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TRAITEMENT DU SIGNAL La modulation d’amplitude est une technique intervenant dans la transmission, via une onde électromagnétique, d’un signal informatif (téléphonie, radio, télévision…).

Partie I FABRICATION D’UN SIGNAL MODULE EN AMPLITUDE

Généralités sur la modulation d’amplitude Pour transmettre une onde sonore (un signal informatif supposé sinusoïdal de pulsation w), on module l’amplitude d’une porteuse de pulsation W très supérieure à w. I-1) À quel intervalle de fréquences correspond le domaine audible ? Quelle est la célérité de l’onde modulée transmise par voie hertzienne ? I-2) Donner deux raisons essentielles justifiant la nécessité de la modulation (en amplitude ou en fréquence, par exemple) pour transporter un signal par voie hertzienne par l’intermédiaire d’une onde électromagnétique. I-3) Le signal modulés(t)obtenu est mis sous la forme usuelle s(t) = s0[1 + mcos(wt)]cos(Wt) dans laquelle m est un réel positif, appelé taux de modulation. L’image électrique de ce signal pourra être obtenue sous forme d’une tension (on écrira alors s(t) = v(t) grandeur exprimée en volt) ou sous forme d’une intensité (on écrira alors s(t) = i(t) grandeur exprimée en ampère).

FIG. 1 - Signaux obtenus avec différents taux de modulation

a) Soient sMAX et sMIN les valeurs maximale et minimale de l’amplitude de s(t). En faisant apparaître clairement sMAX et sMIN sur l’une ou l’autre des figures précédentes (qui sera reproduite sur la copie), exprimer le taux de modulation m en fonction de sMAX et sMIN. b) Calculer les taux de modulation correspondant aux deux graphes proposés. c) Représenter le signal modulé dans le cas m = 1 Fabrication d’un signal modulé en amplitude Pour réaliser l’émission, nous allons utiliser un courant électrique modulé en amplitude, d’intensité i(t) = I0[1 + mcos(wt)]cos(Wt), où W >> w. Spé y 2006-2007

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L’intensité électrique délivrée par la source de courant circule dans un dipôle oscillant, l’émetteur, qui réalise l’émission. L’ensemble est représenté sur la figure 2. Nous ne nous intéresserons pas à l’émetteur, mais seulement à la source de courant, que nous allons tenter de fabriquer. FIG. 2 - Schéma de l'émetteur I-4) Représenter, en le justifiant, le spectre fréquentiel de l’intensité délivrée par la source (on notera w W f = et F = ). 2p 2p I-5) En déduire que la source de courant peut être théoriquement fabriquée à l’aide de trois sources de courant sinusoïdales idéales, associées de façon très simple. Préciser : Ÿ les expressions complètes (amplitude et pulsation) des intensités i1(t), i2(t) et i3(t) délivrées par chacune des sources ; Ÿ le montage réel de la source équivalente. PARTIE II DEMODULATION D’AMPLITUDE Pour récupérer l’information contenue dans un signal modulé en amplitude, plusieurs approches sont possibles, dont les deux suivantes. La première exploite les possibilités d’un circuit passif à base de diode, la seconde repose sur l’emploi d’un multiplieur. Démodulation par détection d’enveloppe (à l’aide d’une diode) Un récepteur capte, par voie hertzienne, un signal modulé qu’il traduit sous la forme d’une tension v(t) = V0[1 + mcos(wt)]cos(Wt), Pour en extraire l’information, on utilise le dispositif suivant (voir figure 3) appelé détecteur d’enveloppe ou de crête. Il est constitué d’une diode idéale, d’une ve(t) résistance et d’un condensateur, ces deux derniers formant la cellule RC. La valeur des composants est adaptée au signal à démoduler. II-1) Soient t = RC la constante de temps de la FIG. 3 - Démodulateur à diode 2p cellule RC et T = la période de la porteuse du signal W d’entrée. En raisonnant qualitativement sur le fonctionnement de la cellule RC, selon l’état passant ou bloqué de la diode, établir une inégalité liant t et T permettant d’obtenir en sortie la tension approchée vS(t) » V0[1 + mcos(wt)]. Cette expression approchée sera conservée pour les questions suivantes. II-2) Établir l’expression de l’intensité traversant la diode, lorsque celle-ci est passante, en fonction de vS(t) et de ses éventuelles dérivées par rapport au temps. Déduire de la question précédente que l’intensité traversant la diode peut être mise sous la V forme iD (t ) = 0 1 + g cos wt + j avec g > 0,où g sera explicitée en fonction de m, R, C, w et tan(j) R en fonction de R, C et w.

b

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g

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II-3) L’intensité du courant traversant la diode quand celle-ci est passante ne pouvant être que strictement positive, en déduire que la constante de temps t du filtre doit obligatoirement être inférieure à une certaine valeur que l’on exprimera en fonction de m (supposé inférieur à 1) et w. II-4) Les conditions d’utilisation du montage sont telles que w = 3,14´104 rad.s–1 et m = 0,7. Sachant que les deux pulsations (w et W) sont dans un rapport 100, déterminer un encadrement numérique de la constante de temps t II-5) On place tour à tour, en entrée de la cellule RC, les tensions ve(t) = se(t) représentées sur les figures 1(a) et 1(b), tracées pour des valeurs quelconques de m a) Représenter, dans chaque cas, les tensions vS obtenues en sortie du détecteur d’enveloppe. b) L’un des deux signaux des figures 1(a)-1(b) n’est pas correctement démodulé par ce montage. Identifier le signal dont il s’agit et le représenter correctement démodulé. Préciser la condition portant sur m assurant une démodulation correcte. Démodulation synchrone (à l’aide d’un multiplieur) L’utilisation d’un multiplieur va permettre de résoudre quelques-unes des limitations rencontrées par le démodulateur à diode. Le montage représenté sur la figure 4 est câblé de façon à ce que vm(t) = kve(t).vd(t) où k est une constante positive caractéristique du multiplieur. FIG. 4 - Schéma de principe d’un multiplieur On place, sur la première entrée, le signal à démoduler, réceptionné par voie hertzienne, dont l’équation est ve(t) = V0[1 + mcos(wt)]cos(Wt) et on impose, sur la seconde entrée, la tension vd(t) = Vd.cos(Wt). En sortie du multiplieur, le signal traverse un filtre qui peut être de type passe-haut ou passe-bas, selon le traitement souhaité (voir figure 5). Les diverses caractéristiques de chacun des filtres sont fournies en annexe.

FIG. 5 – Filtrage

II-6) Représenter, en le justifiant, le spectre du signal vm en sortie du multiplieur, en indiquant l’amplitude des différentes composantes spectrales. II-7) Une partie du signal vm représente l’information recherchée. a) Parmi les filtres 1 et 2 fournis en annexe, justifier quel est celui qui doit être employé pour sélectionner cette information. Ce choix sera maintenu dans toute la suite du problème. b) Déduire des documents disponibles la fréquence de coupure du filtre choisi. II-8) Pour tester le montage ainsi réalisé, on place sur son entrée ve le signal se(t) de la figure 1(b). a) Exprimer la tension vS en sortie du filtre. b) Représenter vS. Spé y 2006-2007

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c) Citer au moins un avantage de la démodulation par un multiplieur par rapport à celle à diode. II-9) Les paramètres du filtre employé (l’ordre n et le gain H0) étaient inconnus jusqu’à ce que l’on mesure la valeur absolue du gain, à une fréquence donnée. Ainsi, à 100 kHz, on a trouvé |G| = 50dB. a) En exploitant cette mesure et les documents fournis en annexe, déterminer H0. b) Calculer, de la même façon, l’ordre n de ce filtre. II-10) Pour parfaire le filtrage, un condensateur, de capacité C, est placé en série en sortie du filtre. Le signal alors démodulé est transformé en onde sonore par l’intermédiaire d’un haut-parleur (voir figure 6).

FIG. 6 - Chaîne de réception

a) En assimilant le haut-parleur à une résistance R0, préciser le rôle du condensateur. b) En prenant pour vS sa représentation déterminée à la question II-8-b, représenter l’allure du signal vS’.

Partie III FILTRE Les filtres dont la fonction de transfert est telle que | H ( jw )| =

H0

FwI 1+ G J Hw K

2n

sont appelés filtres

0

de Butterworth d’ordre n. III-1) Calculer la fréquence de coupure à –3dB et la pente de l’asymptote pour w ¾® ¥ d’un filtre de Butterworth d’ordre n ? 2) On considère le montage de la figure 7 dans leC1 quel l’ampli-opérationnel est idéal. – a) Calculer sa fonction de transfert harmoR1 R2 + nique H(jw). vS vE C2 R1 + R2 b) Que devient-elle si C1 = et 2 R1 R2 w C 2 Fig 7 un filtre de Butterworth C2 = où wC est une pulsation donnée. En R1 + R2 w C déduire la gain G = |H(jw)|. Conclure.

b

g

Partie IV BOUCLE A VERROUILLAGE DE PHASE Pour fabriquer le signal vd(t) de la partie II, on utilise une boucle à verrouillage de phase. La boucle étudiée dans cette partie est un système bouclé composé d’un multiplieur analogique, suivi d’un Spé y 2006-2007

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filtre

passe-bas de fonction de transfert 1 H= et d’un oscillateur commandé en 1 + tp tension OCT qui fournit le signal de sortie (figure 8). La tension d’entrée est notée ve(t) = Vecos[Fe(t)] . L’amplitude Ve de ce signal

MULTIPLIEUR

ve(t)

FILTRE PASSE-BAS

v(t)

F

u(t)

vS(t)

OCT

Fig 8 : boucle à verrouillage de phase

dF e (t ) . Le signal de sortie est noté dt dFS (t ) vS(t) = VScos[FS(t)], son amplitude VS est constante et sa pulsation instantanée est WS (t ) = dt = w0 + au(t) où w0 est la pulsation à vide de l’OCT. La tension de sortie du multiplieur est : 1 v(t) = k ve(t).vS(t) = k.Vecos[Fe(t)]. VScos[FS(t)] = kVeVS cos F e (t ) + F S (t ) + cos F e (t ) - FS (t ) . 2 On note dans la suite F+(t) = Fe(t) + FS(t) et q(t) = Fe(t) – FS(t). dq(t ) 1-a) Donner l’expression de la pulsation instantanée de F+(t) en fonction de We(t) et de . dt dq < 1. Montrer que dans ces conditions, seule b) On suppose que 2Wet >> 1 et 0 < t dt subsiste après filtrage la composante basse fréquence (phase q) de v(t). On admettra dans la suite que 1 v (t ) = kVeVS cos q(t ) 2 1 c) On note D(t) = We(t) – w0. Donner la dimension de K = kaVeVS puis établir la rela2 2 d q(t ) dq(t ) dD (t ) tion t + + K cos q(t ) = D (t ) + t (1). 2 dt dt dt 2) La boucle est dite verrouillée lorsque We(t) = WS(t). On a alors en sortie vS(t) = VScos[Fe(t) - q0], avec un déphasage –q0 constant. Une fois verrouillée, la boucle peut suivre les w variations lentes de la fréquence d’entrée dans un intervalle de fréquence autour de f 0 = 0 appelé 2p plage de verrouillage. a) Que devient l’équation différentielle (1) en situation de verrouillage ? À quelle condidD(t ) tion on-t-on t = 0 ? Déterminer la plage de verrouillage. Montrer que deux valeurs de q corresdt pondent à une fréquence fe donnée à l’intérieur de cette plage. b) La fréquence fe est maintenant supposée fixée. On note D = fe – f0 constant. On consiD dère la position d’équilibre caractérisée par qe tel que cos(q e ) = . Pour étudier un état voisin de K l’équilibre, on pose q(t) = qe + e(t) avec |e(t)|