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FUNCIONES DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD USADA EN HIDROLOGIA Una vez que se asigna un periodo de retorno al gasto de diseño de la obra en cuestión, generalmente es necesario, para conocer dicho gasto de diseño, hacer extrapolaciones a partir de los gastos máximos anuales registrados, pues rara vez este periodo es menor al periodo de datos. Por ejemplo, puede ser necesario determinar un gasto de diseño con el periodo de retorno de 1 000sus años a partir deperiodos 25 años de de registro. los gastos máximos anuales registrados se dibujan contra respectivos retorno, Sigeneralmente se observa alguna tendencia mas o menos definida el problema radica en como extender esta tendencia hasta el periodo de retorno deseado. Una posibilidad es extrapolar los datos a ojo, es decir, gráficamente. Aunque este método puede dar muy buenos resultaos si se aplica por una persona con experiencia, tiene la desventaja de la subjetividad; esto es, si veinte ingenieros diferentes lo aplican, es probable que el resultado sean veinte graficas diferentes. diferentes. Para eliminar esta subjetividad, se debe buscar entre las distintas funciones de distribución de probabilidad teóricas la que se ajusta mejor a los datos medidos, y usar esta función para la extrapolación. En la estadística existen decenas de funciones de probabilidades teóricas; de hecho, existen tantas como se quiera, y obviamente node esdistribución posible probarlas todas para un problema particular. Por lo tanto, es necesario escoger, de esas funciones, las que se adapten mejor al problema bajo análisis. Entre las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología, se estudiaran los siguientes: a)  Normal. b)  Lognormal. c)  Pearson III d)  Gumbel. e)  Funciones para dos poblaciones.

Las funciones anteriores, aun cuando son las mas comúnmente usadas en la hidrología aplicada, no son todas, pues en el enfoque de este texto no es exhaustivo. No obstante, se presentan las bases necesarias para estudiar cualquier cualquier función de distribución de probabilidad. probabilidad. Las funciones normal y lognormal son generalmente apropiadas para variables aleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posibles del experimento bajo análisis, como por ejemplo los volúmenes de escurrimiento mensual en un río. Las funciones Gumbel se desarrollaron para el análisis de los valores extremos de dichos resultados (referencia 9.3), como los gastos máximos o mínimos anuales. La función Pearson III ocupa un lugar intermedio. Las funciones de distribución de probabilidad se estudiarán sin mucha justificación teórica, tanto en lo que respecta a su desarrollo como a la evaluación de sus parámetros, considerando considerando que dicha justificación teórica se sale del enfoque de este texto. El lector interesado puede recurrir a las referencias listadas al final de este capítulo. En general, los estimadores de los parámetros de las

 

distribuciones que se indican en el texto son los que pueden obtenerse por el método de momentos; se incluyeron sólo éstos por ser los más sencillos, pero no debe olvidarse que existen otros métodos (e.g. máxima verosimilitud y mínimos cuadrados). Además, el uso de las funciones puede tener ciertas limitaciones que no se mencionan necesariamente necesariamente a continuación. DISTRIBUCION NORMAL

La función de densidad de probabilidad normal se define como:  F ( x )



1

1

 x   

2

 

 (

e

)2

 

2   

Donde     y    son los parámetros la distribución. Estos parámetros determinan la forma de la función f(x) y su posición en el eje x (véase figura 9.7). Es posible demostrar (referencia 9.2) que

    y     son,

respectivamente, la media y la

desviación estándar de la población y pueden estimarse como la media y desviación estándar de los datos. De acuerdo con la ecuación 9.14, la función de distribución de probabilidad normal es:

 x

 F ( x)



 

1

 

2  

e

1 x    (  )2 2

 

 

Hoy en día, no se conoce analíticamente la integral de la ecuación 9.32, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos para evaluarla. Sin embargo; para hacer esto se requeriría una tabla para cada valor de    y   , por lo que se ha definido la variable estandarizada.  Z 

   x





 

 

 

Que está normalmente distribuida con media cero y desviación estándar unitaria. Así, la función de distribución de probabilidad (ecuación 9.32) se puede escribir como:

 

 z 

 F ( x)

1



 F ( z) 

2

e

2



 z 

2

dz   

La función F(z) se ha calculado numéricamente y se han publicado tablas de ella. En la tabla 1 del apéndice A se muestra esta función. Debido a que la función F(z) es simétrica, en dicha tabla se encuentran únicamente valores de:  z 

  

1

2

  2

e

 z 

2

dz   

Con lo que es posible calcular F(z) para cualquier valor de z. Otra manera de estimar f(z) o F(z), más conveniente si se usa una computadora, es mediante fórmulas aproximadas. La función de densidad f(z) se aproxima, con una precisión mayor de 2.27 x 10-3, como (referencia 9.4):

  f ( z )  (a0



a1 z 2  a2 z 4  a3 z 6 )  

1



 

Donde: a

0

a

1

2.490895





1.466003 0.024393

a

 

a



2

3

 

0.178257

Y la función de distribución como (referencia 9.4):

 H ( z ), z   0       F ( z )  1 H ( z ), z   0    F ( z )

Donde

 H ( z )  1 

Siendo q  b0 b1





1

2

2 1

1  b0

0.33267 0.43618

b2

 

b3



e

 z 

0.12017

0.93730

 

z 

 

2

(b1q  b2 q 2  b3q 3 )  

 

Ejemplo 9.2. Los gastos máximos anuales registrados en la estación hidrométrica Las Perlas en el rio Coatzacoalcos se muestran en la tabla 9.5

a)  ¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7 500 m3/s? b)  Se plante construir cerca de este sitio un bordo para protección ccontra ontra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años? Supóngase que los datos de la tablas 9.5 siguen una distribución normal. Solución

La media y desviación estándar de los datos son respectivamente:

 ∑ X  =n   3 886886 /

Tabla 9.5 año

1954

x=gasto máximo m3/s año x, m3/s año x, m3/s año x, m3/s

1955

2230

3220

1956

2246

 

1957

1958

1804

2737

1959

2070

1962

1963

1964

1965

1966

1967

4240

2367

706

2489

2350

3706

2675

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

6267

5971

4744

6000

4060

6900

5565

1975

1976

1977

1978

3130

2414

1796

7430

 

 

La media y desviación estándar de la población pueden entonces estimar como:

≜1 ≜   3825.886.196 // /

 

 

a.  Para x= 7 500  x  





 la variable estandarizada z es (ecuación 9.33):

7500 75 00

 



38 3886 86



 

3682

1961

∑−      −   ..   /

 Z 

1960



1825.9

1.98  

De la tabla 1 del apéndice A o de la (ecuación 9.36 ) e obtiene obtiene

    ≤7500 ≤7500 0.9761

 

 

  Por lo que la probabilidad de que el gasto máximo anual sea mayor o igual que 7500 3/s resulta  

7500 7500 1 1≤7500 ≤7500 10.97610.0239

B) de la ecuación 6.45 se tiene que :

 

Por lo tanto

  1 ≤ 111    

Entonces , para T=60 AÑOS AÑOS LA FUNCION FUNCION ED DISTRIBUCION DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD ES

    ≤   

=0.9833

Y DE LA TABLA 1 DEL APENDICE A o resolviendo la ecuación 9.36 por tanteos , se obtien la variable estandarizada z=2.128

2. 1 28281825. 1825.911 3886.16

por lo tanto , despejando x de la ecuación 9.33 se tiene

 

X=7771.70m3/s

9.2.2 distribución log normal En esta función los logaritmos naturales de la variable variable aleatoria se distribuyen normalmente. normalmente. La función de densidad densidad de probabilidad probabilidad es

         −       √     ⋅ ⅇ

  ⅇ ⅇ     ⅇ ⅇ  1,2,3⋅… ̅   =  

 

(9.39)

Donde si se compara la ecuación 9.39 con la 9.31, se deduce que  son respectivamente respectivamente son la media y la desviación estándar de los logaritmos logaritmos de la variable alatoria .en la figura 9.8 se muestra muestra una grafica de la función la densidad de probabilidad para diferentes valores de   Como se obtiene esta función no necesariamente necesariamente es simétrica los valores de apatir de n observaciones    

(9.40)

 

Grafica

 (− ) ⁄ =   

 

(9.41)

La función de distribución de probabilidad es , de acue acuerdo rdo con la ecuación 9.14:

     − ⋅          √  ⋅  ⅇ   

9.9.422

 

Ls valores de la función de distribución de probabilidad 9.42 se obtienes usando la tabla 1 el apéndice A o la formula 9.36 si la variable estandarizada se define como

  −

 

(9.43)

Ejem 9.3 resolver resolver el ejemplo 9.2 usando la función de distribución log normal Solución La medi y desviación desviación estándar de los datos estimadores de las dela población , son (ecuaciones 9.4.,9.41)

̅   = 25 8.163

 



⁄ 

n  8.162) 0.451  (In = ln75008.   0.42551 162 1.687

 

a)  Para x=7500 la variable estandarizada (ecuación

 

   0.9542 ≥ 1≤7500 ≤7500 1 1 10.95450.0455 ≥ 1

De la tabla 1 apéndice A , o la fórmula 9.36 se obtiene:

 

Y por lo tanto

b)  Nuevamente, de 9.38 se tiene F(z)=f(x)=0.9833

 

 

Dela tabla 1 del apéndice A o resolviendo 9.36 por tanteo , para este este valor de F(z) e obtie obtiene ne Z =2.128 Despejando x de la ecuación 9.43

+

  ⅇ...+. 9161.153/

ⅇ

 

 

(9.44)

DISTRIBUCION PEARSONIII O GAMAM DE TRES PARAMETROS LA FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD PERSON III SE DEFINE COMO COMO

  − −        r {  }1∗ⅇ  1,2,3⋅…     ̅       ̅   = − ̅⁄  

(9.45)

DONDE  son los parámetros de la función y  es la función gamma en el apéndice A se hallan las propiedades básicas y la tabla de valores de la función gamma  

Los parámetros ecuaciones

se evaluan a partir de n datos medios mediante el siguiente sistema de

 

(9.46)

 

(9.47)

 

Donde  es la mdia de los datos ,

(9.48)

  su variación y   su coeficiente coeficiente de sesgo que se define como como

 

(9.49)

La función de distribución de probabilidad es

  ′     −     ⅇ   

 

(9.50)

 

sustitucion

  − 

(9.51)

La ecuación se escribe como

   ∫ −ⅇ− 2   |  2(2|22)  

La función 2 es una función de distribución ji cuadrada con

(9.52)

  2   ⁄2

grados de libertd y

 

 

(9.53)

En la tabla 4 del apéndice A se encuentra la función función de distribución x^al cadrado esa manera de donde n es un usar la función de distribución Pearson III es estrictamente estrictamente valida cuando entero positivo cualquiera .si como es común  es no entero puede tomarse tomarse como el entero mas prximo obien interpolar interpolar en la tabla 4 del apéndice A cuando cuando ,será necesario necesario acudir a la tabla de la función de distribución distribución gamma de un parámetro parámetro , como como la que puede hallarse hallarse en la

2

