non linéaire) s’élève à environ 3.72 cm. On a également indiqué le déplacement statique p /k , c’est-à-dire, la flèche qui se serait produite dans la structure élastique s’il n ’y avait pas eu d’effets d’amortissement et d’inertie.

t t io '*n ir> v o m r o o o o — P r^ r '. i f i d d i o - u i i o d « ^ §

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Æ in O '^ o o N w tJ N p O On On •'* r-^ r - CTn v£> «o VO O VO —1 —< (N VO rl M M —i — -h

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v = Ap (t) + 1 3 20 y + 62 v

++ O O O O O O O O O O O O O o o o o o o o o o o o

E JS

4* 3c^ v 4- ^3m 4-

0 0 (J ;q 0 0 --

a

T3

Problèmes

8.1

Déterminer la réponse élastique linéaire du Prob. 7.4 par intégration pas à pas, en utilisant la méthode de l’accélération linéaire.

8.4

Reprendre le Prob. 8.1 en remplaçant l’amortisseur visqueux par un système d’amortissement hystérésique qui procure une force d’amortis­ sement donnée par l’Eq. (4.51), où Çk = 800 N/m, c’est-à-dire fjj — 800 iv | — Ii)|

Temps Fig. E8.2 Comparaison des réponses élastoplastique et élastique (portique de la Fig. E8.1).

8.2

8.3

Reprendre le Prob. 8.1 en supposant une relation force-déplacement élastoplastique pour les colonnes et une force de plastification de 40 kN, Fig. P8.1æ. Reprendre le Prob. 8.1 en supposant la relation force-déplacement f 2v 0.16 / 21?\ 3"1 élastique non linéaire f s = 2 4 1^— - —— \ J > Fig. P8.l£ (,f s est en kN, v en cm).

Fig. P8.1 Matériau élastoplastique et matériau élastique non linéaire.

Etude des vibrations par la méthode de Rayleigh

9.1 Principe de la méthode

Comme on a pu le voir à propos de la réponse à un chargement dynamique, la fréquence propre de vibration d’un système à un degré de liberté constitue une information primordiale. Pour cette raison il est souhaitable de savoir déterminer cette fréquence fondamentale de manière simple. La méthode de Rayleigh exposée dans ce chapitre est très utile dans cette optique. La fréquence propre d’un système à un degré de liberté non amorti est donnée par l’Eq. (3.5), soit

où pour un système simple ressort-masse, m est la masse en mouvement et k est la rigidité du ressort. Cette formule est aussi applicable à toute structure représentable par un système à un degré, de liberté lorsqu’on utilise comme coordonnée la fonction de déplacement supposée \p. Dans ce cas, les grandeurs à utiliser dans l’équation précédente sont la rigidité généralisée A:* et la masse généralisée m * définies par les Eqs. (2.37) et (2.39). Bien que la notion de coordonnée généralisée puisse conduire à la déter­ mination approchée de la fréquence fondamentale de vibration d’une structure, il est souhaitable d’examiner le problème de détermination de la fréquence d’un point de vue différent dû à Lord Rayleigh. La méthode de Rayleigh repose sur le principe de la conservation de l’énergie : l’énergie totale d’un système non amorti et libre de se mouvoir est constante. Considérons donc le système masse-ressort représenté en Fig. 9Aa. En choisissant judicieusement l’origine des temps, le mouvement peut s’exprimer par v — v0 sin œt

(9-2a)

v = v0œ cos œt

(9-2 b)

et la vitesse par

Cette expression est évidemment la même que précédemment, mais elle a cette fois été déterminée en utilisant la méthode de Rayleigh qui consiste à écrire l’égalité de l’énergie cinétique maximum et de l’énergie potentielle maximum.

9.2 Etude approchée d'un système quelconque

(a)

La méthode de Rayleigh ne présente guère d’intérêt dans l’étude d’un système simple de type ressort-masse ; elle est en revanche très pratique pour l’étude approchée d’un système ayant un grand nombre de degrés de liberté. Considérons par exemple la poutre non prismatique de la Fig. 9.2. Elle possède

Fig. 9.2

Fig. 9.1 Oscillation libre d'une structure non amor­ tie à un degré de liberté : (a) modèle ; (à) dépla­ cement ; (c) vitesse.

L ’énergie potentielle du système n’apparaît que dans le ressort, et s’écrit V = 1j 2kv2 ^ ^jikvQ2 sin2 cot

(9-3a)

et l’énergie cinétique de la masse est : 1

T = l/2wt>2 = Y2mv02co2 cos2 cot

(9-3è)

Au quart de période t = tt/2 co, il est donc clair que l’énergie cinétique est nulle et que l’énergie potentielle est maximum

Vm„

=

72*®o

(9-4a)

Par contre, à la demi-période f = n/co l’énergie cinétique est maximum et l’énergie potentielle est nulle, soit :

T™, - ‘/■'"V»’

P-44»

Par conséquent, le maximum de l’énergie potentielle doit être égal au maximum de l’énergie cinétique pour que l’énergie totale soit contante : ^max = T’max c’est-à-dire V z W = ' 1l2invo2co2 d’où 2

k m

c tr = —

Vibration d'une poutre à section variable.

une infinité de degrés de liberté car elle peut se déplacer suivant une infinité de motifs. L ’application de la méthode de Rayleigh passe par une hypothèse sur la déformée que prendrait la poutre dans son mode fondamental de vibration, c’est-à-dire le premier mode. Une telle coordonnée généralisée variant de manière harmonique en vibrations libres, cette hypothèse s’exprime de la façon suivante [voir également l’Eq. (2.23)] v(x,t) = il/(x)Z0 sin cot

(9-5)

où \jj (x) est la fonction de déplacement supposée, qui représente le rapport du déplacement absolu et du déplacement cle référence ou coordonnée généralisée Z (t) du même point de coordonnée x. Cette expression (9.5) suppose que la forme de la déformée ne change pas avec ie temps : seule son amplitude varie, de manière harmonique, en vibrations libres. L ’utilisation de cette fonction de déplacement supposée transforme le système étudié en un système à un degré de liberté ; en écrivant l’égalité du maximum de l’énergie de de'formation acquise au cours du mouvement et du maximum de l’énergie cinétique suivant la méthode de Rayleigh, on obtient une fréquence propre approchée pour le système. L ’énergie de déformation de ce système élastique est donnée par :

d’où, en utilisant l’Eq. (9.5) et en prenant pour l’amplitude sa valeur maxi­ mum : = V2Zo2 £

E I(x )[r(x )V dx

(9-7)

L’énergie cinétique de la masse qui n ’est pas répartie de manière uniforme est donnée par : T = ï J

Considérons une première approximation parabolique de la fonction de déplacement : \p(x) = (x/L )(x/L - 1) d ’où «//"(;c) = 2/L2 et vm„ = W E I £

m('x ^

2 dx

( 1 J d x = V2Zo2 ^

(9-8> D’autre part

La valeur maximum est obtenue en utilisant l’expression de la vitesse fournie par l’Eq. (9.5) après dérivation par rapport au temps : ^max = V z V *»2

J

Tmax = V2Z02®2™J o [ f ( f - * )]

dx=

^

ce qui conduit à m(x)0 (x)]2 dx

(9-9) ft)2 = ---- Î f î î ---- = (1/û)2) r m„

Soit finalement :

f £/(x)[^"(x)l2 dx co2 = J ° — __________ m (x)[^(x)]2 dx

mL4

Si on avait considéré une forme sinusoïdale \l/(x) = sin (7rx/Z,), les calculs auraient conduit à :

(9-10)

J

Notons que le numérateur n’est autre que la rigidité généralisée k* relative à cette fonction de déplacement supposée, voir Eq. (2.39), tandis que le dénomi­ nateur est la masse généralisée m* correspondante, voir Eq. (2.37). La méthode de Rayleigh conduit donc directement à la forme généralisée de l’Eq. (9.1) ; il fallait s’y attendre car elle utilise la notion de coordonnée généralisée qui réduit de la même manière le système original à un système à un seul degré de liberté.

9.3 Choix d'une fonction de déplacement

La précision de la méthode de Rayleigh dépend essentiellement de la fonction de déplacement ip(x) que l’on choisit pour représenter le mode fondamental. Toute fonction qui satisfait aux conditions aux limites géomé­ triques de la structure convient en principe. Mais toute fonction de dépla­ cement ne représentant pas le mode de vibration vrai nécessite des liaisons externes permettant le maintien de l’équilibre. Ces liaisons externes raidissent le système, augmentent ainsi son énergie de déformation et par voie de consé­ quence conduisent à une valeur de co plus élevée que la valeur vraie. Ainsi, la fonction de déplacement correspondant au mode vrai conduit à la fréquence la plus basse que l’on puisse obtenir par la méthode de Rayleigh : si donc on effectue plusieurs essais avec des fonctions de déplacement différentes, celle qui donne la fréquence la plus basse est toujours la plus proche de la solution vraie. EXEMPLE E9.1 Reprenons l’exemple de la poutre prismatique de la Fig. 9.2, de masse m par unité de longueur et de rigidité constante.

2

£/tü4/2L3 m L \2

GT = ---------------- =

4 El mL

7C — -

Cette seconde valeur est très sensiblement inférieure à la première : la seconde fonction de déplacement constitue donc une meilleure approxi­ mation du mode fondamental vrai de vibration du système. (En fait la solution vraie est effectivement sinusoïdale pour ce système.) La première approximation ne conduit pas à de bons résultats (elle diffère du résultat d’environ 20 %) bien qu’elle satisfasse aux conditions aux limites. Elle n’est néanmoins pas réaliste, car l’hypothèse d’un dépla­ cement parabolique conduit à un moment fléchissant uniforme le long de la poutre, et cela ne peut convenir aux conditions d’appui simple aux extrémités. Le problème revient à présent à celui du choix raisonnable d’une fonction de déplacement. On peut utiliser les déplacements obtenus lors de la vibration libre du système, et qui sont la conséquence des forces d’inertie : ces forces d’inertie (produit d’une masse par une accélération) sont proportionnelles à la masse répartie et à l’amplitude du déplacement. La fonction de déplacement juste ÿ c(x) est donc la déformée que l’on obtiendrait avec un chargement p c (x) proportionnel à m (x) ÿ c (x). Il n’est bien sûr pas possible de deviner la forme exacte ÿ c (x) : la déformée calculée à partir d’un chargement p (x )= m (x) i// (x) (comme le montre la Fig. 9.3 où i// (x) constitue une appro­ ximation raisonnable de la vraie déformée) conduira néanmoins à une très bonne approximation. En général, une telle détermination de la fonction de déplacement conduit à plus de calculs qu’il n’est vraiment nécessaire. La méthode de Rayleigh procurera de bons résultats sans avoir à définir la fonction de déplacement de manière aussi raffinée. On considère en général que le chargement inertiel p (x ) (voir la Fig. 9.3) est tout simplement le poids de la poutre, c’est-à-dire p (x ) = m (x ) g (où m (x ) est la répartition de masse et g l’accélération de la pesanteur). La déformée vd (x) est alors évaluée comme la flèche due à ce

■Charge d’ineitie approchée : p(x ) = m(x) fi(x)

_ où i//(x) est une déformée supposée

p(x) = m(x)g

p(x) = m(x)g

r r - r T T t 7ZW7? ------p{x ) = m(x)g

p{x) = m(x)g (c)

^ Déformée calculée

vd(x) « ÿ(x)

Fig. 9.3 Déformée calculée avec la force d'inertie correspondant à une déformée d'essai initiale.

chargement statique. L’énergie de déformation maximum emmagasinée dans le système est alors égale au travail des forces appliquées au système, soit : Vm^ = ^ j ^ p ( x M x ) d x ^ 1/2gZ 0 j L m(x)xl/(x)dx

(9-11)

L’énergie cinétique est donnée par l’Eq. (9.9) où \p(x) = vd (x)jZ0 est la fonction de déplacement calculée à partir du poids propre. D’où

f m(x)iKx) dx

f m(x)v/.x) dx

0,2 * f - S 2----------------- -- = 0 -fT -------------------° Jo m^x^ ( x^ 2 dx J 0 m(x)[y, la forme adéquate tenant compte de la symétrie peut s’obtenir en appliquant un chargement vertical. Le mode fondamental de vibration de ce type de structure sera cependant généralement un mode horizontal. Dans ce cas, pour obtenir une approximation de la fonction de déplacement on appli­ quera les forces de gravité latéralement. Dans le cas d’une poutre à deux travées (Fig. 9.4c), les deux travées se déplaceront latéralement dans des sens opposés. Dans ce cas, les forces de gravité seront donc appliquées dans des sens opposés. Si l’on appliquait les forces dans le même sens on obtiendrait une fréquence de vibration beaucoup plus élevée. Il ne faut pas consacrer trop de temps à la détermination des fonctions de déplacement car la méthode de Rayleigh perdrait alors son attrait principal,

EXEMPLE E9.2 Considérons une poutre en console portant un poids en son milieu (Fig. E9.1). Avec une force appliquée à l’extrémité libre de la poutre pour approcher la forme du mode fondamental de vibration, la déformée qui en résulte est : p Ü 3x 2L - x 3 _ = Z0^(x) i;(x) = 3E l 2L3 Poids = W

^ h------ -i------ -

__________ .

L 2

t

Poutre prismatique E l = raideur m = masse linéique

\

Déformée supposée

v(x) = ZQ [ Fig. E9.1

Méthode de Rayleigh appliquée à la détermination de la fréquence de vibration d'une poutre.

Méthode R qo

D’où l’énergie potentielle maximum Knax = '/iP Z à = \ ^ Z 2 JLd

L’expression de la fréquence par la méthode de Rayleigh standard est appelée Méthode Rqo et correspond à l’équation

02

P EI(x)(il/"i0))2 dx

où Z0 est le déplacement de l’extrémité de la poutre sous la force p. L’énergie cinétique maximum est séparée en deux parties : celle due à la poutre elle-même et celle due à la masse posée sur la poutre : Pour la poutre : T’max = y

| o ™V2 dx

= ™ (O2Z 02 £

O (X )]2 dx

=

Û> % 2

Pour la masse :

°>2 = J7 r — ---------------I m ( x W 0))2 dx

(9‘16)

Une meilleure approximation de co peut cependant être obtenue en cal­ culant l’énergie potentielle à partir du travail utilisé par les forces d’inertie pour déformer la structure, ces forces d’inertie étant associées à la déformée consi­ dérée. La force d’inertie répartie est donnée à l’instant de déplacement maxi­ mum par p° (x) p (0)(x) = cû2m(x)v{0) = Z 0(0)û>2aw(x)^(0) (9-17) et la déformée produite par ce chargement devient : „ = i(0))2 = V2Zo(0)22 k ,{ A ^ 0))2 = V 2O 6OOOO) On obtient ainsi O) = 20 rad/s

v2«» = 1.0

17 TT / / ,/

J m(x)(^(1))2dx

C02 = -60 000 = 400 900

VjW) = î.o

300 t

7 f

7

m = 200 t ZZ^ / Z Z

240 000 kN/m 400 t

77 r / / / :

v3 = 1.0 360 000 kN/m

/ (a)

(b)

Charges d ’inertie = cj2m/vI

Flèches calculées

200 u>

Cj2 = Z 0(1)( 1 .0 ) cü2

(Effort = 200 w ) tranchant

k (1,- ^ | é « ï -Zo(1)(0.733)w*

~ 300 cü2 (Effort _ tranchant 400

2. 40 )

’ü) =3T5Ô“ 2 =Z0(1)(0.40)co2

cü2

_ 4.5u> Kc 1 800

(c)

Fig. E9.2 Détermination des fréquences d'une structure par la méthode de Rayleigh : (a) modèle ; (b) déformée supposée ; (c) flèches obtenues avec les forces d'inertie corres­ pondant à la déformée initiale. M E T H O D E A M E L I O R E E Rqj II est clair que l’hypothèse d’une rigidité parfaite de la structure au-dessus du premier étage est peu raisonnable, et conduit à une surestimation grossière de la fréquence de vibration de la structure. Si on utilise à présent les forces d’inertie associées à cette dé­ formée initiale pour déterminer une fonction de déplacement améliorée, on obtiendra par la méthode R0i de bien meilleurs résultats. Les chargements inertiels et les déformées qu’ils produisent sont re­ présentés à la Fig. E9.2c. Les déplacements peuvent être calculés facile­ ment car le déplacement Ai;/ de chaque étage est donné par l’effort tranchant à chaque étage divisé par la rigidité correspondante : l’énergie potentielle maximum correspondant à ce nouveau déplacement v W est donc :

v™ = Va 2 Pi ° y i) = Y Z o(l) 2 m ù W P

= y

Z 0(1)(580)

En égalant cette expression à celle de l’énergie cinétique déjà obtenue il vient : l 900 720 000 900 -= 248 w = 15.73 rad/s Cû2 — — Z0(1) 580 4 500 580 ce qui constitue déjà une grande amélioration par rapport à la méthode Roo.

9.2

(a) Déterminer la période de vibration du portique de la Fig. P9.2, en supposant que la poutre transversale est rigide et que la forme dé­ fléchie des colonnes est la même que celle due à une charge latérale p agissant sur cette poutre : v(x) = p(2L 3 — 3L 2x + x 3)/\2 E I ; (b) Quelle fraction du poids total des colonnes, supposée concentrée au niveau de la poutre, donnera la même période de vibration que celle qui a été calculée en partie (a) ?

9.3

Le bâtiment de la Fig. P9.3 a sa masse entière concentrée dans les poutres horizontales rigides. Avec les propriétés de masse et de rigidité données et en supposant une forme initiale linéaire (voir figure), calculer la période de vibration par : {a) la méthode de Rayleigh R 00 (b) la méthode de Rayleigh R 0l (c) la méthode de Rayleigh R t x

Rn On obtient un résultat meilleur encore en utilisant la fonction de déplacement améliorée pour calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. On obtient pour le maximum de l’énergie cinétique METHODE AMELIOREE

«a - j w

2

- y fë ^ Y »24.8)

En écrivant l’égalité de cette expression et de celle de l’énergie potentielle améliorée, on obtient : l 580 720 000 580 üû = —77T-------- = ---------------------= 2 1 8 cj = 14.76 rad/s

z 0(1) 424.8

4 500

424.8

ce qui est très proche de la solution exacte coi = 14.5 rad/s. La méthode Rn conduit au même résultat que ce que donnerait l’Eq.(9.12), où les déformées seraient déterminées à partir du déplace­ ment produit par des forces de gravité latérales. Ceci est dû au fait que les forces d ’inertie associées à des déplacements égaux à tous les étages sont équivalentes à des forces de gravité latérales. Par ailleurs, si on avait fait une estimation plus raisonnable de la déformée dès le début, la mé­ thode R n aurait conduit à un résultat encore meilleur que celui de l’Eq.(9.12).

VOï-lw*

*1 = 80 000 kN/m m 2 = 400 t k 2 = 160 000 kN/m

Problèmes

„3(0)S 1 9.1

m l - 400 t

Calculer par la méthode de Rayleigh la période de vibration d’une poutre prismatique portant une masse centrale m x, voir Fig. P9.1. Pour la forme de déplacement ici supposée, utiliser la flèche produite par une charge

m 3 = 400 t k 3 = 240 000 kN/m

Fig. P9.3

Bâtiment à trois étages.

centrale p , c’est-à-dire u(x) = p x(3 L 2 - 4 x 2)/48£7 ( x ^ "j)* Consi9.4

dérer les cas : (a) m 1 — 0, et (b ) m l = 3rhL. (rn =n*388©

'

linéique

Déformée supposée Fig. P9.1

Reprendre le Prob. 9.3 avec les propriétés suivantes : m 1 = 200 t, m 2 = 400 t, m 3 = 6 0 0 1 et = k 2 = k 3 = 160 000 kN/m.

Deuxième partie :

Systèmes usieurs degrés de liberté

10

Formulation des équations du mouvement des systèmes à plusieurs degrés de liberté

10.1 Choix des degrés de liberté

Nous avons vu dans la première partie que toute structure pouvait être re­ présentée sous forme d’un système à un degré de liberté, et que sa réponse à une excitation dynamique pouvait alors être exprimée par une équation diffé­ rentielle unique. Si les caractéristiques mécaniques du système sont telles qu’une coordonnée unique suffît effectivement à exprimer son mouvement et qu’aucun autre mouvement n ’est possible, alors le système est un système à un degré de liberté et la résolution de l’équation en question conduit à la réponse dynamique exacte. Si par contre la structure possède plus d’un mode de déplacement mais qu’on la représente toujours par un modèle à un degré de liberté, la résolution de cette équation unique ne conduira qu’à une repré­ sentation approchée du comportement dynamique exact. La qualité du résultat obtenu avec un modèle à un degré de liberté dépend principalement de la géométrie du chargement et de ses variations dans le temps, ainsi que des caractéristiques de masse et de rigidité de la structure. Si les propriétés mécaniques de la structure conduisent celle-ci à se déformer plus facilement suivant le mode de déformation supposé lors de la modélisa­ tion, et si le chargement est tel qu’il excite plus particulièrement ce même mode, on peut prévoir qu’un tel modèle à un degré de liberté permettra une bonne approximation. Un des plus grands désavantages du modèle à un degré de liberté réside dans la difficulté de vérifier les résultats obtenus. En général pourtant, la réponse dynamique d’une structure ne pourra pas être exprimée de manière précise par un modèle à un seul degré de liberté. L’expression de la réponse faisant intervenir aussi bien l’historique du dépla­ cement que son amplitude, le comportement résultant ne peut être représenté qu’à l’aide de plusieurs coordonnées de déplacement : c’est-à-dire que le sys­ tème doit comporter plusieurs degrés de liberté. Comme nous l’avons vu au Chapitre l , les degrés de liberté d’un système discret peuvent être choisis parmi les amplitudes de déplacement de la structure en certains de ses points. Ils peuvent également être définis par un système de coordonnées généralisées

représentant les amplitudes d’un certain ensemble de modes de déplacements. C’est la première méthode que nous utiliserons ici : elle englobe l’idéalisation de la structure par éléments finis ou par masses concentrées. L’utilisation des coordonnées généralisées sera envisagée à la fin de la deuxième partie (§ 16.2). Nous utiliserons comme exemple représentatif de système à plusieurs degrés de liberté la poutre sur deux appuis simples représentée en Fig. 10.1. (Cette structure permet en effet une visualisation particulièrement simple des gran­ deurs mécaniques.)

la force d’amortissement fDi et la force élastique .fo. Le système des équations de l’équilibre s’écrit donc :

f n + / d i + f si = Pi(t) f i l + fo 2 + f s 2 = P2(t)

(10-1)

f l 3 + /D 3 + fs 3 = P 3 (0

Soit, sous forme matricielle :

( 10-2)

fj + î D + i s = P(t)

Chaque force résistante s’exprime au moyen de coefficients d’influence. Par exemple la composante élastique de la force au point 1 dépend en général des composantes des déplacements de tous les autres points de la structure ; ainsi, au point 1 :

fs i M ')

11^1

k iNVN

(10-3*)

f s 2 = * 2 1^1 + k 22v2 + k 23 V3 -f • • • -f k 2NvN

(10-36)

~

^

+

k i2V2

^13V3

+

* * *

+

De même la force correspondant au degré de liberté v2 est et en règle générale ;

Fig. 10.1

Discrétisation d'une structure de type poutre.

Représentons la déformée de cette structure par les déplacements d’un ensemble de points disséminés de manière discrète le long de la poutre, soit yi(0> y2(0> • • • » vi(0» • • • »";v(0- On peut en principe choisir ces points de manière arbitraire ; ils seront en pratique choisis de manière à définir avec précision toute particularité de la structure et de sa déformée. Le nombre de degrés de liberté (dans ce cas le nombre de points dont on considère les dé­ placements) est laissé à l’initiative de chacun. La meilleure approximation du comportement dynamique sera bien sûr fournie par le plus grand nombre de points s’ils sont bien placés ; mais d’excellents résultats peuvent souvent être obtenus avec seulement deux ou trois degrés de liberté. Dans l’exemple de la Fig. 10.1 on n ’a conservé que la composante verticale du déplacement en chaque nœud. On aurait pu augmenter le nombre de degrés de liberté en considérant d’autres composantes de déplacement : par exemple la rotation (bv/bx) et/ou le déplacement axial.

(10-3c)

fst == k ilvl + k i2v2 -f k i3v3 -f- • • • + k iNvN

Ces expressions supposent évidemment que la structure a un comportement linéaire et que le principe de superposition s’applique. Les coefficients h» sont appelés coefficients d'influence de rigidité :

!

force correspondant à la coordonnée i produite par un déplacement unité de la coordonnée /

(10-4)

L’expression des forces/^/ peut s’écrire

fs i fs2

k tl k\2 k\z k 21 k 22 k 2z

ku k 2i

fst

kn

k i2

ku

ki3

••

"

kiN V k 2N *>2 kiN

(10-5)

»i

soit 10.2 Expression de l'équilibre dynamique

L’équation du mouvement du système s’exprime en écrivant l’équilibre des forces effectivement associées à chaque degré de liberté. En général on aura quatre types de forces à chaque nœud i : la force appliquée p/(f) et les forces induites par le mouvement lui-même, c’est-à-dire la force d’inertie /}/,

fs = kv

(10-6)

k s’appelle la matrice de rigidité de la structure (pour l’ensemble des dépla­ cements choisis), et v est le vecteur déplacement représentant la déformée de la structure. Si on admet que l’amortissement ne dépend que de la vitesse, c’est-à-dire qu’il est du type visqueux, les forces d’amortissement peuvent s’exprimer de

la même manière qu’à FEq.(10.5) au moyen de coefficients d’influence d’amor­ tissement : fü 2

cu C11 C12 C13 C2l C22 c23 . *'’ * c2i

fü i

Cil

/ di

Ci2

••

Ci3

cH

’ ' ^ÎJV * C2N

(10-7)

•■ ‘ * CiN

10.3 Influence des forces axiales

bf représente le taux d’accroissement (vitesse) de la coordonnée de déplace­ ment i, et les coefficients cif sont appelés coefficients d'influence d'amortis­ sement : force correspondant à la coordonnée i ( 10-8) et provoquée par une vitesse unité suivant la coordonnée y L’Eq.(10.7) peut s’écrire t D = cv (10-9) où c est la matrice d'amortissement (relative aux degrés de liberté choisis) et v est le vecteur vitesse. De même les forces d’inertie peuvent s’exprimer au moyen de coefficients d’influence appelés coefficients d'influence de masse m liant les accélérations de chaque degré de liberté à la résultante correspondante des forces d’inertie. Ainsi : fil

« 1 1

m i2

« 1 3

fl2

m 2l

m 22

m 23

fit

m i2

M il

« Î 3

* •• • •

* • •

m u m 2i

m n

** • ■

• • *

m iN m 2N

(10-10)

%

!

( 10-11)

Sous forme concise l’Eq.(10.10) s’écrit : f, = mv

Il a été observé dans la première partie que les forces axiales, ainsi que tout autre type de chargement tendant à provoquer le flambage d’une structure, pouvaient avoir un effet sensible sur la rigidité de cette dernière. Des effets analogues se manifestent dans les systèmes à plusieurs degrés de liberté ; la composante de force qui agit parallèlement à l’axe des barres avant défor­ mation mène à des composantes de charge supplémentaires agissant dans la direction (et dans le sens) des déplacements nodaux, et qui seront notées îG. En incluant ces forces dans la formulation, l’expression de l’équilibre dynamique, Eq. (10.2), devient */ +

(10-12)

La matrice des coefficients d ’influence de masse m s’appelle la matrice de masse de la structure et v est le vecteur accélération ; tous deux sont relatifs aux degrés de liberté choisis. Il est à présent possible d’exprimer l’équilibre dynamique global de la structure sous la forme mv + cv + kv = p(0 (10-13)

(10-14)

+ f5 - fG = P(0

où le signe négatif provient du fait que les forces i G contribuent à la défor­ mation. Ces forces induites par les charges axiales dépendent également des dépla­ cements de la structure et peuvent s’exprimer à l’aide de coefficients d’influence, appelés coefficients d'influence de rigidité géométrique :

[70.1 / g2 / g1

üj. est l’accélération de la coordonnée de déplacement i et les coefficients d’influence de masse m/7*sont définis comme : force correspondant à la coordonnée i causée par une accélération unité de la coordonnée /

La dimension des matrices représentées ici correspond au nombre de degrés de liberté utilisés pour décrire la déformée de la structure. Cette équation exprime donc les TV équations d’équilibre relatives aux N degrés de liberté choisis pour définir la réponse.

^Cl2 kGt} ” kGu ■ *C21 kG22 ka23 ,• ’ • kGu ■

kG,„ kG1N

kGn kGt2 kGn

kG,N

•’ kG„ ••

(10-15)

où les coefficients d’influence de rigidité géométrique kG.. ont la définition suivante : 9 ' force correspondant à la coordonnée i due à un déplacement unité de la coordonnée / et provenant des composantes axiales des forces agissant sur la structure

(10-16)

L’Eq. (10.15) peut également s’écrire fG = kGv

(10-17)

où k G est appelée matrice de rigidité géométrique de la structure. L’équation d’équilibre dynamique de la structure devient donc mv + cv -f kv — kcv = p(/)

(10-18)

La rigidité élastique et la rigidité géométrique étant toutes deux multipliées par le vecteur déplacement, l’effet de rigidité combinée peut être exprimé par un seul symbole et l’Eq. (10.8) peut s’écrire mv + cv + Ev = p(f)

(10-19)

i l

où E = k - K

Détermination des matrices caractérisant les propriétés

(10-20)

est appelée matrice de rigidité combinée et englobe à la fois les effets élastiques et géométriques. Les propriétés dynamiques de la structure sont parfaitement définies par les quatre matrices de coefficients d’influence de l’Eq. (10.18), et le chargement dynamique est parfaitement défini par le vecteur des charges. Le calcul des matrices des caractéristiques physiques et celui du vecteur des charges extérieures seront envisagés au prochain chapitre. Le vecteur des charges effectives résultant d’une excitation d’appui éventuelle sera considéré au Chapitre 27 en liaison avec l’étude de la réponse aux séismes.

d'une structure

11.1 Caractéristiques élastiques

Souplesse La définition d’un coefficient d’influence de souplesse ^

est la suivante :

/ valeur du déplacement selon la coordonnée /, | sous l’action d’une charge unité appliquée { selon la coordonnée /

(11-1)

Nous illustrons cette idée au moyen de la poutre sur deux appuis simples de la Fig. 11.1. On aurait également pu choisir des degrés de liberté de rotation, ou de translation dans le sens horizontal, auxquels cas il eût été nécessaire d’utiliser les chargements unités correspondants (en rotation et en translation horizontale) pour définir tous les coefficients d’influence. Dans le présent exposé nous nous limiterons au cas des charges et déplacements verticaux.

Fig. 11.1

Définition des coefficients d'influence de souplesse.

Le calcul des coefficients d’influence de souplesse pour un système quelconque donné est un simple problème de statique : on peut utiliser n ’importe quelle méthode de résistance des matériaux. Lorsque l’on connaît l’ensemble des coefficients d’influence, on peut alors déterminer le vecteur déplacement dû à un chargement ou à une combinaison de chargements quelconques. Par exemple le déplacement au point 1 dû à une combinaison de chargements quelconques peut s’écrire vi — I n P i + J12 P 2 + I13 P 3 + * * * + Iin Pn

P l ~ k 2l

W/////Z

»2

r /u / 21

h *

/ »

/* *

h 3

• ••

/n

• ••

fin '

( 11-2)

- ••

h i

• ••

h ,

~Pi Pi

N*

pN i = k N1

^

P l “ *22 Pn = t

P l 88 *12 t ^

et l’ensemble de tous les déplacements s’exprime par : ■»r

P u mka

Fig. 11.2

2

Définition des coefficients d'influence de rigidité.

(11-3) Vl

ïn

Ïi2

/* 3

• ••

L

■••

/*

en fonction de la rigidité. L’énergie de déformation U est égale au travail nécessaire pour déformer le système ; ainsi :

Pi _ *_

ou, en notation matricielle,

U = ^ 2 V = fp

f est la matrice de souplesse de la structure, rapportée au système de degrés de liberté considéré. Dans cette dernière équation les déplacements sont exprimés en fonction du vecteur des charges appliquées p, qui sont considérées comme positives lorsqu’elles sont appliquées dans le sens des déplacements positifs. Les dépla­ cements peuvent également être exprimés en fonction des forces élastiques fs qui s'opposent à la déformation de la structure et qui sont prises positives lorsqu’elles sont dans la direction opposée aux déplacements positifs. D’après les règles de la statique on a immédiatement : v = &s

PiV‘ = V2p^v

(11-6)

(11-4)

(11-5)

Rigidité La signification physique des coefficients d’influence de rigidité définis par l’Eq. (10.4) est illustrée en Fig. 11.2 pour quelques degrés de liberté. Ces coefficients représentent les forces créées dans la structure si un degré de liberté est contraint à subir un déplacement unité alors que tous les autres sont fixes. Remarquons que les coefficients d’influence de rigidité tels qu’ils sont repré­ sentés en Fig. 11.2 sont numériquement égaux aux forces qu’il faut appliquer pour imposer cette condition de déplacements nuls et unité. Ils sont positifs lorsque ces forces sont dans le sens des déplacements positifs, négatifs dans le cas contraire. Autres notions fondamentales en calcul des structures Energie de déformation L’énergie de déformation accumulée dans une structure peut s’exprimer commodément soit en fonction de la souplesse, soit

où pr représente la matrice transposée de la matrice p. En utilisant l’Eq. (11.4) cette expression devient :

u = 1/2v1h

(11-7)

D’autre part, en transposant l’Eq. (11.6) et en utilisant l’Eq. (10.6) on obtient une expression de l’énergie de déformation en fonction de la rigidité (notons que p = fs )

U = 1f 2vrkv

(11-8)

Et comme l’éneigie de déformation accumulée dans une structure stable est toujours positive, on en déduit les deux relations suivantes : vr kv > 0

et

p r fp > 0

(11-9)

où v et p sont des vecteurs arbitraires non nuls. Les matrices qui satisfont à ces conditions sont dites définies positives ; les matrices définies positives ne sont pas singulières et peuvent être inversées. En inversant la matrice de rigidité et en multipliant les deux membres de l’Eq. (10.6) par cet inverse, on obtient k -1 fs = v En comparant à l’Eq. (11.5), on en conclut que la matrice de souplesse est égale à l’inverse de la matrice de rigidité : k"1 = f

(11-10)

En pratique, l’application directe de la définition de la matrice de rigidité, Eq. (11.2), conduit à des calculs longs et difficiles. Dans la plupart des cas on

158

Détermination des matrices caractérisant les propriétés d'une structure / Chap. 11

préférera déterminer d’abord la matrice de souplesse et l’inverser pour obtenir la matrice de rigidité. Loi de Betti On peut obtenir une propriété très importante en considérant le travail effectué par deux ensembles de charges appliqués deux fois dans des ordres différents et en comparant les travaux effectués. Considérons par exemple les deux systèmes de chargement et les déplacements corres­ pondants représentés en Fig. 11.3. Systèm e de charges a:

(11.12) : Wab = Wba ; soit encore : P«r Vf, = Pir v„ (11-13) Cette équation est l’expression de la loi de Betti : le travail effectué par un ensemble de forces dans le déplacement dû à un second ensemble de forces est égal au travail du second ensemble de forces dans le déplacement dû au premier système. Si on écrit l’Eq. (11.4) pour les deux ensembles de forces et de dépla­ cements et qu’on la reporte dans chaque membre de l ’Eq. (1 1.13), on obtient :

Systèm e de charges b :

p /ïp » = p /fp *

Pu

Pla

Pla

Pib

-P2b

î

I

1

1

1

D éform ée a:

Déformée

nVia

d’où

-P3b

Î = F

1

La matrice de souplesse est donc symétrique, c’est-à-dire que = / ;ï, ce qui n ’est en fait qu’une expression du principe de réciprocité de Maxwell. En reportant de même dans l’Eq. (10.6) et en remarquant que p = fs on en déduit que la matrice de rigidité est elle aussi symétrique :

b:

k

v3« Deux systèmes de charges indépendants et les flèches correspondantes.

Cas 1 : si le système de charges a est appliqué le premier, suivi par le système b , le travail effectué sera le suivant : Chargement a :

WM = l/ 2

= V zP/v.

Chargement b :

Wbb + Wab =

Total :

Wt = W„ + Wbb + Wab = V îP /v , + i/ 2pbryb + p /v „

l/ 2? b \

=

kT

+ p /v t

En principe, les coefficients de souplesse ou de rigidité associés à un ensemble de déplacements nodaux quelconques peuvent s’obtenir par application directe de leurs définitions. La notion d'éléments finis procure fréquemment le moyen le plus pratique de calculer les caractéristiques élastiques d’une structure. La structure est alors modélisée par un système d’éléments séparés, qui ne sont rattachés qu’à un nombre fini de nœuds. Les caractéristiques de la structure entière sont déterminées par une superposition adéquate des caractéristiques individuelles de chaque élément fini. Le problème se réduit alors au calcul de la rigidité d’un élément géné­ rique. Considérons par exemple la poutre à inertie variable de la Fig. 11.4. Un

(11-11) Notons que le travail effectué par le système a pendant l’application du système b n’est pas multiplié par 1/2, car ce chargement conserve sa valeur maximale durant la totalité des déplacements vb . Cas 2 : appliquons maintenant les chargements dans l’ordre inverse ; nous obtenons : Chargement b :

Whh = 1/ 2VbTyb

Chargement a :

Waa + Wba = V2p / v fl + p / v a

Total :

W2 = Wbb + Wm + Wba = l/ 2Ï>bTyb +

(11-15)

Eléments finis. Rigidité

~~v2b Fig. 11.3

(11-14)

+ p /v a

( 11-12) La déformation de la structure est indépendante de l’ordre de chargement, et par conséquent Wx = W2 ; d’où, par comparaison des Eqs. (11.11) et

Fig. 11 A

Déformées dues à des déplacements unitaires à l'extrémité gauche d'une poutre.

élément de ce type est assemblé à la structure complète par l’intermédiaire de ses deux extrémités. Ici, seuls les déplacements en translation et en rotation de chaque noeud sont considérés : chaque nœud possède donc deux degrés de liberté. La Fig. 11.4 montre la déformée obtenue par application d’un déplacement unité de chaque type à l’extrémité gauche de l’élément, tandis que les trois autres degrés de liberté sont fixés. Ces fonctions de déplacement pourraient être n’importe quelle fonction satisfaisant aux conditions de conti­ nuité internes et nodales. On prend généralement les déformées obtenues pour une poutre prismatique soumise aux mêmes déplacements nodaux : ce sont des polynômes de Hermite de 3e degré, qui peuvent s’écrire

(11-166)

M *)

En appliquant des déplacements unités à l’extrémité droite on obtiendrait de même

(ll-16c)

ôv(x) =

v3 se,

Fig. 11 S Poutre soumise à une rotation réelle et une translation virtuelle d'un nœud.

effectué par les forces extérieures au travail des forces intérieures (WE = Wj) on obtient : WB = SvaPa = Svx k 13 (11-18) Dans ce cas le travail extérieur est dû uniquement à la force verticale en a car les déplacements virtuels de toutes les autres composantes nodales sont nuls. Le travail des forces intérieures est le travail des moments intérieurs associés à 0a = 1, agissant sur les courbures virtuelles, soit 9 2 / 9 x 2 [Ô iK jc )] =

-x(H

(11-16Pi(x) dx

(ll-3 4 a)

On peut remarquer que cette force généralisée varie en fonction du temps de la même manière que le chargement appliqué. Lorsque les forces généralisées ont été calculées par l’Eq. (11.32) pour chaque élément, elles sont ensuite assemblées pour l’ensemble de la structure par un procédé du même type que la méthode de rigidité directe. 11.5 Rigidité géométrique

Approximation linéaire La propriété de rigidité géométrique est liée à la tendance d’une structure à flamber lorsque ses éléments sont chargés de manière axiale. Elle dépend donc non seulement de la géométrie mais encore du chargement appliqué au système. Dans ce qui suit nous considérerons que le système de forces qui conduit au flambage reste constant pendant le chargement dynamique : il ré­ sulte donc d’un système de chargement statique indépendant du système dyna­ mique, et on ne le suppose affecté que de manière négligeable par la réponse dynamique de la structure. (Si le système de charges responsable du flambage variait dans le temps de manière sensible, la rigidité varierait également et les

Modélisation d'un mécanisme de chargement axial d'une poutre.

Lorsque la poutre réelle se déforme sous l’action d’un chargement quel­ conque, le système auxiliaire lié au système principal est contraint à se déplacer de la même manière, comme représenté sur la figure. En raison de ces déforma­ tions et des efforts axiaux présents dans le système auxiliaire, des forces se créent dans les liens de couplage au système principal. Autrement dit, la résis­ tance du système principal sera nécessaire à la stabilisation du système auxiliaire. L’équilibre des forces dans un élément générique i du système auxiliaire est représenté à la Fig. 11.10. Les composantes transversales des forces f a et fc j Ni

dépendent de la valeur de la composante axiale de la force dans le segment N iy ainsi que de l’orientation du segment. Elles sont considérées positives lors­ qu’elles agissent dans le sens des déplacements positifs du système principal. Sous forme matricielle, ces forces s’expriment ainsi : M

=

U J

1

h L-1

~r

1.

Vi

(11-35)

LVJ.

En combinant des expressions de ce type pour l’ensemble de tous les seg­ ments, les forces transversales dues aux forces axiales peuvent s’écrire, pour la poutre de la Fig. 11.9 : / gi Fig. 11.11

/g 2

Poutre chargée axialement : rotation réelle et translation virtuelle en un nœud.

V2

Vi

fcGi

Appliquons un déplacement virtuel et écrivons que le travail des forces virtuelles extérieures est égal au travail virtuel des forces intérieures. Le dépla­ cement virtuel Svi associé à la force k c \3 donne le travail virtuel extérieur WE = foa Sva = *013 ^ 1

J gn]

L

o

o

o

o

• • •j l% J

(11-36) On notera dans cette expression que l’intensité de la force axiale peut changer d’un segment à l’autre ; pour le chargement de la Fig. 11.9 toutes les forces axiales sont les mêmes et le terme N peut être mis en facteur. L’Eq.(11.36) peut s’écrire, en notation matricielle : = k G\

(11-37)

(11-38)

(la direction positive des forces, donc des coefficients de rigidité géométrique, est la direction positive des déplacements). Pour déterminer le travail des forces intérieures il nous faut calculer le travail élémentaire correspondant à un élément d x de la poutre. Cet élément est représenté à la Fig. 11.11 et à la Fig. 11.12 à plus grande échelle. Le travail effectué dans cet élément par la force axiale N (x) pendant le déplacement virtuel est : dWj = N (x)d (ô e)

La matrice k G est appelée matrice de rigidité géométrique de la structure. Pour une telle approximation linéaire du système, la matrice est tri-diagonale comme on peut le voir à l’Eq.(l 1.36) : les contributions des éléments adjacents forment la diagonale principale, et un seul élément correspond à chaque terme extra­ diagonal (terme de couplage).

(11-39)

-N{x)

Rigidité géométrique cohérente La notion d’éléments finis peut encore être utilisée ici pour permettre d’ob­ tenir une approximation d ’ordre supérieur. Considérons toujours la même poutre que précédemment, à présent soumise à des charges axiales réparties résultant d’une variation quelconque de N (x), comme le montre la Fig. 11.11. Le schéma du bas montre la poutre soumise à une rotation unité de son extré­ mité gauche, v3 = 1. Par définition, les forces nodales associées à cette compo­ sante de déplacement représentent les coefficients de rigidité géométrique cor­ respondants : par exemple &gi3 est la force verticale produite à l’extrémité gauche.

Fig. 11.12 Segment élémen­ taire de la poutre en déforma­ tion de la Fig. 11.11.

où d(ôe) représente la distance que les forces parcourent en allant l’une vers l’autre. En utilisant les triangles semblables de la figure on voit que : d(ôe) =

dx

Soit encore, en intervertissant l’ordre de la dérivation et de la variation dans le second membre : d(ôe) = ^ ô dx { î dx) En remplaçant dans l’Eq.(l 1.39), ceci conduit à : ,dv dWj = N (x ) ^ à dx

dx

et en exprimant les déplacements latéraux par les fonctions d’interpolation, puis en intégrant : Wj = ôvx

r

(11-40) dx

dx

Egalons travail intérieur et travail extérieur et nous obtenons le coefficient de rigidité géométrique 13

-r

&x

(11-41)

Soit plus généralement : kGij = J

N

d

x

(11-42)

La matrice de ces coefficients est évidemment symétrique et = ko ^. Si on utilise les fonctions d’interpolation de Hermite, Eqs. (11.16), le résultat est appelé matrice de rigidité géométrique cohérente. Et dans le cas particulier où la force axiale est constante le long de l’élément la matrice de rigidité géo­ métrique cohérente s’écrit / g1 / g2 / g3 _ / g4_

N 30L

36 -3 6 -36 36 3L —3L 3L —3L

3L -3 L 4L2 -L 2

3L -3 L —L2 4L2

v2

(11-43)

_”4_

Si en revanche on utilise des fonctions d’interpolation linéaires [Eq. (11.33)] dans l’Eq. (11.42) et si la force axiale est constante, la rigidité géométrique est la même que celle trouvée précédemment dans l’Eq. ( 11.35). On assemblera les rigidités géométriques de chaque élément pour obtenir la rigidité géométrique de l’ensemble de la structure de la même manière que la rigidité élastique, et la matrice résultante aura une configuration analogue quant aux termes non nuls. La matrice de rigidité géométrique cohérente concerne donc les degrés de liberté de rotation ainsi que ceux de translation ; l’approximation linéaire [Eq. (11.35)] ne concerne que les translations. L’une et l’autre s’expriment à l’aide de l’Eq.( 11.37).

11.6 Choix du type de formulation

Nous venons d’envisager deux niveaux d ’approximation pour la détermina­ tion des masses, rigidités géométriques et forces extérieures généralisées : ( l) une méthode élémentaire ne prenant en compte que les degrés de liberté de translation de la structure ; (2) une méthode “cohérente” prenant en compte translations et rotations. La première méthode est considérablement plus simple que la seconde : non seulement les caractéristiques sont plus faciles à calculer, mais encore le nombre d’inconnues à considérer par la suite est nettement plus limité pour une structure donnée. En principe la méthode “cohérente” devrait conduire à de meilleurs résultats, mais en pratique l’amélioration est souvent très faible. Il semble que les degrés de liberté de rotation présentent beaucoup moins d’importance dans les calculs que les degrés de liberté de translation. L’avantage principal de la méthode “cohérente” tient au fait que les contri­ butions énergétiques à la réponse de la structure sont calculées de manière cohérente, ce qui rend possible la détermination de bornes auxquelles doivent satisfaire les fréquences de vibration de la structure. Néanmoins cet avantage justifie rarement le volume des calculs auxquels cela conduit. La méthode des masses concentrées pose un problème particulier lorsque la rigidité élastique est formulée par la méthode des éléments finis ou par toute autre méthode où interviennent des degrés de liberté de rotation. Si le calcul des autres caractéristiques a été fait en négligeant ces degrés de liberté, il est nécessaire de les exclure également de la matrice de rigidité avant d’écrire les équations du mouvement. Le processus permettant d’éliminer certains degrés de liberté de la matrice de rigidité s’appelle condensation statique. Supposons que l’on ait séparé les degrés de liberté de rotation de ceux de translation, de sorte que l’on puisse écrire l’équation d’équilibre

Ê a [::]-£]-[«] où l’indice t correspond aux translations et l’indice 0 aux rotations. Si aucune composante de rotation n’agit sur la structure, il est évident que les forces élas­ tiques de rotation doivent également disparaître, c’est-à-dire que = 0. Si cette condition est introduite dans l’Eq.( 11.44) il est possible d’exprimer les rotations en fonction des translations : y$ = "”^00

(11-45)

Soit en reportant dans l’Eq. (11.44) : (^ff

Posons

= f St

k fv* = fs,

(11-46)

avec k r = k „ — k f0k00_ 1k 0r (11-47) k t est la rigidité élastique associée aux composantes de translation. L’utili­ sation de cette matrice s’accorde bien avec les expressions des autres carac-

téristiques élémentaires de la structure ; autrement dit, il s’agit là du type de matrice de rigidité illustrée par la Fig. 11.2. EXEMPLE El 1.3 Considérons l’exemple El 1.1, dont nous désirons éliminer les deux degrés de liberté de rotation. La matrice de rigidité condensée qui en résultera ne contiendra alors plus que des coefficients associés à des degrés de liberté de translation : elle pourra donc être utilisée conjointement avec la matrice de masse concentrée déterminée à l’exemple El 1.2. La sous-matrice de rigidité de l’exemple El 1.1 correspondant aux degrés de liberté de rotation est : _ 2EI r 61} 2L2“ H =— ** “ L3 j_2L2 6L2 " L

?J

11.4

11.5

T3 n

Ll

En utilisant PEq.(l 1.34a), exprimer la variation dans le temps de la composante de charge cohérente P2W av©c la fonction de déformée de l’Eq.(11.16). En utilisant l’Eq.( 11.42) calculer le coefficient de rigidité géométrique cohérente k G24 pour une poutre ayant la répartition de force axiale suivante : N(x) = N 0(2 — x/L). Utiliser les fonctions de déformée de l’Eq.(l 1.16) et calculer l’intégrale par la méthode de Simpson en utilisant Ajc = L/4. Le portique plan de la Fig. P l l . l est composé de poutres prisma­ tiques. Assembler la matrice de rigidité rapportée aux trois degrés de liberté indiqués, en calculant les coefficients de rigidité des éléments au moyen de l’Eq.(l 1.22).

3j

p{x,t)=p${t)

Son inverse est :

w = 32EI - ^[_r—31 _ii 3J

r 2m

t 3 TA\ El

En utilisant cette expression dans l’Eq.( 11.45) on exprime les degrés de liberté de rotation en fonction des termes de translation par :

p(t)=pLÇ(t)

l r 3 - n 2e i r3 L i 3 rn 3 2 E l[ -l 3J |_ 3 L JVl ~ La matrice de rigidité condensée rapportée aux composantes de transla­ tion est donnée par FEq.( 11.47), soit rv i

UJ

I?

3L]

_3_ 8L

3L

2EI 39 L3 4

2

Fig. P11.1

11.6 11.7

Problèmes

11.2

11.3

////////

Sl Li J 1’1

8L

11.1

r m 1- Eh'l

Avec les polynômes de Hermite, Eqs. (11.16), pour fonctions de défor­ mée calculer par l’Eq.( 11.21) le coefficient de rigidité k 23 pour une poutre ayant la rigidité en flexion suivante : EI(x) = EI0(l + x/L). En utilisant l’Eq.(l 1.28), calculer le coefficient de masse cohérente m 2 3 pour une poutre présentant la distribution massique suivante : m(x) = m{ 1 + x/L ). Prendre les fonctions de déformée de l’Eq.(l 1.16) et calculer l’intégrale par la méthode de Simpson en divisant la poutre en quatre segments égaux. La charge répartie appliquée à une poutre s’écrit

11.8

Portique plan.

Assembler la matrice de masse de la structure du Prob. 11.5 en calculant les coefficients de masse de chaque élément au moyen de l’Eq. (11.29). Assembler le vecteur des forces de la structure du Prob. 11.5, en cal­ culant les charges aux nœuds de chaque élément au moyen de l’Eq. (11.32). Pour un portique plan de la même conception que celui du Prob. 11.5, mais ayant des cotes et des caractéristiques physiques différentes, les ma­ trices de rigidité et de masse concentrée s’écrivent " 20 -1 0 L - 5L ’ "30 0 0“ -1 0 L 15L2 m = mL 0 0 0 8L2 - 5L 8L2 0 0 0 12L2 (0) Par condensation statique, éliminer de la matrice de rigidité les deux degrés de liberté de rotation. (b) En utilisant la matrice de rigidité condensée, écrire l’équation du mouvement rapportée à un seul degré de liberté (vibrations libres non amorties).

Oscillations libres non amorties

12.1 Détermination des fréquences propres de vibration

L’équation du mouvement d ’un système se déplaçant librement sans amor­ tissement s’obtient en omettant dans l’Eq. (10.13) le vecteur de chargement et la matrice d’amortissement : mv + kv = 0

(12-1)

Par analogie avec le comportement des systèmes à un degré de liberté, nous supposerons que le mouvement est harmonique ; il s’exprime simplement sous la forme y(t) = ♦ sin (œ t + 0)

(12-2)

où v représente les modes de déformation possibles du système (seule leur amplitude varie avec le temps) et 0 est un angle de déphasage. Les accélérations en vibrations libres sont alors données par la dérivée seconde de l’expression précédente : v = —(ûH sin (œt 4- 0) = —û>2v

(12-3)

En reportant ces deux dernières expressions dans la première équation, nous obtenons l’expression : —co2m t sin (œt + 0) -f- k t sin (œt + 0) = 0 • qui doit être vérifiée quel que soit t , donc pour toutes les valeurs de la fonction sinus ; donc : [k — co2m]f = 0

(12-4)

On peut montrer par la règle de Cramer que la solution de ce système d’équa­ tions simultanées est de la forme 0

? = llk

étage et en calculant les forces résultantes (voir figure). On suppose les planchers très rigides, et les forces à chaque étage peuvent être facilement déterminées par simple addition des coefficients de rigidité latéraux. Les matrices de masse et de rigidité de cette structure sont donc :

(12-5)

arm II

Une solution non triviale n’est donc possible que si

m = 200 t (12-6)

||k — a)2m|| = 0

k -

(12-7)

Ln =

(12-10)

^3 n

‘ 1‘

■ * i._ 02» 03n

^2» 03n -f y

-P nh-

.L .

Jn)

00

*'21 *31

(n)

^222 *32

00

*1300 _00 ^23 *33

e lN

001 “ 1 “

*2 N

00

^2 n

*3 N 00 e NN

"NI («)

^3 n

1 if

(») ^12

'O' ’6 — 0

[ês? ë & J L v I

roLo.

_o_

( 12-1 la)

D’où Èoi(B) +

% 00(n% n

= 0

‘0 n 021 031 4>n] — 041

( 12- 11)

où l’on a utilisé le partitionnement en correspondance avec les amplitudes inconnues. L’expression précédente peut s’écrire

[en i f f i r i i

V».

où vkn est la composante de référence. Chacun des N modes vibratoires peut être déterminé de la même manière ; soit O la matrice carrée de dimension N représentant les N modes vibratoires

Sous forme développée l’Eq. (12.8) devient 00

(12-15)

0*n

( 12- 12)

012 022 032 042

-0JV1 0N2

01N 02 N 03W 04JV

‘ ' *

(12-16)

0JVN-

La détermination des fréquences et modes vibratoires d’une structure se réduit donc au problème du calcul des valeurs et vecteurs propres d’une matrice. Les fréquences propres de vibration du système sont les racines carrées des valeurs propres, et les modes vibratoires correspondent aux vecteurs propres. Le Chapitre 14 considérera brièvement la réduction de l’équation du mouvement en vibrations libres à la forme d’un problème d’éléments propres standard.

et eu (n) + É

jo^

o.

= 0

(12-13)

EXEMPLE El 2.2 En considérant les deuxième et troisième lignes de la matrice obtenue à l’exemple précédent (E l2.1), nous obtenons

L’Eq. (12.12) peut être résolue simultane'ment pour obtenir les amplitudes de déplacement : = -(Ë o o (n)r , Ëo12)f , où la matrice de souplesse ï est l’inverse de la matrice de rigidité k. Le résultat s’écrit ^

B 3 = 3.54

E~

- L -2

-2 1

H?(3h-i

- 2.08J r23~\

U 33J

^

1 f —2.08 - 6 h L

2

21 - 2 .31J

1 (~-2 .0 8 1 = r -2 .5 7 1 0.81 L 2.00J 2.47J

l

On a pris pour chacun de ces modes un déplacement unité de la masse. Ces modes sont représentés à la Fig. El 2.2. 1.000

1.000

(12-17)

où I représente une matrice identité d’ordre N. Comme auparavant, cet ensemble d’équations homogènes ne peut admettre une solution non nulle que si le déterminant de la matrice carrée s’annule ; l’équation aux fréquences est dans ce cas

Mode 3 :

f»2V™ *» = mTmîm„ (0n d’où, en utilisant l’Eq. (12.38a),

= I

^ mTm în î^ = 0 La prémultiplication de l’Eq. ( 12.39) par ( 1/co2)

(12-42) r nifmf donne alors

— nT^ n = 2(nC0„Mn

Mn = 4>nTmn Kn = 4>/k*n = < M n

Cn = p n{t) = 4>M t)

= 2ÇnmnMn (13‘15)

Les masses, rigidités et chargements généralisés exprimés en coordonnées prin­ cipales sont identiques que le système soit amorti ou non [Eq.(l3.l0)]. L’amor­ tissement généralisé du même mode fourni par FEq. (13.15) a une expression semblable. Le dernier terme de cette équation représente une définition du coefficient d’amortissement correspondant au même mode ; les autres

Mais si c est fourni par l’Eq.(13.17), la contribution du terme b de la série à l’amortissement généralisé est c nb = t / e t # , = abnTm [m -i k']bn (13-18) En prenant l’Eq.( 12.39) k , on obtient :

= con2mnTm lm -lkf4>, = n2bMn - 2Çn(onM„

(13-22)

= i

(13-23)

b

C = O rcO = 2

0 o

0 0 Ç2C02M2 0 0 Ç3a>3M3

(13-27)

D’OÙ

2 ah3

i = 7 2Qa

Il est évident sur cette équation que la matrice d’amortissement peut être obte­ nue en pré- et post-multipliant C par l’inverse de la matrice modale ou sa transposée :

(13-26)

et la matrice d’amortissement peut finalement être obtenue à partir de l’Eq. (13.17). On peut remarquer sur l’Eq^O.23) ou (13.24) que lorsque la matrice d’amortissement est proportionnelle à la masse (c = a 0m » donc b == 0)> Ie facteur d’amortissement est inversement proportionnel à la fréquence de vi­ bration : les modes d’ordres élevés seront alors très peu amortis. Par contre si l’amortissement est proportionnel à la rigidité (c = fljk et & = l),le coeffi­ cient d’amortissement est directement proportionnel à la fréquence et les modes les plus élevés seront alors très amortis.

(13-30)

Il en résulte que l’inverse de la matrice modale est «D 1 = M ^ m

(13-31)

La matrice d’amortissement est alors obtenue en reportant l’Eq.( 13.31) dans l’Eq.(13.28) c = [mOM"

1O r m]

(13-32)

Comme cn = 2%nconMn, les éléments de la matrice diagonale obtenue en faisant le produit des trois matrices diagonales centrales de l’expression cidessus sont donnés par

et l’Eq.( 13.32) peut s’écrire sous la forme c =

(13-34)

où J représente la matrice diagonale des éléments Dans la pratique il est plus commode d’utiliser le fait que chaque facteur d’amortissement modal fournit une contribution indépendante à la matrice d’amortissement, à savoir c„ = m0nÇ A r m

(13-35)

La matrice d’amortissement totale peut donc être obtenue comme la somme des contributions modales r

n

n

m

C = n2= l e» = m [_n= 21

(13-36)

En utilisant l’Eq .(13.33) on obtient (13-37) L»*1

n

J

Dans cette équation, la contribution de chaque mode à la matrice d’amortisse­ ment est proportionnelle au facteur d’amortissement modal : tout mode non amorti ne contribuera donc pas à la matrice d’amortissement. Autrement dit, seuls les modes spécifiquement considérés lors de la formation de la matrice d’amortissement seront amortis ; les modes restants ne le seront pas. Il est bon de préciser dans quelles circonstances il peut être désirable d’expli­ citer les éléments d’une matrice d’amortissement, comme on l’a fait aux Eqs. (13.17) ou (13.37). On remarquera que les facteurs d’amortissement modaux constituent le moyen le plus efficace de calculer l’amortissement d’un système lorsqu’on utilise la méthode d’analyse par superposition des modes. C’est pourquoi la matrice d’amortissement sous forme explicite est nécessaire, surtout si la réponse est obtenue par une autre méthode : par exemple par intégration pas à pas pour un système non linéaire. Couplage de l'amortissemen t Dans ce qui précède on a insisté sur le fait que lorsque la matrice d’amortis­ sement d’un système a une forme qui satisfait aux conditions d’orthogonalité des modes, la transformation dans les coordonnées modales non amorties conduit à un système d’équations découplées. Comme la réponse du système peut ensuite être obtenue en superposant les réponses données par les équa­ tions de ces systèmes à un degré de liberté, un tel découplage représente un avantage majeur des coordonnées principales. On a également signalé plus haut que ces coordonnées présentent un autre avantage d’égale importance : l’essen­ tiel de la réponse dynamique correspond souvent aux premiers modes, ce qui signifie que l’on peut souvent obtenir une bonne approximation de la réponse, même avec un nombre très réduit de coordonnées. Si l’essentiel de la réponse dynamique est contenu dans un nombre limité de premiers modes, il est alors avantageux d’effectuer la transformation en

Coordonnées principales, même si la matrice d’amortissement ne satisfait pas conditions d’orthogonalité. Dans ce cas la matrice d’amortissement géné­ ralisé ne sera pas diagonale : les équations modales seront donc couplées par fol forces d’amortissement généralisées. Il en résulte que la réponse devra être Obtenue en intégrant ces équations simultanément au lieu de le faire séparé­ ment. On pourra cependant intégrer pas à pas (Chap. 15) ; le plus adroit est Mns aucun doute d’effectuer l’intégration pour quelques équations couplées en coordonnées principales plutôt que le faire pour le système couplé original. Un autre procédé consiste à résoudre le problème aux valeurs propres complexes (qui apparaît lorsque la matrice d’amortissement a une forme quel­ conque), puis à obtenir un système d’équations découplées par une transfor­ mation en coordonnées modales amorties*. Le calcul des modes amortis nécessite cependant beaucoup plus de calculs que ne le nécessite la recherche des valeurs propres en l’absence d’amortissement : le problème est d’ordre 2N pour un système à N degrés de liberté, parce qu’un cycle de déphasage doit Itre calculé pour chaque mode en plus de l’amplitude relative. Pour cette raison l’utilisation des déformées modales non amorties est généralement plus AUX

efficace.

13.4 Méthode de superposition des modes : récapitulation A la base de cette méthode se trouve la transformation en coordonnées principales qui permet de remplacer un système de N équations couplées par un système de N équations découplées. On peut ainsi calculer la réponse dyna­ mique d’un système linéaire quelconque dont les déplacements sont exprimés par N coordonnées discrètes et dont l’amortissement est accessible sous la forme de facteurs d’amortissement modaux. Le procédé peut être décomposé comme suit : P R E M IE R E E TA PE : E Q U A T IO N S DU M O U V E M E N T

Pour la classe de

systèmes considérée les équations du mouvement s’écrivent, voir Eqs.( 10.13) :

mv + cv 4- kv = p(f) DEU X IEM E E TA PE : D E T E R M IN A T IO N DES F R E Q U E N C E S ET MODES P R O P R E S Pour des vibrations libres non amorties, l’équation matricielle

d-dessus se réduit au problème de valeurs propres de l’Eq.(12.4) :

[k — co2m]v = 0 On peut ainsi déterminer la matrice modale O et le vecteur des fréquences cir­ culaires t0.

* Cf. la me'thode décrite au chapitre 9 de l’ouvrage de W.C. Hurty & M.F. Rublmtein, Dynamics o f Structures, Prentice Hall, 1964.

Chaque vecteur modal étant utilisé successivement, on calcule la masse et le chargement généralisés relatifs à chaque mode, Eqs. (13.10) :

TR O IS IE M E E TA P E : MASSE E T C H A R G E M E N T G E N E R A L IS E S

Mn =

P„(t) = 0„rp(O

SEPTIEME ETAPE : REPONSE EN COORDONNEES GEOMETRIQUES Une fois la réponse Yn(t) de chaque mode déterminée à partir des Eqs. (13.39) •t/o u (13.40),les déplacements exprimés à l’aide des coordonnées géométriques peuvent être obtenus par la transformation en coordonnées principales, Eq. , (13.2) :

v(0 = OY (0 Q U A T R IE M E

E TA PE

: E Q U A T IO N S D E C O U P L E E S DU M O UV EM ENT

L’équation du mouvement de chaque mode peut alors s’écrire de la manière suivante, en combinant la masse et le chargement généralisés du mode avec la fréquence angulaire propre (ou modale) con et la valeur donnée du facteur d’amortissement modal Eq.(13.l4b) :

L’Eq .(13.2) peut s’écrire sous forme développée

V(0 = ^ 1^1(0 + $ 2^2(0 + 0 3 ^ (0 + *** ce qui représente simplement la superposition des contributions de chaque

mode, d’où le nom de la méthode. On remarquera que dans la plupart des cas Y. + 2{ncottŸ„ +' 2t 0.019 cos œ3t

Une fois ces résultats connus, le mouvement de chaque étage en vibra­ tion libre peut être déterminé à partir de la relation de superposition v(f) =4>Y(t). Il est évident que le mouvement de chaque étage comprend des contributions de chacune des fréquences naturelles de la structure.

EXEMPLE E l3.2 Calculons la réponse de la structure précédente à une impulsion sinusoïdale simple créée par une explosion. Le chargement peut être exprimé sous la forme suivante : 11 = 0.02 s '1' > i(0 ' 7r où tt Pl(t) = 2 (2 500 kN) cos - t . f j W

—, 1 = foi?

ou

(14-1)

et)

Le produit matriciel fm caractérise les propriétés dynamiques de la structure. On l’appelle matrice dynamique et on le note D : D = fm

(14-2)

—, * = m

(14-3)

CÛ

Cette dernière équation ne sera satisfaite que par les vecteurs qui repré­ sentent un mode de vibration vrai ; il en existe N et le but de la méthode de Stodola est de tous les déterminer, ou d’en déterminer un certain nombre. On commence par se donner un vecteur initial v^0*, qui doit représenter au mieux le premier mode ; son amplitude est arbitraire. L’indice inférieur 1 caractérise le premier mode. L’indice supérieur(0)indique qu’il s’agit de l’hypo­

(14-6)

Si on suppose que l’amplitude calculée est égale à l’amplitude initiale, une équation équivalente à l’Eq. (14.6) permet de calculer la fréquence. Consi­ dérons la coordonnée de déplacement d’un point arbitraire k ; on a h i W = —2 vklw or

La meilleure méthode de calcul dynamique à la main est sans doute celle de Stodola, que nous présentons ici sous forme matricielle. La méthode est fondée sur l’Eq. (12.17), que l’on peut écrire

(14-5)

f j (1) est proportionnel à la déformée calculée, l/w 12 étant le facteur de proportionnalité inconnu. Si on compare les Eqs. (14.4) et (14.5) :

14.2 Méthode de Stodola Détermination du mode fondamental

(14-4)

<

=

(14-7) (14-8)

Si la déformée supposée était un mode vrai, la même fréquence serait obtenue en calculant le rapport de l’Eq. (14.8) pour n’importe quelle coordon­ née de la structure. En règle générale la déformée v^1* différera de v ^ , et un résultat différent sera obtenu pour chacune des coordonnées. La vraie fréquence du premier mode sera alors située entre les valeurs maximum et minimum obtenues à partir de l’Eq. (14.8) :

(H t7«to !) <

W

2(û 22Y2w

+ * 3o>32Y3

+ • • •J

(14-15)

Les flèches résultant de ces forces d’inertie sont ViU) = ff/0) = fm ^ 1co12Y1(0) + ? 2co22Y2(0)

J

Etc. Fig. 14.1

Interprétation physique des itérations de Stodola.

Si on multiplie par f les deux membres de l’Eq. ( 12.39) :

N

m

(14-16)

n —1

yW _

4>nYn^ = Y(1)

(14-19)

n=l

~

vx(1> = 2 { avec

(14-18)

n = on peut alors réécrire l’Eq. (14.16) sous la forme Vi(1) = f

OU

fr731(l)

(14-14)

En développant v / 0^ comme on l’a fait à l’Eq. (14.13) et en remplaçant coi2 par ( c o l lcü n ) 2 , on obtient f/°> = m

r/3,(0)Î

Déformée calculée

La coordonnée sera relativement importante si le choix initial de la déformée est bon. Les forces d’inertie relatives à cette déformée associée à la fréquence du premier mode sont, voir l’Eq. (12.33) : f/o> = œ i2rn*/*» = co, 2mOY(0)

// (0) JI2l

yB(0)

(14. 17)

qui est équivalente à l’Eq. (14.13) mais correspond aux déplacements calculés. Le même procédé après une nouvelle itération fournit les flèches suivantes : (2 )

= OY

= O

y„(0)J

(14-20)

Après s cycles on obtient V (s)

= OY(s) = ®

,F»(0>] = ^ i y i = Dv2(0) (14-30) t»22 ce qui exprime qu’une déformée d’essai pour le deuxième mode ne contenant aucune composante du premier mode convergera vers le deuxième mode. En reportant l’Eq. (14.28) dans l’Eq. (14.30) on obtient v2(1) = DS1v2(0) s D2v2(0>

(14-31)

co2

où

D2

s

DSi

(14-32)

6lt une nouvelle matrice dynamique, qui éliminera d’une déformée d’essai v2 ^ toute composante du premier mode et convergera donc automatiquement vers le deuxième mode. Lorsqu’on utilise D2, la détermination du second mode ait entièrement équivalente à celle du premier mode envisagée précédemment. La fréquence peut donc être calculée de façon approchée par une équation équivalente à l’Eq. (14.10) :

(14-25)

où le second membre se réduit à un terme de premier mode en raison des propriétés d’orthogonalité. L’Eq. (14.25) peut alors être résolue pour calculer la composante du premier mode en v2*°* : y W _ f e T

Le vecteur d’essai épuré convergera vers le second mode. On remarquera néanmoins qu’en raison des diverses erreurs d’arrondi, les calculs introduisent des imprécisions qui permettent aux composantes du premier mode de réapparaître : il sera donc nécessaire de répéter l’opération d’épuration à chaque cycle afin d’assurer la convergence vers le second mode. Pour débarrasser le vecteur d’essai de la composante du premier mode, il est commode d’utiliser une matrice dite “de balayage”, obtenue en remplaçant dans l’Eq. (14.27) la valeur par celle obtenue à l’Eq. (14.26), à savoir :

(14-26)

Si on élimine cette composante de la déformée initiale, on dit que le vecteur d’essai a été “épuré” : v2(0) = v2(0) 04-27)

* (! ? T " " r v2v 'mv2 où

(14-33)

f .( l ) ==' v2(1) D2v2(0)

L’itération peut alors être poursuivie jusqu’au degré de convergence voulu. On voit que dans cette méthode le premier mode doit être déterminé avant le second. De plus le premier vecteur modal i doit être calculé avec une très bonne précision afin de permettre le calcul d’une matrice de balayage SA permettant d’obtenir des résultats satisfaisants pour le second mode. En général les coordonnées du deuxième vecteur modal auront un chiffre significatif de moins que les coordonnées du premier.

EXEMPLE E14.2 Calculons le deuxième mode de la structure présentée à l’exemple E14.1. Dans ce but la matrice de balayage sera mise sous une forme légèrement différente de celle de FEq.( 14.29), mieux adaptée aux calculs manuels (surtout si un seul mode doit être “balayé”). La matrice de balayage du premier mode s’écrit, sous la forme de l’Eq.(l4.154) :

S,

-[

D’après l’exemple E14.1, 4>i = [1.000 0.646 0.301] et m, est le premier vecteur colonne de la matrice de masse: m / = 200 [1 0 0]. Donc = 200. Quant à mr, il représente les colonnes restantes de la matrice de masse '0 0 mr = 200 1.5 0

0

2.0

La fréquence du deuxième mode, calculée à partir des résultats obtenus au dernier cycle d’itération, est : ta 2 = £32^ = _ — ------ = 958 2 v32iTmr = [0.969 0.602], La matrice de balayage du premier mode est donc " -0.969 - 0.602 1 0 Sx = ' 0 1 La matrice dynamique du second mode est -3 .1 6 D2 = DS, = 1 2.66 3 600 1.06

Les déplacements ont été normalisés en divisant par le plus grand des deux déplacements considérés en cours d’itération. Il en résulte que la valeur t;21 calculée lorsque \ r a convergé est supérieure à 1 : ce résultat a été normalisé une fois de plus dans la dernière colonne. La déformée obtenue peut être comparée à celle trouvée précédemment à l’exemple E l2.2 : la légère différence entre les deux résultats provient d’erreurs d’arrondi.

Il est à présent bien clair que le procédé de balayage peut épurer un vecteur d’essai des contributions des deux premiers modes simultanément, ce qui aura pour effet de faire converger la méthode de Stodola vers le troisième mode. Ayant déterminé la déformée épurée du vecteur d’essai pour le troisième mode, par analogie avec l’Eq. (14.27) on aura v3(0> = v3(0) - fa Y ™ - ^ 2y2(0)

(14-34)

Si on utilise la condition d’orthogonalité de v3(0) a v e c ^ et (/>2 simultanément on a : f rmv3(0) = 0 = ^ 1r mv3(0) - M 171(0)

-2.62 0.99 2.80

On poursuit l’itération correspondant au second mode et à la fré­ quence correspondante en utilisant la matrice dynamique de la même manière qu’à l’exemple E l4.1. Il est évident ici que seul vrT = [u22 >'32] doit être inclus dans le vecteur d’essai v2^°\ car le déplacement v12 de l’étage supérieur est régi par la condition d’orthogonalité. Ce déplace­ ment n’a pas à être calculé avant que la solution obtenue pour vr ne converge. d2 \2 -3 .1 6 -2 .6 2 1 2.66 0.99 3.65 0.95 3.52 3 600 2.80 3.86 1.00 3.81 1.06 . y2(3) V — — — — -1 .4 6 1.00' « 0.92 3.44 0.91 3.41 0.91 -0 .6 2 1.00 1.00 3.77 1.00 3.76 - 0.68 ‘ Définition finale du mode

2rmv3(0) = 0 = ^ 2Tinv3(0) ““ M 2Y2i0) Ce qui conduit aux expressions suivantes pour les amplitudes des deux premiers modes relatives au vecteur d’essai v3(°) : y/o) = _ L ^ 1Tmv3(0) Mi

(14-35a)

y2 = — 0 2rmv3(O) M2

(14-356)

Ces expressions sont équivalentes à l’Eq. (14.26). Si on reporte ces valeurs dans l’Eq.( 14.34) on obtient

L’Eq.(14.36) montre que la matrice de balayage S2, qui élimine à la fois les composantes des deux premiers modes du vecteur v3^ , est obtenue en sous­ trayant tout simplement un terme du deuxième mode de la matrice de balayage du premier mode, soit s 2 = Si - - i -

2rm

M2

L’opération de balayage s’exprime par : v3«» = S2v3(0)

(14-37)

Les propriétés dynamiques du système sont à présent contenues dans la matrice E = m_1k == D ' 1

Si un vecteur d’essai est affecté au mode de vibration d’ordre le plus élevé N, l’Eq. (14.43) devient a v V 1) = Ev*

(14-38)

=

(14-45)

Cette équation est équivalente à l’Eq.(14.4). Par analogie avec les Eqs.(14.8) et (14.10), on obtiendra des approximations de la fréquence du Même mode avec il

L’équation de Stodola pour la détermination du troisième mode peut s’écrire, par analogie avec l’Eq. (14.31) :

_L

(14-44)

C1)

= -pTôj

(14-46a)

v kN

=

v3(1) Dv3(0) DS2V3(0) s D3v3(0) (14-39) Û>3 La matrice dynamique modifiée D3 a donc pour fonction le “balayage” des composantes du premier et du deuxième modes du vecteur d’essai v3^ , et assure ainsi la convergence vers le troisième mode. Le même procédé peut être répété pour la détermination de modes d’ordre de plus en plus élevé. Pour calculer le quatrième mode par exemple, la matrice de balayage S3 serait formée comme suit : S3 = S2 —

M3

0 3^ 3rm

(14-40)

où elle opérerait ainsi : v4(0) = S3v4(0)

(14-41)

La matrice dynamique correspondante est D4 = DS3. La relation de récurrence s’écrit 1 S„ = S ,.* - J L m Dn+1 = DS„ (14-42) Mn La principale limitation de ce procédé est que tous les modes d’ordre inférieur au mode calculé doivent être connus avant que la détermination du mode re­ cherché ne puisse être entreprise. Il est également essentiel d’évaluer avec préci­ sion les modes d’ordre inférieur pour que la matrice de balayage puisse agir effi­ cacement dans le calcul des modes d’ordre supérieur. On n’utilise en général ce procédé que pour le calcul de quatre à cinq modes au maximum. Détermination du dernier mode

La méthode de Stodola s’applique également au calcul du mode d’ordre le plus élevé d’une structure quelconque. Si on multiplie à gauche l’Eq.(14.1) par co2m-1k : œ2v = E? (14-43)

(V/v(1))rm œN2 = — —V;v(1) -— * ( V

ou encore

H4-4 114

où vN(1) = E v ^ . La déformée calculée v ^ 1^ constituera une meilleure approximation du mode d’ordre N que ne le constituait l’hypothèse originale ; si on l’utilise comme nouveau vecteur d’essai et si le procédé est répété un nombre suffisant de fois, le mode le plus élevé pourra donc être déterminé avec la précision désirée. La démonstration de la convergence du procédé vers le Même mode se conduit exactement comme pour le mode fondamental. La différence essen­ tielle est que le terme coN2 figure au numérateur plutôt qu’au dénominateur, ce qui a pour résultat de donner à l’Eq.( 14.22) la forme suivante : 1 » ( ^ î ) 2s » ( \



- 8.36 21.24 - 20.34

Forme finale du mode

Il est visible que ce procédé converge vers le mode le plus élevé beaucoup plus lentement qu’il ne convergeait vers le mode le plus bas dans l’exemple E14.1 : c’est caractéristique de la méthode de Stodola. La déformée fi­ nale concorde cependant bien avec celle obtenue par d’autres méthodes (méthode des déterminants de l’exemple E l2.1), et converge suffisam­ ment pour la précision de la règle à calcul. La fréquence obtenue dans la dernière itération est, voir Eq.(14.46fl) : û>32 =

(14-48a)

tW 7) = 21.24(100) = 2 124 (6 )

”23

qui concorde également avec la valeur obtenue à l’Exemple El 2.1. Le facteur multiplicatif 100 provient de la matrice dynamique E.

T" ♦ = G* Aq

(14-49a)

G = *kco

(14-496)

où L’Eq.(14.49a) a la même forme que les équations de Stodola et peut être réso­ lue par le même type d’itération. Les valeurs propres qui permettent d’obtenir des valeurs non nulles de v sont les charges critiques, qui sont représentées par les valeurs du paramètre de charge \ G. Si on désigne par v/°> la déformée d’essai du premier mode de flambage, l’itération s’écrit

_L Vl(1)•= GV!(0)

(14-50) ^G1 Lorsque la méthode itérative est ainsi utilisée pour calculer les modes de flam­ bage, on l’appelle méthode de Vianello, du nom de celui qui fut le premier à l’utiliser dans ce but. L’étude du flambage par la méthode de Vianello est identique dans son principe et dans sa technique à l’étude des vibrations par la méthode de Stodola; nous n’y reviendrons donc que pour signaler la condition d’orthogonalité utilisée pour calculer les modes supérieurs de flambage : = 0

m # n

(14-51)

Mais en général seul le mode de flambage le plus bas présente un intérêt.

EXEMPLE E l4.4 Calculons la première charge critique d’une colon­ ne prismatique encastrée à sa base et soumise à son poids propre (Fig.E14.2). La structure a été divisée en trois segments égaux et on a utilisé le déplacement latéral de chaque nœud comme degré de liberté. La masse uniformément répartie de la colonne est supposée concentrée aux extrémités des segments : un sixième du poids total est donc concen­ tré au sommet, et un tiers aux deux noeuds intérieurs. Les forces axiales dans les trois segments de la colonne sont dues à ces poids.

T

- Ni - W (force axiale)

La matrice de stabilité G est donc donnée par 34 '26 W l2 12 21 6El 3 6

Prenons une parabole comme première approximation raisonnable du premier mode de flambement ; l’itération de Vianello suit le même schéma que les calculs de vibrations 26 Wl2 12 6E l 3

G 34 21 6

-2 0

-8 1

Vi 1.00 0.44 0.11

2W _ wL 3

El, w ’ (uniforme)

h2

Yi*" 38.8 20.3 5.7

. 1.000 41.1 1.00 40.7 1.00 41.1 0.52 , 21.7 0.534 22.0 0.535 22.0 0.15 6.3 0.155 6.4 0.156 6.4 .( 3 )

- N2 « 3W

~3

—20" -8 1

X

► v3

Forme vraie

-JV3 = sw

A - V“ 3) LP°° - 1 cr «n W 41.1(Wl2/6EI)

(b)

(a) Fig. E14.2

Le processus converge aussi rapidement que le calcul en vibration de Stodola pour le premier mode. Le paramètre critique de flambage obtenu après la dernière itération est

Etude du flambage d'une colonne sous son poids propre ^ (a) colonne uni­ forme ; {b) modèle discrétisé.

L?

—1

Si on utilise l’approximation par de'placements linéaires [Eq. (11.36)], la rigidité géométrique de la colonne est donnée par h Nt h 1

O

kc =

Ni 0 h n2 Ni N2 h h h n2 N2 h h + h.

W l

' 1 -1 0

-1 4 -3

0' -3 8

que l’on prendra pour rigidité géométrique de référence kg0. Par appli­ cation de charges unités successives aux trois nœuds et calcul des flèches résultantes par la statique, on trouve la matrice de souplesse '54 28 8' r= 28 16 5 6El 8 5 2

il

EI WL2

que l’on a exprimé en fonction de la longueur totale L. On en déduit le poids critique par unité de longueur : El El wcr = — = 1.315(6) = 7.89 = . c L/6 W L3 L3 Ce résultat est bon : le résultat exact est 1.83El/L3 \ l’hypothèse simple de déplacements linéaires se trouve ainsi justifiée. L’influence de la rigidité géométrique sur la fréquence de vibration de cette colonne peut également se calculer par itération matricielle. Si le poids unitaire a la valeur critique calculée, la fréquence de vibration sera nulle, mais pour toute valeur plus faible une fréquence peut être déter­ minée. Supposons par exemple, que W = 27/26(/s7/Z,2), ce qui représente ( 27/2 6 ) / 1 3 15 = 79 pour cent de la valeur critique : la rigidité géomé­ trique est donnée par substitution de cette valeur dans l’expression de kG ci-dessus. La rigidité de la colonne, obtenue par inversion de la matrice de sou­ plesse, est

La matrice de rigidité combinée, qui tient compte des effets des forces axiales, est donc donnée [Eq.( 10.20)] par

c

26 J3

3_ El 26 I3

7 -1 6 -1 6 44 12 - 4 6

12' -4 6 80

13 - 3 1 -3 1 84 24 - 8 9

24* -8 9 152

27 E l

1 -1

-1 4 26 913 0 -3

0

VN

N 7 7 7 //

G

2

kn-i 7 * 7 ///

N- 1

-3

8

d-

/+ 1

/+ 1 r z v / /

Enfin, on peut effectuer ljétude des vibrations par itération, avec une matrice dynamique modifiée D = k _1m,où k -1 est l’inverse de la matrice de rigidité combinée ci-dessus. Nous laissons au lecteur le soin de termi­ ner cet exemple.

Principe de la méthode Le principe de la méthode de Stodola est l’ajustement successif d’une défor­ mée supposée jusqu’à la forme véritable du mode, puis le calcul de la fréquence correspondante. La méthode de Holzer procède dans l’ordre inverse : la fré­ quence est ajustée successivement à partir d’une hypothèse initiale jusqu’à obtention de la fréquence vraie ; la forme du mode est calculée simultanément. La méthode de Holzer convient le mieux à l’étude de structures reposant le long d’un axe ; on appelle fréquemment ce type de système une structure en chaîne. Bien que la technique puisse être généralisée pour s’appliquer à d’autres configurations plus complexes, seules des applications très élémentaires seront envisagées ici puisque notre propos est de faire une démonstration des idées fondamentales de la méthode plutôt que l’étude détaillée de ses applications. Un exemple concret et simple sera le bâtiment représenté en Fig. 14.2. On suppose que les dalles des planchers sont rigides : la flèche latérale provient donc de la flexion des colonnes seulement et aucune rotation ne se produit aux nœuds. Dans ce cas la rigidité d’un étage (force nécessaire pour provoquer un déplacement relatif unité entre les planchers) au niveau i est

où / représente le moment d’inertie total de toutes les colonnes au niveau /, et h est la hauteur d’un étage. Il est également supposé que toute la masse est combinée au niveau des dalles des planchers et que le mouvement a lieu dans le plan de la figure. Ce type de système est caractérisé par le fait que l’incrément de déplace­ ment dans tout étage i ne dépend que de l’effort tranchant total Vf à ce niveau; en vibrations libres l’incrément d’effort tranchant à tout niveau ne

' w*mj+l vJ+i 1

J I

vi

V-Z / / /

14.4 Méthode de Holzer

/ /

_

T m2

/ /

j

I = = = = = = = = Vi

/

/ v2\

I / / 7 7

///

ao

(a) Fig. 14.2

Méthode de Holzer pour un bâtiment : (a) structure donnée ; déplacements en un étage.

(b)

forces et

dépend que de la flèche totale à ce niveau en raison de la proportionnalité des forces d’inertie et des déplacements. Cette propriété rend possible le calcul des forces et des déplacements dans la structure entière de manière progressive en partant d’une extrémité, à condition qu’une hypothèse soit faite sur la fréquence de vibration et sur la condition limite inconnue à l’extrémité de départ. Si par exemple les calculs sont initiés au sommet du bâtiment de la Fig. 14.2, il est nécessaire de supposer une certaine amplitude du déplacement en vibration en ce point, mais l’effort tranchant est évidemment nul au-dessus de la dalle du sommet. L’amplitude du déplacement supposé est arbitraire car des vibrations libres peuvent se produire avec n’importe quelle amplitude. La fréquence de vibration, elle, est définie, et si une hypothèse incorrecte sur la fréquence est faite, la condition limite à l’autre extrémité de la structure ne sera pas satisfaite. Pour l’exemple de la Fig. 14.2, si les calculs sont initiés au sommet avec une fréquence incorrecte, le déplacement calculé ne sera pas nul à la base. En fait les calculs ne sont pas vraiment faux : ils résolvent seulement un autre problème. La forme calculée est celle que l’on aurait si la base de la structure était mue à la fréquence supposée et avec l’amplitude calculée. On peut déterminer la fréquence vraie en vibrations libres par tâtonnements, en ajustant l’hypothèse sur la fréquence jusqu’à satisfaire à la condition limite. Dans la pratique, la détermination de la fréquence vraie se trouvera

grandement simplifiée si on trace la valeur limite calculée en fonction de la fréquence supposée. Un tel tracé, relatif au bâtiment de la Fig. 14.2 avec un déplacement unité au sommet, est représenté en Fig. 14.3, accompagné de quelques déformées correspondant à certaines des fréquences supposées. Ce procédé peut être utilisé pour calculer n’importe laquelle des fréquences de vibration et la forme du mode correspondante. Il s’agit là d’un des avantages principaux de la méthode de Holzer : il est possible de calculer n’importe quel mode de vibration indépendamment de tous les autres. Dans le cas de notre bâtiment, le numéro du mode correspondant à chaque fréquence vraie est égal au nombre de noeuds (points de déplacement nul) le long de l’axe, y compris la base.

Essai I m î - 200 t

Essai II (cj2 = 200)

( u 2 = 100) v

Av

V

1.000

// 200

v

Av

V

Essai III (w2 = 209) // 400

1.000

v

Av

V

1.000

f,

418

k x = 120 000 kN/m

300 t

0.167

200

0.333

400

0.348

418

2

250

0.833

0.667

400

0.652

408

240 000 kN/m 0.187

400 t

/ zy y 3

450

0.197 0.449

Fig. E14.3

800

258 0.334

0.646

360 000 kN/m

0.333

708

826

266 0.308 0.296

0.038

0.344

1066

258 0.301

1084

0.007

Détermination d'un mode de vibration d'un bâtiment par la méthode de Holzer.

Le déplacement du deuxième étage est donc v2 = v x —Avx = 0.833 cm. Une fois ce déplacement connu, la force d’inertie à ce niveau est donnée par f I2 = (o2m2v2 = 100 (300) (0.00833) = 250 kN

Fig. 14 3

Variations du déplacement de la base avec la fréquence appliquée (pour un déplacement unité au sommet).

EXEMPLE E l4.5 Considérons à nouveau le bâtiment à 3 étages de la Fig. E14.1. Les caractéristiques du bâtiment sont indiquées à la Fig. E14.3, ainsi que tous les calculs essentiels de l’analyse de Holzer. La première étape consiste à supposer une certaine fréquence de vibration ; ici on l’a choisie arbitrairement égale à 10 rad/s, de sorte que co2 = 100. En utilisant cette fréquence et une amplitude de déplacement au sommet de vx = l cm, on a effectué l’ensemble des calculs regroupés sous la dénomination “Essai I” en commençant avec la force d’inertie de l’étage du haut fj = 1

6EIt

h • E lt

_h_ 2EIt

0 0

0' 0

1

0

-h

1

'v r Jt'i 0'i . vi_

soit

(14-60a)

(14-60b)

— Tffl'i

Les coefficients de la matrice de champs T^ se déduisent facilement de la théorie des poutres.

Fig. 14.6

Vecteurs d'état liés par des matrices de champs et ponctuelles (poutre).

Les vecteurs d’état associés à la matrice du point / + 1 sont également représentés ; la relation peut s’écrire

. mN- 1

-h

1

2EI,

Oi - vi -

~ v \*»1

0

JL

_

et en faisant intervenir les conditions données aux limites , l’équation du Même degré en co2 qui résulte peut être résolue pour donner les fréquences naturelles du système. Par exemple, les conditions aux limites relatives à la structure de la Fig. 14.2 sont vB = 0 et V N - 0. Ainsi, si on suppose que l’amplitude de vibration est spécifiée à = 1, la deuxième équation du système (14.59£) est

1

B'i v'i

.

ou, en notation abrégée,

'1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

-co*mi+l 0 0 1

■ 'ü i+ r *^i+ 1 &i+ 1 . Vi+1 .

(14-61fl)

Si on combine les matrices de champs et ponctuelles provenant des Eqs. (14.60) et (14.61), la matrice de transfert complète du segment sera

1

0 1

-h JL

T,+1 = T „ T

l,

2El,

Eh

-J L

JL

6EIt

2EIt

0 0 1

-(o2mt+j (o2l,mi+i „2 h2ml+i 2EI,

-h

or

(14-62)

nB = T 1T2 ---T N- 1TNi N

+ 1

6EIt

On peut alors exprimer le vecteur d’état à une extrémité de la structure en fonction du vecteur d’état à l’autre extrémité, comme le montrent les Eqs. (14.57) et (14.59a), à la différence que dans ce type de système la matrice de transfert TN de la structure complète a quatre lignes et quatre colonnes. En développant l’Eq. (14.59a) relative au système en flexion on obtient ainsi une relation du type ' VB *4Cu

hs tms

tsO

?sv

^mm

^m$

^mv

Ue

0B

hs

Um

- VB _

_tps

tVm

VN

t$v t vv _

(14-63)

0N -

VN

_

Avec l’introduction des conditions aux limites dans l’Eq. (14.63), deux des composantes des vecteurs d’état de chaque extrémité s’annulent et l’équation peut être réduite en conséquence. Par exemple, pour les appuis simples de la Fig. 14.5, le moment et le déplacement s’annulent à chaque extrémité, et la partie de l’équation qui présente de l’intérêt devient

ffl-G O - D: ::][*;]



L’introduction d’une amplitude de rotation dN arbitrairement posée égale à l’unité rend possible la détermination de la valeur correspondante de l’effort tranchant à partir de la première équation 0 = tmsVN + tm9 comme suit : VN = -

(14-65)

La condition de vibrations libres est alors donnée par la seconde des Eqs. (14.64) : VB - 0 = tmVH + f„ = f„ -

^

*ms

Chacun de ces coefficients est bien sûr fonction de oj2 ; les valeurs de la fréquence qui mènent à une flèche nulle vB = 0 sont donc les fréquences des vibrations libres de la structure. [On peut encore déterminer les fréquences des vibrations libres en égalant à zéro le déterminant de la matrice carrée de l’Eq. (14.64).] Remarquons que dans cette méthode de calcul les conditions aux limites à N doivent être introduites dès le début dans les équations de transfert, c’est-à-dire dans (14-67)

parce que lorsqu’on effectuera le produit matriciel de à droite vers la gauche, il ne sera nécessaire de considérer que deux colonnes dans les matrices de transfert postmultiplicatrices. La méthode des matrices de transfert est égale­ ment applicable à des structures plus complexes du type en chaîne ayant plus de deux degrés de liberté à chaque section1. * 14.5 Réduction du nombre de degrés de liberté

Rappels Les méthodes modernes de calcul des vibrations permettent la résolution de systèmes ayant plusieurs centaines de degrés de liberté ; mais elles ne permettent pas toujours le traitement direct des modèles utilisés pour l’étude statique des structures complexes, qui peuvent présenter plusieurs milliers de degrés de liberté. De plus, la détermination de plus de quelques dizaines de modes de vibration présente rarement un véritable intérêt, même pour les systèmes les plus complexes, parce que la méthode de superposition des modes n’est généralement appliquée qu’à des structures où le chargement n’excite que les modes les plus bas. C’est pour ces raisons que divers procédés d'éco­ nomie de valeurs propres ont été mis au point : ils permettent de réduire le grand nombre initial de degrés de liberté à un nombre plus réduit, mais suffisant pour les études dynamiques. En première analyse il peut paraître plus logique d’utiliser un nombre réduit de degrés de liberté aussi bien dans la formulation initiale des caractéristiques de rigidité de la structure que pour la détermination de ses caractéristiques dynamiques. En pratique cependant, une représentation précise des carac­ téristiques élastiques de la structure nécessitera un modèle mathématique plus détaillé que pour la représentation des caractéristiques d’inertie. Ce fait est dû à ce que les caractéristiques d’inertie représentées par l’énergie cinétique dépendent directement des déplacements au sein de la structure, tandis que les caractéristiques de rigidité, représentées par l’énergie de déformation, sont fonction des dérivées de ces déplacements : il est bien connu qu’il est plus difficile d’approcher la valeur des dérivées avec la même précision que celle * Cf. Matrix Methods in Elastomechanics par E.C. Pestel et F.A. Lcckie, McGraw-Hill Book Company, New York, 1963.

des déplacements. De plus, dans de nombreux cas l’objectif primordial de l’étude est le calcul des contraintes dans la structure : celui-ci demande une formulation plus détaillée du système qu’il n’est nécessaire pour l’expression des déplacements mis en jeu lors de l’étude dynamique. Ces remarques suggè­ rent (et l’expérience le confirme) qu’une étude dynamique pourra être accomplie le plus efficacement en mettant d’abord au point l’idéalisation nécessaire pour l’étude statique des contraintes, puis en réduisant ensuite le nombre de degrés de liberté avant de procéder à l’étude dynamique. Deux méthodes générales peuvent être utilisées pour réduire efficacement le nombre de degrés de liberté dynamiques. La méthode la plus simple consiste à émettre l’hypothèse que les forces d’inertie ne sont associées qu’à certains degrés de liberté de l’idéalisation initiale ; les autres degrés de liberté ne seront pas directement concernés par l’étude dynamique et pourront être “condensés” dans la formulation dynamique. L’autre méthode considère les déplacements de la structure combinés de manière supposée a priori : les motifs de dépla­ cement choisis définissent les directions des coordonnées généralisées du système. L’une ou l’autre de ces méthodes a donné naissance à de nombreuses techniques, dont les caractéristiques essentielles sont exposées dans les para­ graphes qui suivent. Concentrations en masses discrètes Pour les structures formées d’assemblages de poutres, il est courant de réduire le nombre de degrés de liberté dynamiques en supposant les masses concentrées aux jonctions. Si on néglige l’inertie de rotation des masses concentrées, on réduit ainsi d’un tiers le nombre de degrés de liberté des treillis plans, et de moitié dans le cas tridimensionnel. Si on néglige l’allon­ gement des barres, ce qui revient à ne considérer qu’un nombre réduit de degrés de liberté de translation, l’élimination des degrés de liberté dynamiques de rotation sera beaucoup plus efficace ; lors du calcul dynamique d’ossatures d’immeubles, par exemple, le nombre de degrés de liberté dynamiques est fréquemment inférieur à 10 % du nombre des degrés de liberté utilisés dans l’analyse statique. Dans certains systèmes on parvient à des réductions supplé­ mentaires en supposant les masses concentrées en quelques jonctions seulement. La généralisation de cette idée est cependant beaucoup moins sûre que la simple élimination des degrés de liberté de rotation (qui ne contribuent que de manière très faible à l’énergie cinétique de la structure). L’élimination des degrés de liberté non essentiels se fait généralement par le procédé de‘condensation statique décrit au Chapitre 11, Eq. (11.47). Consi­ dérons par exemple l’équation du mouvement en vibrations libres, Eq. (12.4), écrite sous la forme ktf = co2mv (14-68) où le vecteur de déplacement en vibration v représente tous les degrés de liberté. Si ces déplacements sont à présent décomposés en un sous-vecteur v0 auquel aucune force d’inertie ne correspond, et en un sous-vecteur \ t qui

correspond aux coefficients de masse non nuls, et si on partitionne ainsi les matrices de masse et de rigidité, l’Eq. (14.68) peut s’écrire

[ï:: ïr] P :H [» »°J:]

^ On a supposé dans cette équation que la matrice de masse est diagonale, c’est-à-dire qu’elle correspond à un système de masses concentrées. On obtient l’équation réduite par application de la condensation statique : kt$t = co2mtt\ t (14-70) où kt représente la matrice de rigidité réduite, que l’on peut exprimer sous une forme équivalente à celle de l’Eq. ( 11.47). Bien que le procédé de condensation statique soit bien connu et fréquemment utilisé pour éliminer les degrés de liberté non essentiels des systèmes simples, il n’est pas toujours très efficace avec les grands systèmes. Une solution souvent plus efficace consiste à formuler une matrice de souplesse réduite pour les degrés de liberté désirés : on peut l’obtenir en appliquant de manière successive des chargements unités correspondant à chaque degré de liberté essentiel du système et en calculant les déplacements provoqués aux degrés de liberté essentiels par chacun de ces chargements. L’assemblage des coefficients de souplesse donne la matrice de souplesse réduite it qui est l’inverse de kr Elle peut à son tour être inversée pour former l’équation réduite des vibrations libres sous la forme de l’Eq. (14.70) ; il peut être préfé­ rable d’utiliser la formulation par souplesse équivalente à l’Eq. (14.1), qui s’écrit pour le système réduit : — %=

ÛT

(14-71)

Méthode de Ray/eigh appliquée aux systèmes de coordonnées discrètes La condensation statique est très efficace pour certains types de structures, mais son champ d’application et l’étenduê des réductions possibles sont limités. Les techniques de réduction reposant sur l’utilisation de coordonnées généra­ lisées sont, elles, applicables à n’importe quel type de système ; elles permettent en outre d’atteindre le degré de réduction désiré. L’essence de toutes ces techniques est contenue dans la méthode de Rayleigh, ou sa généralisation connue sous le nom de méthode de Rayleigh-Ritz. La méthode de Rayleigh, que nous avons déjà utilisée pour réduire un système de configuration arbitraire à un système à un degré de liberté, est également applicable si les propriétés de la structure considérée sont exprimées par des matrices rapportées à des coordonnées discrètes. Pour appliquer la méthode, il est nécessaire d’exprimer le déplacement de la structure en fonction d’une déformée supposée et d’une coordonnée généralisée..En notation matricielle, les déplacements supposés en vibrations libres peuvent l ’écrire [on comparera avec l’Eq. (9.5)] : v(0 - ^ Z (0 « ^ Z 0 sin œt

(14-72a)

est la déformée supposée et Z (£) est la coordonnée généralisée représentant l’amplitude. Le vecteur vitesse en vibrations libres est alors t(/) = \jf(oZ0 cos œt

(14-726)

En notation matricielle, l’énergie cinétique maximum de la structure est donnée par : Tm„ = 7 2 0 n*m.* (14-73*) et l’énergie potentielle maximum par : (14-73fe) Si on reporte le déplacement et la vitesse maxima obtenus aux Eqs. (14.72), on a Tmm = ll 2Z 02(û2^ Tm ^ (14-74a) = % Z 02^

(14-746)

La fréquence s’obtient alors en égalant les expressions des énergies potentielle et cinétique maximales suivant le principe de Rayleigh, de façon que 2 = &

L

=

(1 4 -7 5 )

m* L’Eq. (14.75) n’est rien de plus que l’équivalent matriciel de l’Eq. (9.10). La méthode de Rayleigh améliorée, Eqs. (9.20) ou (9.32), peut également être présentée sous forme matricielle. Si on appelle le vecteur d’essai des déplacements v(0) = ^ Z (14-76) alors les forces d’inertie mises en jeu pendant les vibrations libres seront, Eq. (12.33) : f, = a>2mv(0) = o?m^Z (14-77)

la méthode de Rayleigh améliorée est identique à celle obtenue avec un seul cycle de la méthode de Stodola si on utilise la masse comme facteur de pondé­ ration dans le calcul de la moyenne. Méthode de Rayleigh-Ritz Bien que la méthode de Rayleigh fournisse une approximation satisfaisante pour le premier mode de vibration de nombreuses structures, il est souvent nécessaire d’inclure plus d’un mode si on veut obtenir des résultats précis. La généralisation de Ritz de la méthode de Rayleigh est l’une des méthodes les plus commodes pour calculer quelques-uns des premiers modes d’une struc­ ture. L’hypothèse sur laquelle repose la méthode de Ritz est que le vecteur déplacement peut s’exprimer au moyen d’une série de déformées V d’ampli­ tudes Z : v = ÿ i Z x + ^2Z2 + ^3^3 + *** y = ¥Z

(14-80)

Les amplitudes Z des coordonnées généralisées sont inconnues à ce stade. Pour obtenir les meilleurs résultats avec un nombre restreint de coordonnées, chaque vecteur ÿ n doit être choisi comme approximation du vecteur modal vrai corres­ pondant n. De nombreuses autres méthodes ont été proposées pour déter­ miner les vecteurs d’essai : par exemple, le procédé de condensation statique peut permettre de définir un ensemble de déformées destinées au procédé de Ritz. Le fait d’égaler à zéro un ensemble de forces élastiques constitue une contrainte qui rend possible l’expression de l’ensemble des déplacements cor­ respondants en fonction de tous les autres. Ce type de relation est donné par l’Eq.( 11.45), ou, en utilisant la notation de l’Eq.( 14.69) : = ~ k 00 L’ensemble des composantes du vecteur déplacement peut ainsi s’exprimer en fonction des degrés de liberté associés à une force non nulle, en introduisant simplement une matrice unité comme suit :

Les déplacements produits par ces forces d’inertie sont : v(1) = ff/ = co2ïm ^Z (14-78) Ils correspondent à une meilleure approximation du premier mode (Cf. la discussion de la méthode de Stodola) : si cette expression est utilisée dans la méthode de Rayleigh, elle permettra une meilleure approximation que l’hypo­ thèse initiale. En utilisant l’Eq.(14.78) dans les Eqs.(14.73) puis en égalant, on obtient : - T^TTT



C’est l’expression de la méthode de Rayleigh améliorée (méthode R u). En comparant les Eqs.( 14.79) et (14.10), on voit que la fréquence obtenue par

La deuxième matrice est visiblement équivalente aux déformées supposées de l’Eq.( 14.80) ; le vecteur vf représente les coordonnées généralisées Z. On peut utiliser autant de vecteurs d’essai qu’on le désire dans le procédé de Ritz ; en général il est recommandé d’utiliser au moins s déformées initiales *¥ si on veut obtenir s/2 modes et fréquences avec une approximation satisfaisante. Les expressions des énergies cinétique et potentielle maximales du système peuvent s’obtenir en reportant l’Eq. (14.80) dans les Eqs. (14.73), ce qui donne : Tmax = l/2c)2Z T'¥Tm'¥Z

(14-81 a)

Vm. - V i Z ^ k 'F Z

(14-816)

Si on égale ces expressions, on obtient la fréquence , _ z Tf rk y z

£çz)

Z TV Tm V Z

m .Z )

le système devient (k* — co2m*)Z = 0 ’

L’Eq.(14.82) ne constitue bien sûr pas une expression explicite de la fré­ quence de vibration : son numérateur et son dénominateur sont tous deux fonctions des amplitudes Z des coordonnées généralisées, qui ne sont pas encore connues. On utilise pour calculer ces dernières le fait que la méthode de Rayleigh procure une limite supérieure de la fréquence de vibration : autrement dit, toute déformée essayée conduit à une fréquence calculée supérieure à la fréquence vraie. C’est ainsi que le meilleur choix de la déformée, c’est-à-dire le meilleur choix de Z, minimisera la fréquence. En dérivant l’expression de la fréquence par rapport à l’une quelconque des coordonnées généralisées Zn et en égalant à zéro, on obtient fto2 = m(a£/dZ„)— Z(dm/dZn) = Q dZn m2

(14-83)

Mais, d’après l’Eq.( 14.82) k = co2m. Ainsi l’Eq .(14.83) conduit-elle à : §dZn - ~ œ 2Ê dZn = 0

(14-84)

Maintenant, à partir des définitions données à l’équation (14.82), —

dZn

= 2ZTVFrk'F — (Z) = 2ZTŸ Tk^„

dZn

(14-85a)

et de la même manière ~

= 2Zr'FTm^(,

(14-85b)

En reportant les Eqs. (14.85) dans l’Eq. (14.84), on obtient après transposition - coV /m 'F Z = 0

(14-86)

Si on minimise successivement la fréquence par rapport à chacune des coor­ données généralisées, on obtient une équation du type de l’Eq. (14.86) pour chaque déformée ÿ n ; le système d’équations ainsi obtenu s’écrit

(14-88)

où Z représente chacun des vecteurs propres (valeurs relatives de Z) satisfaisant à l’équation aux valeurs propres. On voit en comparant les Eqs.(14.88) et (12.4) que le procédé de RayleighRitz revient à réduire le système à N degrés de liberté représenté par les coor­ données géométriques v, à un système à s degrés de liberté, où s est le nombre de coordonnées généralisées Z et de déformées d’essai correspondantes. L’Eq. (14.80) est l’équation de transformation des coordonnées, et les Eqs.(l4.87) définissent les matrices de masse et de rigidité généralisées (de dimensions s x s). Chaque élément de ces matrices est un coefficient de masse ou de rigi­ dité généralisée ; ainsi : kL = * mTt y n m*mn

=

(14-89a) (14-89 b )

En général les déformées d’essai ÿ n ne possèdent pas les propriétés d’orthogonalité des modes vrais ; en particulier, les termes extraniiagonaux des ma­ trices de masse et de rigidité généralisées ne sont en général pas nuls ; mais un bon choix initial des déformées contribuera à rendre relativement faibles ces termes extra-diagonaux. Dans tous les cas, il sera beaucoup plus facile d’obtenir la réponse dynamique pour le nombre réduit s de coordonnées que pour les N équations originales. L’Eq.(14.88) peut être résolue par n’importe quelle méthode standard de calcul des valeurs propres, et en particulier par la résolution de l’équation caractéristique pour les systèmes n’ayant qu’un nombre restreint de coor­ données généralisées Z. Le vecteur des fréquences LnK

où Ln est le rtième vecteur propre de Er . La transposition de cette relation donne + e*t E = W ’ (14-98) Les vecteurs propres Ln sont fréquemment appelés vecteurs propres à gauche deE et les (j>n vecteurs propres à droite. La propriété d’orthogonalité des vecteurs propres à gauche et à droite se dé­ montre facilement en prémultipliant l’Eq.(14.97) parle vecteur propre fam : 4>lJ*4n = ï l J t X

(14-99)

On écrit l’Eq.( 14.98) pour le mode m et on postmultiplie par^„ : 4>unT*4>n Soustraire l’Eq.(14.100) de l’Eq.(14.99) donne alors 0 = (An — hatàuJQ*

(14-100)

condition de normalisation supplémentaire. Si par exemple l’Eq.( 14.103) est prémultipliée parr m (noter que E = m-1k), elle devient

qui représente la propriété d’orthogonalité = 0.

(A» / A,)

(14-101)

Si les vecteurs propres sont normalisés pour satisfaire à la condition 4 LnT4>n = 1 (ce qui ne fixe pas l’amplitude de Ln ou n séparément mais seulement leur produit), et si les matrices carrées de tous les vecteurs propres à droite et à gauche sont désignées par O et A

(14-103)

où À est la matrice diagonale des valeurs propres. Si on prémultiplie l’Eq. (14.103) par \ n - i > \ n -2 • •• >par définition, chacun des termes de la sommation restante deviendra négligeable lorsque l’itération aura été effectuée un nombre suffisant de fois. La forme calculée converge finalement vers v»1» -

max (A/^yY*)

max (4>N)

(14-116)

où le mode est normalisé de sorte que le terme le plus grand soit égal à 1. Si l’itération est reprise une fois de plus, v#+1) = Evn(s) = ®AOl t — ^ — = XN max ()

Itération avec décalage Les procédés itératifs décrits précédemment sont des moyens efficaces pour calculer les caractéristiques vibratoires des modes le plus bas et le plus élevé d’une structure. On peut également forcer leur convergence vers le mode voisin si toute contribution du mode le plus bas (ou le plus élevé) est balayée du vecteur d’essai comme il a été expliqué plus tôt. Cependant, la formulation des matrices de balayage nécessaires exige un volume de calculs considérable ; une autre méthode, fondée sur un décalage des valeurs propres, a fait ses preuves dans la pratique. Le décalage peut être utilisé pour l’une ou l’autre des itéra­ tions directe ou inverse, mais il fonctionne au mieux avec l’itération inverse et nous en parlerons dans ce contexte. L’idée essentielle du décalage est la représentation de chaque valeur propre X„ comme la somme d’un déplacement yt et d’un reste Ôn :

(14-117)

Nous avons ainsi montré la convergence du procédé d’itération directe vers la forme et la fréquence du mode le plus élevé. Dans le procédé équivalent qui converge vers le mode le plus bas, appelé itération inverse, le vecteur initial est une estimation de la forme du mode le plus bas v / 0), et l’itération consiste à multiplier le vecteur d’essai par l’inverse de E. Le résultat après le premier cycle, y compris la normalisation, est (0) VlsTmr\ r = 0

(14-152)

La résolution de cette équation donne les déplacements d’appuis suivants : v. = - t t / m j - »

rv.

(14-153)

(14-155)

où Sr est la matrice rectangulaire de transformation de l’Eq.(14.154). On peut à présent rapporter le problème d’éléments propres directement aux degrés de liberté indépendants \ r, en utilisant Sr comme une transforma­ tion de Ritz standard. Autrement dit, on calcule les masse et rigidité généra­ lisées par

m* = SrTmSP On peut définir pour la structure un système d’allures de déplacements de corps rigide. Pour une structure de l’espace non appuyée, ces allures seront des translations et des rotations par rapport à chacun des axes perpendi­ culaires ; si la structure est partiellement appuyée, certains de ces motifs disparaîtront. L’ensemble des motifs de corps rigide relatifs à une structure donnée seront désignés par^s, où le nombre de colonnes correspond au nombre d’éléments de vr La relation entre vs et les degrés de liberté restants est donnée par la condition suivant laquelle les forces d’inertie agissant lors des vibrations libres sont en équilibre dynamique. Ces forces d’inertie peuvent s’exprimer par

(14-154)

et

k? = S /k S P

et on résout alors le problème d’éléments propres d’ordre réduit kr*fr = o)2m*i>r

(14-156)

pour obtenir les modes vr et leurs fréquences. Les degrés de liberté vs peuvent alors se calculer avec l’Eq.(14.153). Remarquons enfin à propos de cette méthode que les contraintes d’équilibre de l’Eq.(14.151) peuvent être interprétées comme une condition d’orthogonalité entre les modes de déformation en vibration et les modes de déplacement rigide 4>s. On peut avec la même optique considérer la matrice de transformation Sr de l’Eq.(14.155) comme une matrice de balayage qui élimine les compo­ santes rigides des déplacements vr. En fait, l’expression de l’Eq.(14.154) peut mener à la déduction d’une matrice de balayage permettant la détermination des modes d’ordre supérieur d’une structure stable complètement appuyée. A ces fins 4>s représentera les m déformées de vibration qui ont déjà été calculées pour les modes d’ordre inférieur, et v, représentera les m premiers éléments du vecteur complet des déplacements, v. Pour une résolution à la main, ce type de matrice de balayage peut être préférable à celui qui provient de l’Eq.( 14.42), car l’ordre des matrices se trouve réduit du nombre de composantes modales balayées. Mais l’inversion manuelle de devient rapidement inextricable si plus de quatre ou cinq modes sont à calculer. De manière générale une réduction de l’ordre du problème sous la forme de l’Eq. (14.154) ne vaudra la peine que si le nombre total de degrés de liberté est faible (de sorte que la réduction soit sensible). Dans l’étude de grands systèmes la réduction du nombre d’équations a peu d’impact, et le système transformé [Eq. (14.156)] requiert en fait souvent plus de calculs car les propriétés de bande de k et de m sont perdues dans la transformation. Pour cette raison, on préfère en général les deux premières méthodes dont il a été question ici lorsqu’il s’agit d’écrire un programme d’ordinateur de grande capacité.

Problèmes

14.1

14.2 14.3 14.4 14.5

14.6 14.7 14.8

Calculer la forme et la fréquence du mode fondamental de vibration relatif au bâtiment du Prob.93 par utilisation de la méthode de Stodola (itération matricielle). La matrice de souplesse peut être obtenue à partir de la rigidité d’effort tranchant relative à chaque étage, soit par inversion de la matrice de rigidité, soit par application d’une charge unité successi­ vement à chaque étage, puis calcul des déplacements résultants à chaque étage. Calculer la forme et la fréquence du mode le plus élevé relatif au bâti­ ment du Prob. 14.1, par itération matricielle. Reprendre le Prob. 14.1 avec les caractéristiques du Prob. 9.4. Reprendre le Prob. 14.2 avec les caractéristiques du Prob. 9.5. Calculer la forme et la fréquence du second mode relatif au bâtiment du Prob. 13.4, par itération matricielle. Pour former la matrice de balayage du premier mode SÏ9 utiliser la forme donnée du premier mode^x et l’Eq .(14.154). Reprendre le Prob. 14.5 en utilisant l’expression de la matrice de balayage de l’Eq.(14.29). Reprendre le Prob. 14.5en utilisant l’itération inverse avec décalages, en suivant l’Eq.(14.125) et la discussion qui la suit. On pourra utiliser un décalage ju = 98 % (cj2)2; pourco2 se reporter au Prob. 13.4. La Fig. P14.1 représente une poutre avec trois masses concentrées, ainsi que ses matrices de souplesse et de rigidité. Par itération matricielle (méthode de Vianello), déterminer la force axiale Ncr qui provoquera le flambage de cette poutre. Utiliser l’approximation linéaire, Eq.( 11.36), pour exprimer la rigidité géométrique de la poutre.

=^=

f=

“8 7 486 E l -8

7 8 -1 0

“ 92 —8~ —10 ; k = -8 8 24 -6

Fig. P14.1

14.9

-8 8 128 24

(~

24 15

243 E l 84 L 3

Flambage d'une poutre.

Par itération matricielle, calculer la fréquence de vibration de la poutre du Prob. 14.8 si la force axiale a la valeur jV = 2EI/L1. 14.10 Calculer la forme et la fréquence des deux premiers modes de vibration du bâtiment du Prob. 14.1, en utilisant la méthode de Holzer. 14.11 En utilisant la technique de la matrice de transfert, Eqs.( 14.62) et (14.63), vérifier la fréquence et la forme du mode fondamental de la poutre en console du Prob. 13.1.

14.12 Le portique à quatre étages de la Fig. P14.2 a la même masse concentrée m dans chaque poutre rigide, et la même rigidité d’étage à étage k dans les colonnes de chaque étage. En utilisant les fonctions de déformée linéaire et quadratique données i//,* comme coordonnées généralisées, déterminer la forme et la fréquence des deux premiers modes de vibra­ tion par la méthode de Rayleigh-Ritz, Eq.( 14.88).

1.00 0.75 0.50 0.25

777ÿy77777777777777777/

1.00 0.56 0.25 0.06

Fig. P14.2 Bâtiment élevé.

14.13 Reprendre le Prob. 14.12 en utilisant les expressions “améliorées” de l’Eq.( 14.96) pour définir les caractéristiques de masse et de rigidité en coordonnées généralisées.

15

Etude des systèmes non linéaires

■ 15.1 Introduction

Dans ce qui précède on a supposé que les structures étaient linéaires, c’est-àdire que leurs forces dynamiques résistantes étaient liées aux vecteurs d’accélé­ ration, de vitesse ou de déplacement par des coefficients d’influence linéaires. Il a ainsi été possible de calculer des allures et des fréquences de modes de vi­ bration, et de rapporter la réponse à des coordonnées modales. Cette méthode a le très grand avantage de donner souvent une estimation satisfaisante de la réponse dynamique avec seulement quelques modes de vibration, même pour des systèmes ayant des centaines de degrés de liberté, et de réduire ainsi le volume des calculs de manière sensible. Cependant, ainsi que nous l’avons signalé à propos des systèmes à un degré de liberté, il existe de nombreux cas où les caractéristiques physiques ne peuvent pas être assimilées à des constantes lors de la réponse dynamique. Les coefficients d’influence de rigidité peuvent subir l’effet de la plastification des matériaux, ou de modifications sensibles des forces axiales dans les éléments de la structure (provoquant une évolution des coefficients de rigidité géomé­ trique). Il est encore possible que les coefficients, soit de masse, soit d’amor­ tissement, subissent une évolution lors de la réponse dynamique. Toute évo­ lution de ce type modifiera les caractéristiques des vibrations du système (et en fait la notion même de vibrations libres n’est plus applicable à un système non linéaire), et le découplage des équations du mouvement à l’aide des coor­ données principales n’est pas possible. La seule méthode applicable de manière générale à l’étude des systèmes non linéaires quelconques est l’intégration numérique pas à pas des équations couplées du mouvement. Ce procédé peut en effet être adapté au cas de sys­ tèmes à plusieurs degrés de liberté (voir l’étude des systèmes non linéaires à un degré de liberté décrite au Chapitre 8). L’historique de la réponse est divisé en courts incréments de temps égaux entre eux, et la réponse dans chaque incrément est calculée pour un système linéaire ayant les caractéristiques du début de l’intervalle. A la fin de l’intervalle les caractéristiques sont modifiées

conformément à l’état de déformation et de contrainte à cet instant ; l’étude non linéaire est donc effectuée par une suite d’études de systèmes linéaires successifs. Comme nous l’avons dit au Chapitre 8, la méthode d’intégration pas à pas s’applique également aux structures linéaires, auquel cas les calculs sont gran­ dement simplifiés parce qu’il n’est pas nécessaire de modifier les caractéris­ tiques de la structure à chaque fois. Dans certains cas il peut être avantageux d’utiliser cette intégration directe plutôt que la superposition des modes, car elle ne requiert pas le calcul des allures et des fréquences des modes de vibra­ tion. En général, l’intégration directe pas à pas tend à être des plus utiles dans le calcul de la réponse des structures complexes à des charges impulsives de courte durée (qui tendent à exciter de nombreux modes de vibration), à condition que l’histoire de la réponse recherchée soit de durée relativement courte. Il existe une difficulté potentielle dans l’intégration pas à pas de la réponse des systèmes à plusieurs degrés de liberté : la matrice d’amortissement c doit être définie explicitement, et non en fonction de facteurs d’amortissement modaux. Il est très difficile de déterminer tous les coefficients d’influence d’amortissement. En général, le procédé de calcul le plus efficace consiste à estimer les valeurs des facteurs d’amortissement modaux des modes jugés importants, et à calculer ensuite une matrice d’amortissement orthogonale de la manière indiquée au Chapitre 13. Cependant on peut considérer que le fait que la matrice d’amortissement soit définie explicitement et non par des rapports d’amortissement modaux accroît la généralité de la méthode pas à pas par rapport à la superposition des modes. Il n’est pas nécessaire de découpler les réponses modales; la matrice d’amortis­ sement ne doit donc pas nécessairement satisfaire aux conditions d’orthogonalité modale. On peut utiliser n’importe quel ensemble de coefficients d’amortis­ sement dans les calculs, et ils peuvent représenter des amortissements entièrement différents dans différentes parties de la structure. Dans l’étude de la réponse sismique d’un bâtiment par exemple, il peut être désirable d’utiliser pour les fondations des coefficients représentant un facteur d’amortissement élevé, tout en choisissant pour la superstructure des coefficients représentant un facteur d’amortissement bien plus bas. Enfin, on peut remarquer que la transformation en coordonnées principales peut être utile même à l’étude de systèmes non linéaires. Les modes de vibra­ tions libres sans amortissement serviront à découpler les équations du mouve­ ment seulement dans la mesure où la matrice de rigidité reste inchangée par rapport à l’état pour lequel l’étude des vibrations a été faite. Dès que la rigidité change, pour cause de plastification par exemple, la transformation des coordonnées principales introduira des termes extra-diagonaux dans la matrice de rigidité généralisée, qui provoqueront un couplage des équations modales de réponse. Cependant, si les mécanismes non linéaires de déformation de la struc­ ture ne provoquent pas de modifications majeures dans ses motifs de déplace­ ment, on pourra toujours exprimer la réponse dynamique de manière efficace en fonction des modes non amortis originaux. Ainsi, il vaudra souvent la peine de calculer la réponse d’une structure complète par intégration directe pas à pas d’un ensemble limité d’équations de mouvement en coordonnées princi­

pales, malgré le fait que les équations deviendront couplées dès qu’une nonlinéarité sensible apparaîtra dans la réponse. Ce traitement d’un système avec couplage par rigidité des équations en coordonnées principales est équivalent à la méthode suggérée plus tôt à propos de l’étude des systèmes dont la ma­ trice d’amortissement est telle qu’elle introduit un couplage en coordonnées principales. 15.2

Equations incrémentales de l'équilibre

L’équation exprimant l’équilibre des incréments de force qui se produisent lors d’un incrément de temps At peut être obtenue sous la forme d’un équi­ valent matriciel de l’équation incrémentale du mouvement d’un système à un degré de liberté, Eq.(8.2). Si on effectue la différence entre les équations d’équilibre définies pour les instants t et t + At on trouve l’équation incré­ mentale de l’équilibre : Af,(f) + AfD(f) + Afs(0 = Ap(/)

(15-1)

Par analogie avec l’Eq.(8.3), les incréments de force peuvent s’exprimer comme Af,(f) = f ,(f + A/) - f,(0 = m Av(f) AfD(f) = fD(t + Af) - ffl(f) = c(f) Av(?) Afs(f) = fs(f + Af) - fs(f) = k(f) Av(f) Ap(0 = p (f + Af) - p(f)

où on a supposé que la masse m est constante dans le temps. Les éléments des matrices incrémentales d’amortissement et de rigidité c(f) et k(f) sont des coefficients d’influence c/;-(f) et k ^ t) définis pour un certain incrément de temps ; des représentations de ces coefficients appa­ raissent en Fig. 15.1. Comme dans le cas des coefficients relatifs à un seul degré

F»9. 15.1

Définition des coefficients d'influence non linéaires : (a) amortissement visqueux non linéaire c;y ; ib) rigidité non linéaire £;y.

de liberté, il est commode d’utiliser la tangente initiale plutôt que la sécante pour mesure de l’amortissement ou de la rigidité, afin d’éviter d’itérer à chaque étape de la résolution. Les coefficients d’influence sont donc donnés par

w

-(t).

< i5 - 3 )

Si on reporte les Eqs. (15.2) dans l’Eq. (15.1), l’équation incrémentale du mouvement devient mAv(f) + c(/) Av(r) + k(f) Av(f) = Ap(f)

(15-4)

Les expressions des forces incrémentales, premier membre de l’Eq. (15.4), ne sont que des approximations en raison de l’utilisation des valeurs tangentes initiales pour c(f) et k(f). Mais on pourra éviter l’accumulation d’erreurs qui risque d’en découler si on calcule l’accélération relative au début de chaque incrément de temps sur la base de l’équilibre total des forces à cet instant, comme dans le cas d’un système à un degré de liberté. 15.3

Intégration pas à pas : méthode de l'accélération linéaire

A*(0 = 1 Ay(t) At

L’opération de base lors de la résolution pas à pas des équations différen­ tielles du mouvement, Eqs.(15.4), est leur conversion en un ensemble d’équa­ tions algébriques. On y parvient en introduisant une relation simple entre déplacement, vitesse et accélération, relation que l’on suppose valable pendant un court incrément de temps. On peut ainsi exprimer les évolutions incrémen­ tales de vitesse et de déplacement en fonction des évolutions de l’accélération, ou encore les évolutions de vitesse et d’accélération en fonctions des déplace­ ments incrémentaux. Dans l’un ou l’autre cas, seul un vecteur d’inconnues subsiste dans les équations incrémentales de l’équilibre et on peut les calculer par n’importe quelle méthode standard de résolution d’équations simultanées. Comme nous l’avons vu à propos des systèmes à un degré de liberté, la relation entre déplacement, vitesse et accélération peut être établie de manière commode en supposant un certain motif de variation du vecteur des accélé­ rations avec le temps. Pour un système à plusieurs degrés de liberté, il est commode d’adopter l’hypothèse d’accélération linéaire déjà utilisée au Cha­ pitre 8, ce qui mène alors à une variation quadratique du vecteur des vitesses et à une variation cubique du vecteur des déplacements. On peut définir la méthode d’analyse à plusieurs degrés de liberté exactement comme au Cha­ pitre 8, et par analogie avec les Eqs. (8.8) et (8.9) les résultats finaux s’écrivent k (0 Av(0 = AfKO 0Ù

L’Eq.(15.5) a la forme d’une équation statique^tandard de rigidité écrite pour le vecteur déplacement incrémental Av(f) où k(f) et Ap(f) peuvent être interprétés comme la matrice de rigidité dynamique effective et comme l’incré­ ment de charge effective. Le calcul s’effectue en calculant k(f) à partir des caractéristiques de masse, d’amortissement et de rigidité définies pour les condi­ tions existant au début de l’incrément de temps, et en calculant A"p(f) à partir des vecteurs de vitesse et d’accélération au début de l’incrément, ainsi que de l'incrément de charge spécifié pendant le pas. L’incrément de déplacement Ay(t) est alors calculé en résolvant l’Eq.(15.5) par n’importe quelle méthode standard de résolution d’équations statiques. La décomposition de Gauss ou de Choleski est fréquemment utilisée dans ce but dans les programmes d’ordi­ nateurs ; il faut noter que les valeurs évolutives de k(f) et c(f) rendent indis­ pensable une décomposition pour chaque incrément de temps, ce qui nécessite un volume de calculs sensible dans le cas de grands systèmes d’équations. De nombreuses techniques existent qui permettent de simplifier cette partie des calculs, mais de telles considérations sont au-delà du propos de notre exposé. Une fois l’incrément de déplacement Av(f) déterminé, l’incrément de vitesse se calcule à partir d’une expression analogue à l’Eq.(8.7&) :

fi 1 k(0 = k(f) + ^ m + f c(0 At* At

AP(t) = ApO) + « n [ ^ ♦ (0 + -3ÿ(ol + C(t) f 3i(f) + y v(f)!

3 t(0 - ^ v(0 2

(15-7)

Les valeurs des vecteurs déplacement et vitesse à la fin de l’incrément sont alors données par v(f + Af) = v(f) + Av(f')

v(f + Af) = v(f) + Av(f)

(15-8)

Ces vecteurs représentent les conditions initiales de l’étape suivante. On a éga­ lement besoin du vecteur accélération. Comme nous l’avons vu plus haut, on le calcule à partir de la condition d’équilibre dynamique à l’instant f + Af ; ainsi : v(f + Af) = m“ 1[p(f + Af) — fD(f + Af) - fs(f + Af)]

(15-9)

où iD(t + Af) et îs{t + Af) représentent les vecteurs des forces d’amortisse­ ment et de rigidité, calculés à partir des conditions de vitesse et de déplacement à l’instant f + Af (ainsi que l’histoire passée si les caractéristiques du matériau dépendent de l’histoire). L’inverse m“ de la matrice de masse est utilisée dans FEq. (15.9) à chaque étape du calcul ; elle doit donc être calculée et conservée par le programmé de calcul.

(15.5) (15-6a) (15-66)

15.4

Méthode inconditionnellement stable à accélération linéaire

L’hypothèse d’accélération linéaire qui est à la base des Eqs.(15.6) permet une intégration pas à pas efficace dans la mesure où l’incrément de temps est suffisamment court. Les résultats seront généralement assez précis pour les

périodes de vibration au moins 5 à 10 fois plus grandes que l’intervalle d’inté­ gration (ces périodes sont celles des systèmes linéaires considérés lors des incréments de temps successifs). L’essentiel de la réponse se résumant souvent aux composantes dont la période est la plus longue, le nombre des incréments de temps nécessaires pour parvenir à une précision raisonnable de la réponse ne sera donc pas prohibitif. Mais comme nous l’avons vu au Chapitre 8, la méthode à accélération linéaire n’est que conditionnellement stable, et elle divergera si on l’applique à des composantes modales dont les périodes de vibration sont moindres que 1,8 fois l’intervalle d’intégration environ. Les incréments de temps doivent être courts par rapport à la plus courte période de vibration de la structure, que les modes supérieurs contribuent sensiblement à la réponse ou pas. Il est certaines structures à plusieurs degrés de liberté, par exemple certains bâtiments à plusieurs étages idéalisés avec un seul degré de liberté par étage, pour lesquelles cette limitation sur la longueur du pas d’intégration n’a pas de conséquences. Lors de l’étude sismique de ces structures, l’intervalle de temps doit être rendu assez court pour permettre une bonne description du mouve­ ment du sol, et la période de vibration la plus courte du modèle mathématique sera en général considérablement plus longue que cet incrément de temps ; c’est ainsi que la méthode à accélération linéaire a démontré son efficacité dans les calculs de réponses sismiques à la fois linéaires et non linéaires d’ossatures de bâtiments. Mais pour des structures plus quelconques, et en particulier pour les idéalisations par éléments finis de structures ayant des géométries complexes, la période de vibration la plus courte du modèle mathématique pourra être considérablement plus courte que les périodes relatives à la partie de la réponse qui a une signification physique. La méthode d’accélération linéaire ordinaire ne peut alors pas être utilisée en raison de l’incrément de temps très court nécessaire pour éviter l’instabilité ; il faut lui substituer une méthode incondi­ tionnellement stable, qui ne divergera pas quel que soit le rapport entre l’incré­ ment de temps et la période la plus courte. On utilise diverses méthodes pas à pas inconditionnellement stables pour l’étude de la réponse dynamique de ce genre de systèmes ; l’une des plus simples et parmi les meilleures est une modification de la méthode des accélé­ rations linéaires, que l’on appelle méthode 6 de Wilson*. Cette modification suppose que l’accélération varie linéairement sur un intervalle de calcul plus long (Fig. 15.2) : t = OAt

où

9 > 1.37

(15-10)

t

t +

Fig. 15.2

At

t + T

Accélération linéaire ; intervalle de temps normal et intervalle de temps étendu.

La méthode peut être décrite de manière simple en réécrivant les équâtions de base de la méthode de l’accélération linéaire pour l’incrément de temps étendu r ; par analogie avec les Eqs.(8.6), ÂV( 3 v (o | + c(t) j^3«(J) + ^ v(oJ

On calcule l’incrément de l’accélération àv(t) par la méthdde de l’accélération linéaire standard appliquée à l’incrément étendu r; on obtient alors l’incrément Aii(t) pour l’intervalle normal At par interpolation. Pour une valeur de d = 1, le procédé se ramène à la méthode standard de l’accélération linéaire, mais pour 6 > 1.37 elle devient inconditionnellement stable.

* Mise au point par K.L. Wilson, Université de Californie, Berkeley.

(15-12) (15-13a) (15-136)

On peut enfin tirer Av(0 de l’équation pseudostatique (15.12) et reporter dans l’équation suivante [analogue à l’Eq.(8.7a)] pour obtenir l’incrément d'accélération correspondant à l’intervalle étendu : ÂV(t) = 4 Â*(0 - - *(0 - 3V(0 T T

(15-14)

On peut alors obtenir l’incrément d’accélération pour l’intervalle normal At par interpolation linéaire : Av(f) = i Âv(0

(15-15)

6 et les vecteurs correspondants des vitesses et des déplacements incrémentaux sont alors donnés par des expressions comme les Eqs.(15.11), mais écrites pour l’intervalle normal Af. A la suite de quoi les conditions initiales relatives à l’intervalle suivant s’obtiennent par les Eqs.(15.8) et (15.9), et le processus entier peut être répété sur autant d’incréments qu’on le désire. 15.5

Performances de la méthode 9 de Wilson

Il suffira de considérer ses performances lors du traitement d’un système à un degré de liberté, car on sait que l’on peut transformer la réponse d’un système linéaire en la réponse d’un ensemble de systèmes à un degré de liberté découplés entre eux, au moyen des coordonnées globales.

Fig. 15.4 Décroissance d'amplitude (méthode 0 de Wilson).

A t/T

Fig. 15.3 Allongement de la période (méthode 0 de Wilson).

A t/T

L’importance des erreurs que peut commettre un certain schéma d’inté­ gration numérique dépendra des caractéristiques du chargement dynamique et de la longueur de l’incrément de temps. Mais l’impact global des erreurs de calcul apparaîtra dans une étude de la réponse en vibrations libres, et peut s’exprimer en fonction d’une modification artificielle de période et d’une réduction de l’amplitude. Les Figs 15.3 et 15.4 illustrent ces effets d’allon­ gement de la période et de diminution de l’amplitude calculés par la méthode 9 de Wilson, avec la réponse en vibrations libres d’un oscillateur simple soumis à un déplacement initial ; l’importance de l’erreur y est représentée en fonction du rapport entre incrément de temps et période de vibration. Les résultats pour 9 = 2 et 9 = 1.4 montrent que la précision est considérablement meilleure pour la valeur de 9 la plus faible. Il arrive que les effets d’allongement de période et de diminution d’ampli­ tude soient tous deux très sensibles, mais c’est en général la diminution d’ampli­ tude qui est la plus importante. On peut considérer ce mécanisme comme une forme d’amortissement artificiel, qui s’ajoute à l’amortissement réel éventuel ; il faut se rappeler qu’une diminution d’amplitude de 6 % par cycle correspond à un amortissement d’environ 1 % de l’amortissement critique. Il est donc clair,

Fig. 15.4, que cet amortissement artificiel aurait peu de conséquences dans l’étude des structures les plus courantes, qui ont un amortissement de 5 % par rapport à l’amortissement critique ou plus, tant que le rapport At/T reste inférieur à 1/10, parce que dans ce cas l’amortissement artificiel supplé­ mentaire reste dans la marge d’incertitude de l’amortissement réel. Cependant, il est clair que toutes les composantes de réponse pour lesquelles A t/T > 1/4 seront rapidement amorties. Il ne faut ni sous-estimer, ni surestimer les effets de cet amortissement artificiel. Il est clair qu’il faut choisir un intervalle de temps suffisamment court pour que la réponse de toutes les composantes modales importantes soit obtenue sans réduction sensible. Il faut également se rappeler que les modes les plus élevés du modèle mathématique sont souvent peu représen­ tatifs du comportement de la structure réelle ; ils sont souvent grossièrement déformés lors du processus de discrétisation. De plus, dans de nombreux cas le chargement est tel que seuls les modes de vibration d’ordre inférieur répondent de manière sensible ; il n’est donc pas nécessaire d’intégrer les modes supérieurs avec précision. Il est à présent clair qu’une diminution d’amplitude importante est acceptable pour les composantes de fréquence élevée, et dans de nombreux cas il vaut même mieux les éliminer. Dans un sens, la diminution d’amplitude inhérente à la méthode 0 de Wilson peut être considérée comme équivalente à une troncature modale délibérée appliquée à la méthode de superposition des modes. Cette diminution a finalement peu d’importance par rapport à tous les modes éliminés d’un calcul par superposition des modes.

Formulation variationnelle des équations du mouvement

16.1 Coordonnées généralisées

Les avantages des coordonnées généralisées sur la simple utilisation des déplacements de certains points de la structure ont déjà été soulignés. On a également considéré diverses méthodes permettant d’obtenir les équations du mouvement ; la méthode à utiliser dépend de la géométrie et de la complexité de la structure, ainsi que du type de coordonnées utilisées. Le Chapitre 1 a défini les trois techniques de base : (l) écriture directe de l’équi­ libre de toutes les forces dynamiques agissant sur le système, (2) expression de l’équilibre par application du principe des déplacements virtuels, et (3) utili­ sation du principe variationnel de Hamilton. Toutes ces techniques ont été illustrées au Chapitre 2 dans le cas d’exemples à un degré de liberté, mais jusqu’à présent nous n’avons utilisé que les deux premières pour traiter des structures à plusieurs degrés de liberté. Le but du présent chapitre est d’exposer et d’illustrer par des exemples la formulation variationnelle des équations du mouvement de systèmes à plusieurs degrés de liberté. Pour appliquer la technique variationnelle au cas de plusieurs degrés de liberté, nous utiliserons systématiquement la notion de coordonnée généralisée ; cela motive le remplacement de notre terminologie précédente, trop vague, par une définition précise. On définit des coordonnées généralisées relatives à un système à N degrés de liberté comme un système de N grandeurs indépendantes qui définissent complètement la position dans l’espace de chaque point du système. Devant être complètement indépendantes les coor­ données généralisées ne doivent être liées entre elles d’aucune manière que ce soit par l’intermédiaire de contraintes géométriques imposées au système. Dans le pendule double classique de la Fig. 16.1, la position des deux masses mx et m2 pourrait être définie par l’utilisation des coordonnées x x, y x> * 2»y 2 » ma*s deux conditions de contrainte géométriques devraient alors être imposées sur ces coordonnées, à savoir, V

+ yy

- W

= 0

des coordonnées généralisées peut s’exprimer comme une fonction linéaire de ces variations. Ce qui s’écrit : T = T(qu q2, . . . , qN, qu q2, . . . , qN) (16-3a) V = V(qi, q 2, . . . , q N)

(16-3b)

àWnc — Qi ±

1 12 Ü

(13fc!2 - 1 1 8 ^ + 13fc22)

(/)

(i6-9)

OÙ N est le nombre de degrés de liberté du système. Le second terme des Eqs. (16.7), à savoir dT /dqfi = 1, 2 , . . . , N) est alors nul, ce qui réduit les équations de Lagrange à

K I ) +! i - a

....N

p in El, m

N (constante)

(k)

mL ~2 Il suffît à présent de résoudre l’Eq. (/) et les Eqs. (fc) pour obtenir g x(t), g2(t) et Xj(f)- L’équation qui en découle montre que Xl (t) est propor­ tionnel au moment d’encastrement à x = 0. Ce moment effectue un travail virtuel nul car la contrainte en ce point ne permet pas de rotation virtuelle de la section droite. Problèmes

16.1 En appliquant les équations de Lagrange, Eqs.(16.7), et en considérant la possibilité de grands déplacements, déterminer l’équation du mouve­ ment du système représenté en Fig. E2.4. Quelle est l’équation linéarisée du mouvement pour des oscillations de faible amplitude ?

« -------------- l -----------------H

Fig. P16.2

Poutre prismatique en console.

16.6 Une balle de rayon R i et de masse nii est placée au repos sur le sommet d’une surface cylindrique fixe de rayon R 2. Une très légère perturbation met en mouvement la balle qui roule vers la gauche sous l’action de la

pesanteur, comme le montre la Fig. P 163. Si la balle roule sans glisser et si on prend les angles 0* et 02 pour coordonnées du déplacement : (a) Déterminer l’équation de contrainte entre 0 \ et 02. (b) Ecrire l’équation du mouvement en fonction de l’une des coor­ données de déplacement en éliminant l’autre à l’aide de l’équation de contrainte. (c) Ecrire l’équation du mouvement en utilisant les deux coordonnées de déplacement et un multiplicateur de Lagrange Xj. Que représente physiquement Xx ? (d) Déterminer la valeur de 02 lorsque la balle quitte la surface du cylindre. 16.7 Une barre prismatique rigide de masse totale mi et de longueur// oscille sous l’action de la pesanteur. Une masse ponctuelle m 2 est assujettie à glisser le long de l’axe de cette barre ; elle est solidaire d’un ressort sans masse (Fig. P16.4). En supposant une absence totale de frottement et sous l’hypothèse de grands déplacements, déterminer les équations du mouvement dans les coordonnées généralisées q\ et q 2.

16.8 Déterminer les équations linéarisées des petites oscillations du système défini au Prob. 16.7.

Troisième partie :

Systèmes à caractéristiques réparties

Equations aux dérivées partielles du mouvement

17.1 Introduction

Les systèmes à coordonnées discrètes décrits dans la deuxième partie permettent un traitement commode et concret du comportement dynamique de toute structure. Cependant la solution obtenue avec ces coordonnées ne peut constituer qu’une approximation du comportement dynamique véritable, car les mouvements du système ne sont représentés que par un nombre limité de coordonnées de déplacement. La précision des résultats peut être bien entendu améliorée en augmentant le nombre de degrés de liberté. Mais il faudrait en principe un nombre infini de coordonnées pour obtenir des résultats exacts si la structure présente des caractéristiques réparties de manière continue ; une telle méthode est manifestement impossible. Le traitement mathématique formel permettant de prendre en compte le comportement d’un nombre infini de points utilise des équations différentielles où les coordonnées de position sont prises comme variables indépendantes. Comme le temps est également une variable indépendante dans les problèmes dynamiques une telle formulation du mouvement mène à une équation aux dérivées partielles. On peut classer les systèmes continus selon le nombre de variables indépendantes requises pour décrire la répartition de leurs caractéris­ tiques physiques. Par exemple, les formules de propagation d’ondes utilisées en sismologie et en géophysique sont déduites des équations générales du mouvement des corps à trois dimensions. Dans l’étude du comportement dynamique des plaques et coques minces, on détermine des équations de mouvement particulières pour les systèmes bidimensionnels. En ce qui nous concerne, nous limiterons cependant notre attention aux structures unidimensionnelles, c’est-à-dire du type poutre et barre où il est possible de supposer que les caractéristiques physiques (masse, rigidité, etc.) sont expri­ mables à l’aide d’une seule dimension. Ainsi les équations aux dérivées partielles de ces systèmes n’impliquent-elles que deux variables indépendantes : le temps, et la position le long de l’axe. On peut déterminer les équations du mouvement de structures unidimensionnelles assez complexes, par exemple des assemblages tridimen-

sionnels d’un grand nombre d’éléments. De plus, les poutres peuvent être cintrées et même gauches, et les caractéristiques physiques peuvent varier selon une fonction de position compliquée le long de l’axe. Cependant, les solutions des équations de tels systèmes ne pourront généralement être obtenues que de manière numérique, et dans la plupart des cas une formulation par coordonnées discrètes sera préférable à une résolution numérique des équations du milieu continu. Pour cette raison, nous nous limiterons ici à des poutres présentant des axes rectilignes, et à leurs assemblages. Dans la formulation des équations du mouvement nous autoriserons des variations quelconques des caracté­ ristiques physiques le long des axes mais pour les résolutions subséquentes de ces équations nous supposerons que les caractéristiques sont constantes. En raison de la limitation sévère des cas considérés, le principal but de cet exposé n ’est que de donner un aperçu des notions générales de la formulation par équations aux dérivées partielles, et non de donner un outil destiné à d’impor­ tantes applications pratiques.

v(x. t ) p(x. t )

hm t

EI{x), m(x)

j t *— dx (a)

nn P( X, t)

V

ci

h V

- dx

Fig. 17.1

(+ . -'-"dx dX

+ d^ d x

( b)

Poutre soumise à un chargement dynamique : (a) caractéristiques de la poutre et coordonnées ; (b) efforts agissant sur un tronçon élémentaire.

17.2 Flexion des poutres : cas élémentaire

Le premier cas à considérer est celui de la poutre rectiligne de longueur L à section variable de la Fig. 17.la. Les caractéristiques physiques principales de cette poutre sont supposées être la raideur de flexion EI(x) et la masse linéique m(x) qui peuvent varier toutes deux de manière arbitraire en fonction de la position x sur l’axe. Le chargement transversal p ( x , t ) varie arbitrai­ rement avec la position et le temps, et la réponse en déplacement transversal v(x,t) est une fonction de ces mêmes variables. Les conditions d’appui aux extrémités sont arbitraires ; elles sont représentées ici comme des appuis simples à fins d’illustration. L’équation du mouvement de ce système simple est facilement déterminée si on considère l’équilibre des forces qui agissent sur le segment élémentaire représenté à la Fig. 17.1Z>. La sommation de toutes les forces verticales mène à la première relation d’équilibre dynamique V + pdx -

+ - ^ d* j —f d x = 0

(17-1)

quç l’on reconnaît comme la relation standard entre l’effort tranchant et le chargement transversal, où apparaît à présent la force d ’inertie de la poutre en accélération. La seconde relation d’équilibre s’obtient en sommant les moments comme suit : + V dx - \ J t + ^

**2 ôt

Substitution dans l’Eq. (17.1) et simplification donnent

(17-2)

(17-4)

où on a vu que la force latérale répartie ne contribue au moment qu’au second ordre. Tout cela se simplifie pour donner directement la relation statique standard entre effort tranchant et moment M

= v

(17-5)

dx Aucune force d’inertie ne contribue ici à l’équilibre des moments. En dérivant par rapport à x et en reportant dans l’Eq. (17.3) on obtient (après quelques manipulations) : d2J t

où f t dx représente l’effort d’inertie réparti transversal et est donné par le produit de la masse élémentaire et de l’accélération locale : fi dx = m dx

dx\ = 0

_

+

Ô2V

(M

(17-6)

Enfin, l’utilisation de l’éq u a tio n .^ =EId 2v/bx 2 (relation entre moment et courbure, élémentaire en théorie des poutres) mène à l’équation aux dérivées partielles de ce mouvement de flexion :

i l

dx2

où El et m varient tous deux de manière arbitraire en fonction de x.

d’où la force transversale

17.3 Flexion des poutres : effet des forces axiales

Si on soumet la poutre précédente à une force parallèle à son axe et qui vient s’ajouter au chargement latéral de la Fig. 17.1, l’équilibre local des forces se trouve modifié car la force axiale interfère avec les déplacements latéraux pour produire un terme supplémentaire dans l’expression de l’équilibre des moments. Considérons la poutre de la Fig. 17.2, où la force axiale est supposée constante à la fois dans le temps et le long de l’élément. (En principe elle pourrait varier selon une fonction arbitraire de x, mais on prend le cas d’une force constante pour une raison de simplicité.) On voit sur la Fig. 17.2Z> que l’équilibre transversal n’est pas affecté par la force axiale parce que sa direction ne change pas avec la flèche de la poutre; l’Eq. (17.3) est donc toujours applicable. Mais le point d’application de la force axiale change avec la flèche de la poutre, de sorte que l’équation d’équilibre des moments devient à présent M + V dx - N — dx - ( j f + — d x \ = 0 dx \ dx J

(17-8)

'

(a)

v ~ n dx T + 1T dx

Si on utilise cette expression modifiée de V dans l’Eq. (17.3) et si on pro­ cède comme précédemment, on obtient l’équation finale di mouvement,tenant compte des effets de la force axiale : f U

dx \

l ^ l

dx J

+ N ^

Fig. 17.2

Poutre soumise à un effort axial statique : (a) déformée due au chargement ; (b) efforts agissant sur un tronçon élémentaire.

dx

+ m p L -,

dt

(17-10)

En comparant cette équation et l’Eq. (17.7), on voit bien que le produit de la force axiale et de la courbure donne naissance à une charge transversale effec­ tive supplémentaire qui agit sur la poutre. Il faut également remarquer que la force V agit ici de manière verticale,* il ne s’agit nullement de l’effort tranchant de section droite, car elle n ’est pas normale à la déformée.

17.4 Flexion des poutres : déformations d'effort tranchant et inertie de rotation

L’Eq. (17.7) - o u (17.10) - est applicable à la grande majorité des cas. Mais ces équations négligent deux phénomènes qui peuvent avoir une influence appréciable sur la réponse dynamique si le rapport d ’élancement de la poutre est relativement faible : il s’agit des déformations dues aux efforts tranchants et de la résistance inertielle à l’accélération en rotation des sections droites de la poutre. Les composantes de la flèche relatives à chacun de ces effets appa­ raissent en Fig. 173 b . L’inertie de rotation provient de la rotation de la section droite a à partir de sa position originale. S’il n ’y avait pas de déformation d ’effort tranchant, les sections droites resteraient normales à la déformée et a serait égal à la pente de la déformée. Mais si on tient compte de ces déforma­ tions, la déformation de la poutre est bien plus compliquée. En supposant en première approximation que la section droite reste plane, la déformation d ’effort tranchant se représente par un terme j3 qui réduit la pente de la défor­ mée, comme le montre le schéma. Nous considérons à présent l’équilibre des forces agissant sur l’élément de poutre, Fig. 17.3c (les forces axiales sont négligées pour raison de simplicité) ; on notera que l’équilibre vertical n ’est pas affecté par l’inertie de rotation et se trouve toujours représenté par l’Eq. (17.3). Mais l’inertie de rotation par unité de longueur rnf contribue directement à la relation d’équilibre des moments comme suit : J i + *0 dx H- mj dx

( b)



Jï + — dx\ = 0

dx

J

(17-11)

L’inertie de rotation est donnée par le produit du moment d’inertie massique de la section et de l’accélération angulaire

où p est la masse volumique (p = m/A) et I est le mcment d’inertie de la section; ainsi : _ -2 __ / cra 25 « (17-12) m, = m ------ - = mr — 1 A dt d t2 K ' où r 2 = I/A est le rayon de giration l’Eq. (17.11) et en simplifiant :

de la section. En reportant dans

ÔM ^ . 2 d2

représente le chargement effectif appliqué au segment de poutre par les exci­ tations d’appui. Le déplacement pseudo-statique vs, qui est à l’origine du chargement effectif, est défini comme le déplacement statique du segment de poutre qui résulterait de tout déplacement imposé à ses appuis. Les déplacements d’appui possibles pour le segment de poutre sont les déplacements transversaux et les rotations des deux extrémités, comme le montre la Fig. 17.5. Les déformées produites en appliquant une valeur unité pour chacun de ces mouvements d’appui peuvent se calculer par les méthodes standard du calcul statique des déformées. Si les allures des déplacements sont désignées par (L)ml = 0

(2)

où J représente le moment massique d’inertie à l’extrémité de la poutre, et m x est la valeur de la masse concentrée.

1 4- cos aL cosh aL = 0

(» La résolution de cette équation transcendante donne alors les valeurs de aL qui représentent les fréquences de vibration de la poutre. On peut utiliser l’une ou l’autre des équations de l’expression matri­ cielle (a) pour exprimer le coefficient A 2 en fonction de A ± ; en utilisant la première : A sin aL 4- sinh aL A — ---------- ^—------- ;— r A x (c) cos aL 4- cosh aL Avec les relations provenant des deux premières conditions aux limites, on peut alors exprimer l’Eq. (18.10) en fonction du premier coefficient seulement

10U) |

El, m = constantes

=Om,y

(a)

,3^A + «WVMj

.ytf=E/0'U>

007

KD

co20 (L)J

) efforts agissant sur l'extrémité libre.

La Fig. E18.4tf représente un portique constitué de deux segments prismatiques possédant des caractéristiques différentes. En raison de la discontinuité entre les deux segments, il faut appliquer l’expression (18.10) séparément à chaque segment et le problème nécessite donc un total de huit coefficients. Il doit leur correspondre huit conditions aux limites. Deux conditions proviennent de l ’appui de la colonne. En x x = 0

i(0) = 0

(D

01(0) = 0

(2)

En supposant l’absence de déformations axiales, on a de même En x 2 = 0 En x 2 = L 2

E l i f f î L J + m2L2© V i£ i ) = 0

(8)

Les huit conditions permettent alors d’obtenir huit équations en fonction de huit coefficients (quatre pour chaque segment), et l’annu­ lation du déterminant de la matrice carrée 8 x 8 qui en résulte donne l’équation aux fréquences du système. Notons cependant que la résolution de ce problème apparemment simple mène à des calculs non négligeables si on s’y prend de cette manière. Nous verrons plus tard des procédés plus pratiques applicables aux poutres et portiques simples.

(3)

$ 2( ^ 2) = 0

(4)

18.2 Flexion des poutres : prise en compte des effets des forces axiales

(5)

Les forces axiales qui agissent sur un élément en flexion peuvent avoir une influence très sensible sur son comportement vibratoire, influence se traduisant généralement par des modifications de la fréquence et de la géométrie des modes. Si on considère les vibrations libres d’une barre prismatique, l’équation du mouvement qui prend en compte l’effet d’une force axiale N qui est uniforme le long de l’élément et ne varie pas avec le temps, devient, par l’Eq. (17.10):

El

= 0

La continuité de la pente et l’équilibre des moments à la jonction des deux éléments donnent = Lv x2 = 0

V riL J = 4>'2(0)

(6)

Eliï(Li) = Elrfÿfi)

(7)

02(*2) -i El 2, m 2

=?>—~ X2 w ///

EIX, m x

+Në m ôê

E ,j ? + m0 (x)

N M i) ^ {\ x ) + Nfi'ix) - fn(D2(x) = 0

(18-14)

où la constante C a été remplacée par rh co2. L’équation (18.13) est la même équation que précédemment, ce qui montre qu’une force axiale constante n’affecte pas le caractère harmonique simple des vibrations libres. L’équation (18.14) mène à des expressions pour la fréquence et la géométrie des modes, où la force axiale N constitue un paramètre essentiel. Si on divise l’Eq. (18.14) par E l on peut écrire

OU

2 i 4 = mco ------a ~ i r

n

2

g

N ~ ü

Si on simplifie en supposant que v (x , t ) =

Le dernier terme non nul de l’Eq. (18.22) n’a que peu d’importance dans la pratique, car nr/L est souvent négligeable devant 1. On pourra remarquer que lorsque nr/L est petit, a 4 = (wr/Z,) ; on peut alors écrire le dernier terme comme [(= )’£ ]

par application de la loi de Betti. Considérons la poutre représentée en Fig. 18.1 Supposons ici qu’elle puisse avoir une rigidité et une masse variables et arbitraires sur toute la longueur, ainsi que des condition; d’appui arbitraires (bien que la figure ne représente que des appuis simple;). Deux modes de vibration distincts, w e t / i , sont représentés. On a indiqué pour chaque mode la déformée et les forces d’inertie qui provoquent les déplacements. Appliquée à ces deux déplacements, la loi de Betti signifie que le travail fourni par les forces d’inertie du mode n agissant sur les dépècements du mode m est égal au travail des forces du mode m agissant sur hs déplacements du mode n ; c’est-à-dire :

f

vm(x)fIn(x) dx =

Jo

f

(18-24)

Et avec les fonctions de déformée des modes, représentées à la Fig. 18.1 :

YmY„co„2

f

m(x)m(x)n(x) dx = YmYn„(x)m(x)m(x) dx

Jo

que l’on peut encore écrire (con2

-

cO

J

4>m(x) * = °

(18-31)

(18-35)

où les coefficients B x et B 2 déterminent la géométrie du mode de vibration. Les conditions aux limites permettent d’exprimer l’un des coefficients en fonction de l’autre et on parvient ainsi à une équation permettant de déter­ miner le paramètre de fréquence b. EXEMPLE E l8.5 Barre encastrée La barre de la Fig. El8.5a vibre axialement. Les deux conditions aux limites sont : En * = 0 :

ÿ(0) = 0

(1)

En x = L :

r f(L ) = AE'(L) = 0

(2)

L’Eq. (18.35) et la première équation donnent Bx sin (0) + B 2 cos (0) = 0 d’où B2 = 0 Faisons B 2 = 0 dans l’Eq. (18.35) et prenons sa dérivée première ; avec la deuxième condition aux limites on obtient

18.5 Vibrations axiales libres

AEBxb cos bL = 0 Dans le cas d’une barre prismatique, l’équation d’un mouvement axial [Eq. (17.28)] devient _ d2u „ J ô2u

$

La solution triviale B l = 0 étant exclue, on voit que l’équation aux fréquences s’écrit cos bL = 0

18.6 Orthogonalité des modes de vibration axiale AE, m = constantes L

De la même manière que dans le cas des vibrations ei flexion, et par utili­ sation de la loi de Betti :

J

(a)

$m(x)n(x)m(x) dx = 0

(18-36)

La condition d’orthogonalité faisant intervenir la raidmr axiale s’obtient à partir de l’Eq. (17.28) en exprimant les déplacements du wième mode par unix,t) = ÿ„(x) sin (ü„t =E

L’Eq. (17.28) s’écrit alors

AEA

2 V™; 2

ÿj (x) = sin g

= - J - [EA(x)

^

Le terme correspondant aux efforts d’inertie dans la relation d’orthogonalité (18.36) peut donc être remplacé par son équivalent, lié aux forces élastiques axiales, ce qui permet d’écrire :

[M .

2 2 v«z2

r ^ ,,

=ii

“3 2

fx

[£y4wi

t ] dx=o

°

s ‘3 8 )

Après intégration par parties on obtient la forme symétrique suivante :

[Ha

l„

(18-39)

Jo

Le premier terme représente le travail fourni par les forces axiales aux extré­ mités du mode n agissant dans les déplacements aux extrémités du mode m ; ce terme disparaîtra dans les cas d’appuis classiques seulement. Problèmes

d’où U T = —------“ 1 71 oL

La forme de la barre en vibration est donc n * 2 L (où l’amplitude B x est arbitraire), et la fréquence de vibration est t o

con =

=

bn EA m

sin

2n - 1 EA 2 71V mL2

(b)

La Fig. E18.5& montre les formes et les fréquences des trois premiers modes de vibration.

18.1 Déterminer la fréquence fondamentale de la poutre en console avec une masse concentrée en son extrémité que montre la Fig. E l8.3. On prendra m l = 2 mL et un moment d’inertie / = 0. Tracer le mode par points distants de L/5. 18.2 Déterminer la fréquence fondamentale du portique de la Fig. E l8.4 si les deux barres sont de caractéristiques identiques L, El et m. Tracer le mode par points distants de L/4. 18.3 Déterminer la fréquence fondamentale de flexion de la poutre repré­ sentée en Fig. P18.1. Tracer le mode par points distants de L/5. Remarquons que la fréquence la plus basse de cette structure instable est égale à zéro : la fréquence que nous recherchons est donc la fréquence non nulle la plus basse.

m, El = constantes

Fig. P18.1

18.4 Déterminer la fréquence fondamentale de flexion de la poutre continue de la Fig. P18.2. Tracer le mode par points distants de L/2.

Etude de la réponse dynamique

m El - constantes

___________________ -2L-

Fig. P18.2

18.5 Une poutre en béton armé de section 0.2 m par 0.45 m est posée sur deux appuis simples distants de 8 m. En choisissant pour le matériau un module de 2 x 10 N/m et une masse volumique de 2 400 kg/m3, déterminer la fréquence de ses cinq premiers modes de vibration : (a) en négligeant les effets de l’effort tranchant et de l’inertie de rotation, (b) en en tenant compte, Eq. (18.23). On prendra E/k9G = 3. 18.6 Déterminer la fréquence fondamentale des vibrations axiales de la structure représentée en Fig. E18.3. On prendra pour la masse concentrée m l — 2mL. L’aire de la section droite de la poutre sera notée A. Tracer le mode par points distants de L/5. 18.7 Considérons la colonne de la Fig. PI 8.3. (à) Déterminer les quatre conditions aux limites nécessaires pour calculer les constantes lors de l’obtention de l’équation aux fré­ quences axiales. (b) Ecrire l’équation transcendante des fréquences axiales, et déterminer la fréquence la plus basse et le mode correspondant. Tracer le mode par points distants de L/3, en normalisant à une amplitude unité pour l’extrémité libre.

2m

19.1 Coordonnées normales

La méthode de superposition des modes appliquée à un système à carac­ téristiques réparties est entièrement équivalente à la méthode utilisée pour un système à coordonnées discrètes ; car dans les deux cas les amplitudes des composantes modales de la réponse sont utilisées comme coordonnées géné­ ralisées pour définir la réponse de la structure. On dispose en principe d’un nombre infini de ces coordonnées dans le cas d’un système réparti puisqu’il présente un nombre infini de modes de vibration, mais dans la pratique seuls les modes qui comptent vraiment doivent être pris en compte. La forme du problème revient donc à celle d’un système discret, avec un nombre limité de coordonnées modales (normales). L’opération essentielle de l’étude par superposition des modes est la transformation à partir des coordonnées géométriques de déplacement vers les coordonnées que représentent les amplitudes modales (ou normales). Dans le cas d’un milieu continu unidimensionnel, on peut exprimer cette transfor­ mation comme

2AE

v(x,t) = 2 0l ( x) Yl (t)

Vitesse initiale au point de contact

Chute El, m = constantes

TTzfoz

-L-

Fig. E19.1

supposons que l’on initie les vibrations libres de cette poutre en soulevant l’extrémité droite du rouleau et en la lâchant, d’où un pivotement autour de la rotule de gauche. Si la poutre se déplace sans déformation lors de sa chute, la vitesse à l’instant du contact t = 0 varie linéairement le long de la poutre, la vitesse à l’extrémité étant vt . Les vitesses à l’instant t = 0 sont données par

\WS7/

Fig. 19.1 Déformée quelcon­ que d'une poutre en coordon­ nées normales.

Etc.

bution du mode n à une déformée quelconque v(x,t) s’obtient en multipliant l’Eq. ( 19.1) par (f>n(x)m (x) et en intégrant, d ’où oo

[*L

„(x)m(x)v{x,t) dx

=

Jo

2 i=1

= y»(0

Exemple pour la détermination d'une amplitude de vibration libre.

J

PL

JLi

et le déplacement au même instant est v ( x ,0) = 0. Le nié me mode est donné par i z x . nnx 4>n(x) = sin —— La

L’intégrale au dénominateur de l’Eq. (19.2) est donc

0 i(x )m (x ) ^ „ ( x ) dx

y i( 0

t>(x,0) = j v ,

Jo

J

cj)n2m(x) dx = m

J

sin2

dx =

|>„(x)]2m(x) dx

où un seul terme de la série subsiste en raison de l’orthogonalité. D’où l’amplitude

Quant au numérateur, qui définit l ’amplitude modale à t = 0, il est nul puisque u(x,0) est nul ; donc ^ w(0) = 0 pour tous les modes. Mais l’utilisation de la répartition initiale des vitesses dans une expression équivalente à l’Eq. (19.2) mène à un numérateur intégral

f 4>n(x)m(x)v(x,t) dx Yn(t) -

-----------------------I i«(x)Yrn(x) dx

(19-2)

ce qui est entièrement équivalent à l’expression (13.5). EXEMPLE E19.1 On peut utiliser l’Eq. (19.2) pour déterminer les amplitudes modales correspondant aux conditions initiales d’un problème de vibrations libres, voir Eq. ( 18.8). Etant donné le déplacement v(x,Q) et la vitesse v ( x , 0) à l’instant t = 0, l’amplitude modale corres­ pondante Yn(0) et la vitesse Yn(0) s’obtiennent directement à partir de l’Eq. (19.2). Considérons par exemple le système en Fig. E19.1, et

f (f)n(x)m(x)v(x 90) dx = mvt f - sin dx = ± ^ vt Jo Jo L L nn où le signe est positif pour n impair, et négatif pour n pair. On parvient enfin à la vitesse initiale en coordonnées normales : t(0 ) =

nn

et avec l’Eq. (18.8) la vibration modale est donnée par y„(0 = ±

nnco„

sin cont

Enfin, si on utilise l’Eq. (19.1) on obtient le mouvement de la poutre en vibrations libres : oo ( 2v v(x,t) = 2 &.(*) ± ----sin n= i

\

\

nnco„

J 4>n(x) ^

J

2 i>t ( 1 . nx . * 1 . 2 nx . \ = —- ( — sin — sin c o ^ -------- s in ------sin co2t + *• • J n ycOi L 2 cû2 L J Remarquons que dans cette étude on a supposé que l’extrémité droite de la poutre restait en contact avec l’appui après le contact initial (pas de rebond).

Ü dx2 on obtient h

[“ ^ a ir]

m

■ jKx’>)

|

Ÿjt) £

m (x )U x )U x ) dx + f

Yt(t ) £ n(x) £ - 2 ( E l ^

=

J

dx

$n(x)P(X,t) dx

Si on applique les conditions (18.26) et (18.28) aux deux premiers termes, il est évident que tous les termes s’annulent sauf le «ième d’où

ŸJt) J

m(x)n2(x) dx + y„(0 j* 4>n(x)

M n = j* 4>«2(x)m(x) dx

(19-5)

on peut écrire l’Eq. (19.3) sous la forme abrégée

CL

( e I d~ ^ rj àx

= j* n(x)p(x,t) dx

,

(19. 7)

est la charge généralisée correspondant au mode n(x). On peut écrire une équation semblable à l’Eq. (19.6) pour chacun des modes de la structure, en utilisant les Eqs. (19.5) et (19.7) pour calculer la masse et la charge généralisées convenables. Remarquons que ces expressions sont les équivalents en milieu continu des expressions matricielles obtenues précédemment avec les systèmes discrets. Soulignons également qu’elles sont applicables aux poutres quelconques si on peut déterminer la forme de leurs modes. Si la réponse dynamique est provoquée par un mouvement des appuis, le chargement effectif qui agit sur la structure est donné par l’Eq. (17.24#). La charge en coordonnées normales provenant de chacune des contributions des accélérations d’appui à ce chargement effectif s’écrit alors 0n(*)/W O M ) dx = - 5 r ( 0 j

dx

(19-7tf)

et la charge totale effective en coordonnées normales provenant de l’excitation des appuis est la somme des contributions de toutes les accélérations des divers appuis. EXEMPLE E l9.2 Déterminons la réponse dynamique de la structure représentée en Fig. E l9.2. ETAPE 1 : CALCUL DES MODES ET DES FREQUENCES. On reporte l’Eq. (18.10) dans l’ensemble des équations des conditions aux limites. On trouvera les résultats à l’exemple E l 8.1 :

... . nnx n(x) = sin —

(19-3)

(19-6)

n(.x)p(x,t) dx

PnX0 = j

En multipliant par n (x) et en intégrant :

(19-4)

On remarquera que l’intégrale du second membre est la masse généralisée de la poutre correspondant au mode n(x), voir l’Eq. (2.33). Si on note cette masse Mn, soit

OÙ

Les deux conditions d’orthogonalité permettent à présent de découpler les équations du mouvement de notre système à caractéristiques réparties, de la même manière que dans le cas discret. Notons que les conditions (18.26) et (18.28) ou (18.29) s’appliquent à une poutre quelconque : le découplage s’applique donc à une poutre quelconque. Avec l’utilisation de l’Eq. (19.1) dans l’Eq. (17.7), que revoici :

+î

dx = (ûn2 J* 4>n2m(x) dx

( eI

M„Ÿn(t) + œn2M„Yn(t) = Pn(t)

19.2 Equations découplées en flexion sans amortissement

I,

On peut établir la relation entre les deux premières intégrales de cette équation en multipliant l’Eq. (18.27a) par n(x) et en intégrant, d’où

Mais comme cûn = ri ir E I/rriL, cela s’écrit

\ Pi t )

,

V

2P0Ü (1 — COS COit » .

7CX

n El V

L

1

u(x,f) = ------ ( --------------- -- sin ------------

El, m = constantes

1

cos cM . 37TX -------- - s in ---81 L

1 — COS C05f . 57CX -4---------------------L. sin ------

625

L

- • )

qui représente la solution complète. On remarquera que le terme «4 du dénominateur rend négligeable la contribution des modes d’ordre élevé. Si on s’intéresse au point médian du chargement, on fait x = L/2 et on obtient

(a)

p(t)

Po

Fig. E19.2 Exemple pour la dé­ termination d'une réponse dyna­ mique : (a) définition géomé­ trique ; (à) chargement échelon appliqué au centre.

(b)

/L \ ” \2 ’ /

_

2P0Ü / l — COS ODit tt4£ / V ”1

1 — cos œ3t 81

1 — cos 625

co5 f

.

A /

En ce qui concerne la flèche statique, il suffit d’annuler cosco^ pour obtenir 3

p 0l48E l

ETAPE 2 : CALCUL DE LA MASSE ET DU CHARGEMENT GENERALISES.

Avec les Eqs. (19.5) et (19.7) on trouve Mn = f

Jo

.,

/statique

(x- i r )' si" f

que l’on peut développer sous la forme

f Sin o)n(i - x) dx = (i _ cos ^ mLcon Jo mLco„

4 : DETERMINATION l’Eq. (19.1) on obtient

ETAPE

•* ( ± ) ------------- J- s in -------n 2 AE b4 j L (2" - 1) 2 lnxj

= --- ^ ( ------ ---- - sin--- h -----

\ J / (

Phase 1

p( t ) = p 0

(0 < c t x < L )

,P (0 AE, m = constantes

Phase 2

Phase 3

Phase 4

(Z, < c t 2 < 2L)

(2L < ct $< 3L)

(3 L < c t 4 < 4 L )

T

t 'o Déplacement

x, u (b)

i

(a) Fig. E19.3

Colonne soumise à un chargement en son extrémité : (a) configuration géométrique ; (b) chargement échelon.

ETAPE 5 : REPONSE A LA FORCE AXIALE :

J^(x,t) = EA — dx 8P0L v * T ~

_

n4 i L "

1 — cos tort (2n -

x)2

— 1 n cq^ 2n — 1 nx~\ 2

^ cos

2

Ouf r(±)i - co»»».»c o s m n „4ï L

2n - 1

2

LJ

On peut obtenir la réponse à l’instant t en sommant les termes des séries (a) et (b) qui représentent les répartitions des déplacements et des forces. A cet effet exprimons le paramètre angulaire cont sous la forme

où c - \jEAjm a les dimensions d’une vitesse. Le produit et devient donc une distance, et le paramètre angulaire peut être considéré comme le rapport de cette distance et de la longueur de la colonne. Les répar­ titions des déplacements et des forces dans la colonne ont été calculées pour quatre valeurs de ce paramètre en calculant les séries ; les résultats obtenus sont tracés en Fig. E19.4. La simplicité de la réponse saute aux yeux. Pour t x < L jc la colonne ne présente aucune charge au-delà de la distance c tx mais elle est soumise à la force constante PQ en deçà de cette distance. La réponse peut donc être interprétée comme une

Fig. E19(*) =

(31? - 4x2)

-p(t) = P q

s in u > t

0 < x < —

( >> caictier C li Tmnplitude 4SEI {a) du déplacement central dans2les trois premiers modss de la vibration libre ; exprimer les résultats sous la forme de iraclions du déplacement statique correspondant. (b) Cal^ler l’âmplitude du moment central dans les trois premiers m°fe de la vibration libre ; exprimer les résultats sous la forme de frétons du moment statique correspondant. 19.2 Supposois cette f0js qUe l’échelon de la Fig. E l 9.2 soit appliqué en x —L/4 et non au point médian. Donner les expressions de la réponse non amûrtie en déplacement, et du moment fléchissant au point chargé. Tracer Histoire du moment fléchissant dans l’intervalle 0 < t < T x en ne Prenan*tUe les trois premiers modes. 19.3 Suppose^ que ja p0utre de la Fig. E19.2 soit soumise à une charge har5 moniqu{appliquée en x = L/4 : p (t) = p 0 sin cot, avec co = - c o , . En 4 prenantjn compte les trois premiers modes de vibration, tracer l’ampli­ tude ^déplacement de la poutre en régime permanent (par points distants^ L/4) : (a) eniégiigeant d’abord l’amortissement, (0) pmi en prenant pour chacun des modes un amortissement égal à 1 de l’amortissement critique.

~AE, m = constantes

Fig. P19.1

19.6 La poutre prismatique simple de la Fig. P19.2 est soumise à un charge­ ment latéral p(x, t) = 8(x —a) 8(f), où Ô(x —a) et 6(t) sont des fonc­ tions de Dirac (voir § 22.1). Avec la théorie élémentaire des poutres et la méthode de superposition des modes, déterminer les séries permettant d’exprimer la flèche latérale v ( x,t), le moment interne Jl(xyt) et l’effort tranchante ( x,t) provoqués par le chargement p(x, t). Que dire de la convergence de ces diverses séries ? p(x,t) = h(x- a) Ht)

El, m

20

La méthode de la rigidité directe dans les problèmes dynamiques

20.1 Introduction

Au vu de ce qui précède, il est évident que l’étude parla méthode de super­ position des modes de toute structure constituée d’un assemblage d’éléments poutres, peut être effectuée de manière quasi-automatique : on calcule d’abord les modes et les fréquences de vibration de la structure, puis on fait intervenir les distributions de masse, d’amortissement et de rigidité. Il est en fait facile de généraliser la méthode à des structures constituées d’éléments à deux ou à trois dimensions - à condition que leurs caractéristiques de vibration soient connues. La partie difficile de l’étude est alors le calcul des modes et des fréquences. La formulation de l’étude des vibrations des structures constituées de poutres prismatiques (voir Chap. 18) ne présente pas de difficulté. Mais le pro­ cédé devient vite inextricable en raison des quatre constantes à calculer pour chaque segment. Une structure toute simple constituée de 5 poutres prisma­ tiques, par exemple, nécessite le calcul d’un système de 20 constantes de fonc­ tions de déformée. Tout devient plus simple si les caractéristiques des segments sont exprimées par des coefficients de rigidité dynamique en lieu et place de ces constantes. Une fois obtenues les équations de rigidité dynamique, on peut mener l’étude d’un système de quelque complexité que ce soit en utilisant exactement les mêmes procédés que ceux qui sont utilisés pour une étude par rigidité directe statique (méthode de déplacements) : on forme la rigidité de l’assemblage en sommant les contributions adéquates de chaque élément ; puis les équations de rigidité du système complet sont résolues pour obtenir le déplacement qui résulte du chargement donné. La seule caractéristique nouvelle est que les coefficients de rigidité dynamique sont fonction de la fré­ quence du mouvement. Pour un chargement d’une certaine fréquence on peut les calculer directement, et les calculs se déroulent de manière normale ; lors de la détermination des fréquences des vibrations naturelles cependant, il faut ajuster les coefficients de rigidité de manière itérative pendant les calculs.

L’Eq. (18.2) peut donc s’écrire

20.2 Matrice dynamique de rigidité en flexion

Les coefficients de rigidité dynamique d ’un segment de poutre sont les forces et les moments aux extrémités qui sont provoqués par l’application de déplacements et de rotations unités aux extrémités. La Fig. 20.1 montre les efforts et les déplacements qui nous intéressent. La seule différence dans la définition des coefficients de rigidité dynamique comparés aux coefficients de rigidité statique standard, est que les déplacements en question varient de manière harmonique avec le temps, tous à la même fréquence et en phase ; en conséquence, les efforts aux extrémités varient également avec la même fré­ quence et avec la même propriété de phase. (Soulignons ici que la rigidité dyna­ mique se définit en l’absence de tout amortissement.) On peut donc considérer que la rigidité statique d’une poutre est un cas particulier de la rigidité dyna­ mique, avec une fréquence nulle.

f t \ x ) - â*(x) = 0

(20-3)

où 5* = ^

(20-4)

El

On remarquera que l’Eq. (20.3) est équivalente à l’Eq. (18 5tf); sa solution est donc équivalente à l’Eq. (18.10), soit