Dr. Kuczmann Miklós - Jelek és rendszerek

Dr. Kuczmann Mikl´os ´ RENDSZEREK JELEK ES

Dr. Kuczmann Mikl´ os

´ JELEK ES RENDSZEREK

Z ˝ Kht.  Gy˝ UNIVERSITAS-GYOR or, 2005

´ ´ EGYETEM SZECHENYI ISTVAN ˝ ´ MUSZAKI TUDOMANYI KAR ´ ¨ ´ ´ TAVKOZLESI TANSZEK

Egyetemi jegyzet ´Irta:

Dr. Kuczmann Mikl´ os egyetemi adjunktus, PhD Sz´echenyi Istv´ an Egyetem

Lektor´ alta: Dr. Keviczky L´ aszl´ o egyetemi tan´ ar, akad´emikus Sz´echenyi Istv´ an Egyetem Dr. Standeisky Istv´ an f˝ oiskolai docens Sz´echenyi Istv´ an Egyetem

˝ Kht., 2005 c UNIVERSITAS-GYOR

c Dr. Kuczmann Mikl´

os, 2005 Minden jog fenntartva, bele´ertve a sokszoros´ıt´ as, a m˝ u b˝ ov´ıtett, illetve r¨ ovid´ıtett v´ altozata kiad´ as´ anak jog´ at is. A kiad´ o ´ır´ asbeli hozz´ aj´ arul´ asa n´elk¨ ul sem a teljes m˝ u, sem annak r´esze semmif´ele form´ aban nem sokszoros´ıthat´ o. ISBN

˝ Kht. Felel˝ Kiadja az UNIVERSITAS-GYOR o kiad´ o dr. Szekeres Tam´ as. M˝ uszaki szerkeszt˝ o Feh´erv´ ari Arnold. K´esz¨ ult a Palatia Nyomda ´es Kiad´ o Kft. nyomd´ aj´ aban. Felel˝ os vezet˝ o Radek J´ ozsef.

El˝ osz´ o A k¨onyv a Sz´echenyi Istv´an Egyetem villamosm´ern¨oki ´es m˝ uszaki informatika szak´an a BSc k´epz´es tanterv´enek megfelel˝o ,,Jelek ´es rendszerek” c´ım˝ u egy f´el´eves t´argy tananyag´at tartalmazza. A k¨onyvben jelek matematikai le´ır´as´aval, rendszerek matematikai megfogalmaz´as´aval foglalkozunk. A jel lehet egy rendszer gerjeszt´ese ´es c´elunk a rendszer ezen gerjeszt´esre adott v´alaszjel´enek meghat´aroz´asa lesz. Mindezt elv´egezhetj¨ uk az id˝otartom´anyban, a frekvenciatartom´anyban ´es a komplex frekvenciatartom´anyban. M´ar az elej´en megjegyezz¨ uk, hogy a h´arom m´odszer nem helyettes´ıti, hanem kieg´esz´ıti egym´ast. A k¨onyv egym´asra ´ep¨ ul˝o r´eszekb˝ol, azon bel¨ ul pedig fejezetekb˝ol ´es alfejezetekb˝ol a´ll, ugyanis k¨ ul¨on t´argyaljuk a folytonos idej˝ u ´es a diszkr´et idej˝ u jeleket ´es rendszereket. V´elem´enyem szerint az anyag ´ıgy a´tl´athat´obb. Az Olvas´onak tiszt´aban kell lennie a matematika k¨ovetkez˝o fejezeteivel: differenci´alsz´am´ıt´as, integr´alsz´am´ıt´as, line´aris algebra. Igyekeztem azonban u ´ gy fel´ep´ıteni a k¨onyvet, hogy a matematikai appar´atust a sz¨ uks´eges helyeken, a sz¨ uks´eges m´ert´ekben feleleven´ıtem, sok helyen l´abjegyzet form´aj´aban. Nem a´rt azonban a hi´anyoss´agokat pl. a Bolyai-sorozat idev´ag´o k¨oteteinek tanulm´anyoz´as´aval p´otolni. Az elm´eleti h´atteret minden esetben p´eld´akkal is illusztr´alom. A k´epletek levezet´ese ´es a t´etelek bizony´ıt´asa sor´an pedig minden l´ep´est r´eszletezek a jobb ´erthet˝os´eg

I

´erdek´eben. Teszem ezt pontosan a matematikai alapok esetleges hi´anya miatt. A k¨onyv terjedelmi korl´atok miatt sz´amos p´eld´at, p´eldaprogramot, a gyakorlati ´eletben is el˝ofordul´o illusztrat´ıv probl´em´at nem tartalmaz. Ezeket a http://www.sze.hu/~kuczmann honlapon teszem k¨ozz´e, ahol egy folyamatosan b˝ov¨ ul˝o ´es javul´o p´eldat´arat is tal´al az Olvas´o. Ak´ar a p´eld´akban, ak´ar a k¨onyvben fellelt hib´ak, el´ır´asok jelz´es´et sz´ıvesen veszem. Jelen kiad´as a k¨onyv els˝o verzi´oja. El˝oad´asaim, valamint a honlapon k¨ozz´etett seg´edanyagok ´es megjegyz´esek kieg´esz´ıt´esk´ent szolg´alnak a k¨onyv mell´e, melyek c´elja a tananyag finom´ıt´asa, ´es a k¨ovetkez˝o kiad´as m´eg t¨ok´eletesebb´e t´etele. K¨osz¨on¨om dr. Keviczky L´aszl´o akad´emikus ´es dr. Standeisky Istv´an docens gondos lektori munk´aj´at. K¨osz¨onetemet fejezem ki dr. Borb´ely G´abornak a T´avk¨ozl´esi Tansz´ek vezet˝oj´enek, aki sokat tett az´ert, hogy az Egyetem oktat´oja lehessek ´es dr. Iv´anyi Am´ali´anak, volt konzulensemnek, aki elind´ıtott p´aly´amon.

Gy˝or, 2005. m´arcius-augusztus

Dr. Kuczmann Mikl´os, PhD egyetemi adjunktus [email protected]

II

Tartalomjegyz´ ek 1. Jelek 1.1. A jel fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Jelek oszt´alyoz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Folytonos idej˝ u jelek . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Folytonos idej˝ u jelek megad´asa . . . . . . . 1.3.2. Az egys´egugr´asjel . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. A Dirac-impulzus . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Az a´ltal´anos´ıtott deriv´alt fogalma . . . . . 1.4. Diszkr´et idej˝ u jelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Diszkr´et idej˝ u jelek megad´asa . . . . . . . . 1.4.2. Az egys´egugr´asjel . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Az egys´egimpulzus . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Az egys´egugr´asjel ´es a Dirac-impulzus kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Jelek tov´abbi oszt´alyoz´asa . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 5 5 8 11 13 18 18 21 21

2. Rendszerek 2.1. A rendszer fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Rendszerek oszt´alyoz´asa . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28

3. H´ al´ ozatok 3.1. A h´al´ozat fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Jelfolyam t´ıpus´ u h´al´ozatok elemei . . . . . . . . . .

33 33 34

III

23 23

4. FI rendszerek anal´ızise az id˝ otartom´ anyban 37 4.1. Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa . . . . . . . . . . . . 37 4.1.1. Az ugr´asv´alasz defin´ıci´oja . . . . . . . . . . 37 4.1.2. A v´alaszjel sz´am´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . 40 4.2. Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa . . . . . . . . . . 43 4.2.1. Az impulzusv´alasz defin´ıci´oja . . . . . . . . 43 4.2.2. A v´alaszjel sz´am´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . 45 4.3. A s´ ulyf¨ uggv´enyt´etel o¨sszefoglal´asa . . . . . . . . . 48 4.4. A gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as . . . . . . . . . . . . . 55 4.5. A rendszeregyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.1. A rendszegyenlet defin´ıci´oja . . . . . . . . . 56 4.5.2. A gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as . . . . . . . . 58 4.6. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.6.1. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as defin´ıci´oja . . . . . 60 4.6.2. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as el˝oa´ll´ıt´asa a h´al´ozati reprezent´aci´o alapj´an . . . . . . . . . . 62 4.6.3. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa . . . . . 64 4.7. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as ´es a rendszeregyenlet kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.7.1. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as meghat´aroz´asa a rendszeregyenlet ismeret´eben . . . . . . . . 88 4.7.2. A rendszeregyenlet meghat´aroz´asa az a´llapotv´altoz´os le´ır´as ismeret´eben . . . . . . 90 5. DI rendszerek anal´ızise az id˝ otartom´ anyban 5.1. Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa . . . . . . . . . . 5.2. Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa . . . . . . . . 5.2.1. Az impulzusv´alasz defin´ıci´oja . . . . . . 5.2.2. A v´alaszjel sz´am´ıt´asa . . . . . . . . . . . 5.3. Az ugr´asv´alasz ´es az impulzusv´alasz kapcsolata 5.4. A gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as . . . . . . . . . . . 5.5. A rendszeregyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. A rendszegyenlet defin´ıci´oja . . . . . . .

IV

. . . . . . . .

92 . 92 . 94 . 94 . 96 . 98 . 103 . 104 . 104

5.5.2. A rendszegyenlet el˝oa´ll´ıt´asa a h´al´ozati reprezent´aci´o alapj´an . . . . . . . . . . . . 5.5.3. A rendszegyenlet megold´asa . . . . . . . . . 5.5.4. A gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as . . . . . . . . 5.6. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as defin´ıci´oja . . . . . 5.6.2. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as el˝oa´ll´ıt´asa a h´al´ozati reprezent´aci´o alapj´an . . . . . . . . . . 5.6.3. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa . . . . . 5.7. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as ´es a rendszeregyenlet kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as meghat´aroz´asa a rendszeregyenlet ismeret´eben . . . . . . . . 5.7.2. A rendszeregyenlet meghat´aroz´asa az a´llapotv´altoz´os le´ır´as ismeret´eben . . . . . . . .

106 107 112 121 121 123 124 135 136 138

6. FI rendszerek anal´ızise a frekvenciatartom´ anyban141 6.1. Szinuszos a´lland´osult v´alasz sz´am´ıt´asa . . . . . . . 141 6.1.1. A szinuszos jel . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.1.2. A szinuszos jel komplex le´ır´asa . . . . . . . 142 6.1.3. Az a´tviteli karakterisztika . . . . . . . . . . 149 6.2. Periodikus a´lland´osult v´alasz sz´am´ıt´asa . . . . . . 170 6.2.1. Folytonos idej˝ u periodikus jel Fourier-felbont´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.2.2. A periodikus v´alasz sz´am´ıt´asa . . . . . . . . 191 6.3. Jelek ´es rendszerek spektr´alis le´ır´asa . . . . . . . . 193 6.3.1. A Fourier-transzform´aci´o ´es a spektrum . . 194 6.3.2. A Fourier-transzform´aci´o t´etelei . . . . . . . 200 6.3.3. Folytonos idej˝ u jelek spektruma . . . . . . . 208 6.3.4. A v´alasz spektruma ´es id˝of¨ uggv´enye . . . . 216 7. DI rendszerek anal´ızise a frekvenciatartom´ anyban226 7.1. Szinuszos a´lland´osult v´alasz sz´am´ıt´asa . . . . . . . 226 7.1.1. A szinuszos jel . . . . . . . . . . . . . . . . 226 V

7.1.2. A szinuszos jel komplex le´ır´asa . . . . . . . 7.1.3. Az a´tviteli karakterisztika . . . . . . . . . . 7.2. Periodikus a´lland´osult v´alasz sz´am´ıt´asa . . . . . . 7.2.1. Diszkr´et idej˝ u periodikus jel Fourier-felbont´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. A periodikus v´alasz sz´am´ıt´asa . . . . . . . . 7.3. Jelek ´es rendszerek spektr´alis le´ır´asa . . . . . . . . 7.3.1. A Fourier-transzform´aci´o ´es a spektrum . . 7.3.2. A Fourier-transzform´aci´o t´etelei . . . . . . . 7.3.3. Diszkr´et idej˝ u jelek spektruma . . . . . . . 7.3.4. A v´alasz spektruma ´es id˝of¨ uggv´enye . . . .

229 232 245 246 257 260 260 265 272 280

8. FI rendszerek anal´ızise a komplex frekvenciatartom´ anyban 282 8.1. A Laplace-transzform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . 282 8.1.1. A Laplace-transzform´aci´o t´etelei . . . . . . 284 8.1.2. Folytonos idej˝ u jelek Laplace-transzform´altja 296 8.2. A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa . . . . . . . 306 8.2.1. A v´alaszjel Laplace-transzform´altj´anak meghat´aroz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.2.2. Az inverz Laplace-transzform´aci´o . . . . . . 307 8.2.3. Az a´tviteli f¨ uggv´eny p´olus-z´erus elrendez´ese, a rendszer stabilit´asa . . . . . . . . 315 9. DI rendszerek anal´ızise a komplex frekvenciatartom´ anyban 317 9.1. A z-transzform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.1.1. A z-transzform´aci´o t´etelei . . . . . . . . . . 319 9.1.2. Diszkr´et idej˝ u jelek z-transzform´altja . . . . 331 9.2. A z-transzform´aci´o alkalmaz´asa . . . . . . . . . . . 340 9.2.1. A v´alaszjel z-transzform´altj´anak meghat´aroz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 9.2.2. Az inverz z-transzform´aci´o ´es a kifejt´esi t´etel 341

VI

9.2.3. Az a´tviteli f¨ uggv´eny p´olus-z´erus elrendez´ese, a rendszer stabilit´asa . . . . . . . . 351 10.Mintav´ etelez´ es ´ es rekonstrukci´ o 10.1. A mintav´etelezett jel id˝of¨ uggv´enye . . . . . . . . . 10.2. A mintav´etelezett jel spektruma . . . . . . . . . . 10.2.1. Kapcsolat a mintav´etelezett jel spektruma ´es a diszkr´et idej˝ u jel spektruma k¨oz¨ott . . 10.2.2. Kapcsolat a mintav´etelezett jel spektruma ´es a folytonos idej˝ u jel spektruma k¨oz¨ott . . 10.3. Mintav´etelezett jel rekonstrukci´oja . . . . . . . . . 10.3.1. Nulladrend˝ u tart´oszerv . . . . . . . . . . . 10.3.2. Alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o . . . . . . . . . . . . . . 11.Diszkr´ et idej˝ u szimul´ aci´ o 11.1. Az impulzusv´alasz szimul´aci´oja . . . 11.2. Az a´tviteli f¨ uggv´eny szimul´aci´oja . . 11.3. Differenci´al´o ´es integr´al´o oper´atorok k¨ozel´ıt´ese . . . . . . . . . . . . . . .

353 353 355 355 359 366 366 369

374 . . . . . . . . 375 . . . . . . . . 379 mintav´eteles . . . . . . . . 380

12.FI nemline´ aris rendszerek anal´ızise 12.1. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as fogalma . . . 12.2. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as el˝oa´ll´ıt´asa reprezent´aci´o alapj´an . . . . . . . . . . 12.3. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as lineariz´al´asa . 12.4. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as numerikus, k¨ozel´ıt˝o megold´asa . . . . . . . . . . .

. a . .

386 . . . . . . 386 h´al´ozati . . . . . . 387 . . . . . . 388

. . . . . . . 394

13.DI nemline´ aris rendszerek anal´ızise 397 13.1. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as fogalma . . . . . . . . . . 397 13.2. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as lineariz´al´asa . . . . . . . . 398 13.3. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszerrel . . . . . . . . . . . . 400

VII

1. r´ esz Alapfogalmak Ebben a bevezet˝o r´eszben o¨sszefoglaljuk azokat az alapvet˝o tudnival´okat, amelyekre a k´es˝obbiekben sz¨ uks´eg¨ unk lesz. Megadjuk a jel, a rendszer ´es a h´ al´ ozat fogalm´at, ´es azon ismereteket, amelyekre alapozni fogunk. A jel t´emak¨orben p´eld´akkal is al´at´amasztva bemutatjuk a jelek megad´as´anak k¨ ul¨onb¨oz˝o m´odjait. Bevezet¨ unk k´et, sz´amunkra fontos jelet, a folytonos idej˝ u egys´egugr´ast ´es a Dirac-impulzust, valamint a diszkr´et idej˝ u egys´egugr´ast ´es az egys´egimpulzust (diszkr´et idej˝ u Dirac-impulzus). Egyszer˝ u p´eld´akkal illusztr´aljuk ezek alkalmaz´asi lehet˝os´egeit. Megadjuk azon fogalmakat ´es jeloszt´alyokat, amelyeket a k´es˝obbiekben haszn´alni fogunk. Megadjuk a rendszer fogalm´at. Oszt´alyozzuk a rendszerek alapvet˝o t´ıpusait, ´es megadjuk azon rendszeroszt´alyt, amellyel r´eszletesen is foglalkozni fogunk: ez a line´ aris, invari´ ans ´es kauz´ alis rendszer. Egy fejezetben azonban r¨oviden kit´er¨ unk a nemline´ aris rendszerekre is. A h´al´ozat fogalm´anak seg´ıts´eg´evel meg´erthetj¨ uk, mik´ent rendelhet˝o egy rendszerhez h´al´ozat ´es ford´ıtva.

1

1. fejezet

Jelek 1.1.

A jel fogalma

A k¨ ul¨onb¨oz˝o folyamatok m´erhet˝o mennyis´egeir˝ol inform´aci´ot m´er˝om˝ uszerek (pl. fesz¨ ults´egm´er˝o m˝ uszer, a´ramm´er˝o m˝ uszer, oszcilloszk´op, sz´am´ıt´og´eppel t´amogatott m´er´esi eszk¨oz¨ok, h˝om´er˝o, sebess´egm´er˝o stb.) seg´ıts´eg´evel kaphatunk. Ezen m´ert mennyis´egeket fizikai mennyis´egeknek nevezz¨ uk, melyek matematikai le´ır´as´at v´ altoz´ o k bevezet´es´evel v´egezz¨ uk, ´ert´ek¨ uk pedig egy adott m´ert´ekegys´egben (pl. SI egys´egrendszerben, vagy egy k´enyelmes, koherens egys´egrendszerben) kifejezett sz´am´ert´ek. A jel a fizikai mennyis´eg olyan ´ert´eke vagy ´ert´ekv´ altoz´ asa, amely egy egy´ertelm˝ uen hozz´ arendelt inform´ aci´ ot hordoz. A jel teh´ at inform´ aci´ otartalommal b´ır. Sok esetben a v´altoz´o ´es a jel ugyanazt jelenti (szinonim´ak). Jelek matematikai le´ır´as´ara f¨ uggv´enyeket alkalmazunk, melyek (legegyszer˝ ubb, de tipikus esetben) egy f¨ uggetlen v´altoz´o ´es egy f¨ ugg˝o v´altoz´o k¨oz¨ott egy´ertelm˝ u kapcsolatot realiz´alnak. A f¨ uggetlen v´altoz´o (a f¨ uggv´eny argumentuma) ´ert´ekeinek halmaza alkotja a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´ any´at, a f¨ ugg˝o v´altoz´o o¨sszes ´ert´eke pedig a f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlet´et. 2

1.2.

Jelek oszt´ alyoz´ asa

A jelek az ´ertelmez´esi tartom´any ´es az ´ert´ekk´eszlet alapj´an n´egy t´ıpusba sorolhat´ok (1.1. a´bra). A jel ´ertelmez´esi tartom´any´an ezent´ ul az id˝ o t, ´ert´ekk´eszlet´en pedig a vizsg´alt jel a´ltal le´ırt fizikai mennyis´eg ´ert´ek´et ´ertj¨ uk. 1.) Ha a jel az id˝o argumentum minden val´os ´ert´ek´ere ´ertelmezett, akkor folytonos idej˝ u jelr˝ol besz´el¨ unk. Ezen csoportban legismertebb az anal´ og jel (folytonos ´ert´ek˝ u jel), amelyn´el a jel ´ert´eke is folytonos (pl. egy mikrofon kimen˝o jele, az a´br´an x1 (t)). 2.) Ha egy anal´og jelb˝ol adott (´altal´aban egyenletes oszt´as´ u) id˝opillanatokban mint´akat vesz¨ unk, akkor az id˝oben diszkr´et, ´ert´ekk´eszlet´eben pedig folytonos jelet kapunk, ami voltak´eppen egy sz´amsorozat. Ezt diszkr´et idej˝ u jelnek nevezz¨ uk (az a´br´an az x2 [k]). 3.) Vannak olyan jelek, amelyek csak bizonyos ´ert´ekeket vehetnek fel egy megsz´aml´alhat´o sz´amhalmaz elemeib˝ol (l´epcs˝os, m´asn´even kvant´ alt jelalak, vagy diszkr´et ´ert´ek˝ u jel). Az 1.1. a´br´an az x3 (t) jel az id˝oben folytonos, de ´ert´ekk´eszlet´eben diszkr´et. 4.) V´eg¨ ul a sz´am´ıt´astechnika szinte minden m˝ uszaki ter¨ uleten jelen l´ev˝o alkalmaz´asa miatt nagy jelent˝os´ege van a mind id˝oben, mind ´ert´ekk´eszlet´eben diszkr´et jelnek, amelyet digit´ alis jelnek nevez¨ unk. Az x4 [k] k´odol´asa ut´an digit´alis jelet kapunk. Megjegyezz¨ uk, hogy az x2 [k] jelet az x1 (t) jel un. mintav´etelez´es´evel kapjuk, ´es a jobb oldali hat´ar´ert´eket vessz¨ uk figyelembe. Az x4 [k] jelet pedig az x3 (t) jelb˝ol vett mint´ak adj´ak a bal oldali hat´ar´ert´ek felhaszn´al´as´aval. Mindez a k = 0 u ¨ temn´el ´es x4 [k] ugr´asain´al t˝ unik ki. A k¨onyvben csak a folytonos ´ert´ek˝ u, folytonos idej˝ u ´es a folytonos ´ert´ek˝ u, diszkr´et idej˝ u jelekkel foglalkozunk (az 1.1. a´br´an az els˝o sor). A jel ´ert´eke lehet val´os vagy komplex, mi azonban csak a val´os ´ert´ek˝ u jelekkel foglalkozunk.

3

5

4

4

3

3

x2[k]

x1(t)

Diszkr´et idej˝ u jelek

5

2

1

0 -0.5

2

1

0 0

0.5 1 t[s]

1.5

2

-5

5

5

4

4

3

3

2

1

0 -0.5

0

5

10

15

20

10

15

20

k

x4[k]

x3(t)

Diszkr´et ´ert´ek˝ u jelek

Folytonos ´ert´ek˝ u jelek

Folytonos idej˝ u jelek

2

1

0 0

0.5 1 t[s]

1.5

2

-5

0

5 k

1.1. a´bra. Jelek n´egy alapt´ıpusa A jeleket tov´abbi szempontok szerint is csoportos´ıthatjuk. Egy jelet determinisztikus jelnek nevez¨ unk, ha ´ert´eke minden id˝opillanatban ismert vagy meghat´arozhat´o, kiel´eg´ıt˝o pontoss´aggal m´erhet˝o, s az megism´etelhet˝o folyamatot ´ır le. Ilyenkor a jel elvileg k´eplettel, id˝of¨ uggv´ennyel le´ırhat´o. Sztochasztikus jelr˝ol besz´el¨ unk, ha a jel m´er´es´ere tett k´ıs´erletek k¨ ul¨onb¨oz˝o, ,,v´eletlenszer˝ u” eredm´enyeket szolg´altatnak. Ebben az esetben nem tudunk egy´ertelm˝ uen egy id˝of¨ uggv´enyt megadni, hanem a jel statisztikus tulajdons´agait kell meghat´arozni, pl. a jel un. v´arhat´o ´ert´ek´et. Sztochasztikus jelek eset´eben a val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as elm´elet´et is alkalmaznunk kell, 4

melyre pl. h´ırad´astechnikai alkalmaz´asok sor´an lehet sz¨ uks´eg. Sok gyakorlati esetben a jel egy determinisztikus ´es egy sztochasztikus jel o¨sszege. A tov´abbiakban kiz´ar´olag determinisztikus jelekkel foglalkozunk.

1.3.

Folytonos idej˝ u jelek

Egy x jelet akkor nevez¨ unk folytonos idej˝ unek, ha a jel az id˝ o minden val´ os ´ert´ek´ere ´ertelmezett: x = x(t),

t ∈ R,

vagy

− ∞ < t < ∞,

(1.1)

ahol t jel¨oli a folytonos id˝ot, melynek SI m´ert´ekegys´ege a szekundum (s), koherens egys´egrendszerben pl. ms, µs stb. lehet, R pedig a val´os sz´amok halmaza. Ilyen jel az 1.1. a´br´an l´athat´o x 1 (t) ´es x3 (t).1 A tov´abbiakban csak x(t) jel¨ol´essel hivatkozunk a folytonos idej˝ u jelekre, mert a kerek z´ar´ojelbe tett argumentum egy´ertelm˝ uen jel¨oli, hogy err˝ol van sz´o (a t ∈ R ´es −∞ < t < ∞ jel¨ol´eseket elhagyjuk).

1.3.1.

Folytonos idej˝ u jelek megad´ asa

Folytonos idej˝ u jelek megad´as´ara t¨obb lehet˝os´eg¨ unk van, amelyeket itt p´eld´akkal is szeml´eltet¨ unk. 1.) K´ eplet. Egy f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel az x(t) jelet tetsz˝oleges t id˝opillanatban meghat´arozhatjuk: 2  0, ha t < 0; x1 (t) = (1.2) 5e−2t , ha t ≥ 0, 1

Folytonos idej˝ u jel megjelen´ıt´es´ere alkalmas eszk¨ oz pl. az oszcilloszk´ op, melynek k´eperny˝ oj´en a m´ert jel egy id˝ oszelet´et vizsg´ alhatjuk. 2 Az x2 (t) jelben szerepl˝ o ∧ jel az ´es kapcsolatot jel¨ oli, azaz a t ≥ 0 ´es a t < 2, 5 felt´etelnek egyar´ ant teljes¨ ulni kell.

5

5

4

4

3

3

x2(t)

x1(t)

5

2

1

0 -0.5

2

1

0 0

0.5 1 t[s]

1.5

2

-1

3

0

1 2 t[s]

3

4

0

1 2 t[s]

3

4

5

2

4

x4(t)

x3(t)

1 0

3

2

-1 1

-2 -3 -1

0 0

1 2 t[s]

3

4

-1

1.2. a´bra. Folytonos idej˝ u jelek grafikus megad´ asa   0, ha t < 0; 2t, ha t ≥ 0 ∧ x2 (t) =  0, ha t ≥ 2, 5,

t < 2, 5;

(1.3)

x3 (t) = 3 cos (2t + π/4) ,

(1.4)

x4 (t) = 4 − 0, 5t.

(1.5)

2.) Grafikus a ´br´ azol´ as. Seg´ıts´eg´evel a jel id˝obeli lefut´asa szeml´eletesen megadhat´o. Legt¨obb esetben csak kvalitat´ıve, v´eges id˝ointervallumra szor´ıtkozva ´es korl´atozott pontoss´aggal tudjuk felv´azolni.3 N´eh´any esetben (pl. ha a jel periodikus, vagy lecseng˝o 3

Matematikai szoftverek seg´ıts´eg´evel az a ´br´ ak t¨ ok´eletesen szerkeszthet˝ ok.

6

jelleg˝ u) k¨ovetkeztetni lehet a jel nem a´br´azolt r´eszeire is. Az 1.2. a´br´an a´br´azoltuk az (1.2)-(1.5) k´epletekkel megadott jeleket. 3.) Differenci´ alegyenlet. Egy folytonos idej˝ u jel megadhat´o egy n-edrend˝ u differenci´alegyenlettel, de ebben az esetben egy adott t id˝opontban (c´elszer˝ uen a t = 0-ban) meg kell adnunk n sz´am´ u un. kezdeti ´ert´eket is. A legegyszer˝ ubb esetet p´eld´an kereszt¨ ul mutatjuk be: dy = −2y, y(0) = 5, dt ahol y = y(t) a meghat´arozand´o id˝of¨ uggv´eny. El˝osz¨or form´alisan szorozzuk meg a differenci´alegyenlet mindk´et oldal´at dt-vel: 4 Z Z 1 (1) dy (2) (3) dy = −2y dt −−→ = −2 dt −−→ dy = −2 dt −−→ y y (4)

ln y + C1 = −2(t + C2 ) −−→ y = e−2t−C = e−2t e−C = M e−2t . Az (1) l´ep´esben vigy¨ uk a´t az y v´altoz´ot a bal, a t v´altoz´ot pedig a jobb oldalra (v´ altoz´ ok szepar´ al´ asa). A (2) l´ep´esben form´alisan integr´aljuk az egyenlet mindk´et oldal´at. A (3) l´ep´esben felhaszn´aljuk az 1/y ´es az 1 integranduszok primit´ıv f¨ uggv´eny´et, az ln y + C1 ´es a t + C2 f¨ uggv´enyeket, ´es a (4) l´ep´esben rendezz¨ uk az egyenletet y-ra u ´ gy, hogy a C1 ´es C2 konstanokat o¨sszevonjuk egyetlen C konstanss´a (C = C1 + 2C2 ). V´eg¨ ul helyettes´ıts¨ uk az −C −2t e konstanst M -el. Ez´altal az y = M e megold´ashalmazt kapjuk, ahol az M konstans ´ert´ek´et a t = 0 id˝opillanatban adott ´ert´ek seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg: y(0) = M e 0 = 5. ´Igy az id˝of¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝o: y(t) = 5e−2t . A k¨ onyv a ´br´ ait az Octave ´es a GnuPlot programok seg´ıts´eg´evel k´esz´ıtett¨ uk el [www.octave.org]. 4 Az egyes l´ep´esek k¨ oz¨ otti a ´tmenetet nyilak jel¨ olik, s a nyilak f¨ ol´e ´ırt sorsz´ am a r´eszletezett l´ep´eseket ´es m˝ uveleteket jel¨ oli. Ezt a fajta magyar´ azatot a k´es˝ obbiekben is haszn´ alni fogjuk.

7

y(t)

A megold´as ismeret´eben C ´ert´eke 5 M=5 4 M=3 sz´amunkra m´ar ´erdektelen. Megjegyezz¨ uk, M=1 3 hogy M ´ert´ek´enek meghat´aroz´asa pedig 2 azt jelenti, hogy az M e−2t g¨ orbeseregb˝ol 1 kiv´alasztjuk azt a f¨ uggv´enyt, amelyik a 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 differenci´alegyenlet mellett kiel´eg´ıti a megat[s] dott felt´etelt is (az 1.3. a´br´an M k¨ ul¨onb¨oz˝o 1.3. a´bra. Az ´ert´ekeire l´athatunk megold´asokat). A kapott M e−2t jel eredm´eny helyess´eg´er˝ol a f¨ uggv´eny differenci´alegyenletbe t¨ort´en˝o visszahelyettes´ıt´es´evel gy˝oz¨odhet¨ unk meg (az e−2t f¨ uggv´eny id˝o szerinti deriv´altja −2e −2t ). Az y(t) = M eλt t´ıpus´ u id˝of¨ uggv´enyre az id˝otartom´anybeli anal´ızis sor´an m´eg visszat´er¨ unk (itt λ = −2). ´ ekek felsorol´ 4.) Ert´ asa. A folytonos idej˝ u jel k¨ozel´ıt˝o le´ır´as´at kapjuk egy adott id˝ointervallumban, ha ´ert´ekeit adott t k id˝opillanatokban felsoroljuk. Ilyen adatsort kaphatunk, ha pl. egy m´er´est sz´am´ıt´og´eppel v´egz¨ unk. Az el˝oz˝o p´elda eset´eben v´alasszuk a tk = k(0, 2) id˝opillanatokat: y(tk ) = {5; 3, 35; 2, 25; 1, 51; 1, 01; 0, 68; . . .}.

1.3.2.

Az egys´ egugr´ asjel

A vizsg´alt folyamatokat le´ır´o jelek egy adott id˝opillanatban kezd˝odnek, ami nyugodtan v´alaszthat´o null´anak. Az egys´egugr´ asjel hasznos lesz ilyen jelek le´ır´as´ara, melynek jele ´es defin´ıci´oja az al´abbi:5  0, ha t < 0; ε(t) = (1.6) 1, ha t > 0. 5

Szok´ as Heaviside-f¨ uggv´enynek is nevezni ´es 1(t)-vel jel¨ olni.

8

A szakaszonk´ent folytonos egys´egugr´asjelnek a t = 0 id˝opillanatban ugr´ asa, v´eges szakad´ asa van, ahogy az 1.4. a´br´an l´athat´o. Itt bal oldali hat´ar´ert´eke (a t = −0 id˝opillanatban) 0, jobb oldali hat´ar´ert´eke (a t = +0 id˝opillanatban) pedig 1: lim ε(t) = ε(−0) = 0,

t→−0

lim ε(t) = ε(+0) = 1.

(1.7)

t→+0

Az ε(t) jel ´ert´eke a t = 0 id˝opillanatban nincs defini´alva. ε(t) 16

ε(t − τ ) 16 -

-

τ t t 1.4. a´bra. Az egys´egugr´ asjel ´es eltoltja (τ > 0)

Sz¨ uks´eg¨ unk lehet egy tetsz˝oleges τ id˝ovel eltolt egys´egugr´asjelre, amely a k¨ovetkez˝ok´epp adhat´o meg: ε(t − τ ) =



0, ha 1, ha

t < τ; t > τ,

(1.8)

azaz, az ε(t−τ ) a t tengelyen jobbra, az ε(t+τ ) pedig balra tol´odik el az ε(t) jelhez k´epest, hiszen el˝obbinek a t = τ , ut´obbinak pedig a t = −τ helyen van ugr´asa (l. 1.4. a´bra). Az egys´egugr´asjelet ´es eltolj´at ε(t − t1 ) − ε(t − t2 ) v´eges tart´ oj´ u jelek matematikai 16 ε(t − t1 ) formul´aval t¨ort´en˝o megad´as´ara alkalmazzuk. V´eges tart´oj´ unak nevez¨ unk t t t 1 2 egy jelet, ha az egy v´eges interval−ε(t − t2 ) lumon k´ıv¨ ul minden¨ utt nulla ´ert´ek˝ u. 1.5. a´bra. A n´egysz¨ ogletes Egy jel csak v´eges ideig figyelhet˝o ablak el˝ oa ´ll´ıt´ asa meg: gondoljunk pl. arra, hogy egy jelet oszcilloszk´oppal vizsg´alunk, s a jelnek csak az oszcilloszk´op k´eperny˝oj´en a´br´azolhat´o r´esz´et l´atjuk. Az egys´egugr´asjel alkalmas 9

arra, hogy a vizsg´alt jelet u ´ gy ´ırjuk le, hogy adott r´esz´et kitakarjuk egy n´egysz¨ogletes ablakkal, amit k´et eltolt egys´egugr´asjel k¨ ul¨onbs´egek´ent a´ll´ıthatunk el˝o (l. 1.5. a´bra). Tegy¨ uk fel, hogy az x(t) jel id˝oben egy adott t1 ≤ t ≤ t2 intervallum´at szeretn´enk a´br´azolni, ekkor a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´est kell alkalmaznunk: y(t) = [ε(t − t1 ) − ε(t − t2 )] x(t).

(1.9)

Egyes jeleket majd ilyen t´ıpus´ u jelek o¨sszegek´ent a´ll´ıtjuk el˝o. P´eldak´epp az 1.6 a´br´akon az x(t) = 0, 5 + 0, 4e −t cos(3t) jelet szaggatott vonallal a´br´azoltuk ´es az (1.9) t´ıpus´ u ablakoz´o jellel t¨ort´en˝o beszorz´as ut´an az ered˝o f¨ uggv´enyt folytonos vonallal jel¨olt¨ uk (t1 = 0 ´es t2 = 1, 25 s, valamint t1 = −0, 25 s ´es t2 = 1, 75 s). A folytonos vonallal rajzolt jel id˝of¨ uggv´enye teh´at fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o form´aban:
y(t) = [ε(t − t1 ) − ε(t − t2 )] 0, 5 + 0, 4e−t cos(3t) . 1

[ε(t-t1)-ε(t-t2)]x(t)

[ε(t)-ε(t-τ)]x(t)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -0.5

0

0.5 1 t[s]

1.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -0.5

2

0

0.5 1 t[s]

1.5

2

1.6. a´bra. Ablakoz´ o f¨ uggv´enyek alkalmaz´ asa Ezek alapj´an az (1.2) ´es (1.3) jeleket u ´ gy is fel´ırhatjuk, hogy x1 (t) = ε(t)5e−2t ,

x2 (t) = [ε(t) − ε(t − 2, 5)]2t.

10

1.3.3.

A Dirac-impulzus

Egy m´asik fontos jel az egys´egnyi intenzit´ as´ u impulzus, melynek ´ertelmez´ese az al´abbi: δ(t, τ ) =

ε(t) − ε(t − τ ) . τ

(1.10)

Ennek sz´eless´ege teh´at τ , magass´aga pedig 1/τ , s ´ıgy intenzit´ asa (ter¨ ulete) egys´egnyi (l. 1.7. a´bra). Ezt u ´ gy is mondhatjuk, hogy a δ(t, τ ) integr´alja egys´egnyi: Z

∞

1 δ(t, τ ) dt = τ −∞

6



-

τ

τ

dt = 1.

(1.11)

0

L´athat´o, hogy min´el r¨ovidebb ideig tart ez az impulzus, ´ert´eke ann´al nagyobb lesz, ami a defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik. Szeml´eletesen (de ez nem a korrekt defin´ıci´o), ha τ → 0, akkor a δ(t, τ ) impulzus az un. Dirac-impulzussal ´ırhat´o le:

δ(t, τ ) → δ(t)

6 6

1 τ

Z

t

1.7. a´bra. A Diracimpulzus szeml´eltet´ese

ε(t) − ε(t − τ ) , τ →0 τ

δ(t) = lim

azaz δ(t) minden t ´ert´ekre nulla, kiv´eve a t = 0 helyet, ahol ´ert´eke v´egtelen nagy, mik¨ozben intenzit´asa defin´ıci´o szerint egys´egnyi: Z

∞

−∞

δ(t) dt =

Z

+0

δ(t) dt = 1.

(1.12)

−0

A Dirac-impulzus (Dirac-f´ele delta f¨ uggv´eny) szok´asos jel¨ol´ese egy ny´ıl (l. 1.7. a´bra). A Dirac-impulzus p´ aros f¨ uggv´eny. 11

Az (1.12) o¨sszef¨ ugg´es igaz az id˝oben eltolt Dirac-impulzusra is:

Z

∞ −∞

δ(t − t0 ) dt =

Z

t0 +0

t0 −0

δ(t − t0 ) dt = 1.

(1.13)

Ebb˝ol kifoly´olag fenn´all a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es, ami defini´ alja is a Dirac-impulzust: ha az f (t) jel folytonos a t = t 0 helyen, akkor Z

∞ −∞

f (t) δ(t − t0 ) dt = f (t0 ),

(1.14)

hiszen ha az f (t) id˝of¨ uggv´enyt beszorozzuk a δ(t − t 0 ) Diracimpulzussal, akkor egy olyan f¨ uggv´enyt kapunk, amelynek ´ert´eke minden¨ utt nulla, kiv´eve a t = t0 helyet, ahol viszont ´ert´eke egy olyan Dirac-impulzus, melynek nagys´aga ar´anyos a konstans f (t 0 ) ´ert´ekkel. ´Igy ´ırhatjuk, hogy Z ∞ δ(t − t0 ) dt = f (t0 ). f (t0 ) −∞

A δ(t) jel matematikailag egyszer˝ ubben kezelhet˝o, minta a δ(t, τ ) impulzus, ez´ert hacsak lehet az ut´obbit a Dirac-impulzussal k¨ozel´ıtj¨ uk. Ez a k¨ozel´ıt´es viszont csak akkor jogos, ha τ sokkal kisebb a vizsg´alt folyamat jellemz˝o idej´en´el. Hogy mi egy folyamat jellemz˝ o ideje, arr´ol a k¨ovetkez˝o r´eszekben lesz sz´o. A Dirac-impulzus ´ertelmezhet˝o pl. a k¨ovetkez˝o p´aros f¨ uggv´eny hat´aresetek´ent, amikor τ → 0 (erre a 6. fejezetben m´eg visszat´er¨ unk): τ . (1.15) δ1 (t, τ ) = π(t2 + τ 2 ) Ha τ → 0 ´es t → 0, akkor a jel ´ert´eke v´egtelenhez tart, hiszen a nevez˝o gyorsabban tart null´ahoz, t → ∞ eset´en pedig null´ahoz

12

tart a jel. Ezen jel g¨orbe alatti ter¨ ulete szint´en egys´egnyi: 6 Z

∞ −∞

1 τ dt = 2 2 π(t + τ ) π

Z

1 τ

∞ −∞

1+

(1)


dt = t 2

τ

  ∞ t 1 (2) arc tg = 1, π τ −∞

vagyis τ → 0 eset´en szint´en Dirac-impulzust kapunk.

1.3.4.

Az ´ altal´ anos´ıtott deriv´ alt fogalma

Az ε(t) jel ´es a δ(t) jel k¨oz¨ott szoros kapcsolat van. Ezt vizsg´aljuk a k¨ovetkez˝okben. Ehhez azonban a jel deriv´ altj´ a nak fogalm´ara lesz sz¨ uks´eg¨ unk. Ha az x = x(t) jel differenci´alhat´o, akkor k´epezhetj¨ uk annak deriv´altj´at: x0 (t) ≡

dx x(t + ∆t) − x(t) = lim , ∆t→0 dt ∆t

(1.16)

ami szint´en egy id˝of¨ uggv´eny, ´es az x(t) jel deriv´alt jel´enek nevezz¨ uk felt´eve, hogy ez a hat´ar´ert´ek l´etezik. 7 El˝ofordul, hogy egy folytonos idej˝ u jel szakaszonk´ent differenci´alhat´o, viszont az egyes szakaszok a´tmenet´en´el a jelnek v´eges szakad´asa (ugr´asa) lehet. Ennek kezel´es´ere vezetj¨ uk be az a ´ltal´ anos´ıtott deriv´ alt fogalm´at, amelynek defin´ıci´oja a k¨ovetkez˝o: egy x(t) jel deriv´altja az az x0 (t) jel, melynek seg´ıts´eg´evel az x(t) jel a k¨ovetkez˝ok´epp a´ll´ıthat´o el˝o: Z t x0 (τ ) dτ + x(t0 ). x(t) = (1.17) t0

6

1 t Tudjuk, hogy (arc tg x)0 = 1+x ıt´essel ´el¨ unk, akkor 2 . Ha az x = τ helyettes´ 1 t 1 aljuk ki az (1) l´ep´esben. Az arc tg f¨ uggv´eny arc tg τ = 2 τ . Ezt haszn´ t 1+( τ ) π π hat´ ar´ert´eke a ∞-ben 2 , m´ıg a −∞-ben − 2 . Egyszer˝ us´ıt´es ut´ an a (2) l´ep´esben teh´ at 1-et kapunk eredm´eny¨ ul. 7 A k´es˝ obbiekben az id˝ o szerinti deriv´ altat sokszor a jel f¨ ol´e helyezett pont= x. ˙ tal jelezz¨ uk: x0 = dx dt

13

1

0.8

0.8 dx(t)/dt

x(t)

1

0.6 0.4 0.2 0 -0.5

0.6 0.4 0.2

0

0.5 1 t[s]

1.5

0 -0.5

2

0

0.5 1 t[s]

1.5

2

1.8. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o x(t) jel ´es x 0 (t) deriv´ altja (itt τ = 1 s ´es τ = 1, 5 s) Ebben az esetben x(t) nem felt´etlen¨ ul folytonos jel. Rendszerint fenn´all, hogy x(−∞) = 0 ´es ekkor t0 = −∞ v´alaszthat´o: x(t) =

Z

t

x0 (τ ) dτ.

(1.18)

−∞

Vizsg´aljuk meg ezt az 1.8. a´br´an l´athat´o egyszer˝ u p´eld´an kereszt¨ ul! Vegy¨ uk azt az esetet, amikor az ε(t) f¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝o jellel k¨ozel´ıtj¨ uk (τ → 0):  ha t ≤ 0;  0, t/τ, ha t > 0 ∧ t < τ ; x(t) =  1, ha t ≥ τ.

Ezen jel deriv´altja a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg. A jel h´arom szakaszb´ol a´ll, els˝o ´es harmadik szakasza konstans, melyek deriv´altja nulla, k¨oz´eps˝o szakasza egy egyenes, melynek meredeks´ege 1/τ . Az x0 (t) deriv´alt jel teh´at egy olyan n´egysz¨ogimpulzus, amelynek ´ert´eke a 0 < t < τ intervallumban 1/τ , vagyis x0 (t) = δ(t, τ ) (v¨o. az (1.10) o¨sszef¨ ugg´essel ´es az 1.7. a´br´aval). Ha τ → 0, akkor az x(t) jel az ε(t) f¨ uggv´enyhez, az x 0 (t) deriv´alt jel pedig a δ(t) Dirac-impulzushoz tart. Helyettes´ıts¨ uk 14

vissza ezen eredm´enyt az (1.18) defin´ıci´os o¨sszef¨ ugg´esbe: ε(t) =

Z

t

δ(τ ) dτ.

(1.19)

−∞

Az integr´al ´ert´eke a t < 0 id˝opillanatokban nulla (eg´eszen t = −0ig), hiszen ott δ(t) ´ert´eke is nulla. A t = 0 pillanatban megjelenik a Dirac-impulzus, melynek nagys´aga v´egtelen nagy, azonban (1.12) ismeret´eben tudjuk, hogy a t = +0-ban m´ar egys´egnyi ´ert´eke lesz a vizsg´alt integr´alnak, s a t > 0 intervallumban ez m´ar nem n¨ovekszik, hiszen δ(t) ´ert´eke ott is nulla, azaz: Z

t

−∞

δ(τ ) dτ =



0, ha t < 0 ≡ ε(t). 1, ha t > 0

(1.20)

Ebb˝ol m´ar k¨ovetkezik az a fontos o¨sszef¨ ugg´es, hogy a Diracimpulzus az egys´egugr´ asjel a ´ltal´ anos´ıtott deriv´ altja: ε0 (t) = δ(t).

(1.21)

Ebben az esetben az ugr´as ´ert´eke egys´egnyi. Meg kell azonban jegyezni, hogy ha az ugr´as ´ert´eke nem 1, hanem K, azaz a jel Kε(t), akkor annak deriv´altja Kδ(t). unk most egy olyan p´eld´at, amelyhez hasonl´o a P´ elda. Elemezz¨ k´es˝obbiekben gyakran el˝o fog fordulni. Vegy¨ unk egy olyan x(t) jelet, amelyet szakaszonk´ent az x 1 (t) illetve az x2 (t) folytonos jel ´ır le, ´es a kett˝o tal´alkoz´as´an´al (a t 1 helyen) x(t)-nek K ´ert´ek˝ u v´eges szakad´asa van (egy p´elda l´athat´o az 1.9. a´br´an): x(t) =



x1 (t), ha t < t1 ; = x2 (t), ha t ≥ t1 .



x1 (t) = 3e−2t , ha t < 2s; x2 (t) = 5e−2(t−2) , ha t ≥ 2s.

A vizsg´alt jel a t < t1 id˝ointervallumban folytonos ´es differenci´alhat´o, teh´at x01 (t) deriv´altj´at el˝o tudjuk a´ll´ıtani. Ugyanezt 15

5

10

4

3

x,(t)

x(t)

5

2

0

-5 1

0

-10 0

1

2 3 t[s]

4

5

0

1

2 3 t[s]

4

5

1.9. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o x(t) jel ´es x 0 (t) deriv´ altja meg tudjuk tenni a t > t1 id˝ointervallumban is, ahol a deriv´alt x02 (t). A jelnek azonban a t1 − 0 ≤ t ≤ t1 + 0 helyen szakad´asa van, ahol deriv´altja a δ(t) jellel ar´anyos, s mivel a szakad´as ´ert´eke K, ez´ert a deriv´alt ´ert´eke Kδ(t), s ´ıgy:  0  x1 (t), x0 (t) = Kδ(t − t1 ),  0 x2 (t),

 ha t < 2s; ha t < t1 ;  −6e−2t , 4, 945 δ(t − 2), ha t = 2s; ha t = t1 ; =  ha t > t1 . −10e−2(t−2), ha t > 2s.

A K ´ert´eke sz´amolhat´o: K = x2 (t1 ) − x1 (t1 ) = 5 − 3e−4 = 4, 945. Vizsg´aljunk meg egy m´asik m´odszert is a deriv´alt meghat´aroz´as´ara. Ehhez el˝osz¨or fel kell ´ırnunk az x(t) f¨ uggv´enyt ablakozott jelek seg´ıts´eg´evel z´art alakban. A jel els˝o tagja t = t 1 id˝opillanatig tart, ez teh´at el˝oa´ll´ıthat´o az x a (t) = [1 − ε(t − t1 )] x1 (t) alakban, a m´asodik tag pedig t > t1 id˝opillanatt´ol l´ep be, s ´ıgy fel´ırhat´o az xb (t) = ε(t − t1 )x2 (t) alakban. Az x(t) jel ezen k´et jel o¨sszege x(t) = xa (t) + xb (t) = [1 − ε(t − t1 )] x1 (t) + ε(t − t1 )x2 (t). Ezut´an v´egezz¨ uk el a deriv´al´ast form´alisan, vagyis pl. a jel els˝o tagja (xa (t)) k´et f¨ uggv´eny szorzat´ab´ol a´ll, teh´at u ´ gy deriv´aljuk, mintha k´et f¨ uggv´eny szorzat´anak deriv´altj´at hat´arozn´ank meg,

16

nevezetesen (uv)0 = u0 v + uv 0 . Voltak´eppen err˝ol van sz´o, teh´at x0a (t) =[1 − ε(t − t1 )]0 x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )] x01 (t) = = − δ(t − t1 ) x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )] x01 (t),

tov´abb´a x0b (t) =[ε(t − t1 )]0 x2 (t) + ε(t − t1 ) x02 (t) = =δ(t − t1 ) x2 (t) + ε(t − t1 ) x02 (t).

Haszn´alnunk kell egy m´asik deriv´al´asi szab´alyt is, nevezetesen, hogy k´et (vagy t¨obb) f¨ uggv´eny o¨sszegek´ent fel´ırhat´o f¨ uggv´enyt u ´ gy deriv´alunk, hogy az egyes f¨ uggv´enyek deriv´altjait o¨sszegezz¨ uk, s ´ıgy megkapjuk a v´egeredm´enyt: x0 (t) = x0a (t) + x0b (t) = −δ(t − t1 ) x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )] x01 (t)+ +δ(t − t1 ) x2 (t) + ε(t − t1 ) x02 (t).

A deriv´alt jel tartalmaz eltolt Dirac-impulzusokat, melyekr˝ol azonban tudjuk, hogy csak a t = t1 id˝opillanatban vesznek fel ´ert´eket, minden m´as id˝opillanatban ´ert´ek¨ uk nulla. Ha teh´at vessz¨ uk pl. a δ(t − t1 ) x1 (t) szorzatot, akkor azt l´atjuk, hogy az x1 (t) jel be van szorozva egy eltolt Dirac-impulzussal. Az x 1 (t) jel hi´aba vesz fel adott ´ert´ekeket a t = t 1 id˝opillanaton kiv¨ ul, azokat null´aval szorozzuk, azaz a szorzat csak a t = t 1 id˝opillanatban ad ´ δ(t − t1 ) x1 (t1 ) ´ert´eket. Altal´ anosan teh´at azt mondhatjuk, hogy egy δ(t−t0 ) Dirac-impulzus ´es egy id˝of¨ uggv´eny szorzat´ab´ol ad´od´o id˝of¨ uggv´eny olyan, hogy csak a t = t 0 helyen vesz fel ´ert´eket, ami a f¨ uggv´eny t = t0 helyen vett helyettes´ıt´esi ´ert´ek´enek ´es a Diracimpulzusnak a szorzata. Ez a Dirac-impulzus teh´at a f¨ uggv´eny helyettes´ıt´esi ´ert´ek´evel ar´anyos. Ennek ismeret´eben a deriv´alt jel a k¨ovetkez˝o v´egleges alakot o¨lti: x0 (t) = −δ(t − t1 ) x1 (t1 ) + [1 − ε(t − t1 )] x01 (t)+

+ δ(t − t1 ) x2 (t1 ) + ε(t − t1 ) x02 (t) = [1 − ε(t − t1 )] x01 (t)+ + δ(t − t1 )[x2 (t1 ) − x1 (t1 )] + ε(t − t1 ) x02 (t), 17

ami megegyezik az el˝obbi megfontol´asokb´ol kapott v´egeredm´ennyel. A sz´amp´eld´an´al maradva: x0 (t) = 3[1 − ε(t − 2)] e−2t + 4, 945 δ(t − 2) + 5ε(t − 2) e−2(t−2) .

1.4.

Diszkr´ et idej˝ u jelek

Egy x jelet akkor nevez¨ unk diszkr´et idej˝ unek, ha f¨ uggetlen v´ altoz´ oja csak eg´esz ´ert´ekeket vehet fel: x = x[k],

k ∈ Z,

vagy

k ∈ [−∞, . . . , −1, 0, . . . , ∞], (1.22)

ahol k jel¨oli a ,,diszkr´et id˝ot” (¨ utemnek h´ıvjuk), Z pedig az eg´esz sz´amok halmaz´at. Ilyen jel az 1.1. a´br´an l´athat´o x 2 [k] ´es x4 [k]. Ez pl. u ´ gy k´epzelhet˝o el, hogy egy folytonos idej˝ u jelb˝ol T s mintav´eteli peri´odusid˝ovel egyenletesen mint´akat vesz¨ unk a t k = kTs id˝opillanatokban, s a v´ızszintes tengelyen csak k ´ert´ek´et t¨ untetj¨ uk fel, ami a k-adik u ¨tem (a gyakorlatban pl. egy folyamat folytonos idej˝ u jel´et mintav´eteli k´arty´aval m´erj¨ uk). Az 1.1. a´br´an T s = 0, 1 s. A tov´abbiakban csak x[k] jel¨ol´essel hivatkozunk a diszkr´et idej˝ u jelekre, hiszen a sz¨ogletes z´ar´ojelben l´ev˝o argumentum egy´ertelm˝ uen jel¨oli, hogy err˝ol van sz´o ´es a k ∈ Z, valamint a k ∈ [−∞, . . . , −1, 0, . . . , ∞] jel¨ol´eseket elhagyjuk.

1.4.1.

Diszkr´ et idej˝ u jelek megad´ asa

Diszkr´et idej˝ u jelek megad´as´ara t¨obb lehet˝os´eg¨ unk van, melyeket a folytonos idej˝ u jelek t´argyal´as´ahoz hasonl´oan p´eld´akkal is szeml´eltet¨ unk. 1.) K´ eplet. Egy o¨sszef¨ ugg´es seg´ıts´eg´evel az x[k] jelet k b´armely ´ert´ek´ere megadhatjuk. P´eld´anak vegy¨ uk az al´abbi n´egy jelet:  0, ha k < 0; x1 [k] = (1.23) k 4 · 0, 5 , ha k ≥ 0, 18

5

4

4

3

3

x2[k]

x1[k]

5

2

1

0 -1

2

1

0 0

1

2

3

4

-1

0

1

k

2

3

4

k

3

2

2 1 x4[k]

x3[k]

1 0

0

-1 -1 -2 -3 -5

-2 0

5

10

15

20

-2

k

0

2

4

6

8

k

1.10. a´bra. Diszkr´et idej˝ u jelek grafikus megad´ asa  ha k < 0;  0, 1, 1 k, ha k ≥ 0 ∧ k < 4; (1.24) x2 [k] =  0, ha k ≥ 4,   1 π x3 [k] = 2, 5 cos k+ , (1.25) 6 2 x4 [k] = 0, 25 k − 1.

(1.26)

2.) Grafikus a ´br´ azol´ as. Tetsz˝oleges x[k] jel id˝obeli lefut´asa grafikusan megadhat´o. Az 1.10. a´br´an felv´azoltuk az (1.23)-(1.26) jelek id˝of¨ uggv´eny´et. ´ ekek felsorol´ 3.) Ert´ asa. A jel v´eges hossz´ us´ag´ u szegmense megadhat´o az ´ert´ekek felsorol´as´aval, azaz egy sz´amsorozattal. Az 19

(1.24) jel v´eges tart´oj´ u, ´ıgy azt az al´abbi m´odon foglalhatjuk t´abl´azatba: k 0 1 2 3 x2 [k] 0 1,1 2,2 3,3 Az (1.23) jel azonban csak v´eges sz´am´ u ´ert´ek´evel jellemezhet˝o, hiszen v´egtelen sok adatot nem tudunk felsorolni, pl.: k x1 [k]

0 4

1 2

2 1

3 0,5

4 0,25

... ...

Ez term´eszetesen inform´aci´oveszt´essel j´arhat. A m´odszer alkalmas lehet sz´am´ıt´og´epes t´arol´asra, az x[k] jelet pl. egy vektorba rendezhetj¨ uk. 4.) Rekurz´ıv formula. A k¨ovetkez˝o r´eszben t´argyaland´o esetekben a jel k-adik u ¨ tembeli ´ert´eke rekurz´ıv u ´ ton sz´amolhat´o az azt megel˝oz˝o ´ert´ekek seg´ıts´eg´evel, pl.: y[k] = 0, 5 y[k − 1] + 0, 1 y[k − 2],

y[−1] = 2,

y[−2] = 0.

A k = 0, 1, 2, . . . u ¨ temekre az y[k] ´ert´eke az un. ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”m´odszerrel sz´amolhat´o, melyhez azonban (jelen p´eld´an´al) ismerni kell az y[k] jel k < 0 u ¨ tembeli ´ert´ekeit is. Most azt t´etelezt¨ uk fel, hogy y[−1] = 2 ´es y[−2] = 0. Ezek az un. kezdeti felt´etelek. A rekurzi´o teh´at a k¨ovetkez˝o: y[0] = 0, 5y[−1]+0, 1y[−2]= 0, 5 · 2 + 0, 1 · 0 = 1; y[1] = 0, 5y[0] +0, 1y[−1]= 0, 5 · 1 + 0, 1 · 2 = 0, 7; y[2] = 0, 5y[1] +0, 1y[0] = 0, 5 · 0, 7 + 0, 1 · 1 = 0, 45, y[3] = 0, 295 ´es ´ıgy tov´abb. Ebb˝ol az egyszer˝ u p´eld´ab´ol is l´athat´o, hogy a rekurzi´os formula sz´am´ıt´og´epet alkalmazva nagyon hat´ekony lehet. Ez a megad´asi m´od valamelyest eml´ekeztet a folytonos idej˝ u jel differenci´alegyenlettel t¨ort´en˝o megad´as´ara, ott azonban ilyen ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszer nem l´etezik 8 . 8

Differenci´ alegyenletek megold´ asa sor´ an a differenci´ alegyenletet el˝ osz¨ or differenciaegyenlett´e kell alak´ıtani, s hasonl´ o m´ odon meg lehet oldani. Erre a 11. fejezetben l´ atunk p´eld´ akat.

20

1.4.2.

Az egys´ egugr´ asjel

Egy gyakran alkalmazott jel az egys´egugr´asjel, melynek defin´ıci´oja az al´abbi:  0, ha k < 0; ε[k] = (1.27) 1, ha k ≥ 0, azaz az egys´egugr´as ´ert´eke a k < 0 u ¨ temekre 0, nem negat´ıv eg´esz ´ert´ekekre pedig 1, ahogy az 1.11. a´br´an l´athat´o. Sz¨ uks´eg¨ unk lehet a tetsz˝oleges i u ¨ temmel eltolt egys´egugr´asra, mely a k¨ovetkez˝ok´epp adhat´o meg: ε[k − i] =



0, ha 1, ha

k < i; k ≥ i,

(1.28)

azaz az ε[k −i] a k tengelyen jobbra, az ε[k +i] pedig balra tol´odik el az ε[k] jelhez k´epest, hiszen el˝obbinek a k = i (l. 1.11. a´bra), ut´obbinak pedif a k = −i helyen van ugr´asa.  ε[k]     





1 6  


1 2 ...

ε[k − i] 1 6 -

     






  



1 2 ... i

k

-

k

1.11. a´bra. Az egys´egugr´ asjel ´es eltoltja

1.4.3.

Az egys´ egimpulzus

Az egys´egimpulzus (diszkr´et idej˝ u Dirac-impulzus) jele ´es defin´ıci´oja az al´abbi (l. 1.12. a´bra):   0, ha k < 0; δ[k] = 1, ha k = 0;  0, ha k > 0, 21

(1.29)

azaz az egys´egimpulzus ´ert´eke a k = 0 helyen 1, b´armely m´as helyen ´ert´eke nulla.  δ[k]
1 6  


δ[k − i] 1 6

     






1 2 ...

 


     






1 2 ... i

k

 


k

1.12. a´bra. Az egys´egimpulzus ´es eltoltja A tetsz˝oleges i u ¨ temmel eltolt egys´egimpulzus a k¨ovetkez˝ok´epp adhat´o meg:   0, ha 1, ha δ[k − i] =  0, ha

k < i; k = i; k > i.

(1.30)

A δ[k −i] a k tengelyen jobbra (l. 1.12. a´bra), a δ[k +i] pedig balra tol´odik el a δ[k] jelhez k´epest, hiszen el˝obbi a k = i, ut´obbi pedig a k = −i hely kiv´etel´evel minden¨ utt nulla. Az egys´egimpulzus bevezet´es´evel pl. az (1.23) ´es az (1.24) jel a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o le: x1 [k] = 4 δ[k] + 2 δ[k − 1] + δ[k − 2] + 0, 5 δ[k − 3] + . . . , x2 [k] = 1, 1 δ[k − 1] + 2, 2 δ[k − 2] + 3, 3 δ[k − 3]. Tetsz˝oleges x[k] jel a´ltal´anosan a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: x[k] =

∞ X

i=−∞

x[i] δ[k − i],

(1.31)

teh´at az x[k] jelet eltolt egys´egimpulzusok s´ ulyozott o ¨sszegek´ent, m´as n´even szuperpoz´ıci´ o jak´ent ´ırhatjuk fel.

22

1.4.4.

Az egys´ egugr´ asjel ´ es a Dirac-impulzus kapcsolata

Az egys´egugr´as kifejezhet˝o egys´egimpulzusokkal a k¨ovetkez˝ok´epp: ε[k] =

∞ X i=0

δ[k − i] ≡ δ[k] + δ[k − 1] + δ[k − 2] + . . . ,

(1.32)

az egys´egimpulzus pedig kifejezhet˝o az egys´egugr´assal: δ[k] = ε[k] − ε[k − 1].

(1.33)

Ut´obbi a´ltal´anos´ıt´as´aval juthatunk el a folytonos idej˝ u ablakhoz hasonl´o diszkr´et idej˝ u ablakhoz. Ha a levont ε[k − 1] helyett pl. ε[k − 4]-et ´ırn´ank, akkor egy olyan jelet kapn´ank, ami csak a 0 ≤ k ≤ 3 intervallumban adna 1 ´ert´eket, minden m´as helyen pedig null´at. Ezzel lehet˝os´eg ny´ılik v´eges tart´oj´ u jelek le´ır´as´ara. Az (1.24) jel ´ıgy a k¨ovetkez˝ok´epp adhat´o meg: x2 [k] = {ε[k] − ε[k − 4]} 1, 1 k, azaz az 1, 1 k t´ıpus´ u jelet, amely a −∞ ≤ k ≤ ∞ intervallumban ´ertelmezett, szorozzuk egy olyan ablakkal, amely csak a 0 ≤ k ≤ 3 intervallumban ad egys´egnyi ´ert´eket. Ha teh´at az 1, 1k jelet az ε[k] − ε[k − 4] ablakon kereszt¨ ul n´ezz¨ uk, akkor pont a k´ıv´ant x 2 [k] jelet kapjuk.

1.5.

Jelek tov´ abbi oszt´ alyoz´ asa

A m´ern¨oki gyakorlatban kialakult n´eh´any elnevez´es a jelek fajt´aira ´es jellemz˝oire. Ezek k¨oz¨ ul a sz´amunkra fontosakat t´argyaljuk a k¨ovetkez˝okben. 1.) Bel´ ep˝ ojelek ´ es nem bel´ ep˝ o jelek. Egy folytonos idej˝ u x(t) jelet bel´ep˝ o nek nevez¨ unk, ha ´ert´eke t negat´ıv ´ert´ekeire azonosan nulla. Egy diszkr´et idej˝ u x[k] jel akkor bel´ep˝o, ha ´ert´eke k 23

negat´ıv ´ert´ekeire azonosan nulla. Teh´at x(t) = 0,

ha t < 0,

illetve

x[k] = 0,

ha k < 0.

(1.34)

Az (1.2) folytonos idej˝ u ´es az (1.23) diszkr´et idej˝ u jelek teh´at bel´ep˝ojelek. A legegyszer˝ ubb bel´ep˝ojelek az egys´egugr´as ´es a Dirac-impulzus. B´armely x(t), vagy x[k] jel egys´egugr´assal szo´ rozva bel´ep˝ojelet ad. Altal´ anosan azt mondhatjuk, hogy az x(t) jel a t0 helyen bel´ep˝ ojel, ha ´ert´eke a t < t 0 id˝ointervallumban nulla. Anal´og m´odon az x[k] jel a k 0 helyen bel´ep˝ojel, ha ´ert´eke a k < k0 id˝ointervallumban nulla. Teh´at x(t) = 0,

ha t < t0 ,

illetve

x[k] = 0,

ha k < k0 .

(1.35)

Ha nem adhat´o meg olyan t0 id˝opillanat, illetve k0 u ¨ tem, amelyre az el˝oz˝o felt´etel teljes¨ ul, akkor a jel nem bel´ep˝ o t´ıpus´ u. Ilyen tipikus p´elda a nem bel´ep˝o szinuszos jel, az x(t) = X cos ωt ´es az x[k] = X cos ϑk jel, amivel a 6. ´es a 7. fejezetben r´eszletesen foglalkozunk. Tov´abbi p´eld´ak nem bel´ep˝o jelekre: x(t) = e −2t , x[k] = 1. 2.) P´ aros ´ es p´ aratlan jelek. Egy x(t), illetve x[k] jelet p´ arosnak nevez¨ unk, ha a jelre igaz, hogy x(−t) = x(t),

illetve

x[−k] = x[k],

(1.36)

azaz, ha a jel a f¨ ugg˝oleges tengelyre (az ordin´at´ara) szimmetrikus. P´eld´ak p´aros jelekre: • x(t) = 1, • x(t) = 5 cos ωt, illetve x[k] = cos ϑk, • x(t) = e−5|t| , illetve x[k] = 2|k|, • x(t) = δ(t), x(t) = δ(t + 2) + δ(t − 2), illetve x[k] = δ[k]. 24

Egy x(t), illetve x[k] jelet p´ aratlannak nevez¨ unk, ha teljes¨ ul, hogy x(−t) = −x(t),

illetve

x[−k] = −x[k],

(1.37)

azaz, ha a jel az orig´ora szimmetrikus. P´eld´ak p´aratlan jelekre: • x(t) = 2t, illetve x[k] = −5k, • x(t) = 5 sin ωt, illetve x[k] = sin ϑk, • x(t) = δ(t + 2) − δ(t − 2). B´armely x(t), illetve x[k] jel felbonthat´o egy p´aros ´es egy p´aratlan jel o¨sszeg´ere: x(t) = xps (t) + xptl (t),

x[k] = xps [k] + xptl [k],

(1.38)

ahol xps (t) =

1 [x(t) + x(−t)] , 2

xps [k] =

1 {x[k] + x[−k]} , (1.39) 2

illetve 1 [x(t) − x(−t)] , 2

1 {x[k] − x[−k]} . 2 (1.40) 3.) Korl´ atos jelek. Egy x(t), illetve x[k] jel korl´ atos, ha l´etezik olyan v´eges M ´ert´ek, amelyre teljes¨ ul hogy: xptl (t) =

|x(t)| < M, t ∈ R

xptl [k] =

illetve

|x[k]| < M, k ∈ Z.

(1.41)

Korl´atos jel pl. az x(t) = X cos ωt, mivel x(t) ´ert´eke abszol´ ut ´ert´ekben maxim´alisan X lehet. Az x(t) = ε(t) ´es az x[k] = ε[k] jel szint´en korl´atos. Fontos megjegyezni, hogy m´ıg a δ[k] korl´atos (´ert´eke a k = 0 helyen 1), addig a δ(t) jel nem korl´atos, mivel ´ert´eke v´egtelen nagy a t = 0 helyen. 25

4.) Abszol´ ut integr´ alhat´ o jelek. A folytonos idej˝ u x(t) jelet abszol´ ut integr´ alhat´ o nak nevezz¨ uk, ha Z

∞ −∞

|x(t)| dt < ∞.

(1.42)

5.) Abszol´ ut o ¨sszegezhet˝ o jelek. A diszkr´et idej˝ u x[k] jelet abszol´ ut o ¨sszegezhet˝ o nek nevezz¨ uk, ha ∞ X

k=−∞

|x[k]| < ∞.

(1.43)

6.) N´ egyzetesen integr´ alhat´ o jelek. A folytonos idej˝ u x(t) jelet n´egyzetesen integr´ alhat´ o nak nevezz¨ uk, ha Z

∞

−∞

|x(t)|2 dt < ∞.

(1.44)

7.) N´ egyzetesen o ¨sszegezhet˝ o jelek. A diszkr´et idej˝ u x[k] jelet n´egyzetesen o ¨sszegezhet˝ o nek nevezz¨ uk, ha ∞ X

k=−∞

|x[k]|2 < ∞.

(1.45)

8.) Periodikus jelek. Egy x(t) folytonos idej˝ u jel periodikus a T peri´ odusid˝ o vel, ha x(t + T ) = x(t) fenn´all t minden ´ert´ek´ere. Egy x[k] diszkr´et idej˝ u jel periodikus a K peri´ odussal, ha x[k + K] = x[k] fenn´all k minden ´ert´ek´ere. A periodikus jel egy tipikus p´eld´aja a szinuszos jel, m´asn´even harmonikus jel.

26

2. fejezet

Rendszerek 2.1.

A rendszer fogalma

A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek seg´ıts´eg´evel modellezhetj¨ uk, matematikailag le´ırhatjuk annak m˝ uk¨od´es´et. Rendszer pl. egy szab´alyozand´o berendez´est (pl. egy szivatty´ ut), amelyhez szab´alyoz´o eszk¨ozt kell tervezni, egy bonyolult ipari robotot, de rendszer lehet egy rug´ora akasztott test ´es a rug´o egy¨ uttesen. A rendszer l´enyege, hogy matematikai form´aba o¨nts¨ uk azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimul´ aci´ o j´at el szeretn´enk v´egezni annak ´erdek´eben, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdons´agair´ol, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hat´as ´eri. Ezek a k¨ uls˝o hat´asok a rendszer bemenetei, m´asn´even gerjeszt´esek, s a rendszer ezen gerjeszt´esekre v´ alasz okkal reag´al, melyek a rendszer kimenetei. Az el˝oz˝o r´eszben t´argyalt jelek teh´at ak´ar a rendszer bemenetei ´es kimenetei is lehetnek.

27

2.2.

Rendszerek oszt´ alyoz´ asa

A rendszer a bemeneteket kimenetekk´e transzform´ alja, azaz adott gerjeszt´esekhez adott v´alaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik ´es kimeneteik sz´ama alapj´an k´et f˝o csoportba sorolhatjuk (l. 2.1. a´bra): 1.) SISO-rendszerek. A SISO r¨ovid´ıt´es az angol ,,single input single output” elnevez´esb˝ol ad´odik, ´es egy bemenet˝ u ´es egy kimenet˝ u rendszer t jelent. Ezen rendszerek egyetlen gerjeszt´eshez egyetlen v´alaszt rendelnek, amit az y(t) = W{s(t)},

vagy

y[k] = W{s[k]}

(2.1)

gerjeszt´es-v´ alasz kapcsolattal ´ırhatunk le matematikailag. A tov´abbiakban s(t) ´es y(t) jel¨oli a folytonos idej˝ u rendszer gerjeszt´es´et ´es v´alasz´at, s[k] ´es y[k] pedig a diszkr´et idej˝ u rendszer gerjeszt´es´et ´es v´alasz´at. A W (´ırott W ) az o¨sszerendel´es oper´atora, amely reprezent´alja mag´at a rendszert, azaz ha ismerj¨ uk a rendszer gerjeszt´es´et, akkor annak v´alasza meghat´arozhat´o. T¨obbnyire SISO-rendszerekkel foglalkozunk. 2.) MIMO-rendszerek. A MIMO r¨ovid´ıt´es az angol ,,multiple input multiple output” elnevez´esb˝ol ad´odik, ´es sok bemenet˝ u ´es sok kimenet˝ u rendszer t jelent. Ezen rendszerek ´ertelemszer˝ uen t¨obb gerjeszt´eshez t¨obb v´alaszt rendelnek, amit az y(t) = W{s(t)},

vagy

y[k] = W{s[k]}

(2.2)

gerjeszt´es-v´alasz kapcsolattal ´ırhatunk le matematikailag. Ebben az esetben az I sz´am´ u gerjeszt´es ´es az O sz´am´ u v´alasz k¨oz¨ott a gerjeszt´es-v´alasz kapcsolatot O sz´am´ u oper´ator ´ırja le mind folytonos, mind diszkr´et idej˝ u rendszer eset´en:  y1 = W1 {s1 , s2 , . . . , sI },    y2 = W2 {s1 , s2 , . . . , sI },  y = W{s}, ..  .    yO = WO {s1 , s2 , . . . , sI }, 28

amely gerjeszt´eseket ´es v´alaszokat egy-egy oszlopvektorban lehet megadni: s = [s1 , s2 , . . . , sI ]T , s(t)

y = [y1 , y2 , . . . , yO ]T .

y(t)

6

6

-t

SISO sy = W{s}

-t

y-

s1-

.. .-

sI-

MIMO y = W{s}

y1 .. .-

yO

2.1. a´bra. SISO- ´es MIMO-rendszerek grafikus megad´ asa (SISOrendszern´el p´eld´ at l´ athatunk egy gerjeszt´esre adott v´ alaszra folytonos idej˝ u rendszer eset´en) L´eteznek m´eg MISO- (sok bemenet˝ u ´es egy kimenet˝ u), ´es SIMO- (egy bemenet˝ u ´es sok kimenet˝ u) rendszerek is. Fontos megjegyezni, hogy a gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat a fenti alakban a´ltal´aban nem ismert. L´eteznek azonban un. rendszermodellek, amelyek rendelkeznek bizonyos sz´am´ u ismeretlen param´eterrel, s a c´el az, hogy az objektumon v´egzett m´er´esek eredm´enyeit felhaszn´alva meghat´arozzuk a rendszermodell param´etereit u ´ gy, hogy az min´el jobban le´ırja a vizsg´alt objektum viselked´es´et. Ez a feladat a rendszeridentifik´ aci´ o, amely m´eg manaps´ag is fontos kutat´asi ter¨ ulet. Ennek ismertet´ese meghaladja ezen k¨onyv ´es a t´argy kereteit, ´ıgy ezzel nem foglalkozunk, hanem feltessz¨ uk, hogy az objektum gerjeszt´es-v´alasz kapcsolata, azaz a rendszermodell adva van. Oszt´alyozhatjuk a rendszereket a bemenet(ek) ´es kimenet(ek) k¨oz¨otti lek´epez´est megval´os´ıt´o W oper´ator determinisztikus ´es sztochasztikus jellege alapj´an. Csak a determinisztikus gerjeszt´esv´alasz kapcsolat´ u ´es determinisztikus bemenet˝ u ´es determinisztikus kimenet˝ u rendszerekkel foglalkozunk.

29

Att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a gerjeszt´es ´es a v´alasz folytonos idej˝ u vagy diszkr´et idej˝ u, egy rendszer lehet 1.) folytonos idej˝ u gerjeszt´es˝ u ´es folytonos idej˝ u v´ alasz´ u, 2.) folytonos idej˝ u gerjeszt´es˝ u ´es diszkr´et idej˝ u v´ alasz´ u, vagy anal´og-digit´alis (A/D) a´talak´ıt´ok, 3.) diszkr´et idej˝ u gerjeszt´es˝ u ´es folytonos idej˝ u v´ alasz´ u, vagy digit´alis-anal´og (D/A) a´talak´ıt´ok, 4.) diszkr´et idej˝ u gerjeszt´es˝ u ´es diszkr´et idej˝ u v´ alasz´ u. A k¨onyv f˝ok´ent az els˝o ´es az utols´o csoportba tartoz´o rendszerekkel foglalkozik. Az A/D a´s D/A a´talak´ıt´ok eset´eben a diszkr´et idej˝ u jelek rendszerint diszkr´et ´ert´ek˝ uek is. A 10. ´es 11. fejezetekben foglalkozunk a m´asik k´et csoporttal is. A rendszereket (amelyeknek gerjeszt´ese ´es v´alasza egyar´ant folytonos idej˝ u vagy diszkr´et idej˝ u) m´eg a k¨ovetkez˝o fontos szempontok szerint oszt´alyozhatjuk: 1.) Line´ aris rendszerek. Egy rendszer (folytonos idej˝ u, vagy diszkr´et idej˝ u) akkor line´ aris, ha a gerjeszt´es-v´alasz kapcsolatot kifejez˝o W oper´ator line´aris, azaz ha a rendszerre ´erv´enyes a szuperpoz´ıci´ o elv e, ami a k¨ovetkez˝ot jelenti. T´etelezz¨ uk fel, hogy a W oper´ator az s 1 gerjeszt´eshez az y1 v´alaszt, az s2 gerjeszt´eshez pedig az y2 v´alaszt rendeli. Legyen ezut´an a rendszer gerjeszt´ese s = C 1 s1 + C2 s2 , ahol C1 ´es C2 tesz˝oleges konstans ´ert´ekek, akkor a line´aris rendszer v´alasza y = C1 y1 + C2 y2 . Ha ez nem a´ll fenn, akkor a rendszer nemline´ aris. A linearit´as felt´etel´et form´alisan is megfogalmazhatjuk, ha felhaszn´aljuk az y = W{s} jel¨ol´est: W{C1 s1 + C2 s2 } = C1 W{s1 } + C2 W{s2 } = C1 y1 + C2 y2 . (2.3) A linearit´as fontos k¨ovetkezm´enye, hogy ha a rendszer gerjeszt´ese s = 0, akkor v´alasza is y = 0. A line´aris ellen´all´as karakterisztik´aja Ohm t¨orv´enye ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o: u(t) = Ri(t). A kondenz´atort ´es a te30

´es u(t) = L di(t) egyenlekercset karakteriz´al´o i(t) = C du(t) dt dt tek szint´en line´aris eszk¨oz¨oket ´ırnak le (R, L ´es C konstans ´ert´ekek). A f´elvezet˝o eszk¨oz¨ok (di´oda, tranzisztor) tipikus nemline´aris a´ramk¨ori elemek. A k¨onyvben f˝ok´ent line´aris rendszerekkel foglalkozunk, de a 12. fejezetben kit´er¨ unk a nemline´aris rendszerek vizsg´alat´ara is. 2.) Invari´ ans rendszerek. Egy rendszer akkor invari´ ans, ha a gerjeszt´es id˝ obeli eltol´ asa azt eredm´enyezi, hogy a v´alaszban csak egy ugyanekkora id˝obeli eltol´od´as k¨ovetkezik be (2.2. a´bra): W{s(t − τ )} = W{s(t)}| t→t−τ ,

∀t, τ ∈ R,

W{s[k − i]} = W{s[k]}| k→k−i , s(t)

∀k, i ∈ Z.

(2.4)

y(t)

6

6

-t

ss(t − τ )

-t

W{·}

6

yy(t − τ )

6

-t

-t

2.2. a´bra. A folytonos idej˝ u rendszer invarianci´ aja Tegy¨ uk fel, hogy egy folytonos idej˝ u SISO-rendszer gerjeszt´ese s(t), s erre a rendszer y(t) v´alasszal reag´al. Toljuk el ezut´an a gerjeszt´est az id˝oben, mik¨ozben a jel alakja nem v´altozik meg, azaz legyen a gerjeszt´es s(t − τ ). Ha ehhez a gerjeszt´eshez y(t − τ ) v´alasz tartozik, akkor a rendszer invari´ans. Diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´en ez a k¨ovetkez˝ok´epp r´eszletezhet˝o. Tegy¨ uk fel, hogy egy diszkr´et idej˝ u rendszer gerjeszt´ese s[k], s erre a rendszer y[k] v´alasszal reag´al. Toljuk el ezut´an a gerjeszt´est az id˝oben, mik¨ozben a jel alakja nem v´altozik meg, azaz legyen a gerjeszt´es s[k − i]. Ha ehhez a gerjeszt´eshez y[k − i] v´alasz tartozik, akkor a rendszer invari´ans. Ezen felt´etelnek minden s(t)-y(t), illetve s[k]y[k] p´arra teljes¨ ulni kell. Ellenkez˝o esetben a rendszer vari´ ans. 31

Vari´ans rendszer pl. egy egyszer˝ u ellen´all´as is, ha figyelembe vessz¨ uk, hogy a rajta a´tfoly´o a´ram a´ltal l´etrehozott teljes´ıtm´eny meleg´ıti az ellen´all´ashuzalt. A meleged´es hat´as´ara megn˝o a huzal rezisztenci´aja. Egyszer˝ ubb esetben ett˝ol a hat´ast´ol eltekint¨ unk, azaz invari´ans rendszerk´ent modellezz¨ uk az ellen´all´ast, konstans rezisztenci´aval. 3.) Kauz´ alis rendszerek. Egy rendszer akkor kauz´ alis, ha v´alasz´anak adott id˝opontbeli ´ert´eke nem f¨ ugg a gerjeszt´es j¨ov˝obeli ´ert´ek´et˝ol, vagy prec´ızebben megfogalmazva, egy folytonos idej˝ u rendszer akkor kauz´alis, ha az y(t) v´alasz b´armely t 1 id˝opontban az s(t) gerjeszt´es csak olyan ´ert´ekeit˝ol f¨ ugg, melyekre t ≤ t 1 . Egy diszkr´et idej˝ u rendszer (anal´og m´odon) akkor kauz´alis, ha az y[k] v´alasz b´armely k1 u ¨ temben az s[k] gerjeszt´es csak olyan ´ert´ekeit˝ol f¨ ugg, melyekre k ≤ k 1 . Egy´ebk´ent a rendszer akauz´ alis. Egy line´ aris rendszer akkor ´es csakis akkor kauz´ alis, ha b´ armely bel´ep˝ o gerjeszt´eshez bel´ep˝ o v´ alasz tartozik. Minden fizikai rendszer kauz´alis, hiszen a tapasztalat szerint nincs olyan rendszer, amelynek jelen id˝opillanatbeli a´llapota f¨ uggene a j¨ov˝ot˝ol. Ezek az un. predikci´ora (j´osl´asra) k´epes rendszerek. 4.) Stabil rendszerek. Egy rendszer akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, ha b´ armely korl´atos gerjeszt´esre korl´atos v´alasszal reag´al. Ezt a stabilit´ast BIBO-stabilit´asnak is szok´as nevezni a ,,bounded input implies bounded output” angol elnevez´es r¨ovid´ıt´es´eb˝ol. A defin´ıci´oban kiemelj¨ uk a b´ armely sz´o jelent˝os´eg´et. Elk´epzelhet˝o, hogy a rendszer t¨obb korl´atos gerjeszt´esre korl´atos v´alaszt ad, de ha l´etezik ak´ar egyetlen olyan korl´atos gerjeszt´es, amelyre a rendszer nem korl´atos v´alasszal reag´al, akkor a rendszer nem gerjeszt´es-v´alasz stabilis, m´as sz´oval a rendszer labilis.

32

3. fejezet

H´ al´ ozatok 3.1.

A h´ al´ ozat fogalma

A h´ al´ ozat (gondoljunk pl. egy villamos h´al´ozatra) komponensek o ¨sszekapcsol´ as´ ab´ ol a ´ll. Minden komponensnek (h´al´ozati elemnek) egy vagy t¨obb bemenete ´es egy vagy t¨obb kimenete lehet (p´olusok). A bemenet(ek) ´es a kimenet(ek) k¨ozti kapcsolatot a komponens karakterisztik´ a ja adja meg, ami egy f¨ uggv´enykapcsolat a komponens bemeneti v´altoz´oja (v´altoz´oi) ´es kimeneti v´altoz´oja (v´altoz´oi) k¨oz¨ott, pl. megadja a kimeneti v´altoz´ot a bemeneti v´altoz´o f¨ uggv´eny´eben. A h´al´ozat bemenet´ere a gerjeszt´est kapcsoljuk, kimenet´en pedig a v´alaszt v´arjuk. A h´al´ozatok ugyan´ ugy oszt´alyozhat´ok, mint a rendszerek. Besz´elhet¨ unk teh´at line´aris ´es nemline´aris, invari´ans ´es vari´ans, kauz´alis ´es akauz´alis, stabil ´es nem stabil h´al´ozatokr´ol. A h´al´ozat is rendelkezhet egy, vagy t¨obb bemenettel ´es egy, vagy t¨obb kimenettel, gerjeszt´ese ´es v´alasza lehet folytonos idej˝ u vagy diszkr´et idej˝ u. Az elnevez´esek defin´ıci´oja term´eszetesen megegyezik a rendszerek eset´eben t´argyaltakkal. A h´ al´ ozat akkor reprezent´ al, m´ assz´ oval realiz´ al egy rendszert, ha gerjeszt´es-v´ alasz kapcsolataik megegyeznek. 33

3.2.

Jelfolyam t´ıpus´ u h´ al´ ozatok elemei

Az a´ltalunk vizsg´alt h´al´ozatok un. jelfolyamh´ al´ ozatok, melyekben a k¨ovetkez˝o jellegzetes (elemi) komponensek fordulhatnak el˝o: 1.) Forr´ as. A forr´as a h´al´ozat bemenet´et, gerjeszt´es´et reprezent´alja, egyetlen kimeneti v´altoz´oja az s = s(t) folytonos idej˝ u jel, vagy az s = s[k] diszkr´et idej˝ u jel, bemenete nincs. 2.) Nyel˝ o. A nyel˝o a h´al´ozat kimenet´et, v´ alasz a´t reprezent´alja, bemeneti v´altoz´oja a keresett y = y(t) folytonos idej˝ u jel, illetve y = y[k] diszkr´et idej˝ u jel, kimenete nincs. ¨ 3.) Osszegz˝ ocsom´ opont. Az o¨sszegz˝o csom´opont kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝o jelek o¨sszege jelenik meg, azaz X X y(t) = si (t), vagy y[k] = si [k]. i

 s

y-

 

? P si- y 6

(3.1)

i

Tetsz˝oleges sz´am´ u bemenete lehet ´es egyetlen kimenete van. Az o¨sszegz˝ocsom´opontokn´al teh´at o ¨sszekapcsol´ asi k´enyszer a´ll fenn, melynek teljes¨ ulni kell. 4.) El´ agaz´ ocsom´ opont. Egyetlen bemeneti s - r yi p´olusa ´es tetsz˝oleges sz´am´ u kimeneti p´olusa van. A bemenet´ere ´erkez˝o s = s(t), vagy s = s[k] jel minden kimenet´en v´ altozatlanul halad tov´abb, azaz y i = yi (t) = s(t), vagy yi = yi [k] = s[k]. Az el´agaz´ocsom´opontokn´al szint´en o ¨sszekapcsol´ asi k´enyszer a´ll fenn. 5.) Er˝ os´ıt˝ o. Az er˝os´ıt˝o olyan line´aris komy s-@@ ponens, amelynek karakterisztik´aja y(t) = Ks(t), K vagy y[k] = Ks[k], ahol K egy id˝ot˝ol f¨ uggetlen konstans (er˝ os´ıt´es), teh´at az er˝os´ıt˝o invari´ans elem. Ha |K| < 1, akkor csillap´ıt´ asr´ol besz´el¨ unk. Ha K az id˝o ismert f¨ uggv´enye (K(t), vagy K[k]), akkor vari´ans er˝os´ıt˝or˝ol van sz´o. 34

6.) K´ esleltet˝ o. A k´esleltet˝o olyan diszkr´et 1] x[k] idej˝ u h´al´ozati elem, amely a bemenet´ere ´erkez˝o x[k + D diszkr´et idej˝ u jelet egy u ¨ temmel k´eslelteti, de a kimeneti jel ´es a bemeneti jel ´ert´eke megegyezik. Ez mem´ori´aval b´ır´o, un. dinamikus elem. A D bet˝ u az angol delay (k´esleltet´es) sz´ora utal. 7.) Integr´ ator. Az integr´ator olyan folytonos R x(t) ˙ idej˝ u h´al´ozati elem, amelynek kimenet´en a beme- x(t) net´ere ´erkez˝o folytonos idej˝ u jel integr´alja jelenik meg. A k´es˝obbiekben azonban azt a jel¨ol´est fogjuk haszn´alni, hogy az integr´ator bemeneti jele az x(t) ˙ deriv´alt jel, kimenete pedig az x(t) jel. A jel f¨ol¨otti pont az id˝o szerinti deriv´altra utal. Az integr´ator a folytonos idej˝ u h´al´ozatok dinamikus eleme. 8.) Nemline´ aris er˝ os´ıt˝ o. A nemline´aris ξη Φ er˝os´ıt˝o olyan komponens, melynek karakterisztik´aja nemline´aris, bemenet ´es kimenete k¨oz¨ott az η = Φ{ξ} kapcsolat a´ll fenn, ahol ξ (a g¨or¨og kszi bet˝ u) a nemline´aris er˝os´ıt˝o bemeneti jele, η (a g¨or¨og eta bet˝ u) pedig a kimeneti jele, Φ{·} (a g¨or¨og nagy fi bet˝ u) pedig egy nemline´aris f¨ uggv´enykapcsolat. 9.) Szorz´ ocsom´ opont. A szorz´ocsom´opont (ami egy nemline´aris komponens) kimenet´en a beQ? si- ymenet´ere ´erkez˝o jelek szorzata jelenik meg:

y(t) =

Y

si (t),

vagy y[k] =

i

Y

si [k].

6 (3.2)

i

Megeml´ıtj¨ uk, hogy egy´eb t´ıpus´ u h´al´ozatok is l´eteznek, a villamosm´ern¨oki gyakorlatban pl. a Kirchhoff-t´ıpus´ u h´ al´ ozat az egyik legfontosabb. A h´ al´ ozatanal´ızis feladata az ismert h´al´ozati topol´ogi´aval, ´es ismert karakterisztik´aj´ u komponensekkel megadott h´al´ozat a´ltal reprezent´alt rendszer valamely gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat´anak meghat´aroz´asa. Erre p´eld´ak kapcs´an t´er¨ unk ki. 35

2. r´ esz Anal´ızis az id˝ otartom´ anyban Ebben a r´eszben line´ aris, invari´ ans ´es kauz´ alis rendszerek id˝otartom´anybeli anal´ızis´evel foglalkozunk. Az id˝ otartom´ anyban v´egzett sz´ am´ıt´ asok sor´ an a gerjeszt´es ´es a v´ alasz id˝ of¨ uggv´eny´et haszn´ aljuk. A c´el adott gerjeszt´eshez tartoz´o v´alasz meghat´aroz´asa a rendszer valamely le´ır´as´anak ismeret´eben. A rendszert megadhatjuk impulzusv´ alasz a´val, rendszeregyenlet´evel, a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as´aval, vagy h´ al´ ozati reprezent´ aci´ o j´aval. Folytonos idej˝ u rendszerek eset´eben ezen n´egy m´odszer k¨oz¨ ul csak h´arommal foglalkozunk (az impulzusv´alasszal, az a´llapotv´altoz´os le´ır´assal, valamint a jelfolyam t´ıpus´ u h´al´ozatokkal), diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben azonban mind a n´egy lehet˝os´eget t´argyaljuk, ´es megadjuk a v´alasz sz´am´ıt´as´anak menet´et. A folytonos idej˝ u rendszeregyenlettel csak ´erint˝oleg foglalkozunk. Megadjuk a rendszeregyenlet ´es az a´llapotv´altoz´os le´ır´as kapcsolat´at is. Foglalkozunk tov´abb´a a rendszerek stabilit´ as´aval (gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as ´es aszimptotikus stabilit´as). El˝osz¨or a folytonos idej˝ u (a fejezetc´ımben FI) rendszerek anal´ızis´evel, majd hasonl´o gondolatmenetet k¨ovetve a diszkr´et idej˝ u (a fejezetc´ımben DI) rendszerek anal´ızis´evel foglalkozunk. A m´odszerek t´argyal´asa sor´an igyeksz¨ unk szem el˝ott tartani azt a t´enyt, hogy a k¨onyv els˝osorban egyetemi alapk´epz´esben r´eszt vev˝o hallgat´ok sz´am´ara k´esz¨ ult. Ezen okn´al fogva csak a pap´ıron, k´ezzel is megoldhat´o probl´em´akra ´es feladatokra koncentr´alunk ´es az alapvet˝o tudnival´okat t´argyaljuk a k¨onyv keretei a´ltal megszabott hat´arokon bel¨ ul. A m´odszerek azonban alapot ´es szeml´eletet adnak arra vonatkoz´oan, hogyan lehet bonyolultabb feladatokat sz´am´ıt´og´epes programok alkalmaz´as´aval megoldani.

36

4. fejezet

FI rendszerek anal´ızise az id˝ otartom´ anyban 4.1. 4.1.1.

Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa Az ugr´ asv´ alasz defin´ıci´ oja

Ha ismerj¨ uk egy line´aris rendszer adott gerjeszt´eshez (az un. vizsg´ al´ ojelhez) tartoz´ o v´ alasz´ at, akkor ezen gerjeszt´es-v´ alasz kapcsolat ismeret´eben meg tudjuk hat´arozni a rendszer tetsz˝oleges gerjeszt´eshez tartoz´o v´alasz´at is. Ilyen vizsg´ al´ ojel az egys´egugr´ asjel ´es a Dirac-impulzus. Ebben az esetben ugyanis ez a gerjeszt´esv´alasz kapcsolat jellemzi a line´aris rendszert (l. W{·} oper´ator a (2.1) defin´ıci´oban). A k¨ovetkez˝okben ezen k´et jel alkalmaz´as´aval foglalkozunk. Ha a gerjeszt´es id˝of¨ uggv´eny´et elemi f¨ uggv´enyekre bontjuk, akkor az egyes r´eszf¨ uggv´enyekre, mint gerjeszt´esekre a r´eszv´alaszokat k¨ ul¨on-k¨ ul¨on meg lehet hat´arozni. V´eg¨ ul a (2.3) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen a r´eszv´alaszok o¨sszegz´ese adja a teljes v´alaszjelet, hiszen a rendszer line´aris. Az ut´obbi szempontb´ol a legegyszer˝ ubb vizsg´al´ojel az ε(t)

37

egys´egugr´as. Ha a rendszer bemenet´ere ezt a jelet adjuk, akkor a rendszer v´alasza az un. ugr´ asv´ alasz, vagy m´as n´even a ´tmeneti f¨ uggv´eny lesz, melyet v(t)-vel szok´as jel¨olni. Az ugr´ asv´ alasz teh´ at az egys´egugr´ asjelre adott v´ alasz: y(t) = v(t),

ha

s(t) = ε(t),

azaz

v(t) = W{ε(t)}.

(4.1)

Ha a rendszer kauz´ alis, akkor az ugr´asv´alasz bel´ep˝ ojel. Ha a rendszer id˝oben invari´ ans, akkor az eltolt ε(t − τ ) jelre a rendszer v(t − τ ) v´alasszal felel, hiszen ha a bemenetre ´erkez˝o jel id˝oben k´es˝obb jelentkezik, akkor a v´alaszban is ugyanekkora k´esleltet´es lesz megfigyelhet˝o. A rendszer invarianci´ a j´anak ´es linearit´ as´anak illusztr´al´as´at szolg´alja a k¨ovetkez˝o h´arom egyszer˝ u p´elda (l. 4.1. a´bra). 1.) Legyen egy line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer ugr´asv´alasza, azaz az s(t) = ε(t) gerjeszt´esre adott v´alasza a k¨ovetkez˝o: v(t) = ε(t) e−2t . Ha ugyanezen rendszer gerjeszt´ese s(t) = ε(t − 4), ami azt jelenti, hogy az ugr´as a t = 4 s id˝opillanatban jelenik meg, akkor a rendszer kimenet´en az invariancia k¨ovetkezt´eben az y(t) = v(t − 4) = ε(t − 4) e−2(t−4) v´alaszjel jelenik meg a t = 4 s id˝opillanatban, teh´at a v´alaszjel is ugyanannyit k´esik, mint a gerjeszt´es (4.1. a´bra 1. a´br´aja). Vegy¨ uk ´eszre, hogy minden t hely´ebe (t − 4)-et ´ırtunk. 1 2.) Az ugr´asv´alasz ismeret´eben meghat´arozhatjuk pl. azt is, hogy milyen feleletet ad a rendszer az s(t) = 2 ε(t) gerjeszt´esre (az ε(t) jel konstansszoros´ara). A gerjeszt´es ebben az esetben az egys´egugr´asjel 2-szerese, s mivel a rendszer az ε(t) jelre v(t) 1

Az e−2t jel a t = 4 s helyen 3, 355·10−4 ´ert´eket ad, ugyanakkor az e−2(t−4) jel ugyanezen id˝ opillanatban 1-et ad, s ez a helyes az id˝ obeli invariancia miatt.

38

2

1.5 1 0.5 0

3 v(t) y(t)

1.5

1.5 y(t)

v(t) y(t)

v(t), y(t)

v(t), y(t)

2

1 0.5 0

0

2

4 6 t[s]

8

0 -1.5 -3

0

2

4 6 t[s]

8

0

2

4 6 t[s]

8

4.1. a´bra. Az invariancia ´es a linearit´ as illusztr´ al´ asa jellel v´alaszol, a gerjeszt´esben l´ev˝o konstansszorz´o megjelenik a v´alaszban is, teh´at a kimeneten az y(t) = 2v(t) jel lesz (4.1. a´bra 2. a´br´aja). Ez a rendszer linearit´ as´anak k¨ovetkezm´enye, vagyis y(t) = 2 ε(t) e−2t . 3.) Legyen ezut´an a rendszer gerjeszt´ese s(t) = 2, 5[ε(t) − ε(t − 3)], s hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at. Az s(t) jel most k´et jel k¨ ul¨onbs´ege, s mindk´et jel tartalmaz ε(t) t´ıpus´ u jelet: az els˝o tag ennek 2, 5-szerese, a m´asodik tag szint´en a 2, 5-szerese, de az el is van tolva a t = 3 s helyre. A rendszer v´alasz´anak meghat´aroz´as´ahoz fel kell haszn´alni a fenti k´et eredm´enyt, s ´ıgy a v´alaszjel y(t) = 2, 5[v(t) − v(t − 3)] lesz. Behelyettes´ıt´es ut´an kapjuk, hogy (l. 4.1. a´bra 3. a´br´aja) h i y(t) = 2, 5 ε(t) e−2t − ε(t − 3) e−2(t−3) . Az ugr´asv´alasz egy un. rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny, mivel jellemzi a rendszer m˝ uk¨od´es´et, ´es seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges gerjeszt´esre meghat´arozhat´o a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye. A k¨ovetkez˝okben ezt vizsg´aljuk.

39

4.1.2.

A v´ alaszjel sz´ am´ıt´ asa

A k¨ovetkez˝okben felt´etelezz¨ uk, hogy ismert a line´aris rendszer v(t) ugr´asv´alasza, s c´elunk egy tetsz˝oleges s(t) gerjeszt´eshez tartoz´o y(t) v´alasz meghat´aroz´asa. A k´es˝obbiekben megvizsg´aljuk azt is, hogy lehet a rendszer valamely le´ır´asa mellett az ugr´asv´alaszt meghat´arozni. s(t)

6

si−1 R @

6 ∆s1 ?

s(0) τ0

τ1

∆si ? 6

 ∆τ -

...

τi−1

τi

...

-

t

4.2. a´bra. A gerjeszt´es jel´et egym´ as ut´ an bekapcsolt jelek o ¨sszegek´ent k¨ ozel´ıtj¨ uk K¨ovess¨ uk v´egig a k¨ovetkez˝o gondolatmenetet a 4.2. a´bra alapj´an, ´es induljunk ki a bel´ep˝ o s(t) gerjeszt´es id˝of¨ uggv´eny´eb˝ol. A t id˝otengely ment´en a [0, . . . , t] intervallumban (a v´alaszt a t id˝opillanatban keress¨ uk) vegy¨ unk fel ∆τ id˝ok¨oz¨onk´ent τ i = i∆τ id˝opontokat (i = 0, . . . , N ), ´es ∆τ = Nt . Ha s(0) a bel´ep˝ogerjeszt´es t = 0 -ban felvett ´ert´eke, akkor ε(t)s(0) egy olyan bel´ep˝oid˝of¨ uggv´eny, amelynek magass´aga s(0). Ha ezen id˝of¨ uggv´enyhez hozz´aadunk egy ε(t − τ1 )∆s1 id˝of¨ uggv´enyt, akkor a t = τ1 id˝opillanatt´ol kezdve az ered˝o f¨ uggv´eny ´ert´eke s(0) + ∆s 1 . ∆s1 ´ert´ek´et v´alasszuk meg u ´ gy, hogy s(0) + ∆s1 pontosan s(τ1 ) ´ert´ek´et adja, azaz ∆s1 = s(τ1 ) − s(0). Ha az ´ıgy kialakul´o id˝of¨ uggv´enyhez hozz´aadunk egy ε(t − τ2 )∆s2 id˝of¨ uggv´enyt, akkor a t = τ2 id˝opillanatt´ol kezdve az ered˝o f¨ uggv´eny ´ert´eke s(0) + ∆s 1 + ∆s2 , ahol ∆s2 ´ert´ek´et v´alasszuk meg u ´ gy, hogy s(0)+∆s 1 +∆s2 ´eppen s(τ2 ) ´ert´ek´et adja, azaz ∆s2 = s(τ2 ) − s(0) − ∆s1 ´es ´ıgy tov´abb. 40

Ha ezt az elj´ar´ast minden egyes τi ´ert´ekre elv´egezz¨ uk, akkor az s(t) gerjeszt´es id˝of¨ uggv´enye k¨ozel´ıthet˝o egy l´epcs˝ os f¨ uggv´ennyel, amelyben ε(t) konstansszorosai ´es eltoltjai szerepelnek: tetsz˝oleges s(t) gerjeszt´est ∆τ id˝ok¨oz¨onk´ent egym´as ut´an bekapcsolt ´es adott ∆si = ∆s(τi ) ´ert´ek˝ u ugr´asok o¨sszegek´ent a´ll´ıtjuk el˝o. Min´el kisebb ∆τ ´ert´eke, ann´al jobban meg tudjuk k¨ozel´ıteni az eredeti jelet. Mindez le´ırhat´o a k¨ovetkez˝ok´epp (∆s 0 = s(0)): s(t) '

N X i=0

∆s(τi ) ε(t − τi ) = ∆s0 ε(t) + ∆s1 ε(t − τ1 ) + . . . .

Azt m´ar tudjuk, hogy az ε(t) jelre a rendszer v´alasza v(t), s azt is, hogy a bemeneten t¨ort´en˝o id˝obeli eltol´as a kimeneten ugyanakkora eltol´ast jelent az id˝oben. A rendszer v´alasza egy ilyen l´epcs˝os jelekb˝ol fel´ep´ıtett jelalakra teh´at a k¨ovetkez˝o lesz: y(t) =

N X i=0

s(τ )

6

si−1

∆s(τi ) v(t − τi ) = s(0)v(t) + ds(τ ) dτ 

 6 ∆s(τi )     ? u ∆τ 

τi−1

--

τ

4.3. a´bra. Illusztr´ aci´ o ∆s(τi ) kifejez´es´ehez (a 4.2. a ´bra egy kinagy´ıtott r´esze) mert i = 0 eset´en a

N X i=1

∆s(τi ) v(t − τi ). (4.2)

Differenci´alsz´am´ıt´asb´ol ismeretes, hogy az s(τ ) jel minden egyes pont) j´ahoz h´ uzott ´erint˝o kifejezhet˝o a ds(τ dτ differenci´alh´anyados seg´ıts´eg´evel, s azt is tudjuk, hogy ha ∆τ → 0, akkor ∆s(τ ) ) ' ds(τ ert ∆τ dτ . Ezen ismeretekre az´ van sz¨ uks´eg, hogy ∆s(τi ) ´ert´ek´et ebb˝ol az (i − 1)-edik pontra t´amaszkodva kifejezz¨ uk (4.3. a´bra): ds(τ ) ∆s(τi ) ' · ∆τ. dτ τi−1

uk el, A (4.2) a´talak´ıt´ast az´ert v´egezt¨ = 0, hiszen a gerjeszt´es bel´ep˝o. Ezt

ds(τ ) dτ −∆τ

41

felhaszn´alva kapjuk, hogy N X ds(τ ) y(t) ' s(0)v(t) + dτ i=1

· ∆τ v(t − τi ).

τi−1

Min´el s˝ ur˝ ubbre vessz¨ uk a feloszt´ast a [0, . . . , t] intervallumban, azaz ∆τ → 0 ((τi − τi−1 ) → 0), ´es ´ıgy N → ∞, ann´al pontosabb k¨ozel´ıt´est kapunk. Az o¨sszeg a k¨ovetkez˝o integr´alhoz konverg´al: N X ds(τ ) y(t) = s(0)v(t) + lim v(t − τi )∆τ = ∆τ →0 dτ i=1 τi−1 (4.3) Z t ds(τ ) v(t − τ ) dτ. = s(0)v(t) + dτ 0 Ez a kifejez´es alkalmas a v´alasz meghat´aroz´as´ara, tartalmazza azonban az s(t) gerjeszt´es id˝o szerinti deriv´altj´at. Ezt a´talak´ıthatjuk a parci´alis integr´al´as szab´alya alapj´an, ami azt mondja ki, hogy Z b Z b uv 0 . u0 v = [uv]ba − a

a

Legyen itt u = s(τ ) ´es v = v(t − τ ), akkor a fenti integr´al a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o a´t Z t Z t ds(τ ) dv(t − τ ) v(t − τ ) dτ = [s(τ )v(t − τ )]t0 − dτ = s(τ ) dτ dτ 0 0 Z t dv(t − τ ) = s(t)v(0) − s(0)v(t)− s(τ ) dτ. dτ 0

) deriv´altat, azonban a t id˝o Ez a kifejez´es tartalmazza a dv(t−τ dτ szerinti deriv´altat szeretn´enk az o¨sszef¨ ugg´esben l´atni, mivel az ugr´asv´alasz a t v´altoz´o f¨ uggv´enye. Haszn´aljuk fel a l´ancszab´alyt ´es hogy d(t − τ ) = dt:

dv(t − τ ) dv(t − τ ) d dv(t − τ ) = (t − τ ) = − , dτ d(t − τ ) dτ dt 42

majd helyettes´ıts¨ uk vissza ezen eredm´enyeket az y(t) (4.3) kifejez´es´ebe, s azt kapjuk, hogy y(t) = s(t)v(0) +

Z

t

s(τ )

0

dv(t − τ ) dτ. dt

(4.4)

Ez az o¨sszef¨ ugg´es a Duhamel-t´etel. Ezen o¨sszef¨ ugg´es levezet´ese sor´an abb´ol indultunk ki, hogy a gerjeszt´es bel´ep˝ o jelleg˝ u ´es a rendszer kauz´ alis. Ezen gyakorlati szempontb´ol is fontos eredm´eny teh´at a folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszerek eset´en igaz. Teljesen a´ltal´anos esetben mindez a k¨ovetkez˝ok´epp alakul ha v(−∞) = 0: y(t) =

Z

∞

s(τ )

−∞

4.2. 4.2.1.

dv(t − τ ) dτ. dt

(4.5)

Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa Az impulzusv´ alasz defin´ıci´ oja

Az ε(t) mellett a m´asik fontos vizsg´al´ojel a δ(t) Dirac-impulzus. Ha a rendszer bemenet´ere ezt a jelet adjuk, akkor a rendszer v´alasza az un. impulzusv´ alasz, vagy m´asn´even s´ ulyf¨ uggv´eny lesz, melyet w(t)-vel szok´as jel¨olni.2 Az impulzusv´ alasz teh´ at a Dirac-delta jelre adott v´ alasz: y(t) = w(t),

ha s(t) = δ(t),

azaz

w(t) = W{δ(t)}. (4.6)

Az impulzusv´alasz ak´ar csak az ugr´asv´alasz rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny. Ha a rendszer kauz´ alis, akkor az impulzusv´alasz bel´ep˝ ojel. Ha a rendszer id˝oben invari´ ans, akkor az eltolt δ(t − τ ) jelre a rendszer w(t − τ ) v´alasszal felel. Az elmondottakat a k¨ovetkez˝o p´eld´akkal illusztr´aljuk. 2

Egyes irodalmakban h(t)-vel is jel¨ olik.

43

1.) Legyen egy line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer impulzusv´alasza, azaz az s(t) = δ(t) gerjeszt´esre adott v´alasza p´eld´aul w(t) = δ(t) − 2ε(t)e−2t . Ha ugyanezen rendszer gerjeszt´ese a k´esleltetett s(t) = δ(t − 5) jel, akkor a rendszer kimenet´en a v´alaszjel szint´en k´esni fog, mivel a rendszer invari´ ans: y(t) = w(t − 5) = δ(t − 5) − 2ε(t − 5)e−2(t−5) . 2.) Az impulzusv´alasz ismeret´eben meghat´arozhatjuk pl. az s(t) = 1, 5δ(t) gerjeszt´esre adott v´alaszt. A gerjeszt´es ebben az esetben a Dirac-impulzus 1, 5-szerese, s ´ıgy y(t) = 1, 5w(t) = 1, 5δ(t) − 3 ε(t)e−2t . Ez a rendszer linearit´ as´anak k¨ovetkezm´enye. 3.) Legyen a rendszer gerjeszt´ese most s(t) = 2δ(t) + δ(t − 3) − 3δ(t − 5), s hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at. Az s(t) jel most h´arom jelb˝ol a´ll, s mindegyik tartalmaz δ(t) t´ıpus´ u jelet: annak konstansszoros´at ´es eltoltj´at. A rendszer v´alasz´anak meghat´aroz´as´ahoz fel kell haszn´alni a fenti k´et eredm´enyt, s ´ıgy a v´alaszjel a k¨ovetkez˝o lesz: y(t) =2w(t) + w(t − 3) − 3w(t − 5) =

=2δ(t) − 4ε(t)e−2t + δ(t − 3) − 2ε(t − 3)e−2(t−3) − −3δ(t − 5) + 6ε(t − 5)e−2(t−5) .

Ezen p´eld´akban a gerjeszt´es csak a δ(t) jelet, annak konstansszoros´at ´es id˝obeli eltoltj´at tartalmazta, s a v´alasz meghat´aroz´asa nagyon egyszer˝ u volt. Vizsg´aljuk meg most azt az esetet, amikor a gerjeszt´es egy a´ltal´anos id˝of¨ uggv´eny. 44

4.2.2.

A v´ alaszjel sz´ am´ıt´ asa

A k¨ovetkez˝okben felt´etelezz¨ uk, hogy ismert a rendszer w(t) impulzusv´alasza, s c´elunk egy tetsz˝oleges s(t) gerjeszt´eshez tartoz´o y(t) v´alasz meghat´aroz´asa. A k´es˝obbiekben megvizsg´aljuk azt is, hogy lehet a rendszer valamely le´ır´asa mellett az impulzusv´alaszt meghat´arozni. El˝osz¨or az a´ltal´anos esetet vizsg´aljuk, majd abb´ol kiindulva a kauz´alis rendszer v´alaszjel´et is meghat´arozzuk, v´eg¨ ul a gerjeszt´es bel´ep˝o hat´as´at is figyelembe vessz¨ uk. Amikor az ugr´asv´alaszt haszn´altuk a v´alasz el˝oa´ll´ıt´as´ahoz, akkor a gerjeszt´est adott id˝opillanatokban bekapcsolt adott ´ert´ek˝ u ugr´asjelek o¨sszegek´ent a´ll´ıtottuk el˝o. Erre az´ert volt sz¨ uks´eg, hogy haszn´alhassuk az ε(t) jelre adott ugr´asv´alaszt. s(t)

6

6

6

s0 ?

τ−1

τ0

si

 ∆τ -

τ1

...

-

?

τi

τi+1

t

4.4. a´bra. A gerjeszt´es jel´et impulzusok sorozatak´ent k¨ ozel´ıtj¨ uk Ha a v´alasz sz´am´ıt´as´ara az impulzusv´alaszt haszn´aljuk, akkor hasonl´ok´eppen kell elj´arni, de a nem bel´ep˝ o gerjeszt´est ∆τ sz´eless´eg˝ u impulzusokkal k¨ozel´ıtj¨ uk (l. 4.4. a´bra). A t id˝otengely ment´en vegy¨ unk fel ∆τ id˝ok¨oz¨onk´ent τ i = i∆τ id˝opontokat ´es uk a gera τi ≤ τ < τi+1 = τi + ∆τ id˝ointervallumban k¨ozel´ıts¨ jeszt˝ojelet si ´ert´ek´evel, si = s(τi ) (i = −∞, . . . , ∞). Ha ezt minden intervallumra megtessz¨ uk, akkor ugyanolyan l´epcs˝os f¨ uggv´enyt kapunk, mint amilyet kaptunk az eltolt egys´egugr´asok seg´ıts´eg´evel, azonban most szakaszonk´ent egy-egy 45

impulzussal k¨ozel´ıtj¨ uk a f¨ uggv´enyt. A gerjeszt´es teh´at fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: s(t) '

∞ X

i=−∞

s(τi ) [ε(t − τi ) − ε(t − (τi + ∆τ ))] .

Szorozzuk be ezen o¨sszeget ∆τ -val ´es osszuk is el vele: s(t) '

∞ X

s(τi )

i=−∞

ε(t − τi ) − ε(t − (τi + ∆τ )) ∆τ. ∆τ

A szumm´aban szerepl˝o t¨ort az (1.10) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen pontosan a δ(t − τi , ∆τ ) f¨ uggv´enyt tartalmazza. Min´el s˝ ur˝ ubbre vessz¨ uk ezt a feloszt´ast –azaz ha ∆τ → 0– ann´al pontosabb k¨ozel´ıt´est kapunk, ´es ekkor a δ(t − τ i , ∆τ ) impulzusok a δ(t − τi ) Dirac-impulzusokba mennek a´t, az o¨sszegz´es helyett pedig integr´alt ´ırhatunk. A gerjeszt´es id˝of¨ uggv´enye teh´at fel´ırhat´o az s(t) =

Z

∞

−∞

s(τ )δ(t − τ )dτ

(4.7)

integr´allal. Ez az (1.14) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen is fel´ırhat´o, ugyanis: Z ∞ s(t) = s(t) δ(t − τ )dτ = s(t). −∞

A (4.7) integr´al ismeret´eben k¨ovess¨ uk v´egig a k¨ovetkez˝oket. Tudjuk, hogy a δ(t) jelre adott v´alasz a w(t) impulzusv´alasz, ´es a rendszer invarianci´aj´anak k¨ovetkezt´eben a δ(t − τ ) gerjeszt´esre a v´alaszjel w(t−τ ). A linearit´as k¨ovetkezm´enye, hogy az s(τ )δ(t−τ ) gerjeszt´esre a rendszer s(τ )w(t − τ ) v´alasszal felel. A (4.7) integr´al az s(τ )δ(t − τ ) gerjeszt´es integr´alja, ami v´egtelen sok eltolt ´es s´ ulyozott Dirac-impulzus o¨sszeg´et jelenti, s ilyenre a rendszer az egyes tagokra adott r´eszv´alaszok o¨sszeg´evel felel. Ez szint´en a

46

linearit´as k¨ovetkezm´enye, ´ıgy teh´at a rendszer v´alaszjele a k¨ovetkez˝o: Z ∞

y(t) =

−∞

(4.8)

s(τ )w(t − τ )dτ.

Az elmondottakat a k¨ovetkez˝o t´abl´azatban foglaljuk o¨ssze: s(t) δ(t) δ(t − τ ) R ∞ s(τ )δ(t − τ ) −∞ s(τ )δ(t − τ )dτ

−→ −→ −→ −→ −→

y(t) w(t) w(t − τ ) R ∞ s(τ )w(t − τ ) −∞ s(τ )w(t − τ )dτ

megjegyz´es defin´ıci´o invariancia linearit´as linearit´as

Ha a rendszer kauz´ alis, akkor a w(t) impulzusv´alasz bel´ep˝ojel. Az integranduszban szerepl˝o w(t − τ ) f¨ uggv´eny fut´o v´altoz´oja τ . Ez a´t´ırhat´o a w(−[τ − t]) alakra, ami annyit jelent, hogy a w(τ ) f¨ uggv´enyt t¨ ukr¨ozni kell a f¨ ugg˝oleges tengelyre, majd azt el kell tolni t-vel pozit´ıv ir´anyba. Ha w(t) bel´ep˝o, akkor a w(−[τ − t]) a τ > t id˝opillanatokban nulla ´ert´eket ad, s ´ıgy az s(τ )w(t − τ ) integrandusz ´ert´eke is nulla. Elegend˝o teh´at t-ig v´egezni az integr´al´ast: Z t y(t) = (4.9) s(τ )w(t − τ )dτ. −∞

Ha ezen t´ ulmen˝oen a gerjeszt´es bel´ep˝ o, akkor az integrandusz ´ert´eke a t < 0 id˝opillanatokban nulla, s ´ıgy elegend˝o 0-t´ol v´egezni az integr´al´ast: Z t y(t) = (4.10) s(τ )w(t − τ )dτ. 0

Ha a rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es bel´ep˝o, akkor a v´alaszjel is bel´ep˝o. Az o¨sszef¨ ugg´esekb˝ol ´erz´ekelhet˝o az impulzusv´alasz m´asik elnevez´ese, a s´ ulyf¨ uggv´eny: w(t − τ ) megadja s(τ ) s´ uly´at y(t) kifejez´es´eben.

47

Ut´obbi integr´al ´ertelmez´es´et seg´ıti a 4.5. a´bra. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert s(t) = ε(t). K´epezz¨ uk ezut´an a w(t − τ ) = w(−τ + t) = w(−[τ − t]) f¨ uggv´enyt. V´eg¨ ul hat´arozzuk meg az s(τ )w(t − τ ) szorzatot, s l´athatjuk az integr´al´asi hat´arok v´alaszt´as´anak ok´at szeml´eletesen is. s(τ ) 16

w(τ )

6 -

-

τ w(t − τ ) = w(−[τ − t])

6

τ s(τ )w(t − τ )

6

-

-

t τ t τ 4.5. a´bra. A konvol´ uci´ o szeml´eltet´ese bel´ep˝ o gerjeszt´es ´es bel´ep˝ o impulzusv´ alasz eset´en

4.3.

A s´ ulyf¨ uggv´ enyt´ etel o ¨sszefoglal´ asa

A line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszerek tetsz˝oleges bel´ep˝ogerjeszt´esre adott v´alasza meghat´arozhat´o teh´at a (4.4) vagy ´ a (4.10) integr´alok valamelyik´evel. Altal´ anos esetben azonban a (4.5) vagy a (4.8) integr´alok valamelyik´et kell alkalmaznunk. Ezen o¨sszef¨ ugg´eseket s´ ulyf¨ uggv´enyt´etelnek nevezz¨ uk, az improprius integr´alt pedig konvol´ uci´ o s integr´alnak. A ∗ szimb´olum bevezet´es´evel a k¨ovetkez˝o egyszer˝ u ´ır´asm´odot alkalmazzuk: y(t) = s(t) ∗ w(t),

(4.11)

A konvol´ uci´ o akkor ´ertelmezhet˝ o, ha s(t) ´es w(t) legal´ abb egyike korl´ atos, m´ asika pedig abszol´ ut integr´ alhat´ o.

48

A konvol´ uci´o a k¨ovetkez˝o tulajdons´agokkal b´ır: • Kommutat´ıv, azaz s(t) ∗ w(t) = w(t) ∗ s(t), azaz y(t) =

Z

∞

−∞

s(τ )w(t − τ ) dτ ≡

Z

∞ −∞

w(τ )s(t − τ ) dτ. (4.12)

• Asszociat´ıv, azaz f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] = [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t). • Disztribut´ıv, azaz [f (t)+g(t)]∗h(t) = f (t)∗h(t)+g(t)∗h(t). Ha az integr´al´asi hat´arok 0 ´es t, akkor egyoldali konvol´ uci´ o r´ol, ha −∞ ´es ∞, akkor k´etoldali konvol´ uci´ o r´ol besz´el¨ unk. A kommutat´ıv tulajdons´ag bel´athat´o, ha bevezetj¨ uk a ξ = t−τ v´altoz´ot, ahonnan τ = t−ξ ´es dτ = −dξ, hiszen t konstansnak tekintend˝o. ´Igy az integr´al´asi hat´arok a −∞ ´es a ∞ ´ert´ekekr˝ol a ξ = t − τ o¨sszef¨ ugg´es miatt ∞ ´es −∞ ´ert´ekekre v´altoznak: Z ∞ Z −∞ y(t) = s(τ )w(t − τ ) dτ = − s(t − ξ)w(ξ) dξ = −∞ ∞ Z ∞ Z ∞ (∗) w(ξ)s(t − ξ) dξ. s(t − ξ)w(ξ) dξ = = −∞

−∞

Rb Ra A (∗) l´ep´esben felhaszn´altuk, hogy a f (x)dx = − b f (x)dx. Az als´o integr´al´asi hat´ar akkor lehet 0, ha s(t) ∗ w(t) kifejez´es´eben s(t) bel´ep˝o, a fels˝o integr´al´asi hat´ar akkor lehet t, ha w(t) bel´ep˝o, azaz ha a rendszer kauz´alis. A kommutativit´as miatt az als´o integr´al´asi hat´ar akkor lehet 0, ha w(t) ∗ s(t) kifejez´es´eben w(t) bel´ep˝o, azaz ha a rendszer kauz´alis, a fels˝o integr´al´asi hat´ar akkor lehet t, ha s(t) bel´ep˝o.3 3

Egyszer˝ u megjegyezni u ´gy, hogy a fenti integr´ alok integrandusz´ aban szerepl˝ o els˝ o tag (a τ argumentummal) az als´ o integr´ al´ asi hat´ art, a m´ asodik tag (a (t − τ ) argumentummal) pedig a fels˝ o integr´ al´ asi hat´ art m´ odos´ıthatja az a ´ltal´ anos −∞ ´es ∞ ´ert´ekekhez k´epest.

49

Kauz´ alis rendszer eset´en a konvol´ uci´o a k¨ovetkez˝o alakot o¨lti: Z ∞ Z t w(τ )s(t − τ ) dτ. s(τ )w(t − τ ) dτ ≡ y(t) = (4.13) 0

−∞

Ha ezen fel¨ ul a gerjeszt´es is bel´ep˝ o, akkor Z t Z t w(τ )s(t − τ ) dτ. s(τ )w(t − τ ) dτ ≡ y(t) =

(4.14)

0

0

Ha a rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es bel´ep˝o, akkor a v´alaszjel is bel´ep˝o. Az ugr´asv´alasz ´es az impulzusv´alasz kapcsolata a konvol´ uci´o defin´ıci´oja alapj´an (a (4.12) 2. alakj´ab´ol kiindulva) meghat´arozhat´o: Z t Z ∞ w(τ ) dτ, w(τ )ε(t − τ ) dτ = v(t) = (4.15) −∞

−∞

amib˝ol k¨ovetkezik, hogy az impulzusv´alasz az ugr´asv´alasz a´ltal´anos´ıtott deriv´altja: w(t) = v 0 (t).

(4.16)

Egy apr´o megjegyz´est kell tenn¨ unk az el˝oz˝oekhez. Tudjuk, hogy bel´ep˝ojel eset´en az als´o integr´al´asi hat´art null´anak lehet v´alasztani. Ha azonban a gerjeszt´es Dirac-impulzust is tartalmaz, azt is figyelembe kell venni az integr´al´as sor´an. Ezt u ´ gy szok´as jel¨olni, hogy az als´o integr´al´asi hat´art −0-nak ´ırjuk. Ezt p´elda kapcs´an mutatjuk be. Az elmondottakat a k¨ovetkez˝o p´eld´akkal illusztr´aljuk. A p´eld´akban (´es a k´es˝obbiekben is) az impulzusv´alaszt alkalmazzuk az ugr´asv´alasz helyett a v´alasz meghat´aroz´asa sor´an, hiszen ha az ugr´asv´alasz ismert, akkor az impulzusv´alasz meghat´arozhat´o annak a´ltal´anos´ıtott deriv´altjak´ent (l. (4.16) o¨sszef¨ ugg´es). 50

1. P´ elda. Legyen egy rendszer impulzusv´alasza ´es gerjeszt´ese az al´abbi. Hat´arozzuk meg a v´alaszjelet konvol´ uci´oval. w(t) = ε(t)8e−2t , Megold´ as. j´ab´ol: def

y(t) =

(3)

Z

= 8e

(6)

Induljunk ki a konvol´ uci´o (4.8) a´ltal´anos defin´ıci´o-

∞ −∞ −2t

s(t) = ε(t).

(1)

s(τ )w(t − τ )dτ = Z

t 2τ

(4)

e dτ = 8e 0

−2t

Z

t

(2)

8e−2(t−τ ) dτ = 0



e2τ 2

t

0

(5)

= 8e

−2t



Z

t

8e−2t e2τ dτ = 0

e2t − 1 2



=

= 4 − 4e−2t .

Az (1) l´ep´esben helyettes´ıts¨ uk be a megadott id˝of¨ uggv´enyeket ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy a gerjeszt´es bel´ep˝o, azaz az als´o integr´al´asi hat´ar 0 lehet. Az impulzusv´alasz is bel´ep˝o (a rendszer kauz´alis), ´ıgy a fels˝o integr´al´asi hat´ar t lehet. Itt az ε(t) egys´egugr´asjelet elhagyjuk, mert ´ert´eke 1 az adott intervallumban. A (2) l´ep´esben bontsuk fel az exponenci´alis kifejez´esben szerepl˝o z´ar´ojelet. Az integr´al´ast a τ v´altoz´o szerint kell elv´egezni, hiszen ez a konvol´ uci´os integr´al v´altoz´oja. Ebb˝ol a szempontb´ol t param´eter, ´es a 8e−2t t´enyez˝o konstansnak tekinthet˝o ´es kivihet˝o az integr´aljel el´e. Ezt tessz¨ uk a (3) l´ep´esben. A (4) l´ep´esben meg2τ hat´arozzuk az integrandusz primit´ıv f¨ uggv´eny´et, ami e2 , majd az (5) l´ep´esben behelyettes´ıtj¨ uk az integr´al´asi hat´arokat. V´eg¨ ul a (6) l´ep´esben beszorzunk. Figyelembe kell venni m´eg, hogy a v´alaszjel is bel´ep˝o, hiszen a rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es is bel´ep˝o, a kapott eredm´enyt teh´at a k¨ovetkez˝o:
y(t) = 4ε(t) 1 − e−2t . Ez a jel pontosan a rendszer ugr´asv´alasza (v(t) = y(t)), hiszen a gerjeszt´es az egys´egugr´asjel. A v´alaszjel deriv´altja adja az impulzusv´alaszt (ellen˝orz´es). A deriv´al´ast az (uv) 0 = u0 v + uv 0 szab´aly 51

(szorzat deriv´altja) alapj´an kell elv´egezni, azaz

w(t) = v 0 (t) = 4 ε0 (t) 1 − e−2t + 4 ε(t) 2e−2t .

Az egys´egugr´asjel a´ltal´anos´ıtott deriv´altja a Dirac-impulzus, amely a t = 0 id˝opillanaton k´ıv¨ ul minden ´ert´ekre nulla. Ez´ert helyettes´ıts¨ unk be az ε0 (t) = δ(t) jel mellett a´ll´o f¨ uggv´eny argumentum´aba t = 0-t, s ´ıgy megkapjuk az impulzusv´alasz id˝of¨ uggv´eny´et: w(t) = ε(t)8e−2t , ami term´eszetesen megegyezik a feladatban megadott impulzusv´alasszal. A rendszer ugr´asv´alasz´at ´es impulzusv´alasz´at a 4.6. a´br´an felv´azoltuk (54. oldal). Az a´br´an j´ol l´athat´o, hogy az impulzusv´alasz az ugr´asv´alasz id˝o szerinti els˝o deriv´altja. 2. P´ elda. Hat´arozzuk meg az el˝oz˝o feladatban szerepl˝o rendszer v´alaszjel´et, ha s(t) = ε(t)e−3t . Megold´ as. A gerjeszt´es tartalmaz ε(t) szorz´ot, azaz a gerjeszt´es bel´ep˝o, az impulzusv´alasz szint´en bel´ep˝o, ´ıgy a konvol´ uci´oban szerepl˝o integr´al´asi hat´arok m´odosulnak: Z t Z t (1) −3τ −2(t−τ ) −2t e−3τ e2τ dτ = e 8e dτ = 8e y(t) = 0

0

(2)

= 8e

(5)

−2t

Z

t

e

−τ

(3)

dτ = 8e

−2t

0



e−τ

−1

t

0

(4)

= 8e

−2t



 e−t − 1 = −1

= −8e−3t + 8e−2t .

Az (1) l´ep´esben bontsuk fel a z´ar´ojelet ´es vigy¨ uk ki az integr´al´as el´e a 8 konstans ´ert´eket, valamint az e −2t t´enyez˝ot, hiszen az a t param´etert˝ol f¨ ugg, ´ert´eke az integr´al´as szempontj´ab´ol konstansnak tekinthet˝o. A (2) l´ep´esben egyszer˝ us´ıts¨ uk a k¨ovetkez˝o kife−3τ 2τ (−3τ +2τ ) −τ jez´est: e e = e = e . A (3) l´ep´esben meghat´arozzuk 52

az integrandusz primit´ıv f¨ uggv´eny´et, majd a (4) l´ep´esben behelyettes´ıtj¨ uk az integr´al´asi hat´arokat ´es v´eg¨ ul az (5) l´ep´esben egyszer˝ us´ıtj¨ uk a kifejez´est. Figyelembe kell venni m´eg a v´alaszjel bel´ep˝o jelleg´et:
y(t) = −8ε(t) e−3t − e−2t . 3. P´ elda. Ahhoz, hogy l´assuk a −0 als´o integr´al´asi hat´ar jelent˝os´eg´et, hat´arozzuk meg ugyanezen rendszer kimeneti jel´et, ha gerjeszt´ese tartalmaz Dirac-impulzust is, p´eld´aul: s(t) = 2δ(t) + ε(t)e−2t . Megold´ as. y(t) = (1)

=

(2)

=

Z

t −0 t

Z

−0 t

Z

Induljunk ki a defin´ıci´ob´ol: 

 2δ(τ ) + e−2τ 8e−2(t−τ ) dτ =

16δ(τ )e

dτ +

16δ(τ )e−2t e2τ dτ +

−0

(3)

−2(t−τ )

= 16e−2t

Z

t

Z

Z

t

0 t

e−2τ 8e−2(t−τ ) dτ =

8e−2τ e−2t e2τ dτ =

0

δ(τ )e2τ dτ + 8e−2t

−0

Z

t

(4)

dτ = 16e−2t + 8e−2t t

0

Az (1) l´ep´esben bontsuk k´et r´eszre az integr´alt. Ezt megtehetj¨ uk, hiszen az s(τ ) kifejez´es k´et tag o¨sszeg´eb˝ol a´ll, ´es az o¨sszeg integr´alja az egyes tagok integr´alj´anak o¨sszege (a konvol´ uci´o disztribut´ıv). Az els˝o tag tartalmaz Dirac-impulzust, ez´ert az als´o hat´art −0-nak v´alasztjuk, a m´asodik tag als´o integr´al´asi hat´ara lehet 0, mert az nem tartalmaz Dirac-impulzust. Ezut´an a (2) l´ep´esben bontsuk fel az exponenci´alis kifejez´esek kitev˝oj´eben szerepl˝o z´ar´ojeleket. A m´asodik tagban az e −2τ e2τ kifejez´es 1. Vigy¨ uk ki az integr´aljel el´e a t-t˝ol f¨ ugg˝o tagokat ´es a konstansokat. Ez a 53

8

16 w(t) v(t)

y(t) 16e-2t 8te-2t 12

y(t)

v(t), w(t)

6

4

2

8

4

0

0 0

0.5

1 1.5 t[s]

2

2.5

0

1

2 3 t[s]

4

5

4.6. a´bra. Az 1. ´es a 3. p´elda megold´ as´ anak grafikus megad´ asa (3) l´ep´es. Az els˝o integr´al integrandusz´aban szerepel a δ(τ )e 2τ kifejez´es. Mivel a δ(τ ) impulzus csak a τ = 0 helyen ad null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket, ez´ert minden vele szorzott f¨ uggv´eny ´ert´ek´et meg kell hat´arozni a τ = 0 helyen. Most ez a δ(τ )e 0 = δ(τ )-t jelenti. A Dirac-impulzus defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy annak integr´alja egys´egnyi, ´ıgy az els˝o integr´al ´ert´eke 1 lesz. 4 A m´asodik integr´al primit´ıv f¨ uggv´enye τ , s hat´arozott integr´alja [τ ] t0 = t−0 = t lesz. A (4) l´ep´es ut´an a v´alaszjel teh´at a k¨ovetkez˝o:
y(t) = 8ε(t) 2e−2t + te−2t . A v´alaszjelet a 4.6. a´br´an felv´azoltuk. Az a´br´an az egyes r´eszf¨ uggv´enyek lefut´asa is tanulm´anyozhat´o. Ezen p´eld´anak k´et fontos konkl´ uzi´oja van: ha a gerjeszt´es is ´es az impulzusv´alasz is tartalmazza ugyanazon e αt kifejez´est, akkor a v´alaszjelben teαt is megjelenik, ami az id˝ovel s´ ulyozott exponenci´alis f¨ uggv´eny. A m´asikra m´ar r´avil´ag´ıtottunk: tudjuk, hogy a δ(t) jelre adott v´alasz az impulzusv´alasz, ´ıgy ellen˝orizhet˝o, hogy a v´alaszjel els˝o tagja a 2δ(t) gerjeszt´esre adott v´alasz, ami az impulzusv´alasz k´etszerese, azaz 16ε(t)e −2t . 4

Ugyanezen eredm´enyre jutunk, ha felhaszn´ aljuk az (1.15) o ¨sszef¨ ugg´est.

54

4.4.

A gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as

A folytonos idej˝ u, line´ aris, invari´ ans rendszer akkor ´es csakis akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabilis (l. 32. oldal), ha impulzusv´ alasza abszol´ ut integr´ alhat´ o, azaz ha Z ∞ (4.17) |w(t)|dt < ∞. −∞

Ennek bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol vegy¨ uk a konvol´ uci´oval sz´am´ıtott v´alaszjel abszol´ ut ´ert´ek´et ´es haszn´aljuk ki, hogy korl´atos gerjeszt´es eset´en |s(t)| ≤ M : Z ∞ Z ∞ |y(t)| ≤ |w(τ )||s(t − τ )|dτ ≤ M |w(τ )|dτ. −∞

−∞

Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy y(t) akkor korl´atos, ha az ut´obbi integr´al v´eges. Ha a rendszer kauz´alis, akkor impulzusv´alasza bel´ep˝o, a felt´etel teh´at a k¨ovetkez˝o alakra m´odosul: Z ∞ |w(t)|dt < ∞. (4.18) 0

Ennek egy sz¨ uks´eges felt´etele, hogy lim w(t) = 0,

t→∞

(4.19)

amikor a rendszer ugr´ asv´ alasza egy v´eges K konstans ´ert´ekhez tart: lim v(t) = K. (4.20) t→∞

Az el˝oz˝o p´eld´akban szerepl˝o impulzusv´alasz gerjeszt´es-v´alasz stabilis rendszert ´ır le. Ezen impulzusv´alaszr´ol k¨onny˝ u eld¨onteni, hogy limt→∞ w(t) = 0, hiszen az exponenci´alis kifejez´est tartalmaz negat´ıv kitev˝ovel. A rendszer akkor is gerjeszt´es-v´alasz 55

stabilis, ha az impulzusv´alasz tartalmaz t n eαt (α < 0) jelleg˝ u f¨ uggv´enyeket, hiszen az eαt szerinti exponenci´alis cs¨okken´es gyorsabb, mint a tn szerinti n¨oveked´es. A gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as eld¨ont´es´evel a k´es˝obbiekben m´eg foglalkozunk.

4.5. 4.5.1.

A rendszeregyenlet A rendszegyenlet defin´ıci´ oja

A folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis SISO-rendszer rendszeregyenlete a´ltal´anosan a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + . . . + an−1 y (1) (t) + an y(t) = = b0 s(n) (t) + b1 s(n−1) (t) + . . . + bn−1 s(1) (t) + bn s(t). (4.21) A rendszer un. rendsz´ am´at n jel¨oli (b´armelyik egy¨ utthat´o lehet nulla). A rendszeregyenletben id˝o szerinti deriv´altak szerepelnek: az y(t) v´alaszjel n-edik deriv´altj´at y (n) (t) jel¨oli. A rendszeregyenlet meghat´aroz´asa sor´an felt´etelezz¨ uk, hogy a v´alaszjel n-szer differenci´alhat´o, tov´abb´a a gerjeszt˝ojel a sz¨ uks´eges sz´amban differenci´alhat´o. L´athat´o az is, hogy a gerjeszt´est legfeljebb annyiszor kell deriv´alni, ah´anyszor a v´alaszjelet, s ´ıgy pl. az a rendszer, amelyik deriv´alja bemeneti jel´et (y(t) = s 0 (t)) nem ´ırhat´o le (4.21) alakban. A (4.21) rendszeregyenlet egy un. n-edrend˝ u, line´ aris, a ´lland´ o egy¨ utthat´ os differenci´ alegyenlet. A rendszer invarianci´aja az egyenletb˝ol kit˝ unik, hiszen az a i ´es a bi egy¨ utthat´ok a ´lland´ ok, nem f¨ uggenek az id˝ot˝ol, a rendszer linearit´asa pedig abban mutatkozik meg, hogy a gerjeszt´es is ´es a v´alasz is els˝ofok´ u (nincs pl. n´egyzeten, vagy nem szerepel egy f¨ uggv´eny argumentum´aban). A k¨ovetkez˝okben azt vizsg´aljuk, hogy mit tartalmaz, mit jelent a rendszeregyenlet. Integr´aljuk h´at a rendszeregyenletet id˝o 56

szerint, s a r¨ovids´eg kedv´e´ert hagyjuk el a (t) jel¨ol´est, azaz y = y(t) ´es s = s(t): Z (n−1) (n−2) y + a1 y + . . . + an−1 y + an y dτ = Z (n−1) (n−2) = b0 s + b1 s + . . . + bn−1 s + bn s dτ. Az integr´al´ast −∞-t˝ol t-ig kell elv´egezni, de ha a gerjeszt´es bel´ep˝o, akkor az integr´al´as als´o hat´ara nulla lehet. Integr´aljuk m´egegyszer: ZZ Z (n−2) (n−3) y dτ dτ = y + a1 y + . . . + an−1 y dτ + an ZZ Z s dτ dτ. = b0 s(n−2) + b1 s(n−3) + . . . + bn−1 s dτ + bn Ism´etelj¨ uk ezt n-szer, hogy a legmagasabbfok´ u deriv´alt is elt˝ unj¨on. V´egeredm´enyben egy olyan egyenlethez jutunk, amelyben szerepel y(t) ´es s(t), tov´abb´a ezek id˝o szerinti integr´aljai. Az eredm´enyt u ´ gy lehet ´ertelmezni, hogy kaptunk egy olyan egyenletet, amelyben az y(t) v´alaszjel f¨ ugg az s(t) gerjeszt´est˝ol, tov´abb´a a v´alaszjel ´es a gerjeszt´es id˝o szerinti integr´alj´at´ol, azaz a rendszer el˝ o´elet´et˝ol (m´ ultj´at´ol), hiszen az integr´al´ast mindig t-ig kell elv´egezni. Az integr´al ´ert´eke pedig az id˝of¨ uggv´eny integr´al´asi hat´arai k¨oz¨otti ´ert´ekeit˝ol f¨ ugg, ami az id˝of¨ uggv´eny m´ ultja t-hez k´epest. M´ask´epp megfogalmazva: a v´ alaszjel ´ert´eke a t id˝ opillanatban a gerjeszt´es ´es a v´ alasz t ∈ [−∞, . . . , t], vagy a t ∈ [0, . . . , t] intervallumbeli ´ert´ekeit˝ ol f¨ ugg. Ez a rendszer kauzalit´ as´at jelenti. A rendszeregyenlet t¨om¨orebben alakban is fel´ırhat´o: y (n) (t) +

n X

ai y (n−i) (t) =

n X i=0

i=1

57

bi s(n−i) (t).

(4.22)

A rendszeregyenlet megold´as´aval nem foglalkozunk, azt azonban megjegyezz¨ uk, hogy a megold´ as egy id˝ of¨ uggv´eny, amely mindig felbonthat´o a k¨ovetkez˝o m´odon: y(t) = ytr (t) + yst (t),

(4.23)

ahol az ytr (t) id˝ of¨ uggv´enyt t¨obbf´elek´epp is nevezik: 1.) tranziens o ¨sszetev˝ o (erre utal a tr index), 2.) szabad v´ alasz, 3.) a homog´en differenci´ alegyenlet a ´ltal´ anos megold´ asa. Az yst (t) o ¨sszetev˝ o neve: 1.) stacion´ arius o ¨sszetev˝ o (erre utal az st index), 2.) gerjesztett v´ alasz, 3.) az inhomog´en differenci´ alegyenlet egy partikul´ aris megold´ asa. Az irodalomban mindh´arom elnevez´essel tal´alkozhatunk.

4.5.2.

A gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as

Az ytr (t) id˝of¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝o alakban keress¨ uk: ytr (t) = M eλt .

(4.24)

Helyettes´ıts¨ uk vissza a tranziens o¨sszetev˝ot a (4.22) differenci´alegyenletbe u ´ gy, hogy k¨ozben a differenci´alegyenlet jobb oldal´at null´anak vessz¨ uk (homog´en differenci´ alegyenlet): 

M eλt

(n)

+

n X i=1

 (n−i) ai M eλt = 0.

(4.25)

Az ytr (t) = M eλt f¨ uggv´eny id˝o szerinti deriv´altjaira van teh´at sz¨ uks´eg¨ unk. A l´ancszab´alyt alkalmazva (nem feledkezve meg a λt bels˝o f¨ uggv´eny deriv´altj´ar´ol, ami λ) ezek a k¨ovetkez˝ok: 0 (t) = λM eλt , ytr

00 ytr (t) = λ2 M eλt ,

58

...

(n)

ytr (t) = λn M eλt .

Helyettes´ıts¨ uk be ezen a deriv´altakat a (4.25) homog´en egyenletbe: n     X ai M λn−i eλt = 0. M λn eλt + i=1

Fejts¨ uk ki az o¨sszegz´est kicsit r´eszletesebben:       M λn eλt + a1 M λn−1 eλt + . . . + an M eλt = 0.

Az M eλt minden tagban szerepel, ´ıgy azzal egyszer˝ us´ıteni lehet. ´Igy eljutottunk a rendszeregyenlet un. karakterisztikus egyenlet´ehez: ϕ(λ) = λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + . . . + an−1 λ + an = 0.

(4.26)

A karakterisztikus egyenlet teh´at egy n-edfok´ u un. karakterisztikus polinomot tartalmaz (´es n a rendsz´am), melynek megold´asa n sz´am´ u un. saj´ at´ert´ek et szolg´altat. Ha minden saj´at´ert´ek val´os r´esze negat´ıv, akkor a (4.24) a´ltal defini´alt n sz´am´ u tag line´aris kombin´aci´oj´ab´ol a´ll´o tranziens o¨sszetev˝o null´ahoz tart ´es a rendszer v´alasza az yst (t) id˝of¨ uggv´enyhez k¨ozel´ıt. Ha a gerjeszt´es korl´atos, akkor a stacion´arius v´alasz is korl´atos lesz. Im{λ}

Egy rendszeregyenlet´evel adott rendszer akkor ´es csakis akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, ha minden saj´ at´ert´ek´enek val´ os r´esze negat´ıv: Re{λi } < 0,

i = 1, . . . , n,

6

Re{λ}

(4.27)

azaz, ha minden saj´ at´ert´eke a komplex sz´ ams´ık bal oldal´ an helyezkedik el. Egy krit´erium annak eld¨ont´es´ere, hogy a rendszeregyenlet´evel adott rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilis, vagy sem, az, hogy a karakterisztikus polinom Hurwitz-polinom, vagy sem. Egy polinom

59

n = 1 ´es n = 2 eset´en biztosan Hurwitz-polinom, ha minden egy¨ utthat´oja pozit´ıv, azaz ha ai > 0,

i = 1, . . . , n,

(4.28)

de pl. n = 3 eset´en az a1 a2 − a3 > 0 felt´etelnek is teljes¨ ulni kell. 5 Ebben az esetben nem kell meghat´aroznunk a saj´at´ert´ekeket. A krit´eriumot akkor is alkalmazhatjuk, ha valamely param´eter stabilit´asra gyakorolt hat´as´at k´ıv´anjuk vizsg´alni.

4.6. 4.6.1.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as defin´ıci´ oja

Egy folytonos idej˝ u rendszer xi (t) (i = 1, . . . , N ) a ´llapotv´ altoz´ oi a v´ altoz´ ok olyan minim´ alis halmaza, amelyek a k¨ ovetkez˝ o k´et tulajdons´ aggal b´ırnak: 1. A rendszert le´ır´ oa ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as ismeret´eben az a ´llapotv´ altoz´ ok ´es a gerjeszt´es(ek) t 1 id˝ opontbeli ´ert´ek´eb˝ ol meghat´ arozhat´ o az a ´llapotv´ altoz´ ok ´ert´eke tetsz˝ oleges t 2 > t1 id˝ opontokban, ´es 2. ugyanezen adatokb´ ol meghat´ arozhat´ o a rendszer v´ alasz´ anak (v´ alaszainak) ´ert´eke a t1 id˝ opillanatban. A folytonos idej˝ u rendszerek a´llapotv´altoz´os le´ır´asa kifejezi az a ´llapotv´ altoz´ o k id˝o szerinti els˝o deriv´altj´at ´es a v´alaszokat b´armely t id˝opillanatban az a´llapotv´altoz´oknak ´es a gerjszt´eseknek ugyanezen t id˝opontbeli ´ert´ekeivel. Ha a rendszer line´ aris, akkor az a´llapotv´altoz´os le´ır´as egy line´aris differenci´alegyenlet-rendszer, a v´alaszokat pedig line´aris 5

Tetsz˝ oleges n eset´ere a Routh-krit´erium ´es a Hurwitz-krit´erium alkalmazhat´ o. Ezekkel azonban nem foglalkozunk.

60

egyenletek fejezik ki. Ha a rendszer invari´ ans, akkor az a´llapotv´altoz´os le´ır´asban szerepl˝o egy¨ utthat´ok konstansok, nem v´altoznak az id˝oben, a kauzalit´ as pedig a defin´ıci´o miatt teljes¨ ul. Kapunk teh´at egy els˝ orend˝ u, a ´lland´ o egy¨ utthat´ os, line´ aris differenci´ alegyenlet-rendszer t: x˙ i (t) =

N X

Aij xj (t) +

yk (t) =

Bij sj (t),

j=1

j=1

N X

Ns X

Ckj xj (t) +

j=1

Ns X

(4.29)

Dkj sj (t),

j=1

ahol N jel¨oli az a´llapotv´altoz´ok sz´am´at (i = 1, . . . , N ), N s a gerjeszt´esek (azaz a bemenetek) sz´am´at ´es k = 1, . . . , N y a v´alaszok (azaz a kimenetek) sz´ama. Az id˝o szerinti els˝o deriv´altat az x i (t) f¨ol´e tett pont jelzi. Az els˝o sor a differenci´alegyenlet-rendszer (h´ıvj´ak a ´llapotegyenletnek is), amely els˝ orend˝ u, mivel csak az id˝o szerinti els˝o deriv´altat tartalmazza, a ´lland´ o egy¨ utthat´ os, mert Aij , Bij , Ckj ´es Dkj egy¨ utthat´ok a´lland´ok a rendszer invarianc´aja k¨ovetkezt´eben ´es line´ aris, mivel az a´llapotv´altoz´ok ´es a gerjeszt´esek els˝ofok´ u, azaz line´aris m´odon szerepelnek (nincs pl. egyik sem n´egyzeten). Fel´ırhatjuk mindezt kompaktabb alakban: x˙ = Ax + Bs, y = Cx + Ds,

(4.30)

ahol x az a ´llapotvektor, s ´es y a gerjeszt´eseket ´es v´alaszokat tartalmaz´o oszlopvektor, A a rendszerm´ atrix, B, C ´es D m´atrixok pedig a (4.29) egyenletben szerepl˝o megfelel˝o egy¨ utthat´okat tartalmazz´ak. A rendszerm´atrix mindig N × N m´eret˝ u, azaz n´egyzetes, m´as sz´oval N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix. A (4.29) ´es (4.30) alakokat az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´ alalakj´ a nak nevezz¨ uk. SISO-rendszer ek eset´eben egy bemenet ´es egy kimenet van, ekkor s egy skal´arr´a, B egy oszlopvektorr´a, C egy sorvektorr´a 61

(ez´ert jel¨olj¨ uk cT -vel, oszlopvektor transzpon´altjak´ent), D pedig skal´arr´a reduk´al´odik: x˙ = Ax + bs,

(4.31)

y = cT x + Ds, r´eszletesen ki´ırva:     

x˙ 1 x˙ 2 .. . x˙ N





    =   y=



A11 A21 .. . AN 1

c1

... ...

A1N A2N .. .

Aij ...

. . . cN

    

AN N  x1    x2  ..  .

xN

x1 x2 .. . xN







    +  

b1 b2 .. . bN



   s, 

(4.32)

   + D s. 

A SISO-rendszer hat´ asv´ azlata (amely grafikusan reprezent´alja az a´llapotv´altoz´os le´ır´ast) a k¨ovetkez˝o: s r b

4.6.2.

-D

-

 P x˙ R  6

x

A

r

- cT

-

?  P y

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as el˝ o´ all´ıt´ asa a h´ al´ ozati reprezent´ aci´ o alapj´ an

Egy rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´asa meghat´arozhat´o pl. a h´al´ozati reprezant´aci´oja alapj´an. Az elj´ar´as menet´et a k¨ovetkez˝o p´eld´an kereszt¨ ul mutatjuk be: 62

−3  ? P s  x˙ 2 R x2

 6  H −4H

HH

(1) r

r ?

 P y x˙ 1 R x1 r(2) -HH  5

 6

Els˝o l´ep´esben jel¨olj¨ uk be az a´llapotv´altoz´okat. Az a´llapotv´altoz´okat a h´al´ozat dinamikus elemeihez kell kapcsolni, azaz a k´et integr´atorhoz. Az integr´atorok bemenete az a´llapotv´altoz´o deriv´altja, x˙ i = x˙ i (t), kimenete pedig az a´llapotv´aloz´o id˝of¨ uggv´enye, xi = xi (t). Az (1) jel˝ u csom´opont egy el´agaz´ocsom´opont, amelynek kimeneti jele megegyezik a bemenet´ere ´erkez˝o jellel. Itt teh´at x˙ 1 = x2 . Ez az egyenlet kiel´eg´ıti az a´llapotv´altoz´os le´ır´asban foglaltakat. Az x2 jel halad az (1)-b˝ol lefel´e vezet˝o a´gon a k´et er˝os´ıt˝o ir´any´aba is. A (2) jel˝ u csom´opont szint´en el´agaz´ocsom´opont, ahol a be´erkez˝o x1 jel halad tov´abb jobbra az o¨sszegz˝ocsom´opontba, valamint a visszacsatol´o er˝os´ıt˝o ir´any´aba. Ezek alapj´an m´ar fel tudjuk ´ırni a bal oldali o¨sszegz˝ocsom´opont h´arom bemeneti jel´et. Ennek kimenete az x˙ 2 , azaz x˙ 2 = −3x1 − 4x2 + s. Ez az egyenlet szint´en az a´llapotegyenletnek megfelel˝o alak´ u. Sz¨ uks´eg van m´eg a v´alaszjel kifejez´es´ere, ami a jobb oldali o¨sszegz˝ocsom´opont kimeneti jele, azaz y = x1 + 5x2 . A h´al´ozat a´ltal reprezant´alt rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´asa teh´at a k¨ovetkez˝o: x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = −3x1 − 4x2 + s, y = x1 + 5x2 .

Abban az esetben, ha az a´llapotv´altoz´os le´ır´as nem fejezhet˝o ki a k´ıv´ant alakban, akkor a h´al´ozat nem regul´ aris. A nem regul´aris h´al´ozat nem tekinthet˝o egy val´os fizikai rendszer reprezent´aci´oj´anak. El˝ofordulhat olyan h´al´ozat, amely fel´ep´ıt´es´eb˝ol ad´od´oan nem regul´aris, ekkor azt mondjuk, hogy a h´al´ozat 63

strukt´ ur´ alisan nem regul´ aris. Ha a h´al´ozat csak a param´eterek bizonyos ´ert´ekei mellett nem regul´aris, akkor az a h´al´ozat parametrikusan nem regul´ aris. Megjegyezz¨ uk, hogy t¨obb h´al´ozat is vezethet ugyanarra az a´llapotv´altoz´os le´ır´asra. Ezek a h´al´ozatok ekvivalensek.

4.6.3.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa

A megold´ as formul´ aja Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa el˝ott egy a tov´abbiakban nagyon hasznos fogalmat szeretn´enk bevezetni. Egy kvadratikus m´atrix skal´ar egy¨ utthat´os polinomja a k¨ovetkez˝ok´epp defini´alhat´o. Ha tekintj¨ uk a p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + . . . + cN xN N -edfok´ u polinomot, akkor az x v´altoz´o hely´ebe az A kvadratikus m´atrixot helyettes´ıtve, a p(A) = c0 E + c1 A + c2 A2 + c3 A3 + . . . + cN AN m´ atrixpolinomot ´ertelmezhetj¨ uk. Fontos megjegyezni, hogy defin´ıci´o szerint A0 = E, ahol E az N -edrend˝ u kvadratikus egys´egm´ atrix. Tudjuk, hogy az x(t) ˙ = λx(t) alak´ u homog´en line´aris differenci´alegyenlet a´ltal´anos megold´asa az x(t) = M e λt f¨ uggv´eny, az eλt f¨ uggv´eny hatv´ anysor a pedig a k¨ovekez˝o: eλt = 1 +

t2 t3 tN N t λ + λ2 + λ3 + . . . + λ + .... 1! 2! 3! N!

Az el˝oz˝oekhez hasonl´oan ´ırjuk a λ v´altoz´o hely´ebe az A kvadratikus m´atrixot: eAt = E +

t2 t3 tN N t A + A2 + A3 + . . . + A + .... 1! 2! 3! N! 64

Ez´altal eljutottunk egy nagyon fontos un. m´ atrixf¨ uggv´enyhez, az A kvadratikus m´atrix exponenci´alis f¨ uggv´eny´ehez, amely maga is egy N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix. Erre a m´atrixf¨ uggv´enyre a tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz, ´es sz´am´ıt´as´aval is foglalkozni fogunk. Miel˝ott levezetn´enk az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´as´at ad´o o¨sszef¨ ugg´est vizsg´aljunk meg egy egyszer˝ u p´eld´at. alegyenlet P´ elda. Legyen a megoldand´o inhomog´en differenci´ adott inhomog´en kiindul´asi felt´etel ´es gerjeszt´es mellett a k¨ovetkez˝o: x(t) ˙ = −2x(t) + s(t),

s(t) = 4, ha t ≥ 0,

x(−0) = 5.

Ennek megold´as´at k´etf´elek´epp v´egezz¨ uk el. El˝osz¨or az 1. fejezetben ismertetett m´odszert (l. 7. oldal) eg´esz´ıtj¨ uk ki, majd egy kicsit m´ask´epp. 1. megold´ as. A megold´ast o¨sszetev˝okre bont´assal v´egezz¨ uk el, azaz keress¨ uk az x(t) = xtr (t) + xst (t) alak´ u megold´as k´et o¨sszetev˝oj´et. Az x tr (t) tranziens o¨sszetev˝o a´ltal´anos alakj´at a homog´en differenci´ alegyenlet (amikor is s(t) = 0) megold´asak´ent kapjuk, amit azonban m´ar ismer¨ unk: x tr (t) = M e−2t , ahol M ´ert´eke egyel˝ore ´erdektelen, s csak a megold´as v´eg´en hat´arozzuk meg a kiindul´asi felt´etelnek megfelel˝oen. A stacion´arius o¨sszetev˝onek megfelel˝o un. pr´ obaf¨ uggv´eny egy xst (t) = A konstans, ha a gerjeszt´es konstans. Az inhomog´en differenci´ alegyenlet megold´asa teh´at a k¨ovetkez˝ok´eppen alakul: x˙ st (t) = −2xst (t) + s(t)

⇒

0 = −2A + 4,

ahonnan A = 2, s ´ıgy a teljes v´alasz a k¨ovetkez˝o: x(t) = M e−2t + 2. 65

Az M konstans a t = 0 felt´etelb˝ol hat´arozhat´o meg: 5 = M + 2, azaz M = 3. Az x(t) id˝of¨ uggv´enye teh´at a k¨ovetkez˝o lesz: x(t) = 3e−2t + 2,

ha

t ≥ 0.

Fontos megjegyezni, hogy az x(t) a´llapotv´altoz´o ´ert´eke folytonos, ha a gerjeszt´esben ugr´as k¨ovetkezik be, hiszen azok deriv´altja szerepel az a´llapotv´altoz´os le´ır´asban. Az a ´llapotvektor kezdeti ´ert´eke megegyezik a kiindul´ asi ´ert´ek´evel, azaz x(+0) = x(−0).

(4.33)

Bel´ep˝ o gerjeszt´es eset´en minden kiindul´asi ´ert´ek nulla, azaz a kezdeti ´ert´ekek is mind null´ak: x(+0) = 0. 2. megold´ as. Most kicsit m´ask´epp oldjuk meg a differenci´alegyenletet, amely illusztr´aci´ok´ent szolg´al az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´as´anak formul´aj´ahoz. A megold´ast szint´en az x(t) = xtr (t) + xst (t) alakban keress¨ uk. A tranziens o¨sszetev˝o xtr (t) = M e−2t alakj´aban most vegy¨ uk 0 figyelembe a kezdeti ´ert´eket, azaz M = 5, hiszen x tr (0) = M e = 5. ´Igy a tranziens o¨sszetev˝o alakja a k¨ovetkez˝o: xtr (t) = 5e−2t ,

ha

t ≥ 0.

Keress¨ uk ezut´an azt a m´ar meghat´arozott ´es a kezdeti ´ert´eket is kiel´eg´ıt˝o homog´en megold´ashoz tartoz´o partikul´aris megold´ast, amely homog´en kezdeti felt´etelt el´eg´ıt ki. Ehhez hat´arozzuk meg az impulzusv´alaszt, majd alkalmazzuk a konvol´ uci´ot. A w x (t) impulzusv´alasz a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenletb˝ol hat´arozhat´o meg: w˙ x (t) = −2wx (t) + δ(t). Ebben az egyenletben szerepel a δ(t) gerjeszt´es. Mivel ez nem v´eges a t = 0 helyen, ez´ert integr´aljuk ezt az egyenletet id˝o szerint. Ekkor az ugr´asv´alaszra vonatkoz´o differenci´alegyenlethez jutunk: v˙ x (t) = −2vx (t) + ε(t). 66

Ezt m´ar meg tudjuk oldani o¨sszetev˝okre bont´assal v x (t) = vx,tr (t) + vx,st (t) szerint, majd ennek v´egeredm´eny´et, azaz az ugr´asv´alaszt deriv´alva megkapjuk az impulzusv´alaszt. Az ugr´asv´alasz tranziens o¨sszetev˝oje az eddigiekhez hasonl´oan vx,tr (t) = N e−2t lesz, ahol N ´ert´eke egyel˝ore ismeretlen. 6 A stacion´arius v´alasz egy A konstans pr´obaf¨ uggv´ennyel ´ırhat´o le, mivel a gerjeszt´es a konstans ´ert´ek˝ u egys´egugr´asjel, ´ert´eke pedig meghat´arozhat´o a 0 = −2A+1 egyenletb˝ol: A = 12 . Az ugr´asv´alasz ´ıgy vx (t) = N e−2t + 12 alak´ u lesz, amelyben N ´ert´eke − 21 -nek ad´odik, hiszen vx (+0) = vx (−0) = 0. Az ugr´asv´alasz teh´at a k¨ovetkez˝o:
vx (t) = 0, 5 ε(t) 1 − e−2t . Ennek a´ltal´anos´ıtott deriv´altja adja az impulzusv´alaszt: wx (t) = ε(t)e−2t . A konvol´ uci´o defin´ıci´oja alapj´an meghat´arozhatjuk a gerjesztett o¨sszetev˝o alakj´at t > 0-ra: Z t Z t e−2(t−τ ) 4 dτ = 2 − 2e−2t . wx (t − τ )s(τ ) dτ = xst (t) = 0

0

A tranziens o¨sszetev˝o ´es a stacion´arius o¨sszetev˝o o¨sszege adja az x(t) jel id˝of¨ uggv´eny´et: x(t) = 5e−2t + 2 − 2e−2t = 3e−2t + 2,

ha

t ≥ 0.

Mi´ert lehet sz¨ uks´eg a 2. megold´asra? A 2. megold´asi m´odszer sor´an nem kell k¨ ul¨on foglalkoznunk a stacion´arius v´alasz sz´am´ıt´asa sor´an a pr´obaf¨ uggv´ennyel. K¨ovetkez´esk´epp ez egy a´ltal´anosabb megold´asi m´odszer ´es numerikus szimul´aci´ok sor´an alkalmasabb lehet a v´alasz sz´am´ıt´as´ara. 6

Az´ert haszn´ altunk itt N jel¨ ol´est, mert ez a konstans nem egyezik meg az xtr (t) jelben szerepl˝ o konstanssal.

67

Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´as´at z´art alakban a 2. megold´ashoz hasonl´oan tudjuk el˝oa´ll´ıtani. A levezet´est SISOrendszerekre v´egezz¨ uk el, s a v´egeredm´enyt a´ltal´anos´ıtjuk MIMOrendszerekre is.7 T´erj¨ unk h´at vissza a megoldand´o differenci´alegyenletrendszerhez: x(t) ˙ = Ax(t) + bs(t). A megold´ast a j´ol ismert alakban keress¨ uk: x(t) = x tr (t) + xst (t), ahol xtr (t) a tranziens o¨sszetev˝o, amely kiel´eg´ıti a kezdeti felt´eteleket. Alakja teh´at a k¨ovetkez˝o: xtr (t) = eAt x(−0),

(4.34)

ahol az x(−0) a kiindul´asi ´ert´ekek vektor´at jelenti. Mivel x tr (t) egy oszlopvektor, ez´ert az x(−0) vektorral jobbr´ol kell szorozni a m´atrixf¨ uggv´enyt. A k¨ovetkez˝o l´ep´es az x(t) a´llapotvektor impulzusv´alasz´anak meghat´aroz´asa a konvol´ uci´o alkalmaz´asa ´erdek´eben. Az impulzusv´alasz ki kell el´eg´ıtse a differenci´alegyenlet-rendszert, azaz w ˙ x (t) = Awx (t) + bδ(t). Ezen a differenci´alegyenlet-rendszer megold´asa az ugr´asv´alasz seg´ıts´eg´evel hat´arozhat´o meg egyszer˝ uen. Az ugr´asv´alasz is ki kell el´eg´ıtse a megoldand´o differenci´alegyenlet-rendszert, azaz v˙ x (t) = Avx (t) + bε(t). Az ugr´asv´alasz meghat´aroz´as´at az o¨sszetev˝okre bont´as m´odszer´evel v´egezz¨ uk el a j´ol ismert alakban: v x (t) = vx,tr (t) + vx,st (t). A tranziens o¨sszetev˝o meghat´aroz´asa az e At m´atrixf¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel t¨ort´enik, ugyanakkor tartalmazza az ismeretlen konstansok 7 Megjegyezz¨ uk, hogy az 1. megold´ asi m´ odszer is alkalmazhat´ o az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ as´ ara, de az a ´ltal´ anosabb utat k¨ ovetj¨ uk.

68

n oszlopvektor´at, mellyel jobbr´ol szorzunk: vx,tr (t) = eAt n. A stacion´arius o¨sszetev˝o egy konstansokat tartalmaz´o k vektorral jellemezhet˝o, hiszen a gerjeszt´es a konstans ´ert´ek˝ u ε(t) jel: vx,st (t) = k. A partikul´aris megold´as alakja teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o fel: 0 = Ak + b

⇒

k = −A−1 b.

Az ugr´asv´alasz a tranziens o¨sszetev˝o ´es a stacion´arius o¨sszetev˝o o¨sszege: v(t) = eAt n − A−1 b. Az ismeretlen konstansokat tartalmaz´o n vektor meghat´arozhat´o a v(0) = 0 felt´etelb˝ol, azaz 0 = n − A−1 b ⇒ n = A−1 b, s ´ıgy az ugr´asv´alasz m´ar fel´ırhat´o:
vx (t) = ε(t) eAt A−1 b − A−1 b .

Az impulzusv´alasz ennek id˝o szerinti a´ltal´anos´ıtott deriv´altjak´ent adhat´o meg:
wx (t) = vx0 (t) = ε(t) eAt AA−1 b = ε(t) eAt b.

Az eAt deriv´altja AeAt , ami azonban egyenl˝o az eAt A kifejez´essel, ´es ezt haszn´altuk ki.8 8

Ez annyit tesz, hogy a m´ atrixf¨ uggv´eny ´es a m´ atrix szorzata kommutat´ıv m˝ uvelet, azaz felcser´elhet˝ o. Ez legegyszer˝ ubben a m´ ar eml´ıtett hatv´ anysoros el˝ oa ´ll´ıt´ asb´ ol l´ atszik, ugyanis az, hogy egy m´ atrixot o ¨nmag´ aval szorzunk balr´ ol, vagy jobbr´ ol, az ugyanazt jelenti: ” ” “ “ A c0 E + c1 A + . . . + cN AN = c0 E + c1 A + . . . + cN AN A.

69

Az impulzusv´alasz seg´ıts´eg´evel az a´llapotvektor stacion´arius o¨sszetev˝oje m´ar megadhat´o z´art alakban, azaz: Z t Z t eA(t−τ ) bs(τ ) dτ. wx (t − τ )s(τ ) dτ = xst (t) = −0

−0

Az a´llapotvektor id˝of¨ uggv´enye teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: x(t) = eAt x(−0) +

Z

t

eA(t−τ ) bs(τ ) dτ.

(4.35)

−0

Az y(t) v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye megadhat´o az a´llapotv´altoz´os le´ır´as erre vonatkoz´o o¨sszef¨ ugg´ese alapj´an u ´ gy, hogy x(t) hely´ebe be´ırjuk a kapott eredm´enyt: y(t) = cT x(t) + Ds(t) = = cT eAt x(−0) + cT

Z

t

eA(t−τ ) bs(τ ) dτ + Ds(t).

(4.36)

−0

Mindez MIMO-rendszer ekre a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki: x(t) = e

At

y(t) = Ce

x(−0) +

At

Z

t −0

x(−0) + C

eA(t−τ ) Bs(τ ) dτ. Z

(4.37)

t

e

A(t−τ )

Bs(τ ) dτ + Ds(t).

−0

L´athat´o, hogy a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´eben nem szerepel az a´llapotvektor id˝of¨ uggv´enye, ´es a formula a t ≥ 0 id˝ointervallumban adja meg az a´llapotvektor ´es a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et. Hat´arozzuk meg ezut´an a SISO-rendszer impulzusv´alasz´anak kifejez´es´et az a´llapotv´altoz´os le´ır´as ismeret´eben. Az impulzusv´alasz a Dirac-impulzusra adott v´alasz, ami egy bel´ep˝ojel, azaz a t = −0-ban az a´llapotvektor biztosan nullvektor, hiszen nincs gerjeszt´es, s k¨ovetkez´esk´epp v´alasz sincs, azaz x(−0) = 0. 70

Vizsg´aljuk meg el˝osz¨or az a´llapotvektor Dirac-impulzusra adott v´alasz´at. Helyettes´ıts¨ uk a (4.35) kifejez´esbe az s(t) = δ(t) gerjeszt´est: Z t

wx (t) =

eA(t−τ ) bδ(τ ) dτ.

−0

Tudjuk, hogy δ(t) a tR= 0 id˝opillanaton k´ıv¨ ul mindenhol nulla, ∞ de ki kell el´eg´ıtse az −∞ δ(t) dt = 1 egyenletet. Az integr´al´ast τ szerint v´egezz¨ uk, s ´ıgy annak hely´ere kell null´at ´ırni. Vigy¨ uk ki az integr´al´as szempontj´ab´ol konstansnak tekinthet˝o tagokat az integr´al el´e: Z t wx (t) = eAt b δ(τ ) dτ = ε(t)eAt b. } | −0 {z ε(t)

Helyettes´ıts¨ uk be a kapott eredm´enyt az a´llapotv´altoz´os le´ır´as v´alaszjelet megad´o egyenlet´ebe, s ´ıgy kapjuk a rendszer impulzusv´alasz´at: w(t) = cT wx (t) + Dδ(t) = ε(t)cT eAt b + Dδ(t).

(4.38)

A m´ atrixf¨ uggv´ enyek el˝ oa ´ll´ıt´ asa Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´as´ahoz sz¨ uks´eg van teh´at az e At m´ atrixf¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıt´as´ara. Egy N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix tetsz˝oleges f (A) m´atrixf¨ uggv´enye is egy N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix, ahol f (·) egy f¨ uggv´eny, pl. e x , sin(x) stb. Mindenekel˝ott a´t kell ism´eteln¨ unk p´ar, line´aris algebr´ab´ol ismert fogalmat: saj´at´ert´ek, saj´atvektor, determin´ans, adjung´alt, karakterisztikus m´atrix, karakterisztikus polinom, karakterisztikus egyenlet, minim´alpolinom. Ha az Am = λm (4.39)

71

egyenletnek valamely λ ´ert´ek mellet van m 6= 0 megold´asa, akkor a λ sz´am´ert´eket az A N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix saj´ at´ert´ek´enek, az m vektort pedig a m´atrix λ saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´ atvektor a´nak nevezz¨ uk. A (4.39) defin´ıci´os o¨sszef¨ ugg´esb˝ol k¨ovetkezik, hogy (λE − A) m = 0.

(4.40)

Ennek a homog´en line´aris egyenletrendszernek akkor ´es csakis akkor van trivi´alist´ol elt´er˝o megold´asa, ha az egy¨ utthat´okb´ol k´epzett m´atrix determin´ ansa nulla, azaz DN (λ) = |λE − A| = 0.

(4.41)

Ezen determin´ans kifejt´es´evel λ-ra egy N -edfok´ u polinomot kapunk, melynek gy¨okei az A m´atrix saj´at´ert´ekei. A λE − A m´atrix neve karakterisztikus m´ atrix, ´es a karakterisztikus m´atrix determin´ansa a karakterisztikus polinom. Ha a karakterisztikus polinomot egyenl˝ov´e tessz¨ uk null´aval, akkor kapjuk a karakterisztikus egyenletet. ´Irjuk fel a (4.41) karakterisztikus egyenletet r´eszletesen: λ − A11 −A12 . . . −A1N −A21 λ − A22 . . . −A2N DN (λ) = |λE − A| = .. .. .. . . ... . −AN 1 −AN 2 . . . λ − AN N =λN + d1 λN −1 + d2 λN −2 + . . . + dN −1 λ + dN = 0.

(4.42) Ezen karakterisztikus polinomnak N gy¨oke (z´erusa) van, melyek a saj´at´ert´ekek. A saj´at´ert´ekek vagy val´osak, vagy vannak k¨ozt¨ uk olyanok, amelyek konjug´alt komplex p´art alkotnak. A karakterisztikus polinom fel´ırhat´o gy¨ okt´enyez˝ os alak ban is: DN (λ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) . . . (λ − λN ) = 72

N Y i=1

(λ − λi ).

(4.43)

A m´atrix minim´ alpolinomj´ara sz¨ uks´eg¨ unk lesz a tov´abbiakban. Ha DN (λ) jel¨oli a m´atrix karakterisztikus polinomj´at ´es Θ(λ) a λE − A m´atrix adjung´ altj´anak 9 legnagyobb k¨oz¨os oszt´oj´at, akkor a ∆(λ) =

DN (λ) Θ(λ)

(4.44)

polinomot a m´atrix reduk´ alt karakterisztikus polinomj´anak, vagy minim´ alpolinomj´anak nevezz¨ uk. A minim´alpolinomnak M sz´am´ u gy¨oke van, ami legfeljebb a karakterisztikus polinom gy¨okeinek N sz´am´aval egyezik meg, M ≤ N , att´ol f¨ ugg˝oen, hogy az adjung´alt m´atrix elemeinek legnagyobb k¨oz¨os oszt´oj´aval tudunk egyszer˝ us´ıteni, vagy sem. A m´atrixf¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıt´as´ara k´et lehet˝os´eg¨ unk van, att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a m´atrix minim´ alpolinomj´anak gy¨okei h´anyszoros multiplicit´assal rendelkeznek: • Minden saj´ at´ert´ek egyszeres, azaz egy N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix minim´alpolinomj´anak M sz´am´ u gy¨okei k¨oz¨ott nincs k´et egyforma. Ebben az esetben a Lagrange-m´ atrixok at alkalmazzuk. • A minim´ alpolinom legal´ abb egy gy¨ oke legal´ abb k´etszeres, azaz a minim´alpolinom M sz´am´ u gy¨oke k¨oz¨ott van legal´abb egy olyan, amelyik legal´abb k´etszeres. Ebben az esetben az Hermite-m´ atrixok at alkalmazzuk. A minim´alpolinom gy¨okeinek meghat´aroz´asa ut´an eld¨onthet˝o, hogy melyik m´odszert kell haszn´alni a m´atrixf¨ uggv´eny fel´ır´as´ahoz. A m´odszerek a´ttekint´ese el˝ott ismerkedj¨ unk meg egy u ´ jabb stabilit´assal. 9

Az adjung´ alt m´ atrix fogalm´ aval nem foglalkozunk r´eszletesen, csak amennyire sz¨ uks´eg¨ unk van. A p´eld´ ak sor´ an fel´ırjuk a p´eld´ aban szerepl˝ o m´ atrix adjung´ altj´ at, ott teh´ at visszat´er¨ unk a fogalomra.

73

Az aszimptotikus stabilit´ as Egy folytonos idej˝ u, line´ aris, invari´ ans rendszer akkor aszimptotikusan stabil, ha a gerjesztetlen rendszer x(t) a ´llapotvektora t → ∞ eset´en null´ ahoz tart tetsz˝ oleges x(+0) kezdeti ´ert´ek eset´en: lim x(t) = 0.

t→∞

(4.45)

Ez gyakorlatilag az a´llapotvektor Dirac-impulzusra adott v´alasz´anak meghat´aroz´as´at ´es a lim t→∞ wx (t) hat´ar´ert´ek vizsg´alat´at jelenti, amely eAt → 0 eset´en cseng le. A k¨ovetkez˝okben l´atni fogjuk, hogy ez a m´atrixf¨ uggv´eny akkor tart a nullm´atrixhoz, ha A minden saj´at´ert´ek´enek val´os r´esze negat´ıv. Az a ´llapotvektor teh´ at akkor tart null´ ahoz (a rendszer akkor aszimptotikusan stabil), ha a rendszerm´ atrix minden saj´ at´ert´eke a komplex sz´ ams´ık bal f´els´ıkj´ an helyezkedik el, azaz Re{λi } < 0,

i = 1, . . . , N.

(4.46)

Im{λ} A rendszerm´atrix karakterisztikus poli6 nomj´anak meghat´aroz´asa ut´an, annak egy¨ utthat´oinak seg´ıts´eg´evel is meg lehet a´llap´ıtani, hogy Re{λ} a rendszer aszimptotikusan stabilis vagy sem. A felt´eteleket l. 59. oldalon. Ha wx (t) null´ahoz tart, akkor (4.38) alapj´an a rendszer impulzusv´alasza is null´ahoz tart. Azaz, ha a rendszer aszimptotikusan stabilis, akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabilis is. Ez ford´ıtva nem biztos, hogy igaz, s˝ot bizonyos felt´etelek mellett az aszimptotikusan nem stabil rendszer lehet gerjeszt´es-v´alasz stabilis. 10 10

Minderre a 8. fejezetben m´eg visszat´er¨ unk.

74

M´ atrixf¨ uggv´ eny sz´ am´ıt´ asa Lagrange-m´ atrixokkal Legyen az A m´atrix karakterisztikus polinomj´anak gy¨okt´enyez˝os alakja DN (λ) =

M Y i=1

αi

(λ − λi ) ,

ahol

M X

αi = N,

i=1

azaz M ≤ N sz´am´ u saj´at´ert´eke van, melyek k¨oz¨ott lehet t¨obbsz¨or¨os multiplicit´as´ u. Az egyes t¨obbsz¨or¨os multiplicit´as´ u saj´at´ert´ekek multiplicit´as´at αi jel¨oli, ami annyit jelent, hogy a λ i saj´at´ert´ekb˝ol αi sz´am´ u van. Legyen tov´abb´a a m´atrix minim´alpolinomj´anak gy¨okt´enyez˝os alakja M

DN (λ) Y = (λ − λi ), ∆(λ) = Θ(λ) i=1

ahol Θ(λ) az adj(λE − A) adjung´altm´atrix elemeinek legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja. Az oszt´as k¨ovetkezt´eben a minim´alpolinom foksz´ama cs¨okkenhet a karakterisztikus polinom foksz´am´ahoz k´epest, azonban az t¨obbsz¨or¨os gy¨ok¨oket nem tartalmazhat (ellenkez˝o esetben az Hermite-m´atrixokat kell alkalmazni). Ha az el˝oa´ll´ıtand´o f (A) m´atrixf¨ uggv´eny f (·) f¨ uggv´enye hatv´anysorral defini´alhat´o, akkor a m´atrixf¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıthat´o a Lagrangem´atrixok seg´ıts´eg´evel: f (A) =

M X

f (λi )Li (A),

(4.47)

i=1

ahol Li (A) jel¨oli a meghat´arozand´o Lagrange-m´atrixokat. Az A N -edrend˝ u kvadratikus m´atrixnak M sz´am´ u Lagrangem´ atrix a van, melyeket a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es alapj´an kell sz´am´ıtani: Li (A) =

M Y

j=1,j6=i

A − λj E , λi − λ j 75

i = 1, 2, . . . , M.

(4.48)

Minden egyes Lagrange-m´atrix (M − 1)-edfok´ u m´atrixpolinom, hiszen a szorzatban mindig elhagyjuk azt a saj´at´ert´eket, amely null´av´a tenn´e a nevez˝ot. A Lagrange-m´atrixok sz´am´ıt´as´anak ellen˝orz´es´ere szolg´alhat, hogy o¨sszeg¨ uk N -edrend˝ u egys´egm´atrix, azaz M X

Li (A) = E.

(4.49)

i=1

A Lagrange-m´atrixok meghat´aroz´asa ut´an az A m´atrix tetsz˝oleges f¨ uggv´enye meghat´arozhat´o a (4.47) o¨sszef¨ ugg´es alapj´an. A sz´amunkra sz¨ uks´eges exponenci´alis m´atrixf¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: e

At

=

M X

eλi t Li (A).

(4.50)

i=1

A m´atrixf¨ uggv´eny meghat´aroz´asa ´ıgy egy M tagb´ol a´ll´o o¨sszeg meghat´aroz´as´at jelenti, ahol az f (·) f¨ uggv´eny argumentum´aba a m´atrix helyett a m´atrix saj´at´ert´ekei ker¨ ulnek, ami pedig egy skal´arf¨ uggv´eny meghat´aroz´as´at jelenti, s a Lagrange-m´atrixok ezen skal´arf¨ uggv´enyekkel s´ ulyozott o¨sszege adja a m´atrixf¨ uggv´enyt. A Lagrange-m´atrixok el˝oa´ll´ıt´as´anak gyakorl´as´ara sz´amoljuk v´egig r´eszletesen a k¨ovetkez˝o p´eld´at. P´ elda.

Hat´arozzuk meg az A m´artix e At m´atrixf¨ uggv´eny´et.   0 1 A= . −3 −4

76

Megold´ as. Hat´arozzuk meg a m´atrix |λE − A| = 0 karakterisztikus egyenlet´et11 :     λ 0 0 1 λ −1 D2 (λ) = = − = 0 λ −3 −4 3 λ + 4 =λ(λ + 4) + 3 = λ2 + 4λ + 3 = 0. ⇒ λ1 = −1, λ2 = −3.

A saj´at´ert´ekek teh´at egyszeresek, mivel k¨ ul¨onb¨oznek egym´ast´ol. Ebben az esetben a minim´alpolinomot nem is kell meghat´arozni, mert ha meghat´arozzuk a λE − A m´atrix adjung´altj´at, akkor elemeinek legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja bizosan 1 lesz. Ezt meghat´arozzuk:    T   (∗) λ −1 λ + 4 −3 λ+4 1 adj = = . 3 λ+4 1 λ −3 λ Ezen adjung´alt m´atrix elemeinek legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja 1, azaz Θ(λ) = 1, s ´ıgy a minim´alpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal, ∆(λ) = D 2 (λ).12 ´Igy a Lagrangem´atrixokat alkalmazhatjuk a m´atrixf¨ uggv´eny meghat´aroz´as´ara. Az L1 (A) Lagrange-m´atrix a defin´ıci´ob´ol kiindulva k¨ovet– a b m´ asodrend˝ u m´ atrix determin´ ansa a k¨ ovetkez˝ o: |A| = c d ad − bc, azaz a f˝ oa ´tl´ oban l´ev˝ o elemek szorzat´ ab´ ol kivonjuk a mell´ek´ atl´ oban l´ev˝ o elemek szorzat´ at. 12 Az adjung´ alt m´ atrix meghat´ aroz´ as´ anak szab´ alya a k¨ ovetkez˝ o: az adjung´ alt m´ atrix ij index˝ u eleme a λE − A m´ atrix i-edik sor´ anak ´es j-edik oszlop´ anak elhagy´ asa ut´ an kapott m´ atrix determin´ ansa lesz. Ezt ezut´ an transzpon´ alni kell. Az adjung´ alt meghat´ aroz´ asa sor´ an nem szabad megfeledkezni a ablaszab´ alyr´ o3l, ami a k¨ ovetkez˝ ot jelenti az el˝ ojelekkel kapcsolatban: 2 sakkt´ + − + ... 4 − + − . . . 5, azaz pl. az 11 index˝ u elemet 1-gyel, az 12 index˝ u ele+ − + ... met −1-gyel be kell szorozni. Ezt a pontot jel¨ oli a (*) a m˝ uveletben. 11

Az A =

»

77

kez˝ok´epp hat´arozhat´o meg: 2 Y

A − λ2 E 1 A − λj E = = (A − λ2 E) = λ1 − λ j λ1 − λ 2 λ1 − λ 2 j=1,j6=1     1 −3 0 0 1 = = − 0 −3 −3 −4 −1 + 3     1 1, 5 0, 5 3 1 . = = −1, 5 −0, 5 2 −3 −1

L1 (A) =

Az L2 (A) Lagrange-m´atrix hasonl´ok´epp sz´am´ıthat´o: 2 Y

A − λj E A − λ1 E 1 = = (A − λ1 E) = λ2 − λ j λ2 − λ 1 λ2 − λ 1 j=1,j6=2     1 0 1 −1 0 = − = −3 −4 0 −1 −3 + 1     1 −0, 5 −0, 5 1 1 . = =− 1, 5 1, 5 2 −3 −3

L2 (A) =

Ellen˝orz´esk´epp sz´am´ıtsuk ki a k´et Lagrange-m´atrix o¨sszeg´et:       1 0 −0, 5 −0, 5 1, 5 0, 5 , = + L1 (A) + L2 (A) = 0 1 1, 5 1, 5 −1, 5 −0, 5 ami a m´asodrend˝ u egys´egm´atrix, ahogy annak lenni kell. A Lagrange-m´atrixok ismeret´eben az exponenci´alis m´atrixf¨ uggv´eny m´ar fel´ırhat´o: e

At

=

2 X

eλi t Li (A) =

i=1

    1, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5 =e−1t + e−3t = −1, 5 −0, 5 1, 5 1, 5   1, 5e−1t − 0, 5e−3t 0, 5e−1t − 0, 5e−3t = . −1, 5e−1t + 1, 5e−3t −0, 5e−1t + 1, 5e−3t

Ezen eredm´enyre k´es˝obb m´eg visszat´er¨ unk. 78

M´ atrixf¨ uggv´ eny sz´ am´ıt´ asa Hermite-m´ atrixokkal Miel˝ott r´at´ern´enk az Hermite-m´atrixok bevezet´es´ere, egy egyszer˝ u p´eld´aval illusztr´aljuk azt az esetet, amikor a m´atrix minim´alpolinomja t¨obbsz¨or¨os gy¨ok¨ot is tartalmaz. Vizsg´aljuk meg az   1 1 A= 0 1 m´atrix karakterisztikus polinomj´at, adjung´altj´at ´es minim´alpolinomj´at. A k´erd´es az, vajon alkalmazhat´ok-e a Lagrange-m´atrixok ezen m´atrix m´atrixf¨ uggv´eny´enek el˝oa´ll´ıt´as´ara. Az A m´atrix karakterisztikus polinomja a k¨ovetkez˝o: λ − 1 −1 = (λ − 1)2 . D2 (λ) = |λE − A| = 0 λ−1

Ha a karakterisztikus polinomot egyenl˝ov´e tessz¨ uk null´aval, akkor kapjuk a karakterisztikus egyenletet, ´es a saj´at´ert´ekeket: (λ − 1)2 = 0. Egyetlen saj´at´ert´ek van teh´at, amely k´etszeres: λ1,2 = 1. Mivel a saj´at´ert´ek k´etszeres (´altal´anosan t¨obbsz¨or¨os), ez´ert meg kell vizsg´alnunk a minim´alpolinomot is. Ehhez sz¨ uks´eg van az λE − A m´atrix adjung´altj´ara: adj(λE − A) =



λ−1 0 1 λ−1

T

=



λ−1 1 0 λ−1



.

Az adjung´alt m´atrix elemeinek legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja Θ(λ) = 1, s ´ıgy a minim´alpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal: D2 (λ) = (λ − 1)2 . ∆(λ) = Θ(λ) A minim´alpolinom gy¨oke t¨obbsz¨or¨os, teh´at a Lagrange-m´atrixokat nem alkalmazhatjuk a m´atrixf¨ uggv´eny meghat´aroz´as´ara.

79

Legyen teh´at az A m´atrix karakterisztikus polinomj´anak gy¨okt´enyez˝os alakja DN (λ) =

M Y i=1

(λ − λi )αi ,

M X

ahol

αi = N,

i=1

azaz M < N sz´am´ u saj´at´ert´eke van, melyek k¨oz¨ott van t¨obbsz¨or¨os (αi ) multiplicit´as´ u. Legyen tov´abb´a a m´atrix minim´alpolinomj´anak gy¨okt´enyez˝os alakja M

DN (λ) Y ∆(λ) = (λ − λi )βi , = Θ(λ)

ahol

M X i=1

i=1

βi = N 0 ≤ N,

ahol Θ(λ) az adj(λE − A) adjung´altm´atrix elemeinek legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja. Az oszt´as k¨ovetkezt´eben a minim´alpolinom foksz´ama cs¨okkenhet a karakterisztikus polinom foksz´am´ahoz k´epest, azonban az is tartalmazhat t¨obbsz¨or¨os gy¨ok¨oket (jelen esetben tartalmaz is). Ha az el˝oa´ll´ıtand´o f (A) m´atrixf¨ uggv´eny f (·) f¨ uggv´enye hatv´anysorral defini´alhat´o, akkor a m´atrixf¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıthat´o az Hermite-m´atrixok seg´ıts´eg´evel: f (A) =

M βX i −1 X

f (j) (λi ) Hij (A),

(4.51)

i=1 j=0

ahol Hij (A) jel¨oli az Hermite-m´atrixokat. Az els˝o o¨sszegz´es i = 1, 2, . . . , M a saj´at´ert´ekek sz´am´anak megfelel˝oen alakul, a bels˝o o¨sszegz´est pedig a minim´alpolinom i-edik gy¨ok´enek multiplicit´asa hat´arozza meg. R´eszletesen ki´ırva: f (A) =

M h X

f (λi )Hi0 (A) + f 0 (λi )Hi1 (A) + . . .

i=1

i

+f (βi −1) (λi )Hi,βi −1 (A) , 80

(4.52)

teh´at az f (·) f¨ uggv´eny deriv´altjaira is sz¨ uks´eg¨ unk lesz. Az Hermite-m´atrixok meghat´aroz´as´ara a´ltal´anosan nincs sz¨ uks´eg¨ unk, csak az eAt m´atrixf¨ uggv´enyre koncentr´alunk, hiszen az szerepel az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´as´anak v´egk´eplet´eben: e

At

=

M βX i −1 X

tj eλi t Hij (A).

(4.53)

i=1 j=0

Itt arra kell u ¨ gyeln¨ unk, hogy az f (λ i ) = eλi t deriv´al´as´at a λi v´altoz´o szerint kell elv´egezni, ´es t f¨ uggetlen param´eter, azaz f (λi ) = eλi t ,

f 0 (λi ) = teλi t ,

f 00 (λi ) = t2 eλi t ,

....

Ezt jelzi a f¨ uggv´eny argumentuma is: f (λ i ), vagyis az f (·) f¨ uggv´eny a λi saj´at´ert´ekt˝ol f¨ ugg. Az Hermite-f´ele m´atrixpolinomok el˝oa´ll´ıt´asa a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´esen alapszik13 : – M » λp−1 λp−2 λip−qi 1 p X λpi i i A = Hi0 + Hi1 + Hi2 + . . . + Hiqi , p! p! (p − 1)! (p − 2)! (p − qi )! i=1 (4.54)

ahol Hij = Hij (A), ´es qi =



βi − 1, βi − 1 ≤ p; p, βi − 1 ≥ p.

Mindez fel´ırhat´o kompaktabb alakban is: M

qi

1 p X X λp−j i A = Hij . p! (p − j)!

(4.55)

i=1 j=0

Ez az o¨sszef¨ ugg´es megadja az A m´atrix ´es az o¨sszes Hij (A) Hermite-f´ele m´atrixpolinom k¨oz¨otti kapcsolatot. 13

Ezen o ¨sszef¨ ugg´es levezet´es´evel nem foglalkozunk, mert feleslegesen hosszadalmas lenne, fogadjuk teh´ at el, hogy ´ıgy van. Levezet´es´et ´es bizony´ıt´ as´ at l´ asd R´ ozsa P´ al: Line´ aris algebra ´es alkalmaz´ asai c´ım˝ u k¨ onyv´eben.

81

Seg´ıts´eg´evel meghat´arozhat´ok az egyes m´atrixpolinomok (itt p = 0, 1, 2, . . . , N 0 − 1). Ezt nem t´argyaljuk a´ltal´anosan, mert nagyon messze vezetne, meg´ert´ese p´eld´akon kereszt¨ ul sokkal hat´ekonyabb ´es egyszer˝ ubb. P´ elda.

Hat´arozzuk meg az A m´atrix e At m´atrixf¨ uggv´eny´et:   0 1 . A= −0, 25 −1

Megold´ as. Hat´arozzuk meg a m´atrix |λE − A| = 0 karakterisztikus egyenlet´et: λ −1 D2 (λ) = |λE − A| = = λ(λ + 1) + 0, 25 = 0, 25 λ + 1 = λ2 + λ + 0, 25 = 0

⇒

λ1,2 = −0, 5.

Ez a saj´at´ert´ek k´etszeres. Hat´arozzuk meg a minim´alpolinomot annak eld¨ont´ese c´elj´ab´ol, vajon melyik m´atrixpolinomot kell alkalmaznunk. L´attuk az el˝oz˝o p´eld´akban, hogy ha a karakterisztikus polinom gy¨okei t¨obbsz¨or¨osek ´es a minim´alpolinom gy¨okei mind egyszeresek, akkor a Lagrange-f´ele m´atrixpolinomokat kell alkalmazni. L´atni fogjuk, hogy itt nem ez lesz a helyzet. Hat´arozzuk meg a λE − A karakterisztikus m´atrix adjung´altj´at: adj(λE − A) =



λ + 1 −0, 25 1 λ

T

=



λ+1 1 −0, 25 λ



.

Ezen m´atrix elemeinek legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja Θ(λ) = 1, azaz a m´atrix minim´alpolinomja megegyezik a m´atrix karakterisztikus polinomj´aval, k¨ovetkez´esk´epp a minim´alpolinom egyetlen gy¨oke k´etszeres: D2 (λ) = (λ + 0, 5)2 . ∆(λ) = Θ(λ) 82

Mivel a minim´alpolinom gy¨oke t¨obbsz¨or¨os, ez´ert nem alkalmazhatjuk a Lagrange-f´ele m´atrixpolinomokat a m´atrixf¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıt´as´ara. Erre szolg´alnak az Hermite-f´ele m´atrixpolinomok. Azonos´ıtsuk a (4.54) o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o jel¨ol´eseket. A karakterisztikus polinom gy¨okeinek, azaz a saj´at´ert´ekek sz´ama N = 2, azonban ez egy k´etszeres gy¨ok, ´ıgy α 1 = 2, azonban csak egy van bel˝ole, ez´ert M = 1, a minim´alpolinom gy¨okeinek sz´ama N 0 = 2, de β1 = 2. ´Irjuk fel a (4.54) o¨sszef¨ ugg´est p = 0, 1 esetekre: p = 0 :) E = p = 1 :) A =

1 X

i=1 1 X i=1

Hi0 = H10 {λ1 Hi0 + Hi1 } = λ1 H10 + H11 .

Innen leolvashatjuk, hogy   1 0 , H10 = E = 0 1 H11 = A + 0, 5 H10 =



0, 5 1 −0, 25 −0, 5



.

´Igy nincs m´as dolgunk, mint fel´ırni a m´atrixf¨ uggv´enyt: e

At

=

1 X 2−1 X

tj eλi t Hij (A) = eλ1 t H10 + t eλ1 t H11 =

i=1 j=0

=



e−0,5t + 0, 5te−0,5t te−0,5t −0,5t −0,5t −0, 25te e − 0, 5te−0,5t



.

A p´eld´an kereszt¨ ul vil´agos, hogy i = 1, azaz egyetlen tagb´ol a´ll a k¨ uls˝o o¨sszeg, hiszen egyetlen, de k´etszeres saj´at´ert´ek van, a bels˝o o¨sszegz´es j = 0, 1, pont az´ert mert a saj´at´ert´ek k´etszeres. Ha a minim´alpolinom valamely gy¨ok´enek multiplicit´asa nagyobb, mint 2, akkor fell´epnek m´eg t 2 eλt , t3 eλt stb. t´enyez˝ok is. 83

Levonhat´o teh´at az a k¨ovetkeztet´es, hogy az a´lland´o egy¨ utthat´oj´ u homog´en line´aris differenci´alegyenlet-rendszerek megold´as´at kiz´ar´olag exponenci´alis f¨ uggv´enyek alkotj´ak, ha a minim´alpolinom minden gy¨oke egyszeres, ellenkez˝o esetben fell´epnek az id˝o polinomj´aval s´ ulyozott exponenci´alis f¨ uggv´enyek is. M´ atrixf¨ uggv´ enyek alkalmaz´ asa a v´ alasz sz´ am´ıt´ as´ aban P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi a´llapotv´altoz´os le´ır´as´aval adott SISO-rendszer ugr´asv´alasz´at ´es impulzusv´alasz´at.            x1 x1 x˙ 1 0 0 1 s, y= 1 5 . + = 1 −3 −4 x2 x2 x˙ 2 Megold´ as. A megold´ast k´et m´odon mutatjuk be. Az els˝o kicsit hosszadalmasabb, azonban megadja az a´llapotv´altoz´ok id˝of¨ uggv´eny´et is, a m´asodik egy r¨ovidebb megold´as, de csak a kimeneti jel alakul´as´at adja. A rendszerm´atrix eAt m´atrixf¨ uggv´eny´ere sz¨ uks´eg¨ unk lesz a megold´as sor´an. C´elszer˝ u el˝osz¨or ezt meghat´arozni, majd a lentebb bemutatott m´odon felhaszn´alni. Ezen m´atrix m´atrixf¨ uggv´enye ismert, kor´abban m´ar meghat´aroztuk, s most felhaszn´aljuk (l. 76. oldal). (a) Els˝o l´ep´esben hat´arozzuk meg az a´llapotv´altoz´ok id˝of¨ uggv´eny´et az a´llapotv´altoz´os le´ır´as a´llapotvektorra vonatkoz´o r´esz´eb˝ol. L´athat´o, hogy az y = y(t) kimeneti jel ezekt˝ol f¨ ugg, hiszen y(t) = x1 (t) + 5x2 (t). Az a´llapotvektor id˝of¨ uggv´eny´enek meghat´aroz´as´ara szolg´al az Z t eA(t−τ ) bs(τ ) dτ x(t) = eAt x(−0) + −0

o¨sszef¨ ugg´es, ahol x(−0) = 0, mivel a gerjeszt´es a bel´ep˝o egys´egugr´asjel, s(τ ) = ε(τ ), tov´abb´a az integr´al als´o hat´ara 0 lehet, mivel

84

a gerjeszt´es nem tartalmaz Dirac-impulzust. ´Igy az Z t eA(t−τ ) b dτ x(t) = 0

o¨sszef¨ ugg´eshez jutunk. Sz¨ uks´eg¨ unk lesz az e A(t−τ ) b szorzatra, amely egy 2 × 2-es m´atrix ´es egy 2 × 1-es oszlopvektor szorzata. Az eredm´eny egy 2 × 1-es oszlopvektor lesz. Foglalkozzunk el˝osz¨or az eAt b szorzattal, majd a v´egeredm´enyben ´ırjunk a´t minden t-t (t − τ )-ra. A szorzat teh´at a k¨ovetkez˝o:    1, 5e−1t − 0, 5e−3t 0, 5e−1t − 0, 5e−3t 0 At e b= = −1t −3t −1t −3t −1, 5e + 1, 5e −0, 5e + 1, 5e 1   0, 5e−1t − 0, 5e−3t = , −0, 5e−1t + 1, 5e−3t azaz

e

A(t−τ )

b=



0, 5e−(t−τ ) − 0, 5e−3(t−τ ) −0, 5e−(t−τ ) + 1, 5e−3(t−τ )



.

Ennek els˝o sora az x1 (t), m´asodik sora pedig az x2 (t) id˝of¨ uggv´eny sz´am´ıt´as´ahoz sz¨ uks´eges, teh´at: Z th i 0, 5e−(t−τ ) − 0, 5e−3(t−τ ) dτ. x1 (t) = 0

Ennek megold´asa hasonl´o a konvol´ uci´on´al bemutatott integr´alok sz´am´ıt´as´ahoz: a z´ar´ojelek felbont´asa ut´an vigy¨ uk ki az integr´al´as szempontj´ab´ol konstansnak tekinthet˝o param´etereket, majd hat´arozzuk meg a primit´ıv f¨ uggv´enyeket ´es a hat´arozott integr´alokat: Z t Z t −t τ −3t x1 (t) = 0, 5e e dτ − 0, 5e e3τ dτ = 0

0

= 0, 5e−t [eτ ]t0 − 0, 5e−3t



e3τ

t


= 0, 5e−t et − 1 −

3 0
1 −3t 3t 1 1 − e e − 1 = 0, 5 − 0, 5e−t − + e−3t . 6 6 6 85

Az x1 (t) id˝of¨ uggv´enye teh´at a k¨ovetkez˝o:   1 1 −t 1 −3t x1 (t) = ε(t) − e + e . 3 2 6 Az x2 (t) id˝of¨ uggv´enye hasonl´ok´epp sz´am´ıthat´o:   1 −t 1 −3t . e − e x2 (t) = ε(t) 2 2 Ezen eredm´enyek felhaszn´al´as´aval az y(t) v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye is meghat´arozhat´o behelyettes´ıt´essel. Mivel a gerjeszt´es az ε(t) egys´egugr´as, ez´ert a v´alaszjel a v(t) ugr´asv´alasz, azaz   1 1 −t 1 −3t v(t) = y(t) = x1 (t) + 5x2 (t) = ε(t) + − e + e 3 2 6     7 −3t 1 −t 1 −3t 1 −t + 5ε(t) e − e + 2e − e = ε(t) . 2 2 3 3 Hat´arozzuk meg az impulzusv´alaszt az ugr´asv´alasz a´ltal´anos´ıtott deriv´altjak´ent:  
7 1 +2− + ε(t) −2e−t + 7e−3t = w(t) = v 0 (t) = δ(t) 3 3
−t −3t = ε(t) −2e + 7e . (b) Hat´arozzuk meg az y(t) v´alaszjelet k¨ozvetlen¨ ul az Z t eA(t−τ ) bs(τ ) dτ + D s(τ ) y(t) = cT 0

o¨sszef¨ ugg´es alapj´an. Sz¨ uks´eg¨ unk van teh´at a cT eA(t−τ ) b szorzatra, melyb˝ol az eA(t−τ ) b szorzatot m´ar meghat´aroztuk, ´ıgy csak az     0, 5e−(t−τ ) − 0, 5e−3(t−τ ) T A(t−τ ) c e b= 1 5 −0, 5e−(t−τ ) + 1, 5e−3(t−τ ) 86

szorzatot kell meghat´aroznunk. Ez egy 1×2 sorvektor ´es egy 2×1 oszlopvektor szorzata, amely egy skal´ar kifejez´est ad, azaz h i h i 0, 5e−(t−τ ) − 0, 5e−3(t−τ ) + 5 −0, 5e−(t−τ ) + 1, 5e−3(t−τ ) ,

azaz: cT eA(t−τ ) b = −2e−(t−τ ) + 7e−3(t−τ ) , amit integr´alni kell (D = 0): Z th i −2e−(t−τ ) + 7e−3(t−τ ) dτ. y(t) = 0

Az ugr´asv´alasz ´ıgy a k¨ovetkez˝o:   7 1 + 2e−t − e−3t . v(t) = ε(t) 3 3

Az impulzusv´alasz meghat´arozhat´o a w(t) = ε(t)cT eAt b + Dδ(t) kifejez´es alapj´an. Mivel D = 0, ez´ert az impulzusv´alaszban a δ(t) gerjeszt´es nem jelenik meg, a cT eAt b kifejez´est pedig m´ar fentebb meghat´aroztuk, ´ıgy
w(t) = ε(t) −2e−t + 7e−3t .

A (a) ´es (b) pontban meghat´arozott eredm´enyek egyenl˝oek, ahogy azt v´arni lehetett. A p´eld´akb´ol ´erz´ekelhet˝o, hogy a m´atrixf¨ uggv´enyek alkalmaz´asa meglehet˝osen hosszadalmas sz´am´ıt´ast jelent pap´ıron, k´ezzel elv´egezve a m˝ uveleteket. Nagy el˝onye a (nem t´argyalt) rendszeregyenlet megold´as´ahoz k´epest, hogy a kezdeti felt´etelek sokkal egyszer˝ ubben meghat´arozhat´ok ´es sz´am´ıt´og´epes programokban sokkal egyszer˝ ubb a k´od elk´esz´ıt´ese.

87

4.7.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as ´ es a rendszeregyenlet kapcsolata

A rendszeregyenlet ´es az a´llapotv´altoz´os le´ır´as egy rendszer k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o matematikai megfogalmaz´asa. Mivel ugyanazon rendszert ´ırj´ak le, k¨oz¨ott¨ uk kapcsolat kell legyen.

4.7.1.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as meghat´ aroz´ asa a rendszeregyenlet ismeret´ eben

P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi, rendszeregyenlet´evel adott rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´at. y¨ + 4y˙ + 3y = 3s. Megold´ as. A c´el teh´at a´llapotv´altoz´ok bevezet´ese, ´es a rendszeregyenlet a´talak´ıt´asa a´llapotv´altoz´os le´ır´ass´a. Arra kell u ¨gyeln¨ unk, hogy az a´llapotv´altoz´os le´ır´as jobb oldal´an csak az a´llapotv´altoz´ok ´es a gerjeszt´es id˝of¨ uggv´enye, bal oldal´an pedig csak az a´llapotv´altoz´ok id˝o szerinti els˝o deriv´altja szerepeljen, tov´abb´a a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye. A megold´as menete a k¨ovetkez˝o. El˝osz¨or azt kell meghat´aroznunk, hogy h´any a´llapotv´altoz´o sz¨ uks´eges a rendszer le´ır´as´ara. Ez a rendszeregyenletb˝ol mindig meg´allap´ıthat´o: N = n, jelen esetben N = 2. Els˝o l´ep´esben rendezz¨ uk a´t a rendszeregyenletet u ´ gy, hogy annak bal oldal´an a v´alaszjel n-edik deriv´altja szerepeljen: y¨ = −4y˙ − 3y + 3s. Integr´aljuk ezt az egyenletet N = 2-szer −∞-t˝ol t-ig. ´Igy a bal oldali k´etszeres deriv´alt elt˝ unik ´es az id˝of¨ uggv´eny kifejez´es´et kapjuk: Z ZZ ZZ y = −4 y dt − 3 y dτ dτ + 3 s dτ dτ. 88

Ezt az egyenletet kell a´talak´ıtanunk a´llapotv´altoz´os le´ır´ass´a. Ebben az a´llapotv´altoz´os le´ır´as utols´o egyenlet´ere ismerhet¨ unk, amelyben a v´alaszjelet hat´arozzuk meg. Abban azonban nem szerepelhet integr´al, csak az a´llapotv´altoz´o ´es a gerjeszt´es id˝of¨ uggv´enye, minden m´ast m´ask´epp kell jel¨oln¨ unk. Erre szolg´alnak az a´llapotv´altoz´ok, jel¨olj¨ uk h´at a teljes jobb oldalt az x2 a´llapotv´altoz´oval, azaz Z ZZ ZZ x2 = −4 y dτ − 3 y dτ dτ + 3 s dτ dτ, ´es ´ıgy kapjuk a v´alaszjel a´llapotv´altoz´os le´ır´as´at is: y = x 2 , mellyel t¨obbet nem kell foglalkoznunk. A jel¨ol´est mindig N -t˝ol kell kezdeni, visszafel´e haladva. Ezut´an deriv´aljuk id˝o szerint az x2 a´llapotv´altoz´ot: Z Z x˙ 2 = −4y − 3 y dτ + 3 s dτ. Ezt az´ert kell megtenn¨ unk, mert defin´ıci´o szerint az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakj´anak bal oldal´an az a´llapotv´altoz´ok id˝o szerinti els˝o deriv´altja szerepel. Jobb oldal´an azonban csak az a´llapotv´altoz´o ´es a gerjeszt´es id˝of¨ uggv´enye szerepelhet. Az y-t m´ar kifejezt¨ uk az x2 a´llapotv´altoz´oval, az integr´alt tartalmaz´o k´et tagot pedig jel¨olj¨ uk az x1 a´llapotv´altoz´oval: Z Z x˙ 2 = −4x2 − 3 y dτ + 3 s dτ = −4x2 + x1 , azaz x1 = −3

Z

y dτ + 3

Z

s dτ.

Deriv´aljuk ezt a kifejez´est is id˝o szerint, mivel az a´llapotv´altoz´o deriv´altja kell, hogy szerepeljen a bal oldalon, azaz x˙ 1 = −3y + 3s = −3x2 + 3s. 89

Ez az alak m´ar megfelel az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakj´anak. ¨ Osszegezve kapjuk, hogy       0 −3 3 x(t) ˙ = x(t) + s(t), y(t) = 0 1 x(t). 1 −4 0

Az a´talak´ıt´as megoldhat´o egyetlen l´ep´esben is, azonban ehhez meg kell jegyezn¨ unk a k¨ovetkez˝o formul´at: 

   x(t) ˙ =   y(t) =



0 0 ··· 1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . . . . . 0 0 ···

0 0 ···

0 0 0 .. .

−aN −aN −1 −aN −2

1 0 1



··· −a1





       x(t) +     

x(t) + b0 s(t).

bN − b 0 a N bN −1 − b0 aN −1 bN −2 − b0 aN −2 .. . b1 − b 0 a 1



    s(t),   (4.56)

Ez az alak az un. m´ asodik Frobenius-alak, vagy megfigyel˝ o alak. 14

4.7.2.

A rendszeregyenlet meghat´ aroz´ asa ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as ismeret´ eben

az

P´ elda. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o a´llapotv´altoz´os le´ır´as´aval adott rendszer rendszeregyenlet´et.            x1 x˙ 1 0 −2 x1 1 = + s, y = 0 1 . x˙ 2 1 −5 x2 3 x2 Megold´ as. A c´el az a´llapotv´altoz´ok kiejt´ese az a´llapotv´altoz´os le´ır´asb´ol. A megold´as menete a k¨ovetkez˝o. A v´alaszjel egyenlet´et N -szer deriv´aluk id˝o szerint. Ez´altal kapunk egy N +1 egyenletb˝ol a´ll´o egyenletrendszert, amely tartalmazza az a´llapotv´altoz´ok id˝of¨ uggv´eny´et, tov´abb´a a gerjeszt´es ´es a v´alasz id˝of¨ uggv´eny´et, els˝o, 14

Az els˝ o Frobenius-alak, vagy szab´ alyoz´ o alak a k¨ ovetkez˝ ot jelenti a T T m´ asodik alak ismeret´eben (vagy megford´ıtva): A1 = AT 2 , B1 = C 2 , C 1 = B 2 ´es D1 = D2 (az indexek az els˝ o ´es a m´ asodik alakra utalnak).

90

m´asodik, . . . , N -edik deriv´altjait. Az egyenletrendszer megold´asa sor´an ismeretlennek tekintj¨ uk az N sz´am´ u a´llapotv´altoz´ot ´es a v´alasz N -edik deriv´altj´at. Ez pontosan N + 1 sz´am´ u ismeretlen. A c´el y (N ) = y (n) kifejez´ese egyetlen egyenlettel (a rendszeregyenlettel) u ´ gy, hogy az egyenlet ne tartalmazzon a´llapotv´altoz´ot. Mindig a v´alaszjel egyenlet´eb˝ol indulunk ki. Deriv´aljuk ezt id˝o szerint egyszer: y˙ = x˙ 2 , ´es helyettes´ıts¨ uk be x˙ 2 kifejez´es´et: y˙ = x1 − 5x2 + 3s. Deriv´aljuk az ´ıgy kapott egyenletet id˝o szerint: y¨ = x˙ 1 − 5x˙ 2 + 3s, ˙ majd helyettes´ıts¨ uk be x˙ 1 ´es x˙ 2 kifejez´es´et az a´llapotv´altoz´os le´ır´asb´ol ´es vonjunk o¨ssze: y¨ = −2x2 + s − 5x1 + 25x2 − 15s + 3s˙ = −5x1 + 23x2 − 14s + 3s. ˙

Kaptunk teh´at egy N + 1 = 3 egyenletb˝ol a´ll´o egyenletrendszert, amelyben ismeretlen az x1 , az x2 (az´ert kellett visszahelyettes´ıteni az a´llapotvektort, hogy az a´llapotv´altoz´ok id˝of¨ uggv´enye szerepeljen) ´es az y¨. Minden m´ast ismertnek tekint¨ unk. Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert. Haszn´aljuk fel az x 2 = y kifejez´est ´es helyettes´ıts¨ uk azt vissza az y˙ ´es az y¨ egyenletekbe: y˙ = x1 − 5y + 3s,

y¨ = −5x1 + 23y − 14s + 3s. ˙

Ezen egyenletek m´ar csak az x1 ´es az y¨ ismeretleneket tartalmazza. Szorozzuk be az els˝o egyenletet 5-tel, majd adjuk o¨ssze a k´et egyenletet. Rendezve a kapott eredm´enyt a k¨ovetkez˝o rendszeregyenlethez jutunk: y¨ + 5y˙ + 2y = 3s˙ + s.

91

5. fejezet

DI rendszerek anal´ızise az id˝ otartom´ anyban 5.1.

Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa

Diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben is term´eszetesen igaz, hogy ha ismerj¨ uk egy line´aris rendszer adott gerjeszt´eshez (vizsg´ al´ ojel) tartoz´ o v´ alasz´ at, akkor ezen gerjeszt´es-v´ alasz kapcsolat ismeret´eben meg tudjuk hat´arozni a rendszer tetsz˝oleges gerjeszt´eshez tartoz´o v´alasz´at is, hiszen ez a gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat jellemzi a line´aris rendszert (l. W{·} oper´ator a (2.1) defin´ıci´oban). Ilyen vizsg´al´ojel az egys´egugr´ asjel ´es a Dirac-impulzus. Ha a gerjeszt´es id˝of¨ uggv´eny´et elemi f¨ uggv´enyekre bontjuk, akkor az egyes r´eszf¨ uggv´enyekre, mint gerjeszt´esekre a r´eszv´alaszokat egyenk´ent meg lehet hat´arozni. V´eg¨ ul a (2.3) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen a r´eszv´alaszok o¨sszegz´ese adja a teljes v´alaszjelet, hiszen a rendszer line´aris. Az egyik legegyszer˝ ubb diszkr´et idej˝ u jel az ε[k] egys´egugr´asjel. Ha a rendszer bemenet´ere ezt a jelet adjuk, akkor a rendszer v´alasza az un. ugr´ asv´ alasz, vagy m´asn´even a ´tmeneti f¨ uggv´eny lesz, melyet v[k]-val szok´as jel¨olni. 92

Az ugr´ asv´ alasz teh´ at az egys´egugr´ as jelre adott v´ alasz: y[k] = v[k],

ha

s[k] = ε[k],

azaz

v[k] = W{ε[k]}.

(5.1)

Hasonl´oan, mint a folytonos idej˝ u rendszerekn´el, ha a rendszer kauz´ alis, akkor az ugr´asv´alasz bel´ep˝ ojel. Ha a rendszer id˝oben invari´ ans, akkor az eltolt ε[k − i] jelre a rendszer v[k − i] v´alasszal felel. A rendszer invarianci´ a j´anak ´es linearit´ as´anak illusztr´al´as´at szolg´alja a k¨ovetkez˝o h´arom egyszer˝ u p´elda. 1.) Legyen egy line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer ugr´asv´alasza, azaz az s[k] = ε[k] gerjeszt´esre adott v´alasza pl. v[k] = 2ε[k]0, 5k . Legyen el˝osz¨or ugyanezen rendszer gerjeszt´ese s[k] = ε[k − 5], azaz az ugr´as a k = 5 u ¨ temben jelenik meg, vagyis k´esik. Ekkor a rendszer kimenet´en az invariancia k¨ovetkezt´eben az y[k] = v[k − 5] = 2ε[k − 5]0, 5k−5 jel jelenik meg, amely szint´en 5 u ¨ temmel k´esik. Vegy¨ uk ´eszre, hogy minden k hely´ebe (k − 5)-¨ot ´ırtunk a rendszer invarianci´aja k¨ovetkezt´eben. 2.) Az ugr´asv´alasz ismeret´eben meghat´arozhatjuk pl. azt is, hogy milyen feleletet ad a rendszer az s[k] = 1, 5 ε[k] gerjeszt´esre. A gerjeszt´es ebben az esetben az egys´egugr´asjel 1, 5-szerese, s mivel a rendszer az ε[k] jelre v[k] jellel v´alaszol, a gerjeszt´esben szerepl˝o konstansszorz´o megjelenik a v´alaszban is, teh´at a kimeneten az 1, 5v[k] jel lesz, mivel a rendszer line´ aris. A p´eld´an´al maradva a rendszer v´alaszjele a k¨ovetkez˝o lesz: y[k] = 1, 5v[k] = 3ε[k]0, 5k . 3.) Legyen a rendszer gerjeszt´ese a k¨ovetkez˝o ablakozott jel: s[k] = 2 {ε[k] − ε[k − 3]} , 93

s hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at. A gerjeszt´est most k´et ε[k] t´ıpus´ u jel k¨ ul¨onbs´egek´ent ´ırtuk fel. A rendszer v´alasz´anak meghat´aroz´as´ahoz fel kell haszn´alni a fenti k´et eredm´enyt, s ´ıgy a v´alaszjel y[k] = 2{v[k] − v[k − 3]} lesz, azaz n o y[k] = 4 ε[k]0, 5k − ε[k − 3]0, 5k−3 .

Az ugr´asv´alasz egy un. rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny, mivel az jellemzi a rendszer m˝ uk¨od´es´et, azonban nem j´atszik annyira fontos szerepet a´ltal´anos gerjeszt´esekre adott v´alasz sz´am´ıt´as´aban mint a folytonos idej˝ u rendszerek anal´ızise eset´en, ez´ert ezzel a lehet˝os´eggel nem foglalkozunk. Az 5.3. r´eszben t´er¨ unk ki az impulzusv´alasz ´es az ugr´asv´alasz kapcsolat´ara.

5.2. 5.2.1.

Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa Az impulzusv´ alasz defin´ıci´ oja

A δ[k] egys´egimpulzus egy fontos vizsg´ al´ ojel. Ha a rendszer bemenet´ere ezt a jelet adjuk, akkor a rendszer v´alasza az un. impulzusv´ alasz, vagy m´asn´even s´ ulyf¨ uggv´eny lesz, melyet w[k]-val 1 szok´as jel¨olni. Az impulzusv´ alasz teh´ at az egys´egimpulzus jelre adott v´ alasz: y[k] = w[k],

ha

s[k] = δ[k],

azaz

w[k] = W{δ[k]}.

(5.2)

Ha a rendszer kauz´ alis, akkor az impulzusv´alasz bel´ep˝ ojel. Ha a rendszer id˝oben invari´ ans, akkor az eltolt δ[k − i] jelre a rendszer w[k − i] v´alasszal felel. A rendszer invarianci´ a j´anak ´es linearit´ as´anak illusztr´al´as´at szolg´alj´ak a k¨ovetkez˝o egyszer˝ u p´eld´ak. 1

Egyes irodalmakban a h[k] jel¨ ol´essel is tal´ alkozhatunk.

94

1.) Legyen egy line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer impulzusv´alasza, azaz az s[k] = δ[k] gerjeszt´esre adott v´alasza pl. w[k] = δ[k] − 2ε[k]0, 1k , s ezut´an legyen ugyanezen rendszer gerjeszt´ese s[k] = δ[k − 5], ami a δ[k] jelhez k´epest jobbra tol´odik a k = 5 u ¨ tembe. Ekkor a rendszer kimenet´en az impulzusv´alasz is eltol´odik 5 u ¨ temmel (invariancia): y[k] = w[k − 5] = δ[k − 5] − 2ε[k − 5]0, 1k−5 . 2.) Az impulzusv´alasz ismeret´eben meghat´arozhatjuk pl. az s[k] = 1, 5δ[k] gerjeszt´esre adott v´alaszt. A gerjeszt´es ebben az esetben az egys´egimpulzus 1, 5-szerese, s a rendszer linearit´ as´anak k¨osz¨onhet˝oen a v´alasz az 1, 5w[k] jel lesz: y[k] = 1, 5δ[k] − 3ε[k]0, 1k . 3.) Legyen a rendszer gerjeszt´ese most s[k] = 2δ[k] + δ[k − 3], s hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at. Az s[k] jel most k´et egys´egimpulzusb´ol a´ll. A rendszer v´alasz´anak meghat´aroz´as´ahoz fel kell haszn´alni a fenti k´et eredm´enyt, s ´ıgy a v´alaszjel y[k] = 2w[k] + w[k − 3], behelyettes´ıt´es ut´an pedig y[k] = 2δ[k] − 4ε[k]0, 1k + δ[k − 3] − 2ε[k − 3]0, 1k−3 . Ezen p´eld´akban a gerjeszt´es csak a δ[k] jelet, annak konstansszoros´at ´es id˝obeli eltoltj´at tartalmazta, s a v´alasz meghat´aroz´asa nagyon egyszer˝ u volt. Az impulzusv´alasz is rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny, seg´ıts´eg´evel meghat´arozhat´o a rendszer tetsz˝oleges gerjeszt´esre adott v´alasza, ezzel foglalkozunk a k¨ovetkez˝o r´eszben. Att´ol f¨ ugg˝oen, hogy egy diszkr´et idej˝ u rendszer impulzusv´alasza id˝oben v´eges, vagy sem, k´et csoportra bonthatjuk a diszkr´et idej˝ u rendszereket: 95

1. FIR t´ıpus´ u rendszerek. A FIR az angol ,,finite impulse response” sz´ob´ol ered, s annyit jelent, v´eges impulzusv´alasz. Egy kauz´alis rendszer akkor FIR t´ıpus´ u, ha impulzusv´alasza azonosan nulla a K-adik u ¨ tem ut´an, s ekkor az impulzusv´alasz hossza K +1 (k = 0, . . . , K). A FIR t´ıpus´ u rendszer impulzusv´alasza a´ltal´anosan teh´at a k¨ovetkez˝o ablakkal ´ırhat´o fel, ami egy v´eges tart´ oj´ u jel: w[k] = {ε[k] − ε[k − (K + 1)]} f [k],

(5.3)

ahol f [k] valamilyen f¨ uggv´eny. 2. IIR t´ıpus´ u rendszerek. Az IIR az angol ,,infinite impulse response” sz´ob´ol ered, s annyit jelent, v´egtelen impulzusv´alasz. A FIR t´ıpus´ u rendszer egy olyan h´al´ozattal realiz´alhat´o, amely csak el˝ orecsatol´ ast tartalmaz, az IIR t´ıpus´ u rendszerhez rendelhet˝o h´al´ozat azonban tartalmaz visszacsatol´ ast is, ´ıgy az egy rekurz´ıv h´ al´ ozat.

5.2.2.

A v´ alaszjel sz´ am´ıt´ asa

M´ar megbesz´elt¨ uk, hogy tetsz˝oleges diszkr´et idej˝ u jel eltolt egys´egimpulzusok o¨sszegek´ent fel´ırhat´o (l. (1.31) o¨sszef¨ ugg´est). Alkalmazzuk ezt az eredm´enyt a rendszer s[k] gerjeszt˝ojel´ere: s[k] =

∞ X

i=−∞

s[i]δ[k − i].

(5.4)

Az impulzusv´alasz defin´ıci´oja ´es a 94. oldalon eml´ıtett p´eld´ak alapj´an a rendszer ezen gerjeszt´esre a k¨ovetkez˝o v´alaszjellel reag´al: ∞ X y[k] = (5.5) s[i]w[k − i]. i=−∞

96

Ebb˝ol az o¨sszef¨ ugg´esb˝ol ´erz´ekelhet˝o az impulzusv´alasz m´asik elnevez´ese, a s´ ulyf¨ uggv´eny: w[k − i] megadja s[i] s´ uly´at y[k] kifejez´es´eben. Az ut´obbi szumma a diszkr´et idej˝ u konvol´ uci´ o, melynek jel¨ol´ese a k¨ovetkez˝o: y[k] = s[k] ∗ w[k],

(5.6)

ahol a ∗ oper´ator az s[k] gerjeszt´es ´es a w[k] impulzusv´alasz (5.5)ben defini´alt utas´ıt´as´at jelenti. A folytonos idej˝ u konvol´ uci´ohoz hasonl´oan a diszkr´et idej˝ u konvol´ uci´o is rendelkezik a k¨ovetkez˝o tulajdons´agokkal: • Kommutat´ıv, azaz s[k] ∗ w[k] = w[k] ∗ s[k]. Az (5.5) o¨sszef¨ ugg´esb˝ol p = k − i helyettes´ıt´essel ugyanis k¨ovetkezik, hogy y[k] =

∞ X

i=−∞

s[i]w[k − i] =

∞ X

p=−∞

w[p]s[k − p].

(5.7)

• Asszociat´ıv, azaz f [k] ∗ {g[k] ∗ h[k]} = {f [k] ∗ g[k]} ∗ h[k]. • Disztribut´ıv, azaz {f [k]+g[k]}∗h[k] = f [k]∗h[k]+g[k]∗h[k]. Az (5.5) szumm´aban az als´o hat´ar akkor lehet 0, ha (5.5) kifejez´es´eben s[k] bel´ep˝o, a fels˝o hat´ar pedig akkor lehet k, ha w[k] bel´ep˝o, azaz ha a rendszer kauz´alis. Az (5.7) m´asodik szumm´aj´aban az als´o hat´ar akkor lehet 0, ha w[k] bel´ep˝o, a fels˝o hat´ar pedig akkor lehet k, ha s[k] bel´ep˝o. Kauz´ alis rendszer eset´eben a konvol´ uci´o teh´at a k¨ovetkez˝o alakot o¨lti: y[k] =

k X

i=−∞

s[i]w[k − i] ≡

97

∞ X p=0

w[p]s[k − p].

(5.8)

Ha ezen fel¨ ul a gerjeszt´es is bel´ep˝ o jelleg˝ u, akkor y[k] =

k X i=0

s[i]w[k − i] ≡

k X p=0

w[p]s[k − p].

(5.9)

Ebben az esetben (ha a rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es bel´ep˝o) a szumm´ak v´eges sz´am´ u tagb´ol a´llnak. Ha a rendszer FIR t´ıpus´ u, akkor y[k] =

k X p=0

(2)

(1)

w[p]s[k − p] =

k X p=0

{ε[p] − ε[p − (K + 1)]} f [p]s[k − p]

= f [0]s[k] + f [1]s[k − 1] + f [2]s[k − 2] + . . . + f [K]s[k − K].

Az (1) l´ep´esben be´ırtuk a konvol´ uci´o defin´ıci´os o¨sszef¨ ugg´es´ebe a FIR t´ıpus´ u rendszer (5.3) impulzusv´alasz´at, s mivel az a 0 ≤ k ≤ K intervallumon k´ıv¨ ul minden¨ utt nulla, ez´ert a fels˝o o¨sszegz´esi hat´art a´tr´ırtuk K-ra, majd a szumm´az´ast r´eszletesen kifejtett¨ uk a (2) l´ep´esben. Meg´allap´ıthat´o teh´at, hogy egy FIR t´ıpus´ u rendszer tetsz˝oleges gerjeszt´esre adott v´alasza is v´eges tart´ oj´ u, mely tart´onak a hossza ugyancsak K + 1.

5.3.

Az ugr´ asv´ alasz ´ es az impulzusv´ alasz kapcsolata

Az impulzusv´alasz ´es az ugr´asv´alasz k¨oz¨ott egy nagyon egyszer˝ u kapcsolat van diszkr´et idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszerek eset´eben. A k¨ovetkez˝okben ezt a kapcsolatot mutatjuk be. Mint ismeretes a δ[k] jel egyszer˝ uen el˝oa´ll´ıthat´o az ε[k] ´es az ε[k − 1] jelek k¨ ul¨onbs´egek´ent: δ[k] = ε[k] − ε[k − 1]. 98

Az erre adott v´alasz pedig a k¨ovetkez˝o: w[k] = v[k] − v[k − 1],

(5.10)

azaz az impulzusv´alasz kifejezhet˝o az ugr´asv´alasz ´es eltoltj´anak k¨ ul¨onbs´egek´ent. Ebb˝ol v[k] = w[k] + v[k − 1]

(5.11)

fejezhet˝o ki. Alkalmazzuk ezut´an az (5.10) kifejez´est w[k − 1]-re, azaz w[k − 1] = v[k − 1] − v[k − 2],

ahonnan v[k − 1] = w[k − 1] + v[k − 2] fejezhet˝o ki, majd helyettes´ıts¨ uk be ezt az (5.11) kifejez´esbe: v[k] = w[k] + w[k − 1] + v[k − 2]. Ezt a m˝ uveletsort rekurz´ıvan lehet folytatni, s v´egeredm´enyben a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´est kapjuk: v[k] =

k X

w[i].

(5.12)

i=−∞

Kauz´ alis rendszerek eset´eben pedig v[k] =

k X

w[i].

(5.13)

i=0

Ha teh´at az impulzusv´alaszt ismerj¨ uk, az ugr´asv´alasz meghat´arozhat´o, de mint ahogy azt m´ar eml´ıtett¨ uk, ink´abb az impulzusv´alasz j´atszik fontos szerepet diszkr´et idej˝ u rendszerek anal´ızise sor´an. uci´oval, 1. P´ elda. Hat´arozzuk meg a rendszer v´alaszjel´et konvol´ ha impulzusv´alasza ´es gerjeszt´ese az al´abbi: w[k] = ε[k] 0, 1k , 99

s[k] = ε[k].

Megold´ as. A v´alaszjelet a konvol´ uci´o (5.5) defin´ıci´oj´ab´ol kiindulva hat´arozzuk meg: def

y[k] =

∞ X

(1)

i=−∞ (3)

= 0, 1k

s[i]w[k − i] =

k X

k X i=0

(4)

0, 1−i = 0, 1k

i=0

0, 1k

− 0, 1k

(2)

s[i]w[k − i] =

k X

(5)

10i = 0, 1k

i=0

10k

k X

0, 1k−i =

i=0

1 − 10k+1 = 1 − 10

10 (7) 1 10 = − 0, 1k + . 1 − 10 9 9 A gerjeszt´es bel´ep˝o, ez´ert az o¨sszegz´es als´o hat´ara i = 0, tov´abb´a az impulzusv´alasz is bel´ep˝ojel, ´ıgy az o¨sszegz´es fels˝o hat´ar´anak i = k v´alaszthat´o. Ezt jelzi az (1) l´ep´es. Ezut´an a (2) l´ep´esben helyettes´ıts¨ uk be az impulzusv´alasz ´es a gerjeszt´es jelalakj´at. Az o¨sszegz´est az i v´altoz´o szerint kell elv´egezni, a k v´altoz´o az o¨sszegz´es szempontj´ab´ol konstansnak tekinthet˝o ´es kivihet˝o a szumma el´e. A (3) l´ep´esben teh´at felhaszn´altuk, hogy 0, 1k−i = 0, 1k 0, 1−i (azonos alap´ u hatv´anyok szorz´asa). A (4) l´ep´esben negat´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyokr´ol a´tt´er¨ unk pozit´ıv ki

−i 1 −i −i = 10−1 = 10i . tev˝oj˝ u hatv´anyokra, azaz 0, 1 = 10 Az eredm´eny egy v´eges m´ertani sor, melynek o¨sszegk´eplet´et haszn´aljuk az (5) l´ep´esben: (6)

=

k X i=0

qi =

1 − q k+1 . 1−q

(5.14)

Ezut´an –a (6) l´ep´esben– szorozzunk be a 0, 1 k t´enyez˝ovel ´es ´ırjuk a´t a 10k+1 kifejez´est 10k 10-re. A (7) l´ep´esben egyszer˝ us´ıts¨ uk a kifejez´est: 0, 1k 10k = 1k = 1. Mivel a gerjeszt´es bel´ep˝o ´es a rendszer kauz´alis (az impulzusv´alasz is bel´ep˝o), ez´ert a v´alaszjel is bel´ep˝o lesz:   10 1 k − 0, 1 . y[k] = ε[k] 9 9 100

2. P´ elda. Egy rendszer impulzusv´alasza ´es gerjeszt´ese az al´abbi. Hat´arozzuk meg a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et. w[k] = ε[k] 0, 5k , Megold´ as. y[k] =

k X i=0

(3)

A v´alaszjelet konvol´ uci´oval hat´arozzuk meg: (1)

s[i]w[k − i] =

= 0, 5k

k X i=0

(5)

=

s[k] = ε[k] 0, 2k .

(4)

k X

(2)

0, 2i 0, 5k−i =

i=0

0, 4i = 0, 5k

k X

0, 2i 0, 5k 0, 5−i =

i=0

0, 4k+1

1− 1 − 0, 4

=

0, 5k − 0, 5k 0, 4k 0, 4 (6) 0, 5k − 0, 4 · 0, 2k = . 1 − 0, 4 0, 6

Miut´an az (1) l´ep´esben behelyettes´ıtj¨ uk az impulzusv´alasz ´es a gerjeszt´es id˝of¨ uggv´eny´et a konvol´ uci´o k´eplet´ebe, a (2) l´ep´esben bontsuk fel a hatv´anykitev˝oben szerepl˝o k¨ ul¨onbs´eget. Az o¨sszegz´est az i v´altoz´o szerint kell elv´egezni, k teh´at konstansnak tekinthet˝o ´es kivihet˝o a szumma el´e. Haszn´aljuk ki tov´abb´a, hogy  i 0,2 = 0, 4i . Ezeket a m˝ uveleteket v´egezt¨ uk el a (3) l´ep´esben. 0,5 A m´ertani sor o¨sszegk´eplet´et haszn´aljuk az (4) l´ep´esben. Az (5) l´ep´esben szorozzunk be a 0, 5k t´enyez˝ovel, majd a (6) l´ep´esben egyszer˝ us´ıts¨ uk a kifejez´est. Az eredm´eny minden tagj´at osztva 0, 6-del, a k¨ovetkez˝o v´alaszjel ad´odik:   2 5 k k 0, 5 − 0, 2 . y[k] = ε[k] 3 3 A v´alaszjelben szerepel a 0, 5k ´es a 0, 2k , ezek szerepelnek az impulzusv´alaszban ´es a gerjeszt´esben. 3. P´ elda. Ebben a p´eld´aban az impulzusv´alaszban is ´es a gerjeszt´esben is szerepel egy 0, 1k tag. Megvizsg´aljuk mik´ent jelentkezik ez a megold´asban. Az eddigi p´eld´akban a hatv´anyalapok 101

mindig k¨ ul¨onb¨oz˝oek voltak. Legyen teh´at egy rendszer impulzusv´alasza ´es gerjeszt´ese az al´abbi. Hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´anak id˝of¨ uggv´eny´et.   w[k] = 5ε[k − 1] 0, 5k−1 − 0, 1k−1 , s[k] = ε[k] 0, 1k . Megold´ as. A gerjeszt´es bel´ep˝ojel, teh´at az o¨sszegz´es als´o hat´ara i = 0, az impulzusv´alasz a k = 1 u ¨ temben l´ep be ez´ert az o¨sszegz´es fels˝o hat´ara k − 1 lesz: y[k] =

k−1 X i=0

s[i]w[k − i] =

(1)

= 5 · 0, 5k−1

(2)

= 5 · 0, 5

k−1

k−1 X i=0

  0, 1i 5 0, 5k−1−i − 0, 1k−1−i =

 k−1  X 0, 1 i i=0 k X i=0



0, 5

− 5 · 0, 1k−1

i

0, 2 − 0, 2

k

0, 2k+1

!

k−1 X i=0

− 5 · 0, 1 

1i =

k−1

k−1 X

1i =

i=0

1− − 0, 2k − 5 · 0, 1k−1 k = 1 − 0, 2 k−1 − 5 · 0, 5k 0, 5−1 0, 2k 0, 2 (4) 5 · 0, 5 − 5 · 0, 5k 0, 5−1 0, 2k − = 0, 8 − 5k 0, 1k−1 =

(3)

= 5 · 0, 5k−1

(5)

= 6, 25 · 0, 5k−1 − 2, 5 · 0, 1k − 10 · 0, 1k − 5k 0, 1k−1

Az impulzusv´alasz k´et tagb´ol a´ll, bontsuk fel ez´ert k´et r´eszre az (1) l´ep´esben, ´es emelj¨ uk ki az o¨sszegz´es el´e az o¨sszegz´es szempontj´ab´ol konstansnak tekinthet˝o tagokat. A m´ertani sor o¨sszegk´eplet´enek alkalmaz´asa c´elj´ab´ol ´ırjuk a´t a (2) l´ep´esben az els˝o o¨sszeget a m´ar ismertetett m´odon. A (3) l´ep´esben alkalmazzuk a geometriai sor o¨sszegk´eplet´et az els˝o o¨sszeg eset´en. A m´asodik o¨sszegben k sz´am´ u 1-et adunk o¨ssze, ´ıgy az o¨sszeg ´ert´eke k lesz (i = 0, . . . , k − 1). A 102

(4) l´ep´esben szorozzunk be az 5 · 0, 5 k−1 t´enyez˝ovel, majd az (5) l´ep´esben egyszer˝ us´ıts¨ uk a kifejez´est. A kapott eredm´eny m´eg nem v´egleges. Tegy¨ uk egys´egess´e a kitev˝oket u ´ gy, hogy mindenhol k−1 szerepeljen, ahol sz¨ uks´eges alkalmazzuk a k − 1 + 1 a´talak´ıt´ast:

6, 25 · 0, 5k−1 − 0, 25 · 0, 1k−1 − 0, 1k−1 − 5(k − 1)0, 1k−1 − 5 · 0, 1k−1 ,

´es ´ıgy a v´alaszjel alakja o¨sszegz´es ut´an a k¨ovetkez˝o lesz:   y[k] = ε[k] 6, 25 · 0, 5k−1 − 6, 25 · 0, 1k−1 − 5(k − 1)0, 1k−1 .

Ha teh´at a gerjeszt´esben ´es az impulzusv´alaszban is szerepel azonos alap´ u hatv´anyf¨ uggv´eny, akkor a v´alaszjelben megjelenik olyan tag is, amely a k id˝onek polinomja.

5.4.

A gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as

A diszkr´et idej˝ u, line´ aris, invari´ ans rendszer akkor ´es csakis akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, ha impulzusv´ alasza abszol´ ut o ¨sszegezhet˝ o, azaz ha ∞ X |w[k]| < ∞. (5.15) k=−∞

Ennek igazol´as´ara vegy¨ uk a konvol´ uci´oval sz´am´ıtott v´alaszjel abszol´ ut ´ert´ek´et ´es haszn´aljuk ki, hogy korl´atos gerjeszt´es eset´en |s[k]| ≤ M : |y[k]| ≤

∞ X

i=−∞

|w[i]||s[k − i]| ≤ M

∞ X

i=−∞

|w[i]|.

Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy y[k] akkor korl´atos, ha az ut´obbi o¨sszeg v´eges. Kauz´alis rendszer impulzusv´alasza bel´ep˝o jelleg˝ u, azaz az egyszer˝ ubb ∞ X (5.16) |w[k]| < ∞ k=0

103

o¨sszef¨ ugg´est kell vizsg´alni. Ennek egy sz¨ uks´eges felt´etele, hogy lim w[k] = 0.

k→∞

(5.17)

Ebben az esetben a rendszer ugr´ asv´ alasza egy v´eges K konstans ´ert´ekhez tart, azaz lim v[k] = K. (5.18) k→∞

FIR-rendszerek impulzusv´alasza v´eges sz´am´ u tagb´ol a´ll, ennek k¨ovetkezt´eben az (5.15) kifejez´es biztosan v´eges, azaz egy FIRrendszer mindig gerjeszt´es-v´ alasz stabilis. Az el˝oz˝o p´eld´ak mindegyike gerjeszt´es-v´alasz stabilis rendszert tartalmazott. Ezen impulzusv´alaszokr´ol k¨onny˝ u eld¨onteni, hogy limk→∞ w[k] = 0, hiszen q k t´ıpus´ u exponenci´alis kifejez´eseket tartalmaznak, melyekben |q| < 1. A rendszer akkor is gerjeszt´esv´alasz stabilis, ha az impulzusv´alasz tartalmaz k n q k jelleg˝ u tagokat, hiszen a q k szerinti exponenci´alis cs¨okken´es gyorsabb, mint a k n szerinti n¨oveked´es. A gerjeszt´es-v´alasz stabilit´assal a k´es˝obbiekben m´eg foglalkozunk.

5.5. 5.5.1.

A rendszeregyenlet A rendszegyenlet defin´ıci´ oja

A diszkr´et idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis SISO-rendszer rendszeregyenlete a´ltal´anosan a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: y[k] + a1 y[k − 1] + a2 y[k − 2] + . . . + an y[k − n] =

= b0 s[k] + b1 s[k − 1] + b2 s[k − 2] + . . . + bm s[k − m].

(5.19) A rendszer rendsz´ am´at szint´en n jel¨oli, tov´abb´a b´armelyik egy¨ utthat´o lehet nulla is. A rendszeregyenletb˝ol l´athat´o, hogy a v´alaszjel 104

k-adik u ¨ tembeli ´ert´eke a gerjeszt´es k-adik u ¨ tembeli ´ert´ek´et˝ol, valamint a gerjeszt´es ´es a v´alasz i < k (m´ ultbeli) u ¨ tembeli ´ert´ekeit˝ol f¨ ugg (kauzalit´as). Az (5.19) rendszeregyenlet egy n-edrend˝ u, line´ aris, a ´lland´ o egy¨ utthat´ os differenciaegyenlet. A rendszer invari´ans, hiszen ai ´es bi egy¨ utthat´oi a ´lland´ ok, nem f¨ uggenek a k diszkr´et id˝ot˝ol. A rendszer line´aris, mivel mind a gerjeszt´es, mind a v´alasz els˝ofok´ u form´aban van jelen. A rendszeregyenlet egy t¨om¨orebb alakja a k¨ovetkez˝o: y[k] +

n X i=1

ai y[k − i] =

m X i=0

(5.20)

bi s[k − i].

A rendszeregyenletet a k¨ovetkez˝o h´al´ozat realiz´alja: s[k]

r

?

b -HH0 



-



y[k] -r ?

D

r? ?

D

H b1

-



−a1 

H b2

P  -

−a2 

- H 

  HH

D

r? ?

D - H 

D

 HH

r? ?

D

?

?

.. .

?

r? ?

.. . b

-HHm 

-



105



−an

  HH

?

5.5.2.

A rendszegyenlet el˝ o´ all´ıt´ asa a h´ al´ ozati reprezent´ aci´ o alapj´ an

Egy rendszer rendszeregyenlete meghat´arozhat´o pl. a h´al´ozati reprezent´aci´oja alapj´an. Az elj´ar´as menet´et a k¨ovetkez˝o p´eld´an kereszt¨ ul mutatjuk be: s[k] 

P −1 r-HH D

  6

  HH 0, 24

 P - D  6  r(2)

y[k] ?  P r (1)

Az (1) jelz´es˝ u csom´opont egy el´agaz´ocsom´opont, melynek kimenete y[k], k¨ovetkez´esk´epp bemenete ´es lefel´e ir´anyul´o kimenete is y[k]. Ez eljut a (2) jelz´es˝ u el´agaz´ocsom´opontig. Itt y[k] halad tov´abb balra az er˝os´ıt˝o fel´e ´es felfel´e az o¨sszegz˝ocsom´opontba. A bal oldali o¨sszegz˝ocsom´opontba ´ıgy s[k] ´es 0, 24y[k] megy be, mely o¨sszeget −1-gyel szorozza az er˝os´ıt˝o. A k´esleltet˝o kimenete, ami a k¨oz´eps˝o o¨sszegz˝o egyik bemenete is teh´at −s[k − 1] − 0, 24y[k − 1]. Ez az o¨sszeg az y[k]-val o¨sszead´odva bemenete lesz a m´asik k´esleltet˝onek. Ennek kiemenete teh´at y[k−1]−s[k−2]−0, 24y[k− 2]. A jobb oldali o¨sszegz˝o kimenete pedig pontosan y[k], azaz y[k] = s[k] + y[k − 1] − s[k − 2] − 0, 24y[k − 2], azaz y[k] − y[k − 1] + 0, 24y[k − 2] = s[k] − s[k − 2],

ami a h´al´ozat ´es az a´ltala reprezent´alt rendszer rendszeregyenlete. Megjegyezz¨ uk, hogy a rendszeregyenlet nem minden esetben ´ırhat´o fel a h´al´ozatb´ol k¨ozvetlen¨ ul. Az 5.6. pontban t´argyalt a´llapotv´altoz´os le´ır´as regul´aris h´al´ozat eset´eben azonban mindig el˝oa´ll´ıthat´o, amelyb˝ol a rendszeregyenlet sz´armaztathat´o (l. 5.7. pont). 106

5.5.3.

A rendszegyenlet megold´ asa

A rendszeregyenlet megold´as´anak diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´en az a c´elja, hogy azon y[k] id˝ of¨ uggv´enyt hat´arozzuk meg, amely megold´asa a rendszeregyenletnek adott s[k] gerjeszt´es mellett. A megold´as teh´at a rendszeregyenlet´evel adott rendszer v´alasza adott s[k] gerjeszt´esre. Hangs´ ulyozzuk, hogy a megold´as egy id˝of¨ uggv´eny, amely k minden ´ert´ek´ere megadja a v´alaszjel ´ert´ek´et egy k´eplet form´aj´aban. Az id˝otartom´anybeli anal´ızis sor´an a diszkr´et idej˝ u rendszeregyenletet is o ¨sszetev˝ okre bont´ assal oldjuk meg, azaz a megold´ast y[k] = ytr [k] + yst [k]

(5.21)

alakban keress¨ uk. Az egyes o¨sszetev˝okre ugyanazon nevekkel utalunk, mint a folytonos idej˝ u rendszerek eset´eben. Az els˝ o l´ep´es a v´alaszjel ytr [k] szabad o ¨sszetev˝ oj´enek, tranziens´enek fel´ır´asa. A szabad o¨sszetev˝o a differenciaegyenlet homog´en megfelel˝oj´enek a´ltal´anos megold´asa, melyet u ´ gy kapunk, hogy a rendszeregyenlet jobb oldal´at null´anak tekintj¨ uk, mintha nem lenne gerjeszt´es: ytr [k] +

n X i=1

Az ytr [k] id˝of¨ uggv´enyt az

ai ytr [k − i] = 0.

ytr [k] = M λk

(5.22)

(5.23)

exponenci´alis alakban keress¨ uk, melyben M egy ismeretlen konstans ´es λ a rendszer saj´ at´ert´ek e. Helyettes´ıts¨ uk vissza a tranziens o¨sszetev˝o (5.23) f¨ uggv´eny´et ´es megfelel˝o eltoltjait az (5.22) homog´en differenciaegyenletbe: n   X   M λk + ai M λk−i = 0. (5.24) i=1

107

Fejts¨ uk ki az o¨sszegz´est r´eszletesen: M λk + a1 M λk−1 + a2 M λk−2 + . . . + an M λk−n = 0. Az M λk minden tagban szerepel, ´ıgy azzal egyszer˝ us´ıteni lehet: 1 + a1 λ−1 + a2 λ−2 + . . . + an λ−n = 0. Ez egy negat´ıv kitev˝oj˝ u polinom. Szorozzunk v´egig a λ n t´enyez˝ovel, s ´ıgy eljutunk a rendszeregyenlet un. karakterisztikus egyenlet´ehez: ϕ(λ) = λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + . . . + an = 0,

(5.25)

amelyben egy n-edfok´ u polinom (´es n a rendsz´am), az un. karakterisztikus polinom szerepel. Ennek megold´asa pedig n sz´am´ u un. saj´ at´ert´ek et szolg´altat. Kis gyakorl´assal a karakterisztikus egyenlet fel´ırhat´o k¨ozvetlen¨ ul a rendszeregyenletb˝ol. Att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a saj´at´ert´ekek milyenek, k¨ ul¨onb¨oz˝o szabad o¨sszetev˝oket ´ırhatunk fel. 1.) Minden saj´ at´ert´ek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o. Ebben az esetben a szabad v´alasz (tranziens o¨sszetev˝o, vagy homog´en a´ltal´anos megold´as) a´ltal´anos alakja n sz´am´ u f¨ uggetlen szabad v´alasz o ¨sszege: ytr [k] =

n X

Mi λki .

(5.26)

i=1

Minden egyes Mi λki szabad v´alasz megold´asa a homog´en differenciaegyenletnek, s mivel az line´aris, ez´ert az o¨sszeg¨ uk is megold´as. Az Mi konstansokat a megold´as v´eg´en hat´arozzuk meg. 2.) Az egyik saj´ at´ert´ek t¨ obbsz¨ or¨ os. Ha van olyan saj´at´ert´ek, amelyik t¨obbsz¨or¨os ´es a t¨obbi egyszeres, akkor a szabad v´alasz alakja a k¨ovetkez˝o: ytr (t) =

s−1 X

Mi λki +

m−1 X j=0

i=1

108

Mj k j λks .

(5.27)

A λs saj´at´ert´ek t¨obbsz¨or¨os, multiplicit´ asa m, azaz m sz´am´ u van bel˝ole. Ebben az esetben s − 1 + m = n. Az els˝o szumma ugyanaz, mint egyszeres saj´at´ert´ekek eset´en, hiszen az els˝o s − 1 saj´at´ert´ek egyszeres. A m´asodik szumm´aban az m multiplicit´asnak megfelel˝o sz´am´ u tag van, melyekben λs azonos, ´es az id˝o hatv´anyai jelennek meg az exponenci´alis kifejez´es mellett. Ha pl. k´et olyan saj´at´ert´ek van, amelyik t¨obbsz¨or¨os (λ s1 m1 multiplicit´assal ´es λs2 m2 multiplicit´assal), akkor a k¨ovetkez˝o alakot kell haszn´alni: ytr (t) =

s−1 X i=1

Mi λki +

m 1 −1 X

Mj1 k j1 λks1 +

m 2 −1 X

Mj2 k j2 λks2 .

(5.28)

j2 =0

j1 =0

´ ´ıgy tov´abb. Ebben az esetben pedig s − 1 + m1 + m2 = n. Es 3.) K´et saj´ at´ert´ek konjug´ alt komplex p´ art alkot. Ha λ i ´es λi+1 saj´at´ert´ekek konjug´alt komplex p´art alkotnak, azaz ha λ i+1 = λ∗i , akkor a nekik megfelel˝o Mi ´es Mi+1 konstansok is konjug´alt komplex p´arok lesznek.2 Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: λi = ri ejϑi ,

λi+1 = ri e−jϑi ,

Mi = Ni ejϕi ,

Mi+1 = Ni e−jϕi .

Hat´arozzuk meg az Mi λki + Mi+1 λki+1 kifejez´es´et, ami a szabad o¨sszetev˝o ezen esetre vonatkoz´o r´esze: ytr [k] = Mi λki + Mi+1 λki+1 = Ni ejϕi rik ejϑi k + Ni e−jϕi rik e−jϑi k . Itt felhaszn´aljuk a k¨ovetkez˝o Euler-formul´at: cos(φ) =

ejφ + e−jφ 2

´es a φ = ϑi k + ϕi helyettes´ıt´est. A nevez˝oben tal´alhat´o kettes oszt´ot u ´ gy vissz¨ uk be a kifejez´esbe, hogy a kifejez´est elosztjuk 2

∗ jel¨ oli a komplex konjug´ altat.

109

2-vel, ´es megszorozzuk 2-vel: ytr [k] = 2Ni rik

ej(ϑi k+ϕi ) + e−j(ϑi k+ϕi ) , 2

azaz ytr [k] = 2Ni rik cos(ϑi k + ϕi ).

(5.29)

Ez ut´obbi teh´at a szabad o¨sszetev˝o abban az esetben, ha k´et saj´at´ert´ek konjug´alt komplex p´art alkot. Ez a f¨ uggv´eny koszinuszos lefut´as´ u jel (azt is mondjuk, hogy a tranziens o¨sszetev˝o leng˝ o jelleg˝ u ), melynek amplit´ ud´oj´at a saj´at´ert´ek r i abszol´ ut ´ert´eke ´es az Mi konstans abszol´ ut ´ert´eke adja. Ez n¨ovekszik, ha ri = |λi | = |λi+1 | > 1 ´es cs¨okken, ha ri = |λi | = |λi+1 | < 1, k¨orfrekvenci´aj´at ´es f´aziseltol´as´at pedig a saj´at´ert´ek, valamint az Mi konstans f´azisa adja. ´ Altal´ anosan ezen h´arom eset kombin´alva is el˝ofordulhat. A m´ asodik l´ep´es a v´alaszjel yst [k] gerjesztett o ¨sszetev˝ oj´enek, stacion´ arius v´ alasz a´nak meghat´aroz´asa. A gerjesztett o¨sszetev˝o az inhomog´en differenciaegyenlet egy partikul´ aris megold´asa, melyet a gerjeszt´es, azaz a differenciaegyenlet jobb oldal´anak figyelembev´etel´evel kapunk meg. Teh´at ez az a tag, amelyik f¨ ugg a gerjeszt´est˝ol (a tranziens o¨sszetev˝o f¨ uggetlen a gerjeszt´est˝ol). A stacion´arius v´alaszt´ol azt v´arjuk el, hogy hasonl´ıtson a gerjeszt˝ojel alakj´ahoz. Ha teh´at a gerjeszt´es egy elemi f¨ uggv´eny a´ltal le´ırt id˝of¨ uggv´eny, akkor ahhoz tal´alhatunk olyan un. pr´ obaf¨ uggv´enyt, amelyik hasonl´ıt r´a, csak ´epp a param´eterei ismeretlenek. Erre szolg´al a pr´ obaf¨ uggv´eny m´ odszer ´es a k¨ovetkez˝o pr´ obaf¨ uggv´eny-t´ abl´ azat: Gerjeszt˝ojel, s[k] C Cq k , q 6= λi C cos(ϑk) + D sin(ϑk) Ck p Cλk (egyszeres saj´at´ert´ek)

Pr´obaf¨ uggv´eny, y st [k] A Aq k A cos(ϑk) + B sin(ϑk) A0 + A 1 k + A 2 k 2 + . . . + A k k p Akλk 110

A pr´obaf¨ uggv´eny csak a k ≥ m u ¨ temekben igaz, amikor is a differenciaegyenlet jobb oldal´an a´ll´o o¨sszes gerjeszt´es ´erz´ekelteti hat´as´at (amikor mindegyik bel´ep). Miut´an kiv´alasztottuk az alkalmas pr´obaf¨ uggv´enyt, helyettes´ıts¨ uk be azt a megoldand´o differenciaegyenletbe: yst [k] +

n X i=1

ai yst [k − i] =

m X i=0

bi s[k − i].

(5.30)

Ebben a l´ep´esben teh´at a pr´obaf¨ uggv´enyt ´es annak eltoltjait kell az egyenlet bal oldal´aba, a gerjeszt˝ojelet ´es annak eltoljait pedig az egyenlet jobb oldal´aba helyettes´ıteni. A k¨ ul¨onb¨oz˝o f¨ uggv´enyek egy¨ utthat´oinak egyez´ese annyi line´aris egyenletet szolg´altat, amennyi ismeretlen adat van. Ezen egyenletekb˝ol fel´ep´ıtett egyenletrendszer megold´as´aval megkapjuk a pr´obaf¨ uggv´enyt. Az utols´ o l´ep´es a szabad v´alasz ´es a gerjesztett v´alasz o¨sszead´asa, a v´alaszjel fel´ır´asa: y[k] = ytr [k] + yst [k],

(5.31)

azaz a kisz´am´ıtott tranziens o¨sszetev˝ot (az egyel˝ore ismeretlen konstansokkal) ´es a stacion´arius o¨sszetev˝ot egyszer˝ uen o¨sszeadjuk. Ebben az id˝of¨ uggv´enyben szerepel n sz´am´ u ismeretlen konstans, teh´at v´egtelen sz´am´ u megold´as van, s ezek k¨oz¨ ul kell kiv´alasztani azt az egyet, amely kiel´eg´ıti a kezdeti felt´eteleket. Gyakorlatilag egy f¨ uggv´enyseregb˝ol v´alasztunk ki egyet, amely illeszkedik bizonyos el˝ o´ırt felt´etelekhez. Az n sz´am´ u kezdeti felt´etel az y[m − 1], y[m − 2], y[m − 3], . . . , y[m − n] felt´eteleket jelenti, azaz a v´alaszjel adott u ¨ tembeli ´ert´ekeit kell kiel´eg´ıteni. Ezzel gyakorlatilag a pr´obaf¨ uggyv´eny a´ltal ,,behozott” felt´etelt tudjuk kiterjeszteni a k ≥ m felt´etelr˝ol a k ≥ m − n felt´etelre. Ha m = n, akkor eljutunk oda, hogy a v´alaszjel a k ≥ 0 u ¨ temekre ´erv´enyes, ha m < n, akkor a v´alaszjel negat´ıv u ¨ tembeli ´ert´ekei is r´eszt vesznek a konstansok 111

meghat´aroz´as´aban, ha pedig m > n, akkor csak valamely k > 0 u ¨ temt˝ol kezdve tudjuk meghat´arozni a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et. Ebben az esetben a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszer a´ltal szolg´altatott ´ert´ekeket haszn´alhatjuk fel a v´alaszjel 0 ≤ k < m − n u ¨ tembeli ´ert´ekeinek megad´as´ara. Bel´ep˝ ogerjeszt´es eset´en a v´alaszjel a k < 0 u ¨ temekre nulla. Ha ismerj¨ uk a kezdeti ´ert´ekeket, akkor az n sz´am´ u ismeretlen egy¨ utthat´ora n sz´am´ u line´aris egyenlet a´ll rendelkez´ese, miut´an fel´ırjuk a v´alaszjelet az (5.31) alakban. Ha az impulzusv´alaszt k´ıv´anjuk meghat´arozni, akkor nagyon hasonl´oan kell elj´arnunk. Egyetlen l´enyeges k¨ ul¨onbs´eg az, hogy a pr´obaf¨ uggv´eny ´ert´ek´et null´anak tekintj¨ uk a k ≥ m+1 u ¨ temekben, teh´at nem a k ≥ m u ¨ temekben, s minden m´as l´ep´es a fentiek szerint t¨ort´enik. Az impulzusv´alasz teh´at csak a tranziens o¨sszetev˝o: w[k] = ytr [k],

5.5.4.

ha

k ≥ m + 1.

(5.32)

A gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as

A ϕ(λ) = 0 karakterisztikus egyenlet teh´at az n-edfok´ u un. karakterisztikus polinom (n a rendsz´am), melynek megold´asa n sz´am´ u saj´ at´ert´ek et szolg´altat. Ha minden saj´at´ert´ek az egys´egsugar´ u k¨or belsej´ebe esik, akkor a v´alasz tranziens o¨sszetev˝oje null´ahoz tart ´es a rendszer v´alasza az yst [k] id˝of¨ uggv´enyhez k¨ozel´ıt, amely azonban alakilag megegyezik a gerjeszt´essel. Ha teh´at a gerjeszt´es korl´atos, akkor a stacion´arius v´alasz is korl´atos lesz. Im{λ} Egy rendszeregyenlet´evel adott rendszer 6 akkor ´es csakis akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabi# lis, ha minden saj´ at´ert´ek abszol´ ut ´ert´eke 1-n´el 1 kisebb, azaz Re{λ} |λi | < 1,

i = 1, . . . , n,

(5.33)

"!

vagyis, ha minden saj´ at´ert´ek az egys´egsugar´ u k¨ or belsej´eben helyezkedik el. 112

A Jury-krit´erium alkalmas arra, hogy a rendszeregyenlet´evel adott rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as´at vizsg´aljuk a saj´at´ert´ekek meghat´aroz´asa n´elk¨ ul. Ez n+1 sz´am´ u egyenl˝otlens´eg vizsg´alat´at jelenti, itt az n = 1, 2, 3 eseteket mutatjuk be. Ha n = 1, akkor ϕ(λ) = λ + a1 = 0, amib˝ol λ = −a1 ´es ez akkor lesz egys´egsugar´ u k¨or¨on bel¨ ul, ha |a 1 | < 1. Ez egyetlen felt´etel (itt nem kell a krit´eriumot alkalmazni). Ha n = 2, akkor ϕ(λ) = λ2 + a1 λ + a2 = 0. Ekkor 3 felt´etelnek kell teljes¨ ulni: ϕ(λ = 1) = 1 + a1 + a2 > 0, ϕ(λ = −1) = 1 − a1 + a2 > 0,

(5.34)

1 > |a2 |.

Ha n = 3, akkor ϕ(λ) = λ3 + a1 λ2 + a2 λ + a3 = 0. Ekkor 4 felt´etelnek kell teljes¨ ulni: ϕ(λ = 1) = 1 + a1 + a2 + a3 > 0, ϕ(λ = −1) ⇒ 1 − a1 + a2 − a3 > 0, 1 > |a3 |, 1 a3 1 a1 > a3 1 a3 a2 .

(5.35)

Az ut´obbi egy m´asodrend˝ u determin´ans: |1 − a 23 | > |a2 − a1 a3 |. A m´asodik felt´etelben az´ert ny´ıl szerepel, mert p´aratlan n eset´en az egyenl˝otlens´eg bal oldal´at −1-el szorozni kell. A krit´erium arra is alkalmas, hogy meghat´arozzuk a rendszer valamely param´eter´et u ´ gy, hogy a rendszer stabilis legyen. 1. P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi differenciaegyenlet´evel adott rendszer ugr´asv´alasz´at ´es impulzusv´alasz´at. y[k] − 0, 8y[k − 1] = s[k]. 113

s[k]  y[k] P -r 

6 0, 8 D  HH

Megold´ as. Felrajzoltuk a rendszert reprezent´al´o h´al´ozatot is. Hat´arozzuk meg az ugr´asv´alaszt el˝osz¨or a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”m´odszer seg´ıts´eg´evel. Ehhez ´ırjuk a´t a rendszeregyenletet u ´ gy, hogy v[k] rekurz´ıvan kifejezhet˝o legyen, ´es helyettes´ıts¨ unk be a k = 0, 1, 2, . . . u ¨ temekre: v[k] = 0, 8v[k − 1] + ε[k],

v[0] = 0, 8v[−1] + ε[0] = 0 + 1 = 1, v[1] = 0, 8v[0] + ε[1] = 0, 8 · 1 + 1 = 1, 8,

v[2] = 0, 8v[1] + ε[2] = 0, 8 · 1, 8 + 1 = 2, 44,

...,

v[3] = 2, 952 stb. Fontos megjegyezni, hogy a v´alaszjel a k < 0 id˝opillanatokban azonosan nulla, ha a gerjeszt´es bel´ep˝o f¨ uggv´eny, ez´ert pl. v[−1] = 0. Ezt a sorozatot a v´egtelens´egig lehetne folytatni, azonban ha pl. a k = 10000 u ¨ tembeli ´ert´eket szeretn´enk meghat´arozni, akkor c´elszer˝ ubb lehet az analitikus megold´ast meghat´arozni, s k ´ert´ek´et a kapott k´epletbe helyettes´ıteni. A ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszer nagyon hat´ekony lehet, ha a rendszeregyenletet sz´am´ıt´og´eppel oldjuk meg, azonban pap´ıron, k´ezzel rem´enytelen. Az els˝o p´ar u ¨ tembeli ´ert´ekre azonban sz¨ uks´eg¨ unk lehet az analitikus megold´as sor´an. Hat´arozzuk meg h´at az analitikus megold´ast o¨sszetev˝okre bont´assal: v[k] = vtr [k] + vst [k]. A tranziens o¨sszetev˝o a´ltal´anos alakja a k¨ovetkez˝o: vtr [k] = M λk .

114

Helyettes´ıts¨ uk ezt vissza a homog´en differenciaegyenletbe, azaz a gerjeszt´est tekints¨ uk null´anak: vtr [k] − 0, 8vtr [k − 1] = 0, azaz M λk − 0, 8M λk−1 = M λk − 0, 8M λk λ−1 = 0.

Az M konstanssal ´es a λk t´enyez˝ovel lehet egyszer˝ us´ıteni, majd λval beszorozva az egyenletet kapjuk a karakterisztikus egyenletet: λ − 0, 8 = 0, melynek megold´asa szolg´altatja a rendszer saj´at´ert´ek´et: λ = 0, 8. A tranziens o¨sszetev˝o teh´at a k¨ovetkez˝o: vtr [k] = M 0, 8k . Az M konstans ´ert´ek´et a kezdeti felt´etelek ´erv´enyes´ıt´ese (a sz´am´ıt´as utols´o l´ep´ese) sor´an hat´arozzuk meg. Hat´arozzuk meg ezut´an a stacion´arius v´alaszt alkalmas pr´obaf¨ uggv´eny v´alaszt´as´aval. A pr´obaf¨ uggv´eny alakja olyan kell legyen, mint a gerjeszt´es alakja, ami most konstans. Legyen h´at a pr´obaf¨ uggv´eny vst [k] = A konstans, melynek ´ert´ek´et meg kell hat´aroznunk (az ugr´asv´alaszt teh´at mindig konstans pr´obaf¨ uggv´ennyel sz´am´ıtjuk). Van azonban egy fontos felt´etele a pr´obaf¨ uggv´eny alkalmaz´as´anak. A pr´obaf¨ uggv´enyt csak akkor t´etelezhetj¨ uk fel, ha k ≥ m, azaz k ≥ 0, ugyanis ezekben az u ¨ temekben a jobb oldal m´ar bel´ep ´es ´erezteti hat´as´at (ennek akkor van nagyobb jelent˝os´ege, ha m > 0, l. k¨ovetkez˝o p´elda). Helyettes´ıts¨ uk vissza a pr´obaf¨ uggv´enyt a megadott inhomog´en differenciaegyenletbe: vst [k] − 0, 8vst [k − 1] = ε[k],

⇒

A − 0, 8A = 1

A teljes v´alasz teh´at a k¨ovetkez˝o: v[k] = M 0, 8k + 5. 115

⇒

A = 5.

Ez az alak csak k > m, azaz k > 0 id˝opillanatokban adhat helyes eredm´enyt a pr´obaf¨ uggv´eny miatt. Az egyetlen M konstans ´ert´ek´et u ´ gy kell megv´alasztani, hogy egyet visszal´ep¨ unk az id˝oben a k = m − 1 = −1 u ¨ temre, ahol a v´alasz ´ert´eke nulla, hiszen a gerjeszt´es bel´ep˝o: v[−1] = 0 = M 0, 8−1 + 5

⇒

M = −4.

A v´alaszjel ´ıgy most m´ar a k ≥ −1 u ¨ temekre ´erv´enyes, nek¨ unk azonban elegend˝o a k ≥ 0 id˝opillanatokat ismerni. Az ugr´asv´alasz bel´ep˝o, id˝of¨ uggv´enye pedig a k¨ovetkez˝o:   v[k] = ε[k] 5 − 4 · 0, 8k . A ε[k] f¨ uggv´enyt a megold´assal egy¨ utt fel kell t¨ unteni, ugyanis an´elk¨ ul a v´alaszjel a k < 0 (ebben a p´eld´aban a k < −1) u ¨ temekre bizosan rossz eredm´enyt adna, hiszen ott v[k] = 0-nak kell teljes¨ ulni.3 Az ugr´asv´alasz teh´at a v[k → ∞] = 5 konstans ´ert´ekhez tart, ami a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszerb˝ol egyel˝ore nem l´atszik. A ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszerrel ellen˝orizni lehet a kapott analitikus megold´ast. Fontos megjegyezni, hogy a stacion´arius v´alasz, azaz amit a pr´obaf¨ uggv´ennyel sz´amoltunk a tranziens folyamat lecseng´ese ut´an (stabil rendszer eset´eben) a´lland´oan fenn´all. Hat´arozzuk meg ezut´an az impulzusv´alaszt. Alkalmazzuk el˝osz¨or a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszert: w[k] = 0, 8w[k − 1] + δ[k],

w[0] = 0, 8w[−1] + δ[0] = 0 + 1 = 1, w[1] = 0, 8w[0] + δ[1] = 0, 8 · 1 + 0 = 0, 8,

w[2] = 0, 8w[1] + δ[2] = 0, 8 · 0, 8 + 0 = 0, 64,

....

3 Ezt ´erdemes kipr´ ob´ alni, pl. k = `−3 eset´en v[−3] = 5 − 4 · 0, 8−3 = ´ −2, 8125, ugyanakkor v[−3] = ε[−3] 5 − 4 · 0, 8−3 = 0, hiszen a k < 0 id˝ opillanatkoban nincs gerjeszt´es, ´ıgy a v´ alasz ´ert´eke is nulla kell legyen. ´ Erdemes megfigyelni azonban, hogy k = −1 eset´eben teljes¨ ul a felt´etel, ugyanis az M konstans ´ert´ek´et v[−1] = 0 seg´ıts´eg´evel hat´ aroztuk meg.

116

Ebb˝ol az egyszer˝ u p´eld´ab´ol j´ol l´atszik, hogy az impulzusv´alasz ´ 0, 8k , azaz λk t´ıpus´ u. Altal´ anosan elmondhat´o, hogy az impulzusv´alasz a tranziens o¨sszetev˝ovel egyezik meg, ugyanis a δ[k] gerjeszt´eshez tartoz´o pr´obaf¨ uggv´eny ´ert´eke nulla. Azonban ehhez is tartozik egy felt´etel. Ebben a p´eld´aban m = 0, az s[k] = δ[k] a k > 0 ´ert´ekek ut´an nulla (hiszen k = 0-ban δ[0] = 1), ´es felt´etelezhetj¨ uk, hogy a stacion´arius v´alasz is nulla ezen u ¨ temek4 ben, a´ltal´anosan ez a k ≥ m + 1 u ¨ temekre a´ll fenn: w[k] = ytr [k] = M 0, 8k ,

ha k ≥ 1.

Az M konstans ´ert´ek´et (az el˝oz˝okh¨oz hasonl´oan) a v´alaszjel k = m+1−1 = 0 u ¨ tembeli ´ert´ekhez illesztj¨ uk, amit a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszerb˝ol m´ar ismer¨ unk, azaz w[0] = 1 = M 0, 8 0 , ´ıgy az impulzusv´alasz f¨ uggv´eny´et kiterjesztett¨ uk a k ≥ 0 u ¨ temekre: w[k] = ε[k]0, 8k . 2. P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi rendszeregyenlettel adott rendszer ugr´asv´alasz´at ´es impulzusv´alasz´at. y[k] − 0, 8y[k − 1] = s[k] − 2s[k − 1]. s[k] r

 y[k] P -r 


 6 0, 8 −2  -HH -D
D  HH  -

Megold´ as. Felv´azoltuk a rendszert reprezent´al´o h´al´ozatot is. Hat´arozuk meg az ugr´asv´alaszt el˝osz¨or ism´et a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”4 Jegyezz¨ uk meg: a ´ltal´ anos gerjeszt´es eset´en a pr´ obaf¨ uggv´eny a k ≥ m u ¨temekre ´erv´enyes, impulzusv´ alasz eset´eben pedig a k ≥ m + 1 u ¨temekre lehet null´ anak tekinteni a stacion´ arius v´ alaszt.

117

m´odszer seg´ıts´eg´evel: v[k] = 0, 8v[k − 1] + ε[k] − 2ε[k − 1],

v[0] = 0, 8v[−1] + ε[0] − 2ε[−1] = 0 + 1 − 0 = 1,

v[1] = 0, 8v[0] + ε[1] − 2ε[0] = 0, 8 · 1 + 1 − 2 = −0, 2,

v[2] = 0, 8v[1] + ε[2] − 2ε[1] = 0, 8 · (−0, 2) + 1 − 2 = −1, 16

´es ´ıgy tov´abb. Az el˝oz˝o p´eld´ab´ol tudjuk, hogy a pr´obaf¨ uggv´eny csak a k ≥ m u ¨ temekre igaz. Azt is l´attuk, hogy a tranziens o¨sszetev˝o hat´arozatlan konstansait a v´alaszjel k = m − 1, m − 2, . . . , m − n u ¨ tembeli ´ert´ekeire t´amaszkodva hat´arozhatjuk meg. Ebben a p´eld´aban m = 1 ´es n = 1. Az el˝oz˝o p´eld´ahoz hasonl´oan egyetlen ismeretlen konstans lesz, ´es a v´alaszjel k = m − 1 = 1−1 = 0 u ¨ tembeli ´ert´ek´ere lesz sz¨ uks´eg¨ unk, amit a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszerrel tudunk meghat´arozni. Hat´arozzuk meg h´at az analitikus megold´ast o¨sszetev˝okre bont´assal. A rendszer saj´at´ert´eke ebben az esetben is λ = 0, 8, mivel a rendszeregyenlet bal oldala megegyezik az el˝oz˝o p´eld´aban vizsg´alt rendszeregyenlettel, a tranziens o¨sszetev˝o alakja teh´at a k¨ovetkez˝o: vtr [k] = M 0, 8k . Hat´arozzuk meg a stacion´arius v´alaszt a pr´obaf¨ uggv´enym´odszerrel. A pr´obaf¨ uggv´eny konstans: v st [k] = A. A pr´obaf¨ uggv´eny alkalmaz´as´anak felt´etele, hogy k ≥ m, azaz k ≥ 1. Helyettes´ıts¨ uk vissza a pr´obaf¨ uggv´enyt a megadott inhomog´en differenciaegyenletbe: vst [k] − 0, 8vst [k − 1] = ε[k] − 2ε[k − 1], azaz A − 0, 8A = 1 − 2, ahonnan A = −5. Ebben a fel´ır´asban nagyon j´ol l´atszik, hogy a jobb oldalon 2s[k − 1] = 2ε[k − 1] helyett csak akkor ´ırhatunk 2-t, ha k ≥ 1, k = 0 eset´eben ugyanis 2s[k − 1] = 2ε[k − 1] = 0. A teljes v´alasz teh´at: v[k] = M 0, 8k − 5. 118

Ez az alak csak k > 1 id˝opillanatokban adhat helyes eredm´enyt. Az egyetlen M konstans ´ert´ek´et a k = m − 1 = 0 u ¨ temre t´amaszkodva kell meghat´arozni, v[0] ´ert´ek´et pedig a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszerrel m´ar meghat´aroztuk, ´ıgy v[0] = 1 = M − 5, azaz M = 6. Vegy¨ uk figyelembe, hogy a v´alaszjel most m´ar a k≥0u ¨ temekre ´erv´enyes, azaz bel´ep˝o:   v[k] = ε[k] 6 · 0, 8k − 5 . Az ugr´asv´alasz stacion´arius a´llapotban teh´at a v[k → ∞] = −5 konstans ´ert´ekhez tart, ami a pr´obaf¨ uggv´eny ´ert´ek´evel egyezik meg, mivel az a stacion´arius v´alaszt adja. A konstans(ok) meghat´aroz´asa sor´an teh´at u ¨ gyelni kell m ´es n ´ert´ek´ere. Hat´arozzuk meg ezut´an a rendszer impulzusv´alasz´at is. Alkalmazzuk el˝osz¨or a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszert: w[k] = 0, 8w[k − 1] + δ[k] − 2δ[k − 1],

w[0] = 0, 8w[−1] + δ[0] − 2δ[−1] = 0 + 1 − 0 = 1,

w[1] = 0, 8w[0] + δ[1] − 2δ[0] = 0, 8 · 1 + 0 − 2 = −1, 2,

w[2] = 0, 8w[1] + δ[2] − 2δ[1] = 0, 8 · (−1, 2) + 0 − 0 = −0, 96

´es ´ıgy tov´abb. Az impulzusv´alasz analitikus alakja megegyezik a tranziens o¨sszetev˝o a´ltal´anos alakj´aval: w[k] = M 0, 8k , ha k ≥ m + 1, jelen esetben teh´at ha k ≥ 2, ugyanis a k = 1 u ¨ temben a −2δ[k − 1] ´ert´eke m´eg nem nulla, k ≥ 2 eset´eben pedig azonosan nulla. Az M param´eter ´ert´ek´et az impulzusv´alasz k =2−1 =1 u ¨ tembeli ´ert´ek´ehez kell illeszteni, azaz w[1] = −1, 2 = M 0, 8

⇒

M = −1, 5.

Az impulzusv´alasz id˝of¨ uggv´eny´et ez´altal kiterjesztett¨ uk a k ≥ 1 u ¨ temekre. Nek¨ unk azonban a k ≥ 0 u ¨ tembeli ´ert´ekekre van 119

sz¨ uks´eg¨ unk. A k = 0 id˝opillanatbeli ´ert´eket egy egys´egimpulzus seg´ıts´eg´evel lehet be´ırni az id˝of¨ uggv´enybe, teh´at az impulzusv´alasz a k¨ovetkez˝o:   k w[k] = δ[k] + ε[k − 1] −1, 5 · 0, 8 . Ezt a formul´at ´erdemes a´t´ırni a k¨ovetkez˝ok´epp:   w[k] =δ[k] + ε[k − 1] −1, 5 · 0, 8k−1 0, 8 =   =δ[k] + ε[k − 1] −1, 2 · 0, 8k−1 .

Tessz¨ uk ezt az´ert, hogy az egyes f¨ uggv´enyek k, k − 1, k − 2 stb. jel¨ol´esei o¨sszehangoltak legyenek. 5 A p´eld´ak ismeret´eben o¨sszefoglalhatjuk a kezdeti ´ert´ekekhez kapcsol´od´o szab´alyokat: • ha m > n, akkor a megold´ast nem tudjuk a k = 0 u ¨ temig kiterjeszteni, csak a k = m−n > 0 u ¨ temig. Az ezen id˝opillanat el˝otti f¨ uggv´eny´ert´ekeket egys´egimpulzusok seg´ıts´eg´evel adhatjuk meg u ´ gy, hogy a v´alaszjel ´ert´ek´et ezen u ¨ temekben a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszerrel hat´arozzuk meg, • ha m = n, akkor mindig k = 0 id˝opillanatban bel´ep˝o v´alaszt kapunk, • ha pedig m < n, akkor k negat´ıv ´ert´ekeire is kiterjeszthetj¨ uk a megold´ast. A negat´ıv u ¨ temek azonban sz´amunkra ´erdektelenek, hiszen nulla ´ert´ek˝ uek kell legyenek a gerjeszt´es bel´ep˝o jellege miatt (kauzalit´as). Ha az impulzusv´alaszt akarjuk meghat´arozni, akkor az el˝obb elmondottak mind igazak, csak ´epp minden helyen nem m, hanem m + 1 szerepel. 5

Ez a k´es˝ obbiekben nagyon l´enyeges lesz, szokjuk h´ at meg ezt a jel¨ ol´esm´ odot.

120

5.6. 5.6.1.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as defin´ıci´ oja

Egy diszkr´et idej˝ u rendszer xi [k] (i = 1, . . . , N ) a ´llapotv´ altoz´ oi a v´ altoz´ ok olyan minim´ alis halmaza, amelyek a k¨ ovetkez˝ o k´et tulajdons´ aggal b´ırnak: 1. A rendszert megad´ o a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as ismeret´eben az a ´llapotv´ altoz´ ok ´es a gerjeszt´es(ek) k-adik u ¨tembeli ´ert´ek´eb˝ ol meghat´ arozhat´ o az a ´llapotv´ altoz´ ok (k + 1)-edik u ¨tembeli ´ert´eke, ´es 2. ugyanezen adatokb´ ol meghat´ arozhat´ o a rendszer v´ alasz´ anak (v´ alaszainak) ´ert´eke a k-adik u ¨temben. Ha a rendszer line´ aris, akkor az a´llapotv´altoz´os le´ır´as egy line´ aris differenciaegyenlet-rendszer, a v´alaszokat pedig line´aris egyenletek fejezik ki. Ha a rendszer invari´ ans, akkor az a´llapotv´altoz´os le´ır´asban szerepl˝o egy¨ utthat´ok id˝ot˝ol f¨ uggetlen konstansok. A kauzalit´ as a defin´ıci´o miatt teljes¨ ul. Az a´llapotv´altoz´o defin´ıci´oj´ab´ol az a´llapotv´altoz´os le´ır´as a k¨ovetkez˝o alak´ u:

xi [k + 1] =

N X

Aij xj [k] +

yk [k] =

Bij sj [k],

j=1

j=1

N X

Ns X

Ckj xj [k] +

j=1

Ns X

(5.36) Dkj sj [k].

j=1

Ezen le´ır´asban szerepl˝o m´atrixok ´es vektorok hasonl´oak a folytonos idej˝ u rendszerek a´llapotv´altoz´os le´ır´as´aban szerepl˝o m´atrixokhoz ´es vektorokhoz: N az a´llapotv´altoz´ok sz´ama (i = 1, . . . , N ), Ns a gerjeszt´esek sz´ama, Ny pedig a v´alaszok sz´ama (j = 1, . . . , Ns , k = 1, . . . , Ny ). 121

Az a´llapotv´altoz´os le´ır´asban szerepl˝o els˝o sor egy els˝ orend˝ u, a ´lland´ o egy¨ utthat´ os, line´ aris differenciaegyenlet-rendszer t tartalmaz, amit a ´llapotegyenletnek is neveznek. Ez els˝ orend˝ u, mivel csak egyetlen u ¨ temmel val´o eltol´as szerepel benne, a ´lland´ o egy¨ utthat´ os, mert Aij , Bij , Ckj ´es Dkj egy¨ utthat´ok a´lland´ok a rendszer invarianc´aja k¨ovetkezt´eben (vari´ans rendszerek eset´eben A ij [k], Bij [k], Ckj [k] ´es Dkj [k] lenne), ´es line´ aris, mivel az a´llapotv´altoz´ok ´es a gerjeszt´esek els˝ofok´ u, azaz line´aris m´odon szerepelnek (nincs pl. egyik sem n´egyzeten). Fel´ırhatjuk mindezt kompaktabb alakban is, az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´ alalakj´ a ban: x[k + 1] = Ax[k] + Bs[k],

(5.37)

y[k] = Cx[k] + Ds[k],

ahol x[k] az a ´llapotvektor ´es A az N -edrend˝ u kvadratikus rendszerm´ atrix. SISO-rendszer ek eset´eben az a´llapotv´altoz´os le´ır´as egyszer˝ us¨odik: x[k + 1] = Ax[k] + bs[k],

(5.38)

y[k] = cT x[k] + Ds[k], azaz 2 6 6 6 4

x1 [k + 1] x2 [k + 1] .. . xN [k + 1]

3

2

7 6 7 6 7=6 5 4 y=

ˆ

A11 A21 .. . AN 1

c1

...

... ... Aij ...

cN

A1N A2N .. . AN N 2 ˜6 6 6 4

32 76 76 76 54

x1 [k] x2 [k] .. . xN [k] 3

x1 [k] x2 [k] .. . xN [k]

122

3

2

7 6 7 6 7+6 5 4

7 7 7 + D s[k]. 5

b1 b2 .. . bN

3

7 7 7s[k], 5

(5.39)

A SISO-rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´at realiz´alja a k¨ovetkez˝o hat´ asv´ azlat: -D

s[k]

r - b

5.6.2.

-

 Px[k + 1] - D  6

x[k]

r

A

- cT

-

?y[k]  P 

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as el˝ o´ all´ıt´ asa a h´ al´ ozati reprezent´ aci´ o alapj´ an

Egy rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´asa meghat´arozhat´o pl. a h´al´ozati reprezant´aci´oja alapj´an. Az elj´ar´as menet´et a k¨ovetkez˝o p´eld´an kereszt¨ ul mutatjuk be: y[k] ?   P P −1 H r- H - D - D r    (1) x1 [k] x x2 [k] 2 [k + 1] 6 6 x1 [k + 1]

s[k]  P

  HH 0, 24

 r

Els˝o l´ep´esben jel¨olj¨ uk be az a´llapotv´altoz´okat. Ezeket a dinamikus elemekhez, azaz a k´esleltet˝okh¨oz kell kapcsolni. A k´esleltet˝o bemenete az xi [k+1] eltolt a´llapotv´altoz´o, kimenete pedig az x i [k] a´llapotv´altoz´o. Az (1) jel˝ u el´agaz´ocsom´opontb´ol lefel´e az y[k] halad, ´es ez lesz a k¨oz´eps˝o o¨sszegz˝o egyik bemenete. Az o¨sszegz˝o m´asik bemenete az x1 [k], azaz x2 [k + 1] = x1 [k] + y[k]. 123

Ez azonban m´eg nem az a´llapotv´altoz´os le´ır´asnak megfelel˝o alak, hiszen a jobb oldalon y[k] nem szerepelhet. Az egyenletet k´es˝obb tov´abb alak´ıtjuk. A −1 er˝os´ıt´es˝ u komponens kimenete az x 1 [k+1]: x1 [k + 1] = −0, 24y[k] − s[k], ami szint´en nem felel meg az a´llapotv´altoz´os le´ır´as alakj´anak. A jobb oldali o¨sszegz˝o kimenete az y[k], amely x 2 [k] ´es s[k] o¨sszege: y[k] = x2 [k] + s[k], aminek alakja megfelel˝o, hiszen jobb oldal´an csak az a´llapotv´altoz´o ´es a gerjeszt´es, bal oldal´an pedig a v´alasz k-adik u ¨ tembeli ´ert´eke szerepel. Helyettes´ıts¨ uk ezt vissza az el˝obbi k´et eredm´enybe, ´es megkapjuk az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakj´at: x1 [k + 1] = −0, 24x2 [k] − 1, 24s[k], x2 [k + 1] = x1 [k] + x2 [k] + s[k], y[k] = x2 [k] + s[k]. Arra kell teh´at t¨orekedni, hogy az egyenletrendszer alakja a fentinek megfelel˝o legyen. Ha ez nem a´ll´ıthat´o el˝o, akkor a h´al´ozat nem regul´aris.

5.6.3.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa

K¨ovess¨ uk v´egig p´ar l´ep´esben az (5.38) a´llapotv´altoz´os le´ır´asban szerepl˝o a´llapotegyenletet a ,,l´ep´esr˝ ol l´ep´esre”-m´odszer seg´ıts´eg´evel. Feltessz¨ uk, hogy az a´llapotvektor x[0] kezdeti ´ert´ek´et ismerj¨ uk, ´ıgy k = 0 helyettes´ıt´essel megkapjuk az x[1] a´llapotvektort: x[1] = Ax[0] + bs[0]. Ism´etelj¨ uk meg ezt az elj´ar´ast k = 1 helyettes´ıt´essel: x[2] = Ax[1] + bs[1], 124

´es helyettes´ıts¨ uk be x[1] kifejez´es´et: x[2] = A {Ax[0] + bs[0]} + bs[1] = A2 x[0] + Abs[0] + bs[1]. Ism´etelj¨ uk meg ezt m´egegyszer k = 2 helyettes´ıt´essel ´es haszn´aljuk fel az el˝oz˝o eredm´enyt:  x[3] = Ax[2] + bs[2] = A A2 x[0] + Abs[0] + bs[1] + bs[2] = = A3 x[0] + A2 bs[0] + Abs[1] + bs[2].

A fenti rekurz´ıv l´ep´esekb˝ol a k¨ovetkez˝o z´art alak´ u kifejez´es ad´odik ak>0u ¨ temekre: x[k] = Ak x[0] +

k−1 X

A(k−1)−i bs[i].

(5.40)

i=0

Vizsg´aljuk meg ezek ut´an az (5.37) a´llapotv´altoz´os le´ır´as kimeneti v´alaszjel(ek)re vonatkoz´o o¨sszef¨ ugg´es´et. Az x[0] ´ert´eket ismertnek tekintj¨ uk (ez a kezdeti ´ert´ek), seg´ıts´eg´evel y[0] meghat´arozhat´o: y[0] = cT x[0] + Ds[0]. Minden k > 0 u ¨ temre helyettes´ıts¨ uk be y[k] kifejez´es´ebe az (5.40) o¨sszef¨ ugg´est: ) ( k−1 X (k−1)−i T T k A bs[i] + Ds[k], y[k] = c x[k]+Ds[k] = c A x[0]+ i=0

majd szorozzunk be a cT sorvektorral balr´ol: y[k] = cT Ak x[0] + cT

k−1 X

A(k−1)−i bs[i] + Ds[k].

i=0

Ez az eredm´eny alkalmazhat´o y[k] tetsz˝oleges k > 0 u ¨ temre t¨ort´en˝o sz´am´ıt´asa sor´an. 125

¨ Osszefoglalva teh´at az y[k] v´alaszvektor a k¨ovetkez˝o z´art formul´aval hat´arozhat´o meg tetsz˝oleges k ´ert´ekre: y[k] =



cT x[0] + Ds[0], k = 0; Pk−1 cT Ak x[0] + cT i=0 A(k−1)−i bs[i] + Ds[k], k > 0.

(5.41)

L´athat´o, hogy a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´eben nem szerepel az a´llapotvektor id˝of¨ uggv´enye. Hat´arozzuk meg most a SISO-rendszer impulzusv´alasz´anak kifejez´es´et az a´llapotv´altoz´os le´ır´as ismeret´eben. Az impulzusv´alasz a Dirac-impulzusra adott v´alasz, ami egy bel´ep˝ojel, azaz a k = 0 u ¨ temben az a´llapotvektor biztosan nullvektor, hiszen nincs gerjeszt´es: x[0] = 0. Ez a diszkr´et idej˝ u a´llapotvektor kifejez´es´eb˝ol is l´atszik, mivel k = −1 helyettes´ıt´essel ad´odik, hogy x[0] = Ax[−1] + bs[−1] = 0. Ennek k¨ovetkezt´eben az a´llapotvektor a k < 0 u ¨ temekre azonosan nulla. Vizsg´aljuk meg el˝osz¨or az a´llapotvektor egys´egimpulzusra adott v´alasz´at. Helyettes´ıts¨ uk az (5.40) kifejez´esbe az s[k] = δ[k] gerjeszt´est: k−1 X A(k−1)−i bδ[i]. wx [k] = i=0

Tudjuk, hogy a δ[k] Dirac-impulzus csak az i = 0 u ¨ temben egys´egnyi, s minden m´as u ¨ temben nulla, ´ıgy az o¨sszegz´est nem kell elv´egezni, hiszen i > 0 ´ert´ekekre a δ[i] u ´ gyis null´at ad, azaz wx [k] = ε[k − 1]Ak−1 b. A rendszer v´alasza azonban fontosabb inform´aci´ot tartalmaz, a rendszer impulzusv´alasz´at. Helyettes´ıts¨ uk most az (5.41) kifejez´esbe a s[k] = δ[k] gerjeszt´est:  Dδ[0], k = 0; Pk−1 (k−1)−i w[k] = T c bδ[i] + Dδ[k], k > 0. i=0 A 126

A kifejez´es els˝o sora egy´ertelm˝ u, csak a k = 0 u ¨ temben ad null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket, ami pontosan a D ´ert´ek´evel egyezik meg. A m´asodik sort a´t´ırhatjuk az el˝oz˝oekhez hasonl´oan: w[k] = ε[k − 1]cT Ak−1 b. A k´et r´eszeredm´enyt o¨sszevonva kapjuk az impulzusv´alasz kifejez´es´et: w[k] = Dδ[k] + ε[k − 1]cT Ak−1 b.

(5.42)

Az aszimptotikus stabilit´ as Egy diszkr´et idej˝ u, line´ aris, invari´ ans rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a gerjesztetlen rendszer a ´llapotvektora k → ∞ eset´en null´ ahoz tart tetsz˝ oleges x[0] kezdeti ´ert´ek eset´en: lim x[k] = 0.

k→∞

(5.43)

Ez gyakorlatilag az a´llapotvektor Dirac-impulzusra adott v´alasz´anak meghat´aroz´as´at ´es a lim k→∞ wx [k] hat´ar´ert´ek vizsg´alat´at jelenti, amely Ak → 0 eset´en cseng le. A k¨ovetkez˝okben l´atni fogjuk, hogy ez a m´atrixf¨ uggv´eny akkor tart a nullm´atrixhoz, ha A minden saj´at´ert´eke egys´egsugar´ u k¨or¨on bel¨ ul helyezkedik el. Im{λ}

Az a ´llapotvektor teh´ at akkor tart null´ ahoz (a rendszer akkor aszimptotikusan stabil), ha a rendszerm´ atrix minden saj´ at´ert´ek´enek abszol´ ut ´ert´eke 1-n´el kisebb: |λi | < 1,

i = 1, . . . , N.

(5.44)

6 #

1 Re{λ}

"!

A rendszerm´atrix karakterisztikus polinomj´anak meghat´aroz´asa ut´an, annak egy¨ utthat´oinak seg´ıts´eg´evel is meg lehet a´llap´ıtani,

127

hogy a rendszer aszimptotikusan stabilis vagy sem. A felt´eteleket l. 113. oldalon. Ha wx [k] null´ahoz tart, akkor (5.42) alapj´an a rendszer impulzusv´alasza is null´ahoz tart. Azaz, ha a rendszer aszimptotikusan stabil, akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabil is. Ez ford´ıtva nem biztos, hogy igaz, s˝ot bizonyos felt´etelek mellett az aszimptotikusan nem stabil rendszer lehet gerjeszt´es-v´alasz stabilis. 6 A m´ atrixf¨ uggv´ eny sz´ am´ıt´ asa Diszkr´et idej˝ u rendszerek a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak megold´asa sor´an sz¨ uks´eg¨ unk van teh´at az A k m´atrixf¨ uggv´enyre. A m´atrixf¨ uggv´enyt a folytonos idej˝ u rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak megold´asa sor´an m´ar t´argyaltuk, ´ıgy azt nem ism´etelj¨ uk meg, viszont egy p´eld´at l´ep´esr˝ol l´ep´esre bemutatunk. Annyit azonban eml´ekeztet˝ou ¨ l jegyezz¨ unk meg, hogy ha a m´atrix minden saj´at´ert´eke egyszeres, vagy van t¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´ek, de a minim´alpolinom gy¨okei egyszeresek, akkor a Lagrange-f´ele m´atrixpolinomokat alkalmazzuk: f (A) =

M X

f (λi )Li (A),

(5.45)

i=1

ahol Li (A) jel¨oli a meghat´arozand´o Lagrange-m´ atrix okat (defin´ıci´oj´at ´es meghat´aroz´as´anak menet´et l. 75. oldalon). Diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben a f¨ uggv´eny f (x) = x k alak´ u, teh´at Ak =

M X

λki Li (A).

(5.46)

i=1

Ha a m´atrixnak van t¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´eke, ´es minim´alpolinomj´anak gy¨okei k¨oz¨ott is van t¨obbsz¨or¨os, akkor az Hermite-f´ele 6

Minderre a 9. fejezetben m´eg visszat´er¨ unk.

128

m´atrixpolinomokat alkalmazzuk: f (A) =

M βX i −1 X

f (j) (λi )Hij (A),

(5.47)

i=1 j=0

ahol Hij (A) jel¨oli az Hermite-m´ atrix okat (l. 79. oldal). Diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben a f¨ uggv´eny f (x) = x k alak´ u, teh´at7 k

A =

M βX i −1 X i=1 j=0

k! λik−j Hij (A), (k − j)!

(5.48)

P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi a´llapotv´altoz´os le´ır´as´aval adott SISO-rendszer ugr´asv´alasz´at, impulzusv´alasz´at ´es az s[k] = ε[k]0, 5k gerjeszt´esre adott v´alasz´at.        x1 [k + 1] 0 −0, 24 x1 [k] −0, 24 = + s[k], x2 [k + 1] 1 1 x2 [k] 1, 5     x1 [k] y[k] = 0 1 + s[k]. x2 [k] Megold´ as. Els˝o l´ep´esben hat´arozzuk meg a rendszerm´atrix saj´at´ert´ekeit: λ 0, 24 = λ(λ − 1) + 0, 24 = λ2 − λ + 0, 24 = 0. D2 (λ) = −1 λ − 1

7 Gondoljuk v´egig az xk f¨ uggv´eny deriv´ altjait: (xk )0 = kxk−1 , (xk )00 = (kxk−1 )0 = k(k − 1)xk−2 , (xk )000 = (k(k − 1)xk−2 )0 = k(k − 1)(k − 2)xk−3 ´es k! ´ıgy tov´ abb. Ugyanakkor ´ırhatjuk u ´gy is, hogy k = (k−1)! = 1·2·...(k−1)·k = k, 1·2·...(k−1) 1·2·...(k−2)(k−1)k k! ´ = = k(k − 1) ´es ´ıgy tov´ abb. Altal´ anosan k(k − 1) = (k−2)!

1·2·...(k−2)

k! teh´ at (k−j)! = k(k − 1)(k − 2) . . . (k − j + 1), ´es pont erre van sz¨ uks´eg¨ unk a deriv´ altak kifejez´es´eben.

129

A saj´at´ert´ekek sz´am´ıt´as´ara haszn´aljuk a m´asodfok´ u egyenlet megold´ok´eplet´et: √  √ 1 ± 1 − 4 · 0, 24 −b ± b2 − 4ac λ1 = 0, 6, = ⇒ λ1,2 = λ2 = 0, 4. 2a 2 A saj´at´ert´ekek egyszeresek, teh´at tov´abbi vizsg´alat n´elk¨ ul eld¨onthet˝o, hogy az Ak m´atrixf¨ uggv´enyt a Lagrange-f´ele m´atrixpolinomok seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg. A k´et Lagrangem´atrix a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: 2 Y

A − λj E A − λ2 E 1 = = (A − λ2 E) = λ1 − λ j λ1 − λ 2 λ1 − λ 2 j=1,j6=1     1 0, 4 0 0 −0, 24 = − = 0 0, 4 1 1 0, 6 − 0, 4     1 −2 −1, 2 −0, 4 −0, 24 . = = 5 3 1 0, 6 0, 2

L1 (A) =

Az L2 (A) Lagrange-m´atrix hasonl´ok´epp sz´am´ıthat´o: 2 Y

A − λj E A − λ1 E 1 = = (A − λ1 E) = λ2 − λ j λ2 − λ 1 λ2 − λ 1 j=1,j6=2     1 0 −0, 24 0, 6 0 = − = 1 1 0 0, 6 0, 4 − 0, 6     1 3 1, 2 −0, 6 −0, 24 . = =− −5 −2 1 0, 4 0, 2

L2 (A) =

Ellen˝orz´esk´epp sz´am´ıtsuk ki a k´et Lagrange-m´atrix o¨sszeg´et:       −2 −1, 2 3 1, 2 1 0 L1 (A) + L2 (A) = + = , 5 3 −5 −2 0 1 ami a m´asodrend˝ u egys´egm´atrix, ahogy annak lenni kell. 130

A Lagrange-m´atrixok ismeret´eben az A k m´atrixf¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg:    3 1, 2 −2 −1, 2 k = + 0, 4 A = + = 0, 6 −5 −2 5 3   −2 · 0, 6k + 3 · 0, 4k −1, 2 · 0, 6k + 1, 2 · 0, 4k . = 5 · 0, 6k − 5 · 0, 4k 3 · 0, 6k − 2 · 0, 4k k

λk1 L1 (A)



λk2 L2 (A)

k

Ezen l´ep´eseket mindig ugyan´ıgy kell megtenn¨ unk, mert ezek a gerjeszt´est˝ol f¨ uggetlenek. Hat´arozzuk meg gyakorl´ask´epp az x[k] a´llapotvektor id˝of¨ uggv´eny´et az (5.40) alapj´an. Az a´llapotv´altoz´ok kezdeti ´ert´eke nulla, mivel a gerjeszt´es bel´ep˝o, ´ıgy x[k] =

k−1 X

A(k−1)−i bs[i].

i=0

Sz¨ uks´eg van teh´at az A(k−1)−i b szorzatra. Sz´am´ıtsuk el˝osz¨or ki az Ak b szorzatot, majd az eredm´enyben minden k hely´ebe ´ırjunk (k − 1) − i-t. A szorzat teh´at a k¨ovetkez˝o: 

−1, 2 · 0, 6k + 1, 2 · 0, 4k 3 · 0, 6k − 2 · 0, 4k   −1, 32 · 0, 6k + 1, 08 · 0, 4k = , 3, 3 · 0, 6k − 1, 8 · 0, 4k

Ak b =

−2 · 0, 6k + 3 · 0, 4k 5 · 0, 6k − 5 · 0, 4k



−0, 24 1, 5



=

amib˝ol A

(k−1)−i

b=



−1, 32 · 0, 6(k−1)−i + 1, 08 · 0, 4(k−1)−i 3, 3 · 0, 6(k−1)−i − 1, 8 · 0, 4(k−1)−i



.

Az a´llapotv´altoz´ok id˝of¨ uggv´enye meghat´arozhat´o a konvol´ uci´o t´argyal´asakor bemutatott p´eld´ak ismerete alapj´an. Az o¨sszegz´es fels˝o hat´ar´aban (k − 1) a´ll (l. (5.40)), a m´ertani sor o¨sszegk´eplet´et ismerj¨ uk, ha a fels˝o o¨sszegz´esi hat´ar k. Vezess¨ uk le a m´ertani sor

131

o¨sszegk´eplet´et, ha a fels˝o hat´ar (k − 1): k−1 X

i

q =

k X i=0

i=0

=

qi − qk =

1 − q k+1 1 − q k+1 1−q − qk = − qk = 1−q 1−q 1−q

1 − qk 1 − qk q − qk + qk q = . 1−q 1−q

(5.49) Haszn´aljuk ki ezt az o¨sszef¨ ugg´est, ´ıgy kiss´e r¨ovidebb lesz a sz´am´ıt´as. Az x1 [k] id˝of¨ uggv´eny´enek meghat´aroz´asa teh´at (s[i] = 1) a k¨ovetkez˝o: x1 [k] =

k−1  X i=0

 −1, 32 · 0, 6(k−1)−i + 1, 08 · 0, 4(k−1)−i =

  k−1  k−1  X X 1 i 1 i k−1 + 1, 08 · 0, 4 = = −1, 32 · 0, 6 0, 6 0, 4 i=0 i=0  k  k 1 1 1 − 1 − 0,6 0,4 (2) k−1 k−1   + 1, 08 · 0, 4   = = −1, 32 · 0, 6 1 1 1 − 0,6 1 − 0,4 (1)

(3)

=

(4)

k−1

−1, 32 · 0, 6k + 1, 32 1, 08 · 0, 4k − 1, 08 + = 0, 6 − 1 0, 4 − 1

= −1, 5 + 3, 3 · 0, 6k − 1, 8 · 0, 4k .

Az (1) l´ep´esben tegy¨ uk meg a szok´asos m˝ uveleteket, vigy¨ uk ki az o¨sszegz´es el´e az o¨sszegz´es szempontj´ab´ol konstansnak tekinthet˝o tagokat, majd a (2) l´ep´esben haszn´aljuk fel a fentebb t´argyalt o¨sszegk´epletet. A (3) l´ep´esben szorozzunk be a t¨ortek el˝ott a´ll´o kifejez´esekkel, az els˝o t¨ort sz´aml´al´oj´at ´es nevez˝oj´et szorozzuk be 0, 6del, a m´asodik´et pedig 0, 4-del, majd vonjunk o¨ssze a (4) l´ep´esben. Mivel a gerjeszt´es bel´ep˝o, az a´llapotv´altoz´o is az lesz:   x1 [k] = ε[k] −1, 5 + 3, 3 · 0, 6k − 1, 8 · 0, 4k . 132

´ Erdemes megfigyelni, hogy ezen jelalak a k = 0 u ¨ temben null´at ad, ahogy azt a kiindul´asn´al megadtuk. Az x2 [k] a´llapotv´altoz´o id˝of¨ uggv´eny´et ugyan´ıgy kell sz´amolni. A r´eszleteket itt mell˝ozz¨ uk, mert az x 1 [k] sz´am´ıt´as´anak a´ttekint´ese ut´an ezt hasonl´oan meg lehet tenni. Azaz x2 [k] =

k−1 h X i=0

3, 3 · 0, 6(k−1)−i − 1, 8 · 0, 4(k−1)−i

  = ε[k] 5, 25 − 8, 25 · 0, 6k + 3 · 0, 4k .

i

Hat´arozzuk meg a v´alaszjelet is (5.41) alapj´an. Megjegyezz¨ uk, hogy az a´llapotv´altoz´ok sz´am´ıt´asa nem sz¨ uks´eges a v´alaszjel sz´am´ıt´as´ahoz, azokat csak gyakorl´ask´epp hat´aroztuk meg. A k = 0u ¨ temben a v´alaszjel a k¨ovetkez˝o (x[0] = 0): y[0] = cT x[0] + Ds[0] = 1. Ak>0u ¨ temekre pedig a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthatjuk: y[k] = c

T

k−1 X

A(k−1)−i bs[i] + Ds[k],

i=0

ahol az A(k−1)−i b szorzatot m´ar meghat´aroztuk. Sz¨ uks´eg¨ unk van azonban a k¨ovetkez˝o szorzatra: cT A(k−1)−i b =



0 1





−1, 32 · 0, 6(k−1)−i + 1, 08 · 0, 4(k−1)−i 3, 3 · 0, 6(k−1)−i − 1, 8 · 0, 4(k−1)−i

= 3, 3 · 0, 6(k−1)−i − 1, 8 · 0, 4(k−1)−i .

Ezt visszahelyettes´ıtve az y[k] o¨sszef¨ ugg´es´ebe kapjuk, hogy y[k] =

k−1 h X i=0

i 3, 3 · 0, 6(k−1)−i − 1, 8 · 0, 4(k−1)−i + 1. 133



=

Az o¨sszegre r´aismerhet¨ unk: ez pontosan az x 2 [k], amit azonban m´ar meghat´aroztunk, ´ıgy az ugr´asv´alasz a k¨ovetkez˝o:   y[k] = v[k] = ε[k] 6, 25 − 8, 25 · 0, 6k + 3 · 0, 4k .

Ez a f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti az y[0] = 1 ´ert´eket is. Hat´arozzuk meg ezut´an az impulzusv´alaszt az (5.42) o¨sszef¨ ugg´esb˝ol kiindulva: w[k] = Dδ[k] + ε[k − 1]cT Ak−1 b. Ehhez azonban m´ar kisz´am´ıtottuk a sz¨ uks´eges szorzatokat, ´ıgy   k−1 k−1 . w[k] = δ[k] + ε[k − 1] 3, 3 · 0, 6 − 1, 8 · 0, 4

V´eg¨ ul hat´arozzuk meg az s[k] = ε[k]0, 5 k gerjeszt´esre adott v´alaszt. A v´alaszjel sz´am´ıt´as´anak ismert (5.41) o¨sszef¨ ugg´es´et alkalmazzuk. A k = 0 u ¨ temben a v´alaszjel a k¨ovetkez˝o (x[0] = 0): y[0] = cT x[0] + Ds[0] = 1. Ak>0u ¨ temekre pedig a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthatjuk: y[k] = cT

k−1 X

A(k−1)−i bs[i] + Ds[k].

i=0

Helyettes´ıts¨ unk be ezen formula szumm´aj´aba ´es vezess¨ uk le a

134

v´alaszjel kifejez´es´et: k−1  X i=0

 3, 3 · 0, 6(k−1)−i − 1, 8 · 0, 4(k−1)−i 0, 5i =

(1)

= 3, 3 · 0, 6

k−1

(2)

k−1

= 3, 3 · 0, 6

(3)

=

 k−1  X 0, 5 i i=0

1−

0, 6  k

1−

0,5 0,6



0,5 0,6

− 1, 8 · 0, 4

 − 1, 8 · 0, 4

k−1

k−1

 k−1  X 0, 5 i 0, 4  k

=

i=0

1−

1−

0,5 0,4



0,5 0,4

 =

1, 8 · 0, 4k − 1, 8 · 0, 5k 3, 3 · 0, 6k − 3, 3 · 0, 5k − 0, 1 −0, 1

Az (1) l´ep´esben szorozzunk be a 0, 5 i t´enyez˝ovel ´es vigy¨ uk ki az o¨sszegz´es el´e az o¨sszegz´es szempontj´ab´ol konstansnak tekinthet˝o tagokat. Haszn´ajuk a m´ertani sor o¨sszegk´eplet´enek kifejez´es´et a (2) l´ep´esben, majd a (3) l´ep´esben szorozzuk be a t¨orteket az ¨ el˝ott¨ uk a´ll´o taggal ´es alak´ıtsuk a´t az emeletes t¨orteket. Osszevon´as ut´an kapjuk, hogy   y[k] = ε[k] 33 · 0, 6k + 18 · 0, 4k − 51 · 0, 5k + ε[k]0, 5k =   = ε[k] 33 · 0, 6k + 18 · 0, 4k − 50 · 0, 5k . Ez a kifejez´es a k = 0 u ¨ temre 1-et ad, ahogy azt fentebb kisz´am´ıtottuk.

5.7.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as ´ es a rendszeregyenlet kapcsolata

A rendszeregyenlet ´es az a´llapotv´altoz´os le´ır´as egy rendszer k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o matematikai megfogalmaz´asa. Mivel ugyanazon rendszert ´ırj´ak le, k¨oz¨ott¨ uk kapcsolat kell legyen. 135

5.7.1.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as meghat´ aroz´ asa a rendszeregyenlet ismeret´ eben

P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi a´llapotv´altoz´os le´ır´assal adott rendszer rendszeregyenlet´et. y[k] − 0, 8y[k − 1] = s[k] − 2s[k − 1]. Megold´ as. A c´el teh´at a´llapotv´altoz´ok bevezet´ese, ´es a rendszeregyenlet a´talak´ıt´asa a´llapotv´altoz´os le´ır´ass´a. Arra kell u ¨ gyeln¨ unk, hogy az a´llapotv´altoz´os le´ır´as jobb oldal´an az a´llapotv´altoz´ok ´es a gerjeszt´es k-adik, bal oldal´an pedig az a´llapotv´altoz´ok (k + 1)-edik, tov´abb´a a v´alaszjel k-adik u ¨ tembeli ´ert´eke szerepeljen. A megold´as menete a k¨ovetkez˝o. El˝osz¨or azt kell meghat´aroznunk, hogy h´any a´llapotv´altoz´o sz¨ uks´eges a rendszer le´ır´as´ara. Ez a rendszeregyenletb˝ol mindig meg´allap´ıthat´o: N = max(n, m), vagyis n ´es m ´ert´ekek k¨oz¨ ul a nagyobbik sz´am´ u, jelen esetben N = 1. Els˝o l´ep´esben rendezz¨ uk a´t a rendszeregyenletet u ´ gy, hogy annak bal oldal´an csak y[k] szerepeljen: y[k] = 0, 8y[k − 1] + s[k] − 2s[k − 1]. Ebben s[k] az egyed¨ uli, amelynek a k-adik u ¨ tembeli ´ert´eke szerepel, ezt teh´at hagyjuk meg, mert az a´llapotv´altoz´os le´ır´asban pont s[k] szerepel, a m´asik k´et tagot pedig jel¨olj¨ uk az x 1 [k] a´llapotv´altoz´oval, azaz x1 [k] = 0, 8y[k − 1] − 2s[k − 1], s ´ıgy y[k] = x1 [k] + s[k]. A v´alaszjel ´ıgy rendben is van, hiszen kadik u ¨ tembeli ´ert´eke az a´llapotv´altoz´o ´es a gerjeszt´es k-adik u ¨ tembeli ´ert´ekei a´ltal meghat´arozott, ahogy azt a defin´ıci´o is mondja. Toljuk el ezut´an x1 [k] kifejez´es´et, mivel az a´llapotv´altoz´os le´ır´as bal oldal´an az a´llapotv´altoz´ok k + 1-edik u ¨ tembeli ´ert´eke kell szerepeljen: x1 [k + 1] = 0, 8y[k] − 2s[k]. 136

Vegy¨ uk szem¨ ugyre ezt a fel´ır´ast. Ebben s[k] szerepel, amelyet m´ar nem kell m´odos´ıtanunk, tov´abb´a y[k], amelynek azonban semmi keresnival´oja az egyenlet jobb oldal´an. Azonban fentebb meghat´aroztuk y[k] kifejez´es´et a helyes alakban. Helyettes´ıts¨ uk azt vissza az ut´obb fel´ırt egyenletbe: x1 [k + 1] = 0, 8 {x1 [k] + s[k]} − 2s[k] = 0, 8x1 [k] − 1, 2s[k]. Ez az alak m´ar megfelel a defin´ıci´onak, azaz az a´llapotv´altoz´os le´ır´as a k¨ovetkez˝o: x1 [k + 1] = 0, 8x1 [k] − 1, 2s[k], y[k] = x1 [k] + s[k].

Az a´talak´ıt´as megoldhat´o egyetlen l´ep´esbe is, a folytonos idej˝ u rendszerekn´el is alkalmazott m´ asodik Frobenius-alak, vagy m´as n´even megfigyel˝ o alak seg´ıts´eg´evel 8 : 

   x[k + 1] =    y[k] =



0 0 ··· 1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . . . . . 0 0 ···

0 0 ···

0 0 0 .. .

−aN −aN −1 −aN −2

1 0 1



··· −a1





      x[k]+     

x[k] + b0 s[k].

bN − b 0 a N bN −1 − b0 aN −1 bN −2 − b0 aN −2 .. . b1 − b 0 a 1



    s[k],   (5.50)

8

Az els˝ o Frobenius-alak, vagy szab´ alyoz´ o alak meghat´ arozhat´ o a m´ asodik T T alak ismeret´eben (vagy megford´ıtva): A1 = AT es 2 , B1 = C 2 , C 1 = B 2 ´ D1 = D2 (az indexek az els˝ o ´es a m´ asodik alakra utalnak).

137

5.7.2.

A rendszeregyenlet meghat´ aroz´ asa az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as ismeret´ eben

P´ elda. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o a´llapotv´altoz´os le´ır´as´aval adott rendszer rendszeregyenlet´et.        −0, 24 x1 [k] 0 −0, 24 x1 [k + 1] s[k], + = 1, 5 x2 [k] 1 1 x2 [k + 1]     x1 [k] + s[k]. y[k] = 0 1 x2 [k] Megold´ as. A c´el az a´llapotv´altoz´ok kiejt´ese az a´llapotv´altoz´os le´ır´asb´ol. A megold´as menete a k¨ovetkez˝o. A v´alaszjel egyenlet´et N -szer el kell tolnunk 1 u ¨ temmel. Ez´altal kapunk egy N + 1 egyenletb˝ol a´ll´o egyenletrendszert, amely tartalmazza az a´llapotv´altoz´ok k-adik u ¨ tembeli ´ert´ek´et, tov´abb´a a gerjeszt´es ´es a v´alasz k-adik, (k + 1)-edik, . . . , (k + N )-edik u ¨ tembeli ´ert´ek´et. Az egyenletrendszer megold´asa sor´an ismeretlennek tekintj¨ uk az N sz´am´ u a´llapotv´altoz´ot ´es az y[k + N ] v´alaszt. Ez pontosan N + 1 sz´am´ u ismeretlen. A c´el y[k + N ] kifejez´ese egyetlen egyenlettel (a rendszeregyenlettel) u ´ gy, hogy az egyenlet ne tartalmazzon a´llapotv´altoz´ot. Mindig a v´alaszjel egyenlet´eb˝ol indulunk ki. Toljuk el ezt egy u ¨ temmel: y[k + 1] = x2 [k + 1] + s[k + 1]. Helyettes´ıts¨ uk be ezut´an x2 [k + 1] kifejez´es´et az a´llapot´altoz´os le´ır´asb´ol: y[k + 1] = x1 [k] + x2 [k] + 1, 5s[k] + s[k + 1]. Toljuk el egy u ¨ temmel a kapott y[k + 1] egyenletet: y[k + 2] = x1 [k + 1] + x2 [k + 1] + 1, 5s[k + 1] + s[k + 2],

138

majd helyettes´ıts¨ uk be x1 [k + 1] ´es x2 [k + 1] kifejez´es´et az a´llapotv´altoz´os le´ır´asb´ol ´es vonjunk o¨ssze: y[k + 2] = −0, 24x2 [k] − 0, 24s[k] + x1 [k] + x2 [k]+ + 1, 5s[k] + 1, 5s[k + 1] + s[k + 2] =

= x1 [k] + 0, 76x2 [k] + 1, 26s[k] + 1, 5s[k + 1] + s[k + 2]. Az N = 2 sz´am´ u eltol´as ut´an kaptunk egy N + 1 = 3 egyenletb˝ol a´ll´o egyenletrendszert, amelyben ismeretlen az x 1 [k], az x2 [k] (az´ert kellett visszahelyettes´ıteni az a´llapotvektort, hogy az a´llapotv´altoz´oknak csak a k-adik u ¨ tembeli ´ert´eke szerepeljen) ´es az y[k + 2]. Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert. Fejezz¨ uk ki az y[k] egyenlet´eb˝ol az x2 [k] a´llapotv´altoz´ot: x2 [k] = y[k] − s[k], ´es helyettes´ıts¨ uk vissza az y[k + 1] ´es y[k + 2] egyenletekbe. Rendez´es ut´an a k¨ovetkez˝ot kapjuk: y[k + 1] = x1 [k] + y[k] + 0, 5s[k] + s[k + 1], y[k + 2] = x1 [k] + 0, 76y[k] + 0, 5s[k] + 1, 5s[k + 1] + s[k + 2]. Ezen egyenletek m´ar csak az x1 [k] ´es y[k + 2] ismeretleneket tartalmazza. El˝obbib˝ol fejezz¨ uk ki x 1 [k]-t, majd helyettes´ıts¨ uk vissza azt az utols´o egyenletbe: y[k + 2] = y[k + 1] − 0, 24y[k] + s[k + 2] + 0, 5s[k + 1]. Ez azonban m´eg nem a teljes v´egeredm´eny, a rendszeregyenletben ugyanis k´esleltet´esek szerepelnek. Toljuk el ez´ert a kapott eredm´enyt N = 2-vel, ´ıgy: y[k] = y[k − 1] − 0, 24y[k − 2] + s[k] + 0, 5s[k − 1], vagy ami ezzel ekvivalens: y[k] − y[k − 1] + 0, 24y[k − 2] = s[k] + 0, 5s[k − 1]. 139

3. r´ esz Anal´ızis a frekvenciatartom´ anyban Ebben a r´eszben line´ aris, invari´ ans ´es kauz´ alis rendszerek frekvenciatartom´anybeli anal´ızis´evel foglalkozunk. El˝osz¨or megvizsg´aljuk a gyakorlatban legt¨obbsz¨or el˝ofordul´o szinuszos gerjeszt´esre adott v´alasz sz´am´ıt´as´anak m´odszer´et. Bevezetj¨ uk a komplex cs´ ucs´ert´ek fogalm´at ´es a komplex sz´am´ıt´asi m´odszert, valamint a rendszert adott k¨orfrekvenci´an jellemz˝o a ´tviteli t´enyez˝ o t. Ut´obbi a´ltal´anos´ıt´asa az a ´tviteli karakterisztika, melynek a´br´azol´as´at teszi lehet˝ov´e a Nyquist-diagram ´es a Bodediagram. Megvizsg´aljuk az impulzusv´alasz ´es az a´tviteli karakterisztika kapcsolat´at is. Az a´tviteli karakterisztika egy u ´ jabb rendszerjellemz˝o f¨ uggv´eny. Ezen r´esz m´asik, rendk´ıv¨ ul fontos ter¨ ulete a Fourier-k¨ ozel´ıt´es, amely lehet˝ov´e teszi, hogy teljesen a´ltal´anos periodikus jelekre adott v´alasz sz´am´ıt´as´at visszavezess¨ uk a szinuszos gerjeszt´esre adott v´alasz sz´am´ıt´as´ara. L´atni fogjuk, hogy diszkr´et idej˝ u jelek eset´eben ez nem csup´an k¨ozel´ıt´es, hanem a jel pontos le´ır´asa. A Fourier-k¨ozel´ıt´esb˝ol kiindulva eljutunk a jelek ´es rendszerek spektr´ alis le´ır´ as´ a hoz, amely kieg´esz´ıti az id˝otartom´anybeli anal´ızis egyes eszk¨ozeit. Az un. Fourier-transzform´ aci´ o m´elyebb betekint´est enged a rendszer viselked´es´ebe, ´es a r´eszt a gyakorlatban is sokszor alkalmazott elj´ar´asok bemutat´as´aval z´arjuk.

140

6. fejezet

FI rendszerek anal´ızise a frekvenciatartom´ anyban 6.1. 6.1.1.

Szinuszos ´ alland´ osult v´ alasz sz´ am´ıt´ asa A szinuszos jel

Egy folytonos idej˝ u szinuszos jel a k¨ovetkez˝ok´epp adhat´o meg: s(t) = S cos(ωt + ρ),

(6.1)

ahol S > 0 a jel cs´ ucs´ert´ek e, vagy amplit´ ud´ o ja, ω a jel k¨ orfrekvenci´ a ja, ρ pedig a jel kezd˝ of´ azisa (0 ≤ ρ < 2π, vagy −π ≤ ˆ ρ < π). A cs´ ucs´ert´eket szok´as S-csal is jel¨olni. Ezen jel mindig periodikus a T peri´ odusid˝ o vel, frekcenci´ a ja pedig f = 1/T . Ut´obbi k´et mennyis´egb˝ol a k¨orfrekvencia sz´am´ıthat´o: ω=

2π , T

ω = 2πf.

Fontos megjegyezni, hogy a peri´odusid˝o SI m´ert´ekegys´ege a m´asodperc (s), a frekvencia m´ert´ekegys´ege a hertz (Hz), a k¨orfrekvencia m´ert´ekegys´ege pedig a radi´an per m´asodperc ( rad s ). Ha pl. 141

a per´odusid˝o ms egys´egben adott, akkor a frekvencia ´es a k¨orfrekvencia m´ert´ekegys´ege [f ] = [T1 ] ´es [ω] = rad es krad s [T ] szerint kHz ´ (ez egy un. koherens egys´egrendszer ), ´es ´ıgy tov´abb. P´eld´aul a k¨ovetkez˝o, f = 0, 5 Hz frekvenci´aj´ u (T = 2 s peri´odusidej˝ u) szinuszos jel ´es k´et eltoltja l´athat´o a 6.1 a´br´an: 1 s(t) = 3 cos(2π0, 5 t), s1 (t) = 3 cos(2π0, 5 t − π/4),

s2 (t) = 3 cos(2π0, 5 t + π/3).

A k´et eltolt jel fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o m´odon is: s1 (t) = 3 cos(2π0, 5(t − 1/4)),

s2 (t) = 3 cos(2π0, 5(t + 1/3)).

6

6 s1(t)=s(t-τ1) s2(t)=s(t+τ2) 3 s1(t), s2(t)

s(t)

3

0

-3

0

-3

-6

-6 -1

0

1 2 t[s]

3

4

-1

0

1 2 t[s]

3

4

6.1. a´bra. Folytonos idej˝ u szinuszos jelek

6.1.2.

A szinuszos jel komplex le´ır´ asa

A szinuszos jelek le´ır´as´ara nagyon el˝ony¨os az un. komplex le´ır´ as, melynek ismertet´ese el˝ott a´tism´etelj¨ uk a komplex sz´amok sz´amunkra fontos defin´ıci´oit ´es o¨sszef¨ ugg´eseit. 1 Eml´ekeztet˝ ou ¨l: a −π/4 az eredeti jelet jobbra tolja el, azaz k´esik az eredeti jelhez k´epest, a +π/3 balra tolja el az eredeti jelet, azaz sietteti azt. A π/4 eltol´ as az id˝ oben τ1 = T /8 = 1/4 s-nak, a π/3 pedig τ2 = T /6 = 1/3 s-nak felel meg. Ez a k¨ ovetkez˝ o ar´ anyp´ arb´ ol sz´ am´ıthat´ o: ha a 2π f´ azis T id˝ onek felel = π/4 , ahonnan τ1 = π/4 T = T /8. meg, akkor a π/4 f´ azis τ1 -nek: 2π T τ1 2π

142

Im 6 b

r

z = rejϕ 
= a + jb






ϕ

a

Egy z komplex sz´am (z ∈ C, ahol C jel¨oli a komplex sz´amok halmaz´at) k´et r´eszb˝ol a´ll: egy val´ os r´esz b˝ol ´es egy k´epzetes r´esz b˝ol. Ez fel´ırhat´o az un. algebrai alak seg´ıts´eg´evel:

-

z = a + jb,

Re 6.2. a´bra. A fazor

(6.2)

ahol a = Re{z} a komplex sz´am val´ os, vagy re´ alis r´esz e, b = Im{z} pedig a komplex sz´ am k´epzetes, vagy √ imagin´ arius r´esz e. A j a k´epzetes egys´eg: j ≡ −1. Fontos megjegyezni, hogy a is ´es b is val´os sz´am. Egy komplex sz´amot egy vektork´ent szok´as a´br´azolni, ´es ezen vektor neve fazor (6.2. a´bra). Egy komplex sz´am m´asik alakja a trigonometrikus alak : z = r(cos ϕ + j sin ϕ),

(6.3)

ugyanis a = r cos ϕ,

b = r sin ϕ

a fazor r hossz´anak ´es a val´os tengellyel bez´art ϕ sz¨og´enek ismeret´eben. A sz´am´ıt´asok sor´an k´enyelmesen alkalmazhat´o az un. Euleralak, amely a trigonometrikus alakb´ol sz´armaztathat´o. ´Irjuk fel ehhez a cos ϕ ´es a sin ϕ trigonometrikus f¨ uggv´enyek hatv´anysor´at: ϕ2 ϕ4 ϕ6 ϕ8 + − + ∓ ..., 2! 4! 6! 8! ϕ3 ϕ5 ϕ7 ϕ9 + − + ∓ ..., sin ϕ = ϕ − 3! 5! 7! 9!

cos ϕ = 1 −

´es ´ırjuk fel az ex exponenci´alis f¨ uggv´eny hatv´anysor´at is ex = 1 +

x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 + + + + + + + + + ..., 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!

143

majd helyettes´ıts¨ uk x hely´ebe a jϕ kifejez´est: ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ − −j + +j − −j + +j ∓ ... = 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! « „ ϕ4 ϕ6 ϕ8 ϕ3 ϕ5 ϕ7 ϕ9 ϕ2 ϕ =1− + − + ∓ . . . +j − + − + ∓ ... , 2! 4! {z 6! 8! 3! 5! 7! 9! | } | 1! {z }

ejϕ = 1 + j

cos ϕ

sin ϕ

amelyben teh´at felismerhet˝o a cos ϕ ´es a sin ϕ hatv´anysora azzal a k¨ ul¨onbs´eggel, hogy a sin ϕ hatv´anysor´ahoz tartoz´o tagokban szerepel a j k´epzetes egys´eg. ´Igy ejϕ fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban is: ejϕ ≡ cos ϕ + j sin ϕ. (6.4)

Ez az un. Euler-rel´ aci´ o. L´athat´o, hogy |e jϕ | ≡ 1. Egy komplex sz´am teh´at fel´ırhat´o az Euler-alak seg´ıts´eg´evel is: z = rejϕ .

(6.5)

Egy komplex sz´ amnak teh´ at h´ arom alakja van. Azt, hogy mikor melyiket ´erdemes alkalmazni, p´eld´an kereszt¨ ul vizsg´aljuk meg. 2 Ezen ismeretek birtok´aban a (6.1) id˝of¨ uggv´enyt fel´ırhatjuk az Euler-rel´aci´onak megfelel˝oen: o n  s(t) = S cos(ωt + ρ) = Re Sej(ωt+ρ) = Re Sejωt ejρ . (6.6)

Ha a gerjeszt˝ojel k¨orfrekvenci´aja ω ´es a rendszer line´ aris, akkor a rendszer kimeneti jel´enek a k¨orfrekvenci´aja is ω lesz. Azaz a gerjeszt´es ´es a v´alasz k¨orfrekvenci´aja megegyezik, ´ıgy az e jωt t´enyez˝ovel nem kell foglalkoznunk, hiszen az csak az ω k¨orfrekvenci´at tartalmazza. A m´asik k´et t´enyez˝o neve egy¨ uttesen a komplex amplit´ ud´ o, vagy komplex cs´ ucs´ert´ek :  S = Sejρ ⇒ s(t) = Re Sejωt = Re {s(t)} . (6.7) 2

M´ ar most megjegyezz¨ uk, hogy az o ¨sszead´ ast ´es kivon´ ast az algebrai alakkal, a szorz´ ast ´es az oszt´ ast az Euler-alakkal lehet leggyorsabban elv´egeni. A trigonometrikus alak az el˝ obbi k´et alak k¨ ozti a ´tmenetet biztos´ıtja.

144

Ut´obbiban az s(t) = Sejωt az un. komplex pillanat´ert´ek, amely gyakorlatilag egy forg´o fazor: abszol´ ut ´ert´ek´et ´es kezd˝of´azis´at az S cs´ ucs´ert´ek ´es a ρ sz¨og adja, helyzete, azaz ahova a vektor mutat az ejωt fazor hat´arozza meg minden egyes t id˝opillanatban. Ez a fazor az o´ramutat´o j´ar´as´aval ellent´etes ir´anyban ω k¨orfrekvenci´aval forog ´es a val´os tengelyre vett vet¨ ulete adja a (6.1) id˝of¨ uggv´enyt. A k´epzetes tengelyre vett vet¨ ulete egy ugyanilyen amplit´ ud´oj´ u, f´azissz¨og˝ u ´es k¨orfrekvenci´aj´ u szinuszos jel. Az elmondottak illusztr´al´as´at szolg´alja a 6.3. a´bra, ahol az s(t) = 1, 5 cos ωt jel komplex reprezent´aci´oja (fazorja) ´es id˝of¨ uggv´enye l´athat´o (f = 10 Hz). Az a´br´an bejel¨olt¨ uk az egyes komplex pillanat´ert´eknek megfelel˝o f¨ uggv´eny´ert´eket is (pl. a ϕ = 110◦ -os f´azis a τ = 0, 03055 s id˝opillanatnak felel meg, ami a ϕ 2π anyp´arb´ol hat´arozhat´o meg). T = τ ar´ 2

2 110o 45o

0

1

s(t)

Im

1

0o 210o

-1

0

-1

-2

-2 -2

-1

0 Re

1

2

0

0.025

0.05 t[s]

0.075

0.1

6.3. a´bra. Egy folytonos idej˝ u szinuszos jel komplex pillanat´ert´ek´enek ´es id˝ of¨ uggv´eny´enek illusztr´ aci´ oja A k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´eseket a k´es˝obbiekben t¨obbsz¨or is alkalmazni fogjuk. 1.) Mivel a komplex cs´ ucs´ert´ek egy vektor, ez´ert k´et, s 1 (t) ´es s2 (t) szinuszos jel o¨sszege ´es k¨ ul¨onbs´ege egyszer˝ uen k´epezhet˝o trigonometrikus azonoss´agok felhaszn´al´asa n´elk¨ ul. A k´et jel komplex cs´ ucs´ert´ek´enek meghat´aroz´asa ut´an k´et vektor o¨sszeg´et kell 145

k´epezni: s(t) = s1 (t) ± s2 (t)

⇔

S = S1 ± S2.

(6.8)

2.) Egy K val´os sz´ammal v´egzett szorz´as a vektor hossz´at, azaz a cs´ ucs´ert´eket v´altoztatja meg: y(t) = Ks(t)

⇔

Y = KS.

(6.9)

Ha K > 0, akkor y(t) ´es s(t) f´azisban vannak, ha K < 0, akkor egym´ashoz k´epest 180◦ -kal vannak eltolva. 3.) A szinuszos jel deriv´altj´anak komplex cs´ ucs´ert´ek´ere a k´es˝obbiekben sz¨ uks´eg¨ unk lesz. K´epezz¨ uk h´at a (6.1) jel deriv´altj´at a deriv´al´asi szab´alyoknak megfelel˝oen: y(t) = s(t) ˙ = −ωS sin(ωt + ρ) = ωS cos(ωt + ρ +

π ), 2

(6.10)

azaz a deriv´alt jel siet π/2-lel az eredeti jelhez k´epest. ´Irjuk fel ugyanezt u ´ gy, hogy haszn´aljuk a komplex cs´ ucs´ert´ek ´es a komplex pillanat´ert´ek fogalm´at: 0   y(t) = s(t) ˙ = Re Sejωt = Re Sjωejωt , (6.11)

hiszen S egy konstans, s csak az ejωt tagot kell deriv´alni, ami pedig π jωejωt , tov´abb´a jω = ωej 2 az Euler-rel´aci´o szerint3 , azaz o n n π o π y(t) = ωRe Sej 2 ejωt = ωRe Sejωt ej 2 = n o (6.12) π π = ωRe Sej(ωt+ 2 ) = ωS cos(ωt + ρ + ), 2

ami term´eszetesen megegyezik az el˝obbi eredm´ennyel 4 . A (6.11) o¨sszef¨ ugg´esb˝ol l´athat´o, hogy ha egy s(t) szinuszos id˝obeli lefut´as´ u π

3

π

o Jegyezz¨ uk meg m´ ar most, hogy j = ej 2 ´es −j = e−j 2 , azaz ±j-vel val´ ◦ szorz´ as ±90 -os f´ azisforgat´ ast jelent. 4 Az ω tagot kiemelhetj¨ uk, mivel az egy val´ os sz´ am.

146

jelet id˝o szerint deriv´alunk, akkor az a komplex cs´ ucs´ert´ekekre a´tt´erve jω taggal t¨ort´en˝o szorz´ast jelent: y(t) = s(t) ˙

⇔

Y = jωS,

(6.13)

azaz az y(t) deriv´alt jel az s(t) jelhez k´epest f´azisban 90 ◦ -kal (π/2´ lel) siet. Altal´ anosan az n-edik deriv´alt ´es a komplex cs´ ucs´ert´ek kapcsolata a k¨ovetkez˝o: y(t) = s(n) (t) P´ elda.

⇔

Y = (jω)n S.

(6.14)

Adott k´et szinuszos jel id˝of¨ uggv´enye: s1 (t) = 5 cos(2t + 0, 25 π),

s2 (t) = −2 cos(2t).

Hat´arozzuk meg az s3 (t) = s01 (t), az s4 (t) = s2 (t) + s3 (t) ´es az s5 (t) = s1 (t − 0, 5) jelek id˝of¨ uggv´eny´et ´es komplex cs´ ucs´ert´ek´et. A p´eld´aban szerepl˝o fazorokat a 6.4. a´br´an a´br´azoltuk. 10 S4

S3

5

Im

S1 0

S2

S5

-5

-10 -10

-5

0 Re

5

10

6.4. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o fazorok Megold´ as. A jelek k¨orfrekvenci´aja azonos: ω = 2 rad s (SI egys´egben). A (6.1) id˝of¨ uggv´eny ´es a (6.7) defin´ıci´o alapj´an meg-

147

hat´arozhatjuk a k´et jel komplex cs´ ucs´ert´ek´et 5 : S 1 = 5ej0,25 π ,

S 2 = −2 = 2ejπ .

L´athat´o, hogy a cs´ ucs´ert´ek mindig pozit´ıv (S > 0). Az s 3 (t) jel komplex cs´ ucs´ert´eke a (6.13) alapj´an a k¨ovetkez˝o 6 : S 3 = j2 S 1 = j2 · 5ej0,25 π = 2ej0,5 π 5ej0,25 π = 10ej0,75 π , id˝of¨ uggv´enye pedig a (6.1) ´es (6.7) o¨sszef¨ ugg´esek szerint fel´ırhat´o: s3 (t) = 10 cos(2t + 0, 75 π). K´et komplex sz´am szorz´as´at ´es oszt´as´at az Euler-alak seg´ıts´eg´evel ´ c´elszer˝ u sz´amolni. Altal´ anosan teh´at: r1 ejα r2 ejβ = r1 r2 ej(α+β) ,

r1 ejα r1 = ej(α−β) . r2 ejβ r2

(6.15)

Az s4 (t) meghat´aroz´asa sor´an o¨sszead´ast kell v´egezni. Ekkor c´elszer˝ u a´tt´erni az algebrai alakra: S 2 = −2,

S 3 = 10ej0,75 π = 10 (cos(0, 75 π) + j sin(0, 75 π)) = = −7, 071 + j7, 071.

Adjuk o¨ssze h´at ezen k´et algebrai alakkal adott komplex sz´amot: S 4 = S 2 + S 3 = −2 − 7, 071 + j7, 071 = −9, 071 + j7, 071. A komplex cs´ ucs´ert´ek fel´ır´as´ahoz az Euler-alakot kell fel´ırni:

5

o n p 7,071 jarc tg −9,071 2 2 S 4 = 9, 071 + 7, 071 e = 11, 5e−j0,662 .

−2 = −2 + j0 = 2ejπ . Ez a vektor a val´ os tengellyel 180◦ -os sz¨ oget z´ ar be. Eleinte ´erdemes a fazort felrajzolni. 6 j2 = 0 + j2 = 2ej0,5 π . Ez a vektor a val´ os tengellyel 90◦ -os sz¨ oget z´ ar be.

148

Vigy´aznunk kell azonban a f´azis sz´am´ıt´asa sor´an! Itt a val´os r´esz negat´ıv, a k´epzetes r´esz pedig pozit´ıv, azaz a sz¨og biztosan nem lehet negat´ıv ´ert´ek˝ u (l. 6.2 a´bra). Ez teh´at a π − 0, 662 sz¨og lesz, amelynek ´ert´eke: 2, 48. 7 ´Igy a komplex cs´ ucs´ert´ek ´es az id˝of¨ uggv´eny helyes ´ert´eke a k¨ovetkez˝o: S 4 = 11, 5ej2,48

⇒

s4 (t) = 11, 5 cos(2t + 2, 48).

Az s5 (t) = s1 (t − 0, 5) jel id˝of¨ uggv´enye ´es komplex cs´ ucs´ert´eke a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: s1 (t − 0, 5) = 5 cos(2(t − 0, 5) + 0, 25 π) = 5 cos(2t − 1 + 0, 25 π) = = 5 cos(2t − 0, 215)

⇒

S 5 = 5e−j0,215 .

Az id˝obeli eltol´as teh´at f´azistol´ast jelent.

6.1.3.

Az ´ atviteli karakterisztika

Az a ´tviteli karakterisztika ´ es az a ´tviteli egy¨ utthat´ o fogalma, a v´ alaszjel sz´ am´ıt´ asa Ha egy folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, akkor a teljes v´alasz szabad o¨sszetev˝oje null´ahoz tart ´es a v´alasz egy id˝o ut´an megegyezik a gerjesztett o¨sszetev˝ovel. A szinuszos jel egy vizsg´ al´ ojel. Ha a gerjeszt´es szinuszos lefut´as´ u, akkor a v´alaszjel is szinuszos lesz ugyanazon k¨orfrekvenci´aval. Legyen h´at a gerjeszt´es is ´es a v´alasz is szinuszos: s(t) = S cos(ωt + ρ),

y(t) = Y cos(ωt + ϕ).

(6.16)

´Irjuk fel ezen jelek komplex cs´ ucs´ert´ek´et: S = Sejρ ,

Y = Y ejϕ .

7

(6.17)

Ez´ert kell felrajzolni mindig a fazor´ abr´ at, hogy l´ assuk a vektor v´egpontja melyik s´ıknegyedbe mutat. A mai sz´ amol´ og´epek azonban tudj´ ak az egyes alakok k¨ ozti helyes a ´tsz´ am´ıt´ ast (→ xy, → rΘ).

149

Szinuszos gerjeszt´es ´es v´alasz eset´en k´epezhetj¨ uk ezen k´et komplex mennyis´eg h´anyados´at, ami az un. a ´tviteli karakterisztika: 8 W = W (jω) = s(t) = S cos(ωt + ρ)

-

S=

W (jω)

Sejρ

Y . S

(6.18) y(t) = Y cos(ωt + ϕ) -

Y =Y

ejϕ

Az a´tviteli karakterisztika egy rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny, ´es az ω k¨orfrekvencia f¨ uggv´enye, amely adott k¨orfrekvenci´an (ami a gerjeszt´es k¨orfrekvenci´aja) megadja a v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´ek´et a gerjeszt´es komplex cs´ ucs´ert´ek´enek f¨ uggv´eny´eben: Y = W S,

(6.19)

amelyb˝ol a v´alasz y(t) id˝of¨ uggv´enye meghat´arozhat´o a komplex cs´ ucs´ert´ek defin´ıci´oj´anak megfelel˝oen. Fontos megjegyezni, hogy az a´tviteli karakterisztika egy adott k¨orfrekvenci´an egy komplex sz´am, amely megadja azt, hogy ezen k¨orfrekvenci´an a rendszer hat´as´ara mennyivel fog k¨ ul¨onb¨ozni a v´alaszjel amplit´ ud´oja 9 ´es f´azisa a gerjeszt´es amplit´ ud´oj´at´ol ´es f´azis´at´ol. Az a´tviteli karakterisztika egy adott k¨orfrekvenci´an az un. a ´tviteli egy¨ utthat´ o: jφ W = Ke , ahol K = |W | az a´tviteli egy¨ utthat´o abszol´ ut ´ert´eke, azaz nagys´aga, ´es φ = arcW az a´tviteli egy¨ utthat´o sz¨oge a vizsg´alt k¨orfrekvenci´an. A v´alaszjel teh´at az al´abbiak szerint sz´am´ıthat´o: Y = W S = Kejφ Sejρ = KSej(φ+ρ) , 8

(6.20)

am, a W (jω) K´et jel¨ ol´esi m´ od is van: a W azt jelzi, hogy ez egy komplex sz´ pedig azt is, hogy ez a jω f¨ uggv´enye. Ezen k´et jel¨ ol´es term´eszetesen ekvivalens. 9 Az a ´tviteli karakterisztika m´er´essel u ´gy vehet˝ o fel, hogy egy adott amplit´ ud´ oj´ u ´es adott f´ azis´ u szinuszosan v´ altoz´ o gerjeszt˝ ojelet kapcsolunk a rendszer bemenet´ere, amelynek azt´ an v´ altoztatjuk a frekvenci´ aj´ at ´es minden egyes frekvenci´ an m´erj¨ uk a kimeneti jel amplit´ ud´ oj´ at ´es f´ azis´ at. Ez megtehet˝ o pl. egy k´etcsatorn´ as oszcilloszk´ op seg´ıts´eg´evel. A m´ert adatokat pedig r¨ ogz´ıtj¨ uk. Az a ´tviteli karakterisztika a ´br´ azol´ asi lehet˝ os´egeivel k´es˝ obb foglalkozunk.

150

´es ´ıgy a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a k¨ovetkez˝o: y(t) = |{z} KS cos(ωt + (φ + ρ)) = Y cos(ωt + ϕ). | {z } Y

(6.21)

ϕ

Megadtuk teh´at az a´tviteli karakterisztika defin´ıci´oj´at ´es azt, hogy hogyan lehet alkalmazni a szinuszosan gerjesztett v´alasz sz´am´ıt´as´aban. A k¨ovetkez˝okben azt vizsg´aljuk, hogy mik´ent hat´arozhatjuk meg az a´tviteli karakterisztik´at az a´llapotv´altoz´os le´ır´as, ´es a rendszeregyenlet ismeret´eben. Valamilyen kapcsolat nyilv´an kell legyen, hiszen mindh´arom le´ır´as ugyanazon rendszer m´as-m´as matematikai megfogalamaz´asa. Az a ´tviteli karakterisztika meghat´ aroz´ asa az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as alapj´ an Egy folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es gerjeszt´es-v´ alasz stabilis SISO-rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak norm´alalakja a k¨ovetkez˝o: x(t) ˙ = Ax(t) + bs(t), y(t) = cT x(t) + Ds(t),

(6.22)

ahol x(t) ´es x(t) ˙ az a ´llapotvektor ´es annak id˝o szerinti els˝o deriv´altja, s(t) ´es y(t) a rendszer szinuszos gerjeszt´ese ´es v´alasza, A a rendszerm´ atrix, a b ´es cT vektorok, valamit a D skal´ar pedig a norm´alalakban szerepl˝o megfelel˝o egy¨ utthat´okat tartalmazz´ak. Ha a rendszer nem gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, akkor ezen levezet´es eredm´enyek´epp kapott a ´tviteli karakterisztik´ aval sz´ am´ıtott gerjesztett v´ alasznak nincs fizikai tartalma (l. 58. oldal). El˝osz¨or SISO-rendszerekkel foglalkozunk, majd a kapott eredm´enyt a´ltal´anos´ıtjuk. Mivel a gerjeszt´es, ´es ´ıgy a v´alasz is szinuszosan v´altozik, a´tt´erhet¨ unk a komplex le´ır´asi m´odra, azaz haszn´aljuk fel a komplex 151

cs´ ucs´ert´ek fogalm´at valamint a (6.13) o¨sszef¨ ugg´est: jω X = AX + bS, Y = cT X + DS.

(6.23)

Ezt megtehetj¨ uk, hiszen ha ezen egyenletekben szerepl˝o o¨sszes komplex cs´ ucs´ert´eket szorozzuk e jωt -vel (komplex pillanat´ert´ek), majd ezeknek vessz¨ uk a val´os r´esz´et, akkor pontosan az id˝otartom´anybeli anal´ızisb˝ol ismert a´llapotv´altoz´os le´ır´ast kapjuk. Az els˝o egyenletb˝ol X kifejezhet˝o: jω X = AX + bS azaz

⇒

(jωE − A) X = bS,

X = (jωE − A)−1 bS,

(6.24)

ahol E az N -edrend˝ u egys´egm´atrix. A v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´ek´et megkapjuk, ha a kapott eredm´enyt Y kifejez´es´ebe visszahelyettes´ıtj¨ uk: h i Y = cT (jωE − A)−1 b + D S. (6.25) Ut´obbib´ol az a´tviteli karakterisztika kifejezhet˝o: W =

Y = cT (jωE − A)−1 b + D, S

(6.26)

azaz egy komplex elem˝ u m´atrixot kell invert´alni. P´elda kapcs´an l´atni fogjuk, hogy az a ´tviteli karakterisztika a jω v´ altoz´ o racion´ alis f¨ uggv´enye val´ os egy¨ utthat´ okkal, vagyis az a ´tviteli karakterisztika egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es. Mindez MIMO-rendszerekre a k¨ovetkez˝ok´epp fejezhet˝o ki: W = C (jωE − A)−1 B + D, 152

(6.27)

ami az a ´tvitelikarakterisztika-m´ atrix, melynek ij idnex˝ u eleme megadja az i-edik kimenet ´es a j-edik bemenet k¨oz¨ott fenn´all´o a´tviteli karakterisztik´at u ´ gy, hogy k¨ozben az o¨sszes t¨obbi bemeneten nincs jel: Y i , i = 1, . . . , Ny , j = 1, . . . , Ns . (6.28) W ij = S j S k =0,k6=j P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi a´llapotv´altoz´os le´ır´as a´ltal megadott rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´at ´es adjuk meg a gerjesztett v´alasz id˝of¨ uggv´eny´et, ha s(t) = 2 cos(20 t + π/3).        1 x1 (t) 0 −3 x˙ 1 (t) s(t), + = 5 x2 (t) 1 −4 x˙ 2 (t)     x1 (t) y(t) = 0 1 . x2 (t)

Megold´ as. Ezt a feladatot k´etf´elek´epp is megoldhatjuk. Az (a) pontban az itt bemutatott m´odszert k¨ovetj¨ uk, a (b) pontban az a´llapotv´altoz´os le´ır´ast mint egyenletrendszert kezelj¨ uk, ´es az Y /S h´anyadost fejezz¨ uk ki bel˝ole. (a) A levezet´es alapj´an ´ırhatjuk, hogy W = cT (jωE − A)−1 b + D. Helyettes´ıts¨ uk be a megadott m´atrixot ´es vektorokat:  −1     jω 3 1 W = 0 1 . −1 jω + 4 5

Hat´arozzuk meg az inverz m´atrixot. Egy N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix inverze is N -edrend˝ u kvadratikus m´atrix. A m´atrix inverz´enek meghat´aroz´as´ara szolg´al a k¨ovetkez˝o, line´aris algebr´ab´ol ismert o¨sszef¨ ugg´es: (jωE − A)−1 =

adj (jωE − A) , |jωE − A|

153

(6.29)

ahol adj (jωE − A) a jωE − A m´atrix adjung´alt m´atrixa ´es |jωE − A| a m´atrix determin´ansa. Az adjung´alt ´es a determin´ans meghat´aroz´as´aval m´ar foglalkoztunk: adj (jωE − A) =



jω + 4 1 −3 jω

T

=



jω + 4 −3 1 jω



,

|jωE − A| = jω(jω + 4) + 3 = (jω)2 + 4jω + 3.

A determin´ans teh´at jω polinomja, ´es alakilag megegyezik a |λE − A| determin´ansb´ol k´epzett polinommal, amely egy aszimptotikusan stabil (teh´at gerjeszt´es-v´alasz stabil) rendszert ´ır le, ha minden saj´at´ert´ek negat´ıv val´os r´esz˝ u (l. 59. oldalon), itt λ 1 = −1 ´es λ2 = −3. Az ezzel t¨ort´en˝o oszt´ast hagyhatjuk a m˝ uveletsor v´eg´ere a sok t¨ort elker¨ ul´ese ´erdek´eben, azaz az a´tviteli karakterisztika sz´aml´al´oja a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: ˆ

0

1

˜

»

jω + 4 1

−3 jω

–»

1 5

–

=

ˆ

0

1

˜

»

jω + 4 − 15 1 + jω5

–

= 1 + jω5,

s ´ıgy az a´tviteli karakterisztika a k¨ovetkez˝o: W =

5(jω) + 1 Y = . (jω)2 + 4(jω) + 3 S

T´erj¨ unk most vissza a (6.29) o¨sszef¨ ugg´esre ´es alak´ıtsuk a´t ennek megfelel˝oen a (6.26) egyenletet: W = cT (jωE − A)−1 b + D = cT

adj (jωE − A) b + D, |jωE − A|

majd hozzunk k¨oz¨os nevez˝ore: W =

cT adj (jωE − A) b + |jωE − A|D . |jωE − A|

(6.30)

Jelen feladat megold´asa sor´an ezt az alakot haszn´altuk. El˝osz¨or teh´at meghat´aroztuk az adjung´alt m´atrixot, seg´ıts´eg´evel pedig 154

az a´tviteli karakterisztika sz´aml´al´oj´at, majd a determin´ans meghat´aroz´as´aval annak nevez˝oj´et. A p´eld´aban D = 0 volt. Term´eszetesen ak´ar (6.26), ak´ar (6.30) alkalmazhat´o. Hat´arozzuk meg ezut´an a gerjesztett v´alaszt: Y = W ω=20 S,

ucs´ert´eke: S = 2e jπ/3 , a W ´ert´ek´et ahol S a gerjeszt´es komplex cs´ pedig meg kell hat´arozni a gerjeszt´es a´ltal megszabott ω = 20 rad s k¨orfrekvenci´an, ami az a´tviteli egy¨ utthat´o: 10 W ω=20 =

5(j20) + 1 1 + j100 100ejπ/2 = = , (j20)2 + 4(j20) + 3 −397 + j80 404, 98 ej2,943

aminek ´ert´eke 0, 247e−j1,372 , ´es azt adja meg, hogy a v´alaszjel cs´ ucs´ert´eke a gerjeszt´es cs´ ucs´ert´ek´enek 0, 247-szerese, a v´alaszjel f´azisa pedig a gerjeszt´es f´azis´ahoz k´epest 1, 372 rad sz¨oggel k´esik. ´Igy a v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´eke a k¨ovetkez˝o: Y = W ω=20 S = 0, 247e−j1,372 2ejπ/3 = 0, 494e−j0,325 , ami az

y(t) = 0, 494 cos(20t − 0, 325).

id˝of¨ uggv´enynek felel meg.11 Ugyanazon rendszer k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨orfrekvenci´aj´ u jelekre adott v´alasza k¨ ul¨onb¨oz˝o. A bemenet ´es a kimenet k¨ozti kapcsolatot ebben az esetben teh´at az a´tviteli karakterisztika biztos´ıtja. 10 K´et komplex sz´ am h´ anyados´ at az Euler-alak seg´ıts´eg´evel c´elszer˝ u elv´egezni, mert ´ıgy az eredm´eny sz´ amunkra kedvez˝ o, hiszen az egy Euleralak lesz, amivel a k¨ ovetkez˝ o l´ep´esben u ´gyis szorz´ ast kell elv´egezni. Ez term´eszetesen elv´egezhet˝ o u ´gy is, hogy a t¨ ortet beszorozzuk egy olyan t¨ orttel, amelynek sz´ aml´ al´ oja is ´es nevez˝ oje is megegyezik ezen t¨ ort nevez˝ oj´enek konjug´ altj´ aval. 11 Gyakorl´ ask´epp hat´ arozzuk meg a rendszer v´ alasz´ at, ha a gerjeszt´es s(t) = 2 cos(0, 2t + π/3). A v´ alasz ekkor y(t) = 0, 922 cos(0, 2t + 1, 568), az a ´tviteli ˛ t´enyez˝ o pedig a k¨ ovetkez˝ o: W ˛ω=0,2 = 0, 461ej0,521 .

155

A p´eld´ab´ol ´erz´ekelhet˝o, hogy ha a line´aris, invari´ans rendszer gerjeszt´ese szinuszos, akkor a komplex sz´am´ıt´asi m´od sokkal egyszer˝ ubb, mint a konvol´ uci´oval t¨ort´en˝o sz´am´ıt´as, vagy ak´ar az a´llapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa az id˝otartom´anyban. (b) Ezen p´eld´an kereszt¨ ul bemutatjuk, hogy az a´llapotv´altoz´os le´ır´assal adott rendszer a´tviteli karakterisztik´aja nem csak a (6.26) vagy a (6.30) szerint hat´arozhat´o meg. A k¨ovetkez˝okben bemutatott m´odszer azonban egyenletrendszer megold´as´at ig´enyli. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja id˝otartom´anyban ´es komplex cs´ ucs´ert´ekek seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝o: 12    x˙ 1 = −3x2 + s,  jωX 1 = −3X 2 + S, x˙ = x1 − 4x2 + 5s ⇒ jωX 2 = X 1 − 4X 2 + 5S  2  y = x2 . Y = X 2. Ut´obbi egyenletrendszert mindig u ´ gy kell alak´ıtani, hogy abb´ol az a´tviteli karakterisztika alakj´at kapjuk. A megold´as menete a k¨ovetkez˝o. Fejezz¨ uk ki az els˝o k´et egyenletb˝ol az ismeretlennek tekintett a´llapotv´altoz´ok komplex cs´ ucs´ert´ek´et az ismertnek tekintett S gerjeszt´essel, majd helyettes´ıts¨ uk vissza azokat (jelen esetben csak az X 2 -t) az utols´o egyenletbe. Az a´llapotv´altoz´okat teh´at ki kell ejteni az egyenletekb˝ol. Ez´altal kapunk egy olyan egyenletet, amely csak az Y -t ´es az S-et tartalmazza. Jelen p´eld´an´al maradva, fejezz¨ uk ki pl. az X 1 v´altoz´ot az els˝o egyenletb˝ol: X1 = −

3 1 X 2 + S, jω jω

majd helyettes´ıts¨ uk vissza ezt a m´asodik egyenletbe: jωX 2 = −

3 1 X 2 + S − 4X 2 + 5S. jω jω

12 Egy integr´ ator bemenete teh´ at az a ´llapotv´ altoz´ o komplex cs´ ucs´ert´eke jωval szorozva, kimenete pedig az a ´llapotv´ altoz´ o komplex cs´ ucs´ert´eke.

156

Szorozzuk be ezen egyenletet jω-val u ´ gy, hogy a jω tagokat polinomk´ent kezelj¨ uk: (jω)2 X 2 = −3X 2 + S − jω4X 2 + jω5S. Rendezz¨ uk a´t ezen egyenletet u ´ gy, hogy a bal oldalon csak X 2 , a jobb oldalon pedig csak S a´lljon, tov´abb´a vegy¨ uk figyelembe azt, hogy ebben a p´eld´aban Y = X 2 : (jω)2 Y + jω4Y + 3Y = S + jω5S, majd rendezz¨ uk a kapott eredm´enyt a szok´asos alakra: W =

Y 5(jω) + 1 . = (jω)2 + 4(jω) + 3 S

A (b) pontban k¨oz¨olt megold´as alacsony rendsz´am eset´en nagyon egyszer˝ u: egy egyenletrendszert kell a k´ıv´ant alakra hozni, amelyben a gerjeszt´es komplex cs´ ucs´ert´ek´et ismertnek tekintj¨ uk, s minden m´as v´altoz´ot ismeretlennek, de csak a v´alasz komplex cs´ ucs´ert´ek´ere kell koncentr´alnunk. Az (a) pontban k¨oz¨olt megold´as csak alacsony foksz´am (N ≤ 3) eset´en v´egezhet˝o el pap´ıron, azonban sz´am´ıt´astechnikailag fontos eredm´eny. Az a ´tviteli karakterisztika ´ es a rendszeregyenlet kapcsolata. R¨oviden bemutatjuk, hogy a rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´ab´ol a rendszer rendszeregyenlete meghat´arozhat´o, ´es ford´ıtva. Az a´tviteli karakterisztika teh´at egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es: Pn bi (jω)n−i Y i=0 P , W = = (6.31) (jω)n + ni=1 ai (jω)n−i S

Szorozzunk ezut´an keresztbe: Y

n

(jω) +

n X

ai (jω)

n−i

i=1

157

!

=S

n X i=0

bi (jω)n−i .

Ha most figyelembe vessz¨ uk, hogy a jω t´enyez˝ovel v´egzett szorz´as a (6.13) ´es (6.14) o¨sszef¨ ugg´esek szerint az id˝otartom´anyban id˝o szerinti deriv´al´as felel meg, akkor ´ırhatjuk, hogy y

(n)

(t) +

n X

ai y

(n−i)

(t) =

i=1

n X

bi s(n−i) (t),

i=0

ami pontosan a rendszeregyenlet. Ez a m˝ uveletsorozat term´eszetesen visszafel´e is elv´egezhet˝o, azaz az a´tviteli karakterisztika meghat´arozhat´o a rendszeregyneletb˝ol is. Figyelj¨ uk meg, hogy az a´tviteli karakterisztika nevez˝oj´enek polinomja alakilag pontosan a rendszeregyenletb˝ol k´epezhet˝o karakterisztikus polinom. Az a ´tviteli karakterisztika a ´br´ azol´ asa Az a´tviteli karakterisztika teh´at a jω v´altoz´o f¨ uggv´enye ´es azt adja meg, hogy a rendszer kimenet´enek amplit´ ud´oja ´es f´azisa hogy v´altozik meg a bemeneti szinuszos jel ugyanezen adataihoz k´epest adott ω k¨orfrekvenci´an: Y = W S. A W minden k¨orfrekvenci´an m´as ´es m´as komplex ´ert´ek˝ u sz´am, teh´at van amplit´ ud´oja ´es f´azisa. Ezek a´br´azol´as´ara terjedt el k´et m´odszer, k´et diagram: a Nyquistdiagram ´es a Bode-diagram. Mindkett˝o a W a´tviteli karakterisztika W = W (jω) = K(ω)ejφ(ω) (6.32) alakj´aban tal´alhat´o K(ω) un. amplit´ ud´ okarakterisztika, ´es φ(ω) un. f´ aziskarakterisztika a´br´azol´as´at realiz´alja elt´er˝o m´odon. Nyquist diagram. A Nyquist-diagram a K(ω)e jφ(ω) fazor v´egpontj´at a´br´azolja a −∞ < ω < ∞ intervallumban a komplex sz´ ams´ık on ´es ezen pontokat k¨oti o¨ssze, ahogy az a 6.5. a´br´an l´athat´o.13 Ez teh´at egy olyan g¨orbe, amelyr˝ol leolvashat´o az 13

A g¨ orbe az el˝ oz˝ oekben meghat´ arozott a ´tviteli karakterisztik´ ahoz tartozik (l. 154. oldal).

158

a´tviteli karakterisztika abszol´ ut ´ert´eke ´es f´azisa (vagy val´os ´es k´epzetes r´esze) egy-egy r¨ogz´ıtett ω k¨orfrekvenci´an. Az a´br´an berad es ω = 20 rad orfrekrajzoltuk az ω = 0, 2 rad s , ω = 2 s ´ s k¨ ´ azol´as´ahoz ki kell sz´amolni venci´akhoz tartoz´o fazorokat.14 Abr´ az a´tviteli karakterisztika amplit´ ud´oj´at ´es f´azis´at (vagy val´os ´es k´epzetes r´esz´et) n´eh´any k¨orfrekvenci´an, majd ezeket fel kell m´erni a komplex sz´ams´ıkon, ´es ezen pontokat o¨ssze kell k¨otni. A Nyquist-diagramot a negat´ıv k¨orfrekvenci´akra is szok´as a´br´azolni, ´ azonban a diagram szimmetrikus a val´os tengelyre. Erezhet˝ o, hogy egy pontos Nyquist-diagram felv´etele meglehet˝osen hosszadalmas elj´ar´as. Sz´am´ıt´og´eppel v´egezve a sz´am´ıt´asokat azonban pontos g¨orb´et kaphatunk, de ekkor is neh´ez lehet a leolvas´as. 15 1

ω>0 ω 1, akkor er˝ os´ıt´esr˝ol besz´el¨ unk, ´es ekkor KdB > 0, ha |A| < 1, akkor csillap´ıt´ asr´ol besz´el¨ unk, ´es ekkor KdB < 0. M´ar utaltunk arra, hogy egy negat´ıv sz´am Euleralakja a k¨ovetkez˝o: −A = Aejπ , ez´ert lesz ebben az esetben a f´aziskarakterisztika ±180◦ . 2.) Az (ω0 /jω)r t´enyez˝onek megfelel˝o amplit´ ud´okarakterisztika-elem ´es f´aziskarakterisztika-elem a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg. Ez az elem fel´ırhat´o az (ω0 /ω)r (1/j)r alakban is, amelynek m´asodik tagja egys´egvektor, ´es csak a f´azisforgat´as´ert felel˝os, ugyanis 1/j = −j = e−jπ/2 , s ´ıgy (1/j)r = (−j)r = e−jrπ/2 , azaz ω  0 , φ(ω) = −r 90◦ , (6.35) KdB (ω) = 20 r lg ω

azaz az r ∈ Z eg´esz sz´amt´ol f¨ ugg˝oen ∓20dB/D meredeks´eg˝ u egyenest kapunk az amplit´ ud´okarakterisztik´aban, amely az ω = ω 0 pontban metszi az abszcissz´at, mivel ekkor lg ωω00 = lg1 = 0 (ha r > 0, akkor a meredeks´eg negat´ıv, ha r < 0, akkor a meredeks´eg pozit´ıv, hiszen ez a karakterisztikaelem ford´ıtottan ar´anyos az ω k¨orfrekvenci´aval). A ∓20dB/D meredeks´eg abb´ol fakad, hogy m´ıg az ω = ω0 helyen az amplit´ ud´okarakterisztika ´ert´eke 0dB, addig az 1 dek´addal nagyobb frekvenci´an (az ω = 10ω 0 helyen) 20lg0, 1 = −20dB lesz (r = +1). A f´aziskarakterisztika pedig p´arhuzamos az ω tengellyel, ´ert´eke szint´en r ´ert´ek´et˝ol f¨ ugg. Ez a t´enyez˝o sok esetben nem szerepel. Ha ennek reciproka, azaz (jω/ω0 )r szerepel a sz´aml´al´oban, akkor az el˝oz˝oek v´ızszintes tengelyre vett t¨ uk¨ork´epe lesz mindk´et 164

karakterisztikaelem. Ezt u ´ gy lehet egyszer˝ uen bel´atni, hogy figyelembe vessz¨ uk, hogy  r  −r ω0 jω = , ω0 jω ´es az r mindk´et karakterisztikaelemben szorz´ok´ent szerepel, ami viszont el˝ojelet v´alt. 3.) Az els˝ ofok´ u t´enyez˝ o szerepelhet ak´ar a sz´aml´al´oban, ak´ar a nevez˝oben. Ha a nevez˝oben van, akkor mind az amplit´ ud´okarakterisztika, mind a f´aziskarakterisztika ,,lefel´e” t¨orik. Ez az egyszer˝ u k¨ozel´ıt´es onnan sz´armazik, hogy alacsony frekvenci´an (ω → 0) az els˝ofok´ u t´enyez˝o abszol´ ut ´ert´eke egyhez tart, melynek logaritmusa 0, magas frekvenci´akon (ω → ∞) pedig a t´enyez˝o nevez˝oje v´egtelenhez tart, s ´ıgy a t¨ort null´ahoz k¨ozel´ıt, amelynek logaritmusa −∞: 1 = 1, lim p ω→0 1 + (ω/ωj )2

1 lim p = 0. ω→∞ 1 + (ω/ωj )2

A t¨ or´esponti k¨ orfrekvenci´ a n, azaz az ω = ω j k¨orfrekvenci´ √ an az els˝ofok´ u t´enyez˝o 1/(1 +√j), amelynek abszol´ ut ´ert´eke 1/ 2, decibelben pedig 20 lg(1/ 2) ' −3dB. Ezt az ´ert´eket azonban null´anak vessz¨ uk, s ´ıgy ezen a k¨orfrekvenci´an lesz a legnagyobb elt´er´es a k¨ozel´ıt˝o karakterisztika ´es a val´odi karakterisztika k¨oz¨ott. Ez a pont az un. t¨ or´espont, s ez´ert h´ıvj´ak ezt az a´br´azol´asi m´odot t¨ or´espontos karakterisztik´ a nak. Enn´el egy dek´addal nagyobb k¨orfrekvenci´an az els˝ofok´ u t´enyez˝o 1/(1 + 10j) ' 1/(10j), amelynek abszol´ ut ´ert´eke 0, 1, decibelben kifejezve pedig pont −20dB. Ez´ert az ω > ωj k¨orfrekvenci´akon az egyenes meredeks´ege −20dB/D lesz. M´egegy dek´addal magasabb k¨orfrekvenci´an az els˝ofok´ u t´enyez˝o 1/(1+100j) ' 1/(100j), amelynek abszol´ ut ´ert´eke 0, 01, decibelben kifejezve pedig pont −40dB. A val´odi ´ert´ekt˝ol val´o elt´er´es egyre kisebb lesz ´es a h´ uzott egyenesek aszimptotiku-

165

san simulnak a val´odi g¨orb´ehez.20 A f´aziskarakterisztika ´ert´eke a t¨or´esponti k¨orfrekvenci´an az 1/(1+j) komplex sz´amb´ol kiindulva pontosan −45 ◦ , egy dek´addal magasabb k¨orfrekvencian az 1/(1 + 10j) ' 1/(10j) = −j0, 1 k¨ozel´ıt´es miatt −90◦ , egy dek´addal kisebb k¨orfrekvenci´an pedig az 1/(1 + 0, 1j) ' 1 k¨ozel´ıt´es miatt 0 ◦ lesz a k¨ozel´ıt˝o f´aziskarakterisztika ´ert´eke. Ebb˝ol fakad a −45 ◦ /D meredeks´eg. A legnagyobb elt´er´es a val´odi g¨orb´ehez k´epest a 0 ◦ -os ´es a −90◦ -os t¨or´espontokn´al van.21 Ha az els˝ofok´ u tag a sz´aml´al´oban szerepel, akkor az amplit´ ud´okarakterisztika ,,felfel´e” t¨orik, szimmetrikusan az el˝obb elmondottakra. A f´aziskarakterisztik´at illet˝oen k´et eset lehets´eges. Ha negat´ıv el˝ojel szerepel a kifejez´esben (1 − ωjωi ), akkor a fentiekben elmondottak ´erv´enyesek, ellenkez˝o esetben pedig a f´aziskarakterisztika is ,,felfel´e” t¨orik. Megjegyezz¨ uk, hogy a sz´aml´al´oban az el˝obb eml´ıtett el˝ojel lehet pozit´ıv is, negat´ıv is. A nevez˝oben a stabilit´asi krit´erium teljes¨ ul´ese miatt azonban csak pozit´ıv el˝ojel szerepelhet (l. 59. oldal). P´ elda. V´azoljuk fel a m´ar kisz´amolt a´tviteli karakterisztika Bode-diagramj´at. Megold´ as. Hozzuk az a´tviteli karakterisztik´at a k´ıv´ant gy¨okt´enyez˝os alakra. Sz´am´ıtsuk ki a nevez˝o gy¨okeit (ha a sz´aml´al´o is legal´abb m´asodfok´ u, akkor term´eszetesen azt is ilyen alakra kell hozni): (jω)2 + 4jω + 3 = 0, ahonnan (jω)1 = −1, ´es (jω)2 = −3. 20

P´eld´ aul az

1 1+10j

−20, 043 dB. Az

t¨ ort abszol´ ut ´ert´eke √

1 1+100j

1

1+102

t¨ ort abszol´ ut ´ert´eke √

= 0, 0995, decibelben pedig 1

1+1002

= 0, 0099, decibelben

pedig −40, 000434 dB. 21 P´e`ld´ aul´ a 0, 1 ωj k¨ orfrekvenci´ an a f´ aziskarakterisztika ´ert´eke ozel´ıt´es sor´ an null´ anak vessz¨ uk. A arc tg 0,1ω ω ' 5, 7106◦ , s mi ezt a k¨ legnagyobb elt´er´es teh´ at kb. 5, 71◦ . A 90◦ -os t¨ or´espontn´ al ez az ´ert´ek ´ term´eszetesen ugyanennyi. Erdemes ezt is gyakorl´ ask´epp kisz´ amolni.

166

Ezen ´ert´ekek mindig negat´ıv ak kell legyenek, k¨ ul¨onben a rendszer nem gerjeszt´es-v´alasz stabilis. Az a´tviteli karakterisztika ´ıgy a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: 5jω + 1 W = . (jω + 1)(jω + 3) Mivel csak els˝ofok´ u t´enyez˝ok szerepelnek, ez´ert minden egyes unak kell lenni, hiszen ezen alakokra l´eteznek elemnek 1 + ωjωi alak´ egyszer˝ u t¨ortvonalas k¨ozel´ıt˝o g¨orb´ek. A sz´aml´al´ot a´t kell alak´ıtani u ´ gy, hogy 5 = 1/0, 2, a nevez˝o els˝o tagja rendben van, m´asodik tagj´ab´ol azonban ki kell emelni 3-at, teh´at jω

1 + 0,2 1 W = 3 (1 + jω 1 )(1 +

jω 3 )

.

Ez a v´egleges alak, amelyben szerepel egy konstans tag ´es h´arom els˝ofok´ u alak. A Bode-diagram ´ıgy m´ar felv´azolhat´o a fenti ismeretek birtok´aban. Ez a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki (a pontos g¨orbe ´es a t¨ortvonalas g¨orbe o¨sszehasonl´ıt´as´at l. a 6.6. a´br´an, ahol a t¨ortvonalas g¨orb´et szaggatott vonallal a´br´azoltuk): KdB (ω) 6 40

90◦

20

45◦ 0, 1

-20 -40

@

1@ @@10

-

ω

@ @@ @ @@ -45◦ @ @@ @ @@ @ @ ◦

-90

φ(ω) 6

@

@ @

0, 1@ @ 1 A 10

@ @ A @ @A @ @A @ @ @@ @

-

ω

Az amplit´ ud´okarakterisztik´aban a v´ızszintes vonal a 20lg 13 = −9, 542dB-n´el van, mindh´arom egyenes szakasz meredeks´ege azo167

nos: 20dB/D (a megfelel˝o el˝ojellel). A f´aziskarakterisztik´aban az egyes egyenes szakaszok meredeks´ege ±45 ◦ /D. Miut´an megrajzoltuk az egyes alaptagoknak megfelel˝o karakterisztik´akat, azokat o¨ssze kell adni. Ezt u ´ gy c´elszer˝ u megtenni, hogy az egyes t¨or´espontokn´al pl. f¨ ugg˝oleges vonalat h´ uzunk ´es ´ıgy l´atjuk azt, hogy mikor t¨ort´enik v´altoz´as a karakterisztika menet´eben. Ezut´an adjuk o¨ssze k´et ilyen vonal k¨oz¨ott a meredeks´egeket ´es h´ uzzunk egy ilyen meredeks´eg˝ u egyenest a k¨ovetkez˝o bejel¨olt vonalig, azaz a k¨ovetkez˝o t¨or´espontig. Ezen f¨ ugg˝oleges egyeneseket az a´br´an be is jel¨olt¨ uk. Az a´br´akon kis n´egyzettel bejel¨olt¨ uk a 155. oldalon kisz´amolt a´tviteli egy¨ utthat´ok abszol´ ut ´ert´ek´et ´es f´azis´at (W | ω=0,2 ´es W |ω=20 ). Ezek abszol´ ut ´ert´eke decibel egys´egben a k¨ovetkez˝o: 20lg0, 461 = −6, 726dB ´es 20lg0, 247 = −12, 146dB. Olvassuk le ezek ´ert´ek´et a diagramr´ol is. El˝obbi pont az els˝o t¨or´espontn´al tal´alhat´o, ´ert´eke a m´ar ismertetett 20lg 31 = −9, 542dB, s a k´et ´ert´ek k¨oz¨ott a maxim´alis elt´er´es tapasztalhat´o, ami kb. 3dB, a m´asik leolvashat´o ´ert´ek azonban el´eg pontosan meghat´arozhat´o a diagramb´ol. N´ezz¨ uk a radi´an egys´egben sz´am´ıtott f´azisok ´ert´ek´et: 0, 521 ´es −1, 372, amelyek rendre 29, 851 ◦ -nak ´es −78, 609◦ -nak felelnek meg. Az adatok kell˝o pontoss´aggal leolvashat´ok a g¨orb´ekr˝ol, ha azokat pl. millim´eterpap´ıron szerkesztj¨ uk meg. 4.) A k¨ovetkez˝okben r¨oviden t´argyaljuk a m´ asodfok´ u t´enyez˝ ok a´br´azol´asi m´odj´at, azaz a 1

Wl (jω) = 1+

2ξl ωjωl

+

 2 jω ωl

jelleg˝ u karakterisztikaelem amplit´ ud´okarakterisztik´aj´at ´es f´aziskarakterisztik´aj´at. Ezt az alakot akkor alkalmazzuk, amikor a nevez˝o  2 esetben a sz´aml´al´o) poli(vagy Wk (jω) = 1 + 2ξk ωjωk + ωjωk nomj´anak gy¨okei konjug´alt komplex p´art alkotnak, egy´ebk´ent az 168

el˝obbiekben elmondott els˝ofok´ u karakterisztikaelemeket kell alkalmazni. Alacsony frekvenci´an (ω → 0) ennek ´ert´eke egy val´os sz´am, amely pontosan 1, decibel egys´egben pedig 0dB, ´es f´azisa 0 ◦ . Az ω = ωl k¨orfrekvenci´an a karakterisztika a k¨ovetkez˝o alakot o¨lti: Wl (jωl ) = 1−

1  2 ωl ωl

+ j2ξl ωωll

=

1 , j2ξl

amelynek abszol´ ut ´ert´eke 1/(2ξ l ) ´es f´azisa az 1/j t´enyez˝o miatt pontosan −90◦ . Ezen k¨orfrekvencia k¨ornyezet´eben a diagram alakja f¨ ugg a ξl ´ert´ek´et˝ol. Egy dek´addal magasabb frekvenci´an, azaz az ω = 10ωl k¨orfrekvenci´an azt kapjuk, hogy Wl (j10ωl ) =

1 1 ' , −99 + j20ξl −100

amelynek kb. −40dB-es csillap´ıt´as (az amplit´ ud´okarakterisztika ω > ωl eset´en −40dB/D meredeks´eg˝ u egyenessel k¨ozel´ıthet˝o), ´es −180◦ -os f´azis felel meg. N¨ovelve a k¨orfrekvenci´at, aszimptotikusan ezen g¨orb´ekhez simul´o ´ert´ekeket kapunk. A m´asodfok´ u karakterisztikaelem Bode-diagramja l´athat´o ξ l k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekei mellett a 6.7. a´br´an. Az amplit´ ud´okarakterisztik´aba m´eg berajzoltuk a 0dB-es egyenest ´es a −40dB/D meredeks´eg˝ u aszimptot´at is, melyek az ωl k¨orfrekvenci´an metszik egym´ast. Ha ezen t´enyez˝o a sz´aml´al´oban szerepel, akkor az amplit´ ud´okarakterisztika az elmondottaknak pontosan a v´ızszintes tengelyre vett t¨ uk¨ork´epe, a f´aziskarakterisztika ξ k > 0 eset´en az el˝obbiek t¨ uk¨ork´epe, ξk < 0 eset´en pedig az el˝obbiekkel megegyez˝oen alakul.

169

20

10

ξ=0,1 ξ=0,2 ξ=0,3 ξ=1

0 0 φ(o)

KdB(ω)[dB]

90

ξ=0,1 ξ=0,2 ξ=0,3 ξ=1

-10 -90 -20

-30

-180 0.1

1 10 ω[rad/s]

100

0.1

1 10 ω[rad/s]

100

6.7. a´bra. A m´ asodfok´ u karakterisztikaelem Bode-diagramja k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ξl ´ert´ekek mellett (ωl = 2 rad s )

6.2.

Periodikus ´ alland´ osult v´ alasz sz´ am´ıt´ asa

Ebben a r´eszben a´ltal´anos periodikus jelekkel (pl. n´egysz¨ogjel, f˝ ur´eszfogjel, egyenir´any´ıtott szinuszos jel stb.) ´es az ilyen t´ıpus´ u ´ ıt¨ gerjeszt´esre adott v´alasz meghat´aroz´as´aval foglalkozunk. Ep´ unk az el˝oz˝o r´eszben megismert a´tviteli karakteriszika fogalm´ara, ´es a szinuszos gerjesztett v´alasz meghat´aroz´as´ara. Az a´ltal´anos periodikus gerjeszt´esre adott v´alasz sz´am´ıt´as´at ugyanis visszavezetj¨ uk a szinuszos gerjesztett v´alasz sz´am´ıt´as´ara. Tessz¨ uk ezt u ´ gy, hogy az s(t) periodikus gerjeszt´es id˝of¨ uggv´eny´et els˝o l´ep´esben szinuszos jelek o¨sszeg´ere bontjuk, majd az a´tviteli karakterisztika seg´ıts´eg´evel minden egyes szinuszos o¨sszetev˝ore adott v´alasz meghat´aroz´asa ut´an a r´eszv´alaszokat o¨sszegezz¨ uk, azaz szuperpon´aljuk. Ezt a rendszer linearit´ asa miatt tehetj¨ uk meg. Egy id˝ oben v´ altoz´ o folytonos idej˝ u s(t) jel akkor periodikus a T peri´ odusid˝ ovel, ha s(t + T ) = s(t),

∀t ∈ R.

(6.36)

Mint ismeretes a peri´odusid˝o reciproka a jel frekvenci´aja, f = 170

´ 1/T , k¨orfrekvenci´aja pedig az ω = 2π eg. AltaT = 2πf mennyis´ l´anos periodikus jelek eset´eben ezeket a mennyis´egeket alapfrekvenci´ a nak ´es alap-k¨ orfrekvenci´ a nak nevezz¨ uk.

6.2.1.

Folytonos idej˝ u periodikus jel Fourier-felbont´ asa

Els˝o l´ep´esben teh´at bontsuk fel a periodikus jelet szinuszos jelek o¨sszeg´ere. Ez az un. Fourier-felbont´ as, ami azt mondja ki, hogy tetsz˝ oleges periodikus jel el˝ oa ´ll´ıthat´ o olyan szinuszos jelek szuperpoz´ıci´ ojak´ent, amelyek k¨ orfrekvenci´ aja a k¨ ozel´ıtend˝ o periodikus jel k¨ orfrekvenci´ aj´ anak eg´esz sz´ am´ u t¨ obbsz¨ or¨ ose. M´ar az elej´en megjegyezz¨ uk, hogy folytonos idej˝ u jelek eset´eben a Fourier-felbont´as egy k¨ozel´ıt´ese az eredeti periodikus jelnek, ´es ezt a k¨ozel´ıt´est a k¨ovetkez˝ok´epp fogjuk jel¨olni: 22 s(t) ' sn (t),

(6.37)

ahol s(t) a felbontand´o periodikus jel, s n (t) pedig a jel Fouriersoros k¨ozel´ıt´ese v´eges tagsz´ammal: s(t) ' sn (t) = S0 +

n X  k=1

 SkA cos kωt + SkB sin kωt ,

(6.38)

amely egy n-edrend˝ u trigonometrikus k¨ ozel´ıt´es. Ez a Fourier23 o¨sszeg egyik val´ os alak ja. A k¨ozel´ıt´esben az S0 , az SkA ´es az SkB egyel˝ore ismeretlen konstansok, melyek meghat´aroz´as´aval foglalkozunk a k¨ovetkez˝okben. 22

F¨ uggv´enyek k¨ ozel´ıt´es´et f¨ uggv´enyek approxim´ aci´ oj´ anak is nevezz¨ uk, amelyre nagyon sok megold´ as ´es lehet˝ os´eg l´etezik. A Fourier-sor egy lehets´eges, jelen esetben nagyon j´ ol alkalmazhat´ o elj´ ar´ as. 23 Ha n → ∞, akkor besz´el¨ unk Fourier-sorr´ ol. A gyakorlatban v´egtelen tagb´ ol a ´ll´ oo ¨sszeget nem tudunk meghat´ arozni, ez´ert ´ırunk Fourier-¨ osszeget, vagy v´eges tagsz´ am´ u Fourier-sort a Fourier-sor kifejez´es helyett.

171

Egy k¨ ozel´ıt´est mindig valamilyen hibakrit´erium szerint kell elv´egezni. Ha az s(t) jelet a (6.38) kifejez´essel k¨ozel´ıtj¨ uk, akkor a Hn =

Hn (S0 , SkA , SkB )

1 = T

Z

T 0

[s(t) − sn (t)]2 dt

(6.39)

o¨sszef¨ ugg´es a´ltal defini´alt un. n´egyzetes (kvadratikus) k¨oz´ephiba akkor lesz minim´alis, ha az ismeretlen S 0 , SkA ´es SkB egy¨ utthat´okat az adott s(t) jel (f¨ uggv´eny) un. Fourier-egy¨ utthat´oik´ent hat´arozzuk meg.24 Az ok, ami´ert ezen krit´eriumot v´alasztjuk az, hogy ebben az esetben az egy¨ utthat´ok meghat´aroz´as´ara n ´ert´ek´et˝ol f¨ uggetlen formula adhat´o: Z 1 T S0 = s(t) dt, T 0 Z 2 T A s(t) cos kωt dt, Sk = T 0 Z 2 T B Sk = s(t) sin kωt dt. T 0

(6.40)

Az S0 ´ert´ek´et egyszer˝ u k¨ oz´ep´ert´ek nek, az S kA ´es SkB egy¨ utthat´okat pedig Fourier-egy¨ utthat´ ok nak nevezz¨ uk. Ennek igazol´as´ara helyettes´ıts¨ uk a (6.39) hibaf¨ uggv´enyben sn (t) hely´ebe a (6.38) k¨ozel´ıt´est: 1 Hn = T

Z

T 0

(

s(t) − S0 −

n X 

SkA cos kωt

k=1

24

+

SkB sin kωt

)2 

dt.

Ha n → ∞, akkor ezen n´egyzetes hiba null´ ahoz tart akkor, ha az s(t) jel korl´ atos (|s(t)| < ∞) ´es a t ∈ [0, T ] intervallumon legal´ abb szakaszonk´ent folytonos. Erre azt is mondj´ ak, hogy a Fourier-sor k¨ oz´ep´ert´ekben tart az adott f¨ uggv´enyhez. Ha az s(t) jel folytonos, akkor az sn (t) k¨ ozel´ıt´es pontonk´ent is konverg´ al az s(t) jelhez.

172

Egy hibaf¨ uggv´enynek ott van sz´els˝o´ert´eke (most a minimumot keress¨ uk), ahol a k´erd´eses param´eterek szerinti parci´alis deriv´altak valamennyien elt˝ unnek. Ezen sz´els˝o´ert´ek-keres´es c´elj´ab´ol k´epezz¨ uk a kapott Hn = Hn (S0 , SkA , SkB ) hiba parci´alis deriv´altjait az egyes param´eterek szerint: 2 ∂Hn = ∂S0 T

Z

∂Hn 2 = A ∂Sp T

Z

∂Hn 2 = ∂SpB T

Z

T 0 T 0 T 0

( ( (

S0 + S0 + S0 +

n X 

k=1 n X k=1 n X k=1

 

SkA cos kωt SkA cos kωt



+

SkB

sin kωt − s(t)

+

SkB



)

dt,

)

sin kωt − s(t) cos pωt dt, )



SkA cos kωt + SkB sin kωt − s(t) sin pωt dt.

Abban az esetben, ha ezen parci´alis deriv´altak az (S 0 , SkA , SkB ) konfigur´aci´oban mind null´at adnak, akkor azon a helyen a H n hib´anak sz´els˝o´ert´eke van (sz¨ uks´eges felt´etel). Itt p = 1, . . . , n, azaz 2n + 1 sz´am´ u egyenletet kapunk ´es pontosan 2n + 1 sz´am´ u ismeretlen van, ugyanis S0 , SkA ´es SkB (k = 1, . . . , n) az ismeretlen egy¨ utthat´ok. Az els˝o egyenletb˝ol S 0 , a m´asodikb´ok SkA , a harmadikb´ol pedig SkB hat´arozhat´o meg. Bontsuk fel teh´at a ∂Hn /∂S0 = 0 egyenletben szerepl˝o integr´alt. Mivel a parci´alis deriv´altat egyenl˝ov´e tessz¨ uk null´aval, a 2/T t´enyez˝o elhagyhat´o, a konstans param´eterek pedig kiemelhet˝ok az integr´al el´e: S0

Z

T

dt + 0

n X k=1

SkA

Z

T

cos kωt dt + 0

SkB

Z

T 0

!

sin kωt dt −

Z

T

s(t) dt = 0. 0

A szumm´aban szerepl˝o k´et integr´al ´ert´eke nulla ´es az els˝o integr´al ´ert´eke T , ahonnan S0 ´ert´eke k¨ozvetlen¨ ul ad´odik: Z Z T 1 T s(t) dt. T S0 − s(t) dt = 0 ⇒ S0 = T 0 0 A ∂Hn /∂SkA = 0 egyenlet eset´eben hasonl´oan j´arunk el. Bont173

suk fel a benne szerepl˝o integr´alt: S0

Z

T

Z

T

cos pωt dt +

0

+SkB

n X

SkA

k=1

sin kωt cos pωt dt

0

!

Z

−

T

cos kωt cos pωt dt+ 0

Z

T

s(t) cos pωt dt = 0.

0

Ebben az egyenletben az els˝o integr´al ´ert´eke nulla. A harmadik integr´al ´ert´eke szint´en nulla. 25 A m´asodik integr´al ´ert´eke csak p 6= k eset´en nulla, egy´ebk´ent T /2, ami miatt a szumma csak a p = k tagra egyszer˝ us¨odik.26 Ennek megfelel˝oen: Z T Z 2 T T A A s(t) cos kωt dt = 0 ⇒ Sk = S − s(t) cos kωt dt. 2 k T 0 0 A ∂Hn /∂SkB = 0 egyenletben szerepl˝o integr´alok felbont´asa a k¨ovetkez˝ot eredm´enyezi: S0

Z

T

Z

T

sin pωt dt +

0

+SkB

0

n X

SkA

k=1

sin kωt sin pωt dt

!

Z

−

T

cos kωt sin pωt dt+ 0

Z

T

s(t) sin pωt dt = 0.

0

Ebben az egyenletben az els˝o integr´al ´ert´eke szint´en nulla, a m´asodik integr´al ´ert´eke az el˝oz˝oek alapj´an lesz nulla. A harmadik 25 1 [sin(α − β) + sin(α + β)] azonoss´ ag alapj´ an A sin α cos β = 2 sin kωt cos pωt = 21 [sin(k − p)ωt + sin(k + p)ωt], amelynek integr´ alja az adott intervallumon mindig null´ at ad, hiszen szinuszos f¨ uggv´eny integr´ alja egy peri´ odusra null´ at ad eredm´eny¨ ul. 26 1 [cos(α − β) + cos(α + β)] azonoss´ ag alapj´ an A cos α cos β = 2 cos kωt cos pωt = 12 [cos(k − p)ωt + cos(k + p)ωt], amelynek integr´ alja az adott intervallumon p 6= k eset´en az el˝ obbi l´ abjegyzetben le´ırtakhoz hasonl´ oan null´ at ad. Ha p = k, akkor cos2 kωt = 12 + 12 cos 2kωt, melynek egy peri´ odusra vett integr´ alja pontosan T2 .

174

integr´al ´ert´eke csak p 6= k eset´en nulla, egy´ebk´ent T /2. 27 Ennek megfelel˝oen: Z Z T 2 T T B B s(t) sin kωt dt. s(t) sin kωt dt = 0 ⇒ Sk = S − 2 k T 0 0 A levezet´es sor´an kihaszn´altuk (´es l´abjegyzetben r¨oviden igazoltuk is) a trigonometrikus f¨ uggv´enyek un. ortogonalit´ as´at. K´et vektor akkor ortogon´alis, ha skal´aris szorzatuk null´at ad eredm´eny¨ ul. Az [a, b] intervallumon folytonos f¨ uggv´enyek a´ltal alRb kotott t´erben a skal´aris szorzat az f · g = a f (x)g(x) dx integr´alt jelenti. Ebben az esetben mindez a k¨ovetkez˝okre vezet: Z

T

sin kωt cos pωt dt = 0,

0

Z

T

Z

T

cos kωt sin pωt dt = 0,

(6.41)

cos kωt cos pωt dt = 0.

(6.42)

0

tov´abb´a p 6= k eset´en Z

T

sin kωt sin pωt dt = 0,

0

0

Ezen k´et o¨sszef¨ ugg´es eredm´enyezte teh´at azt, hogy a k = 1, . . . , n szerinti o¨sszegz´es egyetlen tagra reduk´al´odott. Ezzel a kiindul´ask´ent szolg´al´o (6.40) o¨sszef¨ ugg´eseket igazoltuk. A Fourier-¨osszeg egy m´asik val´ os alak ja a k¨ovetkez˝o: sn (t) = S0 +

n X

Sk cos(kωt + ρk ).

(6.43)

k=1

27 1 [cos(α − β) − cos(α + β)] A sin α sin β = 2 1 sin kωt sin pωt = [cos(k − p)ωt − cos(k + p)ωt], 2 az adott intervallumon p 6= k eset´en null´ at ad. sin2 kωt = 12 − 12 cos 2kωt, melynek egy peri´ odusra tosan T2 .

175

azonoss´ ag alapj´ an amelynek integr´ alja Ha p = k, akkor vett integr´ alja pon-

Erre a fel´ır´asra a k¨ovetkez˝o elnevez´esek haszn´alatosak: S 0 az s(t) jel egyszer˝ u k¨ oz´ep´ert´ek e, vagy a Fourier-¨osszeg a ´lland´ o tagja (egyen´aram´ u, vagy DC komponensnek is nevezik), a k = 1 sorsz´am´ u tag az alapharmonikus, a k > 1 (2ω, 3ω stb. k¨orfrekvenci´aj´ u) o¨sszetev˝ok pedig a felharmonikusok. A k´et val´os alak k¨oz¨otti kapcsolat a k¨ovetkez˝o: 28 Sk =

q

SkA


2


2 + SkB ,

ρk = −arc tg

SkB , SkA

(6.44)

´es29 SkA = Sk cos ρk ,

SkB = −Sk sin ρk .

(6.45)

A Fourier-¨osszegnek l´etezik egy komplex alak ja is, ami a (6.38) val´os alakb´ol vezethet˝o le a (6.40) o¨sszef¨ ugg´esek felhaszn´al´as´aval. Induljunk teh´at ki a Fourier-¨osszeg val´os alakj´ab´ol: sn (t) = S0 +

n X  k=1

 SkA cos kωt + SkB sin kωt ,

´es haszn´aljuk fel a k¨ovetkez˝o Euler-formul´akat: 30 cos kωt =

ejkωt + e−jkωt , 2

sin kωt =

ejkωt − e−jkωt , 2j

√ Az A cos(ωt) + B sin(ωt) = A2 + B 2 cos(ωt − arc tg{B/A}) o ¨sszef¨ ugg´es alapj´ an. Mintha az A − jB komplex sz´ amot a ´t´ırn´ ank Euler-alakra (a sz¨ ogre u ¨gyelj¨ unk). 29 A cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β azonoss´ ag alapj´ an ´ırhatjuk, hogy Sk cos(kωt + ρk ) = Sk cos kωt cos ρk − Sk sin kωt sin ρk , ahonnan a fenti eredm´enyek k¨ ovetkeznek. 30 Az Euler-ral´ aci´ ot ismerj¨ uk: ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ, ´ıgy: cos ϕ+j sin ϕ+cos ϕ−j sin ϕ ejϕ +e−jϕ = = cos ϕ, valamint 2 2 28

ejϕ −e−jϕ 2j

=

cos ϕ+j sin ϕ−cos ϕ+j sin ϕ 2j

= sin ϕ.

176

s ´ıgy ´ırhatjuk, hogy sn (t) = S0 +

n  X

e SkA

jkωt

k=1

jkωt − e−jkωt  + e−jkωt Be + Sk . 2 2j

Bontsuk fel ezut´an a t¨orteket: sn (t) = S0 +

n » X 1 k=1

2

SkA ejkωt +

– 1 A −jkωt 1 B jkωt 1 B −jkωt Sk e − jSk e + jSk e , 2 2 2

majd vonjuk o¨ssze az ejkωt ´es az e−jkωt egy¨ utthat´oit:   n X SkA − jSkB jkωt SkA + jSkB −jkωt sn (t) = S0 + , e + e 2 2 k=1

majd vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o komplex egy¨ utthat´okat: C

Sk =

SkA − jSkB , 2

azaz sn (t) = S0 +

 ∗ S A + jS B C k = k , Sk 2

n h i  ∗ X C C S k ejkωt + S k e−jkωt .

(6.46)

(6.47)

k=1

Eset¨ unkben az s(t) jel mindig val´os f¨ uggv´eny, amelyre igaz, hogy  ∗ C C S −k = S k . (6.48)

Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy S0 egy val´os sz´am.31 Ezen o¨sszef¨ ugg´es felhaszn´al´as´aval a (6.47) o¨sszef¨ ugg´essel ekvivalens, de egyszer˝ ubb alakra jutunk, ami a komplex Fourier-¨ osszeg alakja: sn (t) =

n X

C

S k ejkωt .

(6.49)

k=−n 31

Ha egy komplex sz´ am ´es konjug´ altja megegyezik, akkor az biztosan val´ os: a + jb = a − jb csak b = 0 eset´en lehets´eges.

177

Hogy ezt bel´assuk, ´ırjuk ki az o¨sszeget r´eszletesen: C

C

C

C

sn (t) = S −n e−jnωt + . . . + S −1 e−jωt + S0 + S 1 ejωt + . . . + S n ejnωt ,

majd haszn´aljuk fel a (6.48) o¨sszef¨ ugg´est: “ C ”∗ “ C ”∗ C C e−jωt + S0 + S 1 ejωt + . . . + S n ejnωt , sn (t) = S n e−jnωt + . . . + S 1

ami pontosan a (6.47) formula. C H´atravan m´eg a (6.49) szumm´aban szerepl˝o S k komplex Fourier-egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa. Felhaszn´aljuk a komplex egy¨ utthat´o (6.46) defin´ıci´oj´at ´es a (6.40) o¨sszef¨ ugg´eseket (az integr´alban szerepl˝o 2-es szorz´oval r¨ogt¨on egyszer˝ us´ıthet¨ unk): C

Z Z SkA − jSkB 1 T 1 T = s(t) cos kωt dt − j s(t) sin kωt dt = 2 T 0 T 0 Z 1 T s(t) [cos kωt − j sin kωt] dt, = T 0

Sk =

´es alkalmazzuk az integranduszban szerepl˝o komplex kifejez´esre az Euler-rel´aci´ot. ´Igy kapjuk a komplex Fourier-egy¨ utthat´o formul´aj´at: Z 1 T C Sk = (6.50) s(t) e−jkωt dt, T 0 amely o¨sszef¨ ugg´es k > 0 eset´en ´erv´enyes, az S 0 egy¨ utthat´o meghat´aroz´as´ara ugyan´ ugy t¨ort´enik, mint a val´os alak eset´en (l. (6.40) S0 -ra vonatkoz´o integr´al). Ha megvizsg´aljuk ezt az o¨sszef¨ ugg´est, ´eszrevehetj¨ uk, hogy a (6.48) felt´etelez´es val´os id˝of¨ uggv´eny eset´en val´oban helyt´all´o volt, hiszen  Z T ∗   Z 1 1 T C C ∗ s(t) ejkωt dt = s(t) e−jkωt dt = S k , S −k = T 0 T 0 ami teh´at megegyezik a komplex egy¨ utthat´o konjug´altj´aval. 178

Ha o¨sszevetj¨ uk a (6.40) ´es a (6.50) o¨sszef¨ ugg´eseket, azt vessz¨ uk ´eszre, hogy ut´obbi egyszer˝ ubb, hiszen egyetlen integr´alt kell meghat´arozni a Fourier-¨osszeg fel´ır´as´ahoz. C´elszer˝ u lehet teh´at ezt alkalmazni a sz´am´ıt´asok sor´an. A k¨ovetkez˝o felt´etelez´esek mellett a val´os alak is el˝ony¨osen alkalmazhat´o: • ha a jel p´ aros, akkor a val´os alak´ u o¨sszegben S kB ≡ 0 (csak koszinuszos tagokb´ol a´ll32 ), a komplex alak´ u o¨sszeg pedig val´os ´ert´ek˝ u, • ha a jel p´ aratlan, akkor a val´os alak´ u o¨sszegben S kA ≡ 0 33 (csak szinuszos tagokb´ol a´ll ), a komplex alak´ u o¨sszeg pedig k´epzetes ´ert´ek˝ u. Ezen o¨sszef¨ ugg´esek a (6.40) o¨sszef¨ ugg´esekb˝ol k¨ovetkeznek. Ugyanis, ha a jel p´aros, akkor SkB

2 = T

Z

T 2

2 = T

Z

0

2 =− T

Z

− T2

− T2

0

s(t) sin kωt dt = 2 s(t) sin kωt dt + T T 2

Z

T 2

s(t) sin kωt dt =

0

2 s(−t) sin kωt dt + T

Z

T 2

s(t) sin kωt dt = 0.

0

Ebben az esetben az s(t) jel szimmetrikus az ordin´at´ara, azaz s(−t) = s(t), de ugyanakkor sin(−kωt) = − sin(kωt), aminek k¨ovetkezt´eben a k´et integr´al egym´ast kiejti. Ha a jel p´aratlan, akkor s(−t) = −s(t), az S kA kifejez´es´eben szerepl˝o cos kωt viszont p´aros, ´ıgy az el˝oz˝oekhez hasonl´oan 32 33

Ezt u ´gy k¨ onny˝ u megjegyezni, hogy a koszinuszos jel is p´ aros. Ezt u ´gy k¨ onny˝ u megjegyezni, hogy a szinuszos jel is p´ aratlan.

179

fel´ırhat´o k´et integr´al egym´ast kiejti: SkA

2 = T

Z

2 T

Z

=−

2 T

=

T 2

− T2

s(t) cos kωt dt =

0 − T2

Z

s(t) cos kωt dt + T 2

2 T

s(t) cos kωt dt +

0

Z 2 T

T 2

s(t) cos kωt dt =

0

Z

T 2

s(t) cos kωt dt = 0.

0

Jegyezz¨ uk meg azt, hogy a val´os Fourier-¨osszeg egy¨ utthat´oinak sz´am´ıt´asa sor´an az integr´al 2-vel be van szorozva, a komplex Fourier-egy¨ utthat´o formul´aja pedig nincs. Abban az esetben, ha a komplex Fourier-egy¨ utthat´okat hat´arozzuk meg ´es a val´os Fourier-¨osszeget akarjuk megkapni, akkor a komplex Fourier-egy¨ utthat´okb´ol ki kell sz´amolni a val´os Fourier-¨osszeg egy¨ utthat´oit. Ezeket a (6.46) a´trendez´es´eb˝ol kaphatjuk meg: n o C SkA = 2 Re S k ,

n o C SkB = −2 Im S k .

(6.51)

Ezek seg´ıts´eg´evel a m´asik val´os alak is meghat´arozhat´o (6.44) szerint. A sz´am´ıt´as menet´et ´es az eredm´enyek a´br´azol´asi lehet˝os´eg´et lentebb p´eld´akon illusztr´aljuk. A Fourier-¨osszeg seg´ıts´eg´evel egyszer˝ uen meghat´arozhat´o a periodikus jel teljes´ıtm´enye, m´asn´even n´egyzetes k¨ oz´ep´ert´ek e, amelynek defin´ıci´oja ´es Fourier-¨osszeggel meghat´arozva a k¨ovetkez˝o: !2 Z Z n X 1 T 1 T 2 Sk cos(kωt + ρk ) s (t) dt ' S0 + dt. P = T 0 T 0 k=1 (6.52) 180

Ha a z´ar´ojelet az (a+b)2 = a2 +2ab+b2 azonoss´agnak megfelel˝oen felbontjuk, akkor a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´eshez jutunk: n

P = S02 +

1X 2 Sk . 2

(6.53)

k=1

Fontos megjegyezni, hogy az ´ıgy sz´am´ıtott teljes´ıtm´eny n n¨ovel´es´evel alulr´ol konverg´al a pontos ´ert´ekhez. uk P´ elda. Jelek Fourier-¨osszeg´enek meghat´aroz´as´ara k¨ovess¨ v´egig a k¨ovetkez˝o feladatot. Legyen a k´et Fourier-¨osszeggel k¨ozel´ıtend˝o jel az al´abbi: s(t) 16

s(t) A6 3 4T

Tt

-0,5

A sin ωt

   T 2

-

T

t

1. P´ elda megold´ asa. A feladat megold´asa sor´an a val´os Fourier-¨osszeg egy¨ utthat´oit sz´am´ıtjuk ki. Induljunk ki a (6.40) defin´ıci´os o¨sszef¨ ugg´esekb˝ol ´es kezelj¨ uk a T peri´odusid˝ot param´eterk´ent. Az S0 egy¨ utthat´o a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg: Z Z 3T Z T ! 4 1 T 1 S0 = s(t) dt = dt − 0, 5 dt = 3 T 0 T 0 T 4   3   1 1 3 1 T T 4 T − 0, 5 T = 0, 625. [t]0 − 0, 5[t] 3 T = = T 4 T 4 4 A peri´odusid˝o mindig ki kell essen a levezet´es sor´an, hiszen att´ol, hogy mekkora a jel peri´odusideje nem f¨ ugghet az egy¨ utthat´o 181

´ert´eke. Az S0 a jel egyszer˝ u k¨oz´ep´ert´eke, amely mindig egy konstans sz´am kell legyen. Az SkA egy¨ utthat´o kifejez´ese szint´en a defin´ıci´ob´ol kiindulva hat´arozhat´o meg:34 ! Z T Z 3T 4 2 A cos kωt dt = cos kωt dt − 0, 5 Sk = 3 T T 0 4   3T  ! 4 sin kωt T sin kωt 2 − 0, 5 = . T kω kω 3 0 T 4

Emelj¨ uk ki a nevez˝okb˝ol a kω tagot, ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy , ´ ıgy ´ ırhatjuk, hogy ω = 2π T SkA =

» „ « „ « „ «– 2π 3 2T 2π 2π 3 sin k T − 0 − 0, 5 sin k T + 0, 5 sin k T . T k2π T 4 T T 4

L´athat´o, hogy a peri´odusid˝o minden helyen kiesik. Az egyszer˝ us´ıt´esek ut´an vonjunk o¨ssze35 , s megkapjuk a v´egeredm´enyt:   1, 5 3 A Sk = sin k π , ha k > 0. kπ 2 Az SkB egy¨ utthat´o kifejez´ese hasonl´ok´epp kaphat´o meg: 36 ! Z 3T Z T 4 2 B Sk = sin kωt dt = sin kωt dt − 0, 5 3 T T 0 4 3   !  2 cos kωt T cos kωt 4 T = . − 0, 5 − − T kω kω 3 T 0 4

Emelj¨ uk ki a nevez˝okb˝ol a kω tagot, ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy ω = 2π , ´ ıgy ´ ırhatjuk, hogy T SkB =

» „ « „ « „ «– 2T 2π 3 2π 2π 3 − cos k T + 1 + 0, 5 cos k T − 0, 5 cos k T . T k2π T 4 T T 4

34

kωt . A cos kωt f¨ uggv´eny primit´ıv f¨ uggv´eny sinkω Vegy¨ uk figyelembe, hogy sin k2π = 0. 36 kωt A sin kωt f¨ uggv´eny primit´ıv f¨ uggv´enye: − coskω .

35

182

A peri´odusid˝o ism´et kiesik. Az egyszer˝ us´ıt´esek ut´an 37 kapjuk az egy¨ utthat´o kifejez´es´et:    3 1, 5 B 1 − cos k π , ha k > 0. Sk = kπ 2 Fontos megjegyezni, hogy az egy¨ utthat´ok csak k ´ert´ek´et˝ol f¨ uggenek, tov´abb´a, hogy a k (vagy annak hatv´anya) mindig a nevez˝oben szerepel. Ez azt jelenti, hogy k n¨oveked´es´evel egyre kisebb amplit´ ud´oj´ u szinuszos ´es koszinuszos jelek egyre nagyobb frekvenci´aval, azaz egyre finomabb m´odos´ıt´asokkal j´arulnak hozz´a a k¨ozel´ıt´eshez. A k¨ozel´ıt´es teh´at a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es szerint lehets´eges: s(t) ' 0, 625 + | {z } S0

n X k=1

(

) „ « «– » „ 1, 5 3 3 1, 5 sin k π cos kωt+ 1 − cos k π sin kωt . kπ 2 kπ 2 | | {z } {z } A Sk

B Sk

A val´os Fourier-egy¨ utthat´ok k´et alakj´at a k¨ovetkez˝o t´abl´azatban foglaljuk o¨ssze k = 0, 1, 2, 3 esetekre (ezt a k¨ovetkez˝o szakaszban felhaszn´aljuk38 ): k 0 1 2 3

SkA 0,625 -0,478 0 0,159

SkB 0 0,478 0,478 0,159

Sk 0,625 0,676 0,478 0,225

ρk 0◦ -135◦ -90◦ -45◦

A jel Fourier-egy¨ utthat´oit un. vonalas spektrummal szok´as a´br´azolni, amelynek v´ızszintes tengely´en a k¨orfrekvencia szerepel, de csak adott diszkr´et ´ert´ekeken ω k = kω, ahol ω az alapharmonikus k¨orfrekvenci´aja, f¨ ugg˝oleges tengely´en pedig az adott harmonikus komponens cs´ ucs´ert´eke ´es f´azisa szerepel (6.8. a´bra). 37 38

Vegy¨ uk figyelembe, hogy cos k2π = 1. A t´ abl´ azatbeli ´ert´ekeket gyakorl´ ask´epp ´erdemes lehet ellen˝ orizni.

183

180

0.6

90 ρk[o]

Sk

0.8

0.4

0.2

0

-90

0

-180 0

2

4

6

8

10

0

2

k

4

6

8

10

k

6.8. a´bra. A jel vonalas spektruma A Fourier-¨osszeggel k¨ozel´ıtett jel ´es az eredeti jel o¨sszehasonl´ıt´asa l´athat´o a 6.10. a´br´an. Az a´bra elemz´es´et a k¨ovetkez˝o p´elda ut´anra halasztjuk. 2. P´ elda megold´ asa. A feladat megold´asa sor´an a komplex Fourier-¨osszeg egy¨ utthat´oit sz´am´ıtjuk ki. Az el˝oz˝o p´eld´aban az s(t) id˝of¨ uggv´enye egy-egy intervallumban konstans volt, ebben a feladatban azonban az s(t) v´altozik az intervallumon bel¨ ul, ez´ert a levezet´es kiss´e hosszadalmasabb. A v´egeredm´enyeket A = 2 ´ert´ekkel sz´am´ıtjuk. Az S0 egyszer˝ u k¨oz´ep´ert´ek meghat´aroz´asa ugyan´ ugy t¨ort´enik, mint az el˝oz˝o esetben. Az integr´al´as fels˝o hat´ar´at T2 -nek v´alasztjuk, mert a peri´odus m´asodik fel´eben a jel nulla ´ert´ek˝ u, ´es az A konstanst kiemelj¨ uk az integr´aljel el´e: A S0 = T

Z

0

T 2

» –T » „ « – cos ωt 2 AT 2π T A A sin ωt dt = − = − cos +1 = . T ω T 2π T 2 π 0

C

Az S k komplex Fourier-egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa a k¨ovetkez˝ok szerint t¨ort´enik. Induljunk ki a (6.50) defin´ıci´os o¨sszef¨ ugg´esb˝ol: Z T 2 1 C A sin ωt e−jkωt dt. Sk = T 0 184

Az integrandusz primit´ıv f¨ uggv´eny´et nem tudjuk k¨ozvetlen¨ ul meghat´arozni. Haszn´aljuk ez´ert a parci´ alis integr´ al´ as szab´aly´at. 39 A k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket alkalmazzuk: −jkωt

u0 = e−jkωt u = e−jkω , v = sin ωt v 0 = ω cos ωt, ´ıgy ´ırhatjuk, hogy    T2 Z T −jkωt    −jkωt 2 e A sin ωt e C − Sk = ω cos ωt dt .  T  −jkω −jkω 0 0

Az els˝o tag ´ert´eke nulla. Vizsg´aljuk meg csak a sz´aml´al´ot:     T 2π 2π 2π T −jk 2π T 2 e − sin 0 e−jk T 0 = sin π e−jkπ − 0 = 0. sin T 2 T

Az integr´alban ω-val lehet egyszer˝ us´ıteni, ´es emelj¨ uk ki a nevez˝oben szerepl˝o jk tagot. A komplex Fourier-egy¨ utthat´o kifejez´ese teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o fel: C Sk

A = jkT

Z

T 2

cos ωt e−jkωt dt.

0

Ezen integrandusz primit´ıv f¨ uggv´enye sem ismert. Alkalmazzuk h´at m´egegyszer a parci´alis integr´al´as szab´aly´at a k¨ovetkez˝o jel¨ol´esekkel: −jkωt u0 = e−jkωt u = e−jkω , v = cos ωt v 0 = −ω sin ωt, azaz    T2 Z T −jkωt    −jkωt 2 e A cos ωt e C Sk = − ω sin ωt dt .  jkT  −jkω jkω 0 0 39

Rb a

u0 v = [uv]ba −

Rb a

uv 0 .

185

Hat´arozzuk meg el˝osz¨or az els˝o tag ´ert´ek´et:
−jk 2π T T T 2 cos 2π 1 −e−jkπ − 1 T 2 e T −T =T , −jk2π −jk2π −jk2π s ´ıgy a kifejez´es ´ert´eke a k¨ovetkez˝o lesz: C

Sk = A

A −e−jkπ − 1 + 2 2k 2 π k T

Z

T 2

sin ωt e−jkωt dt.

0

Ez a kifejez´es tartalmazza a kiindul´asban is szerepl˝o integr´alt. ´Irjuk fel h´at a kiindul´asi k´epletet ´es a parci´alis integr´al´as szab´aly´at felhaszn´al´o ut´obbi o¨sszef¨ ugg´est ´es tegy¨ uk azokat egyenl˝ove: A T

Z

T 2

sin ωt e−jkωt dt = A

0

−e−jkπ − 1 A + 2 2k 2 π k T

Z

T 2

sin ωt e−jkωt dt.

0

Rendezz¨ uk ezt a´t a k¨ovetkez˝ok´epp: A T

Z

T 2

sin ωt e

−jkωt

0

azaz C Sk

A = T

Z

T 2



 1 −e−jkπ − 1 dt 1 − 2 = A , k 2k 2 π

sin ωt e−jkωt dt = A

0

e−jkπ + 1 2π(1 − k 2 )

lesz a komplex Fourier-egy¨ utthat´ok kifejez´ese. Az Euler-rel´aci´o seg´ıts´eg´evel ezt a´t´ırhatjuk algebrai alakra: C

Sk = A

cos(kπ) + 1 sin(kπ) − jA , 2π(1 − k 2 ) 2π(1 − k 2 )

amelyb˝ol n o cos(kπ) + 1 C , SkA = 2 Re S k = A π(1 − k 2 ) n o sin(kπ) C SkB = −2 Im S k = A π(1 − k 2 ) 186

k¨ovetkezik. A Fourier-¨osszeg val´os alakja ezek seg´ıts´eg´evel m´ar fel´ırhat´o. Vizsg´aljuk meg el˝obb a kapott eredm´enyeket. L´atszik, hogy ha k = 1, akkor mindk´et esetben a sz´aml´al´o is ´es a nevez˝o is u, hat´arozatlan ´ert´ek˝ u h´anyadost null´av´a v´alik, azaz egy 00 alak´ 40 kapn´ank. Ebben az esetben a L’Hospital-szab´ alyt kell alkalmazni a t¨ort ´ert´ek´enek meghat´aroz´as´ara: −π sin kπ (cos(kπ) + 1)0 = A lim = 0, k→1 k→1 (π(1 − k 2 ))0 −2kπ A (sin(kπ))0 π cos kπ S1B = A lim = A lim = . 2 0 k→1 (π(1 − k )) k→1 −2kπ 2

S1A = A lim

A k > 1 egy¨ utthat´ok sz´am´ıt´asa m´ar nem jelent probl´em´at. Vegy¨ uk szem¨ ugyre a kapott val´os egy¨ utthat´okat. Ezek tov´abb egyszer˝ us´ıthet˝ok: SkA = A

(−1)k + 1 , π(1 − k 2 )

SkB = A

sin(kπ) = 0. π(1 − k 2 )

A k¨ozel´ıt˝o Fourier-¨osszeg teh´at a k¨ovetkez˝o lesz: " # n X (−1)k + 1 A A A cos ωt + + s(t) ' cos kωt . π 2 π(1 − k 2 ) |{z} |{z} k=2 | {z } S0

S1B

SkA

A Fourier-egy¨ utthat´okat a k¨ovetkez˝o t´abl´azatokban foglaljuk o¨ssze k = 0, 1, 2, 3, 4 esetekre: 40 Abban az esetben, ha egy t¨ ortf¨ uggv´eny helyettes´ıt´esi ´ert´eke 00 , vagy ∞ ∞ alak´ u, akkor a sz´ aml´ al´ o ´es a nevez˝ o deriv´ al´ asa ut´ an kapott t¨ ortf¨ uggv´eny (jelen esetben k → 1) hat´ ar´ert´ek´et kell meghat´ arozni. A deriv´ al´ ast k szerint kell elv´egezni.

187

0.6

90 ρk[o]

180

C

|Sk |

0.8

0.4

0.2

0

-90

0 -10

-5

0 k

5

-180 -10

10

-5

0 k

5

10

6.9. a´bra. A jel komplex spektrum´ anak a ´br´ azol´ asa k 0 1 2 3 4

C

Sk 2/π -j0, 5 -0, 212 0 -0, 042

C

|S k | 2/π 0, 5 0, 212 0 0, 042

C

arcS k 0◦ -90◦ 180◦ 0◦ 180◦

SkA 2/π 0 -0,424 0 -0,084

SkB 0 1 0 0 0

Sk 2/π 1 0,424 0 0,084

ρk 0◦ -90◦ 180◦ 0◦ 180◦

A komplex Fourier-egy¨ utthat´ok vonalas spektruma l´athat´o a 6.9. a´br´an. A spektrumnak teh´at a negat´ıv k ´ert´ekek mellett is van ´ert´eke, az amplit´ ud´o-spektrum p´aros f¨ uggv´eny, a f´azisspektrum ´ pedig p´aratlan f¨ uggv´eny. Erdemes megfigyelni a komplex spektrum ´es a val´os spektrum k¨oz¨otti o¨sszef¨ ugg´est a k´et t´abl´azat o¨sszehasonl´ıt´as´aval: a k = 0 elem megegyezik, a k > 0 elemek eset´eben azonban a val´os spektrum amplit´ ud´okarakterisztik´aja pont 2szerese a komplex spektrum amplit´ ud´okarakterisztik´aj´anak (S k = C 2|S k |), a k´et f´azisspektrum pedig megegyezik. A Fourier-¨osszeggel k¨ozel´ıtett jel ´es az eredeti jel o¨sszehasonl´ıt´asa l´athat´o a 6.10. a´br´an. A 6.10. a´br´ab´ol egy fontos konkl´ uzi´o olvashat´o le. Az els˝o n´egysz¨og alak´ u jel korl´atos ugyan, de szakad´asa van egy peri´oduson bel¨ ul. Ekkor a Fourier-k¨ozel´ıt´es a szakad´asi helyen a bal ´es

188

2

1

1

s(t)

s(t)

2

0

-1

-1

-2

-2 2

4 t[s]

6

8

2

2

1

1

s(t)

s(t)

0

0

-1

0

2

4 t[s]

6

8

0

2

4 t[s]

6

8

0

2

4 t[s]

6

8

0

-1

-2

-2 0

2

4 t[s]

6

8

2

2

1

1

s(t)

s(t)

0

0

-1

0

-1

-2

-2 0

2

4 t[s]

6

8

6.10. a´bra. A p´eld´ akban szerepl˝ o f¨ uggv´enyek ´es a Fourier-¨ osszeggel t¨ ort´ent k¨ ozel´ıt´es¨ uk o ¨sszehasonl´ıt´ asa n = 1, 3, 5 esetekre jobb oldali hat´ar´et´ekek sz´amtani k¨ozep´ehez konverg´al, ha n → ∞: sn (t) →

s(t − 43 T − 0) + s(t − 43 T + 0) = 0, 25, 2 189

1

1.05 Pontos Fourier

Pontos Fourier

0.8 1 P

P

0.6

0.4 0.95 0.2

0

0.9 135

10 15 20 25 30 n

40

1

3

5

10 n

15

20

6.11. a´bra. A p´eld´ akban szerepl˝ o f¨ uggv´enyek teljes´ıtm´enye pontosan ´es a Fourier-¨ osszeggel sz´ am´ıtva tov´abb´a ezen szakad´asi helyen nem cs¨okkenthet˝o tetsz˝oleges ´ert´ek al´a a hiba, annak ellen´ere, hogy a (6.39) a´ltal defini´alt hiba ´ert´eke cs¨okken. Ez az un. Gibbs-jelens´eg. A m´asik jel folytonos, azaz nincs szakad´asa. Ez a jel tetsz˝olegesen kis hib´aval k¨ozel´ıthet˝o Fourier-¨osszeggel. Egy m´asik fontos ´eszrev´etel, hogy ha a jel folytonos, akkor a Fourier-¨osszeg gyorsabban konverg´al (az egy¨ utthat´ok nevez˝oj´eben k 2 szerepel). Az a´br´an is l´athat´o, hogy pl. n = 5 egy¨ utthat´oval a m´asodik jel jobban k¨ozel´ıthet˝o. A Fourier-¨osszeg seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtott (6.53) teljes´ıtm´eny ´ert´eke n → ∞ eset´en mindig alulr´ ol konverg´ al a (6.52) defin´ıci´os formula a´ltal adott ´ert´ekhez. Ez l´athat´o a 6.11. a´br´an. A m´asodik jel Fourier-k¨ozel´ıt´essel sz´am´ıtott teljes´ıtm´eny´enek konvergenci´aja gyorsabb. Az els˝o jel teljes´ıtm´eny´enek pontos ´ert´eke 0, 8125, ha pl. n = 10, akkor a Fourier-k¨ozel´ıt´essel sz´am´ıtott teljes´ıtm´eny 0, 792, ha n = 10000, akkor 0, 81248. A m´asodik jel eset´eben azonban m´ar n = 20-ra megkapjuk a pontos ´ert´eket, ami 1.

190

6.2.2.

A periodikus v´ alasz sz´ am´ıt´ asa

Ha a folytonos idej˝ u rendszer s(t) gerjeszt´ese egy periodikus jel, ´es ezen periodikus jel Fourier-felbont´as´at elv´egezz¨ uk, akkor a rendszer gerjesztett v´alasza Fourier-¨osszeg alakj´aban meghat´arozhat´o. A Fourier-¨osszeggel adott gerjeszt´es adott sz´am´ u szinuszos jel szuperpoz´ıci´oja. Ha ismert a rendszer a´tviteli karakterisztik´aja, akkor az egyes harmonikusokra adott r´eszv´alaszokat ki tudjuk sz´amolni a komplex le´ır´asi m´odszer alapj´an. Ezut´an ezen r´eszv´alaszokat kell szuperpon´alni, hiszen a rendszer line´aris. Arra kell csup´an u ¨ gyeln¨ unk, hogy az egyes harmonikus komponensek k¨orfrekvenci´aja k¨ ul¨onb¨oz˝o: az alapharmonikus k¨orfrekvenci´aj´anak eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose. A v´alaszjel egyes komponensei teh´at a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es szerint hat´arozhat´ok meg: Y k = W k Sk,

(6.54)

ahol S k jel¨oli a gerjeszt´es k-adik harmonikus komplex cs´ ucs´ert´eutthat´o a kω k¨orfrekvenci´an ´es k´et, W k = W (jkω) az a´tviteli egy¨ Y k a v´alaszjel k-adik harmonikus´anak komplex cs´ ucs´ert´eke. Ezek sz´am´ıt´as´ara ´erdemes egy t´abl´azatot k´esz´ıteni. Ezut´an a v´alaszjel fel´ırhat´o a j´ol ismert alakban: y(t) = Y0 +

n X

Yk cos(kωt + ϕk ).

(6.55)

k=1

Gyakorlatilag az el˝oz˝o r´eszben ismertetett elj´ar´ast kell n + 1-szer megism´etelni, majd a r´eszeredm´enyeket o¨sszeadni. Fontos megjegyezni, hogy a v´alasz peri´odusideje azonos a gerjeszt´es peri´odusidej´evel. Az elj´ar´ast szint´en p´eld´aval illusztr´aljuk. P´ elda. Egy rendszer a´tviteli karakterisztik´aja adott. A rendszer bemenete a m´ar vizsg´alt n´egysz¨og alak´ u periodikus jel

191

(181. oldal), melynek Fourier-k¨ozel´ıt´ese ismert. Legyen a gerarozzuk meg a v´alaszjel jeszt´es k¨orfrekvenci´aja ω = 0, 2 rad s . Hat´ id˝of¨ uggv´eny´et. Y 5(jω) + 1 , = (jω)2 + 4(jω) + 3 S s2 (t) = [0, 625 + 0, 676 cos (ωt − 135◦ ) + 0, 478 cos (2ωt − 90◦ )] . W =

Megold´ as.

A W a´tviteli karakterisztika hely´ebe ´ırjunk W k -t: Wk =

5(jkω) + 1 Yk , = 2 + 4(jkω) + 3 (jkω) Sk

majd sz´am´ıtsuk ki azt a k = 0, 1, 2 esetekre ´es foglaljuk t´abl´azatba az eredm´enyeket: k 0 1 2

Sk 0,625 0,676 0,478

ρk 0◦ -135◦ -90◦

Kk 1/3 0,461 0,686

φk 0◦ 29,85◦ 34,04◦

Yk 0,208 0,312 0,328

ϕk 0◦ -105,15◦ -55,96◦

A t´abl´azat minden sora tartalmazza a gerjeszt´es k-adik harmonikus´anak amplit´ ud´oj´at ´es f´azis´at, amely ´ert´ekek a gerjeszt´es Fourier-k¨ozel´ıt´es´eb˝ol kiolvashat´ok, tov´abb´a az a´tviteli karakterisztika helyettes´ıt´esi ´ert´ek´et adott k ´ert´ekek mellett. A v´alaszjel amplit´ ud´oja a gerjeszt´es amplit´ ud´oj´anak ´es az a´tviteli egy¨ utthat´o abszol´ ut ´ert´ek´enek szorzata, f´azisa pedig a gerjeszt´es f´azis´anak ´es az a´tviteli egy¨ utthat´o f´azis´anak az o¨sszege, hiszen minden u az Euler-alakot sorban igaz, hogy Y k = W k S k . Ez´ert c´elszer˝ haszn´alni a sz´am´ıt´asok sor´an. A t´abl´azat utols´o k´et oszlopa teh´at a gerjeszt´es k-adik harmonikus´ara adott gerjesztett v´alasz amplit´ ud´oj´at ´es f´azis´at tartalmazza. A v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a komplex cs´ ucs´ert´ek fogalm´anak ismeret´eben teh´at a k¨ovetkez˝o: y2 (t) = [0, 208 + 0, 312 cos (ωt − 105, 15◦) + 0, 328 cos (2ωt − 55, 96◦)] .

A v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a 6.12. a´br´an l´athat´o. Min´el t¨obb egy¨ utthat´ot haszn´alunk fel a sz´am´ıt´as sor´an, ann´al pontosabb v´alaszjelet 192

2

2

1

1 s(t), y(t)

s(t), y(t)

kapunk. Az a´br´an p´eldak´epp felv´azoltuk a v´alaszjelet n = 100 egy¨ utthat´ot is figyelembe v´eve. L´athat´o, hogy az egy¨ utthat´ok sz´am´anak n¨ovel´es´evel egyre pontosabb megold´ast kapunk. A sz´am´ıt´ast term´eszetesen sz´am´ıt´og´ep seg´ıts´eg´evel v´egezt¨ uk el.

0

-1

0

-1

-2

-2 0

15

31 t[s]

46

62

0

15

31 t[s]

46

62

6.12. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o v´ alaszjel id˝ of¨ uggv´enye n = 2 ´es n = 100 egy¨ utthat´ ot figyelembe v´eve

6.3.

Jelek ´ es rendszerek spektr´ alis le´ır´ asa

Az el˝oz˝o r´eszben l´attuk, hogy tetsz˝oleges periodikus jel el˝oa´ll´ıthat´o szinuszos jelek szuperpoz´ıci´ojak´ent, ´es az egyes harmonikusok un. vonalas spektrummal reprezent´alhat´ok. A vonalas spektrum csak az alapharmonikus k¨orfrekvenci´aj´anak eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨oseit tartalmazza. Ezt az elj´ar´ast nem periodikus jelekre is alkalmazhatjuk. Ha egy periodikus jel peri´odus´at minden hat´aron t´ ul n¨ovelj¨ uk, akkor eljuthatunk a nem periodikus f¨ uggv´enyekhez. Ennek az lesz a k¨ovetkezm´enye, hogy m´ıg a periodikus jelek diszkr´et k¨orfrekvenci´aj´ u szinuszos jelek o¨szegek´ent a´ll´ıthat´ok el˝o, addig a nem periodikus jelek v´egtelen sok szinuszos jel o¨sszegek´ent ´ırhat´ok le, vagyis a (6.49) o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o o¨sszegz´es integr´al´asba megy a´t. A levezet´es sor´an a (6.49) o¨sszef¨ ugg´esb˝ol indulunk ki. Ez a Fourier-transzform´ aci´ o. 193

6.3.1.

A Fourier-transzform´ aci´ o´ es a spektrum

Induljunk ki teh´at a (6.49) ´es a (6.50) o¨sszef¨ ugg´esekb˝ol. A Fouriero¨sszeg helyett vegy¨ unk Fourier-sort, azaz n → ∞, ´es az integr´al´asi hat´arokat 0 ´es T helyett vegy¨ uk −T /2-nek ´es T /2-nek: s(t) =

∞ X

C

C

S k ejkωt ,

Sk =

k=−∞

1 T

Z

T 2

− T2

s(τ ) e−jkωτ dτ,

C

majd helyettes´ıts¨ uk be az S k kifejez´es´et az id˝of¨ uggv´enybe: s(t) =

Z T Z T ∞ ∞ X X 2 2 1 1 s(τ ) e−jkωτ dτ ejkωt = s(τ ) ejkω(t−τ ) dτ. T T T T − − k=−∞ k=−∞ 2

2

Ez az o¨sszef¨ ugg´es csak periodikus jelekre ´ervenyes. Ha azonban a periodikus jel T per´odusidej´et minden hat´aron t´ ul n¨ovelj¨ uk, akkor ) minden hat´ aron t´ ul az alapharmonikus k¨orfrekvencia (ω = 2π T ω cs¨okken. Jel¨olj¨ uk ez´ert ezt dω-val (alkalmazzuk k¨ozben az T1 = 2π a´trendez´est is): Z ∞ X dω ∞ s(t) = s(τ ) ejk dω(t−τ ) dτ. 2π −∞ k=−∞

Az exponenci´alis f¨ uggv´eny argumentum´aban szerepel a k dω tag. Ha az o¨sszegz´es k szerint −∞-t˝ol ∞-ig fut, mik¨ozben dω nagyon kicsi lesz, akkor a szumm´az´ast a´t´ırhatjuk integr´all´a a k¨ovetkez˝ok´epp:  Z ∞ Z ∞ 1 jω(t−τ ) s(t) = s(τ ) e dτ dω, 2π −∞ −∞ ami tov´abb alak´ıthat´o:  Z ∞ Z ∞ 1 −jωτ s(τ ) e dτ ejωt dω, s(t) = 2π −∞ −∞ 194

´es az ezen o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o bels˝o integr´alt nevezz¨ uk az s(t) jel S(jω) = F {s(t)} (´ırott F bet˝ uvel) Fourier-transzform´ altj´anak, vagy a jel spektrum´anak: S(jω) = F {s(t)} =

Z

∞

s(t) e−jωt dt.

(6.56)

−∞

Az S(jω) spektrum ismeret´eben az s(t) jel id˝of¨ uggv´enye el˝oa´ll´ıthat´o a k¨ovetkez˝o komplex alakban: s(t) = F

−1

1 {S(jω)} = 2π

Z

∞

S(jω) ejωt dω.

(6.57)

−∞

Ez az s(t) = F −1 {S(jω)} szimb´olummal jel¨olt m˝ uvelet az inverz Fourier-transzform´ aci´ o. A jel spektruma egy komplex ´ert´ek˝ u ´es az ω k¨orfrekvenci´at´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´eny (S(ω) = S(jω)), amelynek abszol´ ut ´ert´eke a jel un. amplit´ ud´ ospektruma, f´azisa pedig a jel ´ f´ azisspektruma. Altal´ anos jel spektruma teh´at v´egtelen sok szinuszos jel o¨sszeg´eb˝ol a´ll, ahogy a (6.57) el˝oa´ll´ıt´as´ab´ol l´atszik (a (6.49) el˝oa´ll´ıt´asban k szerinti o¨sszegz´es, itt pedig minden k¨orfrekvenci´at o¨sszegz˝o integr´al szerepel). ´Irjuk a´t a (6.57) o¨sszef¨ ugg´est az al´abbi alakra: ∞ 1 X S(jk∆ω) ejk∆ωt ∆ω, s(t) = lim ∆ω→0 2π k=−∞

amelyben j´ol l´atszik, hogy s(t) v´egtelen sz´am´ u k∆ω k¨orfrekvenci´aj´ u szinuszos jel o¨sszege, ahol az S(jk∆ω)∆ω/2π mennyis´eg az egyes szinuszos jelek komplex cs´ ucs´ert´ek´et jelenti. Ez az un. amplit´ ud´ os˝ ur˝ us´eg. Hasonl´ok´epp vezethet˝o be a Fourier-transzform´aci´o ´es inverze, ha az f frekvenci´at alkalmazzuk: Z ∞ Z ∞ S(f ) = S(f ) ej2πf t df. (6.58) s(t) e−j2πf t dt, s(t) = −∞

−∞

195

A (6.56) alkalmazhat´os´ag´anak felt´etele, hogy az s(t) jel abszol´ ut integr´ alhat´ o legyen: Z ∞ (6.59) |s(t)| dt < ∞. −∞

Egy´ebk´ent a jel spektruma a (6.56) defin´ıci´os integr´allal nem hat´arozhat´o meg, mert az improprius integr´al nem v´eges. Ahogy a Fourier-k¨ozel´ıt´es, u ´ gy a Fourier-transzform´aci´o is rendelkezik azzal a tulajdons´aggal, hogy a (6.57) o¨sszef¨ ugg´essel vissza´all´ıtott id˝of¨ uggv´eny nem minden esetben egyezik meg az eredeti s(t) jellel. Ha a jel folytonos, akkor az egyenl˝os´eg fenn´all, ha azonban v´eges szakad´assal rendelkezik a jel, akkor a szakad´asi helyeken szint´en a sz´amtani k¨oz´ep´ert´ekhez tart a vissza´all´ıtott jel. A Fourier-transzform´aci´onak l´etezik val´ os alakja is. Ezzel foglalkozunk a k¨ovetkez˝okben, de f˝ok´ent a komplex alakot fogjuk alkalmazni. Bontsuk kett´e a (6.57) o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o integr´alt, majd az els˝o tagban ω hely´ebe ´ırjunk −ω-t, melynek eredm´enyek´epp az integr´al´asi hat´arok felcser´elhet˝ok: Z 0 Z ∞ 1 1 S(jω) ejωt dω + S(jω) ejωt dω = s(t) = 2π −∞ 2π 0 Z ∞ Z ∞ 1 1 −jωt S(−jω) e dω + S(jω) ejωt dω. = 2π 0 2π 0

Val´ os s(t) f¨ uggv´enyek eset´eben (mi csak ilyenekkel foglalkozunk) az S(jω) komplex spektrum amplit´ ud´ ospektruma p´ aros, f´ azisspektruma pedig p´ aratlan f¨ uggv´enye az ω k¨ orfrekvenci´ anak. ´Irjuk fel ugyanis (6.56) alakj´at u ´ gy, hogy az e −jωt = cos ωt−j sin ωt Euler-rel´aci´ot figyelembe vessz¨ uk: Z ∞ Z ∞ S(jω) = s(t) cos ωt dt − j s(t) sin ωt dt, valamint

S(−jω) =

−∞

Z

∞

−∞

s(t) cos ωt dt + j

−∞

Z

∞

−∞

196

s(t) sin ωt dt.

Ezen k´et o¨sszef¨ ugg´esb˝ol l´athat´o, hogy S(jω) ´es S(−jω) val´os r´esze megegyezik, k´epzetes r´esze azonban egym´as −1-szerese, azaz |S(−jω)| = |S(jω)|,

arc S(−jω) = −arc S(jω),

(6.60)

vagy (S(jω))∗ = S(−jω),

(6.61)

azaz s(t) =

1 2π

Z

∞

(S(jω))∗ e−jωt dω +

0

1 2π

Z

∞

S(jω) ejωt dω.

0

´Irjuk fel ezut´an az S(jω) komplex spektrumot ´es konjug´altj´at algebrai alakban: S(jω) = Sre (ω) + jSim (ω),

(S(jω))∗ = Sre (ω) − jSim (ω),

majd ´ırjuk be ezeket az el˝oz˝o integr´alba: Z ∞ 1 [Sre (ω) − jSim (ω)] e−jωt dω+ s(t) = 2π 0 Z ∞ 1 + [Sre (ω) + jSim (ω)] ejωt dω, 2π 0 majd bontsuk fel a z´ar´ojeleket, csoportos´ıtsuk a val´os ´es a k´epzetes r´eszeket, ´es vigy¨ unk be egy 2-es oszt´ot is. A kifejez´est az azonos integr´al´asi hat´arok miatt egyetlen integr´allal kifejezhetj¨ uk:  Z ∞ 1 ejωt + e−jωt ejωt − e−jωt s(t) = 2Sre (ω) dω, − 2Sim (ω) 2π 0 2 2j ´es vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: S A (ω) = 2 Re {S(jω)} ,

S B (ω) = −2 Im {S(jω)} ,

197

(6.62)

azaz (6.60) miatt S A (ω) p´aros, S B (ω) pedig p´aratlan f¨ uggv´eny. Az Euler-rel´aci´o ´ertelm´eben mindezt a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhatjuk fel: Z ∞  A  1 S (ω) cos ωt + S B (ω) sin ωt dω. s(t) = 2π 0

H´atravan m´eg S A (ω) ´es S B (ω) val´os spektrumok meghat´aroz´asa. ´Irjuk fel ezek meghat´aroz´as´ahoz a (6.56) o¨sszef¨ ugg´es´et ´es ´ırjuk a´t az exponenci´alis t´enyez˝ot algebrai alakra: Z ∞ Z ∞ S(jω) = s(t) cos ωt dt − j s(t) sin ωt dt. −∞

−∞

A komplex S(jω) spektrumot (6.62) alapj´an a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhatjuk fel: S(jω) = Re {S(jω)} + jIm {S(jω)} =

S B (ω) S A (ω) −j , 2 2

azaz S A (ω) = 2

Z

∞

s(t) cos ωt dt,

S B (ω) = 2

−∞

Z

∞

s(t) sin ωt dt.

−∞

(6.63) Ezen alakok hasonl´oak a Fourier-egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa sor´an kapott eredm´enyekhez. Itt jegyezz¨ uk meg, hogy a Fourierk¨ozel´ıt´eshez hasonl´oan a Fourier-transzform´altra is igaz, hogy p´ aros f¨ uggv´eny spektruma val´ os, azaz S B (ω) = 0 p´ aratlan f¨ uggv´eny spektruma pedig k´epzetes, azaz S A (ω) = 0. Ha az s(t) jel n´egyzetesen integr´alhat´o, akkor a v´eges ´ert´ek˝ u Es energi´aja a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: Es ≡

Z

∞ −∞

|s(t)|2 dt.

(6.64)

C´elunk most ezen energia meghat´aroz´asa a jel spektrum´anak ismeret´eben. Ha a jel val´os ´ert´ek˝ u (mi csak ilyenekkel foglalkozunk), 198

akkor az abszol´ ut ´ert´ek k´epz´ese el is hagyhat´o. Helyettes´ıts¨ uk be s(t) hely´ebe az inverz Fourier-transzform´aci´o (6.57) o¨sszef¨ ugg´es´et:  Z ∞  Z ∞ Z ∞ 1 jωt s(t) S(jω)e dω dt. s(t)s(t) dt = Es = 2π −∞ −∞ −∞ Az 1/2π konstanst emelj¨ uk ki, ´es az integr´alok sorrendj´et cser´elj¨ uk meg: Z ∞  Z ∞ 1 jωt Es = S(jω) s(t)e dt dω. 2π −∞ −∞ A spektrum defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkez˝oen a bels˝o integr´al pontosan az S(jω) spektrum konjug´altja: ∗ Z ∞ Z ∞ 1 s(t)e−jωt dt dω, S(jω) Es = 2π −∞ −∞ amely a k¨ovetkez˝o eredm´enyre vezet: 41 1 Es = 2π

Z

∞

1 S(jω) S (jω)dω = 2π −∞ ∗

Z

∞

−∞

|S(jω)|2 dω.

(6.65)

Ez Parseval t´etele, |S(jω)|2 pedig a jel un. energiaspektruma, amit u ´ gy is ´ertelmezhet¨ unk, hogy a jel energi´aja el van osztva a frekvenci´ak ment´en. A Fourier-transzform´aci´o egy un. integr´altranszform´aci´o. Az integr´altranszform´aci´ok l´enyege abban a´ll, hogy az id˝otartom´anyban megfogalmazott differenci´alegyenletrendszereket transzform´aljuk algebrai egyenletekk´e. Ezek megold´asa a v´alaszjel transzform´altja, amit azt´an vissza kell transzform´alni az id˝otartom´anyba, hiszen a k´erd´es az 41

Mivel z z ∗ = (a + jb)(a − jb) = a2 − (jb)2 = a2 + b2 = |z|2 .

199

id˝of¨ uggv´eny: Id˝ otartom´ anybeli - Megold´as pl. o¨sszetev˝okre differenci´ alegyenlet-rendszer bont´ assal F{·}

?

Transzform´ alt algebrai egyenletrendszer

6.3.2.

- y(t) 6−1 F

-

{·}

Megold´ as

A Fourier-transzform´ aci´ o t´ etelei

A k¨ovetkez˝okben a Fourier-transzform´aci´o n´eh´any t´etel´evel ´es bizony´ıt´as´aval foglalkozunk, amelyekre a tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz. Linearit´ as A Fourier-transzform´aci´o ´es inverze egy-egy integr´al. Az integr´al´as pedig line´ aris oper´ ator, azaz b´armely C 1 , C2 konstans eset´en fenn´all, hogy

F

−1

F{C1 s1 (t) + C2 s2 (t)} = C1 F{s1 (t)} + C2 F{s2 (t)},

{C1 S1 (jω) + C2 S2 (jω)} = C1 F −1 {S1 (jω)} + C2 F −1 {S2 (jω)}.

(6.66)

´ Altal´ anosan ez a k¨ovetkez˝ot jelenti: F F

−1

(

n X

i=1 ( n X

Ci si (t)

Ci Si (jω)

i=1

) )

= =

n X

i=1 n X i=1

Ci F{si (t)}, (6.67) Ci F

−1

{Si (jω)}.

Ez a szuperpoz´ıci´ o elv e, ami teh´at annyit jelent, hogy a transzform´ aci´ o ´es inverze tagonk´ent elv´egezhet˝ o.

200

Eltol´ asi t´ etel Ha l´etezik az s(t) jel S(jω) spektruma, akkor a τ id˝ovel eltolt s(t − τ ) jel spektruma az eltol´ asi t´etel ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o: F {s(t − τ )} = e−jωτ S(jω),

(6.68)

azaz az s(t) jel spektrum´at be kell szorozni e −jωτ -val, amely −ωτ ´ert´ek˝ u f´azisforgat´ast v´egez az S(jω) spektrumon, de az amplit´ ud´ospektrumot ´es az energiaspektrumot nem m´odos´ıtja, mivel |e−jωτ | = 1. A t´etel bizony´ıt´as´ara a (6.57) o¨sszef¨ ugg´esben ´ırjunk minden t hely´ebe (t − τ )-t: s(t − τ ) =

1 2π

Z

∞

S(jω) ejω(t−τ ) dω = −∞

A konvol´ uci´ o spektruma

1 2π

Z

∞

S(jω) e−jωτ ejωt dω. | {z } −∞ F {s(t−τ )}

Ut´obbi t´etelt alkalmazzuk a konvol´ uci´ o spektrum´ a nak meghat´aroz´asa sor´an. Az id˝otartom´anyban v´egzett y(t) = w(t) ∗ s(t) konvol´ uci´o a frekvenciatartom´anyban szorzatt´ a egyszer˝ us¨ odik : Y (jω) = F{w(t)}F{s(t)} = W (jω) S(jω),

(6.69)

ahol S(jω) ´es Y (jω) a gerjeszt´es ´es a v´alaszjel spektruma, W (jω) pedig a rendszer a´tviteli karakterisztik´aja. Az o¨sszef¨ ugg´es term´eszetesen m´as, Fourier-transzform´alhat´o jelekre is ´erv´enyes. A (6.69) igazol´as´at az inverz Fourier-transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel tessz¨ uk meg, ´es felt´etelezz¨ uk, hogy s(t) ´es w(t) abszol´ ut integr´alhat´o: Z ∞ 1 −1 y(t) = F {S(jω) W (jω)} = S(jω) W (jω)ejωt dω = 2π −∞  Z ∞ Z ∞ 1 −jωτ s(τ )e dτ W (jω) ejωt dω. = 2π −∞ −∞ | {z } S(jω)

201

Cser´elj¨ uk fel most a τ ´es az ω szerinti integr´al´asokat ´es alkalmazzuk az eltol´asi t´etelt:  Z ∞  Z ∞ 1 jω(t−τ ) y(t) = s(τ ) W (jω)e dω dτ, 2π −∞ −∞ {z } | w(t−τ )

ami pontosan a konvol´ uci´o kifejez´ese. A v´alaszjel spektruma teh´at az impulzusv´alasz spektrum´anak ´es a gerjeszt´es spektrum´anak a szorzata. K¨ovess¨ uk v´egig ezut´an a k¨ovetkez˝o gondolatmenetet, melynek kapcs´an eljutunk a Fourier-transzform´aci´o form´alis megad´as´ahoz. Legyen egy rendszer nem bel´ep˝o gerjeszt´ese az s(t) = e jωt jel, amely az Euler-formul´anak megfelel˝oen egy szinuszos jel. Vegy¨ uk ezen jel ´es a rendszer impulzusv´alasz´anak konvol´ uci´oj´at: Z ∞ Z ∞ w(τ )ejω(t−τ ) dτ, w(τ )s(t − τ ) dτ = y(t) = −∞

−∞

majd bontsuk fel a kitev˝oben szerepl˝o z´ar´ojelet. Ekkor e jωt kiemelhet˝o, hiszen az integr´al´as a τ v´altoz´o szerint t¨ort´enik: Z ∞ Z ∞ jωt −jωτ jωt y(t) = w(τ )e e dτ = e w(τ )e−jωτ dτ. −∞

−∞

Az o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o integr´alban τ helyett t-t ´ırva a w(t) impulzusv´alasz Fourier-transzform´altj´ahoz, vagy a rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´ahoz jutunk (ezt a 211. oldalon igazoljuk): W (jω) =

Z

∞

w(t)e−jωt dt.

−∞

´Igy a rendszer v´alasza a k¨ovetkez˝o: y(t) = W (jω)ejωt , 202

(6.70)

azaz a´lland´osult a´llapotban a line´aris rendszer szinuszos gerjeszt´esre adott v´alasza is szinuszos lesz, melynek amplit´ ud´oj´at ´es f´azis´at a W (jω) a´tviteli karakterisztika hat´arozza meg. Az a´tviteli karakterisztik´at ez´ert a rendszer saj´ at´ert´ek´e nek is szok´as nevezni, jωt az e gerjeszt´es pedig az un. saj´ atf¨ uggv´eny. Ez teh´at a Fourier-transzform´aci´o form´alis bevezet´ese, amikoris a konvol´ uci´ob´ol indultunk ki ´es egyben eljutottunk a rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´anak defin´ıci´oj´ahoz is. Az integr´alban szerepl˝o w(τ ) hely´ebe tetsz˝oleges (de abszol´ ut integr´alhat´o) s(t) f¨ uggv´enyt ´ırva defini´alhatjuk az s(t) jel Fourier-transzform´altj´at is, ha ez az improprius integr´al l´etezik. Deriv´ alt jel spektruma Ha l´etezik az s(t) jel S(jω) spektruma, akkor az s(t) ˙ deriv´ alt jel spektruma a k¨ovetkez˝o: F {s(t)} ˙ = jω S(jω),

(6.71)

vagyis az id˝otartom´anyban v´egzett deriv´al´as a frekvenciatartom´anyban jω-val v´egzett szorz´asnak felel meg, amely az eredeti jel S(jω) amplit´ ud´ospektrum´at ω-val szorozza, f´azisspektrum´at pedig a j-vel val´o szorz´as miatt 90 ◦ -kal elforgatja. Ez az inverz Fourier-transzform´aci´o o¨sszef¨ ugg´ese alapj´an l´athat´o be. Deriv´aljuk a (6.57) o¨sszef¨ ugg´es mindk´et oldal´at id˝o szerint: Z ∞ 1 s(t) ˙ = S(jω) jω ejωt dω. 2π −∞ | {z } F {s0 (t)}

 Az o¨sszef¨ ugg´es a´ltal´anos´ıthat´o: F s(n) (t) = (jω)n S(jω). Ugyanazon eredm´enyre jutottunk, mint a komplex cs´ ucs´ert´ekek alkalmaz´asa sor´an (l. (6.13) ´es (6.14) o¨sszef¨ ugg´esek).

203

Az a ´tviteli karakterisztika meghat´ aroz´ asa. Alkalmazzuk ezen o¨sszef¨ ugg´est az a´llapotv´altoz´os le´ır´asra. Ez´ uton a m´ar bevezetett a ´tviteli karakterisztik´ a hoz jutunk. A levezet´est nem ism´etelj¨ uk meg, hiszen az teljes m´ert´ekben megegyezik a 151. oldalon bemutatottakkal. Az a´tviteli karakterisztika teh´at nemcsak a szinuszos gerjeszt´es ´es szinuszos v´alasz eset´en hat´arozhat´o meg, hanem tetsz˝oleges gerjeszt´es ´es a r´a adott v´alasz spektrum´anak seg´ıts´eg´evel is, hiszen tetsz˝oleges jel spektrum´at v´egtelen sok szinuszos jel o¨sszegek´ent a´ll´ıtottuk el˝o. L´attuk, hogy a deriv´al´as a frekvenciatartom´anyban jω-val t¨ort´en˝o szorz´ass´a egyszer˝ us¨odik ugyan´ ugy, ahogy a komplex cs´ ucs´ert´ekek alkalmaz´asa sor´an. Ezen okn´al fogva ugyanez ´erv´enyes a rendszeregyenletre is. Az a´viteli karakterisztika teh´at a k¨ovetkez˝ot jelenti: W (jω) =

s(t)

-

Y (jω) F{y(t)} = . F{s(t)} S(jω) W (jω)

S(jω) = F {s(t)}

(6.72)

y(t)

-

Y (jω) = F {y(t)}

Fontos ism´et kiemelni, hogy csak gerjeszt´es-v´ alasz stabilis rendszer eset´en ´ertelmezett az a´tviteli karakterisztika. Szimmetriatulajdons´ ag N´eh´any esetben nagyon hasznos a Fourier-transzform´aci´o szimmetriatulajdons´ aga. Ha egy g(t) id˝of¨ uggv´eny spektruma val´ os ´ert´ek˝ u, azaz a j elhagyhat´o, akkor: Z ∞ Z ∞ 1 −jωt G(ω) = g(t) e dt, g(t) = G(ω) ejωt dω, 2π −∞ −∞

204

majd t hely´ebe −ω-t, ω hely´ebe pedig t-t ´ırva, az inverz o¨sszef¨ ugg´esb˝ol azt kapjuk, hogy Z ∞ G(t) e−jωt dt, 2πg(−ω) = −∞

azaz, ha ismert egy g(t) f¨ uggv´eny G(ω) val´os spektruma, akkor az u ´ j f (t) = G(t) id˝of¨ uggv´eny spektruma az F (ω) = 2πg(−ω) lesz (a g(t) id˝of¨ uggv´enyben kell minden t hely´ebe −ω-t ´ırni). Ha a transzform´aci´os o¨sszef¨ ugg´eseket nem az ω, hanem az f v´altoz´oval haszn´aljuk, akkor a 2π szorz´o elmarad. Ennek illuszt´al´as´at k´es˝obb l´atni fogjuk. Eltol´ as a frekvenciatartom´ anyban, a modul´ aci´ os t´ etel A modul´ aci´ os t´etel kimondja, hogy a frekvenciatartom´anyban ω0 k¨orfrekvenci´aval val´o eltol´as az id˝otartom´anyban e jω0 t f¨ uggv´ennyel v´egzett szorz´ast jelent: Z ∞ Z ∞ s(t) ejω0 t e−jωt dt = s(t) e−j(ω−ω0 )t dt, −∞

−∞

azaz az S(jω) spektrumban minden ω hely´ebe (ω − ω 0 )-t kell ´ırni:  F s(t) ejω0 t = S(j[ω − ω0 ]). (6.73)

Az ejω0 t = cos ω0 t + j sin ω0 t azonoss´ag alapj´an ez a t´etel teh´at szinuszos jellel t¨ort´en˝o szorz´asra ad o¨sszef¨ ugg´est. A t´etel fontos k¨ovetkezm´enye, hogy az s(t) cos ω 0 t jel spektruma az Euler-rel´aci´o alkalmaz´as´aval a k¨ovetkez˝o: Z ∞ Z ∞ ejω0 t + e−jω0 t −jωt −jωt s(t) cos ω0 t e dt = e dt. s(t) 2 −∞ −∞ Felbontva a t¨ortet kapjuk, hogy F {s(t) cos ω0 t} =

1 {S(j[ω − ω0 ]) + S(j[ω + ω0 ])} , 2 205

(6.74)

azaz az s(t) jel S(jω) spektruma az ω = ω 0 ´es az ω = −ω0 k¨orfrekvenci´akon jelenik meg fele akkora amplit´ ud´oval. Hasonl´ok´epp, az s(t) sin ω0 t jel spektruma az Euler-rel´aci´o alkalmaz´as´aval a k¨ovetkez˝o: Z ∞ Z ∞ ejω0 t − e−jω0 t −jωt −jωt e dt. s(t) s(t) sin ω0 t e dt = 2j −∞ −∞ Felbontva a t¨ortet kapjuk, hogy F {s(t) sin ω0 t} =

1 {S(j[ω − ω0 ]) − S(j[ω + ω0 ])} . 2j

(6.75)

A t´etel gyakorlati jelent˝os´ege az amplit´ ud´ omodul´ aci´ o ban van: a kisfrekvenci´as s(t) jel a´ttehet˝o a nagyfrekvenci´as viv˝ojel seg´ıts´eg´evel az ω0 k¨orfrekvencia k¨ornyezet´ebe. K¨ ul¨onb¨oz˝o ω 0 k¨orfrekvenci´aj´ u viv˝ojelek seg´ıts´eg´evel t¨obb kisfrekvenci´as jel is a´tvihet˝o ugyanazon csatorn´an an´elk¨ ul, hogy egym´ast zavarn´ak. A v´eteli oldalon azt´an az egyes kisfrekvenci´as jeleket un. demodul´aci´oval lehet visszanyerni. Az amplit´ ud´omodul´aci´ot egy p´eld´aval illusztr´aljuk. P´ elda. Legyen a bel´ep˝ojel s(t) = ε(t)Ae −αt (α > 0, A > 0), amelyet a cos ω0 t jellel beszorzunk. Hat´arozzuk meg az szorzat amplit´ ud´ospektrum´at. Megold´ as.

A jel abszol´ ut integr´alhat´o, hiszen Z ∞ Z ∞ A |s(t)| dt = Ae−αt dt = , α −∞ 0

ami v´eges ´ert´ek (bel´ep˝o ´es korl´atos jelek mindig abszol´ ut integr´alhat´ok).42 A spektrum meghat´aroz´as´ara teh´at alkalmazhat42

Az integr´ al´ as als´ o hat´ ara null´ anak v´ alaszthat´ o, mert a t < 0 intervallumon a jel ´ert´eke ´es ´ıgy az integr´ al ´ert´eke is nulla. Az e−αt jel primit´ıv f¨ uggv´enye e−αt . Megjegyezz¨ u k, hogy α ≤ 0 eset´ e n a jel nem abszol´ u t integr´ a lhat´ o. Az −α A ´ert´ek´ere csup´ an annyit kell kik¨ otni, hogy ´ert´eke korl´ atos legyen.

206

juk a Fourier-transzform´aci´o (6.56) o¨sszef¨ ugg´es´et: Z ∞ Z ∞ S(jω) = Ae−αt e−jωt dt = A e−(α+jω)t dt = 0 0 #∞ " −(α+jω)t e A . = =A −(α + jω) α + jω 0

Ezen jel amplit´ ud´ospektruma ´es f´azisspektruma a k¨ovetkez˝o 43 : A , |S(jω)| = √ 2 α + ω2

ω arc S(jω) = −arc tg . α

Az sAM (t) = ε(t)Ae−αt cos ω0 t amplit´ ud´omodul´alt jel spektruma a modul´aci´os t´etel ´ertelm´eben teh´at a k¨ovetkez˝o: SAM (jω) =

1 A A 1 + . 2 α + j(ω − ω0 ) 2 α + j(ω + ω0 )

Az s(t) jel, a cos ω0 t jel ´es a kett˝o szorzata l´athat´o a 6.13. a´br´an (A = 5, α = 2). Az s(t) jelhez rendelt amplit´ ud´ospektrumot ´es az amplit´ ud´omodul´alt jel spektrum´at a 6.14. a´br´an alt jelben a k´et spektrum v´azoltuk fel (ω0 = 20 rad s ). A modul´ egym´asra kis m´ert´ekben ugyan, de hat´ast gyakorol. Ha a jel s´ avkorl´ atozott (l. 222. oldal), azaz adott Ω k¨orfrekvencia felett amplit´ ud´ospektruma elhanyagolhat´o ´es ω 0 ≥ Ω, akkor ez az a ´tlapol´ od´ as ´es egym´asrahat´as nem j¨on l´etre. A modul´aci´os t´etel alkalmaz´as´aval nem kell teh´at meghat´arozni a (6.56) integr´alt: Z ∞ SAM (jω) = ε(t)Ae−αt cos ω0 t e−jωt dt. −∞

43

Az amplit´ ud´ ospektrum is ´es a f´ azisspektrum is ω f¨ uggv´enye. Ha a spektrum egy t¨ ort, akkor annak abszol´ ut ´ert´eke a sz´ aml´ al´ o ´es a nevez˝ o abszol´ ut ´ert´ekeinek a h´ anyadosa, f´ azisa pedig a sz´ aml´ al´ o ´es a nevez˝ o f´ azisainak a k¨ ul¨ onbs´ege.

207

5

0.5

2.5

s(t)

3 2

sAM(t)

1

4 cosω0t

5

0 -0.5

1 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t[s]

0 -2.5

-1 -0.6-0.3 0 0.3 0.6 t[s]

-5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t[s]

0.5

0.5

0.4

0.4 |SAM(jω)|

|S(jω)|

6.13. a´bra. Az s(t) jel, a cos ω0 t jel ´es a k´et jel szorzat´ anak id˝ of¨ uggv´enye

0.3

0.2

0.1

0 -10

0.3

0.2

0.1

-5

0 ω[rad/s]

5

0 -30

10

-15

0 ω[rad/s]

15

30

6.14. a´bra. Az s(t) jel ´es az sAM (t) jel amplit´ ud´ ospektruma

6.3.3.

Folytonos idej˝ u jelek spektruma

A k¨ovetkez˝okben n´eh´any fontos jel Fourier-transzform´altj´at ´es u ´ jabb t´eteleket fogunk meghat´arozni illetve bemutatni. 1.) Sz¨ uks´eg¨ unk lesz a k¨ovetkez˝o egys´egnyi magass´ ag´ u szimmetrikus (azaz p´ aros) n´egysz¨ ogjel (6.15. a´bra) Fourier-transzform´altj´ara, mert seg´ıts´eg´evel a Dirac-impulzus spektruma meghat´arozhat´o: hT (t) = ε(t + T ) − ε(t − T ). (6.76) A spektrum a (6.56) defin´ıci´ob´ol kiindulva meghat´arozhat´o, mivel a jel abszol´ ut integr´ alhat´ o (ablakozott v´eges ´ert´ek˝ u jelek mindig abszol´ ut integr´alhat´ok). Az integr´al´asi hat´arok −T ´es T lehet a 208

2

4 2/ω 3 |HT(ω)|

hT(t)

1.5

1

0.5

2

1

0

0 -4

-2

0 t[s]

2

4

-3π/T... -π/T 0 π/T ... 3π/T ω[rad/s]

6.15. a´bra. A 2T hossz´ us´ ag´ u n´egysz¨ ogimpulzus ´es amplit´ ud´ ospektruma (itt T = 2 s) −∞ ´es ∞ helyett, hiszen ezen intervallumon k´ıv¨ ul a jel ´ert´eke nulla, egy´ebk´ent pedig hT (t) = 1: HT (jω) =

Z

T

e −T

−jωt



e−jωt dt = −jω

T

−T

=

2 ejωT − e−jωT , ω 2j

ahol felismerhet˝o a sin ωT jel Euler-formul´aval fel´ırva: F {hT (t)} = 2

sin ωT sin ωT = 2T , ω ωT

(6.77)

ami egy sin x/x jelleg˝ u val´os spektrum (p´aros jel spektruma mindig val´os). A jel ´es amplit´ ud´ospektruma l´athat´o a 6.15. a´br´an. L´athat´o, hogy a jel amplit´ ud´ospektruma p´aros f¨ uggv´eny. A f´azisspektrum a [0, π/T ] intervallumban nulla, a [π/T, 2π/T ] intervallumban pedig ±180◦ , ´es ez ism´etl˝odik, ahogy a sin ωT jel el˝ojele adja, tov´abb´a p´aratlan f¨ uggv´eny, hiszen sin(−ωT ) = − sin ωT . A nulla ´ert´ek˝ u helyek az ωT = kπ egyenlet alapj´an az ω = k Tπ ´ert´ekekn´el vannak (k ∈ Z, k 6= 044 ). 44

A sin x/x f¨ uggv´eny x = 0 helyen vett hat´ ar´et´eke a L’Hospital-szab´ aly (sin x)0 cos x sin x alapj´ an 1: limx→0 x = limx→0 x0 = limx→0 1 = 1.

209

2.) Ezen eredm´eny seg´ıts´eg´evel a´ll´ıtjuk el˝o a Dirac-impulzus spektrum´ a t. Legyen ugyanis a hT (t) jel magass´aga 1/2T . Ebben az esetben az impulzus ter¨ ulete mindig egys´egnyi, hiszen hossza 2T . K¨ozel´ıts¨ uk ezut´an a T ´ert´ek´et null´ahoz, ´ıgy a h T (t)/2T jel a Dirac-impulzushoz k¨ozel´ıt, hiszen magass´aga T cs¨okken´es´evel n˝o mik¨ozben intenzit´asa egys´egnyi. 45 Ezen jel spektruma (6.77) alapj´an a k¨ovetkez˝o:   sin ωT 1 hT (t) = , F 2T ωT melynek T → 0 hat´ar´ert´eke a L’Hospital-szab´aly ´ertelm´eben a Dirac-impulzus spektruma: F {δ(t)} = lim

T →0

sin ωT ω cos ωT = lim = 1. T →0 ωT ω

(6.78)

Mivel a Dirac-impulzus abszol´ ut integr´alhat´o jel, ez´ert spektruma meghat´arozhat´o a defin´ıci´o alapj´an is 46 : Z ∞ Z ∞ δ(t) dt = 1. δ(t) e−jωt dt = e−jω0 F {δ(t)} = −∞

−∞

A Dirac-impulzus spektruma teh´at minden k¨orfrekvenci´at azonosan egys´egnyi ´ert´ekkel (s´ ullyal) tartalmaz. A Dirac-impulzus eltoltja az eltol´asi t´etel ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o: F {δ(t − τ )} = e−jωτ , ami a defin´ıci´ob´ol is ad´odik: Z ∞ Z F {δ(t − τ )} = δ(t − τ ) e−jωt dt = e−jωτ −∞

45´

∞ −∞

δ(t − τ ) dt,

Igy vezett¨ uk be a Dirac-impulzust. Eml´ekezz¨ unk vissza, hogy a δ(t) jel a t = 0 helyen k´ıv¨ ul minden¨ utt nulla ´ert´ek˝ u. Ez´ert minden olyan jel t = 0-ban vett helyettes´ıt´esi ´ert´ek´et ki kell sz´ amolni, amit Dirac-impulzussal szorzunk. 46

210

ahol az integr´al ´ert´eke defin´ıci´o szerint egys´egnyi, ´es a v´egeredm´eny ´ıgy e−jωτ lesz. A Dirac-impulzus Fourier-transzform´altj´at helyettes´ıts¨ uk be a (6.69) konvol´ uci´os o¨sszef¨ ugg´esbe: Y (jω) = W (jω) 1, ami annyit jelent, hogy a Dirac-impulzusra adott v´alasz (az impulzusv´alasz) spektruma megegyezik az a´tviteli karakterisztik´aval, azaz az impulzusv´ alasz Fourier-transzform´ altja (spektruma) pontosan az a ´tviteli karakterisztika, ´es megford´ıtva az a ´tviteli karakterisztika inverz Fourier-transzform´ altja az impulzusv´ alasz : W (jω) = F {w(t)} ,

w(t) = F −1 {W (jω)} .

(6.79)

Ezzel igazoltuk a (6.70) o¨sszef¨ ugg´est is. A k¨ovetkez˝o k´et jel spektrum´anak meghat´aroz´asa a nem abszol´ ut integr´alhat´o ε(t) egys´egugr´asjel spektrum´anak meghat´aroz´as´at c´elozza meg. 3.) Hat´arozzuk meg el˝osz¨or a nem bel´ep˝ o, egys´enyi ´ert´ek˝ u jel spektrum´ a t. Ez a jel nem abszol´ ut integr´alhat´o, teh´at a (6.56) o¨sszef¨ ugg´es nem alkalmazhat´o. A szimmetriatulajdons´ag alapj´an hat´arozzuk meg a spektrumot, mivel ´ıgy a legegyszer˝ ubb. L´attuk, hogy a Dirac-impulzus spektruma val´os ´ert´ek˝ u ´es egys´egnyi, most pedig pontosan az egys´enyi jel spektrum´at keress¨ uk. Haszn´alhatjuk teh´at a szimmetriatulajdons´agot. Maradjunk az ott le´ırt jel¨ol´esek mellett: g(t) = δ(t) ´es G(ω) = 1. Legyen h´at f (t) = G(t) = 1, amelynek spektruma F (ω) = 2πδ(−ω). Mivel a δ(ω) f¨ uggv´eny p´aros, ez´ert F (ω) = 2πδ(ω). Az egys´enyi jel spektruma teh´at csak az ω = 0 k¨orfrekvenci´ab´ol a´ll, ami v´arhat´o is volt, hiszen ez pl. egy egyen´aram´ u jel. 47 47

Az o ¨sszef¨ ugg´es ellen˝ orizhet˝ ou ´gy, spektrumot visszahelyetR ∞hogy a kapott 1 tes´ıtj¨ uk a (6.57) o ¨sszef¨ ugg´esbe: 2π 2πδ(ω) ejωt dω, ami pontosan 1. −∞

211

Mindez grafikusan a k¨ovetkez˝ot jelenti: f (t) = G(t) 16

g(t) = δ(t) 6 6 -

-

t 1

t F (ω) = 2πg(−ω) 6 6 = 2πδ(ω)

G(ω) 6 -

-

ω

t

Az egy´egnyi jel p´aros f¨ uggv´eny ´es spektruma tiszt´an val´os ´ert´ek˝ u, ahogy annak lennie kell. 4.) Hat´arozzuk meg ezut´an az (l. 6.16. a´bra) s(t) = s1 (t) + s2 (t) = −[1 − ε(t)]eαt + ε(t)e−αt

s(t)

jel Fourier-transzform´altj´at, ha 1 α > 0. Ez a jel alkal0.5 mas lesz a nem abszol´ ut integr´alhat´o el˝ojelf¨ uggv´eny spek0 trum´anak meghat´aroz´as´ara, ugyanis α → 0 eset´en s(t) -0.5 az el˝ojelf¨ uggv´enyhez tart. Az α=2 α=1 [1 − ε(t)] jel a t > 0 tarα=0,1 -1 -2 -1 0 1 2 tom´anyon nulla ´ert´ek˝ u ´es a −eαt t[s] jel α > 0 mellett abszol´ ut inαt tegr´alhat´o a [−∞, 0] interval- 6.16. a´bra. A −[1 − ε(t)]e + −αt f¨ uggv´eny alakul´ asa α lumon. Az ε(t)e−αt jelet m´ar ε(t)e ul¨ onb¨ oz˝ o ´ert´ekei mellett vizsg´altuk, ez szint´en abszol´ ut k¨ integr´alhat´o, ´ıgy a spektrum sz´am´ıthat´o a (6.56) defin´ıci´o alapj´an. A jel els˝o tagj´anak spektruma a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg: S1 (jω) = −

Z

0

−∞

e

(α−jω)t

"

e(α−jω)t dt = − α − jω 212

#0

−∞

=−

1 . α − jω

A jel m´asodik tagj´anak spektrum´at m´ar ismerj¨ uk: S 2 (jω) = 1/(α + jω). A Fourier-transzform´aci´o linearis m˝ uvelet, ez´ert a k¨ ul¨on-k¨ ul¨on meghat´arozott spektrumok o¨sszege adja az ered˝o id˝of¨ uggv´eny spektrum´at: S(jω) = S1 (jω) + S2 (jω) = −

1 −j2ω 1 + = 2 . α − jω α + jω α + ω2

Ennek hat´ar´ert´eke α → 0 eset´en a k¨ovetkez˝o:

azaz

−j2ω −j2ω −j2ω 2 = = = , 2 2 ω −(jω) −jω jω jω F{sgn t} =

2 . jω

(6.80)

Az el˝ojelf¨ uggv´eny p´aratlan, s k¨ovetkez´esk´epp spektruma tiszt´an k´epzetes. 5.) Ut´obbi k´et jel spektrum´anak ismeret´eben most m´ar meghat´arozhatjuk az egys´egugr´asjel Fourier-transzform´altj´at is, hiszen 1 1 ε(t) = + sgn t, (6.81) 2 2 ε(t) 16

0, 5 6

=

+

-

-

t

t

0, 5 sgn t 6 -

t

azaz a jelet felbontottuk egy p´aros ´es egy p´aratlan jel o¨sszeg´ere, ´es a k´et jel spektrum´anak o¨sszege adja az ε(t) jel spektrum´at: F{ε(t)} = πδ(ω) +

1 . jω

(6.82)

Az ε(t) jel nem p´aros ´es nem is p´aratlan, k¨ovetkez´esk´epp spektruma val´os ´es k´epzetes r´eszt is kell, hogy tartalmazzon. A πδ(ω) 213

tag az egyenszintnek megfelel˝o spektrum, az 1/jω tag pedig az ugr´asnak megfelel˝o spektrum. Gyors v´altoz´asok spektruma ugyanis nagyon sz´eles frekvencia intervallumot o¨lel fel egyre kisebb amplit´ ud´oval. Az ε(t) jel spektruma kis odafigyel´essel meghat´arozhat´o a k¨ovetkez˝o jel spektrum´anak ismeret´eben is: s(t) = ε(t)e−αt

⇒

S(jω) =

1 . α + jω

Ha α → 0, akkor s(t) → ε(t). A spektrumban azonban nem k´epezhetj¨ uk k¨ozvetlen¨ ul ezt a hat´ar´atmenetet, ugyanis akkor 1/jω-t kapn´ank, ami azonban a 0, 5 sgn t p´aratlan jel spektruma. Az ε(t) jel azonban nem p´aratlan. Alak´ıtsuk a´t ezen spektrumot a k¨ovetkez˝ok´epp: S(jω) =

α jω α − jω 1 = 2 − 2 . 2 α + jω α − jω α +ω α + ω2

1 A k´epzetes r´esz α → 0 eset´en a − ωjω2 = jω -hoz tart, ami a helyes eredm´eny. A val´os r´esz azonban kis magyar´azatot ig´enyel. A Dirac-impulzus vizsg´alata sor´an megeml´ıtett¨ uk a δ 1 (t, τ ) = τ alak´ u f¨ uggv´enyt (l. 12. oldal), melynek a g¨orbe alatti π(t2 +τ 2 ) ter¨ ulete egys´egnyi ´es ´ıgy a Dirac-impulzus egy lehets´eges megval´os´ıt´asak´ent fogtuk fel. A val´os r´esz ehhez nagyon hasonl´o alak´ u, ugyanis helyettes´ıts¨ unk a t v´altoz´o hely´ebe ω-t, a τ hely´ebe pedig α-t. Egyetlen k¨ ul¨onbs´eg, hogy a nevez˝oben nem szerepel a π. Integr´aljuk a val´os r´eszt az ω v´altoz´o szerint −∞-t˝ol ∞-ig: 48 Z ∞ h α ω i∞ α = πδ(ω). dω = arc tg =π ⇒ 2 2 2 α −∞ α + ω 2 α→0 −∞ α + ω

Mivel a val´os r´esz ezen improprius integr´alja konstans, ez´ert a Dirac-impulzus defin´ıci´oja szerint felfoghatjuk u ´ gy is, hogy 48

R

1 dx 1+x2

= arc tg x.

214

ez a δ(ω) Dirac-impulzus π-szerese. ´Igy az el˝obbivel megegyez˝o eredm´enyre jutottunk. Az ε(t) jel spektrum´anak ismeret´eben meghat´arozhatjuk egy s(t) jel integr´ alt jel´enek spektrum´at, ha s(t) spektruma S(jω): F

Z

t

s(τ ) dτ

−∞



=

1 S(jω) + πS(j0)δ(ω), jω

(6.83)

azaz az integr´al´as nemcsak jω-val val´o oszt´ast jelent, hanem van egy addit´ıv tag is benne, amely elt˝ unik, ha S(j0) = 0 (pl. p´aratlan f¨ uggv´eny eset´en). Ekkor S(j0) ´ertelmezett kell legyen, aminek ´ert´eke a Fourier-transzform´aci´o szerint ω = 0 helyettes´ıt´essel a k¨ovetkez˝o: Z ∞ S(j0) = s(t) dt, (6.84) −∞

ha az s(t) jel abszol´ ut integr´alhat´o. Ennek egy lehets´eges bizony´ıt´as´ahoz fel kell haszn´alnunk a konvol´ uci´o-t´etelt. Az integr´al fels˝o hat´ara t, azaz, ha vessz¨ uk s(τ ) ´es az egys´egugr´asjel a konvol´ uci´oj´at, akkor az integr´al ´ert´eke nem v´altozik meg: Z t Z t s(τ ) dτ = s(τ ) ε(t − τ ) dτ ⇒ F{s(t)} F{ε(t)}, −∞

−∞

ahonnan a t´etel m´ar k¨ovetkezik:  Z t   1 1 = πS(j0)δ(ω) + S(jω). F s(τ ) dτ = S(jω) πδ(ω) + jω jω −∞ Az egys´egugr´asjel spektrum´at ezen t´etelb˝ol is meghat´arozhatjuk, ugyanis a Dirac-impulzus ´es az egys´egugr´as jelek j´ol ismert o¨sszef¨ ugg´ese a k¨ovetkez˝o: Z t ε(t) = δ(τ ) dτ, −∞

215

´es a (6.83) o¨sszef¨ ugg´es alapj´an ´ırhatjuk, hogy  Z t 1 δ(τ ) dτ = πδ(ω) + , F {ε(t)} = F jω −∞

(6.85)

hiszen a Dirac-impulzus spektruma 1. Ha az s(t) jel bel´ep˝ o, akkor az als´o integr´al´asi hat´ar −0 lesz. Az als´o hat´ar akkor lehet 0, ha s(t) nem tartalmaz Dirac-impulzust.

6.3.4.

A v´ alasz spektruma ´ es id˝ of¨ uggv´ enye

Az s(t) gerjeszt´es S(jω) spektrum´anak meghat´aroz´asa ut´an a rendszer W (jω) a´tviteli karakterisztik´aj´at felhaszn´alva fel´ırhatjuk a rendszer v´alasz´anak spektrum´at: Y (jω) = W (jω) S(jω),

(6.86)

amelynek inverz Fourier-transzform´altja szolg´altatja a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et: Z ∞ 1 y(t) = F −1 {Y (jω)} = (6.87) Y (jω)ejωt dω. 2π −∞ Ezen integr´al csak nagyon speci´alis ´es egyszer˝ u esetekben alkalmas az id˝of¨ uggv´eny k´epletszer˝ u megad´as´ara. Legt¨obb esetben csak numerikusan oldhat´o meg. A gyakorlatban azonban a spektrumb´ol sok l´enyeges jellemz˝ore lehet k¨ovetkeztetni. A k¨ovetkez˝okben azt vizsg´aljuk, hogy alkalmazhat´o a spektrumm´odszer line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszerek tulajdons´againak meghat´aroz´as´ara. Az alakh˝ u jel´ atvitel Az alakh˝ u jel´atvitel (torz´ıt´asmentes jel´atvitel) azt jelenti, hogy az y(t) v´alasz csak egy a´lland´o K szorz´oval ´es egy τ id˝ok´esleltet´essel t´erhet el az s(t) gerjeszt´est˝ol: y(t) = Ks(t − τ ), 216

τ > 0.

(6.88)

Felhaszn´alva az eltol´asi t´etelt, a v´alaszjel ´es a gerjeszt´es spektrum´anak kapcsolata a k¨ovetkez˝o: Y (jω) = K S(jω)e−jωτ ,

(6.89)

azaz az alakh˝ u jel´atvitelt biztos´ıt´o rendszer ide´alis a´tviteli karakterisztik´aja a k¨ovetkez˝o: W (jω) =

Y (jω) = Ke−jωτ , S(jω)

(6.90)

melynek amplit´ ud´okarakterisztik´aja teh´at konstans: |W (jω)| = K, f´aziskarakterisztik´aja pedig line´aris, azaz egy negat´ıv meredeks´eg˝ u egyenes: arcW (jω) = −ωτ . Ilyen rendszer a gyakorlatban nem val´os´ıthat´o meg minden ω k¨orfrekvenci´an. De erre nincs is sz¨ uks´eg, elegend˝o ugyanis csak egy adott intervallumban (k¨ozel´ıt˝oleg) biztos´ıtani azt, amely intervallumot a gerjeszt´es spektrum´anak un. s´ avsz´eless´ege hat´aroz meg. Term´eszetesen a rendszer a´tviteli karakterisztik´aja is rendelkezik s´avsz´eless´eggel. Ezekr˝ol lesz sz´o a k¨ovetkez˝okben, majd egy egyszer˝ u p´eld´an illusztr´aljuk a le´ırtakat. A jel s´ avsz´ eless´ ege Olyan gerjeszt´esekre szor´ıtkozunk, amelyek spektruma egy frekvencias´avon k´ıv¨ ul elhanyagolgat´o. Ez term´eszetes, hiszen ha nem ´ıgy lenne, akkor a jel nem lenne abszol´ ut integr´alhat´o, azaz v´eges energi´aj´ u (l. Parseval-t´etel, a (6.65) o¨sszef¨ ugg´es). Egy jel s´avsz´eless´eg´en azt a k¨orfrekvencia-intervallumot ´ertj¨ uk, amelyen k´ıv¨ ul a jel amplit´ ud´ospektruma elhanyagolhat´o, s ´ıgy null´anak tekinthet˝o: |S(jω)|max ≤ |S(jω)| ≤ |S(jω)|max ,

(6.91)

azaz elhanyagolhat´onak tekintj¨ uk a jel amplit´ ud´ospektrum´at, ha ´ert´eke a maximum -szoros´an´al kisebb. Az  egy adott kis 217

´ert´ek˝ u pozit´ıv sz´am. Ezen felt´etelhez hat´arozand´o meg a jel s´avsz´eless´ege, amelyet ∆ωS -sel fogunk jel¨olni. Meg szok´as adni a s´avsz´eless´eg intervallum´anak ω a als´o ´es ωf fels˝o hat´ar´at is, ilyenkor ∆ωS = ωf − ωa . Az a ´tviteli karakterisztika s´ avsz´ eless´ ege Az a´tviteli karakterisztika amplit´ ud´okarakterisztik´aj´anak k´et tartom´anya van. Az egyik az un. a ´tereszt˝ otartom´ any, a m´asik az un. z´ ar´ otartom´ any. Az a´tereszt˝otartom´any a k¨orfrekvenci´aban az az intervallum, ahol az amplit´ ud´okarakterisztika nem kisebb egy adott ´ert´ekn´el. A z´ar´otartom´any a k¨orfrekvenci´aban az az intervallum, ahol az amplit´ ud´okarakterisztika nem nagyobb egy adott ´ert´ekn´el. A viszony´ıt´ast mindig az amplit´ ud´okarakterisztika maxi´ mum´ahoz k´epest szok´as megtenni. Atereszt˝ otartom´anyban teh´at: η1 |W (jω)|max ≤ |W (jω)| ≤ |W (jω)|max ,

(6.92)

z´ar´otartom´anyban pedig 0 ≤ |W (jω)| ≤ η2 |W (jω)|max .

(6.93)

´ Az η1 ´es η2 √ ´ert´ekek mindig adottak. Altal´ aban ezek ´ert´eke η = η1 = η2 = 1/ 2, ami a −3dB-nek felel meg (3dB-es csillap´ıt´as). 49 Ism´et ezen felt´etelhez hat´arozand´o meg az a´tviteli karakterisztika (vagyis a rendszer) s´avsz´eless´ege, amelyet ∆ω W -vel fogunk jel¨olni. Meg szok´as adni a s´avsz´eless´eg intervallum´anak ω a als´o ´es ωf fels˝o hat´ar´at is, ilyenkor ∆ωW = ωf − ωa . Az alakh˝ u jel´ atvitel felt´etele az, hogy a rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´anak s´avsz´eless´ege foglalja mag´aba a jel s´avsz´eless´eg´et, azaz a rendszer s´avsz´eless´ege legyen nagyobb a jel s´avsz´eless´eg´enel: ∆ωW ≥ ∆ωS . 49

(6.94)

Megjegyezz¨ uk, hogy ez a −3dB-es hat´ ar a |W (jω)|2 un. energia´ atvitelikarakterisztika maximum´ anak a fel´et jelenti.

218

Ez az alakh˝ u jel´atvitel egyike felt´etele. Ha teljes¨ ul m´eg, hogy a rendszer f´aziskarakterisztik´aja k¨ozel line´aris a ∆ω S tartom´anyban, akkor az a´tvitel j´o k¨ozel´ıt´essel alakh˝ u. P´ elda. Egy rendszer a´tviteli karakterisztik´aja ´es gerjeszt´ese adott. A param´eterek √ legyenek a gyakorlatban is alkalmazott ´ert´ekek:  = 0, 1, η = 1/ 2. A mennyis´egek SI-ben ´ertend˝ok. W (jω) =

1 , 1 + jω0, 1

s(t) = ε(t + T ) − ε(t − T ).

Megold´ as. Hat´arozzuk meg el˝osz¨or a jel s´avsz´eless´eg´et. A jel spektrum´at ´es amplit´ ud´ospektrum´at m´ar kor´abban, a (6.77) levezet´esben meghat´aroztuk: sin ωT sin ωT . S(jω) = 2T ⇒ |S(jω)| = 2T ωT ωT

Abban az esetben, ha a jel amplit´ ud´ospektruma s˝ ur˝ un v´altozik, c´elszer˝ u a jel burkol´og¨orb´ej´et alapul venni a s´avsz´eless´eg meghat´aroz´asa sor´an. A burkol´og¨orbe most 2/ω (l. 6.15. a´bra). Az amplit´ ud´ospektrum maximum ´ert´eke az ω = 0 k¨orfrekvenci´an van, |S(jω)|max = |S(0)| = 2T , ´ıgy a jel s´avsz´eless´ege meghat´arozhat´o a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´eg alapj´an: |S(jω)|max ≤ |S(jω)|

⇒

0, 1 · 2T ≤

2 , ω

odik, azaz a jel s´avsz´eless´ege ∆ω S = 10 ahonnan ω ≤ 10 T ad´ T . Hat´arozzuk meg ezut´an a rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´anak s´avsz´eless´eg´et. Az amplit´ ud´okarakterisztika a k¨ovetkez˝o: 1 , |W (jω)| = p 1 + 0, 01 ω 2 219

melynek maximuma az ω = 0 helyen van, ´es ez a maximum |W (jω)|max = |W (0)| = 1. Az a´tviteli karakterisztika s´avsz´eless´ege meghat´arozhat´o a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´eg alapj´an: 1 1 , η|W (jω)|max ≤ |W (jω)| ⇒ √ · 1 ≤ p 2 1 + 0, 01 ω 2

odik, azaz a rendszer s´avsz´eless´ege ∆ω W = ahonnan ω ≤ 10 rad s ad´ 10 rad . s Azt kell megvizsg´alnunk, vajon milyen sz´eless´eg˝ u impulzusokat k´epes ez a rendszer alakh˝ uen a´tvinni, azaz vizsg´alni kell a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´eget: 10 ⇒ T ≥ 1s. ∆ωW ≥ ∆ωS ⇒ 10 ≥ T A 6.17. a´br´an k´et eset l´athat´o. Az a´br´akon berajzoltuk a 2/ω burkol´og¨orb´et, valamint az amplit´ ud´ospektrumot ´es bejel¨olt¨ uk a s´avsz´eless´egeket is. A spektrumok abszol´ ut ´ert´eke p´aros f¨ uggv´eny, ez´ert a´ll az a´br´an a s´avsz´eless´egek k´etszerese, defin´ıci´o szerint a s´avsz´eless´eg az ω = 0 k¨orfrekvenci´at´ol m´erend˝o. Az els˝o esetben a T = 2 s, ami kiel´eg´ıtit a T ≥ 1 s felt´etelt, azaz a jel s´avsz´eless´ege kisebb, mint a rendszer s´avsz´eless´ege: ∆ω S = 5 rad s , ∆ωW = rad ud´okarakterisztik´aja ekkor k¨ozel´ıt˝oleg 10 s . Az rendszer amplit´ konstansnak tekinthet˝o. A m´asodik esetben T = 0, 2 s, ami nem biztos´ıtja az alakh˝ u jel´atvitelt, ekkor a jel s´avsz´eless´ege ugyanis nagyobb, mint a rendszer s´avsz´eless´eg: ∆ω S = 50 rad s , ∆ωW = rad ud´okarakterisztik´aja nem 10 s , ´es l´athat´o, hogy a rendszer amplit´ tekinthet˝o konstansnak. Az els˝o esetben a f´aziskarakterisztika a bejel¨olt ∆ωS intervallumon nagyon j´ol k¨ozel´ıti a line´aris egyenest, a m´asodik esetben azonban ez sem teljes¨ ul. L´athat´o tov´abb´a, hogy a f´aziskarakterisztika p´aratlan f¨ uggv´eny. Vizsg´aljuk meg ezut´an a rendszer kimeneti jel´et ezen k´et esetben. A kimeneti jel kifejez´ese a k¨ovetkez˝o:  Z ∞ 1 sin ωT 1 y(t) = 2T ejωt dω. 2π −∞ ωT 1 + jω0, 1 220

2

2

1.5

1

|W(jω)|

0.5 2∆ωS 2∆ωW

0 -10

-5

0 ω[rad/s]

1.5

2∆ωW 1

0.5

0 5

10

-100

100

100

50

50

0 2∆ωS

-50

-100 -10

-5

0 ω[rad/s]

2∆ωS

|W(jω)|

φ(o)

φ(o)

2/ω |S(ω)|, |W(jω)|

|S(ω)|, |W(jω)|

2/ω

-50

-100 -100

10

50

100

0 2∆ωS

-50

5

0 ω[rad/s]

-50

0 ω[rad/s]

50

100

6.17. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o jel amplit´ ud´ ospektrum´ anak burkol´ og¨ orb´eje, az a ´tviteli karakterisztika amplit´ ud´ okarakterisztik´ aja, f´ aziskarakterisztik´ aja ´es a s´ avsz´eless´egek T = 2 s ´es T = 0, 2 s esetekben Ezen integr´al ki´ert´ekel´es´et numerikusan v´egezt¨ uk el (egy programot lehet ´ırni a meghat´aroz´as´ara). A rendszer kimeneti jel´enek id˝of¨ uggv´enye l´athat´o a 6.18. a´br´an T = 2 s ´es T = 0, 2 s esetekre. Az els˝o esetben az alakh˝ u jel´atvitel k¨ozel´ıt˝oleg biztos´ıtott, hiszen a kimeneti jel alakja hasonl´ıt a bemeneti jel alakj´ahoz, ´ert´ek´et pedig kis k´esleltet´essel el´eri. A m´asodik esetben az alakh˝ u jel´atvitel k¨ozel´ıt˝oleg sem biztos´ıtott, hiszen a kimeneti jel meg sem k¨ozel´ıti a bementi jel alakj´at. Az alakh˝ u jel´atvitel teh´at f¨ ugg a rendszert˝ol (annak id˝oa´lland´oit´ol) ´es a gerjeszt´est˝ol. 221

2

1.5

1.5 s(t), y(t)

s(t), y(t)

2

1

0.5

1

0.5

0 -4

-2

0 t[s]

2

0 -0.4

4

-0.2

0 t[s]

0.2

0.4

6.18. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o rendszer s(t) gerjeszt´esre adott v´ alasza T = 2s ´es T = 0, 2s esetekben S´ avkorl´ atozott jelek Az el˝oz˝o p´eld´akban (l. pl. a 6.15. a´br´an) l´attuk, hogy egy s(t) jel S(jω) spektrum´anak |S(jω)| amplit´ ud´ospektruma az ω k¨orfrekvencia n¨oveked´es´evel a ´ltal´ aban cs¨okken. Ha a jel abszol´ ut integr´alhat´o (v´eges energi´aj´ u), akkor ez biztosan igaz. 50 Nem k¨ovet¨ unk el nagy hib´at, ha egy bizonyos Ω k¨orfrekvencia felett a jel amplit´ ud´ospektrum´at null´anak tekintj¨ uk, elhanyagoljuk: |S(jω)| = 0,

ha

|ω| > Ω.

(6.95)

Az ilyen t´ıpus´ u jeleket nevezz¨ uk s´ avkorl´ atozott jeleknek. Fontos megjegyezni, hogy az Ω s´avkorl´at ´es a jel ∆ω S s´avsz´eless´ege nem egyenl˝oek, el˝obbi ugyanis a´ltal´aban nagyobb, Ω > ∆ωS .

(6.96)

Ha az ´ıgy el˝oa´ll´o, ω-t´ol f¨ ugg˝o jelet perodikusnak k´epzelj¨ uk 2Ω 51 peri´odushosszal , akkor az Fourier-sorba fejthet˝o, de a sort csak 50

Parseval t´etele ´ertelm´eben abszol´ ut inter´ alhat´ o jelek amplit´ ud´ ospektruma null´ ahoz tart, ha a k¨ orfrekvencia v´egtelenhez tart (l. (6.65) o ¨sszef¨ ugg´es). 51 Az´ert 2Ω, mert az amplit´ ud´ ospektrum p´ aros f¨ uggv´eny. Ezt ´ıgy jel¨ olt¨ ok a 6.17. ´es 6.18. a ´br´ akon is.

222

az |ω| < Ω tartom´anyban haszn´aljuk. Az alap ,,k¨orfrekvenci´aja” π 2π =Ω mennyis´eg, ezen amplit´ ud´ospektrumnak az id˝odimenzi´oj´ u 2Ω mivel a peri´odushossz 2Ω. A levezet´es mell˝oz´es´evel mondjuk ki a k¨ovetkez˝o, gyakorlat sz´am´ara is l´enyeges un. mintav´eteli t´etelt: b´ armely folytonos idej˝ u, s´ avkorl´ atozott jel id˝ of¨ uggv´enye (elm´eletileg) tetsz˝ oleges pontoss´ aggal meghat´ arozhat´ o, ha ismert a jel nagys´ aga adott diszkr´et π (mintav´eteli) id˝ opillanatokban, ´es a mint´ ak legfeljebb T s = Ω 52 t´ avols´ agra vannak egym´ ast´ ol. A mintav´etelez´es peri´odusideje ´es frekvenci´aja teh´at Ts ≤

π Ω

⇒

fs ≥

Ω . π

(6.97)

Ezt a frekvenci´at Nyquist-frekvenci´ a nak is szokt´ak nevezni ´es f N nel jel¨olni. A mintav´etelez´es teh´at er˝osen o¨sszef¨ ugg a jel spektrum´aval. Fontos megjegyezni, hogy ez csak k¨ozel´ıt˝oleg teljes¨ ulhet, mert pl. a jelek val´oj´aban nem s´avkorl´atozottak. A mintav´etelez´essel a 10. fejezetben fogunk foglalkozni, mert ehhez sz¨ uks´eg¨ unk lesz a k¨ovetkez˝o fejezetben t´argyalt ismeretekre is. Itt csak megeml´ıtett¨ uk a spektrum ´es a mintav´etelez´es kapcsolat´at. Sz˝ ur˝ ok A n´egy alapvet˝o sz˝ ur˝okarakterisztika l´athat´o a 6.19. a´br´an. Az alul´ atereszt˝ o-sz˝ ur˝ o a jel kisfrekvenci´as komponenseit a´tengedi, a magasfrekvenci´as komponenseket pedig elnyomja. A fel¨ ul´ atereszt˝ o-sz˝ ur˝ o ennek pontosan a ford´ıtottja. A s´ av´ atereszt˝ osz˝ ur˝ o egy bizonyos intervallumon k´ıv¨ ul minden komponenset elnyom, a s´ avz´ ar´ o-sz˝ ur˝ o pedig egy bizonyos intervallumot elnyom, a t¨obbit pedig a´tengedi. A sz˝ ur˝ok viselked´ese nev¨ ukb˝ol teh´at k¨ovetkezik. 52

Az s index az angol sampling (mintav´eteli) sz´ ora utal.

223

1

1

0.75

0.75 |W(jω)|

|W(jω)|

Ha pl. egy alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o bemeneti jele egy periodikus n´egysz¨ogjel, amelynek nagy az amplit´ ud´os˝ ur˝ us´ege a magasfrekvenci´an is, akkor a sz˝ ur˝o ezen komponenseket elnyomja, k¨ovetkez´esk´epp a kimeneti jelben nem lesznek ´erz´ekelhet˝ok a hirtelen ugr´asok. Ez a jelet ,,sim´ıtja”.

0.5

0.25

0.25

0

0 -1

-0.5

0 ω[rad/s]

0.5

1

-1

1

1

0.75

0.75 |W(jω)|

|W(jω)|

0.5

0.5

0.25

-0.5

0 ω[rad/s]

0.5

1

-0.5

0 ω[rad/s]

0.5

1

0.5

0.25

0

0 -1

-0.5

0 ω[rad/s]

0.5

1

-1

6.19. a´bra. Tipikus sz˝ ur˝ okarakterisztik´ ak: fel¨ ul´ atereszt˝ o, s´ av´ atereszt˝ o, s´ avz´ ar´ o

224

alul´ atereszt˝ o,

Zajsz˝ ur´ es

50

0.5

40

0 -0.5

1 ssz(t), s(t)

1 |Sn(jω)|

s(t)+n(t)

A zajos jelek sz˝ ur´ese a Fourier-anal´ızis egyik fontos gyakorlati alkalmaz´asa. P´eldak´epp (6.20. a´bra) vegy¨ unk egy zajjal terhelt sn (t) = s(t) + n(t) jelet, ahol s(t)-t akarjuk meghat´arozni ´es n(t) egy addit´ıv v´eletlenszer˝ u zaj. Hat´arozzuk meg ennek |Sn (jω)| amplit´ ud´ospektrum´at. Az amplit´ ud´ospektrumb´ol v´alasszuk ki a k´et legnagyobb ´ert´ek˝ u o¨sszetev˝ot, azaz egy adott szint alatt hagyjunk el (sz˝ urj¨ unk) minden komponenset, majd inverz Fourier-transzform´aci´oval a´ll´ıtsuk el˝o az s sz (t) sz˝ urt jel id˝of¨ uggv´eny´et. Mindezt numerikus az un. gyors Fouriertranszform´ aci´ o val v´egezt¨ uk (FFT, Fast Fourier Transform). A sz˝ urt jel csak kis m´ert´ekben t´er el az eredeti s(t) jelt˝ol.

30 20 10

-1

0 0

0.5

1 1.5 t[s]

2

0.5 0 -0.5 -1

0

10 20 30 40 50 k

0

0.5

1 1.5 t[s]

2

6.20. a´bra. A zajos jel, annak amplit´ ud´ ospektruma, valamint a Fourier-anal´ızissel sz˝ urt ´es az eredeti jel o ¨sszehasonl´ıt´ asa

225

7. fejezet

DI rendszerek anal´ızise a frekvenciatartom´ anyban 7.1. 7.1.1.

Szinuszos ´ alland´ osult v´ alasz sz´ am´ıt´ asa A szinuszos jel

orfrekvenci´aj´ u folytonos A diszkr´et idej˝ u szinuszos jel az ω = 2π T k¨ idej˝ u szinuszos jelb˝ol (l. el˝oz˝o fejezet) sz´armaztathat´o, ha abb´ol Ts id˝ok¨oz¨onk´ent mint´akat vesz¨ unk. T V´alasszuk el˝osz¨or a mintav´eteli peri´odusid˝ot T s = K (K > 0 ´es K ∈ Z) ´ert´ek˝ unek. Ekkor egy peri´odusb´ol pontosan K sz´am´ u mint´at vesz¨ unk, ami egy diszkr´et idej˝ u szinuszos jelet eredm´enyez. Abban az esetben, ha a mintav´eteli peri´odusid˝ot a k´etszeres´ere n¨ovelj¨ uk, akkor k´et peri´odusb´ol vesz¨ unk K sz´am´ u mint´at, ami szint´en egy diszkr´et idej˝ u szinuszos jel lesz. Ezt legfeljebb K − 1 sz´am´ u peri´odusra v´egezhetj¨ uk el, az eredm´eny pedig mindig egy diszkr´et idej˝ u szinuszos jel. Ha ugyanis K sz´am´ u mint´at venn´enk egyenletesen K sz´am´ u peri´odusb´ol, akkor minden mintav´etellel a jel ugyanazon ´ert´ek´et kapn´ank, ami pedig egy konstans ´ert´ek˝ u jel lenne. Jel¨olj¨ uk a mint´ak sz´am´at K-val, ´es M -mel a folytonos idej˝ u

226

jel figyelembe vett peri´odusainak a sz´am´at. Nem sz¨ uks´egszer˝ u teh´at az, hogy a mintav´etelez´es T s perio´dusidej´enek eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose egyenl˝o legyen a folytonos idej˝ u jel T peri´odusidej´evel, azonban a mintav´etelez´esi id˝o eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose egyenl˝o kell legyen a folytonos idej˝ u jel peri´odusidej´enek eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨os´evel. Az el˝obbi jel¨ol´esek alapj´an teh´at M T = KTs

⇒

Ts M = . K T

(7.1)

Ellenkez˝o esetben a kapott diszkr´et idej˝ u jel nem lesz periodikus. Az elmondottak illusztr´al´asa c´elj´ab´ol vegy¨ uk szem¨ ugyre a 7.1. a´br´at. Itt egy folytonos idej˝ u szinuszos jel l´athat´o (T = 10 ms), amelyb˝ol h´arom m´odon mint´akat vett¨ unk. Az els˝o a´br´an Ts = 2 ms. Ebben az esetben 5 mintav´eteli peri´odus ut´an pontosan el´er¨ unk egy peri´odus v´eg´ere, azaz M = 1 ´es K = 5. A m´asodik a´br´an Ts = 4 ms, s l´athat´o, hogy 2 peri´odus sz¨ uks´eges ahhoz, hogy a mintavett jel ism´etl˝odj´ek, azaz M = 2 peri´odus sz¨ uks´eges a K = 5 mint´ahoz. A harmadik a´br´an T s = 10 3 ms, s itt h´ a nyados k´et M = 1 ´es K = 3. A l´enyeg teh´at az, hogy az M K pozit´ıv eg´esz sz´am h´anyadosa, azaz egy racion´alis sz´am legyen. Ekkor a mintav´etelez´essel kapott diszkr´et idej˝ u jel is periodikus. orfrekAz a´br´akb´ol kit˝ unik, hogy ha M = 1, akkor egy ϑ = 2π K k¨ venci´aj´ u szinuszos jelet kapunk, ugyanis ekkor a folytonos idej˝ u

1 0 -1 -2

2 s(t), s(kTs)

2 s(t), s(kTs)

s(t), s(kTs)

2

1 0 -1 -2

0

5

10 15 t[ms]

20

1 0 -1 -2

0

5

10 15 t[ms]

20

0

5

10 15 t[ms]

20

7.1. a´bra. Folytonos idej˝ u periodikus jelb˝ ol mintav´etelez´essel kapott diszkr´et idej˝ u periodikus jelek 227

szinuszos jel egyetlen peri´odus´ab´ol vesz¨ unk K sz´am´ u mint´at. Egy folytonos idej˝ u szinuszos jel id˝of¨ uggv´enye a (6.1) o¨sszef¨ ugg´es szerint a k¨ovetkez˝o: s(t) = S cos(ωt + ρ), ahol S > 0 a jel cs´ ucs´ert´ek e, vagy amplit´ ud´ o ja, ρ pedig a jel kezd˝ of´ azisa (0 ≤ ρ < 2π, vagy −π ≤ ρ < π). A mintav´etelez´es sor´an a folytonos idej˝ u jelb˝ol t = kT s id˝opillanatokban vesz¨ unk mint´at: s[k] = s(t)|t=kTs = S cos(ωkTs + ρ), ahol ϑ = ωTs az un. diszkr´et idej˝ u k¨ orfrekvencia. A diszkr´et idej˝ u szinuszos jel id˝of¨ uggv´enye teh´at a k¨ovetkez˝o: s[k] = S cos(ϑk + ρ).

(7.2)

L´attuk, hogy ez csak akkor periodikus, ha a ϑ = ωTs =

2π Ts Ts = 2π T T

k¨orfrekvenci´aban szerepl˝o TTs h´anyados (7.1) szerint egy racion´alis sz´am, s mint ilyen fel´ırhat´o k´et (jelen esetben pozit´ıv, hiszen csak pozit´ıv k¨orfrekvenci´ar´ol besz´el¨ unk) eg´esz sz´am h´anyadosak´ent, , ahol M ∈ N ´ e s K ∈ N ´es egyik sem nulla. Ezt u ´ gy azaz ϑ = 2π M K is mondhatn´ank, hogy a diszkr´et idej˝ u jel akkor periodikus, ha a ϑ h´ a nyados egy racion´ a lis sz´ a mot ad eredm´eny¨ ul: 2π Ts M ϑ = = ∈ Q. 2π T K

(7.3)

P´eld´aul az s[k] = 2 cos(3k) diszkr´et idej˝ u jel nem periodikus, hiϑ = 1,5 h´ a nyados irracion´ alis sz´am. Ugyanszen ϑ = 3, s ´ıgy a 2π π √ π
π csak nem periodikus az s[k] = 3 cos 2 3 k + 2 jel sem, hiszen a 228

√

ϑ 2π

= 62 , ami szint´en irracion´alis. Az s[k] = 2 cos( 32 πk) jel viszont ϑ periodikus, hiszen a 2π = 31 egy racion´alis sz´am. A diszkr´et idej˝ u jel peri´odusa (diszkr´et idej˝ u peri´odusideje) K, ami egy m´ert´ekegys´eg n´elk¨ uli pozit´ıv eg´esz sz´am, a ϑ k¨orfrekvencia SI m´ert´ekegys´ege pedig radi´an. A diszkr´et idej˝ u szinuszos jel term´eszetesen ´ertelmezhet˝o a folytonos idej˝ u jelt˝ol f¨ uggetlen¨ ul is:   M s[k] = S cos (ϑk + ρ) = S cos 2π k + ρ , K

(7.4)

2

2

1

1

1

0

s[k]

2

s[k]

s[k]

Diszkr´et idej˝ u szinuszos jelekre p´eld´akat l´athatunk a 7.2. a´br´an. L´athat´o, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o K ´es M ´ert´ekek ugyanazon diszkr´et idej˝ u jelet eredm´enyezhetik.

0

-1

-1

-2

-2 -2

0

2 k

4

6

0 -1 -2

-2

0

2 k

4

6

-2

0

2 k

4

6

7.2. a´bra. Diszkr´et idej˝ u szinuszos jelek K = 4 peri´ odussal, M = 1, M = 2 ´es M = 3 ´ert´ekek mellett

7.1.2.

A szinuszos jel komplex le´ır´ asa

A diszkr´et idej˝ u szinuszos jelek le´ır´as´ara ugyanolyan m´odon alkalmazzuk a komplex le´ır´ ast1 , mint ahogy a folytonos idej˝ u jelek 1

A komplex sz´ amok bevezet´es´et itt nem ism´etelj¨ uk meg, a r´eszleteket l. 142. oldalon.

229

eset´eben, azaz: n o n o s[k] = S cos(ϑk + ρ) = Re Sej(ϑk+ρ) = Re Sejϑk ejρ ,

(7.5)

ahonnan S = Sejρ

⇒

n o s[k] = Re Sejϑk = Re {s[k]} .

(7.6)

Az S neve ebben az esetben is komplex amplit´ ud´ o, vagy komplex cs´ ucs´ert´ek, amely k´et inform´aci´ot hordoz: a jel S cs´ ucs´ert´ek´et ´es ρ kezd˝of´azis´at. A diszkr´et idej˝ u jel komplex pillanat´ert´ek e pedig az s[k] = Sejϑk kifejez´es, amely egy forg´o fazor: abszol´ ut ´ert´ek´et ´es kezd˝of´azis´at az S cs´ ucs´ert´ek ´es a ρ sz¨og adja, helyzete, azaz ahova a vektor mutat az ejϑk fazor hat´arozza meg minden egyes k id˝opillanatban. A fazor minden egyes k u ¨ temben a ϑk sz¨og ir´any´aba mutat. Ez a fazor az o´ramutat´o j´ar´as´aval ellent´etes ir´anyban ϑ k¨orfrekvenci´aval forog, ´es a val´os tengelyre vett vet¨ ulete, azaz a komplex pillanat´ert´ek val´os r´esze adja a (7.2) id˝of¨ uggv´enyt. A k´epzetes tengelyre vett vet¨ ulete, azaz a komplex pillanat´ert´ek k´epzetes r´esze egy ugyanilyen amplit´ ud´oj´ u, f´azissz¨og˝ u ´es k¨orfrekvenci´aj´ u szinuszos jel. Az elmondottak illusztr´al´asa c´elj´ab´ol az s[k] = 2 cos( 2π 3 k) jel fazorj´at ´es id˝of¨ uggv´eny´et v´azoltuk fel a 7.3. a´br´an. Ha a gerjeszt˝ojel k¨orfrekvenci´aja ϑ ´es a rendszer line´ aris, akkor a rendszer kimeneti jel´enek a k¨orfrekvenci´aja is ϑ lesz. Azaz a gerjeszt´es ´es a v´alasz k¨orfrekvenci´aja megegyezik. Ez´ert az e jϑk t´enyez˝ovel nem is kell foglalkoznunk, mert az csak a k¨orfrekvenci´at tartalmazza. A k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´eseket a k´es˝obbiekben t¨obbsz¨or is alkalmazni fogjuk. 1.) Diszkr´et idej˝ u jelek eset´eben is igaz, hogy az s 1 [k] ´es s2 [k] szinuszos jelek o¨sszege ´es k¨ ul¨onbs´ege a jelek komplex 230

2

2 k=1,4,... 1

0

s[k]

Im

1

k=0,3,6,...

-1

0

-1 k=2,5,...

-2

-2 -2

-1

0 Re

1

2

0

1

2

3 k

4

5

6

7.3. a´bra. Egy diszkr´et idej˝ u szinuszos jel komplex pillanat´ert´ek´enek ´es id˝ of¨ uggv´eny´enek illusztr´ aci´ oja cs´ ucs´ert´ek´enek meghat´aroz´asa ut´an a k¨ovetkez˝ok´epp k´epezhet˝o: s[k] = s1 [k] ± s2 [k]

⇔

S = S1 ± S2.

(7.7)

2.) Egy K val´os sz´ammal v´egzett szorz´as a vektor hossz´at, azaz a cs´ ucs´ert´eket v´altoztatja meg: y[k] = Ks[k]

⇔

Y = KS.

(7.8)

Ha K > 0, akkor y[k] ´es s[k] f´azisban vannak, ha K < 0, akkor egym´ashoz k´epest 180◦ -kal vannak eltolva. 3.) Sz¨ uks´eg¨ unk lesz a k´esleltetett jel komplex cs´ ucs´ert´ek´ere. ´Irjuk fel teh´at az s[k] jel k´esleltetett megfelel˝oj´enek id˝of¨ uggv´eny´et, felhaszn´alva a komplex cs´ ucs´ert´ek ´es a komplex pillanat´ert´ek (7.6) defin´ıci´oj´at: o n o n (7.9) s[k − 1] = Re Sejϑ(k−1) = Re Sejϑk e−jϑ . Ezen o¨sszef¨ ugg´esb˝ol l´athat´o, hogy az id˝obeli k´esleltet´es a komplex cs´ ucs´ert´ekekre a´tt´erve e−jϑ t´enyez˝ovel t¨ort´en˝o szorz´ast jelent, azaz y[k] = s[k − 1]

⇔ 231

Y = Se−jϑ ,

(7.10)

azaz a k´esleltetett y[k] jel f´azisban ϑ sz¨oggel k´esik az s[k] jelhez ´ k´epest. Altal´ anosan, K u ¨ temmel t¨ort´en˝o eltol´asra a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es a´ll fenn: y[k] = s[k − K]

⇔

Y = Se−jϑK .

(7.11)

Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as alkalmaz´asa sor´an pedig sz¨ uks´eg¨ unk lesz az 1 u ¨ temmel siettetett jel komplex cs´ ucs´ert´ek´ere, ami az el˝oz˝oekb˝ol m´ar k¨ovetkezik: y[k] = x[k + 1]

7.1.3.

⇔

Y = Xejϑ .

(7.12)

Az ´ atviteli karakterisztika

Az a ´tviteli karakterisztika ´ es az a ´tviteli egy¨ utthat´ o fogalma, a v´ alaszjel sz´ am´ıt´ asa Ha egy diszkr´et idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, akkor a teljes v´alasz tranziens o¨sszetev˝oje null´ahoz tart ´es a v´alasz egy id˝o ut´an megegyezik a stacion´arius o¨sszetev˝ovel. Ha a gerjeszt´es szinuszos lefut´as´ u, akkor a v´alaszjel is szinuszos lesz ugyanazon k¨orfrekvenci´aval. Ez a pr´obaf¨ uggv´enym´odszerb˝ol is k¨ovetkezik. Legyen h´at a gerjeszt´es (a vizsg´al´ojel) is ´es a v´alasz is szinuszos: s[k] = S cos(ϑk + ρ),

y[k] = Y cos(ϑk + ϕ).

(7.13)

´Irjuk fel ezen jelek komplex cs´ ucs´ert´ek´et: S = Sejρ ,

Y = Y ejϕ ,

(7.14)

majd k´epezz¨ uk ezek h´anyados´at, ami az un. a ´tviteli karakterisztika: Y W = W (ejϑ ) = . (7.15) S 232

s[k] = S cos(ϑk + ρ)

-

S=

Sejρ

W (ejϑ )

y[k] = Y cos(ϑk + ϕ) -

Y =Y

ejϕ

Az a´tviteli karakterisztika a ϑ k¨orfrekvencia f¨ uggv´enye ´es adott k¨orfrekvenci´an (ami pl. a gerjeszt´es k¨orfrekvenci´aja) megadja a v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´ek´et a gerjeszt´es komplex cs´ ucs´ert´ek´enek f¨ uggv´eny´eben: Y = W S,

(7.16)

amelyb˝ol a v´alasz y[k] id˝of¨ uggv´enye meghat´arozhat´o a komplex cs´ ucs´ert´ek defin´ıci´oja alapj´an. Az a´tviteli karakterisztika egy adott k¨orfrekvenci´an egy komplex sz´am, amit a ´tviteli egy¨ utthat´ onak h´ıvunk. Az a´tviteli egy¨ utthat´o megadja azt, hogy a gerjeszt´es a´ltal megszabott k¨orfrekvenci´an a rendszer hat´as´ara mennyivel fog k¨ ul¨onb¨ozni a v´alaszjel amplit´ ud´oja ´es f´azisa a gerjeszt´es amplit´ ud´oj´at´ol ´es f´azis´at´ol. Megford´ıtva teh´at azt mondhatjuk, hogy ha az a´tviteli egy¨ utthat´ot t¨obb frekvenci´an meghat´arozzuk, akkor el˝oa´ll´ıthatjuk az a´tviteli karakterisztik´at. Adott k¨orfrekvenci´an teh´at az a´tviteli karakterisztika az a´tviteli egy¨ utthat´ot adja: W = Kejφ , ahol K = |W |, az a´tviteli egy¨ utthat´o abszol´ ut ´ert´eke, φ = arcW pedig az a´tviteli egy¨ utthat´o sz¨oge a vizsg´alt k¨orfrekvenci´an. A v´alaszjel ezen a k¨orfrekvenci´an teh´at az al´abbiak szerint sz´am´ıthat´o: Y = W S = Kejφ Sejρ = KSej(φ+ρ) ,

(7.17)

s ´ıgy a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a k¨ovetkez˝o: y[k] = |{z} KS cos(ϑk + (φ + ρ)) = Y cos(ϑk + ϕ). | {z } Y

(7.18)

ϕ

Megadtuk teh´at az a´tviteli karakterisztika defin´ıci´oj´at ´es azt, hogy hogyan lehet alkalmazni a szinuszosan gerjesztett v´alasz 233

sz´am´ıt´as´aban. A k¨ovetkez˝okben megvizsg´aljuk, hogy milyen kapcsolat a´ll fenn az id˝otartom´anybeli anal´ızis sor´an megismert rendszeregyenlet, valamint az a´llapotv´altoz´os le´ır´as ´es az a´tviteli karakterisztika k¨oz¨ott. Az a ´tviteli karakterisztika meghat´ aroz´ asa a rendszeregyenlet alapj´ an Egy diszkr´et idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es gerjeszt´es-v´ alasz stabilis rendszer rendszeregyenlet´enek alakja a k¨ovetkez˝o: y[k] +

n X i=1

ai y[k − i] =

m X i=0

bi s[k − i].

(7.19)

A gerjeszt´es is ´es a v´alasz is id˝oben szinuszosan v´altozik. A c´el a rendszeregyenlet ismeret´eben a (7.15) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝o a´tviteli karakterisztika meghat´aroz´asa. Ha a rendszer nem gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, akkor ezen levezet´es eredm´enyek´epp kapott a ´tviteli karakterisztik´ aval sz´ am´ıtott gerjesztett v´ alasznak nincs fizikai tartalma. Most egyszer˝ uen t´erj¨ unk a´t a komplex le´ır´asi m´odra, azaz haszn´aljuk fel a komplex cs´ ucs´ert´ek fogalm´at valamint a (7.10) ´es a (7.11) o¨sszef¨ ugg´eseket: Y +

n X

ai Y e−jϑi =

i=1

m X

bi Se−jϑi .

(7.20)

i=0

Ezt megtehetj¨ uk, ugyanis, ha ezen egyenletben szerepl˝o o¨sszes komplex cs´ ucs´ert´eket szorozzuk e jϑk -val, akkor a komplex pillanat´ert´ekeket kapjuk, majd ha ezeknek vessz¨ uk a val´os r´esz´et, akkor pontosan az id˝otartom´anybeli anal´ızisb˝ol ismert rendszeregyenlethez jutunk. Ebb˝ol a W = YS a´tviteli karakterisztika kifejezhet˝o: Pm −jiϑ Y i=0 bi e P , W = = (7.21) n 1 + i=1 ai e−jiϑ S 234

vagy r´eszletesen ki´ırva W =

Y b0 + b1 e−jϑ + b2 e−j2ϑ + . . . + bm e−jmϑ , = 1 + a1 e−jϑ + a2 e−j2ϑ + . . . + an e−jnϑ S

(7.22)

azaz az a ´tviteli karakterisztika az e jϑ v´ altoz´ o racion´ alis f¨ uggv´enye val´ os egy¨ utthat´ okkal, vagyis az a ´tviteli karakterisztika egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es. Egy adott ϑ k¨orfrekvenci´an ez a t¨ort sz´am´ıthat´o (´atviteli egy¨ utthat´o), ´es a (7.16) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen a v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´eke meghat´arozhat´o. Ezen m˝ uveletsor term´eszetesen visszafel´e is elv´egezhet˝o. Ha teh´at ismert egy rendszer a´tviteli karakterisztik´aja, akkor annak rendszeregyenlete meghat´arozhat´o, hiszen az a´tviteli karakterisztika sz´aml´al´oj´aban ´es nevez˝oj´eben szerepl˝o b i ´es ai egy¨ utthat´ok megegyeznek a rendszeregyenlet jobb- ´es bal oldal´an szerepl˝o egy¨ utthat´okkal. Az a´tviteli karakterisztika nevez˝oje teh´at pontosan a rendszeregyenlet ismeret´eben fel´ırhat´o karakterisztikus polinom, amelynek ismeret´eben a rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilit´asa eld¨onthet˝o (l. 113. oldal). P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi rendszeregyenlettel le´ırt rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´at ´es adjuk
meg a gerjesztett v´alasz id˝of¨ uggv´eny´et, ha s[k] = 5 cos π2 k + π4 . y[k] − y[k − 1] + 0, 24y[k − 2] = s[k] − s[k − 2].

ucs´ert´ek deMegold´ as. A rendszeregyenlet a komplex cs´ fin´ıci´oj´at felhaszn´alva a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o a´t: Y − Y e−jϑ + 0, 24Y e−j2ϑ = S − Se−j2ϑ , amib˝ol az a´tviteli karakterisztika k¨ozvetlen¨ ul fel´ırhat´o: W =

1 − e−j2ϑ ej2ϑ − 1 Y = = . 1 − e−jϑ + 0, 24e−j2ϑ ej2ϑ − ejϑ + 0, 24 S 235

A rendszer teh´at gerjeszt´es v´alasz-stabilis, mivel k´et saj´at´ert´et´eke egys´egsugar´ u k¨or¨on bel¨ ul van: λ 1 = 0, 6, ´es λ2 = 0, 4. A gerjeszt´es a´ltal megszabott ϑ = π2 rad k¨orfrekvenci´an az a´tviteli egy¨ utthat´ot kapjuk meg: π

ej2 2 −1 = π e − ej 2 + 0, 24 cos π + j sin π − 1 = = cos π + j sin π − (cos π2 + j sin π2 ) + 0, 24

W ϑ= π = 2

=

j2 π 2

2ejπ −2 = = 1, 592ej5,36 = 1, 592e−j0,92. −0, 76 − j 1, 256e−j2,22

Az a´tviteli egy¨ utthat´o teh´at egy komplex sz´am, melynek ´ert´eke a gerjeszt´es k¨orfrekvenci´aj´at´ol ´es term´eszetesen a rendszert˝ol f¨ ugg. π Ennek ´es a gerjeszt´es komplex cs´ ucs´ert´ek´enek (S = 5e j 4 ) seg´ıts´eg´evel a rendszer v´alaszjel´enek komplex cs´ ucs´ert´eke fel´ırhat´o: π Y = W ϑ= π S = 1, 592e−j0,92 5ej 4 = 7, 96e−j0,13 , 2

melynek a k¨ovetkez˝o id˝of¨ uggv´eny felel meg: π  y[k] = 7, 96 cos k − 0, 13 . 2

Az a ´tviteli karakterisztika meghat´ aroz´ asa az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as alapj´ an Egy diszkr´et idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es gerjeszt´es-v´ alasz stabilis SISO-rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak norm´alalakja a k¨ovetkez˝o: x[k + 1] = Ax[k] + bs[k], y[k] = cT x[k] + Ds[k],

(7.23)

ahol x[k] ´es x[k + 1] az a ´llapotvektor k-adik ´es (k + 1)-edik u ¨ tembeli ´ert´eke, s[k] ´es y[k] a rendszer szinuszos gerjeszt´ese ´es v´alasza, A a rendszerm´ atrix, a b ´es c T vektorok, valamit 236

a D skal´ar pedig a norm´alalakban szerepl˝o megfelel˝o egy¨ utthat´okat tartalmazz´ak. Ha a rendszer nem gerjeszt´es-v´alasz stabilis, akkor ezen levezet´es eredm´enyek´epp kapott a´tviteli karakterisztik´aval sz´am´ıtott gerjesztett v´alasznak nincs fizikai tartalma. El˝osz¨or SISO-rendszerekkel foglalkozunk, majd a kapott eredm´enyt a´ltal´anos´ıtjuk. T´erj¨ unk ism´et a´t a komplex le´ır´asi m´odra a komplex cs´ ucs´ert´ek fogalm´anak, valamint a (7.12) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen: ejϑ X = AX + bS, Y = cT X + DS.

(7.24)

Az els˝o egyenletb˝ol X kifejezhet˝o: ejϑ X = AX + bS azaz

⇒



 ejϑ E − A X = bS,

 −1 X = ejϑ E − A bS,

(7.25)

ahol E az N -edrend˝ u egys´egm´atrix. A v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´ek´et megkapjuk, ha a kapott eredm´enyt Y kifejez´es´ebe visszahelyettes´ıtj¨ uk:    −1 T jϑ b + D S. Y = c e E−A (7.26) Ut´obbib´ol az a´tviteli karakterisztika kifejezhet˝o: W =

 −1 Y = cT ejϑ E − A b + D, S

(7.27)

azaz egy komplex elem˝ u m´atrixot kell invert´alni. Az inverz m´atrix kifejez´es´ebe helyettes´ıts¨ uk be a m´ar ismert o¨sszef¨ ugg´est:
adj ejϑ E − A Y W = = cT b + D, |ejϑ E − A| S 237

majd hozzunk k¨oz¨os nevez˝ore:
cT adj ejϑ E − A b + |ejϑ E − A|D . W = |ejϑ E − A|

(7.28)

Az ´ıgy kapott a´tviteli karakterisztika is az e jϑ v´altoz´o racion´alis f¨ uggv´enye val´os egy¨ utthat´okkal, ami egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es. A nevez˝o polinomja alakilag megegyezik a |λE−A| determin´ansb´ol k´epzett polinommal. Ha ezen rendszer aszimptotikusan stabil, akkor gerjeszt´es-v´alasz stabil is (a felt´eteleket l. 113. oldalon). Mindez MIMO-rendszerekre a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o fel:  −1 W = C ejϑ E − A B + D,

(7.29)

ami az a ´tvitelikarakterisztika-m´ atrix, melynek ij idnex˝ u eleme megadja az i-edik kimenet ´es a j-edik bemenet k¨oz¨ott fenn´all´o a´tviteli karakterisztik´at, mik¨ozben m´as bemenetek jelmentesek: Y i W ij = , i = 1, . . . , Ny , j = 1, . . . , Ns . (7.30) S j S k =0,k6=j P´ elda. Hat´arozzuk meg az al´abbi a´llapotv´altoz´os le´ır´as a´ltal megadott rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´at ´es adjuk meg a gerjesztett v´alasz id˝of¨ uggv´eny´et, ha s[k] = 5 cos( π3 k + π4 ). 

   0 −0, 24 −1, 24 x[k + 1] = x[k] + s[k], 1 1 1   y[k] = 0 1 x[k] + s[k].

Megold´ as. Ezt a feladatot k´etf´elek´epp is megoldhatjuk. Az (a) pontban az itt bemutatott m´odszert k¨ovetj¨ uk, a (b) pontban az 238

a´llapotv´altoz´os le´ır´ast mint egyenletrendszert kezelj¨ uk, ´es az Y /S h´anyadost fejezz¨ uk ki bel˝ole. (a) A levezet´es alapj´an ´ırhatjuk, hogy
cT adj ejϑ E − A b + |ejϑ E − A|D W = . |ejϑ E − A| Sz´am´ıtsuk ki el˝osz¨or az ezen o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o adjung´altat ´es determin´anst:    jϑ  jϑ e − 1 −0, 24 e 0, 24 , = adj 1 ejϑ −1 ejϑ − 1 ´es jϑ e 0, 24 −1 ejϑ − 1

  = ejϑ ejϑ − 1 + 0, 24 = ej2ϑ − ejϑ + 0, 24.


A sz´aml´al´oban szerepl˝o cT adj ejϑ E − A b szorzat ´ıgy a k¨ovetkez˝ok´epp alakul: 

0 1





ejϑ − 1 −0, 24 1 ejϑ



−1, 24 1



=



0 1





1 − 1, 24ejϑ −1, 24 + ejϑ



,

ami −1, 24 + ejϑ . Ehhez m´eg hozz´a kell adni a determin´ans Dszeres´et (ami most 1), s ´ıgy az a´tviteli karakterisztika a k¨ovetkez˝o lesz: ej2ϑ − 1 . W = j2ϑ e − ejϑ + 0, 24

A v´egeredm´eny ugyanaz lett, mint az el˝oz˝o pontban, amikor a rendszeregyenletb˝ol indultunk ki. Ennek oka az, hogy a megadott rendszeregyenlet ´es a most vizsg´alt a´llapotv´altoz´os le´ır´as ugyanazon rendszert ´ırj´ak le. Hat´arozzuk meg ezut´an a gerjesztett v´alaszt is. A gerjeszt´es a´ltal megszabott ϑ = π3 rad k¨orfrekvenci´an az a´tviteli egy¨ utthat´ot

239

kapjuk meg: π

W

ϑ= π3

ej2 3 − 1 = = j2 π π e 3 − ej 3 + 0, 24 2π cos 2π 3 + j sin 3 − 1 = = 2π π π cos 2π 3 + j sin 3 − (cos 3 + j sin 3 ) + 0, 24 =

−1, 5 + j0, 866 1, 732ej2,62 = = 2, 279e−j0,52 . −0, 76 0, 76ejπ

Az a´tviteli egy¨ utthat´o ezen ´ert´ek´enek ´es a gerjeszt´es komplex π cs´ ucs´ert´ek´enek (S = 5ej 4 ) seg´ıts´eg´evel a rendszer v´alaszjel´enek komplex cs´ ucs´ert´eke fel´ırhat´o: π Y = W ϑ= π S = 2, 279e−j0,52 5ej 4 = 11, 395ej0,27 , 3

melynek a k¨ovetkez˝o id˝of¨ uggv´eny felel meg:  π k + 0, 27 . y[k] = 11, 395 cos 3

´ Erdemes megfigyelni, hogy ugyanazon rendszer k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨orfrekvenci´aj´ u jelekre adott v´alasza k¨ ul¨onb¨oz˝o. A bemenet ´es a kimenet k¨ozti kapcsolatot ebben az esetben az a´tviteli karakterisztika biztos´ıtja. A p´eld´akb´ol az is ´erz´ekelhet˝o, hogy a nem bel´ep˝o szinuszos gerjeszt´esre adott stacion´arius v´alasz sz´am´ıt´asa a komplex sz´am´ıt´asi m´odszerrel sokkal egyszer˝ ubb, mint az id˝otartom´anyban. Ennek felt´etele azonban az, hogy a rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilis legyen. (b) Ezen p´eld´an kereszt¨ ul bemutatjuk, hogy az a´llapotv´altoz´os le´ır´assal adott rendszer a´tviteli karakterisztik´aja nem csak a (7.27) vagy a (7.28) szerint hat´arozhat´o meg. A k¨ovetkez˝okben bemutatott m´odszer azonban egyenletrendszer megold´as´at ig´enyli. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja

240

id˝otartom´anyban ´es komplex cs´ ucs´ert´ekekkel a k¨ovetkez˝o: 2   x1 [k + 1] = −0, 24x2 [k] − 1, 24s[k], ejϑ X 1 = −0, 24X 2 − 1, 24S, x2 [k + 1] = x1 [k] + x2 [k] + s[k] ⇒ ejϑ X 2 = X 1 + X 2 + S   y[k] = x2 [k] + s[k]. Y = X 2 + S.

Ezen egyenletrendszert u ´ gy kell alak´ıtani, hogy abb´ol az a´tviteli karakterisztika alakj´at kapjuk. A megold´as menete a k¨ovetkez˝o. Fejezz¨ uk ki az els˝o k´et egyenletb˝ol az ismeretlennek tekintett a´llapotv´altoz´ok komplex cs´ ucs´ert´ek´et az ismertnek tekintett gerjeszt´es S komplex cs´ ucs´ert´ek´evel, majd helyettes´ıts¨ uk vissza azokat a v´alasz komplex cs´ ucs´ert´ek´et megad´o egyenletbe. Az a´llapotv´altoz´okat teh´at ki kell ejteni az egyenletekb˝ol. Ez´altal kapunk egy olyan egyenletet, amely csak az Y -t ´es az S-et tartalmazza. Jelen p´eld´an´al maradva, fejezz¨ uk ki pl. az X 1 v´altoz´ot az els˝o egyenletb˝ol u ´ gy, hogy ejϑ -val elosztjuk azt: X 1 = −0, 24e−jϑ X 2 − 1, 24e−jϑ S, majd helyettes´ıts¨ uk vissza ezt a m´asodik egyenletbe: ejϑ X 2 = −0, 24e−jϑ X 2 − 1, 24e−jϑ S + X 2 + S. Szorozzuk be ezen egyenletet ejϑ -val, s rendezz¨ uk a kapott egyenletet, majd fejezz¨ uk ki ebb˝ol X 2 -˝ot:

ej2ϑ − ejϑ + 0, 24 X 2 = ejϑ − 1, 24 S ⇒ X 2 =

ejϑ − 1, 24 S, ej2ϑ − ejϑ + 0, 24

majd helyettes´ıts¨ uk ezt be Y egyenlet´ebe: Y =

ejϑ − 1, 24 ej2ϑ − 1 S + S = S, ej2ϑ − ejϑ + 0, 24 ej2ϑ − ejϑ + 0, 24

amelyben az (a) pontban is meghat´arozott a´tviteli karakterisztika felismerhet˝o. 2

Egy k´esleltet˝ o bemenete teh´ at az a ´llapotv´ altoz´ o komplex cs´ ucs´ert´eke szorozva ejϑ -val, kimenete pedig az a ´llapotv´ altoz´ o komplex cs´ ucs´ert´eke.

241

A (b) pontban k¨oz¨olt megold´as alacsony rendsz´am eset´en nagyon egyszer˝ u: egy egyenletrendszert kell a k´ıv´ant alakra hozni, amelyben a gerjeszt´es komplex cs´ ucs´ert´ek´et ismertnek tekintj¨ uk, s minden m´as v´altoz´ot ismeretlennek, de ´ertelemszer˝ uen csak a v´alasz komplex cs´ ucs´ert´ek´ere kell koncentr´alnunk. Az (a) pontban k¨oz¨olt megold´as csak alacsony foksz´am (N = 2 esetleg N = 3) eset´en v´egezhet˝o el k´enyelmesen pap´ıron. Az a ´tviteli karakterisztika a ´br´ azol´ asa Az a´tviteli karakterisztika a´br´azol´as´ara diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben is k´et m´odszer a´ll rendelkez´esre: a Nyquist-diagram ´es az amplit´ ud´ okarakterisztika, valamint a f´ aziskarakterisztika g¨orb´ej´enek a´br´azol´asa (esetenk´ent a Bode-diagram). Mindkett˝o a W a´tviteli karakterisztika W = W (ejϑ ) = K(ϑ)ejφ(ϑ)

(7.31)

alakj´aban tal´alhat´o K(ϑ) un. amplit´ ud´ okarakterisztika ´es φ(ϑ) un. f´ aziskarakterisztika a´br´azol´as´at realiz´alja elt´er˝o m´odon. Ezek ϑ k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekeire m´as ´es m´as ´ert´ekeket adnak. A diagramok hasonl´oan vehet˝ok fel, mint ahogy azt a folytonos idej˝ u rendszerekn´el t´argyaltuk, de az amplit´ ud´okarakterisztik´at nem sz´am´ıtjuk a´t decibel egys´egbe, ez´ert nem is h´ıvjuk Bode-diagramnak. Ha azonban az amplit´ ud´okarakterisztika ´ert´eke nagy tartom´anyt o¨lel fel, akkor c´elszer˝ u lehet decibel egys´egben a´br´azolni. A diagramok tulajdons´agait a kor´abbi p´elda kapcs´an mutatjuk be: Y ej2ϑ − 1 . W = = j2ϑ e − ejϑ + 0, 24 S

´Irjuk a´t az ejϑ t´enyez˝ot az Euler-alaknak megfelel˝oen, azaz e jϑ = cos ϑ + j sin ϑ, majd helyettes´ıts¨ uk ezt be az a´tviteli karakterisz-

242

tik´aba ´es csoportos´ıtsuk a val´os ´es k´epzetes r´eszeket: cos 2ϑ + j sin 2ϑ − 1 = cos 2ϑ + j sin 2ϑ − cos ϑ − j sin ϑ + 0, 24 (cos 2ϑ − 1) + j sin 2ϑ = . (cos 2ϑ − cos ϑ + 0, 24) + j(sin 2ϑ − sin ϑ)

W =

L´athat´o, hogy mind a sz´aml´al´oban, mind a nevez˝oben a val´os r´esz csak a ϑ k¨orfrekvencia (´es t¨obbsz¨or¨oseinek) koszinusz f¨ uggv´eny´et ´es egy konstanst, a k´epzetes r´esz pedig csak a ϑ k¨orfrekvencia (´es t¨obbsz¨or¨oseinek) szinusz f¨ uggv´eny´et tartalmazza. Ez a´ltal´anosan is ´ıgy van, ami az Euler-alakb´ol k¨ovetkezik. Az amplit´ ud´okarakterisztika a kapott komplex f¨ uggv´eny abszol´ ut ´ert´eke, s mivel ez egy t¨ort, ez´ert a sz´aml´al´o abszol´ ut ´ert´ek´et el kell osztani a nevez˝o abszol´ ut ´ert´ek´evel: s (cos 2ϑ − 1)2 + (sin 2ϑ)2 . K(ϑ) = (cos 2ϑ − cos ϑ + 0, 24)2 + (sin 2ϑ − sin ϑ)2 A f´aziskarakterisztika u ´ gy sz´am´ıthat´o, hogy a sz´aml´al´o f´azis´ab´ol levonjuk a nevez˝o f´azis´at: ϕ(ϑ) = arc tg

sin 2ϑ − sin ϑ sin 2ϑ − arc tg . cos 2ϑ − 1 cos 2ϑ − cos ϑ + 0, 24

Az amplit´ ud´ okarakterisztika is ´es a f´ aziskarakterisztika is koszinuszos ´es szinuszos t´enyez˝okb˝ol a´ll, amelyek 2π szerint periodikus f¨ uggv´enyek. Ennek k¨ovetkezt´eben a k´et karakterisztika is 2π szerint periodikus a ϑ v´ altoz´ oban. Az amplit´ ud´ okarakterisztika ezen t´ ulmen˝ oen p´ aros f¨ uggv´eny, a f´ aziskarakterisztika pedig p´ aratlan f¨ uggv´eny. A k´et karakterisztik´at elegend˝o teh´at pl. a ϑ ∈ [0, . . . , π], vagy a ϑ ∈ [−π/2, . . . , π/2] tartom´anyban ismerni. A diagramok felv´etele sor´an teh´at ki kell sz´amolni az a´tviteli egy¨ utthat´ot k¨ ul¨onb¨oz˝o frekvenci´akon a ϑ ∈ [0, . . . , π] (vagy a 243

ϑ ∈ [−π/2, . . . , π/2]) z´art intervallumban (p´ar pontban a´ltal´aban elegend˝o), majd a kapott a´tviteli egy¨ utthat´oknak megfelel˝o pontokat o¨ssze kell k¨otni. A p´eld´aban szerepl˝o a´tviteli karakterisztika Nyquist-diagramja ´es amplit´ ud´okarakterisztik´aja, valamint f´aziskarakterisztik´aja l´athat´o a 7.4. ´es a 7.5. a´br´akon, ahol j´ol megfigyelhet˝ok az eml´ıtett p´aros ´es p´aratlan tulajdons´agok, valamint a periodicit´as. Ezen tulajdons´agok felhaszn´al´as´aval az amplit´ ud´okarakterisztika ´es a f´aziskarakterisztika tetsz˝oleges intervallumban megrajzolhat´o a folytonos vonallal rajzolt g¨orbe ismeret´eben. Mivel az amplit´ ud´okarakterisztika p´aros f¨ uggv´eny ´es a f´aziskarakterisztika p´aratlan f¨ uggv´eny, ez´ert a Nyquist-diagram a val´os tengelyre szimmetrikus, azaz a ϑ ∈ [0, . . . , π] intervallumnak megfelel˝o Nyquist-diagram ismeret´eben a ϑ ∈ [−π, . . . , 0] intervallumnak megfelel˝o diagram t¨ ukr¨oz´essel meghat´arozhat´o. A kapott g¨orbe pedig 2π szerint periodikus. Mindk´et diagramon bejel¨olt¨ uk π π a ϑ = 3 rad ´es ϑ = 2 rad k¨orfrekvenci´akon sz´am´ıtott a´tviteli egy¨ utthat´okat. 1.5

Im W(ejϑ)

0.75

0

-0.75 ϑ=π/2

ϑ=π/3

-1.5 0

0.75

1.5

2.25

3

Re W(ejϑ)

7.4. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o a ´tviteli karakterisztika Nyquistdiagramja

244

3

4

2 K(ϑ)

φ(ϑ)[rad]

2

1

0

-2

0 -4π

-3π

-2π

-π 0 ϑ[rad]

π

-4 -4π

2π

-3π

-2π

-π 0 ϑ[rad]

π

2π

7.5. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o a ´tviteli karakterisztika amplit´ ud´ o´es f´ aziskarakterisztik´ aja

7.2.

Periodikus ´ alland´ osult v´ alasz sz´ am´ıt´ asa

Diszkr´et idej˝ u jelek eset´eben is besz´elhet¨ unk a´ltal´anos periodikus jelekr˝ol (pl. n´egysz¨ogjel, f˝ ur´eszfogjel stb.). Ebben a r´eszben az ilyen t´ıpus´ u gerjeszt´esre adott v´alasz meghat´aroz´as´aval foglalkozunk. Sz¨ uks´eg¨ unk lesz az el˝oz˝o r´eszben megismert a´tviteli karakteriszika fogalm´ara, ´es a szinuszos gerjesztett v´alasz meghat´aroz´as´ara, ugyanis az a´ltal´anos periodikus gerjeszt´esre adott v´alasz sz´am´ıt´as´at visszavezetj¨ uk a szinuszos gerjesztett v´alasz sz´am´ıt´as´ara. Els˝o l´ep´esben az s[k] periodikus gerjeszt´es id˝of¨ uggv´eny´et szinuszos jelek o¨sszeg´ere bontjuk a Fourier-felbont´asnak megfelel˝oen, majd az a´tviteli karakterisztika seg´ıts´eg´evel minden egyes szinuszos o¨sszetev˝ore adott v´alasz meghat´aroz´asa ut´an a r´eszv´alaszokat o¨sszegezz¨ uk, azaz szuperpon´aljuk. Ezt a rendszer linearit´ asa miatt tehetj¨ uk meg. Egy id˝ oben v´ altoz´ o diszkr´et idej˝ u s[k] jel akkor periodikus a K peri´ odussal (diszkr´et idej˝ u peri´ odusid˝ ovel), ha s[k + K] = s[k],

245

∀k ∈ Z.

(7.32)

A diszkr´et idej˝ u jel alap-k¨ orfrekvenci´ a ja a ϑ =

7.2.1.

2π K

mennyis´eg.

Diszkr´ et idej˝ u periodikus jel Fourier-felbont´ asa

A folytonos idej˝ u rendszerek anal´ızise sor´an megismert¨ uk a folytonos idej˝ u jelek felbont´as´anak technik´aj´at a Fourier-¨osszeg seg´ıts´eg´evel, ami egy k¨ozel´ıt˝o elj´ar´as. Diszkr´et idej˝ u jelek eset´eben szint´en alkalmazhatjuk a Fourier-felbont´ast, s l´atni fogjuk, hogy ez nem k¨ozel´ıt´es, hanem a periodikus jelek pontos felbont´asa. El˝osz¨or az elm´eleti ismereteket foglaljuk o¨ssze, majd az elmondottakat p´eld´aval illusztr´aljuk. A diszkr´et idej˝ u jelek Fourier-¨osszeggel t¨ort´en˝o le´ır´as´anak bevezet´es´et a folytonos idej˝ u Fourier-¨osszeg seg´ıts´eg´evel tessz¨ uk szeml´eletess´e. Diszkr´et idej˝ u jelek eset´eben f˝ok´ent a Fourier-¨osszeg komplex alakj´at haszn´aljuk, induljunk ki teh´at a folytonos idej˝ u jelek Fourier-¨osszeg´enek (6.49) ´es (6.50) komplex alakj´ab´ol: sn (t) =

n X

C

S k ejkωt ,

ahol

k=−n

C

Sk =

1 T

Z

T

s(t) e−jkωt dt.

0

A diszkr´et idej˝ u szinuszos jel bevezet´es´ehez hasonl´oan vegy¨ unk T s id˝ok¨oz¨onk´ent mint´akat az s(t) periodikus jelb˝ol u ´ gy, hogy annak egyetlen peri´odus´ab´ol K sz´am´ u mint´at vesz¨ unk. Ez´altal egy olyan s[k] diszkr´et idej˝ u periodikus jelet kapunk, amelynek k-adik u ¨ tem´ beli ´ert´eke az s(kTs ) ´ert´ekkel egyezik meg: s[k] = s(kT s ). Igy teh´at a T peri´odusidej˝ u folytonos idej˝ u jel egy peri´odus´at K sz´am´ u mint´aval reprezent´aljuk, ami pontosan az s[k] diszkr´et idej˝ u periodikus jel K peri´odussal. Az s(t) periodicit´as´ab´ol ugyanis k¨ovetkezik, hogy s[k + K] = s[k]. K¨ozel´ıts¨ uk ezut´an t´egl´any¨osszeggel C az S k komplex Fourier-egy¨ utthat´ot defini´al´o integr´alt. Osszuk fel teh´at az integr´al´as intervallum´at K sz´am´ u T s hossz´ us´ag´ u r´eszre ´es a k index helyett haszn´aljuk a p indexet, mivel k a diszkr´et

246

id˝ot jel¨oli: C Sp

1 = T

Z

T

s(t) e

−jpωt

0

K−1 1 X dt ' s(kTs )e−jpωkTs Ts . T k=0

Tudjuk azonban, hogy

Ts M = , K T ´es ebben az esetben M = 1, tov´abb´a ϑ = ωT s . Ezen o¨sszef¨ ugg´esek felhaszn´al´as´aval kapjuk a diszkr´et idej˝ u jel komplex Fourieregy¨ utthat´oit defini´al´o o¨sszef¨ ugg´est: C

Sp =

K−1 1 X s[k]e−jpϑk . K

(7.33)

k=0

Ebb˝ol ad´odik, hogy S0 val´os sz´am: S0 =

K−1 1 X s[k], K k=0

ami az s[k] jel a´tlaga (sz´amtani k¨ozepe), s ezt a jel k¨ oz´ep´ert´ek´enek nevezz¨ uk. Egy diszkr´et idej˝ u periodikus jel egy peri´odusa K sz´am´ u mint´ab´ol a´ll. Ez meghat´arozza a felhaszn´aland´o Fourieregy¨ utthat´ok sz´am´at is, ugyanis fenn´all a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es: C

C

S p+K = S p .

(7.34)

Ezt a (7.33) defin´ıci´o alapj´an l´athatjuk be, ugyanis: C S p+K

K−1 K−1 1 X 1 X −j(p+K)ϑk s[k]e = s[k]e−jpϑk e−jKϑk , = K K k=0

k=0

247

2π ahol azonban e−jKϑk = e−jK K k = e−j2πk . ´Irjuk a´t ezen t´enyez˝ot az Euler-alaknak megfelel˝oen:3

e−j2πk = cos 2πk − j sin 2πk = 1 − j0 = 1, C

azaz a Fourier-egy¨ utthat´ok is K szerint periodikusak: S p+K = C

S p . Ez azt jelenti, hogy a diszkr´et idej˝ u periodikus jel Fouriero¨sszege pontosan K sz´am´ u egy¨ utthat´o line´aris kombin´aci´ojak´ent a´ll´ıthat´o el˝o, s mivel ez egy v´eges sz´am, ez´ert a k¨ozel´ıt´es minden ku ¨ temben pontos (p = 0, . . . , K − 1). ´Irjuk fel ezut´an az s[k] diszkr´et idej˝ u periodikus jel Fouriero¨sszeg´et az sn (t) folytonos idej˝ u jel Fourier-¨osszeg´eb˝ol: sn (t) =

n X

C

S k ejkωt

k=−n

⇒

s(kTs ) =

K−1 X

C

S p ejpωkTs ,

p=0

azaz a Fourier-¨osszeg komplex alak ja a k¨ovetkez˝o: s[k] =

K−1 X

C

S p ejpϑk .

(7.35)

p=0

Eset¨ unkben az s[k] jel val´ os, azaz (s[k]) ∗ = s[k], aminek k¨ovetkezm´enye, hogy  ∗ C C S K−p = S p . (7.36)

Ezen o¨sszef¨ ugg´es bizony´ıt´asa ´erdek´eben k´epezz¨ uk el˝osz¨or a komplex Fourier-egy¨ utthat´okat defini´al´o (7.33) o¨sszeg konjug´altj´at: 4 !∗ K−1 K−1  ∗ 1 X 1 X C s[k]e−jpϑk s[k]ejpϑk . Sp = = K K k=0

k=0

3

Ugyanez igaz az ej2πk t´enyez˝ ore is, hiszen ej2πk = cos 2πk + j sin 2πk = 1. ¨ Osszeg konjug´ altj´ at u ´gy k´epezz¨ uk, hogy az egyes tagok konjug´ altj´ anak vessz¨ uk az o ¨sszeg´et. Haszn´ aljuk ki azonban, hogy s[k] val´ os. 4

248

Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy  ∗ C C S −p = S p ,

(7.37)

ugyanis C S −p

K−1 1 X = s[k]ejpϑk = K k=0

K−1 1 X s[k]e−jpϑk K k=0

!∗

 ∗ C = Sp .

C

Ezut´an hat´arozzuk meg az S K−p ´ert´ek´et szint´en a (7.33) defin´ıci´ob´ol kiindulva: C S K−p

K−1 K−1 1 X 1 X −j(K−p)ϑk s[k]e = s[k]e−jKϑk ejpϑk = = K K k=0 k=0 !∗ K−1 K−1  ∗ 1 X 1 X C jpϑk −jpϑk = = Sp , s[k]e = s[k]e K K k=0

k=0

hiszen e−jKϑk = 1. Ez azt jelenti, hogy val´os s[k] eset´en nem kell K sz´am´ u egy¨ utthat´ot meghat´aroznunk, hanem elegend˝o csak a Fourier-egy¨ utthat´ok fel´et kisz´am´ıtani. Vizsg´aljuk meg ezt az o¨sszef¨ ugg´est egy egyszer˝ u p´eld´an kereszt¨ ul. A K ∈ Z (K > 0) ´ert´eke lehet p´aros ´es p´aratlan. Ez a k´es˝obbiekben fontos szerepet fog j´atszani, ez´ert hasznos lehet a k¨ovetkez˝o t´abl´azatok ´es magyar´azatok meg´ert´ese. Ha K p´aros, pl. K = 6: p K −p = 6−p

0 6

1 5

2 4

3 3

4 2

5 1

6 0

... ...

Fontos ´eszrevenni, hogy K = 6, ami annyit jelent, hogy az s[k] jel a k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (´altal´anosan k = 0, . . . , K − 1) u ¨ temekben adott ´ert´ek˝ u ´es a k = 6 u ¨ tembeli ´ert´ek megegyezik a k = 0 u ¨ tembeli ´ert´ekkel, azaz s[6] = s[0] (´altal´anosan s[k + K] = s[k]). 249

C

C

A ,,k¨oz´eps˝o” elem az S K/2 = S 3 ezek szerint egyenl˝o a kon ∗ C C jug´altj´aval: S 3 = S 3 , ami annyit jelent, hogy ez egy val´os sz´am. A p = 4 index˝ u elem megegyezik a K −p = 6−4 = 2 index˝ u elem konjug´altj´aval ´es ´ıgy tov´abb. Elegend˝o teh´at a p = 0, 1, 2, 3 index˝ u egy¨ utthat´okat meghat´arozni, mert a p = 4, 5 index˝ u ele´ mek a p = 2, 1 index˝ u egy¨ utthat´ok konjug´altja. Altal´ anosan eleu elemeket kisz´amolni. A p = K = 6 gend˝o a p = 0, . . . , K 2 index˝ index˝ u elem megegyezik a p = 0 index˝ u elem konjug´altj´aval, azonban a nulladik index˝ u egy¨ utthat´o val´os sz´am, a komplex FourierC C egy¨ utthat´ok teh´at l´athat´oan K szerint periodikusak: S p+K = S p . Ha K p´aratlan, pl. K = 5: p K −p = 5−p

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

5 0

... ...

Ebben az esetben teh´at a p = 3, 4 index˝ u egy¨ utthat´ok meghat´arozhat´ok a p = 2, 1 index˝ u egy¨ utthat´ok konjug´altjak´ent, s nincs ,,k¨oz´eps˝o” elem. A p = K = 5 index˝ u elem jelen esetben is megegyezik a p = 0 index˝ u elem konjug´altj´aval, ami azonban val´os sz´am, a Fourier-egy¨ utthat´ok teh´at ebben az esetben is periodikusan ism´etl˝odnek. Ha teh´at K p´aratlan sz´am, akkor elegend˝o index˝ u Fourier-egy¨ utthat´okat meghat´arozni. a p = 0, . . . , K−1 2 A folytonos idej˝ u jelek Fourier-¨osszeg´enek fel´ır´asa sor´an megismert¨ uk a Fourier-¨osszeg val´os alakj´at is. Diszkr´et idej˝ u jelek eset´eben is l´etezik a Fourier-¨osszeg val´os alakja. A k¨ovetkez˝okben ezt vezetj¨ uk be, s kihaszn´aljuk az el˝obb elmondottakat. Induljunk ki h´at a Fourier-¨osszeg m´ar ismertetett komplex alakj´ab´ol ´es fejts¨ uk ki az o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o szumm´at, ha K p´aros: s[k] =

K−1 X

C

C

C

K

S p ejpϑk = S0 +S 1 ejϑk + S 2 ej2ϑk + . . . + SK/2 ej 2 ϑk +

p=0

C

C

+ . . . +S K−2 ej(K−2)ϑk + S K−1 ej(K−1)ϑk .

250

K

Az SK/2 ej 2 ϑk t´enyez˝o csak akkor szerepel, ha K p´aros, egy´ebk´ent ´ert´eke nulla, azaz, ha K p´aratlan, akkor ez a k¨ovetkez˝o alakot o¨lti: s[k] =

K−1 X

C

C

C

S p ejpϑk = S0 +S 1 ejϑk + S 2 ej2ϑk + . . . +

p=0

C

C

+S K−2 ej(K−2)ϑk + S K−1 ej(K−1)ϑk .

Mindez a fentebb ismertetett t´abl´azatokb´ol ´es magyar´azatokb´ol k¨ovetkezik. A K p´aros esetet vezetj¨ uk v´egig, de tartsuk szem el˝ott, hogy a K p´aratlan eset csak annyiban k¨ ul¨onb¨ozik az itt le´ırtakt´ol, K hogy az SK/2 ej 2 ϑk t´enyez˝o nem szerepel az o¨sszegben. Haszn´aljuk fel a (7.36) o¨sszef¨ ugg´est, tov´abb´a, hogy K 2π k K

K

ej 2 ϑk = ej 2

= ejπk = cos πk + j sin πk = cos πk = (−1)k , 2π

´es ej(K−p)ϑk = ejK K k e−jpϑk = ej2πk e−jpϑk = e−jpϑk azaz s[k] =

K−1 X

C

C

C

S p ejpϑk = S0 +S 1 ejϑk + S 2 ej2ϑk + . . . + (−1)k SK/2 +

p=0

 ∗  ∗ C C + . . . + S 2 e−j2ϑk + S 1 e−jϑk .

A fentiek ´ertelm´eben az SK/2 egy¨ utthat´o a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg, ha K p´aros (egy´ebk´ent ez a tag nem szerepel):

SK/2

K−1 K−1 2π 1 X 1 X −j K k 2 K s[k]e s[k](−1)k . = = K K k=0

(7.38)

k=0

A komplex Fourier-egy¨ utthat´okat ´es konjug´altj´at ´ırjuk fel algebrai alakban:  ∗ C C = Sp,re − jSp,im, S p = Sp,re + jSp,im , Sp 251

majd helyettes´ıts¨ uk ezeket vissza a fenti o¨sszegbe: s[k] = S0 + (S1,re + jS1,im ) ejϑk + (S2,re + jS2,im ) ej2ϑk + . . . + +(−1)k SK/2 + (S1,re − jS1,im ) e−jϑk + (S2,re − jS2,im ) e−j2ϑk . Bontsuk fel ezut´an a z´ar´ojeleket ´es csoportos´ıtsuk u ´ gy a val´os ´es a k´epzetes r´eszeket, hogy azok megfeleljenek a koszinusz ´es a szinusz f¨ uggv´enyek m´ar ismert azonoss´againak (az el˝obbi o¨sszef¨ ugg´esben az egyes tagok pontosan egym´as alatt vannak, ´ıgy azokat k¨onny˝ u ´eszrevenni): ejϑk + e−jϑk ej2ϑk + e−j2ϑk + 2S2,re + ...+ 2 2 ej2ϑk − e−j2ϑk ejϑk − e−jϑk − 2S2,im , +(−1)k SK/2 −2S1,im 2j 2j s[k] = S0 +2S1,re

s vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket:  SpA = 2 Re SpC ,

 SpB = −2 Im SpC ,

(7.39)

azaz p´aros K eset´en a Fourier-¨osszeg k¨ovetkez˝o val´ os alak´ u kifejez´es´et kapjuk:

s[k] = S0 +

K −1 2

X  SpA cos pϑk + SpB sin pϑk + (−1)k SK/2 , p=1

(7.40)

p´aratlan K eset´en pedig a k¨ovetkez˝ot: K−1 2

s[k] = S0 +

X p=1

 SpA cos pϑk + SpB sin pϑk .

252

(7.41)

Az ezen o¨sszef¨ ugg´esekben szerepl˝o S pA ´es SpB egy¨ utthat´ok a (7.33) o¨sszef¨ ugg´esb˝ol kiindulva a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´ok meg: K−1 2 X s[k] cos pϑk, K

 SpA = 2 Re SpC

⇒

SpA =

 SpB = −2 Im SpC

⇒

2 SpB = K

k=0 K−1 X

(7.42)

s[k] sin pϑk.

k=0

Ebben az esetben is igaz, hogy ha a jel p´ aros, akkor a val´os alak´ u B o¨sszegben Sp ≡ 0 (csak koszinuszos tagokb´ol a´ll), a komplex alak´ u o¨sszeg pedig val´os ´ert´ek˝ u. Ha pedig a jel p´ aratlan, akkor a val´os alak´ u o¨sszegben SpA ≡ 0 (csak szinuszos tagokb´ol a´ll), a komplex alak´ u o¨sszeg pedig k´epzetes ´ert´ek˝ u. A val´os alaknak egy m´asik form´aja is ismeretes. P´aros K eset´en ez a k¨ovetkez˝o: K −1 2

s[k] = S0 +

X

Sp cos(pϑk + ρp ) + (−1)k SK/2 ,

(7.43)

p=1

p´aratlan K eset´en pedig K−1 2

s[k] = S0 +

X

Sp cos(pϑk + ρp ).

(7.44)

p=1

A k´et val´os alak k¨oz¨ott a kapcsolat a k¨ovetkez˝o: Sp =

q

SpA


2


2 + SpB ,

ρp = −arc tg

SpB , SpA

(7.45)

´es SpA = Sp cos ρp ,

SpB = −Sp sin ρp . 253

(7.46)

A val´os alak ´es a komplex alak k¨oz¨ott pedig a k¨ovetkez˝o kapcsolat a´ll fenn: C C Sp = 2 S p , ρp = arcSp , azaz S p = 0, 5 Sp ejρp . (7.47) P´ elda. Egy diszkr´et idej˝ u periodikus jel id˝of¨ uggv´enye az al´abbi. Hat´arozzuk meg a diszkr´et Fourier-egy¨ utthat´okat ´es a´ll´ıtsuk el˝o a jelet a Fourier-¨osszeg mindh´arom alakj´aban. 3 2 1

s[k] 6

 
 


 
 


1 2 3

 
 


k

Megold´ as. A jel ´ert´eke az egyes u ¨ temekben teh´at a k¨ovetkez˝o: s[0] = 0, s[1] = 1, s[2] = 2, s[3] = 3, s[4] = s[0] = 0, s[5] = s[1] = 1, ´es ´ıgy tov´abb. A jel peri´odusa teh´at K = 4, ami p´aros sz´am. A 2π π am´ıtsuk ki el˝osz¨or a jel alapk¨orfrekvenci´aja ϑ = 2π K = 4 = 2 . Sz´ K = 4 sz´am´ u Fourier egy¨ utthat´ot (p = 0, 1, 2, 3) a (7.33) defin´ıci´o szerint ´es haszn´aljuk fel a (7.36) o¨sszef¨ ugg´est is: S0 =

K−1 3 π 1X 1 1 X s[k]e−j0 2 k = s[k] = (0 + 1 + 2 + 3) = 1, 5, K 4 4 k=0

k=0

ami teh´at az s[k] jel a´tlaga, C S1

3

 π π π 1  −j π 1 1X 1e 2 + 2e−j 2 2 + 3e−j 2 3 = = s[k]e−j1 2 k = 4 4 k=0

1 1 = [(0 − j) + (−2 + j0) + (0 + j3)] = (−2 + j2) = 4 4 1 j3π = −0, 5 + j0, 5 = √ e 4 , 2 254

3  ∗ 1 X
π 1 C C S2 = S2 = s[k]e−j2 2 k = 1e−jπ1 + 2e−jπ2 + 3e−jπ3 = 4 4 k=0

1 1 = [(−1 + j0) + (2 + j0) + (−3 + j0)] = (−2) = −0, 5, 4 4  ∗  ∗  1 −j 3 π C C C =√ e 4 . S 3 = S 4−3 = S 1 2 C

C

Az S 3 egy¨ utthat´ot teh´at nem kell k¨ ul¨on meghat´arozni. Az S 2 egy¨ utthat´o sz´am´ıthat´o a k¨ovetkez˝ok´epp is: C S2

3

1X 1 = s[k](−1)k = [1(−1) + 2(1) + 3(−1)] = −0, 5. 4 4 k=0

Hat´arozzuk meg ezut´an a periodikus jelet el˝oa´ll´ıt´o Fouriero¨sszeg komplex alakj´at a (7.35) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen: s[k] =

3 X

C

C

π

π

C

C

π

π

S p ejp 2 k = S0 + S 1 ej 2 k + S 2 ej2 2 k + S 3 ej3 2 k =

p=0

3 π π π 1 1 3 = 1, 5 + √ ej 4 π ej 2 k + (−0, 5) ej2 2 k + √ e−j 4 π ej3 2 k . |{z} | {z } 2 2 | {z } | {z } S0 S2 C

C

S1

S3

π

Ebben az o¨sszef¨ ugg´esben az utols´o t´enyez˝o a´t´ırhat´o: e j3 2 k = −j π2 k e , azaz π π π 3 1 1 3 s[k] = 1, 5 + √ ej 4 π ej 2 k − 0, 5ej2 2 k + √ e−j 4 π e−j 2 k . 2 2

Itt a m´asodik ´es az utols´o tag a´t´ırhat´o val´os koszinuszos alakra, a k¨oz´eps˝o tag pedig az Euler-formul´anak megfelel˝oen koszinuszos f¨ uggv´enyt eredm´enyez (ezen f¨ uggv´enyek l´athat´ok a 7.6. a´br´an):   2 3 π s[k] = 1, 5 + √ cos k + π −0, 5 cos(πk) . |{z} | {z } 2 4 2 {z } | s1 [k] s3 [k] s2 [k]

255

1.5

1

0.5

1 0.5

s3[k]

1

s2[k]

2

s1[k]

2

0 -1

0

-2 -1

0

1

2

3

4

0 -0.5

-1

0

1

k

2

3

4

-1 -1

0

k

1

2

3

4

k

7.6. a´bra. A szinuszos o ¨sszetev˝ ok, melyek szuperpoz´ıci´ oja adja az s[k] jel id˝ of¨ uggv´eny´et A periodikus jel Fourier-¨osszeg´enek egyik val´os alakja a (7.40) alapj´an ´ırhat´o fel. Itt K2 − 1 = 24 − 1 = 1, azaz csak S1A ´es S1B ´ert´ek´et kell meghat´arozni a komplex egy¨ utthat´ok ismeret´eben: n o C S1A = 2 Re S 1 = 2(−0, 5) = −1, s ´ıgy

n o C S1B = −2 Im S 1 = −2(0, 5) = −1,

s[k] = 1, 5 − 1 cos

π  π  k − 1 sin k + (−1)k (−0, 5). 2 2

A m´asik val´os alak a (7.43) alapj´an a´ll´ıthat´o el˝o, ahol a 4 szumma ism´et csak egy elemb˝ol a´ll, hiszen K 2 − 1 = 2 − 1 = 1. Az S1 cs´ ucs´ert´ek a meghat´arozhat´o ak´ar a komplex alak, ak´ar az el˝obbi val´os alak alapj´an (l. (7.45) ´es (7.47) o¨sszef¨ ugg´esek): q √
2
2 √ 1 C S1A + S1B = 2, vagy S1 = 2 S 1 = 2 √ = 2. S1 = 2 A ρ1 f´azis szint´en meghat´arozhat´o mindk´et alakb´ol: 5 ρ1 = −arc tg

S1B 5 = − π, A 4 S1

vagy

5

3 C ρ1 = arcS 1 = π. 4

Az arc tg f¨ uggv´eny k´epz´esekor u ¨gyelni kell az el˝ ojelekre. Ilyenkor c´elszer˝ u egy a ´br´ at is rajzolni.

256

A k´et f´azis term´eszetesen egyenl˝o. A val´os alak ´ıgy a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o:   √ 5 π k − π + (−1)k (−0, 5). s[k] = 1, 5 + 2 cos 2 4 V´egeredm´enyben teh´at l´atsz´olag h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o alak´ u id˝of¨ uggv´enyt kaptunk, azonban behelyettes´ıt´essel meggy˝oz˝odhet¨ unk arr´ol, hogy mindh´arom id˝of¨ uggv´eny az eredetileg adott s[k] periodikus jelet adja. A gerjesztett v´alasz sz´am´ıt´as´ara az ut´obbi alakot fogjuk alkalmazni, mert az j´ol illeszkedik a komplex sz´am´ıt´asi m´odszerhez, a Fourier-egy¨ utthat´ok meghat´aroz´as´ara pedig a komplex alakot alkalmazzuk.

7.2.2.

A periodikus v´ alasz sz´ am´ıt´ asa

Ha a diszkr´et idej˝ u rendszer s[k] gerjeszt´ese egy periodikus jel, ´es ezen periodikus jel Fourier-felbont´as´at elv´egezz¨ uk, akkor a rendszer gerjesztett v´alasza Fourier-¨osszeg alakj´aban meghat´arozhat´o. A Fourier-¨osszeggel adott gerjeszt´es K2 − 1, vagy K−1 sz´am´ u szi2 nuszos jel szuperpoz´ıci´oja. Ha ismert a rendszer a´tviteli karakterisztik´aja, akkor az egyes harmonikusokra adott r´eszv´alaszokat ki tudjuk sz´amolni a komplex le´ır´asi m´odszer alapj´an. Ezut´an ezen r´eszv´alaszokat kell szuperpon´alni, hiszen a rendszer line´aris. Arra kell csup´an u ¨ gyeln¨ unk, hogy az egyes harmonikus komponensek k¨orfrekvenci´aja k¨ ul¨onb¨oz˝o: az alapharmonikus k¨orfrekvenci´aj´anak eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose. A v´alaszjel egyes komponensei teh´at a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es szerint hat´arozhat´ok meg: Y p = W p Sp,

(7.48)

ahol S p jel¨oli a gerjeszt´es p-edik harmonikus komplex cs´ ucs´ert´ejpϑ k´et, W p = W (e ) az a´tviteli egy¨ utthat´o a pϑ k¨orfrekvenci´an ´es Y p a v´alaszjel p-edik harmonikus´anak komplex cs´ ucs´ert´eke. Ezek 257

sz´am´ıt´as´ara ´erdemes egy t´abl´azatot k´esz´ıteni. Ezut´an a v´alaszjel fel´ırhat´o a j´ol ismert alakban:

y[k] = Y0 +

K −1 2

X

Yp cos(pϑk + ϕp ) + (−1)k YK/2 ,

(7.49)

p=1

ha K p´aros, vagy K−1 2

y[k] = Y0 +

X

Yp cos(pϑk + ϕp ),

(7.50)

p=1

ha K p´aratlan. Gyakorlatilag az el˝oz˝o r´eszben ismertetett elj´ar´ast kell ism´etelni, majd a r´eszeredm´enyeket o¨sszeadni. Fontos megjegyezni, hogy a v´alasz peri´odusa azonos a gerjeszt´es peri´odus´aval. P´ elda. Legyen egy rendszer gerjeszt´ese az el˝oz˝oekben vizsg´alt periodikus jel, melynek Fourier-felbont´asa ismert, a´tviteli karakterisztik´aja pedig az al´abbi: ej2ϑ − 1 Y , = j2ϑ e − ejϑ + 0, 24 S   √ π 5 s[k] = 1, 5 + 2 cos k − π + (−1)k (−0, 5). 2 4 W =

Megold´ as. A W a´tviteli karakterisztika hely´ebe el˝osz¨or is ´ırjunk W p -t:   W p = W ejpϑ =

ej2pϑ − 1 , ej2pϑ − ejpϑ + 0, 24

majd sz´am´ıtsuk ki azt a p = 0, 1, 2 esetekre ´es foglaljuk t´abl´azatba az eredm´enyeket: 258

4

3 2

3

y[k]

s[k]

1 2

0 -1

1 -2 0

-3 0

2

4 k

6

8

0

2

4 k

6

8

7.7. a´bra. A p´eld´ aban szerepl˝ o gerjeszt´es ´es a v´ alaszjel stacion´ arius o ¨sszetev˝ oj´enek id˝ of¨ uggv´enye p 0 1 2

Sp 1,5 √ 2 0,5

ρp 0 − 54 π π

Kp 0 1,592 0

φp 0 -0,92 0

Yp 0 2,251 0

ϕp 0 -4,85 π

A t´abl´azat minden sora tartalmazza a gerjeszt´es p-edik harmonikus´anak amplit´ ud´oj´at ´es f´azis´at, amely ´ert´ekek a gerjeszt´es aros Fourier-k¨ozel´ıt´es´eb˝ol kiolvashat´ok (p = 0, . . . , K 2 − 1, ha K p´ K−1 ´es p = 0, . . . , 2 , ha K p´aratlan), tov´abb´a az a´tviteli karakterisztika helyettes´ıt´esi ´ert´ek´et adott pϑ k¨orfrekvenci´an. A v´alaszjel amplit´ ud´oja a gerjeszt´es amplit´ ud´oj´anak ´es az a´tviteli egy¨ utthat´o abszol´ ut ´ert´ek´enek szorzata, f´azisa pedig a gerjeszt´es f´azis´anak ´es az a´tviteli egy¨ utthat´o f´azis´anak az o¨sszege, hiszen minden u az Euler-alakot sorban igaz, hogy Y p = W p S p . Ez´ert c´elszer˝ haszn´alni a sz´am´ıt´asok sor´an. A t´abl´azat utols´o k´et oszlopa teh´at a gerjeszt´es p-edik harmonikus´ara adott gerjesztett v´alasz amplit´ ud´oj´at ´es f´azis´at tartalmazza. A v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a komplex cs´ ucs´ert´ek fogalm´anak ismeret´eben teh´at a k¨ovetkez˝o:  π k − 4, 85 . y[k] = 2, 251 cos 2 259

A gerjeszt´es ´es a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a 7.7. a´br´an l´athat´o. ´ Erdemes megfigyelni, hogy a v´alaszjel peri´odusa szint´en K = 4.

7.3.

Jelek ´ es rendszerek spektr´ alis le´ır´ asa

Most m´ar tudjuk, hogy a Fourier-¨osszeg alkalmaz´as´aval tetsz˝oleges periodikus jel el˝oa´ll´ıthat´o szinuszos jelek szuperpoz´ıci´ojak´ent. Az egyes harmonikusok diszkr´et, un. vonalas spektrummal reprezent´alhat´ok, ´es a vonalas spektrum csak az alapharmonikus k¨orfrekvenci´aj´anak eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨oseit tartalmazza. Ezt az elj´ar´ast nem periodikus jelekre is alkalmazhatjuk, mivel azok v´egtelen sok szinuszos jel o¨sszegek´ent ´ırhat´ok le. Az eddigi vez´erfonalat megtartva a diszkr´et Fourier-transzform´aci´ot a diszkr´et Fourier-felbont´ashoz hasonl´oan a folytonos idej˝ u jelekn´el megismert Fourier-transzform´aci´ob´ol vezetj¨ uk le.

7.3.1.

A Fourier-transzform´ aci´ o´ es a spektrum

Induljunk ki teh´at a folytonos idej˝ u jelek komplex Fourier-transzform´altj´ab´ol ´es annak inverz´eb˝ol: Z ∞ Z ∞ 1 −jωt S(jω) ejωt dω. s(t) e dt, s(t) = S(jω) = 2π −∞ −∞ Vegy¨ unk ism´et Ts id˝ok¨oz¨onk´ent egyenletesen mint´akat az s(t) nem periodikus jelb˝ol. Ez´altal egy olyan s[l] diszkr´et idej˝ u jelet kapunk, amelynek l-edik u ¨ tembeli ´ert´eke az s(lT s ) ´ert´ekkel egyezik meg: s[l] = s(lTs ). K¨ozel´ıts¨ uk ezut´an t´egl´any¨osszeggel az S(jω) komplex Fourier-transzform´aci´ot defini´al´o integr´alt. Osszuk fel az integr´al´as intervallum´at v´egtelen sok T s hossz´ us´ag´ u r´eszre: S(jω) '

∞ X

s(lTs )e−jωlTs Ts .

l=−∞

260

Vezess¨ uk be ism´et a ϑ diszkr´et idej˝ u k¨orfrekvenci´at a ϑ = ωT s o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen, azaz S(jω) ' Ts

∞ X

s[l]e−jϑl .

l=−∞

Ez a kifejez´es (´es ebb˝ol k¨ovetkez˝oen a Fourier-transzform´alt is) 2π szerint periodikus, hiszen Ts

∞ X

∞ X

s[l]e−j(ϑ+2π)l = Ts

s[l]e−jϑl e−j2πl = Ts

s[l]e−jϑl ,

l=−∞

l=−∞

l=−∞

∞ X

ugyanis az e−j2πl t´enyez˝o ´ert´eke 1, ahogy azt a Fourier-felbont´as sor´an m´ar megmutattuk. Helyettes´ıts¨ uk vissza a kapott eredm´enyt az inverz Fouriertranszform´aci´o o¨sszef¨ ugg´es´ebe ´es haszn´aljuk ki a 2π szerinti periodicit´ast ´es azt, hogy ω= azaz 1 s(kTs ) = 2π

Z

ϑ Ts 2π

Ts 0

⇒

dω =

∞ X

dϑ , Ts !

s[l]e−jϑl

l=−∞

ejωkTs

dϑ , Ts

amit Ts -sel t¨ort´en˝o egyszer˝ us´ıt´es ´es ϑ = ωT s helyettes´ıt´es ut´an a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhatunk fel: ! Z 2π X ∞ 1 s[l]e−jϑl ejϑk dϑ. s[k] = 2π 0 l=−∞

A kapott o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o o¨sszegz´est a diszkr´et idej˝ u jel Fourier-transzform´ altj´anak, vagy spektrum´anak nevezz¨ uk. Az l index helyett k-t ´ırva kapjuk, hogy: S(ejϑ ) = F{s[k]} = 261

∞ X

k=−∞

s[k]e−jϑk .

(7.51)

A jel spektruma teh´at komplex ´ert´ek˝ u, ´es az e jϑ kifejez´es f¨ uggv´ejϑ nye, S(ϑ) = S(e ). A Fourier-transzform´alt abszol´ ut ´ert´eke a jel un. amplit´ ud´ ospektruma, f´azisa pedig a jel f´ azisspektruma. Ahogy egy folytonos idej˝ u jel spektruma akkor l´etezik, ha a jel abszol´ ut integr´alhat´o, u ´ gy a diszkr´et idej˝ u jel akkor Fouriertranszform´alhat´o, ha a jel abszol´ ut o ¨sszegezhet˝ o: ∞ X

k=−∞

|s[k]| < ∞.

(7.52)

A jel id˝of¨ uggv´enye a spektrum ismeret´eben teh´at a k¨ovetkez˝o integr´allal a´ll´ıthat´o el˝o: s[k] = F

−1

1 {S(e )} = 2π jϑ

Z

2π

S(ejϑ ) ejϑk dϑ.

(7.53)

0

´ Az integr´al´asi hat´ar lehet pl. m´eg −π ´es π. Altal´ anos diszkr´et 1 jϑ idej˝ u jel spektruma teh´at v´egtelen sok 2π S(e ) dϑ komplex amplit´ ud´oj´ u ϑ k¨orfrekvenci´aj´ u szinuszos jel o¨sszeg´eb˝ol a´ll. A Fourier-transzform´aci´o teh´at egy o¨sszeg, hiszen a jel csak diszkr´et id˝opillanatokban l´etezik, az inverz Fouriertranszform´aci´o azonban egy integr´al, hiszen a diszkr´et idej˝ u jel spektruma folytonos f¨ uggv´enye a ϑ v´altoz´onak. A diszkr´et Fourier-transzform´aci´onak is l´etezik val´os alakja. A levezet´es anal´og a folytonos idej˝ u jelek val´os Fouriertranszform´altj´anak levezet´es´evel. Ennek fel´ır´as´ahoz bontsuk kett´e a (7.53) o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o integr´alt a negat´ıv ´es a pozit´ıv k¨orfrekvenci´akra, majd az els˝o tagban ϑ hely´ebe ´ırjunk −ϑ-t, melynek eredm´enyek´epp az integr´al´asi hat´arok felcser´elhet˝ok: Z 0 Z π 1 1 jϑ jϑk S(e ) e dϑ + S(ejϑ ) ejϑk dϑ = s[k] = 2π −π 2π 0 Z π Z π 1 1 = S(e−jϑ ) e−jϑk dϑ + S(ejϑ ) ejϑk dϑ. 2π 0 2π 0 262

Val´ os s[k] f¨ uggv´enyek eset´eben (mi csak ilyenekkel foglalkozunk) az S(ejϑ ) komplex spektrum amplit´ ud´ ospektruma p´ aros, f´ azisspektruma pedig p´ aratlan f¨ uggv´enye a ϑ diszkr´et k¨ orfrekvenci´ anak. Ennek bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol ´ırjuk fel (7.51) alakj´at u ´ gy, −jϑk hogy az e = cos ϑk−j sin ϑk Euler-rel´aci´ot figyelembe vessz¨ uk: jϑ

S(e ) =

∞ X

k=−∞

s[k] cos ϑk − j

∞ X

s[k] sin ϑk,

k=−∞

valamint S(e

−jϑ

)=

∞ X

s[k] cos ϑk + j

∞ X

s[k] sin ϑk,

k=−∞

k=−∞

azaz S(ejϑ ) ´es S(e−jϑ ) val´os r´esze megegyezik, k´epzetes r´esze azonban egym´as −1-szerese, k¨ovetkez´esk´epp: |S(e−jϑ )| = |S(ejϑ )|,

arc S(e−jϑ ) = −arc S(ejϑ ),

(7.54)

vagy 

S(ejϑ )

∗

= S(e−jϑ ).

(7.55)

Ezek felhaszn´al´as´aval ´ırhatjuk, hogy Z π Z π ∗ 1 1 −jϑk jϑ S(ejϑ ) ejϑk dϑ. dϑ + s[k] = S(e ) e 2π 0 2π 0

´Irjuk fel ezut´an az S(ejϑ ) komplex spektrumot ´es konjug´altj´at algebrai alakban:  ∗ S(ejϑ ) = Sre (ϑ) + jSim (ϑ), S(ejϑ ) = Sre (ϑ) − jSim (ϑ), majd ´ırjuk be ezeket a fenti integr´alba: Z π 1 [Sre (ϑ) − jSim (ϑ)] e−jϑk dϑ+ s[k] = 2π 0 Z π 1 + [Sre (ϑ) + jSim (ϑ)] ejϑk dϑ, 2π 0 263

majd bontsuk fel a z´ar´ojeleket ´es csoportos´ıtsuk a val´os ´es a k´epzetes r´eszeket ´es vigy¨ unk be egy 2-es oszt´ot is. A kifejez´est az azonos integr´al´asi hat´arok miatt egyetlen integr´allal kifejezhetj¨ uk:  Z π ejϑk − e−jϑk ejϑk + e−jϑk 1 dϑ, − 2Sim (ϑ) 2Sre (ϑ) s[k] = 2π 0 2 2j ´es a szok´asos m´odon vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: n o n o S A (ϑ) = 2 Re S(ejϑ ) , S B (ϑ) = −2 Im S(ejϑ ) ,

(7.56)

azaz (7.54) miatt S A (ϑ) p´aros, S B (ϑ) pedig p´aratlan f¨ uggv´eny. Az Euler-rel´aci´o ´ertelm´eben az ut´obbi integr´alt a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhatjuk fel: Z π  A  1 s[k] = S (ϑ) cos ϑk + S B (ϑ) sin ϑk dϑ. 2π 0 H´atravan m´eg S A (ϑ) ´es S B (ϑ) val´os spektrumok meghat´aroz´asa. ´Irjuk fel ezek meghat´aroz´as´ahoz a (7.51) o¨sszef¨ ugg´es´et ´es ´ırjuk a´t az exponenci´alis t´enyez˝ot algebrai alakra: jϑ

S(e ) =

∞ X

k=−∞

s[k] cos ϑk − j

∞ X

s[k] sin ϑk.

k=−∞

A komplex S(ejϑ ) spektrumot azonban n o n o S A (ϑ) S B (ϑ) S(ejϑ ) = Re S(ejϑ ) + jIm S(ejϑ ) = −j 2 2

alakban m´ar fel´ırtuk, s ezek figyelembev´etel´evel kapjuk, hogy: S A (ϑ) = 2

∞ X

s[k] cos ϑk,

S B (ϑ) = 2

∞ X

s[k] sin ϑk.

k=−∞

k=−∞

264

(7.57)

P´ aros f¨ uggv´eny spektruma val´ os, azaz S B (ϑ) = 0 p´ aratlan f¨ uggv´eny spektruma pedig k´epzetes, azaz S A (ϑ) = 0. A n´egyzetesen o¨sszegezhet˝o s[k] jel v´eges ´ert´ek˝ u Es ≡

∞ X

k=−∞

|s[k]|2

(7.58)

energi´aja a Parseval-t´etel ´ertelm´eben fel´ırhat´o a jel spektrum´anak ismeret´eben. Ha a jel val´os ´ert´ek˝ u (mi csak ilyenekkel foglalkozunk), akkor az abszol´ ut ´ert´ek k´epz´ese el is hagyhat´o. Helyettes´ıts¨ uk be s[k] hely´ebe az inverz Fourier-transzform´aci´o (7.53) o¨sszef¨ ugg´es´et:   Z 2π ∞ ∞ X X 1 jϑ jϑk S(e ) e dϑ . Es ≡ s[k]s[k] = s[k] 2π 0 k=−∞

k=−∞

Az 1/2π konstanst emelj¨ uk ki ´es cser´elj¨ uk fel az integr´al´as ´es az o¨sszegz´es sorrendj´et: ! Z 2π ∞ X 1 S(ejϑk ) Es = s[k]ejϑk dϑ. 2π 0 k=−∞

A szumma az S(ejϑ ) spektrum konjug´altja, azaz: 1 Es = 2π

Z

2π 0

1 S(e ) S (e )dϑ = 2π jϑ

∗

jϑ

Z

2π 0

|S(ejϑ )|2 dϑ,

(7.59)

ahol, |S(ejϑ )|2 pedig a jel un. energiaspektruma.

7.3.2.

A Fourier-transzform´ aci´ o t´ etelei

A k¨ovetkez˝okben a Fourier-transzform´aci´o n´eh´any, sz´amunkra fontos t´etel´evel foglalkozunk. A t´etelek bizony´ıt´as´at (ahol ez sz¨ uks´eges) az inverz Fourier-transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel v´egezz¨ uk el. 265

Linearit´ as A Fourier-transzform´aci´o egy o¨sszegz´es, inverze pedig egy integr´al. Ezen m˝ uveletek line´ aris oper´ ator ok, azaz b´armely C 1 , C2 konstans eset´en fenn´all, hogy F{C1 s1 [k] + C2 s2 [k]} = C1 F{s1 [k]} + C2 F{s2 [k]},

F −1 {C1 S1 (ejϑ ) + C2 S2 (ejϑ )} = C1 F −1 {S1 (ejϑ )} + C2 F −1 {S2 (ejϑ )}.

(7.60)

´ Altal´ anosan ez a k¨ovetkez˝ot jelenti: ) ( n n X X Ci F{si [k]}, C s [k] = F i i F −1

(

i=1

n X

Ci Si (ejϑ )

i=1

)

i=1

=

n X i=1

(7.61)

Ci F −1 {Si (ejϑ )}.

Ez a szuperpoz´ıci´ o elv e, ami teh´at annyit jelent, hogy a transzform´ aci´ o ´es inverze tagonk´ent elv´egezhet˝ o. Eltol´ asi t´ etel Ha l´etezik az s[k] jel S(ejϑ ) spektruma, akkor a K u ¨ temmel eltolt s[k − K] jel spektruma az eltol´ asi t´etel ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o: F {s[k − K]} = e−jϑK S(ejϑ ),

(7.62)

azaz az s[k] jel spektrum´at be kell szorozni e −jϑK -val, amely −ϑK ´ert´ek˝ u f´azisforgat´ast v´egez az S(e jϑ ) spektrumon, de az amplit´ ud´ospektrumot ´es az energiaspektrumot nem m´odos´ıtja, mivel |e−jϑK | = 1. A t´etel bizony´ıt´as´ara a (7.53) o¨sszef¨ ugg´esben ´ırjunk minden k hely´ebe (k − K)-t: 1 s[k − K] = 2π

Z

2π

jϑ

S(e ) e 0

jϑ(k−K)

1 dϑ = 2π

266

Z

2π 0

S(ejϑ ) e−jϑK ejϑk dϑ. | {z } F {s[k−K]}

Az a ´tviteli karakterisztika meghat´ aroz´ asa. Alkalmazzuk az eltol´asi t´etelt a rendszeregyenletre ´es az a´llapotv´altoz´os le´ır´asra, melynek kapcs´an eljutunk a diszkr´et idej˝ u rendszer a ´tviteli karakterisztik´ aj´ahoz, amely egy rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny. Induljunk ki teh´at a diszkr´et idej˝ u SISO-rendszer rendszeregyenlet´eb˝ol: y[k] +

n X i=1

ai y[k − i] =

m X i=0

bi s[k − i].

K´epezz¨ uk ezen egyenlet Fourier-transzform´altj´at ´es k¨ozben alkalmazzuk az eltol´asi t´etelt: Y (ejϑ ) +

n X

ai Y (ejϑ )e−jϑi =

m X

bi S(ejϑ )e−jϑi .

i=0

i=1

Ezen egyenlet k´et oldal´an egy e−jϑ -ban n-edfok´ u ´es egy m-edfok´ u jϑ polinomot kapunk. Emelj¨ unk ki a bal oldalon Y (e )-t, a jobb oldalon pedig S(ejϑ )-t: ! m n X X −jϑi jϑ bi e−jϑi . = S(ejϑ ) ai e Y (e ) 1 + i=0

i=1

Ebb˝ol k´epezhetj¨ uk az un. W (ejϑ ) a´tviteli karakterisztik´at: Pm −jiϑ Y (ejϑ ) i=0 bi e P , = W (e ) = S(ejϑ ) 1 + ni=1 ai e−jiϑ jϑ

(7.63)

vagy r´eszletesen ki´ırva: W (ejϑ ) =

b0 + b1 e−jϑ + b2 e−j2ϑ + . . . + bm e−jmϑ Y (ejϑ ) = , S(ejϑ ) 1 + a1 e−jϑ + a2 e−j2ϑ + . . . + an e−jnϑ (7.64) 267

azaz az a´tviteli karakterisztika az e −jϑ v´altoz´o racion´alis f¨ uggv´enye val´os egy¨ utthat´okkal. 6 Az a´tviteli karakterisztika teh´at egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es, nevez˝oj´enek polinomja alakilag megegyezik a rendszeregyenlet karakterisztikus polinomj´aval. Ezen m˝ uveletsor term´eszetesen visszafel´e is elv´egezhet˝o. Ha teh´at ismert egy gerjeszt´es-v´ alasz stabilis rendszer a´tviteli karakterisztik´aja, akkor annak rendszeregyenlete meghat´arozhat´o, tov´abb´a az a´tviteli karakterisztika sz´aml´al´oj´aban ´es nevez˝oj´eben szerepl˝o bi ´es ai egy¨ utthat´ok megegyeznek a rendszeregyenlet jobb- ´es bal oldal´an szerepl˝o egy¨ utthat´okkal. ´ Erdemes megfigyelni, hogy a levezet´es nagyon hasonl´ıt a komplex cs´ ucs´ert´ekek alkalmaz´asa sor´an bemutatott levezet´eshez. Ott a gerjeszt´es ´es a v´alasz komplex cs´ ucs´ert´ek´eb˝ol, ebben az esetben pedig azok Fourier-transzform´altj´ab´ol indultunk ki. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as egyenleteinek Fourier-transzform´al´as´aval szint´en az a´tviteli karakterisztik´ahoz juthatunk. A levezet´est itt mell˝ozz¨ uk, mert az megegyezik a komplex cs´ ucs´ert´ekek alkalmaz´asa sor´an bemutatottal. Az a´tviteli karakterisztika teh´at nemcsak szinuszos gerjeszt´es ´es szinuszos v´alasz eset´en hat´arozhat´o meg, hanem tetsz˝oleges gerjeszt´es ´es a r´a adott v´alasz spektrum´anak seg´ıts´eg´evel is, hiszen a spektrum ´eppen a szinuszos komponenseket adja meg a k¨orfrekvencia f¨ uggv´eny´eben. Teh´at az a ´tviteli karakterisztika a v´ alasz ´es a gerjeszt´es spektrum´ anak h´ anyadosa. Ezt illusztr´alja a k¨ovetkez˝o a´bra: s[k]

-

S(ejϑ ) = F {s[k]}

6

W (ejϑ )

y[k]

-

Y (ejϑ ) = F {y[k]}

Az alkalmaz´ asok sor´ an azonban ejϑ pozit´ıv kitev˝ oire fogunk a ´tt´erni.

268

A konvol´ uci´ o spektruma Az eltol´asi t´etelt alkalmazzuk a konvol´ uci´ o spektrum´ a nak meghat´aroz´asa sor´an. Az id˝otartom´anyban v´egzett y[k] = w[k] ∗ s[k] konvol´ uci´o a frekvenciatartom´anyban szorzatt´ a egyszer˝ us¨ odik : Y (ejϑ ) = F{w[k]}F{s[k]} = W (ejϑ ) S(ejϑ ),

(7.65)

ahol S(ejϑ ) ´es Y (ejϑ ) a gerjeszt´es ´es a v´alaszjel spektruma, W (ejϑ ) pedig a rendszer a´tviteli karakterisztik´aja. Az o¨sszef¨ ugg´es term´eszetesen m´as jelekre is ´erv´enyes. A (7.65) igazol´as´at az inverz Fourier-transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel tessz¨ uk meg, felt´etelezz¨ uk tov´abb´a, hogy s[k] is ´es w[k] is abszol´ ut o¨sszegezhet˝o: Z 2π n o 1 −1 jϑ jϑ y[k] = F S(e ) W (e ) = S(ejϑ ) W (ejϑ )ejϑ dϑ = 2π 0 ! Z 2π X ∞ 1 −jϑi s[i]e W (ejϑ ) ejϑ dϑ. = 2π 0 i=−∞ | {z } S(ejϑ )

Cser´elj¨ uk fel most az o¨sszegz´es ´es az integr´al´as sorrendj´et ´es alkalmazzuk az eltol´asi t´etelt:  Z 2π  ∞ X 1 jϑ −jϑi jϑk y[k] = s[i] W (e )e e dϑ , 2π 0 i=−∞ {z } | w[k−i]

ami pontosan a konvol´ uci´o kifejez´ese. A v´alaszjel spektruma teh´at az impulzusv´alasz spektrum´anak ´es a gerjeszt´es spektrum´anak a szorzata. A k¨ovetkez˝o szeml´eletes illusztr´aci´o kapcs´an eljutunk a Fourier-transzform´aci´o form´alis megad´as´ahoz. Legyen egy rendszer nem bel´ep˝o gerjeszt´ese az s[k] = e jϑk jel, amely az Eulerformul´anak megfelel˝oen egy szinuszos jel. Vegy¨ uk ezen jel ´es a 269

rendszer impulzusv´alasz´anak konvol´ uci´oj´at, ami a rendszer kimeneti jele: y[k] =

∞ X

i=−∞

w[i]s[k − i] =

∞ X

w[i]ejϑ(k−i) = ejϑk

i=−∞

∞ X

w[i]e−jϑi .

i=−∞

Az ut´obbi o¨sszegben szerepel a w[k] impulzusv´alasz Fouriertranszform´altja (´ırjunk i hely´ebe k-t), ami pontosan a rendszer a´tviteli f¨ uggv´enye (ezt a 272. oldalon igazolni is fogjuk): W (ejϑ ) =

∞ X

w[k]e−jϑk .

(7.66)

k=−∞

´Igy a rendszer v´alasza a k¨ovetkez˝o: y[k] = W (ejϑ )ejϑk , azaz a´lland´osult a´llapotban a line´aris rendszer szinuszos gerjeszt´esre szinuszos v´alaszt ad, amely a W (e jϑ ) a´tviteli karakterisztika a´ltal meghat´arozottan csak amplit´ ud´oban ´es f´azisban k¨ ul¨onb¨ozik a gerjeszt´est˝ol. Az a´tviteli karakterisztik´at a rendszer saj´ at´ert´ek´e nek is szok´as nevezni, az e jϑk gerjeszt´es pedig az un. saj´ atf¨ uggv´eny. ´Igy a konvol´ uci´o ismeret´ere t´amaszkodva jutottunk el a rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´anak defin´ıci´oj´ahoz, valamint a Fourier-transzform´aci´ohoz. Az o¨sszegben szerepl˝o w[i] hely´ebe tetsz˝oleges s[k] f¨ uggv´enyt ´ırva defini´alhatjuk az s[k] jel Fouriertranszform´altj´at is, ha ez a v´egtelen o¨sszeg l´etezik.

270

Eltol´ as a frekvenciatartom´ anyban, a modul´ aci´ os t´ etel A modul´ aci´ os t´etel kimondja, hogy a frekvenciatartom´anyban ϑ0 k¨orfrekvenci´aval val´o eltol´as az id˝otartom´anyban e jϑ0 k f¨ uggv´ennyel v´egzett szorz´ast jelent: ∞ X

s[k] ejϑ0 k e−jϑk =

k=−∞

∞ X

s[k] e−j(ϑ−ϑ0 )k ,

k=−∞

azaz az S(ejϑ ) spektrumban minden ϑ hely´ebe (ϑ − ϑ 0 )-t kell ´ırni: o n F s[k] ejϑ0 k = S(ej(ϑ−ϑ0 ) ).

(7.67)

Az ejϑ0 k = cos ϑ0 k + j sin ϑ0 k azonoss´ag alapj´an ez a t´etel teh´at szinuszos jellel t¨ort´en˝o szorz´asra ad o¨sszef¨ ugg´est. A t´etel fontos k¨ovetkezm´enye, hogy az s[k] cos ϑ 0 k jel spektruma az Euler-rel´aci´o alkalmaz´as´aval a k¨ovetkez˝o: ∞ X

s[k] cos ϑ0 k e−jϑk =

∞ X

s[k]

k=−∞

k=−∞

ejϑ0 k + e−jϑ0 k −jϑk e . 2

Felbontva a t¨ortet kapjuk, hogy F {s[k] cos ϑ0 k} =

i 1 h j(ϑ−ϑ0 ) S(e ) + S(ej(ϑ+ϑ0 ) ) , 2

(7.68)

azaz az s[k] jel S(ejϑk ) spektruma a ϑ = ϑ0 ´es a ϑ = −ϑ0 k¨orfrekvenci´akon jelenik meg fele akkora amplit´ ud´oval. Hasonl´ok´epp, az s[k] sin ϑ0 k jel spektruma az Euler-rel´aci´o alkalmaz´as´aval a k¨ovetkez˝o: ∞ X

k=−∞

s[k] sin ϑ0 k e

−jϑk

=

∞ X

k=−∞

271

s[k]

ejϑ0 k − e−jϑ0 k −jϑk e . 2j

Felbontva a t¨ortet kapjuk, hogy F {s[k] sin ϑ0 k} =

i 1 h j(ϑ−ϑ0 ) S(e ) − S(ej(ϑ+ϑ0 ) ) , 2j

(7.69)

A t´etel szerint amplit´ ud´ omodul´ aci´ o n´al a kisfrekvenci´as s[k] jel spektruma a nagyfrekvenci´as viv˝ojel seg´ıts´eg´evel a ±ϑ 0 k¨orfrekvencia k¨ornyezet´ebe tev˝odik a´t. Ez t¨ ukr¨oz˝odik a t´etel elnevez´es´eben is.

7.3.3.

Diszkr´ et idej˝ u jelek spektruma

A k¨ovetkez˝okben n´eh´any fontos jel Fourier-transzform´altj´at, azaz spektrum´at fogjuk meghat´arozni. 1.) A Dirac-impulzus Fourier-transzform´altja a (7.51) defin´ıci´o alapj´an meghat´arozhat´o, mivel az abszol´ ut o¨sszegezhet˝o: F {δ[k]} =

∞ X

δ[k]e−jϑk = δ[0]e−jϑ0 = 1,

(7.70)

k=−∞

hiszen a δ[k] jel a k = 0 u ¨ temen k´ıv¨ ul minden id˝opillanatban nulla. Az eltolt egys´egimpulzus spektruma hasonl´ok´epp adhat´o meg: F {δ[k − K]} =

∞ X

k=−∞

δ[k − K]e−jϑk = e−jϑK ,

ugyanis az eltolt egys´egimpulzus a k = K hely kiv´etel´evel minden u ¨ temben nulla. Ugyanezen eredm´enyre jutunk az eltol´asi t´etel alkalmaz´as´aval is: F {δ[k − K]} = F {δ[k]} e−jϑK = e−jϑK .

(7.71)

A Dirac-impulzus Fourier-transzform´altj´at helyettes´ıts¨ uk be a (7.65) konvol´ uci´os o¨sszef¨ ugg´esbe: Y (ejϑ ) = W (ejϑ ) 1, 272

ami annyit jelent, hogy a Dirac-impulzusra adott v´alasz (az impulzusv´alasz) spektruma megegyezik az a´tviteli karakterisztik´aval, azaz az impulzusv´ alasz Fourier-transzform´ altja (spektruma) pontosan az a ´tviteli karakterisztika, ´es megford´ıtva az a ´tviteli karakterisztika inverz Fourier-transzform´ altja az impulzusv´ alasz : W (ejϑ ) = F {w[k]} ,

n o w[k] = F −1 W (ejϑ ) .

(7.72)

Ugyanezen eredm´enyt szolg´altatja a (7.66) o¨sszef¨ ugg´es is. 2.) A tov´abbiakban felhaszn´aljuk a bel´ep˝ o, exponenci´ alisan csillapod´ o jel spektrum´at (|q| < 1): ∞  ∞ k o X n X q e−jϑ . q k e−jϑk = F ε[k]q k = k=0

k=0

A v´egtelen m´ertani sor o¨sszegk´eplet´enek felhaszn´al´as´aval kapjuk, hogy: n o ejϑ 1 = . F ε[k]q k = (7.73) 1 − q e−jϑ ejϑ − q A |q| < 1 felt´etel sz¨ uks´eges, mert ellenkez˝o esetben a jel nem abszol´ ut o¨sszegezhet˝o, a v´egtelen m´ertani sor pedig nem konvergens. Ezen jel amplit´ ud´ospektruma a k¨ovetkez˝o: |S(ejϑ )| =

1 1 =p . |1 − q cos ϑ + jq sin ϑ| (1 − q cos ϑ)2 + (q sin ϑ)2

A f´azisspektruma pedig

arc S(ejϑ ) = −arc tg

q sin ϑ . 1 − q cos ϑ

A jel id˝og¨ uggv´enye, amplit´ ud´ospektruma ´es f´azisspektruma l´athat´o a 7.8. a´br´an. Az amplit´ ud´ospektrum p´aros f¨ uggv´eny, a f´azisspektrum pedig p´aratlan f¨ uggv´eny. 273

0.75

1.5

0.5 0.25 0 -1

0

1

2 k

3

4

arc S(ejϑ)[rad]

2 |S(ejϑ)|

s[k]

1

1 0.5 0 -2π -π

0 π ϑ[rad]

2π

0.6 0.3 0 -0.3 -0.6 -2π -π

0 π ϑ[rad]

2π

7.8. a´bra. Az s[k] = ε[k] 0, 5k jel id˝ of¨ uggv´enye, amplit´ ud´ ospektruma ´es f´ azisspektruma A nem abszol´ ut o¨sszegezhet˝o egys´egugr´asjel Fourier-transzform´altj´anak meghat´aroz´asa el˝ott bevezetj¨ uk az el˝ojelf¨ uggv´eny ´es az egys´egnyi ´ert´ek˝ u, nem bel´ep˝o, a´lland´o jel spektrum´at. Ugyanis az egys´egugr´asjel spektruma ezek ismeret´eben meghat´arozhat´o. 3.) Hat´arozzuk meg el˝osz¨or az s[k] = − {1 − ε[k]} q −k + ε[k − 1]q k jel Fourier-transzform´altj´at (0 < q → 1, akkor ezen jel a   −1, sgn k = 0,  1,

q < 1). Abban az esetben, ha ha k < 0; ha k = 0; ha k > 0

el˝ ojelf¨ uggv´enyhez tart, az s[k] jel ´ert´eke a k = 0 u ¨ temben ugyanis nulla. Az s[k] jel abszol´ ut o¨sszegezhet˝o, a sgn k f¨ uggv´eny viszont nem. Ez´ert spektrum´at az s[k] jel spektrum´ab´ol sz´armaztatjuk. Alkalmazzuk a Fourier-transzform´aci´o defin´ıci´os o¨sszef¨ ugg´es´et az

274

s[k] jelre: F {s[k]} = − (1)

−1 X

e

+

q l ejϑl − 1

!

q

k=−∞ ∞ X

=−

−k −jϑk

l=0

∞ X

q k e−jϑk =

k=1 ∞ X

+

k=0

q k e−jϑk − 1 =

1 1 =− +1+ − 1. jϑ 1−qe 1 − q e−jϑ

(2)

Az (1) l´ep´es szerint az els˝o szumm´aban a´tt´er¨ unk a k indexr˝ol az l indexre l = −k helyettes´ıt´essel, ugyanis a v´egtelen m´ertani sor o¨sszegk´eplet´et ´ıgy defini´altuk. Az o¨sszegk´eplet l = 0-t´ol ´es k = 0t´ol ´erv´enyes. Ez´ert kib˝ov´ıtett¨ uk az o¨sszeget, ugyanakkor az l = 0 ´es k = 0 indexekhez tartoz´o ´ert´ekeket le is vontuk az o¨sszegb˝ol. A (2) l´ep´esben pedig felhaszn´altuk az el˝oz˝o f¨ uggv´eny spektrum´at. K¨oz¨os nevez˝ore hoz´as ´es o¨sszevon´as ut´an a k¨ovetkez˝o eredm´enyt kapjuk: F {s[k]} =

qe−jϑ − qejϑ . 1 − qejϑ − qe−jϑ + q 2

K´epezz¨ uk ezen spektrum hat´ar´ert´ek´et, ha q → 1, ´es rendezz¨ uk az eredm´enyt ejϑ − e−jϑ qe−jϑ − qejϑ = . q→1 1 − qejϑ − qe−jϑ + q 2 ejϑ − 2 + e−jϑ

F {sgn k} = lim

Ezt az eredm´enyt tov´abb lehet egyszer˝ us´ıteni, ha felismerj¨ uk, hogy a nevez˝ot teljes n´egyzett´e lehet alak´ıtani az (a − b) 2 = a2 − 2ab + b2 azonoss´ag alapj´an, tov´abb´a a sz´aml´al´o a j´ol ismert (a + b)(a − b) = a2 − b2 azonoss´agnak megfelel˝oen alak´ıthat´o ϑ ϑ (a = ej 2 , b = e−j 2 ): ϑ

F {sgn k} =

ϑ

ϑ

ϑ

(ej 2 + e−j 2 )(ej 2 − e−j 2 ) ϑ

ϑ

(ej 2 − e−j 2 )2

275

.

ϑ

ϑ

A nevez˝oben szerepl˝o ej 2 − e−j 2 t´enyez˝ovel lehet egyszer˝ us´ıteni. −j ϑ Ezut´an szorozzuk be a sz´aml´al´ot is ´es a nevez˝ot is e 2 -vel, s azt kapjuk, hogy 1 + e−jϑ . F {sgn k} = (7.74) 1 − e−jϑ Alak´ıtsuk a´t az el˝obbi eredm´enyt u ´ gy, hogy a sz´aml´al´ot is ´es a nevez˝ot is elosztjuk 2j-vel, majd alkalmazzuk az Euler-rel´aci´ot: ejϑ − e−jϑ = ejϑ − 2 + e−jϑ

ejϑ −e−jϑ 2j −2 ejϑ +e−jϑ 2j + 2j

=

j

ejϑ −e−jϑ 2j ejϑ +e−jϑ −j 2

=

−j sin ϑ , 1 − cos ϑ

ami egy tiszt´an k´epzetes f¨ uggv´eny. Ez az eredm´eny abb´ol fakad, hogy az s[k] jel p´aratlan f¨ uggv´eny. 4.) Hat´arozzuk meg ezut´an az s[k] = q |k| = {1 − ε[k]} q −k + ε[k]q k jel spektrum´at, ha 0 < q < 1. Az ablakozott fel´ır´asban az els˝o tag a k = −∞, . . . , −1 u ¨ temekben, a m´asodik tag pedig a k = 0, . . . , ∞ u ¨ temekben szolg´altatja a q |k| jel ´ert´ek´et. Ez a jel abszol´ ut o¨sszegezhet˝o, hiszen ´ert´eke mindk´et ir´anyban exponenci´alisan cs¨okken. Ha k´epezz¨ uk a q → 1 hat´ar´ert´eket, akkor ezen jel a nem abszol´ ut o¨sszegezhet˝o egys´egnyi ´ert´ek˝ u jelhez tart. Ezen hat´ar´ert´ek k´epz´ese azonban az el˝obbin´el j´oval bonyolultabb. Az el˝oz˝oekhez hasonl´oan k´epezz¨ uk az s[k] jel Fouriertranszform´altj´at: 1 1 − q2 1 − 1 + = . 1 − qejϑ 1 − qe−jϑ 1 − qejϑ − qe−jϑ + q 2 Alak´ıtsuk a´t a kapott spektrumot az Euler-formul´anak megfelel˝oen: 1 − q2 = F {s[k]} = 1 − q cos ϑ − jq sin ϑ − q cos ϑ + jq sin ϑ + q 2 1 − q2 = . 1 − 2q cos ϑ + q 2 F {s[k]} =

276

1

4

0.75

3 |S(ejϑ)|

s[k]

Az ´ıgy kapott eredm´enyb˝ol l´atszik, hogy ezen jel spektruma tiszt´an val´os f¨ uggv´eny. Ez v´arhat´o is volt, hiszen az s[k] jel p´aros. A jel id˝of¨ uggv´enye ´es amplit´ ud´ospektruma l´athat´o a 7.9. a´br´an (a f´azisspektrum konstans 0, hiszen a spektrum val´os). Az id˝of¨ uggv´enyb˝ol l´athat´o, hogy q → 1 eset´en a jel a konstans 1 ´ert´ekhez tart.

0.5

0.25

1

0 -4

2

-2

0

2

0 -2π

4

-π

0

π

2π

ϑ[rad]

k

7.9. a´bra. Az s[k] = 0, 5|k| jel id˝ of¨ uggv´enye ´es amplit´ ud´ ospektruma Ebben az esetben nem k´epezhetj¨ uk egyszer˝ uen a q → 1 hat´ar´ert´eket, mert akkor null´at kapn´ank eredm´eny¨ ul, ami viszont lehetetlen egy nem nulla ´ert´ek˝ u jeln´el. A folytonos idej˝ u jelekn´el a konstans 1 ´ert´ek˝ u jel Fourier-transzform´altj´ara azt kaptuk, hogy 2πδ(ω). Diszkr´et idej˝ u konstans 1 ´ert´ek˝ u jel eset´eben ennek anal´ogi´aj´ara a 2πδ(ϑ) spektrumot v´arn´ank. Vizsg´aljuk meg h´at a kapott spektrumot a ϑ ∈ [−π, . . . , π] intervallumban. Ha ϑ = 0 ´es q → 1, akkor (1 − q)(1 + q) (1 + q) 1 − q2 = lim = lim = ∞. 2 2 q→1 q→1 (1 − q) q→1 1 − 2q + q (1 − q) lim

Ha ϑ 6= 0 ´es q → 1, akkor minden esetben nulla ´ert´eket kapunk hat´ar´ert´eknek. Ezen k´et esetb˝ol a folytonos Dirac-impulzusra ismerhet¨ unk. Teljes¨ ulni kell azonban m´eg azon felt´etelnek, hogy a g¨orbe alatti ter¨ ulet egys´egnyi. Ennek bizony´ıt´as´ara ´ırjuk fel a 277

k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alt: Z

  (b+c) tg ϑ 2 2 arc tg √ (b−c)(b+c) 1 p dϑ = , b − c cos ϑ (b − c)(b + c)

(7.75)

´es vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: b = 1 + q 2 , c = 2q. Ha ugyanis a spektrum sz´aml´al´oj´aban szerepl˝o 1 − q 2 t´enyez˝ot kiemelj¨ uk, akkor Z 1 (1 − q 2 ) dϑ = 2 1 + q − 2q cos ϑ   (q 2 +2q+1) tg ϑ 2 √ 2 arc tg (q 2 −2q+1)(q 2 +2q+1) = = (1 − q 2 ) p (q 2 − 2q + 1)(q 2 + 2q + 1)   (q+1)2 tg ϑ 2 2 arc tg (q−1)(q+1) 2 = −(q − 1) (q − 1)(q + 1) Az integrandusz primit´ıv f¨ uggv´eny´eben teh´at j´ol ismert azonoss´agok szerepelnek. Tov´abbi egyszer˝ us´ıt´esekkel a k¨ovetkez˝o alakot kapjuk:   Z 1 q+1 ϑ (1 − q 2 ) . dϑ = −2 arc tg tg 1 + q 2 − 2q cos ϑ q−1 2

A g¨orbe alatti ter¨ ulet az integr´al´asi hat´arok behelyettes´ıt´ese ´es q → 1 hat´ar´ert´ek k´epz´ese ut´an kaphat´o meg: 7 Z π 1 (1 − q 2 ) dϑ = 2 − 2q cos ϑ 1 + q −π = − 2 arc tg {−∞} + 2 arc tg {∞} = 2π.

q+1 7 kifejez´es bal oldali hat´ ar´ert´ek´et A q → 1 hat´ ar´ert´ek k´epz´ese sor´ an a q−1 kell k´epezni, ugyanis q alulr´ ol tart 1-hez, hiszen abb´ ol indultunk ki, hogy |q| < 1. Ez a hat´ ar´ert´ek pedig −∞. Ez´ert v´ alt el˝ ojelet az arc tg f¨ uggv´eny argumentuma. Ha minden egyes helyen 1 − q szerepelne, term´eszetesen akkor is ugyanezen eredm´enyre jutn´ ank.

278

Az integr´al´asi hat´arok teh´at −π ´es π, hiszen a spektrum 2π szerint periodikus ´es elegend˝o csak ezen tartom´anyt ismerni. A g¨orbe alatti ter¨ ulet teh´at nem egys´egnyi, hanem 2π. A spektrum teh´at a Dirac-impulzus 2π-szeres´evel ekvivalens f¨ uggv´eny, azaz F {1} = 2πδ(ϑ),

ha

ϑ ∈ [−π, . . . , π],

(7.76)

ahogy azt az anal´ogia alapj´an is sejtett¨ uk. Fontos megjegyezni teh´at, hogy ez a spektrum csak a ϑ ∈ [−π, . . . , π] intervallumban ´erv´enyes. A spektrum azonban 2π szerint periodikus, s a teljes spektrum a k¨ovetkez˝o: F {1} = 2π

∞ X

i=−∞

δ(ϑ − i 2π).

(7.77)

A kett˝o term´eszetesen ekvivalens egym´assal. A spektrum val´os ´ert´ek˝ u, hiszen a konstans jel p´aros f¨ uggv´eny. 5.) Ut´obbi k´et spektrum ismeret´eben m´ar meghat´arozhatjuk az egys´egugr´ asjel spektrum´at is. A folytonos idej˝ u egys´egugr´asjel spektrum´anak meghat´aroz´as´ahoz hasonl´oan adjuk o¨ssze az 12 sgn k f¨ uggv´enyt ´es az 21 a´lland´o ´ert´ek˝ u, nem bel´ep˝o f¨ uggv´enyt. Az ered˝o f¨ uggv´eny a k = 0 u ¨ temen k´ıv¨ ul minden u ¨ temben az ε[k] jelet adja, a k = 0 helyen azonban ´ert´eke csak 21 . Adjuk hozz´a ez´ert az ered˝o jelhez m´eg az 21 δ[k] jelet: ε[k] = 1

sgn k

1 1 1 sgn k + + δ[k]. 2 2 2 1

1

δ[k]

2 2 2 6 6 6   

+      +   






k   



k

279

(7.78)

k

ε[k]

=

6   


-

k

Ennek Fourier-transzform´altja a k¨ovetkez˝o: F {ε[k]} =

1 1 + e−jϑ 1 + πδ(ϑ) + . −jϑ 21−e 2

K¨oz¨os nevez˝ore hoz´as ut´an kapjuk az egys´egugr´asjel spektrum´at: F {ε[k]} =

1 + πδ(ϑ). 1 − e−jϑ

(7.79)

Ez a spektrum l´athat´oan tartalmaz val´os ´es k´epzetes r´eszt.

7.3.4.

A v´ alasz spektruma ´ es id˝ of¨ uggv´ enye

Az s[k] gerjeszt´es S(ejϑ ) spektrum´anak meghat´aroz´asa ut´an a rendszer W (ejϑ ) a´tviteli karakterisztik´aj´at felhaszn´alva fel´ırhatjuk a rendszer v´alasz´anak spektrum´at: Y (ejϑ ) = W (ejϑ ) S(ejϑ ),

(7.80)

amelynek inverz Fourier-transzform´altja szolg´altatja a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et: y[k] = F

−1

n

o

1 Y (e ) = 2π jϑ

Z

π

Y (ejϑ )ejϑk dϑ.

(7.81)

−π

Ezen integr´al csak nagyon speci´alis ´es egyszer˝ u esetekben alkalmas az id˝of¨ uggv´eny k´epletszer˝ u megad´as´ara. Legt¨obb esetben csak numerikusan oldhat´o meg. A gyakorlatban azonban a spektrumb´ol sok l´enyeges jellemz˝ore lehet k¨ovetkeztetni. Diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben is l´etezik a torz´ıt´ asmentes jel´ atvitel ´es a s´ avsz´eless´eg fogalma. Ezen fogalmak azonban megegyeznek a folytonos idej˝ u jelek ´es rendszerek eset´eben t´argyaltakkal, ez´ert ezeket itt nem ism´etelj¨ uk meg.

280

4. r´ esz Anal´ızis a komplex frekvenciatartom´ anyban Ebben a r´eszben azzal a gyakorlatban is sokszor el˝ofordul´o esettel foglalkozunk, amikor a folytonos idej˝ u rendszer bemenet´ere a t = 0 id˝opillanatban r´akapcsolunk egy s(t) id˝of¨ uggv´eny szerint v´altoz´o gerjeszt´est ´es a gerjeszt´es ´ert´eke nulla a t < 0 ´ id˝opillanatokban. Ez az un. bekapcsol´ asi jelens´eg. Altal´ anosan a bekapcsol´as t¨ort´enhet a t = τ > 0 id˝opillanatban is. Ennek p´arja az un. a ´tkapcsol´ asi folyamat, amikor is a gerjeszt´es ´ert´eke a τ < t id˝opillanatokba nem nulla ´es a t = τ id˝opillanatban (vagy a t = 0 id˝opillanatban) ugr´as (´atkapcsol´as) k¨ovetkezik be. El˝obbi az un. energiamentes eset, ut´obbi pedig a nem energiamentes eset. Mindez diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´en ugyanezt jelenti. Bekapcsol´asi folyamatok vizsg´alata sor´an a diszkr´et idej˝ u rendszer bemenet´ere a k = 0 u ¨ temben r´akapcsolunk egy s[k] id˝of¨ uggv´eny szerint v´altoz´o gerjeszt´est ´es a gerjeszt´es ´ert´eke a ´ k < 0 id˝opillanatokban azonosan nulla. Altal´ anosan a bekapcsol´as t¨ort´enhet a k = K > 0 u ¨ temben is. Ennek p´arja diszkr´et idej˝ u esetben is az a´tkapcsol´asi folyamat: a gerjeszt´es ´ert´eke a K < k u ¨ temekben nem nulla, de a k = K u ¨ temben (vagy a k = 0 u ¨ temben) egy a´tkapcsol´as k¨ovetkezik be. Ilyen jelens´egek le´ır´as´ara ´es a v´alaszjel sz´am´ıt´as´ara folytonos idej˝ u rendszerek eset´eben alkalmas a Laplace-transzform´ aci´ o, diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben pedig a z-transzform´ aci´ o. Ebben a r´eszben ´ertelmezz¨ uk ezen transzform´altakat, ´es vizsg´aljuk kapcsolatukat a Fourier-transzform´aci´oval. A gerjeszt´es teh´at bel´ep˝ o jelleg˝ u, ´es a rendszer kauzalit´as´ab´ol kifoly´olag a v´alaszjel is bel´ep˝o jelleg˝ u.

281

8. fejezet

FI rendszerek anal´ızise a komplex frekvenciatartom´ anyban 8.1.

A Laplace-transzform´ aci´ o

A Laplace-transzform´aci´ot t¨obbf´elek´epp is bevezethetj¨ uk. El˝osz¨or a Fourier-transzform´aci´o fel˝ol k¨ozel´ıtj¨ uk meg a Laplace-transzform´aci´ot, majd lentebb form´alis bevezet´est is adunk. M´ar az elej´en lesz¨ogezz¨ uk, hogy alapvet˝oen bel´ep˝ ojelek kel foglalkozunk, azaz olyan jelekkel, amelyek a t < 0 id˝ointervallumban nulla ´ert´ek˝ uek. Egy vizsg´alt folyamatot le´ır´o jelek ugyanis egy adott pillanatban kezd˝odnek, ami nyugodtan v´alaszthat´o null´anak. L´attuk, hogy csak azok a jelek Fourier-transzform´alhat´ok a defin´ıci´o alapj´an, amelyek abszol´ ut integr´ alhat´ o k. ´Igy nem Fouriertranszform´alhat´o pl. az ε(t), vagy az ε(t)t f¨ uggv´eny sem, hiszen ezen esetekben a (6.56) defin´ıci´onak megfelel˝o improprius integr´al nem l´etezik. Ez nagyon lesz˝ uk´ıti az alkalmaz´asi lehet˝os´egeket. K´epzelj¨ uk el azonban, hogy az abszol´ ut integr´alhat´os´agot u ´ gy biztos´ıtjuk, hogy a bel´ep˝ojelet (ami egy´ebk´ent nem felt´etlen¨ ul ab282

szol´ ut integr´alhat´o) beszorozzuk egy e −σt (σ > 0) jellel, azaz Z ∞ Z ∞ |s(t)e−σt |dt < ∞. |s(t)|dt ≮ ∞, de (8.1) 0

0

Ha a jel bel´ep˝o, akkor tetsz˝oleges pozit´ıv ´ert´ek˝ u σ v´alaszthat´o a gyakorlatban el˝ofordul´o jelek eset´eben, azaz σ ´ert´eke ´erdektelen sz´amunkra. Az ε(t) jel pl. tetsz˝oleges σ > 0 ´ert´ek mellett abszol´ ut integr´alhat´ov´a tehet˝o, az ε(t)e αt (α > 0) exponenci´alisan n¨ovekv˝o jelhez alkalmas v´alaszt´as a σ > α. A l´enyeg teh´at annak biztos´ıt´asa, hogy a bel´ep˝ojelet, ami esetleg a t → ∞ eset´en nem tart null´ahoz, ,,leszor´ıtsuk” egy exponenci´alis t´enyez˝ovel, ami el´eg gyorsan tart null´ahoz ahhoz, hogy a szorzatf¨ uggv´eny elt˝ unj¨on t → ∞ eset´en. Abban az esetben, ha egy jelhez nem tal´alunk ilyen σ ´ert´eket, akkor a jelet nem tekintj¨ uk Laplacetranszform´alhat´onak, s ilyen jelekkel nem is foglalkozunk. Egy 2 p´elda ilyen jelre: ε(t)e(αt) . K´epezz¨ uk ennek a bel´ep˝o szorzatf¨ uggv´enynek a Fouriertranszform´altj´at: Z ∞ Z ∞ s(t)e−(σ+jω)t dt, s(t)e−σt e−jωt dt = F{ε(t)s(t)e−σt } = 0

0

majd vezess¨ uk be az s = σ + jω jel¨ol´est, melynek eredm´enyek´epp defini´aljuk egy s(t) folytonos idej˝ u jel Laplace-transzform´altj´at: Z ∞ S(s) = (8.2) s(t)e−st dt, −0

ahol S(s) az s(t) id˝of¨ uggv´eny Laplace-transzform´altja (k´epf¨ uggv´enynek is nevezik), s pedig az un. komplex frekvencia, ugyanis s ∈ C. Az integr´al´as als´o hat´ara −0, ami azt jelenti, hogy az s(t) jel bel´ep˝o kell legyen.1 A szok´asos jel¨ol´es szerint a −0 azt is jel¨oli, 1

Fontos megjegyezni, hogy az inter´ al´ as csak a t ∈ [0, ∞] intervallumban t¨ ort´enik, k¨ ovetkez´esk´epp a jel t < 0 intervallumbeli viselked´ese figyelmen k´ıv¨ ul marad. P´eld´ aul az 1 ´es az ε(t) jelek Laplace-transzform´ altja ugyanaz.

283

hogy ha az s(t) jel tartalmaz Dirac-impulzust, akkor azt is figyelembe kell venni az integr´al´as sor´an, egy´ebk´ent az als´o hat´ar 0nak tudhat´o be. Az (8.2) integr´alt a k¨ovetkez˝o oper´atorral szok´as jel¨olni (´ırott L bet˝ u): S(s) = L {s(t)} .

(8.3)

A komplex frekvenciatartom´anyt folytonos idej˝ u jelek eset´eben s-tartom´anynak is nevezik.

8.1.1.

A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei

A k¨ovetkez˝okben felsoroljuk ´es bizony´ıtjuk a Laplace-transzform´aci´o n´eh´any t´etel´et, amelyekre a tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz. Egyes esetekben ezeket alkalmazzuk is. Linearit´ as A Laplace-transzform´aci´o ´es (k´es˝obb l´atni fogjuk) inverze is egyegy integr´alt jelent. Az integr´al´as pedig line´ aris oper´ ator, azaz b´armely C1 , C2 konstans eset´en fenn´all, hogy

L

L{C1 s1 (t) + C2 s2 (t)} = C1 L{s1 (t)} + C2 L{s2 (t)},

−1

{C1 S1 (s) + C2 S2 (s)} = C1 L−1 {S1 (s)} + C2 L−1 {S2 (s)}.

´ Altal´ anosan (n o¨sszegre) ez a k¨ovetkez˝ot jelenti: ( n ) n X X Ci L{si (t)}, L Ci si (t) = L−1

(

i=1

n X i=1

Ci Si (s)

)

i=1

=

n X i=1

(8.4)

(8.5)

Ci L−1 {Si (s)}.

Ez a szuperpoz´ıci´ o elv e, ´es azt jelenti, hogy a transzform´ aci´ o ´es inverze tagonk´ent elv´egezhet˝ o. 284

Eltol´ asi t´ etel Ha l´etezik az ε(t) s(t) jel S(s) Laplace-transzform´altja, akkor a τ > 0 id˝ovel eltolt (k´esleltett) ε(t − τ ) s(t − τ ) jel Laplace-transzform´altja az eltol´ asi t´etel ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o: 2 L {ε(t − τ ) s(t − τ )} = e−sτ S(s),

(8.6)

azaz az id˝obeli eltol´as az s-tartom´anyban e −sτ exponenci´alis f¨ uggv´ennyel v´egzett szorz´asnak felel meg. Itt arra kell u ¨ gyeln¨ unk, hogy az ε(t) jelben ´es az s(t) jelben is ugyanazon τ eltol´as szerepeljen. Ezt a t´etelt a k¨ovetkez˝o illusztr´aci´o seg´ıts´eg´evel bizony´ıtjuk: ε(t)s(t)

ε(T )s(T )

6

0

6

ε(t − τ )s(t − τ ) τ

-

-

t

0

T

´Irjuk be a Laplace-transzform´aci´o (8.2) defin´ıci´oj´aba az ε(t) s(t) jel helyett az eltolt ε(t − τ ) s(t − τ ) jelet: Z ∞ L {ε(t − τ ) s(t − τ )} = s(t − τ )e−st dt, τ −0

ahol az integr´al´as als´o hat´ara az´ert lett τ − 0, mert a t < τ id˝opillanatokban az eltolt jel ´ert´eke nulla. Vezess¨ uk be most a T = t − τ v´altoz´ot, mint u ´ j id˝otengelyt, melynek orig´oja a τ pontban lesz (l. a´bra). ´Igy t = T +τ ´es dt = dT , mivel τ konstans. ´Irjuk a´t ezen u ´ j integr´al´asi v´altoz´onak megfelel˝oen a fenti integr´alt: Z ∞ s(T )e−s(T +τ ) dT, L {ε(t − τ ) s(t − τ )} = −0

amelyben az e−sτ konstans a T v´altoz´o szerint, ´ıgy ez a tag kiemelhet˝o az integr´al el´e, ´es az integr´al a Laplace-transzform´aci´o 2

Az ε(t) jel mindig szerepel az s(t) jel mellett, hiszen bel´ep˝ ojelekr˝ ol van

sz´ o.

285

defin´ıci´oja lesz, azaz L {ε(t − τ ) s(t − τ )} = e−sτ

Z

∞

| −0

s(T )e−sT dT = e−sτ S(s). {z }

S(s)=L{ε(T ) s(T )}

Ez pedig pontosan az eltol´asi t´etel. 3

Deriv´ alt jel Laplace-transzform´ altja Ha l´etezik a szakaszonk´ent folytonos ´es differenci´alhat´o, nem bel´ep˝o s(t) jel S(s) Laplace-transzform´altja, akkor az s(t) ˙ deriv´ alt jel Laplace-transzform´ altja a k¨ovetkez˝o: L {s(t)} ˙ = s S(s) − s(−0),

(8.7)

azaz a t = −0 pontban (´altal´anosan a szakad´asi helyeken) kell, hogy l´etezzen az s(−0) bal oldali hat´ar´ert´ek. Ha az s(t) jel bel´ep˝o, akkor s(−0) = 0, azaz az id˝otartom´anyban v´egzett deriv´al´as az s-tartom´anyban s-sel v´egzett szorz´asnak felel meg:  L [ε(t) s(t)]0 = s S(s).

(8.8)

A (8.7) o¨sszef¨ ugg´es igazol´asa c´elj´ab´ol helyettes´ıts¨ uk be az s(t) ˙ deriv´alt jelet aR Laplace-transzform´ a ci´ o (8.2) o ¨ sszef¨ u gg´ e s´ e be ´es R haszn´aljuk az u0 v = uv − uv 0 parci´alis integr´al´as szab´aly´at (legyen u0 = s(t) ˙ ´es v = e−st , valamint u = s(t) ´es v 0 = −se−st ): Z ∞ Z ∞   −st −st ∞ L{s(t)} ˙ = s(t)e ˙ dt = s(t) e +s s(t)e−st dt. −0 −0

−0

3

Az eltol´ asi t´etelt a Fourier-transzform´ aci´ o kapcs´ an annak inverz alakj´ ab´ ol igazoltuk, mivel az als´ o integr´ al´ asi tartom´ anyt nem lehetett volna a ´t´ırni τ −∞re.

286

Az els˝o tag ´ert´eke nulla a fels˝o integr´al´asi hat´ar helyettes´ıt´ese eset´en ´es s(−0) az als´o hat´ar eset´en, v´egeredm´enyben −s(−0)a´t ad. Az integr´al pedig pontosan az (8.2) kifejez´es. ´Igy a (8.7) kifejez´est kapjuk. Az o¨sszef¨ ugg´es bel´ep˝ojelekre a k¨ovetkez˝ok´epp a´ltal´anos´ıthat´o: n o L (ε(t) s(t))(n) = sn S(s) . Az a´ltal´anos´ıt´as nem bel´ep˝ojelekre a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki a´ltal´anosan:

n−1 n o X L s(n) (t) = sn S(s) − si s(n−1−i) (−0).

(8.9)

i=0

P´eld´aul n = 2 : L {¨ s(t)} = s[sS(s) − s(−0)] − s(−0) ˙ = 2 S(s) − ss(−0) − s(−0), = s ˙  n = 3 : L s(3) (t) = s3 S(s) − s2 s(−0) − ss(−0) ˙ − s¨(−0).

Az a ´tviteli f¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as alapj´ an. Alkalmazzuk az ut´obbi t´etelt az a´llapotv´altoz´os le´ır´asra. Ez´ uton egy u ´ j fogalomhoz, a rendszer a ´tviteli f¨ uggv´eny´ehez jutunk, amely egy rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny. 4 Egy folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis SISOrendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak norm´alalakja a k¨ovetkez˝o: x(t) ˙ = Ax(t) + bs(t), y(t) = cT x(t) + Ds(t).

(8.10)

K´epezz¨ uk az egyenletek Laplace-transzform´altj´at ´es alkalmazzuk a deriv´alt jel Laplace-transzform´altj´anak megismert kifejez´es´et ´es szor´ıtkozzunk bel´ep˝ o gerjeszt´esre (´ıgy a v´alaszjel is bel´ep˝o): sX(s) = AX(s) + bS(s), Y (s) = cT X(s) + DS(s). 4

(8.11)

A levezet´es nagyon hasonl´ o az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as ´es az a ´tviteli karakterisztika kapcsolat´ anak bemutat´ asa sor´ an le´ırtakhoz (l. 151. oldal).

287

Az els˝o egyenletb˝ol az X(s) a´llapotvektor Laplace-transzform´altja kifejezhet˝o: sX(s) = AX(s) + bS(s) azaz

⇒

(sE − A) X(s) = bS(s),

X(s) = (sE − A)−1 bS(s),

(8.12)

ahol E az N -edrend˝ u egys´egm´atrix. A kapott eredm´enyt helyettes´ıts¨ uk be az Y (s) kifejez´es´ebe: h i Y (s) = cT (sE − A)−1 b + D S(s). (8.13) Ut´obbib´ol fejezhet˝o ki az a ´tviteli f¨ uggv´eny, amely a v´ alaszjel ´es a gerjeszt´es Laplace-transzform´ altj´ anak h´ anyadosa: W (s) =

Y (s) = cT (sE − A)−1 b + D. S(s)

(8.14)

Alkalmazzuk ezut´an az (sE − A)−1 =

adj (sE − A) |sE − A|

o¨sszef¨ ugg´est, melynek seg´ıts´eg´evel az a´tviteli f¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝o polinom per polinom alakban fejezhet˝o ki: cT adj (sE − A) b + |sE − A|D = |sE − A| b0 sn + b1 sn−1 + . . . + bn = n , s + a1 sn−1 + a2 sn−2 + . . . + an

W (s) =

(8.15)

azaz az a ´tviteli f¨ uggv´eny az s v´ altoz´ o racion´ alis f¨ uggv´enye val´ os egy¨ utthat´ okkal. Az a´tviteli karakterisztika a k¨ovetkez˝o a´br´aval illusztr´alhat´o: 288

s(t)

-

y(t)

W (s)

S(s) = L {s(t)}

-

Y (s) = L {y(t)}

Az a´tviteli karakterisztika MIMO-rendszer ekre a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o: W(s) = C (sE − A)−1 B + D,

(8.16)

ami az a ´tvitelif¨ uggv´eny-m´ atrix, melynek ij index˝ u eleme megadja az i-edik kimenet ´es a j-edik bemenet k¨oz¨ott fenn´all´o a´tviteli f¨ uggv´enyt u ´ gy, hogy k¨ozben az o¨sszes t¨obbi bemeneten nincs jel: Yi (s) W (s)ij = , i = 1, . . . , Ny , j = 1, . . . , Ns . Sj (s) Sk (s)=0,k6=j

(8.17) Az a ´tviteli f¨ uggv´eny nevez˝ oj´enek gy¨ okeit p´ olusoknak, sz´ aml´ al´ oj´ anak gy¨ okeit z´erusoknak nevezz¨ uk. Ha a gerjeszt´es nem bel´ep˝o, akkor az a´llapotvektor deriv´altj´anak Laplace-transzform´altja nem egyszer˝ uen sX(s) lesz, hanem sX(s) − x(−0). L´athat´o, hogy form´alisan ugyanazon m˝ uveleteket v´egezt¨ uk el, mint a frekvenciatartom´anybeli anal´ızis sor´an.

A rendszeregyenlet ´ es az a ´tviteli f¨ uggv´ eny kapcsolata. Egy rendszer a´tviteli f¨ uggv´enye teh´at a k¨ovetkez˝o: Pn n−i Y (s) i=0 bi s W (s) = . = n P n S(s) s + i=1 ai sn−i Szorozzunk keresztbe: n

Y (s) s +

n X i=1

ai s

n−i

!

289

= S(s)

n X i=0

bi sn−i ,

majd bel´ep˝ o gerjeszt´est ´es v´alaszt felt´etelezve vegy¨ uk figyelembe, hogy s-el val´o szorz´as az id˝otartom´anyban deriv´al´asnak felel meg. ´Igy eljutunk a rendszeregyenlethez: y (n) (t) +

n X

ai y (n−i) (t) =

i=1

n X

bi s(n−i) (t).

i=0

A m˝ uveletek ford´ıtott sorrendben is elv´egezhet˝ok, melynek eredm´enyek´epp a rendszeregyenletb˝ol jutunk el az a´tviteli f¨ uggv´enyhez. A konvol´ uci´ o Laplace-transzform´ altja Az eltol´asi t´etelt alkalmazzuk a konvol´ uci´ o Laplace-transzform´ altj´anak meghat´aroz´asa sor´an. Az id˝otartom´anyban v´egzett y(t) = w(t) ∗ s(t) konvol´ uci´o Laplace-transzform´alhat´o bel´ep˝ogerjeszt´es ´es Laplace-transzform´alhat´o bel´ep˝o impulzusv´alasz eset´en az startom´anyban szorzatt´ a egyszer˝ us¨ odik : Y (s) = L{w(t)}L{s(t)} = W (s) S(s),

(8.18)

ahol S(s) ´es Y (s) a bel´ep˝ogerjeszt´es ´es a bel´ep˝ov´alaszjel Laplacetranszform´altja, W (s) pedig a rendszer a´tviteli f¨ uggv´enye. A t´etel bizony´ıt´asa ´erdek´eben Laplace-transzform´aljuk a konvol´ uci´o (4.14) kifejez´es´et:  Z ∞ Z t Y (s) = s(τ )w(t − τ ) dτ e−st dt. −0

−0

Ezen o¨sszef¨ ugg´esben a bels˝o integr´al fels˝o hat´ara t, hiszen az impulzusv´alasz bel´ep˝o. Cser´elj¨ uk le ezen hat´art ∞-re u ´ gy, hogy k¨ozben a w(t − τ ) hely´ebe ε(t − τ )w(t − τ )-t ´ırunk, azaz az integr´alon bel¨ ul jel¨olj¨ uk, hogy az impulzusv´alasz bel´ep˝o. Erre az ezt k¨ovet˝o l´ep´esek miatt van sz¨ uks´eg. Teh´at:  Z ∞ Z ∞ Y (s) = s(τ ) ε(t − τ )w(t − τ ) dτ e−st dt −0

−0

290

Cser´elj¨ uk fel ezut´an az integr´al´asok sorrendj´et:  Z ∞ Z ∞ Y (s) = ε(t − τ )w(t − τ )e−st dt dτ. s(τ ) −0

τ −0

A bels˝o integr´al als´o hat´ara τ − 0 lett, hiszen az integranduszban szerepl˝o ε(t − τ )w(t − τ ) jel a t < τ id˝opillanatokban nulla ´ert´ek˝ u. A bels˝o integr´al pedig pontosan az eltolt jel Laplacetranszform´altja (v.¨o. (8.1.1) o¨sszef¨ ugg´essel), azaz: Z ∞ Z ∞ −sτ Y (s) = s(τ )W (s)e dτ = W (s) s(τ )e−sτ dτ, −0

−0

amely o¨sszef¨ ugg´esben a gerjeszt´es Laplace-transzform´altja ismerhet˝o fel, azaz: Y (s) = W (s) S(s). Ezen o¨sszef¨ ugg´es teh´at a konvol´ uci´o Laplace-transzform´altja. Eml´ekezz¨ unk vissza arra, hogy a konvol´ uci´o adott impulzusv´alasz´ u rendszer v´alasz´anak meghat´aroz´as´ara alkalmas adott gerjeszt´es mellett. Ezen o¨sszef¨ ugg´es pedig a gerjeszt´es Laplace-transzform´altj´anak ´es az a´tviteli f¨ uggv´enynek a szorzat´at tartalmazza, ami a v´alaszjel Laplace-transzform´altj´at eredm´enyezi. K¨ovess¨ uk v´egig ezut´an a k¨ovetkez˝o gondolatmenetet, melynek kapcs´an eljutunk a Laplace-transzform´aci´o form´alis megad´as´ahoz. Legyen egy kauz´alis rendszer nem bel´ep˝o gerjeszt´ese az s(t) = e st jel, amely gyakorlatilag megfelel egy exponenci´ alisan n¨ ovekv˝ o st σt jωt amplit´ ud´ oj´ u szinuszos jelnek, hiszen e = e e , ahol σ > 0 ´es a m´asodik t´enyez˝o pedig az Euler-formul´anak megfelel˝oen egy szinuszos jel (l. 202. oldal). Vegy¨ uk ezen jel ´es a rendszer impulzusv´alasz´anak konvol´ uci´oj´at: Z ∞ Z ∞ y(t) = w(τ )s(t − τ ) dτ = w(τ )es(t−τ ) dτ, 0

0

291

majd bontsuk fel a kitev˝oben szerepl˝o z´ar´ojelet. Ekkor e st kiemelhet˝o, ugyanis az integr´al´as a τ v´altoz´o szerint t¨ort´enik: Z ∞ Z ∞ st −sτ st w(τ )e−sτ dτ. w(τ )e e dτ = e y(t) = 0

0

Az o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o integr´alt a w(t) impulzusv´alasz Laplace-transzform´altj´anak, vagy a rendszer a´tviteli f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk (ezt a 299. oldalon igazoljuk is): W (s) =

Z

∞

w(t)e−st dt.

(8.19)

−0

´Igy a rendszer v´alasza a k¨ovetkez˝o: y(t) = W (s)est , azaz a kimeneti jel alakja a W (s) a´tviteli f¨ uggv´enyt˝ol eltekintve olyan, mint a gerjeszt´es alakja. Az a´tviteli f¨ uggv´enyt ez´ert a rendszer saj´ at´ert´ek´e nek is szok´as nevezni, az e st gerjeszt´es pedig az un. saj´ atf¨ uggv´eny. Ez teh´at a Laplace-transzform´aci´o form´alis bevezet´ese, amikoris a konvol´ uci´ob´ol indultunk ki ´es egyben eljutottunk a rendszer a´tviteli f¨ uggv´eny´enek defin´ıci´oj´ahoz is. Az integr´alban szerepl˝o w(τ ) hely´ebe tetsz˝oleges s(t) f¨ uggv´enyt ´ırva defini´alhatjuk az s(t) jel Laplace-transzform´altj´at is, ha ez az improprius integr´al l´etezik. Integr´ alt jel Laplace-transzform´ altja Ha l´etezik az ε(t) s(t) jel S(s) Laplace-transzform´altja, akkor az integr´ alt jel Laplace-transzform´ altja a k¨ovetkez˝o: L

Z

t

s(τ ) dτ −0



292

1 = S(s), s

(8.20)

azaz az id˝otartom´anyban v´egzett integr´al´as az s-tartom´anyban s-sel val´o oszt´ast jelent. A t´etelt k´etf´elek´epp is bizony´ıthatjuk. El˝osz¨or helyettes´ ıts¨ uk beRaz integr´alt a (8.2) defin´ıci´oba ´es alkalR mazzuk az u0 v = uv − uv 0 parci´alis integr´al´as szab´aly´at: Z

∞

−0

Z

t

s(τ ) dτ

−0



e

−st



e−st dt = s

Z

∞

t

1 + s(τ ) dτ s −0 −0

Z

∞

s(t)e−st dt,

−0

ahol a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket alkalmaztuk 5 : u0 = e−st Rt v = −0 s(τ ) dτ

−st

u = e−s , v 0 = s(t).

A parci´alis integr´al´asban az els˝o tag nulla, mivel a fels˝o integr´al´asi hat´ar helyettes´ıt´esi ´ert´eke nulla, az als´o integr´al´asi hat´ar helyettes´ıt´esi ´ert´eke pedig az´ert nulla, mert az integr´al fels˝o hat´ara megyezik az als´o hat´arral. Az utols´o integr´al pedig pontosan a Laplace-transzform´aci´o defin´ıci´oja. A k¨ovetkez˝o bizony´ıt´as egyszer˝ ubb, de ig´enyli a k¨ovetkez˝o illusztr´aci´o ´ertelmez´es´et: 6

ε(t − τ )

s(t) -

t

τ

Induljunk ki az ε(t) jel ´es egy tetsz˝oleges bel´ep˝o s(t) jel (amit jelen esetben integr´alni akarunk) konvol´ uci´oj´ab´ol: Z t Z t ε(t) ∗ s(t) = ε(t − τ )s(τ ) dτ = s(τ ) dτ. −0

−0

Vegy¨ uk figyelembe, hogy az integr´al´as a τ v´altoz´o szerint t¨ort´enik, s ennek szempontj´ab´ol t egy konstans, ahol ´epp keress¨ uk az integr´al ´ert´ek´et. Ennek megfelel˝oen az ε(t−τ ) = ε(−(τ −t)), ami az 5

Ezt mindenk´epp ´ıgy ´erdemes megtenni, ugyanis ha ford´ıtva v´ alasztottunk volna, akkor az integr´ al primit´ıv f¨ uggv´eny´et kellett volna meghat´ arozni.

293

a´br´an is l´athat´o. Ugyanis az ε(−τ ) jel az ε(τ ) jel t¨ uk¨ork´epe az ordin´atatengelyre. Az ε(−(τ −t)) teh´at azt jelenti, hogy az ε(τ ) jelet t¨ ukr¨ozni kell a f¨ ugg˝oleges tengelyre, majd t-vel el kell tolni pozit´ıv ir´anyba. A k´et jel szorzata teh´at val´oban a v´egeredm´enyben kapott integr´alt adja, ´es pontosan ezen integr´al Laplace-transzform´altj´at keress¨ uk. A konvol´ uci´o Laplace-transzform´altj´anak ismeret´eben ´ırhatjuk, hogy: Z t  1 L s(τ ) dτ = L {ε(t) ∗ s(t)} = L {ε(t)} L {s(t)} = S(s). s −0 A 296. oldalon igazoljuk, hogy L{ε(t)} = 1s . A csillap´ıt´ asi t´ etel A csillap´ıt´ asi t´etel azt mondja ki, hogy egy bel´ep˝o ´es Laplacetranszform´alhat´o s(t) jel ´es egy e −αt exponenci´alisan cs¨okken˝o jel (α > 0) szorzat´anak (amely csillap´ıtja az s(t) jelet) Laplacetranszform´altja a k¨ovetkez˝o:

hiszen Z

 L s(t)e−αt = S(s + α), ∞ −0

s(t)e−αt e−st dt =

Z

∞

(8.21)

s(t)e−(α+s)t dt = S(s + α),

−0

azaz az s(t) jel S(s) Laplace-transzform´altj´aban minden s hely´ebe (s + α)-t kell ´ırni. Ez egy eltol´as s-ben. A t´etel teh´at a Fouriertranszform´aci´o modul´aci´os t´etel´evel anal´og. Kezdeti´ ert´ ek-t´ etel ´ es v´ eg´ ert´ ekt´ etel A Laplace-transzform´aci´onak van k´et un. v´eg´ert´ek t´etele, melyek seg´ıts´eg´evel meghat´arozhatjuk az s(t) jel kezdeti ´ert´ek´et a t = +0ban ´es v´eg´ert´ek´et t → ∞ eset´en az S(s) Laplace-transzform´alt 294

ismeret´eben, ha ezek a hat´ar´ert´ekek l´eteznek: s(+0) = lim s S(s), s→∞

s(t → ∞) = lim s S(s). s→0

(8.22)

Ezen t´eteleket akkor k´enyelmes alkalmazni, ha a jel Laplacetranszform´altja ismert ´es az id˝of¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke a k´erd´es, pl. ha a v´alaszjel Laplace-transzform´altj´at meghat´arozzuk. A hat´ar´ert´ekek meghat´aroz´as´ahoz teh´at nem kell meghat´arozni az id˝of¨ uggv´enyt. A kezdeti´ert´ek-t´etel bizony´ıt´as´at k´es˝obb v´egezz¨ uk el (l. 298. oldal), a v´eg´ert´ekt´etelt pedig a k¨ovetkez˝ok´epp bizony´ıtjuk. Tudjuk, hogy a deriv´alt jel Laplace-transzform´altja L{s(t)} ˙ = sS(s) − s(−0). Hat´arozzuk meg el˝osz¨or a (8.2) defin´ıci´oban szerepl˝o integr´al k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´ek´et az s(t) ˙ jelre: lim

s→0

Z

∞

s(t)e ˙ −0

−st

dt =

Z

∞ −0

s(t)dt ˙ = s(∞) − s(−0) = lim s(t) − s(−0). t→∞

Haszn´aljuk fel ezut´an a deriv´alt jel Laplace-transzform´altj´at is: Z ∞ −st s(t)e ˙ dt = lim [sS(s) − s(−0)] = lim sS(s) − s(−0), lim s→0 −0

s→0

s→0

majd tegy¨ uk ezeket egyenl˝ov´e, amikor is s(−0) kiesik ´es a v´eg´ert´ekt´etelt kapjuk eredm´eny¨ ul: lim s(t) = lim sS(s).

t→∞

s→0

Kapcsolat a Fourier-transzform´ alttal A fejezet bevezet˝oj´eben l´attuk, hogy a Laplace-transzform´aci´ot a Fourier-transzform´aci´o a´ltal´anos´ıt´asak´ent vezett¨ uk be. Ennek eredm´enyek´epp kell, hogy legyen kapcsolat a k´et transzform´alt k¨oz¨ott. Ha ugyanis az s(t) jel bel´ep˝ o ´es abszol´ ut integr´ alhat´ o, akkor a jel S(jω) spektruma meghat´arozhat´o a Laplace-transzform´altb´ol s = jω helyettes´ıt´essel: S(jω) = S(s)|s=jω . 295

(8.23)

Ez biztosan igaz, ha a jel bel´ep˝ o, korl´ atos ´es v´eges tart´ oj´ u, vagy ha a jel bel´ep˝ o, korl´ atos ´es a t → ∞ eset´en exponenci´ alisan null´ ahoz tart. Az o¨sszef¨ ugg´es ´ıgy nem ´erv´enyes pl. az ε(t) jelre, mert az nem abszol´ ut integr´alhat´o. Az ε(t) jel Laplace-transzform´altja unk, akkor ugyanis L{ε(t)} = 1s . Ha s hely´ebe jω-t helyettes´ıt¨ 1 -t kapunk, ami helytelen, hiszen tudjuk, hogy ezen jel Fourierjω 1 transzform´altja F{ε(t)} = jω + πδ(ω). Ha a rendszer gerjeszt´es-v´ alasz stabilis ´es kauz´ alis, akkor az a´tviteli karakterisztika el˝oa´ll´ıthat´o az a´tviteli f¨ uggv´enyb˝ol: W (jω) = W (s)|s=jω .

(8.24)

Felmer¨ ul a k´erd´es: mi´ert lehet ebben az esetben σ = 0? Bel´ep˝ojel Laplace-transzform´altj´anak ismeret´eben a jel Fourier-transzform´altja csak akkor a´ll´ıthat´o el˝o, ha a jel abszol´ ut integr´alhat´o. Az abszol´ ut integr´alhat´o jeleket azonban nem kell ,,leszor´ıtani” az e−σt f¨ uggv´ennyel, k¨ovetkez´esk´epp σ = 0 v´alaszthat´o.

8.1.2.

Folytonos idej˝ u jelek Laplace-transzform´ altja

A k¨ovetkez˝okben n´eh´any fontos jel Laplace-transzform´altj´at fogjuk meghat´arozni, melyekre a k´es˝obbiekben sz¨ uks´eg¨ unk lesz. 1.) Hat´arozzuk meg el˝osz¨or az ε(t) egys´egugr´ asjel (a legegyszer˝ ubb bel´ep˝ojel) Laplace-transzform´altj´at. Induljunk ki a defin´ıci´ob´ol ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy az s(t) = ε(t) jel ´ert´eke 1 a t > 0 tartom´anyban:  −st ∞ Z ∞ 0−1 1 e −st = = , L{ε(t)} = e dt = −s 0 −s s 0

azaz

1 L{ε(t)} = . s

(8.25)

Jegyezz¨ uk meg, hogy ugyanez lesz a t < 0 id˝opillanatokban is egys´egnyi ´ert´ek˝ u jel ´es az el˝ojelf¨ uggv´eny Laplace-transzform´altja 296

is. B´armi is legyen teh´at a jel ´ert´eke a t < 0 id˝opillanatokra, azt a Laplace-transzform´aci´o figyelmen k´ıv¨ ul hagyja. 2.) Hat´arozzuk meg az ε(t)t jel (un. sebess´egjel) Laplacetranszform´ altj´at Rel˝osz¨or a defin´ıci´ob´ol kiindulva, ´es alkalmazzuk R 0 az u v = uv − uv 0 parci´alis integr´al´as szab´aly´at az u 0 = e−st , −st v = t jel¨ol´esek mellett, azaz u = e−s ´es v 0 = 1: L{ε(t)t} =

Z

0

∞

 −st ∞ Z 11 1 e 1 ∞ −st e dt = = 2. te−st dt = t + −s 0 s 0 ss s

Az els˝o tag nulla, hiszen a k´et helyettes´ıt´esi ´ert´ek nulla. A m´asodik tagban az integr´al ´ert´eke pedig az ε(t) jel Laplace-transzform´altja. Meghat´arozhatjuk ezen jel Laplace-transzform´altj´at u ´ gy is, hogy kiindulunk abb´ol a t´enyb˝ol, hogy az 1 jel integr´alja (primit´ıv f¨ uggv´enye) a t f¨ uggv´eny, azaz az ε(t) jel integr´alja az ε(t)t jel. Az ε(t) jel Laplace-transzform´altj´at ismerj¨ uk: 1s , majd alkalmazzuk a (8.20) o¨sszef¨ ugg´est: ha az ε(t) jelet integr´aljuk, akkor az s-tartom´anyban s-el kell osztani az ε(t) jel Laplacetranszform´altj´at. ´Igy szint´en s12 -et kapunk. Folytassuk ezt a sort (l. 8.1. a´bra). Az ε(t)t jel integr´alja az 2 ´ gy kapjuk, hogy az ε(t) t2 jel, aminek Laplace-transzform´altj´at u ε(t)t jel Laplace-transzform´altj´at elosztjuk s-el, azaz:   t2 1 L ε(t) = 3. 2 s Tov´abbi p´ar integr´alt jelre kapjuk, hogy:     t4 t3 1 1 L ε(t) = 4 , L ε(t) = 5, 6 s 24 s

...

.

´ Altal´ anosan teh´at: 

tn L ε(t) n!



297

=

1 . sn+1

(8.26)

2

1.5

1.5

1.5

1 0.5

ε(t)t2/2

2

ε(t)t

ε(t)

2

1 0.5

0

0 -1

0

1 2 t[s]

3

1 0.5 0

-1

0

1 2 t[s]

3

-1

0

1 2 t[s]

3

n

8.1. a´bra. Az ε(t) tn! jelek n = 0, 1, 2 esetekre (ezen jelek biztosan nem abszol´ ut integr´ alhat´ ok, ez l´ atszik az a ´br´ ab´ ol is) Ezen o¨sszef¨ ugg´esre az inverz Laplace-transzform´aci´o sor´an sz¨ uks´eg¨ unk lehet. Ezen ismeretek birtok´aban egyszer˝ uen bizony´ıthatjuk a kezdeti´ert´ek-t´etelt. K´es˝obb l´atni fogjuk, hogy az a´ltalunk vizsg´alt jelek Laplace-transzform´altja polinom per polinom alak´ u kifejez´es, amelyben a nevez˝o foksz´ama nagyobb, mint a sz´aml´al´o ´ ıtsuk el˝o ennek 1 szerinti hatv´anysor´at u ´ gy, hogy foksz´ama. All´ s polinomoszt´asok sorozat´at v´egezz¨ uk, azaz S(s) =

a0 a1 a2 a3 + 2 + 3 + 4 +..., s s s s

amelyhez teh´at a k¨ovetkez˝o id˝of¨ uggv´eny tartozik: 

t3 t2 s(t) = ε(t) a0 + a1 t + a2 + a3 + . . . 2! 3!



= ε(t)

∞ X i=0

ti ai , i!

ami ´epp az s(t) jel Taylor-sora a t = 0 pont k¨ornyezet´eben. Ebben l´athat´o, hogy ha t = +0, akkor s(+0) = a 0 , ami az S(s) Laplacetranszform´altb´ol akkor kaphat´o meg, ha azt s-el beszorozzuk ´es vessz¨ uk a hat´ar´ert´ek´et az s → ∞ esetben. Ez pedig pontosan a kezdeti´ert´ek-t´etel. 3.) A Dirac-impulzus Laplace-transzform´altj´at is k´etf´elek´epp kaphatjuk meg. A (8.2) defin´ıci´o ´es a Dirac-impulzus defin´ıci´oja

298

alapj´an ´ırhatjuk, hogy Z +0 Z −s0 L{δ(t)} = δ(t) e dt = −0

+0

δ(t) dt = 1.

−0

Az als´o integr´al´asi hat´art teh´at −0-nak kell ´ırni, hiszen a behelyettes´ıtett s(t) f¨ uggv´eny a Dirac-impulzus, ami azonban a t = 0 helyen k´ıv¨ ul minden¨ utt nulla ´ert´ek˝ u. Ez´ert kell a fels˝o integr´al´asi hat´art +0-nak v´alasztani, ´es az e −st f¨ uggv´eny argumentum´aba is ezen okn´al fogva kell a t = 0 ´ert´eket behelyettes´ıteni, ami ´ıgy 1-et ad. Az eredm´eny a Dirac-impulzus defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik. Ha figyelembe vessz¨ uk, hogy a Dirac-impulzus az egys´egugr´asjel a´ltal´anos´ıtott deriv´altja (δ(t) = ε 0 (t)), akkor a deriv´alt jel Laplace-transzform´altja (l. (8.7) o¨sszef¨ ugg´es) alapj´an azt mondthatjuk, hogy ha az ε(t) jel Laplace-transzform´altj´at (ami 1 egugr´asjel des ) megszorozzuk s-sel, akkor megkapjuk az egys´ riv´altj´anak, azaz a Dirac-impulzusnak a Laplace-transzform´altj´at: L{δ(t)} = sL{ε(t)} = s

1 = 1. s

(8.27)

Az eltol´asi t´etel ´ertelm´eben az eltolt Dirac-impulzus Laplacetranszform´altja a k¨ovetkez˝o: L{δ(t − τ )} = e−sτ .

(8.28)

Helyettes´ıts¨ uk be most a Dirac-impulzus Laplace-transzform´altj´at a (8.18) o¨sszef¨ ugg´esbe: Y (s) = W (s) 1, azaz a Dirac-impulzusra adott v´ alasz (ami az impulzusv´ alasz) Laplace-transzform´ altja pontosan az a ´tviteli f¨ uggv´eny, ´es megford´ıtva az a ´tviteli f¨ uggv´eny inverz Laplace-transzform´ altja az impulzusv´ alasz : W (s) = L {w(t)} ,

w(t) = L−1 {W (s)} , 299

(8.29)

ahogy azt a (8.19) o¨sszef¨ ugg´essel is defini´altuk. 4.) Hat´arozzuk meg az ε(t) jel ´es az e −αt (α > 0) jel szorzat´anak, azaz a csillap´ıtott egys´egugr´ asjelnek a Laplacetranszform´altj´at.6 Induljunk ki el˝osz¨or a defin´ıci´ob´ol: Z ∞ Z ∞ e−(α+s)t dt = e−αt e−st dt = L{ε(t)e−αt } = 0 "0 #∞ −(s+α)t e 0−1 1 = = = . −(s + α) −(s + α) s+α 0

Haszn´alhatjuk a csillap´ıt´asi t´etelt is, ugyanis az ε(t)e −αt jel az ε(t) csillap´ıtottja. A csillap´ıt´asi t´etel pedig azt mondja ki, hogy az eredeti jel (jelen esetben az ε(t)) Laplace-transzform´altj´aban (ami ekkor 1s ) minden s hely´ebe (s + α)-´at kell ´ırni, azaz 1 1 −αt L{ε(t)e } = (8.30) . = s s→s+α s + α

Ha elv´egezz¨ uk az α = 0 helyettes´ıt´est, akkor pontosan az ε(t) jelet kapjuk, tov´abb´a a transzform´alt 1s lesz, ami a helyes eredm´eny. 5.) Sz¨ uks´eg¨ unk lesz az ε(t)ejωt ´es az ε(t)e−jωt jelek Laplacetranszform´altj´ara. Az el˝obbiek alapj´an, α = jω helyettes´ıt´essel ezek a k¨ovetkez˝ok´epp n´eznek ki: L{ε(t)ejωt } =

1 , s − jω

L{ε(t)e−jωt } =

1 . s + jω

(8.31)

Ezen eredm´enyek seg´ıts´eg´evel pedig az ε(t) cos ωt ´es az ε(t) sin ωt jelek Laplace-transzform´altja fel´ırhat´o a (8.2) integr´al meghat´aroz´asa n´elk¨ ul:   ejωt + e−jωt 1 1 1 1 = L{ε(t) cos ωt} = L ε(t) + . 2 2 s − jω 2 s + jω 6

Ugyanez lesz pl. az e−α|t| , az [1 − ε(t)]eαt + ε(t)e−αt , vagy az e−αt jelek Laplace-transzform´ altja is, hiszen a transzform´ aci´ o a t < 0 id˝ opillanatokat figyelmen k´ıv¨ ul hagyja.

300

Hozzunk k¨oz¨os nevez˝ore: L{ε(t) cos ωt} =

1 1 1 1 1 s + jω + s − jω s + = = 2 . 2 s − jω 2 s + jω 2 s2 + ω 2 s + ω2

Az ε(t) sin ωt jel Laplace-transzform´altja pedig a k¨ovetkez˝o:   1 1 1 1 ejωt − e−jωt = − . L{ε(t) sin ωt} = L ε(t) 2j 2j s − jω 2j s + jω Hozzuk k¨oz¨os nevez˝ore ism´et az eredm´enyt: L{ε(t) sin ωt} =

1 1 1 s + jω − s + jω ω 1 1 − = = 2 . 2 2 2j s − jω 2j s + jω 2j s +ω s + ω2

¨ Osszefoglalva teh´at: L{ε(t) cos ωt} =

s , s2 + ω 2

L{ε(t) sin ωt} =

ω . s2 + ω 2

(8.32)

6.) Hat´arozzuk meg a bel´ep˝ o, a ´ltal´ anos periodikus jel Laplacetranszform´altj´at. Az f (t) f¨ uggv´eny szerint v´altoz´o periodikus jel els˝o peri´odusa a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´ennyel a´ll´ıthat´o el˝o: sT (t) = [ε(t) − ε(t − T )]f (t),

(8.33)

melynek ST (s) = L{sT (t)} Laplace-transzform´altj´at meghat´arozhatjuk. Ha ezt a jelet eltoljuk iT helyekre (i = 0, 1, . . . , ∞), akkor megkapjuk az s(t) periodikus jel id˝of¨ uggv´eny´et: s(t) =

∞ X i=0

sT (t − iT ).

(8.34)

Haszn´aljuk ki a Laplace-transzform´aci´o linearit´as´at, azaz transzform´aljuk ezt a kifejez´est tagonk´ent ´es k¨ozben alkalmazzuk a Laplace-transzform´aci´o eltol´asi t´etel´et: S(s) = L{s(t)} =

∞ X i=0

L{sT (t)}e−siT = 301

1 ST (s). 1 − e−sT

(8.35)

Ut´obbi eredm´enyt a konvergens (|e −sT | < 1, ha σ > 0) v´egtelen m´ertani sor o¨sszegk´eplet´enek felhaszn´al´as´aval kaptuk. Ezen o¨sszef¨ ugg´es hasznos lehet a Fourier-sor egy¨ utthat´oinak meghat´aroz´as´ara a (6.50) integr´al ki´ert´ekel´ese n´elk¨ ul. Ha ugyanis el˝oa´ll´ıtjuk a periodikus jel els˝o peri´odus´anak Laplacetranszform´altj´at, akkor s = jkω helyettes´ıt´essel ´es T -vel t¨ort´en˝o oszt´assal megkapjuk a Fourier-egy¨ utthat´okat: C

Sk =

1 ST (s)|s=jkω . T

(8.36)

Ez a komplex Fourier-sor egy¨ utthat´oinak sz´am´ıt´as´ara haszn´alt integr´al ´es a Laplace-transzform´aci´o defin´ıci´oj´anak o¨sszehasonl´ıt´as´ab´ol l´athat´o: Z Z T 1 T C −jkωt Sk = sT (t)e dt, ST (s) = sT (t)e−st dt. T −0 −0 P´ elda. Hat´arozzuk meg a 181. oldalon tal´alhat´o els˝o jel Fourieregy¨ utthat´oit az ismertetett m´odon. 7 uggv´eny´et a k¨ovetMegold´ as. Az els˝o jel els˝o peri´odus´anak id˝of¨ kez˝ok´epp lehet fel´ırni:        3 3 − 0, 5 ε t − T − ε(t − T ) sT (t) = ε(t) − ε t − T 4 4   3 = ε(t) − 1, 5ε t − T + 0, 5ε(t − T ), 4 amelynek Laplace-transzform´altja az egyes tagok Laplace-transzform´altjainak ismeret´eben a k¨ovetkez˝o: i 3 1h 1 1, 5 −s 3 T 0, 5 −sT e 4 + e = 1 − 1, 5e−s 4 T + 0, 5e−sT . ST (s) = − s s s s 7

Gyakorl´ ask´epp ´erdemes meghat´ arozni a m´ asik jel Fourier-egy¨ utthat´ o it. Azon jel els˝ o peri´ o dus´ a nak id˝ o f¨ u ggv´ e nye a k¨ o vetkez˝ o : s(t) = ˆ ` ´˜ ` ´ ` ´ ε(t) − ε t − T2 A sin ωt = ε(t)A sin ωt + ε t − T2 A sin ω t − T2 .

302

Helyettes´ıts¨ unk most s hely´ere jkω-t ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy , tov´ a bb´ a osszuk el az eredm´ e nyt T -vel, azaz ω = 2π T C

Sk =

i 2π 3 2π 1 T h 1 − 1, 5e−jk T 4 T + 0, 5e−jk T T . T jk2π

A peri´odusid˝ovel lehet egyszer˝ us´ıteni, ´es megkapjuk a komplex Fourier-egy¨ utthat´ok a´ltal´anos alakj´at k > 0-ra: C

Sk =

i 3 1 h 1 − 1, 5e−jk 2 π + 0, 5e−jk2π . jk2π

Alak´ıtsuk a´t az Euler-alakokat trigonometrikus alakra ´es szorozzunk be 1j = −j-vel: C Sk

"     3 1 3 = − j + 1, 5j cos k π + 1, 5 sin k π − k2π 2 2 # − 0, 5j cos(k2π) − 0, 5 sin(k2π) .

A val´os r´esz k´etszerese adja az S kA , a k´epzetes r´esz m´ınusz k´etszerese pedig az SkB egy¨ utthat´ot (az utols´o tag ´ert´eke mindig nulla):      1, 5 3 3 1, 5 A B Sk = 1 − cos k π . sin k π , Sk = kπ 2 kπ 2 1. P´ elda. Hat´arozzuk meg az s(t) = ε(t)te −αt (α > 0) jel Laplace-transzform´altj´at. Megold´ as. Ha a feladatot a (8.2) defin´ıci´ob´ol kiindulva, integr´al´assal oldjuk meg, akkor parci´alis integr´al´ast kell alkalmaznunk. Ha viszont felsimerj¨ uk, hogy ez a jel az ε(t)t jel csillap´ıtottja, akkor alkalmazhatjuk a csillap´ıt´asi t´etelt az ε(t)t jel

303

Laplace-transzform´altj´ara, ami s12 . Ezut´an az s hely´ebe (s + α)-t kell ´ırnunk:  1 L ε(t)te−αt = . (s + α)2 2. P´ elda. Hat´arozzuk meg az s(t) = ε(t)e −αt cos ωt ´es az s(t) = −αt ε(t)e sin ωt (α > 0) jelek (l. a 8.2. a´bra) Laplace-transzform´altj´at. 2

2 sin(ωt) e-αt s(t)

1

ε(t)e-αtsin(ωt)

ε(t)e-αtcos(ωt)

cos(ωt) e-αt s(t)

0

-1

-2

1

0

-1

-2 -1

0

1 t[s]

2

3

-1

0

1 t[s]

2

3

8.2. a´bra. A 2. p´eld´ aban szerepl˝ o k´et jel id˝ of¨ uggv´enye Megold´ as. Alkalmazzuk szint´en a csillap´ıt´asi t´etelt az ε(t) cos ωt ´es az ε(t) sin ωt jelek Laplace-transzform´altj´anak felhaszn´al´as´aval: s+α , (s + α)2 + ω 2  ω L ε(t)e−αt sin ωt = , (s + α)2 + ω 2

 L ε(t)e−αt cos ωt =

3. P´ elda. Hat´arozzuk meg a T sz´eless´eg˝ u impulzus Laplacetranszform´altj´at.

304

Megold´ as.

A jel id˝of¨ uggv´enye ablakozott jelk´ent ´ırhat´o fel: s(t) = ε(t) − ε(t − T ).

A Laplace-transzform´aci´o line´aris m˝ uvelet ´es ez a jel k´et jel k¨ ul¨onbs´egek´ent adott. A Laplace-transzform´aci´ot elv´egezz¨ uk a k´et jelre k¨ ul¨on-k¨ ul¨on, majd az eredm´enyeket kivonjuk egym´asb´ol. A fenti k´et jel Laplace-transzform´altj´at ismerj¨ uk (a m´asodik az eltol´asi t´etellel hat´arozhat´o meg), s ´ırhatjuk, hogy: L{ε(t) − ε(t − T )} = L{ε(t)} − L{ε(t − T )} =

1 1 −sT − e . s s

4. P´ elda. Hat´arozzuk meg a [0, T ] intervallumban szerint v´altoz´o jel Laplace-transzform´altj´at. ε(t) − ε(t − T ) 1 s(t) T

6

6

= T

-

T t

t Megold´ as.

×

t T

f¨ uggv´eny

t

T 6 t T

-

t

A jel id˝of¨ uggv´enye a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o fel:

t t t = ε(t) − ε(t − T ) . T T T Az els˝o tag Laplace-transzform´altj´at m´ar meghat´aroztuk. A m´asodik tag ugyanez a jel, csak ´epp T -vel el van tolva. Ut´obbi Laplace-transzform´altja teh´at az els˝o jel Laplacetranszform´altj´anak ismeret´eben az eltol´asi t´etel felhaszn´al´as´aval hat´arozhat´o meg. Az eltol´asi t´etel ismertet´esekor hangs´ ulyoztuk, hogy a jelben minden helyen, ahol t a´ll ugyanazon eltol´asnak kell szerepelni, azaz az ε(t − T )s(t − T ) alak´ u jelekre igaz az eltol´asi t´etel. A m´asodik tag pedig nem ilyen. A t hely´ebe t − T kell, hogy szerepeljen, amit u ´ gy tudunk el´erni, hogy a t hely´ebe t − T + T -t ´ırunk: t−T +T t t−T t = ε(t) −ε(t−T ) −ε(t−T ). s(t) = ε(t) −ε(t−T ) T T T T s(t) = [ε(t) − ε(t − T )]

305

Ezut´an m´ar tagonk´ent elv´egezhetj¨ uk a Laplace-transzform´aci´ot: L{s(t)} =

1 −sT 1 −sT 1 − e − e . 2 Ts T s2 s

8.2.

A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa

8.2.1.

A v´ alaszjel Laplace-transzform´ altj´ anak meghat´ aroz´ asa

Els˝o l´ep´esben meg kell hat´arozni az s(t) gerjeszt´es S(s) Laplacetranszform´altj´at, valamint a rendszert jellemz˝o W (s) a´tviteli f¨ uggv´enyt. Ezut´an a kett˝ot o¨ssze kell szororzni a (8.18) o¨sszef¨ ugg´es ´ertelm´eben, ami a v´alaszjel Y (s) Laplace-transzform´altj´at adja. Ezen transzform´altat inverz Laplace-transzform´alni kell, melynek eredm´enyek´epp kapjuk a v´alaszjel y(t) id˝of¨ uggv´eny´et. A p´eld´ak kapcs´an megfigyelhett¨ uk, hogy elemi f¨ uggv´enyek a´ltal le´ırt jelek Laplace-transzform´altja a´ltal´aban egy t¨ort, melynek sz´aml´al´oja konstans, nevez˝oje pedig egy polinom s-ben. Eltolt f¨ uggv´enyek eset´eben megjelenik m´eg egy e −sτ exponenci´alis szorz´ot´enyez˝o is. Enn´el bonyolultabb o¨sszef¨ ugg´esekkel nem foglalkozunk. Az a´tviteli f¨ uggv´eny pedig mindig egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es. A v´alaszjel Laplace-transzform´altja teh´at k´et t¨ort szorzata, mely szorzat mindig polinom per polinom alak´ u kifejez´esre vezet (az esetleges exponenci´alis t´enyez˝ovel). V´egeredm´enyben teh´at egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es (a v´alaszjel Laplacetranszform´altja az s v´altoz´o un. racion´ alis f¨ uggv´enye) inverz Laplace-transzform´altj´at kell meghat´arozni, amely ezen esetekben nagyon egyszer˝ u szab´alyok seg´ıts´eg´evel elv´egezhet˝o.

306

8.2.2.

Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o

A jel Laplace-transzform´altj´anak ismeret´eben a jel id˝of¨ uggv´enye a´ltal´anosan a k¨ovetkez˝ok´epp k´epezhet˝o. Id´ezz¨ uk fel el˝obb az inverz Fourier-transzform´aci´o o¨sszef¨ ugg´es´et: Z ∞ 1 S(jω)ejωt dω. s(t) = 2π −∞ A Laplace-transzform´aci´o bevezet´ese kapcs´an l´attuk, hogy a bel´ep˝o ´es e−σt -vel szorzott jel Fourier-transzform´altj´ab´ol eljuthatunk a Laplace-transzform´althoz. Ford´ıtsuk meg ezt a m˝ uveletet, azaz keress¨ uk az S(σ + jω)-hoz tartoz´o bel´ep˝o id˝of¨ uggv´enyt: Z ∞ 1 ε(t)s(t)e−σt = S(σ + jω)ejωt dω. 2π −∞ Szorozzuk be mindk´et oldalt eσt -vel: Z ∞ 1 S(σ + jω)e(σ+jω)t dω. ε(t)s(t) = 2π −∞ Mivel s = σ+jω, ez´ert ds = jdω, hiszen σ konstans, azaz dω = Helyettes´ıts¨ uk ezt az el˝oz˝o o¨sszef¨ ugg´esbe: 1 ε(t)s(t) = 2πj

Z

σ+j∞

S(s)est ds.

ds j .

(8.37)

σ−j∞

Ez az un. inverzi´ os integr´ al, ami defini´alja az inverz Laplacetranszform´aci´ot.8 Az integr´al´asi hat´arok most s szerint ´ertend˝ok, ez´ert lett −∞ ´es ∞ helyett σ − j∞ ´es σ + j∞, σ ugyanis konstans. Ez az integr´al t < 0 ´ert´ekeire nulla ´ert´eket ad. Mindezt a k¨ovetkez˝o oper´ator jel¨oli: s(t) = L−1 {S(s)} . 8

Az o ¨sszef¨ ugg´es Fourier–Mellin-t´etel n´even is ismeretes.

307

(8.38)

Az alkalmaz´asok szempontj´ab´ol a (8.37) integr´al ki´ert´ekel´es´ere azonban nincs sz¨ uks´eg¨ unk, ugyanis –ahogy arra m´ar utaltunk– egyszer˝ u szab´alyok ´es formalizmusok alkalmazhat´ok az inverz transzform´aci´o elv´egz´es´ere. A v´alaszjel Laplace-transzform´altja teh´at a (8.18) alapj´an hat´arozhat´o meg. Ennek inverze, azaz a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye az un. kifejt´esi t´etel seg´ıts´eg´evel hat´arozhat´o meg, melynek l´enyege abban a´ll, hogy a polinom per polinom alak´ u Laplace-transzform´altat t¨ortf¨ uggv´enyek o¨sszeg´ere bonthatjuk (r´eszlett¨ ortekre bont´ as), ´es a r´eszlett¨orteket id˝of¨ uggv´enny´e transzform´alhatjuk az egyes t¨ortf¨ uggv´enyek ismeretlen a´lland´oinak meghat´aroz´asa ut´an. Alapvet˝oen k´et nagy csoportba lehet sorolni a polinom per polinom alak´ u t¨ ortf¨ uggv´enyeket: • Val´ odi t¨ ortf¨ uggv´enyek. Val´odi t¨ortf¨ uggv´enyr˝ol akkor besz´el¨ unk, ha a sz´aml´al´o polinomj´anak foksz´ama kisebb, mint a nevez˝o polinomj´anak foksz´ama. Ezen bel¨ ul a k¨ovetkez˝o esetek lehets´egesek: – a nevez˝o polinomj´anak gy¨okei mind k¨ ul¨onb¨oznek egym´ast´ol (egyszeres p´olusok), – a nevez˝o polinomj´anak gy¨okei k¨oz¨ott van legal´abb k´et azonos (t¨obbsz¨or¨os p´olusok), – a kifejez´esben szerepel az exponenci´alis szorz´ot´enyez˝o. • Nem val´ odi t¨ ortf¨ uggv´enyek. Nem val´odi t¨ortf¨ uggv´enyr˝ol (´alt¨ort) akkor besz´el¨ unk, ha a sz´aml´al´o polinomj´anak foksz´ama nagyobb, mint a nevez˝o polinomj´anak foksz´ama, vagy egyenl˝o azzal. Ez az eset mindig visszavezethet˝o az el˝oz˝ore az un. polinomoszt´ as m´odszer´evel (m´asn´even eukleid´eszi-algoritmus). A kapott t¨ortf¨ uggv´eny sz´aml´al´oj´anak foksz´ama teh´at kisebb kell legyen nevez˝oj´enek foksz´am´an´al, aminek k¨ovetkezt´eben csak 308

olyan t¨ortf¨ uggv´enyekkel foglalkozunk, amelyekre igaz, hogy lim X(s) < ∞.

(8.39)

s→∞

Ellenkez˝o esetben az X(s) nem lehet egy x(t) jel Laplace-transzform´altja. Vizsg´aljuk meg az inverz Laplace-transzform´aci´o technik´aj´at a k¨ovetkez˝o p´eld´akon kereszt¨ ul. 1. P´ elda. Hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at, ha a´tviteli f¨ uggv´enye ´es gerjeszt´ese a k¨ovetkez˝o: W (s) =

s2

5s + 1 , + 4s + 3

s(t) = 5ε(t)e−2t .

Megold´ as. Hat´arozzuk meg el˝osz¨or a gerjeszt´es Laplace-transzform´altj´at. Legt¨obb esetben a Laplace-transzform´altak meghat´aroz´asa sor´an nem kell alkalmaznunk a defin´ıci´os o¨sszef¨ ugg´est, hiszen bizonyos f¨ uggv´enyek Laplace-transzform´altj´at ismerj¨ uk. Jelen esetben az ε(t)e−αt t´ıpus´ u gerjeszt´esr˝ol van sz´o, melynek Laplace-transzform´altja a k¨ovetkez˝o: L{ε(t)e−αt } =

1 s+α

⇒

S(s) =

5 . s+2

L´athat´o, hogy az 5 konstanssal a Laplace-transzform´altat is egyszer˝ uen beszoroztuk. Ez az´ert tehet˝o meg, mert a Laplace-transzform´aci´o egy integr´al, amely el´e a konstans kivihet˝o. Szorozzuk ezut´an o¨ssze az a´tviteli f¨ uggv´enyt ´es a kapott transzform´altat, ami a v´alaszjel Laplace-transzform´altj´at adja ´es ´ırjuk fel a nevez˝ot gy¨okt´enyez˝os alakban: Y (s) = W (s) S(s) =

5 25s + 5 5s + 1 = . s2 + 4s + 3 s + 2 (s + 3)(s + 1)(s + 2)

Ez a t¨ortf¨ uggv´eny teh´at val´odi t¨ort, hiszen a sz´aml´al´o foksz´ama 1, a nevez˝o foksz´ama pedig 3, tov´abb´a a nevez˝o minden gy¨oke 309

k¨ ul¨onb¨oz˝o (egyszeres p´olusok): p 1 = −3, p2 = −1 ´es p3 = −2. Ebben az esetben a t¨ort a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o fel un. parci´ alis t¨ ortek o¨sszegek´ent: Y (s) =

A B C 25s + 5 = + + , (s + 3)(s + 1)(s + 2) s+3 s+1 s+2

ahol A, B ´es C egyel˝ore ismeretlen konstansok, ´ert´ek¨ uket a kifejt´esi t´etel seg´ıts´eg´evel lehet meghat´arozni. Ez ebben az esetben legegyszer˝ ubben ,,letakar´assal” oldhat´o meg. Az A egy¨ utthat´ot ennek megfelel˝oen u ´ gy hat´arozzuk meg, hogy az A egy¨ utthat´onak megfelel˝o (s + 3) gy¨okt´enyez˝ot letakarjuk, ´es a marad´ek t¨ortf¨ uggv´enyben minden s hely´ebe −3-at ´ırunk: A=

25(−3) + 5 = −35. (−3 + 1)(−3 + 2)

A B egy¨ utthat´o ´ert´ek´enek meghat´aroz´asa sor´an letakarjuk az (s + 1) gy¨okt´enyez˝ot ´es a megmaradt t¨ortf¨ uggv´enyben minden s hely´ebe −1-et ´ırunk, a C egy¨ utthat´o meghat´aroz´asa ´ertelemszer˝ u: B=

25(−1) + 5 = −10, (−1 + 3)(−1 + 2)

C=

25(−2) = 45. (−2 + 3)(−2 + 1)

Ezen ´ert´ekeket felhaszn´alva a v´alaszjel Laplace-transzform´altja teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o fel: Y (s) =

−35 −10 45 + + . s+3 s+1 s+2

K alak´ u t¨ortf¨ uggv´enyek, melyek az ε(t)Ke −αt Az egyes tagok s+α id˝of¨ uggv´eny Laplace-transzform´altj´anak felelnek meg. Ez az oka annak, hogy parci´alis t¨ortekk´e kell alak´ıtani a t¨ortf¨ uggv´enyt. A v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye teh´at a k¨ovetkez˝o:
y(t) = ε(t) −35e−3t − 10e−t + 45e−2t .

310

Fontos megjegyezni, hogy a Laplace-transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtott v´alaszjel mindig bel´ep˝o f¨ uggv´eny, hiszen a gerjeszt´es bel´ep˝o ´es a rendszer kauz´alis. A feladat term´eszetesen megoldhat´o az egy¨ utthat´ ok egyeztet´es´evel is. Ebben az esetben hozzuk k¨oz¨os nevez˝ore a parci´alis t¨ortekkel fel´ırt alakot: A(s + 1)(s + 2) + B(s + 3)(s + 2) + C(s + 3)(s + 1) , Y (s) = (s + 3)(s + 1)(s + 2) aminek meg kell egyezni a kiindul´asi Y (s) t¨ortf¨ uggv´ennyel. Ezen k´et t¨ortf¨ uggv´eny nevez˝oje megegyezik, k¨ovetkez´esk´epp sz´aml´al´oik egyenl˝os´eg´er˝ol kell gondoskodnunk, ami az A, B ´es C egy¨ utthat´ok bizonyos ´ert´eke mellett lehets´eges. Bontsuk fel az ut´obbi t¨ortf¨ uggv´eny sz´aml´al´oj´aban tal´alhat´o z´ar´ojeleket ´es tegy¨ uk ezt egyenl˝ov´e a kiindul´asi t¨ortf¨ uggv´eny sz´aml´al´oj´aval: A(s2 + 3s + 2) + B(s2 + 5s + 6) + C(s2 + 4s + 3) = 25s + 5, majd az s2 , az s1 ´es az s0 tagok egy¨ utthat´oit tegy¨ uk egyenl˝ov´e, amely egy h´aromismeretlenes egyenletrendszerre vezet:  A = −35, A+B+C =0  ⇒ B = −10, 3A + 5B + 4C = 25  C = 45. 2A + 6B + 3C = 5

Ez a m´odszer term´eszetesen ugyanazt az eredm´enyt adja, de l´athat´oan (m´ar az egyenletrendszer megold´asa miatt is) t¨obb sz´am´ıt´as ut´an. A k´es˝obbiekben lehet˝os´eg szerint a ,,letakar´asosm´odszer”-t fogjuk alkalmazni.9

2. P´ elda. Adott egy rendszer impulzusv´alasza ´es gerjeszt´ese, hat´arozzuk meg a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et, valamint a rendszer a´tviteli karakterisztik´aj´at.
w(t) = ε(t) e−2t + 3e−5t + 2δ(t), s(t) = 5ε(t)e−2t . 9

Az´ert ´ırtuk azt, hogy ,,lehet˝ os´eg szerint”, mert ez a m´ odszer akkor alkalmazhat´ o k¨ ozvetlen¨ ul, ha a nevez˝ o gy¨ okei egyszeresek.

311

Megold´ as. Els˝o l´ep´esben hat´arozzuk meg az impulzusv´alasz ´es a gerjeszt´es Laplace-transzform´altj´at a szab´alyok alapj´an ´es hozzuk k¨oz¨os nevez˝ore az a´tviteli f¨ uggv´enyt: 10 W (s) =

3 2s2 + 18s + 31 1 + +2= , s+2 s+5 (s + 2)(s + 5)

S(s) =

5 . s+2

A v´alaszjel Laplace-transzform´altja ezen k´et transzform´alt szorzata, amely t¨ortf¨ uggv´eny most is val´odi t¨ort, azonban a nevez˝oben az egyik gy¨ok k´etszeres ´es az ennek megfelel˝o parci´alis t¨ortek a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´ok fel: Y (s) =

10s2 + 90s + 155 A B C = + + . 2 2 (s + 2) (s + 5) s + 2 (s + 2) s+5

A h´arom ismeretlen konstansb´ol most csak kett˝o hat´arozhat´o meg a ,,letakar´asos-m´odszer” seg´ıts´eg´evel, a B ´es a C egy¨ utthat´ok: B=

10(−2)2 + 90(−2) + 155 = 5, −2 + 5

C=

10(−5)2 + 90(−5) + 155 = −5. (−5 + 2)2

Az A egy¨ utthat´o az´ert nem hat´arozhat´o meg ´ıgy, mert ha letakarn´ank a neki megfelel˝o gy¨okt´enyez˝ot (az (s + 2)-˝ot), akkor a nevez˝oben m´eg mindig maradna egy (s + 2), melynek helyettes´ıt´esi ´ert´eke az s = −2-ben nulla ´es ´ıgy null´aval osztan´ank. Ebben az esetben teh´at mindig csak a legmagasabb fok´ u tagnak megfelel˝o egy¨ utthat´o hat´arozhat´o meg. Az A egy¨ utthat´o meghat´aroz´asa az egy¨ utthat´ok egyeztet´es´evel lehets´eges. ´Irjuk fel h´at a parci´alis t¨orteknek megfelel˝o t¨ortf¨ uggv´enyt: Y (s) =

A(s + 2)(s + 5) + B(s + 5) + C(s + 2)2 . (s + 2)2 (s + 5)

Ezen t¨ort sz´aml´al´oja egyenl˝o kell legyen a kiindul´as t¨ortf¨ uggv´eny sz´aml´al´oj´aval: A(s2 + 7s + 10) + B(s + 5) + C(s2 + 4s + 4) = 10s2 + 90s + 155, 10

Az a ´tviteli f¨ uggv´eny nevez˝ oj´et c´elszer˝ u mindig gy¨ okt´enyez˝ os alakban hagyni, mert u ´gyis arra lesz sz¨ uks´eg¨ unk.

312

azaz az A, B ´es C egy¨ utthat´oknak ki kell el´eg´ıteni a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert:  A + C = 10  7A + B + 4C = 90  10A + 5B + 4C = 155

Ezen egyenletrendszert most azonban nem kell megoldanunk, hiszen B ´es C ´ert´ek´et m´ar meghat´aroztuk. Az A egy¨ utthat´o legegyszer˝ ubben az els˝o egyenletb˝ol ad´odik: A = 10 − C = 15. Term´eszetesen a m´asik k´et egyenlet is ugyanerre az eredm´enyre vezet. A v´alaszjel Laplace-transzform´altja teh´at a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: 5 −5 15 + + . Y (s) = 2 s + 2 (s + 2) s+5 Ebben a kifejez´esben a m´asodik tag az el˝oz˝o feladathoz k´epest u ´ jat jelent, azonban kor´abbr´ol tudjuk, hogy a Kε(t)te −αt jel LapK ıgy a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a k¨ovetlace-transzform´altja (s+α) 2, ´ kez˝o lesz:
y(t) = ε(t) 15e−2t + 5te−2t − 5e−5t . Mivel az impulzusv´alasz bel´ep˝o, ez´ert tudjuk, hogy a rendszer kauz´alis, tov´abb´a az impulzusv´alasz abszol´ ut integr´alhat´o, hiszen exponenci´alisan cs¨okken˝o tagokb´ol a´ll, ez´ert a´tviteli karakterisztik´aja meghat´arozhat´o az a´tviteli f¨ uggv´enyb˝ol s = jω helyettes´ıt´essel: W (jω) =

2(jω)2 + 18(jω) + 31 . (jω)2 + 7(jω) + 10

Ha a rendszer nem gerjeszt´es-v´alasz stabilis, akkor a form´alisan sz´am´ıtott a´tviteli karakterisztika nem b´ır fizikai tartalommal. A form´alis sz´am´ıt´as alatt az s = jω helyettes´ıt´est ´ertj¨ uk.

313

3. P´ elda. Egy v´alaszjel Laplace-transzform´altja a k¨ovetkez˝o. Hat´arozzuk meg a v´eg´ert´ekeket, majd ellen˝orizz¨ uk azokat az id˝of¨ uggv´eny alapj´an. Y (s) = Megold´ as.

2s2 + 4 . s(s + 1)(s + 3)

Alkalmazzuk a v´eg´ert´ekt´eteleket: 2 + s42 2s2 + 4 = 2, = lim s→∞ 1 + 4 + 32 s→∞ s2 + 4s + 3 s s

y(+0) = lim sY (s) = lim s→∞

4 2s2 + 4 = . s→0 s2 + 4s + 3 3

y(t → ∞) = lim sY (s) = lim s→0

Hat´arozzuk meg az id˝of¨ uggv´enyt is. Az Y (s) egy val´odi t¨ortf¨ uggv´eny, azaz a k¨ovetkez˝o alak´ u parci´alis t¨ortekre lehet bontani: Y (s) =

B C A + + , s s+1 s+3

ahol az egy¨ utthat´ok meghat´arozhat´ok letakar´assal: 11 A = 43 , B = 11 uggv´eny a k¨ovetkez˝o lesz: −3, C = 3 , azaz az id˝of¨   11 −3t 4 −t − 3e + e y(t) = ε(t) . 3 3 A v´eg´ert´ekek az id˝of¨ uggv´enyb˝ol k¨ozvetlen¨ ul leolvashat´ok. 11

A = 43 , B =

2(−1)2 +4 (−1)(−1+3)

= −3, C =

2(−3)2 +4 (−3)(−3+1)

314

=

11 . 3

8.2.3.

Az ´ atviteli f¨ uggv´ eny p´ olus-z´ erus elrendez´ ese, a rendszer stabilit´ asa

L´attuk, hogy az a´tviteli f¨ uggv´eny egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es, ´es mint ilyen fel´ırhat´o gy¨okt´enyez˝os alakban is: b0 sn + b1 sn−1 + . . . + bn = sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + . . . + an (s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zn ) , =K (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )

W (s) =

(8.40)

ahol a sz´aml´al´o gy¨okei alkotj´ak a z´erusokat, a nevez˝o gy¨okei pedig a p´ olusokat, K pedig egy kiemelhet˝o konstans. A z´erusok null´av´a, a p´olusok v´egtelenn´e teszik az a´tviteli f¨ uggv´enyt. Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as, illetve a rendszeregyenlet ´es az a´tviteli f¨ uggv´eny kapcsolat´ab´ol l´athat´o, hogy az a´tviteli f¨ uggv´eny nevez˝oj´enek polinomja az |sE − A| a´ltal defini´alt determin´ans, ami |λE − A| alakban m´ar megjelent az id˝otartom´anybeli anal´ızis sor´an is, illetve a karakterisztikus polinommal megegyez˝o alak´ u. Ebb˝ol kider¨ ul, hogy a saj´at´ert´ekek ´es a p´olusok megegyeznek, teh´at a p´olus-z´erus elrendez´esb˝ol k¨ovetkeztetni lehet a rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as´ara: a rendszer akkor ´es csakis akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, ha a ´tviteli f¨ uggv´eny´enek minden p´ olusa negat´ıv val´ os r´esz˝ u: Re{pi } < 0,

i = 1, . . . , n,

(8.41)

azaz, ha minden saj´ at´ert´eke a komplex sz´ ams´ık bal oldal´ an helyezkedik el. P´ elda. Vizsg´aljuk meg a k¨ovetkez˝o a´llapotv´altoz´os le´ır´as´aval adott rendszer stabilit´as´at:            x1 1 3 10 x1 x˙ 1 + s, y = −1 5 +s. = 0 1 0 x2 x2 x˙ 2 315

Megold´ as.

Ennek a´tviteli f¨ uggv´enye a k¨ovetkez˝o:

W (s) =

s2 − 4s − 5 (s + 1)(s − 5) s+1 = = . 2 s − 3s − 10 (s + 2)(s − 5) s+2

L´athat´o, hogy a rendszer a´tviteli f¨ uggv´eny´enek k´et p´olusa van: p1 = −2 ´es p2 = 5, amelyek megegyeznek a rendszerm´atrix saj´at´ert´ekeivel. Az (s − 5) taggal azonban lehet egyszer˝ us´ıteni, mi´altal a reduk´alt rendszer egyetlen p´olusa p 1 = −2. A λ2 saj´at´ert´ek (a p2 p´olus) miatt a rendszer nem aszimptotikusan stabil, s a kapott a´tviteli f¨ uggv´enyben szerepl˝o p 2 p´olus miatt a rendszer nem is gerjeszt´es-v´alasz stabil. Az egyszer˝ us´ıt´es ut´an azonban a nem stabil p´olus ugyanazon ´ert´ek˝ u z´erus miatt kiesik. Ez a rendszer ´ıgy gerjeszt´es-v´alasz stabilis. Elmondhat´o teh´at az, hogy ha egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor biztosan gerjeszt´es-v´alasz stabil is, ford´ıtva azonban ez nem biztos, hogy igaz. Ha egy rendszer aszimptotikusan nem stabil, akkor m´eg lehet gerjeszt´es-v´alasz stabil, ami a B oszlopvektort´ol ´es a C sorvektort´ol f¨ ugg.

316

9. fejezet

DI rendszerek anal´ızise a komplex frekvenciatartom´ anyban 9.1.

A z-transzform´ aci´ o

A z-transzform´aci´ot is k´etf´elek´epp vezetj¨ uk be. El˝osz¨or a Fouriertranszform´aci´ob´ol kiindulva, majd lentebb form´alis bevezet´est is adunk. Alapvet˝oen csak bel´ep˝ ojelek kel foglalkozunk. L´attuk, hogy csak azok a diszkr´et idej˝ u jelek Fourier-transzform´alhat´ok a (7.51) defin´ıci´o alapj´an, amelyek abszol´ ut o ¨ssze´ gezhet˝ o k. Igy nem Fourier-transzform´alhat´o pl. az ε[k], vagy az ε[k]q k (|q| > 1) f¨ uggv´eny sem, hiszen a transzform´aci´ot defini´al´o v´egtelen sor ezen esetekben nem konvergens. K´epzelj¨ uk el, hogy az abszol´ ut o¨sszegezhet˝o s´eget az´altal biztos´ıtjuk, hogy a bel´ep˝ojelet beszorozzuk egy e−σt t=kTs = e−σk (σ > 0) jellel (σ := σTs ), azaz ∞ X k=0

|s[k]| ≮ ∞,

de

∞ X k=0

317

|s[k]e−σk | < ∞.

(9.1)

Ha a jel bel´ep˝o, akkor tetsz˝oleges pozit´ıv ´ert´ek˝ u σ v´alaszthat´o a gyakorlatban el˝ofordul´o jelek eset´eben, azaz σ ´ert´eke ´erdektelen sz´amunkra. Az ε[k] jel pl. tetsz˝oleges σ > 0 ´ert´ek mellett abszol´ ut o¨sszegezhet˝ov´e tehet˝o, az ε[k]q k (|q| > 1) exponenci´alisan n¨ovekv˝o jelhez u ´ gyszint´en tal´alhat´o alkalmas σ, ugyanis az e −σk szerint alakul´o exponenci´alis cs¨okken´es er˝osebb, mint a q k f¨ uggv´eny szerinti n¨oveked´es (term´eszetesen |q| < ∞). A l´enyeg ism´etelten annak biztos´ıt´asa, hogy a bel´ep˝ojelet, ami esetleg a k → ∞ eset´en nem tart null´ahoz, ,,leszor´ıtsuk” egy exponenci´alis t´enyez˝ovel, ami el´eg gyorsan tart null´ahoz ahhoz, hogy a szorzatf¨ uggv´eny elt˝ unj¨on k → ∞ eset´en, s ´ıgy az abszol´ ut o¨sszegezhet˝ov´e tehet˝o. Ha egy jelhez nem tal´alhat´o ilyen σ ´ert´ek, akkor a jel nem tehet˝o abszol´ ut o¨sszegezhet˝ov´e, ilyen jelekkel nem foglalkozunk, mert nincs 2 z-transzform´altjuk. Ilyen pl. az ε[k]q k jel. K´epezz¨ uk most az exponenci´alis f¨ uggv´ennyel leszor´ıtott bel´ep˝o-szorzatf¨ uggv´enynek a Fourier-transzform´altj´at: F{ε[k]s[k]e

−σk

}=

∞ X

s[k]e

−σk −jϑk

e

=

∞ X

s[k]e−(σ+jϑ)k ,

k=0

k=0

majd vezess¨ uk be az sTs = σ+jϑ jel¨ol´est1 ´es legyen z = esTs , melynek eredm´enyek´epp defini´aljuk egy s[k] diszkr´et idej˝ u bel´ep˝ojel z-transzform´altj´at: S(z) =

∞ X

k=0

s[k]z −k ≡ s[0] + s[1]z −1 + s[2]z −2 + . . . ,

(9.2)

ami a z −1 hatv´anysora, ´es S(z) az s[k] id˝of¨ uggv´eny un. z-transzform´altja (k´epf¨ uggv´enynek is nevezik), a z = e σ+jϑ komplex kifejez´est pedig szok´as komplex frekvenci´ a nak nevezni. Az o¨sszegz´es 1

Mindez a Laplace-transzform´ aci´ oval is szoros kapcsolatban van, hiszen s = σ + jω, s ´ıgy sTs = σTs + jωTs , ami a m´ ar ismertetett jel¨ ol´esek szerint a k¨ ovetkez˝ ot jelenti: sTs = σ + jϑ.

318

als´o hat´ara 0, ami azt jelenti, hogy az s[k] jel bel´ep˝o kell legyen. 2 A (9.2) o¨sszeget a k¨ovetkez˝o oper´atorral szok´as jel¨olni (´ırott Z bet˝ u): S(z) = Z {s[k]} . (9.3) A komplex frekvenciatartom´anyt diszkr´et idej˝ u jelek eset´eben szok´as z-tartom´anynak is nevezni.

9.1.1.

A z-transzform´ aci´ o t´ etelei

A k¨ovetkez˝okben felsoroljuk ´es bizony´ıtjuk a z-transzform´aci´o n´eh´any, sz´amunkra fontos t´etel´et. Egyes esetekben ezeket alkalmazzuk is. Linearit´ as A z-transzform´aci´o egy o¨sszegz´es, inverze pedig (k´es˝obb l´atni fogjuk) egy integr´al, amelyek line´ aris m˝ uveletek, azaz b´armely C 1 , C2 konstans eset´en fenn´all, hogy Z{C1 s1 [k] + C2 s2 [k]} = C1 Z{s1 [k]} + C2 Z{s2 [k]},

Z −1 {C1 S1 (z) + C2 S2 (z)} = C1 Z −1 {S1 (z)} + C2 Z −1 {S2 (z)}. ´ Altal´ anosan (n o¨sszegre) ez a k¨ovetkez˝ot jelenti: ( n ) n X X Z Ci si [k] = Ci Z{si [k]}, Z −1

(

i=1

n X i=1

Ci Si (z)

)

i=1

=

n X i=1

(9.4)

(9.5)

Ci Z −1 {Si (z)}.

Ez a szuperpoz´ıci´ o elv e, ´es azt jelenti, hogy a transzform´ aci´ o ´es inverze tagonk´ent elv´egezhet˝ o. 2

A Laplace-transzform´ aci´ ohoz hasonl´ oan a z-transzform´ aci´ o eset´eben is a jel k < 0 intervallumbeli viselked´ese figyelmen k´ıv¨ ul marad.

319

Eltol´ asi t´ etel Ha l´etezik a bel´ep˝ o ε[k] s[k] jel S(z) z-transzform´altja, akkor a K >0u ¨ temmel eltolt (k´esleltett) ε[k − K] s[k − K] jel z-transzform´altja az eltol´ asi t´etel ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o: 3 Z {ε[k − K] s[k − K]} = z −K S(z),

(9.6)

azaz az id˝obeli eltol´as a z-tartom´anyban z −K t´enyez˝ovel v´egzett szorz´asnak felel meg. Itt arra kell u ¨ gyeln¨ unk, hogy az ε[k] jelben ´es az s[k] jelben is szerepeljen ugyanazon K eltol´as. A t´etel bizony´ıt´as´at seg´ıti a k¨ovetkez˝o illusztr´aci´o: ε[k]s[k]

6 
 


0

 
 


 ε[k − K]s[k − K] 
   



 -  



K

ε[M ]s[M ]

6 


 
 


k

0

 
-

M

´Irjuk be a z-transzform´aci´o (9.2) defin´ıci´oj´aba az ε[k] s[k] jel helyett az eltolt ε[k − K] s[k − K] jelet: Z {ε[k − K] s[k − K]} =

∞ X

k=K

s[k − K]z −k ,

ahol az o¨sszegz´est az´ert kell a k = K u ¨ temt˝ol kezdeni, mert a k < K u ¨ temekben az eltolt jel ´ert´eke nulla. Vezess¨ uk be most az M = k − K v´altoz´ot (´ıgy k = K + M ), mint u ´ j id˝otengelyt, melynek orig´oja a K pontban van. ´Irjuk a´t az el˝obbi o¨sszeget ennek megfelel˝oen: Z {ε[k − K] s[k − K]} = 3

∞ X

s[M ]z −(K+M ) ,

M =0

Az ε[k] jel mindig szerepel az s[k] jel mellett, hiszen bel´ep˝ ojelekr˝ ol van

sz´ o.

320

amelyben az z −K konstansnak tekinthet˝o, hiszen az o¨sszegz´est az M v´altoz´o szerint kell elv´egezni, ´ıgy az kiemelhet˝o az o¨sszeg el´e, ´es a szumma a z-transzform´aci´o defin´ıci´oja lesz: Z {ε[k − K] s[k − K]} = z

∞ X

−K

M =0

|

s[M ]z −M = z −K S(z), {z

}

S(z)=Z{ε[M ] s[M ]}

ami pontosan az eltol´asi t´etel. Bizonyos esetekben (p´eld´at a 346. oldalon fogunk l´atni) el˝ofordul, hogy az s[k] nem bel´ep˝ o jelet kell k´esleltetni. Az s[k − K] z-transzform´altja az el˝oz˝oh¨oz hasonl´oan vezethet˝o le. Induljunk ki a (9.2) defin´ıci´ob´ol: Z {s[k − K]} =

∞ X

k=0

s[k − K]z −k ,

ahol az o¨sszegz´es als´o hat´ara most nem K, hanem tov´abbra is 0, hiszen a k < K u ¨ temekre a jel ´ert´eke nem felt´etlen¨ ul nulla, hiszen oda az s[k] nem bel´ep˝ojel k < 0 u ¨ tembeli ´ert´ekei ker¨ ulnek. Vezess¨ uk be ism´et az M = k − K v´altoz´ot, ´es bontsuk kett´e az o¨sszeget: ∞ X

−1 X

s[M ]z −(K+M ) =

M =−K

s[M ]z −(K+M ) +

M =−K

=

−1 X

∞ X

s[M ]z −(K+M ) =

M =0

s[M ]z

M =−K

−(K+M )

+z

−K

∞ X

s[M ]z −M .

M =0

Ebben a m´asodik tag megegyezik a bel´ep˝ojel eltoltj´anak z-transzform´altj´aval, azaz Z {s[k − K]} =

−1 X

s[M ]z −(K+M ) + z −K S(z).

M =−K

321

Speci´alisan: K = 1 : Z {s[k − 1]} = s[−1] + z −1 S(z), K = 2 : Z {s[k − 2]} = s[−2] + s[−1]z −1 + z −2 S(z). Az a ´tviteli f¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa a rendszeregyenlet alapj´ an. Alkalmazzuk az eltol´asi t´etelt a rendszeregyenletre, melynek kapcs´an jutunk el a diszkr´et idej˝ u rendszer a ´tviteli f¨ uggv´eny´ehez, amely egy rendszerjellemz˝ o f¨ uggv´eny. 4 Induljunk ki teh´at egy diszkr´et idej˝ u SISO rendszer rendszeregyenlet´eb˝ol: y[k] +

n X i=1

ai y[k − i] =

m X i=0

bi s[k − i].

Alkalmazzuk most ezen egyenletre az eltol´asi t´etelt ´es t´etelezz¨ uk fel, hogy a gerjeszt´es bel´ep˝ o. ´Igy a rendszer kauzalit´as´ab´ol k¨ovetkez˝oen a v´alasz is bel´ep˝o.5 A rendszeregyenlet z-transzform´altja teh´at a k¨ovetkez˝o alakot o¨lti: Y (z) +

n X

ai Y (z)z −i =

m X

bi S(z)z −i .

i=0

i=1

Ezen egyenlet k´et oldal´an z −1 -ben egy n-edfok´ u, ´es egy m-edfok´ u polinomot kapunk. Emelj¨ unk ki a bal oldalon Y (z)-t, a jobb oldalon pedig S(z)-t: ! m n X X −i bi z −i . ai z = S(z) Y (z) 1 + i=0

i=1

4

A levezet´esek nagyon hasonl´ oak a rendszeregyenlet ´es az a ´tviteli karakterisztika kapcsolat´ anak bemutat´ asa sor´ an alkalmazottakhoz (l. 234. oldal) 5 A nem bel´ep˝ o gerjeszt´es eset´et p´eld´ an kereszt¨ ul vizsg´ aljuk meg, l. 346. oldal.

322

Ebb˝ol k´epezhetj¨ uk az un. W (z) a ´tviteli f¨ uggv´enyt, ami a v´ alasz ´es a gerjeszt´es z-transzform´ altj´ anak h´ anyadosa: Pm −i Y (z) i=0 bi z P W (z) = = , n S(z) 1 + i=1 ai z −i

(9.7)

vagy r´eszletesen ki´ırva: W (z) =

b0 + b1 z −1 + . . . + bm z −m Y (z) = . S(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n

s[k]

-

W (z)

S(z) = Z {s[k]}

y[k]

(9.8)

-

Y (z) = Z {y[k]}

Az a ´tviteli f¨ uggv´eny teh´ at a z −1 v´ altoz´ o racion´ alis f¨ uggv´enye 6 val´ os egy¨ utthat´ okkal. Hasonl´oan az a´tviteli karakterisztik´ahoz, az a ´tviteli f¨ uggv´eny is egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es, nevez˝oj´enek polinomja alakilag megegyezik a rendszeregyenlet karakterisztikus polinomj´aval, gy¨okeik teh´at megegyeznek, kiv´eve, ha az a´tviteli f¨ uggv´eny sz´aml´al´oj´anak ´es nevez˝oj´enek k¨oz¨os gy¨okeivel egyszer˝ us´ıteni lehet. Ezen m˝ uveletsor visszafel´e is elv´egezhet˝o. Ha teh´at ismert egy rendszer a´tviteli f¨ uggv´enye, akkor annak rendszeregyenlete meghat´arozhat´o, tov´abb´a az a´tviteli f¨ uggv´eny sz´aml´al´oj´aban ´es nevez˝oj´eben szerepl˝o bi ´es ai egy¨ utthat´ok megegyeznek a rendszeregyenlet jobb- ´es bal oldal´an szerepl˝o egy¨ utthat´okkal. Siettetett diszkr´ et idej˝ u jel z-transzform´ altja Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakj´aban szerepel az x[k] a´llapotv´altoz´o x[k + 1], egy u ¨ temmel siettetett eltoltja. Hat´arozzuk 6

Az alkalmaz´ asok sor´ an azonban z pozit´ıv kitev˝ oire fogunk a ´tt´erni.

323

meg ezen jel z-transzform´altj´at. Alkalmazzuk a (9.2) o¨sszef¨ ugg´est: Z{x[k + 1]} =

∞ X

x[k + 1]z −k ,

k=0

majd a k + 1 hely´ebe vezess¨ uk be az M = k + 1 v´altoz´ot, azaz k = M − 1: Z{x[k + 1]} =

∞ X

x[M ]z

−(M −1)

=z

M =1

∞ X

x[M ]z −M .

M =1

Itt az o¨sszegz´es als´o hat´ara az M = k + 1 miatt lett 1, a 0 + 1 helyettes´ıt´esnek megfelel˝oen. A z-transzform´aci´o defin´ıci´oj´aban azonban az als´o hat´arnak null´at´ol kell indulnia. Ha hozz´aadjuk az o¨sszeghez az M = 0 u ¨ tembeli ´ert´eknek megfelel˝o t´enyez˝ot, akkor azt le is kell vonni az o¨sszegb˝ol: ! ∞ X x[M ]z −M −x[0] . Z{x[k + 1]} = z M =0

|

{z

Z{x[M ]}

}

A szumma pontosan az x[M ] jel z-transzform´altja, azaz a siettetett jel z-transzform´altja a k¨ovetkez˝o: Z{x[k + 1]} = z(X(z) − x[0]) = zX(z) − zx[0].

(9.9)

Bel´ep˝o gerjeszt´es eset´en az a´llapotv´altoz´ok k = 0 u ¨ tembeli ´ert´eke nulla, ´ıgy Z{x[k + 1]} = zX(z). (9.10)

324

Az a ´tviteli f¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as alapj´ an. Alkalmazzuk az ut´obbi t´etelt az a´llapotv´altoz´os le´ır´asra, melynek kapcs´an szint´en eljutunk a diszkr´et idej˝ u rendszer a ´tviteli f¨ uggv´eny´ehez.7 Egy diszkr´et idej˝ u SISO-rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak norm´alalakja a k¨ovetkez˝o: x[k + 1] = Ax[k] + bs[k], y[k] = cT x[k] + Ds[k],

(9.11)

K´epezz¨ uk ezen egyenletek z-transzform´altj´at ´es alkalmazzuk a siettetett jel z-transzform´altj´anak megismert kifejez´es´et ´es szor´ıtkozzunk bel´ep˝ o gerjeszt´esre (´ıgy a v´alasz is bel´ep˝o ´es x[0] = 0): zX(z) = AX(z) + bS(z), Y (z) = cT X(z) + DS(z).

(9.12)

Az els˝o egyenletb˝ol az X(z) a´llapotvektor z-transzform´altja kifejezhet˝o: zX(z) = AX(z) + bS(z) azaz

⇒

(zE − A) X(z) = bS(z),

X(z) = (zE − A)−1 bS(z),

(9.13)

ahol E az N -edrend˝ u egys´egm´atrix. A kapott eredm´enyt helyettes´ıts¨ uk be az Y (z) kifejez´es´ebe, s ´ıgy a v´alaszjel z-transzform´altj´anak kifejez´ese a k¨ovetkez˝o alak´ u lesz: h i Y (z) = cT (zE − A)−1 b + D S(z). (9.14) 7

A levezet´esek nagyon hasonl´ oak az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as ´es az a ´tviteli karakterisztika kapcsolat´ anak bemutat´ asa sor´ an alkalmazottakhoz (l. 236. oldal).

325

Ut´obbib´ol az a´tviteli f¨ uggv´eny kifejezhet˝o: W (z) =

Y (z) = cT (zE − A)−1 b + D. S(z)

(9.15)

Ez szint´en egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es, amely – ahogy a frekvenciatartom´anybeli le´ır´as sor´an is tett¨ uk 8 – a´t´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakra is: W (z) =

cT adj (zE − A) b + |zE − A|D . |zE − A|

(9.16)

Mindez MIMO-rendszer ekre a k¨ovetkez˝ok´epp fejezhet˝o ki: W(z) = C (zE − A)−1 B + D,

(9.17)

ami az a ´tvitelif¨ uggv´eny-m´ atrix, melynek ij index˝ u eleme megadja az i-edik kimenet ´es a j-edik bemenet k¨oz¨ott fenn´all´o a´tviteli f¨ uggv´enyt u ´ gy, hogy k¨ozben a rendszer minden m´as bemenete jelmentes: Yi (z) , i = 1, . . . , Ny , j = 1, . . . , Ns . W (z)ij = Sj (z) Sk (z)=0,k6=j (9.18) Ha a gerjeszt´es nem bel´ep˝o, akkor az a´llapotvektor eltoltj´anak z-transzform´altja nem egyszer˝ uen zX(z) lesz, hanem zX(z) − zx[0]. L´athat´o, hogy mindk´et esetben form´alisan ugyanazon m˝ uveleteket v´egezt¨ uk el, mint a frekvenciatartom´anybeli anal´ızis sor´an. Az a ´tviteli f¨ uggv´eny nevez˝ oj´enek gy¨ okeit p´ olusoknak, sz´ aml´ al´ oj´ anak gy¨ okeit z´erusoknak nevezz¨ uk. 8

Alkalmazzuk az (zE − A)−1 =

adj(zE−A) |zE−A|

326

o ¨sszef¨ ugg´est.

A konvol´ uci´ o z-transzform´ altja Az eltol´asi t´etelt alkalmazzuk a konvol´ uci´ o z-transzform´ altj´anak meghat´aroz´asa sor´an. Az id˝otartom´anyban v´egzett y[k] = w[k] ∗ s[k] konvol´ uci´o z-transzform´alhat´o bel´ep˝o gerjeszt´es ´es ztranszform´alhat´o bel´ep˝o impulzusv´alasz eset´en a z-tartom´anyban szorzatt´ a egyszer˝ us¨ odik : Y (z) = Z{w[k]}Z{s[k]} = W (z) S(z),

(9.19)

ahol S(z) ´es Y (z) a gerjeszt´es ´es a v´alaszjel z-transzform´altja, W (z) pedig a rendszer a´tviteli f¨ uggv´enye. A t´etel bizony´ıt´asa ´erdek´eben z-transzform´aljuk a konvol´ uci´o (5.9) kifejez´es´et: ! k ∞ X X s[i]w[k − i] z −k . Y (z) = k=0

i=0

Ezen o¨sszef¨ ugg´esben a bels˝o szumma fels˝o hat´ara k, hiszen az impulzusv´alasz bel´ep˝o. Cser´elj¨ uk le ezen hat´art ∞-re u ´ gy, hogy k¨ozben a w[k − i] hely´ebe ε[k − i]w[k − i]-t ´ırunk, azaz a szumm´an bel¨ ul jel¨olj¨ uk, hogy az impulzusv´alasz bel´ep˝o. Erre az ezt k¨ovet˝o l´ep´esek miatt van sz¨ uks´eg. Teh´at: ! ∞ ∞ X X Y (z) = s[i]ε[k − i]w[k − i] z −k . k=0

i=0

Cser´elj¨ uk fel ezut´an az o¨sszegz´esek sorrendj´et: Y (z) =

∞ X i=0

s[i]

∞ X k=i

ε[k − i]w[k − i]z

−k

!

.

A bels˝o o¨sszeg als´o hat´ara i lett, hiszen a szumm´aban szerepl˝o ε[k − i]w[k − i] jel a k < i u ¨ temekben nulla ´ert´ek˝ u. A bels˝o

327

szumma pedig pontosan az eltolt jel z-transzform´altja (v.¨o. (9.1.1) o¨sszef¨ ugg´essel), azaz: Y (z) =

∞ X

s[i]W (z)z

−i

= W (z)

∞ X

s[i]z −i ,

i=0

i=0

amely o¨sszef¨ ugg´esben a gerjeszt´es z-transzform´altja ismerhet˝o fel, s ´ıgy a konvol´ uci´o z-transzform´altj´ahoz jutunk: Y (z) = W (z) S(z). Eml´ekezz¨ unk vissza, hogy a konvol´ uci´o adott impulzusv´alasz´ u rendszer v´alasz´anak meghat´aroz´as´ara alkalmas adott gerjeszt´es mellett. Ezen o¨sszef¨ ugg´es pedig a gerjeszt´es z-transzform´altj´anak ´es az a´tviteli f¨ uggv´enynek a szorzat´at tartalmazza, ami a v´alaszjel z-transzform´altj´at eredm´enyezi. A k¨ovetkez˝o szeml´eletes illusztr´aci´o kapcs´an eljutunk a ztranszform´aci´o form´alis megad´as´ahoz. Legyen egy kauz´alis rendszer nem bel´ep˝o gerjeszt´ese az s[k] = z k jel, amely gyakorlatilag megfelel egy exponenci´alisan n¨ovekv˝o amplit´ ud´oj´ u szinuszos jelnek, hiszen z k = eσk ejϑk , ahol σ > 0 ´es a m´asodik t´enyez˝o pedig az Euler-formul´anak megfelel˝oen egy szinuszos jel. Vegy¨ uk ezen jel ´es a rendszer impulzusv´alasz´anak konvol´ uci´oj´at: y[k] =

∞ X i=0

w[i]s[k − i] =

∞ X

w[i]z k−i = z k

i=0

∞ X

w[i]z −i .

i=0

Az ut´obbi o¨sszegben szerepel a w[k] impulzusv´alasz z-transzform´altja, ami pontosan a rendszer a´tviteli f¨ uggv´enye (ezt a 335. oldalon igazoljuk): W (z) =

∞ X

k=0

328

w[k]z −k .

(9.20)

´Igy a rendszer v´alasza a k¨ovetkez˝o: y[k] = W (z)z k , azaz a kimeneti jel alakja a W (z) a´tviteli f¨ uggv´enyt˝ol eltekintve olyan, mint a gerjeszt´es alakja. Az a´tviteli f¨ uggv´enyt ez´ert a rendszer saj´ at´ert´ek´e nek is szok´as nevezni, a z k gerjeszt´es pedig az un. saj´ atf¨ uggv´eny. ´Igy a konvol´ uci´o ismeret´ere t´amaszkodva jutottunk el a rendszer a´tviteli f¨ uggv´eny´enek defin´ıci´oj´ahoz, valamint a z-transzform´aci´ohoz. Az o¨sszegben szerepl˝o w[i] hely´ebe tetsz˝oleges s[k] f¨ uggv´enyt ´ırva defini´alhatjuk az s[k] jel z-transzform´altj´at is, ha ez a v´egtelen o¨sszeg l´etezik, azaz ha az s[k] jel z-transzform´alhat´o. A csillap´ıt´ asi t´ etel A csillap´ıt´ asi t´etel azt mondja ki, hogy egy bel´ep˝o ´es z-transzform´alhat´o s[k] jel ´es egy q k exponenci´alisan cs¨okken˝o jel (|q| < 1) szorzat´anak (amely csillap´ıtja az s[k] jelet) z-transzform´altja   o n z k Z s[k]q = S , q hiszen

∞ X k=0

k −k

s[k]q z

=

∞ X

k=0

(9.21)

   −k z z , =S s[k] q q

azaz az s[k] jel S(z) z-transzform´altj´aban minden z hely´ebe kell ´ırni.

329

z q -t

Kezdeti´ ert´ ek-t´ etel ´ es v´ eg´ ert´ ekt´ etel A z-transzform´aci´onak is van k´et un. v´eg´ert´ek t´etele, melyek seg´ıts´eg´evel meghat´arozhatjuk az s[k] jel kezdeti ´ert´ek´et a k = 0ban ´es v´eg´ert´ek´et k → ∞ eset´en az S(z) z-transzform´alt ismeret´eben, ha ezek a hat´ar´ert´ekek l´eteznek: s[0] = lim S(z), z→∞

s[k → ∞] = lim [(z − 1) S(z)]. z→1

(9.22)

Ezen t´eteleket akkor k´enyelmes alkalmazni, ha a jel z-transzform´altja ismert ´es az id˝of¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke a k´erd´es, pl. ha a v´alaszjel z-transzform´altj´at meghat´arozzuk. A hat´ar´ert´ekek meghat´aroz´as´ahoz teh´at nem kell meghat´arozni az id˝of¨ uggv´enyt. A kezdeti´ert´ek-t´etel a z-transzform´aci´o defin´ıci´oj´ab´ol ad´odik: S(z) =

∞ X k=0

s[k]z −k ≡ s[0] + s[1]z −1 + s[2]z −2 + . . . ,

ugyanis, ha ezen v´egtelen sorba z → ∞, akkor minden z −k → 0, minek eredm´enyek´epp csak x[0] marad. Kapcsolat a Fourier-transzform´ alttal Ha az s[k] jel bel´ep˝ o ´es abszol´ ut o ¨sszegezhet˝ o, akkor a jel S(e jϑ ) spektruma meghat´arozhat´o a z-transzform´altb´ol z = e jϑ helyettes´ıt´essel: S(ejϑ ) = S(z)|z=ejϑ . (9.23) Ez biztosan igaz, ha a jel bel´ep˝ o, korl´ atos ´es v´eges tart´ oj´ u, vagy ha a jel bel´ep˝ o, korl´ atos ´es a k → ∞ eset´en exponenci´ alisan null´ ahoz tart. Az o¨sszef¨ ugg´es nem ´erv´enyes pl. az ε[k] jelre, mert az nem abszol´ ut o¨sszegezhet˝o, ´es ez egy felt´etel. Az abszol´ ut o¨sszegezhet˝o σk jeleket ugyanis nem kell az e jellel ,,leszor´ıtani”, ´eppen ez´ert σ = 0.

330

Ha a rendszer gerjeszt´es-v´ alasz stabilis ´es kauz´ alis, akkor az a´tviteli karakterisztika el˝oa´ll´ıthat´o az a´tviteli f¨ uggv´eny ismeret´eben: W (ejϑ ) = W (z)|z=ejϑ . (9.24)

9.1.2.

Diszkr´ et idej˝ u jelek z-transzform´ altja

A k¨ovetkez˝okben n´eh´any fontos jel z-transzform´altj´at fogjuk meghat´arozni, melyekre a k´es˝obbiekben sz¨ uks´eg¨ unk lesz. 1.) Hat´arozzuk meg el˝osz¨or az ε[k] egys´egugr´ asjel (a legegyszer˝ ubb bel´ep˝ojel) z-transzform´altj´at. Induljunk ki a z-transzform´aci´o defin´ıci´oj´ab´ol ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy az ε[k] jel ´ert´eke 1ak>0u ¨ temekre: Z{ε[k]} =

∞ X

z

−k

=

∞ X

(z −1 )k .

k=0

k=0

Haszn´aljuk fel a v´egtelen m´ertani sor o¨sszegk´eplet´et: ∞ X k=0

qk =

1 , 1−q

(9.25)

ha |q| < 1, azaz ha |z −1 | < 1, ami teljes¨ ul az |e−σ | < 1 miatt (σ > 0). Eredm´eny¨ unk teh´at a k¨ovetkez˝o: Z{ε[k]} =

z 1 = . 1 − z −1 z −1

(9.26)

Jegyezz¨ uk meg, hogy ugyanez lesz pl. a k < 0 id˝opillanatokban is egys´egnyi ´ert´ek˝ u jel, vagy az el˝ojelf¨ uggv´eny z-transzform´altja is. B´armi is legyen teh´at a jel ´ert´eke a k < 0 id˝opillanatokra, azt a z-transzform´aci´o figyelmen k´ıv¨ ul hagyja.

331

2.) Hat´arozzuk meg az ε[k] jel ´es a q k (|q| < 1) jel szorzat´anak, azaz a csillap´ıtott egys´egugr´asjelnek a z-transzform´altj´at. 9 Induljunk ki el˝osz¨or a defin´ıci´ob´ol ´es alkalmazzuk a v´egtelen m´ertani sor (9.25) o¨sszegk´eplet´et: Z{ε[k]q k } =

∞ X k=0

q k z −k =

∞   X q k k=0

z

=

1 1−

q z

=

z . z−q

Haszn´alhatjuk a csillap´ıt´asi t´etelt is, ugyanis az ε[k]q k jel az ε[k] csillap´ıtottja. A csillap´ıt´asi t´etel pedig azt mondja ki, hogy az eredeti jel (jelen esetben az ε[k]) z-transzform´altj´aban (ami ekkor z ebe zq -t kell ´ırni, azaz z−1 ) minden z hely´ z Z{ε[k]q } = = z − 1 z→ z k

q

teh´at

Z{ε[k]q k } =

z q z q

−1

=

z . z−q

z , z−q (9.27)

Ha itt elv´egezz¨ uk a q = 1 helyettes´ıt´est, akkor pontosan az z transzform´altat, ami a helyes ε[k] jelet kapjuk, valamint a z−1 eredm´eny. Deriv´aljuk az ut´obbi kifejez´es mindk´et oldal´at q szerint: 10 Z{ε[k]kq k−1 } =

z . (z − q)2

(9.28)

Erre az o¨sszef¨ ugg´esre sz¨ uks´eg¨ unk lesz az inverz z-transzform´aci´o 9

Ugyanez lesz pl. a q |k| jel z-transzform´ altja is, hiszen a transzform´ aci´ o a k < 0 id˝ opillanatokat figyelmen k´ıv¨ ul hagyja. ` ´0 0 0 10 . Haszn´ aljuk fel, hogy uv = u v−uv v2

332

sor´an. Folytassuk ezt a sort: Z{ε[k]k(k − 1)q k−2 } =

2z , (z − q)3

Z{ε[k]k(k − 1)(k − 2)q k−3 } =

6z , (z − q)4

1

0.75

0.75

0.5 0.25 0 1 k

2

3

0.5 0.25

4

....

3

0 -2 -1 0

24z , (z − q)5 ε[k]k(k-1)qk-2

1 ε[k]kqk-1

ε[k]qk

Z{ε[k]k(k − 1)(k − 2)(k − 3)q k−4 } =

2 1 0

-1 0

1

2 k

3

4

5

0

1

2

3 k

4

5

6

9.1. a´bra. A levezet´esben szerepl˝ o jelek id˝ of¨ uggv´enye (q = 0, 5) Az els˝o h´arom jel id˝of¨ uggv´enye l´athat´o a 9.1. a´br´an. 11 ´ Altal´anosan a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es ´ırhat´o fel: Z{ε[k]k(k − 1)(k − 2) . . . (k − (m − 1))q k−m } =

m!z . (z − q)m+1

Az m! t´enyez˝ovel a´tosztva az alkalmaz´asok sor´an legink´abb haszn´alt alakhoz jutunk:   z k(k − 1)(k − 2) . . . (k − (m − 1)) k−m Z ε[k] = . q m! (z − q)m+1 (9.29) 3.) Ezek alapj´an a´ll´ıthatjuk el˝o pl. az ε[k]k, vagy az ε[k]k(k − 1) jelek z-transzform´altj´at, ha a q = 1 helyettes´ıt´est alkalmazzuk: Z{ε[k]k} =

z , (z − 1)2

Z{ε[k]k(k − 1)} =

11 ´

2z . (z − 1)3

Erdemes lehet v´egigk¨ ovetni, hogy kell a jeleket felv´ azolni.

333

Ha a k´et jelet o¨sszeadjuk, akkor a linearit´as miatt a transzform´altakat is o¨sszeadhatjuk. ´Igy kapjuk meg pl. az ε[k]k 2 = ε[k][k + k(k − 1)] jel z-transzform´altj´at: Z{ε[k]k 2 } =

2z z2 + z z + = . (z − 1)2 (z − 1)3 (z − 1)3

´ Altal´ anos formula az ε[k]k m (m ∈ N) alak´ u jel z-transzform´altj´anak meghat´aroz´as´ara nem ismert. 4.) Sz¨ uks´eg¨ unk lesz az ε[k]ejϑk ´es az ε[k]e−jϑk jelek z-transzform´altj´ara. Ut´obbi eredm´enyek alapj´an, q = e jϑ helyettes´ıt´essel ezek a k¨ovetkez˝ok´epp n´eznek ki: Z{ε[k]ejϑk } =

z , z − ejϑ

Z{ε[k]e−jϑk } =

z . z − e−jϑ

(9.30)

Ezen eredm´enyek seg´ıts´eg´evel pedig az ε[k] cos ϑk ´es az ε[k] sin ϑk jelek z-transzform´altja fel´ırhat´o:   ejϑk + e−jϑk z 1 1 z Z{ε[k] cos ϑk} = Z ε[k] + . = jϑ 2 2z−e 2 z − e−jϑ Hozzuk k¨oz¨os nevez˝ore az eredm´enyt:

z 1 1 z(z − e−jϑ ) + z(z − ejϑ ) 1 z + = = jϑ −jϑ 2z−e 2z−e 2 (z − ejϑ )(z − e−jϑ ) 1 2z 2 − z(ejϑ + e−jϑ ) z 2 − z cos ϑ = 2 = 2 . jϑ −jϑ 2 z − z(e + e ) + 1 z − 2z cos ϑ + 1

Z{ε[k] cos ϑk} =

Az ε[k] sin ϑk jel z-transzform´altja pedig a k¨ovetkez˝o: Z{ε[k] sin ϑk} = Z



ε[k]

ejϑk − e−jϑk 2j



=

1 z z 1 − . jϑ 2j z − e 2j z − e−jϑ

Hozzuk k¨oz¨os nevez˝ore ism´et az eredm´enyt: Z{ε[k] sin ϑk}= =

1 1 z(z − e−jϑ ) − z(z − ejϑ ) z z 1 − = = jϑ −jϑ 2j z − e 2j z − e 2j (z − ejϑ )(z − e−jϑ ) 1 z(ejϑ − e−jϑ ) z sin ϑ = . 2j z 2 − z(ejϑ + e−jϑ ) + 1 z 2 − 2z cos ϑ + 1

334

¨ Osszefoglalva teh´at: Z{ε[k] cos ϑk} =

z 2 − z cos ϑ z sin ϑ , Z{ε[k] sin ϑk} = 2 . z 2 − 2z cos ϑ + 1 z − 2z cos ϑ + 1 (9.31)

5.) A Dirac-impulzus z-transzform´altj´at k´etf´elek´epp kaphatjuk meg. A (9.2) defin´ıci´o ´es a Dirac-impulzus defin´ıci´oja alapj´an ´ırhatjuk, hogy Z{δ[k]} =

∞ X

δ[k]z −k = δ[0]z 0 + δ[1]z −1 + . . . = 1,

k=0

hiszen a Dirac-impulzus a k = 0 hely kiv´etel´evel mindenhol nulla ´ert´ek˝ u. Ha figyelembe vessz¨ uk, hogy a Dirac-impulzus az egys´egugr´asjelb˝ol el˝oa´ll´ıthat´o a δ[k] = ε[k] − ε[k − 1] alakban, akkor a Dirac-impulzus z-transzform´altja az egys´egugr´asjel z-transzform´altj´anak ´es az eltol´asi t´etel ismeret´eben el˝oa´ll´ıthat´o: Z{δ[k]} = azaz

z z z 1 z−1 − z −1 = − = = 1, z −1 z −1 z−1 z−1 z−1 Z{δ[k]} = 1.

(9.32)

Az eltolt Dirac-impulzus z-transzform´altja az eltol´asi t´etelb˝ol ad´odik: Z{δ[k − K]} = z −K . (9.33) Helyettes´ıts¨ uk be most a Dirac-impulzus z-transzform´altj´at a (9.19) o¨sszef¨ ugg´esbe: Y (z) = W (z) 1, 335

azaz a Dirac-impulzusra adott v´ alasz (ami az impulzusv´ alasz) ztranszform´ altja pontosan az a ´tviteli f¨ uggv´eny, ´es megford´ıtva az a ´tviteli f¨ uggv´eny inverz z-transzform´ altja az impulzusv´ alasz : W (z) = Z {w[k]} ,

w[k] = Z −1 {W (z)} ,

(9.34)

ahogy azt a (9.20) szumm´aval megadtuk. 6.) Hat´arozzuk meg a bel´ep˝ o, a ´ltal´ anos periodikus jel z-transzform´altj´at. Az f [k] f¨ uggv´eny szerint v´altoz´o periodikus jel els˝o, K u ¨ temb˝ol a´ll´o peri´odusa a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´ennyel a´ll´ıthat´o el˝o: sK [k] = {ε[k] − ε[k − K]} f [k],

(9.35)

melynek SK (z) = Z{sK [k]} z-transzform´altj´at meghat´arozhatjuk. Ha ezt a jelet eltoljuk iK helyekre (i = 0, 1, . . . , ∞), akkor megkapjuk az s[k] periodikus jel id˝of¨ uggv´eny´et: s[k] =

∞ X i=0

sK [k − iK].

(9.36)

Haszn´aljuk ki a z-transzform´aci´o linearit´as´at, azaz transzform´aljuk ezt a kifejez´est tagonk´ent, majd haszn´aljuk fel a v´egtelen m´ertani sor o¨sszegk´eplet´et: S(z) = Z{s[k]} =

∞ X i=0

Z{sK [k]}z −iK =

1 SK (z). (9.37) 1 − z −K

Ezen eredm´eny hasznos lehet a Fourier-sor egy¨ utthat´oinak meghat´aroz´as´ara a (7.33) o¨sszegz´es ki´ert´ekel´ese n´elk¨ ul. Ha ugyanis el˝oa´ll´ıtjuk a periodikus jel els˝o peri´odus´anak ztranszform´altj´at, akkor z = ejpϑ helyettes´ıt´essel ´es K-val t¨ort´en˝o oszt´assal megkapjuk a Fourier-egy¨ utthat´okat: C

Sp =

1 SK (z)|z=ejpϑ . K 336

(9.38)

Ez a komplex Fourier-sor egy¨ utthat´oinak sz´am´ıt´as´ara haszn´alt szumma ´es a z-transzform´aci´o defin´ıci´oj´anak o¨sszehasonl´ıt´as´ab´ol l´athat´o: C Sp

K 1 X = sK [k]e−jpkϑ , K

SK (z) =

k=0

K X

sK [k]z −k .

k=0

A k¨ovetkez˝okben tov´abbi, a´ltal´anosabb p´eld´akat oldunk meg, melyekben felhaszn´aljuk a fenti eredm´enyeket. 1. P´ elda. Hat´arozzuk meg az s[k] = ε[k] 2 · 0, 9k − 0, 8k z-transzform´altj´at.




jel

Megold´ as. Az ε[k]q k jel z-transzform´altj´at ismerj¨ uk. Ezt kell k´etszer alkalmaznunk, majd az egyes eredm´enyeket ki kell vonnunk egym´asb´ol, hiszen a transzform´aci´o line´aris: Z {s[k]} = 2

z z − . z − 0, 9 z − 0, 8

L´athat´o, hogy a 2-es szorz´o a transzform´altban is megjelenik, hiszen a konstans a defin´ıci´oban szerepl˝o szumma el´e kiemelhet˝o. 2. P´ elda. Hat´arozzuk meg az s[k] = ε[k]0, 7 k cos 5k ´es az s[k] = ε[k]0, 7k sin 5k jelek z-transzform´altj´at. Megold´ as. Alkalmazzuk a csillap´ıt´asi t´etelt az ε[k] cos ϑk ´es az ε[k] sin ϑk jelek z-transzform´altj´anak felhaszn´al´as´aval: 

k



Z ε[k]0, 7 cos 5k =   Z ε[k]0, 7k sin 5k = 



2

z 0,7 2

z 0,7

z 0,7

2

−

−

z 0,7

2z 0,7

=

z 2 − 0, 19z , z 2 − 0, 39z + 0, 49

=

−0, 67z , z 2 − 0, 39z + 0, 49

cos 5 + 1

z 0,7

sin 5

−

2z 0,7

337

cos 5

cos 5 + 1

azaz a szinuszos ´es koszinuszos jelek z-transzform´altj´aban minden z -et ´ırtunk a csillap´ıt´asi t´etelnek megfelel˝oen. Ha a z hely´ebe 0,7 cos 5 ´es a sin 5 ´ert´ekeket numerikusan is meg akarjuk hat´arozni, akkor figyelembe kell venni, hogy ϑ = 5 radi´an egys´egben adott. 3. P´ elda. m´altj´at.

Hat´arozzuk meg az s[k] = ε[k]k 0, 6 k jel z-transzfor-

Megold´ as. Az ε[k]kq k−1 jel z-transzform´altj´at m´ar meghat´aroztuk. Ezen jel pedig ehhez hasonl´o. Alak´ıtsuk h´at a´t a k´erd´eses jelet a k´ıv´ant alakra: s[k] = ε[k]k 0, 6k−1+1 = ε[k]k 0, 6k−1 0, 6, azaz ,,becsemp´eszt¨ uk” a k − 1 tagot az´altal, hogy a kitev˝oh¨oz hozz´aadtunk ´es levontunk 1-et. Ennek a jelnek a z-transzform´altja azonban m´ar meghat´arozhat´o: Z{s[k]} = 0, 6

z . (z − 0, 6)2

4. P´ elda. Hat´arozzuk meg az s[k] = ε[k − 4]k 0, 5 k z-transzform´altj´at (l. 9.2. a´bra). Megold´ as. A jel az el˝oz˝o feladatban adott jelhez hasonl´o, csak ´epp a k = 4 u ¨ temben l´ep be. Az eltol´asi t´etel akkor alkalmazhat´o, ha a jelben szerepl˝o o¨sszes k ugyanannyi u ¨ temmel van eltolva. Alak´ıtsuk a´t ennek megfelel˝oen a megadott jel id˝of¨ uggv´eny´et: s[k] = ε[k − 4](k − 4 + 4) 0, 5k−4+4 . Ez´altal nem m´odos´ıtottunk a jelen, de a sz¨ uks´eges eltol´asokat minden helyre bevitt¨ uk. Bontsuk fel ezut´an a z´ar´ojelet ´es a kitev˝ot: s[k] = ε[k − 4](k − 4) 0, 5k−4 0, 54 + ε[k − 4]4 · 0, 5k−4 0, 54 . 338

Az els˝o tag k¨ ul¨on figyelmet ´erdemel. Ismerj¨ uk ugyanis az ε[k]kq k−1 jel z-transzform´altj´at. Ha ezen jelet K-val eltoljuk, akkor az ε[k − K](k − K)q k−K−1 jelhez jutunk. Itt figyelni kell a kitev˝oben szerepl˝o (k − K − 1)-re, eset¨ unkben teh´at m´eg egy −1et be kell vinni az els˝o tag kitev˝oj´ebe: s[k] = ε[k − 4](k − 4) 0, 5k−4−1+1 0, 54 + ε[k − 4]4 · 0, 5k−4 0, 54 = = ε[k − 4](k − 4) 0, 5k−5 0, 55 + ε[k − 4]4 · 0, 5k−4 0, 54 .

A m´asodik tag az ε[k]q k jel eltoltja 4 u ¨ temmel, aminek a transzform´altj´at ismerj¨ uk. Ezt a jelet m´ar z-transzform´alhatjuk az el˝oz˝o feladatban is szerepl˝o o¨sszef¨ ugg´es ´es az eltol´asi t´etel szerint: Z{s[k]} = 0, 03125

z z z −4 + 0, 25 z −4 . 2 (z − 0, 5) z − 0, 5

Az eltol´asi t´etel ´ertelm´eben a jel z-transzform´altj´at teh´at m´eg z −4 -gyel be kell szorozni. 5. P´ elda. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o jel z-transzform´altj´at (l. 9.2. a´bra). s[k] = (ε[k] − ε[k − 5]) 0, 2k . Megold´ as. Els˝o l´ep´esben bontsuk fel a z´ar´ojelet ´es alak´ıtsuk a´t a jel m´asodik tagj´at, hogy az eltol´asi t´etelt alkalmazni tudjuk: s[k] = ε[k]0, 2k − ε[k − 5]0, 2k−5+5 = ε[k]0, 2k − ε[k − 5]0, 2k−5 0, 25 . A jel z-transzform´altja ebb˝ol m´ar fel´ırhat´o: Z{s[k]} =

z z − 0, 25 z −5 . z − 0, 2 z − 0, 2

339

1

[ε[k]-ε[k-5]]0,2k

1

ε[k-4]k0,5k

0.75

0.5

0.25

0

0.75

0.5

0.25

0 3

4

5

6 k

7

8

9

0

1

2

3 k

4

5

6

9.2. a´bra. A 4. ´es az 5. p´eld´ aban szerepl˝ o jelek id˝ of¨ uggv´enye

9.2. 9.2.1.

A z-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa A v´ alaszjel z-transzform´ altj´ anak meghat´ aroz´ asa

Els˝o l´ep´esben teh´at meg kell hat´arozni az s[k] gerjeszt´es S(z) z-transzform´altj´at, valamint a rendszert jellemz˝o W (z) a´tviteli f¨ uggv´enyt. Ut´obbi vagy adott, vagy az impulzusv´alaszb´ol, vagy a rendszeregyenletb˝ol, vagy az a´llapotv´altoz´os le´ır´asb´ol meghat´arozhat´o. Ezut´an a kett˝ot o¨ssze kell szororzni a (9.19) o¨sszef¨ ugg´es ´ertelm´eben, ami a v´alaszjel Y (z) z-transzform´altj´at adja, s ezen transzform´altat inverz z-transzform´alni kell, melynek eredm´enyek´epp kapjuk a v´alaszjel y[k] id˝of¨ uggv´eny´et. A k¨ovetkez˝okben ezen l´ep´eseket t´argyaljuk. A p´eld´ak kapcs´an megfigyelhett¨ uk, hogy elemi f¨ uggv´enyek a´ltal le´ırt jelek z-transzform´altja a´ltal´aban egy t¨ort, melynek sz´aml´al´oja is ´es nevez˝oje is egy-egy polinom z-ben, vagy z −1 -ben. Eltolt f¨ uggv´enyek eset´eben megjelenik m´eg egy z −K szorz´ot´enyez˝o is. Enn´el bonyolultabb transzform´altakkal nem foglalkozunk. Az a´tviteli f¨ uggv´eny pedig mindig egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es. A v´alaszjel z-transzform´altja teh´at k´et t¨ort szorzata, mely 340

szorzat mindig polinom per polinom alak´ u kifejez´esre vezet (az esetleges z −K szorz´ot´enyez˝ovel). V´egeredm´enyben teh´at egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es inverz z-transzform´altj´at kell meghat´arozni, amely ezen esetekben nagyon egyszer˝ u szab´alyok seg´ıts´eg´evel elv´egezhet˝o. A v´alaszjel z-transzform´altja ebben az esetben a z, vagy a z −1 v´altoz´o un. racion´ alis f¨ uggv´enye. Pontosan ezen okn´al fogva nem is bonyol´ıtjuk feleslegesen az inverzi´ot, hanem tipikus p´eld´ak kapcs´an mutatjuk be azt. A z-transzform´altak eset´eben hasonl´o jelleg˝ u t¨ortf¨ uggv´enyeket kapunk, mint a Laplacetranszform´aci´o eset´en (l. 308. oldal), ez´ert a csoportos´ıt´ast nem ism´etelj¨ uk meg. Ennek azonban fontos k¨ovetkezm´enye, hogy csak azon z-transzform´altakhoz tartozhat id˝of¨ uggv´eny, amelyekre igaz, hogy lim X(z) < ∞. (9.39) z→∞

Ez akkor lehets´eges, ha a nevez˝o foksz´ama nagyobb a sz´aml´al´o foksz´am´an´al.

9.2.2.

Az inverz z-transzform´ aci´ o´ es a kifejt´ esi t´ etel

A jel z-transzform´altj´anak ismeret´eben a jel id˝of¨ uggv´eny´et a´ltal´anosan az un. inverzi´ os integr´ al seg´ıts´eg´evel sz´am´ıthatjuk, amihez a k¨ovetkez˝ok´epp jutunk. Id´ezz¨ uk fel el˝obb az inverz Fouriertranszform´aci´o o¨sszef¨ ugg´es´et: Z π 1 S(ejϑ )ejϑk dϑ. s[k] = 2π −π A z-transzform´aci´ohoz a bel´ep˝o ´es e −σk -val szorzott jel Fouriertranszform´aci´oj´aval jutottunk el. Ford´ıtsuk meg most ezt a m˝ uveletet, azaz keress¨ uk az S(eσ+jϑ )-hoz tartoz´o bel´ep˝o id˝of¨ uggv´enyt: Z π 1 ε[k]s[k]e−σk = S(eσ+jϑ )ejϑk dϑ. 2π −π 341

Szorozzuk be mindk´et oldalt eσk -val: Z π 1 ε[k]s[k] = S(eσ+jϑ )e(σ+jϑ)k dϑ. 2π −π Mivel z = eσ+jϑ = eσ ejϑ , ez´ert dz = eσ dejϑ = eσ ejϑ jdϑ = eσ+jϑ jdϑ = zjdϑ, odik. Helyettes´ıts¨ uk ezt az hiszen σ konstans. Innen dϑ = dz jz ad´ el˝obbi integr´alba: I 1 ε[k]s[k] = (9.40) S(z)z k−1 dz. 2πj |z|=σ Ez az un. inverzi´ os integr´ al, ami defini´alja az inverz z-transzform´aci´ot. Ez az integr´al k < 0 eset´en nulla ´ert´eket ad. A k¨orintegr´al abb´ol ad´odik, hogy m´ıg az inverz Fourier-transzform´aci´o integr´alja −π-t˝ol, π-ig fut a ϑ v´altoz´o szerint, addig mindez az ejϑ komplex v´altoz´oban pontosan egy k¨ort jelent, melynek sugara pontosan eσ , hiszen z = eσ ejϑ . Az inverz z-transzform´aci´ot a k¨ovetkez˝o oper´ator jel¨oli: s[k] = Z −1 {S(z)} .

(9.41)

Az alkalmaz´asok szempontj´ab´ol ezen integr´al ki´ert´ekel´es´ere azonban nincs sz¨ uks´eg¨ unk. A v´alaszjel z-transzform´altja teh´at a (9.19) alapj´an hat´arozhat´o meg. Ennek inverze, azaz a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye eset¨ unkben az inverz Laplace-transzform´aci´ohoz hasonl´oan az un. kifejt´esi t´etel seg´ıts´eg´evel hat´arozhat´o meg. Vizsg´aljuk meg ezen lehet˝os´egeket p´eld´akkal illusztr´alva. uggv´enye ´es gerjeszt´es´enek id˝o1. P´ elda. Egy rendszer a´tviteli f¨ f¨ uggv´enye a k¨ovetkez˝o. Hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at. z , s[k] = 2ε[k] 0, 3k . W (z) = 2 z + 0, 4z − 0, 05 342

Megold´ as. Els˝o l´ep´esben hozzuk az a´tviteli f¨ uggv´eny nevez˝oj´et szorzat alakra. A nevez˝o polinomj´anak k´et egy¨ utthat´oja p 1 = 0, 1 ´es p2 = −0, 5, azaz W (z) =

z . (z − 0, 1)(z + 0, 5)

A gerjeszt´es id˝of¨ uggv´eny´enek z-transzform´altja pedig a k¨ovetkez˝o: S(z) =

2z . z − 0, 3

A v´alaszjel z-transzform´altja a konvol´ uci´o z-transzform´altj´anak megfelel˝oen ezen k´et z-transzform´alt szorzata. Ezut´an a sz´aml´al´ob´ol a z els˝ofok´ u tagj´at emelj¨ uk ki a t¨ortf¨ uggv´eny el´e (ennek ok´ara a feladat v´eg´en visszat´er¨ unk), azaz Y (z) = W (z)S(z) = z

2z . (z − 0, 1)(z + 0, 5)(z − 0, 3)

A t¨ortf¨ uggv´enyt a Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa sor´an ismertetett m´odon bontsuk fel parci´alis t¨ortek szorzat´ara. Ezt megtehetj¨ uk, hiszen a t¨ortf¨ uggv´eny val´odi, mivel a sz´aml´al´o foksz´ama (ami 1) kisebb a nevez˝o foksz´am´an´al (ami pedig 3). K¨ozben azonban ne feledkezz¨ unk el a kiemelt z t´enyez˝or˝ol:   B C A . + + Y (z) = z z − 0, 1 z + 0, 5 z − 0, 3 Az A, B ´es C egy¨ utthat´okat ezut´an letakar´assal hat´arozhatjuk 12 meg. Szorozzunk vissza ezut´an a kiemelt z t´enyez˝ovel, s a v´alaszjel z-transzform´altja a k¨ovetkez˝o lesz: Y (z) =

−1, 67z −2, 08z 3, 75z + + . z − 0, 1 z + 0, 5 z − 0, 3

2(−0,5) 2·0,1 = −1, 67, B = (−0,5−0,1)(−0,5−0,3) = −2, 08, A = (0,1+0,5)(0,1−0,3) 2·0,3 C = (0,3−0,1)(0,3+0,5) = 3, 75. Term´eszetesen alkalmazhatjuk az egyenl˝ o egy¨ utthat´ ok m´ odszer´et is. 12

343

z Ezen tagokban m´ar felismerhetj¨ uk a z−q alak´ u t¨ortf¨ uggv´enyt, k ami pontosan az ε[k]q f¨ uggv´eny z-transzform´altja. L´athat´o, hogy a z t´enyez˝o kiemel´es´ere mindig sz¨ uks´eg van, pont az´ert, hogy a parci´alis t¨ortekre bont´as ut´an vele visszaszorozva megkapjuk a sz¨ uks´eges z-transzform´altakat. ´Igy a v´alaszjel id˝of¨ uggv´enye a k¨ovetkez˝o:   y[k] = ε[k] −1, 67 · 0, 1k − 2, 08(−0, 5)k + 3, 75 · 0, 3k .

Fontos itt is megjegyezni, hogy a z-transzform´aci´oval sz´am´ıtott v´alaszjel bel´ep˝o f¨ uggv´eny, hiszen a gerjeszt´es bel´ep˝o f¨ uggv´eny ´es a rendszer kauz´alis (impulzusv´alasza is bel´ep˝o f¨ uggv´eny).

2. P´ elda. Egy rendszer impulzusv´alasza ´es gerjeszt´ese a k¨ovetkez˝o. Hat´arozzuk meg a rendszer v´alaszjel´enek id˝of¨ uggv´eny´et.   w[k] = ε[k] 0, 2k + 2 · 0, 5k , s[k] = ε[k] 0, 5k . Megold´ as. Els˝o l´ep´esben hat´arozzuk meg az impulzusv´alasz ´es a gerjeszt´es z-transzform´altj´at az ismert o¨sszeg¨ ugg´esek alapj´an: W (z) =

z 2z 3z 2 − 0, 9z + = , z − 0, 2 z − 0, 5 (z − 0, 2)(z − 0, 5)

S(z) =

2z . z − 0, 5

Ne felejts¨ uk el, hogy az impulzusv´alasz z-transzform´altja pontosan az a´tviteli f¨ uggv´eny. A v´alaszjel z-transzform´altj´at ezen k´et transzform´alt szorzata adja, de k¨ozben emelj¨ uk ki az el˝oz˝o feladatban m´ar eml´ıtett z szorz´ot´enyez˝ot: Y (z) = W (z)S(z) = z

6z 2 − 1, 8z . (z − 0, 2)(z − 0, 5)2

A t¨ortf¨ uggv´eny val´odi, mivel a sz´aml´al´o foksz´ama 2, a nevez˝o foksz´ama pedig 3, de a nevez˝oben k´etszeres gy¨ok is szerepel. A t¨ortf¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝ok´epp lehet parci´alis t¨ortekre bontani:   B C A + + . Y (z) = z z − 0, 2 z − 0, 5 (z − 0, 5)2 344

A Laplace-transzform´aci´on´al t´argyaltakhoz hasonl´oan, ebben az esetben is csak az A ´es a C egy¨ utthat´o sz´am´ıthat´o k¨ozvetlen¨ ul letakar´assal, hiszen ha csak a z −0, 5 polinomot (´es nem a (z −0, 5) 2 polinomot) takarjuk le, akkor null´aval osztan´ank. 13 A B egy¨ utthat´ot teh´at mindenk´epp az egyenl˝o egy¨ utthat´ok m´odszer´evel kell meghat´arozni. Hozzuk h´at k¨oz¨os nevez˝ore a h´arom parci´alis t¨ort o¨sszeg´et: A(z − 0, 5)2 + B(z − 0, 2)(z − 0, 5) + C(z − 0, 2) . (z − 0, 2)(z − 0, 5)2 Ennek sz´aml´al´oja egyenl˝o kell legyen az eredeti z-transzform´alt sz´aml´al´oj´aval: A(z 2 − z + 0, 25) + B(z 2 − 0, 7z + 0, 1) + C(z − 0, 2) = 6z 2 − 1, 8z, ahonnan az egy¨ utthat´ok egyenl˝os´eg´eb˝ol a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert kapjuk:  A+B =6  −A − 0, 7B + C = −1, 8  0, 25A + 0, 1B − 0, 2C = 0

´es pl. az els˝o egyenletb˝ol a hi´anyz´o B egy¨ utthat´o sz´amolhat´o: B = 6 − A = 7, 33. Term´eszetesen az egyenletrendszer megold´as´ab´ol is megkaphatjuk a h´arom egy¨ utthat´ot, de akkor azt meg kell oldanunk. A letakar´as kiss´e egyszer˝ us´ıti a megold´as menet´et. Visszaszorozva a kiemelt z t´enyez˝ovel a z-transzform´alt alakja teh´at a k¨ovetkez˝o: 7, 33z 2z −1, 33z , + + Y (z) = z − 0, 2 z − 0, 5 (z − 0, 5)2 amelyb˝ol az id˝of¨ uggv´eny fel´ırhat´o:   y[k] = ε[k] −1, 33 · 0, 2k + 7, 33 · 0, 5k + 2k 0, 5k−1 . 13

A=

6·0,22 −1,8·0,2 (0,2−0,5)2

= −1, 33, C =

6·0,52 −1,8·0,5 0,5−0,2

345

= 2.

Az utols´o tag ugyanis pontosan az ε[k]k q k−1 f¨ uggv´eny z-transzform´altja. 3. P´ elda. Egy rendszer rendszeregyenlete ´es gerjeszt´ese a k¨ovetkez˝o. Hat´arozzuk meg a rendszer v´alaszjel´et ´es hat´arozzuk meg a rendszer impulzusv´alasz´at is. y[k] − 0, 7y[k − 1] + 0, 1y[k − 2] = 3s[k] − 0, 9s[k − 1], s[k] = {1 − ε[k]} 2 + {ε[k] − ε[k − 4]} 0, 4 k .

Megold´ as. A rendszer gerjeszt´ese nem bel´ep˝o. 14 Ezen okn´al fogva a nem bel´ep˝o jelre vonatkoz´o eltol´asi t´etelt kell alkalmaznunk a rendszeregyenletre S = S(z) ´es Y = Y (z) jel¨ol´esekkel:   Y − 0, 7 y[−1] + Y z −1 + 0, 1 y[−2] + y[−1]z −1 + Y z −2 =  = 3S − 0, 9 s[−1] + Sz −1 . A z-transzform´aci´o ´ertelm´eben ez az egyenlet a k ≥ 0 u ¨ temekre adja meg a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et, ugyanakkor sz¨ uks´eg¨ unk van az s[−1], az y[−1] ´es az y[−2] ´ert´ekekre is. Ezeket a k < 0 u ¨ temekre fel´ırt rendszeregyenletb˝ol hat´arozhatjuk meg, ahol a gerjeszt´es ´ert´eke 2. Feltehetj¨ uk, hogy elegend˝o id˝o eltelt m´ar ahhoz, hogy a tranziens o¨sszetev˝o lecsengjen, felt´eve, hogy a rendszeregyenlet saj´at´ert´ekei egys´egsugar´ u k¨or¨on bel¨ ul helyezkednek el. Ellen˝orizz¨ uk h´at a rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilis´at: ϕ(λ) = λ2 − 0, 7λ + 0, 1 = 0

⇒

λ1 = 0, 5, λ2 = 0, 2.

Ez teh´at teljes¨ ul. Ebben az esetben a rendszer stacion´arius a´llapot´ara igaz, hogy y = y[k] = y[k − 1] = y[k − 2] ´es s = s[k] = s[k − 1], hiszen konstans gerjeszt´eshez konstans v´alasz tartozik, azaz 14

Gyakorl´ ask´epp ´erdemes megoldani a p´eld´ at u ´gy is, ha s[k] {ε[k] − ε[k − 4]} 0, 4k , azaz ha a gerjeszt´es bel´ep˝ o.

346

=

tetsz˝oleges k u ¨ temre mind a gerjeszt´es, mind a v´alasz konstans ´ert´ek˝ u: y − 0, 7y + 0, 1y = 3s − 0, 9s = 3 · 2 − 0, 9 · 2 = 4, 2

⇒

y = 10, 5,

ami a rendszer gerjesztett v´alasza. ´Igy teh´at y[−1] = y[−2] = 10, 5 ´es s[−1] = 2. Ezeket felhaszn´alva ´ırhatjuk, hogy   Y − 0, 7 10, 5 + Y z −1 + 0, 1 10, 5 + 10, 5z −1 + Y z −2 =  = 3S − 0, 9 2 + Sz −1 .

Bontsuk fel a z´ar´ojelet, szorozzunk be z 2 -tel ´es rendezz¨ uk a kapott egyenletet: Y (z 2 − 0, 7z + 0, 1) = S(3z 2 − 0, 9z) + 4, 5z 2 − 1, 05z. Ezen egyenletbe m´ar csak be kell ´ırnunk a gerjeszt´es z-transzform´altj´at, mi´altal megkapjuk a v´alaszjel z-transzform´altj´at. A gerjeszt´es z-transzform´altja pedig a k¨ovetkez˝o: S=

z z − 0, 44 z −4 . z − 0, 4 z − 0, 4

Miel˝ott ezt be´ırn´ank a rendszeregyenlet z-transzform´altj´aba, gondolkodjunk: a z-transzform´alt m´asodik tagja majdnem ugyanaz, mint az els˝o, csak ´epp szerepel benne egy konstans szorz´ot´enyez˝o ´es egy id˝obeli eltol´as. Ha teh´at meghat´arozzuk a v´alaszjelet csak az els˝o tagra vonatkoztatva, majd abb´ol levonjuk ennek 0, 4 4 szeres´et ´es 4 u ¨ temmel eltoltj´at, akkor megkapjuk a teljes v´alaszjelet. Ezt a rendszer linearit´asa ´es kauzalit´asa miatt tehetj¨ uk meg. 4 Azaz y[k] = y1 [k] − 0, 2 y1 [k − 4], ahol y1 [k] csak az els˝o tagnak megfelel˝o v´alaszjel, amelyre kapjuk, hogy Y1 (z 2 − 0, 7z + 0, 1) =

z (3z 2 − 0, 9z) + 4, 5z 2 − 1, 05z. z − 0, 4 347

Hozzuk el˝osz¨or k¨oz¨os nevez˝ore a jobb oldalt, majd osszunk a´t a bal oldalon l´ev˝o polinommal. Ennek eredm´enyek´epp kapjuk az y1 [k] z-transzform´altj´at: Y1 = z

7, 5z 2 − 3, 75z + 0, 42 7, 5z 2 − 3, 75z + 0, 42 = z . (z 2 − 0, 7z + 0, 1)(z − 0, 4) (z − 0, 5)(z − 0, 2)(z − 0, 4)

Ennek inverz z-transzform´altja lesz a keresett y 1 [k] id˝of¨ uggv´enye a k ≥ 0 id˝opillanatokban. A racion´alis t¨ortf¨ uggv´eny val´odi, teh´at a szok´asos m´odon parci´alis t¨ortekre bonthatjuk ´es alkalmazhatjuk a ,,letakar´asos m´odszert”:15 Y1 =

−0, 5z −6z 14z + + , z − 0, 5 z − 0, 2 z − 0, 4

amelynek a k¨ovetkez˝o id˝of¨ uggv´eny felel meg: o n y1 [k] = ε[k] 14 · 0, 5k − 0, 5 · 0, 2k − 6 · 0, 4k .

A v´alaszjel teh´at a k¨ovetkez˝o:16   y[k] = ε[k] 14 · 0, 5k − 0, 5 · 0, 2k − 6 · 0, 4k −   − 0, 24 ε[k − 4] 14 · 0, 5k−4 − 0, 5 · 0, 2k−4 − 6 · 0, 4k−4 .

Ez az id˝of¨ uggv´eny megadja a helyes 10, 5 ´ert´eket a k = 0 ´es k = −1 u ¨ temekre a k ≥ m − n = 1 − 2 = −1 o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen, de a k < −1-re term´eszetesen nem ad helyes ´ert´eket. Az o¨sszef¨ ugg´es alapvet˝oen a k ≥ 0 u ¨ temekre ad helyes eredm´enyt. Az impulzusv´alasz meghat´aroz´as´ahoz ´ırjuk fel a rendszeregyenlet z-transzform´altj´at bel´ep˝o gerjeszt´es eset´en: Y − 0, 7Y z −1 + 0, 1Y z −2 = 3S − 0, 9Sz −1 , 7,5·0,52 −3,75·0,5+0,42 (0,5−0,2)(0,5−0,4) 7,5·0,42 −3,75·0,4+0,42 = −6. (0,4−0,5)(0,4−0,2) 16 15

A =

= 14, B =

7,5·0,22 −3,75·0,2+0,42 (0,2−0,5)(0,2−0,4)

= −0, 5, C =

A feladatot c´elszer˝ u o ¨sszetev˝ okre bont´ assal is megoldani ´es a kapott eredm´enyeket o ¨sszevetni.

348

majd szorozzunk be z 2 -tel ´es emelj¨ unki ki Y -t ´es S-et:

Y z 2 − 0, 7z + 0, 1 = S 3z 2 − 0, 9z , ahonnan a rendszer a´tviteli f¨ uggv´enye: W (z) =

3z 2 − 0, 9z 3z − 0, 9 Y (z) = 2 =z . S(z) z − 0, 7z + 0, 1 (z − 0, 5)(z − 0, 2)

Tudjuk, hogy az impulzusv´alasz az a´tviteli f¨ uggv´eny inverz ztranszform´altja. Bontsuk fel a fenti val´odi t¨ortet parci´alis t¨ortek o¨sszeg´ere:17 2z z W (z) = + , z − 0, 5 z − 0, 2 azaz az impulzusv´alasz a k¨ovetkez˝o:   w[k] = ε[k] 2 · 0, 5k + 0, 2k . 4. P´ elda. Hat´arozzuk meg az x[k] jel ´ert´ek´et a k = 0, 1, 2, 3, 4 u ¨ temekre, ha a jel z-transzform´altja adott. 2z 3 − 1, 2z 2 + 1, 1z − 1, 1 . z 4 − 0, 6z 3 + 0, 05z 2

X(z) =

Megold´ as. Abban az esetben, ha nincs sz¨ uks´eg¨ unk az id˝of¨ uggv´enyre, csak a jel ´ert´ek´ere az els˝o n´eh´any u ¨ temben, akkor c´elszer˝ u polinomoszt´ast v´egezni. Ezt z pozit´ıv hatv´anyival lehet k´enyelmesen elv´egezni: (1)

(4)

(2z 3 − 1, 2z 2 + 1, 1z − 1, 1) : (z 4 − 0, 6z 3 + 0, 05z 2) = 2z −1 + 1z −3 (7)

(2) (2z 3 − 1, 2z 2 + 0, 1z)

(3)

z − 1, 1

(z − 0, 6 + 0, 05z −1)

(5)

− 0, 5 − 0, 05z −1

(6) 17

− 0, 5z −4

A=

3·0,5−0,9 0,5−0,2

= 2, B =

3·0,2−0,9 0,2−0,5

= 1.

349

Az (1) l´ep´esben osszuk el a sz´aml´al´o legmagasabb fok´ u tagj´at a 2z 3 −1 nevez˝o legmagasabb fok´ u tagj´aval: z 4 = 2z , ´es az eredm´enyt ´ırjuk le az egyenl˝os´egjel ut´an. A (2) l´ep´esben szorozzuk be ezen ´ert´ekkel a nevez˝o minden tagj´at, ´es a szorzatot ´ırjuk le a sz´aml´al´o al´a, majd a (3) l´ep´esben vonjuk ki a sz´aml´al´ob´ol a kapott szorzatot. Ez lesz a z − 1, 1 polinom. Ism´etelj¨ uk meg a m˝ uveletet, azaz a (4) l´ep´esben a z − 1, 1 polinom legmagasabb fok´ u tagj´at osszuk el a nevez˝o legmagasabb fok´ u tagj´aval: zz4 = z −3 ´es a kapott eredm´enyt (el˝ojelhelyesen) adjuk hozz´a az egyenl˝os´egjel m¨og¨ott a´ll´o polinomhoz. Az (5) l´ep´esben ism´et szorozzuk be a nevez˝ot a z −3 taggal (z −0, 6+0, 05z −1 ) ´es ´ırjuk le ezt a polinomot a z −1, 1 polinom al´a, majd a (6) l´ep´esben vonjuk ki a kapott polinomot a felette l´ev˝ob˝ol. Ez lesz a −0, 5 − 0, 05z −1 . A (7) l´ep´esben osszuk el megint az utols´o polinom legmagasabb fok´ u tagj´at a nevez˝o leg−0,5 −4 magasabb fok´ u tagj´aval: z 4 = −0, 5z , majd adjuk ezt hozz´a az egyenl˝os´egjel m¨og¨ott a´ll´o polinomhoz. H´anyszor kell elv´egezni a m˝ uveletet? Annyiszor kell ism´etelni a polinomoszt´ast, am´ıg a kapott polinom kitev˝oj´eben meg nem jelenik a k´ıv´ant legmagasabb u ¨ tem, ameddig ki akarjuk sz´amolni a f¨ uggv´eny ´ert´ek´et. Jelen esetben teh´at z −4 -ig. A kapott eredm´enynek megfelel˝o id˝of¨ uggv´eny ugyanis az eltol´asi t´etel ´ertelm´eben a Dirac-impulzus eltoltjait tartalmazza. Az id˝of¨ uggv´eny ezen r´esze teh´at a k¨ovetkez˝o: x[k] = 2δ[k − 1] + δ[k − 3] − 0, 5δ[k − 4], azaz x[0] = 0, x[1] = 2, x[2] = 0, x[3] = 1, x[4] = −0, 5. 18 18

Gyakorl´ ask´epp ´erdemes a feladatot parci´ alis t¨ ortekre bont´ assal is megoldani ´es az eredm´enyeket ellen˝ orizni.

350

9.2.3.

Az ´ atviteli f¨ uggv´ eny p´ olus-z´ erus elrendez´ ese, a rendszer stabilit´ asa

L´attuk, hogy az a´tviteli f¨ uggv´eny egy polinom per polinom alak´ u kifejez´es, ´es mint ilyen fel´ırhat´o gy¨okt´enyez˝os alakban is: b0 + b1 z −1 + . . . + bm z −m = 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm ) , =K (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn )

W (s) =

(9.42)

ahol a sz´aml´al´o gy¨okei alkotj´ak a z´erusokat, a nevez˝o gy¨okei pedig a p´ olusokat, K pedig egy kiemelhet˝o konstans. A z´erusok null´av´a, a p´olusok v´egtelenn´e teszik az a´tviteli f¨ uggv´enyt. A nevez˝o polinomja a |zE−A| a´ltal defini´alt determin´ans, ami |λE−A| alakban m´ar megjelent az id˝otartom´anybeli anal´ızis sor´an is, vagy alakilag a rendszeregyenlethez rendelhet˝o karakterisztikus polinommal egyezik meg. A saj´at´ert´ekek ´es a p´olusok teh´at megegyeznek, vagyis a p´olus-z´erus elrendez´esb˝ol k¨ovetkeztetni lehet a rendszer gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as´ara: a rendszer akkor ´es csakis akkor gerjeszt´es-v´ alasz stabilis, ha a ´tviteli f¨ uggv´eny´enek minden p´ olusa abszol´ ut ´ert´ekben egyn´el kisebb: |pi | < 1,

i = 1, . . . , n,

(9.43)

azaz, ha minden saj´ at´ert´eke egys´egsugar´ u k¨ or¨ on bel¨ ul van. Diszkr´et idej˝ u rendszerek eset´eben is elmondhat´o az, hogy ha egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor biztosan gerjeszt´esv´alasz stabil is, ford´ıtva azonban ez nem biztos, hogy igaz. Ha egy rendszer aszimptotikusan nem stabil, akkor m´eg lehet gerjeszt´esv´alasz stabil, ami a B oszlopvektort´ol ´es a C sorvektort´ol f¨ ugg.

351

5. r´ esz Kapcsolat a folytonos ´ es a diszkr´ et idej˝ u rendszerek k¨ oz¨ ott Ebben a r´eszben folytonos idej˝ u jelek mintav´etelez´es´evel ´es a mintavett jelek rekonstrukci´oj´aval, valamint folytonos idej˝ u rendszerek diszkr´et idej˝ u szimul´aci´oj´aval foglalkozunk. Folytonos idej˝ u jelek tov´abb´ıt´as´anak ´es feldolgoz´as´anak alapvet˝o m´odszerei alapszanak a jel mintav´etelez´es´en ´es rekonstru´ al´ as´an. A jel mintav´etelez´es´en a folytonos idej˝ u jel adott tk id˝opillanatokban vett mint´ainak r¨ogz´ıt´es´et ´ertj¨ uk. A legegyszer˝ ubb esettel foglalkozunk, amikor a mintav´etelez´es azonos id˝ok¨oz¨onk´ent t¨ort´enik adott T s mintav´etelez´esi peri´odusid˝ovel, azaz tk = kTs , ahol k eg´esz sz´am. A folytonos idej˝ u jelet teh´at ekvidiszt´ans mint´ak reprezent´alj´ak. L´atni fogjuk, hogy a mintav´etelez´esi peri´odusid˝o megv´alaszt´asa kulcsk´erd´es ´es szoros kapcsolatban a´ll a jel spektrum´aval. Bevezetj¨ uk a mintav´eteli t´etelt. Az ´ıgy kialak´ıtott diszkr´et idej˝ u jelet kvant´al´as ut´an tov´abb´ıtj´ak, majd a vett jelet visszaalak´ıtj´ak folytonos idej˝ u ´es folytonos ´ert´ek˝ u jell´e. Ez ut´obbi a jel rekonstrukci´oja. A r´eszt a folytonos idej˝ u rendszerek diszkr´et idej˝ u szimul´aci´oj´anak lehet˝os´egeivel z´arjuk.

352

10. fejezet

Mintav´ etelez´ es ´ es rekonstrukci´ o 10.1.

A mintav´ etelezett jel id˝ of¨ uggv´ enye

A mintav´etelez´es illusztr´al´asa a 10.1. a´br´an l´athat´o. Az s(t) folytonos idej˝ u jel mintav´etelez´es´et v´egz˝o legegyszer˝ ubb eszk¨oz u ´ gy m˝ uk¨odik, hogy Ts id˝ok¨oz¨onk´ent τ ideig a´tengedi a folytonos idej˝ u jelet, egy´ebk´ent kimenet´en nulla ´ert´ek˝ u jelet ad. Fontos azonban, hogy τ  Ts . Az ´ıgy kialakul´o sTs (t) jel teh´at Ts id˝ok¨oz¨onk´ent τ ideig az eredeti jellel egyezik meg, majd ´ert´eke nulla, s ez peri´odikusan ism´etl˝odik. Az a´bra alapj´an ´ırhatjuk, hogy  s(t), ha kTs ≤ t < kTs + τ ; (10.1) sTs (t) = 0, ha kTs + τ ≤ t < (k + 1)Ts . A kTs id˝opillanat pontosabban a kTs + 0 id˝opillanatot jelenti. Ez a jel le´ırhat´o ablakozott jelek o¨sszegek´ent is: sTs (t) =

∞ X

k=−∞

[ε(t − kTs ) − ε(t − (kTs + τ ))] s(t).

353

(10.2)

4

3

3

3

s

2 1 0 ...

2

sMV(t)

4

sT (t)

s(t)

4

τ

1

0

Ts

2Ts 3Ts

0 ...

2 1

0

Ts

2Ts 3Ts

0 ...

0

Ts

2Ts 3Ts

10.1. a´bra. A mintav´etelezett jel bevezet´es´enek illusztr´ al´ as´ ahoz Osszuk el ezt az o¨szef¨ ugg´est τ -val ´es szorozzuk is meg vele: sTs (t) = τ

∞ X ε(t − kTs ) − ε(t − (kTs + τ )) s(t). τ

k=−∞

Ha τ ´ert´ek´et nagyon kicsire v´alasztjuk 1 , akkor s(t) ´ert´eke konstansnak is vehet˝o a kTs ≤ t < kTs + τ id˝opillanatokban ´es s(kTs )sel jel¨olhet˝o, tov´abb´a r´aismerhet¨ unk a Dirac-impulzust bevezet˝o ´ o¨sszef¨ ugg´esre. Igy juthatunk el az s(t) jel sMV (t) ide´alisan mintav´etelezett le´ır´as´ahoz (matematikai mintav´etelez´esnek is nevezik):2 sMV (t) = τ

∞ X

k=−∞

δ(t − kTs ) s(kTs ) = τ

∞ X

k=−∞

δ(t − kTs ) s[k].

(10.3) Az s(kTs ) jelsorozat gyakorlatilag az s(t) jel mint´ait jelenti, ez´ert jel¨olhetj¨ uk u ´ gy, mint a diszkr´et idej˝ u jeleket, azaz s[k] = s(kTs ). Ez azt jelenti, hogy egy s(t) folytonos idej˝ u jelhez egy s[k] diszkr´et idej˝ u jelet rendel¨ unk, melynek k-adik u ¨ tembeli ´ert´eke megegyezik az s(t) jel t = kTs id˝opontbeli helyettes´ıt´esi ´ert´ek´evel. 1´ Ugy kell megv´ alasztani, hogy a jel ezen τ id˝ o alatt csak kicsit v´ altozzon. Mindez teh´ at a jel v´ altoz´ asi sebess´eg´et˝ ol is f¨ ugg. 2 Egyes irodalmakban az τ1 sMV (t) jelet haszn´ alj´ ak. Ennek azonban nincs jelent˝ os´ege.

354

Az o¨sszef¨ ugg´esben teh´at vegyesen fordul el˝o a folytonos idej˝ u ´es a diszkr´et idej˝ u le´ır´as. Vizsg´aljunk meg egy egyszer˝ u p´eld´at. P´ elda. Legyen s(t) = ε(t)e−αt . Hat´arozzuk meg a hozz´a rendelhet˝o s[k] = s(kTs ) diszkr´et idej˝ u jelet ´es az sMV (t) mintav´etelezett jelet. A t v´altoz´o hely´ebe teh´at helyettes´ıts¨ unk kT s -t:
k t→kTs s(t) = ε(t)e−αt −−−−→ s(kTs ) = ε(kTs )e−αkTs = ε(kTs ) e−αTs ,

Megold´ as.

amelyb˝ol q = e−αTs helyettes´ıt´essel megkapjuk a diszkr´et idej˝ u jelet: s[k] = ε[k]q k , ahol q = e−αTs . A mintav´etelezett jel id˝of¨ uggv´enye (10.3) alapj´an teh´at a k¨ovetkez˝o: ∞ ∞ X X k sMV (t) = τ δ(t − kTs ) ε[k]q = τ δ(t − kTs ) q k . k=−∞

k=0

Ts , Legyen a tov´abbiakban α = 2 1s . Ha pl. Ts = 10 ms, ´es τ = 10 akkor a jel megv´altoz´asa a t = 0 id˝opillanatban (itt a legnagyobb a v´altoz´as) vett minta sor´an e0 − e−2·0,001 = 1 − 0, 998 = 0, 002, ami el´eg kicsi v´altoz´ast jelent ´es a jel ´ert´eke 1-nek vehet˝o ezen id˝ointervallumban. K´erd´es m´eg a Ts mintav´eteli peri´odusid˝o helyes megv´alaszt´asa. Ebben lesz seg´ıts´eg¨ unkre a mintav´etelezett jel spektruma.

10.2.

A mintav´ etelezett jel spektruma

10.2.1.

Kapcsolat a mintav´ etelezett jel spektruma ´ es a diszkr´ et idej˝ u jel spektruma k¨ oz¨ ott

Ha az s(t) jel abszol´ ut integr´alhat´o, akkor az s MV (t) jel abszol´ ut o¨sszegezhet˝o, azaz k´epezhetj¨ uk a mintav´etelezett jel Fo355

urier-transzform´altj´at, vagy spektrum´at: Z ∞ F{sMV (t)} = sMV (t)e−jωt dt = =

Z

−∞ ∞

−∞

τ

∞ X

k=−∞

!

δ(t − kTs ) s[k] e−jωt dt.

Az integr´al´as szempontj´ab´ol a k szerinti o¨sszegz´es ´es a τ -val t¨ort´en˝o szorz´as kiemelhet˝o: Z ∞ ∞ X δ(t − kTs )e−jωt dt. s[k] F{sMV (t)} = τ −∞

k=−∞

Az integr´al az eltolt Dirac-impulzus Fourier-transzform´altj´at jelenti, amit a transzform´aci´o eltol´asi-t´etel´enek ´ertelm´eben hat´arozhatunk meg: F{δ(t − kTs )} = e−jωkTs , azaz az F{sMV (t)} = τ

∞ X

s[k]e−jkωTs

k=−∞

o¨sszef¨ ugg´es megadja a mintav´etelezett jel spektrum´at. Hasonl´ıtsuk ezt o¨ssze a diszkr´et idej˝ u jel F{s[k]} =

∞ X

s[k]e−jkϑ

k=−∞

spektrum´aval. A k´et o¨sszef¨ ugg´esb˝ol ad´odik, hogy F{sMV (t)} = τ F{s[k]}|ϑ=ωTs ⇒ SMV (jω) = τ S(ejϑ )

ϑ=ωTs

,

(10.4) azaz a mintav´etelezett jel spektruma a folytonos idej˝ u jel mint´aib´ol k´epzett diszkr´et idej˝ u jel spektrum´ab´ol u ´ gy k´epezhet˝o, hogy elv´egezz¨ uk a ϑ = ωTs helyettes´ıt´est, majd a v´egeredm´enyt τ val beszorozzuk. A folytonos idej˝ u jelet teh´at diszkr´et idej˝ u jellel jellemezt¨ uk. Folytassuk ennek megfelel˝oen a m´ar elkezdett p´eld´at, amely egy nagyon fontos konkl´ uzi´oval z´arul. 356

P´ elda. Hat´arozzuk meg az s(t) = ε(t)e −αt folytonos idej˝ u jelb˝ol mintav´etelez´essel kapott jel spektrum´at az s[k] = s(kT s ) diszkr´et ´ azoljuk az amplit´ idej˝ u jel ismeret´eben. Abr´ ud´ospektrumot is. Megold´ as. A m´ar meghat´arozott s[k] jel id˝of¨ uggv´eny´eb˝ol a jel spektruma fel´ırhat´o: S(ejϑ ) =

1 . 1 − qe−jϑ

V´egezz¨ uk el a (10.4) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝o a´talak´ıt´ast, melynek eredm´enyek´epp kapjuk a mintav´etelezett jel spektrum´at: SMV (jω) = τ

1 1 =τ . −jωT s 1 − qe 1 − q cos(ωTs ) + jq sin(ωTs )

Kor´abban (l. 223. oldal) m´ar megjegyezt¨ uk, hogy a jel s´avsz´eless´ege ´es a mintav´etelez´es peri´odusideje k¨oz¨ott szoros kapcsolat van. Most ezt vizsg´aljuk meg, k´es˝obb pedig igazoljuk is a mintav´eteli t´etelt. Ha megszabjuk, hogy az S(jω) amplit´ ud´ospektrum maximum´anak 1%-´an´al kisebb ´ert´eke elhanyagolhat´o, akkor az s(t) jel uk ´ıgy a spektrumot s´avs´avsz´eless´ege ∆ωS ' 200 rad s . Tekints¨ korl´atozottnak az Ω = ∆ωS s´avkorl´attal. Annyit m´ar most is π tudunk, hogy a mintav´etelez´es k¨orfrekvenci´aja legfeljebb Ω le1 het. Rajzoljuk fel az τ SMV (jω) spektrum abszol´ ut ´ert´ek´et (ampπ π π s, Ts = 200 s ´es Ts = 2000 s mintav´eteli lit´ ud´ospektrum´at) Ts = 20 peri´odusid˝oket v´alasztva. Az eredm´enyek a 10.2. a´br´an l´athat´ok. orAz |S(jω)| amplit´ ud´ospektrum maximuma az ω = 0 rad s k¨ frekvenci´an |S(j0)| = 0, 5. A megadott mintav´eteli peri´odusid˝ovel mintav´etelezett jel amplit´ ud´ospektrum´anak maximuma ugyanezen k¨orfrekvenci´an 3, 7092, 32, 334 ´es 318, 81, amely ´ert´ekek a 0, 5nek kb. az T1s -szerese (ennek hamarosan az ok´at is l´atni fogjuk). L´athat´o, hogy a mintav´etelezett jelek spektruma ω s = 2π Ts szerint periodikus, ´es ezen mintav´eteli k¨orfrekvencia n¨ovekszik, azaz a 357

rad spektrum sz´elesedik. Az egyes esetekben ω s = 40 rad s , ωs = 400 s ´es ωs = 4000 rad s .

3 2 1 0 -80 -40 0 40 ω[rad/s]

80

400 |SMV(jω)|/τ

40 |SMV(jω)|/τ

|SMV(jω)|/τ

4

30 20 10 0 -0.8-0.4 0 0.4 0.8 ω[krad/s]

300 200 100 0 -8

-4 0 4 ω[krad/s]

8

10.2. a´bra. A mintav´etelezett jel spektrum´ anak meghat´ aroz´ asa (10.4) alapj´ an, egyre cs¨ okken˝ o mintav´eteli peri´ odusid˝ ok mellett A 7. fejezet ismeret´eben tudjuk, hogy a diszkr´et idej˝ u, val´os ´ert´ek˝ u jel spektruma 2π szerint periodikus, amplit´ ud´ospektruma p´aros, f´azisspektruma pedig p´aratlan f¨ uggv´eny. Azt is l´attuk, hogy a spektrumot elegend˝o a ϑ ∈ [0, . . . , π] intervallumban ismerni, hiszen ennek ismeret´eben a spektrum tetsz˝oleges ϑ k¨orfrekvenci´an meghat´arozhat´o. Ha most ϑ hely´ebe az ωT s helyettes´ıt´est ´ırjuk, akkor a mintav´etelezett jel spektruma az ωT s v´altoz´oban lesz 2π szerint periodikus ´es a mintav´etelezett val´os ´ert´ek˝ u jel amplit´ ud´ospektrum´at ´es f´azisspektrum´at elegend˝o csak az ωT s ∈ [0, . . . , π] intervallumban ismerni. ´Irjuk fel ezek alapj´an a periodicit´as felt´etel´et: 2π , (10.5) ωTs = 2π ⇒ ω = Ts azaz a mintav´etelezett jel amplit´ ud´ospektruma az ω v´altoz´oban 2π val´oban Ts szerint periodikus, ami a Ts mintav´etelez´esi peri´odusid˝oh¨oz tartoz´o mintav´etelez´esi k¨orfrekvencia, ´es ez´ert ω s sel jel¨olj¨ uk: SMV (j(ω ± nωs )) = SMV (jω),

ωs =

2π , Ts

n ∈ Z.

Pontosan ez az o¨sszef¨ ugg´es l´athat´o a 10.2. a´br´an is. 358

(10.6)

10.2.2.

Kapcsolat a mintav´ etelezett jel spektruma ´ es a folytonos idej˝ u jel spektruma k¨ oz¨ ott

Az ut´obbi p´eld´aban az s(t) jelhez rendelt diszkr´et idej˝ u s[k] jel ismeret´eben hat´aroztuk meg a mintav´etelezett jel spektrum´at. Sok esetben azonban csak az s(t) jel S(jω) spektruma ismert. Vizsg´aljuk meg teh´at azt, hogy milyen o¨sszef¨ ugg´es van az eredeti folytonos idej˝ u jel S(jω) spektruma ´es a mintav´etelezett jel SMV (jω) spektruma k¨oz¨ott. Azt ugyanis m´ar tudjuk, hogy a mintav´etelezett jel spektruma periodikus, de j´o lenne olyan o¨sszef¨ ugg´est tal´alni, amely megadja S MV (jω) ´es S(jω) kapcsolat´at. A levezet´es sor´an sz¨ uks´eg¨ unk lesz k´et f¨ uggv´eny szorzat´ anak spektrum´ a ra. El˝osz¨or ezt vezetj¨ uk be. K´ et jel szorzat´ anak spektruma. Ha ismert az u(t) ´es a v(t) jelek U (jω) ´es V (jω) spektruma, akkor a k´et jel szorzat´ anak spektruma kifejezhet˝o spektrumaik seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝o frekvenciatartom´anybeli konvol´ uci´os o¨sszef¨ ugg´essel: F{u(t)v(t)} =

1 2π

Z

∞ −∞

U (jλ)V (j[ω − λ]) dλ =

1 U (jω) ∗ V (jω). 2π (10.7)

A bizony´ıt´as ´erdek´eben k´epezz¨ uk a k´et jel szorzat´anak Fourier-transzform´altj´at: Z ∞ F{u(t)v(t)} = u(t)v(t) e−jωt dt, −∞

majd haszn´aljuk fel az u(t) id˝of¨ uggv´enyt el˝oa´ll´ıt´o inverz Fouriertranszform´aci´o formul´aj´at a λ v´altoz´o seg´ıts´eg´evel (ω m´ar foglalt):  Z ∞ Z ∞ 1 jλt U (jλ) e dλ v(t) e−jωt dt. F{u(t)v(t)} = −∞ 2π −∞ Ha v(t) Fourier-transzform´alhat´o (m´arpedig jelen alkalmaz´asban

359

az), akkor az integr´alok sorrendje felcser´elhet˝o: Z ∞  Z ∞ 1 −j(ω−λ)t F{u(t)v(t)} = U (jλ) v(t) e dt dλ. 2π −∞ −∞ A bels˝o integr´al pedig pontosan a V (j[ω −λ]) spektrum kifejez´ese, ´es ´ıgy igazoltuk a t´etelt. T´erj¨ unk most vissza eredetei c´elunkhoz, azaz pr´ob´aljunk o¨szszef¨ ugg´est tal´alni a S(jω) ´es az S MV (jω) spektrumok k¨oz¨ott. A mintav´etelezett folytonos idej˝ u jelet a (10.3) alapj´an a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırtuk fel: ! ∞ ∞ X X sMV (t) = τ δ(t − kTs ) s[k] = τ δ(t − kTs ) s(t). k=−∞

k=−∞

A z´ar´ojelben l´ev˝o kifejez´es pontosan az egys´egnyi ´ert´ek˝ u, nem bel´ep˝o jel mintav´etelez´es´enek eredm´enye, jel¨olj¨ uk ezt e MV (t)-vel: sMV (t) = eMV (t) s(t). Haszn´aljuk fel a k´et jel szorzat´anak spektrum´at ad´o t´etelt: 1 EMV (jω) ∗ S(jω) = F{sMV (t)} = F{eMV (t) s(t)} = 2π Z ∞ 1 = EMV (jλ)S(j[ω − λ]) dλ. 2π −∞ Ehhez azonban sz¨ uks´eg¨ unk van az E MV (jω) spektrumra. Vegy¨ uk figyelembe, hogy az eMV (t) jel folytonos idej˝ u ugyan, de mintav´etelezett, spektruma pedig a diszkr´et idej˝ u, egys´egnyi ´ert´ek˝ u, nem bel´ep˝o jel spektrum´anak ismeret´eben a (10.4) o¨sszef¨ ugg´es felhaszn´al´as´aval hat´arozhat´o meg. Pontosan a mintav´etel miatt nem alkalmazhatjuk a folytonos idej˝ u, egys´egnyi ´ert´ek˝ u jel spektrum´at. A diszkr´et idej˝ u, egys´enyi ´ert´ek˝ u jel spektrum´at ismerj¨ uk: F{1} = 2π

∞ X

i=−∞

360

δ(ϑ − i 2π).

Ehhez (10.4) alapj´an a k¨ovetkez˝o folytonos idej˝ u, val´os ´ert´ek˝ u spektrum rendelhet˝o: EMV (jω) = 2π τ = 2π

∞ X

δ(ωTs − i 2π) = 2π τ

i=−∞ ∞ X

τ Ts

i=−∞

∞ X

i=−∞

   2π δ Ts ω − i = Ts

δ(ω − iωs ).

Ut´obbi l´ep´es a Dirac-impulzus δ(αω) = α1 δ(ω) (α > 0) tulajdons´ag´ab´ol k¨ovetkezik. Helyettes´ıts¨ uk be a kapott eredm´enyt a frekvenciatartom´anybeli konvol´ uci´os o¨sszef¨ ugg´esbe: ! Z ∞ ∞ τ X 1 2π δ(λ − iωs ) S(j[ω − λ]) dλ = F{sMV (t)} = 2π −∞ Ts i=−∞ ∞ Z ∞ τ X δ(λ − iωs ) S(j[ω − λ]) dλ. = Ts −∞ i=−∞

Az integr´alban szerepl˝o Dirac-impulzus a λ = iω s hely kiv´etel´evel minden¨ utt nulla, ´es az integr´al pontosan az S(j[ω − iω s ]) helyettes´ıt´esi ´ert´eket adja, azaz SMV (jω) =

∞ τ X S(j[ω − iωs ]). Ts

(10.8)

i=−∞

Ez az o¨sszef¨ ugg´es a k¨ovetkez˝ot jelenti. Az s MV (t) mintav´etelezett jel SMV (jω) spektruma el˝ oa ´ll´ıthat´ o az s(t) jel S(jω) spektrum´ anak ismeret´eben u ´gy, hogy azt az iωs (i = −∞, . . . , ∞) helyekre eltoljuk ´es a kapott o ¨sszetev˝ oket o ¨sszegezz¨ uk. Az eltol´ as ω s = 2π Ts k¨ oz¨ onk´ent t¨ ort´enik, ami pontosan a mintav´etelez´esi k¨ orfrekvencia. Ez megegyezik a (10.6) o¨sszef¨ ugg´essel, ´es ezt l´athatjuk a 10.2. a´br´an is.

361

Az i = 0 indexhez tartoz´o spektrum az un. f˝ oeloszl´ as, az o¨sszes t¨obbi az oldals´avokban elhelyezked˝o un. j´ arul´ekos eloszl´ as. A (10.8) o¨sszef¨ ugg´es csak akkor ´erv´enyes, ha a jel mindenhol folytonos, azaz sehol nincs ugr´asa. Ha a bel´ep˝o s(t) jelnek csak a t = 0 id˝opillanatban van ugr´asa, akkor az o¨sszef¨ ugg´es a k¨ovetkez˝ok´epp m´odosul (ezt itt nem bizony´ıtjuk): SMV (jω) =

∞ s(0)τ τ X S(j[ω − iωs ]), + 2 Ts

(10.9)

i=−∞

ahol a t = 0 id˝opillanat term´eszetesen a t = +0-t jelenti. P´ elda. Hat´arozzuk meg az s(t) = ε(t)e −αt jel mintav´etelez´es´evel kapott jel spektrum´at S(jω) ´es az (10.9) o¨sszef¨ ugg´es alapj´an. Megold´ as.

A jel spektrum´at m´ar ismerj¨ uk: S(jω) =

1 . α + jω

Helyettes´ıts¨ uk ezt az (10.9) o¨sszef¨ ugg´esbe s(+0) = 12 : 2  τ 1 1 1 + + ... + SMV (jω) = τ + 2 Ts α + j(ω + 2ωs ) α + j(ω + ωs )  1 1 1 + + + + ... . α + jω α + j(ω − ωs ) α + j(ω − 2ωs ) Az |SMV (jω)|/τ amplit´ ud´ospektruma l´athat´o a 10.3. a´br´an a 357. oldalon tal´alhat´o p´eld´aban is szerepl˝o mintav´eteli peri´odusid˝okre.3 A v´egtelen tag´ u o¨sszegben elegend˝o csak p´ar ta3 Fontos megjegyezni, hogy az o ¨sszegz´es a spektrumra, ´es nem az amplit´ ud´ ospektrumra vonatkozik. Az ered˝ ok´ent kapott spektrum abszol´ ut ´ert´eke teh´ at nem egyenl˝ o az egyes amplit´ ud´ ospektrumok o ¨sszeg´evel, azt ugyanis az o ¨sszead´ asok elv´egz´ese ut´ an kell k´epezni. A f´ azisspektrumra term´eszetesen ugyanez vonatkozik.

362

3 2 1 0 -80 -40 0 40 ω[rad/s]

80

400 |SMV(jω)|/τ

40 |SMV(jω)|/τ

|SMV(jω)|/τ

4

30 20 10

300 200 100

0 -0.8-0.4 0 0.4 0.8 ω[krad/s]

0 -8

-4 0 4 ω[krad/s]

8

10.3. a´bra. A mintav´etelezett jel spektrum´ anak alakul´ asa a (10.9) o ¨sszef¨ ugg´es alapj´ an az i = −10, . . . , 10 tagokat figyelembev´eve got szimmetrikusan figyelembe venni, amely tagok az a´br´an egyegy cs´ ucsnak felelnek meg. Az eredm´enyek term´eszetesen megegyeznek a 10.2. a´br´an felrajzoltakkal. Vizsg´aljuk meg most ezen o¨sszeg k´epz´es´et a k¨ovetkez˝o val´os ´ert´ek˝ u ´es Ω s´avkorl´at´ u S(jω) spektrumon: 4 S(jω)

6 @

−3Ω −2Ω

−Ω

@ @

Ω

-

2Ω

3Ω ω

Az itt elmondottak a´ltal´anosan is igazak. A k¨ovetkez˝o a´br´an (ahogy a 10.3. a´bra els˝o a´br´aj´an is) a mintav´eteli peri´odusid˝o t´ uls´agosan nagy, azaz a mintav´eteli k¨orfrekvencia t´ uls´agosan kicsi, k¨ovetkez´esk´epp az (10.8) o¨sszef¨ ugg´esben szerepl˝o spektrumok k¨ozel esnek a szomsz´edos tagokhoz ´es egym´asra hat´ast gyakorolnak, a ´tlapol´ odnak. Ez az un. aliasing: 4

A fenti p´eld´ aban szerepl˝ o spektrum nem val´ os, pontosan ez´ert nem lehet egyszer˝ uen o ¨sszeadni az egyes tagok amplit´ ud´ ospektrum´ at. Pl. az s(t) = e−α|t| jel spektruma val´ os.

363

S

6MV

(jω)

ered˝ o spektrum @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @-

Ω 2Ω 3Ω ω ωs Ekkor teh´at kev´es sz´am´ u mint´at vesz¨ unk a jelb˝ol. Ha ezen spektrumokat t´avolabbra helyezz¨ uk egym´ast´ol, azaz cs¨okkentj¨ uk a mintav´eteli peri´odusid˝ot (n¨ovelj¨ uk a mintav´etelez´es k¨orfrekvencia´j´at), akkor egyre kisebb m´ert´ekben lapol´odnak a´t a szomsz´edos spektrumok, hiszen a cs´ ucsok t´avolabbra ker¨ ulnek egym´ast´ol: −3Ω −2Ω

−Ω

S

(jω)

6MV @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

−3Ω −2Ω

−Ω

-

3Ω ω

Ω = ωs 2Ω

´es S

@ @ @ @

@ @ @ @

(jω)

6MV @ @ @ @

@ @ @ @

@ @ -

2Ω 3Ω ω ωs Az 10.3. a´br´an is ez a tendencia figyelhet˝o meg. Ha a jel spektruma egy bizonyos Ω k¨orfrekvencia felett null´anak tekinthet˝o (s´avkorl´atozott jel, ahogy ezen illusztr´aci´oban is), ´es a mintav´etelez´es k¨orfrekvenci´aja ennek legal´abb k´etszerese, akkor a szomsz´edos spektrumok egy´altal´an nem gyakorolnak hat´ast egym´asra: −3Ω −2Ω

−Ω

Ω

S

@

−3Ω −2Ω

@ @

(jω)

6MV @ @ @

@

@ @

-

Ω 2Ω = ωs 3Ω ω

−Ω 364

Tov´abb n¨ovelve a mintav´eteli k¨orfrekvenci´at, az egyes spektrumok egyre t´avolabb ker¨ ulnek egym´ast´ol, s m´eg csak nem is ´erintkeznek. Ezt fogalmazza meg az ut´obbi a´br´ar´ol is leolvashat´o t´etel. A Shannon-f´ele mintav´etelez´esi t´etel kimondja, hogy ha az ω s mintav´etelez´esi k¨ orfrekvencia legal´ abb a s´ avkorl´ at k´etszerese, akkor a (10.8) o ¨sszegben szerepl˝ o spektrumok az ω ≤ Ω intervallumban nem lapol´ odnak a ´t, azaz ebben az intervallumban elegend˝ o egyet5 len tagot figyelembe venni (i = 0): SMV (jω) =

τ S(jω), Ts

ha

ω≤

ωs , 2

(10.10)

ahonnan S(jω) rekonstru´ alhat´ o: S(jω) =



Ts τ SMV (jω),

0,

ha ha

ω Ω,

ωs 2 ;

(10.11)

ha Ω . π (10.12) Ezt a frekvenci´at Nyquist-frekvenci´ a nak is szokt´ak nevezni ´es f N nel jel¨olni. ωs ≥ 2Ω

⇒

Ω≤

ωs 2

⇒

Ts ≤

π Ω

⇒

fs ≥

P´ elda. Az eddig is vizsg´alt p´eld´an´al maradva, v´azoljuk fel az i = 0 indexhez tartoz´o S(jω)/Ts spektrum abszol´ ut ´ert´ek´et ´es a π mintav´etelezett jel |SMV (jω)|/τ amplit´ ud´ospektrum´at a T s = 20 s rad π ´es a Ts = 200 s mintav´eteli peri´odusid˝ok mellett (ω s = 40 s ´es ωs = 400 rad ¨sszef¨ ugg´es illusztr´al´asa c´elj´ab´ol. Az s ) a (10.10) o eredm´enyek a 10.4. a´br´an l´athat´ok. L´athat´o, hogy az ω ≤ ω2s k¨orfrekvenci´akon a mintav´etelezett jel spektruma ´es az eredeti jel spektruma (itt j´o k¨ozel´ıt´essel) akkor egyezik meg, ha a mintav´etelez´esi t´etelben r¨ogz´ıtett felt´eteleket betartjuk. Az els˝o a´br´an 5

Nem s´ avkorl´ atozott jelek eset´eben ez csak k¨ ozel´ıt˝ oleg ´erv´enyes.

365

40 |SMV(jω)|/τ |S(jω)|/Ts

|SMV(jω)|/τ, |S(jω)|/Ts

|SMV(jω)|/τ, |S(jω)|/Ts

4

3

2

1

0

|SMV(jω)|/τ |S(jω)|/Ts 30

20

10

0 0

10

20 ω[rad/s]

30

40

0

100

200 300 ω[rad/s]

400

10.4. a´bra. A mintav´etelezett jel spektruma ´es az eredeti jel spektruma az ω ≤ ωs intervallumban ugyanis az egyes spektrumok a´tlapol´od´as´anak eredm´enyek´epp az |SMV (jω)|/τ amplit´ ud´ospektrum nagyobb, mint az eredeti jel amplit´ ud´ospektruma, a m´asodik a´br´an azonban ezek j´o k¨ozel´ıt´essel megegyeznek az ω ≤ ω2s = 200 rad s intervallumban, annak ellen´ere, hogy az ε(t)e−αt jel nem s´avkorl´atozott. Ezen mintav´etelez´esi t´etelt kihaszn´aljuk a jel vissza´all´ıt´asa, vagy m´asn´even rekonstru´al´asa sor´an.

10.3.

Mintav´ etelezett jel rekonstrukci´ oja

A rekonstrukci´o c´elja, hogy el˝oa´ll´ıtsuk az ismeretlen y(t) jel egy yˆ(t) k¨ozel´ıt´es´et az ismeretlen y(t) jel ismert y[k] mint´aira, vagy az yMV (t) mintav´etelezett jelre t´amaszkodva. Erre k´et alapvet˝o m´odszert mutatunk be. Az ismeretlen y(t) jel lehet pl. egy mintav´etelezett jellel gerjesztett rendszer kimeneti jele.

10.3.1.

Nulladrend˝ u tart´ oszerv

A nulladrend˝ u tart´oszerv az y[k] = y(kT s ) mint´ak k¨oz¨ott szakaszonk´ent a´lland´o (nulladrend˝ u) ´ert´ekkel k¨ozel´ıti az y(t) jelet. Az

366

eredm´eny teh´at egy l´epcs˝os g¨orbe: yˆ(t) = y0 (t) = y(kTs ),

ha kTs ≤ t < (k + 1)Ts .

(10.13)

A k¨ozel´ıt˝o jelet egy adott intervallumban teh´at a legk¨ozelebb es˝o bal oldali minta ´ert´eke adja (nulladrend˝ u extrapol´aci´o). A rekonstrukci´o hib´aja akkor kicsi, ha maga a vissza´all´ıtand´o y(t) jel is k¨ozel konstans ´ert´ek˝ u, vagy legal´abbis kis m´ert´ekben v´altozik. A mintav´eteli id˝opillanatokban a rekonstrukci´o azonban pontos: ´ y0 (kTs ) = y(kTs ). Ertelemszer˝ u teh´at, hogy pl. az ε(t) jelet a nulladrend˝ u tart´o hib´atlanul rekonstru´alja. A nulladrend˝ u tart´oszerv egy Dirac-impulzusra teh´at egy T s sz´eless´eg˝ u impulzussal felel. A mintav´etelez´es hat´as´ara a jelben megjelenik egy τ szorz´ot´enyez˝o, amit azonban ki kell ejteni a rekonstrukci´o sor´an. Ezt egy τ1 konstanssal lehet megtenni. A nulladrend˝ u tart´oszerv impulzusv´alasza ´ıgy a k¨ovetkez˝o: w0 (t) =

1 [ε(t) − ε(t − Ts )] . τ

(10.14)

Ezen szerv teh´at a τ δ(t) jelre egy T s sz´eless´eg˝ u ´es egys´egnyi magass´ag´ u impulzussal v´alaszol. A nulladrend˝ u tart´oszerv a´tviteli karakterisztik´aja az eddigi ismeretek alapj´an fel´ırhat´o: 6 1 − e−jωTs (1) Ts e−jω W0 (jω) = = jωτ τ
ωTs Ts (2) Ts sin 2 = e−jω 2 , ωT s τ 2

Ts 2

ejω

Ts 2

− e−jω 2jω T2s

Ts 2

= (10.15)

a´tviteli f¨ uggv´enye pedig a k¨ovetkez˝o: W0 (s) =

1 − e−sTs . sτ

(10.16) Ts

6

obe pedig Az (1) l´ep´esben emelj¨ unk ki a sz´ aml´ al´ ob´ ol e−jω 2 -t, a nevez˝ csemp´essz¨ unk be egy Ts t´enyez˝ ot ´es egy 2-es szorz´ ot. Ezen a ´talak´ıt´ asokra a (2) l´ep´esben alkalmazott Euler-formula miatt van sz¨ uks´eg.

367

Az a´tviteli f¨ uggv´eny nem polinom per polinom alak´ u racion´alis kifejez´es, ez´ert a nulladrend˝ u tart´oszerv nem val´os´ıthat´o meg, csak k¨ozel´ıt˝oleg. P´ elda. Legyen egy egyszer˝ u mintav´etelezett jelsorozat a k¨ovetkez˝o: y[−2] = 1, y[−1] = 1, 8, y[0] = 1, 5, y[1] = 1 ´es T s = 1 s. Vizsg´aljuk meg a nulladrend˝ u tart´o kimenet´et ezen bemeneti jelsorozatra. Megold´ as.

A l´epcs˝os megold´as a 10.5. els˝o a´br´aj´an l´athat´o. A

2

3

2 y1(t)

y0(t)

1 1

0 0

-1

-1 -4

-3

-2

-1 0 t[s]

1

2

3

-4

-3

-2

-1 0 t[s]

1

2

3

10.5. a´bra. A nulladrend˝ u ´es az els˝ orend˝ u tart´ oa ´ltal rekonstru´ alt jel m´asik a´br´an a ritk´an haszn´alt els˝orend˝ u tart´o a´ltal rekonstru´alt, szakaszonk´ent line´aris jel l´athat´o. Fontos megjegyezni, hogy ezen tart´oszerv a t ∈ [tk , tk+1 ] id˝opillanatbeli ´ert´ekeket a k − 1 -edik ´es a k-adik mint´akra t´amaszkod´o egyenessel k¨ozel´ıti, ahogy az az a´br´an is l´athat´o, de a mintav´eteli id˝opontokban pontos. P´eld´aul a t ∈ [−1, 0] id˝opillanatokban rajzolt egyenes a megel˝oz˝o intervallum k´et v´egpontja, azaz az 1 ´es az 1, 8 ´ert´ekek a´ltal meghat´arozott egyenes. Ez az´ert fontos, mert ezen intervallumban az 1, 5 m´eg nem ismert ´ert´ek. A tart´o hib´aja akkor kicsi, ha a jel k¨ozel line´arisan v´altozik. Maximumok ´es minimumok k¨ornye368

zet´eben azonban kifejezetten rossz rekonstrukci´ot realiz´al, ahogy az 1, 8 ´ert´ek k¨orny´ek´en is l´athat´o. Az els˝orend˝ u tart´o pl. az ε(t)t jelet hib´atlanul rekonstru´alja.

10.3.2.

Alul´ atereszt˝ o sz˝ ur˝ o

Ha egy Ω s´avkorl´at´ u s´avkorl´atozott jelet legal´abb ω s = 2Ω mintav´eteli k¨orfrekvenci´aval mintav´etelez¨ unk, akkor az eredeti jel spektruma az ω ≤ ω2s intervallumban el˝oa´ll´ıthat´o a mintav´etelezett jel spektrum´ab´ol a (10.11) o¨sszef¨ ugg´es seg´ıts´eg´evel. Az (10.8) o¨sszef¨ ugg´esnek megfelel˝o S MV (jω) ered˝o spektrumb´ol k´ezenfekv˝o megold´as lehet az ω ≤ ω2s intervallum megtart´asa ´es az ω > ω2s intervallum elnyom´asa, azaz a spektrum alkalmas karakterisztik´aval t¨ort´en˝o beszorz´asa a k¨ovetkez˝ok´epp: S (jω) 6MV WΩ (jω) @

@

@ @

−3Ω −2Ω

@ @



@

@ @

-

Ω 2Ω = ωs 3Ω ω

−Ω

Mindez a k¨ovetkez˝o a´tviteli karakterisztik´aval b´ır´o alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o alkalmaz´as´at jelenti: WΩ (jω) =



Ts τ ,

0,

ha |ω| ≤ ha |ω| >

ωs 2 ; ωs 2 ,

(10.17)

melynek seg´ıts´eg´evel S(jω) el˝oa´ll´ıthat´o az |ω| ≤ ω2s intervallumban az S(jω) = WΩ (jω) SMV (jω) szerint. A sz˝ ur˝o impulzusv´alasza az a´tviteteli karakterisztika inverz Fourier-transzfor-

369

m´al´as´aval hat´arozhat´o meg:7 wΩ (t) = F =

−1

1 {WΩ (jω)} = 2π

2 Ts e 2π τ

j ω2s t

−e 2jt

−j ω2s t

Z

 jωt  ω2s Ts jωt (1) 1 Ts e e dω = = τ 2π τ jt − ωs

ωs 2

− ω2s

2

πt ωs t (2) Ts sin 2 (3) 1 sin Ts = = . τ πt τ πt Ts

A kapott impulzusv´alaszban nem szerepel az ε(t) f¨ uggv´eny, azaz az alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o impulzusv´alasza nem bel´ep˝o jel, ´es a t < 0 id˝opillanatokban null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekeket vesz fel. Ez a rendszer nem kauz´alis, hiszen az impulzusv´alasz m´ar akkor is ´ert´eket ad, amikor a δ(t) gerjeszt´es m´eg be sem l´ep (l. 10.6. a´bra). Az ilyen rendszer nem megval´os´ıthat´o, csak k¨ozel´ıt˝oleg. Ez´ert ezt ide´ alis alul´ atereszt˝ o sz˝ ur˝ o nek is nevezik. wΩ(t) wΩ(t-tΩ)

wΩ(t)

|WΩ(jω)|

1/τ Ts/τ

-ωs

-ωs/2

0 ω

ωs/2

ωs

-4Ts-3Ts-2Ts -Ts 0 t

Ts 2Ts 3Ts 4Ts

10.6. a´bra. Az ide´ alis alul´ atereszt˝ o sz˝ ur˝ o amplit´ ud´ okarakterisztik´ aja ´es impulzusv´ alasza Ha az ide´alis alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o alakh˝ u jel´atvitelt biztos´ıt az a´tereszt˝o s´avban, akkor karakterisztik´aja a´ltal´anosan a k¨ovetkez˝o 7

Az (1) l´ep´esben meghat´ arozzuk az integrandusz primit´ıv f¨ uggv´eny´et. Itt arra kell vigy´ aznunk, hogy az integr´ al´ as az ω v´ altoz´ o szerint t¨ ort´enik. A (2) l´ep´esben pedig alkalmazzuk az Euler-formul´ at, majd a (3) l´ep´esben az ωs = 2π Ts o ¨sszef¨ ugg´est.

370

alakot o¨lti: WΩ,1 (jω) =



Ts −jωtΩ , τ e

0,

ha ha

|ω| ≤ |ω| >

ωs 2 ; ωs 2 ,

(10.18)

amelynek a Fourier-transzform´aci´o eltol´asi t´etele ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o impulzusv´alasz felel meg (a 10.6. a´br´an ezt az id˝of¨ uggv´enyt is felt¨ untett¨ uk): π(t−tΩ )

1 sin Ts wΩ,1 (t) = wΩ (t − tΩ ) = . τ π(t−tΩ )

(10.19)

Ts

A 10.6. a´br´an is l´athat´o, de a sin Tπts = 0 egyenletb˝ol is meghat´arozhat´o, hogy az impulzusv´alasz nullhelyei a Tπts = kπ egyenletnek megfelel˝oen a t = kTs helyeken van. Ennek –ahogy l´atni fogjuk– nagyon fontos szerepe van a jelvissza´all´ıt´asban. A f´azisk´es´est is realiz´al´o alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o nullhelyei pedig a t = kT s − tΩ id˝opillanatokban vannak. Ha ezen ide´alis alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o bemenete az y MV (t) mintav´etelezett jel ´es impulzusv´alasza w Ω (t), akkor yΩ (t) kimenete a konvol´ uci´os integr´allal meghat´arozhat´o (az integr´al´as τ helyett ξ szerint v´egezz¨ uk, mert τ itt a mintav´etelez˝o szerv bekapcsol´asi idej´et jel¨oli): Z ∞ yMV (ξ) wΩ (t − ξ) dξ = yΩ (t) = −∞

Z

∞

π(t−ξ)

∞ X

1 sin Ts dξ. = δ(ξ − kTs ) y[k] τ τ π(t−ξ) −∞ k=−∞ {zTs } {z }| | yMV (ξ)

wΩ (t−ξ)

Az integr´alban τ -val lehet egyszer˝ us´ıteni. Az o¨sszegz´es ´es az integr´al´as pedig megcser´elhet˝o, mivel az o¨sszeget tagonk´ent is in371

tegr´alhatjuk: yΩ (t) =

∞ X

y[k]

k=−∞

Az integr´al az

Z

∞ −∞

Z

∞ −∞

δ(ξ − kTs )

sin π(t−ξ) Ts π(t−ξ) Ts

dξ.

δ(t − τ ) f (t) dt = f (τ )

o¨sszef¨ ugg´es alapj´an a ξ = kTs helyettes´ıt´essel a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´est adja:     t t ∞ ∞ sin π sin π Ts − k X X Ts − k    =  . y[k] yΩ (t) = y(kTs ) t t π π − k − k k=−∞ k=−∞ Ts Ts

(10.20) Ez az o¨sszef¨ ugg´es azt jelenti, hogy a sz˝ ur˝o kimenet´en megjelen˝o folytonos yΩ (t) jel u ´ gy a´ll el˝o, hogy a k u ¨ temekben, azaz a kT s id˝opillanatokban az ismert y[k] ´ert´ek´evel s´ ulyozott sinx x jelleg˝ u f¨ uggv´enyeket helyez¨ unk, majd ezeket o¨sszeadjuk. Ha figyelembe vessz¨ uk a tΩ eltol´ast, akkor a k¨ovetkez˝o jelet kapjuk az alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o kimenet´en:   Ω ∞ sin π t−t − k X Ts   . (10.21) yΩ,1 (t) = yΩ (t − tΩ ) = y(kTs ) Ω π t−t − k k=−∞ Ts Ez az o¨sszef¨ ugg´es ugyanazt jelenti, mint az el˝oz˝o, azzal a k¨ ul¨onbs´eggel, hogy a sinx x jelleg˝ u f¨ uggv´enyek tΩ ´ert´ekkel jobbra tol´odnak, azaz k´esnek.

u mintav´etelezett jelsorozat a k¨ovetP´ elda. Legyen egy egyszer˝ kez˝o: y[−2] = 1, y[−1] = 1, 8, y[0] = 1, 5, y[1] = 1 ´es T s = 1 s. Vizsg´aljuk meg az alul´atereszt˝o sz˝ ur˝o kimenet´et ezen bemeneti jelsorozatra. 372

2

2

1

1 yΩ(t)

yΩ(t) komponensei

Megold´ as. A megold´as a 10.7. a´br´an l´athat´o. Az egyes kompenensek l´athat´ok az els˝o a´br´an. Ezek a kT s id˝opillanatokba u tagok. Az is j´ol eltolt y(kTs ) = y[k] magass´ag´ u sinx x jelleg˝ l´athat´o, hogy a k-adik komponens az lT s (l 6= k) u ¨ temekben nulla ´ert´eket ad, azaz a k-adik mintav´etelez´esi id˝opillanatban csak a k-adik minta ´ert´eke ad´odik, k¨ovetkez´esk´epp a kimenet a mintav´etelez´esi id˝opillanatokban pontos. Ezen komponensek o¨sszege adja a m´asodik a´br´an l´athat´o jelet, amely a bejel¨olt mintav´etelez´esi id˝opillanatokban val´oban pontos.

0

0

-1

-1 -4

-3

-2

-1 0 t[s]

1

2

3

-4

-3

-2

-1 0 t[s]

1

2

3

10.7. a´bra. A sz˝ ur˝ o kimeneti jel´et fel´ep´ıt˝ o komponensek ´es az y Ω (t) kimeneti jele Ha figyelembe vessz¨ uk a f´azisk´es´est is, akkor a kimeneti jel alakja pontosan ugyanez, csak ´epp t Ω ´ert´ekkel k´esik. Ebben az esetben ismertnek t´etelezt¨ uk a rendszer kimeneti jel´enek diszkr´et idej˝ u id˝of¨ uggv´eny´et, amit azt´an rekonstrukci´onak vetett¨ unk al´a. Ezt a diszkr´et idej˝ u jel spektrum´ab´ol is meghat´arozhatjuk: Z π Z π Ts 1 Ts y[k] = Y (ejϑ )ejϑk dϑ = Y (ejωTs )ejωTs k dω.. 2π −π 2π − π Ts

Itt alkalmaztuk a ϑ = ωTs helyettes´ıt´est, azaz dϑ = dωTs . Az integr´al´asi hat´arok az ω = Tϑs -nek megfelel˝oen v´altoznak. 373

11. fejezet

Diszkr´ et idej˝ u szimul´ aci´ o Folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszerek diszkr´et idej˝ u szimul´aci´oj´anak c´elja, hogy a konstru´alt diszkr´et idej˝ u szimul´ator viselked´ese min´el jobban megk¨ozel´ıtse a folytonos idej˝ u rendszer viselked´es´et. A szimul´ator s[k] diszkr´et idej˝ u gerjeszt´ese a folytonos idej˝ u rendszer s(t) gerjeszt´es´eb˝ol T s mintav´eteli id˝ok¨oz¨onk´ent vett s(kTs ) mint´ait jelenti. A szimul´aci´o c´elja, hogy a szimul´ator ezen s[k] gerjeszt´esre adott y[k] diszkr´et idej˝ u v´alasza min´el jobban megk¨ozel´ıtse a folytonos idej˝ u rendszer y(t) v´alasz´ab´ol Ts mintav´eteli id˝ok¨oz¨onk´ent vett y(kT s ) mint´ait. Az el˝oz˝o fejezetben l´attuk, hogy a T s mintav´etelez´esi peri´odusid˝o megv´alaszt´asa kulcsk´erd´es a mintav´etelez´esi folyamatok sor´an. Ide´alisnak nevezz¨ uk a szimul´atort, ha a diszkr´et idej˝ u v´alasz pontosan a folytonos idej˝ u v´alasz mint´ait jelenti, azaz y[k] = y(kTs ). Amint azt l´atni fogjuk, ilyen azonban csak k¨ozel´ıt˝oleg l´etezik. Ebben a fejezetben a folytonos idej˝ u rendszert jellemz˝o impulzusv´alasz ´es a´tviteli f¨ uggv´eny szimul´aci´oj´aval foglalkozunk. Az elmondottakat ugyanazon p´eld´aval illusztr´aljuk, s l´atni fogjuk, hogy a k´et m´odszer k¨ ul¨onb¨oz˝o szimul´atorra vezet, melyek kimenete azonban j´ol k¨oveti a folytonos idej˝ u rendszer kimenet´et. 374

11.1.

Az impulzusv´ alasz szimul´ aci´ oja

Egy folytonos idej˝ u, line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer bel´ep˝o gerjeszt´esre adott bel´ep˝o v´alasza meghat´arozhat´o a rendszer impulzusv´alasz´anak seg´ıts´eg´evel a konvol´ uci´o alapj´an: Z t Z t w(τ )s(t − τ )d τ. (11.1) s(τ )w(t − τ )d τ = y(t) = −0

−0

A levezet´es sor´an a m´asodik alakot fogjuk haszn´alni. Mivel a folytonos idej˝ u rendszert diszkr´et idej˝ u rendszerrel akarjuk szimul´alni, ez´ert a fenti alakot a k¨ovetkez˝o diszkr´et idej˝ u konvol´ uci´o alakj´ara k´ıv´anjuk hozni: y[k] =

k X i=0

s[i]w[k − i] =

k X i=0

w[i]s[k − i].

(11.2)

L´attuk, hogy az a´ltalunk vizsg´alt folytonos idej˝ u rendszerek impulzusv´alasza a´ltal´anosan egy konstanssal szorzott Dirac-impulzust ´es egy bel´ep˝o f¨ uggv´enyt tartalmaz: w(t) = Dδ(t) + ε(t)f (t), ahol f (t) egy folytonos f¨ uggv´eny ´es D ´ert´eke term´eszetesen lehet nulla. Feltessz¨ uk m´eg, hogy s(t) nem tartalmaz Dirac-impulzust. Helyettes´ıts¨ uk vissza ezen alakot a konvol´ uci´o kifejez´es´ebe: Z t y(t) = [Dδ(τ ) + ε(τ )f (τ )] s(t − τ )d τ = −0

=D

Z

t

−0

δ(τ )s(t − τ )d τ +

Z

0

t

f (τ )s(t − τ )d τ.

A m´asodik integr´al als´o integr´al´asi hat´ara az´ert 0, mert az s(t) gerjeszt´es nem tartalmaz Dirac-impulzust. Az els˝o integr´al ki´ert´ekelhet˝o, hiszen az s(t − τ ) tagban a τ hely´ebe 0-t ´ırva s(t) kie375

melhet˝o (t ´es ´ıgy s(t) is az integr´al´as szempontj´ab´ol konstans) ´es ´ıgy ennek ´ert´eke Ds(t).1 Annak ´erdek´eben, hogy a folytonos idej˝ u le´ır´asb´ol a´tt´erhess¨ unk a diszkr´et idej˝ u le´ır´asba, vegy¨ uk a t-ben folytonos idej˝ u jelek mint´ait a kTs id˝opillanatokban (k = 0, 1, 2, . . .): Z kTs f (τ )s(kTs − τ )d τ, y(kTs ) = Ds(kTs ) + 0

azaz

y(kTs ) =



Ds(0), k = 0; R kTs Ds(kTs ) + 0 f (τ )s(kTs − τ )d τ, k > 0.

Az integr´alt k¨ozel´ıts¨ uk t´egl´any¨osszeggel a k¨ovetkez˝ok´epp:  Ds(0), k = 0; P y(kTs ) ' Ds(kTs ) + ki=1 f (iTs )s(kTs − iTs )Ts , k > 0.

Ha a t = kTs ´es t = iTs folytonos idej˝ u id˝opillanatokat diszkr´et idej˝ u id˝opillanatokra, azaz u ¨ temekre ´ırjuk a´t, akkor kapjuk a diszkr´et idej˝ u szimul´ator a´ltal adott v´alaszjel diszkr´et mint´ait:  Ds[0], k = 0; P y[k] = Ds[k] + Ts ki=1 f [i]s[k − i], k > 0.

A Ds[k] tag a Ds(t) jel mint´ait jelenti. Az erre adott v´alasz pedig a Dδ(t) impulzusv´alasszal sz´amolt v´alasz mint´ai, teh´at ennek Dδ[k] impulzusv´alasz felel meg. A m´asodik tag pedig a diszkr´et idej˝ u konvol´ uci´o, csak az o¨sszegz´es i = 1-t˝ol megy, ami egy el¨ tol´asnak feleltethet˝o meg. Osszegezve teh´at a w(t) folytonos idej˝ u impulzusv´alaszhoz az al´abbi m´odon rendelhet¨ unk w[k] diszkr´et idej˝ u impulzusv´alaszt: w(t) = Dδ(t) + ε(t)f (t) ⇒ w[k] = Dδ[k] + T s ε[k − 1]f (kTs ). (11.3) 1

D

Rt

−0

δ(τ )s(t − τ )d τ = D

Rt

−0

δ(τ )s(t)d τ = Ds(t)

376

Rt

−0

δ(τ )d τ = Ds(t).

Fontos megjegyezni, hogy a stabil folytonos idej˝ u impulzusv´alaszhoz rendelt diszkr´et idej˝ u impulzusv´alasz is stabil rendszert jellemez. A szimul´ator kimenet´enek sz´am´ıt´asa sor´an tartsuk szem el˝ott, hogy a k-adik u ¨ temhez a t = kT s id˝opillanat tartozik, azaz y[k] = y(kTs ). Ugyanez igaz a gerjeszt´esre is, azaz s[k] = s(kT s ). Ha a jel szakad´ast tartalmaz, akkor a jobb oldali hat´ar´ert´eket szok´as a minta ´ert´ek´enek v´alasztani, azaz s[k] = s(kT s + 0) ´es y[k] = y(kTs + 0). A k¨ozel´ıt´es ann´al pontosabb, min´el kisebb T s ´ert´eke. Az elmondottakat a k¨ovetkez˝o p´eld´aval illusztr´aljuk. P´ elda. Hat´arozzuk meg az impulzusv´alasz´aval adott folytonos idej˝ u rendszer diszkr´et idej˝ u szimul´ator´anak impulzusv´alasz´at ´es a rendszer szimul´ator´aval sz´am´ıtott v´alaszjel´et ha T s = 0, 02 s.2 w(t) = 3ε(t)e−2t ,

s(t) = ε(t)e−5t .

Megold´ as. Hat´arozzuk meg el˝osz¨or a folytonos idej˝ u rendszer v´alaszjel´enek id˝of¨ uggv´eny´et Laplace-transzform´aci´oval (´ıgy kaphatunk leggyorsabban ´es legegyszer˝ ubben eredm´enyt): 1 1 −1 3 = + , Y (s) = s+2 s+5 s+2 s+5 amelyhez a k¨ovetkez˝o id˝of¨ uggv´eny tartozik:
y(t) = ε(t) e−2t − e−5t . Hat´arozzuk meg ezut´an a diszkr´et idej˝ u szimul´ator impulzusv´alasz´at (11.3) alapj´an: w[k] = 3Ts ε[k − 1]e−2kTs = 0, 06ε[k − 1]e−0,04k , amit azonban tov´abb kell alak´ıtanunk, hogy z-transzform´alhassuk: w[k] = 0, 06ε[k − 1]e−0,04(k−1+1) = 0, 06ε[k − 1]e−0,04(k−1) e−0,04 = = 0, 0576ε[k − 1](e−0,04 )k−1 = 0, 0576ε[k − 1]0, 961k−1 ,

2

Ez a mintav´etelez´esi id˝ o a kisebb id˝ oa ´lland´ o sz´ azad r´esze.

377

amelynek z-transzform´altja a szimul´ator a´tviteli f¨ uggv´enye: W (z) = 0, 0576

z z −1 . z − 0, 961

A v´alaszjel z-transzform´altj´anak kifejez´es´ehez z-transzform´alnunk kell az s(t) jel mint´aib´ol k´epzett diszkr´et idej˝ u jelet is: s(t) = ε(t)e−5t

⇒

s[k] = ε[k]e−5kTs = ε[k]e−0,1k =

azaz S(z) =

= ε[k](e−0,1 )k = ε[k]0, 905k , z . z − 0, 905

A szimul´ator v´alasz´anak z-transzform´altja teh´at a k¨ovetkez˝o: z z z −1 = z − 0, 961 z − 0, 905   −17, 857 17, 857 , = 0, 0576z + z − 0, 961 z − 0, 905

Y (z) = 0, 0576

amelyhez a k¨ovetkez˝o diszkr´et idej˝ u id˝of¨ uggv´eny rendelhet˝o:   y[k] = 1, 029ε[k] 0, 961k − 0, 905k . Hasonl´ıtsuk o¨ssze a kapott folytonos idej˝ u v´alaszjelet ´es a diszkr´et idej˝ u szimul´atorral kapott v´alaszjelet (11.1. a´bra). A Ts ´ert´ek´et˝ol val´o f¨ ugg´es ´erz´ekeltet´ese ´erdek´eben a´br´azoltuk a Ts = 0, 2 s-hoz tartoz´o szimul´alt v´alaszjelet is, amely nyilv´an jobban elt´er a val´odi id˝of¨ uggv´enyt˝ol. 3 Az a´br´an l´athat´o, hogy a szimul´ator kimeneti jele kicsit nagyobb, mint a val´odi v´alaszjel. Megjegyezz¨ uk, hogy pontosabb k¨ozel´ıt˝o integr´al´assal (pl. trap´ezszab´aly) m´eg pontosabb eredm´eny kaphat´o. 3

Ebben` az esetben a´ szimul´ ator kiemet´enek id˝ of¨ uggv´enye: y[k] 1, 331ε[k] 0, 67k − 0, 368k . Gyakorl´ ask´epp ´erdemes ezt is kisz´ amolni.

378

=

0.6

0.45

0.45 y(t), y[k]

y(t), y[k]

0.6

0.3

0.15

0.3

0.15

0

0 0

0.25

0.5 t[s]

0.75

1

0

0.25

0.5 t[s]

0.75

1

11.1. a´bra. A val´ odi v´ alaszjel ´es szimul´ alt v´ alaszjel o ¨sszehasonl´ıt´ asa Ts = 0, 2 s ´es Ts = 0, 02 s esetekre

11.2.

Az ´ atviteli f¨ uggv´ eny szimul´ aci´ oja

Ha adott egy folytonos idej˝ u rendszer W (s) a´tviteli f¨ uggv´enye ´es keress¨ uk az ezen rendszert szimul´al´o diszkr´et idej˝ u rendszer W (z) a´tviteli f¨ uggv´eny´et, akkor a levezet´es mell˝oz´es´evel a k¨ovetkez˝o un. biline´ aris transzform´ aci´ o t alkalmazhatjuk: W (z) = W (s)|s= 2

z−1 Ts z+1

,

(11.4)

azaz a folytonos idej˝ u rendszer a´tviteli f¨ uggv´eny´eben minden s -et kell helyettes´ ıteni. Ez a Tustin-k´epletnek hely´ebe s = T2s z−1 z+1 is nevezett transzform´aci´o ugyanis biztos´ıtja, hogy a stabil folytonos idej˝ u rendszerhez stabil diszkr´et idej˝ u rendszer tartozz´ek, azaz az s komplex sz´ams´ık bal f´els´ıkj´at a z komplex sz´ams´ıkon az egys´egsugar´ u k¨or belsej´ebe, a jobb f´els´ıkot pedig azon k´ıv¨ ulre transzform´alja. A formula igazol´as´ara a k¨ovetkez˝o alfejezetben visszat´er¨ unk. P´ elda. Hat´arozzuk meg az el˝oz˝o feladatban vizsg´alt folytonos idej˝ u rendszer a´tviteli f¨ uggv´eny´ehez rendelhet˝o diszkr´et idej˝ u a´t-

379

viteli f¨ uggv´enyt ´es hat´arozzuk meg ezen szimul´ator kimenet´enek id˝of¨ uggv´eny´et, ha a gerjeszt´es ugyanaz ´es T s = 0, 02 s. Megold´ as. A folytonos idej˝ u rendszer a´tviteli f¨ uggv´eny´eben 2 z−1 szerepl˝o s hely´ebe teh´at s = Ts z+1 -t kell helyettes´ıteni: W (z) =

3 2 z−1 0,02 z+1

+2

= 0, 029

z+1 . z − 0, 96

Hat´arozzuk meg ezut´an a szimul´ator v´alaszjel´enek z-transzform´altj´at: Y (z) = 0, 029

azaz

z+1 z = 0, 029 z − 0, 96 z − 0, 905



−34, 636z 35, 636z + z − 0, 96 z − 0, 905



,

  y[k] = ε[k] 1, 033 · 0, 96k − 1, 004 · 0, 905k .

Ezen id˝of¨ uggv´eny nem egyezik meg pontosan az el˝oz˝o feladatban sz´am´ıtottal, azonban ha felrajzoljuk, l´athatjuk, hogy majdnem ugyanazon eredm´enyt kapjuk (11.2. a´bra). A kicsi elt´er´es oka az, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o m´odon t´ert¨ unk a´t a folytonos idej˝ u rendszerr˝ol a diszkr´et idej˝ u rendszerre. Ez a szimul´ator pl. jobban k¨ozel´ıti a folytonos idej˝ u jelet a t > 0, 5 s id˝opillanatokban, de a t = 0 id˝opillanatban, azaz a k = 0 u ¨ temben egyik szimul´ator sem adja a helyes 0 eredm´enyt.

11.3.

Differenci´ al´ o ´ es integr´ al´ o oper´ atorok mintav´ eteles k¨ ozel´ıt´ ese

V´eg¨ ul bemutatjuk milyen diszkr´et idej˝ u rendszerrel ´es h´al´ozattal lehet megval´os´ıtani a deriv´al´ast ´es integr´al´ast v´egz˝o eszk¨oz¨oket. Seg´ıts´eg¨ ukkel a folytonos idej˝ u rendszereket le´ır´o differenci´alegyenletek a´t´ırhat´ok diszkr´et idej˝ u differenciaegyenletekk´e. A bemeneti jel az s(t) id˝of¨ uggv´eny, a kimenet pedig ennek deriv´altja, vagy hat´arozott integr´alja, amit y(t)-vel jel¨ol¨ unk. 380

0.6

y(t), y[k]

0.45

0.3

0.15

0 0

0.25

0.5 t[s]

0.75

1

11.2. a´bra. A val´ odi v´ alaszjel ´es szimul´ alt v´ alaszjel o ¨sszehasonl´ıt´ asa ´ akon a meghat´arozott rendszeregyenletek a´ltal le´ırt rendszeAbr´ rek h´ al´ ozattal t¨ ort´en˝ o realiz´ as´at is bemutatjuk. El˝ oretart´ o differencias´ ema. Az el˝oretart´o differencias´ema a k¨ovetkez˝o differenciah´anyadossal k¨ozel´ıti a deriv´altat: y(t) =

ds(t) dt

⇒

y(t) '

s(t + Ts ) − s(t) , Ts

(11.5)

azaz a g¨orbe meredeks´eg´et k´et szomsz´edos mint´ara t´amaszkodva k¨ozel´ıti. ´Irjuk a´t ezen k¨ozel´ıt´est t = kTs helyettes´ıt´essel diszkr´et id˝obe, ´es ´ırjuk fel a rendszeregyenletet: 4 y[k] =

s[k + 1] − s[k] Ts

s[k] -r - D

⇒

y[k − 1] =

−s[k − 1] P -HH   −1 s[k] 6

4

1 1 s[k] − s[k − 1]. Ts Ts

-HH  1 Ts

y[k]

- D

-



y[k − 1]

A rendszeregyenletben csak a k-adik ´es a megel˝ oz˝ ou ¨tembeli ´ert´ekek szerepelhetnek, k + 1 pedig nem. Ez´ert el kell tolni az egyenletet.

381

H´ atratart´ o differencias´ ema. A h´atratart´o differencias´ema a megel˝oz˝o mint´ara t´amaszkodva k´epezi a differenciah´anyadost: y(t) =

ds(t) dt

⇒

y(t) '

s(t) − s(t − Ts ) . Ts

(11.6)

Az ennek megfelel˝o diszkr´et idej˝ u o¨sszef¨ ugg´es ´es a rendszeregyenlet a k¨ovetkez˝o: s[k] − s[k − 1] 1 1 y[k] = ⇒ y[k] = s[k] − s[k − 1]. Ts Ts Ts −s[k − 1]  s[k] y[k] P -r - D -HH -HH     1

−1 6 T s s[k]

Bal oldali t´ eglalapszab´ aly. A hat´arozott integr´alt T s sz´eless´eg˝ u elemi ter¨ uletek o¨sszegek´ent a´ll´ıtja el˝o, ´es a megel˝oz˝o mint´ara t´amaszkodik: Z t n−1 X s(kTs ) Ts . (11.7) s(τ ) dτ ⇒ y(t) ' y(t) = 0

k=0

Az integr´al´as eredm´eny´et a t = kT s id˝opillanatban k´epezhetj¨ uk u ´ gy is, hogy az eddigi k¨ozel´ıt˝o ´ert´ekhez hozz´aadjuk a soron k¨ovetkez˝o t´eglalap ter¨ ulet´et: y[k + 1] = y[k] + s[k]Ts

⇒

y[k] = y[k − 1] + s[k − 1]Ts .

 s[k] HTs y[k] s[k] HTs  P P - H -D - H-D r  



   6  D y[k + 1]

y[k]

r -

Itt k´et ekvivalens realiz´aci´ot is felrajzolhatunk. Ut´obbi csak egy k´esleltet˝ot tartalmaz, s benne az els˝o egyenletre ismerhet¨ unk. 382

Jobb oldali t´ eglalapszab´ aly. A hat´arozott integr´alt T s sz´eless´eg˝ u elemi ter¨ uletek o¨sszegek´ent a´ll´ıtja el˝o, ´es a k¨ovetkez˝o mint´ara t´amaszkodik: y(t) =

Z

t

s(τ ) dτ

⇒ y(t) '

0

n X

s(kTs ) Ts =

k=1

n−1 X

s([k + 1]Ts ) Ts .

k=0

(11.8) Ezen k¨ozel´ıt´esnek a k¨ovetkez˝o diszkr´et idej˝ u rendszeregyenlet felel meg: y[k + 1] = y[k] + s[k + 1]Ts

⇒

s[k] HTs  P - H 

 6

y[k] = y[k − 1] + s[k]Ts . y[k]

-r -

D 

Trap´ ezszab´ aly. A hat´arozott integr´alt T s sz´eless´eg˝ u intervallum k´et v´egpontj´ara t´amaszkod´o trap´ezok ter¨ ulet´enek o¨sszegek´ent a´ll´ıtja el˝o: y(t) =

Z

t

s(τ ) dτ 0

⇒

y(t) '

n−1 X

s(kTs ) + s([k + 1]Ts ) Ts , 2 k=0 (11.9)

´es a rendszeregyenlet: y[k+1] = y[k]+

Ts Ts Ts Ts s[k]+ s[k+1] ⇒ y[k] = y[k−1]+ s[k−1]+ s[k]. 2 2 2 2 Ts  s[k] H 2 P - H r D  

  6

383

y[k]

r -

D 

Vizsg´aljuk meg a trap´ezszab´alynak megfelel˝o differenciaegyenlet z-transzform´altj´at: zY (z) = Y (z) +

S(z) + zS(z) Ts 2

⇒

Y (z) =

Ts z + 1 S(z). 2 z−1

Tudjuk ugyanakkor, hogy y(t) az s(t) integr´alja, amelynek Laplace-transzform´altja Y (s) = 1s S(s). A k´et o¨sszef¨ ugg´es o¨sszehasonl´ıt´asa a m´ar ismertetett Tustin-formul´at adja: 1 Ts z + 1 = s 2 z−1

⇒

384

s=

2 z−1 . Ts z + 1

6. r´ esz Nemline´ aris rendszerek n´ eh´ any sz´ am´ıt´ asi m´ odszere Az eddigi fejezetekben csak line´aris rendszerekkel foglalkoztunk. A gyakorlatban el˝ofordul´o objektumok viselked´ese bizonyos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott kell˝o pontoss´aggal val´oban le´ırhat´o, modellezhet˝o line´aris rendszerek seg´ıts´eg´evel. Ez f¨ ugghet pl. a gerjeszt´es nagys´ag´at´ol. Az objektumok nagy r´esze azonban nemline´aris, ´es sz¨ uks´eg lehet a nemline´aris jelleg min´el pontosabb le´ır´as´ara. Ezen fejezeben a nemline´aris rendszerek vizsg´alat´anak legegyszer˝ ubb m´odszereit t´argyaljuk r¨oviden. A nemline´aris rendszer bizonyos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott helyettes´ıthet˝o egy line´aris rendszerrel. Ezt a nemline´aris rendszer lineariz´ al´ as´anak nevezz¨ uk, a ,,bizonyos k¨or¨ ulm´enyek” fogalmat pedig a rendszer munkapontja jelenti. A munkaponti lineariz´al´as m´odszere k¨ozel a´ll az eddig megismert m´odszerekhez, ez´ert ezzel nyitjuk a fejezetet. A nemline´aris rendszerek vizsg´alata legink´abb numerikusan lehets´eges, amikor elk´esz´ıtj¨ uk a nemline´aris rendszer egy modellj´et, ´es numerikus, k¨ozel´ıt˝o m´odszerekkel oldjuk meg a nemline´aris differenci´alegyenlet-rendszert. Ezt sz´am´ıt´og´eppel, szoftver u ´ ton c´elszer˝ u megval´os´ıtani. Err˝ol a ma is dinamikusan fejl˝od˝o ter¨ uletr˝ol a legegyszer˝ ubb m´odszer bemutat´as´aval adunk ´ızel´ıt˝ot.

385

12. fejezet

FI nemline´ aris rendszerek anal´ızise 12.1.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as fogalma

Folytonos idej˝ u line´aris rendszerek eset´eben megismert¨ uk az a´llapotv´altoz´os le´ır´as fogalm´at, amely egy line´aris, els˝orend˝ u, a´lland´o egy¨ utthat´os differenci´alegyenletekb˝ol a´ll´o differenci´alegyenletrendszer. Nemline´aris rendszerek eset´eben az a´llapotv´altoz´ok deriv´altja, valamint a rendszer v´alaszjele nem fejezhet˝o ki egyszer˝ uen az a´llapotv´altoz´ok ´es a gerjeszt´es line´aris kombin´aci´ojak´ent, hanem azok nemline´aris f¨ uggv´enyek´ent adhat´o meg. SISOrendszerek eset´eben az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja teh´at a k¨ovetkez˝o: x˙ = f (x, s), (12.1) y = g(x, s), ahol f ismert t¨obbv´altoz´os f¨ uggv´enyek egy¨ uttese, azaz vektor ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny, g pedig egy t¨obbv´altoz´os f¨ uggv´eny. A f¨ uggv´enyek t¨obbv´altoz´osak, hiszen f¨ uggetlen v´altoz´ojuk az x = x(t) a´llapotvektor ´es az s = s(t) gerjeszt´es, f¨ ugg˝o v´altoz´ojuk pe386

dig az a´llapotvektor deriv´altja, valamint a rendszer y = y(t) kimenete. A f¨ uggv´enyek nem f¨ uggenek a t id˝ot˝ol, a rendszer teh´at invari´ans. Vari´ans ´es MIMO nemline´aris rendszerek eset´eben mindez a k¨ovetkez˝o alakot o¨lti: x˙ = f (x, s, t),

(12.2)

y = g(x, s, t).

Els˝o l´ep´esben az a´llapotvektor id˝of¨ uggv´eny´et, un. trajekt´ ori´ aj´at kell meghat´arozni, majd annak ismeret´eben a rendszer v´alasza is sz´am´ıthat´o.

12.2.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as el˝ o´ all´ıt´ asa a h´ al´ ozati reprezent´ aci´ o alapj´ an

A nemline´aris rendszert reprezent´al´o h´al´ozat alapj´an el˝oa´ll´ıthat´o az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja, amit a k¨ovetkez˝o p´eld´an kereszt¨ ul mutatunk be. A h´al´ozat k´et nemline´aris er˝os´ıt˝ot tartalmaz (melyek karakterisztik´aja adott), ´es egy szorz´ocsom´opontot: η1

s  ? P x˙ 1 R x1

 6

η2

Φ2 

ξ2

η1 = −3ξ12 η2 = − ln(1 + ξ2 )

ξ1 Φ1  (1) r

? r

 Q y x˙ 2 R x2 r(2) -HH  5

 6

El˝osz¨or is jel¨olj¨ uk be az a´llapotv´altoz´okat ´es azok deriv´altj´at. Az (1) jelz´es˝ u csom´opont egy el´agaz´ocsom´opont, azaz x˙ 2 = x1 . Ez megfelel a k´ıv´ant alaknak, hiszen jobb oldal´an csak az a´llapotv´altoz´o, bal oldal´an pedig az a´llapotv´altoz´o deriv´altja szerepel a 387

m´ar ismert line´aris kapcsolat szerint. Az x 1 lesz a bemenete a Φ2 nemline´aris karakterisztik´aval le´ırhat´o er˝os´ıt˝onek: ξ 2 = x1 , melynek kimenete η2 = − ln(1 + x1 ), ami az egyik bemenete a bal oldali o¨sszegz˝onek. A (2) jelz´es˝ u csom´opont szint´en el´agaz´o, aminek k¨ovetkezt´eben a Φ1 karakterisztik´aval b´ır´o nemline´aris er˝os´ıt˝o bemenete az x2 : ξ1 = x2 , kimenete pedig η1 = −3x22 . Ez lesz a bal oldali o¨sszegz˝o m´asik bemenete. Az x˙ 1 teh´at a k¨ovetkez˝o nemline´aris differenci´alegyenlettel ´ırhat´o fel: x˙ 1 = − ln(1 + x1 ) − 3x22 + s. A rendszer kimenete egy szorz´o kimenete, amelynek bemeneteit ismerj¨ uk: y = 5x1 x2 . Az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja ´es a benn¨ uk szerepl˝o f¨ uggv´enyek teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp ad´odnak:    x˙ 1 = − ln(1 + x1 ) − 3x22 + s,  f1 = − ln(1 + x1 ) − 3x22 + s, x˙ 2 = x1 , ⇒ f2 = x1 ,   y = 5x1 x2 . g = 5x1 x2 .

12.3.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as lineariz´ al´ asa

Abban az esetben, ha a rendszer gerjeszt´ese egy s a´lland´o ´es egy kis ´ert´ekkel v´altoz´o (kisjel˝ u) s˜(t) jel o¨sszegek´ent ´ırhat´o fel: s(t) = s + s˜(t),

(12.3)

akkor a nemline´aris rendszer az a´lland´o gerjeszt´es a´ltal meghat´arozott un. egyens´ ulyi a ´llapotban lineariz´ alhat´ o. Ekkor a rendszer a´llapotvektora ´es v´alasza is k´et r´eszb˝ol tev˝odik o¨ssze: x(t) = x + x ˜(t),

y(t) = y + y˜(t).

(12.4)

A rendszer egyens´ ulyi a´llapot´at, vagy m´asn´even munkapontj´at teh´at a gerjeszt´es s a´lland´o o¨sszetev˝oje hat´arozza meg, amelyre a 388

nemline´aris rendszer v´alasza y. Ha ez a munkapont stabil (amit meg kell vizsg´alni), akkor a nemline´aris rendszer ezen munkapont k¨ornyezet´eben helyettes´ıthet˝o egy line´aris rendszerrel, amely rendszer alkalmas a kisjel˝ u s˜(t) gerjeszt´esre adott kisjel˝ u y˜(t) v´alasz sz´am´ıt´as´ara. Ezut´an a k´et eredm´enyt o¨ssze kell adni. A megold´as teh´at h´arom l´ep´esb˝ol a´ll: 1. Az egyens´ ulyi a´llapotok (munkapontok) meghat´aroz´asa. 2. Az egyens´ ulyi a´llapot stabilit´as´anak vizsg´alata. 3. A lineariz´alt rendszer v´alasz´anak meghat´aroz´asa. A k¨ovetkez˝okben ezen l´ep´eseket vizsg´aljuk. Egyens´ ulyi a ´llapotok meghat´ aroz´ asa Az egyens´ ulyi a´llapot teh´at a gerjeszt´es a´lland´o o¨sszetev˝oje a´ltal meghat´arozott. Az s a´lland´o gerjeszt´es hat´as´ara az a´llapotvektor egy x a´lland´o ´ert´ekhez tart, k¨ovetkez´esk´epp a v´alasz az y a´lland´o lesz. Az a´lland´o a´llapotvektor deriv´altja nullvektor, azaz x ´ert´eke, ´es ismeret´eben a rendszer v´alasz´anak a´lland´o o¨sszetev˝oje (12.1) alapj´an meghat´arozhat´o: 0 = f (x, s),

⇒

y = g(x, s).

(12.5)

Egy rendszernek t¨obb munkapontja is lehet, hiszen azt az f f¨ uggv´eny hat´arozza meg. El˝ofordulhat olyan gerjeszt´es is, amelyhez nem tartozik egyens´ ulyi a´llapot. Egyens´ ulyi a ´llapotok stabilit´ asa Az egyens´ ulyi a´llapot stabilit´as´anak vizsg´alata c´elj´ab´ol a´ll´ıtsuk el˝o az f (x, s) f¨ uggv´eny A un. Jacobi-m´ atrix a´t a munkapontban: ∂f (x, s) . A= (12.6) ∂x x,s 389

Ez pl. egy k´et a´llapotv´altoz´oval jellemezhet˝o rendszer eset´eben a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki: " #  ∂f1 (x1 ,x2 ,s) ∂f1 (x1 ,x2 ,s) x˙ 1 = f1 (x1 , x2 , s) ∂x2 1 , ⇒ A = ∂f2 (x∂x1 ,x ,s) ∂f (x ,x ,s) 2 1 2 2 x˙ 2 = f2 (x1 , x2 , s) ∂x1

∂x2

x1 ,x2 ,s

azaz az egyes parci´alis deriv´altak elv´egz´ese ut´an a kapott m´atrix elemeit alkot´o f¨ uggv´enyek argumentum´aba be kell helyettes´ıteni a kapott munkaponti ´ert´ekeket. ´Igy a munkapontoknak megfelel˝o sz´am´ u kvadratikus m´atrixot kapunk. A Jacobi-m´atrix a´ltal´anosan a k¨ovetkez˝ok´epp t¨olthet˝o fel: ∂fi (x1 , x2 , . . . , xN , s) Aij = , ∂xj x=x,s=s

(12.7)

ahol i ´es j jel¨oli a m´atrix sor- ´es oszlopindex´et, felt´eve term´eszetesen, hogy az fi (·) f¨ uggv´enyek differenci´alhat´ok a munkapontban. Vezess¨ uk be ezut´an az egyens´ ulyi a´llapott´ol val´o elt´er´est (12.4) alapj´an: x = x+x ˜ ⇒ x ˜ = x − x, amit okozhat pl. a gerjeszt´es kisjel˝ u o¨sszetev˝oje, vagy egy´eb zaj. Helyettes´ıts¨ uk a v´altoz´assal terhelt munkaponti ´ert´eket vissza az f (x, s) f¨ uggv´enybe, ´es k¨ozel´ıts¨ uk azt els˝ofok´ u Taylor-polinomj´aval az x munkapont k¨ornyezet´eben:1 ∂f (x, s) ˜, s) ' f (x, s) + x ˜ = f (x, s) + A˜ x. f (x, s) ⇒ f (x + x ∂x x,s

Helyettes´ıts¨ uk vissza ezen k¨ozel´ıt´est a (12.1) nemline´aris differenci´alegyenletbe: x˙ = f (x, s) 1

f (a + h) = f (a) +

h 0 f (a) 1!

⇒ +

˜˙ = f (x, s) + A˜ x˙ + x x.

h2 00 f (a) 2!

390

+ . . ..

Az egyens´ ulyi pontban azonban (12.5) szerint teljes¨ ul a 0 = f (x, s), azaz az x˙ = 0 egyenlet, aminek k¨ovetkezt´eben a fenti o¨sszef¨ ugg´es a k¨ovetkez˝o a´llapotegyenlett´e egyszer˝ us¨odik: ˜˙ = A˜ x x,

(12.8)

amely megegyezik a line´aris rendszerek a´llapotegyenlet´evel. Ha ezen line´aris rendszer stabil, akkor x ˜ → 0, amelynek k¨ovetkezt´eben a munkapontb´ol (pl. zavar a´ltal) kimozd´ıtott a´llapotvektor visszat´er a munkapontba. Ez teh´at egy stabil egyens´ ulyi helyzet, azaz a munkapont akkor stabil, ha a Jacobi-m´atrix saj´at´ert´ekei a bal f´els´ıkon helyezkednek el: Re{λi } < 0,

i = 1, . . . , N.

(12.9)

Ezt minden munkapontban sz´am´ıtott Jacobi-m´atrixra el kell v´egezni. Ha valamely munkapont nem stabil, akkor a k¨ovetkez˝o pontban t´argyalt elj´ar´as nem alkalmazhat´o. A lineariz´ alt rendszer v´ alasz´ anak sz´ am´ıt´ asa A nemline´aris rendszer A Jacobi-m´atrixa megegyezik a lineariz´alt rendszer rendszerm´atrix´aval. Ez´ert is jel¨olj¨ uk A-val. A line´aris rendszer b ´es cT vektora ´es a D skal´ar a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg a vizsg´alt munkapontban: ∂fi (x, s) ∂g(x, s) ∂g(x, s) T , c = , D= , bi = ∂s x,s j ∂xj x,s ∂s x,s

(12.10) hiszen b elemei ´es D a gerjeszt´est, c T elemei pedig az a´llapotv´altoz´okat s´ ulyozza. Az ´ıgy el˝oa´ll´o line´aris rendszer az egyens´ ulyi a´llapot k¨ornyezet´eben ´erv´enyes, ´es a kisjel˝ u tagokra a j´ol ismert norm´alalak ´ırhat´o fel: x ˜˙ = A˜ x + b˜ s, y˜ = cT x ˜ + D˜ s. 391

(12.11)

Ez pedig a line´aris rendszerek t´emak¨orben t´argyalt valamely m´odszerrel megoldhat´o. A v´alasz sz´am´ıt´as´at az a´llapotvektor ismeret´eben elv´egezhetj¨ uk az itt kapott lineariz´alt egyenlettel, vagy a g(·) f¨ uggv´enybe t¨ort´en˝o visszahelyettes´ıt´essel. A teljes v´alasz pedig az egyens´ ulyi a´llapotban sz´am´ıtott v´alasz ´es ezen kisjel˝ u tag o¨sszege lesz (l. (12.4) o¨sszef¨ ugg´es). P´ elda. Legyen az el˝obbi a´llapotv´altoz´os le´ır´assal adott rendszer gerjeszt´ese az al´abbi. Hat´arozzuk meg a v´alaszjel id˝of¨ uggv´eny´et. s(t) = s + s˜(t) = 27 + 2 cos ωt,

ω=2

krad . s

Megold´ as. Hat´arozzuk meg el˝osz¨or a rendszer egyens´ ulyi a´llapot´at (´allapotait) a (12.5) o¨sszef¨ ugg´es szerint, ´es vegy¨ uk figyelembe, hogy s = 27:   0 = − ln(1 + x1 ) − 3x22 + 27, 0 = x1 ,  y = 5x1 x2 .

A m´asodik egyenlet szerint x1 = 0. Ezt helyettes´ıts¨ uk vissza az els˝obe: −3x22 + 27 = 0, ahonnan x21 = 3 ´es x22 = −3 lehet. Az y munkaponti ´ert´ek mindk´et esetben 0. Vizsg´aljuk meg ezut´an, hogy ezen munkapontok stabilak, vagy sem. A rendszer Jacobim´atrixa a k¨ovetkez˝o: " #   −1 ∂f1 (x1 ,x2 ,s) ∂f1 (x1 ,x2 ,s) −6x 2 ∂x ∂x 1+x 1 2 1 A = ∂f2 (x1 ,x = . ∂f2 (x1 ,x2 ,s) 2 ,s) 1 0 ∂x ∂x 1

x1 ,x2 ,s

2

A k´et munkapontnak megfelel˝o m´atrix ´es a saj´at´ert´ekek a k¨ovetkez˝ok:    −1 −18 λ1 = −0, 5 + j4, 21, A1 = ⇒ 1 0 λ2 = −0, 5 − j4, 21, 392

A2 =



−1 18 1 0





⇒

λ1 = −4, 77, λ2 = 3, 77,

Az els˝o munkapont teh´at egy stabilis munkapont, a m´asodik viszont nem az. A tov´abbiakban teh´at csak az els˝o esetet vizsg´aljuk. ´ ıtsuk el˝o ezen munkapontban a nemline´aris rendszer lineariz´alt All´ modellj´et (12.10) alapj´an: # "   ∂f1 (x1 ,x2 ,s) 1 ∂s = , b= ∂f2 (x1 ,x2 ,s) 0 ∂s

cT =

h

∂g(x1 ,x2 ,s) ∂x1

x1 ,x2 ,s

∂g(x1 ,x2 ,s) ∂x2

∂g(x1 , x2 , s) D= ∂s

i

x1 ,x2 ,s

=

= 0.



15 0



,

x1 ,x2 ,s

A line´aris rendszer az els˝o munkapontban teh´at a k¨ovetkez˝o a´llapotv´altoz´os le´ır´assal adhat´o meg:            x 1 x ˜˙ 1 −1 −18 ˜1 x ˜1 . + s˜, y˜ = 15 0 = 0 x ˜2 1 0 x ˜2 x ˜˙ 2

Ennek felhaszn´al´as´aval hat´arozhatjuk meg a kisjel˝ u y˜(t) id˝of¨ uggv´enyt, amit az s˜(t) gerjeszt. Mivel ut´obbi szinuszos, alkalmazzuk a tanult a´tviteli karakterisztik´at ´es a gerjeszt´es komplex cs´ ucs´ert´ek´et. Az a´tviteli karakterisztika ´es az a´tviteli egy¨ utthat´o ´ert´eke a megadott k¨orfrekvenci´an a k¨ovetkez˝o: W (jω) =

15jω , (jω)2 + jω + 18

A v´alaszjel komplex cs´ ucs´ert´eke teh´at ˜ = 2, 12 ej81,87◦ 2 = 4, 24 ej81,87◦ Y˜ = W S lesz, amib˝ol a teljes v´alasz id˝of¨ uggv´enye felirhat´o: y(t) = y + y˜(t) = 4, 24 cos(ωt + 81, 87◦ ). 393

◦

W = 2, 12 ej81,87 .

12.4.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as numerikus, k¨ ozel´ıt˝ o megold´ asa

Ezen m´odszerek f˝ok´ent sz´am´ıt´og´eppel t¨ort´en˝o sz´am´ıt´asok elv´egz´es´ere alkalmasak, ´es a nemline´aris differenci´alegyenlet-rendszer id˝obeli diszkretiz´al´as´an alapszanak. A numerikus megold´as sor´an adott tk id˝opillanatokban valamilyen s´ema szerint k¨ozel´ıt˝oleg oldjuk meg a nemline´aris differenci´alegyenlet-rendszert, azaz ezen id˝opillanatokban az a´llapotvektor x(t k ) ´ert´ekeit numerikusan meghat´arozzuk. Ezen ´ert´ekekre t´amaszkodva azt´an a v´alaszjel ugyanezen id˝opontokban sz´am´ıthat´o. A t¨obbf´ele k¨ozel´ıt˝o elj´ar´as k¨oz¨ ul csak a legegyszer˝ ubb egyl´ep´eses Euler-algoritmusokat mutatjuk be. 2 Az egyl´ep´eses jelz˝o azt jelenti, hogy a megold´as a tk+1 id˝opillanatban csak az ezt megel˝oz˝o tk id˝opontbeli megold´asra t´amaszkodik ´es az x(t 0 ) ismert. Az el˝ orel´ep´eses Euler-algoritmus a deriv´alt differenci´al´ass´a t¨ort´en˝o a´t´ır´as´aval fogalmazhat´o meg: x(tk+1 ) − x(tk ) = f (x(tk ), s(tk )), ∆t ahonnan az algoritmus a a k¨ovetkez˝o: x(tk+1 ) = x(tk ) + ∆t f (x(tk ), s(tk )).

(12.12)

(12.13)

A h´ atral´ep´eses Euler-algoritmus pedig a k¨ovetkez˝ok´epp: x(tk+1 ) − x(tk ) = f (x(tk+1 ), s(tk+1 )), ∆t

(12.14)

x(tk+1 ) = x(tk ) + ∆t f (x(tk+1 ), s(tk+1 )).

(12.15)

ahonnan Ebb˝ol m´eg x(tk+1 ) kifejez´es´et meg kell hat´arozni, hiszen az a jobb oldalon is szerepel. Az el˝orel´ep˝o m´odszer fel¨ ulbecs¨ uli, a h´atral´ep˝o m´odszer pedig alulr´ol k¨ozel´ıti az egzakt megold´ast. 2

M´ as hat´ekonyabb, de bonyolultabb m´ odszerek: Runge–Kutta-m´ odszer, prediktor-korrektor m´ odszer, Newton–Raphson iter´ aci´ o stb.

394

P´ elda. Oldjuk meg az el˝obbi feladatot az el˝orel´ep´eses Euler-algoritmussal:
x1 (tk+1 ) = x1 (tk ) + ∆t − ln(1 + x1 (tk )) − 3x22 (tk ) + s(tk ) , x2 (tk+1 ) = x2 (tk ) + ∆t x1 (tk ), y(tk+1 ) = 5x1 (tk+1 )x2 (tk+1 ), ´es haszn´aljuk az x1 (t0 = 0) = 0, x2 (t0 = 0) = 3, y(t0 = 0) = 0 kiindul´asi ´ert´ekeket, valamint legyen ∆t = 0, 01 ms ´es a´br´azoljunk N = 1600 id˝opillanatot. Megjegyezz¨ uk, hogy cs¨okken˝o ∆t ´ert´ekek mellett egyre pontosabb megold´ast kapunk. A munkaponti lineariz´al´assal kapott ´es a numerikusan sz´am´ıtott v´alaszjel o¨sszehasonl´ıt´asa l´athat´o a 12.1. a´br´an. Ut´obbi esetben a gerjeszt´es 10

1 Euler-algoritmus Munkaponti lin.

Euler-algoritmus Munkaponti lin. 0.5

y(t)

y(t)

5

0

-5

0

-0.5

-10

-1 0

4

8 t[ms]

12

16

0

4

8 t[ms]

12

16

12.1. a´bra. A munkaponti lineariz´ al´ assal kapott v´ alasz ´es az Euleralgoritmussal kapott v´ alasz o ¨sszehasonl´ıt´ asa s˜max = 2 ´es s˜max = 0, 2 esetekben v´altakoz´o s˜(t) tagj´anak amplit´ ut´oja tizede a kor´abban alkalmazottnak. Ebben az esetben l´athat´o, hogy a k´et megold´as a m´asodik peri´odus ut´an gyakorlatilag megegyezik. A munkaponti lineariz´al´as teh´at helyes eredm´enyt ad, a rendszer ezen gerjeszt´es mellett val´oban line´arisnak tekinthet˝o, az f (·) ´es g(·) f¨ uggv´enyek itt line´aris f¨ uggv´ennyel helyettes´ıthet˝ok. Az el˝obbi esetben azonban 395

3.2

3.03

3.1

3.015 x2(t)

x2(t)

a k¨ ul¨onbs´eg nagyobb, mert a lineariz´alt modell a nagyobb amplit´ ud´o miatt nem teljes ´erv´eny˝ u, hiszen a rendszer ebben a tartom´anyban m´ar nem tekinthet˝o line´arisnak. A lineariz´alt modell alkalmaz´asa teh´at meglehet˝osen korl´atozott s˜(t) nagys´aga a´ltal. Az els˝o k´et peri´odusban l´athat´oan nagy az elt´er´es a k´et megold´as k¨oz¨ott. Ennek oka, hogy a lineariz´alt modell alapj´an sz´am´ıtott megold´as csak a stacion´arius v´alasz, az Euler-algoritmussal kapott k¨ozel´ıt˝o megold´as pedig a tranzienst is tartalmazza. 3 Ez pedig az els˝o n´eh´any peri´odusban ´erz´ekelhet˝o. Az a´llapotvektor trajekt´ ori´ a ja l´athat´o a 12.2. a´br´an az el˝obbi k´et esetben. L´athat´o, hogy x1 (0) = 0 ´es x2 (0) = 3 a kiindul´asi ´ert´ek ´es bizonyos id˝o m´ ult´an a trajekt´oria egy z´art periodikusan ism´etl˝od˝o g¨orb´ehez, az un. hat´ arciklushoz tart. Ennek eredm´enyek´epp lesz a v´alasz is periodikus. Az a ´llapottrajekt´ oria teh´ at a rendszer a ´llapotvektor´ anak id˝ obeli v´ altoz´ as´ at a ´br´ azolja egy g¨ orb´evel. Nyilv´anval´o, hogy ez csak m´asodrend˝ u rendszer eset´eben ad szeml´eletes a´br´azol´ast.

3

2.9

2.8 -0.6

3

2.985

-0.3

0 x1(t)

0.3

2.97 -0.06

0.6

-0.03

0 x1(t)

0.03

0.06

12.2. a´bra. Az a ´llapottrajekt´ oria az a ´llapots´ıkon a ´br´ azolva

3

Eml´ekezz¨ unk vissza, hogy a teljes megold´ as a tranziens o ¨sszetev˝ o ´es a stacion´ arius o ¨sszetev˝ oo ¨sszege.

396

13. fejezet

DI nemline´ aris rendszerek anal´ızise 13.1.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as fogalma

Diszkr´et idej˝ u line´aris rendszerek eset´eben is defini´altuk az a´llapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakj´at, amely egy line´aris, els˝orend˝ u, a´lland´o egy¨ utthat´os differenciaegyenletekb˝ol a´ll´o differenciaegyenlet-rendszer. Nemline´aris rendszerek eset´eben az a´llapotv´altoz´ok (k + 1)-edik u ¨ tembeli ´ert´eke, valamint a rendszer v´alaszjele a k-adik u ¨ temben az a´llapotv´altoz´ok ´es a gerjeszt´es kadik u ¨ tembeli ´ert´ek´enek nemline´aris f¨ uggv´enyek´ent adhat´o meg: x[k + 1] = f (x[k], s[k]), y[k] = g(x[k], s[k]).

(13.1)

Teljesen a´ltal´anos diszkr´et idej˝ u (vari´ans ´es MIMO-) rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak norm´alalakja a k¨ovetkez˝o: x[k + 1] = f (x[k], s[k], k), y[k] = g(x[k], s[k], k). 397

(13.2)

Els˝o l´ep´esben az a´llapotvektor id˝of¨ uggv´eny´et, vagyis trajekt´ori´aj´at kell meghat´arozni, majd annak ismeret´eben a rendszer v´alasza is sz´am´ıthat´o.

13.2.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as lineariz´ al´ asa

Diszkr´et idej˝ u nemline´aris rendszerek eset´eben hasonl´oan alkalmazhatjuk a munkaponti lineariz´al´ast, ha a rendszer gerjeszt´ese u s˜[k] jel o¨sszegek´ent ´ırhat´o fel: egy s a´lland´o ´es egy kisjel˝ s[k] = s + s˜[k].

(13.3)

Az a´llapotvektor ´es a v´alasz szint´en k´et r´eszb˝ol tev˝odik o¨ssze: x[k] = x + x ˜[k],

y[k] = y + y˜[k].

(13.4)

A rendszer x egyens´ ulyi a´llapot´at a gerjeszt´es s a´lland´o o¨sszetev˝oje hat´arozza meg, amelyre a nemline´aris rendszer v´alasza y. A nemline´aris rendszer ezen munkapont k¨ornyezet´eben helyettes´ıthet˝o egy line´aris rendszerrel, amely rendszer seg´ıts´eg´evel a kisjel˝ u s˜[k] gerjeszt´esre adott kisjel˝ u y˜[k] v´alasz sz´am´ıthat´o, majd a k´et eredm´enyt o¨ssze kell adni. A megold´as szint´en h´arom l´ep´esb˝ol a´ll. Egyens´ ulyi a ´llapotok meghat´ aroz´ asa Az s a´lland´o gerjeszt´es hat´as´ara az a´llapotvektor az x[k] = x munkaponti ´ert´ekhez tart, ´es az eltolt x[k + 1] a´llapotvektor is ugyanez az x a´lland´o lesz, azaz x[k + 1] = x[k] = x, hiszen az a´llapotvektor ekkor nem v´altozik. A (13.1) alapj´an a munkapont meghat´arozhat´o: x = f (x, s),

⇒

y = g(x, s).

(13.5)

Egy rendszernek t¨obb munkapontja is lehet, hiszen azt az f f¨ uggv´eny hat´arozza meg. El˝ofordulhat olyan gerjeszt´es is, amelyhez nem tartozik egyens´ ulyi a´llapot. 398

Egyens´ ulyi a ´llapotok stabilit´ asa Az egyens´ ulyi a´llapot stabilit´as´anak vizsg´alata c´elj´ab´ol a´ll´ıtsuk el˝o az f (x[k], s[k]) f¨ uggv´eny A Jacobi-m´ atrix a´t a munkapontban. 1 Vezess¨ uk be ezut´an az egyens´ ulyi a´llapott´ol val´o elt´er´est (13.4) alapj´an: ˜[k] ⇒ x ˜[k] = x[k] − x, x[k] = x + x amit okozhat pl. a gerjeszt´es kisjel˝ u o¨sszetev˝oje, vagy egy´eb zaj. Helyettes´ıts¨ uk a v´altoz´assal terhelt munkaponti ´ert´eket vissza az f (x[k], s[k]) f¨ uggv´enybe, ´es k¨ozel´ıts¨ uk azt els˝ofok´ u Taylor-polinomj´aval az x munkapont k¨ornyezet´eben: ∂f (x[k], s[k]) f (x[k], s[k]) ⇒ f (x + x ˜[k], s) ' f (x, s) + ˜[k] x ∂x[k] x,s

= f (x, s) + A˜ x[k].

Helyettes´ıts¨ uk vissza ezen k¨ozel´ıt´est a (13.1) nemline´aris differenciaegyenletbe: x[k + 1] = f (x[k], s[k])

⇒

˜ [k + 1] = f (x, s) + A˜ x+x x[k].

Az egyens´ ulyi pontban azonban (13.5) szerint teljes¨ ul a x = f (x, s), aminek k¨ovetkezt´eben a fenti o¨sszef¨ ugg´es a k¨ovetkez˝o a´llapotegyenlett´e egyszer˝ us¨odik: ˜ [k + 1] = A˜ x x[k],

(13.6)

amely megegyezik a line´aris rendszerek a´llapotegyenlet´evel. Ha ezen line´aris rendszer stabil, akkor x ˜[k] → 0, amelynek k¨ovetkezt´eben a munkapontb´ol kimozd´ıtott a´llapotvektor visszat´er a munkapontba. Ez teh´at egy stabil egyens´ ulyi helyzet, azaz a munkapont akkor stabil, ha a Jacobi-m´atrix saj´at´ert´ekei egys´egsugar´ u k¨or¨on bel¨ ul helyezkednek el: |λi | < 1,

i = 1, . . . , N.

1

(13.7)

Ezt ugyan´ ugy kell sz´ am´ıtani, ahogy a folytonos idej˝ u rendszerekn´el bemutattuk (l. 389. oldal).

399

A lineariz´ alt rendszer v´ alasz´ anak sz´ am´ıt´ asa A nemline´aris rendszer A Jacobi-m´atrixa megegyezik a lineariz´alt rendszer rendszerm´atrix´aval, a line´aris rendszer b ´es c T vektora ´es a D skal´ar ugyan´ ugy sz´am´ıthat´o, ahogy azt a folytonos idej˝ u rendszerekn´el bemutattuk (l. (12.10) o¨sszef¨ ugg´esek). Az ´ıgy el˝oa´ll´o line´aris rendszer az egyens´ ulyi a´llapot k¨ornyezet´eben ´erv´enyes, ´es a kisjel˝ u tagokra a j´ol ismert norm´alalak ´ırhat´o fel: x ˜[k + 1] = A˜ x[k] + b˜ s[k],

(13.8)

y˜[k] = cT x ˜[k] + D˜ s[k].

Ez pedig a line´aris rendszerek t´emak¨orben t´argyalt valamely m´odszerrel megoldhat´o. A v´alasz sz´am´ıt´as´at az a´llapotvektor ismeret´eben elv´egezhetj¨ uk az itt kapott lineariz´alt egyenlettel, vagy a g(·) f¨ uggv´enybe t¨ort´en˝o visszahelyettes´ıt´essel. A teljes v´alasz pedig az egyens´ ulyi a´llapotban sz´am´ıtott v´alasz ´es ezen kisjel˝ u tag o¨sszege lesz (l. (13.4) o¨sszef¨ ugg´es).

13.3.

Az ´ allapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa ,,l´ ep´ esr˝ ol l´ ep´ esre”-m´ odszerrel

A diszkr´et idej˝ u nemline´aris rendszer a´llapotv´altoz´os le´ır´as´anak k´ezenfekv˝o megold´asi elj´ar´asa a ,,l´ep´esr˝ol l´ep´esre”-m´odszer. Ez ink´abb g´epi sz´am´ıt´asokra alkalmas. A megold´as menete az x[0] kezdeti a´llapot ismeret´eben p´ar u ¨ temre a k¨ovetkez˝o: x[1] = f (x[0], s[0]),

y[0] = g(x[0], s[0]),

x[2] = f (x[1], s[1]),

y[1] = g(x[1], s[1]),

x[3] = f (x[2], s[2]),

y[2] = g(x[2], s[2]),

400

....