Dr. Takács Csaba - Fizika II. (elektrodinamika, optika)

Fizikai Tanszék

Dr. Takács Csaba Elektrodinamika, optika

Miskolc, 2004. július

Tartalomjegyzék Elektromos alapjelenségek .............................................. 1 Alapfogalmak .................................................................. 2 Coulomb - mező (1785)................................................... 3 Az elektrosztatika I. alaptörvénye ................................... 4 Egyenletesen feltöltött egyenes rúd vákuumbeli tere a középtengelye mentén ..................................................... 5 Az elektromos dipólus ..................................................... 5 Forgatónyomaték homogén külső elektromos mezőben nyugvó pontszerű dipólusra............................................. 6 Apoláros és poláros molekula.......................................... 6 Elektromos polarizáció .................................................... 7 Elektromos polarizációvektor .......................................... 8 Az elektromos indukcióvektor......................................... 8 A lineáris elektromos anyagegyenlet ............................... 8 Az elektromos fluxus....................................................... 9 Gauss törvénye (az elektrosztatika II. alaptörvénye) ....... 9 Felületen eloszló töltés .................................................. 10 A Poisson-egyenlet ........................................................ 11 Peremfeltétel az elektromos térerősségre....................... 11 Peremfeltétel az elektromos indukcióvektorra............... 12 Egyenletesen feltöltött végtelen sík szigetelőlemez tere 13 Kettős töltött lemez tere................................................. 15 Vezetők az elektrosztatikában ....................................... 16 Magányos vezető kapacitása.......................................... 16 Vákuumban elhelyezett vezető gömb kapacitása........... 17 Kondenzátor................................................................... 17 Kondenzátorok energiája ............................................... 18 Síkkondenzátor .............................................................. 18 A Millikan-kísérlet (1910)............................................. 19 Egyenletesen feltöltött szigetelőgömb elektromos energiája...................................................... 20 AZ ELEKTROMOS ÁRAMLÁS.................................. 21 A töltésmegmaradás törvénye........................................ 21 Az elektromos áramlás két típusa .................................. 22 Stacionárius elektromos áramlás ................................... 22 Vákuumdióda karakterisztikája ..................................... 23 Az áramforrás ................................................................ 24 A lokális Ohm-féle anyagegyenlet ................................ 25 Az integrális Ohm-egyenlet ........................................... 26 Vonalas (lineáris) vezetők ............................................. 27 A lokális Joule-törvény.................................................. 28 Az integrális Joule-törvény............................................ 28 Az elektrolízis................................................................ 29 A villámhárító................................................................ 30 Mágneses alapjelenségek............................................... 31 A mágneses indukcióvektor........................................... 32 A Lorentz-erő ................................................................ 33 A Hall-effektus .............................................................. 34 Forgatónyomaték homogén mágneses mezőben nyugvó sík áramhurokra ................................................ 35 Az anyagok mágnesezettségének oka............................ 36 A mágnesezettség vektora ............................................. 36 Stacionárius áramok vákuumbeli mágneses mezőjének cirkulációja .................................................. 37 Mágneses lineáris anyagegyenlet................................... 37 A stacionárius mágneses mező I. alaptörvénye: az Ampère-féle gerjesztési törvény .................................... 38

A mágneses mező szemléltetése .................................... 39 Peremfeltételek a mágneses mezőben............................ 39 Végtelen hosszú, egyenes áramfonal mágneses tere (homogén közegben) ..................................................... 40 Mágneses mező szolenoid belsejében............................ 40 Elektrodinamikai erőhatás végtelen hosszú, párhuzamos, egyenes áramvezetők között vákuumban . 41 Az anyagok osztályozása mágneses viselkedésük szerint ....................................................... 42 A mozgási elektromágneses indukció............................ 44 Lineáris generátor .......................................................... 44 A mozgási indukció Faraday-féle törvénye ................... 45 A váltakozó áramú generátor modellje .......................... 46 A lineáris motor modellje .............................................. 46 A nyugalmi elektromágneses indukció.......................... 48 Lineáris áramkörök induktivitásai ................................. 50 Szolenoid önindukciós együtthatója .............................. 50 Az általánosított hurokegyenletek ................................. 51 A mágneses energia ....................................................... 51 Egy tranziens (átmeneti) jelenség .................................. 52 Gerjesztett elektromágneses rezgések............................ 54 Szorosan csatolt transzformátor állandósult állapota, ohmos és kapacitív terhelés esetén ................................ 55 Az áramsűrűség differenciálegyenlete........................... 57 A szkineffektus .............................................................. 57 A vezetési és az eltolási áramsűrűség aránya jó vezetőben................................................................... 61 ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK........................ 61 Hullámfelület (fázisfelület)............................................ 62 Síkhullám....................................................................... 62 Monokromatikus síkhullám ........................................... 63 HULLÁMJELENSÉGEK.............................................. 65 I. A hullám két közeg határán: visszaverődés és törés... 65 Optikai prizma ............................................................... 66 Optikai lencsék .............................................................. 67 Nevezetes sugármenetek................................................ 68 Lineáris nagyítás............................................................ 69 Lencsék alkalmazása ..................................................... 69 Kézi nagyító (LUPE) ..................................................... 69 Mikroszkóp.................................................................... 70 II. Diszperzió ................................................................. 70 Longitudinális és transzverzális hullámok..................... 71 Elliptikusan poláros hullám ........................................... 72 III. Polarizáció ............................................................... 73 Brewster törvénye.......................................................... 73 Összefüggés az elektromos és a mágneses amplitúdó között ............................................................ 75 Energiaviszonyok a hullámban...................................... 76 Poynting-vektor ............................................................. 76 IV. Interferencia............................................................. 77 A természetes fényre vonatkozó extra koherenciafeltételek....................................................... 78 IV.1. Állóhullám............................................................ 79 IV.2. Interferencia planparalel lemezen......................... 80 IV.3. Diffrakció (a kétréses interferométer) .................. 81 Utolsó tantermi feladat: hengeres dióda ........................ 82

A jegyzet tartalmát ellenőrizte: Dr. Takács Csaba, egyetemi docens. A jegyzetet készítette és az ábrákat rajzolta: Imre Mihály. Készült a Miskolci Egyetemen, Dr. Takács Csaba: Elektrodinamika, optika című előadásai alapján. Második, javított kiadás, 2004. július 26. i

1. előadás Előzmények: - Kr. e. VI. sz. THALÉSZ: a gyapjúval megdörzsölt borostyánkő magához vonzotta a kenyérmorzsákat - 1600 WILLIAM GILBERT (1540-1603, angol orvos és fizikus): bőrrel megdörzsölt üvegrúd kis papír darabkákat magához vonzott, majd a hozzáérés után elpattantak tőle. Elektromos alapjelenségek 1.) Preparált (megdörzsölt) test és preparálatlan test között mindig vonzó kölcsönhatás jön létre. 2.) Két preparált test között már vonzó és taszító kölcsönhatás is létrejöhet. - üveg-üveg → taszító - borostyánkő-üveg → vonzó - borostyánkő-műanyag → taszító Az egynemű anyagok azonos elektromosságúak. Szemben a gravitációval, ahol csak egyfajta (pozitív) tömeg létezett, az elektromosságnak 2 fajtája van, a kísérletek alapján az egynemű elektromosságok taszítják egymást, a különbözőek pedig vonzzák egymást. Megállapodás: - bőrrel üveget dörzsölve → (+) - gyapjúval borostyánkövet dörzsölve → (–) 3.) Kísérletek - a macska hátán végig húzzuk a műanyag fésűt, majd a macska fejéhez közelítjük, a macska szőre a fésűhöz közelít, majd hozzáérés után elpattan tőle. - megdörzsölt fésűt papírszeletkék fölé tartjuk, odapattannak, majd rögtön le is pattannak róla. Az elektromos töltés átvihető, ha a testek egymással érintkeznek. 4.) (1)

(2)

(3)

A

A +

fém

A fém golyó

fém

B

fém

fém tüske

Az elektromosság a fém testben az (A) pontból a (B) pontba el tudott mozdulni, vagyis nagy utat képes megtenni, az ilyen testeket elektromos vezetőknek nevezzük. (1)

(2)

(3)

A műanyag

A +

műanyag

A fém golyó

B

műanyag

fém tüske

Ebben az esetben az elektromosság nem tud makroszkopikus távolságra elmozdulni, az ilyen anyagok a szigetelők.

1

5.)

(1/b)

(1/a) fém

++ + + + + +

fém fóliák

+

----

-

+

fa lábak

Az egybe tolt fém kapszulákhoz egy megdörzsölt üvegrudat közelítünk, ekkor azt tapasztaljuk, hogy a kezdetben (1/a) összetapadt fém fóliák szétállnak (1/b). (2/a)

(2/b)

_

+

_

+

+

Még az üvegrúd jelenlétében kettéválasztjuk a kapszulákat, gumikesztyűs kézzel (2/a), majd az üvegrudat eltávolítjuk (2/b), ekkor azt tapasztaljuk, hogy a fóliák szétállva maradnak. Magyarázat: (1): A fémtestben eleve vannak (+) és (-) töltések, de mindenütt ugyanannyi (+) van mint (-), ezért kifelé az elektromosságot nem lehet észlelni. A baloldali részen (+) töltés többlet jelent meg, a jobboldalin pedig (-) töltés felesleg alakult ki. A lefolyó töltések a fóliákra is jutnak és az azonos töltések miatt a fóliák szétugranak. (2): A széthúzás után két darab feltöltött testet kaptunk, a bal (+), a jobb (-). Ez a feltöltést csak vezetőkben idézhető elő, ez az elektromos megosztás, más szóval influencia. Az elektromos megosztással a vezető test monopólussá tehető (vagyis olyan testté, amelyben az egyik elektromosság túlsúlyban van a másikkal szemben). Ez a feltöltés a testek érintkezése nélkül valósul meg. 6.)

Az elektromos erő a távolság növekedtével csökken.

fém golyó

F2

+ + + ++

--+ -

F1

F1 > F2

Alapfogalmak 1.) Elektromos töltés: az elektromos kölcsönhatásban való részvétel mértéke. Helyezzük az elektromos mező ugyanabba a pontjába előbb az A, majd a B tömegpontot (ezek feltöltött testek), ha a B testre λ -szor nagyobb erő hat mint az A testre, akkor a B test töltésének abszolút értéke λ -szor nagyobb mint az A-é. FB def . qB = FA q A

2

2.) Elektromos térerősség: megmutatja az egységnyi töltésre ható erőt. Vigyünk az elektromos mező egy P pontjába egy pontszerű testet, melynek töltése q, mérjük meg a r reá ható elektromos erőt F . r r F (P ) E (P ) = q 3.) Elektromos feszültség: megmutatja mennyi munkát végez az elektromos tér az egységnyi töltésen mialatt az 12 pályán elmozdul. r q r F (1) x r E ds r F+

( )

_ +

r F− x (2) r r r r W12 = ∫ Fds = q ∫ Eds 12

U12 =

12

r r W12 = ∫ Eds q 12

Az elektromos feszültség teljesen független a próbatest q töltésétől, csak attól függ, hogy az illető elektromos mezőben milyen vonalon történt az elmozdulás. Az elektromos feszültség tehát vonalon értelmezett mennyiség, általában attól is függ, hogy az 1, 2 végpontok között milyen alakú görbét veszünk fel. ELEKTROSZTATIKA A tartós nyugalomban lévő töltések elektromos mezőjével foglalkozik. COULOMB - mező (1785) CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB (1736-1806, francia fizikus) Pontszerű töltés vákuumban centrális elektromos mezőt kelt, az erőcentrum maga az említett pontszerű töltés. E mezőben egy másik pontszerű töltésre ható erő egyenesen arányos mindkét töltéssel és fordított arányosságban áll a közöttük lévő távolság négyzetével. r F q r er =1 + + r

+

r

q

r er

_ Q

Q

r Qq r F = k 2 er r

r er

r F

Coulomb-törvény,

k : Coulomb-állandó, F = k

Qq r2

A k állandó értéke a töltésetalon megválasztásától függ.

3

Az SI rendszerben a töltés egysége: 1 coulomb (C). 1C a töltése annak a pontnak, amelynek vákuumbéli mezőjében egy másik, ugyanakkora töltésű, 1m távolságban lévő pontra 9 ⋅ 109 N erő hat (9 milliárd N). Q = 1C q = 1C r = 1m F = 9 ⋅ 109 N 2 Fr 2 9 ⋅ 109 ⋅ 1 9 Nm k= = = 9 ⋅ 10 C2 Qq 1 ⋅1

Emlék: gravitációs mező r Mm r F = −γ 2 er r Mm V = −γ r

U=

V m

vákuumban.

q ↔ m , k ↔ −γ Coulomb mező r Qq r F = k 2 er r Qq : Coulomb-féle helyzeti energia V =k r ( r → ∞ :V → 0 ) V Q → U = k : Coulomb-potenciál U= q r

A gravitációs és a Coulomb-mező analógiájából látszik, hogy a Coulomb-mező is konzervatív. Az elektrosztatikában a potenciált úgy értelmezzük, hogy ez a töltésegységre vonatkoztatott helyzeti energia. r Q r E = k 2 er Coulomb-térerősség, r

[E ] = 1 N C

=1

V , m

[U ] = 1 J

C

= 1volt (V )

Az elektrosztatika I. alaptörvénye Ha a teret nem egyetlen ponttöltés, hanem ponttöltések sokasága kelti, akkor a szuperpozíciós axiómát alkalmazzuk. A térerősség az egyes ponttöltések keltette térerősségek vektori összege, a potenciál az egyes ponttöltésekhez tartozó potenciálok algebrai összege. Tetszőleges elektrosztatikai mező konzervatív mező. r r dV = − Fds r r dU = − Eds

/:q /∫

U2

r r dU = − E ∫ ∫ ds

U1

12

r r r r E U1 − U 2 = ∫ Eds = U12 → { ∫ ds = 0

: az I. alaptörvény integrális alakja

12

Az elektrosztatikában a feszültség úgy kapható, hogy a kezdőpont potenciáljából levonjuk a végpont potenciálját, zárt görbe esetén a kezdő- és végpont egybeesik, tehát a feszültség 0. r /:q F = − grad V r r r E = − grad U → rot E = 0 : az I. alaptörvény differenciális (lokális) alakjai

Az első alaptörvény a sztatikus elektromos mező konzervatívitását mondja ki. 4

Egyenletesen feltöltött egyenes rúd vákuumbeli tere a középtengelye mentén x

P : potenciálpont (ebben a pontban akarjuk tudni a potenciált) λ : hosszegységre jutó töltés

dx l

R

x

r dr

r E

P

O l

r dr

r

Közvetlenül a Coulomb-törvényt SZIGORÚAN TILOS alkalmazni, mert a rúd NEM pontszerű test, DE feldarabolhatjuk pontszerű darabkákra!!!

dQ potenciált kelt, dQ = λdx , R = x 2 + r 2 : R λdx dU = k r 2 + x2 +l +l dx kλ dx A teljes rúd által keltett potenciál: U = kλ ∫ = . ∫ 2 2 2 r −l r +x −l ⎛ x⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝r⎠ x dx → dξ = , ekkor: Vezessük be a következő jelöléseket: ξ = r r

A kis töltéselem a P pontban: dU = k

+

U = kλ

l r

∫ −

l r

dξ

= kλ [arsh ξ ] − l r = 2kλ arsh +l r

ξ2 +1

r r dU = − Edr = − Edr dU E =− = −2kλ dr

l r

2kλl ⎛ l ⎞ − 2⎟= ⎜ 2 2 2 ⎛ l ⎞ ⎝ r ⎠ r r +l 1+ ⎜ ⎟ ⎝r⎠ 1

Az elektromos dipólus

Az elektromos dipólus olyan alakzat, amely egy (+) és egy abszolút értékre ugyanakkora (–) töltésből áll.

r E Q

r r F− = −QE _ -Q

r A dipólust pontszerűnek nevezzük, ha l abszolút értéke sokkal kisebb, mint a feladatban szereplő egyéb hosszméretek.

+ r l

(

r r r F+ = Q E + dE

)

Megállapodás szerint a dipólus kezdőpontja a negatív töltés helye.

r r r Dipólusnyomaték: p = Ql , ahol Q a dipólus (+) töltése, l helyvektor.

[ p] = 1Cm

 ugyanolyan jellegű mennyiség, mint a sztatikai nyomaték.

5

Forgatónyomaték homogén külső elektromos mezőben nyugvó pontszerű dipólusra

Homogén mező: olyan tér, ahol a térerősségvektor a helytől független.

(

)

r r r r r r r r r r r r N = l × Q E + dE = Ql × E + Ql × dE ≈ Ql × E = p × E 1 424 3

: forgatónyomaték (mechanikában: M )

kicsiny

r A forgatónyomaték két esetben lehet 0 : r r p r E r E p r r r r N =0 N =0 r r A homogén mezőben a dipólusra p × E forgatónyomaték hat, függetlenül annak a pontnak a megválasztásától, amelyre a nyomatékot számítjuk.

A szabad dipólust a külső elektromos tér a saját irányába forgatja be. r F+ r N

+ + r l

r l

_

r E

_

r F−

+ r N r F+

r l

r E

_

+

r F−

r l

r E

r E

_

Labilis egyensúlyi Stabil egyensúlyi helyzet helyzet Stabil egyensúlyi helyzetet csak akkor vesz fel a dipólus, ha momentuma egyirányú a térerősséggel. 2.előadás Apoláros és poláros molekula m

A molekula kifelé elektromosan semleges:

∑Q i =1

+ i

= ne

- Qi+ : az i-edik atommag töltése, r - ri + : az i-edik atommag helyvektora, - m: a molekulában lévő atommagok száma, - n: az elektronok száma a molekulában, r - ri − : az i-edik elektron helyvektora,

(

)

- e: elemi töltés 1,6 ⋅ 10−19 C . Töltésközéppont: m

-

r a (+) töltések középpontjának helyvektora: r + =

r ∑ Qi+ ri + i =1 m

∑Q i =1

6

r a (-) töltések középpontjának helyvektora: r − =

− en

=

+ i

n r − e∑ ri − i =1

m

=

∑Q i =1

+ i

ne

1 n r− ∑ ri n i=1

r ri + ,

a.) Ha a (+) és a (-) töltésközéppont külső elektromos mező híján egybeesik, a molekula apoláris, az ilyen molekulákból felépülő anyag pedig apoláris anyag.

r r r+ = r−

pl. a kétatomos gázok O 2 , H 2 , …

b.) Ha külső elektromos mező híján sem esnek egybe a töltésközéppontok, a molekula poláros, az ilyen anyag poláros anyag.

r r r+ ≠ r−

pl. HCl, H2O, CO2, …

A poláros molekulákat pontszerű elektromos dipólussal modellezhetjük. A molekula összes (+) töltését gondolatban összpontosítjuk a (+) töltésközpontba, a molekula összes (-) töltését pedig a (-) töltésközéppontba. _ -ne

r l = 10 −10 − 10 −9 m

r l

r r− +

ne

r r+

O+

Külső elektromos mező híján a poláros anyag sem mutat elektromos hatást, mert az egyes molekuladipólusok terei a teljes rendezetlenség miatt egymást kioltják. Elektromos polarizáció

Az a jelenség, amikor a szigetelő anyag külső elektromos mező hatása alá kerül. a.) indukált polarizáció r Mind az apoláros, mind a poláros anyagokra jellemző. A külső elektromos E mező széthúzza a töltésközéppontokat. Az apoláros anyag számára az + egyetlen polarizációs lehetőség, polárosnál csak másodlagos effektus. Tulajdonságai:

- az elektromos mező erősödésével fokozódik - a hőmérséklettől független

b.) rendeződési polarizáció

r E r l

F+

Kizárólag a poláros molekulájú szigetelőkre jöhet szóba, ott viszont ez a domináns effektus. A külső elektromos mező okozta forgatónyomaték többé-kevésbé befordítja a molekuláris dipólusokat a tér irányába. Az anyag ezután már mutat kifelé elektromos jelleget. Annál inkább sikerül a dipólusokat befordítani, minél erősebb a tér, annál kevésbé, minél nagyobb a hőmérséklet. Erősen hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet növekedésével a polarizáció csökken.

+ _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _

F−

+

A szigetelő 2 homloklapján (-) és (+) szabad töltéstöbblet jön létre.

7

Elektromos polarizációvektor

r ∆p → a térfogatcellában foglalt molekuladipólusok dipólnyomatékának a vektori összege

+ A ∆V

r r ∆p P( A) = lim : a polarizációvektor az A pontban (pontbeli mennyiség, intenzitásparaméter) ∆V → 0 ∆V A∈∆V

[P] = 1 Cm3 = 1 C2 m

m

()

r Míg a vákuumban létrejött elektromos mezőt egyetlen vektor E írja le, a kémiai anyagban megvalósuló r r elektromos mező leírásához már 2 vektor szükséges E -n kívül például a P polarizációvektor. Az elektromos indukcióvektor

ε0 =

1 4π k

[ε 0 E ] = 1

: a vákuum permittivitása

C2 N C ⋅ 1 = 1 2 = [P ] 2 Nm C m

[ε 0 ] =

1 1 C2 1 = = [k ] Nm 2 Nm 2 C2

r r r D = ε 0 E + P definíció

[D] = 1 C2 m

r D bevezetését az indokolja, hogy vele az elektromágnesség alaptörvényei egyszerűbb alakban írhatók fel. A lineáris elektromos anyagegyenlet

Nem minden anyagra, és csak közelítőleg érvényes. r r P = κε 0 E

κ =0 κ >0 ∂κ

=0 ∂T ∂κ ε 0 >1

ρ E = = x : így változik az elektromos térerő a lemezben ε ε D

b.) x >

a 2

Nagy különbség, hogy míg az (a) esetben a doboz szélesítésével több lesz a bezárt töltés, addig a (b) esetben a további szélesítés már nem növeli a bezárt töltés mennyiséget.

AP

D

A1

++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++

2 DA = Aaρ

D

D= x

A2

ρ

a → const. : az elektromos mező a lemezen kívül (külön a jobb oldali és külön a bal oldali tér) homogén. D ρa E= = ε 0 2ε 0 2

a

Ex

ρa 2ε 0 ρa 2ε −

r A 2. peremfeltételből következik, hogy E normális összetevője ugrik a határon, noha felületen koncentrált töltés nincs.

a 2 a 2

ρa 2ε ρa − 2ε 0 −

14

x

Kettős töltött lemez tere

ρ ++ +ε + ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++

-ρ –– –ε – –– –– –– –– O– – –– –– –– –– ––

a

a

A feladatot a szuperpozíció elvével oldjuk meg, az egyes lemezek keltette tereket vektorosan összeadjuk. Meghatározzuk hogyan változik x függvényében a potenciál, megállapodás szerint a − ∞ -ben a potenciál 0. U (x) x dU Ex = − → ∫ dU = − ∫ E x dx′ dx −∞ −∞

x

ρa 2ε 0

(− a, 0] :

E1 =

ρa 2ε

x

− E1 − E0

−a

Ex =

ρ ⎞ x + E0 + E1 ⎟[x − (− a )] = 2⎝ ε ⎠ ⎛ ρa ρ ⎞ ρ ⎞ ⎛ + = −⎜ E0 + x ⎟( x + a ) = −⎜⎜ x ⎟⎟( x + a ) = ε ε 2ε ⎠ 2 2 ⎝ ⎝ 0 ⎠

(− a,0) : U = − 1 ⎛⎜ E0 − E1 E0 E1

x

=−

− E1

− E0

+

⎛ 1 1 ⎞ a2 ⎤ ρ ⎡ x2 ⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎥ + xa ⎢ 2⎣ε ⎝ ε0 ε ⎠ ε0 ⎦

x = 0 : U (0) = − E0 + E1

E0 − E1

ρa 2 2ε 0

E0 − E1

x

-a

−∞

(− ∞,− a ) : U = 0

Ex-

Ex

x

ρ x + E0 + E1 ε [0, a ) : Ex = − ρ x + E0 + E1 ε

Ex+ E0 =

x

U ( x ) = − ∫ E x ( x′ )dx′ = − ∫ E x ( x′ )dx′

x x

a

(0, a ) : U (x ) = − ρa

2

2ε 0

x

− ∫ E x ( x ′ )dx ′ = − 0

ρa 2 1 ⎛ ρ ⎞ − ⎜ E 0 + E1 − x + E 0 + E1 ⎟ x = 2ε 0 2 ⎝ ε ⎠

⎛1 1 ⎞ x2 ⎤ ρa ⎡ ρa ⎛ 1 1 ⎞ ρ ⎤ ρ ⎡a2 x ⎥ x = − ⎢ + a⎜⎜ + ⎟⎟ x − ⎥ =− −⎢ ⎜ + ⎟− 2ε 0 ⎣ 2 ⎜⎝ ε ε 0 ⎟⎠ 2ε ⎦ 2 ⎣ε0 ε ⎦ ⎝ ε ε0 ⎠ 2

ρa 2 (a, ∞ ) : U = − ε0

→

U (a ) = −

ρa 2 ε0

U

-a

a

−

−

x

ρa 2 2ε 0

ρa 2 ε0

15

Vezetők az elektrosztatikában Ha a vezető belsejében a térerősség 0-tól eltérő volna, akkor a szabad töltéshordozókra erő hatna, s emiatt rendezett mozgást végeznének, vagyis az állapot nem volna sztatikus. r r 1.) A vezetőben: E = 0 r r U 12 = ∫ E ⋅ ds = 0 , az 12 vonal a vezető belsejében húzódik. 12

2.) A vezető tetszőleges két pontja között 0 a feszültség. 3.) A vezető belsejében töltés nem lehet. r divD = ρ ⎫⎪ r r r ⇒ ρ = 0 , a vezetőre vitt töltés annak felületén oszlik el. ⎬ D = ε0 E {r = 0⎪ 0 ⎭ 4.) (2) + + + + + (1)

r D=0

r n +

r E2t = E1t → E2 normális irányú: A szigetelőben, a vezető határán a { 0 térerősség merőleges a határfelületre.

szigetelő +

+

vezető

ε0

+ + + + +

D2 n − D1n = σ

ε′

E2n =

σ

σ ε 0ε ′

: a szigetelőben, a vezető határán a térerősség dielektrikum alkalmazása esetén ε ′ -ször kisebb, mint vákuum esetén.

Magányos vezető kapacitása

Feltesszük, hogy az a szigetelőanyag, amelybe a vezető anyag be van ágyazva, követi a lineáris anyagegyenletet.

+ + +

+

Q + + + + vezető +

+ + +

+

U=

A

r r E ∫ ⋅ ds

(P ∞ )

(1),

∫

r

r

{D ⋅ dA = Q ,

r r D = εE

A

r r r r Q → λQ ⇒ D → λD ⇒ E → λE ⇒ U → λU

+

+P

U = U P a vezető potenciálja

Növeljük a vezető töltését a λ -szorosára, Gauss-törvényéből következik, hogy az elektromos indukció is r a λ -szorosára növekszik. Ha igaz a lineáris anyagegyenlet, akkor E is a λ -szorosára nő, de akkor (1) szerint U is a λ -szorosára nő. Tehát a vezetőre felhordott töltés egyenesen arányos a vezető potenciáljával. C=

Q U

: a vezető kapacitása (állandó)

A kapacitás függ a vezető test alakjától, méretétől és a beágyazó szigetelőanyag milyenségétől (de C nem függ Q-tól és U-tól!!!).

16

Vákuumban elhelyezett vezető gömb kapacitása

+ + + + ++ ++ ++ + + E=0 + + + r0 + + + + + + + + + + + + ++ ++ ++ + + + +

Q

E=k

Q r2

∞

dr Q =k 2 r r0 r0

U = kQ ∫

A gömbön kívül a tér teljesen olyan, mintha egy a gömb középpontjába rakott ponttöltés keltette volna.

E

C=

[C ] = 1 C = 1 farad = 1F

r Q Q = = 0 U kQ k r0

V

r

r0

C=1F, ha r0 = 9 ⋅109 m = 9 millió km

U

A magányos vezetők kapacitása roppant csekély. Kondenzátor

A kapacitás megnövelésének két lehetősége van: a.) Az elektromos indukcióvonalak lerövidítése. A két fémtest között a mező olyan, mintha egy gömb a középpontba helyezett Q töltés keltette volna. – – – – – –

r1

–

+ + + + +

+

–

–

+ + + + +

E=0 + +

– –

–

+ + + + + –

+

r0 Q

–

–

–

+ –

E=k

– –

+ + + + +

Q r2

⎛ 1 1⎞ dr = kQ⎜⎜ − ⎟⎟ 2 r ⎝ r0 r1 ⎠ r0 r1

U = kQ ∫

– – – –

–

E=0

C=

Q = U

Q r0 = ⎛ 1 1⎞ ⎛ r ⎞ kQ⎜⎜ − ⎟⎟ k ⎜⎜1 − 0 ⎟⎟ r1 ⎠ ⎝ ⎝ r0 r1 ⎠

E

r U Nagy kapacitást, akkor érhetünk el, ha a két gömb között kicsi a hézag. r r Például ha 0 = 0,999 → C = 0 ⋅ 1000 . r1 k 17

b.) A két fémtest között nem vákuum, hanem valami szigetelőanyag van, ez polarizálódik, és a térerősség az ε ′ -ed részére esik vissza, ezzel együtt a feszültség is ε ′ -ed részére csökken, minek következtében a kapacitás ε ′ -szörösére nő. Kondenzátor: az az elrendezés, amely két vezető testből és az őket elválasztó szigetelőanyagból áll. A vezetőket fegyverzeteknek (armatúráknak), a szigetelőanyagot pedig dielektrikumnak nevezzük.

Kikötjük, hogy a (+) fegyverzetből kiinduló indukcióvonalak mind a (–) fegyverzeten érjenek véget és viszont. Más szóval ez azt jelenti, hogy a két fegyverzet töltése ellentetten egyenlő. Kondenzátorok energiája

A feltöltés egy közbülső pillanata:

q

u

-q

Mennyi dW munkát kell végeznünk a dq töltéscsomag átszállításakor?

dW = udq dq q dq C Az eredetileg töltetlen kondenzátort Q töltéssel látjuk el, az ekkor végzett munka: dW = udq =

Q

Q2 1 ⎡ q2 ⎤ q W = ∫ dq = ⎢ ⎥ = C C ⎣ 2 ⎦ 0 2C 0 Q

Ha a feltöltéshez ennyi munkát kellett végeznünk, az energia megmaradás elve alapján, ennyi elektromos energiának kellett felhalmozódnia. Az energiakifejezés további alakjai: 1 CU 1 1 W = Q = QU = CU 2 2 C 2 2 Síkkondenzátor

A + σ + + D + + + + + + + + +

– A – – – – – – – – – – –

A fegyverzetek síklemezek, a lemezek hosszméretei sokkal nagyobbak, mint a közöttük lévő d távolság.

D = σ → Q = σA = DA U = Ed 1 1 W = QU = DAEd 2 2 1 DAEd W 2 1 rr = = DE Az energiasűrűség: w = V Ad 2

d U A most kapott energiasűrűség kifejezés általános érvényű, tetszőleges elektromos mezőben érvényes. D =ε E Q DA εEA εA C= = = = : ez kizárólag a síkkondenzátor kapacitásának kiszámítására alkalmazható. U Ed Ed d 18

4. előadás A Millikan-kísérlet (1910)

ROBERT ANDREWS MILLIKAN (1868-1953, amerikai Nobel-díjas (1923) fizikus) Egy kondenzátor két lemeze közzé olajat porlasztunk, melyből apró feltöltött cseppek lesznek, kiválasztunk egy ilyen cseppet, és mikroszkóppal nyomon követjük a mozgását. Nem hagyjuk, hogy a részecske szabadon essen, ha megfelelően választjuk a feszültséget, elérhető, hogy a részecske megálljon. a.) Fg : gravitációs erő F f : felhajtóerő F |q|E f

d

-

U

E=

Fg

U d

Alkalmas polaritású és alkalmas feszültségű elektromos mezővel a töltött részecske megállítható és lebegésre kényszeríthető. U 4π 3 4π 3 Amikor a cseppecske lebeg: Fg − Ff = q / Fg = r ρo g , Ff = r ρg d 3 3 p U 4π 3 = R*T (1) r ( ρ o − ρ )g = q ρ 3 d Ahol: - r az olajcsepp sugara, - ρ o az olaj sűrűsége, - p a légnyomás, - R* a levegő fajlagos gázállandója.

- q a kis olajcsepp töltése, - ρ a levegő sűrűsége, - T a levegő hőmérséklete,

Az r sugarat nem tudjukmegmérni. Mérjük azonban a következő mennyiségeket: ρ o , d, U, p, T. Két ismeretlen marad: r és q. b.) Lekapcsoljuk a kondenzátorról a feszültséget. Rövid időn belül beáll az egyenletes süllyedés, mert a gravitációs és felhajtóerő eredőjét a légsúrlódási erő kiegyenlíti. Ekkor megmérjük a csepp sebességét, a mikroszkópban lévő vízszintes jelzések segítségével. Ff

s

Fs

Fg v

t

s , s-t és t-t mérjük. t Stokes-formula: Fs = 6πµrv , ahol µ a levegő viszkozitási (belső súrlódási) együtthatója (mérjük). 4π 3 r ( ρ o − ρ )g = 6πµrv → ebből kiszámítjuk r-t, és az (1)-esbe behelyettesítve a cseppecske 3 töltése kiszámítható.

t a két vízszintes jelzés közötti út befutásának ideje. v =

A mérési tapasztalat (nagyon sok töltött cseppecske megfigyeléséből): a mért töltés nagy pontossággal kis egész számú többszöröse az e = 1,602 ⋅ 10−19 C töltésmennyiségnek, vagyis q = ne ,

ahol n kis egész szám.

Az e nem az elektronra utal, hanem az elementum (elemi) latin szó kezdőbetűje. A természetben csak e egész számú többszöröseit észleljük. 19

Egyenletesen feltöltött szigetelőgömb elektromos energiája Mekkora energia halmozódik fel a térben? r D

r0 dielektrikum

r r r < r0 : { D ∫ ⋅ dA = QV

+dAr +

vákuum

++ + +++++++++ +++++++++++ + + + + + + + + + +r+ + + + + + + + + + + + +ρ ++++++++++++ ε +++++++++++ + + + + + + + + + ε0 ++++++

r > r0 : 4πr 2 D =

↑↑

A

{ ∫ DdA = A

4π 3 r ρ 3

4π 3 D{ ∫A dA = 3 r ρ {

4π 3 r0 ρ 3

r03 ρ → négyzetes fordított 3r 2 arány 3 r ρ E= 0 2 3ε 0 r

D= / : 4πr 2

4π r 2

D=

ρr

→ egyenes arányosság 3 ρr E= 3ε A szigetelő és a vákuum határán a térerősség ugrásszerűen megnő.

r < r0 :

ρ 2r 2 1 w = DE = 2 18ε

dr

r > r0 :

1 r06 ρ 2 w = DE = 2 18ε 0 r 4

r + dV dV = 4πr 2 dr → a vékony gömbhéj térfogata r < r0 :

dW =

ρ 2r 2 ⋅ 4πr 2 dr 18ε r

2πρ 2 0 4 2πρ 2 5 r0 Wb = r dr = 45ε 9ε ∫0

r > r0 : dW =

r06 ρ 2 ⋅ 4πr 2 dr 4 18ε 0 r

2πρ 2 r06 Wk = 9ε 0

∞

dr 2πρ 2 5 ∫r r 2 = 9ε 0 r0 0 {

⎡ 1⎤ ⎢− r ⎥ ⎣ ⎦

 a szigetelőgömbben lévő energia

r 0 ∞

 a vákuumban tárolt energia

A teljes energia: We = Wb + Wk Wk 45ε 0ε ′ = = 5ε ′ > 5 → a vákuumban több mint ötször akkora energia van, mint a gömbben. 9ε 0 Wb 20

AZ ELEKTROMOS ÁRAMLÁS

A fém vezető, mert a szabad elektronok makroszkopikusan elmozdulhatnak. Külső elektromos mező híján azonban mozgásuk teljesen rendezetlen. A sztatikai állapot dinamikus egyensúlyt jelent. U 2 < U1

U1

E töltés áramlás iránya vezetők

r Az elektromos mező rendezett mozgást vált ki, a (+) töltéshordozók E irányában, a (–) töltéshordozók r E irányával szemben mozognak rendezetten (ha szabadok). Definíció: Az elektromos áramlás a szabad töltéshordozók rendezett mozgása. Az elektromos áramlás feltételei: 1. vezető jelenléte, 2. elektromos vagy idegen mező jelenléte.

Megállapodás szerint a technikai áramirány a (+) töltéshordozók (valóságos vagy elképzelt) rendezett mozgásának iránya. Az áramlás nem áll le, amíg a két fémtest potenciálja ki nem egyenlítődik. Ami áramlik: az elektromos töltés (extenzív mennyiség), ami kiegyenlítődik: az elektromos potenciál (intenzív mennyiség). A töltésmegmaradás törvénye

A tapasztalat szerint a tömeghez hasonlóan az elektromos töltés is megmaradó mennyiség, vagyis nem keletkezik, és nem is tűnik el. Egy rögzített térfogati tartományban a töltés csak egy okból változhat meg: a tartomány zárt A határfelületén töltés áramlik át. r r d { ρ dV = − J ∫A dA dt V∫

Ahol: - ρ a térfogati töltéssűrűség, - V rögzített térfogati tartomány,

integrális alak

r - J az elektromos áramsűrűség, - A a térfogati tartomány (zárt) határfelülete.

Formailag a töltésmegmaradás egyenlete úgy fest, mint a hidrodinamikai kontinuitási egyenlet. A bal oldal a térfogati tartományban foglalt töltés időegység alatti megváltozását fejezi ki, a jobb oldali kifejezés megmutatja, hogy a tartomány határfelületén mennyi töltés áramlott be időegység alatt. r C A J áramsűrűség pontban értelmezett mennyiség, [J ] = 1 2 ; ms - iránya megadja a (+) töltéshordozók áramlási irányát, - abszolút értéke megadja, hogy az áramlási irányra merőleges, egységnyi keresztmetszeten időegység alatt mennyi töltés áramlik át.

21

Az elektromos áramerősség vagy intenzitás irányított felületre vonatkozó, skalár mennyiség, - megmutatja, hogy az illető felületen időegység alatt mennyi töltés áramlik át, előjele pozitív, ha a (+) töltéshordozók a felületi normális irányában áramlanak át, ellenkező esetben negatív. r r I ( A ) = ∫ J ⋅ dA , A

[I ] = 1 C = 1 amper ( A) s

Az elektromos áramlás két típusa:

a.) Feltöltött szigetelőt mozgatunk, ekkor a töltéshordozók a VR-ben rendezett mozgást végeznek, miközben a szigetelő testhez képest nem mozognak, ez a konvektív vagy szállítási elektromos áramlás. r (lásd kontinuitási egyenlet) A konvektív áram sűrűsége: ρv  a töltésáramlás sebessége  töltéssűrűség b.) Egy rézdróttal összekapcsolunk két különböző potenciálú fémtestet, a rézdrót áll, de a töltés benne áramlik, a töltéshordozók a vezető testhez képest rendezett mozgást végeznek. Ilyen áramlás csak vezetőkben képzelhető el, ez a konduktív vagy vezetési áramlás. r r r r A konduktív áramsűrűség jele: j → J = ρv + j A konduktív áramsűrűségre anyagegyenlet állítható fel.

A töltésmegmaradás törvényének lokális alakja:

r ∂ρ + divJ = 0 (lásd kontinuitási egyenlet) ∂t

Stacionárius elektromos áramlás

Az összes fizikai mennyiség időben állandó, töltésáramlás lehetséges. Mivel az elektromos tér időben állandó, érvényesek a konzervatív mezőre jellemző törvények: r r E 1. alaptörvény: { ∫ ⋅ ds = 0

(integrális alak)

r r rotE = 0 r E = − grad U

⎫ ⎪ ⎬ (lokális alak) ⎪ ⎭

Mivel időben minden változatlan, a töltésmegmaradás törvényének bal oldala eltűnik. r r r 2. alaptörvény: { 0 J ⋅ d A = (integrális alak), div J = 0 (lokális alak) ∫ r r D emlék: { ∫r ⋅ rdA = QV → D2n − D1n = σ , most: { ∫ J ⋅ dA = 0 → J 2n − J1n = σ

Peremfeltétel az áramsűrűségre: az elektromos áramsűrűség normális koordinátája két közeg határán ugrást nem szenved. Ebből következik, hogy vezető és szigetelő határán a vezetőben folyó áramsűrűsége csak tangenciális irányú lehet. Az integrális alak szemléletes jelentése: stacionárius áramlásban, zárt felületre az áramerősség zérus.

22

Vákuumdióda karakterisztikája

x

+ anód

Ua

a

E J

U a - anódfeszültség Megállapodás szerint a potenciált a katódon vesszük zérónak.

– x 0

U=0

– katód

Az izzított katódból szabad elektronok lépnek ki és az anód felé áramlanak. Töltésfelhő alakul ki, ρ töltéssűrűséggel. Két közelítéssel élünk: 1. a szabad elektronok kilépésekor meglévő sebességét 0-nakvesszük, 2. a katód felületén az elektromos térerősség zérus. Az energiamegmaradás törvénye egy elektronra:

Az elektron helyzeti energiája: − eU . Mivel a katódon se helyzeti, se mozgási energiája nincs, e két energia összege mindvégig 0 marad. e 1 2 mv − eU = 0 → v = 2 U (1) m 2 dJ x A stacionárius áramlás 2. alaptörvénye: =0 (2) → J x = const. → J = J x = const. dx r ε dE dDx Gauss törvénye: divD = ρ → = ρ → 0 x = ρ (3) dx dx J = ρ v = − ρv (4) dEx J J m −1 2 = −ε 0 = − U ε 0 2e dx v dE x dE x dU dE = = − Ex x dx dU dx dU

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

Ex = −

dU dx

jel .

λ=

(5)

J

ε0

m 2e

az 1. alaptörvény differenciális alakja.

dEx = λU −1 2 dU −1 2 ∫ Ex dEx = λ ∫ U dU Ex

Ex2 = 2λU 1 2 + C1 2 x = 0 : Ex = 0 és U = 0 → 0 = 0 + C1 → C1 = 0 E x = −2 λU 1 4 dU − = −2 λU 1 4 dx

23

Ua

a

0

0

−1 4 ∫U dU = 2 λ ∫ dx

→ az integrálást a katód és az anód között hajtjuk végre

4 34 Ua = 2 λa 3 4 32 Ja 2 U a = λa 2 = 9 ε0 J=

/ :2, /2 m 2e

4ε 0 e 2 U a3 2 2 9a m

Richardson-Dushman - formula

Tehát az áramsűrűség a feszültség 3 2 -ik hatványával arányos, nem követi az Ohm-szabályt. 5. előadás Az áramforrás

Az áramforrások olyan vezetők, amelyekben (az elektromos erő mellett) idegen (nem elektromos) erő is hat a szabad töltéshordozókra, ennek iránya ellenkező az elektromos erőével, és így megteremti az elektromos cirkuláció lehetőségét. Az olyan vezetőket, amelyekben idegen erők nem működnek, fogyasztóknak nevezzük. U1 > U 2

U1

–

+ P+

I

U2

P−

F*

+

F

E

fogyasztó

áramforrás

Elemben, akkuban kémiai természetű az idegen erő. Dinamóban, generátorban mágneses természetű az idegen erő. r r F E* = * : idegen térerősség q r F* : a q ponttöltésre ható idegen erő r E* : a q ponttöltés helyén az idegen térerősség Ha a töltés az áramforrásban elmozdul, az idegen erő rajta munkát végez.

r r W = ∫ F*dr * 12

12

r r r W12* F* r U = = ∫ dr = ∫ E* ⋅dr q 12 { q 12 r * 12

→ az 12 ívre vett elektromotoros erő

E*

Az elektromotoros erő megadja az idegen erő egységtöltésen végzett munkáját. Az áramforrás elektromotoros erején azt a munkát értjük, amelyet az idegen erő végez, míg az egységtöltés az áramforrás belsejében a (–) pólustól a (+) pólusig elmozdul. r r U * = ∫ E* ⋅ dr > 0 → az áramforrás elektromos ereje P− P+

A továbbiakban feltesszük, hogy az áramforrás elektromotoros ereje független attól, hogy milyen úton mozdult el a töltés az áramforrásban a (–) pólustól a (+) -ig.

24

A lokális OHM-féle anyagegyenlet

GEORG SIMON OHM (1787-1854, német fizikus) Kristályos vezetőt tekintünk, az elektromos áramlás a szabad (vezetési) elektronok rendezett mozgásával valósul meg, az ilyen vezetőkben kizárólag konduktív (vezetési) áram van. A ρ töltéssűrűség 0.

ρe = −ene → a vezetési elektronok töltéssűrűsége

(

ne : a vezetési elektronok számsűrűsége db / cm3 e : elemi töltés

)

r r j = ρ e ve → konduktív áramsűrűség r ve : a vezetési elektronok áramlási sebessége r r jel . r r r v = V + v ′ → egy szabad elektron sebessége, v ′ = u → a rendezetlen mozgás átlag sebessége, u >> V r V : a rendezett mozgás sebessége r v ′ : a rendezetlen mozgás sebessége

λ → közepes szabad úthossz: a vezetési elektronok ionokkal való, két egymást követő ütközése között

τ=

λ u

átlagosan befutott út → két ütközés között átlagosan eltelt idő

(

) (

r r r Fe = −e E + E* → a szabad töltéshordozóra ható erő r r Fe e r r ae = =− E + E* me me

)

r r Ütközés után a rendezett mozgás sebessége 0, majd a következő ütközésig felnő Vmax = aeτ -ra. Az áramlás sebessége a rendezett mozgási sebesség időátlaga:

r r 0 + Vmax r 1 eλ r r =− ve = E + E* 2 2 me u r r e 2λ ne r r j = −eneve = ⋅ ⋅ E + E* 2me u

(

(

γ =

e 2λ ne ⋅ → fajlagos vezetőképesség 2me u r r r j = γ E + E*

(

)

)

)

lokális alak

r Fémek esetében ha j nő, a vezető felmelegszik, u megnő, és így γ lecsökken. Szigorú arányosságról r tehát szó nem lehet, hiszen a γ „arányossági tényező” függ a j változótól. r Félvezetők esetében a j növekedése okozta melegedés növeli ugyan u-t, de még erősebben növeli a vezetési elektronok ne számsűrűségét, ezért a félvezetők vezetőképessége melegedés esetén nő.

[γ ] = 1 A2 → fajlagos ellenállás, γ m r r r ρj = E + E* → a lokális alak, más formában ρ=

1

V A 1 =1 =1 , m Vm Ωm

1Ω = 1

V , A

[ρ ] = 1Ωm 25

A szupravezetés HEIKE KAMMERLINGH-ONNES (holland származású Nobel-díjas (1913) fizikus) Egyes anyagok a rájuk jellemző hőmérséklet alá hűtve tökéletes elektromos vezetőkké válnak ( ρ = 0 ) , ez a hőmérséklet ólom esetén 7K. Ma azonban ismerünk olyan anyagokat, amelyek (–100) - (–70)°C-on mutatják a szupravezetés jelenségét. A kitüntetett hőmérséklet alatt feszültség hiányában is folyik áram. Az Ohm-egyenlet például a szupravezetést sem írja le. Az integrális OHM-egyenlet vezetőtest

r r t ⋅t = 1

áramvonal (c)

r t

r j

áramfonal

A két határfelület ekvipotenciális felület.

U2 dI

dA

U1

Áramvonal: az elektromos áramvonalak olyan irányított görbék, melyek érintő egységvektora megadja az érintési pontbeli elektromos áramsűrűség irányát. Áramfonal: olyan kicsiny keresztmetszetű cső, melynek palástját áramvonalak alkotják.

(

)

r r r r r r r r r U12 = ∫ E ⋅ ds = ∫ ρj − E* ⋅ ds = ∫ ρj ⋅ ds − ∫ E* ⋅ ds c c c c 1 424 3 U

*

12 r r dI r r r r dI r r dI , ds = t ds ⇒ j ⋅ ds = t ⋅ t ds = ds j =t dA dA dA Az áramfonal bármely keresztmetszetére az áramsűrűség ugyanaz, a töltés-megmaradás értelmében.

U12 + U12* = dI ∫ c

(U

12

ρds dA

def .

/ dG12 =

)

1 → az áramfonal vezetőképessége ρds ∫ dA

+ U12* dG12 = dI

Ha ezt az egyenletet minden egyes áramfonalra felírjuk, majd a sok egyenletet összeadjuk, akkor: - a dI -k összege a teljes vezetőtesten átfolyó áram erőssége, - a dG -k összege a teljes vezetőtest vezetőképességét adja.

(U

12

)

+ U12* G12 = I

(U

12

)

+ U12* = IR12

def .

/ R12 =

integrális OHM-egyenlet

Az áram az (1)-es pólustól a (2)-es felé folyik! 26

1 → a vezető ellenállása G12

/ fogyasztóra: U12* = 0 → U12 = IR12

fogyasztó

I (2)

(1) áramforrás

Az áramforrás ellenállása r (belső ellenállás), a fogyasztó ellenállása: R. Az áramforrás elektromotoros ereje: U * , kapocsfeszültség: U. - Ohm az áramforrásra: U12 + U * = Ir ⎫ − U + U * = Ir ⎬ - Ohm a fogyasztóra: U U * = U + Ir = I (R + r ) 21 = IR ⎭ { U

Ideális áramforrásnak nevezzük a r = 0 belső ellenállású áramforrást.

r

U* r =0

U* r≠0

Vonalas (lineáris) vezetők Az olyan vezetőket, melyeknek keresztmetszeti méretei nagyon kicsinyek a hosszméreteikhez képest, vonalas vezetőknek nevezzük. Az egész vezető egyetlen áramfonalnak tekinthető. R=∫

ρds A

/ az integrálást a vezető teljes hosszára kell elvégezni

Állandó keresztmetszetű, homogén huzal esetén: R =

ρl A

.

Milyen törvények érvényesek a vonalas vezetőkből összeállított hálózatokra? Csomópont: a hálózat olyan pontja, ahol legalább 3 vonalas vezető fut össze. Ág: a hálózat olyan szakasza, amelynek kezdő- és végpontja csomópont, belsejében azonban nincs csomópont. Egy ágon belül csak egyetlen áramerősség lehet. Hurok: olyan irányított, zárt vonal, amelyet lineáris vezetők testesítenek meg.

r r E { ∫ r ⋅ drs = 0 → { ∫ j ⋅ dA = 0 →

stacionárius áramlás ∑U i = 0

∑I

i

=0

huroktörvény (KIRCHHOFF II. törvénye) csomóponti törvény (KIRCHHOFF I. törvénye)

GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF (1824-1887, német fizikus) Huroktörvény: egy hurok mentén az elektromos feszültségek algebrai összege 0. Csomóponti törvény: egy csomópontban összefutó vezetékekben az áramerősségek algebrai összege 0. Az ideális áramforrás feszültsége: U * , ha a (+) pólustól a (–) felé haladunk, − U * , ha a (–) pólustól a (+) felé haladunk. 27

A lokális JOULE-törvény

JAMES PRESCOTT JOULE (1818-1889, francia származású angol fizikus) fogyasztó (kristályos vezető)

r t

r j

U2

dA

c

ds

U1

U1 > U 2

Mennyi a szabad elektronok töltése a jelölt térfogati cellában? - ρ e : az elektronok töltéssűrűsége, - dV : a cella térfogata.

dQe = ρ e dV

r r r Mekkora elektromos erő hat a cellában foglalt szabad elektronokra? dFe = EdQe = ρ e EdV Kiszámítjuk az elektromos mező teljesítményét a cella szabad elektronjaira: r r r r r r dP = ve ⋅ dFe = ρ e ve ⋅ EdV / j = ρ e ve dP r r = j ⋅ E → lokális JOULE-törvény dV

dP → elektromos teljesítménysűrűség dV A szabad elektronokon végzett munka apasztja az elektromos tér energiáját. Az elektromos tér munkavégzése a fogyasztó belső energiáját gyarapítja. A mező felgyorsítja a szabad elektronokat, ezek ütköznek az ionráccsal, az ionok rezgése megélénkül, nő a test belső energiája. Az elektromos teljesítménysűrűség egyben a belső energia forrássűrűsége, megadja, hogy térfogategységben, időegység alatt mennyi belső energia keletkezik (elektromos energiából). Az integrális JOULE-törvény

δP =

r r r r dI r r j ⋅ E dV = t ⋅ E dA ds = dI E ∫ ∫c dA ∫c ⋅ ds = U12dI δV ↓ ↓ 123 1 42r 4 3 U ds

12

- δP : az elektromos teljesítmény a megrajzolt áramfonalban - δV : az egész áramfonal térfogata Ezt az összefüggést minden áramfonalra felírjuk, majd ezeket az egyenleteket összeadjuk: U2 P12 = U12 I = I 2 R12 = 12 R12 - R12 : a fogyasztó két pólusa közötti ellenállás, - P12 : az elektromos teljesítmény a fogyasztón, - U12 : a fogyasztó két pólusa közötti feszültség, - I : a fogyasztón folyó áramerősség. 28

Az elektrolízis

Az elektrolízis folyadékban megvalósuló elektromos vezetés. Elektrolit: vezető folyadék, ilyen elektrolitok a savak, lúgok és sók vizes oldatai, például az NaCl (konyhasó-) oldat, a CuSO4 (réz-szulfát) oldata vagy az AgNO3 (ezüst-nitrát) oldata, de nem elektrolit a cukoroldat, a parafin olaj vagy a glicerin.

Só feloldásakor molekulái szétesnek (disszociálnak) pozitív és negatív ionokra. Például: CuSO4 → Cu + + + SO4− − katód

anód

E I SO4− − Cu + + A rézion a katódon két elektront vesz fel, és semleges rézatom formájában kiválik a katódon, így a katódra egyre több réz rakódik rá. Egy ion töltése: Ze - Z : vegyérték, egész szám, - e : elemi töltés. - M : a kiváló anyag móltömege, - N A : Avogdro-állandó 6,02 ⋅ 1023 / mol , - m : a kivált tömeg, - Q : a kiválasztás során az áramkörön átfolyt töltés, m : kivált mólok száma, - n= M - N = nN A : a kivált ionok száma,

(

Q = ZeN = Ze

)

M Z m Q NA → m = eN A M

FARADAY-törvény az elektrolízisre

MICHAEL FARADAY (1791-1867, angol kémikus és fizikus) A kivált anyag tömege egyenesen arányos a folyamat során az áramkörön átfolyt töltés mennyiségével. Az arányossági tényező nevezőjében az F = eN A természeti állandó szerepel.

F = 1,602 ⋅ 10−19 ⋅ 6,02 ⋅ 1023 = 9,65 ⋅ 104

-

C mol

→ Faraday-állandó

M : kémiai egyenértéktömeg. Z 29

6. előadás A villámhárító

ρ = 100Ωm a = 10cm I = 10kA

tökélets vezető félgömb

I

r0

ρ =0

r dr

r E

E =0

r dA

l

r

a

r j

- Mekkora potenciálon van a földelő?

As

r dA

ρ

Ag

föld

r r anyagegyenlet: E = ρj r r 2. alaptörvény: { ∫ j ⋅ dA = 0 r

r

r

r

∫ j ⋅ dA + ∫ j ⋅ dA = 0

As

↑↓

As

/ A gömbszimmetria miatt a félgömbfelület mentén az áramsűrűség és a térerősség abszolút értéke nem változik.

↑↑

− I + j (r ) ∫ dA = 0 As { 2π r 2

j (r ) =

I ρI 1 → E (r ) = ⋅ 2 2πr 2π r 2

∞

U=

r r E ∫ ⋅ dr

r =a

↑↑

ρI ∞ dr ρI U= = 2π ∫a r 2 2π

1. alaptörvény, U a földelő potenciálja ∞

ρI ⎡ 1⎤ ⎢⎣− r ⎥⎦ = 2 π a a

⇒ a föld ellenállása: R =

U ρ 100 = = = 159Ω I 2πa 2 ⋅ π ⋅ 0,1

U = I ⋅ R = 10000 ⋅ 159 = 1,59 MV r0 = 10m l = 75cm

- Mekkora a feszültség a képen látható Jancsi bácsi két lába között (lépésfeszültség)? Ul =

r0 + l

∫

r0

30

r r ρI r0 + l dr ρI = E ⋅ dr = 2π r∫0 r 2 2π

r +l

0 ⎡ 1⎤ − ⎢⎣ r 2 ⎥⎦ r0

=

ρI 2π

⎛1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 1,1 kV + r r l 0 0 ⎝ ⎠

Mágneses alapjelenségek

Magnészia – város Kis-Ázsiában, határában az ókorban különleges vasércet bányásztak. E vasérc és apró vasdarabkák között vonzó kölcsönhatást tapasztaltak (nincs test-test kapcsolat), fizikai mező jelenlétére utal → mágneses mező. 1.) A mágnesvasérc és a vasreszelék között a kölcsönhatás mindig vonzó. 2.) Ha mágnesvasércre acéltűt helyezünk, és huzamosan ott tartjuk, levétele után az acéltű is vonzza a vasreszeléket, de a vasdarabkák csak a két végére tapadnak, ám oda egyforma mértékben. Ezeket a végeket mágneses pólusoknak hívjuk. A Föld mágneses hatására a felfügesztett permanens (állandó) mágnes befordul az É-D-i irányba, az É-ra mutató pólus az É-i, a másik a D-i. 3.) Az azonos pólusok között mindig taszító, a különböző pólusok között mindig vonzó kölcsönhatás lép föl ( É ↔ É vagy D ↔ D ⇒ taszító, É ↔ D ⇒ vonzó).

D

É

É

D

D

É

D

É

4.) Mágneses polarizáció: ha a lágyvas külső mágneses mezőbe kerül, maga is mágnessé válik, a külső mező megszűnése után azonban elveszti ezt a tulajdonságát.

permanens mágnes lágyvas

vaspor

5.) Az elektromos megosztásnak nincs mágneses megfelelője. Semmi módon nem érhető el, hogy egy testben például az É mágnesség túlsúlyra jusson a D-ivel szemben. Nem létezik mágneses egypólus, a mágnességtanban a legegyszerűbb alakzat a dipólus. 6.) Milyen kapcsolat létezik az elektromos és a mágneses jelenség között? Egy nyugvó töltés és egy nyugvó mágnes között a tapasztalatok szerint nincs kölcsönhatás. HANS CHRISTIAN ØRSTED (1777-1851) A mozgó töltés és a mágnes már kölcsönhatásban van. Árammal átjárt rézhuzal közelében az iránytűk megbolondulnak.

31

6.a.

6.b.

rézhuzal

I

É

É

F D

ANDRÉ MARIE AMPÈRE A mozgó elektromos töltés mágneses mezőt gerjeszt.

rézdrót

I

mágnes patkó

D

A mágneses mezőben rendezett mozgást végző töltésekre, és így a töltéseket magában foglaló testre erő hat, ez az erő az AMPÈRE erő.

ANDRÉ MARIE AMPÈRE (1775-1836, francia fizikus) Két áramvezető között is erőhatás figyelhető meg, az egyik áramvezető mágneses mezőt gerjeszt, a másik vezető ebbe merül, így a benne folyó áramra Ampère erő hat (elektrodinamikai erőhatás). A mágneses indukcióvektor z

r ds

I +P

x

r ds : a valóságban igen rövid - iránya az áram irányával megegyezik - abszolút értéke az ’U’ szög z irányú oldalának hossza r P ∈ ds

Jelen állásban mérhető a mágneses mező által az ’U’ szögre kifejtett x irányú (betoló-kihúzó) és a z irányú (fel-letoló) Ampère-erő, ha pedig a z tengely körül 90° -kal a szerkezetet elfordítjuk, mérhető az y irányú erő is. A mérőeszközt P körül elforgatva a térben bármely irányba beállíthatjuk. P az a pont ahol ismerni akarjuk a mágneses mezőt. Mérési tapasztalatok: r A cél olyan mennyiséget találni mely a mérőeszköz adataitól (I-től és ds -től) független, egyedül a mágneses mezőt jellemzi a P pontban.

32

r r r 1.) Tapasztalatok szerint ds -sel párhuzamos erő semmilyen helyzetben fel nem lép, tehát dF ⊥ ds . 2.) A mérőeszköz forgatásakor találunk egy olyan helyzetet, amikor az áramelemre egyáltalán nem r hat erő. Azt a P-n átmenő b egyenest, amellyel ekkor ds vektor párhuzamos, kitüntetett egyenesnek nevezzük. b

r dF

⊗

α

P +

r ds

ds⊥ = ds sin α

ds⊥ r 3.) Ha ds nem párhuzamos a kitüntetett egyenessel, akkor az áram elemre olyan mágneses erő hat, r amely b-re is merőleges, vagyis dF ⊥ b .

r 4.) dF ∝ I r dF ∝ ds⊥

A

r dF Ids⊥

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

r dF

def .

B=

Ids⊥

hányados már nem függ a mérőeszköz adataitól, kizárólag a mágneses mezőt jellemzi a P

r pontban, ezért ezt a hányadost tekintjük a mágneses mező alapvektora, a B indukcióvektor abszolút értékének. Definíció szerint a mágneses indukcióvektor iránya párhuzamos a b kitüntetett egyenessel, és értelmét r r r r úgy állapítjuk meg, hogy a dF , ds , B vektorok jobbhármast alkossanak. (Az ábrán B ferdén fölfelé mutat.) A B-ről mondottak a következő tömör alakban foglalhatóak össze: r r r dF = I ⋅ ds × B → elemi Ampère erő

r dF = I ds sin3 αB 12 ds ⊥

I

c r ds

A LORENTZ-erő r j r t r ds

A

r r r F = I ∫{ds × B

r F , az áramhurokra ható Ampère erő

c

vonalas vezető r r r r I ⋅ ds = jAt ds = { jt { Ads = j dV r j

dV

r r r r dF = Ids × B = j × BdV

I r r r r r dF = ρ e dV ve × B = dQe ve × B 123 dQe

r r / j = ρ eve - ρ e : a szabad elektronok töltéssűrűsége r - ve : a szabad elektronok áramlási sebessége / dQe : a pontszerű vezetődarabkában foglalt szabad elektronok össztöltése 33

Bármely ponttöltésre:

Ahol -

r r r F* = qv × B → Lorentz-erő

q : a pontszerű test töltése, r v : a pontszerű test sebessége, r B : a mágneses indukció azon a helyen, ahol a pontszerű test éppen áthalad. r F* q r t r n

v

A Lorentz-erő normális irányú, vagyis kerületi gyorsulást nem okozhat, a Lorentz-erő hatására a kerületi sebesség állandó marad, a sebességvektornak csak iránya változik. r r F* r r E* = = v × B → Lorentz-térerősség q

A HALL-effektus

r EH

I

–––

a

–––

+ ++

–––

V

r B

+ ++

r r r E* = v × B

++ +

v ––– – ––– δ r r F* = −eE*

+++

+ ++

+

r r F = −eEH

Ha a vezetőszalag a síkjára merőleges, homogén, időben állandó mágneses mezőbe merül, és hosszirányban elektromos áramot bocsátunk át rajta, akkor a szalag két szélének átellenes pontjai között elektromos feszültséget mérhetünk. Az áramlás kezdeti szakaszában a rájuk ható Lorentz-erő miatt a szabad elektronok kisodródnak a szalag egyik szélére, itt tehát negatív töltéstöbblet jön létre. r Létrejön egy keresztirányú térerősség, ez a Hall-térerősség, jele: EH . Az állandósult állapotban a Lorentz-erő és a Hall-erő kioltja egymást, így a keresztirányú áramlás leáll.

r r r Stacionárius állapot: F + F* = 0 vB = E* = EH U H = EH a = vBa

UH = 34

IB eneδ

/ I = jA , ahol j = ene v , A = aδ → I = ene vaδ I / va = eneδ

ahol mérhető: U H , I , B, δ és kiszámítható: ne .

Forgatónyomaték homogén mágneses mezőben nyugvó sík áramhurokra

z r B

r r r dN = r × dF → a mágneses forgatónyomaték a megrajzolt áramelemre r r r dF = Idr × B

I O (1)

r r r dF

y

r r dr r n = −k

x

Megállapodás: - a z tengely legyen merőleges a vezetőhurok síkjára, r - az y tengelyt úgy vesszük fel, hogy B beleessen a zy-síkba.

(

)

(

) (

)

r r r r r r r r r r r r r r r dN = r × dF = Ir × dr × B / r × dr × B = r ⋅ B dr − (r ⋅ dr )B r N : az egész áramhurokra ható forgatónyomaték (1) r r r r r r ⎡ r2 ⎤ r r r N = I ∫{ r ⋅ B dr − IB ∫{r dr / ∫{r dr = ⎢ ⎥ = 0 , ⎣ 2 ⎦ (1) r r r r r r r r ds × B r = xi + yj → dr = dxi + dyj r r r B = B y j + Bz k r r r ⋅ B = By y r r r N = IBy ∫{y (dxi + dyj )

(

)

r r r N = IBy i ∫{ydx + IBy j ∫{ydy 123 A r r N = IABy i

(1)

⎡ y2 ⎤ = ydy / A: a vezetőhurok által körülzárt terület, { ⎢ 2 ⎥ =0 ∫ ⎣ ⎦ (1)

c

A peremgörbe és a felület irányítása közötti kapcsolat a jobbcsavarszabály. Ha jobb kezünk beállított ujjai a görbe irányába mutatnak, hüvelykujjunk mutatja a felület normálisának irányát.

r n

r r r A = A ⋅ n = − Ak r r i j r r A× B = 0 0

0 By Emlék:

→ területvektor, abszolút értéke a terület, iránya a normális iránya. r k r r r r − A = i ABy → N = IA × B ez az áramhurokra ható forgatónyomaték.

Bz

r r r r N = p × E , p : elektromos dipólusnyomaték r r r N={ IA × B ↓ r r mágnesesdipólus nyomaték: m = IA

35

r r r N = m× B r r m = IA

Áramhurok:

7. előadás

⎫ ez a mágneses dipólusnyomaték töltésáramláshoz, ⎬ azaz áramhoz van kötve. ⎭

[m] = 1Am2

Permanens mágnes: r l

r r r N = m × B → rendezett töltésmozgás nincs, mágneses dipólusnyomaték mégis van r r m ↑↑ l m ∝ l → az arányossági tényező attól függ, hogy milyen erősen van felmágnesezve a mágnestű

É

D Az anyagok mágnesezettségének oka

A nukleonok (a mag alkotórészei) mágneses dipólusnyomatéka 3 nagyságrenddel kisebb, mint az elektronoké. Ezért egy atom mágneses dipólusnyomatéka az elektronjai a dipólusnyomatékának vektori összege. Az elektron dipólusnyomatékának: a.) egy része mozgásból származik, b.) a másik része saját momentum: az elektron mozgásállapotától független. Vannak olyan atomok, melyekben az elektronokhoz tartozó mágneses dipólusnyomatékok vektori összege nulla. A legtöbb atomban azonban az eredő dipólusnyomaték nem nulla, ám ilyen atomok halmaza külső mágneses mező híján mégsem mutat mágneses viselkedést, a dipólusmomentumok rendezetlensége okán, külső mágneses mező azonban többé-kevésbé rendet alakíthat ki. A mágnesezettség vektora ∆V

r ∆m : a ∆V térfogatban foglalt atomok összes mágneses dipólusnyomatéka

P+ r r ∆m M (P ) = lim → a mágnesezettség vektora ∆V → 0 ∆V P∈∆V A mágnesezettség vektora megadja, hogy a P pontnál térfogategységben mennyi az összes mágneses dipólusnyomaték.

[M ] = [m] = 1 Am3 [V ] m

2

=1

A m

A külső mágneses mező erősödésével az anyag mágnesezettsége is növekszik. A polarizáló mágneses mező indukciója és a mágnesezettség közötti kapcsolatot mágneses anyagegyenletnek nevezzük.

36

Stacionárius áramok vákuumbeli mágneses mezőjének cirkulációja

I1 > 0

I2 < 0

r n

A felület és a peremgörbe irányítása között a jobbcsavar-, más néven a dugóhúzószabály teremt kapcsolatot.

A

I A → az A-n átfolyó összes áram

I A = ∑ I i → az A felületet átbökő áramok előjeles összege i

c

Egy vektormező cirkulációján az illető vektor irányított, zárt görbére vett integrálját értjük:

∫

r

r

r

{B ⋅ ds → a mágneses indukcióvektor cirkulációja (a c görbe mentén sűrűn megmérjük B -t,

összeszorozzuk a mérési pontbeli ívelemvektorral, a szorzatokat összeadjuk)

c

 a mérési tapasztalatok azt mutatják, hogy ez a mennyiség arányos I A -val.

∫

r

r

{B ⋅ ds = c

µ 0 I A , ahol µ 0 arányossági tényező a mérések szerint egyenlő 1,256 ⋅ 10− 6 vákuum mágneses permeabilitása.

Vs -rel, és neve: a Am

r A kémiai anyagban megvalósuló mágneses mező leírására két vektor szolgál: a B alapvektor és az r M mágnesezettségi vektor. Most bevezetjük e két vektor lineáris kombinációjaképpen a mágneses térerősség vektorát. r r def . B r −M , [H ] = 1 A . A mágneses térerősség, definíció szerint: H = µ0 m

Ennek a vektornak a segítségével a stacionárius mágneses mező I. alaptörvénye egyszerűbb alakban írható fel. Mágneses lineáris anyagegyenlet

Feltételezzük, hogy a mágneses indukció és a mágnesezettség között arányosság van. r r r r r r B ∝ M ⇒ H ∝ M : M = χH → az anyagegyenlet 1. alakja, ahol χ : mágneses szuszceptibilitás. r r B r r r H= − χH → B = (χ + 1)µ 0 H , ahol χ + 1 = µ ′ a relatív permeabilitás

µ0 µ = µ 0 µ ′ : (abszolút) permeabilitás

r r B = µH → az anyagegyenlet 2. alakja 37

A stacionárius mágneses mező I. alaptörvénye: az Ampère-féle gerjesztési törvény

r r emlék: U12 = ∫ E ⋅ ds 12

A mágneses feszültség (K) irányított vonalra értelmezett fizikai mennyiség, a mágneses térerősség vonalintegrálja. def . r r K12 = ∫ H ⋅ ds 12

r r Kc = { ∫ H ⋅ ds → mágneses körfeszültség, a mágneses térerősség cirkulációja. c

Kc =

1

µ0

∫

r

r

r

∫

r

{B ⋅ ds − {M ⋅ ds c

c

r 1 r r { Vákuum esetén: M = 0 → K c = ∫ B ⋅ ds = I A

µ0

c

Mérési tapasztalat, hogy a mágneses körfeszültség és az áram egyenlősége fennáll akkor is, ha a térben mágnesezhető anyagok vannak jelen.

∫

r

r

{H ⋅ ds = I A → az Ampère-féle gerjesztési törvény integrális alakja c

A stacionárius mágnese mezőben felvett rögzített, irányított, nyílt felületre az elektromos áramerősség egyenlő a felület peremgörbéjére számított mágneses körfeszültséggel. r r Térbeli árameloszlás esetén: I A = ∫ J ⋅ dA A

r r r r w ⋅ d s = rot w ⋅ dA ) (Matematika: Stokes-féle integrál átalakítási tétel: { ∫ ∫ c

∫

r

r

{H ⋅ ds = c

A

r r r r rot H ⋅ d A = J ∫ ∫ ⋅ dA → bármely A-ra igaz, ezért A

A

r r r r rot H = J = j + ρv → az Ampère-féle gerjesztési törvény lokális alakja A stacionárius mágneses mező (ellentétben a stacionárius elektromos mezővel) nem konzervatív: r r rot H ≠ 0 ha a mágneses mezőt áramok gerjesztik. r r Sztatikus mágneses mezőben, melyet nyugvó permanens mágnesek gerjesztenek, rot H = 0 , ez tehát konzervatív mező.

38

A mágneses mező szemléltetése

r B r t

A mágneses indukcióvonalak olyan irányított görbék, amelyek érintő egységvektora egyirányú az érintési pontbeli mágneses indukcióvektorral.

mágneses indukcióvonal

Megállapodás szerint az indukcióvonalakat olyan sűrűn vesszük fel, hogy a rájuk merőleges egységnyi felületen éppen B számú indukcióvonal menjen át (vagyis annyi, amennyi ott a mágneses indukció mérőszáma). r r emlék: ΨA = ∫ D ⋅ dA , A

∫

r

r

{D ⋅ dA = QV ,

r divD = ρ ,

D2 n − D1n = σ

A

r r Vs Irányított felületre a mágneses fluxus: Φ A = ∫ B ⋅ dA , [Φ ] = [B ][ A] = 1 2 m 2 = 1Vs . m Vagyis a mágneses fluxus a mágneses indukcióvektor felületi integrálja. A mágneses fluxus számértéke megadja az illető felületet átdöfő mágneses indukcióvonalak előjeles számát. Mivel mágneses töltés nem létezik, zárt, rögzített felületre a mágneses fluxus nulla.

∫

r

r

{B ⋅ dA = 0 → a II. alaptörvény, a mágneses Gauss-törvény integrális alakja.

r divB = 0 → a mágneses Gauss-törvény lokális alakja.

Az elektrosztatikában azt tanultuk, hogy az elektromos indukcióvonalak a pozitív töltésen erednek és a negatív töltésen végződnek, van elejük és van végük. A mágneses indukcióvonalak viszont – mágneses töltések hiányában – sehol nem kezdődnek és nem is érnek véget (ebből nem következik, hogy feltétlenül zárt görbéknek kell lenniük). Peremfeltételek a mágneses mezőben

Mivel felületi mágneses töltés sincs, a mágneses indukcióvektor normális koordinátája két közeg határán ugrást nem szenved. B2 n = B1n A

r r emlék: { E ∫ ⋅ ds = 0 → E1t = E2t r r { H ∫ ⋅ ds = I A c

P2 P

P1 → P ⎫ ⎬A → 0 : IA → 0 P2 → P ⎭

P1

(2) (1)

c

Az A-n átfolyó áram 0-hoz tart, ha az áram térben oszlik el, nem a határfelületen koncentrált áramról van szó. H 2t = H1t → A mágneses térerősség tangenciális koordinátái két közeg határán nem szenved ugrást, ha nincsenek a határfelületen koncentrált áramok.

39

Végtelen hosszú, egyenes áramfonal mágneses tere (homogén közegben)

z I

r n

∫

r

r

H2 ⋅3 ds = I A {1 c

↑↑

∫

/ ds = rdϕ

Hr { ∫ dϕ = I

/{ ∫ dϕ = 2π

{Hds = I

dϕ

c

r H

r ds

r

H=

I

2π r

ϕ =0 -

Ez az elrendezés tökéletes hengerszimmetriát mutat. A skalárok a három hengerkoordináta közül egyedül r-től függhetnek ( ϕ -től és z-től nem). Ampère törvényét olyan körvonalra írjuk fel amelynek síkja az áramfonalra merőleges és középpontja rajta van az áramfonalon. r A H vektor szimmetriaiokokból azimutális irányú. A mágneses térerősség fordítottan arányos az áramfonaltól mért távolságtól. r Ha jobb kezünk hüvelykujja az áram irányába mutat, akkor behajlított ujjaink mutatják a H vektor értelmét.

Mágneses mező szolenoid belsejében Szolenoid: átmérőjéhez képest igen hosszú, sűrűn csévélt, árammal átjárt, hengeres tekercs (belsejében az anyag homogén). (4)

(1)

r ds r ds

(c) (A)

r H

r ds

r ds

(3)

(2) mágneses indukcióvonalak

l

A tekercs belsejében a mágneses indukció és térerősség tengelypárhuzamos, és a mágneses mező homogénnek vehető.

40

a menetek száma: N , a szolenoidban folyó áram erőssége: I.

∫

r

r

r

r

{H ⋅ ds = I A c

r

r

r

r

r

r

H2 ⋅3 ds + ∫ H ⋅ ds = NI ∫ H ⋅ ds + ∫ H ⋅ ds + ∫ 1 ↑↑

12

⊥

23

≈0

34

41

⊥

r r / ∫ H ⋅ ds ≈ 0 , mert a 34 vonal mentén az indukcióvonalak nagyon ritkák, ezért H 34 elhanyagolható

∫ Hds = NI

12

H ∫ ds = NI → Hl = NI → H = 12

NI → ez a formula csak a tekercs belsejében igaz, a végek közelében l és a tekercsen kívül már nem.

Elektrodinamikai erőhatás végtelen hosszú, párhuzamos, egyenes áramvezetők között vákuumban

I1

I2

r ds 2

r F12

H1 =

I1 → B1 = µ 0 H1 2πd

r r r F12 = I 2 ∫ ds2 × B1 B1

9

l

F12 = I 2 B1 ∫ ds2 = µ 0

I1I 2 l 2π d

d

Az áramokkal nem úgy áll a helyzet, mint a töltésekkel: míg az egynemű töltések taszítják egymást, az egyirányú áramok között vonzóerő lép fel (természetesen az ellenkező irányú áramok taszítják egymást). Speciális eset: I1 = I 2 = 1 A l = d = 1m

F12 =

1,256 ⋅ 10 −6 = 2 ⋅ 10−7 N 6,28

41

8. előadás Az anyagok osztályozása mágneses viselkedésük szerint

a.) Diamágnes

É

r H

Ilyen anyagok még például: Cu, Ag, Au.

r M É

D

bizmutgolyó

A permanens mágnes É-i pólusánál a mágneses indukcióvektor a mágnesből kifelé mutat. r r H ↑↓ M ,

r r M = χH

→

χ < 0,

χ ≈ −10−6... − 10−5

A mágneses szuszceptibilitás a diamágnesek esetében hőmérséklet független. A diamágneses anyag atomja (külső mágneses mező híján) nem bír mágneses dipólus nyomatékkal, mert az atomok elektronjainak dipólusnyomatékai kompenzálják egymást. Külső mágneses mező hatására az atomok mágneses dipólusnyomatékot nyernek, melynek iránya a mágnesező tér irányával ellentétes, ezt a jelenséget hívják indukált mágneses polarizációnak. Amikor a mágneses mező nulláról felnövekszik, az atomokban áram indukálódik és ennek iránya olyan, hogy mágneses hatásával gátolja az indukáló változást → Lenz-szabály. Az indukált áram fojtán az elektronok mozgásából származó dipólusnyomaték megváltozik, és az elemi dipólusnyomatékok már nem kompenzálják egymást. b.) Paramágnes É

r H

D

É

r M alumíniumgolyó

800 o C

500 o C

Ilyen anyagok még például: Pt, W, Fe , Ni .

χ > 0,

χ ≈ 10−5...10−4

A paramágneses anyag atomja rendelkezik (külső mágneses mező híján is) mágneses dipólusnyomatékkal, de az atomi dipólusnyomatékok külső mágneses tér híján kioltják egymást. A külső mágneses mező a maga irányába forgatja be – többé-kevésbé – az atomi dipólusokat, ez a rendeződési mágneses polarizáció. A beforgatás annál inkább sikerül, minél erősebb a mágnesező tér, és annál kevésbé, minél magasabb a hőmérséklet. A paramágnesek mágneses szuszceptibilitása a hőmérséklet növekedésével csökken. Természetesen indukált polarizáció a paramágnesekben is van, ám ennek hatása eltörpül a rendeződési polarizáció mellett.

42

c.) Ferromágnes anyagok Ezek az anyagok a legjobban felmágnesezhető anyagok: Fe, Ni, Co, Heusler-fél mangán öntvény. A lineáris anyagegyenletet nem követik. A rájuk jellemző hőmérsékleten (Curie-ponton) túlhevítve ugrásszerűen elvesztik a ferromágneses tulajdonságukat és paramágnessé válnak, ez a hőmérséklet például a vasra 761ºC. Mx hiszterézis görbe

Mr

első mágnesezési görbe (szűzgörbe)

− Ht

x + -

Ht

Hx

vasrúd

− Mr

(- +)

A mágnesezési görbe felvétele: - az anyagot felmelegítjük a Curie-pont fölé és azután visszahűtjük → így az anyag kiindulási állapotában nem mutat mágneses tulajdonságot, - a gerjesztő áramot 0-ról fokozatosan növeljük, egy bizonyos értéken túl már nem nő az anyag mágnesezettsége, ekkor elkezdjük csökkenteni az áramerősséget, - az áramforrás pólusait Mr –nél felcseréljük, és ismét növeljük az áramerősséget, ekkor egy értéken túl ismét nem változik tovább az anyag mágnesezettsége, - ekkor elkezdjük ismét csökkenteni az áramerősséget, és –Mr –nél a pólusokat visszacseréljük, - az áramerősséget ismét növeljük a görbe záródásáig. Mágneses telítettség (Ht): bizonyos, az anyagra jellemző térerőségen túl az anyag mágnesezettsége már nem növekszik (de nem is csökken) ezt a térerősséget telítettségi térerőnek nevezzük. Remanens mágnesség (Mr): az a mágnesezettség, amely a külső mágneses térerősséget nullára csökkentve visszamarad az anyagban.

r r Az M és H közötti kapcsolat még csak nem is egyértékű. Pontról pontra meghatározható a

χ=

dM x lokális szuszceptibilitás. dH x

A ferromágneses anyag lokális szuszceptibilitása elérheti az ezres, sőt a tízezres nagyságrendet is. A ferromágneses anyagban vannak olyan kicsiny tartományok, domének ( 10−9...10−13 cm3 ), amelyeken belül az atomi elektronok saját mágneses momentuma rendezve van. Amerre a rendezett saját mágneses momentumok mutatnak az a doménekben a kitüntetett irány. Külső mágneses mező és mágneses előélet híján a kitüntetett irányok rendezetlensége miatt a domének egymás hatását kioltják. A külső mágneses mező hatására azok a domének híznak meg, amelyeknek a kitüntetett iránya kis szöget zár be a mágnesező tér erősségével. Igen erős külső mágneses tér esetén a domének nagy belső súrlódás mellett befordulnak a mágnesező tér irányába, beáll a mágneses telítődés. 43

A mozgási elektromágneses indukció

Ha materiális vonalat mágneses mezőben mozgatunk, a benne lévő töltéshordozókra a vonallal való együttmozgásuk miatt r Lorentz-erő hat. v (1)

r ds

materiális vonal

r B

r r r F* = qv × B

(2)

r E*

r r U12* = ∫ E* ⋅ ds = 12

r r ∫ (v × B )⋅ ds r

r r F* r r =v×B → E* = q

→ Neumann-formula

12

A mágneses mezőben mozgó 12 materiális vonalban elektromotoros erő lép fel, más szóval indukálódik, ezt a Neumann-formulából számíthatjuk ki, a jelenséget mozgási elektromágneses indukciónak nevezzük.

Ha a mozgó materiális vonal zárt vezetőkör vagy annak egy része, akkor az elektromotoros erő áramot létesíthet, ezt indukált áramnak nevezzük. Lineáris generátor × ×

l

× × I × × ×FA× × × × ×

(+)

×B ×

×

×

×

× × E* × × v ×r × ds × ×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

(–)

fémsín

Pe = I 2 R

r r E* = v × B = vB Pm ≥ FAv = IlBv = U * I ≥ I 2 R = Pe (U * ≥ IR )

A mágneses mező homogén és stacionárius. A mozgó rúd áramforrássá vált. Az áramforrás belsejében az idegen térerő a negatívtól a pozitív pólus felé mutat.A mágneses mezőben mozgó áramjárta vezetőre r r r Ampère-erő hat: FA = Il × B Lenz törvénye a mozgási indukcióra: az indukált áram iránya olyan, hogy a reá ható Ampère-erő az indukáló hatást fékezi. A rúd mozgatásával áramot indukálunk, mechanikai teljesítményt fektetünk be, s ennek árán elektromos teljesítményt nyerünk a fogyasztón. (+)

U* =

∫

(−)

(+ ) r r (+) E* ⋅ ds = ∫ vBds = vB ∫ ds = vBl ↑↑ (−) (−) { r l B 9 dsr r r r v × B ⋅ ds

(

r v

)

→ a mozgatott rúdban indukálódott elektromotoros erő

r r B v 9 r ds

(vr × B )⋅ dsr r

0 0 A materiális vonalban csak akkor indukálódik elektromotoros erő, ha a vonal mozgása során indukcióvonalakat metsz át. A mozgási indukció törvényének van egy másik, további tanulmányaink szemszögéből hasznosabb megfogalmazása, ez a Michael Faraday nevéhez fűződik. 44

A mozgási indukció Faraday-féle törvénye

c(t + dt )

r r dA1 = − n1dA

r dr

r ds

r r dA2 = n2 dA

r n1

r n2

A1

c(t )

r r dr = v dt

A2

r δAs

A materiális vonal egyes pontjai elmozdulásvektorainak megrajzolásával előállt egy kis szalagfelület. A két sapka és a szalagfelület együtt zárt felületet képez, erre alkalmazzuk a mágneses Gauss-törvényt. A normális irányt a peremvonal irányításának ismeretében a dugóhúzó szabállyal dönthetjük el. r

r

r

δAs = ds × dr

(zárt felületből a felületelem-vektor kifelé mutat) r r { ∫ B ⋅ dA = 0

r r B ∫ (− n1 )dA +

r⎛ r r ⎞ rr × B d s d r + B ⎜ ⎟ ∫ ⎜ { ∫ n2dA = 0 r ⎟ v dt ⎠ A1 A2 δAs ⎝ 14243 1 424 3 − Φ A (t )

Φ A (t + dt )

rr A c(t) görbe által körülfogott mágneses fluxus: Φ A (t ) = ∫ Bn1dA , A1

rr a c(t+∆t) görbe által körülfogott mágneses fluxus: Φ A (t + dt ) = ∫ Bn2 dA . A

r r r2 r r r A vegyes szorzat tényezői ciklikusan permutálhatóak: B ⋅ (ds × v ) = ds ⋅ v × B

∫δ B ⋅ (ds × v ) = ∫ (v × B )⋅ ds = U r

As

r r

r

c

r

r

* c

(

)

→ Neumann törvénye szerint, ez a zárt, materiális vonalban indukált elektromotoros erő

Φ A (t + dt ) − Φ A (t ) + U c*dt = 0 U c* = −

dΦ A dt

Faraday törvénye a mozgási indukcióra

A stacionárius mágneses térben mozgó irányított, zárt materiális vonalban indukálódó elektromotoros erő ellentetten egyenlő a vonal által körülfogott mágneses fluxus változási gyorsaságával.

45

A váltakozó áramú generátor modellje

Merev, sík vezetőhurok homogén, stacionárius mágneses mezőben egyenletesen forog a mágneses indukcióvektorra merőleges tengely körül. r B r r ω = áll. Φ A = A ⋅ B = AB cos ϕ r ϕ A dΦ A U c* = − = − AB(− sin ϕ )ϕ{& / t = 0 : ϕ = 0 → ϕ = ωt dt ω U c* = ABω sin ωt

/ U max = ABω

c

Ha nem egyetlen vezetőhurkot, hanem egy N menetű lapos tekercset forgatunk, az elektromotoros erő maximuma az N-szeresére nő, mert az egyes menetekben indukálódott elektromotoros erők összeadódnak. A lineáris motor modellje

A mágneses mező homogén és stacionárius. Nincs súrlódás, a sínek és a rúd ellenállása elhanyagolható. (+)

B 9

R

I FA

E*

l

v

U0 m

t = 0: v = 0 r r r FA = Il × B

FA = IlB

dv Newton mozgás egyenlete: m = FA = IlB dt r r r E* = v × B → E* = vB → U * = vBl

(–)

Az elrendezés villamos kapcsolási rajza: R

I U*

U0

A motorba belevezetve az áramot, az Ampère-erő mozgást okoz. Az áramforrás teljesítménye árán mechanikai teljesítményt nyerünk. Fogy az akkuból az energia és egyre több mechanikai energiája lesz a rúdnak. Kirchhoff-féle huroktörvény: IR + U * − U 0 = 0 → I =

46

U 0 − Blv R

→ Ahogy a sebesség nő a motor árama egyre gyengül.

A motor mozgásegyenlete: dv U lB (Bl ) v m = 0 − dt R R 2

/ :m,

τ= dv 1 = (a0τ − v ) dt τ

1

τ

2 ( Bl ) = , a gyorsulás a t=0 pillanatban:

jel .

mR

a0 =

U 0lB , mR

mR : időállandó (Bl )2

/ ez szétválasztható differenciálegyenlet

dv 1 = dt a0τ − v τ

/

∫

1

dv

∫ a τ − v = τ ∫ dt 0

− ln

a0τ − v t = τ C a0τ − v = e−t τ C v = a0τ − Ce − t τ

(

v = a0τ 1 − e − t τ

/ t = 0 : v = 0 → 0 = a0τ − C → C = a0τ

)

v

a0τ

Ha t → ∞ : v → v∞ = a0τ ,

τ

v∞ =

U 0lB mR U 0 = mR (Bl )2 Bl

t

I I0 =

U0 R

I=

τ

(

)

U 0 Bl U 0 U − 1 − e−t τ = 0 e− t τ R R Bl R

t

A hatásfok a mozgórész által nyert energiának és az áramforrás által végzett munkának a hányadosa. ∞

∞

[ ]

0 1 1 U2 U2 U2 U 2 mR/ eredmény: T∞ = mv∞2 = m 20 2 , ráfordírás: Wt = ∫ U 0 Idt = 0 ∫ e − t τ dt = τ 0 e − t τ ∞ = 0 2 2 2 2 Bl R 0 R 123 R/ B l 0 1

hatásfok: η =

T∞ = 0,5 Wt

47

9. előadás A nyugalmi elektromágneses indukció

dΦ mozgási indukció dt Ha zárt vezetőhurok stacionárius mágneses mezőben mozog, és az általa körülfogott fluxus változik, akkor benne áram indukálódik. Ha a fluxus változását a vezetőhurokban nem mozgás, hanem a mágneses mező időbeni megváltozása okozza, indukálódik-e benne áram?

emlék: U * = −

a) kísérlet mágneses indukcióvonalak

toroid tekercs

A

A

Primer kör – áramforrás van benne, szekunder kör – áramforrás nincs benne. A mágneses tér gyakorlatilag a tekercs belsejére korlátozódik. Amíg a primer áramot növeljük (vagy csökkentjük) addig a szekunder körben az amper mérő áramot jelez, noha a szekunder körben áramforrás nincs. Nem a primer áram, csak annak változása idézi elő az áramot a szekunder körben. Az indukcióvonal-nyalábot a szekunder kör is körülfogja, és ennek a nyalábnak a vonalsűrűsége a primer áram növelésével nő, tehát a szekunder fluxus (nem mozgás, hanem a mágneses mező időbeni változása miatt) változik s, erre tapasztalat szerint indukált áram jelenik meg. A szekunder áramot Lorentz-erő nem indíthatja meg, hiszen a szekunder kör áll, vezetéke mentén r r r szinte nincs is mágneses tér: E* = v{ × { B . r 0

r ≈0

A jelenségre egyetlen magyarázat van: a mágneses mező időbeli változása következtében elektromos mező jött létre (indukálódott), e mezőben a szekunder kör vonala mentén feszültség van, és ez a vezetőben áramot indít meg. A leírt jelenséget nyugalmi indukciónak nevezzük. Ez az indukált elektromos mező nem olyan, mint az elektrosztatikai mező: míg abban zárt vonal mentén a feszültség zérus, itt a szekunder kör zárt vonala mentén a feszültség 0-tól különböző, éppen ez hajtja az áramot. Az indukált elektromos mező tehát nem konzervatív, benne helyzeti energiát nem értelmezhetünk. A feszültség itt nem potenciálkülönbség, mert nem létező potenciálnak nem létezik különbsége.

×

a P1

×

b

P2 Két pont között felvett, két különböző görbén a feszültség általában különböző, U a ≠ U b !

Ami a szekunder körben indukálódik, az nem elektromotoros erő hanem elektromos körfeszültség. Az indukált elektromos mező akkor is megjelenik, ha a szekunder kör nincs jelen, a vákuumban felvett geometriai zárt vonal mentén is van indukált körfeszültség, indukált áram azonban természetesen nincs, mert ahhoz vezető kell. 48

b) kísérlet

mágneses indukcióvonalak

szolenoid

A

A

Lekapcsoljuk az áramforrást és azt látjuk, hogy az áram csak fokozatosan csökken zérusra, nem ugrásszerűen. Mi tartja fen a körben az áramot az áramforrás lekapcsolása után? A kör árama változik (gyengül) ezzel változik az általa gerjesztett mágneses mező, ez indukált elektromos mezőt létesít, ebben a mezőben az áramkör mentén feszültség van, ez tartja fenn az áramot. Az (a) kísérletben a szekunder kör áramát egy másik kör (a primer) áramának a megváltozása idézte elő, ez a kölcsönös indukció, a (b) kísérletben a kör saját áramának a megváltozása folytán jön létre indukált feszültség, ez az önindukció. Ez a két válfaja van a nyugalmi indukciónak. Mi a nyugalmi indukció mennyiségi törvénye? A törvény analóg a mozgási indukcióra vonatkozó Faraday-törvénnyel. r dΦ A n Uc = − dt r r d r r A { ∫c E ⋅ ds = − dt ∫A B ⋅ dA Faraday törvénye a nyugalmi indukcióra (integrális alak) c A rögzített, irányított, nyílt felületre vett mágneses fluxus változási gyorsasága ellentetten egyenlő a felület peremvonala menti elektromos feszültséggel. Az egyenlet bal oldala az elektromos térerősség cirkulációja. Az elektrosztatikus mezőt nyugvó töltések hozták létre, ennek indukcióvonalai a pozitív töltéseken erednek és a negatív töltéseken érnek véget. Az indukált elektromos mezőt nem töltések keltik (hanem az időben változó mágneses tér), ezért ennek indukcióvonalai sehol nem kezdődnek és nem is érnek véget. r r r r {w ⋅ ds = rotwdA : Stokes integrál átalakítási tétele ∫ ∫ c

A

Mivel az A felület rögzített, Faraday törvényében a felületi integrálás és az idő szerinti deriválás sorrendje felcserélhető. r r d r r ∂B r B ⋅ dA = ∫ ⋅ dA / alkalmazzuk Stokes tételét az E elektromos vektormezőre ∫ dt A ∂t r r A r r {E ⋅ ds = rotE ⋅ dA ∫ ∫ c

A

r r r ⎛ ∂B ⎞ r ∫A rotE ⋅ dA = ∫A ⎜⎜⎝ − ∂t ⎟⎟⎠ ⋅ dA

/ ez bármely A felületre igaz, ezért az integrandusoknak meg kell egyezniük: r r ∂B rotE = − lokális alak ∂t

49

Lenz-szabály a nyugalmi indukcióra(balkézszabály): ha bal kezünk hüvelykujját a mágneses mező változási gyorsaságának irányába állítjuk be, akkor a behajlított ujjaink mutatják az indukált elektromos r ∂B mező erővonalainak az irányát. ∂t

r E

elektromos erővonalak mágneses indukcióvonalak

Lineáris áramkörök induktivitásai

Van n számú rögzített, vonalas vezetőből készült áramhurok. Feltesszük, hogy a lineáris mágneses r anyagegyenlet érvényes, emiatt áll a szuperpozíció törvénye a B mágneses indukcióra. r n

Ai

Ik

Ii r r Φ i = ∫ B ⋅ dAi

k, i = 1, 2, …, n Φ i - az i-edik kör által közrefogott fluxus

r r n r / Bk : az Ik áram gerjesztette mágneses mezőben az indukció, B = ∑ Bk k =1

Ai

Φi =

n r r B ⋅ d A = ∫∑ k i ∑ n

Ai k =1

k =1

r r B ⋅ d A ∫ k i

/ Φ ik : a k-adik áram gerjesztette mágneses mezőben az i-edik

Ai

kör által körbefogott mágneses fluxus

1 424 3 Φ ik

r Bk ∝ I k ⇒ Φ ik ∝ I k : Φ ik = Lik I k , az Lik mennyiségeket induktivitásoknak hívjuk, Lik= Lki . i ≠ k : Lik kölcsönös indukciós együttható, i = k : Lii önindukciós együttható. n

Φ i = ∑ Lik I k , k =1

[L] = [Φ ] = 1Vs = 1Ωs = 1 henry (H) [I ] A

Szolenoid önindukciós együtthatója l

I l B = µ0 H

Belsejében: H = N

N

A légmagos

Menetfluxus: Φ n = BA = µ 0 N

A I l

Mivel a tekercsen kívül a mágneses tér igen gyenge, a kör fluxusa gyakorlatilag a szolenoid fluxusával egyezik meg. A Tekercsfluxus: Φ = NΦ n = µ 0 N 2 I l A Φ L = = µ0 N 2 I l Mivel L arányos N2 –tel, egy szolenoid induktivitása akár több milliószor akkora lehet, mint egy vezetőhuroké. Ezért ha egy vezetőkörben tekercs van, a kör induktivitása gyakorlatilag a tekercsével vehető egyenlőnek. 50

Az általánosított hurokegyenletek

Ui = −

dΦ i , ahol dt

U i : az i-edik vezetőkör elektromos feszültsége Φ i : az i-edik áramkör által körülfogott mágneses fluxus

Ri

I

Qi

Ci Ri – a kör teljes ohmos ellenállása Ci – a kör teljes kapacitása Qi – annak a lemeznek a töltése, amelyre az áram nyila mutat

U i*

Ai Qi − U i* ⎫ Ci ⎪ ⎬ n dΦ i ⎪ = ∑ Lik I&k ⎭ dt k =1

U i = Ri I i +

Ri I i +

ci

n Qi − U i* = − ∑ Lik I&k Ci k =1

→

n

∑L k =1

1 I& + Ri I i + Qi = U i* , i=1,2,…n Ci

ik k

A kondenzátor lemezére dt idő alatt Ii dt töltés áramlik rá, ennyivel változik a kondenzátor töltése.

I i dt = dQi , dQi Ii = = Q& i . dt Az általános hurokegyenletek a Qi töltésekre nézve inhomogén, lineáris, másodrendű, szimultán egyenletrendszert képeznek állandó együtthatókkal. Eszerint a megoldáshoz 2n számú kezdeti feltétel ismerete kell, például megadjuk, a t=0 pillanatban az összes áramot és az összes töltést. Ideális tekercs drótja mentén a feszültség 0 (nincs ohmos ellenállása). A mágneses energia Legyen n=1, azaz egy hurok van.

L

R

LI& + RI +

C

Q = U* C

/ ⋅ I = Q&

1 & QQ = U * I C d ⎛ I2 ⎞ d ⎛ Q2 ⎞ ⎟ = U*I ⎜⎜ L ⎟⎟ + RI 2 + ⎜⎜ dt ⎝ 2 ⎠ dt ⎝ 2C ⎟⎠

I

LII& + RI 2 +

U*

A jobb oldalon a telep teljesítménye áll, a bal oldal 2. tagja az elektromos teljesítmény a fogyasztón, a 3. tag pedig az elektromos energia változási gyorsasága. A kör árama mágneses mezőt gerjeszt, természetesen e mezőnek is van energiája, mely az áram változásával változik. Az első tag szükségképpen a kör mágneses energiájának változási gyorsasága. A telep munkája 1. a fogyasztón elektromos munkavégzésre, 2. a kondenzátor elektromos energiájának megváltoztatására, 3. a tekercs mágneses energiájának megváltoztatására fordítódik. Wm =

1 2 1 LI = ΦI 2 2 51

Szolenoid esetén: Hl 1 1 NBA = BH { Al 2 N 2 V W 1r r A mágneses energiasűrűség a tekercsben: wm = m = B ⋅ H , ez az összefüggés a mágneses energia2 V sűrűség általános formulája, akkor is igaz tehát, ha a mágneses mezőt nem szolenoid árama gerjesztette. Φ = NBA , I =

Hl N

Wm =

→

Egy tranziens (átmeneti) jelenség

I

R

R

I

L

L A

U0

U0

I2

I1 R

R

R

R

t>0

t 0 félteret homogén, nem ferromágneses vezető tölti ki, az x < 0 félteret szigetelő. A vezetőben, a z tengellyel párhuzamosan váltakozó áram folyik, körfrekvenciája ω . Hogyan változik az áramsűrűség a hely és idő függvényében? y

γ

µ0

r j = (0,0, jz ) j z = j z ( x, t )

r j

O

x

∂ 2 j z ∂j z ν 2 = ∂x ∂t

jz -t komplex alakban keressük, s e mennyiség valós része adja a keresett áramsűrűséget.

jz = J ( x )eiω t → próbafüggvény

∂ jz dJ iω t = e dx ∂x ∂ 2 j z d 2 J iω t = 2 e dx ∂x 2

57

∂ jz = iω J e i ω t ∂t d 2J ν 2 = iω J dx

J = J 0e

d 2J dJ rx → = rJ 0e , = r 2 J 0e r x = r 2 J 2 dx dx

rx

Im

ν r = iω 2

r2 =

ω iπ 2 ω iπ 4 ω (1 + i ) = ± 1 (1 + i ) , e → r1, 2 = ± e =± ν ν δ 2ν x

e

r1 x

i

x

= e δ e δ , ha x → ∞ : e

r1 x

jel .

δ =

→∞

e

−

x

=e e δ

−

−

x

J = J 0e δ e −

ω

[m]

4

1 45° 1 2

e r1 x nem szerepelhet az áramsűrűség kifejezésében. r2 x

2ν

e iπ

Re

ix

δ

−

ix

δ

x i⎛ ω t − x ⎞ ⎜ ⎟ δ⎠

jz = J 0e δ e ⎝

→

x⎞ ⎛ jz = J 0e − x δ cos⎜ ω t − ⎟ 123 ⎝ δ⎠ J max

Tehát az áramsűrűséget olyan ω körfrekvenciájú rezgés írja le egy adott helyen, melynek amplitúdója, J max és fáziskésése, x δ függ a helytől. Behatolási mélység ( δ ) : az a távolság, amelyen – x irányban haladva – az áramsűrűség amplitúdója e-ad részére csökken. Jmax J0

J0 e

δ Jó vezető:

γ ~ 107 Ωm , µ 0 ~ 10−6 Vs / Am 1 m ~ 0,1 2 7 10 ⋅ 10 s ω ~ 100kHz

ν~ Legyen:

x

δ~

−6

10−1 ~ 1mm 105

Tehát az ilyen nagy frekvenciájú áram a jó vezetőnek mindössze néhány milliméter vastag felületi rétegében központosul, ez a szkineffektus. A nagy frekvenciájú áramot hordozó vezető nem tömör henger, hanem vékony cső, annál vékonyabb, minél jobb a vezető, és minél nagyobb a frekvencia.

58

Az Ampère–Maxwell - féle gerjesztési törvény

emlék:

r ∂ρ + divJ = 0 ∂t r r r J = ρv + j r r rotH = J r r div rot H = div J 1 424 3

töltésmegmaradás

Ampère-törvény

/ div

0

Stacionárius esetben ez összhangban áll a töltésmegmaradással, de instacionárius esetben ellentmond neki. Tehát az Ampère-törvény instacionárius esetben nem lehet jó, kiegészítésre szorul. JAMES CLERK MAXWELL (1831-1879, skót fizikus) r divD = ρ

(

∂ ∂t

)

r ∂ρ ∂ divD = ∂t ∂t

/ a divergenciaképzés (helykoordináták szerinti deriválás) és az idő szerinti deriválás sorrendje felcserélhető

r ⎛ ∂D ⎞ ∂ρ ⎟= div⎜⎜ ⎟ ⎝ ∂t ⎠ ∂t

r ⎛ ∂D r ⎞ töltésmegmaradás: div⎜⎜ + J ⎟⎟ = 0 ∂ t ⎝ ⎠

r ∂D taggal, akkor a jobb oldal is divergenciaHa tehát a gerjesztési törvény jobb oldalát kiegészítjük a ∂t mentessé válik, és így az ellentmondás feloldódik. r r r ∂D rotH = J + Ampère–Maxwell - féle gerjesztési törvény, lokális alak ∂t

r ∂D : eltolási áramsűrűség ∂t

Az eltolási áram a szó eredeti értelmében nem áram, hiszen általában nem kapcsolódik rendezett töltésmozgáshoz. Mágneses teret azonban éppúgy gerjeszt, mint a valóságos áram. Az Ampère–Maxwell - féle eltolási áramsűrűség arra mutat rá, hogy mágneses mezőt az időben változó elektromos mező is gerjeszthet, nem csak áramok vagy permenens mágnesek. Ez a jelenség a Faradayféle indukció szimmetrikus párja. Időben változó mágneses mező elektromos mezőt indukál, (Faraday). Időben változó elektromos mező mágneses mezőt gerjeszt, (Maxwell).

r ∂D ∂t

–

r r ∂B Emlék: rotE = − ∂t

r H +

Anti-Lenz szabály: ha jobb kezünk hüvelykujját az elektromos mező változási gyorsaságának irányába nyújtjuk ki, akkor behajlított ujjaink mutatják a gerjesztett mágneses mező erővonalainak irányát.

I 59

Integráljuk a lokális alakot egy irányított, rögzített, nyílt A felületre: r n

r r r r r ∂D r ∫A rotHdA = ∫A JdA + ∫A ∂t dA 123

A

IA

c r r r r Stokes: ∫ rotH dA = ∫{Hds A

c

Mivel A rögzített, a rá vonatkozó felületi integrálás és az idő szerinti deriválás sorrendje felcserélhető. r ∂D r d r r ∫ ∂t dA = dt ∫A DdA 123 ΨA

r r

∫{Hds = I c

KC = I A +

A

+

d r r DdA Ampère–Maxwell - féle gerjesztési törvény, integrális alak dt ∫A

dΨA dt

Az Ampère–Maxwell - féle gerjesztési törvény szavakban: Irányított, rögzített, zárt felületre az elektromos áramerősségnek és az elektromos fluxus változási gyorsaságának az összege egyenlő a felület peremvonalára számított mágneses körfeszültséggel.

r r r r D ∂ ⎧ fő- ⎪ rotH = j + ρv + ∂t r egyenletek ⎨ r B ∂ ⎪ rotE = − Maxwell-egyenletek, az elektromágnesség axiómái ⎩ dt r kiegészítő ⎧ divD = ρ r egyenletek ⎨ ⎩ divB = 0

60

11. előadás A vezetési és az eltolási áramsűrűség aránya jó vezetőben

r r j = γE

γ ~ 107 Ωm ,

/ j: vezetési áramsűrűség r r ∂D / az elektromos mező változási gyorsasága, eltolási áramsűrűség j* = ∂t r r r r ∂E 1 , D = ε 0 E → j* = ε 0 ε0 = ∂t 4π k j0 r } r ⎧ → j = γE0 i sin ωt , ω = 2πf r r ⎪ r r ω fE0 r E = E0i sin ωt ⎨ → j* = E0i cos ωt = i cos ωt ⎪ 4 π k 2 k { ⎩ * j0

j0 2kγ 1010 ⋅ 107 1017 ( Hz ) = ~ = j0* f f f ( Hz ) Az előző előadáson tárgyalt szkineffektus 105 Hz nagyságrendű frekvenciáján tehát a vezetési áramsűrűség amplitúdója 12 nagyságrenddel nagyobb az eltolásiénál. Az eltolási áramsűrűség nem hanyagolható el: a.) szigetelőkben, ott ugyanis nincs vezetési áram, b.) ha az elektromos mező frekvenciája eléri vagy meghaladja az ultraibolya frekvenciatartományt ( ~ 1015 Hz )

Ha például egy fém alkatrészt ipari röntgensugárzással vizsgálnak, már az eltolási áramsűrűség a nagyobb. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

A közeg: r r - töltetlen szigetelő ( ρ = 0, j = 0, µ = µ 0 ), - az anyag homogén – elektromos permittivitása nem függ a helytől, izotrop - irányfüggetlen, követi a r r lineáris anyagegyenletet ( D = εE , ε nem függ a helytől), - ε az időtől sem függ. Maxwell I.:

r r ∂E rotB = µ 0ε r∂t r ∂B rotE = − ∂t

r Maxwell III.: divE = 0

r Maxwell IV.: divB = 0 r r r ∂B ∂ = − rotB A Maxwell II. egyenletnek vesszük a rotációját: rot rotE = − rot ∂t ∂t r 2 r r ∂ E A rotB helyére az I. egyenletet írjuk: rot rotE = −εµ 0 2 ∂t r r r 2 ∇ × ∇ × E = ∇{ ∇E − ∇ E r divE = 0 r r ∂ 2 E elektromos hullámegyenlet, homogén, lineáris, 2 ∇ E = εµ 0 2 másodrendű vektori differenciálegyenlet ∂t

Maxwell II.:

(

(

)

) ( )

61

r r r ⎛ ∂E ⎞ ∂ ⎟ = εµ 0 A Maxwell I. egyenletnek vesszük a rotációját: rot rotB = rot ⎜⎜ µ 0ε rot E ∂t ⎟⎠ ∂t ⎝ r r r ∂2B A rotE helyére az II. egyenletet írjuk: rot rotB = −εµ 0 2 ∂t r r r 2 ∇ × ∇ × B = ∇{ ∇B − ∇ B

(

(

)

) ( ) r divB = 0

r r ∂2B ∇ B = εµ 0 2 ∂t 2

mágneses hullámegyenlet

∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ⎫ + + = εµ 0 2 ⎪ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t ⎪ 2 2 2 ∂ Ey ∂ Ey ∂ Ey ∂ 2Ey ⎪ + + = εµ 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t 2 ⎪ ⎪ ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez ⎪ + + = εµ 0 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t ⎪ ⎬ 6 differenciálegyenlet 2 2 2 ∂ Bx ∂ Bx ∂ Bx ∂ 2 Bx ⎪ + + = εµ 0 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t ⎪ 2 2 2 ∂ By ∂ By ∂ By ∂ 2 By ⎪ ⎪ εµ + + = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t 2 ⎪ ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz ⎪ εµ + + = ⎪ 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t 2 ⎭

Hullámról akkor beszélünk, ha a fizikai állapotváltozás a térben tovaterjed (homogén közegben a terjedés állandó sebességgel zajlik). Az elektromágneses hullám vákuumban is terjed.

A vákuum nem azt jelenti, hogy a térben nincs semmi, csak azt, hogy ott kémiai anyag nincs (mezőanyag viszont van). Hullámfelület (fázisfelület)

Az a nem materiális (geometriai) felület, amely mentén a fizikai állapotot leíró mennyiségek értéke állandó. Ez a felület önmagára merőlegesen mozog, mozgásának sebességét nevezzük a hullám terjedési sebességének. A hullámok egy lehetséges osztályozása a fázisfelületek alakjai szerint történik. Van például sík- (térben terjed, a fázisfelület sík!), gömb-, hengerhullám. Síkhullám r r n⋅n =1

Ex Ex

[v(t − t0 ) ⋅ nr − rr ] ⋅ nr = 0

v(t − t0 ) r n

×

r r v(t − t0 )n − r r r

t > t0

O

t0 62

r r vt − vt0 = n ⋅ r r r n x + n y y + nz z n⋅r t0 = t − =t− x v v t0 : az az időpont, amikor a kiválasztott fázisfelület éppen átmegy az origón r n : a fázisfelület normális egységvektora, a terjedés irányába mutat v : terjedési sebesség, v = const. t0 a helykoordináták és az idő homogén lineáris függvénye

Bármely t0 időértékhez tartozik egy és csakis egy E x , tudniillik az, amely a t0 időpillanatban az O-n áthaladó fázisfelület mentén érvényes. Így tehát függvénykapcsolat áll fenn t0 és E x között: r r ⎛ n⋅r ⎞ E x = f (t0 ) = f ⎜ t − ⎟ v ⎠ ⎝ Bebizonyítjuk, hogy a síkhullámot leíró függvény kielégíti az elektromágneses hullámegyenletet, ha f legalább kétszer deriválható t0 szerint, és a v konstans értékét alkalmasan választjuk meg. n ∂Ex df ∂t0 = ⋅ =− x v ∂x dt0 ∂x 2 ∂ 2 Ex n y d 2 f = , v 2 d 2t02 ∂y 2

n d 2 f ∂t n2 d 2 f ∂ 2 Ex = − x ⋅ 2 ⋅ 0 = x2 2 2 , v dt0 ∂x v d t0 ∂x ∂Ex df ∂t0 = , ∂t dt0 { ∂t

∂ 2 Ex nz2 d 2 f = 2 22 v d t0 ∂z 2

∂ 2 Ex d 2 f = 2 dt0 ∂t 2

1

1 647 48 2 2 2 2 d f nx + n y + n z d2 f = εµ 0 dt0 v2 dt02

v=

1

εµ 0

Speciális eset: vákuumbeli síkhullám terjedési sebessége c=

1

ε 0 µ0

=

1

= 9 ⋅ 1016 = 3 ⋅ 108

1 ⋅ 4π ⋅ 10− 7 4π ⋅ 9 ⋅ 109

m (fénysebesség vákuumban) s

Ez erős érv amellett, hogy a fény is az elektromágneses hullámok közé tartozik. v=

1

ε ′ ε 0 µ0

=

c

ε′

,

ε ′ = n abszolút törésmutató

Egy anyag abszolút törésmutatója megadja, hányszor lassabban terjed a elektromágneses hullám az illető anyagban, mint vákuumban. Monokromatikus síkhullám

Monokromatikus: egyszínű, egy frekvenciájú. Az f függvény harmonikus függvény (sin, cos). ϕ 6 47 4 8 E x = Ex 0 cos(ωt0 + δ ) Ex 0 - amplitúdó, konstans δ - fázisállandó, konstans ω - körfrekvencia, pozitív állandó, ω = 2π f ϕ - fázis r r n ⎛ n n ⎞ ⎛ n⋅r ⎞ ϕ = ωt0 + δ = ω ⎜ t − + δ ⎟ = ω ⎜⎜ t − x x − y y − z z ⎟⎟ + δ v v v ⎠ v ⎝ ⎠ ⎝

63

A hullám nem rezgés, az időn kívül a helykoordinátáknak is függvénye a fázis. A hullám közeghez kötődik, nem pontszerű testhez. A monokromatikus síkhullám mind térben, mind időben periodikus, ez a hullám valóban rezgés tovaterjedése. 2π

1 ω f Térbeli periódus (hullámhosszúság): λ Időbeli periódus: τ =

=

A hullámhosszúság két olyan fázisfelület távolsága, melyek fáziskülönbsége 2π .

A terjedés irányában haladva a fázis csökken.

λ

r r r r2 = r1 + λn r n r r1

r r ⎛ n ⋅ r2 ⎞ ⎟+δ v ⎠ ⎝ r r ⎛ n ⋅ r1 ⎞ ϕ1 = ω ⎜ t − ⎟+δ v ⎠ ⎝

r r2

ϕ 2 = ϕ1 − 2π

O×

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭ II-I

ϕ2 = ω ⎜ t −

2π =

ϕ1

r r

r

ωn ⋅ (r2 − r1 ) ωλ v

=

λ=

v v f

A körfrekvencia mintájára szokás bevezetni a hullámszámot: megadja a 2π hosszegységre jutó hullámok számát. Skalár hullámszám: k =

2π

λ

r 2π r ω r hullámszámvektor: k = n= n λ v

,

r r

ϕ = ωt − k ⋅ r + δ ⎧ r r ⎪ E = E0 cos ϕ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ r r ⎪ B = B0 cos ϕ ⎨ ⎪ ⎩

64

Ex Ey Ez Bx By Bz

= Ex 0 cos ϕ = E y 0 cos ϕ = Ez 0 cos ϕ = Bx 0 cos ϕ = By 0 cos ϕ = Bz 0 cos ϕ

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

r r

ϕ = ωt − k ⋅ r + δ ←

a monokromatikus, elektromágneses síkhullám leíró függvényei

HULLÁMJELENSÉGEK I. A hullám két közeg határán: visszaverődés és törés m (beesési merőleges) beeső hullám

r n

α v1

(1)

v2

(2)

α : beesési szög β : törési szög γ : visszaverődési szög

r visszavert hullám n1

γ

megtört hullám

α = γ : a beesési és a visszaverődési szög

r n2

β

egyenlő

r r r Az n és m meghatározta síkkal n1 és n2 vektor is párhuzamos. A hullám frekvenciája sem visszaverődéskor, sem töréskor nem változik meg! Következésképpen visszaverődéskor a hullámhossz változatlan marad, ám töréskor megváltozik.

v1 f v2 λ2 = f

λ1 =

c ⎫ ⎪ λ1 v1 n1 n2 = = = = n21 - relatív törésmutató (a 2-es közegnek az 1-esre vonatkozó) ⎬ c n1 ⎪ λ2 v2 ⎭ n2

1 – ahonnan jön ⎫ a fény 2 – ahová megy ⎬⎭ Két közeg közül azt nevezzük optikailag sűrűbbnek, amelyiknek nagyobb az abszolút törésmutatója. Ha a hullám optikailag sűrűbb közegről verődik vissza, akkor π fázisugrást szenved. Optikailag ritkább közegről való visszaverődéskor, illetőleg töréskor fázisugrás nincs. a beeső hullám egy fázisfelületének egy darabja a t1 pillanatban

B1

t1

v1 (t2 − t1 )

α (1)

A1

α

(2)

B2

t2

A2 v1 (t2 − t1 ) ⎫ A1B2 ⎪⎪ v (t − t ) ⎬ sin β = 2 2 1 ⎪ A1B2 ⎪⎭

sin α =

β

β v2 (t2 − t1 )

sin α v1 n2 = = = n21 sin β v2 n1

t2 : az a pillanat, amikor a fázisfelület B1 pontja a közeghatárra ér.

ugyanaz a fázisfelületdarab a t2 pillanatban

Snellius-Descartes – féle törési törvény (XVII. sz)

WILLEBORD VAN ROIJEN SNELL (SNELLIUS) (1580-1626, holland matematikus, csillagász) RENÉ DESCARTES (1596-1650, francia filozófus, matematikus és csillagász) 65

a.) n2 > n1 optikailag ritkábból sűrűbbe

b.) n1 > n2 optikailag sűrűbből ritkábba

α>β

α 0 : gyűjtőlencse, valóságos fókusz, f < 0 : szórólencse, virtuális fókusz. 1 1 1 + = távolságtörvény t k f k > 0 valós kép, k < 0 virtuális kép. Nevezetes sugármenetek

b.) szórólencse

a.) gyűjtőlencse (1)

(2)

(1)

(3) F2

68

O

F1

(2)

F2

O

(3)

F1

a.) A törési törvényben α -t és β -t illetve n1-et és n2-t egymással felcserélve változatlan alakot nyerünk, ezért a fénysugár iránya megfordítható. Mivel a lencse közepénél ϕ = 0 , ezért a lencse közepe felé tartó sugarak irányváltozást nem szenvednek. b.) A párhuzamosan beeső sugár olyan irányban lép ki, hogy tartóegyenese átmegy az előoldali fókuszon. Az olyan sugár, amely a túloldali fókusz irányában esik be, a tengellyel párhuzamosan lép ki. Lineáris nagyítás T

F1

O

F2

K

f f t

k

K k k− f N= = = T t f a ritkán vonalkázott háromszögek hasonlóságából a sűrűn vonalkázott háromszögek hasonlóak, így a megfelelő oldalak aránya megegyezik K < 0, N < 0: virtuális kép, kicsinyített képről akkor beszélünk, ha N < 1 . Lencsék alkalmazása 1) Kézi nagyító (LUPE)

Gyűjtőlencse, nagyított virtuális képet alkot. c

K F2

F1

T

O t f

− (s − c ) k− f k = −1 = −1 f f f s−c +1 N = f

N=

f

k = −k

s

Tiszta látás távolsága: az a szemünktől mért távolság, amelyben élesen látunk. s (a tiszta látás távolsága) ~20-30cm ép szemnél c = 0 : N = N max = D=

s +1 f

1 : dioptria f [m]

69

2) Mikroszkóp

Két közös optikai tengelyű gyűjtőlencséből áll. A tárgyhoz közelebbi lencsét tárgylencsének, más szóval objektívnek nevezzük. A megfigyelő szeméhez közelebbit szemlencsének, más szóval okulárnak nevezzük. Az objektív a tárgyról nagyított valós képet alkot, ezt nézzük az okulárral, mint kézi nagyítóval. okulár

objektív

f2

f2

d >1 ⎠ d: optikai tubushossz, d ≅ k1 − f1

P S

n = n( f )

ultraibolya

K

színkép (spektrum)

infravörös

II. DISZPERZIÓ

K104 Hz 104 K1011 Hz 1011 K1014 Hz 4 ⋅ 1014 K8 ⋅ 1014 Hz 1015 K1017 Hz 1017 K10 20 Hz 10 20 Hz K

váltakozó áram rádióhullámok infravörös látható fény ultraibolya röntgensugarak γ -sugárzás

A prizmára keskeny, párhuzamos nyalábban fehér fényt bocsátunk, a nyaláb már az első töréskor legyezőszerűen szétnyílik (a 2. törés ezt még csak fokozza), és a legyezőben egymásba folyamatosan átmenő színek láthatók. A fehér fény nem monokromatikus, benne különböző frekvenciájú hullámok folytonos sokasága terjed tova. A prizma tehát a különböző frekvenciájú hullámokat különböző mértékben töri meg, azaz az abszolút törésmutató függ a hullám frekvenciájától, ezt a jelenséget diszperziónak vagy színszórásnak nevezzük. Mi az oka a törésmutató frekvenciafüggésének? n = ε′

70

(

)

P = κε 0 E = (ε ′ − 1)ε 0 E = n 2 − 1 ε 0 E az elektromos polarizációvektor abszolút értéke

A szigetelőanyag molekuláiban az elektronok a hullám szinuszosan váltakozó elektromos mezőjének hatására gerjesztett rezgéseket végeznek. A gerjesztett rezgés amplitúdója függ a gerjesztő frekvenciától. Ha tehát a hullám frekvenciája megváltozik, megváltozik a molekula (+) és (-) töltésközéppontja közötti távolság maximuma, vagyis megváltozik a molekula dipólusnyomatéka, ezzel együtt a polarizációvektor s vele a törésmutató. Ha a hullám frekvenciája közel jár a molekula, mint oszcillátor valamelyik sajátfrekvenciájához, akkor a törésmutató nagy értéket vesz fel. Ha a hullám frekvenciája sokkal kisebb, mint a szigetelőmolekula legkisebb sajátfrekvenciája, akkor a sztatikában megismert ε ′ -vel számíthatjuk a törésmutatót. Ha viszont a frekvenciája sokkal nagyobb a molekula legnagyobb sajátfrekvenciájától, akkor a törésmutató gyakorlatilag 1. Longitudinális és transzverzális hullámok

Ha a fizikai állapotot leíró vektor a hullám terjedési irányával párhuzamos, akkor longitudinális, ha a leíró vektor a terjedési irányra merőleges, akkor transzverzális hullámról beszélünk. Pl.: a gázban terjedő hanghullámok tiszta longitudinális hullámok. Milyen fajta hullám a szigetelőben terjedő elektromágneses hullám? r r r r r r emlék: E = E0 cos ϕ , B = B0 cos ϕ , E0 , B0 = állandó, r divE = 0 Gauss törvénye: r ∇ ⋅ E0 cos ϕ = 0 r r E0 ⋅ ∇ (cos ϕ ) = E0 ⋅ grad (cos ϕ ) = 0

(

ϕ = ωt −

ω v

(n x + n y + n z ) x

y

z

)

∂ (cos ϕ ) d (cos ϕ ) ∂ϕ ⎛ ω ⎞ ω = ⋅ = − sin ϕ ⋅ ⎜ − nx ⎟ = nx sin ϕ , ∂x dϕ ∂x ⎝ v ⎠ v ∂ (cos ϕ ) ω ∂ (cos ϕ ) ω = n y sin ϕ , = n y sin ϕ ∂y v ∂y v

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

grad (cos ϕ ) =

ωr v

n sin ϕ

r r r rω r r E0 ⊥ n E0 ⋅ n sin ϕ = 0 → E0 ⋅ n = 0 v r r r r Mágneses Gauss törvény: B0 ⋅ n = 0 → B0 ⊥ n

Mindkét leíró vektor merőleges a terjedés irányára, tehát a hullám transzverzális. r A most vizsgált elektromos hullámban a terjedésre merőleges irányok között is van kitüntetett: E0 iránya. r Adott helyen a térerősségvektor végpontja egy egyenesszakasz mentén rezeg, melynek iránya E0 -éval r párhuzamos, a rezgési amplitúdó E0 .

Az ilyen hullámot lineárisan poláros hullámnak nevezzük. Tapasztalat szerint a természetes fény nem ilyen: benne a terjedésre merőleges irányok mind egyenértékűek.

71

13.előadás Elliptikusan poláros hullám r r E = E0 cos ϕ ,

r r

ϕ = ωt − k ⋅ r + δ : lineárisan poláros

Hogyan lehet leírni olyan monokromatikus elektromos síkhullámot, amelyben a terjedési irányra merőleges minden irányban történik rezgés? - Szuperponálunk két egyirányban terjedő, azonos frekvenciájú síkhullámot, melyekben a rezgési amplitúdók egymásra merőlegesek. r r r r n = ez → n ⋅ r = z

r r ω ⎞ ⎛ Ex = Ex 0ex cos⎜ ωt − z ⎟ ⎝142v43⎠ ϕ

Az időmérés kezdetének alkalmas megválasztásával az egyik összetevő hullám fázisállandója 0-vá tehető.

r r ω ⎛ ⎞ E y = E y 0e y cos⎜ ωt − z + δ ⎟ v 2 ⎝ ⎠ ⎛ Ex ⎞ Ex r r r ⎟ → sin ϕ = ± 1 − ⎜⎜ → cos ϕ = ⎧ Ex = Ex 0 cos ϕ Ex 0 Ex 0 ⎟⎠ E = Ex + E y → ⎨ ⎝ ⎩ E y = E y 0 cos(ϕ + δ ) Ey Ey0

2

⎛ E ⎞ E = cos ϕ cos δ − sin ϕ sin δ = x cos δ m 1 − ⎜⎜ x ⎟⎟ sin δ Ex 0 ⎝ Ex 0 ⎠

⎡ ⎛ E ⎞2 ⎤ ⎛ E E ⎞ ⎢1 − ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎥ sin 2 δ = ⎜ x cos δ − y ⎟ ⎜E E y 0 ⎟⎠ ⎢⎣ ⎝ Ex 0 ⎠ ⎥⎦ ⎝ x0 2

2

2

⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞ E E sin δ = ⎜⎜ x ⎟⎟ sin 2 δ + ⎜⎜ x ⎟⎟ cos 2 δ − 2 x y cos δ + ⎜ y ⎟ ⎜E ⎟ Ex 0 ⎠ Ex 0 E y 0 x0 ⎠ ⎝1E4 ⎝ y0 ⎠ 44442⎝44 444 3

2

2

⎛ Ex ⎞ ⎜⎜ E ⎟⎟ ⎝ x0 ⎠

2

A kifejezés másodfokú függvényt ír le, ennek képe kúpszelet, mivel azonban teljes egészében a végesben fekszik, csak ellipszis lehet, vagy annak elfajulása (kör, egyenesszaksz). A lineáris tagok hiánya azt mutatja, hogy az ellipszis középpontja az origó. Elliptikusan poláros hullám

Ey

δ =0

elliptikus: a térerősségvektor hegye ellipszist ír le

Ey0

r E -Ex0

Ex0

-Ey0

72

Ex

δ =π

poláros: a terjedési irányra merőleges irányok nem egyenértékűek

Speciális esetek:

δ = 0 vagy π 2

2

⎛ E ⎞ ⎛ Ex ⎞ E E ⎜⎜ ⎟⎟ m 2 x y + ⎜ y ⎟ = 0 Ex 0 E y 0 ⎜⎝ E y 0 ⎟⎠ ⎝ Ex 0 ⎠ 2

⎛ Ex E ⎞ E ⎜ m y ⎟ = 0 → E y = ± x E y 0 , egyenesszakaszok → lineárisan poláros hullám ⎜E ⎟ Ex 0 ⎝ x0 Ey0 ⎠

δ =

π

3π ⎫ ⎪ 2⎬ = E0 ⎪⎭

vagy

2 Ex0 = E y 0

2

2

⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 , kör → cirkuláris hullám ⎝ E0 ⎠ ⎝ E0 ⎠

III. POLARIZÁCIÓ A polarizáció az az eljárás, amellyel a cirkuláris vagy elliptikusan poláros hullámból lineárisan poláros hullámot állítunk elő.

Polarizáció kizárólag transzverzális hullámmal végezhető!!! Polarizációkor ugyanis a terjedésre merőleges irányokból egyet kitüntetünk. Mivel longitudinális hullámban a terjedésre merőlegesen nincs is rezgés, a semmiből nem lehet egyet kiválasztani. Elektromágneses hullám polarizálására számos eljárás ismeretes. Az egyik lehetőség, hogy a hullámot alkalmas szögben két közeg határfelületére ejtjük be, s ekkor a visszavert hullám lineárisan poláros lesz. Az alkalmas beesési szöget a polarizáció szögének nevezzük, és α p –vel fogjuk jelölni. Brewster törvénye

Sir DAVID BREWSTER (1781-1868, skót fizikus) y

n1 = ε1′

n2 = ε 2′

x r e1

r k1 r k

r k2

α α

O

β

r e2

z

r e

Az xy sík két közeg határfelülete, az xz síkot a beesési merőleges (z) és a beeső hullám terjedési iránya r k feszíti ki.

( )

73

r k : a beeső hullám hullámszámvektora r k1 : a visszavert hullám hullámszámvektora r k 2 : a megtört hullám hullámszámvektora r r r r A hullámokban (beeső, visszavert, megtört) van rezgés e , illetve e1 , e2 és e y irányban is, ha azonban a r beesési szöget jól választjuk meg, akkor a visszavert hullámban e1 irányú rezgés nincs, vagyis ez a hullám r már lineárisan poláros, a rezgés iránya e y . x r r r r r k k1 r e , e1 , e2 : egységvektorok r α e1 k2 r r r e = − cosα ⋅ ex + sin α ⋅ ez β α α z r r r e1 = cosα ⋅ ex + sin α ⋅ ez α r r r r e e2 = − cos β ⋅ ex + sin β ⋅ ez r β e2

(

)

r r r r E = Ee cos ωt − k ⋅ r r r r r E1 = E1e1 cos ωt − k1 ⋅ r r r r r E2 = E2e2 cos ωt − k2 ⋅ r

( (

)

r : a beeső hullám e irányú komponense r : a visszavert hullám e1 irányú komponense r : a megtört hullám e2 irányú komponense

)

n ε′ sin α = n21 = 2 = 2 , n1 sin β ε1′

sin β =

sin α n21

r r A z < 0 féltérben a beeső és a visszavert hullám szuperponálódik, ott tehát a térerősség E + E1 , a z > 0 r féltérben csak a tört hullám van jelen, ott a térerő tehát E2 .

Az elektromos térerősség tangenciális összetevője – itt az x irányú összetevőt jelenti – a közeghatáron ugrást nem szenved. Az elektromos indukcióvektor normális összetevője – itt a z irányú komponens – a határfelületen ugrást nem szenved, mert nincs felületi töltés. peremfeltételek:

() ()

() ()

() ()

r r r E x 0 + E1x 0 = E2 x 0 r r r , Dz 0 + D1z 0 = D2 z 0

r r D = ε ′ε 0 E

− E cosα cos(ωt ) + E1 cosα cos(ωt ) = − E2 cos β cos(ωt )

→ E2 = (E − E1 )

cosα cos β

2 1 / n 21

ε1′ε 0 E sin α cos(ωt ) + ε1′ε 0 E1 sin α cos(ωt ) = ε 2′ε 0 E2 sin β cos(ωt )

(E − E1 ) cosα

cos β

=

(E + E1 ) n21

n21 (E − E1 )cosα = (E + E1 )cos β

74

n 21 67 8 } ′ ε sin α → E2 = 1 (E + E1 ) ε 2′ sin β

→

E1 =

n21 cosα − cos β E n21 cosα + cos β

Ha lineárisan poláros a visszavert hullám, akkor a jobb oldali tört számlálója eltűnik: n21 cosα p = cos β p

/2

n cos α p = cos β p = 1 − sin β p = 1 − 2 21

2

2

2

2 n21 = 1 + tg 2α p −

2 n21 −1 =

sin 2 α p

/ : cos 2 α p

2 21

n

tg α p 2

2 n21

2 n21 −1 2 tg α p 2 n21

2 / : n21 −1

tgα p = n21 Brewster törvénye Összefüggés az elektromos és a mágneses amplitúdó között

r r E = E0 cos ϕ r r B = B0 cos ϕ

ϕ = ωt −

ω v

(n x + n y + n z ) x

y

z

r r ∂B : Faraday törvénye rotE = − ∂t r ∂ r B0 cos ϕ ∇ × E0 cos ϕ = − ∂t r r (∇ cosϕ ) × E0 = − B0 ∂ (cosϕ ) ∂t

(

)

(

)

∂ (cos ϕ ) d (cos ϕ ) ∂ϕ ω = vx sin ϕ = ⋅ ∂x v ∂x ∂ϕ ∂ (cos ϕ ) ω = v y sin ϕ ∂y v ∂ (cos ϕ ) ω = vz sin ϕ ∂z v ∂ (cos ϕ ) d (cos ϕ ) ∂ϕ = ⋅ = −ω sin ϕ ∂t ∂ϕ ∂t

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ r ω ⎬ grad (cos ϕ ) = sin ϕn v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

ω

r r r sin ϕ n × E0 = B0ω sin ϕ v r r r n × E0 B0 = v r E0

r B0

→ B0 =

E0 v

r r r Az elektromos és a mágneses amplitúdók egymásra merőlegesek, E0 , B0 , n a mondott sorrendben jobbhármast alkot. r n

75

Energiaviszonyok a hullámban

1 r r D ⋅ E : elektromos energiasűrűség 2 1 r r wm = B ⋅ H : mágneses energiasűrűség 2 r r 1 we = εE 2 E = E0 cos ϕ 2 r r 1 2 wm = B B = B0 cos ϕ 2µ 0 we =

r r ⎛ n⋅r ⎞ ϕ = ω⎜t − ⎟ v ⎠ ⎝

v=

1

εµ 0

E02 B = B cos ϕ = 2 cos 2 ϕ = εµ 0 E02 cos 2 ϕ v 1 1 wm = εµ 0 E02 cos 2 ϕ = εE 2 = we 2 2µ0 2

2 0

2

A szigetelőben terjedő elektromágneses hullámban az elektromos és a mágneses energiasűrűség egyenlő bármely helyen és időben. B2 2 az elektromágneses energiasűrűség w = we + wm = εE = 2µ0 Poynting-vektor r r r S = E × H : Poynting-vektor

Derítsük ki a Poynting-vektor fizikai jelentését! r S =

r r E×B

µ0

=

r r E0 × B0

µ0

cos 2 ϕ =

(

)

r r cos ϕ r E0 × n × E0 = 43 vµ 0 142 r r r r E 02 n − (E 0 n )E 0 123 2

= =

0

ε 2r E n µ0 r r r 1 ε{ E 2 n = wv{n = wv r εvµ 0 w v

r r v = vn : a hullám fázissebességének vektora

r r emlék: j = ρv tömegsűrűség tömeg-áramsűrűség r S az elektromágneses energia-áramsűrűség, abszolút értéke megadja a hullám terjedési irányára merőleges egységnyi felületen időegység alatt átáramló elektromágneses energiát, iránya megegyezik az energia terjedésének irányával.

A hullám intenzitása ( I ) : a Poynting-vektor abszolút értékének az időátlaga. r I= S =

I =

ε 2 E , µ0

E 2 = E02 cos 2 (ωt + ϕ 0 ) , ϕ 0 : nem függ az időtől

⎤ 1 ε ε 2 ε E02 ⎡ ⎢1 + cos 2(ωt + ϕ 0 ) ⎥ = E0 cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = E2 44 3 ⎥ 2 µ0 0 µ0 µ 0 2 ⎢ 1442 0 ⎣

⎦

Az intenzitás arányos az elektromos amplitúdó négyzetével.

76

IV. INTERFERENCIA

Interferenciajelenségről akkor beszélünk, ha hullámok találkozásakor a hullámtérben – geometriailag szabályos elrendezésben – maximális, illetve minimális intenzitású helyek figyelhetők meg, és ez a mintázat állókép (időben tartósan mozdulatlan). ϕ1 647 r48 r r r E1 = E10 cos ω1t − k1 ⋅ r r r r r E1 = E10 cos ω 2t − k2 ⋅ r + δ 1442443

( (

)

)

ϕ2

⎫ r r ⎪ ⎬ : a két találkozó részhullám, E10 ⋅ E 20 ≥ 0 ez mindig elérhető a δ fázisállandó alkalmas ⎪ ⎭ megválasztásával

r r r az eredő hullám: E = E1 + E2

/2

r r E 2 = E12 + E22 + 2 E10 ⋅ E20 cos ϕ1 cos ϕ 2

I = I1 + I 2 +

/⋅

ε , időátlagot képezünk µ0

ε r r E ⋅ E 2 cosϕ1 cos ϕ 2 µ 0 10 20

14444 4244444 3 (interferenciatag )

I 12

matematika: cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = cos ϕ1 cos ϕ 2 + sin ϕ1 sin ϕ 2 ⎫ ⎬+ cos(ϕ1 + ϕ 2 ) = cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 ⎭

I12 =

[

ε r r E ⋅ E cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + cos(ϕ1 + ϕ 2 ) µ 0 10 20

]

cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + cos(ϕ1 + ϕ 2 ) = 2 cos ϕ1 cos ϕ 2

Interferenciáról akkor beszélünk, ha az I12 interferenciatag nem azonosan nulla. Ebben az esetben az eredő intenzitás nem egyenlő a részintenzitások összegével: annál több is, kevesebb is lehet.

[

(

)

]

=0

]

=

r r r cos(ϕ1 + ϕ 2 ) = cos (ω1 + ω 2 ) t − k1 + k 2 ⋅ r + δ 144 42444 3 nem függ az időtől

[

(

)

r r r cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = cos (ω1 − ω 2 ) t − k1 − k2 ⋅ r − δ 144 42444 3 nem függ az időtől

0, ha ω1 ≠ ω 2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ), ha ω1 = ω 2

A két találkozó hullámot koherensnek nevezzük, ha az interferenciatag 0-tól különböző, tehát a két hullám interferenciaképes. Koherenciafeltételek: 1.) a találkozó hullámok frekvenciája egyezzék meg, r r 2.) a két hullám amplitúdóvektora ne legyen egymásra merőleges E10 ⋅ E20 ≠ 0 .

(

)

Maximumhelyek: ott vannak, ahol cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = 1 , vagyis a két hullám fáziskülönbsége ϕ1 − ϕ 2 = 2 mπ , m egész. Minimumhelyek: ott vannak, ahol cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = −1 , vagyis a két hullám fáziskülönbsége: ϕ1 − ϕ 2 = (2m + 1) π .

77

14. előadás

Az interferencia kimutatása egy jelenség hullámtermészetének döntő bizonyítéka. A hullám terjedési irányában s elmozdulást végezve mekkora a fázis változása? (2) s

r n

ϕ1 = ωt −

ωr r

ϕ 2 = ωt −

ωr r

n⋅r

v

v

r n ⋅ (r + sn )

(1)

r r

r r r + sn

vákuumbeli hullámhossz: λ = c f ,

ϕ 2 − ϕ1 = −

ω v

s=−

2π f 2π 2π s=− ns = − σ , optikai út: σ = ns c λ λ n

A két találkozó hullám fáziseltérésének okai: 1.) maguk a hullámforrások nincsenek fázisban, 2.) a forrástól a találkozási helyig a két hullám optikai útja között különbség van, 3.) a hullámok egyike optikailag sűrűbb közegről illetőleg tükörről visszaverődik (ez π fázisugrással jár). A természetes fényre vonatkozó extra koherenciafeltételek

A természetes fény véletlenszerű atomi folyamatokból keletkezik. A hullámforrások (atomok) egymással nincsenek összehangolva. A kibocsátott hullám nem végtelen koszinuszhullám, hanem véges hullámvonulat (hullámimpulzus). Emiatt a természetes fényre két további koherenciafeltétel állítható fel: 3.) A találkozó hullámok fáziskülönbsége időben tartósan állandó legyen. Emiatt két különböző természetes fényforrással interferenciát létrehozni nem lehet (az atomi fényforrások ugyanis nincsenek összehangolva, nagyon gyorsan változik a fáziskülönbség). Természetes fényforrással úgy hozunk létre interferenciát, hogy a kibocsátott hullámot résznyalábokra bontjuk, ezeket különböző utakon vezetjük, majd összehozzuk. 4.) Ha a két találkozó hullám optikai útkülönbsége túl nagy, a találkozási helyre később érkező hullámvonulat már nem tudja átfedni a korábban érkező hullámvonulatot, hiszen az teljesen lefutott. Azt az optikai útkülönbséget, amelynél nagyobb optikai útkülönbség esetén már nincs átfedés (tehát interferencia sem), koherencihossznak (σ k ) nevezzük. Koherenciafeltételek: 1.) f1 = f 2 r r 2.) E10 ⊥ E20 3.) ∆ϕ időben állandó ⎫ ⎬ extra feltételek 4.) ∆σ < σ k ⎭

78

IV.1. Állóhullám

r r n = −i rr nr = − x r r rr n′ = i → n′r = x

y

r E0

ideális vezető

r E0′

r r E=0

r n visszavert

beeső hullám x

r n′ hullám

r r ⎛ ω E1 = E0 j cos⎜ ωt + c ⎝ r r ⎛ ω E1′ = E0′ j cos⎜ ωt − c ⎝

⎞ x ⎟ beeső hullám ⎠ ⎞ x ⎟ visszavert hullám ⎠

r r r r⎡ ⎛ ω ⎞ ω ⎞⎤ ⎛ x > 0 : E = E1 + E1′ = (E0 + E0′ ) j ⎢cos⎜ ωt + x ⎟ + cos⎜ ωt − x ⎟ ⎥ c ⎠ c ⎠⎦ ⎝ ⎣ ⎝ A térerősség a két közeg határfelületéhez viszonyítva tangenciális, tehát a két közeg határán ugrást nem szenved.

⎡ ⎛ ω ⎞ ω ⎞⎤ ⎛ 0 = (E0 + E0′ )⎢cos⎜ ωt + ⋅ 0 ⎟ + cos⎜ ωt − ⋅ 0 ⎟ ⎥ 1424 3⎣ ⎝ c ⎠ c ⎠⎦ ⎝ 0 r r ⎛ ω ⎞ E0′ = − E E1′ = E0 j cos⎜ ωt − x + π ⎟ c ⎝ ⎠ Tehát a visszavert hullám amplitúdója megegyezik a beesőével, de visszaverődéskor π fázisugrás van. r r⎡ ⎛ ω ⎞ ω ⎞⎤ ⎛ E = E0 j ⎢cos⎜ ωt + x ⎟ − cos⎜ ωt − x ⎟ ⎥ = c ⎠ c ⎠⎦ ⎝ ⎣ ⎝ r⎡ ⎛ω ⎞r ⎛ω ⎞ ⎛ω ⎞ ⎛ω ⎞ ⎛ ω ⎞⎤ = E0 j ⎢cos(ωt )cos⎜ x ⎟ − sin (ωt )sin ⎜ x ⎟ − cos(ωt )cos⎜ x ⎟ − sin (ωt )sin ⎜ x ⎟ ⎥ = −2 E0 sin (ωt )sin ⎜ x ⎟ j ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ ⎝ c ⎠⎦ ⎝c ⎠ ⎣

Kiszámítjuk az eredő hullám intenzitását: 1 − cos 2ωt 1 1 1 ωt = , sin 2 ωt = − cos sin 2 ωt = 23 1 2 2 2 2 2 0 I =

ε0 2 ε ε ⎛ω ⎞ ⎛ω ⎞ E = 4 E02 0 sin 2 ⎜ x ⎟ sin 2 ωt = 2 E02 0 sin 2 ⎜ x ⎟ µ0 µ0 µ0 ⎝c ⎠ ⎝c ⎠

Intenzitásmaximum-helyek: I max = 2 E02

ω

ε0 µ0

π

(2m − 1) c 2 π/ 2π/ f c (2m − 1) = λ (2m − 1) x = (2m − 1) → x = 2 4f 4 c x=

ahol m = 1, 2, K

Intenzitásmaximumokat ott észlelünk, ahol az x koordináta a negyed hullámhossz páratlan többszöröse. Ezeket a síkokat duzzadósíkoknak nevezzük. 79

Intenzitásminimum-helyek: I min = 0 2π f λ λ x = lπ → x = l = 2l 2 4 c

ahol l = 0, 1, 2, K

Intenzitásminimumot ott észlelünk, ahol az x koordináta a negyed hullámhossz páros többszöröse, ezeket a síkokat csomósíkoknak nevezzük. I 2 E02

ε0 µ0

λ

λ

4

2

3λ 4

λ

5λ 4

3λ 2

7λ 4

x 2λ

Az állóhullám a beeső és a visszavert hullám interferenciájának az eredménye. IV.2. Interferencia planparalel lemezen

Vízen 50µm vastagságú olajfilm úszik, erre 0,4µm hullámhosszúságú (kékeslila) fény esik. Melyik az a legkisebb beesési szög, amelynél a visszavert sugarak intenzitásminimumot hoznak létre? Az olaj törésmutatója 1,2, a vízé 1,33. n′ = 1,33 n = 1,2 d = 50µm λ = 0,4 µm

D

α α

α

F α

C

A β

d

β β

B

d , AB AD sin α = , 2 AF AF tgβ = d cos β =

β

n n′

A szaggatott és a vastag vonallal jelölt részhullámok között a fáziskülönbség a CD síkig már teljesen kialakul. 2π ϕD = ϕ A + π − AD → λ a fény vákuumbeli hullámhossza

ϕC = ϕ A −

2π

λ

λ

2 ABn + π

A vastag vonallal jelölt részhullám A-ban, a szaggatott vonallal jelölt részhullám B-ben optikailag sűrűbb közegről verődött vissza, tehát π fázisugrást szenvednek. 80

ϕ D − ϕC =

2π

λ

(2nAB − AD )

/ AB =

d , cos β

sin α =n, sin β

AD = 2 AF sin α = 2dtgβ sin α

cos β = 1 −

sin 2 α 1 2 = n − sin 2 α 2 n n

4π d 2π d ⎛ 2n ⎞ sin β ⎜⎜ (n − sin β sin α ) = −2 sin α ⎟⎟ = λ ⎝ cos β cos β ⎠ λ cos β 4π d (n 2 − sin 2 α ) 4π d = = n 2 − sin 2 α 2 2 λ λ n − sin α Intenzitásminimum: l 6 47 4 8 ϕ D − ϕ C = (2m − 1) π m > 0, m ∈ N

ϕ D − ϕC =

4π d

n 2 − sin 2 α l = lπ

λ

2

2

⎛ lλ ⎞ ⎛ lλ ⎞ sin α l = n 2 − ⎜ ⎟ n − sin α l = ⎜ ⎟ , ⎝ 4d ⎠ ⎝ nd ⎠ 4nd 4 ⋅ 1,2 ⋅ 50 lλ = 600 → lmax = 599 -hez tartozik a minimális α →l ≤ = n≥ λ 4d 0,4 2

2

2

sin α min

⎛ 599 ⋅ 0,4 ⎞ = 1,2 − ⎜ ⎟ = 0,06925 → α min = 3,97° ⎝ 4 ⋅ 50 ⎠ 2

IV.3. Diffrakció (a kétréses interferométer)

CHRISTIAAN HUYGENS [hojhensz] (1629-1695, holland fizikus matematikus és csillagász) AUGUSTIN JEAN FRESNEL [frenel] (1788-1827, francia mérnök, fizikus) x ernyő

λ

fémlemez

Huygens-Fresnel – elv: A hullámtér bármely pontja másodlagos hullámforrás, e másodlagos hullámforrásokból kiinduló hullámok interferenciája alakítja ki a megfigyelt intenzitásképet.

x

δ d/2

d

z

I

δ

természetes fényre

δ d x